Elaborado por Diesson Costa | Dúvidas e sugestões entrem em contato através do email: [email protected]1 Capítulo 1- Sistemas de Numeração e os números decimais Capítulo 2 - Operações com números naturais, – Adição e Subtração Capítulo 3 - Operações com números naturais – Multiplicação e Divisão Capítulo 4 - Operações com números naturais – Potenciação e raiz quadrada Capítulo 5- Divisibilidade Capítulo 6 - Máximo Divisor Comum e Mínimo Múltiplo Comum (MDC) Capítulo 7- Frações Capítulo 8- Números decimais Capítulo 9 - Operações com os Números Decimais Capítulo 10 - Introdução ao estudo da Geometria
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Apostila Matemática Facilitada Para Todos Os Níveis
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Capítulo 1- Sistemas de
Numeração e os números
decimais
Capítulo 2 - Operações com
números naturais, – Adição e
Subtração
Capítulo 3 - Operações com
números naturais –
Multiplicação e Divisão
Capítulo 4 - Operações com
números naturais – Potenciação
e raiz quadrada
Capítulo 5- Divisibilidade
Capítulo 6 - Máximo Divisor
Comum e Mínimo Múltiplo
Comum (MDC)
Capítulo 7- Frações
Capítulo 8- Números decimais
Capítulo 9 - Operações com os
Números Decimais
Capítulo 10 - Introdução ao
estudo da Geometria
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1-Sistemas de Numeração e os
números decimais
Para fazermos as contagens do nosso
dia a dia é necessário um sistema de
numeração.
O sistema que mais usamos é o
decimal, pois contamos em grupos de
10. A palavra decimal tem origem na
palavra latina decem, que significa 10.
Ele foi inventado pelos hindus,
aperfeiçoado e levado para a Europa
pelos árabes. Daí o nome indo-arábico.
Esse sistema de numeração apresenta
algumas características:
1°Utiliza apenas os algarismos indos-
arábicos: 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 para
representar qualquer quantidade.
2°Cada 10 unidades de uma ordem
formam uma unidade da ordem
seguinte. Observe:
10 unidades = 1 dezena = 10
10 dezenas = 1 centena = 100
10 centenas = 1 unidade de milhar =
1000
3°) Outra característica é que ele segue
o principio do valor posicional do
algarismo, isto é, cada algarismo tem
um valor de acordo com a posição que
ele ocupa na representação do numeral.
Temos, então, o seguinte quadro de
posição (ou de ordens):
4°
ordem
3°
ordem
2°
ordem
1°
ordem
Milhar Centenas Dezenas Unidades
Exemplo:
632.
Temos que o algarismo 2 representa 2
unidades e vale 2 (1º ordem);
O algarismo 3 representa 3 dezenas, ou
seja, 3 grupos de 10 unidades e vale 30
(2º ordem);
O algarismo 6 representa 6 centenas, ou
seja, 6 grupos de 100 unidades e vale
600 (3º ordem).
Atividades:
1) Leia as afirmativas, e descubra qual é
o número.
a) Este número tem 4 centena, 7
dezenas e 6 unidades. Qual é este
número?
b)Este número tem 9 unidades de
milhar, 1 centena, 3 dezenas e 8
unidades. Qual número é este?
c) Este número tem 3 unidades de
milhar, 6 centenas, 9 dezenas e 4
unidades. Qual número é este?
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- Números Naturais
O número natural nasceu da
necessidade dos homens contarem
quantidade de coisas ou objetos. Esse
conceito foi estabelecido a partir da
sucessão dos números naturais, que se
constitui num conjunto infinito de
números, denominado conjunto dos
números naturais.
IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Esse conjunto tem as seguintes características:
I) É representado pela letra IN (maiúscula)
II) É um conjunto infinito
III) Todo número natural tem um sucessor
IV) Todo número natural, exceto o zero,
tem um antecessor
V) Zero é o menor dos números
naturais
Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos:
O sucessor de 0 é 0 + 1 = 1
O sucessor de 5 é 5 + 1 = 6
O sucessor de 57 é 57 + 1 = 58
O sucessor de 113 é 113 + 1 = 114
Todo número natural dado,
exceto o zero, tem um
antecessor (número que vem
antes do número dado).
