Nama: Dwi Mei AstutiKelas: 1-LBNIM: 061430310174
APENDIKS A
Sistem Bilangan Kompleks
A.1 BILANGAN KOMPLEKSSebuah bilangan kompleks z merupakan sebuah
bilangan yang memiliki bentuk x + jy, dimana x dan y merupakan
bilangan-bilangan real dan j = . Dalam hal ini kita tuliskan x = Re
z, bagian real dari z; y = Im z, bagian imajiner dari z. Dua buah
bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika masing-masing
bagian real dan imajiner dari kedua bilangan kompleks tersebut
sama.
1. 2x2+9x+7=0 = X1 = -1 X2 =
2. 5x2-6x+5=0
= = X1 = X2 = 0,6 J0,8
Simbol JJ = Pangkat J
Jm x Jn = Jm+n(Jm)n = JmxnJ =J2= -1J3=-JJ4=1Contoh soal :1. J25
= J4 x J4 x J4 x J4 x J4 x J4 x J = J2. J1001= (J4)250 x J = 1 x J
= J3. J99= (J4)24 x J3 = 1 x -1 = -JA.2 BILANGAN KOMPLEKSSepasang
sumbu sumbu ortogonal, dengan sumbu horizontal yang menggambarkan
Re z dan sumbu vertikal j yang menggambarkan Im z akan membentuk
sebuah bidang kompleks di mana setiap bilangan kompleks memiliki
sebuah titik yang unik.
A.3 OPERATOR VEKTOR JSebagai tambahan terhadap pendefinisan
parameter j yang diberikan pada Subbab A.1 sebelumnya, parameter j
dapat dipandang sebagai sebuah operator yang berputar mengelilingi
setiap bilangan kompleks ( vektor ) A 90 dalam arah yang berlawanan
dengan arah putaran jarum jam. Pada kasus di mana A adalah bilangan
real murni, x, prinsip kerja operator j ini dapat diilustrasikan
pada Gambar A-2. Proses perputaran ( rotasi ) akan mengirim A ke
posisi jx, pada sumbu imajiner positif. Jika dilanjutkan lebih jauh
lagi. J2 akan memutar A sejauh 180, J3, 270, dan J4, 360. Juga
diperlihatkan dalam Gambar A-2, sebuah bilangan kompleks B di
kuadran satu pada sudut . Perhatikan bahwa j Bberada pada kuadran
kedua, pada sudut + 90.
A.4 REPRESENTASI LAIN BILANGAN KOMPLEKSDalam subbab A1, bilangan
kompleks didefinisikan dalam bentuk yang disebut sebagai bentuk
rektangular. Pada gambar A-3, x = r cos , y = r sin , dan bilangan
kompleks z dapat ditulis dalam bentuk trigonometrik sebagai :z = x
+ jy = r ( cos + j sin )di mana r adalah nilai modulus atau nilai
absolut ( notasi r = |z| merupakan notasi yang umum atau biasa
digunakan ) yang diberikan oleh persamaan r = x2 + y2, dan sudut =
tan-1 ( y/x ) adalah argumen dari z.Berdasarkan formula Euler,
yaitu e = cos + j sin , maka bilangan kompleks dapat ditampilkan
dalam bentuk yang lain, yang disebut sebagai bentuk eksponensial.Z
= r cos + jr sin = re
Bentuk ketiga, yang merupakan bentuk bilangan kompleks yang
digunakan secara luas dalam analisis rangkaian adalah bentuk polar
atau bentuk Steinmetz yang dirumuskan sebagai z = r di mana dalam
derajat.
A.5 PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN KOMPLEKSUntuk
menjumlahkan dua buah bilangan kompleks, jumlahkanlah bagian-bagian
real dan imajiner dari masing-masing bilangan kompleks secara
terpisah. Sementara untuk mengurangkan bilangan kompleks,
kurangkanlah bagian-bagian real dan imajiner dari masing-masing
bilangan kompleks secara terpisah. Dari sisi praktisnya, penambahan
dan pengurangan bilangan kompleks dilakukan dengan mudah jika kedua
bilangan berada dalam bentuk rektangular.
