APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

PROFESSORA: Adriane Guarienti

Disciplina: Matemática Financeira

Curso: Administração

APOSTILA DEMATEMÁTICA FINANCEIRA

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA

1. Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas

alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo.

Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar uma

operação financeira. Ela tem por objetivo estudar as diversas formas

de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de

análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de

recursos financeiros.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação

financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor

Presente ou Valor Aplicado. É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou

bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante

de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado

em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração pelo empréstimo

do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo

imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado,

quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para

adquirir seu desejo, e neste período estiver disposta a emprestar esta

quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta

abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. OProfessora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAtempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para

empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como

taxa de juros. Pode ser dito que o juro é o rendimento em dinheiro,

proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de

tempo.

Taxa de Juros é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagosou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capitalinicialmente empatado.

Ex.: Capital Inicial : $ 100Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período

a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês,ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária.

Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária équase que exclusivamente utilizada na aplicação defórmulas de resolução de problemas de MatemáticaFinanceira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 )a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmosa taxa percentual por 100:

5 % / 100 = 0.05

Montante denominamos Montante ou Capital Final de umfinanciamento (ou aplicação financeira) a soma do Capitalinicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Capital Inicial = $ 100+ Juros = $ 50= Montante = $ 150

Regimes de Capitalização quando um capital é emprestado ouinvestido a uma certa taxa por período oudiversos períodos de tempo, o montante podeser calculado de acordo com 2 regimes básicosde capitalização de juros:

Professora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA capitalização simples; capitalização composta;

Capitalização Simples somente o capital inicial rende juros, ou seja, osjuros são devidos ou calculados exclusivamentesobre o principal ao longo dos períodos decapitalização a que se refere a taxa de juros

Capitalização Composta os juros produzidos ao final de um período sãosomados ao montante do início do período seguinte e essasoma passa a render juros no período seguinte e assimsucessivamente.

comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para oprimeiro período considerado, o montante e os jurossão iguais, tanto para o regime de capitalizaçãosimples quanto para o regime de capitalizaçãocomposto;

salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados)a que se refere a taxa de juros.

No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressãoaritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime decapitalização composta o montante evolui como uma progressãogeométrica, ou seja, exponencialmente.

Fluxo de Caixa o fluxo de caixa de uma empresa, de uma aplicaçãofinanceira ou de um empréstimo consiste no conjunto deentradas (recebimentos) e saídas (pagamentos) de dinheiro ao longode um determinado período.

Diferença entre juro e taxa de juro

O juro entendido como uma remuneração do capital é sempre expresso em

valor numa determinada moeda. Ex: R$ 10,00 (dez reais); US$ 20,00

(vinte dólares), etc.


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAA taxa de juro, normalmente representada pela letra ( i ), é um índice

que aplicado sobre o capital determina sua remuneração num determinado

período de tempo (dias, meses, anos) que é representado pela letra ( T

). Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da

especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano)

10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual

a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês)

0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Observação: para simplificar as fórmulas matemáticas será usada a

forma unitária, assim, quando a taxa, por exemplo, for 5%, o ( i ) na

fórmula será substituído por 0,05.

Juro Comercial para operações envolvendo valores elevados eperíodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haverdiferença na escolha do tipo de juros a serutilizado. O juro Comercial considera o anocomercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias.

Juro Exato no cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os mesescom o número real de dias.

sempre que nada for especificado, considera-se a taxade juros sob o conceito comercial

Taxa Nominal é a taxa usada na linguagem normal, expressa noscontratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal éuma taxa de juros simples e se refere a um determinado período decapitalização.

Taxa Proporcional duas taxas são denominadas proporcionaisquando existe entre elas a mesma relação verificada para osperíodos de tempo a que se referem.


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i1 = t1

i2 t2

Taxa Equivalente duas taxas são equivalentes se fizerem com que um mesmocapital produza o mesmo montante no fim do mesmo prazo deaplicação.

no regime de juros simples, duas taxas equivalentestambém são proporcionais;

Tipos de Juros

Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou

compostos.

a) JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado

sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

b) JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a

partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro

de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a

render juros também.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros

compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com

cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras

usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda

fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é

o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto

simples de duplicatas.


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CAPÍTULO 1 - JUROS SIMPLES

Como vimos, o regime de juros será simples quando o percentual de

juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a

cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou

simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes

de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

1. Cálculo do juro simplesNo sistema de juro simples o mesmo não incide sobre o juro de períodos

anteriores. Ou seja, não há cálculo de juros sobre juros.

Fórmula para o cálculo do juro simplesProfessora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

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Onde:J = jurosC = capitali = taxaT= número de período (tempo).

Exemplos de juros simples:

1 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à

taxa de 36% a.a., durante 2 anos.

Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem seriguais).

Capital: C = R$ 40.000,00

Taxa: i = 0,36 a.a

Período: T= 2 anos

Logo: J = 40.000,00 . 0,36 . 2

Juros = R$ 28.800,00

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à

taxa de 36% a.a., durante 125 dias.

Temos:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).

Capital: C = R$ 40.000,00

Taxa: i = 0,36 a.a como 1 ano tem 360 dias, logo a taxa i = 0,36/360= 0,001 a.d.

Período: T= 125 dias

Logo: J = 40.000,00 . 0,001 . 125

Juros = R$ 5.000,00


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rendeR$3.500,00 de juros em 75 dias?

Temos imediatamente:

Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).

Juros: J = R$ 3.500,00

Taxa: i = 1,2 % a.m = 0,012 a.m como 1 mês tem 30 dias, logo a taxai = 0,012/30 = 0,0004 a.d.

Período: T= 75 dias

Logo: 3500,00 = C . 0,0004 . 75

C . 0,03 = 3500,00

C = R$ 116.666,67

4 - Calcular os juros simples de R$ 1.200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e15 dias.

Temos: Primeiro: verificar as unidades da taxa e do período (elas devem ser iguais).

Capital: C = R$ 1.200,00

Taxa: i = 0,13 a.t como 1 trimestre tem 90 dias, logo a taxa i =0,13/90 = 0,00144 a.d.

Período: T= 4 meses e 15 dias 135 dias

Logo: J = 1.200,00 . 0,00144 . 135

Juros = R$ 234,00

Exercícios de juros simples:

01)A que taxa anual um investimento renderá em 5 anos jurosequivalentes a 4/5 desse mesmo investimento? R.16% a.a

2) Durante quanto tempo R$ 22.500,00 a 4% a.m. renderá R$27.000,00 de juros? R. 2 anos e 6 meses

3) Calcular o capital que, aplicado durante 3 anos e 9 meses a4% a.m., produz R$ 8.062,50 de juros. R. R$ 4.479,16


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4) Achar o capital que rende R$ 6.696,40 de juros em 2 anos, 7meses e 24 dias a 36% a.a. R. 7019,29

5) Calcular os juros de uma aplicação de R$ 180.000,00 a 36%a.a., pelo prazo de um trimestre. R. R$ 16.200,00

6) Calcular a taxa de R$ 5.000,00 em 1 ano e 6 meses, que tenhaproduzido juros de R$ 675,00. R. 9% a.a

7) A que taxa um capital de R$ 2.500,00 em 2 anos e 6 mesespara produz juros de R$ 1.250,00? R. 20% a.a

8) Quanto tempo devo aplicar o capital de R$ 10.053,40 paraobter o montante de R$ 11.561,40 a 4,5% a.m.? R. 3 meses e 10dias

9) Se aplicarmos R$ 15.877,50 a 5,5% a.m., quanto tempo seránecessário para obtermos o capital mais os juros de R$28.539,80? R. 1 ano, 2meses e 15 dias

10) O capital de R$ 42.600,00 para produzir juros de R$46.008,00 a 6% a.m., qual é o tempo necessário? R. 1 ano e 6meses

11) Em que prazo um capital aplicado a 20% a.a., tem um aumentoque corresponde a 1 / 4 de seu valor? R. 1 ano e 3 meses.

12) Em que prazo um capital de R$ 100.000,00 a 2% a.m. obtém ummontante de R$ 164.000,0? R. 2 anos e 8 meses

13) Qual o montante que dá um capital de R$ 7.000,00 em 6 meses,à taxa de 6% a.a.? R. R$ 7.210,00

14) Em quanto tempo, um determinado capital, rendendo juros de5% a.a., duplica de valor? R. 20 anos

15) Um certo capital, foi duplicado em 10 anos a juros simples.A que taxa foi empregado? R. 10% a.a


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA2. Cálculo do MontanteAo somarmos os juros ao valor principal (Capital) temos o montante.

