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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
Faculdade de Cincias Econmicas
Departamento de Cincias Administrativas
Centro de Ps-Graduao e Pesquisas em Administrao
CEPEAD
CLCULO FINANCEIRO
Professor Robert Aldo Iquiapaza
Professor Aureliano Angel Bressan
Belo Horizonte/Minas Gerais
Abril/2014
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ANBIMA Associao Brasileira das Entidades dos Mercados Financeiro
e de Capitais
BACEN, BCB Banco Central do Brasil
BM&FBovespa Bolsa de Valores, Mercadorias e Futuros
CDB Certificado de depsito bancrio
CDI Certificado de depsito interfinanceiro
CETIP Central de Custdia e Liquidao de Ttulos Privados
CVM Comisso de Valores Mobilirios
IBGE Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica
IGP-DI ndice Geral de Preos de Disponibilidade Interna
IPCA ndice de Preos ao Consumidor Amplo
LTN Letra do tesouro nacional
NTN Nota do tesouro nacional
SELIC Sistema Especial de Liquidao e Custdia
VP=PV=P Valor presente
VF=FV=S=F Valor futuro
PMT = R Prestao, anuidade
TIR = IRR Taxa interna de retorno
TIRM = MIRR Taxa interna de retorno modificada
TRR Taxa requerida de retorno
SAC Sistema de Amortizao Constante
SACRE Sistema de Amortizao Crescente
VPL = NPV Valor presente lquido
YTM Retorno at o vencimento
-
Sumrio
1. Introduo
..............................................................................................................
6
2. Conceitos Bsicos e Simbologia
.........................................................................
7
2.1. Matemtica Financeira
.......................................................................................
7
2.2. Conceitos, smbolos e convenes
..................................................................
7
3. Uso de Calculadora Financeira e Excel
.............................................................
10
3.1. Introduo a calculadora HP12c
.....................................................................
10
3.1.1. Configuraes
...............................................................................................
10
3.1.2. O sistema de pilha
.........................................................................................
11
3.1.3. As operaes bsicas
...................................................................................
11
3.1.4. Trocar o sinal de um nmero
.......................................................................
12
3.1.5. Teclas f e g
.....................................................................................................
12
3.1.6. Limpeza dos registradores
...........................................................................
13
3.1.7. Memrias
........................................................................................................
13
3.1.8. Operaes com datas
...................................................................................
13
3.1.9. Outras operaes
..........................................................................................
14
3.1.10. Porcentagem
................................................................................................
14
3.1.11. Exerccios com a HP-12c
............................................................................
14
3.2. Introduo planilha eletrnica Excel
........................................................... 15
3.2.1. Uma planilha Excel para um caso de vendas
............................................. 16
3.2.2. Exerccio com Excel
......................................................................................
17
4. Capitalizaes Simples e Composta
.................................................................
19
4.1. Capitalizao simples
......................................................................................
19
4.2. Exerccios com capitalizao simples
........................................................... 20
4.3. Capitalizao composta
...................................................................................
21
4.3.1. A HP-12c e a capitalizao composta
.......................................................... 25
4.4. Exerccios com capitalizao composta
........................................................ 25
5. Classificao das taxas de juros
.......................................................................
27
5.1. A classificao das taxas de juros
.................................................................
27
5.1.1. Inflao
...........................................................................................................
27
5.1.2. Taxas nominais
.............................................................................................
27
5.1.3. Taxas efetivas
................................................................................................
27
5.1.4. Taxa de juros reais
........................................................................................
29
5.2. Relaes entre taxas de juros efetiva (i) e taxa real (r)
................................. 29
-
5.3. Taxas de juros equivalentes
............................................................................
29
5.4. Taxas proporcionais
........................................................................................
30
5.5. Exerccios de taxas de juros
...........................................................................
31
6. Descontos
............................................................................................................
33
6.1. Tipos de desconto
............................................................................................
33
6.1.1. Desconto racional simples
...........................................................................
33
6.1.2. Desconto comercial simples
........................................................................
34
6.1.3. Desconto racional composto
.......................................................................
37
6.2. Exerccios sobre descontos
............................................................................
39
7. Sries de Pagamentos
........................................................................................
41
7.1. Primeiras consideraes
.................................................................................
41
7.2. Termos vencidos
..............................................................................................
42
7.2.1. Valor futuro em termos vencidos
................................................................
43
7.2.2. Prestaes e valores futuros
.......................................................................
45
7.2.3. Valor presente de uma srie de valores
...................................................... 46
7.2.4. Prestaes e valores presentes
...................................................................
48
7.3. Termos
antecipados.........................................................................................
49
7.3.1. Valor futuro em termos antecipados
........................................................... 50
7.3.2. Prestao em conjunto com valores futuros
.............................................. 52
7.3.3. Valor presente em termos antecipados
....................................................... 53
7.3.4. Prestaes e valores presentes
...................................................................
55
7.4. Exerccios com sries de
pagamentos...........................................................
56
8. Equivalncia de Fluxos de Caixa
.......................................................................
57
8.1. Equivalncia de capitais ou fluxos a juros simples
...................................... 57
8.2. Equivalncia de capitais ou fluxos a juros compostos
................................ 58
8.3. Exerccios sobre equivalncia de fluxos
........................................................ 58
9. Mtodos de Avaliao de Fluxos de Caixa
....................................................... 60
9.1. Mtodos de anlise
..........................................................................................
60
9.2. Payback (Tempo de retorno)
...........................................................................
60
9.3. Taxa interna de retorno (TIR)
..........................................................................
61
9.4. Valor presente lquido (VPL)
...........................................................................
62
9.5. O VPL versus a TIR
..........................................................................................
62
9.6. Taxa interna de retorno modificada (TIRM)
.................................................... 64
9.7. Exerccios sobre avaliao de fluxos de caixa
.............................................. 67
10. Sistemas de amortizao
..................................................................................
68
-
10.1. Sistema de amortizao constante - SAC
.................................................... 68
10.2. Sistema Francs de prestao constante
.................................................... 69
10.3. Tabela Price, sistema de prestao constante
............................................ 70
10.4. Sistema de prestao crescente - Sacre
...................................................... 71
10.5. Exerccios sobre sistemas de amortizao
................................................. 72
11. Operaes no sistema financeiro brasileiro
................................................... 73
11.1. Operaes com duplicatas
............................................................................
73
11.2. Operaes com ttulos pblicos
...................................................................
73
11.3. Letra do tesouro nacional - LTN
...................................................................
74
11.4. Nota do Tesouro Nacional - Srie F, NTN -F
................................................ 76
11.5. Open market ou operaes de mercado aberto
.......................................... 78
11.6. Depsitos Interfinanceiros
............................................................................
78
11.7. Taxa Over
........................................................................................................
79
11.8. Hot money
.......................................................................................................
80
11.9. Certificado/ Recibo de Depsito Bancrio (CDB/RDB)
............................... 81
11.10. Ttulos privados: Papeis comerciais e debntures
................................... 82
11.11. Exerccios sistema financeiro brasileiro
.................................................... 85
Bibliografia
...............................................................................................................
87
Anexos
.....................................................................................................................
88
Anexo A Fator para juros compostos.
....................................................................
88
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Introduo 6
1. Introduo
A linguagem matemtica desenvolveu-se para facilitar a comunicao
do conhecimento matemtico entre as pessoas. A Matemtica Financeira
possui uma linguagem prpria e uma ferramenta til na anlise de
alternativas de investimentos ou financiamentos de diversos tipos
de bens ou servios. A idia bsica simplificar a operao financeira a
um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemticos na
anlise.
O clculo financeiro e a anlise de investimentos so ferramentas
essenciais, de cada dia, na tomada de decises e na gesto financeira
das empresas e das pessoas. Dessa forma, o estudo da Matemtica
Financeira constitui-se em uma ferramenta importante para os
diferentes agentes econmicos, que atuam alm dos mercados
financeiros e de capitais. Ou seja, a matemtica financeira
utilizada por diferentes pessoas com distintos nveis de
conhecimento sobre o assunto. Desde a dona de casa que faz compras
a prazo no supermercado at os analistas financeiros dos maiores
bancos do pas que vo avaliar se devem financiar ou no a nova planta
de uma empresa de grande porte.
A Matemtica Financeira no exclusiva dos profissionais das reas
de Administrao, Contabilidade, Controladoria e Finanas, Economia e
outras afins gesto empresarial, mas so eles os que deveriam ter um
bom conhecimento das tcnicas e procedimentos da matemtica
financeira para desenvolver suas atividades do dia a dia realizando
os clculos cuidadosamente.
Uma m aplicao dos princpios da matemtica financeira pode levar
tomada de decises errada, a enganar as pessoas e a ter prejuzos
financeiros. Isto significa que o desconhecimento da matemtica
financeira nos pode manter na escurido e ser uma vtima fcil dos
conhecedores do assunto.
No cenrio ps-moderno e do ciberespao, as palavras e termos
tcnicos, antes privilgio de alguns poucos, passaram a ser cada vez
mais parte da linguagem cotidiana. Neste curso, os termos como
juros, desconto, paridade de taxa, amortizao de dvidas, valor
presente, juros descontados, entre tantos outros sero analisados,
especialmente, do ponto de vista prtico.
O contedo desenvolvido considerando a seguinte estrutura:
Conceitos bsicos e simbologia; uso de calculadora financeira e
Excel (esta parte para quem no est familiarizado com sua utilizao);
capitalizaes simples e composta; descontos; equivalncia de fluxos
de caixa; sries de pagamentos; mtodos de avaliao de fluxos de
caixa; classificao das taxas de juros; sistemas de amortizao e
operaes no sistema financeiro brasileiro. Para cada um desses
tpicos so apresentados as idias principais, um conjunto de exemplos
resolvidos e uma lista de exerccios de prtica.
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Conceitos bsicos e simbologia 7
2. Conceitos Bsicos e Simbologia
2.1. Matemtica Financeira
A Matemtica Financeira uma rea da matemtica que aplica seus
conceitos no estudo da variao do dinheiro ao longo do tempo. A
origem da Matemtica Financeira est intimamente ligada a dos regimes
econmicos, o surgimento do crdito e do sistema financeiro.
Todo o desenvolvimento da Matemtica Financeira est ligado
utilidade do dinheiro, que gera dinheiro, ao contrrio de sua
simples propriedade, que por si s no apresenta rendimento.
