Apostila geometria analítica plana 2º ed.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA

PROF. VINICIUS

3. Geometria Analítica Plana

3.1 Vetores no plano

Intuitivamente, sabemos que o conjunto dos números reais podem ser distribuídos

em uma reta. Deste modo, todo número real corresponde a um ponto da reta e vice-versa. A

seguir, tendo em vista a correspondência apresentada acima, serão definidos alguns objetos

que constituem a base da Geometria Analítica Plana.

Definição (origem): O ponto é chamado de origem.

Definição (unidade de medida): Chamamos de unidade de medida a distância entre

dois números inteiros consecutivos na reta. A unidade de medida é inteiramente arbitrária,

não influenciando no estudo qualitativo dos objetos matemáticos do plano.

Definição (sentido positivo e negativo): O sentido positivo na reta corresponde ao

sentido de crescimento dos números e o sentido negativo na reta corresponde ao sentido

oposto, ou seja, de decrescimento dos números.

Definição (números positivos e números negativos): Números negativos são

números a esquerda da origem e números positivos são números a direita da origem.

Definição (abscissa): O número real associado a cada ponto é denominado abscissa.

Definição (reta orientada): A reta obtida a partir das definições dadas acima é

chamada de reta orientada.

Definição (distância entre dois pontos na reta orientada): A distância entre dois

pontos e , de abscissas e , respectivamente é dada por .

Exemplo: A distância entre o ponto na reta de abscissa e o ponto da reta de

abscissa é dada por .

Definição (sistema cartesiano ortogonal): O sistema cartesiano ortogonal é

constituído por dois eixos, e , perpendiculares entre si, com mesma origem, a qual

constitui o ponto de intersecção. Para evitar confusão, os números reais associados a

são chamados de abscissa e os números associados a são chamados de ordenadas.

Definição (segmento orientado): Um segmento orientado é um subconjunto de uma

reta, que possui um ponto como origem (primeiro ponto), e outro ponto como extremidade

(último ponto). Adotando o sentido de um ponto para um ponto ,

podemos definir um segmento orientado .

Exemplo: Se e , então .

Exercício 3.1: Sejam , e . Calcule , , e .

Definição (segmento nulo): Segmento nulo é aquele em que a origem e extremidade

coincidem.

Definição (segmento oposto): O segmento oposto a um segmento é o segmento

, ou seja, inverte-se a origem e a extremidade. Logo, se , então

.

Exemplo: Se e , então . E o

segmento oposto de é o segmento .

Exercício 3.2: Sejam , e . Calcule os vetores opostos dos

vetores , e .

Definição (direção): Chamamos de direção o ângulo entre um segmento de reta e

uma reta paralela ao eixo .

Definição (sentido): Chamamos de sentido de um segmento orientado a

especificação da extremidade, dada a direção do segmento.

Definição (módulo): Dados a origem de um segmento orientado e sua

extremidade , o módulo do segmento é o seu comprimento, de acordo com a unidade de

medida adota. Na seção 3.4 (relativa a distância) será fornecida a fórmula da distância entre

pontos, o que permitirá determinar o módulo de um vetor.

Definição (segmentos equipolentes): Dois segmentos chamados equipolentes

quando possuem mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

Definição (vetor): Um vetor é o conjunto de todos os segmentos equipolentes a um

segmento orientado . Usualmente, denota-se um vetor por , , et Cetera. Módulo,

direção e sentido são características de um vetor, uma vez que todos os seus elementos são

segmentos equipolentes.

Definição (vetores iguais): Dois vetores são iguais quando possuem mesmo módulo,

direção e sentido.

Definição (vetor nulo): Vetor nulo é aquele que possui módulo igual a zero.

Definição (vetor oposto): Dado um vetor , o seu oposto é vetor que contém

todos os segmentos orientados opostos dos segmentos do vetor .

Definição (vetor unitário): Um vetor é unitário se .

Exemplo: O vetor é um vetor unitário, pois .

Exercício 3.3: Dados , e , verifique quais vetores

são unitários e quais não são.

