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Apostila Preparatoriapara o
Vestibular Vocacionado UDESC
Aline Felizardo GolcalvesAndre Alexandre SilveiraAndre Antonio
Bernardo
Cesar MancheinFlabio Esteves Cordeiro
Gisele Maria Leite DalmonicoMarcio Rodrigo Loos
Priscila FischerRicardo Fernandes da Silva
Sidinei SchaeferProfessores
Luciano Camargo MartinsCoordenador
Revisao 1.2 de 29 de agosto de 2007
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2
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MUNDO FISICO
Nossa Apostila
A edicao dessa apostila, concretiza os esforcos feitos desde
oano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de LicenciaturaPlena
em Fsica da UDESC mobilizaram-se por forca e von-tade propria no
desenvolvimento e apresentacao de um CursoPre-Vestibular aberto a`
comunidade, gratuito, que preparassemelhor os alunos interessados
nos cursos oferecidos pelo Centrode Ciencias Tecnologicas (CCT) da
UDESC-Joinville.
Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pre-Vestibularnao
chegou a se realizar, por razoes puramente burocraticas,apesar dos
esforcos gastos na preparacao das aulas e do mate-rial didatico
inicial.
Nos anos seguintes, a ideia original foi abracada por um
projetode extensao oficial, e so entao pode ser realizado com
sucesso,ja tendo atendido milhares de alunos desde entao.
Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamosque esse
material seja suficiente para a revisao dos conteudosexigidos pela
Universidade.
Convidamos a todos para que visitem o nosso site!
Nosso Endereco na Internet
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
Joinville-SC, 29 de agosto de 2007
Professor Luciano Camargo MartinsCoordenador da Home Page Mundo
Fsico
e-Mail: [email protected]
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ii
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Sumario
FISICA1
Mecanica Aula 1: Grandezas Fsicas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mecanica Aula 2: Algarismos Significativos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 2
Mecanica Aula 3: Grandezas Escalares e Vetoriais . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 5
Mecanica Aula 4: A Primeira Lei de Newton . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 8
Mecanica Aula 5: A Segunda Lei de Newton . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 10
Mecanica Aula 6: Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Mecanica Aula 7: Energia Potencial . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 15
Mecanica Aula 8: Trabalho e Energia Potencial . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 16
Mecanica Aula 9: Dinamica do Movimento Circular . . . . . . . .
. . . . . . . . 18
Mecanica Aula 10: Quantidade de Movimento . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 20
Mecanica Aula 11: Impulso e Momento . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 21
Mecanica Aula 12: Conservacao da Quantidade de Movimento . . . .
. . . 22
Mecanica Aula 13: Colisoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Mecanica Aula 14: Lei da Acao e Reacao . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 24
Mecanica Aula 15: Forca de Atrito . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Gravitacao Aula 1: As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 29
Gravitacao Aula 2: Gravitacao Universal . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 30
Gravitacao Aula 3: Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Gravitacao Aula 4: Centro de Gravidade . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 33
Otica Aula 1: Otica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Otica Aula 2: Espelhos Esfericos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Otica Aula 3: Refracao da Luz . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Otica Aula 4: Lentes Esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Otica Aula 5: Otica da Visao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Fluidos Aula 1: Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Fluidos Aula 2: Hidrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Cinematica Aula 1: Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
-
iv
Cinematica Aula 2: Movimento Uniforme (MU) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 57
Cinematica Aula 3: Movimento Uniformemente Variado (MUV) . . . .
. 59
Cinematica Aula 4: Queda Livre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Cinematica Aula 5: Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . .
. . . . 63
Ondas Aula 1: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Ondas Aula 2: Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Ondas Aula 3: Ondas e Interferencia . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 71
Ondas Aula 4: Som . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ondas Aula 5: Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Termodinamica Aula 1: Termodinamica . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 79
Termodinamica Aula 2: Dilatacao Termica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 80
Termodinamica Aula 3: Transformacoes Gasosas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 82
Termodinamica Aula 4: Lei de Avogrado . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 84
Termodinamica Aula 5: Modelo Molecular de um Gas . . . . . . . .
. . . . . . 85
Termodinamica Aula 6: Calor e Temperatura . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 87
Termodinamica Aula 7: Capacidade Termica (C) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 89
Termodinamica Aula 8: Primeira Lei da Termodinamica . . . . . .
. . . . . . 91
Termodinamica Aula 9: Maquinas Termicas . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 93
Termodinamica Aula 10: Mudancas de Fase . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 94
Termodinamica Aula 11: Sublimacao e Diagrama de Fases . . . . .
. . . . . . 96
Eletricidade Aula 1: Carga Eletrica . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Eletricidade Aula 2: Eletroscopio de Folhas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 101
Eletricidade Aula 3: Campo Eletrico . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 102
Eletricidade Aula 4: Potencial Eletrico . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 105
Eletricidade Aula 5: Superfcies Equipotenciais . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 107
Eletricidade Aula 6: Condutores em Equilbrio . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 109
Eletricidade Aula 7: Capacidade Eletrica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 112
Eletricidade Aula 8: Associacao de Capacitores . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 113
Eletricidade Aula 9: Corrente Eletrica . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 115
Eletricidade Aula 10: Resistencia Equivalente . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 116
Eletricidade Aula 11: Instrumentos de Medida . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 119
Eletricidade Aula 12: Geradores e Forca Eletromotriz . . . . . .
. . . . . . . . . 121
-
vQUIMICA125
Qumica Aula 1: Estrutura Atomica . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 125
Qumica Aula 2: Modelos Atomicos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 126
Qumica Aula 3: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 129
Qumica Aula 4: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 132
Qumica Aula 5: A Estrutura da Materia . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 134
Qumica Aula 6: Teoria Cinetica dos Gases . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 136
Qumica Aula 7: Acidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Qumica Aula 8: Solucoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 142
Qumica Aula 9: Equilbrio Ionico . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Qumica B Aula 1: O que e Qumica? . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 147
Qumica B Aula 2: Materia e Energia . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 148
Qumica B Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 150
Qumica B Aula 4: Propriedades Periodicas . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 152
Qumica B Aula 5: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 155
Qumica B Aula 6: Ligacoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 156
Qumica B Aula 7: Equacoes e Reacoes Qumicas . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 159
Qumica B Aula 8: Equacoes e Reacoes (II) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 161
Qumica B Aula 9: Solucoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 163
Qumica B Aula 10: Funcoes Qumicas . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 166
Qumica B Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 168
Qumica B Aula 12: Eletroqumica . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 171
Qumica Organica Aula 1: Introducao a` Qumica Organica . . . . .
. . . . . 175
Qumica Organica B Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 178
MATEMATICA183
Matematica A Aula 1: Relacoes e Funcoes . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 183
Matematica A Aula 2: Funcoes Polinomiais . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 187
Matematica A Aula 3: Funcoes Especiais . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 191
Matematica A Aula 4: Funcoes Especiais (II) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 193
Matematica A Aula 5: Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Matematica A Aula 6: Equacoes Algebricas . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 199
Matematica A Aula 7: Geometria Analtica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 200
Matematica A Aula 8: Geometria Analtica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 203
-
vi
Matematica A Aula 9: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 206
Matematica A Aula 10: Circunferencia - II . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 207
Matematica B Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Matematica B Aula 2: Operacoes com Matrizes . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 212
Matematica B Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 214
Matematica B Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 216
Matematica B Aula 5: Discussao de um Sistema Linear . . . . . .
. . . . . . . 218
Matematica B Aula 6: Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 219
Matematica B Aula 7: Progressao Geometrica (PG) . . . . . . . .
. . . . . . . . 221
Matematica C Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 225
Matematica C Aula 2: Conjuntos Numericos . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 228
Matematica C Aula 3: Numeros complexos (C) . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 230
Matematica C Aula 4: Razoes e Proporcoes . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 234
Matematica C Aula 5: Regras de Tres Simples e Composta . . . . .
. . . . . 235
Matematica C Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 236
Matematica C Aula 7: Analise Combinatoria . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 239
Matematica C Aula 8: Arranjo, Combinacao e Permutacao . . . . .
. . . . . 240
Matematica C Aula 9: Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 242
Matematica C Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 245
Matematica C Aula 11: Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 247
Matematica C Aula 12: Equacoes Trigonometricas . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 250
Matematica C Aula 13: Introducao a` Geometria . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 252
Matematica C Aula 14: Triangulos . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 256
Matematica C Aula 15: Quadrilateros . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 259
Matematica C Aula 16: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 262
Matematica C Aula 17: Polgonos e Figuras Planas . . . . . . . .
. . . . . . . . . 263
Matematica C Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 265
Matematica C Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Matematica C Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 268
LINGUA PORTUGUESA273
Lngua Portuguesa 01: Variantes Lingusticas . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 273
Lngua Portuguesa 02: Acentuacao Grafica . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 274
Lngua Portuguesa 03: Concordancia Nominal . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 276
Lngua Portuguesa 04: Concordancia Verbal . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 277
Lngua Portuguesa 05: Colocacao Pronominal . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 279
-
vii
Lngua Portuguesa 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Lngua Portuguesa 07: Interpretacao de Textos . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 282
Lngua Portuguesa 08: Sinonimos, Antonimos e etc. . . . . . . . .
. . . . . . . . 284
HISTORIA287
Historia Aula 1: Historia de Santa Catarina . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 287
Grade de Respostas (PARCIAL)291
Referencias Bicliograficas299
-
Fsica
Mecanica Aula 1
Grandezas Fsicas
Apesar de existirem muitas grandezas fsicas, sao
estabelecidospadroes e definidas unidades para que tenhamos um
numeromnimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizandoas
grandezas fundamentais definem-se unidades para todas asdemais
grandezas, as chamadas grandezas derivadas.
A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimentopor
exemplo, cuja unidade e o metro (m), pode-se definir asunidades
derivadas, como area (m2) e volume (m3). Utilizandoo metro e outra
grandeza fundamental, a de tempo, definem-seas unidades de
velocidade (m/s) e aceleracao (m/s2).
Sistema Internacional(SI)
Ate o final do seculo XV III era muito grande a quantidadede
padroes existentes. Cada regiao escolhia arbitrariamenteas suas
unidades. Por motivos historicos, os pases de lnguainglesa utilizam
ate hoje os seus padroes regionais. O elevadoaumento nos
intercambios economicos e culturais levou ao sur-gimento do Sistema
Internacional de Unidades ou SI, o sistemametrico.
