UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN SETOR DE TECNOLOGIA/ SETOR DE CINCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMTICA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MTODOS NUMRICOS EM ENGENHARIA Introduo aos Mtodos Aproximados em Engenharia (por Jos Antonio Marques Carrer) CURITIBA PARAN 20-FEVEREIRO - 2006 2 NDICE Apresentao .............................................................................................................................. 6 Captulo I: INTRODUO AOS MTODOS APROXIMADOS......................................... 8 1. 1 Objetivos do captulo........................................................................................................ 8 1. 2 Introduo......................................................................................................................... 8 1. 3 Simplificao de um Problema Real ................................................................................ 9 1. 4 Exemplos e Aplicaes..................................................................................................... 9 1. 5 Discretizao do Problema ............................................................................................. 11 1. 6 Consideraes Finais do Captulo .................................................................................. 12 Captulo II: EQUAES DIFERENCIAIS.......................................................................... 13 2. 1 Objetivos do captulo...................................................................................................... 13 2. 2 Introduo....................................................................................................................... 13 2.2.1 - Definio.............................................................................................................. 13 2.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais .............................................................. 14 2. 3 Exemplos e Aplicaes................................................................................................... 17 Soluo: ........................................................................................................................... 17 2. 4 Exerccios e Problemas................................................................................................... 18 Captulo III: MTODO DAS DIFERENAS FINITAS...................................................... 19 3. 1 Objetivos do captulo...................................................................................................... 19 3. 2 Introduo....................................................................................................................... 19 3. 3 Derivadas de ordem um ou de primeira ordem.............................................................. 20 3. 4 Derivadas de ordem dois ou segunda ordem.................................................................. 23 3. 5 Derivadas de ordem n qualquer ...................................................................................... 23 3. 6 Exemplos de Aplicaes................................................................................................. 25 3. 7 Consistncia, Convergncia e Estabilidade.................................................................... 35 3. 8 Exerccios e Problemas................................................................................................... 36 Captulo IV: CLCULO VARIACIONAL .......................................................................... 44 4. 1 Objetivos do captulo...................................................................................................... 44 4. 2 Introduo....................................................................................................................... 44 4. 3 Problema da Braquistcrona........................................................................................... 45 4. 4 Equao de Euler-Lagrange Primeira Variao .......................................................... 47 4.4.1 - Propriedades do Operador.................................................................................... 51 4.4.2 Condies de Contorno ....................................................................................... 53 4. 5 Funcionais com derivadas de ordem superior ................................................................ 54 4. 6 Exemplos de Aplicaes................................................................................................. 56 4. 7 Mtodo de Rayleigh-Ritz ............................................................................................... 66 4. 8 Exemplos de Aplicaes................................................................................................. 74 4. 9 Exerccios e Problemas................................................................................................... 77 Captulo V: MTODO DOS RESDUOS PONDERADOS................................................. 79 5. 1 - Objetivos do captulo ...................................................................................................... 79 5. 2 Introduo....................................................................................................................... 79 5. 3 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo.................................................. 80 5. 4 Variaes do Mtodo por Diferentes Funes de Ponderao....................................... 84 5.4.1 - Mtodo da Colocao........................................................................................... 84 5.4.2 Exemplos de soluo usando Mtodo da Colocao........................................... 85 3 5.4.3 - Mtodo da Colocao por Subdomnios Modificado........................................... 91 5.4.4 Exemplos de soluo usando Colocao por Subdomnios Modificado............. 92 5.4.3 - Mtodo da Colocao por Subdomnios .............................................................. 93 5.4.4 Exemplos de soluo usando Mtodo da Colocao por subdomnios............... 93 5.4.5 - Mtodo dos Momentos......................................................................................... 99 5.4.6 Exemplos de soluo usando o Mtodo dos Momentos...................................... 99 5.4.7 - Mtodo de Galerkin............................................................................................ 105 5.4.8 Exemplos de soluo usando o Mtodo de Galerkin......................................... 105 5.4.9 - Mtodo de Galerkin Modificado........................................................................ 113 5.4.10 Exemplos de soluo usando o Mtodo de Galerkin Modificado................... 113 5. 5 Forma Fraca do Mtodo de Resduos Ponderados ....................................................... 114 5. 6 Exemplos de Solues da Forma Fraca do Mtodo de Resduos Ponderados .............. 116 Soluo: ......................................................................................................................... 119 5. 7 Exerccios e Problemas.................................................................................................. 122 Captulo VI: MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS..................................................... 128 6. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 128 6. 2 Introduo..................................................................................................................... 128 6. 3 Variaes do Mtodo de Elementos Finitos................................................................. 130 6.3.1 - Modelo Compatvel............................................................................................ 130 6.3.2 - Modelo de Equilbrio ......................................................................................... 130 6.3.3 - Modelo Hbrido.................................................................................................. 130 6.3.4 - Modelo Misto..................................................................................................... 131 6. 4 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo................................................ 131 6.4.1 Aproximao do Problema Contnuo pela Discretizao do Domnio.............. 132 6.4.2 - Definio dos Elementos Finitos Unidimensional ............................................. 133 6.4.3 Incluso do Mtodo dos Resduos Ponderados Unidimensional....................... 134 6.4.4 Aplicao Prtica utilizando o Mtodo de Galerkin.......................................... 136 6.4.5 - Formulao Fraca dos Resduos Ponderados..................................................... 137 6.4.6 - Funes de Interpolao Local Lineares............................................................ 139 6.4.7 As Matrizes Locais Ke e o Vetor Local f........................................................... 143 6.4.8 - Montagem do vetor f e da Matriz Global K....................................................... 150 6.4.9 Resoluo do Sistema de Equaes................................................................... 151 6. 5 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 153 6.5.1 Exemplo satisfazendo condies de contorno essenciais: ................................. 153 6.5.2 Exemplo satisfazendo condies de contorno naturais ..................................... 162 6.5.3 Exemplo satisfazendo condies de contorno essenciais: ................................. 165 6. 6 Enfoque Variacional ..................................................................................................... 174 6. 7 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 182 6.7.1 Exemplo satisfazendo condies de contorno essenciais: ................................. 182 6. 8 Um Caso Especial de Elementos Finitos...................................................................... 190 6.8.1 Mtodo da Colocao por Subdomnios Modificado........................................ 192 6.8.2 Formulao Fraca do Mtodo dos Resduos Ponderados para os Elementos..........Finitos.............................................................................................................................. 193 6.8.3 - Funes de Interpolao Local Quadrticas....................................................... 194 6.8.4 Mtodo das Diferenas Finitas .......................................................................... 199 6. 9 Exerccios e Problemas................................................................................................. 203 Captulo VII: MTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO...................................... 204 7. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 204 4 7. 2 - Introduo ..................................................................................................................... 204 7. 3 Precursores do Mtodo de Elementos de Contorno...................................................... 