2.2. Conceitos, smbolos e convenes
Um dos principais problemas no estudo da Matemtica Financeira
advm da Babilnia de termos, smbolos e conceitos desenvolvidos at
hoje. A origem desse problema encontra-se na terminologia
emprestada de outras lnguas, especialmente da inglesa. A lngua
inglesa tem muita influncia determinada, especialmente, pela grande
aceitao de calculadoras financeiras que, normalmente, conservam a
simbologia matemtica da lngua original. Neste texto teremos que
utilizar nomes na lngua portuguesa e smbolos de conceitos nas duas
lnguas.
Para evitar problemas com mudanas de unidades monetrias,
utilizaremos sempre uma unidade fictcia, chamada de unidade
monetria, abreviada por u.m. ou representada por $, junto ao
valor.
Capital
Capital ou Principal valor de uma quantia em dinheiro na data
zero, ou seja, no inicio de uma aplicao. Capital poder ser o
dinheiro investido em uma atividade econmica, o valor financiado de
um bem, ou de um emprstimo tomado.
Capital pode ser apresentado sob vrias siglas e sinnimos: C (de
Capital); P (de Principal); VP (de Valor Presente); PV (de Present
Value); C0 (Capital Inicial).
Juros
Os juros so a remunerao paga pelo uso do dinheiro. Pode ser
tanto o rendimento de uma aplicao quanto o juro a ser pago em um
financiamento. Diferencia-se do capital por que resulta da aplicao
financeira, enquanto o capital o motivo da aplicao financeira. Os
Juros sempre so expressos em unidades monetrias, e representam o
montante financeiro referente a uma aplicao.
Os juros podem ser apresentados sob vrias siglas e sinnimos: J
(de Juros); I (de Interest).
Taxa de juros
A taxa de juros representa a razo entre o juro e o capital
(J/C). O clculo da taxa de juros responsvel pela observao da
rentabilidade de uma operao financeira, sendo indispensvel para a
tomada de deciso de investimentos.
Normalmente representada em forma percentual. Um valor
percentual um valor que representa a taxa de juros para um capital
de 100 u.m. Para efeito de clculo sempre utilizado a taxa unitria,
que aquela que resulta diretamente no juro de um perodo, quando
multiplicada pelo capital. Por exemplo: 0,05 = 5%
-
Conceitos bsicos e simbologia 8
A taxa de juros normalmente apresentada como: i (de interest
tax); r (de Rent).
Outro item importante a considerar nas taxas de juro, que elas
sempre devem estar de acordo com o perodo de capitalizao. Pode-se
ter taxas mensais, bimestrais, trimestrais, quadrimestrais,
semestrais, anuais. Veja as mais utilizadas:
a.a. - ao ano
a.s. - ao semestre
a.q. - ao quadrimestre
a.t. - ao trimestre
a.m. - ao ms
a.d. - ao dia
Taxa exata e comercial
A taxa exata como chama-se a taxa de juros que considera os dias
conforme o calendrio anual, ou seja, 365 ou 366 dias no ano, 28,
29, 30 ou 31 dias no ms.
A taxa comercial a conveno usada nos mercados, onde se considera
meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias).
Em algumas aplicaes no mercado financeiros utiliza-se o nmero de
dias teis, assim um ano geralmente tem 252 ou 253 dias teis.
Taxa efetiva e nominal
A taxa efetiva a taxa que est sendo referenciada ao perodo de
capitalizao.
A taxa nominal a taxa dada em desconformidade com o perodo de
capitalizao.
Usualmente utiliza-se para converso, a conveno comercial. Assim,
uma taxa anual capitalizada mensalmente deve ser dividida pelo
nmero de meses do ano para obter a taxa efetiva.
Prazo
O prazo ou perodo de capitalizao o tempo pelo qual o capital
aplicado.
Pode ser representado por n, t, N, T.
Montante
O montante o resultado da soma do capital com o juro.
Matematicamente:
M = C + J (considerando-se M a representao de Montante)
Como o resultado da soma do capital com o juro, decorre que o
montante calculado apenas no fim da capitalizao.
Outras representaes: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de
Future Value); Cn.
Prestao
Prestao a parcela contnua que amortiza o Capital e os Juros
Representaes: R (de Renda); PMT (de payment); Pgto (de
Pagamento); a, A (Anuidade).
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Conceitos bsicos e simbologia 9
Desconto
O desconto um abatimento oferecido sobre o valor nominal de um
ttulo ou sobre o montante de uma dvida a vencer, quando paga
antecipadamente. Geralmente, o desconto expresso em forma
percentual. Por exemplo, um produto que custa R$500.00 com desconto
de 5% sair R$475.00
O desconto pode ser representado por: d, D.
Capitalizao e Descapitalizao
Chamamos de capitalizao o processo de aplicao de uma taxa de
juros sobre um capital, resultando de um juro e, por conseguinte de
um montante. Quando queremos saber qual o valor de um montante,
estamos querendo saber o resultado da capitalizao do valor
atual.
A descapitalizao, por outro lado, corresponde a operao inversa,
sabemos o valor do montante e queremos saber o valor atual. Fazemos
descapitalizao quando queremos saber, por exemplo, quanto
precisamos investir hoje em um determinado regime de capitalizao,
durante um determinado nmero de perodos, para ter numa data futura
um determinado montante.
Apresentao das variveis na HP
As variveis acima so utilizadas na calculadora financeira Hp12C
de acordo com a seguinte nomenclatura:
n ; prazo.
i ; taxa de juros.
PV ; valor presente.
FV : valor futuro.
PMT : prestao.
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Uso de calculadora financeira e Excel 10
3. Uso de Calculadora Financeira e Excel
Nos dias atuais no se pode pensar o ensino da matemtica sem
utilizar os avanos que a tecnologia disponibiliza. Para o
aprendizado da matemtica financeira existem numerosas ferramentas
disponibilizadas atravs de softwares que vo desde planilhas
eletrnicas at aquelas que integram software e hardware, no qual se
encontram as calculadoras financeiras. A Matemtica Financeira no
praticada hoje sem o subsdio das calculadoras e das planilhas
eletrnicas. As calculadoras tm uma vantagem insupervel que a
portabilidade, que junto a sua completa gama de funes permitem sua
utilizao em diversos ambientes, especialmente para o aprendizado.
As planilhas eletrnicas tm a vantagem da versatilidade e infinita
possibilidade de utilizao, desde os mais simples clculos at
programao de simulaes mais avanadas.
Atualmente, encontramos disponveis no mercado muitos textos de
Matemtica Financeira que incluem apndices sobre o manuseio de
calculadoras financeiras e de planilhas eletrnicas, mas so poucos
os que apresentam suas ferramentas ao mesmo tempo em que ensinam os
tpicos da disciplina. Para o desenvolvimento do presente texto
foram selecionadas duas ferramentas comumente utilizadas, tanto no
ambiente de aprendizado como no mbito financeiro: a calculadora
financeira HP12c e a planilha eletrnica Excel.
3.1. Introduo calculadora HP-12c
Procurou-se apresentar a teoria de modo independente da
operacionalidade da calculadora HP-12C, porque ensinar Matemtica
Financeira no ensinar a apertar teclas. Embora, a teoria, no que se
refere aos conceitos e frmulas, est toda casada com os recursos
desta calculadora, de modo a permitir ao estudante grande economia
de tempo e dinamismo no ambiente de aprendizado.
Nesta seo, o objetivo o de entender o funcionamento da
calculadora, alm de capacitar o estudante a oper-la com destreza.
Ainda no sero introduzidos os recursos financeiros da mesma, porque
os mesmos sero ensinados juntamente com a teoria nos captulos
seguintes.
3.1.1. Configuraes
Para ligar ou desligar, pressione a tecla ON.
Para trocar o ponto decimal pela vrgula decimal (e vice-versa):
Desligue a calculadora. Logo, com a tecla . (ponto) pressionada,
ligue-a. Contudo, melhor deixar a vrgula como separadora das casas
decimais, pois este o modo adotado no Brasil.
Para limitar o nmero de casas decimais: pressione a tecla
amarela/laranja f e, em seguida, a tecla numrica indicadora do
nmero de casas decimais com que se deseja visualizar. A calculadora
mostrar apenas o nmero de casas decimais especificado, embora os
clculos internos sejam realizados utilizando todas as 9 casas
decimais que a memria da HP permite. Como estamos trabalhando com
moeda aconselhvel usar 2 casas decimais (digitando f 2). Se
precisar exibir mais de duas casas decimais, digite f seguido do
nmero necessrio. Deve-se ter cuidado, este procedimento arredonda
no visor o nmero considerado, mas em alguns casos especficos o que
desejamos o resultado truncado em determinado nmero de decimais,
isso dever ser feito manualmente.
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Uso de calculadora financeira e Excel 11
No exemplo mostrado no quadro 1, observe que o nmero digitado
2.4506 pode ser apresentado de forma diferente dependendo do nmero
de casas decimais selecionado. A calculadora o exibe como 2.451 com
trs casas decimais, como 2.45 com duas casas decimais e como 2.5
com uma casa decimal. Sempre que o nmero posterior casa decimal
selecionada seja maior ou igual a cinco, a decimal selecionado ser
arredondado aumentando uma unidade. Quando selecionamos trs casas
decimais o nmero decimal correspondente zero, mas como o nmero
localizado na quarta casa decimal seis o zero apresentado como um
(2.451). O mesmo acontece, neste exemplo, quando selecionamos uma
casa decimal, o nmero decimal quatro, mas como o nmero na segunda
casa decimal cinco o quatro arredondado para cinco (2.5). J quando
selecionamos duas casas decimais, o nmero correspondente oito, e
como neste caso a terceira casa decimal zero, o nmero no aumentado
(2.45). A explicao do fato que 2.4506 esta mais prximo de 2.451 do
que 2.450. J 2.45 por estar no meio, a HP o arredonda para cima
(2.5).
Quadro 1: Representao do nmero de casas decimais
Pressione Visor
2.4809 ENTER 2.4509
f 3 2.451
f 2 2.45
f 1 2.5
Neste exemplo, caso seja necessrio obter o nmero de decimais
truncados em 3, 2, ou 1 casas decimais, os nmeros a serem
considerados seriam 2.450, 2.45 e 2,4 respectivamente.
3.1.2. O sistema de pilha
A calculadora HP-12C trabalha com o sistema de registro de
pilha, tambm designado por Notao Polonesa Reversa (RPN, em ingls).
