Applicazioni a barre e travi - Politecnico di Torinocorsiadistanza.polito.it/on-line/CMM/pdf/U10_L3_bn.pdf · concentrati; il teorema di Clapeyron: Il teorema di Castigliano: k j
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Comportamento meccanico dei materiali Applicazioni a barre e travi
PremessaIl teorema di Castigliano - metodoIl teorema di Castigliano - applicazioneL’equazione dei lavori virtuali - metodoIl lavoro virtuale interno per le travi
Comportamento meccanico dei materiali Applicazioni a barre e travi
L’applicazione del teorema di Castigliano a una struttura semplice (una struttura reticolare composta di aste caricate a trazione o a compressione) ci permetterà di mettere in evidenza il gioco della sovrapposizione degli effetti, la composizione dei termini dell’energia, i modi di calcolo degli spostamenti nei punti desiderati.
Seguirà il calcolo tramite l’applicazione dell’equazione dei lavori virtuali.
Uno sguardo generale (1/3)
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Caratteristica di questa struttura, e di tutte lealtre prese in esame in questa lezione, è la “determinazione statica”, cioè il fatto di poter innanzitutto trovare gli sforzi in ogni elemento della struttura tramite le equazioni di equilibrio.
Questo fatto non è contingente, cioè legato al particolare esempio prescelto, ma è invece essenziale in quanto si deve esprimerel’energia interna del sistema in funzione dei carichi (forze, momenti) applicati alla struttura.
Uno sguardo generale (2/3)
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Si metterà in evidenza che sia il teorema di Castigliano sia l’equazione dei lavori virtuali permettono il “calcolo selettivo” degli spostamenti, cioè un calcolo che non richiede la conoscenza di nessun spostamento oltre a quello desiderato.
Uno sguardo generale (3/3)
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Applicato in questa forma il teorema di Castigliano richiederebbe il calcolo preliminare degli e quindi si ridurrebbe a una verifica banale di una proprietà della “derivata di forma omogenea”.
Poiché invece: L =
si può derivare lo scalare energia potenziale elastica:
kjη
∫V
dVU
( )kk
k FFLu
∂∂
=∂∂
= ∫V dVU
Metodo (2/2)
Applicazioni a barre e travi
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Questa è una struttura composta di aste incernierate agli estremi, ciascuna atta a sopportare solo carichi assiali, passanti per i centri delle cerniere.È una struttura semplice, che permette di calcolare tramite le equazioni di equilibrio non solo le reazioni vincolari ma anche i carichi sopportati da tutte le aste.
Commenti
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L’energia totale èla somma delle energie parziali qui indicate per ogni asta.
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Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F2; la loro somma fornisce u2(F1,F2).
Lo spostamento verticale in 2 dovuto alla sola F1, u2(F1), si calcola derivando l’energia elastica rispetto a F2 e poi ponendo F2=0 (anche quando la forza F2 è nulla, per calcolare lo spostamento in 2 è necessario definirla, in modo da far comparire l’energia associata).
Calcolo degli spostamenti (1/4)
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… si pone allora una forza δFP in tale punto e nella direzione desiderata; questa forza genera un campo di spostamenti virtuali .
{F}A
δFP
PuPA
{ }APuδ
FA,iδuAP,i
{ }APuδ
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Per il teorema di Betti-Maxwell, versione “estesa”, il lavoro esterno dei carichi {F}A per gli spostamenti indotti dalla forza virtuale èuguale al lavoro della forza virtuale per lo spostamento uPA prodotto dai carichi {F}A:
Metodo (4/5)
δFP
Consideriamo, per semplicità di formulazione, il caso in cui siano presenti solo forze esterne “concentrate”:
=σ∫ ∑Vk,i
ik dVikδε { }TF { }uδ
δFP uPA∑i
i,AF AP,iuδ{ }TF { }uδ ≡ =
{ }uδ
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che per comodità di calcolo viene scritta dividendo ambo i membri per δFP,
che, vista la dipendenza lineare di da , equivale numericamente (concettualmente è un controsenso) a mettere in gioco deformazioni virtuali prodotte da un carico FP di valore unitario.
ikδε =σ∫ ∑Vk,i
ik dV δFP uPA
=σ∫ ∑Vk,i
ik dV 1 uPA( )( )P
ikFδ
δε
PFδikδε
Applicazioni a barre e travi
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Le τzy compiono lavoro solo moltiplicate per le rispettive δγzy , mentre le tensioni normali a+mycompiono lavoro per le rispettive deformazioni δb+δny;ma
=
( )∫ +V
dVmya ( )ynb δ+δ
( )∫ +++V
dVmyamya bδ ynδ bδynδ
v. dopo “Forza assiale”v. dopo “Momento flettente”
termini misti
Lavoro virtuale e caratteristiche (3/3)
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momento statico d’area
∫A dAy
Il lavoro dei termini misti:
è del tipo
Lavoro dei termini misti
( )∫ +V
dVmya bδynδ
V lk y dV k( )dl=∫ ∫ {
Poiché l’origine di y è presa sul baricentro della sezione, il momento statico è nullo.
Quindi il lavoro dei termini misti è nullo.
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Il taglio produce gradiente di momento flettente, perciò non si dà la presenza della τ senza la presenza della σzz dotate di gradiente secondo z.
Le σzz danno luogo alla parte di lavoro virtuale interno corrispondente alla formula:
dove, Mx e δMx sono funzioni di z.
x xl
M Mdz
EIxδ
∫
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F
z
M
M=F z
Quando trascurare il lavoro di taglio (2/4)
Il contributo del taglio all’energia o al lavoro virtuale complessivo è di norma trascurato.
Ne diamo qui una giustificazione empirica basata sui valori tipici di una mensola a sezione rettangolare. Calcoliamo lo spostamento nel punto di applicazione di F. T=F
δFl
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Il contributo del momento diventa superiore a quello del taglio quando:
>δ
3l
EIFF 3
xl
AFF
56
G1 δ ( ) 78,0
56
412
hl 2
≡ν+
>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Cioè per una trave talmente tozza da renderne illegittima la descrizione tramite le ordinarie equazioni di flessione. Per l=10h il contributo della flessione è salito di 100 volte il contributo del taglio.