L ´ o g i c a e T e o r i a d o s C o n j u n t o s F . M i r a g l i a Z a r a I . A b u d 1 J u l h o , 1 9 9 9 1 P r o f e s s o r e s d o I n s t i t u t o d e M a t e m a t i c a d a U S P , S a o P a u l o V a m o s u t i l i z a r , m u i t a s v e z e s , a e x p r e s s a o s e e s o m e n t e s e , a b r e v i a d a p o r s s e . E l a s i g n i fi c a q u e o q u e v e m a n t e s d e l a p o d e s e r s u b s t i t u i d o p e l o q u e e s t ´ a d e p o i s ; q u e t o d a v e z q u e u m l a d o a c o n t e c e , o o u t r o t a m b e m ; e v i c e v e r s a . T e m u n s m o ¸ c o m e t i d o a s a b i d o Q u e u s a u m t a r d e s e e s o m e n t e s e P r a d i z e c o m o a s c o i s a d e v i a s e . D e p o i s d e m u i t a e x p l i c a ¸ c a o N u m s e i p r a q u e t a n t a c o n f u s a o : E r a s o f a l a q u e p o d e b o t a u m n o l u g a d o o u t r o , O u o o u t r o n o l u g a d o u m , C o n f o r m e g o s t o o u p r e c i s a o .
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Transcript
5/16/2018 Apostila Miraglia - Logica e Teoria Dos Conjuntos - slidepdf.com
E s t e ´ e l i v r o ´ e u m a t e n t a t i v a d e c o n s t r u i r u m c a m i n h o q u e l e v a d a T e o r i a E l e m e n t a r d o s
C o n j u n t o s p
a r a a s i n t e r p r e t a c ˜ o e s d o I n t u i c i o n i s m o e m
p r e f e i x e s s o b r e t o p o l o g i a s . N a l ´ ı n g u a
p o r t u g u e s a .
N ˜ a o p o d e m o s d i z e r q u e t e n h a p r e r e q u i s i t o s , a l ´ e m ´ e c l a r o ,
d e a l g u m a m a t u r i d a d e
i n t e l e c t u a l .
M e s m o a s s i m , a l g u m a f a m i l i a r i d a d e c o m
o c o n t e ´ u d o u s u a l m e n t e i n c l u ´ ı d o n o s
c u r r ´ ı c u l o s d o s p r i m e i r o s d o i s a n o s d a g r a d u a c ˜ a o e m M a
t e ´ a t i c a p o d e m a j u d a r .
A l e i t u r a e p r i n c i p a l m e n t e o a p r e n d i z a d o e x i g e p a r t i c i p a¸ c ˜ a o .
I d e a l m e n t e o t e x t o s e r v i r i a
c o m o r o t e i r o d e d e s c o b e r t a p a r a o l e i t o r . H ´ a u m a b o a q u a n t i d a d e d e i n f o r m a c ˜ a o , c o n c e i t o s
e i d ´ e i a s e s p
a l h a d a s e m
q u a s e t o d o l u g a r . A s p r i m e i r
a s d u a s p a r t e s f o r a m
e x p e r i m e n t a d a s
e m u m a d i s
c i p l i n a d e T e o r i a d o s C o n j u n t o s m i n i s t r a d a p o r u m d o s a u t o r e s n a L i c e n c i a t u r a
n o t u r n a e m
M a t e m ´ a t i c a n a U S P .
N o s s o s m a i s s i n c e r o s a g r a d e c i m e n t o s a o s a l u n o s , q u e fi z e r a m
s u g e s t ˜ o e s e a j u d a r a m n a c o r r e c ˜ a o d e e s t i l o e g r a fi a .
4
P a r t e I
I n t r o d u c
˜ a o ` a T e o r i a d o s C o n j u n t o s e
a o
C ´ a l c u l o P r o p o s i c i o n a l
5
5/16/2018 Apostila Miraglia - Logica e Teoria Dos Conjuntos - slidepdf.com
a s s u m i r q u e o l e i t o r t e n h a f a m i l i a r i d a d e c
o m a t e o r i a e l e m e n t a r d o s c o n j u n t o s ,
c o m o ´ e a p r e
s e n t a d a , p o r e x e m p l o , n o e n s i n o m ´ e d i o .
M e
s m o a s s i m ,
d e s e n v o l v e r e m o s u m p o u c o
d e s s a t e o r i a , r e g i s t r a n d o a l g u n s f a t o s i m p o r t a n t e s q u e s e r ˜ a o u t i l i z a d o s c o m f r e q ¨ u e n c i a .