Com isso, armazena os nmeros digitados em quatro registradores, X,
Y, Z e W (T em alguns modelos). Assim, por exemplo, ao digitar um
nmero, este aparecer no visor, que considerado o registrador X. Ao
se pressionar a tecla ENTER, o nmero digitado passa a ocupar o
registrador Y (entrar em Y) e, embora continue a aparecer no visor,
o registrador X, este liberado para outro nmero. Se outro nmero
digitado e se pressiona a tecla ENTER, este ir para o registrador Y
e o que l estava ir para Z, enquanto que o visor (registrador X)
ser liberado. Isso semelhante ao processo de empilhar objetos, como
livros ou caixas, sendo que o ltimo objeto empilhado corresponde ao
registrador X, o penltimo ao Y, o antepenltimo ao Z e o anterior a
este ao W (ou T). Ilustra-se esse funcionamento no quadro 2. Toda
vez que se pressiona ENTER, os nmeros realizam um movimento para o
prximo registro.
3.1.3. As operaes bsicas
As operaes na HP-12C so feitas normalmente com os registradores
X e Y. Enquanto ao digitar um nmero qualquer ou ao pressionar a
tecla ENTER executado um movimento de empurrar os nmeros no sentido
do registrador W (no quadro 3, para cima), as operaes executam um
movimento no sentido de puxar os nmeros para o registrador X (no
exemplo, para baixo). Por outro lado, ao pressionar uma simples
tecla de operao, digamos, a tecla - ou +, a calculadora entender
que
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Uso de calculadora financeira e Excel 12
deve somar os contedos dos registradores X e Y e exibir a soma
no registrador X (que o visor), conforme mostrado no quadro 3, para
a seguinte operao: (8 - 100 + 110) x 5 12.
Quadro 2: O sistema de pilha da HP12c
Pressione Visor Registradores
(inicial aps ter feito alguns clculos) 12.48
W = 12 (lixo) Z = -32 (lixo) Y = 23 (lixo) X = 12.48
10 10
W = -32 Z = 23 Y = 12.48 X = 10
ENTER 10.00
W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 10
8 8
W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 8
ENTER 8.00
W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 8
100 100
W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 100
Os comandos de operaes fazem os contedos de X e de Y
desaparecerem, dando origem ao resultado da operao em X. O contedo
de Z passa a ocupar Y, W passa ocupar Z e tambm mantido em W. Ao
pressionar a tecla ENTER, o valor que estava no visor (7.5), isto ,
no registrador X, passa para o registrador Y, mas continua no
visor, ou seja, temporariamente mantido em X.
3.1.4. Trocar o sinal de um nmero
Pressione a tecla CHS (change sign, do ingls, mudar sinal) para
trocar o sinal do nmero (de positivo para negativo e
vice-versa).
3.1.5. Teclas f e g
A tecla amarela (laranja) f d acesso s funes que esto em amarelo
acima das teclas, enquanto que a tecla azul g d acesso s funes que
esto em azul abaixo das teclas.
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Uso de calculadora financeira e Excel 13
Quadro 3: A pilha e as operaes bsicas na HP12c (modo RPN)
Pressione Visor Registradores Pressione Visor Registradores
8 8
W = 23 Z = 12.48 Y = 10 X = 8
5 5
W = 12.48 Z = 10 Y = 18 X = 5
ENTER 8.00
W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 8
x 90.00
W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 90
100 100
W = 12.48 Z = 10 Y = 8 X = 100
ENTER 90.00
W = 12.48 Z = 10 Y = 90 X = 90
- -92.00
W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = -92
12 12
W = 12.48 Z = 10 Y = 90 X = 12
110 110
W = 12.48 Z = 10 Y = -92 X = 110
7.50
W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 7.5
+ 18.00
W = 12.48 Z = 12.48 Y = 10 X = 18
ENTER 7.50
W = 12.48 Z = 10 Y = 7.5 X = 7.5
3.1.6. Limpeza dos registradores
Pressionando a tecla CLx se pode limpar o visor (registrador X).
Para limpar todos os registradores pressione a tecla f e, em
seguida, a tecla que vem com o sobrescrito amarelo CLEAR (limpar,
em ingls) REG. Ao pressionar CLEAR REG, no entanto, todos os
registradores X, Y, Z e W, e tambm os estatsticos, os financeiros e
as memrias sero zerados.
Pressione a tecla x>< y para trocar os contedos dos
registradores X por Y (e vice-versa).
3.1.7. Memrias
O nmero que est no visor pode ser guardado pressionando a tecla
STO (store) seguida de uma tecla numrica de 0 a 9, ou seguida da
tecla . (ponto) e uma tecla numrica de 0 a 9. Para recuper-lo,
basta pressionar a tecla RCL (recall) seguida do nmero de 0 a 9, ou
de . 0 a . 9 digitado.
3.1.8. Operaes com datas
Para digitar datas necessrio escolher o sistema de datas M.DY ou
D.MY (ms, dia, ano ou dia, ms, ano). Quando o visor no mostrar
continuamente as letras D.MY o sistema de datas atual o americano
(M.DY). Pode mudar isso pressionando a tecla g e em seguida D.MY.
Para digitar datas como 18 de junho de 2010, bastar inserir
18.062010 (no sistema americano seria 06.182010).
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Uso de calculadora financeira e Excel 14
Para determinar a data que corresponde a um nmero de dias aps a
data no visor utiliza-se a funo g DATE. Por exemplo, para
determinar o vencimento de uma nota promissria assinada em 18 de
junho de 2010 e vence depois de 90 dias, pressionar a seguinte
sequncia: [g D.MY] 18.062010 ENTER 90 g DATE. O visor apresentar [
16,09,2010 4 ] onde o ltimo dgito o dia da semana (neste caso
quinta-feira).
Os dias da semana na HP-12C comeam na segunda-feira (1) e
terminam no domingo (7). Para se calcular datas retroativas,
digitamos o nmero de dias seguido de CHS.
A funo g DYS pode ser usada para calcular o nmero de dias entre
duas datas. Por exemplo, determinar o nmero de dias entre a compra
de um ttulo de dvida, 13 de abril de 2010, e o vencimento do mesmo,
30 de junho de 2010. Digitar a sequncia de comandos: [g D.MY]
13.042010 ENTER 30.062010 g DYS. O visor mostrar [ 78 ] dias.
3.1.9. Outras operaes
Elevar potncia: 23 = 8 [ 2 ENTER 3 yx ] = [ 8.00 ]
e3 = 20.09 [ 3 g ex ] = [ 20.0855 ]
Calcular a raiz n-sima: para calcularmos razes diferentes da
quadrada, devemos usar as teclas 1/x e yx, lembrando a seguinte
propriedade matemtica:
5/15 77 = 1.4757
Assim, tirar a raiz quinta de um nmero o mesmo que elev-lo
potncia 1/5. Na
HP-12C, o valor de 5 7 calculado com a sequncia:
[ 7 ENTER 5 1/x yx ] = [ 1.4758 ]
3.1.10. Porcentagem
Clculos envolvendo a porcentagem utilizam as funes %, x e %T.
Execute os seguintes exemplos:
Um produto no valor de $ 120 foi adquirido com um desconto de
3%. O valor do desconto e o valor pago foram [ 120 ENTER 3 % ] = [
3.6 ]; [ 120 ENTER 3 % - ] = [ 116.4 ]. Isto , o desconto foi de $
3.60, e o valor pago foi de $ 116.40.
O preo de uma ao na bolsa caiu de $ 45.4 para $ 34.7. A variao
percentual foi [ 45.4 ENTER 34.7 x ] = [ -23.5683 ], ou seja, houve
uma queda de 23.57%.
Assistiram apresentao do gerente 123 pessoas, que percentual
representam sobre 200 convidadas? [ 200 ENTER 123 %T ] = [ 61.5 ],
isto , assistiram somente 61.5% dos convidados.
3.1.11. Exerccios com a HP-12c
1) Considere o clculo da expresso A = 13 5 x 7. Esboce um quadro
similar aos apresentados, contendo, para cada tecla apertada, o
visor e o contedo dos registradores.
2) Considere o clculo da expresso A = 200 + 321 + 45 x 8. Esboce
um quadro similar aos apresentados, contendo, para cada tecla
apertada, o visor e o contedo dos registradores.
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Uso de calculadora financeira e Excel 15
3) Uma nota promissria foi assinada em 14 de janeiro de 2010 e
paga depois de 55 dias. Calcule a data de seu vencimento.
4) Uma prestao foi paga em 4 de fevereiro de 2010 com 60 dias de
atraso. Calcule a data de seu vencimento.
5) Uma prestao venceu em 11 de abril de 2010 e foi paga em 15 de
maio deste mesmo ano. Calcule o nmero de dias de atraso.
6) Em que dia da semana cair o natal deste ano? E o dia 7 de
setembro deste ano?
7) Calcule o resultado das expresses:
a) A1 = 95 b) A2 = e4 c) A3 = 234 d) A4 = 3 234 7 144 e) A5 = ln
234
8) Calcule o valor da expresso A = 434
2342442
x = 0.07055
9) Uma prestao no valor de $ 235 foi paga com atraso e sobre o
valor nominal incidiu uma multa de 5%. Qual foi o valor da
multa?
10) O preo de uma TV, que era de $ 520,00, foi reajustado no
primeiro ms de 5% e no segundo ms de 7%. Calcule o salrio aps o
segundo reajuste.
11) Um funcionrio, que ganhava $ 680,00, passou a receber R$
740,00 mensais. Qual foi o percentual de aumento recebido?
12) Um atacante fez 13 gols dos 18 gols a favor para seu time.
Qual o percentual de gols que o atacante fez?
13) Em certo dia de aula, faltaram 5 pessoas de uma turma de 34
alunos. Qual o percentual de presena?
3.2. Introduo planilha eletrnica Excel
Microsoft Excel uma das mais poderosas planilhas eletrnicas
disponveis na atualidade. Pode ser considerada como uma grande
folha de papel dividida em 256 colunas e 16.384 linhas (verses mais
antigas) ou em 16.384 colunas por 1.048.576 linhas (nas verses mais
modernas) nas quais podemos armazenar textos e nmeros.
Mas a grande vantagem do Excel est no fato de que os valores e
textos armazenados nele podem ser manipulados da forma que o usurio
achar melhor para o seu propsito, atravs de um grande nmero de
frmulas disponveis para serem usadas a qualquer momento que se
fizer necessrio. Pode ser utilizada para as tarefas mais simples,
como armazenar informaes e realizar operaes bsicas, at realizar
clculos complexos como simulaes que podem demandar vrios dias ou
semanas.
Ensinar a usar o Excel est fora do alcance deste texto, para
esse objetivo o leitor pode utilizar a alternativa que julgar mais
apropriada. Na bibliografia h indicao de material que pode
subsidiar esse aprendizado. Mas, nesta seo pode se ilustrar
rapidamente a utilizao do Excel para o propsito particular da
aplicao para clculos financeiros. Ao longo do curso sero
apresentadas as frmulas especficas para os diferentes tpicos
abordados no texto.
