appendice D Esempio di calcolo di un muro in c.a. Pagina 157 del testo Esempio di calcolo Nel presente paragrafo si vuole illustrare un’applicazione operativa relativa alle verifiche di stabilit` a di un muro a mensola in cemento armato utilizzando il metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il calcolo viene e↵ettuato con riferimento alle sole verifiche di tipo geotecnico e trascurando le verifiche di resistenza strutturale degli elementi in cemento armato. I dati necessari sono: • φ: angolo di attrito interno del terreno; • γ : peso per unit` a di volume del terreno; • i: inclinazione del terrapieno a monte; • ↵: inclinazione del paramento interno della parete in elevazione del muro rispetto al piano orizzontale; • δ: angolo di attrito muro-terreno in elevazione; • f : coefficiente di attrito terreno-fondazione, pari a tan φ o a una sua quota parte; • c: coesione del terreno in elevazione e in fondazione. Per semplicit` a nell’esempio di calcolo si sono assunte le seguenti ipotesi: • parete interna del muro in elevazione verticale (↵ =0 ◦ ); • superficie del terreno a monte orizzontale (i =0 ◦ ); • spinta del terreno in direzione orizzontale (δ =0 ◦ ). I valori caratteristici dei suddetti parametri geotecnici sono: • φ = 35 ◦ ; • γ = 1800 daN/m 3 ; • f = tan(φ) ⇤ 2/3=0,4668; • c = 0 daN/m 2 .
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appendice D
Esempio di calcolo di un muro in c.a.
Pagina 157 del testo
Esempio di calcolo
Nel presente paragrafo si vuole illustrare un’applicazione operativa relativaalle verifiche di stabilita di un muro a mensola in cemento armato utilizzandoil metodo semiprobabilistico agli stati limite. Il calcolo viene e↵ettuato conriferimento alle sole verifiche di tipo geotecnico e trascurando le verifiche diresistenza strutturale degli elementi in cemento armato.
I dati necessari sono:
• φ: angolo di attrito interno del terreno;
• γ: peso per unita di volume del terreno;
• i: inclinazione del terrapieno a monte;
• ↵: inclinazione del paramento interno della parete in elevazione del murorispetto al piano orizzontale;
• δ: angolo di attrito muro-terreno in elevazione;
• f : coefficiente di attrito terreno-fondazione, pari a tanφ o a una sua quotaparte;
• c: coesione del terreno in elevazione e in fondazione.
Per semplicita nell’esempio di calcolo si sono assunte le seguenti ipotesi:
• parete interna del muro in elevazione verticale (↵ = 0◦);
• superficie del terreno a monte orizzontale (i = 0◦);
• spinta del terreno in direzione orizzontale (δ = 0◦).
I valori caratteristici dei suddetti parametri geotecnici sono:
• φ = 35◦;
• γ = 1800 daN/m3;
• f = tan(φ) ⇤ 2/3 = 0,4668;
• c = 0 daN/m2.
40 Appendice D
Si ipotizza la presenza di un sovraccarico distribuito sul terreno di monte
60
500
100 18050
Figura D.1Caratteristichegeometrichedell’opera di sostegno.
costituito da un’aliquota permanente (qg = 1500 daN/m2) e da unavariabile (qq = 500 daN/m2). Si suppone inoltre l’assenza di falda.
Le dimensioni ipotizzate per l’opera da verificare sono indicate in Figu-ra D.1.
L’opera e ubicata nel comune di Bologna, caratterizzato da una latitudinepari a 44,5075 e una longitudine pari a 11,3514. In base alle condizioni litolo-giche e morfologiche il sottosuolo di fondazione rientra nella categoria A. Lasuperficie topografica e pianeggiante e appartiene quindi alla categoria T1.
Per l’opera in esame si ipotizza una vita nominale VN pari a 50 anni,corrispondente a una costruzione di tipo ordinario (Tab. D.1) e si considerauna classe d’uso II. Secondo quanto riportato in Tabella D.2, il coefficiented’uso CU e pari a 1; pertanto, il periodo di riferimento VR dato dal prodottodi VN e CU risulta pari a 50 anni.