A r e l a c
˜ a o d e p e r t i n ˆ e n c i a ´ e i n d i c a d a p o r ∈ ( ´ e p s i l o n , o “ e ” m i n ´ u s c u l o c u r t o d o g r e g o 1 ) .
A e x p r e s s ˜ a o
“ x ∈ A ” s i g n i fi c a “ x ´ e e l e m e n t o d e A ” o u
“ x p e r t e n c e a A ” . C o m o d e h ´ a b i t o ,
“ x ∈ A ” q u e
r d i z e r q u e x n ˜ a o ´ e e l e m e n t o d e A o u q u e x
n ˜ a o p e r t e n c e a A .
S e A e
B s ˜ a o c o n j u n t o s , d i z e m o s q u e A e s t ´ a c o n t
i d o e m B o u q u e A ´ e s u b c o n j u n t o d e
B – e e s c r e v e m o s A ⊆ B – s e t o d o e l e m e n t o d e A ´ e e l e
m e n t o d e B .
E m s ´ ı m b o l o s :
A ⊆ B
⇐ ⇒
d e f
∀ x ( x ∈ A − →
x ∈ B ) .
L e m b r e - s e q
u e d o i s c o n j u n t o s s ˜ a o i g u a i s s e , e s o m e n t e s e , p o s s u e m o s m e s m o s e l e m e n t o s . T a l
a fi r m a c ˜ a o e q u i v a l e a d i z e r q u e A
= B
⇐ ⇒
A ⊆ B e
B ⊆ A ;
e s t a p r o p r i e
d a d e ´ e c o n h e c i d a c o m o A x i o m a d a E x t e n s i o n a l i d a d e .
S e P ´ e
u m a c e r t a p r o p r i e d a d e e A ´ e u m c o n j u n t o ,
´ e c o m u m i n d i c a r m o s p o r
{ x ∈ A : x s a t i s f a z P }
o s u b c o n j u n
t o d e A f o r m a d o p e l o s e l e m e n t o s q u e v e r i fi c a m a p r o p r i e d a d e P .
S e U ´ e
u m c o n j u n t o ,
d e n o t a m o s p o r P ( U ) o c o n j u n t o d a s p a r t e s d e U ,
i s t o ´ e , o c o n j u n t o
c u j o s e l e m e n t o s s ˜ a o e x a t a m e n t e o s s u b c o n j u n t o s d e U :
P ( U ) = { A : A ⊆ U
} .
A s s i m , p a r a
t o d o c o n j u n t o A ,
A ∈ P ( U )
⇐ ⇒
A
⊆ U ,
d e m a n e i r a
q u e A ∈ P ( U ) e
A ⊆ U s ˜ a o a fi r m a c ˜ o e s s i n ˆ o n i m a s .
E n t r e o s e l e m e n t o s d e P ( U ) ,
h ´ a d o i s q u e
m e r e c e m d e s t a q u e : o c o n j u n t o v a z i o – i n d i c a d o p o r ∅ – e o p r ´ o p r i o U ; ∅ ´ e o m e n o r
1 O “ e ” m i n ´ u s c u l o l o n g o d o g r e g o ´ e i n d i c a d o p o r η , a l e t r a “ e t
a ”
6
7
s u b c o n j u n t o d e U , e n q
u a n t o q u e U ´ e o m a i o r , i s t o ´ e :
P a r a t o d o A ∈ P ( U ) , ∅ ⊆ A ⊆ U .
E x e m p l o 1 . 1
: a ) S
e j a U = { 0 , 1 , 2 } .
Q u e m ´ e P ( U ) ? O s s u b c o n j u n t o s d e U p o d e m s e r
d e s c r i t o s d a s e g u i n t e f o r m a :
– S u b c o n j u n t o s c o
m 0 ( z e r o ) e l e m e n t o s : s ´ o h ´ a u m : o c o n j u n t o v a z i o ∅ ;
– S u b c o n j u n t o s c o
m 1 e l e m e n t o : { 0 } , { 1 } , { 2 } ;
– S u b c o n j u n t o s c o
m d o i s e l e m e n t o s : { 0 , 1 } , { 0 , 2 } , { 1 , 2 } ;
– S u b c o n j u n t o s c o
m t r ˆ e s e l e m e n t o s : s ´ o h ´ a u m d e s t e s : o p r ´ o p r i o U = { 0 , 1 , 2 } .
b ) E s e U = ∅ ? Q u e m ´ e P ( U ) ? A g o r a ,
∅ ´ e o ´ u n i c o s u b c o n j u n t o d e U .