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Uso de calculadora financeira e Excel 16
3.2.1. Uma planilha Excel para um caso de vendas
Considere um caso fictcio, onde existem 4 vendedores de um
determinado produto. Os dados mostrados na figura a seguir
correspondem s vendas de determinado dia. O preo mnimo e mximo
estabelecido pela empresa de $ 120 e $125 respectivamente; cada
vendedor pode negociar com o cliente dentro desse intervalo.
Os vendedores tm dois incentivos, um primeiro incentivo obtido
pela diferena do preo mdio do dia em relao ao mnimo, recebendo 80%
do valor adicional por cada unidade vendida. Um segundo incentivo
considera queles que venderam mais de 20 unidades por dia,
recebendo 15% do total vendido acima do mnimo (20x120= $ 2400). Ou
seja, se o vendedor consegue vender 22 unidades ao preo mdio de 124
ele receber as duas compensaes adicionais ao salrio, na diferena de
preo (124 120)x22x80% = $70.40 e na quantidade acima do mnimo
(124x22-120x20)x15% = $49.2, fazendo um total de $ 119.60 no
dia.
Pode-se construir uma planilha para efetuar esses e outros
clculos como mostrado na Fig. 1. Comece digitando as informaes das
colunas A, B e C desde a linha 2 at a linha 6. Depois de abrir o
Excel aparecer, normalmente, uma planilha em branco, se clicar com
o ponteiro do mouse na clula A2 poderemos digitar Vendedor e
pressionar a tecla ENTER, o ponteiro se deslocar para a clula A3; a
seguir, digitar 1 e a tecla ENTER, logo 2 e a tecla ENTER e assim
sucessivamente. De forma idntica, clicar com o ponteiro do mouse em
B2 repetindo o procedimento anterior, e continuar at completar as
informaes da coluna C. Igualmente inserir as informaes (parmetros)
nas clulas entre E9 e F10.
Para calcular a coluna Total clicar em D3, digitar (a frmula)
=B3*C3 e pressionar a tecla ENTER, o Excel multiplicar os contedos
das clulas B3 e C3 e mostrar o resultado em D3. O mesmo pode ser
feito para calcular o total dos outros vendedores. Mas, podem-se
utilizar as mltiplas vantagens do Excel para fazer isso, vasta
clicar em D3 (onde j inserimos a frmula), pressionar
simultaneamente Ctrl + c (tecla Ctrl e tecla c), logo clicar em D4
e pressionar simultaneamente Ctrl + v (tecla Ctrl e tecla v), neste
caso a frmula ser copiada em D4, mas atualizando as referncias as
clulas da linha 4; o mesmo pode ser feito para copiar a frmula nas
clulas D5 e D6.
Figura 1. Exemplo de clculos em planilha Excel
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Uso de calculadora financeira e Excel 17
A coluna do Preo base pode ser preenchida digitando os
diretamente o nmero 120 em todas as clulas ou usando Ctrl + c e
Ctrl + v aps inserir a primeiro nmero, por exemplo, em E3. A coluna
Diferena de preo contm a frmula para calcular a diferena do contedo
da coluna B com a coluna E; neste caso, por exemplo, podemos
digitar a frmula na clula F4 =B4-E4, e depois copiar a mesma para
as clulas restantes. Na coluna G calculamos o valor da retribuio do
vendedor pela diferena do preo, para isso inserimos a seguinte
frmula em G3 =C3*F3*$F$9, ou seja, multiplica a quantidade pela
diferena de preo e calcula o 80% desse resultado, esse ltimo
parmetro foi inserido na clula F9. Como essa frmula ser copiada
para as outras clulas da coluna G utilizamos o smbolo $ antes da
coluna e do nmero de linha ($F$9) para fixar a referncia a essa
clula. Por exemplo, aps copiar a frmula de G3 para as outras dessa
coluna, a frmula em G6 ser =F6*C6*$F$9.
A retribuio pela quantidade um pouco mais complexa e inclui uma
condio lgica, o vendedor s recebe e um percentual sobre o excesso,
15%, inserido na clula E10, se ultrapassar 20 unidades, parmetro
inserido em F10, caso contrrio no recebe nada. Uma forma de fazer
isso utilizar a funo SE do Excel, cujo formato : =SE(condio lgica;
se verdadeiro resultado1; se falso resultado2). Ou seja, o
resultado vai depender da condio lgica (por exemplo, C3>$F$10),
se esta for verdadeira o Excel mostrar o resultado1 e se for falsa
o resultado 2. Neste caso, podemos digitar a seguinte frmula em
H3:
=SE(C3>$F$10; (D3-E3*$F$10)*$E$10; 0),
e depois copi-la para as outras clulas. Em alguns casos o
separador usado nas frmulas pode ser , e no ;.
Na coluna I calcula-se o Total recebido por cada vendedor
inserindo na clula I3 =SOMA(G3:H3), essa frmula utiliza a funo SOMA
para mostrar o soma de todos os nmeros entre G3 e H3. Pode-se tambm
usar uma frmula alternativa =G3+H3, mas esta forma pouco prtica
quando se tem muitas clulas a serem somadas. Por exemplo, podemos
inserir o total das retribuies adicionais na clula I7 =SOMA(I3:I6).
O Excel pode fazer mltiplas coisas mais com as informaes inseridas,
tal como calcular o a participao percentual das retribuies
adicionais dos vendedores. Para isso, inserir na clula J3 =I3/$I$7
e copi-la para as outras clulas. Assim, observaremos que o vendedor
4 conseguiu mais de 39% do total de retribuies adicionais.
Uma vez concludos os procedimentos anteriores voc ter uma
planilha como a mostrada na Fig. 1. A partir da pode comear a fazer
outras coisas, por exemplo, simulaes o que acontece se mudar alguma
das informaes dos vendedores, ou dos parmetros. Assim, verificar
que quando o nmero mnimo de unidades vendidas cai para 18
(substitua o contedo de F10) o vendedor 4 ter uma participao de
36.3% no total de retribuies adicionais (clula J6).
3.2.2. Exerccio com Excel
Construa a planilha a seguir. Algumas das frmulas a serem
utilizadas so:
Total do Ativo em C2 =SOMA(C3;C10:C11)
Ativo circulante em C3 =SOMA(C4:C8)
Capital circulante lquido =C3-E3
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Uso de calculadora financeira e Excel 18
Liquidez corrente =C3/E3
Liquidez seca =(C3-C7)/E3
Liquidez imediata =SOMA(C4:C5)/E3
Essas frmulas podem ser copiadas para outras clulas, como para o
total do passivo e do passivo circulante, e para os indicadores da
Cia. Beta, como corresponda.
Fig. 2. Planilha de comparao de liquidez dos balanos
Depois de preencher a planilha pode pedir que o Excel o ajude a
analisar as informaes. Por exemplo, inserir as seguintes
frmulas:
K4
=SE(ARRED(I4;3)=ARRED(J4;3);"Iguais";SE(I4>J4;CONCATENAR($I$3; "
melhor");CONCATENAR($J$3; " melhor")))
H10 =CONCATENAR("Alfa financia ";ARRED(E5/E3*100;2);" % do
passivo circulante com fornecedores e ";ARRED(E4/E3*100;2);" % com
inst. financeiras")
H11 =CONCATENAR("Alfa tem ";ARRED(C5/C3*100;2);" % do ativo
circulante em aplic. financeiras e ";ARRED(C6/C3*100;2);" % com
clientes")
H12 =CONCATENAR("Beta financia ";ARRED(E17/E15*100;2);" % do
passivo circulante com fornecedores e ";ARRED(E16/E15*100;2);" %
com inst. financeiras")
H13 =CONCATENAR("Beta tem ";ARRED(C18/C15*100;2);" % do ativo
circulante financiando seus clientes e ";ARRED(C17/C15*100;2);" %
em aplic. financeiras")
-
Capitalizaes simples e composta
19
4. Capitalizaes Simples e Composta
Capitalizao corresponde operao destinada a calcular o valor
futuro de um determinado valor presente, considerando uma taxa de
juro previamente fixada.
Existem dois tipos ou regimes de capitalizao, simples e
composta, conforme o tipo de juro a que se refira: simples ou
composto.
4.1. Capitalizao simples
A capitalizao simples se define naquelas situaes em que a taxa
de juros pactuada entre as partes incide apenas sobre o capital
inicial, portanto, sem a incidncia do que se conhece como juros
sobre juros. Neste tipo de capitalizao apenas o capital inicial
rende juros, ou seja. A linha de tempo a seguir relata esta situao
e j nos permite elaborar frmulas de clculo:
0 1 2 n
i
P S = ?
O valor futuro (S) igual soma do valor presente (P) e os juros
(J). Os juros so determinados pela multiplicao do valor aplicado
(P), a taxa de juros (i) e o nmero de perodos (n). A partir dessas
definies bsicas pode se derivar vrias frmulas de clculo:
S = P + J; J = P.i.n ; P = S J; P = S/(1+i.n)
n
1P
S
i
;
i
1P
S
n
Assim, a frmula fundamental de capitalizao com juros simples
e:
S = P (1 + i.n)
Exemplo 1: Qual o montante esperado ao final de 3 meses da
aplicao de $500, taxa de 2,75% ao ms. Qual o juro ganho na
operao?
0 1 2 3
P = 500 S = ?
-
Capitalizaes simples e composta
20
De acordo definio colocada, os juros a serem ganhos na operao
seriam dados por: niPJ
Naturalmente, o montante final arrecadado em 3 meses seria o
resultado dos juros ganhos mais o capital inicial aplicado, ou
seja: JPS
Por fim, a soma das duas equaes nos propicia a frmula de valor
futuro em
capitalizao simples: niPPS , a qual desenvolvida para: niPS
1
Retornando ao nosso exemplo: 25,541$30275,01500 S
V-se no exemplo acima que o prazo e a taxa de juros estavam
definidos na mesma unidade de tempo, o que nos permitiu fazer uso
direto da frmula. Entretanto, este no sempre o caso e o prximo
exemplo mostra os cuidados necessrios.
Exemplo 2: Qual o montante e os juros relativos a uma aplicao de
$8.900, a 1,25% ao ms, pelo prazo de 47 dias?
29,074.9$4730
0125,018900
S 29,17447
30
0125,08900 J
Claro que como JPS 29,074.9$29,1748900 S
Em outras situaes, estamos interessados no valor presente (ou
valor financiado), quando, ento, a equao deve ser resolvida para .P
Vejamos o exemplo seguinte:
Exemplo 3: Quanto deve ser aplicado hoje, taxa de juros de 1,05%
ao ms, para que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24
meses?
