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• gestion de production,• sociologie,• économie,• politique,
• Banque :• gestion de portefeuille,
• scoring de clientèle
• Marketing
• Informatique• (reconnaissance de forme,
• de codes barres,• reconnaissance d'image,
• reconnaissance de la parole,• imagerie médicale)
• Assurances (actuariat)
• Télécommunications,• codage et filtrage d'erreur
• ………
Numéros de production d'avions de combat adverses
tirés au hasarddans {1,2, …,n}
Estimer n à l’aide de l’échantillon suivant
1403 339 565 597 2404 2132
Moyenne: 1240
Médiane: 1000
Minimum: 339
Maximum: 2404
La loi forte des grands nombres
• X1, X2, …, Xn, …• Une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi,
• de moyenne (espérance): E(Xi)=• Alors pour (presque) toute expérience (réalisation)
limn→ ∞
X1 +X2 +L +Xn
n=μ
chaque expérience, poussée suffisamment longtemps, permet de s'approcher de la vraie moyenne, ou de la vraie fréquence (c'est la justification des sondages, estimations de moyennes, et tracés d'histogrammes, entre autres).
Bernoulli (loi faible des grands nombres, 1630)Kolmogorov (loi forte des grands nombres, 1930)
À quelle vitesse ?
Théorème central-limiteX1, X2, …, Xn, …
une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi,
de moyenne (espérance): E(Xi)=et de variance Var(Xi)=
X1 +X2 +L +Xn
n= μ + σ
Zn
n
avec, pour tout a et b
limn→ ∞
Pr a≤Zn ≤b( ) = 12π
e−x2
2 dxa
b
∫
De Moivre (1660, cas binomial)Laplace (1780, cas général)
Gauss (1805, application aux statistiques)
Intervalle de confiance (sondage)
Le nombre de réponses “oui” suit la loi binomiale de parametre n et p :
proportion de réponses "oui" =
X1 +X2 +L +Xn
n
Pr X1 +X2 +L +Xn =k( ) =Cnkpk 1−p( )
n−k
Xk =1 si la kème réponse est "oui"
0 si la kème réponse est "non"
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
Pr Xk =1( ) = p
μ =E Xk[ ]=p
σ 2 =Var Xk( ) =p1−p( )
Zn =X1 +X2 +L +Xn −nμ
σ n
=X1 +X2 +L +Xn −np
np1−p( )
= X −p( ) n
p(1−p)
12π
e−x2
2dx−A
A
∫ ≈ Pr −A≤Zn ≤A( )
=Pr −A p(1−p)n ≤X −p≤A p(1−p)
n( )
=Pr p∈ X −A p(1−p)n ;X +A p(1−p)
n[ ]( )
12π e
−x2
2dx−A
A
∫ =0,95 si A=1,96...
p(1−p) ≤0,25donc
1,96 p(1−p)n ≤
1n
donc
Pr p∈ X − 1n ;X + 1
n[ ]( )≥ 0,95
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Intervalles de confiance à 95% et 99% pour p=0,5
Résultats de 756 sondageschacun sur des échantillons de 400 personnes
pris au hasard dans une populationoù la proportion de « oui » est 42%