P o r t a n t o ,
´ e o ´ u n i c o
e l e m e n t o d e P ( U ) . A s
s i m , P ( U ) = { ∅ } .
3
A s o p e r a c ˜ o e s f u n d
a m e n t a i s e n t r e s u b c o n j u n t o s d e U s ˜ a o :
– a u n i ˜ a o ,
i n d i c a d a p o
r ∪ : d a d o s A , B ⊆ U ,
A ∪ B = { x ∈ U : x ∈ A o u x ∈ B } ;
– a i n t e r s e c ˜ a o ,
i n d i c a d
a p o r ∩ : p a r a A , B ⊆ U ,
A ∩ B = { x ∈ U : x ∈ A e x ∈ B } ;
– o c o m p l e m e n t o : s e
A ⊆ U , o c o m p l e m e n t o d e A e m U s e e s c r e v e c o m o U
−
A , s e n d o
d e fi n i d o p o r
U
−
A = { x ∈ U : x ∈ A } .
Q u a n d o n ˜ a o h o u v e r p e r i g o d e c o n f u s ˜ a o e o c o n j u n t o U e s t i v e r c l a r o n o c o n t e x t o , e s c r e v e m o s
s i m p l e s m e n t e A c p a r a
i n d i c a r U
−
A .
A s t r ˆ e s o p e r a c ˜ o e s
s o b r e c o n j u n t o s p o d e m s e r r e p r e s e n t a d a s g r a fi c a m e n t e :
U
& % ' $
A
B
A ´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e
A ∪ B
U
& % ' $
A
B
A ´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A ∩ B
U
& % ' $
A
A
´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A c
D a d o u m c o n j u n t o U , P ( U ) ´ e o c o n j u n t o q u e c o n t ´ e m s u b c o n j u n t o s d e U c o m o e l e m e n t o s .
E q u e d i z e r s o b r e u m c o n j u n t o q u e c o n t e n h a t o d o s o s c o n j u n t o s ?
5/16/2018 Apostila Miraglia - Logica e Teoria Dos Conjuntos - slidepdf.com
: S e A e B s ˜ a o s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U , a d i f e r e n¸ c a s i m ´ e t r i c a e n t r e
A e B , ´ e d a
d a p o r
“ o q u e
e s t ´ a e m A e n ˜ a o e s t ´ a e m B , j u n t o c o m o q u e e s t ´ a e m B e n ˜ a o e s t ´ a e m A ” .
E m s ´ ı m b o l o s e d i a g r a m a s
A
△
B = ( A ∩ B c ) ∪ ( B ∩ A c )
U
& % ' $
A
B
A
´ a r e a m a i s e s c u r a ´ e A △
B
Q u a l ´ e a d i s
t i n¸ c ˜ a o
e n t r e a d i f e r e n¸ c a
s i m ´ e t r i c a e a u n i ˜ a o
? ´ E a i n t e r s e c ˜ a o ! A i n t e r s e c ˜ a o d e d o i s
c o n j u n t o s ´ e
p a r t e d a s u a u n i ˜ a o m a s n ˜ a o d a s u a d i f e r e n¸ c a
s i m ´ e t r i c a . O b s e r v e q u e t e m o s
A ∪ B = ( A △
B ) ∪ ( A
∩ B ) .
A d i f e r e n¸ c a
s i m ´ e t r i c a c o r r e s p o n d e a u m a a l t e r n a t i v a e x c l u s i v a ,
t a m b ´ e m c h a m a d a d e
“ o u e x c l u s i v e ” . A u n i ˜ a o c o r r e s p o n d e a u m a a l t e r n a t i v a q u e i n c l u i a m b a s a s p o s s i b i l i d a d e s ,
c h a m a d a “ o
u i n c l u s i v e ” , q u e i n d i c a m o s p e l o t r a d i c i o n a l
“ e / o u ” d a s c o n t a s b a n c ´ a r i a s . A l g u m a s
d a s p r o p r i e d a d e s f u n d a m e n t a i s d a d i f e r e n¸ c a
s i m ´ e t r i c a
s ˜ a o d e s c r i t a s p e l a p r o p o s i c ˜ a o a b a i x o ,
c u j a d e m o n s t r a c ˜ a o d e i x a m o s p a r a o l e i t o r .