Exemplo:
O antecessor de 1 é 1 – 1 = 0
O antecessor de 7 é 7 – 1 = 6
O antecessor de 14 é 14 – 1 = 13
O antecessor de 73 é 73 – 1 = 72
Atividades:
1°) Qual o sucessor de 99
2°) Qual o antecessor de 104
3°) Qual o antecessor de 219
4°) Qual o sucessor de 47
5°) Qual o antecessor de 554
6°) Qual o antecessor de 975
-Números Romanos
Os romanos usavam um sistema
interessante para representar os
números. Utilizavam sete letras do
alfabeto e a cada uma delas atribuíam
valores:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
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Atividades:
1) Pio 12 foi um dos papas que mais se
destacaram por sua qualidade de
estadista.
Usando símbolos do sistema romano de
numeração, escreva o número que
designa esse papa.
__________________________
2) No Brasil, tanto a independência
como a República foram proclamadas
no
século XIX. Usando algarismos, escreva
o número que representa esse século.
________________________________
__________
3) Os números representados por LX e
XL no sistema romano têm o mesmo
valor.
Essa afirmação é verdadeira ou falsa?
4) Usando o sistema romano de
numeração, você deve escrever os
seguintes números:
a) 26 ________________
b) 102 _______________
c) 830 _______________
d) 77 ________________
e) 409 ________________
f) 1050 _______________
g) 91 _________________
h) 365 ________________
i) 3012 ________________
5) Estou lendo o capitulo LVII de um
livro. Usando os nossos símbolos,
escreva o
número correspondente ao capítulo que
estou lendo. ______________
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2 - Operações com números
naturais, – Adição e Subtração
-Adição
Adição é o ato de atribuir um valor a
mais para um valor já existente, seu
símbolo é +, por exemplo: 5+5=10,
7+1=8, 3+6 =9.
De forma literal, podemos enunciar
situações do cotidiano com soma, por
exemplo: Se Marcos comprou cinco
pacotes de biscoito e João comprou dez.
Quantos biscoitos os dois possuem
juntos, resposta 15 biscoitos ambos
possuem juntos.
Ou seja, adição é a idéia de acrescentar
e juntar objetos e números com o
objetivo de somar tais valores e
aumentar uma quantidade de elementos.
- Propriedades da Adição
I) Comutatividade
Se alterarmos os valores de lugar, a
soma não é alterada.
Exemplos:
2+3=5
3+2=5
6+3=9
II)°Associativa
Os valores em uma soma podem ser
somados de maneiras diferentes sem
alterar o valor da soma.
Exemplos:
(5+2) +6 = 13
(7+1)+ 1 = 9
(3+4) + 0 = 7
Em matemática quando temos
uma operação entre parênteses a
primeira coisa a se fazer na operação e
resolver o que estar inserido entre
parênteses, exemplo: (5+1)+ 2= 6 +2
=8.
III) Elemento Neutro
Qualquer número somado a zero será o
próprio valor.
Exemplo:
2+0=2
3+0=3
4+0=4
-Adição de um número positivo
com um número negativo
Se tivermos uma conta onde há um
algarismo negativo, por exemplo:
3+ (– 4), como efetuamos esse cálculo?
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Simples, basta entender que na soma
sinais contrários sempre será negativo,
ou seja, mais com menos é igual a
menos e menos com mais é igual a
mais, logo:
3+ (-4) = 3 -4 = -1
Como o maior número é o quatro, o
sinal que será repetido é o do maior
número, por isso tivemos como resposta
o número -1.
Iremos compreender uma pouco mais
sobre o “joguinho dos sinais” nos
próximos capítulos.
-Subtração
A subtração é uma operação básica da
Matemática, sendo representada pelo
sinal de –. O desenvolvimento da
subtração entre números Naturais é de
certa forma bem simples. Observe os
exemplos:
5-2=3
7-4=3
8-2=6
De forma, literal subtração é o ato de
tirar, perder uma determinada
quantidade de elementos, exemplo:
Paulo tinha 7 lapiseiras perdeu 5,
quantas lapiseiras Paulo possui?
Resposta: 7-5 =2.
-Diferença de um número
positivo com um número
negativo
Se tivermos a conta:
5 – (-5) = ?
Quando temos uma subtração e o
número seguinte tem um sinal negativo
esse sinal juntamente com o sinal
negativo anterior torna-se positivo,
logo:
5 – (-5) = 5 + 5 = 10
Atividades:
1)A professora de língua Portuguesa
indicou aos alunos do 6º ano os livros
que eles deverão ler no primeiro
bimestre do ano letivo, o primeiro tem
87 páginas e o segundo têm 123
páginas. Nesses dois livros, quantas
páginas, ao todo, os alunos vão ler?
