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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Introduccion al Calculo
Los numeros reales, axiomas de campo y orden, desigualdades
CNM-107
Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales
Universidad de Antioquia
Copyleft c 2008. Reproduccion permitida bajo los
terminos de la licencia de documentacion libre GNU.
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el numero de elementos de um conjunto finito.
N ={0, 1, 2, 3, . . .}
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el numero de elementos de um conjunto finito.
N ={0, 1, 2, 3, . . .}En N se definen las operaciones de adicion (+) y multiplicacion (),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
l A d A d d ld d
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Los numeros naturales
Los numeros naturales: Historicamente surgen ante la necesidad decontar o enumerar en las diversas civilizaciones. Informalmentehablando los numeros naturaless son aquellos que sirven para designar
el numero de elementos de um conjunto finito.
N ={0, 1, 2, 3, . . .}En N se definen las operaciones de adicion (+) y multiplicacion (),
estas operaciones poseen las siguientes propiedades:
L l A i d A i d d D i ld d
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale(x + y) + z=x + (y+ z);
(x y) z=x (y z).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale(x + y) + z=x + (y+ z);
(x y) z=x (y z).
3 Conmutatividad:Para cada x, yN valex + y=y + x;
x y=y x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale(x + y) + z=x + (y+ z);
(x y) z=x (y z).
3 Conmutatividad:Para cada x, yN valex + y=y + x;
x y=y x.
4 Modulativa:Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x N valex + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale(x + y) + z=x + (y+ z);
(x y) z=x (y z).
3 Conmutatividad:Para cada x, yN valex + y=y + x;
x y=y x.
4 Modulativa:Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x N valex + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.
5 Distributiva:Para cada x, y, z N valex (y+ z) =x y+ x z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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p g
1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zN valex = yw = z
o= x + w = y+ z
x w = y z
2 Asosiatividad: Para cada x, y, z N vale(x + y) + z=x + (y+ z);
(x y) z=x (y z).
3 Conmutatividad:Para cada x, yN valex + y=y + x;
x y=y x.
4 Modulativa:Existen elementos neutros, zero (0) y uno (1) tales que
para cada x N valex + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.
5 Distributiva:Para cada x, y, z N valex (y+ z) =x y+ x z.
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N Z
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ZEn Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ZEn Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ZEn Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
1 Inverso aditivo:Para cada xZ, existe un y Z tal quex+ y = y+ x = 0.
El elemento y para el cual x+ y = 0 se llama inverso aditivo de x.
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Los numeros enteros
Los numeros enteros: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros naturales.
Z ={. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
N ZEn Z estan definidas la adicion + y la multiplicacion
La adicion en Z cumple una nueva propiedad (no valida en N)
1 Inverso aditivo:Para cada xZ, existe un y Z tal quex+ y = y+ x = 0.
El elemento y para el cual x+ y = 0 se llama inverso aditivo de x.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolver
algunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z Q
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z QEn Q estan definidas +, y cumplen una nueva propiedad
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z QEn Q estan definidas +, y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x
Q, existe un unico y
Q tal que
x+ y = y+ x = 0.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z QEn Q estan definidas +, y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x
Q, existe un unico y
Q tal que
x+ y = y+ x = 0.
Si x= 0, existe un unico y Q tal quex y = y x= 1.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z QEn Q estan definidas +, y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x
Q, existe un unico y
Q tal que
x+ y = y+ x = 0.
Si x= 0, existe un unico y Q tal quex y = y x= 1.
Cuando x= 0, el numero racional y para el cual x y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x1 o por 1
x.
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Los numeros racionales
Los numeros racionales: Surgen ante la imposibilidad de resolveralgunas necesidades matematicas solo con los numeros enteros.
Q =nm
n :m Z, n Z, n= 0
o
Z QEn Q estan definidas +, y cumplen una nueva propiedad
1 Invertividad: Para cada x
Q, existe un unico y
Q tal que
x+ y = y+ x = 0.
Si x= 0, existe un unico y Q tal quex y = y x= 1.
Cuando x= 0, el numero racional y para el cual x y = 1, se llama elinverso mutiplicativo de x y se denota por x1 o por 1
x.