205 7.3.1 Mtodo das Funes de Green........................................................................... 206 7.3.2 Integrao por Partes em duas dimenses ......................................................... 207 7. 4 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo................................................ 210 7.4.1 - Valor Principal de Cauchy ................................................................................. 218 7.4.2 Soluo Numrica da Equao de Laplace........................................................ 220 7. 5 Discretizao do Contorno ........................................................................................... 221 7.5.1 - Elemento Constante Discretizao Linear ...................................................... 223 7.5.2 - Elemento Linear Discretizao Linear............................................................ 224 7. 6 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 228 7. 7 Exerccios e Problemas................................................................................................. 229 Captulo VIII: MTODO DOS VOLUMES FINITOS....................................................... 230 8. 1 - Objetivos do captulo .................................................................................................... 230 8. 2 Introduo..................................................................................................................... 230 8. 3 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo................................................ 231 8. 4 Exemplos e Aplicaes................................................................................................. 232 8. 5 Exerccios e Problemas................................................................................................. 233 Apndices ............................................................................................................................... 234 A. 1 Conceitos de Engenharia ............................................................................................. 234 A.1.1 - Problema de uma Viga ...................................................................................... 234 A. 2 Implementaes para o Mtodo das Diferenas Finitas usando a Planilha do EXCEL Microsoft, com cdigo de cores nas clulas ........................................................................... 237 A.2.1 Sub VerCorPre.................................................................................................. 237 A.2.2 - SubMultcorpad.................................................................................................. 238 A.2.3 - Sub multcor ....................................................................................................... 239 A.2. 4 - Sub geradora..................................................................................................... 240 A.3ImplementaoNumricaemFORTRANdoMtododeDiferenasFinitasparaa soluo do Problema da Barra Engastada............................................................................... 242 A.3.1 - Arquivos de comandos do Gnuplot ................................................................... 244 A. 4 Soluo Analtica das oscilaes em uma Membrana Retangular .............................. 245 A.4.1 - Movimento transverso de uma sob velocidade inicial prescrita........................ 245 A.5ImplementaoAlgbricaparaoMtodoVariacionaldeEuler-Lagrangeusandoo Maple 9............................................................................................................................... 246 A.5.1 Para o funcional do menor caminho entre dois pontos..................................... 246 A.5.2 Para o funcional L(x,y,z) = xz + z2................................................................... 246 A. 6 Implementao Algbrica para o Mtodo de Rayleigh-Ritz usando o Maple 9....... 248 A.6.1 Para n = 1.......................................................................................................... 248 A.6.2 Para n = 2.......................................................................................................... 249 A. 7 Implementao Algbrica para o Mtodo dos Resduos Ponderados usando o Maple 9............................................................................................................................... 252 A.7.1 Mtodo da Colocao para n = 1 com um parmetro alpha ............................. 252 A.7.2 Mtodo da Colocao para n = 2 com dois parmetros alpha1 e alpha2.......... 253 A.7.3 Mtodo da Colocao por Subdomnios para n = 1 com um parmetro alpha. 256 A.7.4 Mtodo da Colocao por Subdomnios para n = 2 com dois parmetros alpha1..e alpha2.............................................................................................................................. 257 A.7.5 Mtodo dos Momentos para n = 1 com um parmetro alpha ........................... 260 A.7.6 Mtodo dos Momentos para n = 2 com dois parmetros alpha1 e alpha2........ 261 5 A.7.7 Mtodo de Galerkin para n = 1 com um parmetro alpha ................................ 264 A.7.8 Mtodo de Galerkin para n = 2 com dois parmetros alpha1 e alpha2 ............ 265 Bibliografia............................................................................................................................. 268 6 Apresentao Estaapostilaresultadodadigitaodasaulasdoprof.JosAntonioMarques Carrer. Ela compreende a disciplina de Mtodos Aproximados para a Engenharia do curso de MestradoeDoutoradodoProgramadePs-GraduaodeMtodoNumricosparaa EngenhariaPPGMNEdaUniversidadeFederaldoParan-UFPR.Elafoidigitadapelo estudante de doutorado desse curso, Lucas Mximo Alves. Nasuaformafinalelarecebeualgunsformatosdeapresentaoeacrscimosde contedoquenoestavamnasnotasoriginaisdoProf.MarquesCarrer.Istoporqueo estudante utilizou a digitao dessa apostila como uma forma de incentivo para acompanhar a matriadocurso,porcausadesuasfreqentesviagensaPontaGrossa-PR.Eleprocurou tambm incluir alguns exemplos de seus estudos pessoais e dos colegas da sala de aula. Como porexemplo,algumasimplementaesalgbricasnotextodaapostilanoMtodode Rayleigh-Ritz;RotinasdeclculousandooMAPLE9.0(contidasnoApndice),parao Mtodo de Diferenas Finitas, Mtodo Variacional, de Rayleigh-Ritz e Resduos Ponderados, ElementosFinitos,ElementosdeContorno,etc;Ajustificativamatemticadasentenados Resduos Ponderado ser nula; coisa que foi proposta como desafio pelo prof. Marques Carrer em sala de aula, etc. HouveoacrscimodecontedotambmnocasodasEquaesdeDiferenas Finitas e dos grficos de vibrao da barra, que foi realizado pela estudante, Larissa Yutiama, noprprioandamentodocursonoanode2006.AssimulaesdaMembranaforam realizadas pelo estudante Maikon Buzzi no ano anterior de 2005 e posteriormente melhoradas pelo doutorando Pompeu. A simulao do Mtodo de Diferenas Finitas usando a planilha do Microsoft-EXCELfoicriadapeloestudantededoutoradoetambmprofessordeMecnica dos Fluidos da Universidade Estadual de Ponta Grossa, Lucas Mximo Alves, com a ajuda de seucolegadetrabalhooProf.Dr.AdilsonChinelatto.Essaltimaumapropostaparase apresentarpelaprimeiravezemcursosdegraduaooMtododeDiferenasFinitas.Ela 7 didtica,simplesefcilderealizarporqualquerestudantedegraduaoquetenhanoes bsica do uso do EXCEL, e no envolve complicaes maiores nos problemas de variveis de contorno.Contudo,umaprimoramentodessemtodofoifeitopelocolegadecursoEng. Orlando Olympio Lenzi Filho, que gastou algumas horas do seu precioso tempo ampliando o recurso de cores do Mtodo de Diferenas Finitas proposto, atravs do recurso de macros do Microsoft-EXCEL, como uma forma de apresentar os resultados visuais com maior preciso. Parautilizaodessaapostilacommaioreficinciaqueremoslembrarqueos termostcnicosouespecficosdoassuntoforamdigitadosemitlicoeaspassagens matemticas dos exemplos contidos nesta apostila foram totalmente detalhadas. Agradecemosatodosquecontriburameestimularamessainiciativa. Principalmente ao Prof. Jos Marques Carrer, que alm do curso ministrado, estimulou-nos a continuaratofimcomainiciativadedigitarocursonaformadeapostilaeletrnicae impressa, para que todos tivessem a oportunidade de estudar para as provas da disciplina sem nenhuma falta no acompanhamento do contedo ministrado no curso. Aceitamosqualquercrticaouascorreesquesefizeremnecessriasparaque esse material de estudo possa ser cada vez mais melhorado e possa ajudar os novos estudantes do curso nos anos que se seguiro. Curitiba, 11 de maio de 2006 Lucas Mximo Alves 8 Captulo I INTRODUO AOS MTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste captulo ser visto como a utilizao de mtodos aproximados pode ajudar a resolverproblemasdeequaesdiferenciais,quandoasoluoanalticainacessvel. Abordaremosotemadashiptesessimplificadoraseautilizaodeequaesalgbricasna substituio de equaes diferenciais complexas.1. 1 Objetivos do captulo i) Entender a problemtica dos Mtodos Aproximados aplicados a Engenharia. ii) Distinguir situaes onde a utilizao dos Mtodos Aproximados vivel. iii) Saber da existncia de diversos Mtodos Aproximados. 1. 2 Introduo Apartirdeagoraestudaremosdiferentesmtodosdesimplificaodeproblemas reais e de aproximao das solues das equaes diferenciais presentes na Engenharia. 9 1. 3 Simplificao de um Problema Real Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenmeno) fsico, ou seja,deseobterumaexpressomatemticaquecorrespondaaofenmenoemquesto, inicialmente o problema fsico real substitudo por um problema equivalente, mais simples. Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real Nestenovoproblemasoselecionadososparmetrosconsideradosfundamentais equepodemserdescritosmatematicamenteatravsdeumsistemadeequaesdiferenciais vlidoemtodoodomniodoproblema.Aessesistemasoimpostascondiesdecontorno e/ou condies iniciais apropriadas. Por exemplo, a obteno da equao de onda em um fio flexvel e inextensvel. 1. 4 Exemplos e AplicaesSejaumfioperfeitamenteflexveleinextensveldedensidadeuniforme,, estendido a uma tenso uniforme, T, entre dois pontos x = 0 e x = l. Figura - 1. 2. Fio perfeitamente flexvel, de comprimento, l, estendido sob uma tenso uniforme, T. Hipteses adotadas: 10 1)O fio no oferece resistncia ao se curvar isso implica que a tenso tangencial ao fio emcadaponto,ouseja,atensonormalaofiosemprenulaemqualquerponto(o problema estritamente unidimensional-1D). 2)Ocorre somente pequenos deslocamentos transversais (problema elstico linear). 3)Aforagravitacionalsobreofiodesprezada(aequaodiferencialdoproblema homognea) Para o segmento AB, de comprimento s sobre o fio pode-se escrever: - O equilbrio de foras na direo horizontal: ) constante ( cos cos T T TB A= = (1. 1) - O equilbrio de foras na direo vertical sen T sen TtusA B =22(1. 2) Empregando (1. 1) em (1. 2) tem-se: cos cos22AABBTsen TTsen TtusT =(1. 3) Ou tg T tg TtuTsA B =22(1. 4) Como Bxutg|.|= e Axutg|.|= pode-seexpandir(emSriedeTaylor) Bxu|.|na vizinhana de A e obter conseqentemente: ... +|.|
