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1C A P T U L O
Vetores
Sem dvida voc j se deparou com a notao de vetores em seus
estudos de clculo, assim como na fsica e na engenharia. Para a
maioria de vocs, ento, este captulo uma reviso de tpicos
familiares, como os produtos escalar e vetorial. Entretanto, na Seo
1.6, consideraremos uma abstrao do conceito de vetores.
Descrio do captulo
1.1 Vetores em duas dimenses
1.2 Vetores em trs dimenses
1.3 Produto escalar
1.4 Produto vetorial
1.5 Retas e planos em trs dimenses
1.6 Espaos vetoriais
1.7 Processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt
Exerccios de reviso
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20 CAPTULO 1 Vetores
1.1 Vetores em duas dimenses
Introduo Em cincias, na matemtica e na engenharia, distinguimos
duas quantidades importantes: escalares e vetores. Um escalar
simplesmente uma quan-tidade ou um nmero real que tem magnitude.
Por exemplo, comprimento, tempe-ratura e presso sangnea so
representados por nmeros tais como 80 m, 20oC e a razo
sistlica/diastlica 120/80. Um vetor, por outro lado, usualmente
descrito como uma quantidade que tem tanto magnitude como
direo.
Vetores geomtricos Geometricamente, um vetor pode ser
representado por um segmento de reta direcionado isto , por uma
seta sendo denotado por um smbolo em negrito ou um smbolo com uma
seta sobre ele, por exemplo, v, ou . Exem-plos de quantidades
vetoriais mostradas na Figura 1.1 so o peso w, a velocidade v e a
fora de atrito Ff.
(b)
v
(c)(a)
w w
Ff
Figura 1.1 Exemplos de quantidades vetoriais.
Notao e terminologia Um vetor cujo ponto inicial (ou
extremidade) for A e cujo ponto terminal (ou ponta) for B escrito
como . A magnitude do vetor
. Dois vetores com a mesma magnitude e a mesma direo so ditos
ser iguais. Portanto, na Figura 1.2, temos . Vetores so livres, o
que significa que um vetor pode ser movido de uma posio para a
outra desde que sua magnitude e dire-o no sejam modificadas. O
negativo de um vetor , escrito , um vetor que tem a mesma magnitude
que , porm tem direo oposta. Se k 0 for um escalar, o mltiplo
escalar de um vetor, k , um vetor |k| vezes maior que . Se k 0,
ento k tem a mesma direo que o vetor ; se k 0, ento k tem a direo
oposta de . Quando k 0, dizemos 0 0, que o vetor zero.* Dois
vetores so paralelos se e somente se eles forem mltiplos escalares
no-nulos um do outro. Veja a Figura 1.3.
Adio e subtrao Dois vetores podem ser considerados como tendo um
ponto inicial comum, como A na Figura 1.4(a). Dessa forma, se os
vetores no-paralelos e forem os lados de um paralelogramo como
indica a Figura 1.4(b), dizemos que o vetor que a diagonal
principal, ou , a soma de e . Escrevemos
A diferena entre dois vetores e definida como
* A questo sobre qual a direo de 0 usualmente respondida dizendo
que o vetor zero pode assu-mir qualquer direo. Mais objetivamente,
0 necessrio para que haja a lgebra vetorial.
B D
CD
AB
A C
|CD| = 3|AB| = 3
Figura 1.2 Os vetores so iguais.
AB 3
2AB 1
4 AB
AB
Figura 1.3 Vetores paralelos.
A
AB
C
B
(a)
A
AB
C
B
(b)
D
AD = AB + AC
AC
AC
Figura 1.4 Vetor a soma de e .
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1.1 Vetores em Duas Dimenses 21
Como pode ser visto na Figura 1.5(a), a diferena pode ser
interpreta-da como a diagonal principal do paralelogramo com lados
e . Entretanto, como ilustrado na Figura 1.5(b), podemos tambm
interpretar a mesma diferena vetorial como o terceiro lado de um
tringulo com lados e . Nessa segunda interpretao, observe que a
diferena vetorial aponta em direo ao ponto terminal do vetor a
partir do qual estamos subtraindo o segundo vetor. Se
, ento
Vetores em um plano coordenado Para descrever um vetor
analiticamente, va-mos supor para o restante dessa seo que os
vetores que estamos considerando se estendem em um plano coordenado
de duas dimenses ou bidimensional. Represen-taremos o conjunto de
todos os vetores no plano por R2. O vetor indicado na Figura 1.6,
com ponto inicial a origem O e ponto terminal P(x1,y1), denominado
vetor posio do ponto P, sendo escrito
Componentes Em geral, um vetor a em R2 qualquer par ordenado de
nmeros reais,
Os nmeros a1 e a2 so ditos ser as componentes do vetor
a.Conforme veremos no primeiro exemplo, o vetor a no
necessariamente um
vetor posio.
Exemplo 1 Vetor posioO deslocamento entre o ponto (x,y) e (x 4,
y 3) na Figura 1.7(a) escrito 4,3. Como se v na Figura 1.7(b), o
vetor posio de 4,3 o vetor que provm da origem e termina no ponto
P(4,3).
A adio e subtrao de vetores, multiplicao de vetores por
escalares, e assim por diante, so definidas em termos de suas
componentes.
Adio, multiplicao escalar e igualdade
Considere a a1,a2 e b b1,b2 vetores em R2. (i) Adio: a b a1 b1,
a2 b2 (1) (ii) Multiplicao escalar: ka ka1, ka2 (2) (iii)
Igualdade: a b se e somente se a1 b1, a2 b2 (3)
D E F I N I O 1 . 1
Subtrao Utilizando (2), definimos o negativo de um vetor b
como
Podemos definir a subtrao, ou a diferena, de dois vetores
como
(4)
(a)
B
AC
AB
A
B
C
(b)
CB = AB AC
AC
ACAC
AB + ( AC)
Figura 1.5 Vetor a diferena de e .
y
x
OP
O
P(x1, y1)
Figura 1.6 Vetor posio.
y
x
a
(a)y
x
a
O(b)
P(4, 3)
(x, y)
(x + 4, y + 3)
Figura 1.7 Vetores em (a) e (b) so iguais.
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22 CAPTULO 1 Vetores
Na Figura 1.8(a), mostramos a soma de dois vetores e . Na Figura
1.8(b), o vetor , com ponto inicial P1 e ponto terminal P2, a
diferena dos vetores posio
Conforme ilustrado na Figura 1.8(b), o vetor pode ser desenhado
comeando do ponto terminal de e terminando no ponto terminal de ,
ou como o vetor posi-o cujas coordenadas do ponto terminal (x2 x1,
y2 y1). Relembre, e so considerados iguais, pois eles tm a mesma
magnitude e a mesma direo.
Exemplo 2 Adio e subtrao de dois vetoresSe a 1,4 e b 6,3,
calcule a b, a b e 2a 3b.
Soluo Utilizamos (1), (2) e (4).
Propriedades A definio de componente de um vetor pode ser
utilizada para verificar cada uma das seguintes propriedades dos
vetores em R2.
Propriedades dos vetores
(i) a b b a (Lei comutativa) (ii) a (b c) (a b) c (Lei
associativa) (iii) a 0 a (Identidade aditiva) (iv) a (a) 0 (Inverso
aditiva) (v) k(a b) ka kb, k um escalar (vi) (k1 k2)a k1a k2a, k1 e
k2 escalares (vii) k1(k2a) (k1k2)a, k1 e k2 escalares (viii) 1a a
(ix) 0a 0 (Vetor zero)O vetor zero 0 nas propriedades (iii), (iv) e
(ix) definido como
Magnitude A magnitude, comprimento ou norma de um vetor a
representada por ||a||. Motivados pelo Teorema de Pitgoras e pela
Figura 1.9, definimos a magni-tude de um vetor
como sendo
Evidentemente, ||a|| 0 para qualquer vetor a, e ||a|| 0 se e
somente se a 0. Por exemplo, se a 6,2, ento
Vetores unitrios Um vetor que tem magnitude 1 denominado vetor
unitrio. Po-demos obter um vetor unitrio u na mesma direo de um
vetor no-nulo a multiplicando a pelo recproco da sua magnitude. O
vetor u (1/||a||)a um vetor unitrio, pois
y
xO
y
xO
OP
(a)
(b)
P(x1 + x2, y1 + y2)
P1(x1, y1)
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
P2(x2, y2)
OP1
OP1
OP2
OP2
OP1 + OP2
P(x2 x1, y2 y1)P1P2
Figura 1.8 Em (b), e so o mesmo vetor.
x
y
aa2
a1
Figura 1.9 Um tringulo reto.
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1.1 Vetores em Duas Dimenses 23
Exemplo 3 Vetores unitrios
Dado a 2,1, forme um vetor unitrio na mesma direo de a e um
vetor unitrio na direo oposta de a.
Soluo A magnitude do vetor a . Logo, um vetor unitrio na mesma
direo de a o mltiplo escalar
Um vetor unitrio na direo oposta de a o negativo de u:
Se a e b forem vetores e c1 e c2 forem escalares, ento a
expresso c1a c2b de-nominada combinao linear de a e b. Conforme ser
visto a seguir, qualquer vetor em R2 pode ser escrito como uma
combinao linear de dois vetores especiais.
Os vetores i e j Sob o ponto de vista de (1) e (2), qualquer
vetor a a1,a2, pode ser escrito como uma soma:
(5)Aos vetores unitrios 1,0 e 0,1 so dados usualmente os smbolos
i e j. Veja a Figura 1.10(a). Assim, se
ento (5) se torna (6)Os vetores unitrios i e j so ditos formar
uma base para o sistema de vetores de duas dimenses, pois qualquer
vetor a pode ser escrito unicamente como uma combinao linear de i e
j. Se a a1i a2j for um vetor posio, ento a Figura 1.10(b) mostra
que a a soma dos vetores a1i e a2j, que tm a origem como um ponto
inicial comum e que se estendem nos eixos x e y, respectivamente. O
escalar a1 chamado de componente horizontal de a, e o escalar a2
chamado de com-ponente vertical de a.
Exemplo 4 Operaes vetoriais utilizando i e j
(a) 4,7 4i 7j(b) (2i 5j) (8i 13j) 10i 8j(c) ||i j|| (d) 10(3i j)
30i 10j(e) a 6i 4j e b 9i 6j so paralelos, pois b um mltiplo
escalar de a. Vemos
que .
Exemplo 5 Grficos de soma vetorial / diferena vetorial
Considere a 4i 2j e b 2i 5j. Faa o grfico de a b e a b.
x
y
a
(b)
y
x
(a)
j
i
a1j
a1i
Figura 1.10 i e j formam uma base para R2.
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24 CAPTULO 1 Vetores
Soluo Os grficos de a b 2i 7j e a b 6i 3j esto indicados nas
Figuras 1.11(a) e 1.11(b), respectivamente.
y
ax
b
(a)
y
a
x
b
(b)
a + ba b
a b
Figura 1.11 Soma a b em (a); diferena a b em (b).
EXERCCIOS 1.1 As respostas de problemas mpares selecionados esto
na pgina 285.
Nos Problemas 1-8, calcule (a) 3a, (b) a b, (c) a b, (d) || a
b|| e (e) || ab||. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Nos Problemas 9-14, calcule (a) 4a 2b e (b) 3a 5b. 9.
10. 11.
12. 13.
14.
Nos Problemas 15-18, obtenha os vetores . Faa o grfico de e do
seu vetor posio correspondente.
15. 16.
17. 18.
19. Obtenha o ponto terminal do vetor 4i 8j conside-rando que o
seu ponto inicial seja (3,10).
20. Obtenha o ponto terminal do vetor 5,1 consi-derando que o
seu ponto inicial seja 4,7.
21. Determine quais dos seguintes vetores so paralelos a a 4i
6j.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
22. Determine um escalar c de modo que a 3i cj e b i 9j sejam
paralelos.
Nos Problemas 23 e 24, calcule a (b c) para os vetores
indicados. 23.
24.
Nos Problemas 25-28, obtenha um vetor unitrio (a) na mesma direo
de a, e (b) na direo oposta de a. 25. 26.
27. 28.
Nos Problemas 29 e 30, a 2,8 e b 3,4. Obtenha um vetor unitrio
na mesma direo dos vetores indicados. 29. 30.