Grandeza Unidade Smbolocomprimento metro mmassa quilograma
kgtempo segundo scorrente eletrica ampe`re Atemperatura kelvin
Kquantidade de materia mol molintensidade luminosa candela cd
Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.
Em 1971, a 14a Conferencia Geral de Pesos e Medidas escolheusete
grandezas como fundamentais, formando assim a base doSI. Alem das
grandezas, definiu-se tambem os smbolos, uni-dades derivadas e
prefixos. A tabela 1.1 mostra as unidadesfundamentais do SI. A
tabela 1.2 apresenta algumas unidadesderivadas do SI.
Notacao Cientfica
A medida de uma determinada grandeza fsica pode resultarem um
numero que seja extremamente grande ou extrema-mente pequeno, por
exemplos temos:
distancia da Terra a` Lua: 384.000.000m.
Grandeza Unidade Smboloarea metro qua-
dradom2
volume metro cubico m3
densidade quilogramapor metrocubico
kg/m3
velocidade metro por se-gundo
m/s
aceleracao metro porsegundo aoquadrado
m/s2
forca newton N = Kgm/s2
pressao pascal Pa = N/m2
trabalho, energia, calor joule Jpotencia watt W = J/scarga
eletrica coulomb C = Asdiferenca de potencial volt V =
J/Cresistencia eletrica ohm = V/A
Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.
Prefixo Smbolo Potencia de dezcorrespondente
pico p 1012
nano n 109
micro 106
mili m 103
centi c 102
deci d 101
deca D 101
hecto H 102
quilo k 103
mega M 106
giga G 109
tera T 1012
Tabela 1.3: Prefixos, smbolos e potencias de dez.
diametro de um atomo de hidrogenio: 0, 0000000001m.
Para manipular tais numeros, utilizamos a notacao
cientfica,fazendo uso das potencias de 10.
O modulo de qualquer numero g pode ser escrito como umproduto de
uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que euma potencia de
dez:
g = a 10n ,onde devemos ter 1 a < 10.
Exemplos
243 = 2, 43 100 = 2, 43 102
1
-
2 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC
http://www.mundofisico.joinville.udesc.br
5.315 = 5, 315 1000 = 5, 315 103
0, 00024 = 2, 4 0, 0001 = 2, 4 104
0, 00458 = 4, 58 0, 001 = 4, 58 103
Regra Pratica
Numeros maiores que 1: deslocamos a vrgula para aesquerda, ate
atingir o primeiro algarismo do numero. Onumero de casas deslocadas
para a esquerda correspondeao expoente positivo da potencia de
10.
Numeros menores do que 1: deslocamos a vrgulapara a direita, ate
o primeiro algarismo diferente de zero.O numero de casas deslocadas
para a direita correspondeao expoente negativo da potencia de
10.
Pense um Pouco!
Quais sao as unidades de Peso e de massa? por que elasnao sao
iguais?
Um analgesico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kgde massa
corporal, mas a dose administrada nao pode ex-ceder 200 mg. Cada
gota contem 5 mg do remedio. Quan-tas gotas devem ser prescritas a
um paciente de 80 kg?
Exerccios de Aplicacao
1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimensoes e asunidades,
no sistema internacional,
Grandeza Dimensao Unidades SIComprimento L m (metro)Massa M kg
(quilograma)Tempo T s (segundo)
das grandezas mecanicas primarias:a) Sabendo que forca = massa
aceleracao, expresse a unidadede forca em unidades de grandezas
primarias.b) Determine os valores de n e p, se a expressao MLnT
np
corresponde a` dimensao de energia cinetica.
2. (FGV-SP) A dimensao de potencia em funcao das grande-zas
fundamentais, massa (M), comprimento (L) e tempo (T )e:a) ML2T2
b) ML2T1
c) ML2T 2
d) ML2T3
e) MLT2
3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min,
ointervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun-dos,
e de:a) 3, 0 102.b) 3, 0 103.c) 3, 6 103.d) 6, 0 103.e) 7, 2
103.
Exerccios Complementares
4. (UFPI) A nossa galaxia, a Via Lactea, contem cerca de400
bilhoes de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelaspossuam um
sistema planetario onde exista um planeta seme-lhante a` Terra. O
numero de planetas semelhantes a` Terra, naVia Lactea, e:a) 2
104.b) 2 106.c) 2 108.d) 2 1011.e) 2 1012.5. Transforme em
quilometros:a) 3600m;b) 2.160.000 cm;c) 0, 03m;d) 5.780 dm;e)
27.600m;f) 5.800 mm;
6. (Unifor-CE) Um livro de Fsica tem 800 paginas e 4, 0 cmde
espessura. A espessura de uma folha do livro vale, emmilmetros:a)
0, 025.b) 0, 050.c) 0, 10.d) 0, 15.e) 0, 20.
7. Escreva os seguintes numeros em notacao cientfica:a)
570.000b) 12.500c) 50.000.000d) 0, 0000012e) 0, 032f) 0, 72g) 82
103h) 640 105i) 9.150 103j) 200 105k) 0, 05 103l) 0, 0025 104
Mecanica Aula 2
Algarismos Significativos
A precisao de uma medida simples depende do instrumentoutilizado
em sua medicao. Uma medida igual a 2, 00 cm naodeve ser escrita
como 2, 0 cm ou 2 cm.
Denominamos algarismos significativos todos os algarismos
co-nhecidos com certeza, acompanhados de um ultimo duvidoso,que
expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to-dos os
algarismos que representam a medida de uma grandezasao algarismos
significativos, sendo chamados de corretos, comexcecao do ultimo,
que recebe o nome de algarismo duvidoso.
O algarismo duvidoso de uma medida sera sublinhado
paradestaca-lo, quando for preciso.
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Mecanica Aula 2 3
Exemplos
1. A medida 2, 35 cm apresenta tres algarismos significativos(2,
3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e umalgarismo
duvidoso (5).
2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris-mos
significativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e umduvidoso (7).
Observe que os zeros a` esquerda nao saoalgarismos significativos,
pois servem apenas para posi-cionar a vrgula no numero. Nesse caso,
e aconselhavelescrever a medida em notacao cientfica: 5, 7 104
mm.
3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos
significa-tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o ultimo
zero eo algarismo duvidoso. Em notacao cientfica escrevemos:1, 5000
102 km. Note que ao escrevermos um numerousando as potencias de 10
mantemos a quantidade de al-garismos significativos deste numero,
ou seja, mantemossua precisao.
4. Considere a medida do comprimento de uma haste comregua com
divisoes em centmetros:
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
Qual das opcoes abaixo melhor representa o comprimentoda
haste?
a) 5, 0 cm
b) 5, 40 cm
c) 5 cm
d) 5, 5 cm
e) 5, 2 cm
5. Considere a figura:
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
A mesma haste do exemplo anterior, medida agora comuma regua
milimetrada:
a) 5, 2 cm
b) 5, 240 cm
c) 5, 45 cm
d) 5, 24 cm
e) 5, 21 cm
6. Indique o numero de algarismos significativos de cadanumero
abaixo:
a) 7, 4 2 significativos
b) 0, 0007 1 significativo
c) 0, 034 2 significativos
d) 7, 40 1010 3 significativos
Criterios de Arredondamento
Considere a velocidade da luz c = 2, 9979 . . . 108 m/s.Como
devemos proceder para escrever c com um numero me-nor de algarismos
significativos? Devemos utilizar os criteriosde arredondamento.
Podemos escrever:
c = 2, 998 108 m/s 4 significativosc = 3, 00 108 m/s 3
significativosc = 3, 0 108 m/s 2 significativos
REGRAS
Se o algarismo a ser eliminado e menor que 5, ele e
sim-plesmente eliminado.
Exemplo:2 = 1, 41421 . . . = 1, 414
Se o algarismo a ser eliminado e igual ou maior que 5, ele
eeliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismoanterior.
Exemplo: = 3, 1415926 . . . = 3, 1416
Operacoes com Algarismos Significativos
Adicao e Subtracao
O resultado da adicao e subtracao de dois numeros nao podeter
maior numero de casas decimais, do que a parcela maispobre (em
casas decimais). Procede-se a operacao normal-mente e arredonda-se
o resultado.
Exemplos
5, 3 m+ 4, 38m = 9, 68 m = 9, 7 m 138, 95m 12, 3 m = 126, 65m =
126, 7m
Sublinhamos o algarismo duvidoso, identificando-o, para a
se-guir procedermos o arredondamento.
Multiplicacao e Divisao
O resultado de uma multiplicacao e divisao nao pode ter
maiornumero de algarismos significativos do que o fator maispobre
(em algarismos significativos). Procede-se a operacaonormalmente e
arredonda-se o resultado.
Exemplos
4, 23 m 2, 0 m = 8, 46 m2 = 8, 5 m2
4, 98 cm 2, 0 s = 2, 49 cm/s = 2, 5 cm/s
Relacoes entre Grandezas Fsicas
Muitos fenomenos fsicos podem ser reduzidos ao estudo darelacao
entre duas grandezas. Quando isto ocorre, os dados ob-tidos das
medicoes podem ser expressos por uma representacaografica num plano
cartesiano por meio de dois eixo perpendi-culares entre si.
Atraves da representacao grafica da relacao entre duas
grande-zas pertencentes a um determinado fenomeno fsico,
podemosobter algumas conclusoes sobre o comportamento de uma
das
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grandezas (variavel dependente) em relacao a outra
(variavelindependente).
Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre
foimedicada, ingerindo uma dose do medicamento a`s 8 horas euma
outra dose a`s 12 horas da manha. A temperatura dapessoa foi
verificada de hora em hora e os resultados obtidossao mostrados
abaixo.
Tempo (h) Temperatura (C)0 39,01 39,02 38,53 38,04 38,55 37,56
37,07 36,58 36,59 36,5
Podemos representar os dados da tabela acima em um grafico.A
representacao grafica das variaveis temperatura (variavel
de-pendente: eixo vertical) e tempo (variavel independente:
eixohorizontal) esta mostrada na Fig. 1.1.
35.0
36.0
37.0
38.0
39.0
40.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
T(oC
)
t(h)
Figura 1.1: Grafico da temperatura em funcao do tempo
O grafico cartesiano mostrado anteriormente, alem de facilitara
visualizacao do comportamento da temperatura da pessoadurante as 9
horas de observacao, permite tambem, algumasconclusoes.