Montante = Capital + Juros

M = C + J

Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos)

M = C + C. i. T

Logo, colocando C em evidência, temos:

Onde:M= valor do montante J = jurosC = valor do capital i = taxaT= número de período (tempo).

Exemplos de juros simples e montante:

1 - Assim para calcularmos o Montante de R$ 100,00 ao final do terceiro

período a uma taxa de juros de 10% ao período, temos:

M = 100,00 [1 + ( 0,10. 3) ]

M = 100,00 [1 + ( 0,30)]

M = 100,00 (1,30)

M = 130,00 (R$)

2 - Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão

necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização

simples?

Objetivo: M = 2.C

Dados: i = 150 % a.a = 1,5 a.a

Fórmula: M = C (1 + i.T)

Desenvolvimento: 2C = C (1 + 1,5 T)

2 = 1 + 1,5 T


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA T = 2/3 ano = 8 meses

3 - Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa

de 10,5% a.a. durante 145 dias.

M = R$ 72.960,42 Exercícios:01- Que capital deve ser aplicado para gerar um montante de R$130,00em três meses com taxa de juro de 10% ao mês?

02- Que taxa deve ser aplicada sobre o capital de R$ 100,00 para gerarum montante de R$ 130,00 em três meses?

03- Durante quanto tempo deve ficar aplicado o capital de R$ 100,00para gerar um montante de R$ 130,00 com taxa de juros de 10% ao mês?

04- Qual o juro de um capital de R$ 500,00 aplicado por 10 meses a umataxa de 7% ao mês?(350,00)

05- Qual o juro e o montante acumulado em um ano a uma taxa de 10% aomês a partir de uma aplicação de R$ 325,00?(j = 390,00 e M = 715,00)

06- Qual o montante acumulado em 18 meses a uma taxa de 0,10% ao dia apartir de um principal de R$ 1.000,00?(1.540,00)

07- Qual o montante acumulado em 120 dias a uma taxa de 24% ao ano apartir de um principal de R$ 5.000,00?(5.400,00)

08- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 970,00daqui a três semestres a uma taxa de 5% ao mês?(510,52)

09- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 1.070,00daqui a três anos a uma taxa de 0,7% ao mês? (854,63)

10- Qual o capital necessário para se obter um montante de R$ 2.000,00daqui a 18 meses a uma taxa de 7,5% ao ano?(1.797,75)


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11- Qual o juro simples recebido em uma aplicação de R$ 5.000,00 a umataxa de 2% ao mês pelo período de 15 dias?(50,00)

12- Foi efetuado um único deposito de R$ 570,00 em uma aplicaçãofinanceira. Após dois anos seu saldo era de R$ 775,20. Qual a taxa dejuro recebida? (1,5% am) 13- A que taxa devemos aplicar um capital de R$ 100,00 para que eleduplique em 20 meses?(5% ao mês)

14- Fizemos uma dívida de R$ 10.000,00 para aquisição de um automóvel.Não foi efetuado nenhum pagamento e após 5 meses ela estava emR$15.000,00. Qual a taxa de juro cobrada? (10% am)

15- Durante quanto tempo devemos aplicar um capital para que elequadruplique de valor a uma taxa de 10% a.m?(30 meses) 16- Uma pessoa emprega seu capital a 8% a.a. e, no fim de 3 anos e 8meses, recebe capital e juros reunidos no valor de R$ 38.800. Qual ocapital empregado? R. R$ 30.000,00

17- Qual o capital que depois de 8 meses, à taxa de 11 1/2%a.a. , dáum montante de R$ 12.920,00? R. R$ 12.000,00

18- No fim de 3 anos, à 9% a.a., o capital acumulado foi de R$2.540,00. Qual foi o juro e qual era o capital inicial? R R$2.000,00 e R$ 540,00

19- Achar o capital que, empregado a juros simples, à taxa de 2/5%a.m., produz, no fim de um ano, 3 meses e 5 dias, o montante de R$159.100,00. R. 150.000

20- Uma pessoa empregou certo capital a 6% a.a. . Depois de um ano emeio, retirou capital e juros e empregou tudo a 8% a.a., retirando nofinal de dois anos e meio, o montante de R$ 26.160,00. Determinar ocapital inicial. R. R$ 20.000,00

21- Por quanto tempo se deve empregar um capital para que, à taxa de10% a.a., o montante seja igual ao triplo deste capital? R. 20 anos


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA22- A que taxa se deve colocar R$ 800,00, em 2 anos, para render88,00 de juros? R. 5,5%

CAPÍTULO 2 - DESCONTOS SIMPLES

Desconto é o abatimento que um título de crédito (cheque,

duplicata, nota promissória) recebe por ser liquidado antes de seu

vencimento.

Um título possui um valor, chamado Valor Nominal, a ele declarado, que

corresponde ao seu valor no dia do vencimento. Antes disso, o titulo

pode ser resgatado por um valor menor que o nominal, sendo denominado

Valor Atual ou Valor Presente.

Então, para cálculo do desconto é importante saber:

Valor Nominal (N) é o Valor impresso no título. É o que ele

valerá no vencimento.

Valor atual (A) é o valor pelo qual o título pode ser pago

antecipadamente. Naturalmente é um valor menor que o (N),

pois se o mesmo for liquidado antecipadamente, ele terá um

desconto (d).

Dessa forma o Desconto (d) é igual ao Valor Nominal (N) menos o Valor atual (A)pelo qual o título pode ser pago antecipadamente.

d = N -

A

Chama-se Desconto Simples o calculado sobre um único valor do título

(nominal ou atual). Se for calculado sobre:


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Valor Nominal ................ temos .................

Desconto Comercial (“Por fora”)

Valor Atual ..................... temos .................

Desconto Racional (“Por dentro”)

2.1 Cálculo dos Descontos Simples

2.1.1 Desconto Comercial (“Por fora”)

Esse é o tipo de desconto normalmente utilizado pelos bancos e pelo

comércio em geral. Neste tipo de desconto a base de cálculo é o valor

Nominal (N).

d = N . i . T

Onde: d = desconto Comercial (“Por fora”)N = Valor Nominal i = taxa

T= número de período (tempo).

Exemplos de desconto Comercial (“Por fora”) :

1 - Uma duplicata de R$ 100,00 foi quitada três meses antes dovencimento com taxa de desconto comercial simples de 10% ao mês. Pergunta-se:a) qual o valor do desconto?b) por quanto ela foi quitada?

Dados: Valor Nominal: N = R$ 100,00

Taxa: i = 0,10 a.m

Período: T= 3meses

a) qual o valor do desconto?

Temos: d = N . i . TProfessora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA d = 100,00 . 0,10 . 3

d = R$ 30,00 ............ Valor do desconto

b) por quanto ela foi quitada?

Logo, o Valor Atual: Temos: d = N – A

30,00 = 100,00 – A

A = R$70,00 ............ Valor atual (valor com desconto)

Podemos resolver o exercício acima utilizando o seguinte conceito:

d = N – A ............... A = N – d

A = N – N . i . T

A = N ( 1 – i . T)

b) por quanto ela foi quitada?

A = N . (1 – i . T)

A = 100. (1 – 0,10. 3)

A = 100 . (1 – 0,30)

A = 100 . (0,70) = R$ 70,00 ............... Valor atual (valor comdesconto)

a) qual o valor do desconto?

E, o Valor do desconto: d = N – A = 100,00 – 70,00 = R$ 30,00

2.1.2 Desconto Racional (“Por dentro”)

O desconto racional ou “por dentro” equivale ao juro simples

calculado sobre o valor atual do título. É denominado d´ e neste tipo

de desconto a base de cálculo é o valor Atual (A):

d´ = A . i . T como d = N – A logo, A = N – d`


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAd`= (N – d`) .i . T

d` = N.i.T – d`.i.T

d`+ d`.i.T = N.i.T

d`(1 + i.T) = N.i.T

Onde: d` = desconto Racional (“Por dentro”)N = Valor Nominal i = taxa

T= número de período (tempo).

Exemplos de desconto Racional (“Por dentro”) :

1 – Determinar o desconto racional de um título de valor nominal

equivalente a 135 u.m., pago 2 meses antes do vencimento a 1% ao mês.