Nos Problemas 31 e 32, determine um vetor b que seja paralelo ao
vetor especificado e tenha a magnitude indicada. 31. 32.
33. Determine um vetor na direo oposta de a 4,10, porm
maior.
34. Considerando a 1,1 e b 1,0, determine um vetor na mesma
direo de a b, porm 5 vezes maior.
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1.1 Vetores em Duas Dimenses 25
Nos Problemas 35 e 36, utilize a figura dada para ilustrar o
vetor indicado 35. 36.
a
b
Figura 1.12 Vetores para o Problema 35.
a c
b
Figura 1.13 Vetores para o Problema 36.
Nos Problemas 37 e 38, expresse o vetor x em termos dos vetores
a e b. 37. 38.
a
b
x
Figura 1.14 Vetor x no Problema 37.
x
b
a
ponto mdio de x
Figura 1.15 Vetor x no Pro-blema 38.
Nos Problemas 39 e 40, utilize a figura dada para demonstrar o
resultado indicado. 39. a b c 0 40. a b c d 0
a
c b
Figura 1.16 Vetores para o Problema 39.
a
b
c
d
Figura 1.17 Vetores para o Problema 40.
Nos Problemas 41 e 42, expresse o vetor a 2i 3j como uma
combinao linear dos vetores b e c indicados. 41.
42.
Um vetor dito ser tangente a uma curva em um ponto se ele for
paralelo reta tangente no ponto. Nos Problemas 43 e 44, atribua um
vetor tangente unitrio curva dada no ponto indicado. 43. 44.
45. Enquanto caminha, o p de uma pessoa atinge o solo com uma
fora F em um ngulo em relao vertical. Na Figura 1.18, o vetor F est
dividido em componentes ve-toriais Fg, paralela ao solo, e Fn,
perpendicular ao solo. Para que o p no deslize, a fora Fg tem que
ser contra-balanada pela fora de oposio Ff do atrito, ou seja, Ff
Fg.
(a) Use o fato que ||Ff || ||Fn||, onde o coeficiente de atrito,
para mostrar que tg . O p no deslizar para ngulos menores ou iguais
a .
(b) Dado que 0,6 para um salto de borracha em con-tato com uma
calada de asfalto, obtenha o ngulo de no-deslizamento.
F
Ff Fg
Fn
Figura 1.18 Vetor F no Problema 45.
46. Um semforo de 600 N sustentado por dois cabos est em
equilbrio. Conforme ilustrado na Figura 1.19(b), seja o peso do
semforo representado por w e as foras nos dois cabos indicadas por
F1 e F2. A partir da Figura 1.19(c), temos que uma condio de
equilbrio
(6)Veja o Problema 39. Se
use (7) para determinar as magnitudes de F1 e F2. [Sugesto:
Releia (iii) da Definio 1.1.]
(a)
w
O
(b)
w
(c)
15 20
F1
F1
F2
F2
Figura 1.19 Trs vetores foras no Problema 46.
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26 CAPTULO 1 Vetores
47. Uma carga eltrica Q est uniformemente distribuda ao longo do
eixo y entre y a e y a.Veja a Figura 1.20. A fora total exercida
sobre a carga q no eixo x pela carga Q F Fxi Fyj, onde
e
Determine F.
x
yQ
a
L q
a
Figura 1.20 Carga no eixo x no Problema 47.
48. Utilizando vetores, mostre que as diagonais de um
paralelo-gramo dividem umas s outras ao meio. [Sugesto: Seja M o
ponto mdio de uma diagonal e N o ponto mdio da outra.]
49. Utilizando vetores, mostre que o segmento de reta entre os
pontos mdios de dois lados de um tringulo paralelo ao terceiro lado
e tem a metade do comprimento.
50. Um avio comea o vo a partir de um aeroporto localizado na
origem O e voa 150 km na direo 20o do norte a leste para a cidade
A. A partir de A, o avio ento voa 200 km na direo 23o oeste a norte
para a cidade B. A partir de B, o avio voa 240 km na direo 10o sul
a oeste para a cidade C. Expresse a localizao da cidade C como um
vetor r con-forme indicado na Figura 1.21. Determine a distncia de
O para C.
y
B
A
xO
r
C
O
N
L
S
23
10
20
Figura 1.21 Avio no Problema 50.
1.2 Vetores em trs dimenses
Introduo No plano, ou espao de duas dimenses, uma forma de se
descrever a posio de um ponto P designar a ele coordenadas
relativas a dois eixos mutu-amente ortogonais ou perpendiculares,
eixos denominados x e y. Se P for o ponto de interseo da reta x a
(perpendicular ao eixo x) e da reta y b (perpendicular ao eixo y),
ento o par ordenado (a, b) dito ser as coordenadas retangulares ou
cartesianas do ponto. Veja a Figura 1.22. Nessa seo, estenderemos
as noes de coordenadas cartesianas e vetores para trs dimenses.
Sistema de coordenadas retangulares em trs dimenses Em trs
dimenses ou 3D, um sistema de coordenadas retangulares construdo
utilizando-se trs eixos mu-tuamente ortogonais. O ponto no qual
esses eixos se cruzam chamado de origem O. Esses eixos,
apresentados na Figura 1.23(a), so rotulados de acordo com a
chamada
y
xO
x = a
y = b P(a, b)
Figura 1.22 Coordenadas retangulares em duas dimenses.
y
x
z
planox = a
planoy = b
b
ac
(b)
planoz = c
y
z
x
O
(a) mo direita
P(a, b, c)
Figura 1.23 Coordenadas retangulares em trs dimenses.
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1.2 Vetores em Trs Dimenses 27
regra da mo direita: se os dedos da mo direita, apontando na
direo do eixo |x| positivo, forem curvados em direo ao eixo y
positivo, ento o dedo polegar apontar na direo de um novo eixo
perpendicular ao plano dos eixos x e y. Esse novo eixo rotulado
como eixo z. As linhas tracejadas na Figura 1.23(a) representam os
eixos negativos. Agora, se
forem planos perpendiculares aos eixos a, y e z,
respectivamente, ento o ponto P no qual esses planos se cruzam
podem ser representados por um triplo ordenado de nmeros (a, b, c)
que so as coordenadas retangulares ou cartesianas do ponto. Os
nmeros a, b e c so, respectivamente, as coordenadas x, y e z de
P(a, b, c). Veja a Figura 1.23(b).
Octantes Cada par de eixos coordenados determina um plano
coordenado. Conforme indicado na Figura 1.24, os eixos x e y
determinam o plano xy, os eixos z e z determinam o plano xz, e
assim por diante. Os planos coordenados dividem as trs dimenses em
oito partes conhecidas como octantes. O octante no qual todas as
trs coordenadas de um ponto so positivas denominado primeiro
octante. No existe nenhuma conveno para nomear os outros sete
octantes.
A tabela a seguir resume as coordenadas de um ponto em um eixo
coordenado ou em um plano coordenado. Como pode ser visto na
tabela, podemos tambm descre-ver, por exemplo, o plano xy pela
equao simples z 0. De modo similar, o plano xz y 0 e o plano yz x
0.
Eixos Coordenadas Plano Coordenadas
x (a, 0, 0) xy (a, b, 0)y (0, b, 0) xz (a, 0, c)z (0, 0, c) yz
(0, b, c)
Exemplo 1 Grficos de trs pontosTrace o grfico dos pontos (4, 5,
6), (3,3,1) e (2,2, 0).
Soluo Dos trs pontos apresentados na Figura 1.25, somente (4, 5,
6) est no primeiro octante. O ponto (2,2, 0) est no plano xy.
Frmula da distncia Para obter a distncia entre dois pontos
P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) em trs dimenses, consideraremos
primeiro suas projees no plano xy. Confor-me visto na Figura 1.26,
a distncia entre (x1, y1, 0) e (x2, y2, 0) decorre da frmula da
dis-tncia usual no plano, sendo . Se as coordenadas de P3 forem
(x2, y2, z1), ento o Teorema de Pitgoras aplicado ao tringulo reto
P1P2P3 resulta em
ou (1)
Exemplo 2 Distncia entre dois pontosDetermine a distncia entre
(2,3, 6) e (1,7, 4).
Soluo Escolhendo P2 como sendo (2,3, 6) e P1 como (1,7, 4), a
frmula (1) nos d
Frmula do ponto mdio A frmula para obteno do ponto mdio de um
seg-mento de reta entre dois pontos em duas dimenses se aplica de
modo anlogo s
z
x
y
plano xz
plano xy
plano yz
Figura 1.24 Octantes.
y
z
x
(2, 2, 0)
(4, 5, 6)
(3, 3, 1)
Figura 1.25 Pontos no Exemplo 1.
z
x
d
y
|z2 z1|P1
P2
P3
(x2 x1)2 + (y2 y1)2
Figura 1.26 Distncia d entre dois pontos em trs dimenses.
-
28 CAPTULO 1 Vetores
trs dimenses. Se P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) forem dois
pontos distintos, ento as coordenadas do ponto mdio do segmento de
reta entre eles so
(2)
Exemplo 3 Coordenadas de um ponto mdioDetermine as coordenadas
do ponto mdio de um segmento de reta entre os dois pontos no
Exemplo 2.
Soluo A partir de (2), obtemos
Vetores em trs dimenses Um vetor em trs dimenses em qualquer
triplo ordenado de nmeros reais
onde a1, a2 e a3 so as componentes do vetor. O conjunto de todos
os vetores em trs dimenses ser representado pelo smbolo R3. O vetor
posio de um ponto P(x1, y1, z1) no espao o vetor x1, y1, z1 cujo
ponto inicial a origem O e cujo ponto terminal P. Veja a Figura
1.27.
As definies das componentes de adio, subtrao, multiplicao
escalar e as-sim por diante so generalizaes naturais daquelas dadas
para os vetores em R2.
Definies das componentes em trs dimenses
Sejam a a1, a2, a3 e b b1, b2, b3 vetores em R3. (i) Adio: a b
a1 b1, a2 b2, a3 b3 (ii) Multiplicao escalar: ka ka1, ka2, ka3
(iii) Igualdade: a b se e somente se a1 b1, a2 b2, a3 b3 (iv)
Negativo:b (1)b b1,b2,b3 (v) Subtrao: a b a (b) a1b1, a2b2, a3b3
(vi) Vetor zero: 0 0, 0, 0 (vii) Magnitude:
D E F I N I O 1 . 2
Se e forem os vetores posio dos pontos P1(x1, y1, z1) e P2(x2,
y2, z2), ento o vetor dado por
(2)Como em duas dimenses, podem ser traados como um vetor cujo
ponto inicial P1 e cujo ponto terminal P2, ou como um vetor posio
com ponto terminal
Veja a Figura 1.28.
Exemplo 4 Vetor entre dois pontosDetermine o vetor considerando
que os pontos P1 e P2 so dados por P1(4, 6,2) e P2(1, 8, 3).
x
z
y
OP
O
P(x1, y1, z1)
Figura 1.27 Vetor posio.
x
y
P
OPO
z
OP2OP1
P1(x1, y1, z1)P1P2
P2(x2, y2, z2)
Figura 1.28 e so o mesmo vetor.
-
1.2 Vetores em Trs Dimenses 29
Soluo Se os vetores posio dos pontos so 4, 6,2 e 1, 8, 3, ento a
partir de (3) temos
Exemplo 5 Magnitude de um vetorA partir do item (vii) da Definio
1.2, temos que um vetor unitrio, pois
Os vetores i, j, k Vimos na seo anterior que os vetores unitrios
i 1, 0 e j 0, 1 so uma base para o sistema de vetores de duas
dimenses em que qualquer vetor a em duas dimenses pode ser escrito
como uma combinao linear de i e j: a a1i a2j. Uma base para o
sistema de vetores de trs dimenses dada pelo conjunto de vetores
unitrios
Qualquer vetor a a1, a2, a3 em trs dimenses pode ser escrito
como uma combi-nao linear de i, j e k:
isto , Os vetores i, j e k so ilustrados na Figura 1.29(a). Na
Figura 1.29(b), vemos que um vetor posio a a1i a2j a3k a soma dos
vetores a1i, a2j e a3k que se estendem ao longo dos eixos
coordenados e tm a origem como um ponto inicial comum.
Exemplo 6 Vetor expressado em termos de i, j e kO vetor a 7,5,
13 o mesmo que a 7i 5j 13k.
