Apostila de comunicação digital

COMUNICAO DIGITAL - Engenharia Eltrica UNINOVE

BIBLIOGRAFIA:

HAYKIN, Simon ; VAN VEEN, Barry. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.

OPPENHEIN, S; WILLSKY, A.S. Sinais e Sistemas. So Paulo: Pearson, 2010.

HAYES, Monson H. Processamento digital de sinais. Porto Alegre: Bookman, 2006.

Bibliografia Auxiliar:

NALON, Jos Alexandre. Introduo ao processamento digital de sinais. Rio de Janeiro: LTC, 2009.

HSU, Hwei P. Sinais e sistemas. Coleo Schaum. Porto Alegre: Bookman, 2004.

DINIZ, P. S. R.; SILVA, E. A. B.; NETO, S. L. Processamento Digital de Sinais: Projeto

e Anlise de Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2004.

O que so sistemas de comunicao a final?

So um conjunto de blocos funcionais interconectados que transferem

informao entre dois pontos atravs de uma srie sequencial de operaes

(processamento de sinais). A teoria da comunicao trata dos modelos e

tcnicas matemticas que se podem utilizar no estudo e anlise dos sistemas

de comunicao. A mide necessrio e conveniente descrever ou representar

sinais e sistemas no domnio da frequncia, o que nos leva ao conceito de

espectro e largura de banda.

A representao espectrotemporal de sinais e sistemas possvel graas a

Anlise Espectral de Fourier: Sries e Transformadas. A escolha de um

modelo apropriado para um determinado problema depende do conhecimento

mais ou menos completo dos fenmenos fsicos a modelar e entender e

contornar as limitaes inclusive do modelo.

O aluno interessado em aprofundar uma leitura sobre a histria das telecomunicaes dos ltimos 100 anos, lhes recomendamos o artigo: IEEE Communications Society, 100 Years of Communications Progress, IEEE Communications Magazine, Vol. 2, No. 5, Mayo 1984.

1. Sinais e Sequncias Discretas

Muitas vezes ao avanar no estudo da matemtica, esquecemos a origem e a

ideia natural que os que as criaram tiveram, sem abandonar este princpio

vamos dar uma olhada ao passado e entender as sequncias como as

sucesses aprendidas no ensino mdio e ver a sua evoluo at os conceitos

de sries.

Exemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} um sequncia ou sucesso simples infinita;

{1, 3, 5, 7} a sucesso dos quatro primeiros nmeros pares e infinita;

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} uma sucesso infinita onde vamos dobrando cada termo;

{a, b, c, d, e} uma sucesso com as 5 primeiras letras do alfabeto;

{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} uma sucesso que alterna 0s e 1s.

1.1 Tipos de sucesses

1.1.1 Sucesses aritmticas

Uma sequncia possui uma regra que permite calcular o valor de cada termo.

Qual seria a regra de construo para esta sequncia {3, 5, 7, 9, ...}?

Provemos a regra: 2n+1

n Termo Regra

1 3 2n+1 = 21 + 1 = 3

2 5 2n+1 = 22 + 1 = 5

3 7 2n+1 = 23 + 1 = 7

Funciona!!!

Calcular o termo 100: 2 100 + 1 = 201 Logo Xn = 2n + 1, onde Xn representa qualquer termo da sucesso.

Para {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...} A regra Xn = 3n - 2

Resumo:

1.1.2 Sucesses geomtricas

Numa sucesso geomtrica cada termo se calcula multiplicando o anterior por um nmero fixo.

Exemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesso tem um fator 2 entre cada dois termos; A regra Xn = 2n

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesso tem um fator 3 entre cada dois termos; A regra Xn = 3n

Esta sucesso tem um fator de 0,5 entre cada dois termos; A regra Xn = 4 2-n

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Resumo:

Caso particular:

Exemplo: Sequncia limitada

Exemplo: Sequncia somvel em mdulo

Exemplo: Sequncia quadrado somvel

1.1.3 Sucesses especiais

- Nmeros triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Xn = n(n+1)/2

O quinto nmero triangular X5 = 5(5+1)/2 = 15

- Nmeros quadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Xn = n2

- Nmeros cbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

Xn = n3

- Nmeros de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

A regra de formao da equao de recorrncia xn = xn-1 + xn-2

Esta regra interessante pois depende dos valores dos termos anteriores.

Calcular o 6 termo:

x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

1.1.4 Sries

A srie a soma de uma sucesso.