Como Construir um Grafico
Para que graficos sejam construdos de forma objetiva e clarae
necessario respeitar algumas regras simples:
O eixo vertical e chamado de eixo das abscissas e o hori-zontal
de eixo das coordenadas;
a variavel dependente deve ser colocada no eixo vertical ea
variavel independente no eixo horizontal;
os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo dopapel,
ou espaco (retangulo) reservado para o grafico;
as escalas sao independentes e devem ser construdas
in-dependentemente;
as divisoes numericas das escalas (lineares) devem ser
re-gulares;
o valor zero (0) nao precisa estar em nenhuma das escalas; as
escalas devem crescer da esquerda para a direita, e debaixo para
cima;
antes de iniciar a construcao de um grafico deve-se ve-rificar a
escala a ser usada levando em consideracao osvalores extremos, ou
seja, o maior e o menor valor assu-mido por ambas as variaveis do
grafico. Divide-se entao oespaco disponvel, em cada eixo, para que
acomode todosos pontos experimentais;
o teste final para saber se as escalas estao boas e
feitoverificando-se se e facil de ler as coordenadas de
qualquerponto nas escalas.
Pense um Pouco!
A funcao da posicao x em relacao ao tempo t de um pontomaterial
em movimento retilneo, expressa em unidades doSI, e
x = 10 + 5, 0t
Determine:a) a posicao do ponto material no instante 5, 0 s;b) o
instante em que a posicao do ponto material e x =50 m;c) esboce o
grafico x t do movimento.
Exerccios de Aplicacao
1. Determine o comprimento de cada haste:
a)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
b)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
c)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
d)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
e)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
f)
0 cm 1 2 3 4 5 6 7
2. (UFSE) A escala de uma trena tem, como menor divisao,o
milmetro. Essa trena e utilizada para se medir a distancia
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Mecanica Aula 3 5
entre dois tracos paralelos, muito finos, feitos por um
estiletesobre uma superfcie plana e lisa. Considerando que nao
houveerro grosseiro, o resultado de uma so medicao, com o
numerocorreto de algarismos significativos, e mais bem
representadopor:a) 2 mb) 21 dmc) 214 cmd) 2, 143me) 2.143, 4m
Exerccios Complementares
3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento desua
mesa de trabalho. Nao dispondo de regua, decide utilizarum toco de
lapis como padrao de comprimento. Verifica entaoque o comprimento
da mesa equivale ao de 13, 5 tocos de lapis.Chegando ao colegio,
mede com uma regua o comprimento doseu toco de lapis, achando 8, 9
cm. O comprimento da mesasera corretamente expresso por:a) 120, 15
cmb) 120, 2 cmc) 1 102 cmd) 1, 2 102 cme) 102 cm
4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apos realizar a
medidanecessaria, que o volume de um dado e 2, 36 cm3. Levando-seem
conta os algarismos significativos, o volume total de cincodados,
identicos ao primeiro, sera corretamente expresso por:a) 6, 8
cm3
b) 7 cm3
c) 13, 8 cm3
d) 16, 80 cm3
e) 17, 00 cm3
5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas,sem
considerar as capas, um estudante obteve a medida de1, 0 cm. A
ordem de grandeza da espessura media de umafolha e:a) 101 mmb) 102
mmc) 103 mmd) 104 mme) 105 mm
Mecanica Aula 3
Grandezas Escalares e Vetoriais
Na Fsica tratamos de dois tipos principais de grandezas:
asgrandezas escalares e grandezas vetoriais.
Grandezas Escalares
A grandeza escalar e aquela que fica perfeitamente
carac-terizada quando conhecemos apenas sua intensidade
acom-panhada pela correspondente unidade de medida. Como
exemplos de grandeza fsica escalar podemos citar a massa deum
corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem-plo 36 oC), o
volume (5 m3, por exemplo), a densidade (paraa agua, 1000 kg/m3), a
pressao (105 N/m2), a energia (porexemplo 100 J) e muitas
outras.
Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras
deoperacoes algebricas comuns, arredondando-se quando
ne-cessario.
Grandezas Vetoriais
Dada a velocidade instantanea de um movel qualquer (porexemplo,
um aviao a 380 km/h), constatamos que apenas essaindicacao e
insuficiente para dizermos a direcao em que o movelsegue. Isso
acontece porque a velocidade e uma grandezavetorial.
Para uma grandeza fsica vetorial ficar totalmente
caracteri-zada, e necessario saber nao apenas a sua intensidade
oumodulo mas tambem a sua direcao e o seu sentido. Geral-mente a
grandeza vetorial e indicada por uma letra com umasetinha (por
exemplo, ~v) e o modulo ou intensidade, por |~v| ousimplesmente por
v.
A grandeza fsica vetorial pode ser representada graficamentepor
um segmento de reta (indicando a direcao da grandeza)dotado de uma
seta (indicativa de seu sentido) e trazendoainda seu valor seguido
da unidade de medida (indicacao deseu modulo ou intensidade). Tal
representacao e denominadavetor.
No exemplo anterior do aviao, poderamos dizer, por exemplo,que
ele se movimenta num certo instante com velocidade ~v,de modulo v =
380 km/h, na direcao norte-sul e sentido desul para norte. Essa
velocidade vetorial instantanea pode serrepresentada por um vetor,
como mostra a figura 1.1.
N
S
O L
380 km/h
Figura 1.1: Exemplo de representacao vetorial
Como afirmamos anteriormente, para representar
grandezasvetoriais e preciso indicar, alem do modulo, a direcao e o
sen-tido da grandeza. Podemos fazer essa indicacao utilizando
umvetor (veja a figura 1.2). O vetor pode ser representado porum
segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade -
eproporcional a` intensidade da grandeza que representa.
Para melhor entendermos o significado e a representacao deum
vetor, observe a figura 1.3.
Na figura de cima os vetores representados possuem mesmadirecao
e sentido; na figura de baixo os vetores apresentam amesma direcao
e sentidos opostos. Portanto, podemos notarque vetores de mesma
direcao sao paralelos, o que nao garanteque tenham o mesmo
sentido.
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S
Figura 1.2: A reta s, que contem o vetor, indica a direcao e
aseta indica o sentido
a
b d
a
b
c
Figura 1.3: Representacao de alguns vetores
Soma de Vetores Paralelos
Quando os vetores tem a mesma direcao, podemos determi-nar o
modulo do vetor soma estabelecendo convencionalmenteum sentido como
positivo e somando algebricamente os seusmodulos. Observe:
a
c
b
c
ba
d
Figura 1.4: De acordo com a convencao adotada, o modulodovetor
sera d = a+ b c.
Os vetores ~a, ~b e ~c possuem a mesma direcao
(horizontal).Adotamos como positivo o sentido horizontal para a
direita.Assim, os vetores ~a e ~b sao positivos e o vetor ~c e
negativo. Omodulo do vetor soma, ~d, e dado por
d = a+ b c
Se obtermos um valor positivo para ~d, isso significa que
seusentido e positivo, ou seja, o vetor e horizontal para a
direita;se for negativo, o seu sentido e negativo, isto e, o vetor
e hori-zontal para a esquerda.
Vetores Perpendiculares
Imaginaremos agora, que um movel parte de um ponto A e so-fre um
deslocamento ~d1 no sentido leste, atingindo um ponto Be, em
seguida, um deslocamento ~d2 no sentido norte, atingindoum ponto C
(veja a figura 1.5)
d 1
dd 2S
O L
N
BA
C
Figura 1.5: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1
e~d2. Portanto ~d = ~d1 + ~d2.
Podemos notar facilmente que o deslocamento ~d1, de A paraB, e o
~d2, de B para C, equivalem a um unico deslocamento, ~d,de A para
C. Desta forma, o deslocamento ~d e a soma vetorialou resultante
dos deslocamentos ~d1 e ~d2, ou seja,
~d = ~d1 + ~d2
Este resultado e valido para qualquer grandeza vetorial. Vejaa
figura 1.6.
a
c
b b
Figura 1.6: O vetor ~c e a resultante ou soma vetorial de ~a e
~b.
Os vetores ~a e ~b tem como vetor soma resultante o vetor ~c.
Ecrucial notar que a colocacao do vetor ~b na origem ou na
extre-midade do vetor ~a nao altera o vetor soma ~c. Deve-se
observarque os vetores ~a, ~b e ~c formam um triangulo retangulo,
em que~c e a hipotenusa ~a e ~b sao catetos. Para obtermos o
modulodo vetor resultante, basta aplicar o teorema de
Pitagoras:
c2 = a2 + b2
Soma de Vetores
A soma de vetores perpendiculares entre si ou de
direcoesquaisquer nao apresenta muita diferenca. Para um movel,
par-tir de A e atingir B num deslocamento ~d1 e, em seguida,
atingirC num deslocamento ~d2 equivale a partir de A e atingir C
numdeslocamento ~d (veja figura 1.7). Desta forma,
~d = ~d1 + ~d2
Na determinacao do modulo do vetor ~d resultante, nao po-demos
aplicar o teorema de Pitagoras, tendo em vista que o
-
Mecanica Aula 3 7
d
d 2
d 1A
C
B
Figura 1.7: O deslocamento ~d equivale aos deslocamentos ~d1
e~d2.
angulo entre ~d1 e ~d2 nao e reto (90o). Assim, aplicamos a
regra
do paralelogramo, como mostra a figura 1.8.
Os vetores ~a e ~b formam um paralelogramo cuja diagonal e
ovetor resultante ~c. De acordo com a regra do paralelogramo,se ~a
e ~b formam entre si um angulo , o modulo do vetorresultante ~c
sera dado pela expressao:
c2 = a2 + b2 + 2ab cos
Decomposicao de Vetores
Ao somarmos dois vetores, podemos obter um unico vetor,o vetor
resultante, equivalente aos dois vetores somados. Aodecompormos
dois vetores, realizamos um processo inverso.Dado um vetor ~a,
obtem-se outros dois vetores ~ax e ~ay tal que~ax + ~ay = ~a (veja
a figura 1.9).
O vetor ~ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor~ax de
tal forma que o vetor ~a e seus vetores componentes ~axe ~ay formem
um triangulo retangulo (figura 1.10). Aplicandoa trigonometria ao
triangulo retangulo, podemos determinar omodulo dos componentes ~ax
(horizontal) e ~ay (vertical) de ~aem funcao do angulo . Desta
forma, no triangulo hachuradoda figura 1.10, temos
cos =cateto adjacente
hipotenusa cos = ax
a
ax = a cos onde ax e o modulo da componente horizontal ~ax do
vetor ~a.Temos ainda
sin =cateto oposto
hipotenusa sin = ~ay
a
ay = a sinonde ay e o modulo da componente vertical ~ay do vetor
~a.
