Aplicatii Ale Numerelor Complexe

Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt

site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

,

2

Refereni tiinifici: Profesor metodist Apostol Constantin Colegiul Naional Alexandru Vlahu, Rmnicu Srat Profesor grad I Stanciu Neculai director Grupul colar TehnicSf. Mc. SAVA,Berca

3

Dedic aceast carte elevilor mei de la Grupul colar Tehnic Sfntul Mucenic Sava, Berca.

4

A(a+ib)

A(a-ib)

O x

y

c b

a

5

Aplicaii ale numerelor complexe

n geometrie

n geometria plan, se poate utiliza ca metod de rezolvare a unor probleme sau teoreme numerele complexe fie sub forma algebric z=x+iy, fie sub forma trigonometric z=r ie unde r= z iar =arg z ntruct fiecrui punct din plan i corespunde un numr complex z=x+iy numit afixul punctului respectiv. De asemenea, fiecrui segment orientat i putem asocia numrul complex corespunztor. Dac 1M , 2M , 3M ,.. nM sunt puncte n plan iar

nOMOMOMOM ,,.........,, 321 sunt vectorii de poziie

corespunztori, atunci vectorul OM se scrie ca o combinaie liniar de aceti vectori astfel: OM = nn OMkOMkOMkOMk .........332211 +++ . Pentru a transcrie aceast relaie n complex, considerm

nzzzz ,....,,, 321 afixele punctelor 1M , 2M , 3M ,.. nM iar z afixul lui M atunci: z= nn zkzkzkzk ++++ ....332211 .

6

1.Raportul n care un punct mparte un segment Fie 1M , 2M puncte n plan de afixe 21, zz iar punctul M de afix z mparte segmentul orientat 1M 2M n raportul k>0 astfel:

kkzzzk

MMMM

++==

121

2

1 .Din

kkzzz

kzkzzzzzkzzkzz

zzkMM

MM

++=

+====

1

)(

21

21212

1

2

1

Dac M este mijlocul lui 1M 2M atunci k=1 221 zzz += .

Dac G este centrul de greutate al triunghiului ABC situat pe mediana AM,

atunci 2=GMAG k=2 .

3212 CBAMA

Gzzzzzz

++=++=

2.Msura unui unghi. Fie )(),( 2211 zMzM . Atunci

1

2121212 argargarg)()()( z

zzzxOMmxOMmMOMm === Pentru punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM ,

12

13213 arg)( zz

zzMMMm = .

3.Puncte coliniare.

Punctele )(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare Rzzzz

12

13 .

7

)(),( 2211 zMzM , )( 33 zM sunt coliniare { },0)( 213 MMMm { }

,0arg12

13

zzzz

Rzzzz

12

13 .

)(),(),( 332211 zMzMzM sunt coliniare n aceast ordine

Rkkkzz

z ++= ,

131

2

4.Drepte perpendiculare. Dou drepte M1M2, M3M4 perpendiculare:

0Re,43

21

43

214321 =

zzzziR

zzzzMMMM

Dac dreptele 4321 MMsiMM sunt perpendiculare atunci unghiul dintre ele este

0Re2

3,2

arg2

3,2 43

21

43

21 =

=

zzzz

zzzzsau .

5.Patrulater inscriptibil. Fie )(),(),(),( 4321 zDzCzBzA . Patrulaterul ABCD este inscriptibil

Rzzzz

zzzz

24

14

23

13 : .

ABCD este inscriptibil = )()( ADBmACBm

=

42

41

32

31 argargzzzz

zzzz

Rzzzz

zzzz

24

14

23

13 : .

=

42

41

32

31 argargzzzz

zzzz

Rzzzz

zzzz

24

14

23

13 : .

8

Patru puncte A,B,C,D sunt conciclice dac i numai dac patrulaterul ABCD este inscriptibil. 6.Triunghiuri asemenea. Dou triunghiuri ABC i ABC cu vrfurile de afixe

',',',, 321321 zzzrespectivzzz sunt asemenea dac i numai dac:

13

12

13

12

''''

zzzz

zzzz

=

.

Relaia se obine din scrierea asemnrii triunghiurilor:

=

=

=

13

12

13

12

13

12

13

12

''''

''''argarg)'''()(

zzzz

zzzz

si

zzzz

zzzzCABmBACm

ABC ~ ''' CBA ''''

CABA

ACAB = i

13

12

13

12

''''

zzzz

zzzz

=

.

Relaia se mai poate scrie i astfel:

321

321

'''

111

zzz

zzz =0.

Astfel putem arta c un triunghi ABC este echilateral ,02 =++ CBA zzz unde este rdcina de ordinul trei a unitii, diferit de 1.

9

TEOREME I PROBLEME REZOLVATE CU AJUTORUL NUMERELOR COMPLEXE

1. a) S se arate c mijloacele laturilor unui patrulater sunt vrfurile unui paralelogram. b) S se arate c se poate construi un patrulater cu distanele de la un punct T la mijloacele patrulaterului dat . Rezolvare: a) Fie DCBA zzzz ,,, afixele vrfurilor A,B,C,D ale patrulaterului respectiv.

Atunci: afixul mijlocului lui AB este: 2

BAM

zzz += ;

afixul mijlocului lui BC este: 2

CBN

zzz

+= ;

afixul mijlocului lui CD este: 2

DCP

zzz += ;

afixul mijlocului lui DA este: 2AD

Qzzz += :

Pentru a fi paralelogram, trebuie artat c mijloacele diagonalelor patrulaterului MNPQ coincid,

ceea ce este echivalent cu a arta c: 22

QNPM zzzz +=+ , relaie care este adevrat dac nlocuim relaiile de mai sus. b) Din punctul a) rezult c MNPQ este paralelogram

+=+ QNPM zzzz 0=+ QPNM zzzz . Fie Tz afixul punctului T

=+++ 0)()()()( QTTPNTTM zzzzzzzz=+++ 0TQPTTNMT c se poate forma un patrulater cu

lungimile vectorilor

QTPTNTTM zzTQzzTPzzTNzzTM ==== ,,, .

10

2. Fie O punctul de intersecie a diagonalelor unui patrulater ABCD. S se arate c ABCD este paralelogram dac i numai dac

4DCBA

Ozzzzz +++= .

Rezolvare: Dac ABCD este paralelogram atunci diagonalele AC i BD au acelai mijloc , aadar relaia dat este adevrat. Reciproc, fie M respectiv N mijloacele diagonalelor BD respectiv AC. Atunci

2CA

Mzz

z+= i

2DB

Nzzz += . Cum

4DCBA

Ozzzz

z+++=

ONM zzz =+2 O este mijlocul segmentului MN ceea ce se ntmpl numai dac M , N, O sunt identice ABCD este paralelogram. 3. Fie triunghiul ABC cu vrfurile de afixe CBA zzz ,, , i laturile BC, CA, AB, de lungime a, b respectiv c. Dac Iz este afixul centrului cercului nscris n triunghiul ABC atunci s se arate c are loc relaia:

cba

zczbzaz CBAI ++

++= . Rezolvare: Fie D BC astfel nct AD este bisectoarea unghiului A i E AC astfel nct BE este bisectoarea unghiului B . Notm cu I intersecia dintre AD i BE. Aplicnd Teorema bisectoarei n triunghiul ABC

Rezult: bc

DCBD = i de aici rezult

cbcaBD += .

Din Teorema bisectoarei n triunghiul ABD

acb

cbca

cIDAI

BDAB

IDAI +=

+== .

Cum D mparte segmentul orientat BC n raportul bc

cbzczb

bc

zbcz

z CBCB

D ++=

++

=1

.(*)

11

Punctul I mparte segmentul orientat AD n raportul

cbazcbza

acb

za

cbzz

acb DADA

I ++++=++

++=+ )(

1

Din (*) cba

zczbzaz CBAI ++++= .

A

B C

E

D

I

A

B C

D

A

HO

4. a) Dac CBA zzz ,, respectiv Hz sunt afixele vrfurilor respectiv ortocentrului triunghiului ABC s se arate c : CBAH zzzz ++= . b) Dac )(),(),( 332211 zGzGzG sunt centrele de greutate ale triunghiurilor BHC, CHA, AHB, i O este centrul cercului circumscris triunghiului ABC , s se arate c centrul de greutate al triunghiului

321 GGG este situat pe dreapta OH. Rezolvare: a) Se consider O centrul cercului circumscris triunghiului ABC i D un

punct n plan astfel nct OCOBOD += . Cum OB =OC rezult c patrulaterul OBCD este romb BCOD .

OBOCOAODOAOH ++=+= (*) Cum HAAHBCAAsiAAOD ''' se afl i pe nlimile BB, CC.

12

Dac ntr-un sistem de axe ortogonale lum punctul O drept originea sistemului , atunci din (*) CBAH zzzz ++= . Mai mult

GH zz 3= adic OH= 3OG b) Fie G( Gz ) centrul de greutate al triunghiului 321 GGG : Gz =

=++3

321 zzz

=+++=++++++++

HHCBA

BHACHAHCB

zzzzz

zzzzzzzzz

95

93)(2

9

G aparine lui OH. 5. Fie CBA zzz ,, afixele vrfurilor triunghiului ABC, cu

0++ CBA zzz . S se arate c dac punctele M,N,P au afixele CABAAM zzzzzz ++= 2 , CBABBN zzzzzz ++= 2 , BCACCP zzzzzz ++= 2

atunci triunghiurile MNP i ABC sunt asemenea. Rezolvare: Cum ))(( CBABANM zzzzzzz ++= , ))(( CBACBPN zzzzzzz ++= , ++= ))(( CBAACMP zzzzzzz

++==

=

0CBAAC

MP

CB

PN

BA

NM zzzzzzz

zzzz

zzzz

MNP ~ ABC . 6. Dac ABC i MNP sunt dou triunghiuri echilaterale din acelai plan la fel orientate, s se arate c se poate forma un triunghi cu segmentele AM, BN, CP.

13

Rezolvare:

ABC ~ =

PM

CA

NM

BA

zzzz

zzzzMNP

= ))(())(( CANMPMBA zzzzzzzz

ozzzzzzzzz ABPCANBCM =++ )()()( . Cum ozzzzzzzzz ABCCABBCA =++ )()()( , prin scderea

celor dou egaliti

ozzzzzzzzzzzz

ABCP

CABNBCAM

=++

))(())(())((

(*)

iar prin trecere la modul

+

)()(

)()()()(

ABCP

CABNBCAM

zzzz

zzzzzzzz

ABCPACBNBCAM + . Triunghiul ABC este echilateral (AB=AC=BC) CPBNAM + . Din relaia (*) pot fi scrise i celelalte dou inegaliti ceea ce implic faptul c AM, BN i CP pot fi laturile unui triunghi. 7. Fie P un punct situat pe cercul circumscris unui triunghi ABC. S se arate c ortocentrele triunghiurilor PAB, PBC, PCA formeaz un triunghi congruent cu triunghiul dat. Rezolvare: Fie P de afix z i punctul O centrul cercului circumscris triunghiului ABC astfel nct 0=Oz . Fie 1H ortocentrul triunghiului MAB de afix : BA zzzz ++=1 Fie 2H ortocentrul triunghiului MAC de afix :

zzzz CA ++=2 Fie 3H ortocentrul triunghiului MBC de afix :

++= CB zzzz3

14

BCzzzzHH BC === 1221 ACzzzzHH AC === 1331

....2332 dtccABzzzzHH AB === 8. Fie ABC i ABC dou triunghiuri cu centrele de greutate G respectiv G i punctele M, N, P situate pe segmentele AA, BB, CC care le mpart n raportul k. S se arate c centrul de greutate al triunghiului MNP este situat pe segmentul GG i l mparte pe acesta tot n raportul k. Rezolvare: Fie ),(),(),( 321 zCzBzA

).(),(),(),'('),'('),'(' 321 PNM zPzNzMzCzBzA astfel nct

kPCCP

NBBN

MAAM ===

'''

Atunci : kkzzzM +

+=1

'11 , kkzzzN +

+=1

'22 , kkzz

zP ++=

1'33 .