Con riferimento allo Stato limite di salvaguardia della vita (SLV) il periododi ritorno (TR) corrispondente all’azione sismica di progetto risulta pari a 475anni. In funzione delle coordinate geografiche e del periodo di ritorno si ottieneun valore di accelerazione massima al suolo (ag) pari a 0,142 g, che corrispondea un coefficiente di riduzione βm pari a 0,29 (Tab.7.6).
Tabella D.1Vita nominale (VN ) infunzione dei tipi dicostruzione.
VN (in anni)Tipi di costruzione1 Opere provvisorie – Opere provvisionali – Strutture in fase costruttiva 6 10
2 Opere ordinarie, ponti, opere infrastrutturali e dighe di grandi dimensionio di importanza strategica
> 50
3 Grandi opere, ponti, opere infrastrutturali e dighe di dimensioni contenuteo di importanza normale
> 100
Tabella D.2Coefficiente d’uso(CU ) in funzione dellaclasse d’uso.
Classe d’uso I II III IVCoefficiente CU 0,7 1,0 1,5 2,0
Si devono definire ora i valori dei coefficientiST e SS, che dipendono rispettivamente dal-le caratteristiche della superficie topografica edel suolo.
Per un suolo di categoria A e una superficiedi classe T1 si ha ST = 1,00 (Tab. 7.8) e SS =
Per quanto riguarda l’e↵etto dinamico del sovraccarico si considera, in analogiaal caso statico, un incremento di spinta sul muro di tipo inerziale. Tale spintaviene calcolata mediante la seguente espressione:
Sq,sism = q · (1± kv) ·H ·Ka,sism
Inoltre, il sisma induce forze d’inerzia dovute alle masse mobilitate:
• Forza d’inerzia dovuta al peso della parete del muro:
Iwp = kh ·Wp
Esempio di calcolo di un muro in c.a. 41
• Forza d’inerzia dovuta al peso della fondazione del muro:
Iwf = kh ·Wf
• Forza d’inerzia dovuta al peso del terreno a monte del muro:
Iwt = kh ·Wt
In questo esempio vengono trascurate le inerzie dovute al sovraccarico delterreno a monte dell’opera. Nel caso sismico i valori dei coefficienti parzialisulle azioni vengono posti pari a 1,00, mentre per i parametri geotecnici e leresistenze di progetto si assumono i valori dei coefficienti parziali relativi allatipologia di verifica e all’approccio scelto.
Le combinazioni sismiche vengono in seguito indicate come S+ e S−, cor-rispondenti ai casi di sisma verticale rivolto verso il basso (kv > 0) e sismaverticale rivolto verso l’alto (kv < 0).
Le azioni agenti in condizioni statiche sono:
• peso del muro;• peso del terreno a monte;• sovraccarico sul terreno a monte;• spinta statica del terreno.
I valori caratteristici dei carichi permanenti verticali agenti sull’opera di soste-gno vengono calcolati facendo riferimento a una profondita di un metro linearedi muro.
Peso della parete del muro: Wp = γcls
·Ap = 2500 · (5,0 · 0,5) = 6250 daN
dove:
• γcls
: peso per unita di volume del calcestruzzo [daN/m3];• Ap: area della parete in elevazione del muro [m2].
Peso della fondazione: Wf = γcls
·Af = 2500 · (0,6 · 3,3) = 4950 daN
dove:
• γcls
: peso per unita di volume del calcestruzzo [daN/m3];• Af : area della fondazione del muro [m2].
Peso del terreno sulla mensola di fondazione a monte:
Wt = γt ·At = 1800 · (1,8 · 5,0) = 16 200 daN
dove:
• γt: peso per unita di volume del terreno [daN/m3];• At: area del terreno [m2].