Podemos relacionar o modulo do vetor e o modulo de
seuscomponentes ortogonais, aplicando o teorema de Pitagoras
notriangulo formado por ~a e seus componentes ~ax e ~ay:
a2 = a2x + a2y
Pense um Pouco!
Qual a condicao para que a soma de dois vetores seja nula? O
modulo da soma de dois vetores pode ser igual a` somade seus
modulos? Quando?
O modulo de um vetor pode ser negativo? Por que?
cb
c
a
b
a
Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sao
osvetores ~a e ~b, e o vetor resultante ~c. Podemos deslocar o
vetor~b para outra extremidade de ~a, reproduzindo a figura
anterior.
Exerccios de Aplicacao
1. Um movel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e
emseguida, 50 m no sentido norte-sul.a) Represente esquematicamente
esses deslocamentos.b) Determine o modulo do deslocamento
resultante.
2. Na figura, F1 = F2 = 100 N . Determine o modulo daresultante
de F1 e F2. Dado: cos(120
) = 0, 50.
F1
F2120
o
3. Um projetil e atirado com velocidade de 400 m/s fazendoum
angulo de 45 com a horizontal. Determine os componentesvertical e
horizontal da velocidade do projetil.
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a
ax
a y
x
y
Figura 1.9: O vetor ~a pode ser decomposto em um
componentehorizontal, ~ax, e outro vertical, ~ay.
a
a y a y
ax
Figura 1.10: O vetor ~a e seus componentes ~ax e ~ay formamum
triangulo retangulo, onde ~a e a hipotenusa e ~ax e ~ay saoos
catetos.
Exerccios Complementares
4. Na figura abaixo estao representadas duas forcas: ~F1,
demodulo F1 = 5, 0 N e ~F2, de modulo F2 = 3, 0 N , formandoentre
si um angulo = 60. Determine a forca resultante ~FRpara o sistema
de forcas mostrado.
F2
F1
= 60 o
5. Um vetor velocidade e decomposto em dois outros,
perpen-diculares entre si. Sabendo que o modulo do vetor e 10, 0
m/se que um dos componentes tem modulo igual a 8, 0 m/s, deter-mine
o modulo do vetor correspondente ao outro componente.
6. Um projetil e lancado do solo segundo uma direcao queforma
53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s(veja a figura a
seguir). Determine o modulo dos componen-tes horizontal, ~vx, e
vertical, ~vy, dessa velocidade. Dados:sin(53) = 0, 80 e cos(53) =
0, 60
v
= 53 o
7. Um aviao voa no sentido sul-norte com uma velocidade de900
km/h. Num determinado instante passa a soprar um fortevento com
velocidade 50 km/h, no sentido sudoeste-nordeste.a) Faca um esquema
grafico representando a velocidade doaviao e do vento.b) Determine
o modulo da velocidade resultante. Dado:cos(45) = 0, 71.
Mecanica Aula 4
A Primeira Lei de Newton
O Conceito de Forca
Geralmente utilizamos uma forca com o objetivo de empur-rar,
puxar ou levantar objetos. Essa ideia e correta, poremincompleta. A
ideia de puxar ou empurrar esta quase sempreassociada a ideia de
contato, o que exclui uma caractersticafundamental da nocao de
forca: a acao a` distancia. A atracaogravitacional entre o Sol e a
Terra, por exemplo, e exercida amilhoes de quilometros de
distancia.
A palavra forca nao possui uma definicao unica, expressa
empalavras. A Fsica moderna admite a existencia de quatro ti-pos de
forca na natureza, chamadas mais adequadamente deinteracoes :
gravitacional, eletromagnetica, e as forcas nuclea-res forte e
fraca.
Em relacao ao estudo dos movimentos e de suas causas, pode-se
dizer que forca e a acao capaz de modificar a velocidade deum
corpo.
Como muitas outras grandezas em Fsica, a forca e uma gran-deza
vetorial, ou seja, possui modulo direcao e sentido. Pode-mos
resumir, entao a definicao de forca da seguinte forma:
Forca e uma grandeza vetorial que caracterizaa acao de um corpo
sobre outro e que temcomo efeito a deformacao ou a alteracao da
-
Mecanica Aula 4 9
velocidade do corpo sobre o qual ela esta sendoaplicada.
A Primeira Lei de Newton
Figura 1.1: Isaac Newton (1642-1727).
Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen-sar em
uma pergunta: o que acontece com o movimento deum corpo livre de
qualquer forca? Essa pergunta pode serrespondida em duas partes. A
primeira trata do efeito da ine-xistencia de forcas sobre o corpo
em repouso: se nenhumaforca atua sobre o corpo em repouso, ele
continua em repouso.A segunda parte trata do efeito da inexistencia
de forcas sobreo corpo em movimento: se nenhuma forca atua sobre o
corpoem movimento, ele continua em movimento.
Mas que tipo de movimento? Ja que nao existem forcas atu-ando
sobre o corpo, sua velocidade nao varia de modulo oudirecao. Desta
forma, o unico movimento possvel do corpo naausencia de qualquer
forca atuando sobre ele e o movimentoretilneo uniforme.
A Primeira Lei de Newton reune as duas respostas anterioresem um
unico enunciado:
Todo corpo tende a manter seu estado de re-pouso ou de movimento
retilneo e uniforme,a menos que forcas externas provoquem va-riacao
na sua velocidade.
De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos afirmarque na
ausencia de forcas, todo corpo tende a ficar como esta:parado se
estiver parado, em movimento retilneo uniforme, seestiver em
movimento (retilneo uniforme). Por este motivoessa lei tambem e
chamada de Princpio da Inercia.
O que e Inercia?
Todos os corpos apresentam a tendencia de se manter em re-pouso
ou em movimento retilneo uniforme. Essa propriedadedos corpos e
chamada inercia. A palavra inercia e derivada dolatim inertia, que
significa indolencia ou preguica. Os corpostem uma especie de
resistencia a`s modificacoes de sua veloci-dade.
Equilbrio de uma Partcula
Dizemos que uma partcula se encontra em equilbrio, quando
aresultante das forcas atuando sobre ela for nula. Se a resultantee
nula, nao ocorre alteracao na velocidade do objeto. Assim,seele
estiver em repouso, chamamos o equilbrio de estatico; se
Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua
seumovimento pra frente...
ele estiver em movimento retilneo e uniforme, o equilbrio
serachamado de dinamico.
Pense um Pouco!
Qual a relacao entre a Primeira Lei de Newton e o cinto
deseguranca? e o encosto para a cabeca no banco do carro?
Por que quando um onibus freia repentinamente, os pas-sageiros
sao arremessados para a frente? e o que ocorrequando o onibus e
acelerado?
Exerccios de Aplicacao
1. (UFMG) Um corpo de massa m esta sujeito a` acao de uma
forca ~F que o desloca segundo um eixo vertical em
sentidocontrario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com
veloci-dade constante e porque:a) a forca ~F e maior do que a da
gravidade.b) a forca resultante sobre o corpo e nula.
c) a forca ~F e menor do que a gravidade.d) a diferenca entre os
modulos das forcas e diferente de zero.e) a afirmacao da questao
esta errada, pois qualquer que seja~F o corpo estara acelerado
porque sempre existe a aceleracaoda gravidade.
2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun-ciado
da Lei da Inercia, tambem conhecida como primeira Leide Newton.a)
Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo umaorbita
elptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.b) Dois corpos quaisquer
se atraem com uma forca proporcio-nal ao produto de suas massas e
inversamente proporcional aoquadrado da distancia entre eles.c)
Quando um corpo exerce uma forca sobre outro, este re-age sobre o
primeiro com uma forca de mesma intensidade edirecao, mas de
sentido contrario.d) A aceleracao que um corpo adquire e
diretamente propor-cional a` resultante das forcas que nele atuam,
e tem mesmadirecao e sentido dessa resultante.e) Todo corpo
continua em seu estado de repouso ou de mo-vimento uniforme em uma
linha reta, a menos que sobre eleestejam agindo forcas com
resultante nao nula.
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10 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC
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3. (UNESP-SP) As estatsticas indicam que o uso do cinto
deseguranca deve ser obrigatorio para prevenir lesoes mais gravesem
motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente,a funcao
do cinto esta relacionada com a:a) primeira Lei de Newton.b) lei de
Snell.c) lei de Ampe`re.d) lei de Ohm.e) primeira Lei de
Kepler.
Exerccios Complementares
4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio fixo,presa
por uma corda. Em um dado momento, corta-se a corda.Pela Lei da
Inercia, conclui-se que:a) a pedra se mantem em movimento
circular.b) a pedra sai em linha reta, segundo a direcao
perpendiculara` corda no instante do corte.c) a pedra sai em linha
reta, segundo a direcao da corda noinstante do corte.d) a pedra
para.e) a pedra nao tem massa.
5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retilneo,so pode
estar sob a acao de uma:a) forca resultante nao-nula na direcao do
movimento.b) unica forca horizontal.c) forca resultante nula.d)
forca nula de atrito.e) forca vertical que equilibre o peso.
6. (Fiube-MG) Uma partcula se desloca ao longo de umareta com
aceleracao nula. Nessas condicoes, podemos afirmarcorretamente que
sua velocidade escalar e:a) nula.b) constante e diferente de
zero.c) inversamente proporcional ao tempo.d) diretamente
proporcional ao tempo.e) diretamente proporcional ao quadrado do
tempo.
Mecanica Aula 5
A Segunda Lei de Newton
E muito comum encontrarmos a definicao de massa de umcorpo da
seguinte maneira: a massa de um corpo representaa quantidade de
materia que ele possui. Em cursos elementa-res de ciencias, esta
definicao pode ser aceita como uma ideiainicial da nocao de massa,
embora nao possa ser consideradauma definicao precisa dessa
grandeza. De fato, a definicaoapresentada nao e adequada, pois
pretende definir um novoconceito massa por meio de uma ideia vaga,
que nao temsignificado fsico preciso quantidade de materia.
Experimentalmente os fsicos constataram que entre a forca
Faplicada a um corpo e a aceleracao a, que ele adquire, existeuma
proporcao direta. Desta forma, o quociente F/a e cons-tante para um
certo objeto. Este quociente, que e intrnseco a
cada corpo, foi denominado pelos fsicos de massa do corpo.Desta
forma, podemos afirmar:
A massa m de um corpo e o quociente entre omodulo da forca que
atua num corpo e o valorda aceleracao a que ela produz neste
corpo.