Neste caso, lembre-se que: niPS 1 . Portanto, um giro no eixo da
equao necessrio para que isolemos ,P obtendo-se:
niS
P
1
E quanto ao nosso problema:
27,955.27$240105,01
35000
P , que ser o valor a ser
aplicado hoje de forma a possibilitar o valor futuro desejado de
$35.000.
4.2. Exerccios com capitalizao simples
1) Calcule os juros que devem ser pagos por utilizar o crdito de
$ 300,00 de uma conta corrente durante 15 dias, sabendo que o banco
cobra uma taxa de 0,5% a.d. R. 22,5
2) Um banco cobra uma taxa de juros de 12% a.m. para os excessos
em conta corrente e um cliente utilizou $ 1.540,00 durante 16 dias.
Qual dever ser o valor dos juros a serem pagos? R. 98,56
3) Quais os juros pagos pelo uso de R$ 600,00 de uma conta
especial, se a taxa cobrada pelo banco de 11% a.m. e o dinheiro foi
usado por 13 dias?. R. 28,60.
-
Capitalizaes simples e composta
21
4) Um capital de $3000 rendeu $800 em 180 dias. Qual a taxa
simples anual ganha?
5) Juan recebeu $25644,82, produto de um prmio ganhou em um
concurso, depois de quatro meses e 19 dias. Qual foi o valor do
prmio e qual o valor dos juros se o dinheiro esteve aplicado em um
banco a juros simples de 11% a.a.? R. Juros = 1044,82.
6) O amigo de Juan resgatou um ttulo por $25168. Se a taxa de
juros simples aplicada foi de 12% a.a. e os juros totalizaram $968,
quanto tempo durou a aplicao? R. 4 meses.
4.3. Capitalizao composta
O regime de juros compostos o mais comum no dia-a-dia, no
sistema financeiro e no clculo econmico. A capitalizao composta
fica definida quando os juros de cada novo perodo de capitalizao so
agregados aos juros relativos ao perodo de capitalizao anterior,
gerando a situao que se conhece comumente como juros sobre
juros.
Assim, os juros produzidos em cada perodo so capitalizados,
formando um novo capital que ir render juros no perodo seguinte.
Esta definio explicitada com grfico a seguir, a partir do qual
obtemos a frmula fundamental de toda a matemtica financeira, qual
seja, a de montante de um valor aplicado por prazo certo e a uma
taxa de juros especificada.
O valor futuro (S) igual soma do valor presente (P) e dos juros
(J). Os juros so determinados pela composio do valor aplicado (P)
mais os juros acumulados at o perodo anterior, a taxa de juros (i)
e o nmero de perodos (n). A partir dessas definies bsicas pode se
derivar vrias frmulas de clculo com juros compostos:
0 1 2 n
i
P0 P1= P0 + J1 P2= P1 + J2 S = Pn= Pn-1 + Jn
Para o primeiro perodo:
J1 = P0.i;
P1 = P0 + J1 = P0 + P0.i = P0 (1 + i);
Para o segundo perodo:
J2 = P1.i;
P2 = P1 + J2 = P1 + P1.i = P1 (1 + i); substituindo P1 derivado
anteriormente:
P2 = P0 (1 + i) (1 + i) = P0 (1 + i)2;
Da mesma forma pode-se derivar as frmulas para os outros
perodos, ao final chega-se a seguinte generalizao:
-
Capitalizaes simples e composta
22
Pn = P0 (1 + i)n
Substituindo Pn e P0 pelas representaes genricas S e P tm-se a
frmula fundamental para capitalizao com juros compostos:
S = P (1 + i)n
A seguir chegaremos mesma frmula com um exemplo numrico.
Outras frmulas derivadas da frmula fundamental so:
P - S J ;
i1 log
P
Slog
n 1;P
Si ;
i1
SP
n
1
n
Exemplo 4: Qual o valor futuro (montante) de uma aplicao de
$500,00 feita taxa de juros de 2,75% ao ms, pelo prazo de 3
meses?
Esquematicamente, podemos trabalhar o exemplo com linhas de
tempo:
Final do 1o ms:
0 1 2 3
P = 500 S = ?
5000275,05001 P
O resultado acima nos diz que ao final do Tempo 1, teremos os
$500 iniciais mais os juros sobre estes $500. Claro que j poderamos
fazer a conta e encontrarmos $513,75, porm, lembramos que a obteno
de uma frmula geral o nosso objetivo maior. Assim sendo, a equao
pode ser desenvolvida para:
0275,015001 P .
Final do 2o ms:
0 1 2 3
500 x (1 + 0,0275) S = ?
-
Capitalizaes simples e composta
23
Ao final do 2o ms, teremos:
]0275,015000275,0[]0275,01500[2 P
Da forma similar parte inicial da demonstrao, temos ao final do
2 ms o que tnhamos ao final do 1 ms, mais os juros ganhos ao longo
do 2 ms. Claro, como
o termo 0275,01500 se repete duas vezes na equao, podemos
simplific-la para:
22 0275,01500]0275,01.0275,01[500 P
Poderamos determinar que o valor capitalizado ao final deste
segundo ms de $527,88, mas lembramos novamente nosso objetivo de
levantar uma frmula geral de valor futuro.
Final do 3o ms:
A etapa final desta demonstrao revela o montante ao final do 3
ms como sendo expressa pela linha de tempo a seguir:
0 1 2 3
500 x (1 + 0,0275)2 S = ?
]0275,01.5000275,0[]0275,01500[ 223 P
Como nos casos anteriores, o montante ao final do 3 ms
simplesmente o resultado da soma do valor capitalizado ao final do
2 ms mais os juros ganhos ao longo do 3 ms. Outro detalhe que se
repete o de haver termos repetidos, quais
sejam, 20275,01500 , o que nos permite a simplificao final:
39,542$0275,01.500 33 P
Enfim, podemos definir a frmula para valores futuros (montante)
pela simples troca de valores por literais na equao acima,
obtendo:
niPS 1 , que a frmula principal de toda a matemtica financeira.
Aps esta demonstrao, podemos aproveitar para definir P em funo de S
,
gerando:
niS
P
1
, a qual encontra larga aplicao em problemas na rea de
finanas.
-
Capitalizaes simples e composta
24
Exemplo 5: feita uma aplicao de $98.200, taxa de juros de 1,15%
ao ms e pelo prazo de 12 meses. Qual o montante esperado ao final
deste perodo e qual o total de juros ganhos?
46,642.112$0115,0198200 12 S
Ao passo que os juros sero de: JPS PSJ
46,442.14$9820046,642.112 J
0 12
i = 1,15%
PV = 98.200 S = ?
Exemplo 6: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para
que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24 meses, sendo a
taxa de juros de 1,05% ao ms?
0 24
i = 1,05%
P = ? S = 35.000
33,239.27$0105,1
3500024
P
Exemplo 7: Foi feita uma aplicao de $23.440 no dia 14/10/2009,
taxa de juros de 1,15% ao ms e com prazo de vencimento em 38 dias.
Qual o montante a ser resgatado ao final da aplicao?
96,781.23$0115,123440 3038
S
0 38
P = 23.440 S = ?
-
Capitalizaes simples e composta
25
No anexo A se apresenta o valor acumulado de $1 para determinada
taxa de juros e o nmero de perodos: f = (1+i)n. Quando no temos ao
alcance uma calculadora financeira ou Excel, poderemos usar essa
tabela, junto com a frmula S=P.f.
Exemplo 8: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para
que se tenha o montante de $58.000 ao final de 15 meses, sendo a
taxa de juros de 2% ao ms?
No anexo 1 encontramos o fator acumulado f = 1.3459, para 15
perodos e uma taxa de 2%. Nesse caso, o valor a aplicao dever ser P
= 58000/1.3459 = 43093.83. Pode existir alguma diferena, com o
resultado da calculadora ou do Excel, pelo arredondamento do
fator.
4.3.1. A HP-12c e a capitalizao composta
uma das principais aplicaes da calculadora HP-12c. No esquema a
seguir se resume as 5 variveis principais relacionadas capitalizao
com juros compostos. Inserindo 4 delas a calculadora estima a
quinta usando as informaes fornecidas.
Exemplo 9: Qual o valor da aplicao que deve ser feita hoje para
que se tenha o montante de $35.000 ao final de 24 meses, sendo a
taxa de juros de 1,05% ao ms?
Para conseguir o resultado anterior podemos inserir a seguinte
sequncia de comandos (alguns no sero necessrios caso j tenham sido
aplicados anteriormente):
g END (fluxos so ao final do perodo, postecipados, ou
vencidos)
f CLEAR FIN (limpar as memrias)
24 n
1.05 i
0 PMT
35000 FV
PV [ -27239.33 ]
4.4. Exerccios com capitalizao composta
1) O que mais vantajoso? Investir $ 5.000,00 durante 2 anos a
juros compostos de 2% a.m. ou investir $ 5.000,00 durante 2 anos, a
juros simples de 3% ao ms. R: Investir os 5.000 reais sob o regime
de juros simples.
2) Qual o valor presente (PV) de $100 recebidos em 3 anos, se i
= 10%? R. 75,13.
Entrada
Sada
0
PMT
35000
FV
-27239.33
PV
1.05
i
24
n
-
Capitalizaes simples e composta
26
3) O capital de $ 900,00 foi submetido a uma aplicao e resultou
em montante de R$ 1044,00 aps 6 meses. Qual a taxa mensal da
aplicao? R. 2.5%
4) Calcule o montante da aplicao de $ 2.000,00 a juros de 3,8%
a.m. durante 11 meses.
5) Qual o montante produzido pela aplicao de $ 1.300,00 a juros
de 3% a.b. durante 7 bimestres?
6) Qual o montante da aplicao de $ 1.250,00 a juros de 3,5% a.m.
durante 3 anos?
7) Em quanto tempo o montante produzido ser o dobro do valor
aplicado com juros de 3% a.s.?, se a taxa de juros muda para 1,49%
a.t.?
8) Qual taxa de juros deve ser aplicada para que o montante
produzido seja trs vezes o valor aplicado no prazo de 10 anos?
9) Um senhor poupador depositou $1500 em uma poupana. Trs meses
depois, deposita mais $2800 e, um ms depois desse ltimo depsito,
realiza uma retirada de $1700. Qual ser o saldo da poupana ao fim
do stimo ms, considerando que a taxa de juros compostos ganha de
0,65% a.m.? R. 2709,74.