P r o p o s i c ˜ a o 1 . 8
: S e j a m A , B e C s u b c o n j u n t o s d e u
m c o n j u n t o U . E n t ˜ a o :
a ) A △
( B
△
C ) = ( A △
B ) △
C ;
A △
B = B △
A
b ) A △
∅ =
A ;
A △
U = A c .
c ) A △
A c = U ;
A △
A = ∅ .
d ) A ∩ ( B △
C ) = ( A ∩ B ) △
( A ∩ C ) .
e ) A △
B ⊆
A ∪ B ;
A △
B = A ∪ B
s e e s o m e n t e s e
A ∩ B = ∅ .
f ) A c △ B c = A △
B .
g ) S e A △
C = B △
C , e n t ˜ a o A = B .
3
A g o r a i n t r o d u z i m o s a n o c ˜ a o d e i m p l i c a¸ c ˜ a o .
D e fi n i c ˜ a o 1 . 9
: S e S , T s ˜ a o s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U , d e fi n i m o s
S →
T = S c ∪ T ,
l i d a c o m o “ S i m p l i c a T ” ( e m U ) .
1 3
E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 0
: P r o v e q u e , p a r a A , S , T , R ⊆ U :
( 1 ) A ⊆ ( S →
T ) s s
e
A ∩ S ⊆ T .
( 2 ) S →
∅ = S c .
( 3 ) A ⊆ S
i m p l i c a
( S →
T ) ⊆ ( A →
T ) ;
( T →
A ) ⊆ ( T →
S ) .
( 4 ) S →
( T →
R ) = (
S ∩ T ) →
R = ( S →
T ) →
( S →
R ) .
( 5 ) S →
( T ∩ R ) = ( S
→
T ) ∩ ( S →
R ) .
( 6 ) S →
( T ∪ R ) = ( S
→
T ) ∪ ( S →
R ) .
3
E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 1 : S e j a U u m c o n j u n t o e s e j a O = { ∩ , ∪ ,
( · ) c , → , △ } o c o n j u n t o d a s o p e r a c ˜ o e s
s t a n d a r d e n t r e s u b c o n
j u n t o s d e U .
M o s t r e q u e t o d a s a s o p e r a c ˜ o e s e m O p o d e m s e r d e fi n i d a s
a p a r t i r d e
a ) I n t e r s e c ˜ a o e c o m p l e
m e n t a c ˜ a o ( ( · ) c ) ;
b ) U ,
d i f e r e n¸ c a
s i m ´ e t r i c a ( △ ) e i n t e r s e c ˜ a o ;
c ) ∅ e i m p l i c a c ˜ a o ( → ) .
3
O b s e r v a¸ c ˜ a o 1 . 1 2 : S e U ´ e u m c o n j u n t o , a s o p e r a c ˜ o e s d e u n i ˜ a o e i n t e r s e c ˜ a o p o d e m s e r f e i t a s
c o m q u a l q u e r s u b c o n j u n t o d e P ( U ) 2 .
P a r a S ⊆ P ( U ) , t e m o s
∗ S = { x ∈ U : x p
e r t e n c e a a l g u m e l e m e n t o d e S } .
( U n i ˜ a o d e S )
∗ S = { x ∈ U : x p
e r t e n c e a t o d o s o s e l e m e n t o s d e S } .
( A i n t e r s e c ˜ a o d e S ) .
A s p r o p r i e d a d e s f u n d a m e n t a i s d e s t a s o p e r a c ˜ o e s s ˜ a o p a r e c i d a s c o m a s d a u n i ˜ a o e i n t e r s e c ˜ a o
fi n i t a s . E l a s a p a r e c e m
, p a r a f a m ´ ı l i a s , n a P r o p o s i c ˜ a o 4 . 2 8 e n ˜ a o
v a m o s r e p e t ´ ı - l a s a q u i , e m
p a r t i c u l a r , p o r q u e n ˜ a o p r e c i s a r e m o s d e l a s n a P a r t e I .
3
E x e r c ´ ı c i o 1 . 1 3
: S e j a m A e B s u b c o n j u n t o s d e u m c o n j u n t o U .
a ) P r o v e q u e a s s e g u i n
t e s c o n d i c ˜ o e s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :
( 1 ) B = A c ;
( 2 ) B v e r i fi c a a s e q u a c ˜ o e s
A ∩ B
=
∅
A ∪ B
=
U .
b ) U t i l i z a n d o ( a ) , d e s c
u b r a u m a p r o v a d o s ´ ı t e n s ( d ) e ( e ) d e 1 . 6 .