Assim,
m =F
a
No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massae o
quilograma:
1 quilograma = 1 kg = 1000 g
Massa e Inercia
Suponhamos que uma forca F foi aplicada a tres corpos demassa
diferentes, como tres blocos de ferro, com volumes di-versos.
Imaginaremos que a superfcie na qual estes blocosestao apoiados nao
apresenta atrito. Analisando a equacaom = F/a, percebemos
facilmente que:
- Quanto maior m menor a- Quanto maior m maior a dificuldade de
alterar a veloci-
dade do corpo.
Podemos concluir que
Quanto maior e a massa de um corpo, maiorsera sua inercia
(dificuldade de ter sua velo-cidade alterada), isto e, a massa
representa amedida de inercia de um corpo.
As conclusoes anteriormente, explicam porque um caminhaovazio
(quando sujeito a uma forca F) adquire uma aceleracaomaior do que
quando esta cheio, por exemplo.
A Segunda Lei de Newton
De acordo com o princpio da inercia, um corpo so pode sairde seu
estado de repouso ou de movimento retilneo com velo-cidade
constante se sobre ele atuar uma forca resultante ex-terna. Neste
momento, poderamos perguntar: O que acon-tece se existir uma forca
resultante externa agindo no corpo?Nesta situacao, o corpo fica
sujeito a uma aceleracao, ou seja,um corpo sujeito a uma forca
resultante externa movimenta-secom velocidade variavel.
F
E facil perceber que, se quisermos acelerar um corpo,
porexemplo, desde o repouso ate 30 km/h em um intervalo detempo de
30 s, a intensidade da forca que teremos de aplicardependera da
massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for umcarro, e evidente
que a forca necessaria sera muito menor do
-
Mecanica Aula 5 11
que se tratasse de um caminhao. Desta forma, quanto maiora massa
do corpo, maior devera ser a intensidade da forcanecessaria para
que ele alcance uma determinada aceleracao.
Foi Isaac Newton quem obteve essa relacao entre massa e
forca,que constitui a segunda lei de Newton ou princpio
fun-damental da dinamica. Temos, entao que
A aceleracao de um corpo submetido a umaforca resultante externa
e inversamente pro-porcional a` sua massa, e diretamente
propor-cional a intensidade da forca.
Assim, para uma dada forca resultante externa F, quantomaior a
massa m do corpo tanto menor sera a aceleracao aadquirida.
Matematicamente, a segunda lei de Newton e dadapor:
~F = m~a
Esta equacao vetorial impoe que a forca resultante e a
ace-leracao tenham a mesma direcao e o mesmo sentido. No SI
aunidade de forca e o newton ou (N):
1 N = 1 kg m/s2
Por definicao, o newton e a forca que produz uma aceleracaode 1
m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.
Diagrama de Corpo Livre
Antes de resolver qualquer problema de dinamica, e de
fun-damental importancia a identificacao de todas as forcas
rele-vantes envolvidas no problema. Para facilitar a
visualizacaodestas forcas, isola-se cada corpo envolvido e
desenha-se umdiagrama de corpo livre ou diagrama de forcas paracada
corpo, que e um esquema simplificado envolvendo todasas massas e
forcas do problema.
Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli-nado
com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livrepara o
bloco:
m
N Fat
P
Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre-gando
num plano inclinado.
Observe
Nesse exemplo, o bloco e tratado como uma partcula, por
sim-plificacao, nao sendo relevante suas dimensoes ou o ponto
deaplicacao das forcas, colocadas todas no seu centro
geometrico,por conveniencia. Desprezou-se a forca de empuxo do ar,
aforca de resistencia viscosa ao movimento do bloco, tambemcausada
pelo ar, e outras forcas irrelevantes ao problema.
Pense um Pouco!
E muito comum nos depararmos com a situacao na qualum carro e um
caminhao estao emparelhados aguardandoo sinal verde do semaforo.
Voce sabe por que, quando osinal fica verde, o carro quase sempre
sai na frente, apesarde o caminhao ter um motor mais possante?
Se o peso de um corpo e proporcional a` sua massa, entaopodemos
afirmar que todos os corpos terao a mesma ace-leracao, em queda
livre?
Exerccios de Aplicacao
1. Na figura abaixo os blocos A, B e C estao sobre um
planohorizontal sem atrito.
B
A
Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0
kg,determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a tracao nos fios (TAB
entre A e B e TBC , entre B e C).Admitir a massa dos fios
desprezvel.
2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe aceleradoa 2
m/s2. Considerando g = 10 m s2, a tracao no cabo que osustenta, e
de:a) 6000 Nb) 5000 Nc) 4000 Nd) 3000 Ne) 2000 N
Exerccios de Aplicacao
3. No conjunto da figura abaixo, o bloco A tem massa 0, 50 kg.O
bloco B, de massa 4, 5 kg, esta sobre o plano sem atrito.
AF
B C
Admitindo g = 10 m/s2 e o fio inextensvel de massa des-prezvel
como a massa da polia, determine:a) a aceleracao do conjunto;b) a
tracao no fio.
4. No conjunto da figura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB =2, 0 kg
e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apoia num plano sematrito. Sao
desprezveis as massas da polia e do fio, que einextensvel.
-
12 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC
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B
AC
Admitindo g = 10 m/s2, determine:a) a aceleracao do conjunto;b)
a tracao TAB entre os blocos A e B;c) a tracao TBC entre os blocos
B e C.
5. Na figura, a forca F tem intensidade 90 N . Despreze
osatritos e as inercias do fio e da roldana. Quais os valores
daaceleracao do conjunto e da forca que traciona o fio?
4 kg
6 kg
F
6. (UEL-PR) Os tres corpos, A, B e C, representados nafigura tem
massas iguais, m = 3, 0 kg
A B
C
O plano horizontal, onde se apoiamA e B, nao fornecem atrito,a
roldana tem massa desprezvel e a aceleracao local da gravi-dade
pode ser considerada g = 10 m/s2. A tracao no fio queune os blocos
A e B tem modulo:a) 10 Nb) 15 Nc) 20 Nd) 25 Ne) 30 N
7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra-se
sobre uma balanca no piso de um elevador. Se o elevadorsobe com
aceleracao igual, em modulo, a` metade da aceleracaoda gravidade
local, pode-se afirmar que a leitura da balanca:a) sera de 25 Nb)
permanece inalteradac) sera de 75 Nd) sera de 100 Ne) sera de 200
N
Mecanica Aula 6
Energia
A energia se apresenta de diversas formas na natureza.
Porexemplo os alimentos que nos proporcionam energia qumica,
acombustao da gasolina libera energia termica, energia eletrica
eutilizados em diversos aparelhos, transformando-se em
energiasonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade
deenergia transferida de um corpo para outro vamos introduziro
conceito de trabalho.
Trabalho
O significado da palavra trabalho, na Fsica, e diferente do
seusignificado habitual, empregado na linguagem comum. O tra-balho,
na Fsica e sempre relacionado a uma forca que deslocauma partcula
ou um corpo. Dizemos que uma forca F realizatrabalho quando atua
sobre um determinado corpo que estaem movimento. A partir dessa
descricao podemos dizer queso ha trabalho sendo realizado se houver
deslocamento, casocontrario o trabalho realizado sera nulo. Assim,
se uma pes-soa sustenta um objeto, sem desloca-lo, ela nao esta
realizandonenhum trabalho sobre o corpo.
Quando uma forca F atua sobre um corpo no mesmo sentidode seu
movimento (ou deslocamento) ela esta favorecendo omovimento desse
corpo, considera-se positivo o trabalho reali-zado pela forca.
Uma Forca Constante
Quando a forca F atua no sentido contrario ao movimento docorpo,
contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali-zado pela forca
e considerado negativo.
d
FF
Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizadopor uma
forca horizontal constante, durante um deslocamentohorizontal d
e:
W = F d (1.1)
onde F e o modulo da forca constante e d e o deslocamento(em
modulo). O sinal + e usado quando a forca e o desloca-mento possuem
o mesmo sentido, e o sinal , quando possuemsentidos contrarios.
Importante
Observe que o trabalho e uma grandeza escalar, apesar de
serdefinida a partir de dois vetores (F e d).
Unidades
1 N m = 1 J = 1 joule = 107 erg
-
Mecanica Aula 6 13
1 kJ = 103 J
Quando a forca for aplicada ao corpo formando um angulo com a
horizontal, temos a seguinte formula mais geral:
W = F d cos (1.2)
onde F e o modulo da forca constante, d e o deslocamento
(emmodulo) e o angulo entre os vetores F e d, ou seja, entre
adirecao da forca e o deslocamento.
F F
d
Podemos tambem calcular o trabalho W realizado pela forcaF
atraves da area sob a curva do grafico F x:
F
O Xx
Area = Trabalho
W Area sob a curvaObserve que neste caso deveremos descobrir o
sinal do trabalhoatraves da analise do grafico, e do sentido
relativo entre a forcae o deslocamento (ou do angulo ).
Uma Forca Variavel
0 grafico abaixo representa a acao de uma forca variavel queage
sobre um corpo, provocando um deslocamento linear,desde o ponto x
ate o ponto x.
x1 x2
1F(x )2F(x )
O X
Area = Trabalho
Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela area sob
acurva, desenhando-se o grafico em papel quadriculado, ou deforma
aproximada pela area de um trapezio:
W = Fd =
(F + F
2
)(x x)
Observe que essa formula considera a forca media (aproxi-mada)
multiplicada pelo deslocamento.
Tipos de Forcas
Existem diversos tipos de forcas que podem atuar em umcorpo:
forca elastica, forca peso, forca eletrica, forca de con-tato,
etc...
Potencia PConsideramos duas pessoas que realizam o mesmo
trabalho. Seuma delas levar um tempo menor que a outra para a
realizacaodesse trabalho, tem de fazer um esforco maior e, por
tanto,dizemos que desenvolveu uma potencia maior.
Figura 1.1: James Watt (1736-1819)
Um carro e mais potente que o outro quando ele arrancamaisrapido
e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempomenor do que o
outro carro..
Um aparelho de som e mais potente que o outro quando eleele
transforma mais energia eletrica em sonora num menorintervalo de
tempo. Uma maquina e caracterizada nao so pelotrabalho que ela
efetua, mas pelo trabalho que pode efetuarem determinado tempo.