Centrul de greutate al triunghiului ABC este G( Gz )

.3

321 zzzzG++=

Centrul de greutate al triunghiului ABC este G( Gz' )

.3

'''' 321

zzzz G

++= Dac notm cu G(g) centrul de greutate al triunghiului MNP

atunci =++=3

PNM zzzg

++=++++

++++=++++++=

kzkzzzz

kk

zzzkk

zzzkzzz

GG

1'

3'''

1

311

)1(3)'''(

321

321321321

G,G,G sunt coliniare i punctul G mparte segmentul GG n raportul k.

15

9. (Teorema lui Pappus). Fie triunghiul ABC i punctele A,B,C situate pe laturile BC, AC respectiv AB le mpart pe acestea n acelai raport k. S se arate c triunghiurile ABC i ABC au acelai centru de greutate. Rezolvare: Fie punctele

),(),(),( 321 zCzBzA )'('),'('),'(' 321 zCzBzA i

=== kBC

ACAB

CBCA

BA'

''

''

'

,1

' 321 kkzz

z ++= ,

1' 132 k

kzzz +

+= ,1

' 213 kkzzz +

+= centrul de greutate al triunghiului ABC este G(g) cu g=

gzzzk

zzzkzzzzzz =++=++++++=++

3)1(3)(

3''' 321321321321 ,

unde G(g) este centrul de greutate al triunghiului ABC.

A

B C

A

B

C G=G

10. S se arate c n orice triunghi are loc relaia

9

22222 CABCABROG ++= . (Teorema lui Euler)

unde O este centrul cercului circumscris triunghiului, G centrul su de greutate iar R este raza cercului circumscris. Rezolvare: Fie O originea sistemului de axe.

9

22222 CABCABROG ++=

2222222 3339 CABCABRRROG ++=

16

( ) ( )( )

++=

++

2

222222

3333

9

CA

BCABCBACBA

zz

zzzzzzzzzz

)(2222

333)(2222

222222

ACCBBACBA

CBAACCBBACBA

zzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzz

+++++=+++++

ceea ce este adevrat, rezult c teorema este demonstrat. 11. Fie A, B, C, D patru puncte oarecare, distincte din plan. S se arate c exist un unic punct G astfel nct ,0=+++ DCBA zzzz unde

DCBA zzzz ,,, sunt afixele punctelor A,B,C,D. Rezolvare. Fie O originea sistemului cartezian i M,N,P,Q mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA . Cum mijloacele laturilor unui patrulater sunt vrfurile unui paralelogram rezult c intersecia diagonalelor MP i NQ pe care o notm cu G este un punct de afix

4222

2DCBA

DCBA

PMG

zzzzzzzz

zzz +++=+++

=+= . = 0Gz OG zz = adic G coincide cu originea sistemului

cartezian exist i este unic punctul G astfel nct 0=+++ DCBA zzzz .

12. Fie ABCD i ABCD paralelograme astfel nct punctele M,N,P,Q mpart segmentele AA, BB, CC, DD n acelai raport k. S se arate c MNPQ este paralelogram. Rezolvare: Fie )(),(),(),( 4321 zDzCzBzA ,

)'('),'('),'('),'(' 4321 zDzCzBzA vrfurile paralelogramelor de

17

afixe corespunztoare 4231 zzzz +=+ , 4231 '''' zzzz +=+ . (*)

Fie )(),(),(),( QPNM zQzPzNzM punctele care mpart segmentele AA,BB,CC,DD n raportul k.

kQDDQ

PCCP

NBBN

MAAM ====

''''

Atunci rezult: kkzzzM +

+=1

'11 , kkzzzN +

+=1

'22 , kkzz

zP ++=

1'33 ,

kkzzzQ +

+=1

'44 . Rezult:

kzzkzz

zz PM ++++=+

1)''( 3131 ,

kzzkzzzz QN +

+++=+1

)''( 4242 . Din relaiile (*) rezult

QNPM zzzz +=+ ceea ce este echivalent cu faptul c MNPQ este paralelogram. 13. Fie ABCD un patrulater convex i punctele M, P (BD), iar N, Q (AC) mpart segmentele orientate n raportul k astfel : k

QCQA

NANC

PBPD

MDMB ==== .

a) S se arate c centrul de greutate al patrulaterului ABCD coincide cu centrul de greutate al patrulaterului MNPQ. b) Fie E mijlocul lui (BD) i F mijlocul lui (AC). S se arate c mijlocul segmentului EF este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ. Rezolvare: a) S presupunem c G este centrul de greutate al patrulaterului ABCD i s artm c G este i centrul de greutate al patrulaterului MNPQ =+++ DCBA zzzz

QPNM zzzz +++ Din

kzkzzk

MDMB DB

M ==

1,

18

k

zkzzkQCQA CA

Q ==

1 ,

k

zkzzkPBPD BD

P ==

1,

k

zkzzk

NANC AC

N ==

1.

+++=

++++++=+++DCBA

DCBADCBAQPNM

zzzzk

zzzzkzzzzzzzz1

)(

c.c.t.d. b) Fie G mijlocul segmentului EF. A arta c G este centrul de greutate al patrulaterului MNPQ revine la a arta c G este

centrul de greutate al lui ABCD .4

DCBAG

zzzzz +++= G este mijlocul lui EF

....42

222

dtcc

zzzzzzzz

zzz DCBACADB

FEG

+++=+++

=+=

A

B

C

D

M

P

Q

NE

FG

O

B C

DA M

N

19

14. Fie ABCD un trapez cu AD BC i punctele M (AD) , N(BC) astfel nct

NCNB

MDMA = . Notnd cu O punctul de

intersecie a dreptelor AB cu CD s se demonstreze c punctele O, M, N, sunt coliniare. Rezolvare: Fie punctele

)(),(),(),(),(),(),( ONMDCBA zOzNzMzDzCzBzA cu afixele corespunztoare.

Din k

zkzzk

zkzzkNCNB

MDMA CB

NDA

M =

===1

,1

0 .

Cum AD BC == 0tDCOD

ABOA

tztzz

tztzz COD

BOA +

+=++=

1,

1

Pentru a arta c O, M, N sunt coliniare este suficient s

artm c tztzzt

MNOM NO

M ++==

1.

Aadar , punctele O, M, N sunt coliniare.

tztzz

tt

tz

ktzk

ktzt

ktk

ktz

kt

ztzkt

ztz

kzkzz

NONO

CB

O

COBO

DAM

++=+++=

=

+

++

+

++=

=+++

+=

=

1111

)1)(1()1)(1(

)1)(1()1)(1(1

111

1

20

15. S se demonstreze c dac ABCD este un patrulater inscriptibil atunci centrele de greutate ale triunghiurilor ABC, BCD, CDA, DAB sunt puncte conciclice. Rezolvare: Fie punctele )(),(),(),( DCBA zDzCzBzA - vrfurile patrulaterului ABCD . ABCD este inscriptibil

( ) ( ) == CA CBDA DB zz zzzz zzBCAmBDAm argarg

Rzzzz

zzzz

CA

CB

DA

DB

: . (*)

Fie )( 11 zG - centrul de greutate al triunghiului ABC de afix 1z

31CBA zzzz ++= ;

)( 22 zG - centrul de greutate al triunghiului BCD de afix 2z

32DCB zzzz ++= ;

)( 33 zG - centrul de greutate al triunghiului CDA de afix 3z

33ADC zzzz ++= ;

)( 44 zG - centrul de greutate al triunghiului ABD de afix 4z

34DBA zzzz ++= .

4321 GGGG este inscriptibil

( ) ( ) == 42 4312 13243213 argarg zz zzzz zzGGGmGGGm R

zzzz

zzzzR

zzzz

zzzz

AC

BC

AD

BD

::

42

43

12

13 relaie

adevrat din (*). Rezult c patrulaterul

21

4321 GGGG este inscriptibil adic vrfurile sale sunt patru puncte conciclice. 16. Fie ABC un triunghi, M un punct n planul triunghiului, G centrul su de greutate iar A , B respectiv C mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. S se arate c are loc relaia:

).'''(49 2222222 MCMBMAMGMCMBMA ++=+++ Rezolvare:

M

G

A

CBA

BC

Fie M un punct n exteriorul triunghiului ABC i CBA zzz ,, afixele punctelor A,B,C , atunci relaia

)'''(49 2222222 MCMBMAMGMCMBMA ++=+++ devine:

++

++

+

=

+++++222

2222

2224

39

BACACB

CBACBA

zzzzzz

zzzzzz

, unde punctul M

este originea sistemului ortogonal de axe. Mai departe rezult ( )( ) ( )ACCBBACBA ACCBBACBACBA zzzzzzzzz

zzzzzzzzzzzz

+++++==++++++++

22

2222

222222

ceea ce este adevrat , rezult de aici c relaia dat este adevrat.

22

17. Pe laturile AB i BC ale triunghiului ABC se construiesc ptrate avnd centrele D i E , astfel nct punctele C i D sunt situate de aceeai parte a dreptei AB, iar punctele A i E sunt separate de dreapta BC. S se arate c dreptele AC i DE se intersecteaz dup un unghi de 45. Rezolvare: Fie EDCBA zzzzz ,,,, afixele punctelor A, B, C, D, E. Cum segmentul BD se obine din rotaia lui AD cu un unghi de 90

( )DADB zzizz

+=2

sin2

cos =i ( )DA zz

1=

izizz BAD .

De asemenea BE se obine din rotaia lui CE cu un unghi de

90 1=

izizz BCE .

+=

=+==

+=

4sin

4cos2

11

1 i

ii

i

izizziz

zzzzzz

BCBA

CA

ED

CA

AC i DE formeaz ntre ele un unghi de 45.

23

A

B C

*E

*D

A

B

M

N

P

D

E

C

F

18. Fie ABCD i CMNP dou ptrate care nu au puncte interioare comune. S se arate c mijlocul lui BM, C i piciorul perpendicularei din C pe DP sunt trei puncte coliniare. Rezolvare: Fie E mijlocul lui BM i se prelungete EC pn se intersecteaz cu DP n F. Aadar a arta c punctele E, C, F sunt coliniare este suficient s artm c EF este perpendicular pe DP echivalent cu

.iRzzzz

PD

FE

Rotind pe DC cu 90 se obine BC astfel:

( )BC

BCD

CDCDCB

izzii

zziz

zzizzizz

+=+=

=

+=

)1()1(

)(2

sin2

cos .