Dados: Valor Nominal: N = 135

Taxa: i = 0,01 a.m

Período: T= 2meses

Temos:

Logo:

d`= 2,65 u.m

EXERCÍCIOS:1) Um título de R$ 7.300,00 é descontado por fora, em 60 dias, a 5,5% a.m.,

quanto sofre de desconto? Resp. 803

2) Qual é o desconto comercial de um título de R$ 8.000,00, a 6% a.m., em 1Professora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAano e 3 meses? Resp. R$ 7.200

3) A que taxa anual foi descontado um título de R$ 2.000,00 em 75 dias,

sabendo que houve desconto por fora de R$ 325,00? Resp. 78% a.a.

4) Um título de R$ 2.000,00, descontado por fora, a 6% a.m., que valor

líquido produz em 3 meses? Resp. R$ 1.640,

5) Qual é o líquido de uma duplicata que, descontada por fora, a 5% a.m., em

120 dias, sofreu o desconto de R$ 700,00? Resp. R$ 2.800

6) A que taxa anual um título de R$ 30.000,00, descontado 4 meses antes do

vencimento, pode produzir R$ 1.000,00 de desconto comercial? Resp. 10% a.a.

7) Em que prazo um título de R$ 9.000,00, descontado por fora, apresenta o

líquido de R$ 8.280,00 à taxa de 6% a.m.? Resp. 1 mês e 10 dias

8) Qual é o nominal de uma promissória descontada por dentro, a 6% a.a., 90

dias antes do vencimento sabendo que produziu o desconto de R$ 450,00? R: R$

30.450

9) Um título de R$ 165.000,00 sofreu o desconto racional à taxa de 12% a.a. e

ficou reduzido a R$ 150.000,00. Determinar o tempo de antecipação. Resp. 10

meses

10) Um título de R$ 2.250,00 sofreu o desconto racional, à taxa de 10% a.a.,

ficando reduzido a R$ 2.000,00. Qual foi o prazo? Resp. 1 ano e 3 meses

11) Certo título de R$ 63.600,00 sofreu um desconto por dentro ao prazo de 6

meses e foi pago com R$ 60.000,00. Qual foi a taxa anual da operação? Resp.

12% ao ano.

12) Uma duplicata de R$ 37.200,00 sofreu um desconto por dentro de R$

1.200,00. Sabendo-se que o tempo foi de 5 meses, que taxa anual foi utilizada

para o desconto? Resp. 8% ao ano.


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA13) Um título descontado 27 dias antes do vencimento a 4,5% a.m., produz R$

583,85 de desconto racional. Determinar o valor nominal. Resp. R$ 15.000

2.2 Relações entre a Taxa do Juro e a Taxa do Desconto

Comercial

2.2.1 Cálculo da Taxa do juro em função da taxa de desconto e do prazo

do vencimento do título

Onde: ij = Taxa de Juros

id = Taxa de descontos

Exemplo: 1 – Qual a taxa que produz juros equivalentes ao desconto

comercial de 2% ao mês, pelo prazo de 5 meses?

Dados: Taxa de descontos: id = 0,02 a.m

Período: T= 5meses

Temos:

Logo: ou ij = 2,22 % a.m

2.2.2 Cálculo da Taxa do desconto em função da taxa do juro e do prazo

do vencimento do título

De forma inversa, quando se sabe a taxa de juros simples pode ser

calculada a taxa de desconto comercial simples equivalente a essa taxa

de juros com a seguinte fórmula:

Onde: ij = Taxa de Juros

id = Taxa de descontos


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Exemplo: Qual a taxa de desconto comercial simples equivalente à taxa de

juros simples de 5% a.m. num período de 9 meses?

Dados: Taxa de juros: ij = 0,05 a.m

Período: T= 9 meses

Temos:

Logo:

id = 0,03448 ou 3,448% a m

Assim, a taxa de juros simples de 5% a.m. equivale à taxa de desconto

comercial simples de 3,448% a.m. com antecipação de 9 meses.

EXERCÍCIOS: 1) Calcular a taxa mensal que produz juros equivalentes ao desconto comercial

de 5% a.m., pelo prazo de 90 dias. Resp. 5,88% ao mês

2) Determinar a taxa trimestral que produz juros equivalentes ao desconto

comercial de 12% ao trimestre, durante 6 meses. Resp. 15,79% ao trimestre

3) Qual é a taxa mensal de juros equivalentes ao desconto comercial de 5%

a.m., pelo prazo de 60 dias? Resp. 5,55% ao mês

4) Calcular a taxa semestral de desconto comercial equivalente aos juros de

14% a.s., pelo prazo de 1 ano. Resp. 10,94% a.s.

5) Encontrar a taxa mensal de desconto equivalente ao juro de 6% a.m., pelo

período de 120 dias. Resp. 4,839% a.m

6) Que taxa mensal de juros se torna equivalente ao desconto comercial de 5%


20

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAa.m., durante 4 meses. Resp. 6,25% a.m.

7) Calcular a taxa mensal de juro equivalente a 3,85% a.m., correspondente ao

desconto por fora durante 8 meses. Resp. 5,563% a.m.

8) Certa pessoa emprega metade de seu capital a juros, durante 2 anos, à taxa

de 5% a.a., e metade durante 3 anos, à taxa de 8% a. a. obtendo assim,

rendimento total de R$2.040. Qual o seu capital? Resp. 12.000

Capital, Taxa e Prazo Médios

em alguns casos podemos ter situações em que diversos capitais sãoaplicados, em épocas diferentes, a uma mesma taxa de juros, desejando-sedeterminar os rendimentos produzidos ao fim de um certo período.Em outras situações, podemos ter o mesmo capital aplicado a diferentestaxas de juros, ou ainda, diversos capitais aplicados a diversas taxas por períodosdistintos de tempo.

Capital Médio (juros de diversos Capitais) é o mesmo valor de diversoscapitais aplicados a taxas diferentes porprazos diferentes que produzem a MESMAQUANTIA DE JUROS.

Cmd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in

nn

i1 n1 + i2 n2 + i3 n3 + ... + in nn

Taxa Média é a taxa à qual a soma de diversos capitais deve ser aplicada,durante um certo período de tempo, para produzir juros iguais àsoma dos juros que seriam produzidos por diversos capitais.

Taxamd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn


21


C1 n1 + C2 n2+ C3 n3 + ... + Cn nn

Prazo Médio é o período de tempo que a soma de diversos capitais deveser aplicado, a uma certa taxa de juros, para produzirjuros iguais aos que seriam obtidos pelos diversos capitais.

Prazomd = C1 i1 n1 + C2 i2 n2 + C3 i3 n3 + ... + Cn in nn

C1 i1 + C2 i2+ C3 i3 + ... + Cn in

Montante é o CAPITAL acrescido dos seus JUROS.

M = C ( 1 + i x n )

a fórmula requer que a taxa i seja expressa na formaunitária;

a taxa de juros i e o período de aplicação n devemestar expressos na mesma unidade de tempo;

Desconto Simples quando um título de crédito (letra de cambio,promissória, duplicata) ou uma aplicação financeira éresgatada antes de seu vencimento, o título sofre umABATIMENTO, que é chamado de Desconto.

Valor Nominal: valor que corresponde ao seu valor no dia do seuvencimento. Antes do vencimento, o título pode ser resgatadopor um valor menor que o nominal, valor este denominado devalor Atual ou valor de Resgate.

Desconto Comercial também conhecido como Desconto Bancário ou “por fora”, é quando o desconto é calculado sobre o VALOR NOMINAL de um título.


22


pode ser entendido como sendo o juro simplescalculado sobre o valor nominal do título;

Dc = N x i x n

Onde:

Dc = Desconto Comercial

N = Valor Nominal

i = Taxa de juros

n = Período considerado

Ex.: Uma promissória de valor nominal de $ 500 foi resgatada 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de 8 % a.a.. Qual o valor do Desconto ?

N = $ 500i = 8 % a.a. = 0.08 Dc = N . i . nn = 4 meses = 4/12 Dc = 500 . 0.08 . 4/12Dc = ? Dc = $ 13,33

Valor Atual o Valor Atual (ou presente) de um título é aqueleefetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate,ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominalmenos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferençaentre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

Vc = N - Dc

Ex.: Um título de crédito no valor de $ 2000, com vencimento para 65 dias, é descontado à taxa de 130 % a.a. de desconto simples comercial. Determine o valor de resgate (valor atual)do título.