-
Classificao das taxas de juros
27
5. Classificao das taxas de juros
5.1. A classificao das taxas de juros
Podem existir diferentes critrios para classificar as taxas de
juros. Duas mais utilizadas so:
a) quanto ao regime de capitalizao. Como j foi visto em um
captulo anterior, pode ser simples (ou linear) e composta (ou
exponencial);
b) quanto ao valor inicial tomado como base de clculo: nominal,
efetiva e real.
Essas duas classificaes no so mutuamente excludentes, isto uma
taxa pode ser nominal linear ou nominal exponencial, efetiva linear
ou efetiva exponencial e real linear ou real exponencial. Contudo,
na prtica taxa de juros real refere-se a uma capitalizao
exponencial.
5.1.1. Inflao
Inflao a aumento generalizado dos preos. A inflao desvaloriza o
dinheiro no tempo, j que diminui o seu poder de compra, por isso,
torna-se necessrio fazer uma correo monetria, a fim de recuperar o
poder de compra de um determinado valor.
5.1.2. Taxas nominais
A taxa de juro nominal a taxa anunciada que, dependendo do
produto, em alguns casos deve ser obrigatoriamente indicada, tal
como nos contratos de crdito ou nas aplicaes, e corresponde ao
perodo de um ano. Sendo que, uma remunerao monetria sujeita aos
efeitos da inflao, alm disso, o rendimento efetivo ou taxa efetiva
depende do nmero de perodos de capitalizao no intervalo de um
ano.
5.1.3. Taxas efetivas
Sempre que nos deparamos com uma taxa nominal, faz-se necessrio
se calcular a taxa efetiva, ou seja, devemos determinar qual a
verdadeira taxa que est por trs da taxa nominal. A taxa efetiva
depende da taxa nominal e da frequncia de capitalizao. Somente
quando o perodo de capitalizao anual a taxa nominal igual taxa
efetiva. A seguinte frmula relaciona a taxa nominal e a taxa
efetiva.
11
n
n
ki
Onde: k= taxa nominal de juros refere-se anual (a menos que se
indique outro perodo); i = taxa efetiva anual; n= nmero de
capitalizaes em um ano.
Exemplo 10: Se a taxa anunciada 12%, calcular a taxa efetiva com
capitalizao diria, mensal, trimestral, semestral e anual.
k=12% ; n =360 dias = 12 meses = 4 trimestres = 2 semestres = 1
ano
-
Classificao das taxas de juros
28
%55,121255,014
12,01
%68,121268,0112
12,01
%75,121275,01360
12,01
4
12
360
i
i
i
%00,121200,011
12,01
%36,121236,012
12,01
1
2
i
i
Assim, quando aumenta a frequncia de capitalizao por ano a
diferena entre a taxa efetiva anual e a taxa nominal tambm aumenta.
Um caso extremo quando a capitalizao contnua. Nesse caso, admite-se
que as variaes da varivel n (tempo) so infinitesimais, ou seja, a
capitalizao instantnea. Nesse caso, o capital uma funo exponencial
da varivel tempo.
1
)1ln(
1
.)1(
.
.
a
nan
nan
ei
ia
ei
ePiPS
Onde e= 2,7182818284 representa a base do logaritmo natural ou
neperiano, a representa uma constante ou taxa instantnea de juros.
Assim, para uma taxa de juros do exemplo anterior de 12% com
capitalizao contnua render e0,12 - 1 = 0,127497 = 12,75% em um
ano.
Exemplo 11: Qual o montante produzido por um capital inicial de
$5.000, ao final de 36 meses, remunerado taxa de 2% ao ms, no
regime de capitalizao descontnua composta? Qual a taxa de
capitalizao instantnea que produzir o mesmo capital final, no
regime de capitalizao contnua.
44,10199.5000.
oComprova
%98,101980263,0)02,01ln(
02,01
44,10199)02,01(5000)1(
3601980263,0.
36.36
36
xna
a
n
eePS
a
e
iPS
Logo, uma taxa de juros de 1,98% com capitalizao contnua
equivalente a uma taxa de 2% ao ms, no regime de capitalizao
descontnua, em que as capitalizaes so mensais.
-
Classificao das taxas de juros
29
5.1.4. Taxa de juros reais
A taxa de juros real normalmente calculada a partir da taxa
efetiva, considerando-se os efeitos inflacionrios do perodo.
Nas relaes e nos exemplos a seguir utilizaremos a seguinte
notao:
Taxa de juros de mercado i
Taxa de inflao j
Taxa de juros real r
5.2. Relaes entre taxas de juros efetiva (i) e taxa real (r)
1)1(
)1(
1)1(
)1(
1)1(*)1(
)1(*)1()1(
r
ij
j
ir
jri
jri
Exemplo 12: Qual a taxa de inflao acumulada no trimestre se em
janeiro a inflao foi 1,7%, em fevereiro 1,1% e em maro 2%. Qual a
taxa mdia mensal de inflao?
As taxas de inflao so taxas efetivas ao perodo indicado, logo
para acumular deve-se encontrar o produto delas e para calcular a
mdia tirar a raiz n-sima do produto acumulado, onde n o nmero de
perodos de acumulao.
)1(*)1(*)1()1( 321 jjjjacum 1,04875)02,01(*)011,01(*)017,01(
4,88% 04875,0104875,1 acumj
1,60% 01599,010,04875)1( 31
medj
Exemplo 13: Continuando com o exemplo anterior, se a taxa de
retorno efetiva trimestral de um investimento foi 5%, qual foi a
taxa de retorno real?
Substituindo na frmula:
0,12% 0,0012104875,01
05,011
)1(
)1(
j
ir
A taxa de retorno real no trimestre foi 0,12%.
5.3. Taxas de juros equivalentes
Fizemos a observao de que as variveis n e i devem se
compatibilizar em termos de unidade de tempo a que se refiram.
Assim sendo, se a taxa de juros definida em termos mensais,
trimestrais ou anuais, o prazo tambm dever ser definido nestas
unidades de tempo.
-
Classificao das taxas de juros
30
A conceituao de equivalncia de taxas estabelece que duas taxas
referentes a perodos distintos de capitalizao, so equivalentes
quando produzem o mesmo montante, no final de um determinado tempo,
pela aplicao de um capital inicial de mesmo valor.
Em outros termos, isso significa que se um capital P aplicado
taxa mensal im, durante 12 meses, produz um montante S, e se o
mesmo capital P aplicado a uma taxa anual ia, por prazo idntico,
produz o mesmo montante S, diz-se que as taxas im (mensal) e ia
(anual) so equivalentes.
Enfim, a importncia do clculo de taxas de juros equivalentes se
deve exatamente a obrigatoriedade e sua frmula de clculo pode ser
dada nos termos abaixo:
10011
prazonovo
originalprazo
originaleequivalent ii
Exemplo 14: Qual a taxa de juros mensal equivalente taxa de
35,80% ao ano?
%58,210013580,01 121
msi ao ms (a.m.)
Exemplo 15: O banco informa que a taxa mensal cobrada 4%, e a
empresa quer saber a taxa diria, com juros compostos.
%13,0100104,01 301
diai
Exemplo 16: A remunerao informada como 10% ao trimestre e voc
quer saber qual a remunerao mensal, semestral, e anual, com juros
compostos.
%23,3100110,01100110,01 31
12
4
mesi
%21100110,01100110,01 224
semi
%41,46100110,01100110,01 414
anoi
5.4. Taxas proporcionais
O conceito de taxa proporcional utilizado somente para
capitalizao simples, no sentido de que o valor dos juros
linearmente proporcional ao tempo. Assim, a taxa proporcional de 3%
ao ms para 10 meses de 30% (3% x 10); a de 12% ao ano, para trs
meses de 4% (12% / 4), e assim sucessivamente.
-
Classificao das taxas de juros
31
5.5. Exerccios de taxas de juros
1) A corretora de valores sugere uma aplicao para 60 dias e
informa a taxa para o perodo de 1,9%. Voc que saber quanto receber
por ms, com juros simples.
2) A financeira afirma cobrar juros mensais de 3,5% (capitalizao
simples), e voc quer saber quanto ir pagar de juros anuais.
3) Juan trabalha em uma instituio bancria, tendo um rendimento
lquido de $3000 mensais. Mesmo que a inflao est baixa, ele
verificou que seu poder de compra diminuiu. Nos ltimos seis meses
seu padro de consumo passou para 92% do que consumia antes. Qual o
ndice de inflao no semestre?
4) O IGP-M um indicador que mede a taxa de inflao da economia.
Tal ndice utiliza uma grande variedade de itens, bens e servios, e
por esse motivo muito utilizado por empresas que atuam em diversos
segmentos. Sabe-se que a taxa de inflao de cada um dos meses
seguintes atinge 0,7% (maro), 0,8% (abril), 0,72% (maio). Qual o
valor da inflao nesse intervalo de trs meses? Se o valor do IGP-M
ao incio desse perodo foi 196,867, qual ser o valor final?
5) Uma empresa adquiriu um imvel com a expectativa de ter lucro
na venda do mesmo. Pagou um preo lquido de $800000 em janeiro e
recebeu $850000 em julho do mesmo ano. Se os valores do IGP-M foram
de 203,454 e 215,234 para janeiro e julho, respectivamente,
determinar a rentabilidade nominal, a taxa de inflao e a
rentabilidade real.
6) Uma loja de departamentos est vendendo um produto eletrnico a
prazo cobrando juro nominal de 1,2% a.m., sendo a inflao projetada
de 7% a.a. Qual o custo real mensal do financiamento?
7) Um investidor fez uma aplicao em um CDB (certificado de
depsito bancrio) que est pagando 0,8% a.m. lquido. Se o investidor
pretende resgatar esta aplicao ao final de 6 meses e obter um ganho
real de 4% no perodo, qual dever ser a taxa mxima de inflao do
perodo?
8) De acordo com a informao publicada por determinada instituio
financeira, o retorno ou variao anual das seguintes alternativas de
investimento foi;
a. Poupana 6,85%
b. CDB (pr) 12,05%
c. Ouro (BMF&BOVESPA) 12,20%
d. Bolsa de valores (Ibovespa) 28,51%
e. Dlar comercial -7,11%
Se a variao do ndice de preos ao consumidor (IPCA) foi de 2,72%
nesse mesmo perodo, determinar a rentabilidade real de cada um das
alternativas.
9) Para uma taxa efetiva de 15% a.a., qual a respectiva taxa
nominal anual com capitalizao mensal, trimestral ou semestral?
10) Para uma taxa nominal de 18% a.a. com capitalizao mensal,
qual a respectiva taxa efetiva equivalente trimestral?