Analog CP se obine din CM printr-o rotaie de unghi 90

24

( ) .)1(2

sin2

cos MCPCMCP izzizzzizz +=

+= E, C, F coliniare EC se obine din CF printr-o rotaie de 180

( ) ).sin(cos iCFCEzzzz CFCE += Notm cu r raportul

CFCE . Cum

2MB

Ezzz +=

rzzrzz

zrzrzrzzz

MBCF

FCFCMB

2)1(2

2+=

++=+

19. Se consider patrulaterul convex ABCD, iar E respectiv F mijloacele diagonalelor AC respectiv BD . S se arate c are loc relaia:

2222222 4EFBDACDACDBCAB ++=+++ (Relaia lui Euler) . Rezolvare. Fie FEDCBA zzzzzz ,,,,, afixele punctelor A, B, C, D, E, F. Avem de artat urmtoarea relaie:

.4 222

2222

EFBDAC

DACDBCAB

zzzzzz

zzzzzzzz

++=+++

Cum E respectiv F sunt mijloacele diagonalelor AC respectiv BD

.2

1)2(2)2)(1(

DPEFiRir

rzzzrizzzr

zzzz

CMB

CMB

PD

FE +=+++=

25

( )+++++

++=+=

42

222

422

22

22222

DDBBDBCA

CCAAFFEEFE

zzzzzzzz

zzzzzzzzzz

( )+++

++=22

222

22

22224

DDBBDC

BCDABACCAAFE

zzzzzz

zzzzzzzzzzzz

( )

)2()2(

)2()2(

)2()2(4

2222

2222

22222

DDBBDCAA

ADADDDCC

BCBCBBAAFE

zzzzzzzz

zzzzzzzz

zzzzzzzzzz

+++++

++++=

Am adunat i am sczut suma +++ 2222 DCBA zzzz ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

+++=22

222224

DBCA

ADDCCBBAFE

zzzz

zzzzzzzzzz

+++=

22

222224

DBCA

ADDCCBBAFE

zzzz

zzzzzzzzzz

22222224 BDACDACDBCABEF +++= c.c.t.d. 20. S se arate c ntr-un patrulater convex exist relaia:

BCADCDABBDAC + . (Inegalitatea lui Ptolemeu) Rezolvare: Fie DCBA zzzz ,,, afixele punctelor A, B, C, D. Atunci

=+++

0)()()()()()(

CBAD

DCABBDAC

zzzzzzzzzzzz

)()(

)()()()(

BCAD

CDABBDAC

zzzzzzzzzzzz

++=

Prin trecere la modul + BCADCDABBDAC zzzzzzzzzzzz

BCADCDABBDAC + .

26

21. Fie )(),(),( CBA zCzBzA vrfurile unui patrulater iar D este un

punct de afix CBA

CBCABAD zzz

zzzzzzz ++

++= . S se arate c patrulaterul ABCD este inscriptibil. Rezolvare: Dac punctele A, B, C sunt pe un cerc de raz r atunci

=== 0rzzz CBA 2rzzzzzz CCBBAA === , mai rmne s artm c i D se

afl pe cerc rzD = 2rzz DD =

ilinscriptibesteABCDrzz

zzzzzzzzzr

zzzzzzzzzz

DD

CACBBA

CBA

CBA

ACCBBAD

=++++=++

++=

2

2 )(

22. Fie triunghiul ABC cu BM AB , BM=AB, CP AC, CP=AC, EBC, EB=EC astfel nct NE BC, NE=

2BC

. S se arate c

punctele M, N, P sunt coliniare. Rezolvare:

2222

)()()()(

BCCBN

BCCBN

CACPCACP

BABMBABM

zzizzzzzizzz

izzzzizzzzizzzzizzzz

++==+==+==

= R

zzzz

NP

MP 2 M, N, P sunt coliniare

27

A

B CE

NP

M

23. S se determine mulimea punctelor M de afix z astfel nct punctele A(1), M(z), B( 21 zz ++ ) s fie coliniare. Rezolvare: Fie z=x+iy afixul punctului M.

iyxiyxzz AM +=+= 11 )2()(11 2222 xyyiyxxiyxiyxzzzz AB +++=+++=++=

Punctele A, M, B sunt coliniare vectorii

)2,(),,1( 22 xyyyxxABsiyxAM ++ s fie coliniari (x-1)(y+2xy)-y( 22 yxx + )=0

0)12( 22 =+ xyxy locul geometric cutat este cercul de centru A(1,0) i de raz 2 . 24. Fie ABC un triunghi iar pe laturile sale se construiesc n exterior triunghiurile echilaterale ABP, BMC, CNA. S se arate c centrele lor de greutate formeaz un triunghi echilateral. Rezolvare:

MBC echilateral 00 222 =++=++ CMBCMB zzzzzz (1)

ACN echilateral 02 =++ ANC zzz (2)

28

APB echilateral =++ 02 BPA zzz 02 =++ BPA zzz (3)

Adunnd cele trei relaii

0

3:0)()(2

2

321=++

=++++++++

GGG

BAPCNAMCB

zzz

zzzzzzzzz

321 GGG este echilateral.

A

B C

M

NP

G1

G2G3A

B

C

D

M

N

P

Q

25. Pe laturile patrulaterului ABCD se construiesc n exterior triunghiurile dreptunghice isoscele AMB, BNC, CPD, DQA. S se arate c MP este perpendicular pe NQ. Rezolvare.

izzizizzzz ABMMAMB == )1()( izzizizzzz BCNNBNC == )1()( izzizizzzz CDPPCPD == )1()( == izzizizzzz DAQQDQA )1()(

29

izzzzizz CABDMP += )()1)((

=+=

izzzzizzzzizz

NQMP

DBCANQ

)()()1)((

NQMP = i MP NQ. 26. Fie paralelogramul ABCD i P (BD), M(AD), N(AB) astfel nct PM AB i PN AD. S se arate c triunghiul MNC i triunghiul ale cror vrfuri sunt centrele de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD au acelai centru de greutate. Rezolvare: Este suficient s artm c 321 zzzzzz CNM ++=++ , unde

321 ,, zzz sunt afixele centrelor de greutate ale triunghiurilor DMP, BNP, BCD. Avem: PMD zzzz ++=13 PNB zzzz ++=23 ++= DCB zzzz33

).(2)(3 321 BDPCNM zzzzzzzzz +++++=++ Cum ABCD este paralelogram

.PDBPCAPDBCA zzzzzzzzzzz ++=++++=+ Din AMNP paralelogram

+=+ NMPA zzzz++=++=++ PDBCNMPCA zzzzzzzzz

....3:)(3)(2)(3 321

dtcczzzzzzzzzzzz

CNM

BDPCNM

++==+++++=++

30

C

DA

B

M P

N A

B CE

a

b c

27. Fie E un punct situat arbitrar pe latura BC a triunghiului ABC. S se arate c are loc relaia:

BCAEBCECBEBEACECAB =+ 222 (Teorema lui Stewart). Rezolvare: Dac asociem vectorilor AE, BE, EC numerele complexe corespunztoare a,b,c atunci lui AC i corespunde numrul a+c, lui AB numrul a-b, iar lui BC numrul b+c. Plecnd de la identitatea:

)()()()( 222 cbbccbacabbac +++=++ pe care trecnd-o la module, vom obine tocmai relaia din teorema lui Stewart. 28. Fie ABCD un patrulater convex cu E(AD), F (BC) astfel nct

FCBF

EDAE = i M (AB), N(EF), P(CD)

astfel nct PCDP

NFEN

MBAM == . S se arate c M, N, P sunt coliniare.

Rezolvare:

Fie FCBF

EDAE = =k

kkzzz DAE +

+=1

kkzzz CBF +

+=1

31

i PCDP

NFEN

MBAM == =t ;

1 ttzzz BAM +

+= ;1 t

tzzz FEN ++=

;1 t

tzzz CDP +

+= Prin nlocuirea lui zE i a lui zF n zN rezult:

kkzz

kttzzk

ttzz

ktktzkztzz

tkkzzt

kkzz

z

PM

CDBA

CDBA

CBDA

N

++=+

++++

+=

=+++++=+

++++

+=

1111

)1)(1(111

M, N, P sunt coliniare.

32

BIBLIOGRAFIE

- Culegere de probleme de matematic - Mihai Cocuz, Editura Academiei, Bucureti 1984;

- Culegere de probleme de matematic pentru clasa a X-a , - Maria Batineu-Giurgiu i colaboratori, Editura Porto-Franco, 1993:

- Culegere de probleme pentru concursurile de matematic- D. Acu i colaboratori, Editura Societii de tiine Matematice din Romnia, Bucureti, 1997;

- Exercices et problemes de mathematiques- Joseph Gibert;

- Matematica n concursurile colare2001,2004-Dan Brnzei i colaboratori, Editura Paralela 45;

- Numere complexe, Virgil Nicula; - Probleme din Gazeta Matematic, N. Teodorescu i

colaboratori, Editura Tehnic, Bucureti 1984. - Probleme de geometrie i de trigonometrie - Stere

Ianu, Nicolae Soare i colab. Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti ,1991

- Probleme practice de geometrie - Liviu Nicolescu, Vladimir Boskoff, Editura tehnic, Bucureti,1990;

- Probleme de geometrie - I.C.Drghicescu, Editura Tehnic,1987

- Manual de matematic pentru clasa a X-a, Costel Chite, Editura Sigma 2000;

- Manual de matematic pentru clasa a X-a, Mircea Ganga, Editura Mathpress 2005;

33

34

Dreptul de copyright: Cartea downloadat de pe site-ul www.mateinfo.ro nu poate fi publicat pe un alt

site i nu poate fi folosit n scopuri comerciale fr specificarea sursei i acordul autorului

35

1. Mulimea numerelor reale 1.. Scrierea n baza zece:

dcbaabcd +++= 101010 23 a-cifra miilor; b-cifra sutelor; c-cifra zecilor; d-cifra unitilor;

001.001.01.01010101010, 321

+++==+++=

gfeagfeaefga

e-cifra zecimilor; f-cifra sutimilor; g-cifra miimilor. 2. Fracii

-Fracii zecimale finite: ;100

,;10

, abcbcaabba == -Fracii zecimale periodice:-

simple: ;99

)(,;9

)(, aabcbcaaabba ==

mixte: ;990

)(,;90

)(, ababcdcdbaababccba == 3.. Rapoarte i proporii

,,;0 *Qnknbna

babraportnumestese

ba =

= k se numete coeficient de proporionalitate ; Proprietatea fundamental a proporiilor:

cbdadc

ba ==

4. Proporii derivate:

==+

+=

==

===

=

.22

2

2

dc

basau

dbca

basau

dbca

ba

ddc

bbasau

dcc

baa

db

casau

ac

bdsau

cd

ab

dc

ba

36

5. Sir de rapoarte egale:

n

n

n

n

bbbbaaaa

ba

ba

ba

++++++++====

.........

.........321

321

2

2

1

1 ;

( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt direct proporionale k

ba

ba

ba

n

n ==== ..2

2

1

1 .

( ) ( )nn bbbbiaaaa ,....,,,......,, 321321 sunt invers proporionale nn bababa === ..2211 6. Modulul numerelor reale Proprieti:

=

0,

0,0

0,

aa

a

aa

defa

1. Raa ,0 ; 2. 0,0 == aa ; 3. Raaa = , ; 4. baba == , ; 5. baba = ; 6.

ba

ba = ;

7. bababa + ; 8. 0,, == aaxax ; 9. 0],,[, aaaxax ; 10. 0],,[],[, + aaaxax . 7. Reguli de calcul n R 1. ( ) ;2 222 bababa ++=+ 2. ( ) ;2 222 bababa += 3. (a+b)(a-b= a 2 -b 2 ;

37

4. ( ) cabcabcbacba 2222222 +++++=++ 5. ( ) 32233 33 babbaaba +++=+ ; 6. ( ) 32233 33 babbaaba += ; 7. ))(( 2233 babababa ++= ; 8. ))(( 2233 babababa ++=+ . 8. Puteri cu exponent ntreg

factorin

n aaaadefa ......

