PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA CENTRO TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações 2º Exercício de Avaliação :(Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz) Aluno: Giovanni Bratti Data :24/05/2009 Proposta: Seja a barra da figura abaixo (tronco de cone), sujeita a movimentos torcionais θ(x,t), com as duas extremidade engastadas. A barra possui comprimento L = 1m, com diâmetros inicial 0,40m e final de 0,20m, densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade transversal G = 85 GPa. Aplicar o método de Rayleigh-Ritz para calcular 2 freqüências naturais não amortecidas e correspondentes formas modais com qualidade. Utilizar funções tentativas que sejam polinômios em x. Comparar as freqüências naturais com resultados obtidos por desenvolvimento analítico (Cap. 2 da disciplina), considerando uma viga de seção constante, cujo diâmetro adote o valor do diâmetro médio da viga acima, ou seja, de 0,30 m. Apresentar as matrizes de massa e de rigidez reduzidas. x θ(x,t) 1,00 m Ø 0,40m Ø 0,20m 0
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Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz - Fundamentos de Vibrações
Isaías 40:8 Seca-se a erva, e murcha a flor; mas a palavra de nosso Deus subsiste eternamente.
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, but the word of our God will stand forever.
40:8 الكتاب المقدس ترجمة فانديك وسميث يبس العشب ذبل الزهر واما كلمة الهنا فتثبت الى الابد
Исая 40:8 Тревата съхне, цветът вехне, Но словото на нашия Бог ще остане до века.
Píseň 40:8 Usychá tráva, kvítí uvadá, slovo našeho Boha však věky přetrvá.
Píseň 40:8 Usychá tráva, květ prší, ale slovo Boha našeho zůstává na věky.
Jesaja 40:8 Das Gras verdorrt, die Blume verwelkt; aber das Wort unsres Gottes bleibt ewiglich.
Jesaja 40:8 Das Gras verdorrt, die Blume verwelkt; aber das Wort unsres Gottes bleibt ewiglich.
Isaiah 40:8 The grass withereth, the flower fadeth; but the word of our God shall stand forever.
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, but the word of our God will stand forever.
Isaiah 40:8 Flowers and grass fade away, but what our God has said will never change.
Isaiah 40:8 Yes, grass withers and flowers fade, but the word of our God endures forever.”
Isaiah 40:8 Grass dries up, and flowers wither, but the word of our God will last forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flowers fade, but the word of our God remains forever."
Isaiah 40:8 The grass withereth, the flower fadeth: but the word of our God shall stand for ever.
Isaiah 40:8 True, the grass withers and the wildflowers fade, but our God’s Word stands firm and forever.”
Isaiah 40:8 The grass dries up, the flowers wither, but the decree of our God is forever reliable.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, But the word of our God stands forever.
Isaiah 40:8 The grass dies and the flowers fall, but the word of our God will live forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fall, but the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades, But the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fade, but the word of our God stands forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers and the flowers fall, but the word of our God endures forever.”
Isaiah 40:8 The grass withers, the flower fades; but the word of our God stands forever.”
Isaías 40:8 Sécase la hierba, marchítase la flor, mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Isaías 40:8 Se seca la hierba, se marchita la flor, Pero la palabra de nuestro Dios permanece para siempre.
Isaías 40:8 La hierba se seca y la flor se marchita, pero la palabra de nuestro Dios permanece para siempre.»
Isaías 40:8 Sécase la hierba, marchítase la flor; mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Isaías 40:8 Sécase la hierba, cáese la flor: mas la palabra del Dios nuestro permanece para siempre.
Jesajan kirja 40:8 Ruoho kuivuu, kukkanen lakastuu, mutta meidän Jumalamme sana pysyy iankaikkisesti.
Ésaïe 40:8 L'herbe sèche, la fleur tombe; Mais la parole de notre Dieu subsiste éternellement.
Ézsaiás 40:8 Megszáradt a fű, elhullt a virág; de Istenünk beszéde mindörökre megmarad!
Isaiah 40:8 Rumput menjadi kering, bunga menjadi layu, tetapi firman Allah kita tetap untuk selama-lamanya."
Isaia 40:8 L’erba si secca, il fiore appassisce, ma la parola del nostro Dio sussiste in eterno".