Z = a + Jb
Contoh : 1. Jika diberikan z1 = 5 j2 dan z2 = -3 j8, maka z1 +
z2 = (5 - 3) + j(-2 - 8) = 2 j10 z1 - z2 = (-3 5) + j(-8 + 2) = -8
j6
A.6 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKSHasil perkalian dua buah bilangan
kompleks, jika keduanya memiliki bentuk eksponensial, dapat
dilakukan berdasarkan hukum eksponen sebagai berikut :
Contoh soal :Z1 = 4 + J5Z2 = -3 + J2Z3 = 3 J4Z4 = -5 J7
Penjumlahan dan pengurangan bilangan komplekZ1 + Z2 = 1 + J7Z4
Z3 = -8 J3
Perkalian bilangan komplekZ1 x Z3 = (4 + J5)(3 J4) = 12 J16 +
J15 J220 = J220 J + 12 = (-1) 20 + J3 + 12 = 20 + J3 + 12 = 32 + J3
= 32 J Pembagian bilangan komplek
=
Bilangan KonjugatZ1* = (4 + J5)(4 J5) = 16- J20 + J20-J225 = 16
- J225 = 16 (-1)25 = 41 (Bilangan Real)
BENTUK BILANGAN KOMPLEKS
Z = a + Jb Regtangular
Z = a + Jb = r cos + J r sin = r (cos + J sin )Z = r < Z = r
< Polar
Contoh soal : Z = 4 + J3 = 5 = 36,86; Z = r < = 5 < 36,86
Z = a + Jb RegtangularZ* = a Jb
Z = r < PolarZ* = r < -
Z1Z2 = r1r2 < 1 + 2
Z1 = r1 < 1 Z2 = r2 < 2
Z = r ( cos + J sin ) TrigonometriZ* = r (cos J sin )
Z = r (eJ) EksponenZ* = r (e-J)
Z1Z2 = r1r2
Z1 = r1 (eJ1)Z2 = r2 (eJ2)
Ln Z = ln r + J
Contoh : Z = 5 eJ0,52ln Z = ln 5 + J0,52 = 1,6 + J0,52
LATIHAN SOAL - SOAL
1. Express each complex number in the polar form a. 15 = 15 = 15
< 45O
b. 5 = 5 = 5 < -120O
c. -4 = -4 = 4 < -30o
d. -2 = -2 = 2 < 90O
e. 10 = 10 = 10 < -210
f. -18 = -18 = 18 < -90O
2. Perform the indicated operation a. Z = 3- J4 Z x Z* = (3
J4)(3 + J4) = 9 + J12 J12 J216 = 9 (-1)16 = 25
b. Z = 10 < -40o = 10 (cos -40 + J sin -40) = 10 (0,766) + J
10 (-0,6427) = 7,66 J6,427
Z x Z* = (7,66 J6,427)(7,66 + J6,427) =58,67 + J49,23 J49,23
J241,30 = 58,67 (-1)41,30 = 100
C. Z = 20 < 53,1O = 20 (COS 53,1O+ J sin 53,1o) =20 (0,6) + J
20 (0,799) =12 + J15,98 Z + Z* = (12 + J15,98)+(12 J15,98) =24
d. Z = 2,5 = 2,5 = 2,5 < -60o = 2,5 (cos -60 + J sin -60) =
2,5 (0,5 + J -0,866) = 1,25 J2,165 Z x Z* = (1,25 J2,165)( 1,25 +
J2,165) = 1,56 + J2,7 J2,7 J24,687 = 1,56 (-1)4,687 = 6,25
e. Z = 2 + J8 Z Z* = ( 2 + J8)-(2 J8) = J16
f. Z = 10 J4 Z + Z* = (10 J4) + (10 + J4) = 20
g. Z = 95 < 25O = 95 (cos 25 + J sin 25) = 95 (0,906 + J
0,4226) = 86,07 + J40,147 Z Z* = (86,07 + J40,147) - (86,07-
J40,147) = J80,2
h. Z = r < = 1 < = 1 < 2
3. Use the slide rule to convert each complex number from polar
to rectangular form a. -12 + J16 r = = 20 = = -53,06 Z = 20 <
-53,06
b. 2 J4 r = = = 4,47
= -63,43 Z = 4,47 < - 63,43
c. Z = -59 J25 r = = 64,078 = 22,96 Z = 64 < 22,96
d. Z = 700 + J200 r = = 728,01 = 16 Z = 728 < 16
e. Z = 0,048 J0,153 r = = 0,16 = -72,58 Z = 0,16 < -72,58
f. Z = 0,0171 + J0,047 r = = 0,05 = 70 Z = 0,05 < 70
g. Z = -69,4 J40 r = = 80,1 = 29,95 Z = 80 < 29,95
h. Z = -2 + J2 r = = 2,82 = -45 Z = 2,82 < -45
4. Use the slide rule to covrt the complex number from polar to
rectangular form a. Z = 10 < 3 = 10 (cos 3 + J sin 3) = 10
(0,998 + J 0,0523) = 10 + J0,523
b. Z = 25 < 88 = 25 (cos 88 + J sin 88) = 25 (0,0348 + J
0,999) = 0,871 + J25
c. Z = 50 < -93 = 50 (cos -93 + J sin -93) = 50 (-0,052 +
J-0,998) = -2,62 J50
d. Z = 45 < 179 = 45 (cos 179 + J sin 179) = 45 (-0,999 +
J0,017) = -45 + J0,785
e. Z = 0,02 < 94 = 0,02 (cos 94 + J sin 94) = 0,02 (-0,0697 +
J0,997) = -0,00139 + J0,02
f. Z = 0,70 < 266 = 0,70 (cos 266 + J sin 266) = 0,70
(-0,0697 + J sin -0,997) = -0,0488 J0,70
g. Z = 0,80 < -5 = 0,80 (cos -5 + J sin -5) = 0,80 (0,996 + J
0,087) = 0,8 J0,0696
h. Z =200 < 181 = 200 (cos 181 + J sin 181) = 200 (-0,999 + J
-0,017) = -200 J3,49
5. In the following problems find the quotient by multiplying
the numerator and denominator by the conjugate of the denominator.