Entao podemos concluir que potencia e o trabalho
realizadodurante um determinado tempo, ou seja:
P =W/tEm alguns casos, pode-se escrever W = Fd e, substituindo
naequacao acima temos
P = Wt=Fdt
t= Fv .
ja que v = d/t.
Unidade de Potencia
1 J/s = 1 watt = 1W
Energia cinetica
Para variar a velocidade de um corpo em movimento e precisoo
concurso de forcas externas, as quais realizam certo trabalho.Esse
trabalho e uma forma de energia que o corpo absorve (ouperde) pelo
fato de estar em movimento em relacao a um dadosistema de
referencia.
Chamamos essa energia de movimento de energia de cinetica.Para
uma partcula de massa m e velocidade v a energiacinetica e:
Ec =1
2mv2
e assim como o trabalho, mede-se a energia cinetica em
joules.
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Teorema Trabalho-Energia
Suponhamos que FR seja a resultante das forcas que atuamsobre
uma partcula de massa m. O trabalho dessa resultantee igual a`
diferenca entre o valor final e o valor inicial da energiacinetica
da partcula:
W = Ec =1
2mv2f
1
2mv2i
Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energiaindica
que o trabalho da resultante das forcas que atua sobreuma partcula
modifica sua energia cinetica.
Pense um Pouco!
Que trabalho realizamos sobre um corpo que e levantadoa uma
determinada altura? Esse trabalho seria positivoou negativo?
Se voce pudesse segurar um elefante a uma determinadaaltura,
voce estaria realizando trabalho? Por que?
Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar-bante.
1. Ha algum trabalho sendo realizado sobre o carrinho?Por que? O
trabalho e positivo ou negativo.
2. O menino desenvolve alguma potencia? Por que?
3. O carrinho tem energia cinetica? Por que?
Exerccios de Aplicacao
1. (ESAL-MG) Um homem esta em repouso com um caixotetambem em
repouso a`s costas.a) Como o caixote tem um peso, o homem esta
realizandotrabalho.b) O homem esta realizando trabalho sobre o
caixote pelo fatode o estar segurandoc) O homem esta realizando
trabalho pelo fato de estar fazendoforca.d) O homem nao realiza
trabalho pelo fato de nao estar sedeslocando.e) O homem nao realiza
trabalho pelo fato de o caixote estarsujeito a` aceleracao da
gravidade.
2. (UFSE) Um corpo esta sendo arrastado por uma
superfciehorizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere
asafirmacoes a seguir: I. O trabalho da forca de atrito e nulo.
II.O trabalho da forca peso e nulo. III. A forca resultante
quearrasta o corpo e nula. Dentre as afirmacoes:a) E correta a I,
somente.b) E correta a II, somente.c) E correta a III, somente.d)
Sao incorretas I, II, III.e) Sao corretas II e III.
3. (UMC-SP) Sobre trabalho, potencia e energia, pode-se afir-mar
que:a) potencia e energia sao sinonimos.b) trabalho e potencia se
expressam com a mesma unidade.c) para trabalho e energia usa-se a
mesma unidade.
d) potencia e a capacidade de realizar trabalho.e) trabalho e a
relacao energia-tempo.
4. O produto da forca pelo deslocamento do corpo em que elaatua
esta associado com:a) trabalhob) potenciac) distanciad)
aceleracaoe) velocidade
Exerccios Complementares
5. (UFSC) O grafico a seguir representa a resultante dasforcas,
em newtons, que atuam num corpo de massa igual a10, 0 kg, em funcao
do deslocamento total em metros. Su-pondo que a sua velocidade
inicial e de 14 12 m/s, determine,em m/s, a velocidade do corpo
depois de percorrer 40, 0m.
F(N)
5
20
00 10 20 30
1510
x(m)40
6. Um projetil de massa 10, 0 g penetra com velocidadehorizontal
de 100 m/s e sai de uma tabua de espessura de10, 0 mm, com
velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forca comque a tabua exerce
sobre o projetil.
F
v = 100 m/s v = 90 m/s
x = 1,0 cm
fo
m = 10 g
7. Um movel de massa 2, 90 kg e submetido a` uma forca
cons-tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0
m/sem 8, 00 s. Calcule:a) o trabalho W realizado pela forca;b) a
potencia P desenvolvida pela forca;
Mecanica Aula 7
-
Mecanica Aula 7 15
Energia Potencial
Um corpo possui energia quando e capaz de realizar
trabalho.Suponha, entao, um corpo situado a uma certa altura
acimado solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo,
efacil perceber que sera capaz de realizar um certo
trabalho:amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois
concluirque aquele corpo possua energia na posicao elevada.
A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado auma
certa altura acima da superfcie da Terra, e denominadaenergia
potencial gravitacional. Ha outras situacoes, seme-lhantes a essa,
nas quais um corpo tambem possui energia emvirtude da posicao que
ele ocupa. Por exemplo, um corpo si-tuado na extremidade de uma
mola comprimida (ou esticada)possui energia em virtude de sua
posicao. Se um corpo com-primir uma mola e soltarmos esse corpo,
ele sera empurradopela mola e podera realizar trabalho. Neste caso,
a energiaque o corpo possui na ponta da mola comprimida ou
esticadae denominada energia potencial elastica.
Energia Potencial Gravitacional
Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso
refe-rencial usual de energia zero, podemos definir a energia
po-tencial gravitacional Ep como
Ep = mgh
onde g e a aceleracao da gravidade. No SI, g vale
aproxima-damente 9, 8 m/s2.
Forca Elastica
Chamamos de corpos elasticos aqueles que, ao serem defor-mados,
tendem a retornar a` forma inicial.
Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703)
Uma mola helicoidal, feita geralmente de aco, como
carac-terstica propria uma constante elastica k, que define a
pro-porcionalidade entre a intensidade forca F aplicada e a
respec-tiva deformacao x causada na mola. A lei de Hooke
relacionaessas quantidades na forma
F = kx
Observe que x mede a deformacao linear da mola a partir doseu
tamanho de equilbrio (sem forca).
Atraves a equacao acima, pode-se ver que a unidade SI
daconstante elastica deve ser N/m. Na pratica, a constante k
mede a dureza da mola: quanto maior o valor de k, maisdifcil
sera a sua deformacao, ou seja, mais forca sera necessariapara
deforma-la uma certa quantidade x.
Energia Potencial Elastica
Quando aplicamos uma forca e deformamos uma mola
estamostransferindo a ela uma energia, essa energia fica
armazenadana mola. Definimos que a energia armazenada em uma
molacomprimida ou distendida e chamada de energia
potencialelastica, atraves de
Ep =1
2kx2
Pense um Pouco!
A energia potencial gravitacional depende da aceleracaoda
gravidade, entao em que situacoes essa energia e posi-tiva, nula ou
negativa?
A forca elastica depende da massa da mola? Por que? Se uma mola
e comprimida por um objeto de massagrande, quando solto a mola nao
consegue se mover, oque acontece com a energia potencial
elastica?
Exerccios de Aplicacao
1. Um garoto atira uma pedra para cima com um estilingue.a) Qual
a forma de energia armazenada no estilingue?b) Que forma de energia
possui a pedra quando atinge sua al-tura maxima?c) Existe energia
no estilingue depois do lancamento? Co-mente.
2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depoisde um
certo tempo de queda.a) O que acontece com sua energia potencial
Ep?b) Sua energia cinetica esta variando? Comente.
3. Um indivduo encontra-se sobre uma balanca de mola, pi-sando
sobre ela com seus dois pes. Se ele levantar um dos pese mantiver o
outro apoiado, no interior de um elevador com-pletamente fechado,
quando observa que o peso indicado nabalanca e zero. Entao, conclui
que:a) esta descendo com velocidade constanteb) o elevador esta em
queda livrec) a forca de atracao gravitacional exercida sobre ele e
anuladapela reacao normal do elevadord) a balanca esta quebrada,
visto que isto e impossvel
4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, estao a500
m de altura em relacao ao solo. Voce diria que:a) ambas as pedras
tem igual energia potencial;b) a pedra de menor massa tem maior
energia potencialc) nada podemos afirmar com relacao a` energia
potencial daspedrasd) a pedra de massa menor tem maior capacidade
de realizartrabalhoe) a pedra de maior massa tem maior energia
potencial
5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprezvel,esta suspensa
verticalmente e presa a um suporte horizontal.
-
16 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC
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Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livredessa
mola, ela apresenta deformacao de 2, 0 cm para o sis-tema em
equilbrio. Se acrescentarmos a essa massa outra de10 kg, no ponto
de equilbrio, a deformacao total sera de:a) 3, 0 mb) 2, 5 cmc) 2, 0
md) 1, 5 cme) 1, 0 m
Exerccios Complementares
6. Uma mola cuja constate elastica e 1000 N/m
encontra-secomprimida em 10 cm.a) Determine a energia potencial
elastica armazenada na mola.
b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente
paraimpulsionar um bloco de 100 g, qual e a velocidade
maximaadquirida pelo bloco?
7. Qual o trabalho necessario para se comprimir uma mola,cuja
constante elastica e 500 N/m, em 10, 0 cm?
8. Um menino situado no alto de um edifcio, segura um corpode
massa 1, 5 kg a uma altura igual a 10 m acima do solo.a) Qual a
energia potencial gravitacional do corpo naquelaposicao?b) Qual a
energia potencial gravitacional do mesmo corpo,quando situado a 6,
0 m do chao?
Mecanica Aula 8
Trabalho e Energia Potencial
Figura 1.1: James Prescott Joule (1818-1889).
A energia potencial gravitacional esta relacionada a` posicao
deum corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemoso corpo,
alteramos sua energia potencial.
Para elevar um corpo em equilbrio do solo ate uma altura
h,devemos aplicar uma forca que realizara um trabalho (positivo)de
mesmo modulo que o trabalho realizado pela forca peso docorpo
(negativo).
m
P
ext.F = P
Figura 1.2: Um corpo sendo suspenso em equilbrio.
O trabalho realizado pela forca externa Fext., e armazenadono
sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita-cional
Ep, e vale:
Ep = mgh
se definirmos o valor zero (Ep = 0) no chao, onde h = 0.
Ja para o sistema massa-mola, temos uma forca externa
sendoaplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma
de-formacao, sendo essa forca
F = kx
o trabalhoW externo necessario para esticar a mola uma
quan-tidade x sera
W =1
2kx2
e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener-gia
potencial elastica.
F=kxO
F=0
O
Ox0
F=k(x)=kx
Figura 1.3: Uma mola esticada, em equilbrio.