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Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometra dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q
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L i i l
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Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometra dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q
Ejemplos de numeros irracionales son
2, 2, 3, 3, ,
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
L i i l
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Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometra dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q
Ejemplos de numeros irracionales son
2, 2, 3, 3, ,
+, no son operaciones en Q
No necesariamente la suma o la multiplicacion de dos numeros irracionaleses de nuevo un numero irracional, por ejemplo
2 +
2 = 0,
2
2 = 2.
Pero 0, 2 no son numeros irracionales.
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L i i l
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Los numeros irracionales
Los numeros irracionales: Diversos problemas relacionados congeometra dieron surgimiento a nuevos numeros cuyas magnitudes son
inconmensurables, i.e., no admiten representacion racional. Se denotanpor
Q
Ejemplos de numeros irracionales son
2, 2, 3, 3, ,
+, no son operaciones en Q
No necesariamente la suma o la multiplicacion de dos numeros irracionaleses de nuevo un numero irracional, por ejemplo
2 +
2 = 0,
2
2 = 2.
Pero 0, 2 no son numeros irracionales.
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L s s al s
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Los numeros reales
Los de numeros reales:La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales , que se denota por R, o sea
R = Q Q.
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Los numeros reales
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Los numeros reales
Los de numeros reales:La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales , que se denota por R, o sea
R = Q Q.
Una representacion geometrica de R es la recta real
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Los numeros reales
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Los numeros reales
Los de numeros reales:La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales , que se denota por R, o sea
R = Q Q.
Una representacion geometrica de R es la recta real
R0 11 2 72
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Los numeros reales
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Los numeros reales
Los de numeros reales:La union del conjunto de los numerosracionales y el conjunto de los numeros irracionales forma el conjuntode los numeros reales , que se denota por R, o sea
R = Q Q.
Una representacion geometrica de R es la recta real
R0 11 2 72
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Axiomas de campo
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Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.
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Axiomas de campo
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Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R,
(x + y) + z=x + (y+ z);
(x
y)
z=x
(y
z).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
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Axiomas de campo
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R,
(x + y) + z=x + (y+ z);
(x
y)
z=x
(y
z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, yR,x + y=y + x;
x y=y x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
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p
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R,
(x + y) + z=x + (y+ z);
(x
y)
z=x
(y
z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, yR,x + y=y + x;
x y=y x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R,x + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.
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Axiomas de campo
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p
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R,
(x + y) + z=x + (y+ z);
(x
y)
z=x
(y
z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, yR,x + y=y + x;
x y=y x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R,x + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.El real 0 es llamado modulo o elemento neutro para la adicion. El
real 1 es llamado modulo o elemento neutro para la multiplicacion.
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Axiomas de campo
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p
AC1 Uniformidad: Para cada x, y, w, zR,x = y
w = zo=
x + w = y+ z
x w = y z.AC2 Asociatividad: Para cada x, y, z R,
(x + y) + z=x + (y+ z);
(x
y)
z=x
(y
z).
AC3 Conmutatividad: Para cada x, yR,x + y=y + x;
x y=y x.
AC4 Modulativa: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para x R,x + 0 =x = 0 + x;
x 1 =x = 1 x.El real 0 es llamado modulo o elemento neutro para la adicion. El
real 1 es llamado modulo o elemento neutro para la multiplicacion.
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Axiomas de campo
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AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado porx, tal que
x + (x) = 0.
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Axiomas de campo
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AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado porx, tal que
x + (x) = 0.Para cada numero real x
= 0, existe un unico numero real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1x , tal que
x x1 =x 1x
= 1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Axiomas de campo
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AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado porx, tal que
x + (x) = 0.Para cada numero real x
= 0, existe un unico numero real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1x , tal que
x x1 =x 1x
= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z
R,
x (y+ z) =x y+ x z.
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Axiomas de campo
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AC5 Invertividad: Para cada x R, existe un unico numero real llamadoel inverso aditivo u opuesto de x y denotado porx, tal que
x + (x) = 0.Para cada numero real x
= 0, existe un unico numero real llamado el
inverso multiplicativo de x y denotado por x1 o 1x , tal que
x x1 =x 1x
= 1.
AC6 Distributiva: Para cada x, y, z
R,
x (y+ z) =x y+ x z.