23


N = $ 2000 Dc = N . i . n = $ 2000 . 1.30 . 65/360n = 65 dias = 65/360 Dc = $ 469,44i = 130 a.a. = 1.30Dc = ? Vc = N – Dc = $ 2000 - $ 469,44Vc = ? Vc = $ 1.530,56

Desconto Racional o desconto racional ou “por dentro” corresponde ao juro simples calculado sobre o valor atual (ou presente) do título. Note-se que no caso do desconto comercial, o desconto correspondia aos juros simples calculado sobre o valor nominal do título.

Dr = N x i x n ( 1 + i x n )

Ex.: Qual o desconto racional de um título com valor de face de $ 270, quitado 2 meses antes de seu vencimento a 3 % a.m. ?

N = $ 270 Dr = N . i . n / (1 + i . n)

n = 2 meses Dr = $ 270 . 0.03 . 2 / (1 + 0.03 . 2)

i = 3 a.m. = 0.03 a.m. Dr = $ 16,20 / 1.06

Dr = ? Dr = $ 15,28

Valor Atual Racional é determinado pela diferença entre o valor nominal N e o desconto racional Dr

Vr = N - Dr


24

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAEQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Capitais Diferidos quando 2 ou mais capitais (ou títulos de crédito, certificados

de empréstimos,etc), forem exigíveis em datas diferentes,

estes capitais são denominados DIFERIDOS.

Capitais Equivalentes por sua vez, 2 ou mais capitais diferidos serão

EQUIVALENTES, em uma certa data se, nesta data, seus valores

atuais forem iguais.

Equivalência de Capitais p/ Desconto Comercial

Chamando-se de Vc o valor atual do desconto comercial de um título num instante n’ ede V’c o de outro título no instante n’, o valor atual destes títulos pode ser expresso comosegue:

Vc = N ( 1 – i.n ) e V’c = N’ ( 1 – i . n’ )

Para que os títulos sejam equivalentes, Vc deve ser igual a V’c, então:

N’ = N ( 1 – i x n)

1 – i x n’

onde:N’ = Capital EquivalenteN = Valor Nominaln = período inicialn’ = período subseqüentei = taxa de juros


25


Ex.: uma promissória de valor nominal $ 2000, vencível em 2 meses, vai ser

substituída por outra, com vencimento para 5 meses. Sabendo-se que estes títulos podem

ser descontados à taxa de 2 % a.m., qual o valor de face da nova promissória ?

$ 2.000 N’

N’ = ? ] ] ] ] ] ]

N = $ 2.000 0 1 2 3 4 5

n’ = 5 meses

n = 2 meses

I = 2 % a.m. = 0,02 a.m.N’ = N (1 – i . n) / 1 – i . n’ = 2.000 (1 – 0.02 . 2) / (1 – 0.02 . 5)

N’ = $ 2.133

Equivalência de Capitais p/ Desconto Racional Para se estabelecer a equivalência de capitais diferidos em se tratando de desconto

racional, basta lembrar que os valores atuais racionais dos respectivos capitais devemser iguais numa certa data.

Chamando-se de Vr o valor atual do desconto comercial de um título na data n’ e de N ovalor nominal deste título na data n, e de V’r o valor racional atual de outro título nadata n’, e de N’ o valor nominal do outro título na data n’, temos:

Vr = N / ( 1 + i.n ) e V’r = N’ / ( 1 + i . n’ )


26

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAPara que se estabeleça a equivalência de capitais devemos ter Vr = V’r, logo:

N’ = N ( 1 + i x n’ )

1 + i x n

onde:N’ = Capital EquivalenteN = Valor Nominaln = período inicialn’ = período subseqüentei = taxa de juros

Ex.: qual o valor do capital disponível em 120 dias, equivalente a $ 600, disponível em

75 dias, `a taxa de 80 % a.a. de desconto racional simples ?

N $ 600 N’ = ?

] ] ] ]

0 75 120

Vr 75

Vr 120

Vr 75 = ?

Vr 120 = ?

n = 75 dias


27

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAn’ = 120 dias

i = 80 % a.a. = 0.80 a.a. = 0.80/360 a.d.

Como Vr 75 = Vr 120, temos N’ = 600 . ( 1 + 0.80/360 . 120) / (1 + 0.80/360 . 75)

N’ = $ 651,28

1. JUROS COMPOSTOS Conceito: No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a

taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados

a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este

montante, capital mais juros, a render novos juros no período

seguinte.

Juros Compostos são aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre

o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados

até o período anterior


28

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRACálculo do Montante vamos supor o cálculo do montante de um capital de

$ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4

meses.

CAPITAL ( C ) Juros ( J )Montante

( M )

1º Mês 1.000 100 1.100

2º Mês 1.100 110 1.210

3º Mês 1.210 121 1.331

4º Mês 1.331 133 1.464

Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão(1 + i) é elevada à potência correspondente.

S = P ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes

P = Principal ou Capital Inicial

i = taxa de juros

n = nº de períodos considerados

a taxa de juros i e o período de aplicação n devemestar expressos na mesma unidade de tempo;

Ex.: Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m.,

para retirar no final deste período. Quanto irá retirar ?

S = ?


29

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA0 i = 8 % a.m.

$ 800 n = 3

Dados: Pede-se: S = ?P = $ 800n = 3 mesesi = 8 % a.m. = 0.08 a.m.

S = P (1 + i ) n = 800 x (1 + 0.08) 3 = 800 x (1.08) 3

S = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08 S = $ 1.007,79

Valor Atual Considere-se que se deseja determinar a quantia P que deve ser investida à

taxa de juros i para que se tenha o montante S, após n períodos, ou seja,

calcular o VALOR ATUAL de S.

- Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para

encontrarmos o valor atual

P = S / ( 1 + i ) n

Onde:

S = Soma dos Montantes

P = Principal ( VALOR ATUAL )

i = taxa de juros

n = nº de períodos considerados


30


Interpolação Linear é utilizada para o cálculo do valor de ( 1 + i ) n , quando o valor

de n ou de i não constam da tabela financeira disponível para

resolver o problema.

a interpolação é muito utilizada quando se trabalha com taxas de juros“quebradas” ou períodos de tempo “quebrados”. Ex.: taxa de juros de 3.7% a.m. ou 5 meses e 10 dias

Como a tabela não fornece o valor da expressão ( 1 + i ) n para números“quebrados”, devemos procurar os valores mais próximos, para menos e paramais, e executarmos uma regra de três, deste modo:

Ex.: Temos que calcular o montante de um principal de $ 1.000 a uma taxa de juros de 3.7 %

a.m., após 10 meses, a juros compostos.

A tabela não fornece o fator ( 1 + i ) n correspondente a 3.7 %, mas seu valor

aproximado pode ser calculado por interpolação linear de valores fornecidos na tabela.

Procuramos, então, as taxas mais próximas de 3.7 %, que são 3 % e 4 %. Na linha

correspondente a 10 períodos (n), obtêm-se os fatores correspondentes a ( 1 + i ) n que são,respectivamente, 1.343916 e 1.480244. Procedemos, então, a uma regra de três para encontrarmos o fator referente a 3.7 %: para um acréscimo de 1 % ( 4% - 3% ) temos um acréscimo de 0.136328 (1.480244 –

1.343916);

para 0.7 % de acréscimo na taxa, o fator ( 1 + i ) n terá um acréscimo de x. Portanto:

1 % --------------- 0.1363280.7 % ------------- xx = 0.09543

- Somando-se o valor encontrado (0.09543) ao do fator ( 1 + i ) n correspondente à taxa de 3 % (1.343916), teremos o fator (1.439346) correspondente à taxa de 3.7 %.

- Voltando à solução do problema, temos: S = 1.000 x 1.439346 S = $ 1.439,34

TAXAS PROPORCIONAIS


31

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente,

trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando serefere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:

juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;

juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;

juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;

Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n éfeito com a TAXA PROPORCIONAL. Dessa forma: Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s.

1 ano = 2 semestres 30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.

Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t.

1 ano = 4 trimestres 20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.

Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m.

1 ano = 12 meses 12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.

Ex.: Qual o montante do capital equivalente a $ 1.000, no fim de 3 anos, com juros de 16 %, capitalizados trimestralmente ?