2) Uma empresa tem 1087 pessoas
trabalhando na sua fábrica e 462
pessoas trabalhando no seu escritório.
Quantas pessoas trabalham, ao todo,
nessa empresa?
3)Durante o ano de 2011, uma equipe
de futebol venceu 49 partidas, empatou
18 partidas e perdeu 5 partidas.
Quantas partidas essa equipe disputou
durante o ano de 2011?
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4) Dona Maria comprou um aparelho de
som por 719 reais e as caixas de som
por 96 reais. Tendo pagado 17 reais pela
instalação, qual a quantia que ela
gastou?
5) Dom Pedro II, imperador do Brasil,
faleceu em 1891 com 66 anos de
idade. Em que ano ele nasceu?
6) O Ceará possui 43 títulos estaduais,(
campeonato cearense), o Fortaleza
possui 39 títulos. Quantas vezes as
duas equipes possui juntas o título
estadual?
-Expressões numéricas com
Adição e Subtração
As operações de adição e subtração são
efetuadas segundo a ordem em que
aparecerem.
Exemplos:
a)7-3+1-2=
=4+1-2=
=5-2=
=3
b)15-1-2+5=
=14-2+5=
=12+5=
=17
Existem expressões onde aparecem os
sinais de associação e que devem ser
eliminados nesta ordem
I) Parênteses ( )
II) Colchetes [ ]
III) Chaves { }
Exemplo:
74+{10-[5-(6-4)+1]}=
=74+{10-[5-2+1]}=
=74+{10-[3+1]}=
=74+{10-4}=
=74+6=
=80
Atividades:
1)Calcule o valor das expressões:
a) 10-1+8-4=
b) 12-8+9-3=
c) 25-1-4-7=
d) 45-18+3+1-2=
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e) 75-10-8+5-1=
f) 10+5-6-3-3+1=
2) Calcule o valor das expressões
a) 25-[10+(7-4)] =
b) 32+[10-(9-4)+8] =
c) 45-[12-4+(2+1)] =
d) 70-{20-[10-(5-1)]} =
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} =
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} =
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} =
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} =
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} =
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] =
l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} =
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3- Operações com números
naturais – Multiplicação e
Divisão
A multiplicação é a operação aritmética
que permite somar um número,
chamado multiplicando, tantas vezes
quanto for necessário o número de
repetições, seu símbolo é o sinal de x e
também pode ser representado por um
ponto (.) . Exemplos:
2x3=6
3x2=6
5x1=5
7x6= 42
Note que, 10 x 5 = 50, ou seja, agente
soma o 10 +10 +10 +10 +10 (5 vezes) e
o obtém da soma o número 50,
-Algoritmo da múltiplcação
Vimos até agora a multiplicação de um
número de segunda ordem por um
número de primeira ordem, ou seja, 10
x 5.
Como multiplicar um algarismo de
terceira ordem em diante por um
número de segunda ordem
UM C D U
3 5 2
x 2 5
+ 7 6 0
7 0 4
Note que, na terceira linha da tabela
colocamos os valor da multiplicação de
352 por 5 e obtemos 1760, já na quarta
linha da tabela tivemos 352 x 2 e
obtemos 704 para termos o valor da
multiplicação basta somar os valores
obtidos, 1760 + 7040 = 8800, lembre-
se devemos somar unidades com
unidades, dezenas com dezenas,
centenas com centenas e assim,
sucessivamente. Conforme a tabela
anterior.
-Propriedades da Multiplicação
I) Associatividade:
Na multiplicação de três ou mais
valores quaisquer, podemos associar os
fatores de diferentes modos que o
produto é sempre o mesmo. A
propriedade de associatividade é
satisfeita na multiplicação, pois:
Exemplo:
3.5.2 =15.2 =30
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10
3.(5.2) =3.10 =30
Observe que os resultados obtidos são
iguais. Os parênteses indicam a
multiplicação que deve ser feita
primeiro.
II) Existência de Elemento Neutro:
O elemento neutro na multiplicação é o
número 1, pois qualquer número natural
multiplicado por 1 é esse próprio
número .
Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8
III) Comutatividade:
A propriedade comutativa também é
satisfeita pela multiplicação, pois a
ordem dos fatores não altera o produto.