\|+|.|=|.|xxux xuxuA A B (termos de ordem superior em x) (1. 5) ondeostermosdeordemsuperioremxquepodemserdesprezadossemproblemas. Consequentemente: xxutg tgA ||.|= 22 (1. 6) 11 Comoosdeslocamentostransversaisaocomprimentodofiosopequenos,podemosfazera aproximao de que s x. Substituindo (1. 6) em (1. 4) e tomando o limite quando x 0, obtm-se: xxutusTA ||.|=2222 (1. 7) Ou, na vizinhana do ponto A, na Figura - 1. 2, temos: 222 221tuc xu=(1. 8) Que a equao de onda do fio, onde /2T c =O prximo passo a busca da soluo para o problema. 1. 5 Discretizao do Problema Umsistemadeequaesdiferenciaisconstituiummodelocontnuo,quepossui infinitos graus de liberdade, uma vez que as variveis se distribuem continuamente em todo o domniodoproblema.Comexceodealgunscasosmaissimples,emgeralnopossvel encontrarsoluesanalticasparaoproblema.Recorre-se,ento,aosmodelosdiscretos(ou numricos), obtidos dos modelos contnuos atravs de hipteses simplificadoras: As variveis que constituem infinitos graus de liberdade, so expressos em termos de um nmero finito de grausdeliberdade.Essesgrausdeliberdadesoincgnitasdosmodelosdiscretosdos sistemasequivalentesesodeterminadosapartirdasoluodeumsistemadeequaes algbricas. Figura-1.3.DiagramadesubstituiodeumModeloContnuoexatoporumModeloDiscreto Aproximado. Resumidamente, quando o modelo contnuo substitudo por um modelo discreto, o problema matemtico da soluo de um sistema de equaes diferenciais substitudo pelo problema da soluo de um sistema de equaes algbricas. 12 Figura-1.4.DiagramadeTransformaodeEquaesDiferenciaisemEquaesAlgbricas equivalentes. 1. 6 Consideraes Finais do Captulo Portanto, s nos resta agora estudar as equaes diferenciais para se poder aplicar os mtodos aproximados na soluo de problemas fsicos reais. Conclumosestecaptulolistandodeformaresumidaalgunsdosmtodosque podemserempregadosnasoluodeequaesdiferenciaisosquaisserovistosaolongo deste curso. Entre eles teremos: MtododasDiferenasFinitas;MtodoVariacional;MtododosResduos Ponderados;MtodosdosElementosdeContorno;MtododosElementosFinitos;Mtodo dos Volumes Finitos. 13 Captulo II EQUAES DIFERENCIAIS RESUMO Nestecaptuloserovistoosdiferentestiposdeequaesdiferenciaisesua classificao,quantoaonmerodevariveisindependentes,ordem,grau,coeficientesdas derivadas, etc.2. 1 Objetivos do captulo i) Saber reconhecer uma equao diferencial. ii)Saberclassificarumaequaodiferencial,quantoaonmerodevariveis independentes, quanto a ordem, quanto ao grau, etc. 2. 2 Introduo Quase todos os problemas em cincias fsicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equao diferencial. Por esta razo saber reconhecer uma equao diferencial dentro de umproblemaespecficomuitoimportante,paraabuscadesuasoluo.Damesmaforma, saberclassificarumaequaodiferencialoprimeiropassonabuscadesuasoluo,pois apesardenoexistirummtodonicoparaseresolvertodasasequaesdiferenciais,a classificao delas ajuda a escolher o mtodo mais adequando de soluo. 2.2.1 - Definio Umaequaodiferencialumaequaoqueenvolveumafunoincgnitae suas derivadas. 14 2.2.2 - Classificao das equaes Diferenciais 2.2.2.1 - Quanto as variveis independentes a)EquaoDiferencialOrdinria(E.D.O.)Afunoincgnitadependeapenasdeuma varivel independente: y = f(x). b)EquaoDiferencialParcial(E.D.P.)Afunoincgnitadependededuasoumais variveis independentes: y = f(x, y, z, t). Exemplo: qdxu dEI =44(2. 1) Figura - 2. 1. Problema de uma viga bi-apoiada e flexionada sobre seu prprio peso. 2.2.2.2 - Quanto a ordem A ordem de uma equao diferencial a ordem da mais alta derivada que aparece na equao. Por exemplo, a equao diferencial em (2. 1) de quarta ordem. Exemplos: 1)) ( ou ) ( t u u x u u = =EDO de 1 Ordem u u + =1 ' (2. 2) EDO de 2 Ordem x u u = +4 ' ' (2. 3) 15 EDO de 2 Ordem ) (t f Ru u c u m = + + (2. 4) 2.2.2.3 - Quanto ao grau O grau de uma equao diferencial a potncia a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. Exemplos: EDO de 1 Ordem e do 2 Grau 2 22 ' ) ' ( x u u u = + (2. 5) 2) u = u(x, y, z) EDP de 2 Ordem e 1 Grau 0222222=++zuyuxu (2. 6) 02= u(2. 7) Onde o operador 2 chamado de Laplaciano. 2222222z y x ++= (2. 8) 2.2.2.4 -Quanto aos coeficientes das Derivadas a) Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes. b) Quase-Lineares Os coeficientes dependem das variveis independentes e/ou das variveis dependentes, mas no de suas derivadas. 16 c) No-Lineares Os coeficientes dependem das derivadas das variveis dependentes Exemplos: Linear: 0 ) ( ) ( ) ( = + + x c f x bdxdfx a (2. 9) Quase-Linear: 0 ) ( ) ( ) ( = + + x c f x bdxdfx f (2. 10) No-Linear: 0 ) , (2222= +|.|
\|+||.|
\|y x dyfxfxfyf (2. 11) OBS:Umaequaolinearsempredoprimeirograu,umaequaodoprimeirograunoe necessariamente linear. 2.2.2.5 - Quanto ao Tipo Seroconsideradasequaesdiferenciaisparciaisde2ordem(soasquemais aparecem na prtica). Seja a forma geral de uma E.D.P. de 2 ordem com duas variveis independentes. 0 2 2 222 222= ++++ +euyugxufyuby xuhxua(2. 12) onde a, h, f, g, e e podem ser constantes ou funes das variveis x e y. Por analogia com a forma de uma seco cnica geral: ax2 + 2hxy +by2 + 2fx +2gy + e = 0(2. 13) que representa uma elipse quando(a.b h2 > 0), uma parbola quando(a.b h2 = 0), uma hiprbole quando (a.b h2 < 0). Uma classificao semelhante adotada para as E.D.P. Exemplos: 17 1) Equao de onda unidimensional 01222 22=tuc xu(2. 14) Esta equao de onda do tipo hiperblica porque: a = 1; h = 0; b = -1/c2 logo a.b h2 = -1/c2 < 0 2) Equao de Difuso (conduo do calor) 0122=tuxu(2. 15) Esta equao de difuso do tipo parablica porque: a = 1; h = 0; b = 0 logo a.b h2 = 0 3) Equao de Laplace 02222=+yuxu (2. 16) Esta equao de laplace do tipo elptica porque: a = 1; h = 0; b = 1 logo a.b h2 = 1 > 0 Uma vez que se sabe reconhecer e classificar uma equao diferencial, vamos ao captuloseguinteondedaremosincioaoprimeiromtodonumricodesoluobaseadona prpria definio de derivada, chamado de Mtodo das Diferenas Finitas. 2. 3 Exemplos e Aplicaes 1) Dada a seguinte equao diferencial, dtt r di t r t r V t rm) , () , ( ) , ( ) , (222
= ,(2. 17) vlida para a Mecnica Quntica. Classifique-a quanto as variveis, ordem, ao grau, quanto ao coeficiente das suas derivadas e quanto ao tipo. Soluo: i)Quanto as variveis: Equao Diferencial Parcial; 18 ii)Quanto a ordem: de Segunda Ordem iii)Quanto ao grau: Primeiro grau iv)Quanto aos coeficientes das derivadas: Linear v)Quanto ao tipo: Elptica 2. 4 Exerccios e Problemas 19 Captulo III MTODO DAS DIFERENAS FINITAS RESUMO NestecaptuloservistoautilizaodoMtododasDiferenasFinitasa problemasdeEquaesDiferenciaisOrdinriaseParciais.Servistocomoautilizaoda Derivao Progressiva, Regressiva e Central afeta no resultado pelo Mtodo das Diferenas Finitas.AnalisaremosaproblemticadaConsistncia,ConvergnciaeEstabilidadedo Mtodo. 3. 1 Objetivos do captulo i) Entender e saber aplicar o Mtodo das Diferenas Finitas. ii) Saber reconhecer situaes onde o Mtodo das Diferenas Finitas aplicvel. iii)EntenderaproblemticadoMtododasDiferenasFinitasempontos extremos. iv) Aplicar o Mtodo de Diferenas Finitas a problemas acadmicos. v)EntenderaproblemticadaConsistncia,ConvergnciaeEstabilidadedo Mtodo das Diferenas Finitas. 3. 2 Introduo NoMtododasDiferenasFinitas(MDF)odomniodoproblema,contnuo, substitudo por uma srie de pontos discretos, ou ns, nos quais so calculadas as incgnitas do problema. Essa substituio do contnuo pelo discreto denomina-se discretizao. 20 Figura-3.1.Mudanadodomniocontnuodecoodenadas(x,y)paraodiscretodecoordenadas (i,j) Uma vez efetuada a discretizao do domnio do problema, aplica-se o MDF para adeterminaodasincgnitas.Asderivadas,queaparecemnaequaooriginal,so substitudas(ouaproximadas)porfrmulasdiscretasdediferenas.Aaplicaodessas frmulasaospontosdodomniodiscretizadogeraumsistemadeequaesalgbricas,cuja soluo fornece os valores das incgnitas do problema nesses pontos discretos. 3. 3 Derivadas de ordem um ou de primeira ordem Por definio a derivada de um funo u(x) em um ponto xi dada por: hx u h x udxdui ihx xi) ( ) (lim0 +=|.|= (3. 1) onde h = x. Deformaaproximada,utilizando-seumincrementohpequeno,pormfinito, pode-se escrever: hx u h x udxdui ix xi) ( ) ( +|.|= (3. 2) Aaproximaodefinidapelaequao(3.2)denominadadiferenaprogressiva porque utiliza um ponto frente de xi, o ponto (xi + h). De maneira anloga, pode-se definir uma diferena regressiva. 21 hh x u x udxdui ix xi) ( ) ( |.|= (3. 3) Figura - 3. 2. Influncia das diferentes derivadas tomadas em relao ao ponto x e sua vizinhana a direita e esquerda. Outra maneira de aproximao a diferena central: hh x u h x udxdui ix xi2) ( ) ( +|.|= (3. 4) Asfrmulasaproximadas,(3.2),(3.3),(3.4)podemserobtidas, alternativamente,atravsdeSriesdeTaylortruncadas,oquepermiteestimaroerro cometido nas aproximaes. i) Diferena progressiva A expanso em Srie de Taylor do valor de u em xi = xi + h em torno do valor de u em x = xi : ...! 3 ! 2) ( ) (33 322 2+||.|+||.|+|.|+ += ==i ii x x x xx xi idxu d hdxu d hdxduh x u h x u(3. 5) A expresso (3. 5) pode ser reescrita como: i ii x x x xi ix xdxu d hdxu d hhx u h x udxdu= ==||.|||.| +|.|33 2226 ! 2) ( ) ( (3. 6) 22 Comohpequenopodemostruncarasrienopontoindicado.Logo,desprezando-seos termosrelativossderivadasdeordemigualousuperioradois,obtm-seaexpressoda diferenaprogressiva.Comohumvalorpequeno,omaiortermodesprezadoigualao produtodehporumaconstante,ouseja,daordemdeh(notaoO(h)).Oerroquese comete quando se substitui a expresso (3. 1) pela expresso (3. 2) O(h). ii) Diferena regressiva Analogamente,aexpressoemsriedeTaylordovalordeuemx=xih,em torno do valor de u em x = xi, : ...! 3 ! 2) ( ) (33 322 2+||.|||.|+|.| = ==i ii x x x xx xi idxu d hdxu d hdxduh x u h x u(3. 7) Resolvendo-se para ix xdxdu=|.|, obtm-se i ii x x x xi ix xdxu d hdxu d hhh x u x udxdu= ==||.|||.|+ |.|33 2226 ! 2) ( ) ( (3. 8) Aosedesprezarostermosrelativossderivadasdeordemdoisousuperiores, obtm-se a expresso da diferena regressiva, que tambm introduz um erro O(h), quando se substitui (3. 1). iii) Diferena central Subtraindo-se (3. 5) de (3. 7) tem-se: ...! 322 ) ( ) (33 3+||.|+|.|= +==ii x xx xi idxu d hdxduh h x u h x u(3. 9) e ii x xi ix xdxu d hhh x u x udxdu==||.| |.|33 26 2) ( ) ( (3. 10) Paraseobteraexpressocorrespondentediferenacentralsodesprezadosos termosrelativossderivadasdeordem3esuperiores,consequentementeoerrocometido 23 quandosesubstitui(3.1)por(3.4)daordemdeO(h2).Esteerromenordoqueaquele cometido pelo uso da diferena regressiva e progressiva conforme mostra a Figura - 3. 2. 3. 4 Derivadas de ordem dois ou segunda ordem AsderivadasdesegundaordemtambmpodemserobtidasatravsdeSriesde Taylor, as expresses (3. 5) e (3. 7) podem ser somadas, resultando em: ...! 42) ( 2 ) ( ) (44 422+||.|+||.|+ = += =i ix x x xi i idxu d hdxu dh x u h x u h x u (3. 11) Resolvendo para ix xdxu d=|.|22 temos: ...12) ( ) ( 2 ) (44 22 22+||.| + +||.|= =i ix xi i ix xdxu d hhh x u x u h x udxu d (3. 12) Aaproximaoparaaderivadasegundaumaaproximaodotipodiferena central e o erro cometido da ordem de O(h2): 2 22) ( ) ( 2 ) (hh x u x u h x udxu di i ix xi + +||.|= (3. 13) 3. 5 Derivadas de ordem n qualquer As derivadas de ordem n qualquer podem ser expressas em termos do Binmio de Newton, como: ni rnrx xnnhrh x urndxu di) () 1 (0||.|