Quando a terceira dimenso considerada, qualquer vetor no plano
xy des-crito equivalentemente como um vetor tridimensional que se
estende no plano coordenado z 0. Apesar dos vetores a1, a2 e a1,
a2, 0 serem tecnicamente diferentes, ignoraremos a distino. Por
isso, por exemplo, indicaremos 1, 0 e 1, 0, 0 pelo mesmo smbolo i.
Porm, para evitar qualquer confuso possvel, daqui em diante sempre
consideraremos um vetor como um vetor tridimensional, e os smbolos
i e j representaro somente 1, 0, 0 e 0, 1, 0, respectivamente. De
modo similar, um vetor no plano xy ou no plano xz tem que ter uma
componente zero. No plano yz, um vetor
No plano xz, um vetor
Exemplo 7 Vetor no plano xz
(a) O vetor a 5i 3k est no plano coordenado xz.(b)
x
y
(b)
a
z
k
ij
(a)x
z
y
a3k
a2ja1i
Figura 1.29 i, j e k formam uma base para R3.
-
30 CAPTULO 1 Vetores
Exemplo 8 Combinao linearSe a 3i 4j 8k e b i 4k, obtenha 5a
2b.
Soluo Tratamos b como um vetor tridimensional e escrevemos, para
enfatizar, b i 0j 4k. De
obtemos
Nos Problemas 1-6, faa o grfico do ponto indicado. Use os mesmos
eixos coordenados. 1. 2.
3. 4.
5. 6.
Nos Problemas 7-10, descreva geometricamente todos os pontos
P(x, y, z) que satisfazem a condio indicada. 7. 8.
9. 10.
11. Determine as coordenadas dos vrtices do paraleleppedo
retangular cujos lados so os planos coordenados e os pla-nos x 2, y
5, z 8.
12. Na Figura 1.30, dois vrtices de um paraleleppedo retangu-lar
com lados paralelos aos planos coordenados esto indica-dos.
Determine as coordenadas dos seis vrtices restantes.
y
x
z (1, 6, 7)
(3, 3, 4)
Figura 1.30 Paraleleppedo retangular no Problema 12.
13. Considere o ponto P(2, 5, 4).(a) Se retas forem traadas a
partir de P perpendiculares
aos planos coordenados, quais so as coordenadas do ponto na base
de cada reta perpendicular?
(b) Se uma reta for traada a partir de P para o plano z 2, quais
so as coordenadas do ponto na base da reta perpendicular?
(c) Obtenha o ponto no plano x 3 que est mais prximo de P.
14. Determine uma equao de um plano paralelo a um plano
coordenado que contenha os pares de pontos indicados.
(a) (b) (c)
Nos Problemas 15-20, descreva o local dos pontos P(x, y, z) que
satisfazem a(s) equao(es) dadas. 15. 16.
17.
18.
19. 20.
Nos Problemas 21 e 22, obtenha a distncia entre os pontos
in-dicados. 21. 22.
23. Determine a distncia do ponto (7,3,4) para (a) o plano yz e
(b) o eixo x.
24. Determine a distncia do ponto (6, 2,3) para (a) o plano xz e
(b) a origem.
Nos Problemas 25-28, os trs pontos indicados formam tringu-los.
Determine quais tringulos so issceles e quais so trin-gulos retos.
25.
26.
27.
28.
Nos Problemas 29 e 30, use a frmula da distncia para demons-trar
que os pontos indicados so colineares. 29.
30.
Nos Problemas 31 e 32, resolva em relao incgnita. 31.
32.
EXERCCIOS 1.2 As respostas de problemas mpares selecionados esto
na pgina 285.
-
1.3 Produto Escalar 31
Nos Problemas 33 e 34, determine as coordenadas do ponto m-dio
do segmento de reta entre os pontos indicados. 33. 34.
35. As coordenadas do ponto mdio do segmento de reta entre
P1(x1, y1, z1) e P2(2, 3, 6) so (1,4, 8). Determine as co-ordenadas
de P1.
36. Seja P3 o ponto mdio do segmento de reta entre P1(3, 4, 1) e
P2(5, 8, 3). Determine as coordenadas do ponto mdio do segmento de
reta (a) entre P1 e P3 e (b) entre P3 e P2.
Nos Problemas 37-40, determine o vetor . 37.
38.
39.
40.
Nos Problemas 41-48, a 1,3, 2, b 1, 1, 1 e c 2, 6, 9. Determine
o vetor ou escalar indicado. 41. 42.
43. 44.
45. 46.
47.
48.
49. Determine um vetor unitrio na direo oposta de a 10,5,
10.
50. Determine um vetor unitrio na mesma direo de a i 3j 2k.
51. Determine um vetor b que tenha comprimento 4 vezes maior que
a i j k na mesma direo de a.
52. Determine um vetor b no qual que seja paralelo a a 6, 3,2
mas que tenha a direo oposta.
53. Utilizando os vetores a e b mostrados na Figura 1.31,
esbo-ce o vetor mdio .
y
x
z a
b
Figura 1.31 Vetores para o Problema 53.
1.3 Produto escalar
Introduo Nesta e na prxima seo, consideraremos dois tipos de
produtos entre vetores que se originaram do estudo de mecnica,
eletricidade e magnetismo. O primeiro desses produtos conhecido
como produto escalar ou produto interno.
Uma definio O produto escalar entre dois vetores a e b resulta
em um escalar e comumente representado por a b.
Produto escalar de dois vetoresO produto escalar de dois vetores
a e b o escalar
(1)onde o ngulo entre os vetores de modo que 0 .
D E F I N I O 1 . 3
A Figura 1.32 ilustra o ngulo em trs casos. Se os vetores a e b
no forem paralelos, ento o menor dos dois possveis ngulos entre
eles.
Exemplo 1 Produto escalar utilizando (1)A partir de (1),
obtemos
(2)pois ||i|| ||j|| ||k|| 1, e em cada caso cos 1.
b
a
(a)
(b)b
a
(c)
ba
Figura 1.32 ngulo em (1).
-
32 CAPTULO 1 Vetores
Forma em componentes do produto escalar O produto escalar pode
ser escrito em termos das componentes de dois vetores. Suponha que
seja o ngulo entre os vetores a a1i a2j a3k e b b1i b2j b3k. Ento o
vetor
o terceiro lado do tringulo indicado na Figura 1.33. Pela lei
dos co-senos, podemos escrever
(3)Utilizando (b2 a2)2 (b3 a3)2, podemos simplificar o lado
direito da segunda equao em (3) para a1b1 a2b2 a3b3. Como o lado
esquerdo dessa equao a definio do produto escalar, obtemos uma
forma alternativa do produto escalar:
(4)Em outras palavras, o produto escalar de dois vetores a soma
dos produtos das suas componentes correspondentes.
Exemplo 2 Produto Escalar Utilizando (4)
Se a 10i 2j 6k e 4j 3k, ento decorre de (4) que
Propriedades O produto escalar possui as seguintes
propriedades.
Propriedades do produto escalar
(i) se ou (ii) (lei comutativa) (iii) (lei distributiva) (iv) k
um escalar (v) (vi)
Cada uma dessas propriedades, com a possvel exceo de (iii), deve
ser bvia a partir de (1). Observe que (vi) diz que a magnitude de
um vetor
pode ser escrita em termos do produto escalar:
Podemos utilizar (4) para demonstrar (iii). Se a a1i a2j a3k, b
b1i b2j b3k, e c c1i c2j c3k, ento a partir de (4) temos
Vetores ortogonais Se a e b forem vetores no-zero, ento a
Definio 1.3 im-plica que
(i) a b 0 se e somente se for agudo, (ii) a b 0 se e somente se
for obtuso, e (iii) a b 0 se e somente se cos 0.
a
b
c
Figura 1.33 Vetor c utilizado para obter (4).
-
1.3 Produto Escalar 33
Porm, no ltimo caso, o nico nmero em [0, ] para o qual cos 0 /2.
Quando /2, dizemos que os vetores so perpendiculares ou ortogonais.
As-sim, somos levados ao seguinte resultado:
Critrio para vetores ortogonaisDois vetores no-zero a e b so
ortogonais se e somente se a b 0.
T E O R E M A 1 . 1
Como 0 b 0 para todo vetor b, o vetor zero ortogonal em relao a
todo vetor.
Exemplo 3 i, j e k so vetores ortogonais
Decorre imediatamente do Teorema 1.1 e do fato do produto
escalar ser comutativo que
(5)
Exemplo 4 Vetores ortogonais
Se a 3i j 4k e b 2i 14j 5k, ento
A partir do Teorema 1.1, conclumos que a e b so ortogonais.
ngulo entre dois vetores Igualando as duas formas do produto
escalar, (1) e (4), podemos determinar o ngulo entre dois vetores a
partir de
(6)
Exemplo 5 ngulos entre dois vetores
Determine o ngulo entre a 2i 3j k e b i 5j k.Soluo De , vemos de
(6) que
e assim 0,77 radianos ou 44,9o.
Co-senos direcionais Para um vetor no-zero a a1i a2j a3k em trs
di-menses, os ngulos , e entre a e os vetores unitrios i, j e k,
respectivamente, so denominados ngulos direcionais de a. Veja a
Figura 1.34. Agora, de (6),
que se simplifica para
a
kj
i
z
x
y
Figura 1.34 ngulos direcionais , e .
-
34 CAPTULO 1 Vetores
Dizemos que cos , cos e cos so os co-senos direcionais de a. Os
co-senos di-recionais de um vetor a no-zero so simplesmente as
componentes do vetor unitrio (1/||a||)a:
Como a magnitude de (1/||a||)a 1, segue-se da ltima equao
que
Exemplo 6 ngulos/co-senos direcionaisObtenha os co-senos
direcionais e ngulos direcionais do vetor a 2i 5j 4k.
Soluo A partir de , temos que os co-senos direcionais so
Os ngulos direcionais so
radianos ou
radiano ou
radiano ou
Observe no Exemplo 6 que
Componente de a em b A lei distributiva e (5) nos permitem
expressar as com-ponentes de um vetor a a1i a2j a3k em termos do
produto escalar:
(7)Simbolicamente, escrevemos as componentes de a como
(8)Veremos agora que os resultados indicados em (8) nos levam a
obter a componente de a em um vetor arbitrrio b. Observe que em
pelo menos um dos dois casos ilus-trados na Figura 1.35,
(9)Na Figura 1.35(b), compba 0, pois /2 . Agora, escrevendo (9)
como
vemos que
(10)
Em outras palavras, para obter a componente de a em um vetor b,
fazemos o produto escalar de a na direo de b.
Exemplo 7 Componente de um vetor em outro vetorConsidere a 2i 3j
4k e b i j 2k. Determine compba e compab.
a
b
(a)
b
a
(b)
||a|| cos
||a|| cos
Figura 1.35 Componente de a em b.
-
1.3 Produto Escalar 35
Soluo Primeiro formamos um vetor unitrio na direo de b:
Assim, a partir de (10) temos
Modificando (10), temos
Portanto,
e
Interpretao fsica do produto escalar Quando uma fora constante
de mag-nitude F move um objeto por uma distncia d na mesma direo da
fora, o trabalho realizado simplesmente W Fd. Entretanto, se uma
fora constante F aplicada em um corpo atua em um ngulo em relao
direo do movimento, ento o trabalho feito por F definido como sendo
o produto da componente de F na direo do des-locamento e a distncia
||d|| deslocada pelo corpo:
Veja a Figura 1.36. Decorre da Definio 1.3 que se F causar um
deslocamento d de um corpo, ento o trabalho realizado ser
(11)
Exemplo 8 Trabalho realizado por uma fora constanteDetermine o
trabalho realizado por uma fora constante F 2i 4j considerando que
o seu ponto de aplicao em um bloco se move de P1(1,1) para P2(4,6).
Considere que ||F|| seja medida em newtons e ||d|| seja medido em
metros.
Soluo O deslocamento do bloco dado por
Decorre de (11) que o trabalho realizado
Projeo de a sobre b Conforme ilustrado na Figura 1.37, a projeo
de um vetor a em qualquer uma das direes determinadas por i, j, k
simplesmente o vetor formado pela multiplicao da componente de a na
direo especificada pelo vetor unitrio naquela direo; por
exemplo,
e assim por diante. A Figura 1.38 mostra o caso geral da projeo
de a sobre b:
(12)
Exemplo 9 Projeo de um vetor em outro vetorDetermine a projeo de
a 4i j sobre o vetor b 2i 3j. Faa o grfico.