イザヤ書 40:8 草は枯れ、花はしぼむ。しかし、われわれの神の言葉はとこしえに変ることはない」。
이사야 40:8 풀은 마르고 꽃은 시드나 우리 하나님의 말씀은 영영히 서리라 하라
Jesaja 40:8 Het gras verdort, de bloem valt af; maar het Woord onzes Gods bestaat in der eeuwigheid.
Jesaja 40:8 Gresset blir tørt, blomsten visner; men vår Guds ord står fast til evig tid.
Jesaja 40:8 Gresset blir tørt, blomsten visner. Men vår Guds ord står fast til evig tid.
Isaia 40:8 iarba se usucă, floarea cade; dar cuvîntul Dumnezeului nostru rămîne în veac.
Исаия 40:8 Трава засыхает, цвет увядает, а слово Бога нашего пребудет вечно.
Jesaja 40:8 Gräset torkar bort, blomstret förvissnar, men vår Guds ord förbliver evinnerligen.»
EÂ-sai 40:8 cỏ khô, hoa rụng; nhưng lời của Ðức Chúa Trời chúng ta còn mãi đời đời!
以赛
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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
CENTRO TECNOLÓGICO UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
EMC 6705 – Fundamentos de Vibrações
2º Exercício de Avaliação:(Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz) Aluno: Giovanni Bratti Data:24/05/2009
Proposta:
Seja a barra da figura abaixo (tronco de cone), sujeita a movimentos torcionais θ(x,t),
com as duas extremidade engastadas.
A barra possui comprimento L = 1m, com diâmetros inicial 0,40m e final de 0,20m,
densidade ρ = 7,8.10³ kg/m³ e módulo de elasticidade transversal G = 85 GPa.
Aplicar o método de Rayleigh-Ritz para calcular 2 freqüências naturais não
amortecidas e correspondentes formas modais com qualidade. Utilizar funções tentativas
que sejam polinômios em x.
Comparar as freqüências naturais com resultados obtidos por desenvolvimento
analítico (Cap. 2 da disciplina), considerando uma viga de seção constante, cujo diâmetro
adote o valor do diâmetro médio da viga acima, ou seja, de 0,30 m.
Apresentar as matrizes de massa e de rigidez reduzidas.
x θ(x,t)
1,00 m
Ø 0
,40m
Ø 0
,20m
0
1 – Aplicação do Método dos Sistemas Contínuos (Solução Analítica)
Esta primeira abordagem é feita com a aplicação do Método dos Sistemas Contínuos
(ou Analítico) em uma viga com vibração torcional, cujo objetivo é encontrar as
freqüências naturais e as respectivas formas modais dos dois primeiros modos. Este método
considera os corpos (sistema) com massa e elasticidade distribuída continuamente, que são
considerados homogêneos e isotrópicos, comportando-se de acordo com a lei de Hooke,
quando dentro dos limites de elasticidade.
Vibração Torcional da Viga com Seção Constante:
O sistema a ser analisado pelo método dos sistemas contínuos é uma viga (Fig.1) com
seção transversal constante (diâmetro médio de Diam=0,30m), módulo de elasticidade
transversal G=85GPa, momento polar de inércia da seção transversal dado por J(x) e
momento polar de inércia de massa por comprimento dado por im(x).
Figura 1: Viga bi-engastada, com seção transversal constante.
Admitindo que G, J(x) e im(x) são constantes ao longo da viga, a equação diferencial
parcial que descreve o movimento da viga (equação da onda) é dada por:
onde a2 =GJ/im e tx, é o movimento de rotação da seção transversal em torno de x.
Aplicando o método da separação de variáveis com tx, =X(x)·T(t), a equação da
onda resulta em:
2
2
22
2 ,1,t
txax
tx
(1)
G,J,im
x θ(x,t)
1,00 m
0
Ø 0
,30m
ou unindo os termos como:
As condições de contorno especiais são:
ou seja, nos extremos da viga o deslocamento angular é zero. Usando a mesma separação
de variáveis, as condições de contorno acima nos fornecem:
Analisando o problema em X(x), tem-se que a equação diferencial ordinária é:
e as condições de contorno dadas pela equação (5).
Este problema só admite soluções triviais quando λ ≥ 0. Portanto para λ < 0, tem-se a
proposta de solução:
aplicando as condições de contorno dada pela equação (5), tem-se que:
assim, a condição é obtida quando:
condição que é obtida quando:
ou
Retornando à equação (7), as autofunções (forma modal, ou espacial) são obtidas:
TXa
TX 2
1 (2)
TT
aXX
2
1 (3)
0,0 t
0, tL (4)
0)0(0)().0(),0( XtTXt
0)(0)().(),( LXtTLXtL (5)
0)(.)( xXxX (6)
).cos(.).(.)( 21 xCxsenCxX (7)
LsenCLX
CX
.00)(
00)0(
1
2
(8)
0sen (9)
,...3,2,1.. nnLn (10)
,...3,2,12
22
nL
nn
(11)
Obs.: A constante 1C foi retirada com o intuito de mostrar como são as autofunções. Outro motivo é que na próxima etapa aparecerão
outras constantes que se misturariam com esta.
Para encontrar a solução de T(t), monta-se da parte direita da equação (3) junto com o
valor λ obtido pela equação (11) a seguinte equação:
cuja solução fornece (admitindo também que λ < 0):
Os termos J(x) (momento polar de inércia da seção transversal), im(x) (momento
polar de inércia de massa por comprimento) e a constante a, são dados respectivamente por:
32
)(4xDxJ iam
(15)
que para este modelo Diam(x)=cte=0,30m. Assim, a autofunção de x e de t levada à equação
da separação de variáveis nos fornece:
e a resposta do sistema é dada por:
e as respectivas freqüências de ressonância [rad/s] de cada modo são dadas por:
,...3,2,1.
.
nxL
nsenxX
xsenxX
n
n
(12)
0)(...)( 2
222
tTL
antT (13)
t
LansenDt
LanDtT nnn .......cos.)( 21
(14)
322
)(42 xD
LMR
LIxi iamm
m
(16)
G
iGJa
m
(17)
t
LGn
senDtLGn
DxL
nsentx nnn ./..
../..
cos..),( 21 (18)
1
),(),(n
n txtx (19)
...3,2,1,/..
nLGn
n
(20)
A solução final do problema já com os valores de G, ρ e L substituídos é dada
através da seguinte série:
e as freqüências naturais por:
A amplitude de vibração torcional ao longo da viga é uma onda seno. Através das
autofunções “equação (12)” é possível plotar as formas modais da viga para qualquer
modo, e também com a equação (21) acima se determinam as freqüências de ressonância de
qualquer modo. Para os quatro primeiros modos, têm-se os resultados:
TABELA 1: FREQÜÊNCIAS NATURAIS CALCULADAS PELO MÉTODO ANALÍTICO.
Modo wn [rad/s]
1 10370,79
2 20741,59
3 31112,38
4 41483,18
1
42
41 ..1,0371.10...1,0371.10cos...),(
nnn tnsenDtnDxnsentx (21)
1,2,3,.. =n.1,0371.104 nn (22)
Figura 2: Quatro primeiras formas modais da viga obtidos pelo método analítico.
Após a segunda parte do exercício são comparadas as formas modais adquiridas por
este método com as formas modais do segundo método junto com as suas respectivas
freqüências de naturais.
2 – Aplicação do Método de Rayleigh-Ritz (Solução Aproximada)
Esta segunda abordagem utiliza o Método energético de Rayleigh-Ritz (que é um
método aproximado) para estimar as formas modais e as freqüências naturais torcionais de
uma viga com seção transversal variável. De modo geral, o método transforma um
problema contínuo, de dimensão infinita, em um problema de autovalores de dimensão n.
Este método utiliza a energia cinética que está relacionada com a rigidez do sistema e
a energia potencial que está associada com a inércia do sistema no quociente de Rayleigh.
Este tratamento é feito para encontrar as matrizes reduzidas de massa [M] e de rigidez [K]
da viga, para que então seja resolvido o problema de autovalores que é montado com essas
matrizes [K] e [M]. Neste caso, os autovalores são com certa aproximação iguais as
freqüências naturais ao quadrado e os elementos dos autovetores são usados em conjunto
com funções tentativas para estimar as formas modais.
Vibração Torcional da Viga com Seção Variável:
Considere a viga da figura abaixo (Figura 3) como sistema:
Figura 3: Viga bi-engastada, com seção transversal variável.
Para encontrar as formas modais e as respectivas freqüências naturais utilizando o método
de Rayleigh-Ritz, admitem-se funções tentativas ϕi(x) que busque representar, através de
combinações lineares, as formas modais da estrutura.
O método de Rayleigh-Ritz admite que a solução aproximada do problema de
autovalores relacionada ao sistema contínuo possa ser dada através combinação linear da
seguinte equação:
n
ii xiax
1)()( (23)
x θ(x,t)
1,00 m
Ø 0
,40m
Ø 0
,20m
0
onde os ai são coeficientes a determinar. Normalmente neste método o número de funções
tentativas necessárias é igual ou maior que o dobro do número de modos de interesse, por
isso, será escolhidas quatro funções tentativas já que o interesse são os dois primeiros
modos.
Uma observação aqui feita é que o segundo modelo (fig.3) possui as mesmas
condições de contorno que o primeiro modelo (fig.1). Com isso, como critério de escolha
das funções tentativas, foram utilizadas as seguintes regras:
1) Todas as funções iniciam e terminam com valor nulo, concordando com a condição
de contorno que indica deslocamento angular (θ) nulo em x=0 e x=L.
2) As funções ϕ2(x), ϕ3(x) e ϕ4(x) dividem respectivamente o vão em dois, três e quatro
segmentos de comprimentos iguais.
3) Todas as funções possuem valor unitário na distância x=L/(2.i), ou seja: 1=2.iL
i
onde i é o número do modo. Por exemplo, a função ϕ1(x) tenta representar o modo i=1,
e o valor de 1=2.1L
1
.
Assim, as funções escolhidas foram as seguintes:
As quatro funções tentativas são mostradas na figura 4 a seguir:
21 44 xxx (24)
322 23
332 xxxx (25)
4323 918112
548 xxxxx (26)
54324 32870253
1051024 xxxxxx (27)
Figura 4: As quatro funções tentativas.
Para a viga da figura 3 sujeita a movimentos torcionais, que possui módulo de eleasticidade
transversal G, momento polar de inércia J(x) e momento de inércia de massa por unidade de
comprimento im(x), o quociente de Rayleigh é dado por:
onde conforme proposto pela equação (23), tem-se que:
Para resolver o numerador “N(θ)” da equação (28), aplica-se a integral por partes, que
fornece:
L
om
L
dxxxi
dxdx
xdxGJdxdx
R2
0
(28)
xaxaxaxax 44332211
(29)
LLL
dxdx
xdxGJdx
xdxxGJdxdx
xdxGJdxdxN
0
2
00
(30)
no qual aplicando as condições de contorno θ(0)=θ(x)=0, restará somente:
A viga com seção transversal variável possui o diâmetro variável dado por:
onde x é a posição na viga conforme representado na fig. 3. Substituindo a equação (32) na
equação (15) tem-se que o momento polar de inércia da seção transversal é dado por:
Substituindo a equação (33) na equação (31), tem-se:
Calculando a derivada com relação à x na equação (29) e substituindo no termo entre
colchetes da equação (34) tem-se:
no qual calculando a derivada da equação acima com relação a ar e simplificando em termo
de somatório, tem-se:
Segundo a teoria de Rayleigh-Ritz, ra
N é dado por:
e comparando a equação (37) com a (36), tem-se que:
onde os valores kij são os elementos da matriz rigidez [K]4x4 e i,j=1,2,3 e 4.
L
odx
dxxdxJGN
2 (31)
4,02,0)( xxDiam m (32)
32
4,02,0)(4
xxJ (33)
Ldx
dxxdxGN
0
244,02,0
32 (34)
L
dxxaxaxaxaxGN0
244332211
44,02,032
(35)
L
irii
r
dxxxaxGaN
0
4
1
4 24,02,032
(36)
n
irii
r
kaaN
1
2 (37)
L
riij dxxxxGk0
44,02,032
(38)
Substituindo a equação (29) no denominador “D” da equação (28) e derivando com
relação a ar, tem-se:
em que comparando a equação acima com a equação de ra
D , que segundo a teoria de
Rayleigh-Ritz é dado por:
resulta em:
onde os valores mij são os elementos da matriz massa [M]4x4 e i,j=1,2,3 e 4. Substituindo a
equação (32) na equação (16) e levando na equação (41), tem-se que os elementos mij são
dados por:
As matrizes massa [M] e rigidez [K] equivalente do modelo são obtidas levando as
funções Øi(x) e Øj(x) nas equações (42) e (38), o que com o auxílio do programa Matlab
(7.0 R14) foram calculadas e são dadas por:
Através da equação de Galerkin (desenvolvida no método de Rayleigh-Ritz) em