\|||.|== (3. 14) onde ! )! (!r r nnrn=||.|
\| (3. 15) 24 Para se obter a derivada de ordem n qualquer em Diferenas Finitas Progressivas pode-se utilizar a seguinte frmula: ni rnrx xnnhrh x urndxu di) () 1 (0+||.|
\|||.|== (3. 16) ou nr i rnrninhur r nndxu d+= ) 1 (! )! (!0(3. 17) Para se obter a derivadade ordem n qualquer em Diferenas Finitas Regressivas pode-se utilizar a seguinte frmula: ni rnrx xnnhrh x urndxu di) () 1 (0||.|
\|||.|== (3. 18) ou nr i rnrninhur r nndxu d= ) 1 (! )! (!0(3. 19) ParaseobteraderivadadeordemnqualqueremDiferenasFinitasCentrais pode-se utilizar a seguinte frmula: ni i rnrx xnnhrh x u rh x urndxu di2) ( ) () 1 (0 +||.|
\|||.|== (3. 20) ou nr i r i rnrninhu ur r nndxu d2) 1 (! )! (!0 += (3. 21) 25 3. 6 Exemplos de Aplicaes 1) Seja a equao diferencial: 1 0 022 = + + x em x udxu d(3. 22) com condies de contorno essenciais ou foradas: u(0) = 0 ; u(1) = 0. Resolver como exerccio o problema acima por meio de diferenas finitas regressivas, progressivas e diferenas finitas centrais, com h = 0,2, para comparao Soluo: A equao diferencial, inicialmente, reescrita de forma discreta:0 ) () ( ) ( 2 ) (2= + + + +i ii i ix x uhh x u x u h x u (3. 23) Agrupando os termos semelhantes temos: i i i ix h h x u x u h h x u2 2) ( ) ( ) 2 ( ) ( = + + + (3. 24) Em seguida, so identificados os pontos onde a equao discreta deve ser aplicada. Sendo h = 0,2econhecidososvaloresdeuemx=0emx=1,osvaloresincgnitosdafunoso aqueles correspondentes a x = 0,2; x = 0,4; x = 0,6; x = 0,8. Figura - 3. 3. Distribuio de pontos igualmente espaados no intervalo [0;1]. Reescrevendo a equao (3. 24) de forma simplificada: i i i ix h u u h u2121) 2 ( = + + +(3. 25) Com condies de contorno: u0 = 0 e u5 = 1. onde: ) ( ; ) (1 i i i ix u u h x u u = + =+ (3. 26) e 26 4 , 3 , 2 , 1 ; ) (1= =i h x u ui i (3. 27) Aplicandoaequao(3.24)ou(3.25)nosquatropontos,umsistemadequatroequaes algbricasobtido.Asoluodessesistemaforneceosvaloresdeu(0,2);u(0,4);u(0,6)e u(0,8). Assim, para i = 0 (x = 0,); u1 -1,96u0+ u-1 = -0,22.0,0 = 0.000 i = 1 (x = 0,2); u2 -1,96u1+ u0 = -0,22.0,2 = -0.008 i = 2 (x = 0,4); u3 -1,96u2+ u1 = -0,22.0,4 = -0.016 i = 3 (x = 0,6); u4 -1,96u3+ u2 = -0,22.0,6 = -0.024 i = 4 (x = 0,8); u5 -1,96u4+ u3 = -0,22.0,8 = -0.032 i = 5 (x = 1,0); u6 -1,96u5+ u4 = -0,22.1,0 = -0.040 (3. 28) OBS: os valores de u0 = 0 e u5 = 0 so conhecidos. Em forma matricial, aps a introduo das condies de contorno. |||||.|
\|=(((((
(((((
032 , 0024 , 0016 , 0008 , 096 , 1 1 0 01 96 , 1 1 00 1 96 , 1 10 0 1 96 , 14321uuuu (3. 29) Assoluesaproximadassoobtidasapsasoluodosistemadeequaes. Comparando esses valores com os fornecidos pela soluo analtica: xsenx senx u =) 1 () () ((3. 30) tem-se: iXu(x) analticau(x) aproximada por diferena central 00,00,00000,0000 10,20,03610,0362 20,40,06280,0630 30,60,07100,0713 40,80,05250,0527 51,00,00000,0000 27 2) Resolver o problema anterior com a condio de contorno natural. 1 em 1) (= = xdxx du (3. 31) Soluo: O problema agora possui cinco incgnitas, j que o valor de u5 = u(x = 1) no conhecido.Assim,necessriogerarmaisumaequao,almdasaplicadasnosquatros pontos interiores, para a soluo do problema. H trs alternativas para a obteno da equao adicional. 1 Aproximao a condio de contorno natural com diferena regressiva: 12 , 0 2 , 0) 8 , 0 ( ) 1 ( ) ( ) (4 5=== |.|=u u u uhh x u x udxdui ix xi (3. 32) A equao adicional requerida para a soluo do problema : 4 52 , 0 u u + =(3. 33) Mas a partir da quinta equao do Exemplo 1, em x1 = 1 (i = 5), temos: u5 -1,96u4+ u3 = -0.032(3. 34) Substituindo a equao (3. 33) em (3. 34) (quinta equao do Exemplo 1), obtm-se: 0,2+ u4 -1,96u4+ u3 = -0.032(3. 35) ou (1-1,96)u4+ u3 = -0.032-0,2(3. 36) Donde -0,96u4+ u3 = -0.232(3. 37) E o novo sistema de equao : 28 |||||.|
\|=(((((
(((((
232 , 0024 , 0016 , 0008 , 096 , 0 1 0 01 96 , 1 1 00 1 96 , 1 10 0 1 96 , 14321uuuu (3. 38) Assoluesaproximadassoobtidasapsasoluodosistemadeequaes. Comparando esses valores com os fornecidos pela soluo analtica: xx senx u =) 1 cos() ( 2) ((3. 39) tem-se: ixu(x) analticau(x) aproximada por diferena regressiva 00,00,00000,0000 10,20,53540,4415 20,41,04150,8573 30,61,49011,2229 40,81,85541,5155 51,02,11841,7155 (u4+0,2) 61,22,2541- 2 Aproximao a condio de contorno natural com diferena progressiva: 12 , 0 2 , 0) 0 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) ( ) (5 6=== +|.|=u u u uhx u h x udxdui ix xi (3. 40) A equao adicional requerida para a soluo do problema : 5 62 , 0 u u + =(3. 41) Mas a partir da sexta equao do Exemplo 1, em x1 = 1,2 (i = 6) temos: u6 -1,96u5+ u4 = 0,22.1,0 = -0.040(3. 42) Substituindo a equao (3. 41) em (3. 42) (sexta equao do Exemplo 1), obtm-se: 0,2+ u5 -1,96u5+ u4 = -0.040(3. 43) ou 29 (1-1,96)u5+ u4 = -0.040-0,2(3. 44) Donde -0,96u5+ u4 = -0.160(3. 45) E o novo sistema de equao : |||||.|
\|=(((((((
(((((((
016 , 0032 , 0024 , 0016 , 0008 , 096 , 01000196 , 10100001 96 , 1 1 00 1 96 , 1 10 0 1 96 , 154321uuuuu (3. 46) Assoluesaproximadassoobtidasapsasoluodosistemadeequaes. Comparando esses valores com os fornecidos pela soluo analtica: xx senx u =) 1 cos() ( 2) ((3. 47) tem-se: ixu(x) analticau(x) aproximada por diferena progressiva 00,00,00000,0000 10,20,53540,18747 20,41,04150,35944 30,61,49010,50103 40,81,85540,59858 51,02,11840,64019 61,22,2541 0,84019 (u5+0,2) 3 Aproximao a condio de contorno natural com diferena central: Estaterceiraalternativa,consisteemaplicaraequaoaproximada(3.25)no ponto x = 1, o que gera a quinta equao requerida para a soluo do problema, mas envolve ovalordeuemumpontofictcio(u6)foradodomnio(oqueoutroproblemaaser resolvido), o ponto x = 1,2. A relao entre o valor fictcio u(1,2) = u6 e algum outro valor do 30 domnio(queconstituiumasextaequao)podeserobtidaaproximandoacondiode contorno natural com diferena central. 14 , 0 ) 2 , 0 .( 2) 8 , 0 ( ) 2 , 1 (2) ( ) (4 6=== +|.|=u u u uhh x u h x udxdui ix xi (3. 48) A equao adicional requerida para a soluo do problema : 4 64 , 0 u u + = . (3. 49) Mas a partir da quinta equao do Exemplo 1, em x1 = 1 (i = 5)temos: u6 -1,96u5+ u4 = -0,22.1,0 = -0.040(3. 50) ou u6 -1,96u5+ u4 = -0.040(3. 51) Substituindo a equao (3. 49) em (3. 51) (sexta equao do Exemplo 1): 0,4+ u4 -1,96u5+ u4 = -0.040(3. 52) Obtm-se: -1,96u5+ (1 + 1)u4 = -0.040-0,4(3. 53) Donde -1,96u5+2 u4 = -0.44(3. 54) E o novo sistema de equao : |||||.|
\|=(((((((
(((((((
044 , 0032 , 0024 , 0016 , 0008 , 096 , 11000296 , 10100001 96 , 1 1 00 1 96 , 1 10 0 1 96 , 154321uuuuu (3. 55) As solues aproximadas podem ser comparadas com a soluo analtica: xx senx u =) 1 cos() ( 2) ((3. 56) Comparando os resultados obtidos de diferentes formas temos: 31 ixu(x) analtica u(x) aproximada por diferena regressiva 1 Hiptese u(x) aproximada por diferena progressiva 2 Hiptese u(x) aproximada por diferena central3 Hiptese 00,00,00000,00000,00000,0000 10,20,53540,44150,187470,5423 20,41,04150,85730,359441,0550 30,61,49011,22290,501031,5094 40,81,85541,51550,598581,8794 51,02,11841,7155 (u4+0,2)0,640192,1422 61,22,2541- 0,84019 (u5+0,2)2,2794 (u4+0,4) 3) Determinao dos momentos fletores em uma viga unidimensional bi-apoiada. Figura - 3. 4. Viga bi-apoiada sujeita a uma flexo sob o seu prprio peso. O problema regido pela equao qdxx M d =22) ( (3. 57) e pelas condies de contorno: 0 ) ( ) (0= == = l x xx M x M(3. 58) Adotar h = x = l/4 Soluo: Figura - 3. 5. Distribuio de pontos igualmente espaados no intervalo [0;4]. 32 As incgnitas so M1, M2 e M3 com condies de contorno M0 = 0 e M4 = 0. Para i = 1 (x1 = l/4):qlM M M =+ 22 1 0) 4 / (2 (3. 59) i = 2 (x2 = l/2):qlM M M =+ 23 2 1) 4 / (2 (3. 60) i = 3 (x3 =3l/4):qlM M M =+ 24 3 2) 4 / (2 (3. 61) Em forma matricial, aps a imposio das condies de contorno tem=se: ((((
=((((
((((
111162 1 01 2 10 1 22321qlMMM (3. 62) Resolvendo: 23 1323ql M M = = (3. 63) e 2281ql M = (3. 64) Pergunta:Porque a soluo aproximada corresponde a soluo analtica exata? Resposta: AsoluoaproximadaexpandidaemSriedeTaylorigualasoluoexata, porque,pelascondiesdecontornodoproblema,ostermosdeordemsuperioresna expanso so todo nulos. 33 4) Sistema Massa-Mola sujeita a ao de uma fora dependente do tempo. O problema descrito pela equao geral: ) (t p Ku u C u m = + + (3. 65) onde ma massa, C o coeficiente de amortecimento e K arigidez da mola. Afora p(t) pode ter uma variao qualquer no tempo. A soluo analtica dada por: d t sen e pmt senut w u e t udttddm ootmm) ( ) (1cos ) () (0 +)` ++ = }
(3. 66) Onde ou e ou soascondiesiniciaise mKm= afreqncianaturaldosistema, mmC2= , 21 =m d Para resolver o problema numericamente, utilizando as aproximaes de diferena centralparaasderivadasdesegundaordem(acelerao)edeprimeiraordem(velocidade), so feitas as substituies: tu uu etu u uuj jjj j jj 221 121 1 + +=+ = (3. 67) (o ndice j refere-se ao tempot j tj = ,t o passo (incremento) de tempo) Aversodiscretizadadaequaodiferencial,apsasubstituiodasderivadas pelas suas aproximaes, dada por: j jp utctm*21=|.|
\|++ (3. 68) onde p*j dado por: 1222*|.|
\| |.|
\| =j j j jutctmutmK p p (3. 69) Para j = 0, 1, 2, ...., os valores de uj+1 so obtidos a partir dos valores j conhecidos uj e uj-1. 34 Paraseiniciaroprocessodemarchanotempo(j=0)necessriodeterminaro valor de u-1; das frmulas de aproximao, pode-se escrever: tu uu etu u uu 221 1021 0 10 + +=+ = (3. 70) Resolvendo-se para u-1, obtm-se: 21 0 1 001 0 12 ) 2 (2tu u u u tuu u t u + +=+ =
(3. 71) ou 20 0 0 121t u t u u u + = (3. 72) Os valores de 0ue 0uso conhecidos (condies iniciais) e, da prpria equao diferencial, pode-se determinar o valor de 0u: 0 0 0 0p Ku t u C u m = + + (3. 73) ou mKu t u C pu0 0 00 = (3. 74) 35 3. 7 Consistncia, Convergncia e Estabilidade Parasegarantirqueasoluonumricafornecidaporumesquemanumrico represente uma aproximao razovel da soluo exata do problema matemtico, necessrio que o esquema utilizado apresente propriedades de consistncia, convergncia e estabilidade. Essaspropriedadesestointer-relacionadasnasoluonumricaesofunesdoserros envolvidos. Consistncia: Um esquema de diferenas finitas dito consistente quando, ao refinarem-se as aproximaes(pordiferenasfinitas),nolimite,asequaesaproximadassetornam matematicamente equivalentes s equaes diferenciais originais. Assim, se x, y, t 0, 0 (onde o erro de truncamento da equao aproximada). Convergncia: A soluo numrica tende para asoluo exata medidaque os incrementos espaciaisetemporaldiminuem.Sefasoluoexatadaequaodiferencialef a soluo aproximada, ento: f f (3. 75) Se,nopontox=xi,uirepresentaasoluoexatadaequaodiferenciale iu~ representaasoluoaproximada,oesquemaconvergentequandooerrodediscretizao i i iu u~ = tende para zero, em qualquer ponto i, medida que se refina a discretizao. Estabilidade:umapropriedaderelacionadabasicamentecomoesquemadeintegraono tempo. Quando um esquema numrico qualquer instvel, uma pequena perturbao (um erro detruncamento,porexemplo),tendeacrescernamedidaemqueoprocessodeclculo avananotempo,conduzindoaerrosacimadosvalorestolerveisecomprometendoa soluonumrica.Porexemplo,omtododadiferenacentralutilizadonoquartoexemplo, paraoavanonotempo,sestvelparavaloresdepassodetempotaumvalorcrtico definido pela expresso. mCriticot t 2= < (3. 76) 36 Deacordocomateoriadaestabilidade,dasoluodasequaesdiferenciaisdeLyapunov, essa amplificao do erro no tempo, associada instabilidade das equaes diferenciais , em geral,exponencialnotempo(videcaptulo4deL.Esgoltz,EcuacionesDiferencialesy Clculo Variacionais, Editora MIR, 1977). 3. 8 Exerccios e Problemas 1) Resolver pelo Mtodo das Diferenas Finitas a seguinte equao diferencial: 22221tuc xu=(3. 77) para a barra da Figura - 3. 6, Com condies iniciais: 0 ) 0 , ( = = t x u 0) 0 , (== tt x u (3. 78) E condies de contorno 0 ) , 0 ( = = t x u1) , (== xt L x u (3. 79) Fazer os grficos de) (t uA e) (t uB e grficos de c xxu= Figura - 3. 6. Barra engastada na extremidade esquerda. Soluo: Seja a seguinte equao diferencial: 22221tuc xu=(3. 80) Com as seguintes condies iniciais: 37 0 ) 0 , ( = = t x u 0) 0 , (== tt x u (3. 81) E condies de contorno: 0 ) , 0 ( = = t x u1) , (== xt L x u (3. 82) onde L o comprimento da barra. Pararesolverpordiferenasfinitasprecisoemprimeirolugardiscretizara equao, na seguinte forma: ). 2(1 . 221 12 21 1tu u uc xu u ukikikikikiki + ++ =+ (3. 83) ( )1 11 122 2. 2 . 2. + ++ = + kikikikikikiu u u u u uxt c (3. 84) Isolando 1 + kiu , a equao acima fica na seguinte forma: ( )11 122 21. 2 . 2. ++ + + ||.|