11) A empresa obteve financiamento a taxa de 18% a.a., com
capitalizao mensal. Qual a taxa equivalente mensal? Qual a taxa
efetiva anual da operao?
-
Classificao das taxas de juros
32
12) Uma aplicao financeira rende juros de 0,8% a.m., com
capitalizao anual. Qual a taxa equivalente anual? Qual a taxa
efetiva mensal?
13) Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado
pelos seguintes prazos e taxas?
a) 25 dias a 3% a.m. capitalizados diariamente
b) 6 meses a 13% a.a. capitalizados mensalmente
c) 8 meses a 9% a.s. capitalizados mensalmente
d) 27 meses a 7% a.t. capitalizados mensalmente
e) 7 meses a 12% a.a. capitalizados trimestralmente
14) Determinado pas lanou um ttulo no mercado internacional
pagando juros semestrais de 12,8%, com capitalizao mensal. Qual a
taxa equivalente mensal? Qual a taxa efetiva anual?
-
Descontos
33
6. Descontos
Desconto uma operao inversa Capitalizao, ou seja, corresponde a
trazermos um valor futuro para a data presente, descontando os
juros que esto embutidos no valor futuro. O Desconto propriamente o
abatimento obtido por se saldar uma dvida antes do vencimento.
Conceitos bsicos:
Valor nominal: valor de um ttulo na data de seu vencimento.
Valor atual: valor de um ttulo em uma data intermediaria entre a
de emisso e a de vencimento, ou seja, o valor lquido depois de
aplicado o desconto.
Ttulo denominao genrica para qualquer tipo de dvida (Nota
Promissria, Duplicata, etc.).
6.1. Tipos de desconto
Existem dois tipos de descontos: Racional e Comercial. Ambos
podem ser utilizados tanto em juros simples quanto em juros
compostos. Na prtica, o desconto Comercial utilizado somente sob o
regime de juros simples.
O desconto racional (ou por dentro) corresponde verdadeira
operao de desconto. Tanto com juros simples, quanto com juros
compostos o procedimento inverso ao processo de capitalizao,
utilizando as mesmas frmulas. O desconto comercial (ou por fora)
nada mais do que uma variao do desconto racional adotada pelo
mercado, onde a taxa de desconto se aplica sobre o valor
futuro.
O desconto com capitalizao composta aplicado em alguns casos na
atividade comercial e financeira pode ser desconto racional (tambm
conhecido como financeiro) e desconto comercial. No primeiro a taxa
de desconto estimada com base em uma taxa de juros composta
antecipada, e no segundo com base em uma taxa de juros
postecipada.
6.1.1. Desconto racional simples
Neste tipo de desconto, a taxa aplicada sobre o valor atual da
dvida, considerando o nmero de perodos que faltam para o vencimento
da dvida. A frmula de desconto racional simples (Dr) dada por:
ndPDrnd
ndSDr
ndPS
PSDrDrPS
;1
)1(
; ;
Onde d a taxa de desconto racional simples.
Exemplo 17: Caso voc desconte um ttulo de R$ 35000,00 dois meses
antes do vencimento, a uma taxa de 2,5% a.m., qual ser a importncia
recebida?
S= 35000; n=2; d=2,5%; P=?
-
Descontos
34
33,3333367,166635000
67,16662025,01
2025,035000
1
DrSP
x
xx
nd
ndSDr
Exemplo 18: Um ttulo foi descontado taxa de 2% a.m. Sabendo-se
que o valor nominal era $ 7500,00 e o valor descontado racional $
6800,00, qual o prazo da antecipao?
d= 2%; S=7500; P=6800; n=?
diasemesesmesesdP
Sn
ndPS
5 5 147,502,0
11
6800
750011
)1(
6.1.2. Desconto comercial simples
Neste tipo de desconto, a taxa aplicada sobre o valor nominal ou
valor ao vencimento, considerando o nmero de perodos que faltam
para o vencimento da dvida. A frmula de desconto comercial simples
(D) dada por:
ndSD
onde D o valor do desconto a ser aplicado sobre o ttulo, a taxa
nominal d, de forma a levantar o valor lquido creditado na frmula
abaixo:
DPS DSP
Trata-se de uma forma de financiamento pela qual as empresas
entregam ttulos (duplicatas) s instituies financeiras, relativos a
vendas que tenham feito, recebendo um valor descontado pela taxa de
juros e tendo em conta o prazo para os vencimentos. Lembrando que,
o valor lquido creditado tem seu valor calculado de acordo s normas
da capitalizao simples, ou seja, no se considera juros sobre
juros.
Como d uma taxa nominal, a taxa efetiva (i) tambm pode ser
calculada com a frmula:
n
P
S
i
1
Exemplo 19: Qual o valor do desconto bancrio de um ttulo de
$300000 com vencimento para 93 dias, se a taxa de 6% ao ms?
S = valor do ttulo = $300000
n = prazo de vencimento = 93 dias
d = taxa de desconto = 6% ao ms
Assim, teremos em termos grficos que:
-
Descontos
35
0 93
d = 6% ao ms
P = ? S = 300000
E sua resoluo dada por:
5580030
9306,0300000 xxD
onde o prazo dividido por 30 (ou seja, passa a ser definido em
meses) dado que a taxa mensal.
244200$55800300000 P que o valor que a empresa recebe na
operao.
A taxa efetiva desse financiamento
%37,70737,0
30
93
1244200
3000001
n
P
S
i
Muitas vezes, clientes comerciais de instituies financeiras
levam uma srie de ttulos para desconto, os quais so descontados
simultaneamente. Alm disso, caso os valores dos ttulos sejam iguais
e se os prazos de vencimentos dos mesmos acontecerem com uma dada
frequncia, podemos ento lanar mo das frmulas apresentadas abaixo,
desenvolvidas a partir do raciocnio do exemplo a seguir.
Exemplo 20: Uma empresa desconta 4 ttulos no valor de $90.000
cada um, com vencimento em 15, 30, 45 e 60 dias, respectivamente.
Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2,50% ao
ms, calcular o valor do desconto total e o valor lquido obtido pela
empresa.
0 15 30 45 60
90.000 90.000 90.000 90.000 Dados:
S = 90.000
d = 2,50% ao ms
-
Descontos
36
N = 4 ttulos
Obs: os ttulos so vencveis a cada 15 dias, sendo que o primeiro
deles vence em 15 dias.
A frmula de desconto apresentada anteriormente pode ser aplicada
a cada ttulo individualmente, resultando em:
tD desconto total
6030
025,0000.9045
30
025,0000.9030
30
025,0000.9015
30
025,0000.90 tD
Colocando em evidncia os termos 30
025,0000.90 que se repetem em todos as
parcelas, teremos:
6045301530
025,0000.90 tD
Como os termos dentro dos parnteses esto em progresso aritmtica,
estes podem ser somados atravs da frmula para a Soma dos Termos em
Progresso Aritmtica (STPA), dada por:
2
1 nTPA
TTNS
onde N o nmero de termos; T1 o prazo de ocorrncia do 1o termo e;
Tn o
prazo de ocorrncia do ltimo termo. Aplicando esta nova equao na
frmula para DT, teremos:
250.11
2
60154
30
025,0000.90
TD , que o desconto total relativo aos 4 ttulos
entregues instituio financeira. Por fim, intuitiva a frmula
abaixo, que coloca que:
TT DPNS
Assim,
250.114000.90 TP , e
750.348$250.114000.90 TP , que o valor lquido recebido pela
empresa.
Exemplo 21: A empresa JB leva 5 duplicatas de mesmo valor para
desconto em um banco. par de uma taxa de desconto de 2,25% ao ms e
sabendo-se que os ttulos so vencveis de 30 em 30 dias, com o 1o a
vencer em 14 dias, pergunta-se: qual o valor de cada ttulo,
sabendo-se que o valor creditado empresa foi de $320.600. (Desconto
simples)
PT = 320.600
Tendo-se que:
S = ?
-
Descontos
37
PT = 320.600
d = 2,25% ao ms
0 14 44 74 104 134
S S S S S
2
1 nT
TTNdSD
2
134145
30
0225,0 SDT 2775,0 SDT
Ademais, TT DPNS 2775,0600.3205 SS 600.3202775,05 SS
600.3202775,05 S 600.3207225,4 S 77,887.67$7225,4
600.320S
que o valor de cada um dos 5 ttulos levados a desconto.
6.1.3. Desconto racional composto
A nica diferena do desconto racional composto em relao ao
desconto racional simples diz respeito ao regime de juros
utilizado, o princpio o mesmo.
Tambm chamado de desconto financeiro (Df), porque o valor
determinado multiplicando-se o valor nominal pela taxa de juros
composta antecipada.
11 ;
1
11
)1(
; ;
n
n
n
dPDfd
SDf
dPS
PSDfDfPS
d
P
S
n
1ln
ln
Exemplo 22: Qual o valor do desconto racional composto de um
ttulo de $ 10.000,00 descontado trs meses antes do vencimento a
taxa de 2,8% a.m.
S=10000; n=3; d=2,8%; Df=?
07,795
028,01
1110000
3
Df
Como se trata de juros compostos pode-se utilizar a HP-12c para
encontrar o valor presente, e depois calcular o valor do desconto,
fazendo a diferena entre o valor futuro (FV) e o valor presente
(PV).
-
Descontos
38
Depois de ter o resultado no visor da calculadora (ou de
pressionar as teclas RCL PV) podemos recuperar o valor futuro com
RCL FV, e pressionar o operador + para ter o resultado desejado [
795.0665 ].
Exemplo 23: Um ttulo com valor nominal de $ 2500,00 foi
descontado antes do vencimento, tendo o detentor desse titulo
recebido $ 1975,00. Considerando uma taxa de 22% a.a., determine o
perodo de antecipao (juros compostos).
S=2500; P= 1975; i=22%; n=?
diasemeseseanoanos
d
P
S
n 7 2 1 1854,122,01ln
1975
2500ln
1ln
ln
Utilizando a HP-12c
Depois de inserir as informaes e pedir para calcular o nmero de
perodos, alguns modelos podero gerar um erro ou mostrar o nmero
arredondado ao prximo inteiro.
Uma soluo, para alguns modelos da HP-12c, inserir uma taxa de
juros com uma maior frequncia de capitalizao. Por exemplo, podemos
inserir a taxa efetiva diria i=(1+0,22)^(1/360)-1 = 0,055252% e
pedir para calcular n, nesse caso a resposta correta ser 427
dias.
Exemplo 24: Um capital de $20000 aplicado em 11/02/2010 a juros
efetivos de 2,25% a.m. rendeu $580 em um determinado prazo.