Observe:
7 x 5 = 35 , 5 x 7 = 35
4 x 5 = 20 , 5 x 4 = 20
IV) Distributividade:
Um jeito simples de explicar a
propriedade distributiva é com o
seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e
ganho mais 5 laranjas então na verdade
eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora
substituímos as laranjas por um número,
por exemplo, o número 6.
Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.
Assim, como na multiplicação e na
subtração também iremos trabalhar com
números negativos (nos próximos
capítulos).
Um número positivo multiplicado por
um número negativo sempre será o
valor da expressão sendo que negativo
Por exemplo:
2 x -3 = -6
Se tivemos o produto de dois números
negativos, por exemplo:
-3 x -3 = 9
A multiplicação de dois números
negativos sempre será o valor do
produto positivo.
Atividades:
1) Em uma caixa existem 12 ovos.
Quantos ovos existem em 24 caixas?
2) Na escola de Laís existem 22 salas de
aula e em cada uma existem 25
cadeiras. Quantas cadeiras existem na
escola?
3) Paulo precisa montar 4 bicicletas. De
quantas rodas ele precisará?
4) Um marceneiro vendeu 20 mesas.
Quantas pernas de mesa ele precisará
para deixar as 20 mesas montadas?
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5) Ricardo comprou 12 bolas de gude e
Rafael comprou o triplo. Quantas bolas
de gude Rafael comprou?
.
6) Em um vestiário há 12 camisas e em
outro, há o dobro desse número.Quantas
camisas há no outro vestiário?
7) Júnior e seu amigo Edgar fazem
coleção de carrinhos em miniatura.
Júnior possui 32 carrinhos e Edgar o
triplo dessa quantia. Quanto carrinho
Edgar possui?
8) Um ônibus transporta 42 passageiros
sentados. Quantos passageiros
transportarão em 5 viagens, levando
sempre essa quantidade?
9) Graça comprou 2 brinquedos, que
custaram R$32,50 cada, para presentear
seus 2 sobrinho. Quanto dinheiro ela
gastou?
10) Patrícia comprou 4 caixas de lápis
com 52 lápis em cada caixa. Quantos
lápis ela comprou?
-Divisão
Divisão é a operação matemática
inversa da multiplicação, ou seja, se na
multiplicação eu vou aumentar um valor
em uma grande escala, na divisão eu irei
reduzir esse valor em uma grande
escala. Seu símbolo é representa pelo
sinal: ÷ ou também pelo sinal de : .
Exemplo;
12 ÷ 4 = 3, onde 12 é o divisor e 4 é o
dividendo.
12|_4__
-12 3
0
Note que, ao dividir o algarismo 12 pelo
4 encontramos dois algarismo no caso,
o 3 se chama quociente, o 0 se chama
resto, e quando a divisão tem resto igual
á zero ela se chama divisão exata.
Quando o resto é diferente de zero a
divisão é chamada de divisão inexata.
Observe a figura seguinte :
Podemos enunciar a divisão da seguinte
forma:
D = dq+ r
Onde, D é o divisor, d é o dividendo e r
é o resto.
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O algoritmo da divisão foi
enunciado por Euclides (300 A.C), e
está presente no livro, Os Elementos de
Euclides, o segundo livro mais vendido
no mundo após a bíblia sagrada.
Atividades:
1) Determine o quociente e o resto:
a) 842 ÷ 31
b) 1236 ÷ 54
c) 5348 : 63
d) 37511 : 107
e) 25713 ÷ 102
f) 138400 ÷ 1297
g) 3711 : 123
h) 1113 ÷ 13
i) 9999 ÷ 1109
-Operações envolvendo
Multiplicação e Divisão
Quando tivermos uma a operação
matemática envolvendo ao mesmo
tempo multiplicação e divisão,
resolvemos a operação que estiver entre
parênteses primeiro.
Exemplo
(45 ÷ 3 ) x 3 =
= 15 x 3
= 45
Atividades:
1) Efetue as operações abaixo:
a) (45 x 9) ÷ 3 =
b) (110 x 2) ÷ 1 =
c) 170 x 2 + ( 45÷3) =
d) (245 ÷ 5) x ( 64÷8) =
e) (12 ÷ 4) + (68 x2) =
f)( 1024 ÷ 2) + ( 2 x 1)=
g) ( 300 x 6) ÷ 300=
h) (81÷3) x 7 =
i) (45 x 3) + 2 =
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