F
d
||F|| cos
Figura 1.36 Trabalho realizado por uma fora F.
y
x
z
a
k
ij
projka
projja
projia
Figura 1.37 Projeo de a sobre i, j e k.
a
b
b1vetorunitrio
projba||b||
Figura 1.38 Projeo de a sobre b.
-
36 CAPTULO 1 Vetores
Nos Problemas 1 e 2, determine a b considerando que o menor
ngulo entre a e b seja conforme indicado. 1.
2.
Nos Problemas 3-14, a 2,3, 4, b 1, 2, 5 e c 3, 6,1. Obtenha o
escalar ou vetor indicado. 3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. Determine quais pares dos seguintes vetores so
ortogonais:(a) (b) (c) (d) (e) (f)
16. Determine um escalar c de modo que os vetores indicados
sejam ortogonais.(a) (b)
17. Determine um vetor v x1, y1, 1 que seja ortogonal tanto a a
3, 1,1 quanto a b 3, 2, 2.
18. Um rombo um paralelogramo com ngulo oblquo com todos os
quatro lados iguais. Utilize o produto escalar para mostrar que as
diagonais de um rombo so perpendiculares.
19. Verifique que o vetor
ortogonal em relao ao vetor a.
20. Determine um escalar c de modo que o ngulo entre a i cj e b
i j seja 45o.
Nos Problemas 21-24, determine o ngulo entre os vetores
in-dicados. 21.
22.
23.
24.
Nos Problemas 25-28, determine os co-senos direcionais e os
n-gulos direcionais do vetor indicado. 25. 26.
27. 28.
29. Determine o ngulo entre a diagonal do cubo ilustrado na
Figura 1.40 e a aresta AB. Obtenha o ngulo entre a dia-gonal AD do
cubo e a diagonal .
z
D
C B
Ay
x
Figura 1.40 Diagonal no Problema 29.
30. Mostre que se dois vetores no-zero a e b so ortogonais, ento
seus co-senos direcionais satisfazem
31. Um avio est a 4 km de altura, 5 km ao sul e 7 km a leste de
um aeroporto. Veja a Figura 1.41. Determine os ngulos direcionais
do avio.
Soluo Primeiro, determinamos a componente de a e b. Como ,
ob-temos a partir de (10) que
Assim, de (11),
O grfico desse vetor est indicado na Figura 1.39.
b
a
y
x
+2213
i 3313
j
Figura 1.39 Projeo de a sobre b no Exemplo 9.
EXERCCIOS 1.3 As respostas de problemas mpares selecionados esto
na pgina 286.
-
1.3 Produto Escalar 37
paracima
aeroporto5
S 7
4 E
Figura 1.41 Avio no Problema 31.
32. Determine um vetor unitrio cujos ngulos direcionais,
rela-tivos aos trs eixos coordenados, so iguais.
Nos Problemas 33-36, a 1,1, 3 e b 2, 6, 3. Determine o nmero
indicado. 33. 34.
35. 36.
Nos Problemas 37 e 38, obtenha a componente do vetor indicado na
direo a partir da origem at o ponto indicado. 37.
38.
Nos Problemas 39-42, obtenha projba. 39.
40.
41.
42.
Nos Problemas 43 e 44, a 4i 3j e b i j. Determine o vetor
indicado. 43. 44.
45. Um tren puxado verticalmente sobre o gelo por uma corda
conectada sua parte dianteira. Uma fora de 20 N atuando com um
ngulo de 60o em relao horizontal des-loca o tren 100 m. Calcule o
trabalho realizado.
46. Determine o trabalho realizado considerando que o ponto no
qual a fora constante F 4i 3j 5k aplicada em um ob-jeto se desloca
de P1(3, 1,2) para P2(2, 4, 6). Considere que ||F|| seja medido em
newtons e ||d|| seja medido em metros.
47. Um bloco com peso w puxado ao longo de uma superfcie
horizontal sem atrito por uma fora constante F de magnitu-de 30 N
na direo dada por um vetor d. Veja a Figura 1.42. Considere que
||d|| seja medido em metros.
F
w d
Figura 1.42 Bloco no Problema 47.
(a) Qual o trabalho realizado pelo peso w?(b) Qual o trabalho
realizado pela fora F se d 4i 3j?
48. Uma fora constante F de magnitude 3 N aplicada ao bloco
ilustrado na Figura 1.43. F tem a mesma direo do vetor a 3i 4j.
Determine o trabalho realizado na direo do mo-vimento considerando
que o bloco se mova de P1(3,1) para P2(9,3). Considere que a
distncia seja medida em metros.
Fy
x
Figura 1.43 Bloco no Problema 48.
49. Na molcula de metano CH4, os tomos de hidrognio esto
posicionados nos quatro vrtices de um tetraedro retangular. Veja a
Figura 1.44. A distncia entre o centro de um tomo de hidrognio e o
centro de um tomo de carbono 1,10 an-gstroms (1 angstrom 1010
metros), e o ngulo da ligao hidrognio-carbono-hidrognio 109,5o.
Utilizando apenas mtodos vetoriais, determine a distncia entre dois
tomos de hidrognio.
H H
H
C
H
Figura 1.44 Molcula no Problema 49.
50. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade de
Cauchy-Schwarz: |a b| ||a|| ||b||.
51. Utilize o produto escalar para demonstrar a desigualdade do
tringulo: ||a b|| ||a|| ||b||. [Sugesto: Considere a pro-priedade
(vi) do produto escalar.]
52. Prove que o vetor n ai bj perpendicular reta cuja equao ax
by c 0. [Sugesto: Considere P1(x1, y1) e P2(x2, y2) pontos
distintos na reta.]
53. Utilize o resultado do Problema 52 e a Figura 1.45 para
mos-trar que a distncia d a partir de um ponto P1(x1, y1) at uma
reta ax by c 0 .
y
x
d
n
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)
ax + by + c = 0
Figura 1.45 Distncia d no Problema 53.
-
38 CAPTULO 1 Vetores
1.4 Produto vetorial
Introduo Ao contrrio do produto escalar, que tem como resultado
um escalar ou um nmero, o prximo produto especial de dois vetores a
e b outro vetor, sendo chamado de produto vetorial.
Uma definio O produto vetorial dos vetores a e b denotado por a
b.
Produto vetorial de dois vetoresO produto vetorial de dois
vetores a e b em R3 o vetor
(1)onde o ngulo existente entre os vetores de modo que 0 , e n
um vetor unitrio perpendicular ao plano de a e b com a direo
indicada pela regra da mo direita.
D E F I N I O 1 . 4
Conforme visto na Figura 1.46(a), se os dedos da mo direita
apontarem ao longo do vetor a e ento se curvarem em direo ao vetor
b, o dedo polegar dar a direo de n, e conseqentemente a b. Na
Figura 1.46(b), a regra da mo direita mostra a direo b a.
n
a b mo direita
(a)
mo direita
b
a
n
(b)
b a
a b
Figura 1.46 Regra da mo direita.
Exemplo 1 Torque como produto vetorialEm fsica, a fora F que
atua na extremidade de um vetor posio r, como ilustrado na Figura
1.47, dita produzir um torque definido por r F. Por exemplo, se
||F|| 20 N, ||r|| 3,5 m e 30o, ento a partir de (1) ||||
(3,5)(20)sen 30o 35 N.m. Se F e r estiverem no plano da pgina, a
regra da mo direita implica em que a direo de seja para fora e
perpendicular pgina (em direo ao leitor).
Conforme pode ser visto na Figura 1.48, quando uma fora F
aplicada a uma chave de parafuso, a magnitude do torque uma medida
do efeito de rotao sobre o ponto do eixo P, e o vetor est
direcionado ao longo do eixo do parafuso. Nesse caso, aponta para
dentro da pgina.
Propriedades O produto vetorial tem as seguintes
propriedades.
Propriedades do produto vetorial
(i) (ii) (iii) (Leis distributivas) (iv) (v) k um escalar
(vi)
F
r
x
y
||F|| sen
Figura 1.47 Vetores no Exemplo 1.
rF
P
Figura 1.48 Vetores no Exemplo 1.
-
1.4 Produto Vetorial 39
(vii) (viii)
A propriedade (vi) decorre de (1), pois 0. As propriedades (vii)
e (viii) esto relacionadas ao fato de que a b perpendicular ao
plano contendo a e b. A proprie-dade (ii) deve ser intuitivamente
clara com base na Figura 1.46.
Vetores paralelos Quando o ngulo entre dois vetores no-zero 0 ou
, ento sen 0, e assim temos que ter a b 0. Isso enunciado
formalmente no prximo teorema.
Critrio para vetores paralelosDois vetores no-zero a e b so
paralelos se e somente se a b 0.
T E O R E M A 1 . 2
Exemplo 2 Vetores paralelos
(a) A partir da propriedade (vi) temos
(2)
(b) Se a 2i j k e b 6i 3j 3k 3a, ento a e b so paralelos.
Portanto, do Teorema 1.2, a b 0. Observe que esse resultado tambm
decorre da com-binao das propriedades (v) e (vi). A partir de (1),
se a i, b j, ento
(3)
Porm, como um vetor unitrio perpendicular ao plano que contm i e
j com a direo dada pela regra da mo direita k, segue-se de (3) que
n k. Em outras palavras, i j k.
Exemplo 3 Um mnemnico
Os produtos vetoriais de qualquer par de vetores no conjunto i,
j, k podem ser obtidos pelo mnemnico circular ilustrado na Figura
1.49, isto ,
(4)
Definio alternativa do produto vetorial Como fizemos para o
produto escalar, podemos utilizar a lei distributiva (iii) para
obter uma forma alternativa do produto vetorial:
(5)A partir dos resultados em (2) e (4), (5) se simplifica
para
(6)
x
k
i
jy
z
Figura 1.49 Mnemnico no Exemplo 3.
-
40 CAPTULO 1 Vetores
Observamos que as componentes do vetor em (6) podem ser escritas
como determi-nantes de ordem 2:
(7)
Por sua vez, (7) pode ser escrita como um determinante de ordem
3:
(8)
A expresso no lado direito de (8) no realmente um determinante,
pois suas entra-das no so todas escalares; (8) simplesmente uma
forma de lembrar a complicada expresso em (6).
Exemplo 4 Produto vetorial
Considere a 4i 2j 5k e b 3i j k. Determine a b.Soluo A partir de
(8), temos
A forma do produto vetorial dada em (7) nos permite demonstrar
algumas das
propriedades (i)(viii). Por exemplo, para demonstrar (ii)
escrevemos
Deixamos a demonstrao da propriedade (iii) como um exerccio.
Produtos especiais O chamado produto escalar triplo de vetores
a, b e c a (b c). Agora,
Conseqentemente, temos
(9)
Alm disso, a partir das propriedades dos determinantes,
temos
-
1.4 Produto Vetorial 41
O produto vetorial triplo de trs vetores a, b e c a (b c).
Deixa-se como um exerccio mostrar que
(10)
reas e volume Dois vetores no-zero e no-paralelos a e b podem
ser conside-rados como sendo os lados de um paralelogramo. A rea A
de um paralelogramo A (base)(altura). A partir da Figura 1.50(a),
vemos que A ||b||(||a|| sen ) ||a||||b||sen .ou
(11)Da mesma forma, a partir da Figura 1.50(b), vemos que a rea
de um tringulo com lados a e b
(12)
De modo similar, se os vetores a, b e c no se estenderem no
mesmo plano, ento o volume do paraleleppedo com arestas a, b e c
indicado na Figura 1.51
ou
(13)Em decorrncia do ltimo resultado, o produto escalar triplo
algumas vezes denota-do como produto caixa de a, b e c.
Exemplo 5 rea de um tringuloCalcule a rea de um tringulo
determinado pelos pontos P1(1, 1, 1), P2(2, 3, 4) e P3(3, 0,1).