\|=kikikikikikiu u u u uxt cu
(3. 85) Chamando de ||.|
\|=22 2.xt c (3. 86) temos: 11 11). 2 2 ( ++ + + =kikikikikiu u u u u (3. 87) a) Solucionando problemas computacionais para as condies iniciais Umproblemaqueexisteemtermosdeimplementaonumricarefere-seao termo 1 kiu , que para o tempo k=0, k-1, gera um tempo negativo, ou seja, a equao (3. 87) fica: 1 010 011). 2 2 ( ++ + + =i i i i iu u u u u (3. 88) Para resolver esse problema usamos a seguinte condio: 38 0) 0 , (== tt x u, (3. 89) que discretizando usando diferena central, fica da seguinte forma: 021 1= +tu ukiki,(3. 90) que resulta em 1 1 +=kikiu u , devendo sersubstituda na Equao (3. 83) quando n = 0.021 1= +tu ui i,(3. 91) ou 1 1 +=i iu u ,(3. 92) Retornando a equao (3. 88) temos: 010 0112). 1 (2 +++ + =i i i iu u u u (3. 93) b) Solucionando problemas computacionais para as condies de contorno Um outro problema no termokiu1 +, pois para a ultima iterao espacial do i, que i+1, necessitamos calcular um valor inexistente na barra, isto , alm da barra. Para resolver esse problema usamos a seguinte condio: 1) , (== xt L x u, (3. 94) que discretizando usando diferena central, fica da seguinte forma:121 1= +xu ukiki,(3. 95) que resulta em: kikiu x u1 12 ++ = ,(3. 96) o qual deve ser substitudo na Equao (3. 83) quando for a ultima iterao do i. Para i = n (i = 6): 010 0112). 1 (2 +++ + =n n n nu u u u (3. 97) A condio de contorno fica: 39 121) , (1 1= == +xu uxt L x un n (3. 98) logo 1 12 ++ =n nu x u (3. 99) Retornando a equao (3. 97) temos: 010 0112). 1 ( ) 2 (2 +++ + + =n n n nu u u X u (3. 100) Observe que para: i) k = 0 e 1i 1: knknknknu u u X u1 112). 1 ( ) 2 (2 +++ + + = (3. 101) ii)k > 0 e 1i n-1: 11 112). 2 2 ( ++ + + =kikikikikiu u u u u (3. 102) ii)k > 0 e i =n: 11 11). 2 2 ( ) 2 ( + + + + =knknknknknu u u u x u (3. 103) comx t c < . Resultados: 1) Graficandotdxt x duA x==) , 0 ( temos: -1-0.500.511.522.530 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10du/dxtempodu(t,0)_dx X t"du(t,0)_dx.txt" Figura - 3. 7. Variao da derivada temporal da amplitude da deformao da barra com o tempo no ponto A na extremidade esquerda da barra, ou seja, x = 0 (Cortesia de Larissa Utiyama- 2006). 40 2) Graficandot t L x uB x ==) , 2 / ( , temos: -0.200.20.40.60.810 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10deslocamentotempou(t,0.5L) X t"u(t,0.5L).txt" Figura - 3. 8. Variao da amplitude de oscilao da deformao da barra com o tempo no ponto B no centro da barra, ou seja, x = L/2 (Cortesia de Larissa Utiyama- 2006). 3) Graficandot t L x uC x ==) , (temos: 00.20.40.60.811.21.41.61.820 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10deslocamentotempou(t,L) X t"u(t,L).txt" Figura-3.9.Variaodaamplitudedeoscilaodadeformaodabarra(taxadedeformao) com o tempo no ponto A na extremidade direita da barra, ou seja, x = L (Cortesia de Larissa Utiyama- 2006). 2) Resolver pelo Mtodo das Diferenas Finitas a seguinte equao2222221tuc yuxu=+, (3. 104) Com as seguintes condies iniciais: i) Para toda a membrana 0 ) 0 , , ( = = t y x u ,(3. 105) ii) Para as bordas: 41 0 ) , , ( = t y x u , (3. 106) iii) Para o centro: ctt x u== ) 0 , (,(3. 107) iv)) Fora do centro: 0) 0 , (== tt x u, (3. 108) Conforme mostra a Figura - 3. 10. Figura - 3. 10.Discretizao da membrana quadrada de lado a,Soluo: Discretizando, a equao diferencial, ( ) ( )21, ,1, 2 1 , , 1 , 2 , 1 , , 11. 21. 21) . 2 (tu u ucu u uxu u uty xty xty xty xty xty xty xty xty x+ = + ++ + + +, (3. 109) e isolando o termo 1,+ ty xu ( )1, ,21 , , 1 ,2, 1 , , 12 2 1,21. 21) . 2 ( + ++ +||.|
\|+ ++ =ty xty xty xty xty xty xty xty xty xu uyu u uxu u u t c u, (3. 110) Pararesolveroproblemanotermo 1, ty xu parat=0nocentrodiscretizamosacondio ctt x u== ) 0 , (, ficando tu uty xty x +21,1, e concluindo que 1,1,2+ =ty xty xu tc u , para fora do centro tambm usando diferena central, conclui-se que1,1, +=ty xty xu u, para os termos ty xu, 1 + e ty xu1 , +, no haver problema, pois para os valores mximos de x e y, a condio garante que ser 0. 42 Figura - 3. 11. Variao da amplitude da oscilao em funo do tempo. Figura- 3. 12. Oscilaes espaciais damembrana quadrada simulada no MAPLE VII (Cortesia de Maiko Fernandes Buzzi e Roberto Vanzuit) 43 3) Usando diferenas finitas, resolva o problemade Griffith para uma placa plana e infinita, sujeita a uma tenso constante, , nas bordas superior e inferior, e um entalhe plano no centro da placa, cuja equao diferencial biquadrada para o problema dada pelas funes de Airy: 04 2= = , (3. 111) Com condies de contorno: i) Nas bordas superior e inferior 00) , () , ( = = = = B A AB A AL y L x LL y L x L,(3. 112) ii) Nas bordas laterais 00) , () , ( = == =B B AB B AL y L L xL y L L x,(3. 113) iii) Nas extremidades da trinca ffy L xy L x = = == = =) 0 , () 0 , (00,(3. 114) Soluo: Figura-3.13.ProblemadeGriffith,resolvidopeloMtododeDiferenasFinitasusando-sea Planilha do Microsoft Excel, discretizado a um nvel de trs cores para o campo das deformaes. 44 Captulo IV CLCULO VARIACIONAL RESUMO Neste captulo ser visto a origem do Mtodo Variacional a partir do problema da braquistcrona, onde ser deduzido as Equaes de Euler-Lagrange. Em seguida utilizaremos esta equao para desenvolver o Mtodo Variacional para derivadas superiores. Concluiremos estecaptulocomexemplosdeextremizaodefuncionaisparadeterminaodaequao diferencial do problema. 4. 1 Objetivos do captulo i) Entender o Mtodo Variacional de Euler-Lagrange ii) Compreendera origem das Equaes de Euler-Lagrange de primeiraordem e ordem superiores. ii) Saber utilizar a Equao de Euler-Lagrangeem problemas para determinao das equaes diferenciais. iii)EntenderesaberaplicaroMtodoRayleigh-Ritzacopladoaoproblemado Cculo Variacional. 4. 2 Introduo O Mtodo Variacional tem origem na Mecnica Clssica de Newton. Este mtodo foidesenvolvidocomoumageneralizaodosproblemasdinmicosdaMecnicaAnaltica ouRacional.ExistemdiferentesabordagensmatemticasparasechegarasEquaesde Euler-Lagrange.Contudo,oproblemadabraquistcronaomaisdireto,poiseliminaa 45 necessidadedeseconhecertodoodesenvolvimentodaMecnicaAnalticaenvolvida.Esse mtodoprecursordosdemaismtodosqueseseguirovistoqueeledeterminaaequao diferencialdoproblemaatravsdasEquaesdeEuler-Lagrange.Asequaesdiferenciais encontradaspeloMtodoVariacionalpoderoserresolvidasanalticaounumericamente pelos demais mtodos que sero aprendidos neste curso. 4. 3 Problema da Braquistcrona Uma partcula cai do ponto (1) para o ponto (2), deslizando sem atrito sobre uma curva y = y(x). Determine a curva correspondente ao tempo mnimo de queda. Figura - 4. 1. Problema da braquistrcrona {BRAKS: curto, reduzido; KHRNOS: tempo} Soluo: Tempo de queda: }=) 2 () 1 (dt I (4. 1) velocidade: dtdsv = (4. 2) onde o comprimento da curva descrita dado por: 2 2 2dy dx ds + = (4. 3) logo 46 ( ) dx y dxdxdyds22' 1 1 + =|.|
\|+ =(4. 4) Pelo Princpio da Conservao da Energia (Sistema Conservativo) mgy mv mgy mv mgy mv + = + = +2222 121212121 (4. 5) onde a velocidade de queda dada por: ( )21212 y y g v v + = (4. 6) Assim: vdsdt = (4. 7) logo ( )dxy y g vyIxx} ++=21) ( 2' 11212 (4. 8) Em(4.8)Iumafunoespecialdenominadafuncional.Ofuncionaldoproblemada Braquistcrona depende de uma varivel independente x, de uma varivel dependente y, e da derivada primeira de y, isto , y. Genericamente: }=21) ' , , (xxdx y y x F I (4. 9) Oproblemacontendoaindanofoisolucionado,poisaexpressodafunoy=y(x)no conhecida. Esse o problema do clculo variacional, que consiste em determinar as funes queextremizamofuncional(paraoproblemadabraquistcrona,atrajetriayqueproduz umtempomnimodequeda).Essasfunessoobtidasapsseestabeleceremascondies necessriasextremizaodofuncional,segundoumprocedimentoanlogoaodaprocura dospontosextremos(extremantes)deumafuno.Assim,dadaumafunoy=y(x),asua expansoemSriedeTaylor,navizinhanadex=a,dadapor(admitindoquef(x)tenha derivadas contnuas em x = a): 47 ....! 2) () ( ' ' ) )( ( ' ) ( ) ( ++ + =a xa f a x a f a f x f (4. 10) e portanto: ....! 2) () ( ' ' ) )( ( ' ) ( ) (2++ = a xa f a x a f a f x f(4. 11) Para que f(a) seja um valor mnimo relativo funo, f(x) f(a) > 0 para todos os valores de x numa vizinhana de a, ou seja, para todos os valores amissveis de x(a). Onde o ponto a um ponto extremo ou extremizante da funo. Da mesma maneira, para que f(a) seja um mximo relativo, f(x) f(a) < 0. Como (x a) adquire valores positivos e negativos, impes-se a condio de que f(a) = 0, a fim de que o termo predominante do desenvolvimento em srie tenha valores no negativos, isto : ((x a)2 > 0 e |(x a)3| > (x a)4 ...).(4. 12) Acondiof(a)=0acondionecessriaparaqueopontox=asejaponto extremo da funo. Como (x a)2 > 0, se f(a) > 0 tem-se um ponto de mnimo em x = a; se f(a) < 0 tem-se um ponto de mximo em x = a. Se f(a) = 0, o termo predominante passa a seroterceiro,quealteraosinalparavaloresadmissveisdexdireitaeesquerdadea, caracterizando um ponto de inflexo (se f(a) 0). Aextremizaodofuncionalestsempreligadaaalgumcritriomatemticoou principiofsicoimpostoaoproblema,conformeumanecessidadeprtica,comonocasoda curva de tempo mnimo (Braquistcrona), ou do Principio da Mnima Energia Potencial. 4. 4 Equao de Euler-Lagrange Primeira Variao Ovalordofuncionaldependedafunoescolhida,funoestaquecorresponde ao caminho entre x1 e x2. Admite-seaexistnciadecertocaminho,y(x),queextremizaofuncionalem relaoaoscaminhosvizinhos(variados),) (~x y .Umafamliadecaminhosvariados, dependentes de um parmetro definida como: ) ( ) ( ) (~x x y x y + =(4. 13) 48 Onde) (x uma funo derivvel, arbitrariamente escolhida, que se anula em x = x1 e x = x2:) ( ) (2 1x x = =0.Nota-seque,qualquerquesejaaescolhade) (x ,quando=0os caminhos variados coincidem com o caminho extremizante. Figura - 4. 2. Calculo Variacional de primeira ordem da funo y(x) extremizante do funcional. Considerando os caminhos variados, o funcional: }=21) '~,~, (~xxdx y y x F I (4. 14) Tem o seu valor extremo dado por ( j que por hiptese, y extremiza o funcional): }=21) ' , , (xxdx y y x F I (4. 15) substituindo (4. 13) em (4. 14): }=21)) ( '~), (~, (~xxdx y y F I (4. 16) ou }+ + =21) ' ' , , (~xxdx y y x F I (4. 17) Em(4.17),ofuncionalestescritocomofunodoparmetroepodeserexpandidoem Srie de Taylor na vizinhana de = 0 (porque em = 0 temosy y =~): 49 ( ) ...! 2~ ~~ ~202200+||.|