Cada segmento orientado no plano cartesiano possui um segmento equipolente

fixado na origem deste plano, ou seja, um vetor de mesmo módulo, direção e sentido com

origem no ponto do plano cartesiano. Assim, todo segmento orientado pode ser

representado por este segmento na origem. Deste modo, podemos representar um vetor de

acordo com o ponto de extremidade do segmento obtido a partir da origem.

Definição (soma de vetores): Dados dois vetores e , a

soma de e é o vetor .

Exemplo: Se e , então

.

Exercício 3.4: Dados , e , calcule ,

e .

Definição (diferença de vetores): Dados dois vetores e ,

a diferença de e é o vetor .

Exemplo: Se e , então .

Exercício 3.5: Dados , e , calcule ,

e .

Definição (multiplicação por número real): Dado um número real e um vetor

, o multiplicação por número real de e é o vetor .

Exemplo: Se e , então

.

Exercício 3.6: Dados , e , calcule ,

e .

Definição (base): Assumindo e , podemos representar qualquer

vetor do plano cartesiano (fazendo uso de soma de vetores e do produto escalar). Por isto, o

conjunto é chamado de base do plano cartesiano ou base do .

Exemplo: .

3.2 Produto Escalar

Definição (produto escalar): Dados dois vetores e , o

produto escalar é o número .

Exemplo: Se e , então

.

Exercício 3.7: Dados , e . Calcule , e

.

Teorema: Dados dois vetores e , sendo o ângulo formado entre eles, então

.

Exemplo: Se e , então , e portanto,

.

Exercício 3.8: Sabendo que tem módulo , tem módulo e tem módulo ,

que o ângulo entre e é , o ângulo entre e é , e que o ângulo entre e é

, calcule , e .

Definição (vetores ortogonais): Dois vetores e são ortogonais quando .

Exemplo: Se e , então , e portanto,

e são ortogonais.

Exercício 3.9: Dados , e , verifique se existem

vetores ortogonais entre estes três vetores.

Observação: o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor, pois o produto escalar dele

com qualquer outro vetor sempre resulta em zero.

Observação: Um forma alternativa de constatar que a ortogonalidade está ligada ao

fato de o produto escalar resultar em zero é observar que na expressão

do teorema acima, se , então .

3.3 Projeção

Definição (projeção de um vetor): A projeção de um vetor sobre um vetor é

dada por .

Exemplo: Se e , então

.

Exercício 3.10: Dados , , e .

Calcule e .

3.4 Estudo da Reta

Equação Reduzida: .

Exemplo:

Equação vetorial: Seja o vetor que determina todos os pontos de uma reta ,

seja um ponto qualquer de e um vetor que possui mesma direção de . Então

. O vetor é chamado de vetor diretor de .

Exemplo: Partindo de , vamos considerar o ponto , e o vetor

formado por e , no sentido de , ou seja, .

Como possui mesma direção de , então podemos tomar . Logo, a equação

vetorial de pode ser escrita como .

Equações Paramétricas da Reta: .

Exemplo: Partindo da equação vetorial , poderíamos escrever as

equações paramétricas de como , isto é, .

Equação Simétrica: .

Exemplo: Partindo da equação paramétrica , poderíamos escrever a

equação simétrica .

Observação: Da equação simétrica podemos voltar para a equação reduzida. Por

exemplo, da equação simétrica , podemos isolar e obter

, que é exatamente a equação reduzida de onde

partimos.

Exercício 3.11: Obtenha os quatro tipos de equação da reta para as retas ,

, , e .

3.5 Distâncias no Plano

Teorema (distância entre dois pontos no plano cartesiano): Dados dois pontos

e , calcula-se a distância entre eles através de

.

Exemplo: Se e , então .

Exercício 3.12: Calcule, em cada caso, a distância entre os pontos: a) e ;

b) e ; c) ) e .

Teorema (distância de um ponto a uma reta): Seja uma reta. Assim a

distância de até o ponto é dada por .

Exemplo: A distância entre a reta e o ponto é dada por

.

Exercício 3.13: Calcule a distância do ponto a reta em cada caso: a) e

; b) e ; c) e .