Soluo Os vetores e podem ser tomados como dois lados de um
tri-ngulo. Como i 2j 3k e i 3j 5k, temos
A partir de (12), vemos que a rea
Vetores coplanares Vetores que se estendem no mesmo plano so
ditos ser co-planares. Vimos que se os vetores a, b e c no forem
coplanares, ento necessaria-mente a (b c) 0, pois o volume de um
paraleleppedo com arestas a, b e c tem volume diferente de zero. De
modo equivalente, isso significa que se a (b c) 0, ento os vetores
a, b e c so coplanares. Como o oposto dessa ltima afirmativa tambm
verdadeiro, temos
se e somente se a, b e c forem coplanares
a
b
||b||
||a||
(a)a
b(b)
h = ||a|| sen
Figura 1.50 rea de um paralelogramo em (a); rea de um tringulo
em (b).
a
c
b
b c
|compb ca|
Figura 1.51 Volume de um paralele-ppedo.
-
42 CAPTULO 1 Vetores
Nos Problemas 1-10, determine a b. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Nos Problemas 11 e 12, determine . 11.
12.
Nos Problemas 13 e 14, determine um vetor que seja
perpendi-cular a ambos a e b. 13.
14.
Nos Problemas 15 e 16, verifique que a (a b) 0 e b (a b) 0.
15.
16.
Nos Problemas 17 e 18, (a) calcule b c seguido de a (b c). (b)
Verifique os resultados do item (a) por meio de (10) dessa seo. 17.
18.
Nos Problemas 19-36, obtenha o escalar ou vetor indicados sem
utilizar (8), (9) ou (10). 19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
Nos Problemas 37-44, a b 4i 3j 6k e c 2i 4j k. Determine o
escalar ou vetor indicados. 37. 38.
39. 40.
41. 42.
43. 44.
Nos Problemas 45 e 46, (a) verifique que o quadriltero dado um
paralelogramo e (b) determine a rea do paralelogramo. 45. z
y
x
(1, 3, 4) (0, 0, 4)
(2, 0, 0) (1, 3, 0)
Figura 1.52 Paralelogramo no Problema 45. 46.
(2, 0, 2)
(2, 0, 3)
(1, 4, 2)
(3, 4, 1)x
y
z
Figura 1.53 Paralelogramo no Problema 46.
Nos Problemas 47-50, calcule a rea do tringulo determinado pelos
pontos indicados. 47.
Observaes
Ao se trabalhar com vetores, deve-se ter cuidado para no
misturar os smbolos e com os smbolos para multiplicao ordinria, e
ser especialmente cuidadoso com o uso ou falta de uso dos
parnteses. Por exemplo, expresses tais como
no so significativas ou bem-definidas.
EXERCCIOS 1.4 As respostas de problemas mpares selecionados esto
na pgina 286.
-
1.5 Retas e Planos em Trs Dimenses 43
48.
49.
50.
Nos Problemas 51 e 52, calcule o volume do paraleleppedo para o
qual os vetores indicados tm trs arestas. 51.
52.
53. Determine se os vetores a 4i 6j, b 2i 6j 6k e so
coplanares.
54. Determine se os quatro pontos P1(1, 1,2), P2(4, 0,3),
P3(1,5, 10) e P4(7, 2, 4) se estendem no mesmo plano.
55. Conforme apresentado na Figura 1.54, o vetor a se estende no
plano xy e o vetor b se estende ao longo do eixo z positi-vo. Suas
magnitudes so ||a|| 6,4 e ||b|| 5.(a) Use a Definio 1.4 para
determinar ||a b||.(b) Utilize a regra da mo direita para obter a
direo de a
b.(c) Utilize o item (b) para expressar a b em termos dos
vetores unitrios i, j, k.
b
ax
y
z
60
Figura 1.54 Vetores para o Problema 55.
56. Dois vetores a e b se estendem no plano xz de modo que o
ngulo entre eles 120o. Se e ||b|| 8, deter-mine todos os valores
possveis de a b.
57. Um reticulado tridimensional uma coleo de combinaes inteiras
de trs bases de vetores no-coplanares a, b e c. Em cristalografia,
um reticulado pode especificar a localizao de tomos em um cristal.
Estudos de difrao por raios-X de cristais utilizam o reticulado
recproco que tem bases
(a) Um determinado reticulado tem bases de vetores a i, b j e .
Determine bases de vetores para o reticulado recproco.
(b) A clula unitria do reticulado recproco o paraleleppedo com
arestas A, B e C, enquanto a clula unitria do reticu-lado original
o paraleleppedo com arestas a, b e c. Mos-tre que o volume da clula
unitria do reticulado recproco o recproco do volume da clula
unitria do reticulado original. [Sugesto: Comece com B C e utilize
(10).]
58. Use (7) para demonstrar a propriedade (iii) do produto
ve-torial.
59. Prove a (b c) (a c)b (a b)c. 60. Prove que a (b c) (a b) c
vlido ou no. 61. Prove a (b c) (a b) c 62. Prove a (b c) b (c a) c
(a b) 0. 63. Prove a identidade de Lagrange:
64. a b a c implica b c? 65. Mostre que (a b) (a b) 2b a.
1.5 Retas e planos em trs dimenses
Introduo Nessa seo, discutiremos como obter diversas equaes de
retas e planos em trs dimenses.
Retas: equao vetorial Como no plano, quaisquer dois pontos
distintos em trs dimenses determinam somente uma reta entre eles.
Para obter uma equao atravs de P1(x1, y1, z1) e P1(x2, y2, z2),
vamos assumir que P(x, y, z) qualquer ponto na reta. Na Figura
1.55, se r , r1 e r2 , vemos que o vetor a r2 r1 paralelo ao vetor
r r2 . Assim,
(1)Se escrevermos
(2)ento (1) implica uma equao vetorial para a reta igual a
O vetor a denominado vetor direo da linha.Como r r1 tambm
paralelo a , uma equao vetorial alternativa para a reta
r r1 ta. De fato, r r1 t(a) e r r1 t(ka), k um escalar no-zero,
so tambm equaes para .
r
x
y
a
z
a
O
P1(x1, y1, z1)P2(x2, y2, z2)
P(x, y, z)
r r2r2
r1
Figura 1.55 Reta atravs de pontos distintos em trs dimenses.
Forma alternativa da equao vetorial
-
44 CAPTULO 1 Vetores
Exemplo 1 Equao vetorial de uma retaDetermine uma equao vetorial
para a reta atravs de (2,1, 8) e (5, 6,3).
Soluo Definimos a 2 5, 1 6, 8 (3) 3, 7, 11. As equaes a seguir
so trs possveis equaes vetoriais para a linha:
(3)
(4)
(5)
Equaes paramtricas Escrevendo (2) como
e igualando os componentes, obtemos
(6)As equaes em (6) so denominadas equaes paramtricas para a
linha atravs de P1 e P2. Como o parmetro t aumenta de a , podemos
imaginar o ponto P(x, y, z) tra-ando a reta inteira. Se o parmetro
t estiver restrito a um intervalo fechado[t0, t1], ento P(x, y, z)
traa um segmento de reta iniciando no ponto correspondente a t0 e
terminan-do no ponto correspondente a t1. Por exemplo, na Figura
1.55, se 1 t 0, ento P(x, y, z) traa o segmento de reta iniciando
em P1(x1, y1, z1) e terminando em P2(x2, y2, z2).
Exemplo 2 Equaes paramtricas de uma retaObtenha equaes
paramtricas para a reta no Exemplo 1.
Soluo De (3), segue-se que
(7)Um conjunto alternativo de equaes paramtricas pode ser obtido
a partir de (5):
(8) Note que o valor t 0 em (7) resulta em (2,1, 8), enquanto
que em (8) t 1
tem que ser utilizado para obter o mesmo ponto.
Exemplo 3 Vetor paralelo a uma retaDetermine um vetor a que seja
paralelo linha cujas equaes paramtricas so x 4 9t, y 14 5t, z 1
3t.
Soluo Os coeficientes (ou um mltiplo constante no-zero dos
coeficientes) do parmetro em cada equao so as componentes de um
vetor que paralelo a reta. Assim, a 9i 5j 3k paralelo a , sendo
portanto um vetor direo da reta.
Equaes simtricas De (6), observe que podemos evidenciar o
parmetro es-crevendo
desde que os trs nmeros a1, a2 e a3 sejam no-zero. As equaes
resultantes
(9)
so ditas ser equaes simtricas para a reta atravs de P1 e P2.
-
1.5 Retas e Planos em Trs Dimenses 45
Exemplo 4 Equaes simtricas de uma reta
Determine equaes simtricas para a reta atravs de (4, 10,6) e (7,
9, 2).Soluo Definimos a1 7 4 3, a2 9 10 1 e a3 2 (6) 8. De-
corre de (9) que as equaes simtricas para a reta so
Se um dos nmeros a1, a2 e a3 for zero em (6), utilizamos as duas
equaes res-tantes para eliminar o parmetro t. Por exemplo, se a1 0,
a2 0, a3 0, ento (6) resulta em
Nesse caso,
so equaes simtricas para a reta.
Exemplo 5 Equaes simtricas de uma reta
Determine equaes simtricas para a reta atravs de (5, 3, 1) e (2,
1, 1).Soluo Definimos a1 5 2 3, a2 3 1 2 e a3 1 1 0. A partir
da
discusso anterior, decorre que as equaes simtricas para a reta
so
Em outras palavras, as equaes simtricas descrevem uma reta no
plano z 1.
Uma reta no espao tambm determinada especificando-se um ponto
P1(x1, y1, z1) e um vetor direo no-zero a. Atravs do ponto P1,
passa somente uma reta paralela ao vetor indicado. Se P(x, y, z)
for um ponto na reta apresentada na Figura 1.56, ento, como
antes,
Exemplo 6 Reta paralela a um vetor
Escreva equaes simtricas, paramtricas e vetoriais para a reta
atravs de (4, 6,3) e paralela a a 5i 10j 2k.
Soluo Com a1 5, a2 10 e a3 2, temos imediatamente
Planos: equao vetorial A Figura 1.57(a) ilustra o fato de que
atravs de um dado ponto P1(x1, y1, z1) passa um nmero infinito de
planos. Entretanto, como indicado na Figura 1.57(b), se um ponto P1
e um vetor n forem especificados, existe somente um plano contendo
P1 com n normal ou perpendicular ao pla-no. Alm disso, se P(x, y,
z) for qualquer ponto em , e , ento,
x
a
y
az
O
P(x, y, z)P1(x1, y1, z1)
Figura 1.56 Reta determinada por um ponto P e um vetor a.
-
46 CAPTULO 1 Vetores
como indicado na Figura 1.57(c), r r1 est no plano. Segue-se que
uma equao vetorial do plano
(10)
)b()a(
n
nn
(c)
P1(x1, y1, z1)r r1
P(x, y, z)
P1
Figura 1.57 Vetor n perpendicular ao plano.
Equao cartesiana Especificamente, se o vetor normal for n ai bj
ck, ento (10) resulta em uma equao cartesiana do plano contendo
P1(x1, y1, z1):
(11)
Exemplo 7 Plano perpendicular a um vetorDetermine uma equao do
plano que contenha o ponto (4,1, 3) e seja perpendicu-lar ao vetor
n 2i 8j 5k.
Soluo Decorre imediatamente de (11) que a equao
A equao (11) pode sempre ser escrita como ax by cz d 0
identifi-cando-se d ax1 by1 cz1. De modo oposto, demonstraremos
agora que qualquer equao linear
nem todos zero
(12) um plano.
Plano com vetor normalO grfico de qualquer equao ax by cz d 0,
a, b, c nem todos zero, um plano com o vetor normal n ai bj ck.
T E O R E M A 1 . 3
Demonstrao Suponha que x0, y0 e z0 sejam nmeros que satisfaam a
equao dada. Assim, ax0 by0 cz0 d 0 implica d ax0 by0 cz0.
Substituir esse ltimo valor de d na equao original resulta, aps
simplificao, em a(x x0) b(y y0) c(z z0) 0 ou, em termos de
vetores,
Essa ltima equao implica que ai bj ck normal ao plano contendo o
ponto (x0, y0, z0) e o vetor (x x0)i (y y0)j (z z0)k.
Exemplo 8 Um vetor normal a um planoUm vetor normal ao plano 3x
4y 10z 8 0 n 3i 4j 10k.
claro, um mltiplo escalar no-zero de um vetor normal ainda
perpendicular ao plano.