Forcas Conservativas e Dissipativas
Quando sobre um corpo em movimento atua apenas seu peso,ou forca
elastica exercida por uma mola, a energia mecanica
-
Mecanica Aula 8 17
desse corpo se conserva. Por este motivo, as forcas citadassao
denominadas forcas conservativas. Exemplo: ao darcorda em um
relogio, voce esta armazenando energia potencialelastica numa mola,
e essa energia estara disponvel para fazercom que o relogio
trabalhe durante um certo tempo. Isso so epossvel porque a energia
elastica foi armazenada (conservada).
Por outro lado, se existissem forcas de atrito atuando duranteo
deslocamento do corpo, sua energia mecanica nao se con-serva, por
que parte dela (ou ate ela toda) se dissipa sob formade calor. Por
isso dizemos que as forcas de atrito sao forcasdissipativas.
Exemplo: se voce arrastar um caixote pelo chaohorizontal, durante
um longo percurso, vera que todo o traba-lho realizado foi perdido,
pois nenhuma parte dessa energiagasta foi armazenada, ou esta
disponvel no caixote.
A Conservacao da Energia Mecanica
Um sistema mecanico no qual so atuam forcas conservativase dito
sistema conservativo, pois a sua energia mecanica(E) se conserva,
isto e, mantem-se com o mesmo valor emqualquer momento ou posicao,
podendo alternar-se nas suasformas cinetica e potencial
(gravitacional ou elastica):
E = Ec + Ep
Degradacao da Energia
A energia esta constantemente se transformando, mas naopode ser
criada nem destruda.
Em uma usina hidreletrica, a energia mecanica da quedadagua e
transformada em energia eletrica.
Em uma locomotiva a vapor, a energia termica e trans-formada em
energia mecanica para movimentar o trem.
Em uma usina nuclear, a energia proveniente da fissao dosnucleos
atomicos se transforma em energia eletrica.
Em um coletor solar, a energia das radiacoes provenientesdo sol
se transforma em energia termica para o aqueci-mento de agua.
Pense um Pouco!
Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa molae volta a
subir. Ele pode atingir, na volta, altura maiordo que aquela de que
foi abandonado? Por que?
Indique algumas fontes de energia e explique a forma
deaproveita-las para a realizacao de trabalho mecanico.
Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como serealiza
menor trabalho: suspendendo-o diretamente poruma corda, na
vertical, ou transportando-o atraves de umplano inclinado (sem
atrito) ate a altura desejada? Porque?
Compare a energia necessaria para elevar de 10 m umamassa na
Terra e a energia necessaria para elevar de 10 ma mesma massa na
Lua. Explique a diferenca.
Exerccios de Aplicacao
1. Quais as transformacoes de energia que ocorrem quandoum
jogador chuta uma bola?
2. Quais as principais diferencas entre energia potencial
eenergia cinetica?
3. Uma forca e dita conservativa quando:a) nao realiza
trabalhob) o trabalho por ela realizado nao depende da trajetoria
deseu ponto de aplicacaoc) realiza apenas trabalhos positivosd) o
trabalho por ela realizado nao depende da massa do corpoem que esta
aplicadae) dissipa energia termica
4. Um sistema fsico tem energia quando:a) esta sujeito apenas a
acoes de forcas conservativas;b) esta sujeito a forcas
conservativas e dissipativas;c) esta capacitado a realizar
trabalho;d) possui grande quantidade de atomose) perde calor
Exerccios Complementares
5. O princpio da conservacao da energia afirma que:a) a energia
cinetica de um corpo e constanteb) a energia potencial elastica
mais a energia cinetica e sempreconstantec) a energia nao pode ser
criada nem destruda, mas apenastransformada em calor devido aos
atritosd) a energia total de um sistema, isolado ou nao,
permanececonstantee) a energia nao pode ser criada nem destruda,
mas apenastransformada de uma modalidade para outra
6. A energia mecanica de um corpo:a) e a soma da sua energia
potencial e cineticab) depende apenas do referencialc) depende da
aceleracao do corpod) e sempre constante, independente do tipo de
forcas atuantessobre elee) depende apenas da velocidade do
corpo
7. Para esticar uma mola em 40 cm, e necessaria uma forcade 20 N
. Determine:a) A constante elastica da mola;b) O trabalho realizado
pelo agente externo que estica a mola;
c) O trabalho realizado pela mola;d) O trabalho que seria
necessario para deformar a mola em80 cm;e) A forca necessaria para
esticar a mola em 80 cm.
8. Um corpo de massa 5, 0 kg e elevado do solo a um ponto
si-tuado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Determine:a) o
trabalho realizado pela forca peso do corpo nesse desloca-mento;b)
o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.
9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partirdo
repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.
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Veja a figura. Na base da pista, o corpo comprime a mola
deconstante elastica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2,qual a
deformacao maxima sofrida pela mola?
A o
h
Figura 1.4: Questao 9.
Mecanica Aula 9
Dinamica do Movimento Circular
Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma
circun-ferencia de raio R, com movimento nao uniforme.
v
Sabemos que a velocidade do corpo e um vetor que, em
cadainstante, e tangente a` trajetoria e que, no movimento
circularnao uniforme, o corpo esta sujeito a duas aceleracoes.
ac
at
aR
O
Na figura temos:~at = aceleracao tangencial~ac = aceleracao
centrpetaonde~a = ~at + ~ac, sendo~a = aceleracao
total(resultante)
Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as aceleracoesque
atuam no corpo devem ter a mesma direcao e o mesmosentido da forca.
Portanto, existem forcas perpendiculares a`trajetoria e forcas
tangentes a` trajetoria.
A forca resultante que tem a mesma direcao e o mesmo sentidoda
aceleracao centrpeta, isto e, dirigida para o centro da curvae
denominada forca centrpeta (~Fcp), e a que tem a mesmadirecao e o
mesmo sentido da aceleracao tangencial, isto e,tangente a`
trajetoria, e denominada forca tangencial (~Ft).
ac
at
tF cF
F
aR
O
Na figura temos:~Ft = m ~a~Fc = m ~aconde~Ft = forca
tangencial~Fc = forca centrpeta~F = ~Ft + ~Fc, sendo~F = forca
resultante
As Forcas no Movimento Circular
Podemos expressar a forca centrpeta da seguinte maneira:
Fc = mac
ou
Fc = mv2
R= m2R
A forca tangencial e dada por:
Ft = mat
Observe que:
A forca tangencial faz variar o modulo do vetor velocidade,isto
e, produz aceleracao tangencial.
A forca centrpeta faz variar a direcao do vetor
velocidade,obrigando o corpo a descrever uma trajetoria curva.
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Mecanica Aula 9 19
FC
TerraLua
Figura 1.1: A Lua em sua orbita ao redor da Terra (fora
deescala).
Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno daTerra.
A forca que mantem a Lua em orbita e uma forca de
origemgravitacional exercida pela Terra. Tal forca e centrpeta,
istoe, dirigida para o centro da Terra.
Pense um Pouco!
(Fuvest-SP) A melhor explicacao para o fato de a Lua nao
cairsobre a Terra e que:a) a gravidade terrestre nao chega ate a
Luab) a Lua gira em torno da Terrac) a Terra gira em torno do seu
eixod) a Lua tambem e atrada pelo Sole) a gravidade da Lua e menor
que a da Terra
Exerccios de Aplicacao
1. (UEL-Pr) Num pendulo conico, a massa m gira numa cir-
cunferencia horizontal, estando submetida a`s forcas peso
~Pvetorial e tracao ~T vetorial, conforme a figura:
m
P
T
v
Nestas condicoes a intensidade da forca centrpeta e:a) nula,
pois o movimento e uniforme.b) dada pelo componente da tracao, T
sen .c) dada pelo componente da tracao, T cos .d) dada pela
resultante T P cos .e) dada pela resultante T P sen .2. Um garoto
gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por umfio de 0, 80 m de
comprimento, fazendo com que ela descrevacrculos verticais com
velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi-tindo g = 10 m/s2, determine
a tracao no fio quando o corpopassa pelo ponto:a) mais alto da
trajetoria;b) mais baixo da trajetoria.
3. Um automovel faz uma curva circular, plana e horizontal,de
raio 50 m. Sabendo-se que o coeficiente de atrito estaticoentre os
pneus e a pista e e = 0, 80, qual a maxima velocidadecom que esse
automovel pode fazer a curva sem derrapar? (Useg = 10 m/s2).a) v =
10 m/sb) v = 15 m/sc) v = 20 m/sd) v = 25 m/se) v = 30 m/s
Exerccios Complementares
4. (Fuvest-SP) A figura a seguir mostra, num plano
vertical,parte dos trilhos do percurso circular de uma
montanha-russade um parque de diversoes.
g
r = 8,0 m
A velocidade mnima que o carrinho deve ter, ao passar peloponto
mais alto da trajetoria, para nao desgrudar dos trilhosvale, em
metros por segundo:a)20
b)40
c)80
d)160
e)320
5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subirou
descer) e equilibrada o piloto de um aviao deve inclina-locom
respeito a` horizontal (a` maneira de um ciclista em umacurva) um
angulo . Se = 60o, a velocidade da aeronave e100 m/s e a aceleracao
local da gravidade e de 9, 5 m/s2, quale aproximadamente o raio de
curvatura?a) 200mb) 350 mc) 600md) 750 me) 1000m
6. (Fuvest-SP) Um caminhao, com massa total de 10000 kg,esta
percorrendo uma curva circular plana e horizontal a72 km/k (ou
seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha deoleo na pista e perde
completamente a aderencia. O caminhaoencosta entao no muro lateral
que acompanha a curva e que omantem em trajetoria circular de raio
igual a 90 m. O coefici-ente de atrito entre o caminhao e o muro
vale 0, 30. Podemosafirmar que, ao encostar no muro, o caminhao
comeca a perdervelocidade a` razao de, aproximadamente:a) 0, 07m
s2.
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b) 1, 3 m s2.c) 3, 0 m s2.d) 10 m s2.e) 67 m s2.
Mecanica Aula 10
Quantidade de Movimento
Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, efacil
perceber que ha uma diferenca na acao que ela deve de-senvolver se
a velocidade da bola for grande ou pequena: abola mais rapida, para
ser parada, exige um esforco maior ede maior duracao. Uma diferenca
semelhante tambem seriapercebida se a pessoa tentasse parar duas
bolas com a mesmavelocidade, mas de massas diferentes: o maior
esforco, atuandodurante um tempo maior, seria necessario para fazer
parar abola de maior massa.