Dados:P = 1.000i = 16 % a.a. = 4 % a.t. = 0.04 a.t.n = 3 anos = 12 trimestres

S = P . (1 + i ) n

S = 1.000 . (1 + 0.04 ) 12

S = 1.000 x (1.601032) S = $ 1.601,03

TAXAS EQUIVALENTES

São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que levamum capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período detempo.


32

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos de tempo

diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmointervalo de tempo.

Temos, então:

C = ( 1 + ie ) n , onde: ie = taxa de juros equivalente

Ck = ( 1 + ik ) nk , onde: ik = taxa de juros aplicada

- Como queremos saber a taxa de juros equivalente (ik), para um mesmo capital,

temos:

C = Ck ( 1 + ie ) n = ( 1 + ik ) nk

Então: ie = ( 1 + ik ) k - 1

- Esta fórmula é utilizada para, dada uma taxa menor (ex.: dia, mês, trimestre), obter a taxa maior equivalente (ex.: semestre, ano).

Ex.: Qual a taxa anual equivalente a 10 % a.m. ?

ik = 10 % a.m. = 0.1 a.m. ie = ?

k = 1 ano = 12 meses

ie = ( 1 + ik ) k – 1 = (1 + 0.1) 12 - 1 = 2.138428

ie = 2.138428 ou transformando para taxa percentual ie = 213,84 %

TAXAS NOMINAL e EFETIVA (ou REAL)

No regime de juros simples, as taxas são sempre EFETIVAS. Para melhor compreensãodos conceitos de Taxa Nominal e Taxa Efetiva, no sistema de juros compostos, vamosconsiderar os seguintes enunciados:


33

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA1. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos à

taxa de 10 % a.a., com capitalização anual, durante 2 anos ?

Solução: Tal enunciado contém uma redundância, pois em se tratando de uma taxa

anual de juros compostos, está implícito que a capitalização (adição de juros ao

Capital), é feita ao fim de cada ano, ou seja, é anual. Elaborado visando o aspecto

didático, este enunciado objetivou enfatizar que a taxa efetivamente considerada é a

de 10 % a.a., ou seja, que a taxa de 10 % é uma TAXA EFETIVA.

2. Qual o montante de um capital de $ 1.000, colocado no regime de juros compostos, à

taxa de 10 % a.a., com capitalização semestral, durante 2 anos ?

Solução: Este segundo enunciado também apresenta uma incoerência, pois sendo

uma taxa anual, os juros só são formados ao fim de cada ano e, portanto,

decorridos apenas 1 semestre, não se terão formados ainda nenhum juros e, por

conseguinte, não poderá haver capitalização semestral.

Portanto, na prática costuma-se associar o conceito de TAXA NOMINAL ao de

TAXA PROPORCIONAL

Assim, se a taxa de juros por período de capitalização for i e se houver N períodos de

capitalização, então a TAXA NOMINAL iN será:

IN = N x i

O conceito de TAXA EFETIVA está associado ao de taxa equivalente. Assim, a taxa

efetiva ie pode ser determinada por equivalência, isto é, o principal P, aplicado


34


a uma taxa ie, durante um ano, deve produzir o mesmo montante quando aplicado à

taxa i durante n períodos.

i = ( 1 + ie) 1/n - 1

Ex.: Vamos supor $ 100 aplicados a 4 % a.m., capitalizados mensalmente, pelo prazo de1 ano. Qual a taxa nominal e a taxa efetiva.

a) Taxa Nominal

IN = N x i 12 x 0.04 = 0.48 IN = 48 % a.a. Taxa Nominalb) Taxa EfetivaP = $ 100 S = P (1 + i) n

S = ?i = 4 % a.m. = 0.04 a.m. S = 100 x ( 1 + 0.04) 12

n = 12 meses S = 100 x 1.60103S = $ 160,10

Logo, J = 160,10 – 100 J = $ 60,10, que foi produzido por $ 100; então:

ie = 60,10 % a.a.

A taxa equivalente também poderia ser determinada pela fórmula:

i = ( 1 + ie) 1/n - 1

ie = ( 1 + i)n - 1 = (1 + 0.04)12 – 1 = 1.60103 – 1 = 0.60103

ie = 0.6010 transformando-se para a forma percentual, temos:

ie = 60,10 % a.a.

CAPITALIZAÇÃO EM PERÍODOS FRACIONÁRIOS


35

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA No regime de capitalização composta, os juros são capitalizados ao final de um período

inteiro de capitalização (mês, ano, bimestre, semestre, etc). Dentro deste conceito, qualo tratamento a ser dado para os períodos não inteiros de umaoperação? Nestas situações pode ser adotada a CONVENÇÃO LINEAR ou aEXPONENCIAL.

CONVENÇÃO LINEAR

Por esta convenção, calcula-se o montante a juros compostos do número deperíodos inteiros. Ao montante obtido, adicionam-se os juros simples a elecorrespondente no período fracionário.

Denominando-se de t + p / q o prazo total; de t, o número de períodos inteiros,e de p / q uma fração desse período, para calcular o montante S, atingido pelocapital P, na taxa i, ao fim de t + p / q períodos, temos:

S = P . ( 1 + i )n + P ( 1 + i )n . i . p / q

Juros compostos juros simples nas frações de períodos

Nos períodos inteiros (taxa proporcional)

S = P ( 1 + i ) n . ( 1 + i . ( p / q ) )

Ex.: Dado um capital de $ 100.000, aplicado a juros compostos durante 3 anos e 2 meses, à taxa de 12 % a.a., capitalizados anualmente, calcular S, pela conversão linear.

Dados:P = $ 100.000 Pede-se: S = ?i = 12 % a.a. = 0.12 a.a.n = 3 anos S = P (1 + i)n . (1 + i . p/q)p / q = 2 meses = 1 / 6 ano S = 100.000 (1+0.12)3 (1+0.12 . 1/6)

S = $ 143.302,66

CONVENÇÃO EXPONENCIAL


36

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Na convenção exponencial, o capital renderá juros compostos durante todo o

período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notarque, nos períodos fracionários, o cálculo é efetuado pela taxaequivalente. Assim, temos:

S = P ( 1 + i ) n( + p / q)

Ex.: Um capital de $ 135.000 foi aplicado a juros compostos de 12.6825 % a.a. ,

capitalizados anualmente, durante um prazo de 2 anos e 3 meses. Calcular S pela

convenção exponencial.

Dados:

P = $ 135.000 Pede-se: S = ?

n = 2 anos = 24 meses

p / q = 3 meses

n + p/q = 24 + 3 = 27 meses

i = 12.6825 % a.a. = ? a.m.

- Antes de resolver a questão, devemos ter a taxa e o período de capitalização numaúnica unidade de tempo, isto é, homogeneizados. Como temos a taxa anual,vamos determinar a taxa mensal equivalente. Temos:

Dados:

P = $ 100 Pede-se: i = ?

S = $ 112,6825


37


n = 12 meses S = P ( 1 + i )n

112,6825 = 100 ( 1 + i )12

( 1 + i )12 = 1.126825

- consultando a tabela de ( 1 + i )n, a taxa correspondente ao fator 1.1268, para n =12, obtém-se i = 1 %. Como n está expresso em meses, a taxa será de 1 % a.m.Voltando ao problema, temos:

S = P ( 1 + i ) n ( + p / q) = 135.000 ( 1 + 0.01) 27

- Como a tabela de ( 1 + i ) n para i = 1 e n = 18, obtém-se 1.196147 e para n = 9, obtém-

se 1.093685, logo:

S = 135.000 x (1.196147) x (1.093685) => S = $ 176.608,13

ATENÇÃO: Ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o

primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se

vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Definido que será a

LINEAR, deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da

capitallização no período fracionário. Caso definido que será empregada a

EXPONENCIAL, será utilizada a taxa equivalente.

DESCONTOS COMPOSTOS

Corresponde à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cadaperíodo de capitalização.


38


DESCONTO RACIONAL COMPOSTO

O desconto racional composto é calculado sobre o valor atual(presente) de um título, utilizando-se do regime de capitalização composta.Dessa forma, o desconto racional composto (real, ou racional, ou “pordentro”) pode ser entendido como sendo os juros compostos calculados sobre o valorpresente (ou atual) de um título. Em outras palavras, a taxa de desconto, aplicadasobre o valor atual, resulta no valor futuro( ou nominal ) do título.