-
1.5 Retas e Planos em Trs Dimenses 47
Trs pontos no-colineares P1, P2 e P3 tambm determinam um plano.*
Para ob-ter uma equao do plano, necessitamos apenas formar dois
vetores entre dois pares de pontos. Conforme destacado na Figura
1.58, o produto vetorial dos vetores um vetor normal ao plano
contendo esses vetores. Se P(x, y, z) representar qualquer ponto no
plano e r , r1 , r2 , r3 , ento r r1 (ou r r2 ou r r3) est no
plano. Portanto,
(13) uma equao vetorial do plano. No memorize a ltima frmula. O
procedimento o mesmo que em (10) com a exceo de que o vetor n
normal ao plano obtido por meio do produto vetorial.
Exemplo 9 Trs pontos que determinam um planoDetermine uma equao
do plano que contm (1, 0,1), (3, 1, 4) e (2,2, 0).
Soluo Precisamos de trs vetores. Juntando-se os pontos da
esquerda resulta nos vetores da direita. A ordem na qual subtramos
irrelevante.
Agora,
um vetor normal ao plano contendo os pontos dados.
Conseqentemente, uma equa-o vetorial do plano (u v) w 0. A ltima
equao resulta em
Grficos O grfico de (12) com um ou mesmo duas variveis ausentes
ainda um plano. Por exemplo, vimos na Seo 1.2 que os grficos de
onde x0, y0, z0 so constantes, so planos perpendiculares em
relao aos eixos x, y e z, respectivamente. Em geral, pra traar o
grfico de um plano, devemos tentar determinar
(i) as intersees x, y e z e, se necessrio, (ii) o trao do plano
em cada plano coordenado.
Um trao de um plano em um plano coordenado a reta de interseo do
plano com um plano coordenado.
Exemplo 10 Grfico de um planoTrace o grfico da equao 2x 3y 6z
18.
Soluo
As intersees x, y e z so 9, 6 e 3, respectivamente. Como
apresentado na Figura 1.59, utilizamos os pontos (9, 0, 0), (0, 6,
0) e (0, 0, 3) para traar o grfico do plano no primeiro
octante.
* Se voc j se sentou em uma mesa de quatro pernas que balana,
voc poderia considerar substitu-la por uma mesa de trs pernas.
P
(r2 r1) (r3 r1)
r3 r1
r2 r1r r1
P2
P3
P1
Figura 1.58 Vetores r2 r1 e r3 r1 es-to no plano, e o produto
vetorial deles normal ao plano.
y
x
z
2x + 3y + 6z = 18
Figura 1.59 Plano no Exemplo 10.
-
48 CAPTULO 1 Vetores
Exemplo 11 Grfico de um plano
Trace o grfico da equao 6x 4y 12.
Soluo Em duas dimenses, o grfico da equao uma reta com a
interseo de x em 2 e a interseo de y em 3. Entretanto, em trs
dimenses, essa reta o trao de um plano no plano coordenado xy. Como
z no especificado, ele pode ser qual-quer nmero real. Em outras
palavras, (x, y, z) um ponto no plano desde que x e y estejam
relacionados pela equao indicada. Conforme mostrado na Figura 1.60,
o grfico um plano paralelo ao eixo z.
Exemplo 12 Grfico de um plano
Trace o grfico da equao x y z 0.
Soluo Observe primeiro que o plano passa pela origem (0, 0, 0).
Agora, o trao do plano no plano xz (y 0) z x, enquanto seu trao no
plano yz (x 0) z y. Traar essas duas retas resulta no grfico
indicado na Figura 1.61.
Dois planos e que no so paralelos tem que se interceptar em uma
rela . Veja a Figura 1.62. O Exemplo 13 ilustrar uma forma de se
obter equaes param-tricas para a reta de interseo. No Exemplo 14,
veremos como determinar um ponto de interseo (x0, y0, z0) de um
plano e uma reta . Veja a Figura 1.63.
Exemplo 13 Reta de interseo de dois planos
Determine equaes paramtricas para a reta de interseo de
Soluo Em um sistema de duas equaes e trs incgnitas, escolhemos
uma varivel arbitrariamente, por exemplo, z t, e resolvemos em
relao a x e a y a partir de
Prosseguindo, obtemos x 14 7t, y 9 6t, z t. Essas so equaes
param-tricas para a reta de interseo dos planos dados.
Exemplo 14 Ponto de interseo de uma reta e um plano
Determine o ponto de interseo do plano 3x 2y z 5 e a reta x 1 t,
y 2 2t, z 4t.
Soluo Se (x0, y0, z0) representa o ponto de interseo, ento temos
que ter 3x0 2y0 z0 5 e x0 1 t0, y0 2 2t0, z0 4t0, para algum nmero
t0. Substi-tuindo as ltimas equaes na equao do plano, temos
A partir das equaes paramtricas para a reta, obtemos ento x0 3,
y0 10 e z0 16. O ponto de interseo (3,10,16).
z
y
x
6x + 4y = 12
Figura 1.60 Plano no Exemplo 11.
x
y
z
x + y z = 0
Figura 1.61 Plano no Exemplo 12.
1
2
Figura 1.62 Planos se interceptam em uma reta.
(x0, y0, z0)
Figura 1.63 Ponto de interseo de um plano e uma reta.
-
1.5 Retas e Planos em Trs Dimenses 49
Nos Problemas 1-6, determine uma equao vetorial para a reta
atravs dos pontos indicados. 1. 2.
3. 4.
5. 6.
Nos Problemas 7-12, determine equaes paramtricas para a reta
atravs dos pontos indicados. 7. 8.
9. 10.
11. 12.
Nos Problemas 13-18, determine equaes simtricas para a reta
atravs dos pontos indicados. 13. 14.
15. 16.
17. 18.
Nos Problemas 19-22, determine equaes paramtricas e simtri-cas
para a reta atravs do ponto indicado paralelo ao vetor dado.
19.
20.
21.
22.
23. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (6, 4,2)
que seja paralela reta x/2 (1 y)/3 (z 5)/6.
24. Determine equaes simtricas para a reta atravs de (4,11,7)
que seja paralela reta x 2 5t, y 1 , z 9 2t.
25. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (2,2, 15)
que seja paralela ao plano xz e ao plano xy.
26. Determine equaes paramtricas para a reta atravs de (1, 2, 8)
que seja (a) paralela ao eixo y e (b) perpendicular ao plano
xy.
27. Mostre que as retas dadas por r t1, 1, 1 e r 6, 6, 6 t3,3,3
so as mesmas.
28. Considere e retas com vetores direo a e b, respec-tivamente.
e sero ortogonais se a e b forem ortogo-nais, e paralelas se a e b
forem paralelas. Determine quais das seguintes retas so ortogonais
e quais so paralelas.(a) (b) (c) (d) (e) (f)
Nos Problemas 29 e 30, determine os pontos de interseo da reta
indicada e os trs planos coordenados. 29.
30.
Nos Problemas 31-34, determine se as retas dadas se
intercep-tam. Em caso positivo, calcule o ponto de interseo.
31.
32.
33.
34.
O ngulo entre duas retas e o ngulo entre seus vetores direo a e
b. Nos Problemas 35 e 36, determine o ngulo entre as retas
indicadas. 35.
36.
Nos Problemas 37 e 38, as retas dadas se estendem no mesmo
plano. Determine equaes paramtricas para a reta atravs do ponto
indicado que seja perpendicular a esse plano. 37.
38.
Nos Problemas 39-44, determine uma equao do plano que con-tenha
o ponto indicado e seja perpendicular ao vetor dado. 39.
40.
41.
42.
43.
44.
Nos Problemas 45-50, determine, se possvel, uma equao de um
plano que contenha os pontos indicados. 45.
46.
47.
EXERCCIOS 1.5 As respostas de problemas mpares selecionados esto
na pgina 286.
-
50 CAPTULO 1 Vetores
48.
49.
50.
Nos Problemas 51-60, determine uma equao do plano que sa-tisfaa
as seguintes condies. 51. Contenha (2, 3,5) e seja paralelo a x y
4z 1 52. Contenha a origem e seja paralelo a 5x y z 6 53. Contenha
(3, 6, 12) e seja paralelo ao plano xy 54. Contenha (7,5, 18) e
seja perpendicular ao eixo y 55. Contenha as retas x 1 3t, y 1 t, z
2 t; x 4
4s, y 2s, z 3 s 56. Contenha as retas
57. Contenha as retas paralelas: x 1 t, y 1 2t, z 3 t; x 3 s, y
2s, z 2 s
58. Contenha o ponto (4, 0,6) e a reta x 3t, y 2t, z 2t 59.
Contenha (2, 4, 8) e seja perpendicular reta x 10 3t, y
5 t, z 6 60. Contenha (1, 1, 1) e seja perpendicular reta atravs
de (2,
6,3) e (1, 0,2) 61. Considere e planos com vetores normais n1 e
n2, res-
pectivamente. e sero ortogonais se n1 e n2 forem orto-gonais, e
paralelos se n1 e n2 forem paralelos. Determine quais dos seguintes
planos so ortogonais e quais so paralelos.(a) (b) (c) (d) (e)
(f)
62. Determine equaes paramtricas para a reta que contm (4, 1, 7)
e seja perpendicular ao plano 7x 2y 3z 1.
63. Determine quais dos seguintes planos so perpendiculares reta
x 4 6t, y 1 9t, z 2 3t.(a) (b) (c) (d)
64. Determine quais dos seguintes planos so paralelos reta (1
x)/2 (y 2)/4 z 5.(a) (b) (c) (d)
Nos Problemas 65-68, obtenha equaes paramtricas para a reta de
interseo dos planos indicados. 65. 66.
67. 68.
Nos Problemas 69-72, obtenha o ponto de interseo do plano e da
reta indicados. 69.
70.
71.
72.
Nos Problemas 73 e 74, obtenha equaes paramtricas para a reta
atravs do ponto indicado que seja paralelo aos planos dados.
73.
74.
Nos Problemas 75 e 76, obtenha uma equao do plano que con-tm a
reta dada e seja ortogonal ao plano indicado. 75.
76.
Nos Problemas 77-82, trace o grfico da equao indicada. 77.
78.
79. 80.
81. 82.
1.6 Espaos vetoriais
Introduo Nas sees anteriores, trabalhamos com pontos e vetores
em espaos de duas e trs dimenses. Matemticos no sculo dezenove, de
forma especial os matem-ticos ingleses Arthur Cayley (1821 1895) e
James Joseph Sylvester (1814 1897) e o matemtico irlands William
Rowan Hamilton (1805 1865), perceberam que os con-ceitos de ponto e
vetor poderiam ser generalizados. Mostrou-se que os vetores
poderiam ser descritos ou definidos por propriedades analticas ao
invs de propriedades geom-tricas. Tal fato se constituiu em um
avano verdadeiramente significativo na histria da matemtica. No h
necessidade de pararmos em trs dimenses; qudruplos a1, a2, a3, a4,
quntuplos a1, a2, a3, a4, a5 e enuplas a1, a2,..., an ordenados de
nmeros reais po-dem ser pensados tanto como vetores quanto pares
ordenados a1, a2 e triplos ordenados a1, a2, a3, a nica diferena
estando no fato de perdermos nossa habilidade de visualizar
diretamente segmentos de reta ou setas em espaos de 4, 5 ou n
dimenses.
Espao n Em termos formais, um vetor em um espao n qualquer
enupla a a1, a2,..., an de nmeros reais denominados de componentes
de a. O conjunto
-
1.6 Espaos Vetoriais 51
de todos vetores em um espao n representado por Rn. Os conceitos
de adio veto-rial, multiplicao escalar, igualdade e assim por
diante, listados na Definio 1.2, se aplicam a Rn de modo natural.
Por exemplo, se a a1, a2,..., an e b b1, b2,..., bn, ento a adio e
a multiplicao escalar no espao n so definidas por
(1)O vetor zero em Rn 0, 0...,0. O conceito de comprimento de um
vetor a a1, a2,..., an no espao n apenas uma extenso daquele
conceito em duas e trs dimenses:
O comprimento de um vetor tambm denominado de norma. Um vetor
unitrio um vetor cuja norma 1. Para um vetor no-zero a, o processo
de construo de um vetor unitrio u multiplicando-se a pelo recproco
da sua norma, isto , ,
referido como normalizao de a. Por exemplo, se a 3, 1, 2,1, ento
||a|| , e um vetor unitrio
O produto interno padro, tambm conhecido como produto interno
eucli-diano ou produto escalar, de dois vetores de ordem n a a1,
a2,..., an e b b1, b2,..., bn o nmero real definido por
(2)Dois vetores no-zero a e b em Rn so ditos ser ortogonais se e
somente se a b 0. Por exemplo, a 3, 4, 1,6 e so ortogonais em R4
pois a b 3 1 4 1 1 (6) 1 0.