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Diferencia y Division
Empleando la propiedad de invertividad P C5, se definen las operaciones deresta y divisionde numeros reales, en efecto para cada x, yR,
x y=x + (y);Si y= 0,
x
y =x 1
y =x y1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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Ley cancelativa de la adicion:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
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Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(x) + x + y = (x) + x + z (AC1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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51/108
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(x) + x + y = (x) + x + z (AC1)(x + x) + y = (x + x) + z (AC2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(x) + x + y = (x) + x + z (AC1)(x + x) + y = (x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
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8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
53/108
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(x) + x + y = (x) + x + z (AC1)(x + x) + y = (x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
54/108
Ley cancelativa de la adicion:
Para cada x, y, zR,x + y=x + z=y=z.
Demostracion:
x + y = x + z Hipotesis(x) + x + y = (x) + x + z (AC1)(x + x) + y = (x + x) + z (AC2)
0 + y = 0 + z (AC5)y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
55/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
56/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
57/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
58/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis(x1) (x y) = (x1) (x z) (AC1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
59/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis(x1) (x y) = (x1) (x z) (AC1)
(x1 x) y = (x1 x) z (AC2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
60/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis(x1) (x y) = (x1) (x z) (AC1)
(x1 x) y = (x1 x) z (AC2)1 y = 1 z (AC5)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
61/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis(x1) (x y) = (x1) (x z) (AC1)
(x1 x) y = (x1 x) z (AC2)1 y = 1 z (AC5)
y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
62/108
Ley cancelativa de la multiplicacion:
Para cada x, y, zR,(x= 0 x y=x z) =y =z .
Demostracion:
x= 0 x y = x z Hipotesis(x1) (x y) = (x1) (x z) (AC1)
(x1 x) y = (x1 x) z (AC2)1 y = 1 z (AC5)
y = z (AC4)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
63/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
64/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
65/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x
y= 0 =
x = 0
y = 0.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
M i d l i d
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
66/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x
y= 0 =
x = 0
y = 0.
x= 0 =x1 = 0.
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
67/108
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
M i d l i d
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
68/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x
y= 0 =
x = 0
y = 0.
x= 0 =x1 = 0.
(x) =x.
x= 0 =(x1)1 =x.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
69/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x
y= 0 =
x = 0
y = 0.
x= 0 =x1 = 0.
(x) =x.
x= 0 =(x1)1 =x.
(x + y) = (x) + (y).
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
70/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x y= 0 =x = 0 y = 0.
x= 0 =x1 = 0.
(x) =x.
x= 0 =(x1)1 =x.
(x + y) = (x) + (y).
x= 0 y= 0 =(x y)1 =x1 y1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
71/108
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, yRx 0 = 0.
1= 0.
x y= 0 =x = 0 y = 0.
x= 0 =x1 = 0.
(x) =x.
x= 0 =(x1)1 =x.
(x + y) = (x) + (y).
x= 0 y= 0 =(x y)1 =x1 y1.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
72/108
, y, , , y ,
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
73/108
, y, , , y ,
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
x
y z
w =
x zy w
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
74/108
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
x
y z
w =
x zy w
x= (1) x
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
75/108
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
x
y z
w =
x zy w
x= (1) x
(x) (y) =x y
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
76/108
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
x
y z
w =
x zy w
x= (1) x
(x) (y) =x y
(x y) = (x) y=x (y)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas consecuencias de los axiomas de campo
Para cada x, y, z, w R, y= 0, w= 0
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
77/108
x
y +
z
w =
x
w+ y
z
y w
x
y z
w =
x zy w
x= (1) x
(x) (y) =x y
(x y) = (x) y=x (y)
xy
=x
y =
x
y
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
78/108
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
79/108
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ deR tal que
1 Para cadax, yR+, se tiene quex + yR+; x y R+.
2 Para cadax R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x R+; x= 0;x R+.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
80/108
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ deR tal que
1 Para cadax, yR+, se tiene quex + yR+; x y R+.
2 Para cadax R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x R+; x= 0;x R+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numeros
reales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R.
R = R R+ {0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Reales positivos
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
81/108
Axioma (PO1)
Existe un subconjunto R+ deR tal que
1 Para cadax, yR+, se tiene quex + yR+; x y R+.
2 Para cadax R, se cumple una y solamente una de las siguientesproposiciones
x R+; x= 0;x R+.
Los elementos del conjunto R+ se llaman reales positivos. Los numeros
reales diferentes del cero que no son numeros reales positivos, son llamadosreales negativos, y se denotan por R.