Dr = S . ( 1 + i ) n - 1

( 1 + i ) n

Ex.: O valor do desconto real de uma nota promissória, que vence em 36 meses, é de $

11.318,19. Admitindo-se que é utilizada uma taxa de 2 % a.m. de desconto racional, qual o

valor nominal do título ?

Dados:

D = $ 11.318,19 Pede-se: S = ?

i = 2 % a.m. = 0.02 a.m.

n = 36 meses

- Aplicando-se a fórmula, encontramos:

11.318,19 = S x (1 + 0.02)36 – 1 / ( 1 + 0.02) 36 S = $ 22.202,19


39

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAEQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Trabalhando-se no regime de capitalização simples, a equivalência de capitaisocorre quando dois ou mais capitais diferidos (exigíveis em datas diferentes)descontados (comercialmente ou racionalmente), possuem o mesmo valor atualna data “zero”.

No sistema de capitalização composta usual (juros compostos e desconto racionalcomposto), a EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS pode ser feita na data zero (valor atual) ouem qualquer outra data, vez que os juros compostos são equivalentes aosdescontos compostos.Ex.: Considere uma dívida de $ 2.000 no final de 3 meses, a uma taxa de juros

compostos de 10 % a.m. Quanto seria o valor do capital da data de hoje?

Capital A = ?

Capital B = $ 2.000 capital B = Capital A

i = 10 % a.m. = 0.10 a.m. 2.000 = capital A ( 1 + 0.10) 3

n = 3 meses 2.000 = capital A ( 1.1 x 1.1 x 1.1)

Capital A = 2.000 / 1.331 C = $ 1.502,63

RENDAS CERTAS

Denomina-se Renda o conjunto de 2 ou mais pagamentos, ocorridos em

épocas distintas, OBJETIVANDO a formação de um capital ou o pagamento

de uma dívida.


40

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRATermos os pagamentos (prestações ou depósitos) são os termos da Renda.

Montante da Renda quando a renda for destinada à formação de um capital, este

CAPITAL será denominado de Montante da Renda.

Valor Atual da Renda se o objetivo da renda for o pagamento de uma dívida, O VALOR

DA DÍVIDA será designada por Valor Atual da Renda.

Graficamente, temos:

S

0 1 2 3 4

|

R R R

Onde: S = Montante de uma Renda com 3 termos (depósitos)

P

0 1 2 3

|

R R R

Onde: P = Valor Atual ou presente de uma Renda com 3 termos (Pagamentos)


41

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA As Rendas podem ser classificadas em função de:

a) possibilidade de se estabelecer previamente o número de termos de uma renda,seus vencimentos e respectivos valores.

Nas Rendas Certas, o número de termos, seus vencimentos erespectivos valores podem ser previamente calculados.

Ex.: as prestações necessárias para pagar uma compraa prazo.

As rendas aleatórias são aquelas em que pelo menos um doselementos da renda (número de termos, vencimentos, valores) não podeser previamente estabelecido.

Ex.: pagamento de uma pensão vitalícia.

b) Duração, periodicidade e valores dos termos.

Por este critério as rendas podem ser classificadas em: Temporárias - são as rendas em que o número de termos é finito e a renda

tem um termo final. Ex.: venda de um carro financiado em 15 parcelas;

Perpétuas – são as rendas em que o número de termos é infinito. Ex.: direitos autorais

Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre pagamentos éconstante.

Ex.: Aluguéis mensais; Não – Periódicas – são aquelas em que a freqüência entre os pagamentos

não é constante. Ex.: venda de um bem a prazo, com pagamento de uma parcela no ato,

a 2ª com 30 dias e 3ª com 50 dias. Constantes - são aquelas em que todos os pagamentos são de um mesmo

valor Ex.: financiamento de um veículo em 5 parcelas mensais, iguais e

consecutivas; Variáveis – são aquelas em que os pagamentos não são do mesmo valor.

Ex.: parcelas de um consórcio.

c) Vencimento dos termos quanto ao vencimento dos termos as Rendas podem se classificar em: rendas imediatas – (ou postecipadas) - quando os pagamentos ocorrem no

fim de cada período (convenção de fim de período do fluxo de caixa) rendas antecipadas - quando os pagamentos ocorrem no início de cada

período; rendas diferidas – quando o pagamento (ou recebimento) dos termos passa

a ocorrer após determinado período de tempo (prazo de carência)


42


1. RENDAS IMEDIATAS

Valor Atual de uma Renda Imediata o valor atual (ou presente) de uma renda

equivale ao valor de uma dívida (empréstimo,

valor à vista de um bem) que será pago em

prestações.

1 2 3 4 ..... n

Renda imediata 0

R R R R R

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n

Onde:

P = Capital

R = Renda ou Prestação

i = Taxa de jurosProfessora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

43


n = Períodos

Ex.:Qual o valor da prestação mensal de um financiamento de $ 250,000, em 5 parcelas, à uma taxa de 5 % a.m. ?

Dados:P = $ 250.000 Pede-se: R = ?n = 5 meses

i = 5 % a.m. = 0,05 a.m. P = R .( (1 + i)n - 1) / i . (1 + i) n

250,000 = R . ((1 + 0,05)5 – 1) / 0,05 . (1 + 0,05)5 .250,000 = R . (1,276281 – 1) / (0,05 . 1,276281)

R = (250,000 x 0,063814) / 0,276281 R = $ 57.743,70

Montante de Rendas Imediatas O montante de uma renda imediata corresponde à

soma dos depósitos (termos) individuais, durante n

períodos, a uma taxa i de juros.

devemos lembrar que o valor presente da série de n termos da renda, no

instante zero, deve ser EQUIVALENTE AO MONTANTE S NO INSTANTE ZERO.

S = R x ( 1 + i )n - 1

i

Onde:

S = Montante

R = Renda ou Prestação

i = Taxa de juros

n = Períodos


44

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAEx.: Se quisermos ter $ 2,000,000 daqui a 12 meses, quanto deveremos depositar mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 15 % a.m. ?

Dados:S = $ 2,000,000 Pede-se: R = ?n = 12 meses

i = 15 % a.m. = 0,15 a.m. S = R . ((1 + i)n - 1) / i

2,000,000 = R . ((1 + 0,15) 12 - 1 ) / 0,15 2,000,000 = R . 4,35025 / 0,15

R = 2,000,000 x 0,15 / 4,35025 R = $ 68,961.55

2. RENDAS ANTECIPADAS

Valor Atual de uma Renda Antecipada Nas rendas imediatas, o primeiro pagamento

ocorre no final do primeiro período e dos demais

no final dos respectivos períodos. Nas Rendas

antecipadas, o 1º pagamento ocorre no

instante zero e os demais pagamentos

ocorrem no início de cada período.

1 2 3 4 ..... n

Renda IMEDIATA 0

R R R R R

1 2 3 n


45

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRARenda ANTECIPADA 0

R R R R R

Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única

diferença é que o primeiro termo, na renda imediata, ocorre no fim do 1º período,

enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.

Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período,automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).

Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 ( e os demais para o final dosrespectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por ( 1+ i )n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta“transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma rendapostecipada.

Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas,basta dividirmos o valor encontrado para as rendas imediataspor ( 1 + i ) .

R antecipada = R imediata / ( 1 + i )

Ex.: Um apartamento é vendido à vista por $ 100,000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de2% a.m., qual o valor da Prestação ?Dados:P = $ 100,000 Pede-se: R = ? (antecipada)n = 19 mesesi = 2 % a m. = 0,02 a m.


46

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRASolução: Primeiramente, calculemos o valor das prestações caso o produto fosse vendido sem entrada, com a 1ª prestação somente no final do 1º período.

P = R . ((1 + i)n – 1) / (i . ( 1 + i)n 100,000 = R . ((1,02)19 – 1) / (0,02 . (1,02)19 )

100,000 = R . 0,456811 / (0,02 . 1,456811) 100,000 = R . 0,456811 / 0,029136

R = 100,000 x 0,029136 / 0,456811 R = $ 6.378,13 (imediata)

R (antecipada) = $ 6.378,13 / (1 + 0,02) R = $ 6.253,07 (antecipada)

Montante de Rendas Antecipadas A exemplo dos valores atuais de rendas

imediatas e antecipadas, o MONTANTE DE UMA

RENDA ANTECIPADA irá diferir do montante de

uma renda imediata (ou postecipada) no

tocante à ocorrência do 1º depósito.

Portanto, para encontrarmos o valor do montante antecipado,basta dividirmos o valor encontrado para o montante imediatopor ( 1 + i ) .