Convert the number to the polar form and determine the quotient
from this form. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h. 6. Nyatakan dalam bentuk polar !a. 3 + J5 Z = 3 + J5 r == = =
59,03 Z = < 59,03
b. -6 + J3 r = = = 3 = = -26,55 Z = 3 < -26,55
c. -4 J5r = = = = 51, 34Z = < 51,347. Nyatakan dalam bentuk
regtangular !a. 5 (cos 225o + J sin 225o) = 5 cos 225o + J 5 sin
225o = 5(-0,70) + J 5 (-0,70) = -3,5 + J (-3,5) = -3,5 J 3,5
b. 4 < 330o = 4 (cos 330o + J sin 330o) = 4 cos 330o + J 4
sin 330o = 4 (0,86) + J 4 (-0,5) = 3,44 + J (-2) = 3,44 J2
8. Nyatakan dalam bentuk eksponensial !a. Z1 = 10 < 37O15 = r
37,15 = = 0,65 Z = r = 10
b. Z2 = 10 < 322o45 = r 322,45 = = = 5,6 Z = r = 10
APENDIKS B
Matriks dan Determinan Matriks
B.1 PERSAMAAN SIMULTAN DAN MATRIKS KARAKTERISTIKTerdapat banyak
sistem dalam bidang keteknikan yang digambarkan melalui suatu
kumpulan persamaan simultan independen linear dalam bentuk
y1 = a11x1 + a12x2 +a13x3 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 +a23x3 + +
a2nxn
ym = am1x1 + am2x2 + am3x3+ +amnxn
dimana xj merupakan variabel bebas (independen), yi adalah
variabel tak bebas (dependen), dan aij adalah koefisien-koefisien
dari variabel bebas. Aij dapat merupakan konstanta atau fungsi dari
parameter tertentu. Bentuk yang lebih sederhana dan mudah untuk
dicermati dapat diperoleh dengan menyatakan persamaan-persamaan di
atas ke dalam bentuk matriks
Atau Y = AX, berdasarkan definisi perkalian AX dijabarkan pada
subbab B.3. matriks A = disebut sebagai matriks karakteristik
sistem; dimana ordeatau dimensinya dinyatakan sebagaid(A) = m x
ndengan m adalah jumlah baris dan n adalah jumlah kolomnya.
B.2 JENIS-JENIS MATRIKSMatriks baris. Merupakan matriks yang
memiliki berapapun kolom tetapi hanya satu buah baris; d(A) = 1 x
n. Matriks ini dikenal juga sebagai vektor barisMatriks kolom.
Merupakan matriks yang memiliki berapapun baris tetapi hanya satu
buah kolom; d(A) = m x 1. Matriks ini dikenal juga sebagai vektor
kolom.Matriks diagonal. Adalah matriks yang elemen bukan nol-nya
merupakan elemen diagonal utama.Matriks satuan. Adalah matiks
diagonal yang nilai elemennya sama dengan satu.Matriks nol. Adalah
matriks yang semua elemennya sama dengan nol.Matriks bujursangkar.