Espao vetorial Podemos ir alm da notao de um vetor como uma
enupla orde-nada em Rn. Um vetor pode ser definido como qualquer
coisa que queiramos que seja: uma enupla ordenada, um nmero, um
conjunto de nmeros ou mesmo uma funo. Porm, estamos particularmente
interessados em vetores que sejam elementos em um tipo especial de
conjunto chamado espao vetorial. Dois tipos de objetos, vetores e
es-calares, e duas operaes algbricas anlogas quelas indicadas em
(1) so fundamen-tais notao do espao vetorial. Para um conjunto de
vetores, queremos ser capazes de adicionar dois vetores nesse
conjunto e obter outro vetor no mesmo conjunto, e que-remos
multiplicar um vetor por um escalar e obter um vetor no mesmo
conjunto. Para que um conjunto de objetos esteja em um espao
vetorial, necessrio que o conjunto possua essas duas operaes
algbricas junto com determinadas outras propriedades. Essas
propriedades, os axiomas de um espao vetorial, so apresentadas a
seguir.
Espao vetorialConsidere V como sendo um conjunto de elementos no
qual duas operaes deno-minadas adio vetorial e multiplicao escalar
esto definidas. Assim, V dito ser um espao vetorial se as dez
propriedades a seguir so satisfeitas.
Axiomas para adio vetorial: (i) Se x e y esto em V, ento x y est
em V. (ii) Para todo x, y em V, x y y x. (Lei comutativa) (iii)
Para todo x, y, z em V, x (y z) (x y) z. (Lei associativa) (iv)
Existe um nico vetor 0 em V tal que 0 x x 0 0. (vetor zero) (v)
Para cada x em V, existe um vetor x tal que x (x) (x) x 0.
(Negativo de um vetor)
D E F I N I O 1 . 5
-
52 CAPTULO 1 Vetores
Axiomas para a multiplicao escalar: (vi) Se k for qualquer
escalar e x estiver em V, ento kx estar em V (vii) k(x y) kx ky
(Lei distributiva) (viii) (k1 k2)x k1x k2x (Lei distributiva) (ix)
k1(k2x) (k1k2)x (x) 1x x
Nesta breve introduo para a simplificao de vetores, tomaremos os
escalares na Definio 1.5 como sendo nmeros reais. Nesse caso, V
referido como um es-pao vetorial real, apesar de no insistirmos
nesse termo. Quando se permite que os escalares sejam nmeros
complexos, obtemos um espao vetorial complexo. Como as propriedades
(i)-(viii) na pgina 22 so os prottipos para os axiomas na Definio
1.5, claro que R2 um espao vetorial. Alm disso, como os vetores em
R3 e Rn tm essas mesmas propriedades, conclumos que R3 e Rn so
tambm espaos vetoriais. Os axiomas (i) e (vi) so chamados de
axiomas de fechamento, e dizemos que um espao vetorial V est
fechado sob adio vetorial e multiplicao escalar. Observe, tambm,
que conceitos tais como comprimento e produto interno no so parte
da estrutura axiomtica de um espao vetorial.
Exemplo 1 Checagem dos axiomas de fechamentoDetermine se os
conjuntos (a) V {1} e (b) V {0} sob adio e multiplicao ordinrias
por nmeros reais so espaos vetoriais.
Soluo (a) Para esse sistema constitudo por um elemento, muitos
dos axiomas dados na Definio 1.5 so violados. Em particular, os
axiomas (i) e (vi) de fecha-mento no so satisfeitos. Nem a soma 1 1
2, nem o mltiplo escalar k 1 k, para k 1, esto em V. Portanto, V no
um espao vetorial.
(b) Nesse caso, os axiomas de fechamento so satisfeitos, pois 0
0 0 e k 0 0 para qualquer nmero real k. Os axiomas comutativo e
associativo so satisfeitos, pois 0 0 0 0 e 0 (0 0) (0 0) 0. Dessa
maneira, e fcil verificar que os axiomas restantes so tambm
satisfeitos. Portanto, V um espao vetorial.
O espao vetorial V {0} muitas vezes chamado de espao vetorial
trivial ou zero.
Se essa for a sua primeira experincia com o conceito de um vetor
simplifica-do, ento aconselhamos que voc no leve os nomes adio
vetorial e multiplicao escalar to ao p da letra. Essas operaes so
definidas e voc tem que aceit-las apesar de elas no serem
semelhantes compreenso usual de adio e multiplicao ordinrias em,
digamos, R, R2, R3 ou Rn. Por exemplo, a adio de dois vetores x e y
poderia ser x y. Com esse aviso prvio, considere o prximo
exemplo.
Exemplo 2 Um exemplo de um espao vetorialConsidere o conjunto V
de nmeros reais positivos. Se x e y denotarem nmeros reais
positivos, ento escrevemos vetores em V como x x e y y. Agora a
adio de vetores definida por
e a multiplicao escalar definida por
Determine se V um espao vetorial.
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1.6 Espaos Vetoriais 53
Soluo Avaliaremos todos os dez axiomas. (i) Para x x 0 e y y 0,
x y xy 0. Assim, a soma x y est em
V; V est fechado sob adio. (ii) Como a multiplicao de nmeros
reais positivos comutativa, temos para
todo x x e y y em V, x y xy yx y x. Assim, a adio
comutativa.
(iii) Para todo x x, y y, z z em V,x (y z) x(yz) (xy)z (x y)
z.
Dessa forma, a adio associativa. (iv) Como 1 x 1x x x e x 1 x1 x
x, o vetor zero 0 1 1. (v) Se definirmos , ento
Portanto, o negativo de um vetor seu recproco. (vi) Se k for
qualquer escalar e x x 0 for qualquer vetor, ento kx xk
0. Conseqentemente, V est fechado sob multiplicao escalar. (vii)
Se k for qualquer escalar, ento
(viii) Para escalares k1 e k2,
(ix) Para escalares k1 e k2,
(x) 1x x1 x x.Como todos os axiomas da Definio 1.5 foram
satisfeitos, conclumos que V um espao vetorial.
A seguir so indicados alguns espaos vetoriais importantes
mencionamos al-guns deles anteriormente. As operaes de adio
vetorial e multiplicao escalar so as operaes usuais associadas com
o conjunto.
O conjunto R de nmeros reaisO conjunto R2 de pares ordenadosO
conjunto R3 de triplos ordenadosO conjunto Rn de enuplas ordenadasO
conjunto Pn de polinmios de grau menor ou igual a nO conjunto P de
todos os polinmiosO conjunto de funes reais f definidas por todo o
eixo realO conjunto C[a, b] de funes reais f contnuas no intervalo
fechado a x bO conjunto C(,) de funes reais f contnuas por todo o
eixo realO conjunto Cn[a, b] de todas as funes reais f para as
quais f, f , f ,..., f (n) existem e so contnuas no intervalo [a,
b]
Subespao Pode ocorrer de um subconjunto de vetores W de um espao
vetorial V ser por si s um espao vetorial.
SubespaoSe um subconjunto W de um espao vetorial V for por si s
um espao vetorial su-jeito s operaes de adio vetorial e multiplicao
escalar definidas em V, ento W denominado um subespao de V.
D E F I N I O 1 . 6
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54 CAPTULO 1 Vetores
Todo espao vetorial V tem ao menos dois subespaos: o prprio V e
o subespao zero{0}; {0} um subespao, pois o vetor zero tem que ser
um elemento em todo espao vetorial.
Para mostrar que um subconjunto W de um espao vetorial V um
subespa-o, no necessrio demonstrar que todos os dez axiomas da
Definio 1.5 so sa-tisfeitos. Como todos os vetores em W esto tambm
em V, esses vetores tem que satisfazer axiomas tais como (ii) e
(iii). Em outras palavras, W herda a maioria das propriedades de um
espao vetorial a partir de V. Como indica o prximo teorema,
precisamos somente checar os dois axiomas de fechamento para
demonstrar que um subconjunto W um subespao de V.
Critrio para um subespaoUm subconjunto no-vazio W de um espao
vetorial V um subconjunto de V se e somente se W for fechado sob
adio vetorial e multiplicao escalar definidas em V: (i) Se x e y
estiverem em W, ento x y estar em W. (ii) Se x estiver em W e k for
qualquer escalar, ento kx estar em W.
T E O R E M A 1 . 4
Exemplo 3 Um subespaoSuponha f e g funes reais contnuas
definidas por todo o eixo real. Ento sabemos do clculo que f g e
kf, para qualquer nmero real k, so funes contnuas e reais. A partir
disso, podemos concluir que C(,) um subespao do espao vetorial de
funes reais definidas por todo o eixo real.
Exemplo 4 Um subespaoO conjunto Pn de polinmios de grau menor ou
igual a n um subespao de C(,), o conjunto de funes reais contnuas
por todo o eixo real.
sempre uma boa idia ter visualizaes concretas de espaos e
subespaos vetoriais. Os subespaos do espao vetorial R3 de vetores
tridimensionais podem ser facilmente visualizados pensando-se o
vetor como um ponto (a1, a2, a3). Obviamen-te, {0} e R3 por si s so
subespaos; outros subespaos so todas as retas passando pela origem
e todos os planos passando pela origem. As retas e planos tem que
passar atravs da origem, pois o vetor zero 0 (0, 0, 0) tem que ser
um elemento em cada subespao.
Independncia linearUm conjunto de vetores {x1, x2,..., xn} dito
ser linearmente independente se as nicas constantes que satisfazem
a equao
(3)forem k1 k2 ... kn 0. Se o conjunto de vetores no for
linearmente indepen-dente, ento ele dito ser linearmente
dependente.
D E F I N I O 1 . 7
Em R3, os vetores i 1, 0, 0, j 0, 1, 0 e k 0, 0, 1 so
linearmente inde-pendentes, pois a equao k1i k2j k3k 0 igual a
Pela igualdade de vetores, (ii) da Definio 1.2, conclumos que k1
0, k2 0 e k3 0. Na Definio 1.7, dependncia linear significa que
existem constantes k1, k2,..., kn nem todas zero, de modo que k1x1
k2x2 ... knxn 0. Por exemplo, em R
3 os
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1.6 Espaos Vetoriais 55
vetores a 1,1,1, b 2,1,4 e c 5,2,7 so linearmente dependentes,
pois (3) satisfeito quando k1 k2 1 e k3 1:
Observamos que dois vetores so linearmente independentes se
nenhum deles for um mltiplo constante do outro.
Base Qualquer vetor em R3 pode ser escrito como uma combinao
linear dos vetores linearmente independentes i, j e k. Na Seo 1.2,
dizemos que esses vetores formam uma base para o sistema de vetores
tridimensionais.
Base para um espao vetorialConsidere um conjunto de vetores B
{x1, x2,..., xn} em um espao vetorial V. Se o conjunto B for
linearmente independente e se todo vetor em V puder ser escrito
como uma combinao linear desses vetores, ento B dito ser uma base
para V.
D E F I N I O 1 . 8
Bases padro Apesar de no sermos capazes de demonstrar isso nesse
curso, todo espao vetorial possui uma base. O espao vetorial Pn de
todos os polinmios de grau menor ou igual a n tem a base {1, x,
x2,..., xn}, pois qualquer vetor (polin-mio) p(x) de grau n ou
menor pode ser escrito como a combinao linear p(x) cnxn ... c2x
2 c1x c0. Um espao vetorial pode ter muitas bases.