..80;.4

0,.7)(.3

0,1.6.2

)(.5;00;;1.1 1

nmaaaaaa

bba

bababa

aa

aaaa

aaaaa

nmnmn

m

n

nnnnn

nnnmnm

nmnmno

===

=

=

======

+

9. Proprietile radicalilor de ordinul doi

1. Raaa = ,02 2. baba = 3. 0, = b

ba

ba

4. 2)(n

nn aaa == ,

5. 22

22 baabaaba += unde a-b=k .

38

10. Medii

Media aritmetic 2

yxma+=

Media geometric yxmg = Media ponderat ponderileqp

qpyqxpmp ++= ,;

Media armonic yx

xy

yx

m h +=+= 2

112 .

Inegalitatea mediilor

22 yxxy

yxxy ++

11. Ecuaii

0,0 ==+ aabxbxa

0,2 == aaxax ;

aacbbxcxbxa

240

2

2,12 ==++ .

.04,0 2 acba .0, axaax ==

20, axaax == [ ] )1,[1 ++= aaxaxaax . 12. Procente

p % din N = Np 100

39

D =12100 npS

. Dobnda obinut prin depunerea la banc a unei

sume S de bani pe o perioad de n luni cu procentul p al dobndei anuale acordate de banc . Ct la sut reprezint numrul a din N.

x % din N =a N

ax 100= . 13. Partea ntreag 1. [ ] { }xxx += , Rx , [ ] Zx i { } )1,0[x 2. [ ]

40

2. Inegaliti 1. 1>a kk aa ba

7. cabcabcba ++++ 222 Rcba ,, 8. )( ( )22223 cbacba ++++ cba ,, R 9. ( )cba

cbacba ++++

++31222

Rcba ,,

10. ( ) 0,,33 ++++ cbacbacba

11. ( )( ) ( )nnnn aaaaaaaaaan 132121221 ......2...1 ++++++ 12. ( ) ( )21221 ...... nn aaaan ++++ , Nn 13. .0,,,

22

2

>

++ baNnbabann

14. .0,20 >++< r

rbra

ba

ba

41

15. x a ( )0>a .axa 16. baba + , Rba , sauC . 17. nn aaaaa ++ ...... 121 , in R sau C . 18. baba in R sau C . 19. ( ) nnnnnnn

11

11

1112 ==

( ) nnnnn1

11

11

!1 =<

20. Zba , , Znm , , Qnm .122 nbma

21. Numerele pozitive cba ,, pot fi lungimile laturilor unui triunghi dac i numai dac *,, + Rzyx ia.

,zya += ,zxb += .yxc += 22. 1

ba

ba

ba 0, >ba ,

23. .6,, * +++++ + bac

acb

cbaRcba

24. Dac 0,...,1 nxx si kxx n =++ ...1 constant atunci produsul nxxx ...22 e maxim cnd ....1 n

kxx n ===

25. Dac. 0,...,1

42

27. Teorema lui Jensen:

Dac :f ,R ( interval) si ( ) ( ) ( )22 2121xfxfxxf +

+

21, xx ( ) ( ) ( )nxfxf

nxxf nn ++

++ ...... 12 ix , .,1 ni =

28. Inegalitatea mediilor ....

...1...1

11

1

naaaa

aa

n nnn

n

++++

29. ( ) .1...1... 21

21 naaaaa

nn

+++++ .,1,0 niai =

egalitate cnd .,1,, njiajai == 30. Inegalitatea lui Cauchy-Buniakowsky-Schwartz. ( )( ) ( )211221221 ......... nnnn bababbaa ++++++ ., Rba ii 31. Inegalitatea mediilor generalizate: .""

bjaj

biai ==

1

1

1

1 ......

++

++

naa

naa nn ,,,, +Rba ii

., R

32.n

aan

aa nn ++

++ ...... 12

122

1

33.Inegalitatea lui Bernoulli: ( ) .,1,11 Nnanaa n ++

43

3.Mulimi. Operaii cu mulimi. 1. Asociativitatea reuniunii si a interseciei: A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C 2. Comutativitatea reuniunii si a interseciei: A B=B A A B=B A 3. Idempotena reuniunii si interseciei: A A=A A A=A 4. A =A A = 5. Distributivitatea reuniunii fa de intersecie: A (B C)=(A B) (A C) 6. Distributivitatea interseciei fa de reuniune: A (B C)=(A B) (A C)

7. A,B E, (A B)= A B

(A B)= A B

8. A E, ( A)=A

9. A\B= (A B) 10. A\(B C)=(A\B)\C A\(B C)=(A\B) (A\C) (A B)\C=(A\C) (B\C) (A B)\C=A (B\C)=(A\C) B 11. A(B C)=(AB) (AC) A(B C)=(AB) (AC) A(B\C)=(AB)\ (AC) ABBA A B ( x) (xA=>xB) A B ( x)((xA) (x B)) xA B (xA) (xB) xA B (xA) (xB) xC EA (xE) (x A) xA\B (xA) (x B)

44

12. Relaiile lui de Morgan

1. (p q)=p q, (p q)= p q . 2. p (q r) = (p q) (p r), p (q r)=(p q) (p r). 3. p p=A, p p = F. 4. p q p q. 5. p q (pq) (qp) (p q) ( q p). 6. p A = p , p A=A 7. p q = q p , p q = q p 8. (p)=p 9. p p =F , p p =A 10. (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r) 11. p F = p p F = F

45

4. Progresii

1. iruri Se cunosc deja irul numerelor naturale 0,1,2,3,4,.,irul numerelor pare 2,4,6, Din observaiile directe asupra acestor iruri, un ir de numere reale este dat n forma ,.....,, 321 aaa unde

321 ,, aaa sunt termenii irului iar indicii 1,2,3, reprezint poziia pe care i ocup termenii n ir. Definiie: Se numete ir de numere reale o funcie f: N*R , definit prin f(n)=a n Notm ( ) *Nnna irul de termen general , a n Observaie: Numerotarea termenilor unui ir se mai poate face ncepnd cu zero: ,.....,, 210 aaa

ia , i 1 se numete termenul de rang i. Un ir poate fi definit prin : a) descrierea elementelor mulimii de termeni. 2,4,6,8,.. b) cu ajutorul unei formule a n =2n c) printr-o relaie de recuren. 21 +=+ nn aa Un ir constant este un ir n care toi termenii irului sunt constani : 5,5,5,5,.. Dou iruri nnnn ba )(,)( sunt egale dac Nnba nn = , Orice ir are o infinitate de termeni.

46

2. Progresii aritmetice

Definiie: Se numete progresie aritmetic un ir n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr constant r, numit raia progresiei aritmetice. 1. Relaia de recuren ntre doi termeni consecutivi:

1,1 +=+ nraa nn 2. a1,a2, an-1, an, an+1 sunt termenii unei progresii aritmetice

211 + += nnn aaa

3. Termenul general este dat de :

( )rnaan 11 += 4. Suma oricror doi termeni egal departai de extremi este egal cu suma termenilor extremi :

nknk aaaa +=+ + 11 5. Suma primilor n termeni :

( )

21 naaS nn

+= 6. irul termenilor unei progresii aritmetice: rararaa 3,2,, 1111 +++ ,. ( )rnmaa nm = 7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie aritmetic de forma : x1 = u v x2 = u x3 = u + v u,v . 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie aritmetic astfel: x1 = u 3v, x2 = u v , x3 = u + v , x4 = u + 3v, u,v . 9. Dac

2

1

1 ++

+

k

k

k

ki a

aaaa

47

4. Progresii geometrice Definiie : Se numete progresie geometric un ir n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un numr constant q, numit raia progresiei geometrice. 1. Relaia de recuren : 1,1 =+ nqbb nn 2. b1,b2, bn-1, bn, bn+1 sunt termenii unei progresii geometrice cu termeni pozitivi 11 + = nnn bbb 3. Termenul general este dat de :

11

= nn qbb 4. Produsul oricaror doi termeni egal departati de extremi este egal cu produsul extremilor

nknk bbbb = + 11 5. Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice :

qqbS

n

n =

11

1

6. irul termenilor unei progresii geometrice : ,....,...,, 1

2111

nqbqbqbb

7. Trei numere x1, x2, x3 se scriu n progresie geometric de forma :

x1 = vu

x2 = u x3 = vu , + *, Rvu 8. Patru numere x1, x2, x3, x4 se scriu n progresie geometric astfel :

x1 = 3vu

x2 = vu

x3 = vu x4 = 3vu + *, Rvu

48

5. Funcii I. Fie : AB.

1) Funcia este injectiv,dac x,y A, x y=>(x) (y).

2) Funcia este injectiv,dac din (x)=(y) =>x=y. 3) Funcia f este injectiv, dac orice paralel la axa 0x intersecteaz graficul funciei n cel mult un punct. II. 1)Funcia este surjectiv, dac y B, exist cel puin un punct x A, a.. (x)=y. 2) Funcia este surjectiv, daca (A) =B. 3) Funcia este surjectiv, dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei n cel puin un punct. III. 1) Funcia este bijectiv dac este injectiv i surjectiv. 2) Funcia este bijectiv dac pentru orice y B exist un singur x A a.. (x) =y (ecuaia (x)=y,are o singur soluie,pentru orice y din B) 3) Funcia este bijectiv dac orice paralel la axa 0x, dus printr-un punct al lui B, intersecteaz graficul funciei ntr-un punct i numai unul. IV. 1A: AA prin 1A(x) =x, x A. 1) Funcia : AB este inversabil , dac exist o funcie g:BA astfel nct g o = 1A si o g =1B, funcia g este inversa funciei i se noteaz cu -1. 2) (x) = y x= -1(y) 3) este bijectiv este inversabil.

49

V. Fie :AB si g: BC, dou funcii. 1) Dac si g sunt injective, atunci g o este injectiv. 2) Dac si g sunt surjective,atunci g o este surjectiv. 3) Dac si g sunt bijective, atunci g o este bijectiv. 4) Dac si g sunt (strict) crescatoare,atunci g o este (strict) crescatoare. 5) Dac si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g o este (strict) descrescatoare. 6) Dac si g sunt monotone, de monotonii diferite,atunci g o este descrescatoare. 7) Dac este periodic, atunci g o este periodic. 8) Dac este par, atunci g o este par. 9) Dac si g sunt impare, atunci g o este impar, 10) Dac este impar si g par, atunci g o este par. VI. Fie : A B si g:BC, dou funcii. Dac g o este injectiv, atunci este injectiv. Dac g o este surjectiv, atunci g este surjectiv.

Dac g o este bijectiv, atunci este injectiv si g surjectiv. Dac ,g: A B iar h: B C bijectiv si h o = h o , atunci = g.

VII. Fie : AB si X,Y mulimi oarecare.

Funcia este bijectiv, dac i numai dac oricare ar fi funciile

u,v: XA,din o u = o v, rezult u=v. Funcia este surjectiv, daca i numai dac oricare ar fi funciile u,v :BY, din u o = v o , rezult u=v

50

VIII. 1)Dac :AB este strict monoton,atunci este injectiv. 2) Daca : RR este periodic i monoton, atunci este constant. 3) Daca : RR este bijectiv i impar,atunci -1 este impar. 4) Fie A finit i :AA. Atunci este injectiv este surjectiv. IX. Fie : E F, atunci 1) injectiv () g : F E (surjectiv) a.i. g o =1E. 2) surjectiv () g : EF (injectiv) a.i. o g =1F 3) bijectiv inversabil. X. Fie : E F. 1)Funcia este injectiv dac i numai dac () A,B E (A B) = (A) (B). 2) Funcia este surjectiv dac i numai dac () B F exist A E, astfel nct (A)=B. 3) Funcia este injectiv dac (A B)=(A) (B), A, B E. XI. Fie : E F si A E, B E, atunci (A) ={y F x A a.i. (x)=y} -1 (B) = {x E (x) B}. 1.Fie : E F si A,B E, atunci

a) A B => (A) (B), b) (A B)= (A) (B), c) (A B) (A) (B), d) (A) (B) (A B).