\|+||.|
\|+ == == dI ddI dI I (4. 18) ou ...! 2~ ~~20220+||.|
\|+||.|
\|= = = dI ddI dI I (4. 19) Analogamente ao caso da funo y = f(x), a condio necessria para queI~ seja extremo em = 0 dada por: )) ( '~), (~(,~ ~ y y I I = (4. 20) Onde: 0 ) '~,~, (~~}= =||.|
\|= dx y y x F ddI dI (4. 21) logo 0~0=||.|
\|=dI d (4. 22) ou seja 0~0=||.|
\|= dI d (4. 23) Logo 0'~'~~~~0021=(((
||.|
\|+=||.|
\|==} xxdxyyF yyFdI d (4. 24) De (4. 17): 0 ''~ ~~0021=(((
||.|
\|+=||.|
\|==} xxdxyFyFdI d (4. 25) Como em = 0,y y =~ e' '~y y = , a expresso (4. 25) pode ser escrita como: 50 }=||.|
\|+210 ''xxdxyFyF . (4. 26) Agora vamos procurar eliminar o segundo termo da integral. Integrando por partes, pode-se eliminar : = =||.|
\| = =dx ddxdyFdxddudydFu'' ' (4. 27) Logo } } ||.|
\|=212121' '''xxxxxxdxyFdxdyFdxyF (4. 28) Como0 ) ( ) (2 1= = x x temos: } } ||.|
\| =2121'''xxxxdxyFdxddxyF (4. 29) Substituindo (4. 29) em (4. 26): }=((
||.|
\|210'xxdxyFdxdyF (4. 30) Usando o LEMA FUNDAMENTAL DO CLCULO DAS VARIAES. Se }=210 ) ( ) (xxdx x x f ,comf(x)contnuae(x)continuamentederivvel(ou diferencivel) e anulando-se em x1 e x2, ento f(x) = 0 no intervalo considerado. Assim tem-se de (4. 30) que: 0'=||.|
\|yFdxdyF (4. 31) QueaequaodeEuler-Lagrangeeacondioaquey(x)deveobedecerparaqueseja extremizante do funcional.Da equao (4. 13) pode-se definir o operador : 51 + = = = y y y y y~;~ (4. 32) Pordefinio,yrepresentaumavariaoarbitrriaintroduzidanavarivel dependente y para um valor fixo da varivel independente x. Graficamente temos: Figura - 4. 3. Variao y em torno de funo extremizante y(x). 4.4.1 - Propriedades do Operador 1)( ) ydxddxdy =((
: comutativa com o operador diferencial. Vejamos a variao da funo dxdy: dxy ddxdy~~=|.|
\| (4. 33) logo dxy ddxdydxy y ddxdydxy ddxdydxdydxdy) ()~(~~=((
== = |.|
\|=((
(4. 34) 2)[ ] } }= ydx ydx : comutativo com o operador integralVejamos a variao da funo }ydxcujo caminho varivel dado por: ( )} }= dx y ydx~~(4. 35) 52 ento [ ] ( )[ ] } }} } } } } }== = = =ydx ydxdx y y ydx dx y ydx ydx ydx )~(~~ (4. 36) Substituindo (4. 26) no segundo termo direita em (4. 18): ''''''212121=||.|
\|+=||.|
\|+=(((
||.|
\|+} } }xxxxxxdx yyFyyFdxyFyFdxyFyF (4. 37) Integrando por partes: } }= = = =||.|
\| = =y dx y dx y dx y ddxdyFdxdduyFu ' ' '' '(4. 38) Logo } } ||.|
\|=212121' '''xxxxxxydxyFdxdyyFdx yyF (4. 39) Mas0~= = y y y porque so iguais em x1 e x2. Substituindo (4. 39) em (4. 38): }=((
||.|
\|210'xxydxyFdxdyF (4. 40) Aexpresso(4.40)denominadaprimeiravariaodofuncional.Portanto,acondio necessria extremizao requer que a primeira variao do funcional seja igual a zero. }=((
||.|
\|=210') 1 (xxydxyFdxdyFI (4. 41) Note-se que: 1.53 0) 1 (~=||.|
\|=dI dI (4. 42) 2. A analogia entre a primeira variao de um funcional e o diferencial total de uma funo evidente se: }=||.|
\|= =210 '', ) ' , , () 1 (xxdx yyFyyFI y y x F F (4. 43) dyyfdxxfdf y x f f+= = , ) , ( (4. 44) 4.4.2 Condies de Contorno Foi considerado, at agora, o caso no qual so dados os pontos (x1,y1) e (x2,y2) por onde deve passar a funo extremizante e (x1) = (x2) = 0: essas condies de contorno so denominadas cinemticas ou foradas. Figura - 4. 4. Supes-se,agora,quesodadosapenasx1ex2;assim,doscaminhosvariados, alguns passaro por y1 e y2 e outros no. Para }=21) ' , , (xxdx y y x F I ,odesenvolvimentodacondiodeextremizao conduz a: 54 }=+((
||.|
\|=21 1 20') 1 (xx x xyyFyyFydxyFdxdyFI , (4. 45) onde cada um desses termos nulo individualmente, porque .... Afunoy(x)queextremizaofuncionaldeveratender,almdaequaode Euler-Lagrange, equao (4. 31), s seguintes condies de contorno: Condies de ContornoCondies de Contorno Naturais0 ) ) ( ( 0111 1== =xxyFou prescrito y x y ou y (4. 46) Condies de ContornoCondies de Contorno Naturais0 ) ) ( ( 0222 2== =xxyFou prescrito y x y ou y (4. 47) Em (4. 46) e (4. 47), as condies envolvendo os valores de y(x) em x1 e x2 so as condiesdecontornocinemticas,ascondiesdecontornoenvolvendoderivadassoas condies de contorno naturais. 4. 5 Funcionais com derivadas de ordem superiorSeja o funcional: }=21) ' ' ' , ' ' , ' , , (xxdx y y y y x F I(4. 48) A condio de extremizao se escreve como: }=||.|
\|+++=210 ' ' '' ' '' '' ''') 1 (xxdx yyFyyFyyFyyFI (4. 49) Integrando por partes: a) } } ||.|
\|=212112' '''xxxxxxydxyFdxdyyFdx yyF (4. 50) b) 55 }} }||.|
\|+||.|
\|==||.|
\|=212112212112' ' ' ''' ''' ''' '' '' '22 xxxxxxxxxxxxydxyFdxdyyFdxdyyFdx yyFdxdyyFdx yyF (4. 51) c) }}} }||.|
\|||.|
\|+||.|
\|==||.|
\|+||.|
\|==||.|
\|=21212112212112212112' ' ''' ' ''' ' '' '' ' ''' ' ''' ' '' '' ' ''' ' '' ' '' ' '' ' '' ' '332222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxydxyFdxdyyFdxdyyFdxdyyFdx yyFdxdyyFdxdyyFdx yyFdxdyyFdx yyF (4. 52) A condio extremizante: '' ' ''' ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '212121223322+((
||.|
\|+((
||.|
\|+||.|
\|++((
||.|
\|||.|
\|+||.|
\|}xxxxxxyyFyyFdxdyFyyFdxdyFdxdyFydxyFdxdyFdxdyFdxdyF (4. 53) Afunoy(x)queextremizaofuncionaldeveratenderequaodeEuler-Lagrange de ordem superiores: 0' ' ' ' ' '2233=||.|
\|+||.|
\|||.|
\|yFyFdxdyFdxdyFdxd (4. 54) E s condies de contorno: Cinemticas / Naturais so: 0' ' ') 0 ' ' ( ' '1==xyFou y prescrito y (4. 55) e 56 0' ' ' ' ') 0 ' ( ' =||.|
\|=yFyFdxdou y prescrito y (4. 56) e 0' ' ' ' ' ') 0 ( '22=+||.|
\|||.|
\|=yFyFdxdyFdxdou y prescrito y (4. 57) 4. 6 Exemplos de Aplicaes1) Voltando ao problema da Braquistcrona: ( )dxy y g vyIxx} ++=21) ( 2' 11212 (4. 58) Soluo: Particularizando o problema parav1 = 0 e considerando o ponto(1) =(x1, y1) na origem e com o sentido invertido para y, conforme mostra a Figura - 4. 5. Figura - 4. 5. Particularizao do problema da braquistcrona para v1 = 0 e considerando o ponto (1) = (x1, y1) na origem e com o sentido invertido para yA equao (4. 58) fica: ( ) ( )dxyygdxgyyIxxxx} }+=+=21212 2' 1212' 1 (4. 59) Logo o funcional a ser extremizado : 57 ( )yyy y x F2' 1) ' , , (+=(4. 60) Substituindo (4. 60) na equao de Euler-Lagrange (4. 31),temos: ( ) y yyyy y x F2' 1' 221') ' , , (+= (4. 61) logo ( )( ) ( )( ) ( )3223222' 1'21' 1' ' '' 1' '') ' , , (y yyy yy yy yyyy y x Fdxd+++=||.|
\| (4. 62) e ( )32) (' 121 ) ' , , (yyyy y x F + =(4. 63) Logo juntando tudo em (4. 31) temos: ( )( ) ( )( ) ( )( )( )0' 121' 1'21' 1' ' '' 1' '323223222=+++++ yyy yyy yy yy yy (4. 64) Multiplicando tudo por( ) y y2' 1+ , temos: ( ) ( )( )02' 12'' 1' ' '' '2 222=++ +yyyyyy yy (4. 65) Multiplicando tudo por 2y, temos: ( )0 ' 1 '' 1' ' ' 2' ' 22 222= + + + y yyy yyyy (4. 66) Ou ( )0 1' 1' ' ' 2' ' 222= ++yy yyyy (4. 67) 58 0 ' 1 ' ' ' 2 ) ' 1 ( ' ' 22 2 2= + + + y y yy y yy (4. 68) Simplificando os termos semelhantes,0 ' 1 ' ' ' 2 ' ' ' 2 ' ' 22 2 2= + + + y y yy y yy yy (4. 69) obtm-se a seguinte equao diferencial: ( ) 0 1 ' ' ' 22= + + y yy (4. 70) Fazendo-se uma mudana de variveis temos: u y = '(4. 71) e dyduu ydyduydxdydydudxdudxdydxddxy dy== = =|.|
\|= =' '' ' '22 (4. 72) Logo 0 1 22= + + udyduyu (4. 73) ou 0 ) 1 ( 22= + + dy u yudu (4. 74) Logo 0 )] 1 ( [2= + u y d (4. 75) Efetuando a integrao temos: a u y = + ) 1 (2(4. 76) ou a y y = + ) ) ' ( 1 (2(4. 77) que fica: 59 1 ) ' (2 =yay (4. 78) Logo dxdyyy ay == ' (4. 79) ou dyy aydxy aydydx= = (4. 80) Ento: 0x dyy ayx += } (4. 81) Fazendo: ) 2 / ( .2t sen a y = (4. 82) logo dt t t asen dt t t sen a dy ) 2 / cos( ) 2 / ( 2 / ) 2 / cos( ) 2 / ( . 2 = =(4. 83) e 0) 2 / cos( ) 2 / () 2 / cos() 2 / ( .x dt t t asent at sen ax + =} (4. 84) ou 02) 2 / ( x dt t sen a x + = }. (4. 85) Como: 2) 2 / cos( 1) 2 / (2tt sen=(4. 86) Ficamos com: 60 0) cos 1 (2x dt tax + =} (4. 87) Portanto 02 2xsent ta x +|.|
\| = (4. 88) Para0 000= ==x yx. A soluo final fica: ( ) = = =) cos 1 (2) 2 / (22tat asen yesent tax (4. 89) Esta equao a equao da ciclide. Portanto, a Braquistcrona um arco de ciclide desde o ponto (1) com (x = 0, y = 0) at o ponto (2) com (x = x2, y = y2). Figura - 4. 6. Curva de arco de ciclide para um tempo mnimo (Brasquistcrona). 2) Extremizar o seguinte funcional dx y xy Ixx) ) ' ( ' (212}+ = (4. 90) Soluo: A partir da equao de Euler-Lagrange temos que: 61 0'=||.|
\|yFdxdyF (4. 91) Sendo0 / = y Ftemos: 0'=||.|
\|yFdxd (4. 92) O que implica que: CyF=' (4. 93) Logo, ) ' , ( y x F F = . (4. 94) Retornando a equao de Euler-Lagrange temos: ( ) ' 2 ' '' '2y x y xyy yF+ = += (4. 95) ou 2 2' ' 2C xy C y x + = = + . (4. 96) Portanto, DCx xy + + =2 42.(4. 97) 3) Provar que a menor distncia entre dois pontos uma linha reta, ou seja: } }+ = = =21212' 1xxxxdx y ds distncia I (4. 98) Soluo: Sendoofuncional 2' 1 ) ' ( y y F F + = = eaplicandoaequaodeEuler-Lagrange temos: 62 0'=||.|
\|yFdxdyF (4. 99) Sendo0 / = y Ftemos: 0'0 =||.|
\|yFdxd (4. 100) O que implica que: CyF=' (4. 101) Logo, ) ' , ( y x F F = . (4. 102) Retornando a equao de Euler-Lagrange temos: ( )22 / 12' 1' ' 2 ' 121' 'yyy ydydFyF+= + = = (4. 103) logo 22' 1 '' 1'y C y Cyy+ = =+. (4. 104) Ou ) ' 1 ( '2 2 2y C y + = .(4. 105) Logo A y A yCCy = = = ' '1'2 2222. (4. 106) Integrado em x temos: } = = Adx y Axdxdy. (4. 107) Portanto, 63 B Ax y + = . (4. 108) Que a equao reduzida de uma reta Figura-4.7.GrficodamenordistnciaentredoispontossegundooClculoVariacionalde Euler-Lagrange. 4) Aplicar o clculo variacional ao problema de uma viga bi-apoiada. Figura - 4. 8. Viga bi-apoiada sujeita a deformao pelo seu prprio peso. Soluo: A energia potencial total do sistema : }(((
||.|
\|=lpdx qwdxw d EII02222. (4. 109) 64 Onde E: o mdulo de Elasticidade; I : o momento de Inrcia da seco transversal da viga; 2222||.|
\|dxw d EI:aEnergiaPotencialdeDeformao;qw(x):aEnergiaPotencialdacarga Atuante. Sendo F dado por: qwdxw d EIw w x F F ||.|
\|= =2222) ' ' , , ( (4. 110) PeloPrincipiodaEnergiaPotencialmnima,aconfiguraodeequilbrio corresponde extremizao do funcional. Da equao de Euler-Lagrange: 0' ' ' ' ' '2233=|.|
\|+|.|
\||.|
\|wFwFdxdwFdxdwFdxd(4. 111) como 0'0' ' '33=|.|
\|=|.|
\|wFdxdewFdxd(4. 112) Temos: 0' '22=+|.|
\|wFwFdxd(4. 113) Logo ( )' ' ;' '' '2222EIwwFdxEIw dwFdxd==|.|
\|(4. 114) e qwFedxw dEIwFdxd ==|.|
\|4422' '(4. 115) Ento substituindo em (4. 113) temos: EIqdxw d=44(4. 116) A equao diferencial da linha elstica. 65 Considerando as condies de contorno (x = 0 e x = l) 0 '' '=wwF : w prescrito) 0 ' ( = w ou0' '=wF (natural)(4. 117) e 0' '=|.|
\|wwFdxd : w prescrito ) 0 ( = w ou0' '=|.|
