1 NÚMEROS COMPLEXOS 1. Introdução Os números complexos podem ser representados por um ponto em um plano referido a um sistema de eixos cartesianos, denominado plano complexo . Eixo horizontal → eixo Real (+∞ a -∞) Eixo vertical → eixo Imaginário (+j a –j) Este ponto também determina um raio vetor a partir da origem. Qualquer número real de zero a ±∞ pode ser representado por um ponto no eixo real. Eixos real e imaginário do plano complexo No plano complexo o eixo horizontal ou real representa todos os números positivos à direita do eixo imaginário e todos os negativos à esquerda do mesmo. Todos os números imaginários positivos são representados acima do eixo real e todos os números imaginários negativos, abaixo dele. Para representar números complexos em um plano são utilizadas duas formas: forma retangular , representada por um ponto no plano, e forma polar , representada por um raio vetor que parte da origem até um determinado ponto. a) Forma Retangular : = + , onde a letra “C” foi escolhida a partir da palavra “complexo”. Forma retangular de um número complexo O número “j” é usado para denotar a parte imaginária e corresponde a X = 0 e Y= 1 Nota: antes da introdução dos números complexos acreditava-se que os números que não pertenciam ao eixo dos números reais não existissem, motivo pelo qual o eixo vertical foi denominado de eixo imaginário.
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Transcript
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NMEROS COMPLEXOS
1. Introduo
Os nmeros complexos podem ser representados por um ponto em um plano referido a um sistema de eixos cartesianos, denominado plano complexo.
Eixo horizontal eixo Real (+ a -)
Eixo vertical eixo Imaginrio (+j a j)
Este ponto tambm determina um raio vetor a partir da origem. Qualquer nmero real de zero a pode ser representado por um ponto no eixo real.
Eixos real e imaginrio do plano complexo
No plano complexo o eixo horizontal ou real representa todos os nmeros positivos direita do eixo imaginrio e todos os negativos esquerda do mesmo. Todos os nmeros imaginrios positivos so representados acima do eixo real e todos os nmeros imaginrios negativos, abaixo dele.
Para representar nmeros complexos em um plano so utilizadas duas formas: forma retangular, representada por um ponto no plano, e forma polar, representada por um raio vetor que parte da origem at um determinado ponto.
a) Forma Retangular: = + , onde a letra C foi escolhida a partir da palavra complexo.
Forma retangular de um nmero complexo
O nmero j usado para denotar a parte imaginria e corresponde a X = 0 e Y= 1
Nota: antes da introduo dos nmeros complexos acreditava-se que os nmeros que no pertenciam ao eixo dos nmeros reais no existissem, motivo pelo qual o eixo vertical foi denominado de eixo imaginrio.
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Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:
a) = +
b) =
c) =
-
3 b) Forma Polar: =
onde a letra Z foi escolhida a partir da seqncia X, Y, Z, e representa apenas o mdulo (magnitude) do nmero
(vetor) e o o ngulo (argumento) formado entre Z e o eixo real positivo, medido sempre no sentido anti-horrio.
Forma polar de um nmero complexo
O sinal negativo em frente ao nmero complexo na forma polar mostrado na figura a seguir. Observar que o resultado um nmero complexo oposto ao nmero complexo com sinal positivo.
= = +
Efeito de um sinal negativo sobre a forma polar
O ngulo medido no sentido horrio a partir do eixo real positivo deve ser associado a um sinal negativo.
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Exemplos: representar os seguintes nmeros complexos no plano complexo:
a) =
b) =
c) = ,
= , = , + = ,
-
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2. Converso entre as duas formas
Relao entre as duas formas
Nota: Teorema de PITGORAS:
= + ; e de forma anloga, tem-se: = +
a) Da forma Retangular para Polar: = + =
b) Da forma Polar para Retangular: = =
-
6 Exemplos:
a) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +
Portanto:
= ,
b) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:
=
Portanto:
= , + ,
c) converter o nmero complexo a seguir para a forma polar: = +
Portanto:
= ,,
=
= ,
= ,
= () + ()= =
= = ., = ,
= = ., = ,
= , + ,
Se um ngulo de um nmero complexo estiver no segundo, terceiro ou quarto quadrante, deve-se tomar cuidado ao associ-lo ao vetor.
=
= ,
= , = ,
= ,,
= () + ()= = ,
-
7 d) converter o nmero complexo a seguir para a forma retangular:
= +
Portanto:
= , + ,
3. Complexo Conjugado
O conjugado ou complexo conjugado de um nmero complexo obtido simplesmente trocando-se o sinal da parte imaginria (forma retangular), ou o sinal do ngulo (forma polar).
a) Forma retangular: o conjugado complexo de:
= + =
b) Forma polar: o conjugado complexo de:
= =
= = .,
= ,
= = = .,
= ,
= , + ,
= = ( )
-
8 4. Operaes matemticas com nmeros complexos
Primeiramente, interessante efetuar algumas definies para que, posteriormente, poa definir os critrios das quatro operaes bsicas com nmeros complexos: adio, subtrao, multiplicao e diviso.
Sabe-se que, por definio:
= ; sendo X = 0 e Y = 1 ; ou Z = 1 e = 90. Logo:
= ; e
= . = =
= . = . =
=
4.1. Adio
Para adicionar dois nmeros complexos basta adicionar as partes reais e imaginrias separadamente.
= e =
Ento: + =
Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:
a) Adicionar: = + e = +
Soluo:
+ = + + +
+ = +
Ou de outra forma:
+
+
+
+
-
9 b) Adicionar: = + e = +
Soluo:
+ = + +
+ = +
Ou de outra forma:
4.2. Subtrao
Na subtrao, as partes reais e imaginrias tambm so consideradas separadamente.
= e =
Ento: = +
Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:
a) Subtrair: = + e = +
Soluo:
= +
= +
Ou de outra forma:
+
+
+
+
+
+
-
+
-
10 b) Subtrair: = + e = +
Soluo:
= +
=
Ou de outra forma:
+
+
A adio e a subtrao no podem ser realizadas na forma polar, a menos que os nmeros complexos
tenham o mesmo ngulo , ou sua diferena seja um mltiplo de 180. Utilizar somente a forma retangular.
-
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4.3. Multiplicao
Para multiplicar dois nmeros complexos basta multiplicar os mdulos e somar algebricamente os ngulos.
= e =
Ento: . = . +
Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:
a) Multiplicar: = e =
Soluo:
. = . +
. =
b) Multiplicar: = e = +
Soluo:
. = . +
. =
4.4. Diviso
Na forma polar, a diviso realizada simplesmente dividindo o mdulo do numerador pelo mdulo do denominador e subtraindo os respectivos ngulos.
= e =
Ento:
=
Exemplo - efetuar as seguintes operaes com nmeros complexos:
a) Dividir: = e =
Soluo:
=
= ,
-
12 Dividir: = e =
Soluo:
=
= ,
Para dividir um nmero complexo na forma retangular por um nmero real, tanto a parte real quanto a imaginria tm de ser dividida por esse nmero.
+
=
+
= +
Ou, ento:
,
=
,
+
= , +
Para se efetuar a multiplicao e a diviso deve-se dar preferncia para o uso da forma retangular.
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