Teorema (distância entre retas): Sejam e duas retas no plano. Se e forem

concorrentes, então a distância entre eles é nula, por definição. Se e forem paralelas,

então ou .

Observação: como se vê, a distância entre retas se reduz a distância entre um ponto

e uma reta. Para verificar se as retas são paralelas ou concorrentes, basta igualar as

equações das retas e avaliar o resultado. Se o resultado for matematicamente incoerente,

isto significa que não há intersecção entre as retas, e portanto, elas são paralelas. Do

contrário, elas são concorrentes, e portanto, a distância entre elas será zero.

3.6 Estudo da Circunferência

Equação da Circunferência centrada em com raio :

.

Exemplo: é a circunferência de centro e raio .

Exercício 3.14: Em cada caso, obtenha as coordenadas do centro e a medida do raio

da circunferência: a) ; b) ; c)

.

Posições relativas de um ponto e uma circunferência :

é externo a

é externo a

Exercício 3.15: Determine a posição do ponto em relação a cada uma das

circunferências definidas por: a) ; b)

; c) .

Definição (distância entre a reta e a circunferência): Seja uma reta e seja uma

circunferência de centro e raio . Assim, a distância de a é dada por .

Posições relativas de uma reta e uma circunferência :

e são secantes

e são tangentes

e são exteriores.

Exercício 3.16: Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência definidas

por: a) e ; b) e ; c)

e .

Definição (distância entre duas circunferências): Sejam e duas circunferências

de centros e , e raios e , respectivamente. Assim, a distância de a é dada

por .

Posições relativas entre duas circunferências:

e são tangentes (externamente)

e são tangentes (internamente)

e são secantes

e não se interceptam (externamente)

e não se interceptam (internamente)

e não se interceptam (concêntricas)

Exercício 3.17: Determine as posições relativas entre as circunferências em cada

caso: a) e ; b)

e ; c) e

.

3.7 Estudo das Cônicas

Equação Reduzida da Elipse de centro , e eixos de comprimento e :

.

Exemplo: A elipse tem centro , e eixos de comprimento

e .

Distância Focal na Elipse: , com .

Exemplo: A distância focal da elipse é , com

, ou seja a distância focal desta elipse é igual a .

Focos na Elipse: , se , e , se .

Exemplo: Na elipse , como , então

.

Excentricidade de uma Elipse: , se e , se .

Exemplo: A excentricidade da elipse é .

Exercício 3.18: Determine o centro, os focos e a excentricidade das elipses dadas: a)

; b) ; c) .

Equação Reduzida da Hipérbole de centro e distância entre os vértices :

.

Exemplo: é a hipérbole de centro e distância entre os

vértices .

Distância Focal na Hipérbole: , com .

Exemplo: A distância focal na hipérbole é

Excentricidade de uma Hipérbole: .

Exemplo: A excentricidade da hipérbole é .

Exercício 3.19: Determine o centro, os focos e a excentricidade das hipérboles

dadas: a) ; b) ; c) .

Equação Reduzida da Parábola de vértice e reta diretriz .

.

Exemplo: é a equação da parábola de vértice e reta

diretriz , pois .

Exercício 3.20: Determine o vértice e uma equação para a diretriz nas parábolas

dadas: a) ; b) ; c) .

3.8 Respostas dos Exercícios

3.1) ; ; ; . 3.2) ; ; .

3.3) não é unitário; é unitário; é unitário. 3.4) ; ; .

3.5) ; ; . 3.6) ; ; .

3.7) ; ; . 3.8) ; ; .

3.9) e são ortogonais. 3.10) ; .

3.11) Se você conseguir voltar para a equação reduzida original, então está correto.

3.12) ; ; . 3.13) ; ; .

3.14) e ; e ; e .

3.15) Externo; externo; interno.

3.16) Tangentes; secantes; secantes.

3.17) Secantes; concêntricas; tangentes.

3.18) , , , ; , , , ; ,

, , .

3.19) , , , ; , , ,

; , , , .

3.20) , ; , ; , .

Vinicius Carvalho Beck, 2º edição, Setembro de 2011