\|wFdxd(natural) (4. 118) As condies naturais podem ser escritas como: 0 ' '' '= =EIwwFou0 = M(Momento Fletor)(4. 119) e ( ) 0 ' ' ' ' = = EIw EIwdxdou 0 = Q(Q: Esforo cortante)(4. 120) Para o exemplo, h duas condies de contorno cinemticas e duas naturais: Em = = == = =0 ' ' 0 ;0 ' ' 0 ; 0w e w l xw e w x (4. 121) 66 4. 7 Mtodo de Rayleigh-Ritz Dado o funcional }=21) ' , , (xxdx y y x F I(4. 122) com condies de contorno y(x1) = y(x2) = 0. Cuja condio variacional dada por: 0 ) ' , , ( ) ' , , (2121= = =} }xxxxdx y y x F dx y y x F I . (4. 123) Paraqueacondiovariacionalsejasatisfeitanecessrioqueointegrando satisfaa a equao de Euler-Lagrange da seguinte forma: 0 ''21=((
++}xxdx yyFyyFxxF (4. 124) Desenvolvendo temos: 0'21=((
||.|
\|}xxydxyFdxdyF (4. 125) ou 0'=||.|
\|yFdxdyF (4. 126) NomtododeRayleigh-Ritzafunoy(x),queextremizaofuncional substituda por uma soluo aproximada) (x y , definida como: == + + = nii i n ny y y12 2 1 1... , (4. 127) ondeasfunesn ii... 2 , 1 , = soconhecidaselinearmenteindependentesnoespao vetorial de funes e os coeficientes i, devem ser determinados de forma a se obter a melhor aproximao possvel para a soluo do problema. Comoasfunesn ii... 2 , 1 , = ,soconhecidas,resultaquetantoy quanto' y dependero doa parmetros i. Ento: 67 == + + = nii i n ny y y12 2 1 1' ' ... ' ' ' ' . (4. 128) Substituindoy,definidoem(4.127)e y ,definidoem(4.15),obtm-seum funcional aproximado: }=21) ' , , (xxdx y y x F I . (4. 129) Explicitandotudoemtermosdasfunes,) (xi ,isto,substituindo-se(4.128) em (4. 129) temos: } } = = = == =2121) ) ( ' , ) ( ( )) ( ' ), ( , (1 1 1 1xxnii inii ixxinii iniidx x x F I dx x x x F I . (4. 130) Acondiovariacionaltambmdeveservlidaparaasoluoaproximada,de forma anloga devemos ter: 0 ) ' , , ( ) ' , , (2121= = =} }xxxxdx y y x F dx y y x F I (4. 131) Como o funcional exato do problema satisfaz a Equaes de Euler-Lagrange, para queecondiovariacionalaproximadasejapossvelprecisoqueointegrandodasoluo aproximada tambm deva satisfazer a mesma equao, ou seja,0'=||.|
\|yFdxdyF (4. 132) Onde em termos das funes,) (xitemos: = = ===nj jnj jnj jyyF yyF F1 1 1 (4. 133) e = = ===nj jnj jnj jyyF yyF F1 1 1''' ''' ' (4. 134) E ainda 68 = = =||.|
\|=||.|
\|=||.|
\|nj jnj jnj jyyFdxd yyFdxd Fdxd1 1 1''' ''' ' (4. 135) Ento subtraindo (4. 133) de (4. 135) temos: = = = =||.|
\|||.|
\|=||.|
\|||.|
\|nj jnj jnj jnj jyyF yyFdxd F Fdxd1 1 1 1''' ' ' (4. 136) Sabendo que: = = = = == ==njjnjijniinj jnj jy y1 1 1 1 1 (4. 137) Logo podemos escrever: 0' '1 1 1=((
||.|
\|=||.|
\| = = =njjnj jnj jyFyFdxd F Fdxd (4. 138) que satisfaz a equao de Euler-Lagrange tambm, ou seja, 0'1=(((
||.|
\|=nj j jFdxd F (4. 139) Portanto,possvelmostrarqueoLagrangeano ) ' , , ( y y x F podeserescritoem termos da somatria do Lagrangeanos parciais=nii i ix F y y x F0) ' , , , ( ) ' , , ( , onde vale a igualdade: } }}= = = =nixxi i ixxi iniixxdx x F dx x F I dx y y x F I1 1212121) ' , , , ( ) ' , , , ( ) ' , , ( , (4. 140) com a seguinte condio variacional 0 ) ' , , , ( ) ' , , , ( ) ' , , (1 1212121= = = = } } }= =nixxi i ixxnii i ixxdx x F dx x F dx y y x F I , (4. 141) satisfazendocadaumadelasaequaodeEuler-Lagrange,conformemostraaequao(4. 139). Separando a parte que depende dos is do restante podemos escrever: 69 }==21) ' , , ( ) (1xxi iniidx x G f I . (4. 142) Portanto,comoaintegraldefinida,ofuncionalaproximado,I ,depender somente dos n parmetros i, pode-se escrever: ) (iI I = (4. 143) Logo, a condio de extremizao deIpassa a ser dada por: 0 ...12211) 1 (==+ ++==jnj jnnI I I II . (4. 144) Como as variaes iso arbitrrias,I) 1 (s se anula quando: n iIj,..., 3 , 2 , 1 , 0 = = (4. 145) ou seja, } =((
== =210 ) ) ( ' , ) ( (1 1xxnii inii ij jdx x x FI . (4. 146) A expresso (4. 145) gera um sistema de equaes cuja soluo fornece os valores de i que correspondem melhor soluo aproximada do tipo descrito em (4. 127). 0 ) ' , , ( ) (211=(((
=}=xxi iniij jdx x G fI . (4. 147) Ou seja: ( )0 ) ' , , () (211=}=xxi ini jidx x Gf . (4. 148) gerando uma srie de termos em i, com coeficientes do tipo: 0 ) (1= ==nii jijL AI. (4. 149) Onde: 70 }=21) ' , , (xxi i jidx x G A (4. 150) E iiifL=) () (. (4. 151) Substituindo (4. 149) em (4. 144) vemos que a condio de extremizao pode ser colocada em termos de um sistema de equaes para os i,s0 ) (1 1 1= == = = =jnjnii ji jnj jL AII . (4. 152) ou seja, 0 ) (1 1== =njnii jiL A . (4. 153) cuja matriz do sistema quadrada e dada por: (((((
=(((((
(((((
0:00) (:) () (..: : : :....212 12 22 211 12 11n nn n nnnLLLA A AA A AA A A. (4. 154) Quandoassoluesaproximadasatendemscondiesdeconvergnciado mtodo,umaumentodonmerondetermosproduzumamelhorrepresentaodasoluo exata do problema. As condies de convergncia so: 1)Assoluesaproximadasdevemsercontnuas;Asderivadasdassoluesaproximadas devemsercontnuasatumaunidadeamenosqueaordemdooperadordiferencialque aparece no funcional. 2) As solues aproximadas devem satisfazer exatamente as condies de contorno essenciais ou foradas do problema 3) A seqncia de funes deve ser tal que, no limite, quando n , o erro quadrtico mdio se anula: 71 ( )}= 210 lim2xxndx y y(4. 155) ou seja, }=||.|
\|= 210 lim21xxnii indx y (4. 156) Observe que isso implica em: ( ) ( )} }= = 212102 2xxxxdx y y dx y y (4. 157) mas ( )}}=||.|
\| = =21210212xxnii ixxdx y dx y y (4. 158) Ou seja: ( ) ( ) ( )} }= = 21210 22xxxxdx y y y y dx y y (4. 159) logo ( )} } =||.|
\|||.|
\| = = =21210 ) (1 1xxxxnii inii idx y y dx y y y y (4. 160) Ou [ ][ ] [ ] 0 ) ( ) (2121} }= = xxxxdx y y y y y y dx y y y y (4. 161) Sendo0 = y , temos: ( )} }= = 21210 ] ) [( lim2xxxxndx y y y dx y y (4. 162) Fazendo 72 j j j ijnii jni ji iy y = = = = = 1 1) (. (4. 163) Temos: 0 ) (21211=||.|
\| = }}=dx y dx y y yj jxxnii ixx . (4. 164) Para jarbitrrios temos necessariamente que: 0 ) ( lim212112=||.|
\| = }}= dx y dx y yjxxnii ixxn . (4. 165) Separando a integral temos: dx dx yjxxnii ixxj } } ||.|
\|==21211. (4. 166) ou } }=(((
=21211xxj inijxxidx y dx . (4. 167) Uma matriz reduzida pode ser gerada, quando se explicita os L(i) em termos dos i,s,ficando,portantoosistemadeterminadoemtermosdoscoeficientesi,s,daseguinte forma: (((((
=(((((
(((((
m n mm n nmmCCCM M MA M MM M M: :..: : : :....21212 12 22 211 12 11. (4. 168) Onde }=21xxj i ijdx M . (4. 169) E 73 }=21xxj jdx y C . (4. 170) Observe que os Cj dependem da soluo exata do problema. Substituindo, y por ==nii iy1 em (4. 170) temos: }==211xxjnii i jdx C . (4. 171) Como as funes) (xiso mutuamente ortogonais temos: j ijniixxj inii jdx C = = =}= = 1 121. (4. 172) Portanto, a equao (4. 168) fica: (((((
=(((((
(((((
n n mm n nmmM M MA M MM M M: :..: : : :....21212 12 22 211 12 11. (4. 173) Onde necessriamente a matriz M a matriz identidade: (((((
=(((((
1 .. 0 0: : : :0 .. 1 00 .. 0 1..: : : :....2 12 22 211 12 11mm n nmmM M MA M MM M M. (4. 174) 74 4. 8 Exemplos de Aplicaes Exemplo: Dado o funcional. }=(((
||.|
\|=210 ) () (2222xxpdx x qwdxx w d EII(4. 175) querepresentaaenergiapotencialtotalparaaflexodeumaviga.Obterumasoluo aproximada para w(x) no caso de uma viga simplesmente apoiada. Figura - 4. 9. Viga bi-apoiada sujeita a flexo pelo seu prprio peso. Com condies de contorno: ==0 ) (0 ) 0 (l ww (4. 176) 1 Tentativa: Escolhendo uma soluo do tipo: ) ( ; ) ( x l x x l x w = = (4. 177) Soluo: 2 ) 2 ( ) (22 = = =dxw dx l xdxw dx l x w (4. 178) Ento: 75 ( )[ ]}}= =((
=21210 ) ( 2) ( 222 22xxxxpdx x xl q EIdx x l x qEII (4. 179) Integrando e aplicando os limites temos: llpx lxq x EI I03 2023 22||.|
\| = (4. 180) ou ||.|
\| =3 223 32l lq l EI Ip (4. 181) Logo ||.|
\| =6232lq l EI Ip , (4. 182) onde: 0 =pI: condio de extremizao,(4. 183) logo 0643=||.|
\|lq l EI , (4. 184) Portanto, EIql242= ,(4. 185) Retornando a) (x wtemos: ) (24) (2x l xEIqlx w = ,(4. 186) 76 Que em2 / l x =temos: EIqlx wl x96) (42 /==,(4. 187) Onde a soluo exata : EIqlw4max3845= ,(4. 188) cujo erro dado por: 8 , 0maxmax=ww. (4. 189) Logo a soluo aproximada 80% do valor exato. 2 Tentativa: Escolhendo uma soluo do tipo: ) ( ; ) (2 2x l x x l x w = = (4. 190) 3 Tentativa: Escolhendo uma soluo do tipo: ) ( ); ( ) (22 1x l x l x x x l x wii = + = (4. 191) 4 Tentativa: Escolhendo uma soluo do tipo: 2 2 22 1) ( ; ) ( ) ( x l x l x x x l x wii = + = (4. 192) Com EIqlEIqlw w w24;24; ) ' ' ( ; ' ' ; '22312== (4. 193) e 2 22 2) (24) (24l x xEIqlx l xEIqlw + = .(4. 194) Calcularw em2 / l x = , com: 77 = = == = ==0 ) ( ' ' ; 0 ) 90 ) 0 ( ' ' ; 0 ) 0 (44M l w l wM w wEIqdxw d (4. 195) e comparar o resultado com ow. 4. 9 Exerccios e Problemas Extremizar estes outros funcionais: 1) } + =21) 2 ' (2 2xxdx ysenx y y I (4. 196) 2) }+ =21) ' 1 ( '2xxdx y x y I (4. 197) 3) } + =21) 16 ' 2 ' (2 2xxdx y yy y I (4. 198) 4) Indicar as condies de contorno para as vigas (EI = cte; l = comprimento). a)Viga engastada b) Viga apoiada 78 c)Viga com apoio mvelExtremizar estes outros funcionais: 5) } =21) ' (2 2xxdx y y I (4. 199) 6) }+=2122) ' ( 1'xxdxyy xI (4. 200) 7) }+ =212) ' ( 1xxdx y y I (4. 201) 8) [ ]} + =212) ' ( 1xxdx y y I (4. 202) 9) }=21) ' (xxdx xy sen I (4. 203) 79 Captulo V MTODO DOS RESDUOS PONDERADOS RESUMO NestecaptuloservistoaorigemdoMtododosResduosPonderados.Este mtodo se apresenta como uma alternativa aoMtodo Variacional e por sua vez deu origem ao Mtodo dos Elementos Finitos e ao Mtodo dos Elementos de Contorno. 5. 1 - Objetivos do captulo i) Entender a origem do Mtodo dos Resduos Ponderados ii)SaberaplicaroMtododosResduosPonderadosnassuasmaisdiferentes formas iii) Resolver problemas de equaes diferenciais pertinentes ao mtodo. iv)SaberutilizaroMtododosResduosPonderadosnocontexodeoutros mtodos aproximados 5. 2 Introduo O Mtodo dos Resduos Ponderados um mtodo que surgiu a partir do Mtodo Variacional,mascomoumapropostadeselibertardacondiodeextremizaodeum funcional.Tendoapenascomocondioaequaodiferencialquepodeounoser provenientedeumacondiovariacionaldeumfuncional.Estemtodomuitoverstilea partir dele foi possvel originar outros mtodos de soluo de equaes diferenciais, tais como o Mtodo dos Elementos Finitos e o Mtodo dos Elementos de Contorno. 80 5. 3 Definio Matemtica e Desenvolvimento do Mtodo Seja um problema descrito pela seguinte equao diferencial t(u) = b em (5. 1) sujeito as condies de contorno S(u) = g em (5. 2) Onde te S so operadores lineares. Devido s dificuldades de obteno da soluo exata, u, esta pode ser aproximada porumafuno,u ,quetenhaumgraudecontinuidadenecessrioparatornarolado esquerdo da equao (5. 1) no identicamente nulo e que pode, ou no, satisfazer as condies de contorno do problema. A funo aproximadaupode ser definida como: u uNnn n + ==1 (5. 3) ondeumafunoconhecida,includaparasatisfazerascondiesdecontornono-homogneas) ( u = , n (n = 1, 2, 3, ...., N) so coeficientes ainda no determinados e n soFunesdeFormalinearmenteindependentes(noespaovetorialdefunes)e identicamentenulosnocontorno.Almdisso,asfunes n devemsertaisquea aproximaomelhorequandoonmeroNcresce,ouseja,oconjuntodeunes n deve obedecer ao critrio de completitude (ou completeza), expresso como: uNnn nN)`+ = 1lim (5. 4) Deformaanlogaasequaes(5.1)e(5.2)podemosdefinirasoluo aproximada da equao diferencial como sendo dada por: t b u = ) (em (5. 