Azione dovuta al sovraccarico permanente:
G = qg · lf,m = 1500 · 1,8 = 2700 daN
dove:
• qg: sovraccarico distribuito permanente [daN/m2];• lf,m: lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il
sovraccarico [m].
42 Appendice D
Azione dovuta al sovraccarico variabile: Q = qq · lf,m = 500 · 1,8 = 900 daN
dove:
• qq: sovraccarico distribuito variabile [daN/m2];• lf,m: lunghezza della mensola a monte della fondazione, su cui insiste il
sovraccarico [m].
I coefficienti parziali, utilizzati per i parametri di resistenza del terreno eper le azioni, dipendono dalla tipologia di verifica e↵ettuata e dall’approccioprogettuale scelto:
• verifiche allo scorrimento e a schiacciamento: vengono utilizzate le duecombinazioni dell’Approccio 1: A1 +M1 +R1 e A2 +M2 +R2;
• verifica alla stabilita globale: si fa riferimento alla sola combinazione A2 +M2 +R2;
• verifica al ribaltamento: non essendo prevista la mobilitazione della resi-stenza del terreno di fondazione, si considera una diversa combinazionedelle azioni e delle resistenze utilizzando, per le prime, i coefficienti delgruppo EQU e, per le seconde, quelli del gruppo M2.
Nell’esempio presentato si riportano le formule relative alla sola combinazioneA1+M1+R1; la combinazione A2+M2+R2 segue lo stesso procedimento,con la sola variazione dei valori dei coefficienti.
Verifica allo scorrimento
La verifica allo scorrimento risulta soddisfatta seRd
Ed
> 1
Ed = (Nperm,sfav · γG1
+Nvar,sfav · γQ1
)
Rd =1
γR(N
perm,fav +Nvar,fav) ·
f
γφ+ 50%
Sp
γR
dove:
Figura D.2Forze coinvolte nellaverifica alloscorrimento, casostatico.
60
500
100 18050
Q
G
Wp
Wf
Wt
Sa
Sg Sq
• Nperm,fav: azioni permanenti favorevoli;
• Nperm,sfav: azioni permanenti sfavorevo-
li;• N
var,fav: azioni variabili favorevoli;• N
var,sfav: azioni variabili sfavorevoli;• γG1
: coefficiente correttivo azioni per-manenti (diverso secondo che il caricosia favorevole o sfavorevole);
• γQi: coefficiente correttivo azioni varia-bili (diverso secondo che il carico siafavorevole o sfavorevole);
• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.
Combinazione C1: A1+M1+R1
Per il calcolo della risultante dei carichi verticali si adotta un coefficiente par-ziale γG1
pari a 1, in quanto i carichi verticali, fornendo sempre un contributodi tipo stabilizzante, risultano favorevoli qualunque sia la combinazione dicarico adottata. Non viene invece considerato il contributo stabilizzante deicarichi variabili e si assume quindi un coefficiente γQi pari a 0. Viene inol-tre trascurato, a favore della sicurezza, il contributo stabilizzante del peso del
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1, azioni favorevoli.
terreno sulla mensola di fondazione di valle (Tab. D.3).
La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M1(Tab. D.4).
44 Appendice D
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,00= 0,70 quindi φ0
d = 35◦
Peso per unita di volume del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Il coefficiente di spinta attiva vale quindi:
Ka = tan2
✓45◦ − φ0
d
2
◆= tan2
✓45◦ − 35◦
2
◆= 0,27
Una volta corretti i parametri geotecnici e possibile calcolare la spinta delterreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi.
Spinta attiva del terreno:
Sa =1
2· γtd ·Ka ·H2 =
1
2· 1800 · 0, 27 · 5, 62 = 7620 daN
Spinta dovuta al sovraccarico permanente:
Sg = qg ·Ka ·H = 1500 · 0,27 · 5,6 = 2268daN
Spinta dovuta al sovraccarico variabile:
Sq = qq ·Ka ·H = 500 · 0,27 · 5,6 = 756 daN
Si avra quindi:
Nperm,sfav = Sa + Sg = 7620 + 2268 = 9888 daN
Nvar,sfav = Sq = 756 daN
Si possono calcolare ora l’azione stabilizzante e quella instabilizzante.
Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori deicoefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all’approccio scelto,
46 Appendice D
in questo caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazioneC1) (Tab. D.4).
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,00= 0,70 quindi φ0
d = 35◦
Peso per unita di volume e del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Angolo ✓+:
#+ = arctg
✓kh
1 + kv
◆= arctg
✓0,041
1 + 0,0205
◆= 2, 3◦
Facendo riferimento alla Figura D.1 si ha:
• i = 0;• φ = 35◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.
Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (Ka,sism) diventaquindi:
Come detto in precedenza per i parametri geotecnici si assumono i valori deicoefficienti parziali relativi alla tipologia di verifica e all’approccio scelto, inquesto caso, quindi, si utilizzano i coefficienti del gruppo M1 (combinazioneC1) (Tab. D.4).
48 Appendice D
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,00= 0,70 quindi φ0
d = 35◦
Peso per unita di volume del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Angolo ✓−:
#+ = arctg
✓kh
1− kv
◆= arctg
✓0,041
1− 0,0205
◆= 2, 4◦
Facendo riferimento alla Figura D.1 si ha:
• i = 0,• φ = 35◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.
Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (Ka,sism) diventaquindi:
12 321= 1,15 > 1 la verifica allo scorrimento risulta
soddisfatta.
Verifica a schiacciamento
La verifica a schiacciamento risulta soddisfatta seRd
Ed
> 1
Ed = Nrd = (Nperm,sfav · γG1
+Nvar,sfav · γQi
)
Rd =qlim
.Ab,f
γR
dove:
Figura D.4Forze coinvolte nellaverifica aschiacciamento, casostatico.
60
500
100 18050
Q
G
Wp
Wf
Wt
Sa
Sg Sq
bwp
bwt
bg = bq
bsg = bsq
bsa
• Nperm,sfav: azioni permanenti
sfavorevoli;• N
var,sfav: azioni variabili sfavo-revoli;
• γG1
: coefficiente correttivo azio-ni permanenti (diverso secon-do che il carico sia favorevole osfavorevole);
• γQi: coefficiente correttivo azio-ni variabili (diverso secondoche il carico sia favorevole osfavorevole);
• qlim
: carico limite unitario;• Ab,f : area di base della fondazione;• γR: coefficiente correttivo delle resistenze.
50 Appendice D
Forze agenti (Fig. D.4):
• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.
Combinazione C1: A1+M1+R1
Come prima cosa e necessario calcolare l’eccentricita della risultante delle for-ze verticali agenti alla base del muro calcolando il rapporto tra il momentorisultante, rispetto al baricentro della fondazione, e la risultante delle forzeverticali agenti sulla struttura.
Le forze verticali e orizzontali, per la verifica di capacita portante, forni-scono un contributo instabilizzante, pertanto sono da considerarsi sfavorevoli.Si adottano quindi γG1
= 1,3 e γQi = 1,5 (Tab. D.3).
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1, azioni sfavorevoli.
• c = coesione del terreno [daN/m2];• γ = peso specifico del terreno [daN/m3];• B = larghezza della fondazione [m];• q = sovraccarico agente ai lati della fondazione [daN/m2];• Ni = fattori di capacita portante, dipendenti dall’angolo d’attrito φ;• si = fattori di forma;• di = fattori di profondita;• ii = fattori di inclinazione del carico;• bi = fattori di inclinazione del piano della fondazione;• gi = fattori di inclinazione del terreno.
Nel caso in esame c = 0 quindi l’espressione della qlim
diventa:
qlim
= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1
2·B · γt ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ
I fattori di capacita portante vengono calcolati mediante le formule seguenti:
Nq = e⇡·tanφ tan2
✓45 +
φ
2
◆
Nγ = (Nq − 1) tan (1,4 · φ)
52 Appendice D
Si ottiene:
Nq = e⇡ tan 35
◦tan2
✓45◦ +
35◦
2
◆⇠= 33,26
Nγ = (33,26− 1) tan (1,4 · 35◦) = 37,11
I fattori di forma si vengono assunti pari a 1 poiche si utilizzano i fattori diinclinazione del carico.