Seja a sucesso {3,5,7,9,...} a regra de formao 2n + 1, assim se quisermos

determinar qualquer termo da sucesso, basta aplicar a regra de formao,

ouseja Xn = 2n + 1, sendo Xn qualquer termo. Para montar a srie usamos o

smbolo de somatrio da seguinte forma:

A letra n da base do somatrio 1 e o nmero da parte superior 4, indicam

que a soma deve ser feita do primeiro ao quarto termo da sucesso.

Assim, surgem muitas sries, porm s algumas com aplicaes prticas nas

cincias e na engenharia, exemplo so as sries de Fourier, de Taylor, etc.

Muitas funes matemticas se representam em sries.

2. Sinais Discretos e Sequncias especiais

O fundamento a teoria de amostragem, assim como todo sistema digital,

opera com sinais previamente convertidos vindos do mundo analgico e cujo

tratamento ser no mundo digital.

Um sinal analgico se propaga no eixo do tempo de forma infinita ao ser

convertido ao mundo digital a amostragem permite quantificar este tempo em

valores discretos ou numerados sem que haja significativa perda da informao

do sinal original.

Fig. 1: Processamento digital de um sinal analgico.

Os sinais em tempo discreto so representados pela notao em que s est

definido para nmeros inteiros. Na expresso x[n] a n-ssima amostra do

sinal e n est definido para nmeros inteiros e chamado de amostra.

Fig. 2: Representao grfica de uma funo real de varivel discreta x[n].

Podemos tambm representar sinais de forma funcional, tabular e sequencial.

- Funcional: se utilizam expresses algbricas fechadas.

- Tabular: se for utilizar MatLab ou Octave.

- Sequencial

a) Sequncia de durao infinita com origem em n = 0, indicado por .

b) Se a sequncia 0 para n < 0 , se costuma representar como:

E se finita:

c) Se a sequncia comea em 0, usualmente se omite a flecha:

Sinais em tempo discreto podem ser sequncias de comprimento infinito ou

finito.

Exemplo: Sequncia discreta representando a bolsa de valores

Exemplo: Represente a seguinte sequncia (sinal discreto):

Soluo: nosso intervalo de -6 a +6, definido para n inteiro, includos no

intervalo -6 e +6.

Nota: um sinal de comprimento finito definido no intervalo N1 n N2 tem

comprimento ou durao (nmero de amostras):

N = N2 N1 + 1

Ouseja, para este sinal N = +6 (-6) + 1 = 13 amostras.

Se for o caso do aluno estiver usando MatLab o grfico do sinal (que uma

funo discreta) seria:

Fig.3: Grfico em MatLab de uma funo real de varivel discreta x[n].

Exemplo: Represente a seguinte sequncia (sinal discreto):

Soluo: repare que o intervalo infinito (n N)

Este sinal (sequncia) uma sequncia de amostras infinitas porm no deixa

de ser discreto. No grfico se representam as primeiras 50 amostras.

Fig. 4: Representao grfica de uma funo real de varivel discreta x[n].

Exemplo: Represente a seguinte sequncia real com sinal discreto

Exemplo: Sequncias complexas

Sejam as seguintes sequncias:

Exerccios

(Carlson, 1998; p. 44) Um sinal chamado de simplesmente definido (simply

defined) quando ele representado por uma nica equao e chamado de

definido por partes (piecewise defined) quando representado por um

conjunto de equaes cada uma vlida num intervalo de tempo diferente.

2.1. Operaes, propriedades e classificao dos sistemas discretos

2.1.1. Operaes

- Multiplicao

- Multiplicao por uma constante

- Somador (sem memria)

- Retardador de um elemento

O retardador um bloco com memria de comprimento 1, um dos elementos

do processamento digital de sinais bastante utilizado e em captulos posteriores

se lhe relacionar com a Transformada Z.

- Adiantador de um elemento

Ele s existe em sistemas de tratamento de sinais fora de linha e no

realizvel fisicamente.

Exemplo

Dada a funo discreta de sada y(n), elabore o sistema de blocos da funo:

Reescrevendo temos:

Figura 5: Diagrama de blocos .

2.1.1.1 Manipulaes elementares de sinais de variveis discretas

- Deslocamento

O sinal x(n) se desloca k amostras substituindo a varivel n por n k. Se k > 0

o sinal se atrasa k amostras e se k < 0 o sinal se adianta k amostras.

Na manipulao fora de linha (off-line) ambos os tipos de deslocamento so

possveis; porm, em sistemas de tempo real ou em linha (on-line), somente o

atraso da funo realizvel.