Determinar o prazo e a data de resgate da aplicao considerando ano
civil.
P = 20000; J = 580; i = 2,25%; n = ?; resgate = ?
Taxa de juros efetiva diria
i=(1+0,0225)^(1/30)-1=0,0741%a.d.
S = P + J = 20000 + 580 = 20580
Entrada
Sada
0
PMT
10000
FV
-9204.93
PV
2.8
i
3
n
Entrada
Sada
0
PMT
2500
FV
-1975
PV
22
i
2
n
-
Descontos
39
Utilizando a HP-12c
A data de resgate pode ser estimada usando as funes de calendrio
da calculadora:
f CLEAR FIN
g D.MY (prepara para entrada de datas dia/ms/ano)
11.022010 ENTER (entra a data inicial)
39 g DATE (entrar o nmero de dias e pedir para calcular a data
final)
[ 22,03,2010 1 ] (o vencimento foi o 22 de maro de 2010, segunda
feira).
6.2. Exerccios sobre descontos
1) Paulo, ao resgatar um Ttulo com valor nominal de $ 80.000,00
sob o critrio de desconto racional simples, desembolsou a quantia
de $ 72.000,00. Considerando que a operao foi efetuada com base em
uma taxa de 13% a.a., calcule o perodo de antecipao.
2) Qual o valor a ser pago hoje por uma Duplicata de $ 7.000,00,
com vencimento para 60 dias, se for descontada sob o critrio de
desconto racional simples, a uma taxa de 2,4% a.m.?
3) Por um Ttulo com valor nominal de $ 2.200,00, com vencimento
para 16 de outubro, Manuel obteve o valor de $ 2.110,00, em 1 de
setembro do mesmo ano. Qual foi a taxa mensal de desconto racional
simples utilizada pelo banco?
4) Um ttulo a vencer em 150 dias, no valor de $ 15.000,00 foi
descontado por $ 13.400,00. Calcular a taxa anual de desconto
comercial simples e a taxa efetiva de desconto.
5) O valor de certo Ttulo no vencimento de $ 125.000,00. O
detentor do mesmo, desejando saldar algumas dvidas, resolveu
antecip-lo, recebendo um valor de $ 102.000,00, sendo utilizada,
para tanto, uma taxa de desconto racional composto de 2,5% a.m.
Qual foi o perodo de antecipao?
6) Carlos Alberto deseja antecipar o pagamento de um emprstimo
no valor de $ 25.000,00, que vencer daqui a 6 meses, tendo
negociado com o credor o pagamento de $ 22.635,00 para liquidar a
dvida. Qual foi a taxa de desconto racional composto acordada nessa
operao?
7) Calcule o valor nominal de um Ttulo cujo valor do desconto
racional composto foi de $ 854,00, antecipao de 3 meses e taxa de
juros de 3% a.m.?
8) Um capital aplicado a juros efetivos de 13% a.a. durante 3
anos e 9 meses resultou em um montante de $10000. Determinar o
valor do capital.
Entrada
Sada
0
PMT
20580
FV
-20000
PV
0,0741
i
39
n
-
Descontos
40
9) Um Ttulo cujo valor nominal era de $ 25.000,00 foi antecipado
em 4 meses, utilizando-se uma taxa de desconto racional composta de
3,5% a.m. Pergunta-se: qual o valor lquido que foi recebido pelo
dono do Ttulo?
-
Sries de pagamentos
41
7. Sries de Pagamentos
7.1. Primeiras consideraes
As rendas certas ou tambm chamadas sries peridicas uniformes
podem ser divididas em: sries postecipadas, onde os pagamentos
ocorrem no fim de cada perodo; sries antecipadas, onde os
pagamentos so feitos no inicio de cada perodo; e sries diferidas,
porque tm perodo de carncia onde no h pagamentos.
As linhas de tempo abaixo ilustram o conceito de sries de
pagamentos, o qual deve ser entendido como uma distribuio de
entradas e sadas de recursos de aplicaes/financiamentos ao longo do
tempo.
a) 0 1 2 3 4 5 6 7
-800 1.300 580 -730 760 980 -1.500 1.980
b) 0 1 2 3 4 5 6 7
-3.940 645 645 645 645 645 645 645
Exemplo 25: O primeiro exemplo (a) poderia ser o fluxo de caixa
lquido de uma empresa, com valores positivos e negativos se
sucedendo no tempo. J o segundo exemplo (b) tem as caractersticas
de um financiamento concedido por uma instituio bancria, a qual
concede emprstimo de $3.940, na expectativa de receber $645 lquidos
por ms.
H ainda a se considerar os conceitos de termos vencidos e
antecipados, os quais so explicitados com os exemplos abaixo.
c) 0 1 2 3 4 5
-3.500 750 750 750 750 750
Neste exemplo, uma empresa poderia estar sendo creditada em
$3.500, ao mesmo tempo em que se obriga ao pagamento de 5 prestaes
mensais de $750, cada uma delas ao final do ms (da o termo
vencido).
-
Sries de pagamentos
42
d) 0 1 2 3 4 5
733 733 733 733 733
-3.500
O tipo de operao expresso pela linha de tempo acima comum no
comrcio varejista, no qual as prestaes so pagas no incio de cada
perodo, inclusive a primeira. Em outros termos, as prestaes so
pagas antecipadamente em cada perodo, de onde surge o nome de
termos antecipados.
As frmulas de valor presente e futuro de cada uma dessas sries
sero mostradas junto com o desenvolvimento de exemplos.
7.2. Termos vencidos
Nosso prximo passo o de levantarmos uma frmula geral para clculo
de prestaes em termos vencidos e, para isto, temos o seguinte
exemplo:
Exemplo 26: um investidor que deseja saber quanto ter (montante)
ao final de 4 meses se fizer aplicaes mensais, iguais e
consecutivas de $500, taxa de juros de 1,50%. Ainda mais, a situao
de termos vencidos se efetiva pelo fato de que o mesmo far sua
aplicao em 30 dias.
0 1 2 3 4
500 500 500 500
500 x (1 + 0,015)3
500 x (1 + 0,015)2
500 x (1 + 0,015)1
500 x ( 1+ 0,015)0
Claro est que poderamos soma as quatro parcelas e obter o
resultado desejado (= $2.045,45), porm, isto se daria de modo
tedioso e pouco prtico. Alis, imaginem
-
Sries de pagamentos
43
se fosse pedido o valor futuro de 24 parcelas! No entanto,
podemos definir uma equao geral para clculo deste tipo de valor, o
que faremos a seguir.
7.2.1. Valor futuro em termos vencidos
Conforme se recorda, a frmula principal da matemtica financeira
dada por:
niPS 1
com a qual podemos encontrar o valor futuro como a soma das
quatro parcelas mensais do problema, ou seja:
]015,01500[]015,01500[]015,01500[]015,01500[ 0123 S
que pode ser desenvolvida para:
3210 015,1500015,1500015,1500015,1500 S com o valor de 500 se
repetindo em todos os termos, levando-nos a coloc-lo em
evidncia:
3210 015,1015,1015,1015,1500 S Nosso prximo passo o de somar os
termos entre parnteses, o qual est em progresso geomtrica. Para
isto, lanamos mo da frmula para soma de termos em progresso
geomtrica, qual seja:
1
11
q
aqaS
n
tpg
sendo,
a1 = o primeiro termo entre parnteses, ou ;015,10
n = o nmero de termos (as aplicaes mensais do investidor);
q = a razo de variao, igual a 1,015. Alis, este valor multiplica
o saldo obtido a cada final de ms.
A aplicao desta equao aos dados do problema resulta em:
1015,1
015,1015,1015,1500
040
S
como qualquer nmero elevado a zero igual a 1, segue-se da
que:
45,045.2$015,0
1015,1500
4
S
Por fim, substitumos os valores pelos literais definidos no
comeo deste texto para obtermos:
i
iRS
n]11.[
, lembrando que R o valor da prestao.
-
Sries de pagamentos
44
Exemplo 27: Uma pessoa decide aplicar $1.500 por ms, durante 2
anos. Sabendo-se que a taxa de juros mdia mensal de 1,20%, qual o
montante esperado ao final deste perodo?
0 1 2 24
1.500 1.500 1.500
10,434.41$
012,0
]1012,01[150024
S
Com a HP-12c
g END (fluxos so ao final do perodo, postecipados, ou
vencidos)
f CLEAR FIN (limpar as memrias)
24 n
1.20 i
1500 CHS PMT
FV [ 41434.10 ]
Exemplo 28: Caso a pessoa do exemplo anterior devesse fazer sua
primeira aplicao apenas ao final de 60 dias, de quanto seria seu
montante ao final das 24 aplicaes mensais?
0 1 2 3 25
1.500 1.500 1.500
10,434.41$
012,0
]1012,01[150024
S
Entrada
Sada
-1500
PMT
41434.1
FV
0
PV
1.20
i
24
n
-
Sries de pagamentos
45
7.2.2. Prestaes e valores futuros
Neste tpico, estamos diante de situao inversa quela do item
anterior, quando tnhamos que calcular o montante a partir do valor
dado de uma prestao. Aqui, temos o contrrio, pois desejamos
levantar a prestao a partir do valor futuro. Por exemplo, algum
deseja comprar um ativo no valor de $30.000 e, para tanto, quer
saber quanto deve aplicar durante 12 meses para alcanar aquele
valor. Neste sentido, nosso primeiro passo o de relembrar a frmula
de valor futuro:
i
iRS
n]11.[
da qual pode ser obtida frmula desejada apenas com um simples
giro no eixo da mesma:
11
n
i
iSR
Exemplo 29: Uma empresa planeja um investimento de $45.000 para
o final de 10 meses, pretendendo aplicar parcelas mensais taxa de
juros de 1,25% ao ms. Sabendo-se que a primeira aplicao se dar em
30 dias, qual o valor desta aplicao mensal?
0 1 2 10
R R R
S = 45.000
64,252.4$10125,1
0125,04500010
R
Na HP-12c
g END (fluxos so ao final do perodo, postecipados, ou
vencidos)
f CLEAR FIN (limpar as memrias)
Entrada
Sada -4252.64
PMT
30000
FV
0
PV
1.25
i
10
n
-
Sries de pagamentos
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Exemplo 30: Uma empresa deseja se preparar para uma dvida de
$125.000 ao final de 15 meses e para isso pretende fazer aplicaes
mensais, iguais e consecutivas comeando ao final do final do 2o ms.
Sendo de 1,25% a taxa de juros mensal esperada, pergunta-se o valor
da prestao mensal.
0 1 2 3 4