1 Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Departamento de Ciências Exatas Apostila Laboratório de Física I Prof. Dr. Célio Wisniewski Alfenas – 2015 1. Noções gerais sobre medidas de grandezas e avaliação de incertezas 2 1.1. Medição (measurement).......................................................................................................................................................... 2 1.2. Mensurando (measurand) ....................................................................................................................................................... 2 1.3. Valor verdadeiro ou valor do mensurando .............................................................................................................................. 2 1.4. Erro (error) .............................................................................................................................................................................. 2 1.5. Incerteza (uncertainty) ............................................................................................................................................................ 2 1.5.1. Tipos de Incerteza .............................................................................................................................................................. 3 1.5.2. Limite de operação (LO) e limite de detecção (LD) .......................................................................................................... 7 1.5.3. Incertezas combinadas ....................................................................................................................................................... 5 1.5.4. Incerteza relativa (ΔXr) e Incerteza percentual (ΔX%) ...................................................................................................... 6 1.6. Acurácia ou exatidão ( accuracy ) ........................................................................................................................................... 6 1.7. Precisão ( precision)................................................................................................................................................................ 6 1.7.1. Medição de grandezas ........................................................................................................................................................ 7 1.7.2. Tipos de medidas ............................................................................................................................................................... 8 1.8. Algarismos significativos........................................................................................................................................................ 8 1.9. Propagação de incertezas ........................................................................................................................................................ 9 2. Tratamento estatístico e cálculo dos desvios 10 2.1. Peso ou média ponderada...................................................................................................................................................... 11 2.2. Comparação entre duas medidas ........................................................................................................................................... 12 2.3. Método Científico (Galileu).................................................................................................................................................. 12 3. Gráficos 13 3.1. Regras para construção de um gráfico .................................................................................................................................. 13 3.2. Critérios para traçar a reta mais provável ............................................................................................................................. 16 4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 17 4.1. Qualidade do ajuste............................................................................................................................................................... 21
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Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Departamento de Ciências Exatas
Apostila Laboratório de Física I
Prof. Dr. Célio Wisniewski
Alfenas – 2015
1. Noções gerais sobre medidas de grandezas e avaliação de incertezas 2
1.3. Valor verdadeiro ou valor do mensurando.............................................................................................................................. 2
1.9. Propagação de incertezas ........................................................................................................................................................ 9
2. Tratamento estatístico e cálculo dos desvios 10
2.1. Peso ou média ponderada...................................................................................................................................................... 11
2.2. Comparação entre duas medidas........................................................................................................................................... 12
3.1. Regras para construção de um gráfico .................................................................................................................................. 13
3.2. Critérios para traçar a reta mais provável ............................................................................................................................. 16
4. Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) 17
4.1. Qualidade do ajuste............................................................................................................................................................... 21
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1. Noções gerais sobre medidas de grandezas e avaliação de incertezas
Os trabalhos de laboratório normalmente são realizados com o objetivo de identificar, quantificar e
estabelecer possíveis relações entre duas ou mais grandezas, que intervêm em um fenômeno ou processo.
1.1. Medição (measurement)
A palavra “medição” é a recomendada para o “ato de medir”, conforme dicionário. A palavra “medida”
tem muitos significados no cotidiano, como por exemplo, “medida sócio-educativa” e deve ser evitada.
1.2. Mensurando (measurand)
Mensurando é definido como “a grandeza específica submetida à medição”, tais como volume, área,
tempo, comprimento, temperatura, etc. O mesurando pode ser único ou depender de outras grandezas
correlacionadas. Por exemplo, o volume de um paralelepípedo dependerá da medição do comprimento, da
largura e da altura do objeto.
1.3. Valor verdadeiro ou valor do mensurando
É o valor mais próximo da realidade. Normalmente é o valor da literatura para um determinado
mensurando. Por exemplo, se fizermos a medição da carga do elétron (mensurando), para fins didáticos o valor
verdadeiro será o valor conhecido da literatura. Na maior parte dos experimentos, o valor verdadeiro é
desconhecido e é o objetivo do experimento. Em alguns experimentos o objetivo é justamente melhorar o valor
conhecido da grandeza. Neste caso o que diferencia a medição do valor verdadeiro é a acurácia ou exatidão do
resultado obtido.
