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Come sai scriviamo i numeri naturali utilizzando dieci cifre:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Come abbiamo visto nella scheda Idee per le competenze - Lo zero e il sistema posizio-nale di pagina 9, il sistema che usiamo è posizionale, perché una cifra ha significato diverso a seconda della posizione che occupa.
La scrittura 3035 è dunque un modo sintetico per esprimere la somma dei prodotti dei numeri rappresentati dalle cifre per le potenze di dieci a cui corrispondono, ossia la scrittura in forma polinomiale del numero.Dieci è la base del sistema, che viene per questo detto sistema di numerazione in base dieci. Osserva che le cifre che usiamo in questo sistema sono quelle da 0 a 9, cioè da 0 alla base diminuita di 1.
■ IN ALTRE BASIPossiamo scrivere un numero naturale utilizzando anche come base un qualsiasi numero diverso da dieci. Cosa cambia rispetto alla base dieci?Se, per esempio, scriviamo un numero in base 4, abbiamo a disposizione solo le cifre 0, 1, 2, 3, che sono collegate alle potenze 40, 41, 42, 43, 44, 45, …Per distinguere la nuova scrittura da quella in base dieci, la mettiamo fra parentesi e indichiamo, come pedice, la base.
■ Scriviamo il numero degli oggetti della figura con:
2 gruppi da 16 unità, 1 gruppo da 4 unità, 3 unità.
42 41 40
Per passare allora da una base diversa alla base dieci usiamo la forma polinomiale. ■ ( )213 2 4 1 4 3 4 2 16 4 3 394
2 1 0$ $ $ $= + + = + + =
(213)4 e 39 sono due modi diversi di scrivere lo stesso numero.
In una qualsiasi base n, la scrittura 10, che leggiamo «uno zero», indica la base stessa; 100, cioè «uno zero zero», indica un gruppo da n2 unità e così via.
Scrivi i numeri la cui forma polinomiale è la seguente.
9 10 5 102$ $+ ; 3 10 2 10 1 104 3 0$ $ $+ + .
10 10 98 7 45$ $+ + ; 4 10 3 10 5 102 3$ $ $+ + .
10 110 1035 2++ +
10 102 5 23 4$ $+ +
YOU & MATHS Below are some descriptions of numbers given by a child who is still learning about deci-mal positional notation. Rewrite the numbers in correct decimal positional notation.a. Four units and eleven tens.b. Twenty three hundreds and forty units.c. Two thousands, thirty two hundreds, fifty one units.
■ IN ALTRE BASICACCIA ALL’ERRORE Indica le scritture non corrette.
(5100)6; (2000)2; (1012)3; (139)16; (410)4.
Scrivi tutte le cifre che si usano nella numerazione in base 5 e in base 12.
VERO O FALSO?
a. In ogni base il numero 10 rappresenta la base. V F
b. Nella base n 101 non compare mai la cifra n. V F
c. In qualunque base a il quadrato della base si scrive 100. V F
d. Il numero 11 in base a rappresenta il successivo di a. V F
Scrivi:a. (10 210)3 in base dieci;b. 3615 in base 4.
Scrivi la forma polinomiale dei seguenti numeri.(2)3; (2)4; (2)5; (2)7.
(11)2; (11)3; (11)6; (11)4.
(101)2; (101)3; (100)3; (120)3.
(230)4; (2122)4; (1011)2; (1100)2.
(1022)4; (11 001)2; (2110)3; (2001)4.
(AB1)16; (2BA)16; (144)5; (1001)8.
(40)5; (101)3; (210)3; (44)7.
(200)4; (201)3; (1001)2; (2002)3.
VERO O FALSO?
a. In un sistema a base 8 si utilizzano come cifre i numeri naturali minori o uguali a 8. V F
b. 104 non può rappresentare un numero in base 4. V F
c. In base 3 il numero 3 si scrive 10. V F
d. In base 16 il numero 100 rappresenta 162. V F
Scrivi in base dieci i seguenti numeri.(110)2; (1011)2; (1111)2.
(101)3; (2222)3; (1020)3.
(121)4; (321)4; (100)4.
(440)5; (100)5; (411)5.
(10)12; (AB)12; (1AB)12.
(1 100 011)2; (1200)8; (188)9.
(11 000)2; (200)3; (211)4.
(312)5; (10A)12; (1002)5.
(20)3; (20)4; (41)5.
(1101)2; (2100)3; (1234)5.
(A3B)12; (443)6; (1010101)2.
Del numero naturale x si sa che rispetto alla base a la sua scrittura è 12; rispetto alla base b è invece 23. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?A La base a è maggiore della base b.B Esistono infinite coppie possibili di basi a e b che soddisfano le ipotesi.C La base a può essere 6.D Se b 4= , allora a 9= .
■ DA BASE DIECI A BASE DIVERSA
▶ Scriviamo il numero 147, espresso in base dieci, in base 4.Eseguiamo divisioni ripetute, mettendo in evidenza i resti, fermandoci quando il quoziente è 0.
I resti, letti nella direzione della freccia, sono le cifre cercate:
( )147 21 0 3 4= .
147 43 36 4
0 9 41 2 4
2 0
Scrivi i seguenti numeri espressi in base dieci nella base indicata a fianco.
7, 10, 11, 31, 33, 128, 143. base 2 5, 16, 18, 22, 33, 40, 3612. base 3