51

2.Fie : E F si A,B F atunci a) A B => -1 (A) -1 (B), b)-1 (A) -1 (B) --1 (A B), c)-1 (A) -1 (B) = -1 ( A B),

d) -1 (A) -1 (B) = -1 (A B), e) -1 (F) = E.

Funcia de gradul al doilea Forma canonic a funciei f:RR,

0,,,,)( 2 ++= aRcbacbxaxxf este

Rxaa

bxaxf

+= ,42

)(2

;

Graficul funciei este o parabol de vrf

aa

bV4

,2

, unde

acb 42 = 0a f este convex;

0 ; x1,x2 C f(x) >0, Rx ;

aa

bV4

,2

- punct

de minim;

52

0= , x1=x2R f(x) 0, Rx ; f(x)=0

abx2

=

Rxx 21,0 f(x) 0, ),[],( 21 + xxx ;

f(x)

53

a

54

Pentru

a

bx2

, funcia este strict cresctoare;

Pentru ),,2

[ +a

bx funcia este strict descresctoare.

6. NUMERE COMPLEXE 1. NUMERE COMPLEXE SUB FORM ALGEBRIC

=+== 1,,, 2iRbaibazzC

- mulimea numerelor complexe. z=a+ib=Re z+Im z OPERAII CU NUMERE COMPLEXE

Fie idczibaz +=+= 21 , . Atunci: 1. dbsicazz === 21 . 2. ).()(21 dbicazz +++=+ 3. ).()(21 cbdaidbcazz ++=

4. ,1 ibaz = conjugatul lui 1z 5. 2222

2

1

dcdacbi

dcdbca

zz

+++

+=

6. 22221

1ba

biba

az ++= .

55

PUTERILE LUI i 1. 14 =ki ; 2. ii k =+14 ; 3. 124 =+ki ; 4. ii k =+34 ; 5. i

ii

ii n

n === 1,1 1 ;

6.

===

imparni

parniiii

n

n

nnnn

,

,)1()(

PROPRIETILE MODULULUI

22 baz += - modulul nr. complexe 1. 00,0 == zzz 2. 2zzz = 3. zz = 4. 2121 zzzz = 5. 0, 2

2

1

2

1 = zzz

zz

6. 212121 zzzzzz + 7. nn zz = 8. zzzRzCz == 0Im; ECUAII:

++++=

+=+=

22

2222

2,1

2,12

baaibaaz

ibazibaz

+ dac b pozitiv; - dac b negativ

56

02

04

240

2,1

2

2

2,12

=

=

==++

dacaaibx

sauacbdaca

aacbbxcbxax

NUMERE COMPLEXE SUB FORM GEOMETRIC

Forma trigonometric a numerelor complexe:

z= )sin(cos i+ ,

=+=IVba

IIIIIba

Iba

kkabarctg

),(,2

,),(,1

),(,0

,

= 22 baz += se numete raza polar a lui z Fie z1= )sin(cos 111 i+ i z2= )sin(cos 222 i+ ;

z1=z2 kiaZkexistasi +== 2121 ., )sin()[cos( 21212121 +++= izz

)sin(cos 1111 iz =

57

)]sin()[cos(11 1111

+= iz

[ ])sin()cos( 12121

2

1

2 += i

zz

Rnninz nn += ),sin(cos 1111 1,0),

2sin

2(cos 1111 +++= nkn

ki

nk

z nn

7. FUNCTIA EXPONENTIAL

Def. f: R (0,), f(x)= 1,0, aaa x

Dac a 1 f este strict cresctoare 2121

xx aaxx Dac a ( ) 1,0 f este strict descresctoare 2121

xx aaxx Proprieti: Fie a,b ( ) Ryxba ,,1,,,0

58

( )( )

x

xx

x

xx

yxy

x

yxyx

yxx

yxyx

adefinestesenuapentru

aa

a

a

bba

ba

aaaa

aa

aaba

aaa

,0

0,11

0,

0,

0

==

=

=

==

=

+

Tipuri de ecuaii: 1. a bxfbaab a

xf log)(0,1,0,)( == 2. a )()(1,0,)()( xgxfaaa xgxf == 3. a bxgxfbabab a

xgxf log)()(1,,0,,)()( == 4. ecuaii exponeniale reductibile la ecuaii algebrice printr-o substituie. 5. ecuaii ce se rezolv utiliznd monotonia funciei exponeniale. Inecuaii a>1, )()()()( xgxfaa xgxf a )()()1,0( )()( xgxfaa xgxf

59

FUNCTIA LOGARITMIC

Def: f:(0,) R, f(x)= xalog , 1,0 aa ,x>0

Dac a 1 f este strict cresctoare 2121 loglog xxxx aa Dac a ( ) 1,0 f este strict descresctoare 2121 loglog xxxx aa Proprieti: Fie a,b ( ) Rmyxcbac ),,0(,,1,,,,0

yxyx

yxyxxyxa

aaa

aaa

ay

logloglog

loglogloglog0

=+=

==

60

.1log,01log

,

loglog

1,loglog

log

loglog,log

logloglog

====

====

a

axca

aba

bb

bmbma

aa

xac

bac

ca

am

am

a

abb

Tipuri de ecuaii: 1. bxf xfxgfgfbxg )()(1,0,,)(log )( == 2. )()()(log)(log xgxfxgxf aa == 3. )(log)()(log)(log xgba baxfxgxf == 4. ecuaii logaritmice reductibile la ecuaii algebrice printr-o substituie. 5. ecuaii ce se rezolv utiliznd monotonia funciei logaritmice. Inecuaii a>1, )()()(log)(log xgxfxgxf aa a )()()(log)(log)1,0( xgxfxgxf aa

61

8. BINOMUL LUI NEWTON n 1664 Isaac Newton (1643-1727) a gsit urmtoarea formul pentru dezvoltarea binomului (a+b)n. Dei formula era cunoscut nc din antichitate de ctre matematicianul arab Omar Khayyam (1040-1123), Newton a extins-o i pentru coeficieni raionali. TEOREM: Pentru orice numr natural n i a i b numere reale exist relaia:

( ) nnnkknknnnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba ++++++=+ ...............222110 (1) Numerele nnnn CCC ,....,,

10 se numesc coeficienii binomiali ai dezvoltrii; Este necesar s se fac distincie ntre coeficientul unui termen al dezvoltrii i coeficientul binomial al acelui termen. Exemplu: (a+2b)4= a4 + 4a 3 .2b+.. Coeficientul celui de-al doilea termen este 8 iar coeficientul binomial este C41 =4; Pentru (a-b)n avem urmtoarea form a binomului lui Newton:

( ) nnnnkknknknnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba )1(.....)1(...........222110 ++++= (1) Proprieti: 1. Numrul termenilor dezvoltrii binomului (a+b)n este n+1; Dac n=2k coeficientul binomial al termenului din mijloc al dezvoltrii este Cnk i este cel mai mare. Dac n=2k+1 Cnk i Cnk+1 sunt egali i sunt cei mai mari; CnoCnn daca n este par, n=2k

62

Cno

63

9. Vectori i operaii cu vectori

Definiie: Se numete segment orientat, o pereche ordonat de puncte din plan; Se numete vector, mulimea tuturor segmentelor orientate care au aceeai direcie, aceeai lungime i acelai sens cu ale unui segment orientat. Observaii: Orice vector AB se caracterizeaz prin:

- modul(lungime,norm), dat de lungimea segmentului AB;

- direcie, dat de dreapta AB sau orice dreapt paralel cu aceasta;

- sens, indicat printr-o sgeat de la originea A la extremitatea B.

Notaii: AB vectorul cu originea A i extremitatea B; 2

02

0 )()( yyxxAB += - modulul vectorului AB unde A(x0,y0), B(x.y). Definiie: Se numesc vectori egali, vectorii care au aceeai direcie, acelai sens i acelai modul. Doi vectori se numesc opui dac au aceeai direcie, acelai modul i sensuri contrare: - AB = BA . Adunarea vectorilor se poate face dup regula triunghiului sau dup regula paralelogramului:

64

Rvsauv === ,000 vvvvDaca = ,0,0 are direcia i sensul

vectorului v dac 0 i sens opus lui v dac 0 . Definiie: Doi vectori se numesc coliniari dac cel puin unul este nul sau dac amndoi sunt nenuli i au aceeai direcie. n caz contrar se numesc necoliniari.

vectori coliniari vectori necoliniari Teorem: Fie 0u i v un vector oarecare. Vectorii u i v sunt coliniari uviaR = .. .

65

Punctele A, B, C sunt coliniare

ACABiRacoliniarisuntACsiAB = .. . CDsiABCDAB sunt coliniari;

Dac u i v sunt vectori necoliniari atunci

00.., ===+ yxvyuxiaRyx . Teorem: Fie a i b doi vectori necoliniari. Oricare ar fi vectorul v , exist )(, uniceR astfel nct bav += . Vectorii a i b formeaz o baz.

, se numesc coordonatele vectorului v n baza ( )ba, . Definiie: Fie XOY un reper cartezian. Considerm punctele A(1,0),

B(0,1). Vectorii OBjsiOAi == se numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor i sensurile semiaxelor pozitive cu OX i OY. Baza ( )ji, se numete baz ortonormat.

66

jyixBABAv +=+= '''''' x=xB- xA, y=yB- yA

jvprivprv OYOX += 22 )()( ABAB yyxxAB += Teorem: Fie )','(),,( yxvyxu . Atunci:

1) u + v are coordonatele (x+x.y+y); 2) vR , are coordonatele ( x, y); 3) )','(),,( yxvyxu sunt coliniari

.0''.0',',''

=== yxxyyxkyy

xx

4) Produsul scalar a doi vectori nenuli.

].,0[,),(cos == vumundevuvu

2222 )'()'(''cos

yxyxyyxx++

+=

0],2

(;0]2

,0[ vuvu Fie )','(),,( yxvyxu nenuli. Atunci:

.0''0 =+= yyxxvuvu

.0;1

.00

.,02

======

jijjii

uuu

uuuu

Vectori de poziie. Dac BA rr ,

sunt vectori de poziie, atunci: AB rrAB =

67

10. Funcii trigonometrice

Semnul funciilor trigonometrice:

Sin: [ ]1,12

,2

arcsin:[-1,1]

2

,2

Cos: [ ] [ ]1,1,0 arccos:[-1,1] [ ],0

68

Tg: R

2

,2

arctg:R

2

,2

Reducerea la un unghi ascuit

Fie u )2

,0( Notm sgn f= semnul funciei f; cof = cofuncia lui f

=

==

imparkuukf

parkuukfuk

,cos)2

(sgn

,sin)2

(sgn

2sin

Analog pentru

celelalte;

n general,

=

==

imparkucofukf

parkufukfukf

),()2

(sgn

),()2

(sgn)

2(

69

Ecuaii trigonometrice Fie x un unghi, a un numr real i k Z .

]1,0[,arcsin)1(1,sin +== adackaxaax k = ]0,1[,arcsin)1( 1 + + adackak

]1,0[,2arccos1,cos +== adackaxaax = ]0,1[,)12(arccos ++ adacka

karctgaxRaatgx +== ,

kaxax k +== )1()arcsin(sin kaxax 2)arccos(cos +==

kaxatgxarctg +==)(

kxgxfxgxf k +== )()1()()(sin)(sin kxgxfxgxf 2)()()(cos)(cos +== Zkkxgxfxtggxtgf +== ,)()()()(

Ecuaii trigonometrice reductibile la ecuaii care conin aceeai funcie a aceluiai unghi; Ecuaii omogene n sin x i cos x de forma: asin x+bcos x=0; asin2 x+bsin x .cos x+ ccos2 x=0 Ecuaii trigonometrice care se rezolv prin descompuneri n factori; Ecuaii simetrice n sin x i cos x; Ecuaii de forma:

=+=++acxtgxacxbxa cossin:0cossin

kacx k +=+ )cosarcsin()1(

22cossin baxbxa ++ Observaie important: Prin ridicarea la putere a unei ecuaii trigonometrice pot aprea soluii strine iar prin mprirea unei ecuaii trigonometrice se pot pierde soluii;

70

FORMULE TRIGONOMETRICE

1.

2

222

cos1sin

;sin1cos1cossin

===+

R 2.

;cos

11cos

cos1sin1

sin2

22

2

=+=

= tgtg

3. ;1

sin;1

1cos22

tgtg

tg +=

+=

4. sinsincoscos)cos( =+ ; 5. sinsincoscos)cos( += ; 6. cossincossin)sin( +=+ ; 7. cossincossin)sin( = ; 8. ;

1)(;

1)(

tgtgtgtgtg

tgtgtgtgtg +

=+=+

9.

;1)(;1)(

ctgctg

ctgctgctgctgctg

ctgctgctg +=+

=+

10. ;cossin22sin = 11. 2222 sin211cos2sincos2cos === 12.

22cos1sin;

22cos1cos 22 =+= ;

13. ;2cos1

2sin;

2cos1

2cos =+=

14.

cos1cos1

2;

cos1cos1

2 +=+

= ctgtg

15. ;2

12;1

222

2

ctg

ctgctgtgtgtg ==

71

16. ;

22

21

;

21

22 2

2

tg

tgctg

tg

tgtg

=

=

17.

;13

33;cos3cos43cos

3133;sin4sin33sin

2

33

2

33

==

==

ctgctgctgctg

tgtgtgtg

18. ;

2

1sin

cos1cos1

sin2

ctg

tg ==+=

19. ;

21

21

cos;

21

22

sin2

2

2

tg

tg

tg

tg

+

=+

=

2cos

2sin2sinsin bababa +=+

2cos

2sin2sinsin bababa +=

2sin

2sin2coscos bababa +=

2cos

2sin2coscos bababa +=+

babatgbtga

coscos)sin(

=

babactgbctga

sinsin)sin(

+=+

baabctgbctga

sinsin)sin(

=

babatgbtga

coscos)sin(

+=+

72

2)cos()cos(coscos bababa ++=

)11arcsin(arcsinarcsin 22 xyyxyx +=+ arcsin x+arccos x=

2 arctg x +arcctg x=

2

arctg x+arctg2

1 =x

arccos(-x)= -arccos x

2)sin()sin(cossin bababa ++=

2)cos()cos(sinsin bababa +=

73

11. ECUAIILE DREPTEI N PLAN 1. Ecuaia cartezian general a dreptei: ax+by+c=0 (d) Punctul M(x0,y0) 000 =++ cybxad 2. Ecuaia dreptei determinat de punctele A(x1,y1), B(x2,y2):

12

1

12

1

xxxx

yyyy

=

3. Ecuaia dreptei determinat de un punct M(x0,y0) i o direcie dat( are panta m) y-y0=m(x-x0) 4. Ecuaia explicit a dreptei (ecuaia normal):

y=mx+n, unde 12

12

xxyytgm

== este panta dreptei i n este ordonata la origine.

5. Ecuaia dreptei prin tieturi: .0,,1 =+ baby

ax

6. Fie (d): y=mx+n i (d): y=mx+n

Dreptele d i d sunt paralele m=mi n n. Dreptele d i d coincid m=mi n=n. Dreptele d i d sunt perpendiculare mm= -1.

Tangenta unghiului a celor dou drepte este

'1'

mmmmtg +

= 7. Fie d: ax+by+c=0 i d: ax+by+c=0 cu a,b,c .0 i

)',( ddm = Dreptele d i d sunt paralele

''' cc

bb

aa =

74

Dreptele d i d coincid ''' c

cbb

aa ==

Dreptele d i d sunt concurente '' b

baa

ab-ba .0

2222 ''

''

'

'cos

baba

bbaa

vv

vv

+++=

= unde

)','('),,( abvabv sunt vectorii directori ai dreptelor d i d. Dreptele d i d sunt perpendiculare,

0''' =+ bbaadd 8. Fie punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3), D(x4,y4) n plan.

Dreptele AB i CD sunt paralele, AB|| CD CDABaR = .*, sau mAB=mCD. Dreptele AB i CD sunt perpendiculare,

0= CDABCDAB Condiia ca punctele A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) s fie coliniare este:

12

13

12

13

xxxx

yyyy

=

9. Distana dintre punctele A(x1,y1) i B(x2,y2) este

( ) ( )212212 yyxxAB += Distana de la un punct M0(x0,y0) la o dreapt h de ecuaie (h): ax+by+c=0 este dat de:

22

000 ),(

ba

cbyaxhMd

+++= .

75

12. CONICE 1.CERCUL Definiie: Locul geometric al tuturor punctelor din plan egal deprtate de un punct fix, numit centru se numete cerc.

}|),({),( rOMyxMrOC ==

1. Ecuaia general a cercului A(x + y) + Bx + Cy + D = 0 2. Ecuaia cercului de centru: O(a, b) respectiv O(0, 0) si raza r (x - a) + (y + b) = r ; x + y = r 3. Ecuaia cercului de diametru A(x1;y1), B(x2; y2) (x - x1)(x - x2) + ( y- y1)(y - y2) = 0 4. Ecuaia tangentei dup o direcie O(0,0) : y = mx r m1+ O(a,b) : y-b = m(x-a) r m1+ 5. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) (x x0) + (y y0) = r respectiv (x - a)(x0 - a) + (y - b)(y0 - b) = r 6. Ecuatia normala a cercului

76

x + y + 2mx + 2ny + p = 0 cu O(-m; -n) i r = m + n - p 7. Ecuaia tangentei n punctul M(x0,y0) x x0 + y y0 + m(x + x0) + n(y + y0) + p = 0 8. Distanta de la centrul cercului O(a, b) la dreapta de ecuaie y = mx + n este

d(0,d) = 1

||++

mnbma

sau (

|| 00ba

cbyaxd ++= + )

9. Ecuaiile tangentelor din punctul exterior M(x0, y0) I. Se scrie ecuaia 4 i se pune condiia ca M s aparin cercului de ecuaie 4. II. y - y0 = m(x - x0) x + y = r , =0 2. ELIPSA

Definiie: Locul geometric al punctelor din plan care au suma distanelor la dou puncte fixe, constant, se numete elips.

F,F- focare, FF distana focal E={ }aMFMFyxM 2'),( =+ MF,MF- raze focale 1. Ecuaia elipsei

77

1

=+

by

ax , b = a - c

2. Ecuaia tangentei la elips y = mx bma + 3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0) la elips

1

00 =+b

yya

xx , 0

0

yx

abm =

4. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) la elips VAR I Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M s aparin elipsei de ecuaie 2 de unde rezult m VAR II Se rezolv sistemul y y0 = m(x-x0)

, cu conditia = 0

3. HIPERBOLA Definiie: Locul geometric al punctelor din plan a cror diferen la dou puncte fixe este constant, se numete hiperbol

1

=+

by

ax

78

H: = { M(x,y) | |MF MF| = 2a }

y = xab

--ecuaia asimptotelor

1. Ecuaia hiperbolei

1

=

by

ax

, b = c - a ;

Daca a = b => hiperbola echilateral 2.Ecuaia tangentei la hiperbol

y = mx bma 3. Ecuaia tangentei n punctul M(x0, y0)

1

00 =b

yya

xx ,

0

0

yx

abm =

4. Ecuaiile tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaia 2 si se pune condiia ca M s aparin hiperbolei de ecuaie 2, de unde rezult m. VAR II. Se rezolva sistemul y - y0 = m(x - x0)

1

=

by

ax

, cu = 0

4. PARABOLA

Definiie: Locul geometric al punctelor egal deprtate de un punct fix, (numit focar) i o dreapt fix (numit directoare), se numete parabol.

79

P: = { M(x, y) | MF = MN }

(d): x = 2p ( locul geometric al punctelor din plan de unde putem

duce tangente la o parabol). 1. Ecuaia parabolei y = 2px 2. Ecuaia tangentei la parabol

y = mx + mP

2

3. Ecuaia tangentei n M (x0, y0) yy0 = p(x + x0) 4. Ecuatia tangentelor dintr-un punct exterior M(x0, y0) VAR I. Se scrie ecuaia 2 i se pune condiia ca M (ecuatia 2) => m VAR II. Se rezolv sistemul y - y0 = m(x - x0) y = 2px cu = 0

80

13. ALGEBRA LINIAR

1. MATRICE.

Adunarea matricelor

++++=

+

tdzcybxa

tzyx

dcba

=

tazayaxa

tzyx

a

nmulirea matricelor

++++=

tdyczdxctbyazbxa

tzyx

dcba

Transpusa unei matrice

=

dbca

dcba T

2. DETERMINANI.

cbdadcba = ;

dbiahfgecfbgchdieaihgfedcba

++=

Proprieti: 1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matricei transpuse; 2. Dac toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricei este nul; 3. Dac ntr-o matrice schimbm dou linii(sau coloane) ntre ele obinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniiale. 4. Dac o matrice are dou linii (sau coloane) identice atunci determinantul su este nul;

81

5. Dac toate elementele unei linii(sau coloane) ale unei matrice sunt nmulite cu un element a, obinem o matrice al crei determinant este egal cu a nmulit cu determinantul matricei iniiale. 6. Dac elementele a dou linii(sau coloane) ale unei matrice sunt proporionale atunci determinantul matricei este nul; 7. Dac la o matrice ptratic A de ordin n presupunem c

elementele unei linii i sunt de forma '''

ijijij aaa += atunci det A = det A +det A; 8. Dac o linie (sau coloan) a unei matrice ptratice este o combinaie liniar de celelate linii(sau coloane) atunci determinantul matricei este nul. 9. Dac la o linie (sau coloan) a matricei A adunm elementele altei linii (sau coloane) nmulite cu acelai element se obine o matrice al crei determinant este egal cu determinantul matricei iniiale; 10. Determinantul Vandermonde:

))()((111

222

bcacabcbacba = ;

11. Dac ntr-un determinant toate elementele de deasupra diagonalei principale sau de dedesubtul ei sunt egale cu zero, atunci determinantul este egal cu fca ;

fcafed

cba

=000

12. Factor comun

rvupnmzyx

barvu

pbnbmbzayaxa

=

82

3. Rangul unei matrice Fie A )(, CM nm , rN, ),min(1 nmr . Definiie: Se numete minor de ordinul r al matricei A, determinantul format cu elementele matricei A situate la intersecia celor r linii i r coloane. Definiie: Fie A nmO , o matrice . Numrul natural r este rangul matricei A exist un minor de ordinul r al lui A, nenul iar toi minorii de ordin mai mare dect r+1 (dac exist) sunt nuli. Teorema: Matricea A are rangul r exist un minor de ordin r al lui A iar toi minorii de ordin r+1 sunt zero. Teorema: Fie A )(),( ,, CMBCM snnm . Atunci orice minor de ordinul k , ),min(1 smk al lui AB se poate scrie ca o combinaie liniar de minorii de ordinul k al lui A (sau B). Teorema: Rangul produsului a dou matrice este mai mic sau egal cu rangul fiecrei matrice. Definiie: )(CM n . A este inversabil det A 0.( A este nesingular). Teorema: Inversa unei matrice dac exist este unic. Observaii: 1) det (AB) =det A det B.

2) *det

11 AA

A =

(1

,))1((*+ = AdAAA jiijji )

3) A-1 )(ZM n det A = 1 . Stabilirea rangului unei matrice: Se ia determinantul de ordinul k-1 i se bordeaz cu o linie (respectiv cu o coloan). Dac noul determinant este nul rezult c ultima linie(respectiv coloan )este combinaie liniar de celelalte linii (respectiv coloane).

83

Teorema: Un determinant este nul una din coloanele (respectiv linii) este o combinaie liniar de celelalte coloane(respectiv linii). Teorema: Rangul r al unei matrice A este egal cu numrul maxim de coloane(respectiv linii) care se pot alege dintre coloanele (respectiv liniile) lui A astfel nct nici una dintre ele s nu fie combinaie liniar a celorlalte. 4. Sisteme de ecuaii liniare Forma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute este:

(1

=+++

=+++

mnmnmm

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

.......................................................

...........

2211

11212111

sau

==

n

jjij xa

1 ib

Unde A (aij) mi 1 , nj 1 - matricea coeficienilor necunoscutelor.

Matricea

=

mmnm

n

baa

baaA

..........

1

1111

se numete matricea extins

a sistemului. Definiie: Un sistem de numere n ,......., 21 se numete soluie a sistemului (1)

miba in

jjij ,1,

1==

= .

Definiie: - Un sistem se numete incompatibil nu are soluie; - Un sistem se numete compatibil are cel puin o soluie; - Un sistem se numete compatibil determinat are o singur soluie;

84

- Un sistem se numete compatibil nedeterminat are o infinitate de soluii; Rezolvarea matriceal a unui sistem Fie A, )(CMB n .

njbaA

XBAXBXAA in

iijj ,1,det

11

11 ==== =

.

Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:

Teorema lui Cramer: Dac det A 0not , atunci sistemul AX=B are o soluie unic Xi=

i . Teorema lui Kronecker- Capelli: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse. Teorema lui Rouche: Un sistem de ecuaii liniare este compatibil toi minorii caracteristici sunt nuli. Notm cu m-numrul de ecuaii; n- numrul de necunoscute; r -rangul matricei coeficienilor.

I m=n=r Sistem compatibil determinat

0 II m=r n Sistem compatibil

nedeterminat Minorul principal este nenul

III

n=r m

Sistem compatibil determinat sau

Dac toi minorii caracteristici sunt nuli

85

Sistem incompatibil

Exist cel puin un minor caracteristic nenul

IV mrnr , Sistem compatibil nedeterminat sau

Dac toi minorii caracteristici sunt nuli

Sistem incompatibil

Exist cel puin un minor caracteristic nenul

Teorema: Un sistem liniar i omogen admite numai soluia banal 0

86

14. SIRURI DE NUMERE REALE 1. Vecinti. Puncte de acumulare. Definiia 1 : Se numete ir , o funcie f : N R definit prin f(n) = a n .

Notm ( ) ..,.........,,....,.........,,: 321210 aaasauaaaa Nnn Orice ir are o infinitate de termeni; a n este termenul general al irului ( ) Nnna . Definiia 2 : Dou iruri ( ) Nnna , ( ) Nnnb sunt egale

Nknba nn = , Definiia 3: Fie a R. Se numete vecintate a punctului aR, o mulime V pentru care >0 i un interval deschis centrat n a de forma (a- , a+ ) V. Definiia 4: Fie D R. Un punct R se numete punct de acumulare pentru D dac n orice vecintate a lui exist cel puin un punct din D-{ } V (D-{ } ) . Un punct xD care nu e punct de acumulare se numete punct izolat. 2. iruri convergente Definiia 5 : Un ir ( ) Nnna este convergent ctre un numr a R dac n orice vecintate a lui a se afl toi termenii irului cu excepia

unui numr finit i scriem a n an sau =

naanlim

a se numete limita irului . Teorema 1: Dac un ir e convergent , atunci limita sa este unic. Teorema 2: Fie ( ) Nnna un ir de numere reale. Atunci: ( ) Nnna este monoton cresctor a n Nnan + ,1 sau

1,0 11 ++n

nnn a

asauaa ;

87

( ) Nnna este stict cresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++

n

nnn a

asauaa ;

( ) Nnna este monoton descresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++

n

nnn a

asauaa ;

( ) Nnna este strict descresctor a n Nnan + ,1 sau 1,0 11 ++

n

nnn a

asauaa .

Definiia 6. Un ir ( ) Nnna este mrginit M R astfel nct Man sau

nanctastfelR, . Teorema 3: Teorema lui Weierstrass: Orice ir monoton i mrginit este convergent. Definiia 7: Dac un ir are limit finit irul este convergent. Dac un ir are limit infinit + sau irul este divergent. Teorema 4: Orice ir convergent are limit finit i este mrginit dar nu neaprat monoton. Teorema 5: Lema lui Cesaro: Orice ir mrginit are cel puin un subir convergent. Definiia 8: Un ir e divergent fie dac nu are limit, fie dac are o limit sau dac admite dou subiruri care au limite diferite. OBS: Orice ir cresctor are limit finit sau infinit. Teorema 6: Dac ( ) Nnna *+R este un ir strict cresctor i nemrginit atunci

=+=

na

an

n 01limlim

. Un ir

descresctor cu termenii pozitivi este mrginit de primul termen i de 0.

88

3. Operaii cu iruri care au limit Teorema 7: Fie ( ) Nnna , ( ) Nnnb iruri care au limit: a n an , b n bn . Dac operaiile a+b,ab

itauababaababa

irurileatuncisensauaba

nbn

n

nnnnnnnn

b

lim,,,,,

,

+ .

lim( nn ba + )= lim na +lim nb ; lim( nn ba )=lim na .lim nb ; n n n lim( na )=lim na ; lim

n

n

n

n

ba

ba

limlim=

lim nn bnb

n aalim)(lim=

( ) ( )nana aa limlogloglim = k

nk

n aa limlim = Prin convenie s-a stabilit: += ; a+=,aR; a+(-)=-; -+(-)=-; a= ,a>0; a=-,a

89

Dac nnnnn abiba Dac aaaa nnnn . Dac 00 nnnn aa . Teorema 9: Dac irul ( ) Nnna este convergent la zero, iar ( ) Nnnb este un ir mrginit, atunci irul produs nn ba este convergent la zero. 4. Limitele unor iruri tip

N

=

=

1,

1,

1,1

)1,1(,0

lim

qdacexist nu

qdac

qdac

qdac

q nn

N ( )

=+++

0,

0,....lim

0

0110

a

aanana ppp

n

N

=

=++++++

.0,

0,

,

,0

............

lim

0

0

0

0

0

0

110

110

ba

iqpdac

ba

iqpdac

qpdacba

qpdac

bnbnbanana

qqq

ppp

n

90

lim ......71,211 =

+ en

n

lim ex

nx

n

=

+ 11

n x n

lim ( ) ex nxn =+ 11 lim 1sin =n

n

xx

x n 0 x n 0

lim 1arcsin =

n

n

xx

lim 1=n

n

xtgx

x n 0 x n 0

lim 1=n

n

xarctgx

lim 11ln( ) =+

n

n

xx

x n 0 x n 0

lim ax

a

n

xnln1 = lim ( ) r

xx

n

rn =+ 11

x n 0 x n 0

lim =pn

x

xe n

lim 0ln =p

n

n

xx

x n x n

91

15. LIMITE DE FUNCII

Definiie: O funcie f:D RR are limit lateral la stnga ( respectiv la dreapta) n punctul de acumulare

slexistx0 R (respectiv dl R) a. . lim f(x)= sl , (respectiv lim f(x) = dl ).

0

0

xxxx

0

0

xxxx

Definiie: Fie f:D RR , Dx 0 un punct de acumulare. Funcia f are limit n )()( 000 xlxlx ds = Proprieti: 1. Dac lim f(x) exist, atunci aceast limit este unic.

0xx 2. Dac lim f(x) =l atunci

0

.)(limxx

lxf

=

0xx Reciproc nu. 3. Dac

0

0)(lim0)(lim

xx

xfxf

==

4. Fie f,g:D RR , U o vecintate a lui Dx 0 astfel nct f(x) g(x) { }0xUDx i dac exist

00 ,

)(lim),(lim

xxxx

xgxf

00

)(lim)(lim

xxxx

xgxf

92

5. Dac { }.)(lim)(lim)(lim

)()()( 0

lxglxhxf

ixUDxxhxgxf

===

xx0 xx0 xx0

6.

Dac

{ }lxfxg

ixUDxxglxf

==

)(lim0)(lim

)()( 0

7.

0)()(lim

)(..00)(lim

==

xgxf

MxgaMixfDac .

8.

.)(lim

(lim)()(

.)(lim

)(lim)()(

==

+=+=

xf

xgixgxfDac

xf

xgixgxfDac

OPERAII CU FUNCII

112

1212121

21

,,,,,

)(lim,)(lim

2 lllllllllloperatiilesens

auilxglxfexistDacl+

==

atunci: 1. lim(f(x) g(x))= 21 ll . 2. limf(x)g(x)= 21 ll

93

3.lim2

1

)()(

ll

xgxf =

4.lim 21)()( lxg lxf =

5.lim 1)( lxf = P(X)=a0xn + a1xn-1 + ..+an ,a0 0 limx

naxP )()( 0 =

0, dac q ( )1,1 limx q

x = 1, dac q=1

, dac q>1 nu

exist, dac q 1

94

N

=

=++++++

.0,

0,

,

,0

............

lim

0

0

0

0

0

0

110

110

ba

iqpdac

ba

iqpdac

qpdacba

qpdac

bxbxbaxaxa

qqq

ppp

x

a>1 =

x

xalim 0lim =

x

xa

a )1,0( 0lim =x

xa =

x

xalim

a>1 =

xax

loglim = xax loglim0 a )1,0( =

xa

xloglim = xax loglim0

lim0x

1sin =x

x ( )

( )( ) 1

sinlim0

= xu

xuxu

lim0x

1=x

tgx ( )

( )( ) 1lim 0 = xu

xtguxu

lim0x

1arcsin =x

x ( )

( )( ) 1

arcsinlim0

= xu

xuxu

lim0x

1=x

arctgx ( )

( )( ) 1lim 0 = xu

xarctguxu

lim0x( ) ex x =+ 11

( )( )( ) ( ) exu xu

xu=+

1

01lim

95

ex

x

x=

+

11lim ( ) ( )( )

011lim =

+

xu

xu xu

lim0x

( ) 11ln =+x

x ( )

( )( )( ) 1

1lnlim0

=+ xu

xuxu

lim0x

ax

a x ln1 = ( ) ( ) axu

a xu

xuln1

)(

0lim =

lim0x

( ) rxx r =+ 11

( )( )( )( ) rxuxu r

xu=+

11lim0

0lim = xk

x ax

( )( )( ) 0lim = xu

k

xu axu

limx 0ln =kx

x ( )

( )( ) 0

lnlim = kxu xuxu

96

16. FUNCII CONTINUE

DEFINIIE. O funcie f : D R R se numete continu n punctul de acumulare x0 D oricare ar fi vecintatea V a lui f(x0) , exist o vecintate U a lui x0, astfel nct pentru orice

x U D f(x) V.