S antecipada = S imediata / ( 1 + i )

Ex.: Quanto devo depositar mensalmente num fundo de investimento que paga 4 % a m., para que, no fim de 10 meses, não ocorrendo nenhum resgate, possa dispor de $ 150,000, supondo o 1º depósito na data zero, e o total de 10 depósitos ?Dados:S = $ 150,000 Pede-se: R = ?n = 10 mesesi = 4 $ a m. = 0,04 a.m.Solução: Primeiramente, calculemos o valor dos depósitos caso o primeiro fosse feito não na data zero, mas 30 dias após, ou seja, no final do 1º período.


47


S = R . ((1 + i)n - 1) / i 150,000 = R . ((1 + 0,04)10 – 1) / 0,04

150,000 = R . (1,04)10 – 1) / 0,04 150,000 = R . (1,480244 – 1) / 0,04

150,000 = R . 0,480244 / 0,04 R = 150,000 x 0,04 / 0,480244

R = $ 12.493,65 (imediata) R antecipada = R imediata / 1 + i

R antecipada = 12.493,65 / 1,04 R = $ 12.013,12 (antecipada)

3. RENDAS DIFERIDAS

Valor Atual de Rendas Diferidas As rendas diferidas são aquelas em que os pagamentos

ou depósitos passam a ocorrer após um certo prazo,

prazo este denominado prazo ou período de carência.

P renda de 5 termos, c/ 3 períodos de

Carência.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

R

o cálculo do valor atual de uma renda diferida pode ser decomposto em 2 etapas:

1ª etapa: cálculo do valor presente da renda até o final do período de carência;

2ª etapa: cálculo do valor presente, NA DATA ZERO, do valor obtido no final do

período de carência.


48


cálculo da renda após a

carência

P = 1 x R x ( 1 + i )n - 1

( 1 + i )n i x ( 1 + i )n

Ex.: Qual o valor atual de uma renda de $ 100, de 3 termos mensais, com 2 meses de carência, à taxa de 6 % a m. ?

P = ? i = 6 % a m. 0 1 2 3 4 5

--- carência ------- R = 100

1ª etapa:

Dados:

R = 100 Pede-se: P2 = ?n = 3 meses

i = 6 % a m. = 0,06 a m. P = R . ((1 + i)n - 1) / i .(1 + i)n

P = 100 . ((1 + 0,06)3 – 1) / (1 + 0,06)3 P = 100 . (1,191016 – 1) / 1,191016 x 0,06

P = 100 . 0,191016 / 1,191016 x 0,06 P2 = $ 267,30

2ª etapa:

Dados: Pede-se: P = ?

P2 = 267,30 P = P2 / (1 + i)n P = $ 267,30 / (1 + 0,06)2

n = 2 mesesi = 6 % a m. = 0,06 a m. P = 267,30 / 1,1236 P = $ 237,90


49

período de carência

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAValor Atual de Rendas Perpétuas Imediatas Rendas Perpétuas são aquelas em que o

número de termos é infinito. O valor

atual de uma renda perpétua imediata

é dado pela fórmula:

P = R / i

Onde:P = Valor do CapitalR = Renda ou pagamentoI = taxa de juros

Ex.: Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia

para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de $ 2,000 por mês. Considere a

convenção de fim de período e juros de 1 % a m.

S

0 1 120 R 00

R

1ª etapa: vamos, inicialmente, calcular o valor que proporciona uma renda mensal vitalícia

de $ 2,000

P = R / i P = 2000 / 0,01 P = $ 200,000


50

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA2ª etapa: agora o problema se resume a, dado o Montante S, achar a Renda N:

Dados:

S = $ 200,000 Pede-se: R = ?

i = 1 % a m. = 0,01 a m. S = R . ((1 + i)n - 1) / i

n = 120 meses 200,000 = R . ((1 + 0,01)120 – 1) / 0,01

200,000 = R . (1,01120 – 1) / 0,01 200,000 = R . (1,01120 – 1)/ 0,01

R = 200,000 x 0,01 / (1,01120– 1) R = 2000 / 2,3003841

R = $ 869,42

Valor Atual de Rendas Perpétuas antecipadas Para calcular o valor atual de rendas

perpétuas antecipadas, basta adicionar

o termo que ocorreu no instante zero à

fórmula das rendas perpétuas

imediatas. Assim, temos:

P = R + R / i

Ex.: Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber $ 2,000 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1 % a. m.. Considerar série infinita de pagamentos antecipados.P = R + R / i P = 2000 + 2000 / 0,01 P = $ 102,000SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS


51

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Quando se contrai uma dívida, o devedor se compromete a devolver o capital

emprestado acrescido dos juros, que é a remuneração do capital. Como a remuneraçãodo capital depende do regime de juros adotados, geralmente este regime é determinadopelo prazo em que o empréstimo é efetuado.

Sistemas de Amortização de Curto Prazo Para os casos de empréstimos de curto

prazo (inferior a 1 ano) costuma-se

utilizar o sistema de juros simples,

sendo que as formas mais freqüentes de

se quitar o débito são:

a) O principal e os juros são pagos somente no final do período do empréstimo ( P +E), ou comumente chamado de “principal mais encargos no final”.

Supondo um empréstimo de $ 100,000, por 4 meses, à taxa de 10% am., temos:

M = C ( 1 + in) 100,000

M = 100,000 ( 1+ 0,1 . 4) 0 4

M = 140,000 140,000

b) Os juros devidos ao principal, pelo período total do empréstimo, são cobradosantecipadamente, ou seja, no próprio momento em que se contrai a dívida. Isto éconhecido como encargos antecipados, principal no final, e é,praticamente, a única forma de financiamento a juros simples que existe nomercado, atualmente. É o que ocorre no Desconto de Duplicatas. O comercianteentrega duplicatas com valor de face de $ 100,000, mas recebe somente $ 92.455,62.No vencimento das duplicatas, o banco recebe o seu valor de face.

100,000


52

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA0 4

7.544,38 100,000

c) Um terceiro mecanismo de amortização de empréstimo a curto prazo, é aquele em queo débito é saldado com os juros sendo pagos mensalmente e oprincipal no final do prazo do financiamento (encargos mensais,principal no final).

0 1 2 3 4

4,000 4,000 4,000 104,000

Sistemas de Amortização a Longo Prazo O regime estipulado para a remuneração de

capitais emprestados a longo prazo (mais de 1 ano), costuma ser o de juros compostos.

O método mais utilizado para o resgate de empréstimos de longo prazo é chamado de

Prestações Periódicas Constantes, ou Tabela Price.

O SISTEMA PRICE

O empréstimo é amortizado em prestações iguais e consecutivas, a partir domomento em que começam as amortizações

Como as prestações são iguais e consecutivas, durante um certo número de períodos,tais pagamentos podem ser calculados da seguinte maneira:

P = R x ( 1 + i )n - 1

i x ( 1 + i )n


53

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAEx.: ( AFRF–2002) - Uma empresa recebe um financiamento para pagar pormeio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestaçõessemestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após opagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras,a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade dedez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da novaprestação do financiamento.a) R$ 136.982,00b) R$ 147.375,00c) R$ 151.342,00d) R$ 165.917,00e) R$ 182.435,00

Solução do Prof. Francisco Velter (Site Ponto dos Concursos):A principal característica do sistema price é a de que o mutuário é obrigado a devolver os juros mais o principal em prestações periódicase constantes.Estamos, portanto, diante de três problemas para construir a planilha financeira: como obter o valor das prestações, o valor dos juros e o valor da amortização em cada prestação.Partindo do pressuposto de que a prestação é a soma do valor da amortização e dos juros, temos as três relações a seguir:

P = A + J A = P – J J = P –A

A prestação pode ser calculada pela aplicação da fórmulaseguinte:

P=

Va¸

(1 + i)n

- 1 i (1 +i)n

O valor dos juros é obtido pela multiplicação da taxa de jurosunitária (i) do período (n) pelo saldo devedor (SD) do períodoanterior (n-1).


54


J = SDn-1 x I

O valor da amortização é obtido pela diferença entre o valor daprestação e o valor dos juros.

A = P – J

O saldo devedor do período é obtido pela subtração da amortizaçãodo período (n) do saldo devedor do período anterior (n-1).

SDn = SDn-1 - An

Atenção!!!