Exemplo

Utilizando deslocamentos determine a funo degrau unitrio u(n) em termos

de uma soma de impulsos (n) deslocados.

- Reflexo

Consiste em dobrar o sinal x(n) no instante n = 0, substituindo a varivel n por

seu inverso aditivo n. Deslocamento e reflexo no so comutativas.

2.1.2 Classificao e propriedades de sinais de varivel discreta

Funes bsicas podem ser definidas se tratadas como sinais de energia e

potncia.

Figura 6: Potncia instantnea p(t) e energia e(t) de um sinal analgico.

O valor de R representa uma constante que somente altera o fator de escala

das funes p(t) e e(t), no alterando a forma de tais funes.

Desafio: Suponha o valor de R = 1 , reescreva as equaes da Figura 6.

Toda a teoria de circuitos ministrada nas disciplinas de um curso de

engenharia eltrica, possuem em seus fundamentos sempre o tempo como

varivel contnua. De forma anloga, definiremos, para um sinal de varivel

discreta x(n) a energia total como:

onde o uso do mdulo do sinal permite aplicar a definio a sinais de valor

complexo. Assim, se E infinita ento a x(n) se lhe denomina sinal de energia.

Muitos sinais de energia infinita possuem potncia mdia finita:

Se for o caso de P ser finita, se diz que x(n) um sinal de potncia.

Se definimos a energia EN de x(n) num intervalo finito como:

Ento

E a potncia mdia pode escrever-se como:

desta forma verificamos que se E finita ento P = 0 e se P > 0 ento E ,

ou seja, todo sinal de potncia tem energia infinita.

Exemplo

Defina se as seguintes funes so de energia ou potncia

a) Funo degrau unitrio

Assim, a funo degrau uma funo de potncia.

b) Funo rampa unitria

Sendo E e P infinitas, no podemos concluir se a funo rampa sinal de

energia ou de potncia.

c) Seja o sinal exponencial

Assim, a funo exponencial uma funo de potncia.

2.1.3 Propriedades e Classificao dos sistemas discretos

Sinais discretos bsicos

- Impulso unitrio

- Degrau unitrio

- Rampa unitria

- Senoide (no causal)

- Exponencial

- Exponencial real

- Funo sinc

A sequncia ou funo sinc muito utilizada em processamento de sinais.

uma sequncia no causal de durao infinita.

- Representao de sequncias arbitrrias por meio de impulsos

Qualquer sequncia discreta pode ser representada como uma soma

ponderada de sequncias impulso retardadas

Se a um sistema se lhe atribui uma propriedade, esta, deve-se cumprir para

todas as entradas possveis. Na tabela 2 se faz um resumo destas

propriedades.

Propriedades dos sistemas discretos

Invariana

De maneira informal, um sistema invariante no tempo se seu comportamento

no depende do instante em que se encontre.

Exemplos:

Causalidade

Um sistema causal se a sada no antecipa valores futuros da entrada, isto

significa que em todo momento a sada depende unicamente dos valores na

entrada.

Como corolrio podemos mencionar que todos os sistemas fsicos de tempo

real so causais, dado que o tempo somente se desloca pra frente. O efeito

ocorre depois da causa. Por exemplo, imagine que se dispe de um sistema

no causal cuja sada depende da cotao das aes da manh.

A causalidade no se aplica a sistemas previamente armazenados ou

gravados.

A causalidade no se aplica a sinais de variao espacial, podem ser

movimentados estes sinais de esquerda para direita e de cima para baixo.

Exemplos:

Linearidade

Est relacionada ao tipo de sistema seja discreto ou contnuo, e podem ser

lineares e no lineares. Nos limitaremos a avaliar sistemas lineares:

- Poucos sistemas reais so lineares;

- Modelos lineares de sistemas descrevem representaes precisas do

comportamento de muitos sistemas que inclusive no sejam lineares;

- Linearizar modelos a fim de examinar perturbaes de pequeno sinal ao

redor de pontos de funcionamento;

- Sistemas lineares so mais fceis de serem trabalhados analiticamente,

possibilitando o uso de farta ferramenta de anlise disponvel e perspectiva de

xito na soluo de problemas.

SUPERPOSIO !!!

Porque estudar sistemas lineares invariantes no tempo?

- So a maioria dos sistemas;

- Existe abundante ferramenta de anlise destes sistemas;

- Conhecer a resposta destes sistemas de algumas entradas, nos permitir, de

fato, saber a resposta de muitas delas.