5) sujeito as condies de contorno S g u = ) (em .(5. 6) Subtraindo (5. 5) de (5. 1) e (5. 6) de (5. 2) temos: 81 t ) (u t b b u = ) (em (5. 7) e S ) (u S g g u = ) (em .(5. 8) Ondepodemosdefiniroserrosenodomnioenascondiesdecontorno respectivamente como sendo: b b =em (5. 9) e g g =em .(5. 10) Ou seja, = t ) (u t ) (uem (5. 11) e = S ) (u S ) (uem .(5. 12) Usando o fato de que t(u) = b e S(u) = g podemos escrever: = t ) (u b em (5. 13) e = S ) (u g em .(5. 14) Utilizandoumasoluoaproximadatalcomoadefinidaem(5.3),somente ser diferente de zero se a srie for truncada em um nmero finito. ObservequeaidiabsicadoMtododosResduosPonderadostomarto pequenoquantopossvelem(oqueequivaleatomaru toprximodeu quantoseja possvel). Logo o erro entre as funesueu pode ser escrito como: u u u = (5. 15) Sendoudado por (5. 3) temos: 82 01 + ==u uNnn n (5. 16) Observequenosuficienteencontrarumafunou quemaisseaproximadeu . Precisamos fazer com que a operao de t sobreuseja tambm prxima da operao de t sobreu , de tal forma que tanto o errou quanto o erro seja minimizado.Comoupode oscilar para valores debabaixo e acima deb devemos minimizar o erro de forma quadrtica, para garantir a melhor aproximao ea convergncia possvel da srie. Portanto, 0 ) (2 2= =} } d d(5. 17) Logo 0 ) ( 22= =} } d d(5. 18) Chamando de lwa uma funo peso do tipo dada por: dddwl= = (5. 19) Figura - 5. 1. Ortogonalidade das funes wl e . Pois certamente a integral acima ser nula quando a funo d d wl/ =for ortogonal a . Portanto a funo peso lwdeve ser de tal forma que: =lw(5. 20) logo 83 0 = =} } d d wl (5. 21) Substituindo(5.13)em(5.21)temosadefiniodeumconjuntodefunesde ponderao) ,..., 2 , 1 ( N l wl=o erro distribudo da seguinte maneira (a integral indicada efetuada N vezes): }[ t 0 ] ) ( = = } d w d w b ul l (5. 22) onde = t 0 ) ( b u . Substituindo (5. 3) em (5. 22), tem-se: }{lw t=+Nnn1) ( t 0 } ) ( = d bn, l = 1, 2, 3, ...N (5. 23) Rearranjando os termos da equao (5. 23) temos: }=lNnnw1t dn) ( =}b wl[ t d )] ( , (5. 24) SendoonmerodefunesdeponderaoigualaodeFunesdeForma,os coeficientes n so obtidos aps a soluo do sistema de equaes: ~~ ~f K = (5. 25) Na qual os elementos da matriz ~Ke do vetor ~fso definidos como: }=lw Klnt dn) ((5. 26) e } =b w fl l[ t d )] ( , (5. 27) Observao:Asfunesdeponderaodevemconstituirumconjuntolinearmente independente, no espao vetorial de funes. 84 5. 4 Variaes do Mtodo por Diferentes Funes de Ponderao Dependendodoconjuntodefunesdeponderaoadotado,umesquema correspondente de resduos ponderados obtido. Os mais comuns so: 5.4.1 - Mtodo da Colocao Aequaodiferencialsatisfeitaemumdeterminadonmerodepontos, denominados pontos de colocao. Se a equao diferencial satisfeita, = 0. Aps a imposio da condio = 0, nos N pontos selecionados, um sistema de equaes obtido, no qual as incgnitas so os parmetrosn.Estemtodoequivaleaadotar,comofunesdeponderaowl;afuno Delta de Dirac nos pontos x = xl, isto : ) ( ) (l lx x x w = . (5. 28) Os elementos Kln e fl so definidos como: } = ) (ln lx x K t = d xn)) ( ( t d xl n)) ( ((5. 29) e } = b x x fl l)[ ( t = b d [ )] ( tlx x=)] (, (5. 30) Neste mtodo temos que o erro no domnio nulo, logo: ) ( 0l lx x w = = .(5. 31) Onde, conforme (5. 13), ns havamos visto que a definio do erro no domnio, dado por: = t = ) ( b ut 0 )) ( ( + b xlnn n . (5. 32) E, portanto =lxt = ) (l lx xb u t 0 )) ( ( + l lxlnn nxb x . (5. 33) 85 5.4.2 Exemplos de soluo usando Mtodo da Colocao 1) Resolver a equao diferencial por Resduos Ponderados 022= udxu d.(5. 34) onde 1 , 010= ===xxu u . (5. 35) utilizando o Mtodo da Colocao, com um e dois parmetros. Soluo Vamos encontrar uma soluo aproximada do tipo: + = u .(5. 36) Adotando iix = , tem-se: n i u unii i,..., 2 , 1 ;1= = == . (5. 37) as funes e que satisfazem as condies de contorno so: ) 1 ( 01 0 = = = == =x x e xx x . (5. 38) No intervalo logo ) 1 ( ) ( + = x x x x u . (5. 39) O erro dado por: 0 0) (22= = udxx u d .(5. 40) onde 86 )) ( ( 2) (222x x x udxx u d + = = .(5. 41) ou ) 2 (2 = x x x .(5. 42) Como s h um parmetro, a sentena de resduos ponderados escrita como: 010=}dx w , (5. 43) para que o erro seja nulo em alguns pontos especiais, chamados pontos de colocao. Adotando como ponto de colocao o ponto2 / 1 = x , tem-se: )21( ) ( = x x w .(5. 44) Portanto,sesomenteumparmetroutilizadoparau ,isto,se ) 1 ( ) ( + = x x x x u , para1 0 xa sentena de resduos ponderados : 0 )21(1010= =} }dx x dx w . (5. 45) Ento 0 )] 2 ( )[21(10210= =} }dx x x x x dx w . (5. 46) Integrando e resolvendo para , temos: 0 )] 2 ( [2 / 12= = xx x x . (5. 47) Substituindo os limites de integrao temos; 21] 2 [2 / 12 = =xx x .(5. 48) Logo 87 92= .(5. 49) Portanto a soluo aproximada) (x u: ) 1 (92 + = x x x u .(5. 50) 2) Adotando n = 2, isto com dois parmetros, 1 e2, pode-se fazer: 2 2 1 1 + + = u . (5. 51) Com 0 ) 1 ( ) 0 ( ; ) 1 (0 ) 1 ( ) 0 ( ; ) 1 (2 2221 1 1= = = == = = = x xx x. (5. 52) No domnio dado pelo intervalo [0;1]. Dividindo este intervalo em dois valores iguais para termos pontos igualmente espaados, temos: Logo, quando se adota ) 1 ( ) 1 (22 1 + + = x x x x x u .(5. 53) Ento: 2 122) 2 6 ( 2 + = xdxu d.(5. 54) O erro dado por: 0 0) (22= = udxx u d .(5. 55) substituindo) (x u de (5. 53) e (5. 54) em (5. 55) tem-se: 88 ) 2 6 ( ) 2 ()) 1 ( ) 1 ( ( ) 2 6 ( 2) (2 322122 1 2 122+ == + + + = =x x x x x xx x x x x x udxx u d . (5. 56) ou ((
+ + =21 2 3 2)] 2 6 ( ) 2 ( [x x x x x x.(5. 57) A sentena de resduos ponderados pode ser escrita como: 01021=((
}dxww , (5. 58) para que o erro seja nulo em alguns pontos especiais, chamados pontos de colocao. Adotando como pontos de colocao os valores3 / 1 = xe3 / 2 = x , obtm-se: 0)32()31( 10=((((
}dxxx. (5. 59) Portanto, as sentenas de resduos ponderados so:
=((
+ ((
+ ((
} }00)] 2 6 ( ) 2 ( [) 3 / 2 () 3 / 1 () () 3 / 2 () 3 / 1 (21 2 3 21010dx x x x x xxxdx xxx (5. 60) Ou na forma matricial ((
=((
(((((
+ + +(((((
} }} }}}00) 3 / 2 ( ) 2 6 ( ) 3 / 2 ( ) 2 () 3 / 1 ( ) 2 6 ( ) 3 / 1 ( ) 2 () 3 / 2 ( ) () 3 / 1 ( ) (21102 3102102 31021010 dx x x x x dx x x xdx x x x x dx x x xdx x xdx x x (5. 61) Aps a integrao dos termos, e impondo-se os limites de integrao, obtm-se o sistema de equao: 89 ((
=((
(((
+ + = == =3 / 23 / 1) 2 6 ( ) 2 () 2 6 ( ) 2 (213 / 22 33 / 223 / 12 33 / 12x xx xx x x x xx x x x x (5. 62) ou ((
=((
((((
3 / 23 / 1275892027292021 (5. 63) Resolvendo para 1e 2temos: 569;560812 1= = (5. 64) Portanto, a soluo aproximada) (x u: ) 1 (569) 1 (560812 + + = x x x x x u .(5. 65) 3)ResolveraequaodiferencialanteriorporResduosPonderados,comoMtododa Colocao, utilizando trs parmetros, tentando usar a soluo aproximada do tipo: 2 22 1) 1 ( ) 1 ( + + = x x x x x u .(5. 66) 90 As solues aproximadas podem ser comparadas com a soluo exata: 1) (=e ee ex ux x.(5. 67) Comparando as solues por meio da Tabela - V. 1. Tabela - V. 1. Comparao entre as solues das equao diferencial resolvida por Resduos Ponderados pelo Mtodo da Colocao x01/32/31 u(x)00,2889210,4434100,6102431 u1(x)00,2839510,4444440,6172841 u2(x)00,2892860,4437500,6107141 Pergunta: Porqueoerronospontosdecolocaononulo?Comoaparentemente prescrevia a teoria: Resposta: No Mtodo da Colocao, o erro da funo no nulo 0 = u u u .(5. 68) E sim o erro na equao diferencial: t )] ( [ x u t 0 )] ( [ = x u . (5. 69) Ou seja: 0 ) () (01222222= ==((
((
==ix xx xu udxu u dudxu dudxu d. (5. 70) Nos pontos de colocao, xi, dados por: 32;21;313 2 1= = = x x x .(5. 71) 91 5.4.3 - Mtodo da Colocao por Subdomnios Modificado Estetambmumtipodemtododecolocaoporsubdominiosnoqualse impeacondiodequeaintegraldoerronulanosNsub-domnios,l,nosquaiso domniooriginal,,foidividido.Seaequaodiferencialsatisfeita,=0.Apsa imposio da condio = 0, nos N pontos selecionados, um sistema de equaes obtido, no qual as incgnitas so os parmetros n. Este mtodo equivale a adotar, como funes de ponderao wl; a funo Delta de Dirac nos pontos x = xl, isto : o que equivale a definir wl como: =ll llx sex se x xx w 0) () ( , (5. 72) Os elementos Kln e fl so definidos como: } =llx x K ) (lnt = d xn)) ( ( t )) ( (l nx (5. 73) e } =lb x x fl l )[ ( t = b d [ )] ( tlx x=)] (, (5. 74) Neste mtodo temos que o erro nos subdomnios nulo, logo: ) ( 0l lx x wl = = .(5. 75) Onde, conforme (5. 13), ns havamos visto que a definio do erro no domnio, dado por: =l t = b u) (t 0 )) ( ( + b xlnn n . (5. 76) E, portanto =llxt = l lx xb u) ( t+nnxl ) ( t [ 0 )] ( lxl nb x . (5. 77) Aequaodiferencialsatisfeitaemumdeterminadonmerodepontos, denominados pontos de colocao. 92 5.4.4 Exemplos de soluo usando Colocao por Subdomnios Modificado 93 5.4.3 - Mtodo da Colocao por Subdomnios Estetambmummtododecolocaonoqualseimpeacondiodequea integral do erro nula nos N sub-domnios, l, nos quais o domnio original, , foi dividido, o que equivale a definir wl como: =lllx sex sew01, (5. 78) Os elementos Kln e fl so definidos como: }=lKlnt d xn)) ( ((5. 79) e } =lb fl[ t d )] ( , (5. 80) 5.4.4 Exemplos de soluo usando Mtodo da Colocao por subdomnios 1) Resolver a equao diferencial por Resduos Ponderados 022= udxu d.(5. 81) onde 1 , 010= ===xxu u . (5. 82) Utilizando o Mtodo daColocao por Subdomnios, com um e dois parmetros. Soluo Vamos encontrar uma soluo aproximada do tipo: + = u .(5. 83) Adotando iix = , tem-se: 94 n i u unii i,..., 2 , 1 ;1= = == . (5. 84) as funes e que satisfazem as condies de contorno so: ) 1 ( 01 0 = = = == =x x e xx x . (5. 85) No intervalo logo ) 1 ( ) ( + = x x x x u . (5. 86) O erro dado por: 0 0) (22= = udxx u d .(5. 87) onde )) ( ( 2) (222x x x udxx u d + = = .(5. 88) ou ) 2 (2 = x x x .(5. 89) Como s h um parmetro, a sentena de resduos ponderados escrita como: 010=}dx w , (5. 90) para que o erro seja nulo em alguns pontos especiais, chamados pontos de colocao. Adotando como ponto de colocao o ponto x = 1 tem-se: =] 1 ; 0 [ 1] 1 ; 0 [ 0) (x sex sex w . (5. 91) 95 Portanto,sesomenteumparmetroutilizadoparau ,isto,se ) 1 ( ) ( + = x x x x u , ento1 = wpara1 0 xa sentena de resduos ponderados : 0 11010= =} }dx dx w . (5. 92) Ento: 0 ) 2 ( ( 110210= =} }dx x x x dx w . (5. 93) Integrando e resolvendo para : 102102 3222 3xxx x =||.|
\| .(5. 94) Substituindo os limites de integrao temos; 2122131 =|.|
\| . (5. 95) Logo 13321213= = .(5. 96) Portanto, a soluo aproximada) (x u: ) 1 (133) ( + = x x x x u .(5. 97) 2) Adotando n = 2, isto com dois parmetros 1 e 2, pode-se fazer: ) ( ) (2 2 1 1x x u + + = . (5. 98) com 0 ) 1 ( ) 0 ( ; ) 1 (0 ) 1 ( ) 0 ( ; ) 1 (2 2221 1 1= = = == = = = x xx x. (5. 99) 96 Utilizando o ponto2 / 1 = xpara dividir o domnio =] 1 ; 0 [em dois intervalos ou sub-domnios, 1 =[0;1/2] e 2 = [1/2;1]: Logo, quando se adota, ) 1 ( ) 1 ( ) (22 1 + + = x x x x x x u .(5. 100) Ento: 2 122) 2 6 ( 2 + = xdxu d.(5. 101) O erro dado por: 0 0) (22= = udxx u d .(5. 102) substituindo) (x u de (5. 100) e (5. 101) em (5. 102) tem-se: )) 1 ( ) 1 ( ( ) 2 6 ( 2) (22 1 2 122 + + = = x x x x x x udxx u d . (5. 103) ou ) 2 6 ( ) 2 (2 3221+ = x x x x x x .(5. 104) As sentenas de resduos ponderados podem