Mencionamos
anteriormente que o conjunto de vetores {i, j, k} uma base para
R3. Porm, pode-se demonstrar que {u1, u2, u3}, onde
um conjunto linearmente independente (veja o Problema 23 nos
Exerccios 1.6) e, alm disso, mesmo o vetor a a1, a2, a3 pode ser
escrito como uma combinao linear a c1u1 c2u2 c3u3. Portanto, o
conjunto de vetores outra base para R3. De fato, qualquer conjunto
de trs vetores linearmente independentes uma base para aquele
espao. Entretanto, o conjunto {i, j, k} referido como a base padro
para R3. A base padro para o espao Pn , obviamente, {1, x, x2,...,
xn}. Para o espao vetorial Rn, a base padro consiste dos n
vetores
(4)Se B for uma base para um espao vetorial V, ento para todo
vetor v em V existem escalares ci, i 1, 2,..., n de modo que
(5)Os escalares ci, i 1, 2,..., n na combinao linear (5) so
chamados de coordenadas de v relativas base B. Em Rn, a notao da
enupla a1, a2,..., an para um vetor a sig-nifica que nmeros reais
a1, a2,..., an so as coordenadas de a relativas base padro com eis
na ordem exata indicada em (4).
Dimenso Se um espao vetorial V tem uma base B constituda por n
vetores, ento pode-se demonstrar que toda base para aquele espao
tem que conter n vetores. Isso nos leva prxima definio.
Dimenso de um espao vetorialO nmero de vetores em uma base B
para um espao vetorial V dito ser a dimen-so do espao.
D E F I N I O 1 . 9
Exemplo 5 Dimenses de alguns espaos vetoriais
(a) Em concordncia com a nossa intuio, as dimenses dos espaos
vetoriais R, R2, R3 e Rn so, respectivamente, 1, 2, 3 e n.
Leia diversas vezes a ltima sentena.
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56 CAPTULO 1 Vetores
(b) Como existem n 1 vetores na base padro B {1, x, x2,..., xn},
as dimenses do espao vetorial Pn de polinmios de grau menor ou
igual a n n 1.
(c) Ao espao vetorial zero {0} dada considerao especial. Esse
espao contm somente 0, e como {0} um conjunto linearmente
dependente, ele no uma base. Nesse caso, comum tomarmos o conjunto
vazio como a base e definirmos a dimenso de {0} como zero. Se a
base de um espao vetorial contiver um nmero finito de vetores,
ento
dizemos que o espao vetorial de dimenso finita, do contrrio de
dimenso infinita. A funo espao Cn(I) de n vezes funes diferenciveis
contnuas em um intervalo I um exemplo de um espao vetorial de
dimenso infinita.
Equaes diferenciais lineares Considere a equao diferencial
linear homog-nea de ordem n
(6)
em um intervalo I no qual os coeficientes sejam contnuos e an(x)
0 para todo x no intervalo. Uma soluo y1 de (6) necessariamente um
vetor no espao vetorial Cn(I). Alm disso, que se y1 e y2 so solues
de (6), ento a soma y1 y2 e qualquer mltiplo constante ky1 so tambm
solues. Como o conjunto soluo fechado sob adio e multiplicao
escalar, decorre do Teorema 1.4 que o conjunto soluo de (6) um
subespao de Cn(I). Por conseguinte, o conjunto soluo de (6) merece
ser chamado de espao soluo da equao diferencial. Sabemos tambm que
se {y1, y2,..., yn} so solues linearmente independentes de (6),
ento sua soluo geral da equao diferencial a combinao linear
Relembre que qualquer soluo da equao pode ser determinada a
partir dessa so-luo geral pela especializao das constantes c1,
c2,..., cn. Portanto, o conjunto de solues linearmente independente
{y1, y2,..., yn} uma base para o espao soluo. A dimenso desse espao
soluo n.
Exemplo 6 Dimenso de um espao soluoA soluo geral da equao
diferencial linear homognea de segunda ordem y 25y 0 y c1cos 5x
c2sen 5x. Uma base para o espao soluo constituda pelos vetores
linearmente independentes {cos 5x, sen 5x}. O espao soluo
bidimensional.
O conjunto de solues de uma equao diferencial linear no-homognea
no um espao vetorial. Diversos axiomas de um espao vetorial no so
satisfeitos; prin-cipalmente, o conjunto de solues no contm um
vetor zero. Em outras palavras, y 0 no uma soluo de uma equao
diferencial linear no-homognea.
Span Considerando que S representa qualquer conjunto de vetores
{x1, x2,..., xn}em um espao vetorial V, ento o conjunto de todas as
combinaes lineares dos vetores x1, x2,..., xn em S,
onde os ki, i 1, 2,..., n so escalares, chamado de span dos
vetores e escrito Span(S) ou Span(x1, x2,..., xn). Deixa-se como um
exerccio demonstrar que o Span(S) um subespao do espao vetorial V.
Veja o Problema 33 nos Exerccios 1.6. Span(S) dito ser um subespao
gerado pelos vetores x1, x2,..., xn. Se V Span(S), ento di-zemos
que S um conjunto de span (ou conjunto gerador) para o espao
vetorial V, ou que S gera (spans) V. Por exemplo, cada um dos trs
conjuntos
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1.6 Espaos Vetoriais 57
so conjuntos geradores para o espao vetorial R3. Observe, porm,
que os primeiros dois conjuntos so linearmente dependentes,
enquanto o terceiro conjunto depen-dente. Com esses novos
conceitos, podemos reformular as Definies 1.8 e 1.9 da seguinte
maneira:
Um conjunto S de vetores {x1, x2,..., xn} em um espao vetorial V
uma base para V se S for linearmente independente e for um conjunto
de span para V. O nmero de vetores nesse conjunto de span S a
dimenso do espao V.
Observaes
(i) Suponha que V seja um espao vetorial real arbitrrio. Se
existir um produto interno definido em V, no necessrio que ele se
assemelhe ao produto interno padro ou eucli-diano definido em Rn.
Representaremos um produto interno que no seja o produto inter-no
euclidiano pelo smbolo (u, v). Veja os Problemas 30, 31 e 38(b) nos
Exerccios 1.6.(ii) Um espao vetorial V no qual um produto interno
foi definido denominado um espao produto interno. Um espao vetorial
V pode ter mais do que um produto interno definido nele. Por
exemplo, um produto interno no-euclidiano definido em R2 (u, v)
u1v1 4u2v2, onde u u1, u2 e v v1, v2. Veja os Problemas 37 e 38(a)
nos Exerccios 1.6.(iii) Grande parte do nosso trabalho nos ltimos
captulos desse texto ocorreu em um espao vetorial de dimenso
infinita. Como tal, precisamos estender a definio de independncia
linear de um conjunto finito de vetores S {x1, x2,..., xn} dado na
Definio 1.7 para um conjunto infinito:
Um conjunto infinito de vetores S {x1, x2,...} dito ser
linearmente independen-te se todo subconjunto finito do conjunto S
for linearmente independente. Se o con-junto S no for linearmente
independente, ento ele linearmente dependente.
Notamos que se S contiver um subconjunto linearmente dependente,
ento todo o conjunto S linearmente dependente.
O espao vetorial P de todos os polinmios tem a base padro B {1,
x, x2,...}. O conjunto infinito B linearmente independente.
Nos Problemas 1-10, determine se o conjunto indicado um es-pao
vetorial. Se no for, apresente pelo menos um axioma que no seja
satisfeito. A menos que seja dito o contrrio, considere que a adio
vetorial e a multiplicao escalar so as operaes ordinrias definidas
no conjunto. 1. O conjunto de vetores a1, a2, onde a1 0, a2 0 2. O
conjunto de vetores a1, a2, onde a2 3a1 1 3. O conjunto de vetores
a1, a2, multiplicao escalar defini-
da por ka1, a2 ka1, 0 4. O conjunto de vetores a1, a2, onde a1
a2 0 5. O conjunto de vetores a1, a2, 0 6. O conjunto de vetores
a1, a2, adio e multiplicao esca-
lar definidas por
7. O conjunto de nmeros reais, adio definida por x y xy
8. O conjunto de nmeros complexos a bi, onde i2 1, adio e
multiplicao escalar definidas por
9. O conjunto de nmeros reais , adio e multipli-cao escalar
definidas por
10. O conjunto de todos os polinmios de grau 2
EXERCCIOS 1.6 As respostas de problemas mpares selecionados esto
nas pginas 286-287.
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58 CAPTULO 1 Vetores
Nos Problemas 11-16, determine se o conjunto indicado ou no um
subespao do espao vetorial C(, ). 11. Todas as funes f de modo que
f(1) 0 12. Todas as funes f de modo que f(0) 1 13. Todas as funes
no-negativas f 14. Todas as funes f de modo que f(x) f(x) 15. Todas
as funes diferenciveis f 16. Todas as funes f da forma f(x) c1ex
c2xex
Nos Problemas 17-20, determine se o conjunto indicado ou no um
subespao do espao vetorial indicado. 17. Polinmios da forma p(x)
c3x3 c1x; P3 18. Polinmios p que so divisveis por x 2; P2 19. Todos
os vetores unitrios; R3
20. Funes f de modo que 0 21. Em trs dimenses, uma reta atravs
da origem pode ser es-
crita como S {(x, y, z)|x at, y bt, z ct, a, b, c nme-ros
reais}. Com adio e multiplicao escalar igual para os vetores x, y,
z, mostre que S um subespao de R3.
22. Em trs dimenses, um plano atravs da origem pode ser es-crito
como S {(x, y, z)|ax by cz 0, a, b, c nmeros reais}. Mostre que S
um subespao de R3.
23. Os vetores u1 1, 0, 0, u2 1, 1, 0 e u3 1, 1, 1 for-mam uma
base para o espao vetorial R3.(a) Mostre que u1, u2 e u3 so
linearmente independentes.(b) Escreva o vetor a 3,4, 8 como uma
combinao
linear de u1, u2 e u3. 24. Os vetores p1(x) x 1, p2(x) x 1
formam uma base
para o espao vetorial P1.(a) Mostre que p1(x) e p2(x) so
linearmente independentes.(b) Escreva o vetor p(x) 5x 2 como uma
combinao
linear de p1(x) e p2(x).
Nos Problemas 25-28, determine se os vetores indicados so
li-nearmente independentes ou linearmente dependentes. 25.
26.
27.
28.
29. Explique por que um vetor em C[0,3] mas no um vetor em
C[3,0].
30. Um espao vetorial V no qual um produto escalar ou interno
foi definido chamado um espao produto interno. Um produto interno
para o espao vetorial C[a,b] dado por
Em C[0, 2], calcule (x, sen x). 31. A norma de um vetor um espao
produto interno definido
em termos do produto interno. Para o produto interno indi-cado
no Problema 30, a norma de um vetor definida por
. Em C[0, 2], calcule ||x|| e ||sen x||. 32. Determine uma base
para o espao soluo de
33. Seja {x1, x2,..., xn}qualquer conjunto de vetores em um
espa-o vetorial V. Mostre que Span(x1, x2,..., xn) um subespao de
V.
Problemas para discusso 34. Discuta: R2 um subespao de R3? R2 e
R3 so subespaos
de R4? 35. No Problema 9, voc deve ter demonstrado que o
conjunto
M22 de nmeros reais 2 2
ou matrizes, um espao vetorial com adio vetorial e multiplicao
escalar definidas naquele problema. Determi-ne uma base para M22.
Qual a dimenso de M22?
36. Considere um conjunto ortogonal finito de vetores no-zero
{v1, v2,..., vk} em Rn. Discuta: esse conjunto linearmente
independente ou dependente?
37. Se u, v e w so vetores em um espao vetorial V, ento os
axiomas de um produto interno (u, v) so:
(i) (ii) k um escalar (iii) se e se (iv)
Mostre que (u, v) u1v1 4u2v2, onde u u1, u2 e v v1, v2, um
produto interno em R2.
38. (a) Determine um par de vetores no-zero u e v em R2 que no
seja ortogonal em relao ao produto interno pa-dro ou euclidiano u
v, mas seja ortogonal em relao ao produto interno (u, v) no
Problema 37.
(b) Determine um par de funes no-zero f e g em C[0, 2] que sejam
ortogonais em relao ao produto inter-no (f, g) indicado no Problema
30.
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1.7 Processo de Ortogonalizao de Gram-Schmidt 59
1.7 Processo de ortogonalizao de Gram-Schmidt
Introduo Na Seo 1.6, vimos que um espao vetorial V pode ter
diferentes bases. Relembrando, as caractersticas definidoras de
qualquer base B {x1, x2,..., xn} de um espao vetorial V so:
o conjunto B linearmente independente, eo conjunto B gera
(spans) o espao.
Nesse contexto, a