Nas provas de concursos, as questões sobre prestações normalmenteversam sobre este tipo de amortização. Por isso vamos aprofundar oassunto com um exemplo completo e analisá-lo sob todos os aspectospossíveis, inclusive dando alguns macetes que você nunca viuantes!!!!!!!

Suponha que você queira adquirir um veículo, cujo preço à vista éde R$ 20.441,07, em 12 prestações trimestrais. A financeira propõe umataxa de juros de 40% ao ano, com capitalização trimestral. Você não dáentrada. Nessas condições, após calcular o valor de cada prestação,podemos montar a planilha financeira.

P=

Va¸

(1 + i)n- 1i (1 +i)n

Procurando na tabela o valor de an¬ i , com n = 12 e i = 10%, encontramos o valor:

6,813692. Dessa forma, o valor de P será:

P = R$ 20.441,07 / 6,813692

P = R$ 3.000,00Professora Adriane Guarienti e-mail: [email protected]

55


Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price. I = 10% a. t.

n Saldodevedor (SD)

Amortização (A)

Juros(J)

Prestação(P) m

0 20441,07 0 0 0 12

1 19485,18 955,89 2044,11 3.000,00 11

2 18433,71 1051,47 1948,53 3.000,00 10

3 17277,09 1156,62 1843,38 3.000,00 9

4 16004,80 1272,29 1727,71 3.000,00 8

5 14605,29 1399,51 1600,49 3.000,00 7

6 13065,82 1539,47 1460,53 3.000,00 6

7 11372,41 1693,41 1306,59 3.000,00 5

8 9509,66 1862,75 1137,25 3.000,00 4

9 7460,63 2049,03 950,97 3.000,00 3

10 5206,70 2253,93 746,07 3.000,00 2

11 2727,37 2479,33 520,67 3.000,00 1

12 0,10 2727,26 272,74 3.000,00 0

Conclusões:

1 - O Saldo devedor de R$ 0,10 não significa que você ficará devendo após ter pago todas as prestações e tampouco que a financeira não receberá o inicialmente pactuado, pois o valor do principal e os jurosestão calculados na prestação. Esse saldo decorre apenas do processo de arredondamento das cálculos.


56


2 – O saldo devedor teórico, imediatamente, após o pagamento da penúltima prestação é igual a amortização relativa a última prestação.Isso decorre do raciocínio natural de que quando pagamos a última prestação, estamos liquidando a nossa dívida.

3 – As prestações são, sempre, fixas.

4 – A amortização é crescente de forma não linear, isto é, cresce de forma exponencial. Com isso, ocorre uma menor amortização na fase inicial e uma maior amortização mais no final do período do empréstimo.

5 – O valor dos juros é decrescente de forma não linear, isto é, de forma exponencial.

6 – O valor da última amortização pode ser obtido da seguinte expressão:

P = A + J

Como os juros incidem sobre o valor do saldo devedor do período anterior, e como o valor da última amortização é, teoricamente, idêntico ao saldo devedor anterior, então os juros incidem sobre a própria última amortização.

CUIDADO! Esse raciocínio só é aplicável após o pagamento da penúltima prestação, isto é, vale para valores da última amortização, prestação, juros ou saldo devedor.

Nessas condições, temos que:

P = An + ( An x i )

Conferindo com o nosso exemplo, temos que:

P = R$ 3.000,00A12 = ?i = 10% ao trimestre, logo


57

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA3.000,00 = A12+ (A12 80,1) 3.000,00 = A12 + 0,1 A12 1,1 A12= 3.000,00

A12 = 3.000,00 / 1,1 A12 = R$ 2.727,27

7 – Agora, uma das grandes novidades. Você sabia que o valor A12 ou outro An qualquer, pode ser obtido pela aplicação da fórmula do montante de juros compostos?

Então veja:

A12 = A1 x (1+ i)n-1 A12= A1 x (1,1)11 A12 = 955,89 x 2,853117

A12 = 2.727,27

Assim, se você se deparar diante de uma questão de prova, em que seja solicitado o valor originário de um financiamento e a banca examinadora apresentar uma planilha financeira com somente os seguintes elementos, não se apavore, pois o trem tem solução, senão vejamos:

Planilha financeira do sistema de amortização Francês ou Price.

n Saldodevedor SD)

Amortização (A)

Juros(J)

Prestação (P) m

0 0 0 0 121 112 103 1.156,62 94 85 7

6 1.460,53 6

7 58 49 2.049,03 310 211 112 0


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Apostila de Matemática Financeira - UNIFRA Como foi visto antes, o valor de An pode ser obtido pela fórmula do montante.

Assim, o valor de A9 representa o montante de A3, com n sendo igual a 6 períodos.

O primeiro passo a executar é calcular a taxa de juros que está embutida nessa planilha. Para isso basta dividir o valor de A9 pelo valor de A3 e obteremos o valor de (1+i)6.

Uma vez obtido o valor de (1+i)6 , procuramos na tabela, na linha de 6 períodos, até encontrarmos o valor.Então:

(1+i)6 = A9 ¸ A3 (1+i)6 = 2049,03 ¸ 1156,62 (1+i)6 =1,77156,

valor encontrado na coluna de 10%, logo a taxa utilizada é de 10% aoperíodo.

Sabido a taxa, agora é só achar o valor da 6ª amortização, parasomá-la aos juros e obter o valor da prestação. Assim:

A6 = A3 x (1 + 0,1)3 A6 = 1156,62 x 1,331 A6 = 1539,46

Dessa forma o valor da prestação será:

P = A6 + J6 P = 1.539,47 + 1460,53 P = R$3.000,00

Mas, ainda não encontramos o valor do financiamento. Para isso,preciso saber o valor dos juros embutidos na 1ª prestação e esse valorobtenho pela diferença entre a prestação e o valor da amortização.Então teremos que calcular o valor da 1ª amortização:

A3 = A1 x (1,1)2 1156,62 = A1 x 1,21 A1 = 1.156,62 ¸1,21

A1 = 955,89


59

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRALogo, os juros da 1ª prestação são: J = P – A

J = 3000 – 955,89

J = 2.044,11

Finalmente podemos achar o valor do financiamento, pois sabemosque esse valor dos juros representa 10% do valor do saldo devedoranterior, ou seja, do valor do financiamento.

Dessa forma, o valor financiado é:

2.044,11 ................> 10

X ......................> 100

X = 2.044,10 x 100 ¸ 10 X = R$ 20.441,00

Dessa vocês não sabiam, sabiam???!!!!!

Também, já era hora de aparecer algo de novo que compensasse o tempoinvestido.

no sistema de amortização Francês ou Price, as prestações sãoconstantes, os juros são decrescentes de forma exponencial, aamortização é crescente de forma exponencial e o saldo devedor édecrescente.

Após este pequeno “intróito”, podemos finalmente resolver a questão daprova:

O primeiro passo é calcularmos o valor financiado, pois temos o valordas prestações, a taxa de juros e o número de períodos, não seesquecendo que o valor financiado é o próprio valor atual.

Va = P x an¬i Va = 200.000 x 6,259331 Va =1.251.866,20Podemos, agora, calcular o juro embutido na 1ª prestação:

J1 = 0,15 x 1.251.866,20 J1 = 187.779,93


60

Apostila de Matemática Financeira - UNIFRAUma vez calculado o juro, temos condições de saber o valor daamortização da 1ª prestação:

P = A + J A = P – J = 200.000,00 – 187.779,93 = 12.220,07

Agora, podemos calcular o valor da 10ª amortização:

A10 = A1 ( 1 + 0.15)9 A10 = 12.220,07 x 3,517876 = 42.988,69

Como P = A + J, o juro embutido nessa 10ª prestação é:

200.000,00 – 42.988,69 = 157.011,31

Esse juro representa 15% do Saldo Devedor do período anterior, então,o SDn-1 é:

157.011,31 ................> 15% X ................> 100% X = 1.046.742,06

Assim, o Saldo Devedor antes de pagar a 10ª prestação era de1.046.742,06.

Após o pagamento da 10ª prestação, o SD será:

SDn = SDn-1 – An SD10 = 1.946.742,06 – 42.988,69 =1.003.753,37

Esse valor será o novo valor atual para calcularmos o valor daprestação renegociada.n = 15i = 12Va = 1.003.753,37 P = ?P = Va ¸ an¬I P = 1.003.753,37 ¸ 6,810864 P = 147.375,33Portanto, a resposta correta é a letra “b”


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APOSTILA DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

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