1.4. Erro (error)
O erro η é a diferença entre o resultado y da medição e o valor do mensurando yv (valor verdadeiro).
vy yη = −
Se o valor do mensurando é uma quantidade desconhecida, então o erro de medição também é uma
quantidade desconhecida.
1.5. Incerteza (uncertainty)
Incerteza é um conceito qualitativo definido como “parâmetro associado ao resultado de uma medição
que caracteriza a dispersão de valores que pode ser fundamentadamente atribuídos ao mensurando”. Por
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exemplo, quando fazemos a medição de tempo utilizando um relógio de ponteiros, a medição possuirá uma
incerteza de no mínimo 0,5 segundos, isto é, a metade da menor escala. Por exemplo: 35,0(5) segundos, onde o
número entre parêntesis indica a incerteza associada de 0,5 s à medição de 35,0 s.
Expressões tais como “erro aleatório”, “erro sistemático”, “incerteza aleatória” e “incerteza sistemática”
são tradicionalmente usados em física. Entretanto, esta nomenclatura não é recomendada, exceto para fins
didáticos. A justificativa para isto é o caráter relativo do que seja efeito sistemático ou efeito aleatório. Um
exemplo simples é a incerteza cometida no ajuste de “zero” de um instrumento, que pode ser sistemático
(quando imprecisamente executado ou esquecido) para uma série de medições. Entretanto, se o “zero” é
ajustado para cada medição, a incerteza se torna aleatória. Entretanto, deve sempre ficar claro o caráter relativo
da distinção entre “incerteza aleatória” e “incerteza sistemática”.
1.5.1. Tipos de Incerteza
Incerteza é um conceito qualitativo definido como “parâmetro associado ao resultado de uma medição
que caracteriza a dispersão de valores que pode ser fundamentadamente atribuídos ao mensurando”. Como
pode ser visto, “erro” e “incerteza” são conceitos bastante diferentes. Existem dois tipos básicos de incerteza, a
incerteza do tipo A e do tipo B.
Incerteza tipo A
A incerteza tipo A é a incerteza inerente a qualquer experimento, não controlável, mas que pode ser
minimizada. Pode ser avaliada a partir da análise de uma série de observações, realizada conforme os métodos
da estatística clássica.
A incerteza padrão (μA) pode ser identificada com o desvio padrão experimental que é uma estimativa
não-tendenciosa da medição. No caso mais simples, a medição é repetida n vezes obtendo-se os resultados y1,
y2, ... , yn. A melhor estimativa para o valor do mensurando é a média:
1
1 n
ii
y yn =
= ∑
A estimativa não-tendenciosa para a incerteza tipo A é:
( )2
A1
1
1
n
ii
y yn
µ=
= −−∑
Incerteza tipo B
A incerteza tipo B é a incerteza avaliada por quaisquer outros métodos, que não os métodos estatísticos
clássicos. Em geral, para estimar a incerteza tipo B, os métodos empregados correspondem á estatística
bayesiana.
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Avaliação da incerteza tipo B
A incerteza padrão tipo B também deve ser dada na forma de desvio padrão. Entretanto, não existe a
estatística convencional para fazer isto, simplesmente porque não existem várias observações: “Se uma
quantidade de entrada X não é determinada por meio de observações repetidas, a incerteza tipo B é avaliada
pelo julgamento científico baseado em toda informação disponível sobre a variabilidade da quantidade de
entrada. O conjunto de informações pode incluir dados de experiências prévias, experiência ou conhecimento
geral do comportamento e propriedades dos materiais e instrumentos relevantes, especificações de fabricantes,
dados fornecidos em certificados de calibração e outros certificados e incertezas atribuídas a dados de
referência obtidos em manuais”. Um dos problemas é que a avaliação da incerteza tipo B é bastante subjetiva,
pois depende, em grande parte, o grau de conhecimento do avaliador sobre o mensurando e a medição.
O procedimento para determinação da incerteza tipo B consiste em admitir, para os valores possíveis de
X, uma distribuição de probabilidades que esteja de acordo com todo conhecimento e informação disponíveis
sobre a “variabilidade” desta quantidade. O termo “variabilidade” se refere a valores possíveis de X, que tem
valor único. A avaliação de incerteza tipo B corresponde ao princípio inicial da estatística bayesiana, que
consiste em admitir uma distribuição de probabilidades a priori para a variável aleatória. A seguir, são
discutidos alguns exemplos.
Distribuição retangular
Como exemplo, uma quantidade de entrada Yi está num intervalo
entre iY a Y Y a− ≤ ≤ + , sendo que isto é tudo o que se sabe sobre a
“variabilidade” de Y. A única alternativa aceitável é admitir que Y pode
estar em qualquer ponto do intervalo com igual probabilidade. Assim, a
melhor estimativa para Y é a média padrão:
( ) ( )2
Y a Y aY Y
+ + −= =
E a incerteza padrão é o desvio padrão da distribuição retangular:
( ) ( ) 258% da área a part i r do valor médio
12 2 3 3
Y a Y a a aσ
+ − −= = = →≈
Por exemplo: ao fazer uma medida com uma régua de um corpo que tem aproximadamente 5 mm, o
valor pode estar entre 4 e 6 (um traço a direita ou a esquerda de 5 mm). O intervalo é 5 1 5 1iY− < < + , o valor da
medida será 5 (valor médio) e a incerteza é
5
10,58
3σ = ≅ (ou ≈ 0,58 m)
Portanto considera-se o valor medido 5,00(0,58)iY = . Esta incerteza estará presente em todas as
medidas.
Distribuição de Laplace-Gauss (normal)
A distribuição de Laplace-Gauss, também chamada de
gaussiana ou normal, é bastante usada para representar a dispersão
de valores possíveis de uma quantidade.
Diferente da distribuição retangular, os limites do intervalo
tendem a infinito, com a probabilidade tendendo a zero. Portanto,
devemos integrar a função de probabilidade F(kσ) de x-kσ até x+kσ, onde k é a quantidade de desvios padrões σ
a partir do valor médio. Na figura, para o intervalo (x-2σ, x+2σ), isto é k = 2 corresponderá a 95,44% de
certeza que a próxima medida está neste intervalo, neste caso se kσ = a, a incerteza é:
2
a a
kσ σ= → = , para uma probabilidade de 95%
Este é a abordagem clássica de que a incerteza entre duas escalas consecutivas (como a régua
milimetrada) é igual à metade da escala. Dependendo do instrumento, isto não é verdade. Os instrumentos
digitais podem apresentar uma incerteza maior, pois além da escala, os equipamentos tem o ajuste de zero e este
ajuste também é uma fonte de incerteza.
Para fins didáticos, adotaremos essa abordagem de que a incerteza é metade da menor escala (95%, de
acordo com a distribuição normal).
1.5.2. Incertezas combinadas
Na maioria das vezes um mensurando possuirá incertezas do tipo A e do tipo B combinadas. A incerteza
será:
A BX X X∆ = ∆ + ∆
Note que as incertezas são sempre em módulo e somadas. Não existe subtração de incertezas!!!
Quando se faz uma única medição, ∆XA = 0.
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Por exemplo, se forem feitas n medições com uma régua milimetrada, o resultado será
( ) ( 0,5)A AY Y Yσ σ σ= ± + = ± + , onde σA é a incerteza do tipo A (estatística) e 0,5 a incerteza da régua (0,5
mm).
1.5.3. Incerteza relativa (∆∆∆∆Xr) e Incerteza percentual (∆∆∆∆X%)
São números puros, adimensionais, que caracterizam a exatidão do mensurando:
% 100 100r r
X XX X X
X X
∆ ∆∆ = ∆ = = ∆
Exemplo: %
0,5 4,3 0,5 / 0,12 e 12%
4,3r
vv m s v v
v
∆= ± → ∆ = = = ∆ =
Em geral, dependendo da dificuldade de medição, as incertezas aceitáveis do ponto de vista científicos
são aquelas abaixo de 2%.
1.6. Acurácia ou exatidão ( accuracy )
A acurácia (ou exatidão) indica a qualidade do resultado da medição no que se refere á incerteza final,
isto é, quando já se sabe o resultado obtido e qual a incerteza deste resultado.
1.7. Precisão ( precision)
A precisão é uma indicação parcial da qualidade da medição, que se refere apenas a flutuações
aleatórias. Além de boa precisão, é necessário que os efeitos sistemáticos (incertezas constantes em todas as
medições) sejam pequenos para se ter boa acurácia. A palavra “precisão” (precision) é universalmente aceita
com este significado. Por isso, embora exista controvérsia entre os termos “acurácia” e “exatidão”, é
inadmissível traduzir “accuracy” como “precisão” ou usar esta palavra para indicar a qualidade da incerteza
final de um resultado, o que infelizmente tem ocorrido com freqüência em
manuais técnicos e até mesmo em textos científicos.
Um exemplo é um atirador usando um rifle em disparos em um
alvo. No primeiro alvo temos baixa exatidão e baixa precisão, isto é, o
rifle é ruim e há muita dispersão dos tiros. Na segunda figura o rifle é
excelente porém as condições de tiro e do atirador não são boas. No caso
3, o rifle não é muito bom, porém o atirador compensa no tiro. No
último, o atirador é bom e o rifle também.
O mesmo ocorre com um instrumento. Se utilizarmos um
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paquímetro (alta precisão) para medir um bloco irregular, o valor do volume terá baixa exatidão devido
justamente a irregularidade do bloco. Se utilizarmos uma régua para medir um cubo perfeito, teremos baixa
precisão do instrumento, porém exatidão no valor do volume. Agora, utilizando um paquímetro para medir este
cubo teremos alta precisão e excelente exatidão na medida do volume.
1.7.1. Limite de operação (LO) e limite de quantização (LQ)
Além da incerteza do instrumento de medição, temos ainda dois outros limites para o instrumento:
Limite de Quantização (LQ) = é a menor quantidade que pode
ser detectada.
Limite de Operação (LO) são os valores máximos e mínimos
que o equipamento consegue medir dentro de um intervalo linear.
Por exemplo, a balança do laboratório tem as seguintes
especificações:
Pmáximo: 4200 g
Pmínimo: 0,5 g
d: 0,001 g
e: 0,1 g
Isto é, o limite de uso ou operação (LO) da balança é para massas entre 0,5 e 4200 g. O limite de
detecção é de 0,1 g, que neste caso coincide com a incerteza (e) da medição, embora a balança possua 3 dígitos
(d: 0,001 g) após a vírgula e capaz de fornecer 0,001 g no visor.
1.7.2. Medição de grandezas
Medir é comparar com uma unidade padrão. Desta forma ao representar uma grandeza escalar ou
vetorial necessitamos especificar:
1. um símbolo ou nome para a grandeza
2. um número (ou módulo) que especifica a quantidade em termos do padrão;
3. direção e sentido, quando se tratar de uma grandeza vetorial.
4. uma unidade padrão;
Por exemplo, ao se medir a velocidade de um objeto ˆv 10 ι ( / )m s=�
, devemos ter um nome ou símbolo
(velocidade ou v�
), um número (10), uma unidade (m/s) e direção e sentido ( ˆ+ι ).
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O valor numérico em uma medida experimental será sempre um valor aproximado, pois é inevitável a
ocorrência de incertezas, sejam aleatórias, devido ao experimentador, ao instrumento utilizado ou de grandezas
que não podem ser eficientemente controladas durante o experimento. Por exemplo: ao medir a velocidade
precisamos medir o tempo, com um cronômetro acionado por um observador, para percorrer uma distância
medida com um metro, trena ou régua. Teremos imprecisão no acionamento do cronômetro, na medida da
distância, no instrumento utilizado, e em outras grandezas que não podem ser diretamente avaliadas como a
ação das forças de atrito, resistência do ar, etc. Portanto, além da apresentação do valor e padrões, devemos
especificar a confiabilidade ou precisão da medida.
“A apresentação da incerteza não significa necessariamente que o experimentador não foi cuidadoso,
mas que a instrumentação tem uma precisão intrínseca associada e é uma garantia ou margem de segurança
que deve ser respeitada ao se utilizar este número”.
Portanto, deve-se apresentar o valor da grandeza medida na forma: