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1. Se desea preparar 1000kg de solucin de hidrxido de calcio en
agua al 5% enpeso, diluyendo una solucin de 20% en peso. Calcule
las cantidades requeridasde hidrxido de calcio y agua.
CONSERVACIN DE LA MASALa ecuacin general de conservacin de la
masa para cualquier sistema de proceso puedeescribirse como:
Para un proceso al estado estacionario la acumulacin es cero.
Excepto para procesosnucleares, nada de masa es generada ni
consumida; pero si se lleva a cabo una reaccinparticular pueden
formarse o consumirse especies qumicas en el proceso. Si no
hayreaccin qumica el balance al estado estacionario se reduce
a:
Masa que entra = Masa que sale
Una ecuacin de balance puede escribirse separadamente para cada
especie presenteidentificable, elementos, compuestos o radicales; y
para la masa total
Solucin
Denominando las corrientes por:
A: Lodo al 20 % de Ca(OH)2
B: AguaC: Lodo con 5% de Ca(OH)2
Se debe cumplir al estado estacionario
ENTRADAS = SALIDAS
Balance total:
A + B = CA + B = 1000 (a)
a) Balance parcial:
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1) Hidrxido de calcio0,20 A + B = 0,05C0,20 A = 100 (1.b)
2) De agua0,80 A + B = 0,95 B0,80 A + B = 900 (2.b)
De la Ec. (1.b)
A = 500 kg. de solucin al 20%
Reemplazando A en las ecuaciones (a) (2.b)
B = 500 kg. de agua
Verificando el balance de materiales sobre la cantidad
total:
X + Y = 1000
500 + 500 = 1000, Correcto
2. El cido clorhdrico grado tcnico tiene una concentracin de 28%
en peso,exprselo como fraccin mol.
UNIDADES USADAS PARA EXPRESAR COMPOSICIONESCuando se especifica
una composicin como un porcentaje es importante fijar claramentelas
bases: Peso, molar o volumen. Las abreviaciones p/p, (w/w) y v/v
son usadas paradesignar base en peso y base en volumen.
Solucin
Base de clculo 100 kg. de cido con 28 % p/p
Pesos moleculares: Agua 18, HCl 36,5
Masa de HCl = 100 x 0,28 = 28 kg.
Masa de agua = 100 x 0,72 = 72 kg.
Kmol de HCl = 28 / 36,5 = 0,77
Kmol de agua = 72/18 = 4
Moles totales = 4,77
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Fraccin molar de HCl =0,77 /4,77 = 0,16Fraccin molar de agua =
4,00/4,77= 0,84
Comprobando total =1,00
3. Discutir en trminos de ecuaciones diferenciales las
consecuencias de la primeraley de la termodinmica, referente a:
a) Variables termodinmica T y V independientesLa presin se
mantiene contante
b) Variables termodinmica T y P independientesEl volumen se
mantiene constante
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c) Variables termodinmica P y V independientesLa temperatura se
mantiene constante
4. Discutir las ecuaciones diferenciales de primer orden
requerido a:a) Operacin unitaria de filtracin.
La filtracin es la operacin mediante la cual las partculas
slidas de una mezcla lquido-slidose separan for4zando a la mezcla a
pasar a travs de un medio filtrante o tela filtrante queretiene las
partculas. Los slidos se depositan en el filtro y a medida que la
torta aumenta deespesor opone una mayor resistencia a la filtracin.
Los poros del medio filtrante en general,tendrn una forma tortuosa
y sern mayores que las partculas que deben separarse, operandoel
filtro de forma eficaz nicamente despus de que un depsito inicial
haya sido retenido en elmedio.
En el laboratorio qumico, la filtracin se lleva a cabo a menudo
por medio de un embudoBuchner, siendo el lquido succionado a travs
de la fina capa de partculas mediante una fuentede vaco, en casos
an ms sencillos, la suspensin es vertida en un embudo cnico
provisto deun papel de filtro. A escala industrial, nos encontramos
con las dificultades inherentes almovimiento mecnico de cantidades
muchos mayores de suspensin y de slidos. Deberemospermitir la
formacin de una capa ms gruesa de slidos y, para conseguir una
elevada
velocidad de paso del lquido a travs de los slidos, se requerirn
presiones ms elevadas. Enotro caso, ser necesario proporcionar un
rea mucho mayor.
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La operacin de filtracin depende de las propiedades del slido y
del fluido. La filtracin desolidos cristalinos incomprensibles en
lquidos de baja viscosidad es relativamente sencilla. Porel
contrario, los caldos de fermentacin pueden ser difciles de filtrar
debido al pequeo tamao ya la naturaleza gelatinosa de las clulas y
al comportamiento viscoso no newtoniano del caldo.La mayora de las
tortas filtrantes microbianas son comprensibles, es decir, la
porosidad de latorta disminuye conforme aumenta la cada de presin a
travs del filtro. Este hecho puederepresentar un problema
importante en el proceso ya que disminuye la velocidad de filtracin
yaumenta las prdidas de producto. La filtracin de los caldos de
fermentacin se realizanormalmente en condiciones no aspticas, por
lo que el proceso debe ser lo suficientementeeficaz como para
evitar una contaminacin excesiva y la degradacin de los productos
lbiles.En la figura 4.3 se ilustra una operacin tpica de filtracin,
mostrndose, el medio filtrante, eneste caso una tela, su soporte y
la capa de slidos, o torta filtrante, que se ha formado ya.
Los factores ms importantes de que depende la velocidad de
filtracin sern entonces:
1) La cada de presin desde la alimentacin hasta el lado ms
lejano del medio filtrante,2) El rea de la superficie filtrante,3)
La viscosidad del filtrado,4) La resistencia de la torta
filtrante,5) La resistencia del medio filtrante y de las capas
iniciales de la torta.
Debo observar que existen dos mtodos completamente distintos de
operar un filtro discontinuo:Si la presin se mantiene constante la
velocidad de flujo disminuir progresivamente, mientrasque si debe
mantenerse constante la velocidad de flujo entonces habr de
aumentargradualmente la presin. Como las partculas que forman la
torta son pequeas y el flujo a travsdel lecho es lento, casi
siempre se obtiene condiciones laminares y, por tanto, en un
instante
cualquiera puede expresarse con la siguiente ecuacin
diferencial:
En esta ecuacin, V es el volumen de filtrado que ha pasado en un
tiempo t, A es el rea de laseccin transversal de la torta
filtrante, p es la velocidad superficial del filtrado, l es el
espesor dela torta, S es la superficie especifica de las partculas,
e es la porosidad, u es la viscosidad delfiltrado y AP es la
diferencia de presiones aplicada.
Las tortas filtrantes pueden dividirse en dos clases: tortas
incomprensibles y tortascomprensibles. En el primer caso, la
resistencia al flujo de un volumen dado de torta no esafectada de
forma apreciable por la diferencia de presin a travs de la torta o
por la velocidadde deposicin de material. Por otra parte con una
torta comprensible, un aumento de ladiferencia de presin o de la
velocidad de flujo provoca la formacin de una torta ms densa conuna
resistencia ms elevada. Para tortas incomprensibles, el valor de e
en la ecuacin 2.20
puede tomarse como constante; en estas condiciones el grupo es
una propiedad delas partculas que forman la torta y debe ser
constante para un determinado material.
Por lo tanto:
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Donde
La ecuacin diferencial 4.21 es la ecuacin diferencial bsica de
la filtracin, siendo r laresistencia especifica. Depende de e y de
S. para tortas incomprensibles se considera constante,pero depender
de la velocidad de deposicin, de la naturaleza de las partculas y
de las fuerzasexistentes entre las mismas. A partir de ella se
obtiene los modelos matemticos para la filtracina presin constante
y a velocidad constante.
El filtro ms adecuado para una operacin dada ser aquel que
cumpla las necesidades a uncosto global mnimo. Como el costo del
equipo estar estrechamente relacionado con el reafiltrante,
normalmente es de desear el obtener una elevada velocidad global de
filtracin. Estoimplica la utilizacin de presiones relativamente
elevadas, pero las presiones mximas suelenestar limitadas por
consideraciones de diseo mecnico. Aunque se obtiene una capacidad
deproduccin ms elevada, para una superficie filtrante dada, en un
filtro continuo que en unodiscontinuo, puede ser necesario a veces
utilizar este ltimo, especialmente si la torta filtrantetiene una
elevada resistencia, ya que la mayora de filtros continuos
funcionan a presinreducida, estando por tanto limitada la presin
mxima de filtracin.
Los factores ms importantes en la seleccin de un filtro son la
resistencia especfica de la tortafiltrante, la cantidad a filtrar,
y la concentracin de slidos. Para materiales de filtracin
pococomplicados generalmente lo ms satisfactorio es utilizar un
filtro rotario a vaco; estos filtrosofrecen una gran capacidad con
relacin a su tamao y no requieren mucha atencin manual. Sila torta
debe lavarse, el filtro rotario de tambor es preferible al de
hojas.
Para filtracin en gran escala, hay tres casos principales en los
que no debe utilizarse un filtrorotario o vaco. En primer lugar, si
la resistencia especifica es elevada se requiere un filtro apresin,
un filtro prensa puede resultar adecuado, especialmente si el
contenido en slidos no estan elevado que obligue a desmontar
frecuentemente la prensa En segundo lugar cuando serequiere un
lavado eficaz, el filtro de hojas es adecuado, ya que se forman
tortas muy delgadas yel riesgo de que ocurra canalizacin durante el
lavado se reduce al mnimo. Finalmente, cuandoen el lquido se
encuentra presentes nicamente muy pequeas cantidades de slidos,
puedeutilizarse un filtro de lecho.
Los filtros de lecho constituyen un ejemplo de los principios de
la filtracin en profundidad, en lasque las partculas penetran en el
interior de los intersticios del lecho filtrante, donde
quedanatrapadas.
Para la depuracin de los suministros de agua y para el
tratamiento de aguas residuales, encuyos caos el contenido de
slidos es de aproximadamente 10g/m o menos, los filtros de
lecho
granulares han substituido en gran parte a los antiguos o lentos
lechos de arena. Estos filtrosestn constituidos por materiales
granulares, con un tamao de grano de 0,6-1,8m. Las
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partculas de slidos se separan por una accin mecnica, aunque
finalmente quedan adheridaspor fuerzas elctricas superficiales o
por adsorcin. Esta operacin ha sido analizada porIwasaki, quien dio
la siguiente ecuacin diferencial:
En esta ecuacin C es la concentracin en volumen de los slidos en
suspensin en el filtro; I es
la profundidad del filtro, y es el coeficiente del filtro.
Resolviendo la ecuacin como una devariables separables,
obtendremos:
Donde C es el valor de C en la superficie del filtro. Si u es la
velocidad de flujo superficial de lasuspensin, la velocidad de
flujo de los slidos a travs del filtro a una profundidad I es uC
porunidad de rea. As, la velocidad de acumulacin de slidos
depositado por unidad de volumendel filtro a una profundidad I, la
velocidad de acumulacin puede tambin expresarse como
EJEMPLO 1. Tiempo requerido para efectuar una filtracin
Se cuenta con los siguientes datos para filtrar en el
laboratorio una suspensin de CaCO3 enagua a 298.2 K (25C), a presin
constante (-p) de 46.2 KN/m2. El rea de filtracin de laprensa de
placas y marcos es A = 0.0439 m2y la concentracin de la suspensin
es C s= 23.47
kg/m3
(1.465 Ibm/pie3
) de filtrado.Calcule las constantes y Rmcon base en estos datos
experimentales, si t es el t iempo en s y Ves el volumen de
filtrado recolectado en m3.
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Solucin: Primero se calculan los datos como t/Vy se tabulan en
la tabla 14.2-1. Se construye lagrfica de t/V contra V en la figura
14.2-8, y se determinan la interseccin que es B = 6400 s/m3(181
s/pie3) y la pendiente que es Kp/2 = 3.00 x 106s/m6. Por tanto, Kp=
6.00x 106s/m6(4820s/pie6).
A 298.2 K, la viscosidad del agua es 8.937 x 10 -4Pa/s = 8.937 x
10-4kg/m s.
Sustituyendo los valores conocidos en la ecuacin y
resolviendo,
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Sustituyendo en la ecuacin y despejando,
EJERCICIO 2:
Se desea filtrar en una prensa de placas y marco que tiene 20
marcos y 0.873 m2(9.4 pie) derea por marco. La concentracin de la
suspensin es cs = 23.47 kg/m3 (1.465 Ibs, /pie3).Suponiendo las
mismas propiedades de la torta de filtrado y de la tela de
filtracin que elejercicio anterior. Calcule el tiempo necesario
para extraer 3.37 m3(119 pie3) de filtrado.
Solucin:
El rea A = 0.0439 m2Kp = 6.00 x l06s/m6B = 6400 s/m3Puesto
que:
.Es posible corregir Kp.De acuerdo con la ecuacin K, es
proporcional a l/A2. La nueva rea es A =0.873(20) = 17.46 m2. El
nuevo valor de Kp es
El nuevo valor de B es proporcional a 1/A de acuerdo con la
ecuacin:
B = (6400)(0.0439/ 17.46) = 16.10 s/m3Sustituyendo en la
ecuacin:
b) Operacin unitaria de destilacinLa destilacin es un mtodo para
separar los componentes de una solucin;depende de la distribucin de
las sustancias entre una fase gaseosa y una lquida, y
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se aplica a los casos en que todos los componentes estn
presentes en las dosfases.En vez de introducir una nueva sustancia
en la mezcla, con el fin de obtener lasegunda fase (como se hace en
la absorcin o desorci6n de gases) la nueva fase secrea por
evaporacin o condensaci6n a partir de la solucin original.Con
objeto de aclarar la diferencia entre la destilacin y las otras
operaciones, se vaa citar algunos ejemplos especficos. Cuando se
separa una solucin de sal comnen agua, el agua puede evaporarse
completamente de la solucin sin eliminar la sal,puesto que esta
ltima, para todos los fines prcticos, casi no es voltil en
lascondiciones predominantes. Esta es la operacin de evaporacin.Por
otra parte, la destilacin se refiere a separar soluciones en que
todos losComponentes son apreciablemente voltiles. A esta categora
corresponde laseparacin de los componentes de una solucin lquida,
de amoniaco y agua. Si lasolucin de amoniaco en agua se pone en
contacto con aire, el cual es bsicamenteinsoluble en el lquido, el
amoniaco puede desorberse mediante los procesosexpuestos en el
captulo 8, pero entonces el amoniaco no se obtiene en forma
pura,porque se mezcla con el vapor de agua y el aire. Por otra
parte, aplicando calor, esposible evaporar parcialmente la solucin
y crear, de esta forma, una fase gaseosaque consta nicamente de
agua y amoniaco. Y puesto que el gas es ms rico enamoniaco que el
lquido residual, se ha logrado cierto grado de separacin.Mediante
la manipulaci6n adecuada de las fases, o mediante evaporaciones
ycondensaciones repetidas, es generalmente posible lograr una
separacin tancompleta como se quiera y recobrar, en consecuencia,
los dos componentes de lamezcla con la pureza deseada.El vapor que
se desprende en una destilaci6n diferencial verdadera est en
cualquier momento en equilibrio con el lquido del cual se forma,
pero cambiacontinuamente de composici6n. Por lo tanto, la
aproximaci6n matemtica debe serdiferencial. Supngase que en
cualquier momento durante el desarrollo de ladestilacin hay L moles
de lquido en el destilador con una composicin x fraccinmol de A y
que se evapora una cantidad dD moles del destilado, de composicin
y*fraccin mol en equilibrio con el lquido. Entonces, se tiene el
siguiente balance demateria:
Materia total Componente AMoles entrantes 0 0
Moles salientes dD yMoles acumulados dL d(Lx) - Ldx +
xdLEntrada-salida = acumulacin 0 - dD - dL 0 - y*dD - Ldx + xdL
Las dos ltimas ecuaciones/ se vuelven:y*dL = Ldx + xdL
En donde F son los moles cargados de composicin xF y W los moles
de lquidoresidual de composicin xw.
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Un lquido que contiene 50% en mol de benceno (A), 25% en mol de
tolueno (B)y 25% en mol de o-xileno (C) se destila diferencialmente
a 1 atm. conevaporacin del 32.5% en, mol de la carga. Se aplica la
Ley de Raoult. Calcularla composicin del destilado y del
residuo.
Solucin:La temperatura promedio va a ser ligeramente superior
que el punto de burbujade la carga (95 C, vase el ejemplo 9.3),
pero se desconoce. Se va a tomarcomo 100 C. Las correcciones pueden
hacerse posteriormente calculando elpunto de burbuja del residuo y
repitiendo
El trabajo a la temperatura promedio, pero variapoco con cambios
moderadosde temperatura.
A continuacin, se tabulan las presiones de vapor a 100 C y las
ase calculan enfuncin del tolueno,
P=PRESIN DE VAPORSUSTANCIA 100C, mmHg xfA 1370 2,49 0,5B 550 1,0
0,25C 200 0,364 0,25
Para A: Para C:
Por lo tanto:
Resolviendo estas ecuaciones simultneamente, suponiendo valores
de ,calculando y y verificando su suma hasta que sea igual a 1, se
obtiene , = 0.285, = 0.335. La suma es 1.005, la cual se considera
satisfactoria.La composicin del destilado compuesto se calcula
mediante balances de materiaPara A, lOO(O.50) = 32.5 yA, D, pr +
67.5(0.385) yA, D, pr = 0.742En forma similar, Y Ntese que se
mejor6 la separaci6n con respecto a la obtenida por
evaporacininstantnea
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c) Deshidratacin de alimentosLa deshidratacin de alimentos es
una operacin unitaria que se usa en la conservacinde los mismos, y
consiste en la eliminacin de agua de un alimento solido o liquido
porvaporizacin, ebullicin o sublimacin. Como resultado se obtiene
siempre un productoslido. Se considera que un alimento esta
deshidratado si no contiene ms de 2,5% dehumedad, mientras que uno
seco puede contener ms de 2,5%.
A excepcin de la liofilizacin, el secado al vaco, la eliminacin
de agua se consigue, engeneral, mediante una corriente de aire
seco, el cual arrastra el agua de la superficie delproducto.
La operacin de secado no solo rebaja su contenido en agua, sino
puede afectar las
caractersticas organolpticas (color, sabor, aroma, textura,
etc.) sino tambin nutritivas(insolubilizacin de protenas, perdida
de vitaminas, reacciones de pardea miento).Adems esta operacin
unitaria de eliminacin de agua es una de las ms costosas porque
utiliza gran cantidad de energa para calentar el aire. Como se
puede percibir, eldeshidratado de alimentos como operacin unitaria
requiere que el tecnlogo requiere deconocimientos en las siguientes
ramas de la ciencia e ingeniera.
Fisicoqumica Qumica de alimentos Termodinmica Transferencias de
calor y masa
Las dos primeras, proporcionan herramientas y criterios para
tratar adecuadamente alalimento y las dos ltimas al aire de secado.
Tanto la termodinmica y los fenmeno detransferencia de calor y masa
implican a su vez conocer matemticas fundamentalmenteecuaciones
diferenciales y mtodos numricos.
MECANISMOS DE DESHIDRATACION DE ALIMENTOS
Los mecanismos de transferencia de agua e el producto que se est
secando se puedenresumir en los siguientes.
Movimiento de agua bajo fuerzas capilares Difusin de lquido por
gradientes de concentracin Difusin superficial Difusin de vapor de
agua en lo poros llenos de aire Flujos debidos a gradientes de
presin
La velocidad de secado R, es decir la cantidad de agua eliminada
en la unidad de tiempoy por unidad de rea se expresa mediante la
siguiente ecuacin diferencial de variablesseparables.
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Donde x es la humedad del alimento en base seca, t el tiempo, S
los slidos secos y A elrea de secado.
PERIODOS DE SECADO
La operacin de secado puede describirse por una serie de etapas
en las cuales lavelocidad de secado R juega un papel
importante.
Estas etapas al ser graficadas reproducen ciertas curvas
llamadas curvas de secado.Una de ellas se representa en la
figura.
El periodo AB se llama periodo de induccin o estabilizacin y es
bastante breve. El periodo
BC e llama periodo de secado o velocidad constante. El periodo
CDE se llama periodo desecado o velocidad decreciente y es el ms
importante, puesto que es en este periododonde se producen la mayor
parte de deterioro del alimento, debido fundamentalmente a
dosrazones.
Tienen gran duracin Los niveles de agua son tan bajos, que en
ocasiones se llega a tocar los nutrientes del
alimento.
CALCULOS PARA EL PERIODO DE SECADI A VELOCIDAD DECRECIENTE
R
X
A
A
BC
D
E
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Se requiere tcnicas de integracin grafica como los trapecios o
rectngulos. Si elsecado viene gobernado por el fenmeno de difusin,
los clculos estn basados en lasegunda ley de Fick que es una
ecuacin diferencial parcial de segundo orden:
d) Cintica qumica y cintica enzimticaRapidez de una reaccin si
la temperaturas e mantiene constante la velocidad de unareaccin
qumica es proporcional al producto de las concentraciones
Reactivos productos
A B
,- ,-
Debido a la concentracin de a disminuye al progresar al tiempo,
se pone el signonegativo, pero la reaccin es siempre positiva
Velocidad de reaccin estequiometria
Reacciones ms compleja
2A B
En este caso hay dos moles de A por cada mol de B
,- ,-
Generalizando para la reaccin
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La velocidad de reaccin se escribe
,- ,- ,- ,- La ley dela la rapidez:
La velocidad de reaccin con la constante de reaccin con la
constante de velocidad
X y y se determinan experimentalmente
,-,-
Reaccin de primer ordenLa velocidad depende de la concentracin
es una ecuacin de primer grado de variableseparable
,- ,- ,-,- ,-
,- ,-
,- ,-
Reaccin de segundo orden
La velocidad depende la concentracin delos reactivos
A Producto
,-
,-
,-
,-
Reaccin de orden cero
Son poco comunes, es una constante independiente dela
concentracin delos reactivos
,-
,-
,- ,-
-
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EJEMPLO1
Dentro de un pequeo fermentado agitado se cultiva serrana se
mide e consumo deoxgeno a una concentracin celular de 22,7g/l en
peso en base. Los datos
experimentales son
TIEMPO 0 2 5 8 10 12 15CONCENTACION 0.25 0.23 0.21 0.20 0.18
0.12 0.15
A) de qu orden es la reaccin ,- ,- ,-
,- ,-
,-
Hallando k
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Cuando n=1
Ln,-
5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden a loscircuitos elctricos.
Para resolver un problema de circuitos L-R-C (inductancia,
resistencia ycapacitancia) tendremos en cuenta las siguientes leyes
experimentales.
a) Para un resistor: la cada de voltaje a travs de un resistor
esproporcional a la corriente ``i, idea. donde R es la constante
deproporcionalidad (resistencia). Adems: i`` se mida en ampere, R
en ohms
y el voltaje en voltios.b) Para un inductor: la cada de voltaje
a travs de un inductor esproporcional a la rapidez de cambio
instantneo de la corrientes con
respecto al tiempo, osea: , donde L es la inductancioa de
labobina y se mide en henrios, el tiempo t en segundos.
c) Para un capacitor: la cada de voltaje a travs de un capacitor
esproporcional a la carga elctrica instantnea q`` en el capacitor,
sea:
donde c es la capacitancia y se mide en faradios, q s mide
encoulumbs
d) Relacin i(t) y q(t): EJERCICIOS:
I. La carga elctrica (en coulomb) en una superficie esfrica se
escapa a unatasa proporcional a la carga instantnea. Inicialmente
la carga es de coulomb y en 30 minutos escapa un noveno. Cundo
quedara un dcimode coulomb?
Solucin:
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C.I Escapa , queda
./ ./
Para:
II. Un circuito tiene R (homs), C (faradios) y E (voltios)
conectados en uninterruptor (donde R, C y E son constantes). Si el
interruptor est cerradohasta que la carga sea el 0,90 de su mximo
terico y luego E se reduce acero, encuentre la carga q de ah en
adelante, viendo que la carga inicial en
el condensador es cero.
Solucin:
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Mximo terico:
CI CI -->
6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas de
crecimiento ydecrecimiento (evaporacin, inters compuesto,
crecimiento de poblaciones,desintegracin radioactiva, entre
otros).
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO NATURALES
t=tiempo
K= Constante de proporcionalidad
X=variabilidad que cambia en el tiempo
ES EL MODELO MATEMATICO PARA:
crecimiento o decrecimiento de la poblacindesintegracin
radioactivaInters compuesto
Eliminacin de medicamentosEvaporacin de un compuesto
Variaci de x repect a tiep
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Velocidad de reacciones qumicas velocidad de tamizado
t=tiempo
K= Constante de velocidad de reaccin
N=nmero de microorganismo
Pasando a log decimal entre 2,30 . /
. /
Donde es una recta de pendiente
Tiempo de reduccin decimal
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Es el tiempo requerido para reducir la carga microbiana 10 veces
entonces si
EJEMPLO
El valor de D en 115,4 min en el cual existen 300mil bacterias
de una cepa. Calcular la velocidadde degradacin y la cantidad de
sobrevivientes despus de haber esterilizada el alimentodurante
5minutos a dicha temperatura
Resolucin
D=1,143min
T=115,5c
l=?
Esterilizado en 5 min
T=115,5c
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N=12,479
N=12 bacterias
7. Aplicacin de las ecuaciones diferenciales en el estudio de:a)
Hidrulica.
INTRODUCCIONSe denomina energa hidrulica, energa hdrica o
hidroenerga, a aquella quese obtiene del aprovechamiento de las
energas cintica y potencial de la
corriente del agua, saltos de agua o mareas. Es un tipo de
energa verdecuando su impacto ambiental es mnimo y usa la fuerza
hdrica sin represarla,en caso contrario es considerada solo una
forma de energa renovable.Se puede transformar a muy diferentes
escalas, existen desde hace siglospequeas explotaciones en las que
la corriente de un ro, con una pequeapresa, mueve una rueda de
palas y genera un movimiento aplicado, porejemplo, en molinos
rurales. Sin embargo, la utilizacin ms significativa laconstituyen
las centrales hidroelctricas de presas, aunque estas ltimas no
sonconsideradas formas de energa verde por el alto impacto
ambiental queproducen.
PROBLEMA 1Un tanque cilndrico vertical de radio 1 metro contiene
agua hasta un nivel de1.20 metros. Al abrir una llave de desage en
el fondo, el agua sale a una
velocidad de . / Calcular a qu velocidad baja el nivel del
lquidocuando la altura del agua es de metrosSOLUCIONEl volumen de
agua en el tanque es Derivando con respecto altiempo y
despejando
Si
Adems
Entonces
Cuando h = mes tendr:
El nivel de agua desciende a razn de 0.045 (m/min)
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PROBLEMA 2Se vierte agua en un tanque esfrico de 30 metros de
dimetro a razn de 10(m3/min). Calcular a qu velocidad se eleva el
nivel del lquido cuando su alturaes de 6 metrosSOLUCIONEl volumen
de lquido en el tanque para un tiempo cualquiera:
Derivando con respecto al tiempo y despejando
.
i/Si h = 6 y dv/dt = 10 (m3/min)Por lo tanto
.
i/
b) Transferencia de calor.
La intensidad del paso de calor, por conduccin es proporcional
al rea de la
seccin normal al flujo de calor A, al gradiente de temperatura ,
y a unfactor de proporcionalidad denominda conductividad calorfica
k, caractersticode cada sustancia y que vara con la temperatura y
el estado de agregacin.
En el caso de que la temperatura de cualquier punto del sistema
no vare con el
tiempo, el mecanismo de transmisin de calor se denomina
conduccin de caloren estado estacionario
Porque en todo proceso fsico de conservacin tiene lugar una
transferencia otransporte de calor, ya sea por conveccin, por
conduccin o por radiacin.Sea Q=cantidad de calor en julios(J)
c) Transferencia de masa
Transferencia debido a un gradiente de concentracin en un caso,
eindirectamente, a una gradiente de presin en el otroLey de los
gases:
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Entonces existe una relacin entre P y la concentracin, existe
tambin en elcaso de las soluciones, ya que la presencia de
cualquier soluto genera unapresin OSMOTICA tal que:
(Caso de las soluciones diluidas) Toda cantidad de materia se
mide por su masa (kg), o bien por el nmero demoles que la
forman.Dicha cantidad est repartida en un volumen; es decir tiene
cierta DENSIDAD.
VelocidadCualquier heterogeneidad en las concentraciones de una
especio molecularprovoca la evolucin espontanea hacia la
uniformidad de dichasconcentraciones, y por lo tanto una
trasferencia de materia cuya velocidad se
denomina VELOCIDAD DE TRANSFERENCIA(o de transporte) ; siendo,
por lo tanto, la cantidad de masa transferida por unidad
detiempo.
d) Mecnica de fluidosLa textura de los alimentos lquidos y
semislidos se evala sensorialmente porapreciacin de su
comportamiento en el flujo. Este puede producirse por fuerzasde
distinto tipo. La medida instrumental de la viscosidad de los
alimentoslquidos se realiza mediante el uso de viscosmetros
(capilares, rotacionales,coaxiales, etc.). En general estas medidas
guardan una relacin aceptable conla apreciacin sensorial aunque no
deben usarse como totalmenterepresentativa de la sensacin
humana.
Ejemplo:En un tanque cisterna de forma cnica fluye agua a razn
de 8pies3/min. Si laltura del tanque es 12 pies y el radio de su
base superior es 6 pies, con querapidez sube el nivel del agua
cuando esta tiene 4 pies de altura?
12 piesr
6 ies
8 pies3/min
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Sea: Dato:
Incgnita: en el instante que
Volumen del cono: El grafico:
Unimos las ecuaciones:
. /
Cuando h=4:
e) Termodinmica
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La termodinmica trata de los estados d equilibrio y de los
cambios de estado deequilibrio y de los cambios desde un estado a
otro. Tambin trata de la cantidadde calor trasferida a medida que
pasas por un proceso de un estado deequilibrio a otro y no hace
referencia a cuanto durara ese proceso. Pero en laingeniera a
menudo estamos interesados en la velocidad de trasferencia
decalor
Calcular el volumen final en m3, en un proceso reversible no
fluente en donde eltrabajo realizado por los alrededores es de 56
KJ. Si el volumen inicial es de 0.1 m3y la presin vara segn la
siguiente relacin P= (-V/1.5 + 45) en kg/cm2 (abs) y elvolumen en
m3.
Datos:
W= 56 KJInicial = 0.1 m3P = (-V/1.5 + 45)SOLUCIN
f) EconomaINTRODUCCIN
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La economa tiene como principal fin, desarrollar mejores
polticas para minimizarproblemas y ampliar los beneficios que
obtenemos del trabajo diario. Producir bienes quedesean los
consumidores, en bsqueda de intereses privados, es promover los
intereses dela sociedad. Identificar un problema o una necesidad a
satisfacer, ms que un problema,representa una oportunidad para el
campo de accin de cualquier ingeniero.
La respuesta acorde a la utilizacin eficaz de los materiales y
las fuerzas de la naturaleza,normalmente emplea el clculo, ya sea
mediante una ecuacin que contenga algunasderivadas de una funcin
incgnita, o precisamente una ecuacin diferencial.
Una aplicacin a la economa puede ser la variacin del dinero (A)
invertido en una entidadfinanciera respecto al tiempo (t), donde la
razn de aumento del dinero es proporcional a lacantidad de dinero
presente a una constante de inters (i) dada
Si en determinado tiempo (t) se retira cierta cantidad de dinero
(d), ste disminuye, peroel saldo disponible con el tiempo contina
aumentando a una constante de inters:
PROBLEMA 1
La seora Blanca Ramrez desea disponer en 10 aos de $30 000 000
haciendo algunosdepsitos en una entidad financiera con una tasa de
inters incrementado a una tasa del16% compuesto en forma continua.
Los depsitos los har de la siguiente manera: Alcomienzo del perodo
deposita $3000000, al cabo de tres aos deposita $4 000 000 y
tresaos despus deposita $5 000 000
a) Obtendr el dinero esperado en 10 aos?
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b) Si en los ltimos cuatro aos quiere tomar anualmente $1 000
000 para disfrutar deunas vacaciones con su familia Obtendr al
final los $30 000 000 esperados?
SOLUCIN
a)
Tendr a los tres aos $4 848 223. 207 pero, adems tiene un
depsito de $ 4 000 000.Entonces A (3)=8 848 223.207
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Tendr a los seis aos $14 229 387.03 pero, adems tiene un depsito
de $ 5 000 000.Entonces A (6)=19 229 387.03
Respuesta: La seora Blanca si obtendr el dinero esperado, adems
tendr $6 468146.82 adicionales
b) La ecuacin diferencial para A (t) debe cambiarse pero slo a
partir del ao seis.
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Respuesta: Si la seora Blanca disfruta de unas vacaciones, de
igual modo al finalobtendr el dinero esperado.
8. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en problemas
geomtricos.INTRODUCCION
Para las ecuaciones diferenciales de primer orden que involucran
una expresin algebraicatal que pueda eventualmente permitir el
despeje de la primera derivada de la variabledependiente, contamos
con una interpretacin geomtrica muy til: la pendiente de la
rectatangente a la curva solucin. Una vez hechas las manipulaciones
que sean necesarias para
el despeje descrito, la expresin de las pendientes en todos los
puntos donde tenga sentidola solucin se ajustar a una funcin de las
coordenadas del punto en estudio.
Una buena aproximacin al valor del incremento de la variable
dependiente (usada ya porEuler) consiste en calcular el producto de
la funcin en el punto particular por el incrementode la variable
independiente. Esta idea se rescata en la construccin con Cabri-
Gomtrede un tramo de la recta tangente cuya pendiente est dada por
la funcin f(x, y).
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PROBLEMA 1
La interseccin de la tangente a un punto P(x, y) de una curva
con el eje de abscisas essiempre igual a la ordenada de dicho
punto. Hallar la curva que pasa por el punto 0,1.
SOLUCIN
Como se sabe (ver elementos geomtricos), el intercepto de la
tangente con el eje xes:
Entonces
Dado que , son funciones homogeneas de grado 1:Sea:
El problema queda:
Integrando
La curva que pasa por 0.1 es
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PROBLEMA 2
Encontrar la familia de curvas en la que la porcion de la
tangente a un punto P(x;y),comprendida entre P y el eje y se divide
en dos partes iguales por el eje x
SOLUCION
Dado que la tangente se biseca en el eje x; se presentan dos
triangulos congruentes
Entonces:
Integrando:
9. Estudio de la solucin de una ecuacin diferencial con
transformada de Laplace.Transformada de Laplace
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del
matemtico francs Pierre-Simn Laplace, La transformada de Laplace de
unafuncin f(t) definida (enecuaciones
http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
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diferenciales,o en anlisis matemtico o en anlisis funcional)para
todos los nmeros
positivos t 0, es la funcin F(s), definida por:
Siempre y cuando la integral est definida. Cuando f (t) no es
una funcin, sino una
distribucin con una singularidad en 0, la definicin es
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se
refiere a la versin
unilateral. Tambin existe la transformada de Laplace bilateral,
que se define como
sigue:
Leyes de trasformacin
Demostracin
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferencialeshttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_positivohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_diferenciales
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a
*+ i
i
i
a i(e e)
a
Propiedades Linealidad
Ejemplo 1
.
Solucin: De acuerdo con la definicin,
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Ejemplo 2
*+ *+ *+
. /
Definicin de la Transformada Inversa
La Transformada inversa de una funcin en s, digamos F(s) es una
funcin de tcuya
transformada es precisamente F(s), es decir
si es que acaso
Esta definicin obliga a que se cumpla:
y
Propiedades
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EJERCICIOS1
A
Por la tanto
{
}
{ }
{ } {
}
Ejercicio 2
{ }
* + {
}
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Trasformada de las derivadas
La primera derivada: y=y (t) o y= (0)
*+ *+
*+ i
i
i[ ] i ,-
Y (0) *+La segunda derivada
*+ *+ La tercera derivada
*+ *+ *+ En general
*+ *+ *+
Propiedad
*+
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Ejercicio 1
Y3
Ejercicio 2
Y
Arcotanp=xTg(x) =p1
Tg(x
)
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10.Principales aplicaciones a la ingeniera
ambiental.APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN EL CAMPO
DE LA
INGENIERIA AMBIENTAL:
Las caractersticas de la aplicabilidad de las ecuaciones
diferenciales es muy variada en esteanlisis se trataran 2 temas
bsicos:
Poblacin Mezclas /decaimiento radioactivo
POBLACION:
1. En un ecosistema se puede determinar el nmero de individuos,
en condiciones idealesque sean objeto de estudio como por ejemplo a
que tasa se est extinguiendo unespecie endmica o una migratoria
2. Como hablamos de crecimiento puntuales se podra hallar el
grado de expansin de uncontaminante un ejemplo sera un derrame de
crudo que se desplaza (razn decrecimiento) con una contante de
condiciones y que a su vez va a tener una extensinmxima(K) y una
posterior baja (punto crtico)
MEZCLAS /DECAIMIENTO RADIOACTIVO
Procesos de produccin industrial de contaminantes con su
concentracin y difusin enel medio (concentracin)
Manejo de vertimientos determinando la dilucin necesaria para
que estos cumplan lanormatividad legal vigente.
Medicin de contaminantes en la atmosfera y medidas de mitigacin,
siembra de rbolespor ejemplo, cargas de gases su concentracin y
difusin
Manejo de concentraciones de lixiviados en aguas subterrneas
determinando su k decargas orgnicas y modificacin en las
caractersticas fsicas de las corrientes de agua.
1. Cierta ciudad tena una poblacin de 25,000 habitantes en 1960
y una poblacin 30,000habitantes en 1970 suponiendo que su poblacin
contine creciendo exponencialmente
con un ndice constante Qu poblacin esperara los urbanistas que
tenga en el ao2011?
dxdt Separando variables:
Aplicando propiedades de logaritmos que dara de esta forma:
x c eSe toma ten 1960 de tal modo que:
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25000=x (0)
Sustituyendo se obtiene
25000=ce SustituyendoX=25000eDe 1970 a 1960 han transcurrido 10
aos y la poblacin ha aumentado 30000
X (10)=30000
Al sustituir se obtiene la frmula que nos permite calcular el
tamao de la poblacin en funcindel tiempo donde Del ao 1960al ao
2010 han transcurrido entonces esa poblacin actualmente tiene:
2. El einstenio 253 de caer con una rapidez proporcional a la
cantidad que se tengadetermine la vida media si este material
pierde un tercio de masa en 11.7 das. Q: 253dQ/dt: rapidez d: razn
de decaimiento:
Q (0)=cantidad inicial del elemento en tiempo 0Sustituyendo se
obtiene:
ce c Sustituyendo otra vez:
Sustituyendo:
e
e
r t
r
Sustituyendo:
e
e
t
t dia
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11.METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN