Page 1
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
ÚSTAV SOUDNÍHO INŽENÝRSTVÍ
INSTITUTE OF FORENSIC ENGINEERING
APLIKACE TEORIE CHAOSU NA ELLIOTTOVY VLNY APPLICATION OF CHAOS THEORY TO ELLIOTT WAVE
DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER´S THESIS
AUTOR PRÁCE Bc. VERONIKA LOUKOTKOVÁ AUTHOR
VEDOUCÍ PRÁCE prof. Ing. PŘEMYSL JANÍČEK, DrSc. SUPERVISOR
BRNO 2012
Page 3
Vysoké učení technické v Brně, Ústav soudního inženýrství
Ústav soudního inženýrstvíAkademický rok: 2011/2012
ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE
student(ka): Bc. Veronika Loukotková
který/která studuje v magisterském navazujícím studijním programu
obor: Řízení rizik firem a institucí (3901T048)
Ředitel ústavu Vám v souladu se zákonem č.111/1998 o vysokých školách a se Studijním azkušebním řádem VUT v Brně určuje následující téma diplomové práce:
Aplikace teorie chaosu na Elliottovy vlny
v anglickém jazyce:
Application of Chaos Theory to Elliott Wave
Stručná charakteristika problematiky úkolu:
Diplomový úkol je zaměřen na vymezení a následnou praktickou aplikaci teorie chaosu. Pomocíznalostí systémové metodologie bude v této oblasti řešen nepřímý problém, tj. analýza výskytuchaosu v konkrétní časové řadě. Pomocí teorie Elliottových vln pak bude predikován její dalšímožný vývoj.
Cíle diplomové práce:
Cílem diplomové práce je vymezit chaos jako jednu z významných charakteristik ekonomickýchprocesů. Na konkrétní časové řadě realizovat analýzu k prokázání či zamítnutí jeho existence.Pojednat o možných příčinách vzniku Elliottových vln a formou praktického příkladudemonstrovat využití této teorie v predikci.
Page 4
Seznam odborné literatury:
DOSTÁL, P., K. RAIS a Z. SOJKA. Pokročilé metody manažerského rozhodování: konkrétnípříklady využití metod v praxi. 1. vyd. Praha: Grada, 2005. 166 s. ISBN 80-247-1338-1.
JANÍČEK, Přemysl. Systémové pojetí vybraných oborů pro techniky: hledání souvislostí. Učebnítexty I. 1. vyd. Brno: CERM, 2007. ISBN 978-80-7204-555-6.
JANÍČEK, Přemysl. Systémové pojetí vybraných oborů pro techniky: hledání souvislostí. Učebnítexty II. 1. vyd. Brno: CERM, 2007. ISBN 978-80-7204-556-3.
SOJKA, Zdeněk a Petr DOSTÁL. Elliottovy vlny. 1. vyd. Brno: Tribun EU, 2008. 272 s. ISBN978-80-7399-630-7.
Vedoucí diplomové práce: prof. Ing. Přemysl Janíček, DrSc.
Termín odevzdání diplomové práce je stanoven časovým plánem akademického roku 2011/2012.
V Brně, dne 1.11.2011
L.S.
_______________________________prof. Ing. Albert Bradáč, DrSc.Ředitel vysokoškolského ústavu
Page 5
Abstrakt
Diplomová práce staví do konfrontace teorii chaosu a teorii Elliottových vln s cílem
zjistit, zda mezi nimi v oblasti predikce nastane shoda, či nikoli. Takto formulovaný hlavní
problém je možné považovat za originální, novou a dosud neřešenou problematiku.
Na základě řešení nepřímého problému deterministického chaosu nebyla jeho existence
ve zkoumané časové řadě prokázána. Možnost alespoň v krátkodobém časovém horizontu
predikovat budoucí vývoj této časové řady tak byla na základě výstupů teorie chaosu
považována za nereálnou. Přesto byla následně provedená predikce pomocí Elliottových vln
velmi přesná. Shoda obou teorií nebyla prokázána a ukázalo se, že znalost Elliottových vln
a schopnost je ve správný moment vhodně interpretovat může být významným predikčním
nástrojem.
Abstract
This diploma thesis compares chaos theory with Elliott wave theory in order to find
out whether there is an agreement in the area of prediction. Such formulation of main problem
is considered original, new and pioneering issue. By solving an indirect problem
of deterministic chaos, existence of the chaos was not proved in a respective time series. The
possibility to predict future development of this time series in a short-term period was
considered impossible with respect of chaos theory results. Nevertheless, subsequent
prediction that used Elliott wave theory showed to be precise. Finally, agreement of both
theories was not confirmed. The diploma thesis proved that knowledge of Elliott wave theory
and ability to interpret it correctly is a valuable means of prediction.
Page 6
Klíčová slova
Teorie chaosu, Elliottovy vlny, predikce, kapitálový trh.
Keywords
Chaos theory, Elliott wave, prediction, capital market.
Bibliografická citace
LOUKOTKOVÁ, V. Aplikace teorie chaosu na Elliottovy vlny. Brno: Vysoké učení
technické v Brně, Ústav soudního inženýrství, 2012. 72 s. Vedoucí diplomové práce
prof. Ing. Přemysl Janíček, DrSc..
Page 7
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci zpracovala samostatně a že jsem uvedla všechny použité
informační zdroje.
V Brně dne ………………..
.……………………………………….
podpis diplomanta
Page 8
Poděkování
Na tomto místě bych chtěla poděkovat vedoucímu mé diplomové práce panu
prof. Ing. Přemyslu Janíčkovi, DrSc. za příjemnou spolupráci, cenné rady a metodické vedení
práce.
Page 9
9
OBSAH
1 ÚVOD ......................................................................................................................................... 11
2 VYMEZENÍ PROBLÉMOVÉ SITUACE.................................................................................. 13
3 FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE ŘEŠENÍ ........................................................................ 15
4 ANALÝZA SOUČASNÉHO STAVU ....................................................................................... 17
4.1 Teorie chaosu ..................................................................................................................... 17
4.1.1 Vymezení pojmů ..................................................................................................... 17
4.1.2 Charakteristiky deterministického chaosu ............................................................ 22
4.1.3 Aplikační sféry deterministického chaosu ............................................................. 23
4.1.4 Typy problémů deterministického chaosu ............................................................. 23
4.1.5 Deterministický chaos v ekonomických soustavách .............................................. 24
4.2 Teorie Elliottových vln ...................................................................................................... 31
4.2.1 Vymezení pojmů ..................................................................................................... 32
4.2.2 Základy teorie ........................................................................................................ 32
4.2.3 Matematické vztahy ............................................................................................... 35
4.2.4 Pojednání o příčinách vzniku Elliottových vln ...................................................... 37
5 ANALÝZA PROBLÉMU .......................................................................................................... 39
6 METODIKA ŘEŠENÍ ................................................................................................................ 41
6.1 Analýza výskytu deterministického chaosu ...................................................................... 41
6.2 Predikce pomocí Elliottových vln ..................................................................................... 46
6.3 Porovnání výstupů teorie chaosu a Elliottovy vlnové teorie ............................................. 47
7 REALIZACE ŘEŠENÍ A PREZENTACE VÝSLEDKŮ .......................................................... 49
7.1 Vymezení problémů .......................................................................................................... 49
7.2 Zajištění věrohodnoti výsledků použitých metod .............................................................. 50
7.2.1 Hurstův exponent ................................................................................................... 50
7.2.2 Ljapunovovův exponent ......................................................................................... 52
7.3 Případová studie ................................................................................................................ 58
Page 10
10
7.3.1 Analýza výskytu deterministického chaosu ............................................................ 58
7.3.2 Predikce pomocí Elliottových vln .......................................................................... 63
7.3.3 Verifikace hypotézy o shodě výstupů teorie chaosu a Elliottových vln .................. 64
8 ZÁVĚR ........................................................................................................................................ 67
SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ ................................................................................................. 69
SEZNAM OBRÁZKŮ ..................................................................................................................... 71
SEZNAM TABULEK...................................................................................................................... 72
Page 11
11
1 ÚVOD
Předkládanou diplomovou práci „Aplikace teorie chaosu na Elliottovy vlny“ lze
v jejích základních rysech obecně řadit do oboru ekonomie. Snaha o lepší pochopení složitých
ekonomických soustav vytváří nový rámec vědeckého poznávání, v rámci něhož problémy
v žádném případě nelze řešit izolovaně. Autorka si klade za cíl především metodologicky
nadoborový pohled na řešený problém. Toho je dosaženo aplikací systémové metodologie,
ze které tvorba práce vychází. Dále pak zdůrazňováním souvislostí a analogií s jinými
vědními obory, především s psychologií. Díky zmíněnému lze práci zařadit také mezi práce
s nadoborovým charakterem.
Řešení veškerých odborných problémů systémovou metodologií neodmyslitelně
zahrnuje úvahy nad existencí deterministického chaosu u zkoumaných entit. Ekonomické
soustavy svými vlastnostmi výskyt deterministického chaosu potenciálně umožňují, což je
výchozím podkladem jeho analýzy v oblasti finančních trhů. Případné prokázání
deterministického chaosu má pak zásadní význam ve vztahu k prognózování, kdy alespoň
v krátkém časovém horizontu lze predikovat vývoj příslušných finančních entit. V opačném
případě jsou, dle teorie chaosu, jakékoli snahy předpovědět budoucí vývoj liché a tvorba
podrobných predikčních modelů pozbývá významu.
Vstupní informací do procesu řešení by tak vždy mělo být stanovení, zda výchozí
časová řada obsahuje deterministickou složku, či je zcela náhodná. Od tohoto faktu by se
následně měl odvíjet význam dalších predikcí. Z uvedených skutečností vychází tato práce,
jejíž ambicí je nejen detekce deterministického chaosu, ale především prokázání, či zamítnutí
jeho reálné platnosti aplikací na vybranou predikční metodu – teorii Elliottových vln.
Diplomový úkol je v teoretické rovině zaměřen na vymezení chaosu a jeho významu
v ekonomických soustavách. Cílem této části je především poukázat na potenciální možnost
výskytu deterministického chaosu v časových řadách generovaných ekonomickými procesy
a chaos vytyčit jako jejich významnou charakteristiku, kterou je nutné při řešení nejrůznějších
úkolů brát v úvahu.
Oblast aplikační se zabývá analýzou vzájemného působení dvou příbuzných teorií –
teorie chaosu a do ní náležící Elliottovy vlnové teorie. Teorie Elliottových vln se především
s rozvojem výpočetní techniky stala velmi rozšířeným prostředkem k prognózování
finančních trhů. Jelikož díky svému fraktálnímu charakteru souvisí s teorií chaosu, je náplní
diplomové práce zkoumání, jaké praktické výstupy tyto teorie poskytnou v oblasti predikce
Page 12
12
a zda mezi nimi nastane shoda, či nikoli. Z pohledu systémové metodologie tedy bude řešen
nepřímý problém, tj. analýza výskytu deterministického chaosu v konkrétní časové řadě. Na
jejím základě bude následně rozhodnuto o tom, zda je možné budoucí vývoj dané časové řady
predikovat. V další fázi práce bude provedena samotná prognóza vývoje příslušné finanční
entity, jejíž výsledky budou dále porovnány s reálně dosaženými hodnotami časové řady.
Cílem této stěžejní části je zjistit, zda časový horizont prediktability určený prostřednictvím
teorie chaosu odpovídá důvěryhodné předpovědi znázorněné Elliottovými vlnami. A tedy
obecně, jestli se výstupy získané teorií chaosu potvrdí také při prognóze pomocí Elliottových
vln.
Na teoretické rovině bude pojednáno také o možných příčinách vzniku Elliottových
vln. Toto pojednání pak tvoří poslední vytyčený cíl diplomové práce.
Page 13
13
2 VYMEZENÍ PROBLÉMOVÉ SITUACE
V souladu se systémovou metodologií a tedy i atributem systémového přístupu, který
klade požadavek na pojmovou čistotu, je nezbytné nejdříve vymezit samotný pojem
„problémová situace“.
„Problémová situace je takový nestandardní stav entity (objektu nebo člověka), který
z objektivních nebo subjektivních důvodů vyžaduje řešení s určitým vymezeným cílem, přičemž
proces řešení není rutinní, takže řešitel musí využívat informační, hodnotící, tvůrčí
a rozhodovací činnosti a hledat metody řešení.“ [1, s. 33]
Širší kontext diplomové práce, který problémovou situaci vymezuje, je určen
následujícími východisky.
Pro vysvětlení jevů na kapitálovém trhu byly vytvořeny dvě hypotézy a to hypotéza
efektivního trhu (náhodné procházky) a novější hypotéza fraktálního trhu [2, s. 1].
Prof. Janíček [3, s. 1186] pak proti hypotéze náhodné procházky staví jako její extrémní
protipól hypotézu deterministického chaosu. Vždy však platí, že uplatnění hypotézy
efektivních trhů odrazuje analytiky od předpovědí budoucích pohybů cen, jelikož ty podléhají
náhodné procházce [2, s. 1]. Na druhé straně hypotéza deterministického chaosu předpokládá,
že cenové pohyby jsou náhodné jen zdánlivě, a že ve skutečnosti jsou řízeny ryze
deterministickým předpisem [3, s. 1186]. Utřídíme-li vzájemné vazby uvedené v [2, s. 4–11],
že do teorie chaosu stejně jako do fraktální hypotézy kapitálového trhu zcela zapadá
Elliottova vlnová teorie, můžeme hypotézu deterministického chaosu považovat za nadřazený
pojem k hypotéze fraktálního trhu. Tím docílíme sjednocení dělení v uvedených literárních
zdrojích.
Vlastnosti ekonomických soustav spolu s charakteristikami časových řad
generovaných ekonomickými procesy podmiňují význam zkoumání existence chaosu také
v oblasti kapitálového trhu. Dle [3, s. 1180] totiž skutečnost, že jsou tyto soustavy dynamické
a nelineární, vede k testování hypotéz, zda se některé z ekonomických procesů neřídí
deterministickým chaosem. Dané hypotézy pak, podle stejného zdroje, nacházejí odůvodnění
v tom, že v jiných vědních oborech (kardiologie, neurologie, inženýrská mechanika1) bylo
dokázáno, že zdánlivě nahodilé chování některých jejich soustav je výsledkem nestabilních
1 Ucelený přehled o problematice chaosu v nadoborovém pojetí a tím i ilustraci chaosu v různých vědních
oborech poskytuje publikace prof. Janíčka [3].
Page 14
14
deterministických zákonitostí, jimiž se dané soustavy řídí. Případné prokázání shodných
závěrů v oboru ekonomie má tedy klíčový význam pro predikci finančních entit.
Jelikož ekonomické soustavy patří k vůbec těm nejsložitějším, je také predikce
ekonomických veličin velmi obtížnou. Vstupní informaci do procesu řešení, v němž je klíčové
hodnocení predikce z hlediska její kvality, poskytuje analýza chaosu. Postavení analýzy
chaosu v rámci metod používaných k prognóze budoucího vývoje finančních entit je
znázorněno na Obr. č. 1 – Schéma analýz dat a informací [4, s. 152].
Obr. č. 1 – Schéma analýz dat a informací [4, s. 152]
Autoři publikace [4, s. 151–153] toto schéma použili k demonstraci možného způsobu
rozhodování pomocí kombinace metod (jako je například fuzzy logika, teorie chaosu a umělé
neuronové sítě) při spekulacích na světových burzách. Pro potřeby diplomové práce není
podstatné, jakým způsobem jsou často protichůdné výstupy jednotlivých analýz
vyhodnocovány. Významná je především komplexnost modelu, který po získání dat
(časových řad) přistupuje k analýze chaosu a až na základě jejích výstupů doporučuje, či
zamítá pokračování v dalších analýzách.
Nestandardní stav entity tedy můžeme vymezit jako neznalost charakteru zákonitostí,
jimiž se určitý proces na kapitálovém trhu řídí. Potřeba řešení je pak dána objektivními
důvody, které lze spatřovat především ve významu tohoto zkoumání pro predikci. Vytyčený
cíl potom tvoří verifikace hypotézy o shodě výstupů získaných pomocí teorie chaosu
a Elliottových vln v oblasti predikce.
A – Zprávy G – Ostatní C – Data
D – Analýza chaosu
B – Fundamentální
analýza
H – Proces rozhodování
E – Psychologická
analýza
Elliottovy vlny
F – Technická analýza
Regresní analýza, Fuzzy
logika, Neuronové sítě,
Genetické algoritmy
I – e-obchod
Page 15
15
3 FORMULACE PROBLÉMU A CÍLE ŘEŠENÍ
Tato kapitola, která obsahuje formulaci problému a cílů jeho řešení, patří
k nejdůležitějším částem diplomové práce. V následujícím textu jsou vymezeny okruhy
problémů, které budou řešeny a cíle, kterých má být dosaženo. Tím jsou získány výchozí
podklady pro oblast a rozsah rešeršní studie. Ve smyslu pojmové čistoty je dále uvedeno
vymezení pojmu „problém“.
„Problém je subjektem naformulované to podstatné z problémové situace, co vyžaduje
řešení.“ [1, s. 32]
Okruhy řešených problémů, stejně jako jim příslušející cíle, jsou formulovány
s ohledem na výše uvedenou citaci pojmu „problém“ takto:
Hlavní problém, jeho cíl a význam – spočívá ve formulaci hypotézy, že teorie
chaosu a do ní svým charakterem náležící Elliottova vlnová teorie poskytují
v oblasti kapitálového trhu navzájem si odpovídající výstupy. Ty mají podobu
shodného časového horizontu, v němž je možné se pokusit o kvalitní predikci.
Výsledek řešení, jehož cílem je verifikace dané hypotézy, pak zahrnuje tyto
situace:
o Teorie chaosu i Elliottových vln jsou ve shodě (tj. neprokázání
deterministického chaosu znamená také nepoužitelnost predikce pomocí
Elliottových vln z hlediska její kvality, případně nastane opačná situace,
kdy z potvrzení jeho existence a stanovení horizontu prediktability vyplyne
také rozsah predikce Elliotovými vlnami).
o Teorie chaosu a Elliottových vln nejsou z hlediska prediktability jednotné
(tj. nastane například situace, kdy výskyt deterministického chaosu nebude
prokázán, a přesto bude možné predikovat vývoj finanční entity
prostřednictvím Elliottových vln).
Význam řešení hlavního problému je pak určen především zvýšením informační
základny o zkoumané finanční entitě, čímž lze získat kvalitnější podklady pro
rozhodování a tím také snížit rizika ztrát při obchodování na kapitálovém trhu.
Dílčí problémy, jejich cíle a význam – je potřeba splnit, aby mohl být naplněn cíl
hlavní. Jedná se o řešení nepřímého problému deterministického chaosu a predikci
určenou pomocí Elliottových vln.
Page 16
16
Cíle stanovené v rovině teoretické jsou pak představovány vymezením
deterministického chaosu jako významné charakteristiky ekonomických procesů
a pojednáním o možných příčinách vzniku Elliottových vln.
Page 17
17
4 ANALÝZA SOUČASNÉHO STAVU
4.1 TEORIE CHAOSU
Rané zmínky o chaosu, v pojetí v jakém je chápán i dnes, můžeme nalézt již na konci
19. století. V té době francouzský matematik Henri Poincaré, aniž by hovořil o chaosu,
nastínil v knize Science and Method moderní vědecké pojetí své teorie. To spočívalo ve
formulaci myšlenky, že velmi drobná příčina unikající naší pozornosti způsobí rozsáhlé
následky, kterých si nemůžeme nevšimnout, a pak o nich tvrdíme, že jsou výsledkem náhody.
Malá chyba v počátcích tedy způsobí obrovskou chybu v důsledcích a předpověď se stává
nemožnou. [3, s. 871]
Zmíněná Poincarého teorie, charakterizující tehdy ještě neznámý chaos, nenašla svého
pokračovatele a byla na dlouhá desetiletí zapomenuta. Nepravidelnosti v pozorovaných
procesech (atmosféře, epidemiích, srdeční či mozkové činnosti) byly ignorovány
a považovány za náhodný projev přírody, až za její anomálii. Neexistovala žádná snaha použít
na tuto „náhodnost“ vědecké metody. Zlom nastal až v sedmdesátých letech minulého století,
kdy fyzikové, matematici, chemici a mnozí další oboroví specialisté začali hledat souvislosti
mezi nepravidelnostmi v různých oborech. Lékaři se zabývali srdečními arytmiemi2,
ekonomové začali s výzkumem nepravidelností cen akcií na burzách a s rozvíjením teorie
katastrof v ekonomice3. Doslovný „boom“ rozvoje teorie chaosu (nejdříve deterministického,
pak stochastického a kvantového) nastal s využíváním počítačů, na nichž bylo možné
realizovat numerické metody. Z vědců zabývajících se v různých oborech touto
problematikou, kteří byli ještě na počátku sedmdesátých let minulého století osamoceni, se
začalo vytvářet hnutí, které již používalo pojem teorie chaosu a začalo měnit základní podobu
vědeckého poznávání. Nová věda o chaosu si vytvořila vlastní pojmovou soustavu s pojmy
jak převzatými z jiných oborů, tak nově vytvořenými. [3, s. 871–872]
4.1.1 Vymezení pojmů
Tato stať obsahuje přehled charakteristických pojmů, které jsou spojeny s teorií
chaosu. Nejdříve je však potřeba uvést pojem entita, který je v práci používán.
2 Problematice možné existence deterministického chaosu v činnosti srdce se věnuje prof. Janíček
[3, s. 983–1005].
3 Teorie katastrof v ekonomice přesahuje vytyčený obsahový rámec diplomové práce, stať zabývající se danou
teorií lze nalézt v [3, s. 1193].
Page 18
18
Entita [1, s. 8] – je pojmem používaným v mnohoznačných významech. Zahrnuje
reálné objekty (tělesa, technické soustavy) nebo objekty abstraktní (protokoly,
posudky), ale také procesy, problémy, činnosti, prostě vše, co v dané době existuje.
V následujícím textu jsou již vymezeny prvky pojmové soustavy teorie chaosu, jejichž
interpretace je důležitá pro další zpracování diplomové práce. Důraz je tak kladen na
deterministický chaos.
Řád – v souladu s [3, s. 875] pod tímto pojmem chápeme určité periodické (rytmus),
hierarchické (posloupnost) a estetické (harmonie) uspořádání. Přičemž entitě
připisujeme řád, když tato vykazuje tzv. atributy řádu (známá struktura, vlastnosti,
funkce, projevy, zákonitosti chování a splnění určitých estetických hledisek apod.).
Charakteristická je uspořádanost, předvídatelnost, jednoznačnost, nenáhodnost,
vysvětlitelnost, pochopitelnost, přehlednost apod.
Chaos – dle [3, s. 875] je chaos považován za protiklad řádu. Entita je tak označována
za chaotickou, pokud nevykazuje atributy řádu. Chaotická může být struktura,
vlastnosti, projevy a tím i chování entity, přičemž charakteristická je neuspořádanost,
nepředvídatelnost, nejednoznačnost, náhodnost, s čímž souvisí nevysvětlitelnost,
nepochopitelnost, nesrozumitelnost, nepřehlednost, nejasnost atd.
Deterministický chaos [3, s. 876] – u určité entity se za deterministický chaos
považuje takový jev, u něhož existuje příčinný vztah mezi příčinami a následky –
v tomto smyslu je tedy jev považován za deterministický, ovšem procesy, stavy,
projevy a tím i chování entity, způsobené příčinami, nejsou předem předvídatelné –
jsou tedy chaotické.
Logistická rovnice a chaotické chování – deterministické chaotické chování lze
znázornit pomocí tzv. logistické rovnice (v literatuře označované také jako logistická
funkce [3, s. 904], či rekurentní rovnice [4, s. 100–101]). Dle [2, s. 7] lze logistickou
rovnici vyjádřit ve tvaru
,
kde značí konstantu (řídící parametr) a nová hodnota je podle uvedeného vztahu
počítána z předchozí. Na Obr. č. 24 na následující straně je zobrazen graf průběhu
hodnot logistické rovnice pro počáteční hodnotu = 0,85 a řídící parametr = 3,8.
4 Pokud v textu u ilustrace (grafu, schématu apod.) či tabulky není uvedena citace použitého zdroje
v hranatých závorkách, jedná se o autorčino vlastní zpracování.
Page 19
19
Obr. č. 2 – Chaotické chování znázorněné průběhem hodnot logistické rovnice
Uvedený graf je možné považovat za praktické znázornění deterministického chaosu.
Přesto, že se průběh hodnot pouhým vizuálním posouzením jeví jako náhodný, je
přesně definován logistickou rovnicí.
Bifurkační body, bifurkace – pojmy bifurkační bod a bifurkace jsou charakteristické
pro oblast deterministického chaosu. Ve shodě s [3, s. 1173] lze obecně konstatovat,
že bifurkace je proces rozdvojování stavu určité entity, který nastává u nelineárních
dynamických soustav s určitými vlastnostmi, a který se odehrává v bifurkačním bodě.
Ten je tak koncovým bodem stability či, jinak řečeno, prahem nestability. V analýzách
potenciálně možného chaosu v nelineárních systémech znamenají bifurkace, dle
stejného zdroje, změnu jejich projevů.
Bifurkační diagram [3, s. 887] – bifurkaci (nastávající za takového stavu systému,
v němž má tento možnost volby, jak se bude vyvíjet v čase) neboli větvení stavů
systému je možné graficky zobrazit v diagramu bifurkace. V něm jsou na vertikální
osu vynášeny výsledky řešení systému (jeho stavy), na osu horizontální pak podstatný
parametr systému. Obr. č. 3 [3, s. 887] schematicky znázorňuje bifurkační diagram,
z něhož je patrná kaskáda bifurkací přecházející v chaos.
Obr. č. 3 – Schematické znázornění bifurkačního diagramu [3, s. 887]
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91
xi+1
číslo iterace
Chaotické chování znázorněné průběhem hodnot logistické rovnice
kaskáda bifurkací
stabilní řešení
01
02
02
body bifurkace
chaos
Page 20
20
Tato stať dosud objasnila základní pojmy teorie chaosu, na logistické funkci bylo
demonstrováno chaotické chování a pomocí bifurkačního diagramu také znázorněno, jak ke
zmíněnému chaotickému chování dochází. Dále je již pojednáno o atraktorech a s nimi
souvisejících pojmech.
Atraktor – na základě vymezení uvedeném v [3, s. 886] je atraktor dynamického
systému zobrazením chování dynamického systému ve fázovém prostoru, popisuje
tedy dlouhodobé chování systému a konečný stav, do něhož tento systém směřuje. Dle
stejného zdroje lze atraktory členit do následujících tříd:
o Atraktory bodové (atraktorem jsou pevné body) – pro ně je
charakteristické, že soustava a ji popisující systém se v nekonečném čase
na konci procesu ustálily v určitém stabilním rovnovážném stavu.
Příkladem tohoto atraktoru je kulička kutálející se do trychtýře, která,
ačkoli je spuštěna z jakéhokoli místa na horním obvodu trychtýře, vždy
skončí v trubiččce zakončující trychtýř – tedy v přesně daném bodě.
o Atraktory periodické (atraktorem jsou limitní cykly) – dané limitní cykly
popisují pravidelné chování systému v čase, které odpovídá periodickým
stavům. V nekonečném čase se tak systém ustálil takovým způsobem, že
osciluje mezi několika stavy.
o Atraktory podivné neboli chaotické – mají vlastnosti fraktálů, jsou velmi
komplikované, přesto ale vykazují určité pravidelnosti a na rozdíl od
periodických atraktorů také extrémní citlivost na počáteční podmínky.
Ukázkou chaotického atraktoru je například Lorenzův podivný atraktor na
Obr. č. 4, který byl vygenerován pomocí OpenTSTool toolboxu programu
Matlab.
Obr. č. 4 – Lorenzův atraktor
Page 21
21
Fraktál, soběpodobnost, soběpříbuznost [5, s. 23, 30] – fraktál definujeme jako
objekt, jehož geometrická struktura se opakuje v něm samém. Tyto objekty můžeme
dělit na dva základní typy, a to na fraktály soběpodobné a soběpříbuzné. Se
soběpodobnými fraktály se lze setkat pouze při matematických konstrukcích.
Charakteristickým znakem těchto struktur je to, že se v nich opakuje původní
originální motiv mateřského útvaru či tělesa. Jakýkoli výsek je tak kopií původního
objektu. Naopak soběpříbuzné fraktály vidíme kolem sebe každý den. Jsou jimi
mraky, lesy, hory apod., pro něž je typické, že kterýkoli výsek je podobnou kopií
původního útvaru. Za „otce“ fraktální geometrie můžeme označit Benoita
B. Mandelbrota. Ten ji proslavil knihou The Fractal Geometry of Nature (1982) a jeho
tzv. Mandelbrotova množina zobrazená vlevo na Obr. č. 5 [6] se stala takřka jejím
symbolem. Obr. č. 5 [6] znázorňuje vpravo také další příklad fraktálu – Juliovu
množinu.
Obr. č. 5 – Mandelbrotova a Juliova množina [6]
Motýlí efekt, Edward Lorenz [3, s. 872, 917] – americký fyzik a meteorolog
E. N. Lorenz na střetnutí Americké asociace pro pokrok a vědu (1972 Washington)
svým výrokem „Zamávání motýlím křídlem v Brazílii se může projevit jako tornádo
nad Texasem.“ vyslovil metaforu, nyní známou jako motýlí efekt, a vyjádřil tak
velkou citlivost chování nelineárních systémů na počátečních podmínkách. Edward
Lorenz je jednoznačně považován za nejvýznamnějšího průkopníka deterministického
chaosu. Jeho zásadní počiny v této oblasti představuje například chování
tzv. Lorenzova vodního kola a problém dlouhodobé předpovědi počasí.
Problematika deterministického chaosu je spojena s řadou pojmů charakterizujících
systémy. Aby obsah diplomové práce nebyl vágním, jsou v závěru této statě pojmy
Page 22
22
dynamický systém, nelineární systém, deterministický a chaotický systém vymezeny dle
zdroje [3, s. 881–882] takto:
Dynamický systém – systém je abstraktní objekt vytvářený na objektu reálném
(soustavě). Je tvořen množinou veličin a vazeb mezi nimi, jež jsou podstatné
z hlediska určitého zájmu subjektu o reálný objekt. Pokud struktura soustavy, na níž je
systém vytvořen, vykazuje dynamičnost – časovou závislost, pak systém je také
dynamický.
Nelineární systém – je takový systém, v němž vztahy mezi závislými a nezávislými
veličinami jsou nelineární (tím se liší od systému lineárního). Mezi odezvami
a příčinami u soustavy tedy neexistuje přímá či nepřímá úměra. Nelinearita systému
potom může být důsledkem specifického uspořádání vazeb mezi prvky, které vytváří
zpětnovazební smyčky interakcí.
Deterministický systém – pokud je při známé rovnici časového vývoje systému, při
známých hodnotách jeho parametrů a známých počátečních podmínkách možné na
základě výpočtu stanovit budoucí vývoj tohoto systému – považujeme jej za
deterministický.
Chaotický systém – je charakterizován chaotickým chováním, které je
nepředvídatelné.
4.1.2 Charakteristiky deterministického chaosu
V úvodu kapitoly 4.1.1 bylo objasněno, jaký jev se u určité entity považuje za
deterministický chaos. Pro tento druh chaosu jsou charakteristické následující skutečnosti
a z nich plynoucí důsledky [3, s. 876–877]:
1) Vznik deterministického chaosu je možný u entit, jejichž chování je dynamické
a tedy časově závislé, přičemž vztahy mezi příčinami a následky jsou nelineární.
Hovoříme tak o dynamických nelineárních systémech, které v případě, že
vykazují chaotické chování, označujeme jako chaotické dynamické systémy.
Veškeré nelineárně se chovající entity (soustavy) jsou tak potenciálně předurčené
k chování chaotickému a je u nich žádoucí výskyt deterministického chaosu
zkoumat (prokázat, či vyvrátit).
2) Vždy lze nalézt příčiny, které vedly k určitým následkům, v čemž spočívá ona
determinističnost deterministického chaosu. Shodná příčina však nemusí způsobit
stejné následky. Existuje nespočitatelné množství možných následků
Page 23
23
(budoucností), které je nezbytné pokládat za stejně potenciálně možné. Která
budoucnost se bude skutečně realizovat, se označuje lidově jako „osud“.
3) Chaotičnost chování entity znamená nepředpověditelnost následků známé příčiny.
4) Nepředpověditelnost chování entity se může projevit ve formě vzniku náhlých,
velkých a nepředpověditelných změn. Zabývá se jimi teorie katastrof, přičemž
termín katastrofa zde není chápán jako neštěstí, ale ve významu řeckého slova
katastrofé – tj. ve smyslu náhlé změny v divadelním dramatu.
5) Hodnoty důsledků jsou extrémně závislé na hodnotách příčin, což je označováno
jako extrémní citlivost na počáteční podmínky neboli motýlí efekt. V důsledku
této extrémní citlivosti na počáteční podmínky se entity, které se v krátkodobém
časovém intervalu chovají deterministicky, mohou v dlouhodobém horizontu
chovat nepředvídatelně. Každá i drobná odchylka se v průběhu času
exponenciálně zvětšuje, a proto u entit, u nichž je nutné počítat
s deterministickým chaosem, není možné dlouhodobě předpovídat jejich chování.
6) Omezenost lidského poznání, ani nepřesnosti měření příčin jevu nezpůsobují
existenci deterministického chaosu. Ta spočívá v samotné podstatě procesů, které
u entit probíhají.
4.1.3 Aplikační sféry deterministického chaosu
Teorie chaosu je nadoborová disciplína. Potenciálně možný výskyt deterministického
chaosu je tedy možné zkoumat napříč různými obory, ať už přírodovědnými nebo
technickými. S rozvojem chaosu byl tento objevován ve všem, co člověka obklopuje.
Aplikační sféry jsou například [3, s. 877]: fyzika (nelineární mechanika, turbulence atd.),
strojírenství (mechanické a elektromechanické soustavy, mechatronické výrobky atd.),
biologie a fyziologie (dynamika populací, evoluční jevy, aktivita srdce, epidemie různých
nemocí apod.), geofyzika a meteorologie (předpovědi počasí), astrofyzika (reakce hvězd),
astronomie (pohyby planet), chemie (různé chemické reakce), sociologie (demografické
modely), ekonomika a finančnictví (modely trhů a burzy).
4.1.4 Typy problémů deterministického chaosu
Nadoborově lze problémy členit na přímé a nepřímé. Stejné vymezení je používáno
také pro problémy řešené v oblasti deterministického chaosu, kde analogicky hovoříme
o přímém problému deterministického chaosu a nepřímém problému deterministického
chaosu.
Page 24
24
Prof. Janíček ve své knize [3, s. 880] jednotlivé pojmy definuje takto:
Přímý problém deterministického chaosu vychází ze situace, v níž existuje entita,
u níž lze předpokládat, že její projevy a tím i chování jsou dynamické a nelineární. Tím je
splněn výchozí předpoklad potenciálního výskytu deterministického chaosu. U tohoto typu
problému jsou vstupem do algoritmu řešení příčiny a výstupem pak důsledky daných příčin.
Nepřímý problém deterministického chaosu je řešen, pokud u entity bylo zjištěno
chaotické chování, přičemž je žádoucí znát, za jakých okolností k němu došlo. Za vstup jsou
považovány důsledky (projevy), výstup tvoří příčiny.
Výše uvedené charakteristiky jsou pouze obecným uvedením do řešené problematiky.
Podrobně bude zejména nepřímý problém deterministického chaosu rozebrán v následující
kapitole diplomové práce.
4.1.5 Deterministický chaos v ekonomických soustavách
V úvodu této kapitoly je nejdříve pojednáno o vlastnostech ekonomických soustav,
které musí splňovat určité předpoklady, aby v nich mohl být umožněn potenciální výskyt
deterministického chaosu. V návaznosti na to, že jedním z dílčích problémů formulovaných
v kapitole 3 je řešení nepřímého problému deterministického chaosu v tomto oboru, je tento
dále vymezen spolu s uvedením možnosti jeho řešení.
Vlastnosti ekonomických soustav
Co se týče vlastností ekonomických soustav, jsou to soustavy [3, s. 1176]:
1) Strukturně heterogenní – skládají se jak z prvků technických (zpracovatelské,
výrobní, technologické komplexy), tak sociálních (organizační instituce, spotřebitelé).
Okolí těchto soustav má pak charakter ekologický.
2) Smíšené až měkké – existuje určitá neostrost (mlhavost) při určování rozhraní mezi
soustavami a jejich okolím a také zajišťování funkcí (které soustavy vykonávají) je
spojeno s větší nejistotou úspěšnosti, než je tomu u soustav tvrdých (technické
soustavy). Z těchto důvodů je obtížné formulovat problémy spojené s existencí
a funkčností měkkých soustav.
3) Velké, složité, špatně průhledné – obsahují velký počet prvků (velké) a velké
množství vazeb mezi prvky soustavy (složité), přičemž cesty soustavou jsou tak
spletité, že je velmi obtížné se v nich orientovat (špatně průhledné).
Page 25
25
4) Částečně strukturované – nemusí být známé některé z prvků nebo vazeb struktury
soustavy.
5) Otevřené – mezi soustavou a jejím okolím probíhají interakce.
6) Disipativní – disipativnost je podmíněna otevřeností ekonomických soustav a vychází
ze skutečnosti, že lidé pro technické a ekonomické procesy čerpají ze svého okolí
energii a jen její část vrací do okolí zpět. Přírodě také zcizují primární suroviny, které
dále zpracovávají na zboží, přičemž zpět do přírody je opět vrácena jen část odebrané
hmoty ve formě odpadu. Z uvedeného je zřejmé, že část energie a hmoty se
v hospodářských procesech nenávratně ztrácí – disipuje.
7) Dynamické – charakteristiky ekonomických soustav jsou proměnné v čase. Dochází
tak k tomu, že se mění jejich struktury, způsoby aktivace, procesy probíhající
v soustavách, jimi vyvolané stavy a i jejich projevy.
8) Nelineární – v důsledku existence zpětnovazebních smyček nejsou závislosti mezi
parametry ekonomických soustav lineární. Možné znázornění takové zpětné vazby,
konkrétně v oblasti finančních trhů, demonstruje Obr. č. 6 [4, s. 127]. Jeho autoři
k němu uvádějí, že při obchodování na světových burzách dochází k opakujícím se
procesům, jelikož cena akcie neroste do nekonečna a (kromě případu krachu
společnosti) také neklesá k nule. V procesu obchodování dochází k neustálému
vzájemnému ovlivňování burzy a investorů, přičemž důležitou roli má právě zpětná
vazba tvořená reakcí investorů na průběh burzy. Vstupem do uvedeného systému S je
proměnná I – například jí může být informace o ceně akcie, za výstup O pak
považujeme výslednou cenu této akcie. Bloky „Burza“ a „Investoři“ představují
jejich chování. Na schématu vidíme, že zde kromě větve přímé jdoucí ve směru zleva
doprava působí ve směru opačném (zprava doleva) také popsaná zpětná vazba.
Obr. č. 6 – Schéma zpětné vazby na finančních trzích [4, s. 127]
Zpětná vazba může mít, dle [4, s. 127], dvě podoby. Jsou jimi kladná zpětná vazba,
která na finančních trzích dominuje (a to při růstu i poklesu cen akcií, indexů, komodit
či kurzů měn) a představuje opakující se smyčku způsobující změnu ve stejném směru,
I
S
O
Investoři
Burza
Page 26
26
nestabilitu a chaos, a záporná zpětná vazba, jenž má tlumící účinek a pozitivní vliv na
stabilitu. Proces působení kladné zpětné vazby je možné popsat pomocí Obr. č. 7
[4, s. 128].
Obr. č. 7 – Působení kladné zpětné vazby na finančních trzích [4, s. 128]
V horní části Obr. č. 7 [4, s. 128] je znázorněna smyčka, která je představována růstem
cen, následným zvýšením počtu kupujících a vyčkáváním prodávajících, čímž nutně
dojde k nedostatku akcií. Smyčka se několikrát opakuje až do doby, kdy je vytvořen
nestabilní vrchol. Pod vlivem psychologického jevu „davového chování“ pak nastane
prudký pokles cen. Rostoucí trend je tak nahrazen prudce klesajícím a další vývoj je
představován dolní smyčkou. V ní ceny klesají, roste počet prodávajících
a nakupujících, kteří čekají na nižší ceny, čímž nastane přebytek akcií. Smyčka se opět
několikrát opakuje, až nastane propad, po němž vlivem „davového chování“ ceny
znovu začnou růst. Po klesajícím trendu je nastoupen výrazný růst a dosažena horní
smyčka. Na kladnou zpětnou vazbu mají zesilující vliv například nečekané zprávy
(očekávání pozitivní/negativní zprávy, vyhlášení pozitivní/negativní zprávy). Přechod
mezi zobrazenými smyčkami je dán působením záporné zpětné vazby. Ta podporuje
stabilitu a je vyjádřením antagonismu kupujících a prodávajících, kteří mají ve stejnou
dobu protichůdné názory. Kupující a prodávající tak neutralizují extrémní pohyb,
přičemž tato silná záporná vazba utlumuje pohyb cen. [4, s. 127–128]
Prodávající čekají na vyšší ceny
Ceny rostou
Nedostatek akcií Více kupujících
Výrazný vzrůst cen Prudký pokles cen
Nakupující čekají na nižší ceny
Ceny klesají
Přebytek akcií Více prodávajících
Page 27
27
9) Stochastické – budoucí chování ekonomických soustav není jednoznačně dáno
počátečními podmínkami.
10) Synergické – synergii v ekonomických soustavách chápeme ve dvou významech.
Prvním je cílená kooperace procesů probíhajících v dané soustavě s cílem zvýšení
efektivnosti jejího chování. Druhý tvoří kooperace procesů, jejímž výsledkem jsou
samoorganizované procesy, které se projevují vznikem nových struktur a tím i nových
procesů a projevů soustavy.
Uvážíme-li vlastnosti ekonomických soustav vymezené v předcházejícím textu,
můžeme oprávněně tvrdit, že výskyt deterministického chaosu je v těchto soustavách
potenciálně možný. Jejich otevřenost, dynamičnost a nelineárnost jsou odůvodněním toho,
proč je nezbytné se při řešení nejrůznějších problémů v této oblasti zabývat otázkou
deterministického chaosu.
Aplikační sférou, ve které má detekce deterministického chaosu svůj nezastupitelný
význam, jsou kapitálové trhy. Od jejich samotného vzniku až do současnosti vznikl nespočet
růžných analýz (např. technická a psychologická analýza), které však vždy měly společného
jmenovatele – snahu o pochopení podstaty cenových pohybů finančních entit a jejich
následnou předpověď. Finanční analytici tyto nástroje ve své praxi využívají zpravidla
v kombinaci a na základě jejich výstupů činí rozhodnutí. Nehledě na použité analýzy by však
vstupní informací do procesu řešení vždy mělo být nejdříve stanovení, zda výchozí časová
řada obsahuje deterministickou složku, či je zcela náhodná. Od tohoto faktu by se následně
měl odvíjet význam dalších predikcí a tedy i aplikace analýz. Případné prokázání
deterministického chaosu pak představuje možnost alespoň v krátkém časovém horizontu
prognózovat vývoj příslušných finančních entit. V opačném případě jsou jakékoli snahy
předpovědět budoucí vývoj liché a tvorba podrobných predikčních modelů pozbývá významu.
Podstatu deterministického chaosu na kapitálovém trhu lze tedy na závěr shrnout dle
[3, s. 1186] následovně: „Pokud by byl chaos na kapitálovém trhu potvrzen, pak by to
znamenalo, že chování kapitálového trhu je popsáno deterministickými zákonitostmi v podobě
určité soustavy matematických rovnic. To by umožňovalo alespoň krátkodobé předpovědi
chování kapitálového trhu, což by byl významný nástroj v rukách makléřů.“
Úvod kapitoly 4.1.5 tedy vymezuje potenciální možnost existence deterministického
chaosu v časových řadách generovaných ekonomickými procesy a jeho význam v oblasti
kapitálových trhů, čímž je naplněn jeden z vytyčených cílů diplomové práce.
Page 28
28
Analýza deterministického chaosu v ekonomických soustavách
Na potenciální výskyt chaotického chování ekonomické soustavy usuzujeme z řešení
přímého, či nepřímého problému deterministického chaosu. Oba typy problémů jsou
vymezeny v textu této statě.
Přímý problém deterministického chaosu v ekonomických soustavách a možnosti
jeho řešení [3, s. 1179] – přímý problém je řešen, existuje-li dynamická soustava s výskytem
nelinearit a má se zjistit, zda chování soustavy může být za určitých podmínek chaotické. Na
řešení problému je možné aplikovat výpočtové či experimentální modelování. Úskalí však
spočívá v samotných vlastnostech ekonomických soustav, které způsobují, že se obtížně
proniká k podstatám ekonomických procesů a při modelování tak mohou nastat chyby. Již
vytváření hypotéz o těchto procesech a jejich chování na lingvistické a následně matematické
úrovni není snadné. Nelehká je také realizace ekonomických experimentů. Lze tedy
konstatovat, že v současné době není řešení přímého problému deterministického chaosu
snadné a tím i běžné.
Nepřímý problém deterministického chaosu v ekonomických soustavách a možnost
jeho řešení – na existenci deterministického chaosu se usuzuje z časových řad ekonomických
dat [3, s. 1180]. V praxi je velmi těžké pouze na základě zrakového posouzení odlišit, zda
časová řada, která představuje grafický záznam projevů určité soustavy v čase, je zobrazením
náhodného či chaotického (ve smyslu výskytu deterministického chaosu) chování soustavy.
Toto tvrzení je podpořeno znázorněním časové řady vytvořené opakováním hodu homogenní
hrací kostkou na Obr. č. 8. Porovnáme-li jej s Obr. č. 2 (na str. 19) znázorňujícím chaotický
průběh logistické funkce, tak vidíme, že není možné chaotickou časovou řadu od náhodné
rozeznat.
Obr. č. 8. – Časová posloupnost hodů kostkou
0 1 2 3 4 5 6 7
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111
xi
číslo iterace
Časová posloupnost hodů kostkou
Page 29
29
Řešení nepřímého problému deterministického chaosu (při známém průběhu časové
řady a zkoumání, zda je tento chaotický) tak spočívá ve dvou samostatných, na sebe
navazujících krocích [3, s. 1168–1169]:
1) Rekonstrukce trajektorie systému ve fázovém prostoru (neboli rekonstrukce
fázového prostoru) – v této první fázi je nezbytné zrekonstruovat atraktor ve
fázovém prostoru. K tomu slouží tři základní metody a to metoda derivací, metoda
rozkladu na hlavní komponenty, nebo metoda časových zpoždění.
2) Určení kvantifikátorů deterministického chaosu – pomocí hodnot zvolených
kvantifikátorů se určí, zda se jedná o deterministický chaos. Možnými
kvantifikátory jsou například největší Ljapunovovův exponent5 (v některých
zdrojích označovaný také jako Lyapunovův exponent) a korelační dimenze.
V kapitole 7 diplomové práce bude rekonstrukce atraktoru provedena pomocí metody
časových zpoždění. Na jejím základě bude dále možné odhadnout hodnotu největšího
Ljapunovova exponentu. Jako první však bude vyjádřena hodnota Hurstova exponentu, který
rovněž náleží do teorie chaosu a lze pomocí něj vyjádřit míru chaotičnosti časové řady. Pro
jeho odhad není zapotřebí rekonstrukce atraktoru ve fázovém prostoru a je tak možné jej
získat přímo z původní časové řady. Zmíněné exponenty v diplomové práci tvoří
kvantifikátory chaosu. O problematice jejich odhadu je pojednáno v metodice řešení
v kapitole 6.
Na závěr této statě, která vymezuje deterministický chaos v ekonomických soustavách,
jsou uvedeny příklady prací, jejichž autoři se některým ze zvolených kvantifikátorů chaosu
zabývali.
Práce z oblasti deterministického chaosu v ekonomických soustavách
Postavení deterministického chaosu v ekonomice je velmi komplikované, a to hned
z několika příčin [3, s. 1194]:
V dané oblasti existuje velký tradicionalismus v používání „nechaotických“
přístupů a metod.
5 Alexander Michajlovič Ljapunov – ruský matematik, jehož jméno je známo z teorie pravděpodobnosti,
dynamických systémů a jejich stability. Ljapunovovým exponentem se u chaotických systémů popisuje
rozbíhavost (divergence) blízkých trajektorií. [5, s. 22]
Page 30
30
Dokazování existence deterministického chaosu je specifické v tom smyslu, že je
nezbytné řešit nepřímé problémy deterministického chaosu a usuzovat tak na jeho
výskyt z empiricky určených časových řad ekonomických dat.
Prokazování deterministického chaosu z časových řad vyžaduje proniknutí do
podstat algoritmů daného prokazování.
Přesto existuje celá řada příspěvků, které se verifikací hypotéz o chaotickém chování
určitých ekonomických procesů zabývají. Ilustrací jsou například následující články, v jejichž
obsahu můžeme nalézt odhady Hurstova, či Ljapunovova exponentu, které v diplomové práci
tvoří kvantifikátory chaosu.
Článek uveřejněný v akademickém časopise Economic Computation & Economic
Cybernetics Studies & Research s názvem „TIME-VARYING HURST
EXPONENT FOR THE BUCHAREST EXCHANGE MARKET“ [7] zkoumá
chování bukurešťského devizového trhu pomocí Hurstova exponentu (k jeho
odhadu používá R/S analýzu). Pro časové řady logaritmických výnosů dvou
zvolených finančních entit (Bucharest Exchange Trading Index a RASDAQ
Composite Index6) byla zjištěna hodnota Hurstova exponentu větší než 0,5. Tato
hodnota značí přítomnost dlouhodobé paměti v časové řadě a také to, že tato není
normálně rozdělená.
Modelováním časových řad akciových výnosů se ve stejnojmenném článku
zabývají autoři ve zdroji [8]. Jako vstupní data používají denní uzavírací ceny
akcií (ČEZ, Komerční banka, Philip Morris, Český Telecom a Unipetrol) v období
let 2001–2005, tj. 1256 hodnot. Z těchto cen dále vypočítávají logaritmické
výnosy v procentech a takto upravené časové řady podrobují R/S analýze ke
zjištění Hurstova exponentu. Ten pouze pro akciové výnosy ČEZ a Unipetrol
mírně překročil hodnotu 0,5. Pro ostatní výnosy byl nepatrně pod touto hranicí.
Lze však konstatovat, že žádná ze zkoumaných časových řad neobsahuje
dlouhodobý paměťový cyklus.
Další z odborných článků nazvaný „CHAOS AND ORDER IN CAPITAL
MARKETS – THE CASE OF A SMALL TRANSITION ECONOMY“ [9]
prezentuje analýzu k prokázání dlouhodobé paměti u finanční entity (denních
6 Vstupní data pro analýzu tvoří denní uzavírací ceny v letech 1998–2009 pro Bucharest Exchange
Trading Index a v letech 1999–2009 pro RASDAQ Composite Index. Původní řada hodnot byla následně
převedena a řadu logaritmických výnosů.
Page 31
31
výnosů slovinského akciového indexu – Slovenian Stock Index). Jeho autoři
provedli odhad Hurstova exponentu a prokázali tak, že hypotéza efektivního trhu
(náhodné procházky) v daném případě neplatí a data nemají normální rozdělení.
Empirické důkazy o existenci chaotické struktury na ropných trzích (v časových
řadách výnosů ropy) poskytuje článek „Chaotic Structures in Brent & WTI Crude
Oil Markets: Empirical Evidence“ [10]. Jako jeden z nejvýznamnějších
kvantifikátorů chaosu je zde počítán největší Ljapunovovův exponent, z jehož
kladné hodnoty můžeme usuzovat na existenci deterministického chaosu.
Přehlednou tabulku, která shrnuje významné kvantifikátory chaosu pro akciové
indexy vybraných trhů, lze nalézt v článku s názvem „Chaotic analysis of
predictability versus knowledge discovery techniques: case study of the Polish
stock market“ [11]. Pro všechny zkoumané finanční entity zde vyšly hodnoty
Ljapunovových exponentů kladné. Opět tedy lze usuzovat na výskyt chaosu.
4.2 TEORIE ELLIOTTOVÝCH VLN
Finanční trh je ekonomickou soustavou, v níž neustále a opakovaně probíhají procesy
kladných i záporných zpětných vazeb. V důsledku jejich působení vznikají charakteristické
tvary časových řad finančních entit, které mají fraktální charakter a lze je popsat Elliottovými
vlnami. Elliottovy vlny tak představují možný způsob analýzy trhů a predikce jejich
budoucího vývoje.
Autorem vlnové teorie „Wave Principle“7, jejíž základy byly položeny již ve třicátých
letech dvacátého století, je Ralph Nelson Elliott. Fascinován pohyby cen na Wall Streetu začal
zkoumat měsíční, týdenní, denní, hodinové i půl hodinové grafy hodnot cenových průběhů
různých indexů, které zahrnovaly 75 let chování burzy, a objevovat tak vlnovou teorii chování
burzovního trhu pomocí empirických důkazů. Sestavoval grafy s hodinovým cyklem pro
index Dow Jones Industrial Average a v roce 1934 sepsal na základě svých pozorování soubor
pravidel, která aplikoval na všechny stupně vlnových pohybů. Elliott vlnovou teorii neustále
zpřesňoval, prováděl korekce, studoval jevy do stále větší hloubky a objevoval také nová
pravidla. Známým se Elliott stal v roce 1935, když přesně předpověděl výrazné hodinové
minimum akcie Industrials a to 13 obchodních hodin dopředu. V dnešní době se již jeho
pozorování označují za fraktální a hovoří se o teorii chaosu. Přičemž je zde zajímavé
7 Elliottova kniha nazvaná „The Wave Principle“ byla pro veřejnost publikována v roce 1938
[12, s. 261].
Page 32
32
zdůraznit, že Elliott vytvářel svou teorii ve 30. letech minulého století, zatímco vznik fraktální
geometrie se datuje o 40 let později. [2, s. 11, 16–17]
4.2.1 Vymezení pojmů
Cílem této kapitoly je uvést základní pojmy Elliottovy teorie. Výchozím zdrojem pro
jejich vymezení je publikace [2, s. 18, 21]:
1) Elliottovy vlny – jsou složitým systémem s rigorózními vazbami mezi vlnami.
2) Vlna – za vlnu považujeme cenový pohyb (akcie či jiného aktiva) v určitém směru.
3) Stupně vln – Elliott vytvořil hierarchický systém vln. Stupeň vlny je určen její
velikostí a postavením, které zaujímá vzhledem k ostatním vlnám, přičemž
rozlišujeme devět stupňů (velký supercyklus, supercyklus, cyklus, primární,
prostřední, malý, menší, nejmenší a minimální). Například vlna cyklus je tak tvořena
primárními vlnami, ty prostředními apod.
4) Pohyb – tento pojem není v Elliottově teorii chápán absolutně jako růst (například
ceny akcie), ale relativně ve smyslu směru, kterým jde vlna vyššího stupně.
5) Hybný režim – je vyjádřením souhlasného pohybu ve směru pohybu vlny vyššího
stupně.
6) Korekční režim – znamená pohyb proti směru pohybu vlny vyššího stupně.
7) Pravidla – pravidla definují takové skutečnosti, které vlna musí bezpodmínečně ve
všech případech splňovat.
8) Směrnice – směrnice vyjadřují ty skutečnosti, které nemusí být striktně dodržovány.
4.2.2 Základy teorie
R. N. Elliott na základě svých pozorování vytvořil velmi složitý hierarchický systém
různých typů vln a stanovil přesné vazby mezi nimi. Tento systém ve své práci velmi
podrobně popsal. Detailní popis vlnové teorie však přesahuje možnosti diplomové práce, a tak
jsou v následujícím textu uvedeny pouze základní Elliottovy myšlenky.
Elliottovy vlny představují fraktální strukturu, která popisuje charakter finančních trhů
jako celku. Základním opakujícím se prvkem je pětivlnový pohyb, nazývaný impuls, a jeho
třívlnová korekce. [13]
Page 33
33
Pětivlnový pohyb – impuls je nejtypičtějším představitelem hybného režimu. Na Obr.
č. 9 [2, s. 19] je znázorněn rostoucí trendový impuls. Vlny 1, 3, 5 v něm vyvolávají hybný
pohyb, zatímco vlny 2 a 4 jsou naopak v rámci daného impulsu vlnami korekčními [2, s. 18].
Obr. č. 9 – Trendový impuls, rostoucí [2, s. 19]
Za impuls však označujeme nejen růstový pohyb (např. růst ceny akcie), ale také
pohyb opačný (pokles ceny akcie). Impuls zobrazený na Obr. č. 10 [2, s. 19] je zobrazením
právě cenového poklesu, neboť vlna vyššího stupně (jejíž je součástí) je vlnou klesající.
[2, s. 18–19]
Obr. č. 10 – Trendový impuls, klesající [2, s. 19]
Pro správné určení impulsních vln je nezbytné znát určitá definovaná pravidla, která
musí vlna typu impuls splňovat. Jsou jimi [2, s. 19]:
1) Vlna 2 nikdy nevstupuje do zóny vlny 1.
2) Nejkratší vlnou nikdy není vlna 3.
3) Vlna 4 se nikdy nepohybuje do zóny vlny 1, jinak řečeno, žádná část vlny 4 není
totožná s vlnou 2.
Nejsou-li tyto zásady u vlny dodrženy, nemůže se jednat o impuls, ale o jinou vlnovou
formaci [2, s. 19]. Pro lepší přiblížení této problematiky je první a třetí výše zmíněné pravidlo
dále graficky znázorněno pomocí obrázků.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
Page 34
34
Obr. č. 11 [2, s. 19] již demonstruje první pravidlo pro rostoucí impuls. Stejné pravidlo
pro impuls klesající by bylo možné znázornit zrcadlově obráceně.
Obr. č. 11 – Vlna 2 se nikdy nepohybuje do zóny vlny 1 [2, s. 19]
Třetí pravidlo také při rostoucím impulsu, které lze pro opačný a tedy klesající impuls
opět znázornit zrcadlově obráceně, zachycuje Obr. č. 12 [2, s. 20].
Obr. č. 12 – Vlna 4 nikdy neklesá do oblasti vlny 1 [2, s. 20]
Doplníme-li impuls znázorněný na Obr. č. 9 o korekční fázi tvořenou třemi vlnami
označenými A, B, C, získáme základní motiv, který se na finančních trzích v časových řadách
finančních entit v různém měřítku opakuje. Dokážeme-li daný motiv správně rozeznat,
budeme také schopni určit budoucí cenový pohyb a případné otočení trendu. Popsaný
trendový impuls s korekční fází je ilustrován pomocí Obr. č. 13 [2, s. 20].
Obr. č. 13 – Trendový impuls s korekční fází [2, s. 20]
1
2
3
4
5
A
B
C
1
2
3
4
5
1
2
nepřípustné pro impuls
Page 35
35
Pomocí Obr. č. 14 [2, s. 21] je možné vysvětlit a graficky prezentovat stupně vln. Je
zde patrné, že pětivlnová formace tvořená vlnami 1–5 je v rámci Elliottovy hierarchické
struktury vlnou (1) vyššího stupně a formace A–C vlnou (2). Podobně lze postupovat také ke
stupňům nižším. Vlna 1 (pětivlnové formace) tak může být tvořena pěti, nebo třemi vlnami
o jeden stupeň nižšího stupně. [2, s. 20–21]
Obr. č. 14 – Trendový impuls s korekční fází jako součást vlny vyššího stupně [2, s. 21]
Seskupování vln do systému pěti a tří má své opodstatnění, které je v [2, s. 21]
formulováno následovně: „Pokud má býti dosaženo pokroku v určitém směru (trendu)
a současně existuje kolísání (princip akce a reakce), pak nemůže existovat pouze vlna jediná,
protož neobsahuje kolísání. Třívlnový princip obsahuje v sobě kolísání, ale nemusí obsahovat
pokrok – trend (jsou-li tři vlny stejné velikosti a jedna z nich opačného trendu). Pouze
pětivlnová formace v sobě zahrnuje jak kolísání, tak i trend (pravděpodobnost, že by se všech
pět vln vzájemně vyrušilo, je malá).“
4.2.3 Matematické vztahy
Fibonacciho posloupnost
Leonardo Fibonacci da Pisa byl italský matematik, který znovuobjevil posloupnost
čísel, jež po něm byla následně pojmenována. Fibonacciho posloupnost je definována jako
rostoucí posloupnost čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 a dále až do nekonečna, která je řešením
takto formulovaného problému: Kolik párů králíků umístěných v uzavřené oblasti je možné
zplodit v jednom roce z jednoho páru, jestliže každý pár porodí nový pár každý měsíc
počínaje druhým měsícem? Bližším pohledem na uvedenou posloupnost zjistíme, že součet
dvou sousedních čísel určuje následující číslo posloupnosti. [2, s. 41]
1
2
3
4
5
A
B
C
(1)
5
(2)
5
Page 36
36
Souvislost Elliottových vln a Fibonacciho posloupnosti znázorňuje Obr. č. 15
[2, s. 43]. Z něj pomocí grafického vyjádření vln vidíme, že tyto fungují na stejném
matematickém základě. Elementární, dále nedělitelná impulsní vlna je přímka růstu.
Nejjednodušší korekční vlnu představuje přímka poklesu. Dohromady tvoří dvě linie a tedy
posloupnost 1, 1, 2. Korekční fáze se skládá ze tří vln, impuls je tvořen pětivlnovou formací.
Získaná posloupnost je 3, 5, 8. Obdobně by bylo možné pokračovat dále a získat tak další
čísla přesně odpovídající Fibonacciho posloupnosti čísel. [2, s. 43]
Obr. č. 15 – Elliottovy vlny a Fibonacci [2, s. 43]
Zlatý poměr
Vydělíme-li mezi sebou dvě sousední čísla Fibonacciho posloupnosti (nižší číslo
vyšším), získáme poměr 0,618 (zmíněné však neplatí zcela pro první čísla posloupnosti).
Mezi střídavými čísly – ob jedno číslo v posloupnosti, je poměr přibližně 0,382. Číslo 0,618
je pak známo jako zlatý řez, či zlatý poměr. Výskyt Fibonacciho čísel a zlatého poměru
v přírodě je vysvětlením, proč poměr 0,618 k 1 je tak půvabný v umění. Člověk tento obraz
do umění promítá, neboť jej vidí v přírodě. Ta užívá zlatý poměr ve svých stavebních prvcích,
jakými je například DNA v buňce či struktura rostlinstev. Z rozsáhlosti existence Fibonacciho
čísel v přírodě a umění, pak plyne také možnost používat tato čísla pro kvantifikaci
společenských procesů včetně cenových pohybů na akciových či jiných trzích. [2, s. 41–42]
medvěd býk dohromady
1, 1, 2
3, 5, 8
13, 21, 34
Page 37
37
Teorie Elliottových vln poměrů mezi Fibonacciho čísly také využívá. Na základě
zkušeností analytiků bylo prokázáno, že ostré korekce směřují k 61,8% velikosti předchozí
vlny, zvláště pokud se jedná o vlnu 2 impulsu – jak je znázorněno vlevo na Obr. č. 16
[2, s. 44]. Pravá část téhož obrázku představuje šikmé korekce, které bývají 38,2% předchozí
impulsní vlny, především jsou-li vlnou 4. [2, s. 43–44]
Obr. č. 16 – Poměr dvou sousedních vln [2, s. 44]
4.2.4 Pojednání o příčinách vzniku Elliottových vln
Kapitálový trh je dle [3, s. 1186] ekonomickou soustavou se složitou strukturou, mezi
jejíž prvky patří mimo jiné obchodníci s velmi heterogenními vlastnostmi i chováním. Tito
mají různý investiční horizont, na trh vstupují z odlišných důvodů, liší se svými názory,
ochotou riskovat, množstvím a úrovní informací a také je charakterizuje různá úroveň
racionálního jednání. Vzhledem k heterogenitě charakteristik tak není možné, dle stejného
zdroje, vytvořit věrohodné matematické teorie pro popis chování kapitálového trhu.
Existuje však jeden aspekt, který je důvodem, proč pro úspěšnou předpověď
budoucího vývoje určité finanční entity na kapitálovém trhu není matematických teorií
zapotřebí.
Stěžejní je zde tendence lidí – obchodníků se shlukovat a tvořit dav. Chování skupiny
nebo davu je nevyhnutelnou součástí lidského bytí. Davy vznikají na základě existence
stejného přesvědčení a kvůli ochraně před přesvědčením opačným. Trhy tedy kolísají právě
díky dynamice davu. V průběhu výrazného tržního trendu mají investoři tendenci dělat stejné
věci ve stejnou dobu a tím získávat psychologickou podporu. Výsledkem faktu, že většina
investorů jde „jedním směrem“, je zvrat cen, přičemž v okamžiku, kdy tento nastane, stojí tito
investoři na špatné cestě. Zmíněné davy na finančních trzích jsou spíše psychologickým
fenoménem, nemusí tak být nutně fyzicky shromážděné. Aktuální a potenciální účastníci jsou
na sebe napojení a vzájemně se ovlivňují přes národní i mezinárodní komunikační sítě
(noviny, televize, telefony či zprávy z trhů přímý kontakt nahrazují). Pokud tedy přijmeme
uvedený předpoklad, že chování jednotlivce je do určité míry ovlivněno potřebou se družit
0,618
0,382
1
c
2
a
b
b
a c
4
0,382
0,618
3
Page 38
38
a získávat souhlas ostatních, můžeme se na veškeré ekonomické a finanční chování dívat jako
na uspořádané. Nejisté chování jedince tak přechází v jasné chování davu, jehož výsledkem je
snadněji vysvětlitelná předpokladatelná ekonomická a finanční aktivita. [12, s. 7, 71]
Tohoto faktu využívá teorie Elliottových vln. Cenové grafy finančních entit totiž lze
v konečném důsledku považovat právě za odraz kolektivního chování obchodníků, které je
ovlivněno iracionalitou a emocemi, jež se v daných grafech objevují ve vlnách [13]. Právě
tyto opakující se vlny ve své práci podrobně popsal R. N. Elliott. Jeho teorie vychází
z předpokladu, že vývoj emocí davů od optimismu k pesimismu a zase zpět, má tendenci se
vyvíjet neustále stejným způsobem a vytvářet tak podobné vlnové struktury, čímž je možné
pohyb na kapitálovém trhu predikovat. Charakter každé vlny v Elliottově teorii je tak
integrální částí odrazu lidské psychologie, kterou tato vlna představuje. [2, s. 38]
Sám autor vlnové teorie Ralph Nelson Elliott již v roce 1935 řekl, že tyto vlny nedělají
chyby, chybná je jen jejich interpretace [2, s. 17].
Page 39
39
5 ANALÝZA PROBLÉMU
Základ pro další zpracování diplomové práce v oblasti analýzy deterministického
chaosu byl vystavěn především na pojmové soustavě a komplexním vymezení dané
problematiky v knize prof. Janíčka [3], se kterou se autorka ztotožňuje. Konkrétní metody,
které budou dále použity pro řešení nepřímého problému deterministického chaosu, jsou
popsány v následující kapitole.
Aby bylo možné interpretovat výsledky predikce určené pomocí teorie Elliottových
vln a tedy řešit druhý dílčí problém, byly v předchozím textu nastíněny také základní
Elliottovy myšlenky.
Domnívám se, že lze oprávněně konstatovat, že hlavní problém, tak jak byl
formulovaný v kapitole 3, nebyl dosud řešen. Předkládaná diplomová práce staví do
konfrontace teorii chaosu a teorii Elliottových vln, a to s cílem zjistit, zda mezi nimi v oblasti
predikce nastane shoda, či nikoli, což lze považovat za novost.
Existuje celá řada dostupných příspěvků, které se zabývají některým z kvantifikátorů
chaosu. Ať už se jedná o Hurstův exponent, Ljapunovovův exponent či jiný kvantifikátor, na
jehož základě je možné na výskyt deterministického chaosu usuzovat. Na portálech
věnovaných finanční sféře pak lze nalézt příspěvky, které demonstrují využití teorie
Elliottových vln. Ačkoli styčná plocha mezi oběma teoriemi vede přes fraktály, dosud nebylo
komplexně pojednáno o vzájemných interakcích obou teorií. Žádný z autorů prací, které se
zabývají analýzou deterministického chaosu, nenavázal na získané výstupy a nerozšířil svoji
práci o predikční část tak, aby dané výsledky prakticky potvrdil, či vyvrátil. Téma diplomové
práce je tak možné považovat za originální a nové.
Pro řešení diplomového úkolu byl využit tabulkový procesor Microsoft Excel, ve
kterém byly provedeny úpravy dat a následně také všechny výpočty a grafy týkající se odhadu
Hurstova exponentu. Odhad Ljapunovova exponentu pak byl realizován v prostředí programu
Matlab (využíván byl OpenTSTOOL toolbox). Zde hlavním úskalím nebylo samotné
zvládnutí práce se softwarem, nýbrž dohledání popisů metod, které tento software k výpočtu
používá, aby bylo možné jednotlivé dílčí výstupy získané v podobě grafů správně
interpretovat. Predikce Elliottových vln dále vychází z řešení prostřednictvím programu
Elwave.
Obsahově je práce nastavena tak, aby vymezený problém byl řešitelný a mohly tedy
být naplněny veškeré stanovené cíle.
Page 41
41
6 METODIKA ŘEŠENÍ
Řešení vymezeného problému se skládá ze tří dílčích částí:
1. analýzy výskytu deterministického chaosu u zkoumané finanční entity,
2. predikce finanční entity pomocí Elliottových vln,
3. porovnání výstupů poskytnutých teorií chaosu a Elliottovou vlnovou teorií v oblasti
predikce (verifikace hypotézy o shodě těchto výstupů).
6.1 ANALÝZA VÝSKYTU DETERMINISTICKÉHO CHAOSU
V první části, tj. analýze potenciálního výskytu deterministického chaosu, která
představuje nepřímý problém, bude postupováno podle algoritmu znázorněného na Obr. č. 17.
Obr. č. 17 – Schéma postupu při řešení nepřímého problému deterministického chaosu
1) První krok představuje získání dat pro analýzu ve formě časové řady. Požadavek zde
byl kladen především na délku této řady, přičemž bylo nutné získat 4097 jejích po
sobě jdoucích hodnot.
2) Druhým krokem je úprava dat, v rámci níž je původní časová řada převedena na řadu
výnosů prostřednictvím vzorce
[14, s. 91]
3) S takto vytvořenou časovou řadou je již následně pracováno jak při odhadu Hurstova,
tak i Ljapunovova exponentu. Hurstův exponent je možné získat přímo z této řady,
odhadu Ljapunovova exponentu musí předcházet rekonstrukce fázového prostoru (ta
Časová řada
Úprava dat
Odhad Hurstova
exponentu
Rekonstrukce fázového
prostoru
Volba časového
zpoždění
Volba dimenze
vnoření
Odhad Ljapunovova
exponentu
Page 42
42
spočívá ve volbě časového zpoždění a dimenze vnoření). Modrou barvou
a ohraničením jsou ve schématu vyznačeny kvantifikátory chaosu. V této fázi práce již
ke zvoleným kvantifikátorům – Hurstovu a Ljapunovovu exponentu bylo možné přidat
další prvek, na jehož základě lze odhalit chaotickou strukturu časové řady. Jak bude
ukázáno v dalším textu, tak již při samotné volbě vhodné dimenze vnoření lze pomocí
Caovy metody odlišit chaotickou řadu od náhodné.
Hurstův exponent – R/S analýza
V roce 1951 britský hydrolog H. E. Hurst (1900–1978) vynalezl metodu, dnes známou
jako R/S analýza (Rescaled Range Analysis), pomocí níž je možné odlišit časové řady
obsahující dlouhodobý nepravidelný cyklus od náhodných [15, s. 15]. Jinak řečeno, lze takto
určit míru chaotičnosti časové řady a zjistit, zda je tato fraktální, či normálně rozložená
[2, s 10].
Obecný postup R/S analýzy k odhadu Hurstova exponentu je následující [14, s. 91],
[8, s. 118–119]:
1) Začínáme s časovou řadou uzavíracích cen určité finanční entity {P1, P2, P3,..., PM}
s délkou M, která značí M pozorování (hodnot).
2) Původní časovou řadu převedeme na řadu logaritmických výnosů prostřednictvím
rovnice
Takto získaná časová řada má pak délku N, která odpovídá M – 1.
3) Časovou řadu výnosů rozdělíme do m sousedících, nepřekrývajících se intervalů
o délce n, přičemž platí vztah N = mn. Pro každý z intervalů dále vypočítáme:
4) Průměrnou hodnotu (j = 1, 2,…, m)
5) Časovou řadu kumulativních odchylek od průměru (k = 1, 2,…, n)
6) Rozpětí kumulativních odchylek
Page 43
43
7) Směrodatnou odchylku
8) Hodnotu R/S
9) Posledním krokem je pak výpočet průměrné hodnoty R/S pro interval délky n
10) Uvedené kroky se opakují pro další hodnoty n (značící délku intervalu), dokud není
dosaženo n = N/2. Poté je již možné odhadnout Hurstův exponent H pomocí lineární
regrese
,
v níž log(n) je nezávisle proměnná (vynášená na osu x grafu) a log(R/S)n je závisle
proměnná (vynášená na osu y grafu), c je konstanta. Směrnice přímky pak tvoří odhad
Hurstova exponentu H.
Je-li hodnota Hurstova exponentu rovna 0,5, pak je časová řada normálně rozložená,
neboli neobsahuje dlouhodobý paměťový cyklus. Blíží-li se naopak jeho hodnota k 0 nebo 1,
pak to značí, že časová řada dlouhodobý paměťový cyklus má. [4, s. 103]
Ljapunovovův exponent
Odhadu největšího Ljapunovova exponentu předchází rekonstrukce trajektorie
systému ve fázovém prostoru. Nejběžněji používanou metodou pro tuto rekonstrukci při
analýze chaosu v časových řadách je metoda zpoždění (Method of Delays).
Metoda časových zpoždění vychází z předpokladu existence jednorozměrné časové
posloupnosti, ze které je pomocí parametrů τ a m rekonstruován atraktor. Přičemž τ
reprezentuje časové zpoždění (time lag) a m je tzv. vnořená dimenze (embedding dimension).
Proces rekonstruovaný metodou zpoždění je tak reprezentován atraktorem v m-rozměrném
fázovém prostoru. Je zjevné, že jeho správná rekonstrukce závisí na stanovení vhodného
časového zpoždění i dimenze vnoření. [3, s. 991]
Volba časového zpoždění bude v rámci diplomové práce provedena metodou
vzájemné informace. Míra vzájemné informace představuje průměrné množství informace,
Page 44
44
kterou je možné získat z hodnot náhodné veličiny X o hodnotách náhodné veličiny Y. Pro
potřebu této práce a její další zpracování je postačující to, že jako vhodná délka časového
zpoždění pro rekonstrukci atraktoru ve fázovém prostoru se doporučuje taková hodnota τ,
v rámci níž míra vzájemné informace dosáhne prvního minima. [16, s. 307–308]
Volba dimenze vnoření (minimal embedding dimension) bude určena Caovou
metodou. Tato metoda má oproti jiným řadu výhod. Patří mezi ně skutečnost, že kromě
časového zpoždění τ neobsahuje žádné jiné subjektivní parametry, její výsledek není dále
silně závislý na počtu dat, která jsou k dispozici a co je velmi důležité, dokáže jasně odlišit
deterministickou a stochastickou časovou řadu. Pro volbu dimenze vnoření m využívá
parametr E1. Pokud je zkoumaná časová řada chaotická, přestává se hodnota E1 pro určitou
dimenzi vnoření měnit (dosáhne nasycení), tato je pak hledanou minimální dimenzí vnoření.
Pro náhodné časové řady by tedy E1 daného nasycení neměla nikdy dosáhnout. Může však
nastat situace, kdy se E1 přestane pro určitou dimenzi vnoření měnit, ačkoli je časová řada
náhodná. Z toho důvodu Caova metoda používá také druhý parametr E2, na jehož základě je
možné deterministickou a náhodnou časovou řadu odlišit. Pro náhodná data, v nichž budoucí
hodnoty nijak nezávisí na hodnotách minulých, bude E2 dosahovat přibližně hodnoty 1 pro
jakoukoli dimenzi vnoření. Naopak pro data deterministická vždy musí existovat určitá
dimenze vnoření, pro kterou E2 bude různé od jedné. Vzhledem k uvedeným skutečnostem
doporučuje autor této metody výpočet E1 i E2. [17]
Obr. č. 18 – Průběh hodnot E1 a E2 pro časovou řadu generovanou Hénonovým chaotickým
atraktorem [17, s. 45]
Page 45
45
Obr. č. 18 [17, s. 45] na předchozí straně je znázorněním proběhu hodnot E1 a E2
v závislosti na dimenzi vnoření pro časovou řadu generovanou chaotickým Hénonovým
atraktorem. „E1-1T“ a „E1-10T“ značí, že bylo použito 1000 respektive 10 000 hodnot časové
řady. Stejná je interpretace pro „E2-1T“ a „E2-10T“. Je patrné, že minimální dimenze vnoření
je 2 a dosažený výsledek není ovlivněn počtem použitých dat.
Jiná je situace pro náhodnou časovou řadu na Obr. č. 19 [17, s. 46]. Caova metoda
dokázala pomocí průběhu hodnot E2 odlišit tuto řadu od deterministické, neboť pro jakoukoli
dimenzi vnoření jsou hodnoty E2 přibližně jedna a nemají žádnou vazbu k hodnotám E1.
Obr. č. 19 – Průběh hodnot E1 a E2 pro náhodnou časovou řadu [17, s. 46]
Nyní již bude pojednáno o samotné problematice odhadu Ljapunovova exponentu,
z jehož kladné hodnoty je možné usuzovat na výskyt deterministického chaosu u zkoumané
entity. Chování nelineárních dynamických systémů lze charakterizovat podle chování dvou
vzájemně blízkých trajektorií, které se od sebe v chaotické oblasti vzdalují, tedy divergují
[3, s. 920]. Největší Ljapunovovův exponent, který je v rámci diplomové práce posledním
stanoveným kvantifikátorem chaosu, bude z grafu odhadnut na základě metody uvedené
v [18, s. 223–224], která tento divergentní pohyb trajektorií dokáže odhalit. Daný graf je pak
znázorněním závislosti chyby predikce p (prediction error) na počtu časových kroků k,
přičemž tuto závislost je možné rozdělit do tří fází. První fáze je pouze přechodná, sousední
trajektorie v ní konvergují ke směru, který odpovídá největšímu Ljapunovovu exponentu.
Během druhé fáze již vzdálenost mezi trajektoriemi narůstá exponenciálně. Pokud je tato fáze
dostatečně dlouhá, objeví se v grafu lineární segment, jehož směrnice je odhadem největšího
Page 46
46
Ljapunovova exponentu. Třetí, poslední fáze se vyznačuje tím, že vzdálenost blízkých
trajektorií narůstá pomaleji než exponenciálně. Tato metoda tedy umožňuje nejen odhad
zmíněného exponentu, ale také poskytuje možnost verifikace exponenciálního růstu
vzdáleností k rozlišení deterministického chaosu od stochastického procesu, v rámci něhož
dochází k neexponenciálnímu rozdělení trajektorií. [18, s. 223–224]
Obr. č. 20 [18, s. 224] je příkladem použití uvedené metody pro odhad Ljapunovova
exponentu pro data generovaná chaotickým Colpittsovým oscilátorem. Zřejmý je z něj
lineární segment, na jehož základě je odhadnut Ljapunovovův exponent. Jeho kladná hodnota
správně odhalila chaotickou podstatu časové řady.
Obr. č. 20 – Příklad odhadu největšího Ljapunovova exponentu pro data generovaná chaotickým
Colpittsovým oscilátorem [18, s. 224]
6.2 PREDIKCE POMOCÍ ELLIOTTOVÝCH VLN
Druhá část řešení vymezeného problému bude věnována predikci finanční entity
pomocí Elliottových vln. Obr. č. 21 je grafickou interpretací zmíněného. Časová řada s délkou
4097 hodnot tedy bude podrobena analýze, jejímž výstupem je zmíněná predikce.
Obr. č. 21 – Schéma postupu při predikci Elliottovými vlnami
Predikce Elliottovými vlnami Časová řada
Page 47
47
6.3 POROVNÁNÍ VÝSTUPŮ TEORIE CHAOSU A ELLIOTTOVY
VLNOVÉ TEORIE
Postup řešení závěrečné, stěžejní části diplomové práce, která odpovídá na otázku, zda
mezi teorií chaosu a Elliottovou vlnovou teorií nastane v oblasti predikce shoda, je zobrazen
na Obr. č. 22. Jeho popis je následující. Na základě analýzy deterministického chaosu (jeho
potvrzení, či vyvrácení) bude rozhodnuto o možnostech predikce. Následně bude trend
predikovaný Elliottovými vlnami porovnán se skutečně dosaženým vývojem dané časové
řady, čímž bude možné vyslovit závěry o přesnosti predikce (shodě predikce a reálných
hodnot časové řady). Takto získané výstupy teorie chaosu na straně jedné a teorie
Elliottových vln na straně druhé budou vzájemně porovnány. Závěrem pak bude zjištěna
jejich shoda, či rozpor, čímž bude naplněn hlavní cíl diplomové práce.
Obr. č. 22 – Schéma postupu při porovnání výstupů poskytnutých teorií chaosu a Elliottovou vlnovou
teorií
Elliottovy vlny PREDIKTABILITA
Deterministický chaos PREDIKTABILITA
?
Porovnání výstupů
SHODA ROZPOR
Page 49
49
7 REALIZACE ŘEŠENÍ A PREZENTACE VÝSLEDKŮ
7.1 VYMEZENÍ PROBLÉMŮ
V textu této části diplomové práce bude v logických souvislostech popsáno vlastní
zkoumání vymezeného problému. Řešena bude případová studie s následující strukturou:
1) Vymezení problému č. 1 – otázka výskytu deterministického chaosu u finanční entity
Vstupní údaje do procesu řešení
Použitá testová kritéria – Hurstův a největší Ljapunovovův exponent
Odhad Hurstova exponentu
Vlastní řešení + prezentace výsledků
Odhad největšího Ljapunovova exponentu
Vlastní řešení + prezentace výsledků
2) Vymezení problému č. 2 – otázka predikce finanční entity pomocí Elliottových vln
Vstupní údaje do procesu řešení
Vlastní řešení + prezentace výsledků
3) Vymezení problému č. 3 – otázka verifikace hypotézy o shodě výstupů teorie chaosu
a Elliottových vln v oblasti predikce
Vstupní údaje do procesu řešení
Vlastní řešení + prezentace výsledků
První dva výše zmíněné problémy korespondují s dílčími problémy formulovanými
v kapitole 3. Realizace jejich řešení a interpretace výsledků je východiskem pro třetí
z problémů, který reprezentuje problém hlavní prvotně formulovaný taktéž v kapitole 3
diplomové práce. Uvedeným postupem zkoumání budou postupně naplněny vytyčené cíle.
Krokem, který předchází realizaci případové studie, je zajištění věrohodnosti výsledků
při řešení nepřímého problému deterministického chaosu. V případě odhadu Hurstova
exponentu bude tedy pomocí R/S analýzy nejdříve zkoumána časová řada s normálním
rozdělením a na základě výstupů (porovnáním dosaženého výsledku s teoreticky
očekávaným) bude následně rozhodnuto, zda lze pomocí této metody získat věrohodné
výsledky. Co se týče Ljapunovova exponentu, je pro jeho odhad nejprve potřeba
zrekonstruovat atraktor ve fázovém prostoru. Zde se nabízí možnost pomocí Caovy metody
nejen určit dimenzi vnoření, ale také odhalit chaotickou časovou řadu. Caově metodě bude
proto podrobena nejdříve chaotická časová řada generovaná Colpittsovým oscilátorem
Page 50
50
a následně také časová řada s normálním rozdělením. Stejně jako u Hurstova exponentu bude
cílem zjistit, zda metoda správně odliší chaotickou řadu od náhodné. Závěrem bude
demonstrován odhad největšího Ljapunovova exponentu u zmíněné chaotické časové řady
a nemožnost jeho určení u řady náhodné.
7.2 ZAJIŠTĚNÍ VĚROHODNOTI VÝSLEDKŮ POUŽITÝCH METOD
7.2.1 Hurstův exponent
Hurstův exponent byl zvolen jako jeden z kvantifikátorů deterministického chaosu. Na
základě odhadu jeho hodnoty bude usuzováno na potenciální výskyt. Je tedy nezbytné, aby
prostřednictvím R/S analýzy byly získány skutečně relevantní výstupy. Pouze tak lze zaručit,
že konečné rozhodnutí nebude nepřesnostmi použitých metod zkresleno.
Na základě postupu uvedeném v kapitole 6 bude tedy R/S analýze podrobena časová
řada s normálním rozdělením, přičemž metoda bude považována za přesnou, pokud výstupem
bude odhad Hurstova exponentu H = 0,5. Hodnotu 0,5 lze tedy pro tuto část práce považovat
za verifikační standard.
V prostředí programu Matlab byla vygenerována časová řada s normálním rozdělením
o stejné délce, jaká bude následně použita při řešení případové studie, a tedy 4096 hodnot. Její
průběh je zobrazen níže na Obr. č. 23.
Obr. č. 23 – Průběh hodnot vygenerované normálně rozdělené časové řady
Délka časové řady byla volena s ohledem na to, že ji v rámci R/S analýzy bylo
nezbytné rozdělit do určitého počtu sousedících a nepřekrývajících se intervalů m o určité
délce n. Délky jednotlivých intervalů byly stanoveny jako mocniny čísla 2, čímž byla výchozí
časová řada rozdělena postupně na 256 intervalů o délce 16, 128 intervalů délky 32,
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
1 1001 2001 3001 4001
hodnota
počet pozorování
Průběh časové řady s normálním rozdělením
Page 51
51
64 intervalů délky 64, 32 intervalů délky 128 a takto bylo postupováno dále, až bylo dosaženo
rozdělení časové řady do 2 intervalů o délce 2048 hodnot.
V první fázi výpočtu byla tedy časová řada rozdělena na zmíněných 256 intervalů,
přičemž každý z nich byl tvořen 16 hodnotami. Pro jednotlivé intervaly byla dále spočítána
průměrná hodnota, časová řada kumulativních odchylek od průměru, rozpětí kumulativních
odchylek a další dle algoritmu R/S analýzy uvedeném v kapitole 6.1 diplomové práce. Ze
získaných 256 hodnot veličiny R/S byla následně počítána její průměrná hodnota pro danou
délku n = 16 dle následujícího vzorce
Dané kroky byly opakovány také pro další stanovené délky intervalů n, čímž byla získána
níže uvedená tabulka hodnot.
Tab. č. 1 – Tabulka hodnot pro odhad Hurstova exponentu pro normálně rozdělenou časovou řadu
Počet intervalů
m
Délka intervalu
n R/Sn log (R/S)n log n
256 16 9.04 0.96 1.20
128 32 12.85 1.11 1.51
64 64 18.99 1.28 1.81
32 128 26.99 1.43 2.11
16 256 37.32 1.57 2.41
8 512 55.85 1.75 2.71
4 1024 77.25 1.89 3.01
2 2048 103.70 2.02 3.31
Promítnutím hodnot log(R/S)n a log(n) do grafu můžeme pomocí lineární regrese
odhadnout Hurstův exponent. Daný graf je uveden na následující straně diplomové práce.
Page 52
52
Obr. č. 24 znázorňuje graf, na jehož základě lze Hurstův exponent odhadnout.
Obr. č. 24 – Odhad Hurstova exponentu pro normálně rozdělenou časovou řadu
Ze směrnice přímky lze vyčíst odhad hodnoty Hurstova exponentu 0,5, který značí, že
analyzovaná časová řada není chaotická.
7.2.2 Ljapunovovův exponent
Odhadu tohoto exponentu předchází rekonstrukce fázového prostoru. V rámci dané
rekonstrukce, jak již bylo v předchozím textu naznačeno, je vhodné využít Caovu metodu
nejen pro určení minimální dimenze vnoření, ale také k rozlišení chaotické časové řady od
náhodné. První verifikace Caovy metody bude tedy zaměřena na to, zda tato dokáže správně
určit výsledky pro časovou řadu generovanou chaotickým Colpittsovým oscilátorem. Jako
druhá pak bude testována také časová řada s normálním rozdělením. Až na základě
obdržených výsledků bude možné dále rozhodnout, zda lze prostřednictvím této metody
získat relevantní podklady pro posouzení výskytu chaosu.
V posledním příkladu bude demonstrován odhad největšího Ljapunovova exponentu
u zmíněné chaotické časové řady a také u řady náhodné. U časové řady náhodné by měla
nastat situace, kdy v grafu nevznikne lineární segment, na jehož základě by bylo možné
Ljapunovovův exponent odhadnout. Pokud se tak stane, potvrdí se schopnost i této metody
odlišit od sebe časové řady, které mají zcela odlišnou podstatu.
y = 0.508x + 0.351
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
log R/Sn
log n
Odhad Hurstova exponentu
Analyzovaná časová řada je normálně rozdělená, není chaotická a neobsahuje tak ani
dlouhodobý paměťový cyklus. Metodu R/S analýzy tedy můžeme hodnotit jako spolehlivou
při odlišení deterministické a stochastické časové řady.
Page 53
53
Caova metoda
V prostředí programu Matlab a jeho OpenTSTOOL toolboxu8 byly nejdříve stanoveny
průběhy hodnot E1, E2 v závislosti na dimenzi vnoření pro Colpittsův oscilátor. Na základě
níže uvedeného grafu – Obr. č. 25, který je zobrazením průběhu parametru E1, je možné určit
minimální dimenzi vnoření pro rekonstrukci atraktoru. Ke zlomu dochází v bodě, kde
dimenze d nabývá hodnoty 3, čímž je také určena požadovaná minimální dimenze vnoření.
Obr. č. 25 – Minimální dimenze vnoření pro chaotický Colpittsův oscilátor
Řadou analýz však bylo zjištěno, že pouze fakt, že charakteristika E1 pro určitou
hodnotu dimenze dosáhne nasycení a přestane se tak se vzrůstající hodnotou dimenze měnit,
není postačující pro to, aby bylo možné usuzovat na výskyt deterministického chaosu.
Uvedené je tak odůvodněním toho, proč je nezbytné v rámci této analýzy zkoumat také vývoj
parametru E2.
Pro náhodná data, v rámci nichž jsou budoucí hodnoty nezávislé na hodnotách
minulých, bude E2 přibližně 1 pro jakoukoli hodnotu dimenze vnoření. Pro data
deterministická je E2 na dimenzi vnoření závislá a nemůže tedy být pro jakékoli d konstantní.
Minimální dimenze vnoření pro Colpittsův oscilátor stanovená na základě průběhu
hodnot E1 je rovna číslu 3. Víme, že projevy chování oscilátoru jsou chaotické. Je-li metoda
spolehlivá, charakteristika E2 by tedy měla tento fakt potvrdit.
8 Pro práci s programem byl využíván OpenTSTOOL User Manual [19].
Page 54
54
Prostřednictvím grafu – Obr. č. 26 lze prakticky potvrdit předchozí výstupy. Také
pomocí průběhu hodnot parametru E2 v závislosti na dimenzi vnoření se ukázala dimenze 3
jako optimální pro rekonstrukci atraktoru ve fázovém prostoru. Důležitým poznatkem je však
především prokázání závislosti budoucích hodnot na hodnotách minulých. E2 není pro
jakoukoli zvolenou hodnotu dimenze konstantní, a tak lze konstatovat, že Caova metoda
v tomto případě potvrdila existenci deterministického chaosu.
Obr. č. 26 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro chaotický Colpittsův oscilátor
Jedním z nejzajímavějších výstupů, které řešení nepřímého problému
deterministického chaosu poskytuje, je právě možnost rekonstrukce trajektorie systému ve
fázovém prostoru. Určíme-li časové zpoždění a dimenzi vnoření na hodnotách 4 a 3, vypadá
atraktor pro Colpittsův chaotický oscilátor takto – Obr. č. 27.
Obr. č. 27 – Atraktor chaotického Colpittsova oscilátoru
Page 55
55
V dalším textu již bude stejným postupem, jakým byla analyzována časová řada
generovaná chaotickým Colpittsovým oscilátorem, hodnocena také časová řada s normálním
rozdělením.
Jako první byl stanoven průběh hodnot parametru E1, na jehož základě je možné určit
minimální požadovanou dimenzi vnoření pro rekonstrukci atraktoru. Z grafu – Obr. č. 28 je
patrné, že se tato rovná hodnotě 7. Zobrazený parametr nám však nic neříká o charakteru
procesu, který danou časovou řadu generuje. Možnost rozhodnout, zda je zkoumaná časová
řada chaotická, či náhodná, tak poskytuje až charakteristika E2.
Obr. č. 28 – Minimální dimenze vnoření pro časovou řadu s normálním rozdělením
Z průběhu hodnot charakteristiky E2, zobrazeném na Obr. č. 29, je velmi dobře vidět,
že hodnoty E2 jsou pro jakoukoli dimenzi d přibližně 1.
Obr. č. 29 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro časovou řadu s normálním rozdělením
Page 56
56
Caova metoda tak správně určila, že analyzovaná časová řada není chaotická, ale
náhodná.
Zkoumáním výstupů, které Caova metoda poskytla při analýze chaotické a následně
také normálně rozdělené časové řady se potvrdilo, že tato metoda dokáže dané časové řady
správně odlišit.
Odhad Ljapunovova exponentu
Odhad největšího Ljapunovova exponentu v rámci diplomové práce vychází z přímé
metody, která je založena na grafickém vyjádření vazby přírůstku času a chyby predikce.
Přičemž závislost chyby predikce na čase může být rozdělena do tří fází. Pro odhad největšího
Ljapunovova exponentu je však důležitá pouze fáze dvě. Ta je vyjádřením faktu, že
vzdálenost mezi sousedními trajektoriemi exponenciálně narůstá, což je charakteristickým
rysem chaotických procesů. Pokud je druhá fáze dostatečně dlouhá, objeví se v grafu lineární
segment, jehož směrnice je odhadem největšího Ljapunovova exponentu.
Popsaný graf pro odhad Ljapunovova exponentu pro chaotický Colpittsův oscilátor je
zobrazen na Obr. č. 30.
Obr. č. 30 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu chaotického
Colpittsova oscilátoru
Téměř ve střední části grafu (označené II) je dobře viditelný lineární segment, který je
možné použít pro odhad největšího Ljapunovova exponentu.
I II III
Caova metoda v praxi dokáže odlišit náhodnou časovou řadu od chaotické.
Page 57
57
Vznik lineárního segmentu je dále také verifikací výskytu deterministického chaosu,
neboť tento se v grafu objeví jen tehdy, pokud dochází k exponenciálnímu růstu vzdáleností
mezi vzájemně blízkými trajektoriemi.
Stejné zobrazení, uvedené na Obr. č. 31, pro normálně rozdělenou časovou řadu však
nabízí jinou interpretaci. V žádné části grafu nevzniká lineární segment. Největší
Ljapunovovův exponent tak nelze nalézt a potvrzuje se fakt o normálním rozdělení časové
řady.
Obr. č. 31 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu pro normálně
rozdělenou časovou řadu
Stať byla věnována zajištění věrohodnosti výsledků poskytnutých jednotlivými
metodami, které jsou v práci aplikovány. Přesto, že se může tato část zdát příliš obsáhlá, tak
se domnívám, že bez verifikace věrohodnosti metod by nebyla zajištěna relevantnost
jakýchkoli dalších výstupů. Rozhodování o existenci deterministického chaosu na základě
nijak nepodložených výsledků by tak nebylo možné považovat za důvěryhodné. Všechny
metody však v praktické rovině potvrdily své teoretické aplikační možnosti.
Přímá metoda odhadu největšího Ljapunovova exponentu se ukázala jako spolehlivá nejen
pro zmíněný odhad, ale také pro odlišení deterministické časové řady od náhodné.
Page 58
58
7.3 PŘÍPADOVÁ STUDIE
Při volbě vstupních údajů nebyl relevantní výběr konkrétní finanční entity. Pro potřeby
diplomové práce mohla být zvolena časová řada cen akcií stejně tak jako například časová
řada cen indexů, jelikož u všech těchto finančních entit je stejná potenciální možnost výskytu
deterministického chaosu a také shodná možnost predikovat jejich vývoj pomocí Elliottových
vln. Jediným požadavkem určujícím konečnou volbu tak byla dostupnost dostatečně dlouhé
posloupnosti dat.
Pro analýzy uvedené v následujícím textu byla vybrána časová řada cen akcií
společnosti Apple Inc., přičemž data byla získána prostřednictvím serveru Yahoo! Finance
[20], kde lze historická data stáhnout a dále s nimi pracovat.
7.3.1 Analýza výskytu deterministického chaosu
Vstupní údaje do procesu řešení
Primární vstupní data tvoří denní uzavírací ceny akcií Apple v období
25. 10. 1995 – 1. 2. 2012, tj. za 4097 obchodních dní. Výchozí časová řada byla dále upravena
na řadu logaritmických výnosů, čímž došlo k jejímu zkrácení na 4096 hodnot.
Následující text kapitoly je tak věnován analýze výskytu deterministického chaosu
v časové řadě výnosů akcií Apple.
Testová kritéria (kvantifikátory chaosu)
Za testová kritéria při hodnocení výskytu deterministického chaosu byl zvolen Hurstův
a Ljapunovovův exponent. Tyto jsou nejběžněji používanými kvantifikátory, pomocí nichž
lze, jak bylo ukázáno v kapitole 7.2, spolehlivě odlišit chaotické časové řady od náhodných.
Odhad Hurstova exponentu
Pomocí Hurstova exponentu zkoumáme přítomnost procesu s dlouhou pamětí ve
vývoji časové řady výnosů akcií Apple. Vývoj výnosů je zachycen na Obr. č. 32 na následující
straně, kde osa x představuje jednotlivá pozorování (která odpovídají příslušným obchodním
dnům) a osa y pak logaritmické výnosy.
Page 59
59
Obr. č. 32 – Výnosy akcií Apple
Pro odhad Hurstova exponentu je použita R/S analýza, která dokáže spolehlivě odlišit
deterministickou a stochastickou časovou řadu. Pro časovou řadu akciových výnosů je tak
postupováno dle algoritmu uvedeného v kapitole 6.1 diplomové práce. Délka analyzované
časové řady umožňuje její postupné rozdělení do 256 intervalů o délce 16, 128 intervalů délky
32, 64 intervalů délky 64 a dále, až je dosaženo rozdělení do 2 intervalů o délce 2048 hodnot.
Výstupem R/S analýzy pro zkoumanou časovou řadu je následující tabulka hodnot –
Tab. č. 2.
Tab. č. 2 – Tabulka hodnot pro odhad Hurstova exponentu pro časovou řadu akciových výnosů Apple
Počet intervalů
m
Délka intervalu
n R/Sn log (R/S)n log n
256 16 359.44 2.56 1.20
128 32 479.65 2.68 1.51
64 64 668.86 2.83 1.81
32 128 956.99 2.98 2.11
16 256 1284.97 3.11 2.41
8 512 1739.57 3.24 2.71
4 1024 2652.76 3.42 3.01
2 2048 3480.65 3.54 3.31
Promítnutím hodnot log(R/S)n a log(n) do grafu můžeme pomocí lineární regrese
odhadnout Hurstův exponent.
Page 60
60
Obr. č. 33 – Odhad Hurstova exponentu pro časovou řadu akciových výnosů Apple
Ze směrnice přímky (Obr. č. 33) lze vyčíst hodnotu Hurstova exponentu 0,474.
Na jejím základě můžeme vznést předpoklad, že časová řada logaritmických výnosů akcií
společnosti Apple není chaotická. Přesto, že stanovená hodnota není přesně rovna číslu 0,5
(značící normálně rozdělenou, náhodnou časovou řadu), není zde na základě Hurstova
exponentu na výskyt deterministického chaosu možné usuzovat.
Odhad největšího Ljapunovova exponentu
Odhad největšího Ljapunovova exponentu vychází z rekonstrukce atraktoru
v m-rozměrném fázovém prostoru. Sama rekonstrukce pak spočívá ve volbě vhodného
časového zpoždění a dimenze vnoření.
Časové zpoždění je určeno na základě prvního lokálního minima v grafu vzájemné
informace, který je zobrazen na Obr. č. 34.
Obr. č. 34 – Graf pro určení vhodného časového zpoždění
y = 0.474x + 1.974
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50
log R/Sn
log n
Odhad Hurstova exponentu
Page 61
61
Lokální minimum je dosaženo v hodnotě 3, optimální časové zpoždění se tedy bude
této hodnotě rovnat. Na základě znalosti časového zpoždění jsme dále schopni pokračovat
v rekonstrukci a prostřednictvím Caovy metody určit minimální dimenzi vnoření. Graf pro
její určení je zobrazen na Obr. č. 35.
Obr. č. 35 – Minimální dimenze vnoření pro časovou řadu výnosů Apple
Na základě charakteristiky E1 stanovíme minimální dimenzi vnoření na hodnotě 8.
Nemůžeme však rozhodnout o chaotičnosti, či náhodnosti časové řady. K tomu slouží graf
znázorňující průběh hodnot parametru E2 na Obr. č. 36.
Obr. č. 36 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro časovou řadu výnosů Apple
Page 62
62
Vycházíme-li z uvedeného grafu (Obr. č. 36 na předchozí straně), můžeme tvrdit, že
parametr E2 je roven přibližně 1 pro jakoukoli dimenzi vnoření d, což je charakteristické pro
náhodné časové řady.
Toto tvrzení může být podpořeno také posledním ze stanovených kvantifikátorů
chaosu, pokud se ani největší Ljapunovovův exponent nepodaří odhadnout.
Obr. č. 37 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu pro časovou
řadu výnosů Apple
Obr. č. 37 přináší potvrzení předchozích závěrů. Zobrazený graf, na jehož základě má
být určen největší Ljapunovovův exponent, neobsahuje lineární část, ze které by jej bylo
možné odhadnout. Naopak obsahuje segmenty, které svědčí o stochastičnosti časové řady.
Všechna testová kritéria dosud svědčí o tom, že se ve zkoumané časové řadě akciových
výnosů deterministický chaos nevyskytuje.
Výskyt deterministického chaosu u zkoumané časové řady výnosů akcií společnosti Apple
nebyl prokázán.
Page 63
63
7.3.2 Predikce pomocí Elliottových vln
Predikce Elliottovými vlnami byla stanovena na základě použití softwaru Elwave,
který umožňuje řešiteli, aby se zaměřil na interpretaci získaných výstupů. Je tak odstraněna
potřeba ručního vyhledávání cenových vzorů a propočtu Fibonacciho poměrů.
Vstupní údaje do procesu řešení
Data pro analýzu jsou tvořena maticí, která obsahuje denní ceny akcií společnosti
Apple ve formátu Open (zahajovací cena), High (maximální cena), Low (minimální cena),
Close (uzavírací cena). Nejedná se tedy pouze o jednu časovou řadu cen, ale o čtyři zmíněné,
na jejichž základě je softwarem propočítána výsledná cena akcií tak, aby tato co nejlépe
odrážela výsledek obchodování daného dne. Délka časových řad v matici odpovídá 4097
obchodním dnům v analyzovaném období 25. 10. 1995 – 1. 2. 2012.
Predikce Elliottovými vlnami
Na Obr. č. 38 je již zobrazen průběh cen akcií Apple ve zkoumaném období.
Zobrazena je cena v dolarech za akcii (USD/akcie).
Obr. č. 38 – Průběh cen akcií Apple v období 25. 10. 1995 – 1. 2. 2012
Po spuštění analýzy jsou programem propočítávány kombinace cenových vzorů
a formací. Výsledek je následně zobrazen v grafu, v němž jsou vykresleny Elliottovy vlny
z různých hierarchických stupňů. Správná interpretace vln je v této části pro predikci stěžejní.
Page 64
64
Obr. č. 39 – Analýza zkoumané časové řady pomocí Elliottových vln
Na Obr. č. 39 je vykreslena predikce Elliottovými vlnami, z níž je důležitá zejména
interpretace vlnové formace z nejnižšího zobrazeného stupně – Intermediate. Ten je v grafu
popsán zelenými čísly v kulatých závorkách, stejnou barvou jsou znázorněny také vlny, které
do daného stupně patří. Vidíme, že se nacházíme v průběhu třetí vlny tohoto stupně, jejíž
cílová hodnota by měla dosáhnout úrovně 553,49 USD za akcii. Poté by nastala korekce
čtvrtou vlnou, čímž by došlo k poklesu ceny.
7.3.3 Verifikace hypotézy o shodě výstupů teorie chaosu a Elliottových vln
Vstupní údaje do procesu řešení
Teorie chaosu – diplomová práce se zabývala analýzou deterministického chaosu
u časové řady výnosů akcií Apple. Na základě stanovených kvantifikátorů chaosu nebyl tento
ve zkoumané finanční entitě prokázán. Proto je možné stanovit následující závěr pro oblast
predikce.
Na základě analýzy určené prostřednictvím Elliottových vln se časová řada ve zkoumaném
období 25. 10. 1995 – 1. 2. 2012 nachází ve třetí, dosud nedokončené vlně stupně
Intermediate. Její cílová hodnota byla stanovena na ceně 553,49 USD za akcii.
Po dosažení daného cíle je predikována korekce a pokles ceny v rámci čtvrté vlny.
Page 65
65
Teorie Elliottových vln – pro vyslovení závěrů o predikční schopnosti Elliottovy
vlnové teorie je zapotřebí nejdříve srovnat hodnoty predikované a skutečně dosažené. Reálný
vývoj časové řady cen akcií Apple je zobrazen na Obr. č. 40.
Obr. č. 40 – Průběh cen akcií Apple v období do 1. 5. 2012
Na základě analýzy uvedené v předchozím textu práce byla předpovězena cílová
hodnota třetí vlny ve stupni Intermediate na ceně 553,49 USD/akcie. Dne 2. 3. 2012 byla
reálně dosažená cena přibližně 546 USD/akcie, přičemž tato tvořila vrchol třetí vlny. Pokud
by se investoři řídili tímto výsledkem, který byl k dispozici 1. 2. 2012 (kdy byla cena akcie
přibližně na hodnotě 455 dolarů), mohli by využít rostoucího trendu ve svůj prospěch.
Na základě výstupů teorie chaosu, z důvodu neprokázání výskytu deterministického chaosu,
lze konstatovat, že budoucí vývoj zkoumané finanční entity nelze predikovat.
Na základě výstupů teorie Elliottových vln lze konstatovat, že tato dokázala v cenovém
grafu věrohodně rozpoznat trend, jímž se bude časová řada ubírat a také stanovit
přibližnou cílovou hodnotu dané vlny.
Závěrečným porovnáním výstupů obou teorií, je možné konstatovat, že teorie chaosu
na straně jedné a teorie Elliottových vln na straně druhé neposkytují v oblasti predikce
shodné výstupy.
Page 67
67
8 ZÁVĚR
Diplomová práce postavila do konfrontace na jedné straně teorii chaosu a na straně
druhé teorii Elliottových vln s cílem zjistit, zda mezi nimi v oblasti predikce nastane shoda, či
nikoli. Takto formulovaný hlavní problém je možné považovat za nové, dosud neřešené téma.
K jeho naplnění bylo v práci postupováno řešením dílčích problémů. Prvním z nich byla
analýza výskytu deterministického chaosu u zvolené finanční entity. Na základě výstupů této
analýzy bylo konstatováno, že z žádné hodnoty zvolených kvantifikátorů chaosu nelze na jeho
výskyt usuzovat. Možnost alespoň v krátkodobém časovém horizontu predikovat budoucí
vývoj analyzované časové řady tak byla na základě uvedených výstupů považována za
nereálnou. Přesto byla následně provedená predikce prostřednictvím Elliottových vln, která
tvoří druhý dílčí problém, velmi přesná. V cenovém grafu byl správně rozpoznán nejen
růstový trend, ale také přibližná cílová hodnota, kterou daná vlna dosáhne. Tuto predikci
mohli mít investoři k dispozici s měsíčním předstihem a využít ji tak ve svůj prospěch.
Vlnová teorie se tedy v daném případě ukázala být významným predikčním nástrojem.
Porovnáním výsledků poskytnutých teorií chaosu a Elliottovou vlnovou teorií bylo závěrem
uvedeno, že tyto v oblasti predikce nedosahují shody.
Práce naplnila stanovené cíle také v teoretické rovině, v rámci níž byl diplomový úkol
zaměřen na vymezení chaosu a jeho významu v ekonomických soustavách. Tyto svými
vlastnostmi výskyt deterministického chaosu umožňují a tak je nezbytné při řešení
nejrůznějších úkolů brát danou skutečnost v úvahu. Pojednáno bylo také o možných příčinách
vzniku Elliottových vln, čímž byl naplněn také poslední vymezený cíl diplomové práce. Lze
tedy říci, že cíle práce byly splněny v plném rozsahu.
Řešení prezentované v diplomové práci je možné dále rozvíjet o nové poznatky.
Námětem pro další výzkum je jak oblast analýzy výskytu deterministického chaosu, tak
i oblast aplikace teorie Elliottových vln pro predikci. Stejným postupem, jako v předložené
práci, mohou být analyzovány jiné časové řady, či zkoumány důvody, proč je vlnová teorie
schopna odhalit trend vývoje i přibližnou budoucí hodnotu, kterou časová řada dosáhne.
Pochopení podstat ekonomických procesů, zvláště v oblasti kapitálových trhů, může
usnadnit rozhodování o případných investicích a snížit také rizika ztrát.
Page 69
69
SEZNAM POUŽITÝCH ZDROJŮ
[1] JANÍČEK, Přemysl. Systémové pojetí vybraných oborů pro techniky: hledání
souvislostí. Učební texty I. 1. vyd. Brno: CERM, 2007. ISBN 978-80-7204-555-6.
[2] SOJKA, Zdeněk a Petr DOSTÁL. Elliottovy vlny. 1. vyd. Brno: Tribun EU, 2008.
272 s. ISBN 978-80-7399-630-7.
[3] JANÍČEK, Přemysl. Systémové pojetí vybraných oborů pro techniky: hledání
souvislostí. Učební texty II. 1. vyd. Brno: CERM, 2007. ISBN 978-80-7204-556-3.
[4] DOSTÁL, P., K. RAIS a Z. SOJKA. Pokročilé metody manažerského rozhodování:
konkrétní příklady využití metod v praxi. 1. vyd. Praha: Grada, 2005. 166 s.
ISBN 80-247-1338-1.
[5] ZELINKA, I., F. VČELAŘ a M. ČANDÍK. Fraktální geometrie: principy a aplikace.
1. vyd. Praha: BEN, 2006. 159 s. ISBN 80-7300-193-4.
[6] TIŠNOVSKÝ. Fraktály. [online]. [cit. 2012-01-22]. Dostupné z:
http://www.fit.vutbr.cz/~tisnovpa/fract/clanky/1.htm#tth_chAp1
[7] LUNGU, Eliza-Olivia. Time-varying Hurst exponent for the Bucharest exchange
market. Economic Computation & Economic Cybernetics Studies & Research. [serial
online]. October 2010, 44(4):1-15 [cit. 2012-02-05]. Dostupné z: Business Source
Complete
[8] TREŠL, Jiří a Dagmar BLATNÁ. Modelování časových řad akciových výnosů. Acta
Oeconomica Pragensia [online]. 2007, roč. 15, č. 1 [cit. 2012-02-02]. Dostupné z:
http://www.vse.cz/polek/download.php?jnl=aop&pdf=44.pdf
[9] JAGRIČ, Timotej a Matej PODBREGAR. Chaos and order in capital markets – the
case of a small transition economy. Our Economy (Nase Gospodarstvo) [serial online].
November 2004, 50(5/6):94-105 [cit. 2012-03-10]. Dostupné z: Business Source
Complete
[10] LING-YUN, He. Chaotic Structures in Brent & WTI Crude Oil Markets: Empirical
Evidence. International Journal of Economics & Finance [serial online]. October
2011, 3(5):242-249 [cit. 2012-03-10]. Dostupné z: Business Source Complete
[11] CHUN, S., K. KIM a S. H. KIM. Chaotic analysis of predictability versus knowledge
discovery techniques: case study of the Polish stock market. Expert Systems [serial
online]. November 2002, 19(5):264-272 [cit. 2012-03-12]. Dostupné z: Business
Source Complete
Page 70
70
[12] PLUMMER, Tony. Prognóza finančních trhů: psychologie úspěšného investování.
1. vyd. Brno: Computer Press, 2008. 373 s. ISBN 978-80-251-1997-6.
[13] Obchodujeme Elliottovy vlny I. Financnik.cz [online]. [cit. 2012-04-08]. Dostupné z:
http://www.financnik.cz/komodity/zkusenosti/elliottovy-vlny-1.html
[14] FOULADI, Ahmadreza. Empirical Study on the Existence of Long-term Memory In
the Philippine Foreign Exchange Market. DLSU Business & Economics Review
[online]. 2012, pp. 87-108 [cit. 2012-04-18]. Dostupné z:
http://ejournals.ph/index.php?journal=BER&page=article&op=viewFile&path%5B%5
D=4573&path%5B%5D=4708
[15] HAN, Hai-bo. Nonparametric test of long-term memory of financial time series:
Analysis of exchange rate volatility based on Hurst Exponents. China-USA Business
Review [serial online]. June 2007, 6(6):15-18 [cit. 2012-03-04]. Dostupné z: Business
Source Complete
[16] KODERA, Jan a Tran VAN QUANG. Vizuální nelineární rekurentní analýza a její
aplikace na český akciový trh. Politická ekonomie [online]. 2009 [cit. 2012-02-10].
Dostupné z: http://www.vse.cz/polek/abstrakt.php3?IDcl=686
[17] CAO, Liangyue. Practical method for determining the minimum embedding
dimension of a scalar time series. Physica D [online]. 1997, 110:43-50
[cit. 2012-04-08]. Dostupné z: http://ac.els-cdn.com/S0167278997001188/1-s2.0-
S0167278997001188-
main.pdf?_tid=7947081f7b560b01326cc071fd84541b&acdnat=1337469506_4853b95
d6a3896a9142dce91e281535b
[18] PARLITZ, Ulrich. Nonlinear time-series analysis. Nonlinear Modeling – Advanced
Black-Box Techniques [online]. 1998:209-239 [cit. 2012-03-05]. Dostupné z:
http://www.physik3.gwdg.de/~ulli/pdf/P98b.pdf
[19] MERKWIRTH, Christian et al. OpenTSTOOL User Manual [online]. [cit. 2012-02-
11]. Dostupné z: http://www.physik3.gwdg.de/tstool/manual.pdf
[20] AAPL Historical Prices: Apple Inc. Stock - Yahoo! Finance. Yahoo! Finance [online].
[cit. 2012-01-05]. Dostupné z:
http://finance.yahoo.com/q/hp?s=AAPL&a=09&b=25&c=1995&d=01&e=01&f=2012
&g=d
Page 71
71
SEZNAM OBRÁZKŮ
Obr. č. 1 – Schéma analýz dat a informací [4, s. 152] ............................................................. 14
Obr. č. 2 – Chaotické chování znázorněné průběhem hodnot logistické rovnice .................... 19
Obr. č. 3 – Schematické znázornění bifurkačního diagramu [3, s. 887] .................................. 19
Obr. č. 4 – Lorenzův atraktor ................................................................................................... 20
Obr. č. 5 – Mandelbrotova a Juliova množina [6] ................................................................... 21
Obr. č. 6 – Schéma zpětné vazby na finančních trzích [4, s. 127] ........................................... 25
Obr. č. 7 – Působení kladné zpětné vazby na finančních trzích [4, s. 128] ............................. 26
Obr. č. 8. – Časová posloupnost hodů kostkou ........................................................................ 28
Obr. č. 9 – Trendový impuls, rostoucí [2, s. 19] ...................................................................... 33
Obr. č. 10 – Trendový impuls, klesající [2, s. 19] .................................................................... 33
Obr. č. 11 – Vlna 2 se nikdy nepohybuje do zóny vlny 1 [2, s. 19] .......................................... 34
Obr. č. 12 – Vlna 4 nikdy neklesá do oblasti vlny 1 [2, s. 20] ................................................. 34
Obr. č. 13 – Trendový impuls s korekční fází [2, s. 20] ........................................................... 34
Obr. č. 14 – Trendový impuls s korekční fází jako součást vlny vyššího stupně [2, s. 21] ....... 35
Obr. č. 15 – Elliottovy vlny a Fibonacci [2, s. 43] ................................................................... 36
Obr. č. 16 – Poměr dvou sousedních vln [2, s. 44] .................................................................. 37
Obr. č. 17 – Schéma postupu při řešení nepřímého problému deterministického chaosu ....... 41
Obr. č. 18 – Průběh hodnot E1 a E2 pro časovou řadu generovanou Hénonovým chaotickým
atraktorem [17, s. 45] ............................................................................................................... 44
Obr. č. 19 – Průběh hodnot E1 a E2 pro náhodnou časovou řadu [17, s. 46] ........................ 45
Obr. č. 20 – Příklad odhadu největšího Ljapunovova exponentu pro data generovaná
chaotickým Colpittsovým oscilátorem [18, s. 224] .................................................................. 46
Obr. č. 21 – Schéma postupu při predikci Elliottovými vlnami ................................................ 46
Obr. č. 22 – Schéma postupu při porovnání výstupů poskytnutých teorií chaosu a Elliottovou
vlnovou teorií ............................................................................................................................ 47
Obr. č. 23 – Průběh hodnot vygenerované normálně rozdělené časové řady .......................... 50
Page 72
72
Obr. č. 24 – Odhad Hurstova exponentu pro normálně rozdělenou časovou řadu ................. 52
Obr. č. 25 – Minimální dimenze vnoření pro chaotický Colpittsův oscilátor .......................... 53
Obr. č. 26 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro chaotický Colpittsův oscilátor................ 54
Obr. č. 27 – Atraktor chaotického Colpittsova oscilátoru ....................................................... 54
Obr. č. 28 – Minimální dimenze vnoření pro časovou řadu s normálním rozdělením ............ 55
Obr. č. 29 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro časovou řadu s normálním rozdělením .. 55
Obr. č. 30 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu
chaotického Colpittsova oscilátoru .......................................................................................... 56
Obr. č. 31 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu pro
normálně rozdělenou časovou řadu ......................................................................................... 57
Obr. č. 32 – Výnosy akcií Apple ............................................................................................... 59
Obr. č. 33 – Odhad Hurstova exponentu pro časovou řadu akciových výnosů Apple ............. 60
Obr. č. 34 – Graf pro určení vhodného časového zpoždění ..................................................... 60
Obr. č. 35 – Minimální dimenze vnoření pro časovou řadu výnosů Apple .............................. 61
Obr. č. 36 – Průběh hodnot charakteristiky E2 pro časovou řadu výnosů Apple ................... 61
Obr. č. 37 – Graf závislosti chyby predikce na čase pro odhad Ljapunovova exponentu pro
časovou řadu výnosů Apple ...................................................................................................... 62
Obr. č. 38 – Průběh cen akcií Apple v období 25. 10. 1995 – 1. 2. 2012 ................................ 63
Obr. č. 39 – Analýza zkoumané časové řady pomocí Elliottových vln .................................... 64
Obr. č. 40 – Průběh cen akcií Apple v období do 1. 5. 2012 ................................................... 65
SEZNAM TABULEK
Tab. č. 1 – Tabulka hodnot pro odhad Hurstova exponentu pro normálně rozdělenou časovou
řadu .......................................................................................................................................... 51
Tab. č. 2 – Tabulka hodnot pro odhad Hurstova exponentu pro časovou řadu akciových
výnosů Apple ............................................................................................................................ 59