3
2
N ˜ a o a p e n a s p a r a s u
b c o n j u n t o s d a f o r m a { A ,
B } . . .
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. 3 1 : S e j a m A e B c o n j u n t o s p a r c i a l m e n t e
o r d e n a d o s .
I n d i c a r e m o s a s o r d e n s e m
A e B p o r ≤
A
e ≤ B , r e s p e c t i v a m e n t e .
a ) A o r d e m
p r o d u t o : N o p r o d u t o c a r t e s i a n o A × B
d e fi n i m o s u m a r e l a c ˜ a o ≤ d a s e g u i n t e
m a n e i r a :
a , b ≤ c , d
s s e
a ≤ A c
e b ≤ B d .
´ E s i m p l e s v e r i fi c a r q u e ≤ ´ e u m a o r d e m p a r c i a l e m A ×
B ,
d e n o m i n a d a o r d e m p r o d u t o .
b ) A o r d e m
l e x i c o g r ´ a fi c a : N o p r o d u t o c a r t e s i a n o A
× B d e fi n i m o s u m a r e l a c ˜ a o ≤ p o r :
a , b ≤ c , d
s s e
( a < A c ) o u
( a = c e b ≤ B d ) .
E s t a o r d e m
c h a m a - s e l e x i c o g r ´ a fi c a p o r q u e ´ e a o r d e m
d a l i s t a t e l e f ˆ o n i c a ( o u o u t r a l i s t a g e m
a l f a b ´ e t i c a ) : c o m p a r a - s e a p r i m e i r a l e t r a d e d o i s n o m e s ; o n o m e c u j a p r i m e i r a l e t r a v e m a n t e s
n a o r d e m u
s u a l d o a l f a b e t o a p a r e c e a n t e s n a l i s t a .
C a s o a s p r i m e i r a s l e t r a s s e j a m i g u a i s ,
p a s s a m o s p a r a a s e g u n d a e p r o c e d e m o s c o m o a n t e s ; e a
s s i m p o r d i a n t e .
N o t e q u e , s e t o d a s a s
l e t r a s c o i n c i d e m , o s n o m e s s ˜ a o o s m e s m o s !
c ) A s o m a
d i s j u n t a d e o r d e n s p a r c i a i s : S e j a X a u n i ˜ a o d i s j u n t a d e A e B ,
i s t o ´ e ,
X = A B = ( { 0 } × A ) ∪
( { 1 } × B ) .
E m X d e fi n
i m o s u m a o r d e m p a r c i a l , c h a m a d a s o m a d i s j u n t a d e ≤ A e ≤ B d a f o r m a s e g u i n t e :
j , x ≤ i , y
s s e
j = i = 0
e x ≤ A y , o u
j = i = 1
e x ≤ B y .
T o d o s o s e x e m p l o s a c i m a p o d e m s e r e s t e n d i d o s a q u a l q u e r n ´ u m e r o d e c o o r d e n a d a s .
d ) A o r d e m
o p o s t a .
A r e l a c ˜ a o i n v e r s a d e ≤ A ´ e u m a o r d e m p a r c i a l e m A ,
d e n o m i n a d a o r d e m
o p o s t a d e ≤
A .
3
E x e r c ´ ı c i o 3 . 3 2 : P r o v e q u e a o r d e m p r o d u t o , a o r d e m
l e x i c o g r ´ a fi c a , s o m a d i s j u n t a d e o r d e n s
e a o r d e m o
p o s t a s ˜ a o r e a l m e n t e o r d e n s p a r c i a i s .
3
N a s e c ˜ a
o 4 . 1 4 , v o l t a r e m o s a d i s c u t i r o r d e n s p a r c i a i s .
H ´ a m u i t a s o u t r a s o p e r a c ˜ o e s i n t e r e s s a n t e s c o m r e l a c ˜ o e s : a m a i s i m p o r t a n t e ´ e a q u a n -
t i fi c a¸ c ˜ a o , q
u e v e r e m o s m a i s t a r d e , e m m o m e n t o o p o r
t u n o . A g o r a , p a s s e m o s a o e s t u d o d a s
f u n¸ c ˜ o e
s .