I fattori di profondita valgono:
dq = 1 + 2 · tanφ · (1− senφ)2 · k
con
k =D
Bper
D
B 1
perdγ = 1
Per D si assume un valore medio tra l’altezza del terreno a monte e a valle:D = 2,8 m, si ottiene quindi:
dq = 1 + 2 · tan 35 · (1− sen 35)2 · 2,8
3,3= 1,2161
dγ = 1
I fattori di inclinazione del carico vengono calcolati mediante le seguentiformule:
iq =
✓1− H
V +B · L · c · cotanφ
◆m
,
iγ =
✓1− H
V +B · L · c · cotanφ
◆m+1
con
m =2 +B/L
1 +B/L=
2 + 3,3/11 + 3,3/1
= 1,23
Nel caso in esame c = 0 quindi, le espressioni dei fattori di inclinazione delcarico diventano:
iq =
✓1− H
V
◆m
=
✓1− 13989
40480
◆1,23
= 0,59
iγ =
✓1− H
V
◆m+1
=
✓1− 13989
40480
◆2,23
= 0,39
I fattori di inclinazione del piano della fondazione vengono calcolati mediantele seguenti formule:
bq = bγ = (1− ↵ tanφ)2
con ↵ inclinazione del piano di fondazione rispetto all’orizzontale.Nel caso in esame il piano di fondazione e orizzontale, quindi:
bq = bγ = 1
I fattori di inclinazione del terreno vengono calcolati mediante la formulaseguente:
gq = gγ = (1− 0,5 · tanβ)2
con β inclinazione del pendio.
Esempio di calcolo di un muro in c.a. 53
Nel caso in esame il terreno e orizzontale, quindi:
gq = gγ = 1
I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della qlim
devono essere corretticon coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
L’eccentricita della risultante delle forze verticali e:
e =M
N= −15210
31634= −0,48 m,
b
6=
3,3
6= 0,55
Dal momento che e < b/6 la sezione risulta interamente compressa e non siparzializza.
Si calcola la capacita portante del terreno mediante la formula di Hansenche, in caso di terreno non coesivo, assume la seguente espressione:
qlim
= q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1
2·B · γt ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ
I fattori di capacita portante, di profondita, di inclinazione del piano di fon-dazione e del terreno dipendono dall’angolo d’attrito e dalle caratteristichegeometriche del sistema e quindi non variano. Con l’introduzione del sismacambiano invece i carichi verticali e orizzontali e di conseguenza cambia ilfattore correttivo di inclinazione del carico.
iq =
✓1− H
V +B · L · c · cotanφ
◆m
iγ =
✓1− H
V +B · L · c · cotanφ
◆m+1
con
m =2 +B/L
1 +B/L=
2 + 3,3/11 + 3,3/1
= 1,23
Nel caso in esame c = 0 quindi le espressioni dei fattori di inclinazione delcarico diventano:
iq =
✓1− H
V
◆m
=
✓1− 12790
31634
◆1,23
= 0,53
iγ =
✓1− H
V
◆m+1
=
✓1− 12790
31634
◆2,23
= 0,32
I parametri geotecnici utilizzati per il calcolo della qlim
devono essere corretticon coefficienti dei gruppi M1 (Tab. D.4).