Essas observacoes levam a` definicao de uma nova grandezafsica
vetorial relacionada com a massa e a velocidade deuma partcula,
denominada quantidade de movimento.
Entao podemos escrever que quantidade de movimento de umponto
material de massa m e velocidade ~v
~Q = m~v
Unidade SI
Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional(SI)
na unidade
Kg m/s
Exemplo
Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com velo-cidade
de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera, emmodulo,
Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 104 kg m/s
Lembre-se
Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidadeSI
(m/s) fazemos:
v = 72 km/h = 72 1000m3.600 s
=72
3, 6m/s = 20 m/s
Impulso
Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando umtenista,
usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma forcaque age num
curto espaco de tempo que faz a bola ser impul-sionada. Define-se o
impulso ~I de uma forca como grandezavetorial dada pelo produto da
forca ~F pelo intervalo de tempot durante o qual ela atuou:
~I = ~Ft
Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nelauma
forca de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s,o impulso
transferido para a bola sera
I = Ft = (50 N)(0, 12 s) = 6, 0 N se esse impulso fara com que a
bola entre em movimento.
Unidade SI do Impulso
Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de
mo-vimento:
1 N s = 1 kg m/s
Pense um Pouco!
E mais facil parar uma bola que tenha uma quantidadede movimento
grande ou pequena? Por que?
Qual a influencia da massa na quantidade de movimento? Por que
um carro se deforma numa colisao?
Exerccios de Aplicacao
1. (UFMS) Com relacao a` quantidade de movimento de umapartcula,
e correto afirmar (marque V ou F):a) ( ) e uma grandeza vetorialb)
( ) tem a mesma direcao e sentido do vetor velocidade dapartculac)
( ) e uma grandeza inversamente proporcional a` massa dapartculad)
( ) sua unidade no SI pode ser kg m/se) ( ) permanece constante
mesmo que a partcula seja acele-rada
2. (UFSC) O impulso dado a um corpo pode ser escrito comoo
.......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as
opcoescompletem corretamente as lacunas ou F caso contrario.a) ( )
produto; forca aplicada ao corpo; tempo que o corpofica em
movimentob) ( ) produto; forca aplicada ao corpo; tempo durante o
quala forca atuac) ( ) quociente; forca aplicada ao corpo;
velocidade que eleadquired) ( ) quociente; massa do corpo;
velocidade que ele adquiree) ( ) produto; massa do corpo;
aceleracao que ele adquire
3. Considere um corpo que esta se deslocando em
movimentoretilneo uniforme.a) A quantidade de movimento deste corpo
esta variando? Ex-plique.b) Tendo em vista a resposta do tem
anterior, o que voce con-clui sobre o impulso que atua no corpo?c)
Entao, qual o valor da resultante das forcas aplicadas nocorpo?
Exerccios Complementares
4. Uma forca de 20 N e aplicada em um corpo durante 10 s.Qual e
o impulso que a forca transmite ao corpo?
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Mecanica Aula 11 21
5. Determine a quantidade de movimento de um objeto demassa 50
kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?
6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quan-tidade de
movimento Q e energia cinetica E. Uma forca F , namesma direcao e
no mesmo sentido de v, e aplicada no corpo,ate que a velocidade
dele triplique. As novas quantidades demovimento e energia cinetica
sao, respectivamente:a) 3Q e 3Eb) 3Q e 6Ec) 3Q e 9Ed) 6Q e 6Ee) 6Q
e 9E
7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longode um
trilho horizontal com velocidade 0, 50m/s ate chocar-secontra um
para-choque fixo na extremidade do trilho. Supondoque o carrinho
volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choquetenha duracao de 0, 10
s, calcule em newtons, o valor absolutoda forca media exercida pelo
para-choque sobre o carrinho.
Mecanica Aula 11
Impulso e Momento
Teorema do Impulso-Momento
Consideremos uma forca resultante constante ~F atuando sobreuma
partcula de massam, durante um intervalo de tempo t,temos
~I = ~Ft
ou seja~I = m~at = m~v = ~Q
ou~I = ~Qf ~Qi = m(~vf ~vi)
E concluimos que:
O impulso determinado pela resultante de todas asforcas externas
que agem durante certo intervalo detempo sobre um ponto material e
igual a variacao daquantidade de movimento do ponto durante o
mesmointervalo.
CB D EA
Sistemas de Partculas
Para um sistema contendo N partculas a quantidade de mo-vimento
desse sistema pode ser escrito na seguinte forma:
~QTOTAL = m1~v1 +m2~v2 + . . .+mN~vN
CURIOSIDADE
A luz tem quantidade de movimento? E possvel um astro-nauta
mover-se no espaco sideral acendendo sua lanterna?
Por mais intrigante que seja, a reposta e sim. Mas por queisso
acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movi-mento.
Normalmente nao percebemos isso, pois a quantidadede movimento da
luz e pequena e, assim, os seus efeitos sao,em geral,
imperceptveis. Mas quando o astronauta acende sualanterna, a
situacao e analoga a`quela em que um garoto sobrepatins consegue
mover-se atirando uma melancia.
De acordo com a Mecanica Quantica, a luz e formada porpequenos
pacotesde energia, denominados fotons, os quais,no vacuo, movem-se
a` velocidade c = 3, 0 108 m/s. Cadaum desses fotons, alem de
possuir energia, tem quantidade demovimento. Porem ela nao pode ser
calculada pela expressao~Q = m~v, uma vez que os fotons nao tem
massa. Para que oPrincpio da Conservacao da Quantidade de Movimento
sejamantido, os fsicos concluram que a quantidade de movimento(q)
de um foton de energia E deve ser calculada por
q = E/c
Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a
umadistancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emitaluz
com potencia de 1500 W . Suponha ainda que a massatotal do
astronauta juntamente com o traje espacial e a lan-terna seja 80
kg. Se o astronauta so pudesse aproximar-seda nave acendendo sua
lanterna, quanto tempo ele gastaria?Utilizando a expressao acima e
os modelos simplificados daMecanica, encontraremos um valor
aproximado de 3,3 horas.Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5
metros. As primeirasevidencias experimentais de que a luz tem
quantidade de mo-vimento foram obtidas em 1899, pelo fsico russo P.
Lebedev,e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em
1901.
Pense um Pouco!
Colidindo-se frontalmente duas esferas identicas, sobreuma mesa
de bilhar, uma em movimento e a outra ini-cialmente parada,
observa-se que a esfera que estava emmovimento fica parada e a
outra, inicialmente padara, en-tra em movimento apos a colisao.
Explique esse fenomenosob o ponto de vista dos conceitos de impulso
e momento.
Exerccios Complementares
1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise emuda
sua direcao de movimento em 90. Determine o impulsoaplicado sobre a
bola na colisao.
2. Solta-se um corpo de massa m de uma altura h em queda-livre,
o observa-se o seu movimento ate o solo.a) Determine o impluso que
o peso do corpo produz ate que
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22 Apostila Preparatoria para o Vestibular Vocacionado UDESC
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ele atinja o solo.b) Determine a variacao do momento do corpo,
desde o ins-tante em que foi solto, ate atingir o solo.c) Compara
os resultados dos itens anteriores. Comente.
Exerccios de Aplicacao
3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 ga 1, 25 m
de altura acima do chao (piso) e observa-se queela retorna (pula)
ate uma altura de apenas 0, 80 m, apos oprimiro salto.a) Determine
o impulso total sobre a bola ate que ela toque aprimeira vez no
chao.b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante
emque ela deixa o solo ate atingir a altura de 0, 80 m.
Mecanica Aula 12
Conservacao da Quantidade de Movi-mento
Num sistema isolado, onde o impulso das forcas externas
sejanulo, a quantidade de movimento final e igual a inicial.
~I = ~Qf ~Qi = ~0 = ~Qf = ~QiResumindo, podemos enunciar o
Teorema da Conservacao daQuantidade de Movimento:
E constante a quantidade de movimento de um con-junto de pontos
materiais que constituem um sistemaisolado.
Exemplos
Fenomenos que encontram explicacao no teorema da quanti-dade de
movimento:
choque mecanico; recuo das armas de fogo; explosao de uma bomba
(fragmentos); propulsao a jato.
Forcas Impulsivas
A forca de interacao que ocorre durante uma colisao, em ge-ral
tem grande intensidade e curta duracao, como descrito nografico
abaixo. Forcas como essa, que atuam durante um in-tervalo pequeno
comparado com o tempo de observacao dosistema, sao chamadas de
forcas impulsivas.
t t
F(t)
ti ft
Algumas vezes e mais interessante considerar o valor medioda
forca impulsiva que o seu valor a cada instante. Por de-finicao, o
valor medio de uma forca impulsiva e o valor daforca constante que,
no mesmo intervalo de tempo, produz omesmo impulso sobre um dado
corpo.
Pense um Pouco!
Como podemos analisar as forcas envolvidas em uma co-lisao entre
duas partculas?
Imagine-se no meio da superfcie lisa de um lago. Lem-brando nao
ser possvel caminhar sobre a superfcie, emrazao da total ausencia
de atrito, sugira um procedimentoque permita alcancar a margem do
lago.
Exerccios de Aplicacao
1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) estacom sua
canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoacomo o pescador
repousam em relacao a` agua que, por sua vez,nao apresenta qualquer
movimento em relacao a` Terra. Atritosda canoa com a agua sao
desprezveis e, no local, nao ha ventos.Num determinado instante, o
pescador atira horizontalmente asua zagaia de massa 2, 0 kg que sai
com velocidade de 10 m/s.Calcule o modulo da velocidade do conjunto
pescador/canoa,de massa igual a 150 kg, imediatamente apos o
disparo.
2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um projetil de 0, 02 kg, a
umavelocidade de 600 m/s. Qual e a velocidade de recuo
dessaarma?
3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta nadando a` velocidadede 1 m/s
para a direita, quando engole um outro, de massa0, 2 kg que estava
nadando para a esquerda, na sua direcao, a6 m/s. Determine a
velocidade do peixe maior depois de terengolido o pobre
peixinho.
4. Um canhao de 800 kg, montado sobre rodas e nao freado,dispara
uma bala de 6 kg com velocidade inicial de 500 m/s.Determine a
velocidade de recuo do canhao.
-
Mecanica Aula 13 23
Exerccios Complementares
5. Um remador e seu barco tem juntos massa de 150 kg. Obarco
esta parado e o remador salta dele com velocidade de8 m/s. O
barc