C a p ´ ı t u l o 4
F u n¸ c ˜ o e s
4 . 1
A D e fi n i¸ c ˜ a o d e F u n¸ c ˜ a o
O c o n c e i t o d e f u n¸ c ˜ a o
´ e f u n d a m e n t a l e m M a t e m ´ a t i c a . S e X e
Y s ˜ a o c o n j u n t o s , a i d ´ e i a d e
u m a f u n¸ c ˜ a o
f d e X e m
Y ,
i n d i c a d a p o r
f : X − →
Y
o u
X
f − →
Y ,
´ e a d e u m a r e g r a q u e , a c a d a e l e m e n t o d e x d e X , a s s o c i a u m
´ u n i c o e l e m e n t o f ( x ) d e Y .
A r e p r e s e n t a c ˜ a o g e o m
´ e t r i c a d e u m p r o d u t o c a r t e s i a n o , a p r e s e n t
a d a n a s e c ˜ a o 3 . 2 , p o d e s e r
u t i l i z a d a p a r a t e r m o s
u m a i d ´ e i a d e u m a f u n¸ c ˜ a o .
P o r c o n v e n¸ c ˜ a o ,
X ´ e o e i x o h o r i z o n t a l e Y o
e i x o v e r t i c a l :
E
T
X
Y
r x
f ( x )
x , f
( x )
C o m o t o r n a r r i g o
r o s a e s s a i d ´ e i a d e f u n¸ c ˜ a o
? O q u e ´ e e s s a
t a l ” r e g r a ” o u ” l e i ” ?
P a r a
f o r m a l i z a r a d e fi n i c ˜ a o d e f u n¸ c ˜ a o , v a m o s l e v a r a s ´ e r i o a i n t e r p r e t a c ˜ a o g e o m ´ e t r i c a d e u m a f u n¸ c ˜ a o .
M a i s e s p e c i fi c a m e n t e , d e fi n i r e m o s f u n¸ c ˜ a o
r e s p o n d e n d o ` a s e g u i n t e p e r g u n t a : q u a n d o ´ e q u e u m
s u b c o n j u n t o f ⊆ X ×
Y ´ e o g r ´ a fi c o d e u m a f u n¸ c ˜ a o
d e X e m Y ?
´ E s i m p l e s : f d e v e s a t i s f a z e r
` a s e g u i n t e c o n d i c ˜ a o :
[ f u n ] P a r a c a d a x ∈ X
, e x i s t e e m f u m ´ u n i c o p a r o r d e n a d o c u j a
p r i m e i r a c o o r d e n a d a ´ e x !
E m s ´ ı m b o l o s :
[ f u n ]
∀ x ( x ∈ X →
∃ ! y ( y ∈ Y ∧ ( x , y ) ∈
f ) ) ,
6 1
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s A ′ = { x ∈ X : x ´ e p o n t o d e a c u m u l a¸ c ˜ a o
d e A } .
c ) D e fi n i m o
s
A = { x ∈ X : P a r a t o d o V ∈ ν x , V ∩ A = ∅ } ,
d e n o m i n a d o
f e c h o d e A
e m τ .
d ) D e fi n i m o
s a f r o n t e i r a d e A
( e m X ) c o m o o c o n j u n t o ∂ A =
A ∩ A c .
E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 0
: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , A , B ⊆ X , x ∈ X e K u m a b a s e d e τ .
M o s t r e q u e
a ) ν x ´ e f e c h a d o p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u e r .
c ) x ∈ A ′
s s e p a r a t o d o V ∈ ( ν x
∩ K ) , V ∩ A c o n t ´ e
m u m p o n t o d i s t i n t o d e x .
d ) x ∈ A
s s e p a r a t o d o V ∈ ( ν x
∩ K ) , V ∩ A = ∅ .
e ) A ⊆ B
⇒
A ′ ⊆ B ′ ;
A ⊆
B .
f ) A = A ′ ∪ A .
E m p a r t i c u l a r , A ⊆
A .
g ) A =
{ F ∈ ¬ τ : A ⊆ F } .
h ) A ´ e o m
e n o r f e c h a d o ( n a o r d e m p a r c i a l ⊆ ) q u e c o n t ´ e m A .
A l ´ e m d i s s o ,
( A ) = A .
i ) A ∈ ¬ τ
s s e
A = A .
j ) A ∪ B =
A ∪ B .
k ) ∂ A ∈ ¬ τ
.
3
D u a l d a o p e r a c ˜ a o d e f e c h o ´ e a o p e r a c ˜ a o d e i n t e r i o r :
D e fi n i c ˜ a o 5 . 1 1
: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o e
A ⊆ X . D e fi n i m o s
◦ A =
{ V ∈ τ : V ⊆
A } ,
d e n o m i n a d o
i n t e r i o r d e A
e m τ . O b s e r v e q u e
◦ A ∈ τ
. Q u a n d o c o n v e n i e n t e , i n d i c a r e m o s o
i n t e r i o r d e A e m τ p o r i n t ( A ) .
E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 2
: S e j a X , τ u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o
, A , B s u b c o n j u n t o s d e X
e x ∈ X .
M o s t r e q u e
a ) x ∈ i n t ( A
) s s e e x i s t e V ∈ ν x t a l q u e V ⊆ A .
b ) i n t ( A ) ⊆
A . i n t ( A ) ´ e o m a i o r a b e r t o ( n a o r d e m p a r c i a l ⊆ ) c o n t i d o e m A .
c ) A ⊆ B
⇒
i n t ( A ) ⊆ i n t ( B ) .
d ) P a r a U ∈
τ , U ⊆ i n t ( A ) s s e U ⊆ A .
e ) A ∈ τ s s e i n t ( A ) = A .
A l ´ e m d i s s o , i n t ( i n t ( A ) ) =
i n t ( A ) .
1 7 7
f ) i n t ( A ∩ B ) = i n t ( A
) ∩ i n t ( B ) .
g ) i n t ( A c ) = ( A ) c ; i n t ( A ) = ( A c ) c .
h ) X = i n t ( A ) ∪ ∂ A ∪ i n t ( A c ) .
3
O s E x e r c ´ ı c i o s 5 . 1 0
e 5 . 1 2 a c a r r e t a m
P r o p o s i c ˜ a o 5 . 1 3 : S e X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , a s o p e r a¸ c ˜ o e s
i n
t : P ( X ) − →
P ( X ) , A − →
i n t ( A )
( i
n t e r i o r )
·
: P ( X ) − →
P ( X ) , A − →
A
( f
e c h o )
s ˜ a o c r e s c e n t e s e i d e m p
o t e n t e s . A l ´ e m d i s o ,
a ) A o p e r a c ˜ a o d e i n t e r i o r ´ e d e fl a c i o n ´ a r i a , p r e s e r v a i n t e r s e c ˜ o e s fi
n i t a s e o c o n j u n t o d o s s e u s
p o n t o s fi x o s ´ e p r e c i s a m
e n t e τ .
b ) A o p e r a c ˜ a o d e f e c h
o ´ e i n fl a c i o n ´ a r i a , p r e s e r v a u n i ˜ o e s fi n i t a s e
o c o n j u n t o d e s e u s p o n t o s
fi x o s ´ e p r e c i s a m e n t e ¬
τ .
3
N a r e a l i d a d e , a s p
r o p r i e d a d e s i m p o r t a n t e s d e 5 . 1 0 e 5 . 1 2 s ˜ a o
s i n t e t i z a d a s p o r 5 . 1 3 .
5 . 1 4
: T o p o l o g i a s I n d u z i d a s . S e X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g
i c o e T ⊆ X ,
d e fi n i m o s
τ | T = { U ∩ T : U ∈ τ } .
´ E f ´ a c i l v e r i fi c a r q u e τ | T c o n t ´ e m ∅ e T , s e n d o f e c h a d a p o r i n t e r s e c ˜ o e s fi n i t a s e u n i ˜ o e s q u a i s q u e r .
A t o p o l o g i a τ | T d e n o m
i n a - s e t o p o l o g i a i n d u z i d a e m T p o r τ .
P a r a A ⊆ T , a s n o c ˜ o e s d e
i n t e r i o r e f e c h o e m T
, τ | T s e r ˜ a o i n d i c a d a s , r e s p e c t i v a m e n t e , p o r
i n t T ( A )
e
A T
.
A m e n o s d e d e c l a r a c ˜ a
o e x p l ´ ı c i t a e m c o n t r ´ a r i o , u m s u b c o n j u n t o
d e X , q u a n d o c o n s i d e r a d o
c o m o e s p a c o t o p o l ´ o g i c
o , p o r t a r ´ a s e m p r e a t o p o l o g i a i n d u z i d a .
3
E x e r c ´ ı c i o 5 . 1 5
: S e
X , τ ´ e u m e s p a c o t o p o l ´ o g i c o , T ⊆ X e A
⊆ T , m o s t r e q u e
a ) T ∈ τ
s s e τ | T ⊆ τ .
b ) i n t X ( A ) ⊆
i n t T ( A ) . D ˆ e e x e m p l o s m o s t r a n d o q u e , e m g e r a l , n ˜ a o v a l e a i g u a l d a d e .
c ) A T
⊆
A X
. D ˆ e e
x e m p l o s m o s t r a n d o q u e , e m g e r a l , n ˜ a o v a l e
a i g u a l d a d e .
d ) T ∈ τ
⇒
i n t T ( A ) = i n t X ( A ) .
c ) T ∈ ¬ τ
⇒
A T =
A X
.
3
5/16/2018 Apostila Miraglia - Logica e Teoria Dos Conjuntos - slidepdf.com
c o m p l e t o s , q u e i n c l u i a s t o p o l o g i a s ( m a s ´ e
d i s t i n t a ) , d e n o m i n a d o s ´ a l g e b r a s d e
H e y t i n g c o m p l e t a s ( a H c ) .
U m r e t i c u l a d o c o m p l e t o
H ´ e u m a a H c s s e p a r a t o d o a ∈ H e
t o d o S ⊆ H
[ , ∧ ]
a ∧ S
=
s ∈ S a ∧ s .
E s t a s e s t r u t u r a s s ˜ a o m u i t o i m p o r t a n t e s t a n t o p a r a a L ´ o g i c a q u a n t o p a r a t e o r i a s a b s t r a t a s d e
f e i x e s .
C o n s u l t e , p o r e x e m p l o ,
[ F S ] , [ M i 1 ] o u [ M M ] .
3
5 . 6
F u
n¸ c ˜ o e s C o n t ´ ı n u a s
E m t o d
a t e o r i a m a t e m ´ a t i c a a s f u n¸ c ˜ o e
s q u e p r e s e r v a m a e s t r u t u r a e m c o n s i d e r a c ˜ a o t ˆ e m
p a p e l f u n d a
m e n t a l . N o c a s o d e e s p a c o s t o p o l ´ o g i c o s , s ˜ a o a s f u n¸ c ˜ o e
s c o n t ´ ı n u a s .
D e fi n i c ˜ a o 5 . 3 8
: S e X , τ X e Y , τ Y s ˜ a o e s p a c o s
t o p o l ´ o g i c o s , u m a f u n¸ c ˜ a o f : X − →
Y
´ e c o n t ´ ı n u a
s e
P a r a t o d o V ∈ τ Y , f ∗ ( V
) ∈ τ X .
I n d i c a m o s p
o r C ( X , Y
) o c o n j u n t o d a s f u n¸ c ˜ o e s c o n t ´ ı n u a s d e X e m Y . Q u a n d o Y = R
c o m a
t o p o l o g i a u s u a l , e s c r e v e m o s C ( X ) n o l u g a r d e C ( X , R ) .
P r o p o s i c ˜ a o 5 . 3 9 : S e j a m τ X e τ Y t o p o l o g i a s n o s c o n j u n t o s X e Y , r e s p e c t i v a m e n t e . S u p o n h a
q u e K ´ e u m a s u b - b a s e p a r a τ Y
e q u e T ´ e u m a b a s e p a r a τ X . S e j a f : X − →
Y u m a f u n¸ c ˜ a o .
a ) A s s e g u i n t e s c o n d i c ˜ o e s s ˜ a o e q u i v a l e n t e s :
( 1 ) f ´ e
c o n t ´ ı n u a ;
( 2 ) P a r a t o d o F ∈ ¬ τ Y , f ∗ ( F ) ∈ ¬ τ X .
( 3 ) P a r a t o d o T ∈ K , f ∗ ( T ) ∈ τ X .
( 4 ) P a r a t o d o T ∈ K e x ∈ f ∗ ( T ) , e x i s t e U ∈ T t a l q u e x ∈ U ⊆ f ∗ ( T ) .
( 5 ) P a r a t o d o T e m K e x ∈ f ∗ ( T ) , e x i s t e U ∈ ν x t a l q u e f ∗ ( U ) ⊆ T .
b ) S e f : X
− →
Y ´ e c o n t ´ ı n u a , e n t ˜ a o p a r a t o d o T ⊆ X
, a r e s t r i c ˜ a o f | T : T − →
Y t a m b ´ e m ´ e
c o n t ´ ı n u a , s e
T t i v e r a t o p o l o g i a i n d u z i d a p o r X .
c ) A c o m p o s i c ˜ a o d e f u n¸ c ˜ o e s c o n t ´ ı n u a s ´ e c o n t ´ ı n u a .
P r o v a : ´ E c o n s e q ¨ u ˆ e n c i a d a s b o a s p r o p r i e d a d e s d a i m a g e m i n v e r s a e m 4 . 3 1 .