Aplicaciones de la_transformada_de_laplace_grupo_4

FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA

Tema: Resolución de problemas de valor inicial

Integrantes:➢ Mario Zhinin➢ Diego Carrera ➢ Mauricio Anchitipan

Grupo: 4

Grupo de trabajo: 4

SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES POR EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Consideramos el siguiente Sistema de ecuaciones diferenciales:

dx/dt=a11x+a12+f(t)

dy/dt=a21x+a22+g(t)

Con condiciones iniciales x(0)=x , y(0)=y donde x y son incógnitas, a11 a12 a21 a22 son constantes y f(t) y g(t)son funciones conocidas tomando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones diferenciales del sistema

L{dx/dt}=L{a11x+a12+f(t) , Mediante las propiedades de las transformada se tiene que:

L{dy/dt}=L{a21x+a22+f(t)

L{x}-x(0)=a11L(x)+a12L(y)+L{F(t)} , agrupando términos se tiene

L{y}-y(0)=a21L(y)+a22L(y)+L{F(y)}

(s-a11)L{x}-a12L{y}+L{f(t)}-a21L{x}+(s-a22)L{y}=L{g(t)}

Si: x0+L{f(t)} y y0+L{g(t)}

no son ambos cero, entonces se puede resolver el sistema, mediante la regla de CRAMER, es decir:

EJEMPLO:

Resolver el problema con valor inicial,

x′(t)=x(t)-y(t)+e^t

y′(t)=2x(t)+3y(t)+e^t

Como x(0)=1 , y(0)=0.

UNA ECUACIÓN INTEGRAL

El teorema de la convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en las que aparece una función incógnita bajo un signo de integral.

RESORTES ACOPLADOS(Aplicaciones de la Transformada de

Laplace)Suponemos que dos masas m1 y m2 están sujetas a dos resortes A y B, de masas insignificantes k1 y k2, respectivamente. Los dos resortes están conectados de la siguiente forma:

Sea x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas con respecto a sus posiciones de equilibrio, cuando el sistema se encuentra en movimiento, el resorte B está sujeto tanto a un alargamiento como a un acortamiento; de este modo los resortes aplican una fuerza sobre m1.

Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerza de amortiguación, entonces la fuerza neta sobre m1 es:

Por la segunda ley de Newton escribimos así:

De igual modo la fuerza ejercida sobre la masa m2 se debe solamente al alargamiento de B, es decir:

De esta manera resulta que:

En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden simultáneas:

EJERCICIO:Resolver el sistema anterior suponiendo que k1=6, k2=4, m1=1, m2=1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con velocidades unitarias de direcciones

opuestas.

La masas en la posicion de equlibrio parten del reposo X1(0)=0, X2(0)=0 y sus velocidades son unitarias y opuestas: X1’(0)=1, X2’(0)=-1

Reemplazamos los valores iniciales que nos da el problema

Para X1

• Fracciones parciales

Para X2

• Fracciones parciales

Respuesta:

ECUACIÓN INTEGRO-DIFERENCIALLa segunda ley de Kirchhoff establece que en un circuito simple conectado en serie, la suma de las caídas

de potencial a través de un inductor, de un resistor y de un capacitor es igual a la tensión E(t) suministrada. Como:

Para un inductor

V(t)=L (di(t))/dt ; en donde L es la inductancia

Para un resistor

V(t)=Ri(t) ; en donde R es la resistencia

Para un capacitor

V(t)=1/C ∫i(t)dt ; en donde C es la capacitancia. Entonces:

REDES ELÉCTRICAS

Un sistema eléctrico (red) con más de un circuito simple también dá origen a ecuaciones diferenciales simultáneas tal como se muestra en la figura:

En el nodo B1, de acuerdo a la 1ra ley de Kirchhoff: i(t)=i2(t)+i3(t) (1)

En la malla A1B1B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:

E(t)=i1(t)R1+L1(di2(t))/dt+i2(t)R2 (2)

En la malla A1B1C1C2B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:

E(t)=i1(t)R1+L2(di3(t))/dt (3)

Reemplazando (1) en (2) y (3) obtenemos:

L1 di2(t)/dt+(R1+R2)i2(t)+R1i3(t)=E(t)

L2 di3(t)/dt+R1i2(t)+R1i3(t)=E(t)

Con las condiciones:

i2(0)=0, i3(0)=0

Ejemplo 1:

Encontrar las corrientes i1 e i2 con las condiciones: E=60V, L=1H, R=50, C=10^-4F y donde i1 e i2 son inicialmente iguales a cero.

L di1(t)/dt+Ri2(t)=E(t)

RC di2(t)/dt+i2(t)-i1(t)=0

Al reemplazar los datos en el sistema se tiene:

Luego aplicamos la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema:

;mediante fracciones parciales se tiene

;mediante fracciones parciales se tiene:

Ejemplo 2:

Resolver la ecuación diferencial: y′′-3y′+2y=4t+12e^(-t) , con y(0)=6, y′(0)=-1

Aplicando la transformada de Laplace:

BIBLIOGRAFÍA

● Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis

G.Zill, Editor Thomson 2007, Sexta edición, Capítulo 7 páginas

295-354

● Análisis Matemático IV, Eduardo Espinoza Ramos,Segunda

edición, Capítulo 13 página 652-691