R = R R+ {0}.
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
82/108
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
83/108
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
84/108
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (P O1) se tiene
0 / R+ 0 / R x R x R+ (1)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
85/108
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (P O1) se tiene
0 / R+ 0 / R x R x R+ (1)
ReescribiendoP O1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo numero real es positivo, es el cero o es negativo.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
86/108
Observacion
Como consecuencia de la notacion y del axioma (P O1) se tiene
0 / R+ 0 / R x R x R+ (1)
ReescribiendoP O1
a) La suma y producto de reales positivos es de nuevo un real positivo,
b) Todo numero real es positivo, es el cero o es negativo.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
87/108
Definicion (Desigualdad)
Six, y son numeros reales. x < y se leex es menor que y, se define como
x < yy x R+. (2)
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
88/108
Definicion (Desigualdad)
Six, y son numeros reales. x < y se leex es menor que y, se define como
x < yy x R+. (2)
Observacion
Si en(2) x= 0, se tiene
0< yy 0 =yR+.Luego
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
89/108
Definicion (Desigualdad)
Six, y son numeros reales. x < y se leex es menor que y, se define como
x < yy x R+. (2)
Observacion
Si en(2) x= 0, se tiene
0< yy 0 =yR+.Luego
R+ ={x R: x >0}.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
90/108
Definicion (Desigualdad)
Six, y son numeros reales. x < y se leex es menor que y, se define como
x < yy x R+. (2)
Observacion
Si en(2) x= 0, se tiene
0< yy 0 =yR+.Luego
R+ ={x R: x >0}.
Analogamente si en(2) y = 0 usando(1) se tiene
R ={x R :x
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
91/108
Definicion (Desigualdad)
Six, y son numeros reales. x < y se leex es menor que y, se define como
x < yy x R+. (2)
Observacion
Si en(2) x= 0, se tiene
0< yy 0 =yR+.Luego
R+ ={x R: x >0}.
Analogamente si en(2) y = 0 usando(1) se tiene
R ={x R :x
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
92/108
x > y se lee como x es mayor que y
x > yx y R+
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Mas desigualdades
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
93/108
x > y se lee como x es mayor que y
x > yx y R+
xy se lee como x es menor o igual que y
xyy xR+ x= y
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
94/108
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
95/108
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
96/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
97/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el numerox y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
98/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el numerox y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x yR+; x y= 0; x y R;
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
99/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el numerox y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x yR+; x y= 0; x y R;o de forma equivalente,
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
100/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el numerox y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x yR+; x y= 0; x y R;o de forma equivalente,
x < y; x= y ; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
101/108
Teorema (Ley de tricotoma)
Six, y R, entonces se cumple una y solamente una de las siguientesafirmaciones
x < y; x= y ; x > y.
Demostracion: Como consecuencia del Axioma (P O1) para el numerox y, se tiene una de las siguientes afirmaciones
x yR+; x y= 0; x y R;o de forma equivalente,
x < y; x= y ; x > y.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
102/108
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cadax, y, z R.(x < y y < z) =x < z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
103/108
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cadax, y, z R.(x < y y < z) =x < z.
Monotona de la suma: Para cadax, y,z
R.
x < yx + z < y+ z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
104/108
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cadax, y, z R.(x < y y < z) =x < z.
Monotona de la suma: Para cadax, y,z
R.
x < yx + z < y+ z.
Monotona de la multiplicacion: Para cadax, y, z R.
z >0 x < yx z < y z.z y z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Consecuencias de los axiomas de orden
Teorema (Propiedades adicionales)
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
105/108
Teorema (Propiedades adicionales)
Transitividad: Para cadax, y, z R.(x < y y < z) =x < z.
Monotona de la suma: Para cadax, y,z
R.
x < yx + z < y+ z.
Monotona de la multiplicacion: Para cadax, y, z R.
z >0 x < yx z < y z.z y z.
Los numeros reales Axiomas de campo Axiomas de orden Desigualdades
Propiedades adicionales
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
106/108
Ley de los signos
Para x, y R.x 0 y
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
107/108
Ley de los signos
Para x, y R.x 0 y
-
8/10/2019 Apoyo de Axiomas de Los Numeros Reales
108/108
Ley de los signos
Para x, y R.x 0 y