56 Appendice D
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Quindi
qlim
=q ·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +1
2·B · γt ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ
=
✓γtγγ
·D◆·Nq · sq · dq · iq · bq · gq +
1
2·B · γt
γγ·Nγ · sγ · dγ · iγ · bγ · gγ
=
✓1800
1,00·2,8
◆·33,26·1·1,2161 · 0,53·1·1+1
2· 3,3 · 1800
1,00· 37,11·1·1·0,32·1 ·1
=108 043 + 35 269 = 143 312daN
m2
Azione stabilizzante:
Rd =qlim
.Af
γR=
qlim
·B · 11,0
=143 312 · 3,3 · 1
1,0= 472 930 daN
Azione instabilizzante:
Ed = Nrd = 31635 daN
EssendoRd
Ed
=472 930
31 635= 14,95 > 1 la verifica allo schiacciamento risulta
: coefficiente correttivo azioni permanenti (diverso secondo che l’azionesia favorevole o sfavorevole);
• γQi: coefficiente correttivo azioni variabili (diverso secondo che l’azione siafavorevole o sfavorevole).
Figura D.7Forze coinvolte nellaverifica aribaltamento, casostatico.
60
500
100 18050
Q
A
G
Wp Wt
Wf
bg = bq
Sa
Sg Sq
bwt
bwp
bwfbsg = bsq
bsa
Forze agenti:
• peso della parete: Wp;• peso della fondazione: Wf ;• peso del terreno a monte: Wt;• spinta statica del terreno: Sa;
60 Appendice D
• sovraccarico sul terreno a monte: G+Q;• spinta dovuta al sovraccarico permanente: Sg;• spinta dovuta al sovraccarico variabile: Sq.
Combinazione EQU+M2
Il meccanismo limite di ribaltamento viene considerato come uno stato diequilibrio limite di corpo rigido e non prevede la mobilitazione della resistenzadel terreno di fondazione, per le azioni vengono, quindi, utilizzati i coefficientiparziali del gruppo EQU.
In particolare, il momento stabilizzante, viene calcolato adottando i coef-ficienti parziali γG1
= 0,9 per le azioni verticali permanenti e γQi = 0,0 perquelle variabili, che forniscono un contributo stabilizzante.
Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico permanente:
Mg = G · bg = 2700 · 2,4 = 6480 daN ·m
Momento stabilizzante dovuto al sovraccarico variabile:
Mq = Q · bq = 900 · 2,4 = 2160 daN ·m
I carichi verticali permanenti e variabili risultano favorevoli e forniscono sem-pre un contributo stabilizzante, si adottano quindi γG = 0,9 e γQi = 0,0(colonna EQU) (Tab. D.3).
Esempio di calcolo di un muro in c.a. 61
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC1, azioni favorevoli.
La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno, corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,25= 0,56 quindi φ0
d = 29◦
Peso per unita di volume del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Il coefficiente di spinta attiva vale quindi:
Ka = tan2
✓45◦ − φ0
d
2
◆= tan2
✓45◦ − 29◦
2
◆= 0,35
Una volta corretti i parametri geotecnici e possibile calcolare la spinta delterreno agente sul paramento di monte e le spinte dovute ai sovraccarichi.
Spinta attiva del terreno:
Sa =1
2· γtd ·Ka ·H2 =
1
2· 1800 · 0,35 · 5,62 = 9878 daN
Spinta dovuta al sovraccarico permanente:
Sg = qg ·Ka ·H = 1500 · 0,35 · 5,6 = 2940 daN
62 Appendice D
Spinta dovuta al sovraccarico variabile:
Sq = qq ·Ka ·H = 500 · 0,35 · 5,6 = 980 daN
Si avra quindi:
Nperm,sfav = Sa + Sg = 9878 + 2940 = 12 818 daN
Nvar,sfav = Sq = 980 daN
Momento instabilizzante dovuto alla spinta del terreno:
MSa = Sa · bSa = 9878 · 1,87 = 18 471 daN ·m
Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico perma-
nente:MSg = Sg · bSg = 2940 · 2,8 = 8232 daN ·m
Momento instabilizzante dovuto alla spinta generata dal sovraccarico varia-
bile:MSq = Sq · bSq = 980 · 2,8 = 2744 daN ·m
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneEQU, azioni sfavorevoli.
La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,25= 0,56 quindi φ0
d = 29◦
Peso per unita di volume del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Angolo ✓+:
#+ = arctg
✓kh
1 + kv
◆= arctg
✓0,041
1 + 0,0205
◆= 2, 3◦
Facendo riferimento alla Figura D.8 si ha:
• i = 0;• φ = 29◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.
Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (Ka,sism) diventaquindi:
La spinta del terreno agente sul paramento di monte viene calcolata utilizzandoi parametri geotecnici del terreno corretti con i coefficienti del gruppo M2(Tab. D.4).
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Angolo di resistenza al taglio:
tanφ0d =
tanφ0k
γφ0=
tan 35◦
1,25= 0,56 quindi φ0
d = 29◦
Peso per unita di volume del terreno:
γtd =γtkγγ
=1800
1= 1800 daN/m3
Angolo ✓−:
#− = arctg
✓kh
1− kv
◆= arctg
✓0,041
1− 0,0205
◆= 2, 4◦
Facendo riferimento alla Figura D.8 si ha:
• i = 0;• φ = 29◦;• δ = 0◦;• β = 0◦.
Il valore del coefficiente di spinta attiva nel caso sismico (Ka,sism) diventaquindi:
: coefficiente correttivo azioni permanenti non strutturali (diverso se-condo che l’azione sia favorevole o sfavorevole). In questo caso essendo icarichi compiutamente definiti si puo assumere γG2=
γG1
;• γc: coefficiente correttivo della coesione;• γφ: coefficiente correttivo dell’angolo d’attrito;• γR: coefficiente correttivo delle resistenze.
Combinazione C2: A2+M2+R2
Per la verifica di stabilita globale viene utilizzata la combinazione C2: A2 +M2+R2, con γR specifico per le verifiche di sicurezza delle opere in materialisciolti e fronti di scavo pari a 1,1 (Fig. D.9).
Si considera una superficie di scorri-mento di primo tentativo di raggiopari a 9,8 m. L’insieme terreno-muroviene discretizzato in 9 conci di lar-ghezza variabile tra 1,44 e 1,8 m. Perognuno dei conci individuati si cal-cola la forza peso: tale vettore vienescomposto nelle sue componenti pa-rallela e ortogonale alla superficie discorrimento. Le componenti ortogo-nali alla superficie di scorrimento so-no considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsi del cinemati-smo. Le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece, risultanoinstabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno verso valle.
70 Appendice D
Figura D.9Divisione del sistemain conci.
1
O
3
2
4 5 6 7 8 9
58°
45°
33°
24°
14°-14°
4°-5°
-23°
Dx
Azione stabilizzante:
Nel caso in esame per i conci 1, 2 e 3 entrambe le componenti della forza pesoesplicano un’azione stabilizzante, considerando inoltre l’assenza di falda e lapresenza di terreno non coesivo, Rd diventa:
Rd=1
γR·"
9X
j=1
(Wi · γG2
· cos↵j) ·tanφ0
k
γφ+
3X
l=1
Wl · γG2
· sen↵l
#
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti, il coefficiente γG2
puo essere assunto pari a γG1
.
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC2, azioni favorevoli.
23 942= 1,63 > 1 la verifica di stabilita globale risulta
soddisfatta.
Combinazione sismica: S+
Per ognuno dei conci individuati oltre alla forza peso bisogna considerare lecomponenti dell’azione sismica orizzontale (W · kh) e verticale (W · kv), datedal prodotto del peso del concio per i relativi coefficienti sismici. Tali forzedevono essere scomposte in direzione parallela e ortogonale alla superficie discorrimento. Come nel caso statico le componenti ortogonali alla superficie discorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsidel cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, inve-ce, risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o menoverso valle.
In Tabella D.7 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: ingrigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell’azione stabi-lizzante mentre in grigio scuro quelle che forniscono un contributo instabiliz-zante.
Tabella D.7Componenti delleforze favorevoli esfavorevoli alla stabilitaglobale, combinazioneS+.
