APP OOSSTTIILLAA RTTEEÓÓRRICCA SCCOOMM … - L46 - Controle e... · COONNTTRROOLLEE OEE SSEERRVVOOMMEECCAANNIISSMMOSS II ... NR-10 (para concursos) SEP - Sistemas Elétricos de

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Como estudar esta apostila

1) Ler a teoria na sequência e velocidade que achar conveniente.

2) fazer os exercícios e exemplos da apostila sem olhar a resolução.

3) caso não consiga resolver o exercício, olhar a resolução, entendendo cada passo.

4) caso tenha dificuldade com a resolução ou queira fixar a teoria, revisar o respectivo tópico

da apostila referente aquele assunto do exercício.

5) resolver o mesmo exercício agora sem consulta, procurando lembrar todos os passos.

6) resolver todos os exercícios simulando uma prova, avaliando os erros cometidos.

mailto:[email protected]

Este resumo possui direitos autorais e não deve ser distribuído. www.epconcursos.com.br

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Autor: Sandro Arduino: [email protected]: whatsapp (19)996563838

CCOONNTTRROOLLEE EE SSEERRVVOOMMEECCAANNIISSMMOOSS II

Público-alvo: Estudantes de engenharia e engenheiros.

Carga Horária estimada: 32 horas.

Pré-requisitos:

Circuitos elétricos

Cálculo

Números Complexos

Trigonometria

Objetivos: com este material, você poderá:

Aplicar a Transformada de Laplace para circuitos elétricos;

Calcular a resposta em frequência de Funções de Transferência (FT);

Entender e aplicar os critérios de estabilidade para analisar FTs.

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3


ÍNDICE

1. A TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 TRANSFORMADAS ELEMENTARES

1.2 PROPRIEDADES DE LAPLACE

1.3 APLICAÇÕES A CIRCUITOS ELÉTRICOS

2. RESPOSTA EM FREQUENCIA

2.1 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA

2.2 DIAGRAMA DE BODE

2.3 MARGEM DE GANHO E MARGEM DE FASE

2.4 GANHO EM MALHA FECHADA

3. ESTABILIDADE

3.1 CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE CONCURSOS

BIBLIOGRAFIA




4


1. A TRANSFORMADA DE LAPLACE

1.1 Transformadas Elementares

Pierre Simon, marquês de Laplace, o astrônomo e matemático francês, tem o crédito da

transformada que leva seu nome e nos permite generalizar com maior profundidade o método

fasorial. Ela é usada para analisar circuitos com fontes não senoidais (onde não podemos usar o

método fasorial), pois é uma ferramenta muito útil para solução de equações diferenciais. Nesse

processo, uma função no domínio do tempo f(t) é transformada em outra função no domínio da

frequência F(s) através de uma integral. Diz-se que F(s) é a transformada de f(t). A idéia geral é

transformar um problema complicado f em um problema algébrico F (mais simples), resolver este

problema algebricamente e, então, recuperar a função desejada f de sua transformada F.

Figura 1: Análise matemática de circuitos e o método de Laplace

Definição e condições de existência : Seja f(t ) dada para t 0, então, a

transformada de Laplace (TL) de f(t), representada por L {f(t )} ou por F(s), é

definida pela equação

0

)()()}({L dtetfsFtf st, onde s é a frequência complexa

dada por s = + j. Essa transformada é especialmente útil na solução de

problemas com termos não homogêneos de natureza descontínua ou impulsiva

(capacitores e indutores) e fornece, de uma só vez, a resposta completa

(transitório e regime permanente) do circuito.




5


Ex: Seja f(t) = 1, t 0, então: 1

}1{L0 s

dte st

, para s > 0

Ex: Seja f(t) = Aeat, t 0, então: }{L0

)(

0 as

AdteAdteAeAe tasstatat

. Se v(t) = 3e-4t

4

3)(

ssV

Transformadas elementares: na prática, não deduzimos cada transformada através

da definição toda vez que aplicamos a TL. Ao invés disso, util izamos os valores

tabelados abaixo.

Antitransformada

)}({)( 1 sFLtf

Transformada

)}({)( tfLsF

Antitransformada

)}({)( 1 sFLtf

Transformada

)}({)( tfLsF

1)( tu

s

1 (degrau)

)sen( te at

22)(

as

ate

as

1

)cos( te at

22)(

as

as

)sen( t

22

s

atsenh

22 as

a

)cos( t

22 s

s

atcosh

22 as

s

t

2

1

s (rampa)

)(t

1 (impulso)

nt

1

!ns

n

t

dttf0

)( )(

1sF

s (integral)

atnet

1)(

! nas

n

)( totu

stoes

1




6


)(tf n

)0(...)0()( )1(1 nnn ffssFs

)(ctf

)(1

c

sF

c

cos(t + )

2222sencos

ss

s

sen(t + )

2222sencos

s

s

s

Aeat

cos (t + )

js

Ae

js

Ae jj

1

2

1

2

(senóide amortecida)

eat

f(t)

F(s - a)

(deslocamento em frequência)

Figura 2: Transformada de Laplace elementares

Funções tais como eat, cos t e tn e o produto destas pertencem a classe para a qual

0)(lim

st

t

etf . Nesse caso, a TL da função existe. Algumas funções tais como 2te , porém, não

possuem TL.

1.2 Propriedades de Laplace

Teorema da l inearidade: sejam f 1 e f2 duas funções que possuem transformada

para s > A1 e s > A2 . Então, a TL da soma de f 1 e f2 será:

tfAtfAtfAtfA 22112211 LLL

Ex: 1

5

4

38)

1

1(5)

4(3)

!2(4}{L5}2{cosL3}{L4}52cos34{L

2323

22

ss

s

sss

s

settett tt

Transformada de Laplace de derivadas : se f é contínua por partes para 0 t A,

então: )0()()}('{ fssFtfL . Se f’ e f ’ ’ satisfazem as mesmas condições, então:

)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL . Para funções de ordem superior, a fórmula geral é:

)0(...)0(')0()()}({ 121 nnnnn ffsfssFstfL . As transformadas de derivadas são úteis




7


ENG EQUIP JR ELETRON 2008 B R

62

Um Disk-driver magnético requer um motor para posicionar a cabeça de leitura do disco, cujo

sistema é modelado pela função onde τ = 0,25 segundo. Considerando um

compensador do tipo e usando a estrutura de realimentação mostrada na figura, qual

o valor do ganho K no limiar para a instabilidade?

(A) 5,6

(B) 8,2

(C) 38,4

(D) 384,0

(E) 820,0

A FT em malha fechada é: Ksss

K

sGsH

sGsH

sR

sC

10)8)(1(

10

)()(1

)()(

)(

)(

A equação característica para = 0,25:

S(s + 1)(s + 8) + 10K = 0 s3 + 8s2 + s2 + 8s + 10K = 0 s3 + 12s2 + 32s + 10K = 0

Aplicando Routh-Hurwitz:

010

012

1032*121012

321

0

1

2

3

Ks

Ks

ks

s

Da coluna s0: 10K > 0 K >0

Da coluna s1: (12*32: 10K)/320K > 0 K < 32*12/10 K < 38,4.

Alternativa C.




8


ENG JR ELETRON 2005

29

O gráfico mostrado na figura acima ilustra o diagrama do Lugar das Raízes de um sistema de 3ª

ordem, com três pólos, nenhum zero finito e com realimentação de saída. Com base nas

informações contidas no gráfico, o valor do ganho K ≥ 0 que posiciona os pólos de malha fechada

no limiar da instabilidade é:

(A) 40

(B) 64

(C) 120

(D) 160

(E) 240

Com base no gráfico, calcula-se as raízes: s(s + 2)(s + 8) s(s2 + 10s + 16) s3 + 10s + 16

aplica-se o critério de Routh:

1 16

10 k 16*10: k*1 > 0 k < 160.

Alternativa D.

ENG EQUIP JR ELETRON 2009

Considere a figura e os dados abaixo para responder às questões de nos 53.




9


A figura ilustra uma planta industrial controlada por meio de um compensador H(s). O modelo da

planta está representado na figura por sua função de transferência.

53

Se for utilizado um compensador estático, isto é, H(s) = K, com K > 0, então a planta

(A) não poderá ser estabilizada, tendo em vista que a função de transferência da planta apresenta

um par de polos no semiplano s direito.

(B) não poderá ser estabilizada, pois mesmo variando-se o ganho K do compensador, ainda

restarão polos de malha fechada no semiplano s direito.

(C) poderá ser estabilizada para qualquer valor de ganho K positivo.

(D) poderá ser estabilizada a partir de certo valor de ganho K positivo, tendo em vista que a função

de transferência de malha aberta possui grau relativo 1 e apresenta um zero no semieixo real

negativo do plano s.

(E) poderá ser estabilizada, tendo em vista que, a partir de certo valor de ganho K positivo, os

polos de malha fechada seguirão duas assintotas no semiplano s esquerdo.

A FT p/ H(s) = K é:

)813()62(

)4(2

)4(2136

)4(2

136

)4(21

136

)4(2

)(

)(22

2

2

KsKs

s

sKss

s

ss

sK

ss

s

sU

sY

Aplicando Routh-Hurwitz p/ o denominador (equação característica):

Para termos estabilidade: 2K: 6 > 0 K > 3 13 + 8K > 0 K > -13/8. Logo: K > 3.




10


Alternativa D.




11


BIBLIOGRAFIA

1) JOHNSON, Johnson Hilburn: Fundamentos de análise de circuitos elétricos: Ed. PHB, 1994.

2) Engenharia de Sistemas de Controle: Nise, Norman S.: 3ª edição




12


Apostila Eletricidade Básica: Direitos autorais: v. 2017

Autor

Sandro Arduino Engenheiro Eletricista

Currículo http://www.linkedin.com/pub/sandro-arduino/28/569/201

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