DEFINIIE. f : D R R este continu n x0 D f are limit n x0 i lim f(x) = f(x0) sau ls (x0 ) = ld (x0 ) = f(x0). x0 se numete punct de continuitate. Dac funcia nu este continu n x0 f.se numete discontinu n x0 i x0 se numete punct de discontinuitate. Acesta poate fi:

- punct de discontinuitate de prima spe dac ls (x0 ), ld (x0 ) finite, dar f(x0);

- punct de discontinuitate de a doua spe dac cel puin o limit lateral e infinit sau nu exist.

DEFINIIE. f este continu pe o mulime ( interval) este continu n fiecare punct a mulimii ( intervalului).

Funciile elementare sunt continue pe domeniile lor de definiie.

Exemple de funcii elementare: funcia constant c, funcia identic x, funcia polinomial f(x) = a0xn + a1xn-1 + .......an , funcia raional f(x)/g(x), funcia radical n xf )( , funcia logaritmic log f(x), funcia putere xa, funcia exponenial ax, funciile trigonometrice sin x, cos x, tg x, ctg x.

PRELUNGIREA PRIN CONTINUITATE A UNEI FUNCII NTR-UN PUNCT DE ACUMULARE

DEFINIIE. Fie f : D R R. Dac f are limita l R n punctul de acumulare x0 D

f: D { x0} R, f(x) =

=

0,),(

xxlDxxf

97

este o funcie continu n x0 i se numete prelungirea prin continuitate a lui f n x0.

OPERAII CU FUNCII CONTINUE

T1. Dac f,g:DR sunt continue n x0 ( respectiv pe D) atunci f+g, f, fg,f/g, fg, f sunt continue n x0 ( respectiv pe D); R, g 0.

T2. Dac f:DR e continu n x0 D ( respectiv pe D) )(xf e continu n x0 ( respectiv pe D). Reciproca nu e valabil.

T3. Fie f:DR continu n n x0 A i g:B A continu n x0 B, atunci gf e continu n x0 A.

lim f( g (x) = f( lim g(x)) xx0 xx0

Orice funcie continu comut cu limita.

PROPRIETILE FUNCIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

LEM. Dac f este o funcie continu pe un interval [ a,b] i dac are valori de semne contrare la extremitile intervalului ( f(a) ( f(b)

98

STABILIREA SEMNULUI UNEI FUNCII PROP. O funcie continu pe un interval, care nu se anuleaz pe acest interval pstreaz semn constant pe el. DEFINIIE. Fie f : I R R ( I = interval) f are proprietatea lui Darboux. a,b I cu a < b i ( f(a), f(b)) sau ( f(b), f(a)) c ( a,b), a.. f(c) = . TEOREM. Orice funcie continu pe un interval are P.D. Dac f :I R are P.D. atunci f( I) e interval. ( Reciproca e n general fals). CONTINUITATEA FUNCIILOR INVERSE T1. Fie f : I R R o funcie monoton a.. f( I) e interval. Atunci f este continu. T2. Orice funcie continu i injectiv pe un interval este strict monoton pe acest interval. T3. Fie f : I R, I, J R intervale. Dac f e bijectiv i continu atunci inversa sa f-1 e continu i strict monoton.

99

17. DERIVATE

FUNCIA DERIVATA C 0 x 1 xn nxn-1

xa axa-1

ax a x lna

ex e x

x1 - 2

1x

nx1 - 1+nx

n

x x2

1

n x n nxn 1

1

sin x cosx cos x -sinx tg x

x2cos1

ctg x -x2sin

1

arcsin x 21

1x

100

arccos x -21

1x

arctg x 211x+

arcctg x - 211x+

lnx x1

log a x ax ln1

(uv) = v. uv-1.u + uv.v.lnu

f(x)= dcxbax

++

f(x)= 2)( dcxdcba

+

REGULI DE DERIVARE

(f.g)=fg+fg

( )'f = 'f '

gf = 2

''

gfggf

( ) ( ))(

1)(0

'0'1

xfxff =

101

18. STUDIUL FUNCIILOR CU AJUTORUL DERIVATELOR

Proprieti generale ale funciilor derivabile . 1.Punctele de extrem ale unei funcii. Fie un interval i f:R. Definiie. Se numete punct de maxim (respectiv de minim)(local) al funciei f , un punct a pentru care exist o vecintate V a lui a astfel nct ( ) ( ) ( )( ) ( ) afxfrespectivafxf . x V. Un punct de maxim sau de minim se numete punct de extrem. a se numete punct de maxim(respectiv de minim) global dac ( ) ( ) ( ) ( )( )afxfrespafxf . . x . Obs.1.O funcie poate avea ntr-un interval mai multe puncte de extrem.(vezi desenul). Obs.2.O funcie poate avea ntr-un punct a un maxim (local), fr a avea n a cea mai mare valoare din interval.(vezi desenul ( ) ( )cfaf < ).

-puncte de maxim

-puncte de minim

( )( ) ( )( )cfcafa ,,,

( )( ) ( )( )dfdbfb ,,,

102

TEOREMA LUI FERMAT

Dac f este o funcie derivabil pe un interval si 0

0 Ix un punct de extrem,atunci ( ) 00' =xf . Interpretare geometric: Deoarece ( ) = 00' xf tangenta la grafic n punctul ( )( )00 , xfx este paralel cu OX. Obs.1. Teorema este adevrat i dac funcia este derivabil numai n punctele de extrem. Obs.2. Condiia ca punctul de extrem 0x s fie interior intervalului este esenial. (dac ar fi o extremitate a intervalului I atunci s-ar putea ca ( ) 00' xf ). Ex. ( ) .xxf = Obs.3. Reciproca T. lui FERMAT nu este adevrat.(se pot gsi funcii astfel nct ( ) 00' =xf dar 0x s nu fie punct de extrem).

Soluiile ecuaiei ( ) 0' =xf se numesc puncte critice . Punctele de extrem se gsesc printre acestea. Teorema lui Fermat d condiii suficiente (dar nu si necesare) pentru ca derivata ntr-un punct s fie nul. O alt teorem care d condiii suficiente pentru ca derivata s se anuleze este :

103

TEOREMA LUI ROLLE. Fie :f IR, ba, I, .ba < Dac: 1. f este continu pe [ ];,ba 2. f este derivabil pe ( )ba, ; 3. ( ) ( ),bfaf = atunci cel puin un punct ( )bac , a. ( ) .0' =cf INTEPRETAREA GEOMETRICA Dac funcia f are valori egale la extremitile unui interval [ ],,ba atunci exist cel puin un punct n care tangenta este paralel cu axa ox .

Consecina 1. ntre dou rdcini ale unei funcii derivabile se afl cel puin o rdcin a derivatei. Consecina 2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei se afl cel mult o rdcin a funciei. TEOREMA LUI LAGRANGE (sau a creterilor finite) Fie :f I R,I (interval, ba, I, .ba < Dac: 1. f este continu pe [ ]ba,

104

2. f este derivabil pe ( ),,ba atunci exist cel puin un punct ( )bac , a. s avem

( ) ( ) ( ).' cfab

afbf =

INTERPRETAREA GEOMETRIC Dac graficul funciei f admite tangent n fiecare punct(cu excepia eventual,a extremitilor) exist cel puin un punct de pe grafic(care nu coincide cu extremitile), n care tangenta este paralel cu coarda care unete extremitile. ( ) ( )

abafbftg

= tangenta la grafic n M are coeficientul. unghiular ( )cf ' dar

( ) ( ) ( )ab

afbfcf ='

Obs.1. Daca ( ) ( )= bfaf Teorema lui Rolle.

Consecina 1. Dac o funcie are derivata nula pe un interval,atunci ea este constanta pe acest interval. Dac o funcie are derivata nula pe o reuniune disjuncta de intervale proprietate nu mai rmne adevrat n general.

Expl. ( ) ( )3,21,0: f ( ) ( )( )

=

3,2,21,0,1

xx

xf

105

Consecina 2. Dac f si g sunt dou funcii derivabile pe un interval I i dac au derivatele egale '' gf = atunci ele difer printr-o constant. .cgf = Rc Dac f si g sunt definite pe o reuniune disjunct de intervale, proprietatea e fals n general. Expl. ( ) tgxxf =

( )

+=

2,1

2,0,1

,xtgx

xtgxxg

Consecina 3. Daca ( ) 0' >xf pe I f e strict cresctoare pe I. Daca ( ) 0'

106

Dac funcia este definit pe R se studiaz limita funciei la iar dac este definit pe un interval se studiaz limita la

capetele intervalului. 4.Studiul primei derivate : a. Calculul lui f. b. Rezolvarea ecuaiei f(x)=0.Rdcinile acestei ecuaii vor fi eventuale puncte de maxim sau de minim ale functiei ; c. Stabilirea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Acestea reprezinta intervalele de monotonie pentru f. 5.Studiul derivatei a doua : a.Se calculeaz f b.Se rezolva ecuatia f(x)=0. Rdcinile acestei ecuaii vor fi eventuale puncte de inflexiune ale graficului c.Determinarea intervalelor pe care semnul lui f este constant. Astfel,pe intervalele pe care f>0 functia este convex i pe cele pe care f

107

19. PRIMITIVE Primitive. Proprieti. Fie I un interval din R. Definiia 1. Fie f: I R. Se spune c f admite primitive pe I dac F : I R astfel nct a) F este derivabil pe I; b) F(x) =f(x), x I. F se numete primitiva lui f. ( I poate fi i o reuniune finit disjunct de intervale). Teorema 1.1 Fie f : I R. Dac RIFF :, 21 sunt dou primitive ale funciei f, atunci exist o constant c R astfel nct += ,)()( 21 cxx FF xI. Demonstraie : Dac FF 21, sunt primitive atunci FF 21, sunt derivabile )()(')(

2

'1 xfxx FF == x I

0)(')()()(2

'1

'21 == xxx FFFF , x I.

cxx FF = )()( 21 , c= constant OBS 1. Fiind dat o primitiv F 0 a unei funcii, atunci orice primitiv F a lui f are forma F = 0F + c , c= constant f admite o infinitate de primitive. OBS 2. Teorema nu mai rmne adevrat dac I este o reuniune disjunct de intervale Expl: f: R- }{0 , f(x) = x

F = 3

3x , G=

+

+

23

13

3

3

x

x

F, G sunt primitive ale lui f dar F-G nu e constant . Contradicie cu T 1.1 OBS 3. Orice funcie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux. Se tie c derivata oricrei funcii are Proprietatea lui Darboux , rezult c f are Proprietatea lui Darboux. F =f.

108

OBS 4. Dac I este interval i f(I) { }Ixxfdef /)( nu este interval atunci f nu admite primitive. Dac presupunem c f admite primitive atunci din OBS 3 rezult c f are P lui Darboux, rezult f(I) este interval ceea ce este o contradicie. OBS 5. Orice funcie continu definit pe un interval admite primitive. Definiia 2. Fie f: I R o funcie care admite primitive. Mulimea tuturor primitivelor lui f se numete integrala

nedefinit a funciei f i se noteaz prin simbolul )(xf dx. Operaia de calculare a primitivelor unei funcii(care admite primitive ) se numete integrare.

Simbolul a fost propus pentru prima dat de Leibniz, n 1675. Fie F(I)= { }RIf : Pe aceast mulime se introduc operaiile : (f+g)(x) =f(x)+ g(x) , (f)(x)=.f(x) Rx , constant C= { }RfRIf /: )(xf dx ={ }fluiaprimitivFIFF /)( .

F P.D