72 Appendice D
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Figura D.10Forze coinvolte nellaverifica di stabilitaglobale per lacombinazione sismicaS+.
1
O
3
2
4 5 6 7 8 9
58°
45°
33°
24°
14°-14°4°-5°
-23°
W W
a
a
- a a
a
a
Wkh sena Wkh senaWkh cosa
Wkh cosa
Wcosa
Wcosa
Wkv cosaWkv cosa
Wkv sena Wkv sena
Wkv Wkv
Wkh
Wkh
Wsena Wsena
Azione stabilizzante:
Rd =1
γR·(
9X
i=4
[Wi · (1 + kv) cos↵i · γG2
−Wi · kh sen↵i · γG2
] · tanφ0
γφ+
+3X
j=1
(Wj · (1 + kv) cos↵j · γG2
+Wj· · kh sen↵j · γG2
) · tanφ0
γφ+
+Wj · (1 + kv) sen↵j · γG2
�)
Esempio di calcolo di un muro in c.a. 73
Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γG2
puo essere assunto pari a γG1
.
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC2, azioni favorevoli.
27 450= 1,43 > 1 la verifica di stabilita globale risulta
soddisfatta.
Combinazione sismica: S−
Analogamente a quanto visto per il caso S+ per ogni concio devono essereconsiderate non solo le componenti della forza peso, ma anche quelle dell’azio-ne sismica orizzontale e verticale. Le componenti ortogonali alla superficie discorrimento sono considerate stabilizzanti in quanto contrastano l’instaurarsidel cinematismo; le componenti parallele alla superficie di scorrimento, invece,risultano instabilizzanti o stabilizzanti secondo che siano dirette o meno versovalle.
Figura D.11Forze coinvolte nellaverifica di stabilitaglobale per lacombinazione sismicaS−.
1
O
3
2
4 5 6 7 8 9
58°
45°
33°
24°
14°14°4°5°
23°
WW
- a
a
a
a
a
aWkh sena Wkh sena
Wkh cosa
Wkh cosa
WcosaWcosa
Wkv cosaWkv cosa
Wkv sena Wkv sena
WkvWkv
Wkh
Wkh
Wsena Wsena
––
–
In Tabella D.8 sono riportate le componenti delle forze per ogni concio: ingrigio chiaro sono evidenziate quelle utilizzate per il calcolo dell’azione sta-bilizzante mentre in grigio scuro quelle che contribuiscono all’instabilita delsistema.
Esempio di calcolo di un muro in c.a. 75
Tabella D.8Componenti delleforze favorevoli esfavorevoli alla stabilitaglobale, combinazioneS−.
Azione stabilizzante:
Rd =1
γR·(
9X
i=4
(Wi · (1− kv) cos↵i · γG2
−Wi · kh sen↵i · γG2
) · tanφ0
γφ+
+Wi · kv sen↵i · γG2
�+
+3X
j=1
(Wj · (1− kv) cos↵j · γG2
+Wj· · kh sen↵j · γG2
) · tanφ0
γφ+
+Wj sen↵j · γG2
�
Tabella D.4Coefficienti parziali peri parametri geotecnicidel terreno.Coefficienti utilizzatiper il gruppo M2.
Grandezza alla quale Coefficienteapplicare il parziale
Parametro coefficiente parziale γMγMγM (M1) (M2)Tangente dell’angolo di resistenza al taglio tanφ0
k γφ0 1,0 1,25Coesione efficace c0k γc0 1,0 1,25Resistenza non drenata cuk γcu 1,0 1,4Peso dell’unita di volume γ γγ 1,0 1,0
Dal momento che i carichi risultano compiutamente definiti il coefficiente γG2
puo essere assunto pari a γG1
. Si assume il γR specifico per le verifiche disicurezza delle opere in materiali sciolti e fronti di scavo.
Tabella D.3Coefficienti parziali perle azioni o per l’effettodelle azioni.Coefficienti utilizzatiper la combinazioneC2, azioni favorevoli.