Merupakan matriks dimana jumlah baris dan kolomnya sama; d(A) = n x
m.Matriks simetri. Jika diberikan
Maka transpose dari A adalah
Jika baris dari matriks A merupakan kolom dari matriks AT, dan
sebaliknya. Matriks A disebut simetri (symetric) jika A = AT; suatu
matriks simetri dengan demikian haruslah merupakan matriks
bujursangkar.Matriks Hermitian. Jika diberikan
Maka konjugat dari matriks A adalah
Matriks A adalah matriks hermitian jika A = (A*)T; jadi matriks
hermitian adalah sebuah matriks bujursangkar dengan elemen-elemen
real pada diagonal utama dan elemen-elemen konjugat kompleks
menempati posisi yang merupakan cermin pada diagonal utama.
Perhatikan bahwa (A*)T = (AT)*.Matriks nonsingular. Sebuah matriks
bujursangkar A n x n adalah nonsingular (dapat diinversikan) jika
terdapat suatu matriks B n x n sedemikian hinggaAB = BA = IDimana I
adalah matriks satuan n x n. Matriks B disebut sebagai invers dari
matriks nonsingular A, dan kita tuliskan B = A-1. Jika A adalah
nonsingular, maka untuk setiap Y, persamaan matriks Y = AX pada
subbab B1 akan memiliki solusi unik sedemikian rupa sehinggaX =
A-1Y
B.3 DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKARUntuk setiap matriks A= [ij]
yang berukuran n x n melekat suatu fungsi scalar tertentu aij yang
disebut sebagai determinan A. Bilangan ini dinotasikan sebagai
det A atau |A| atau A atau dimana bentuk terakhir menampilkan
elemen dari A. Untuk determinan orde n = 1n dan n = 2, diperoleh
(eksplisit)|a11| = a11= a11 a22 a12 a21Untuk n yang lebih besar,
pernyataan yang analogi dengan pernyataan diatas akan menjadi
sangat susah dan rumit sehingga seringkali dihindari melalui
penggunaan teorema ekspansi Laplace (lihat bahasan dibawah). Hal
yang penting untuk dicatat adalah bahwa determinan didefinisikan
dengan cara sedemikian hingga det AB = (det A)(det B)untuk setiap
dua buah matriks A dan B dengan ukuran n x n. Dua sifat dasar yang
lain adalah det AT = det A det kA = kn det Aakhirnya, det A 0 jika
dan hanya jika A adalah monosingular.CONTOH B3 Verifikasilah aturan
perkalian determinan untukA = B = Dari kedua matriks di atas kita
perolehAB = = dan = 2(27+ 2) (9+4)(-4) = 90 + 20Akan tetapi =
1(2)-4(3) = -10 = -2( 9(1)= -9 - 2Dan terlihat bahwa 90 + 20 =
(-10)(-9 - 2).Teorema Ekspansi LaplaceMinor, Mij dari elemen aij
dari suatu determinan matriks dengan orde n adalah determinan
dengan orde n 1 yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom
yang mengandung elemen aij Kofaktor dari elemen aij didefinisikan
sebagai = (-1)i+j MijTeorema Laplace menyatakan : Dalam determinan
dari matriks bujursangkar A, kalikanlah masing-masing elemen dalam
baris (kolom) ke-p dengan kofaktor dari elemen yang
berkorespondensi dalam baris (kolom) ke-q, dan jumlahkanlah hasil
perkaliannya. Hasil akan sama dengan 0 untuk pq ; dan det A, untuk
pq.Dari teorema Laplace juga dapat dinyatakan bahwa jika matriks A
memiliki dua baris dan kolom yang sama maka det A= 0 (dan A
mestilah merupakan sebuah matriks singular).Invers Matriks dengan
Determinan; Aturan CramerTeorema ekspansi Laplace dapat ditunjukkan
dalam perkalian matriks sebagai berikut :
= = Atau A (adj A) = (adj A)A = (det A) IDimana adj= [ adalah
matriks transpose dari kofaktor aij dalam determinan A, dan I
adalah matriks satuan n x n. Jika A non-singular, maka kita bisa
melakukan pembagian dengan det A0 dan menyimpulkan bahwa = adj AIni
berarti bahwa solusi unik untuk system linear Y= AX adalah X= ( adj
A )YYang merupakan aturan Cramer dalam bentuk matriks. Biasanya
bentuk determinan diperoleh dengan mempertimbangkan baris ke-r (r=
1, 2, 3,..., n) dari solusi matriks. Karena baris ke-r dari adj A
adalah
= = ( y1+ y2+y3+ + yn)= Persamaan terakhir dapat diverifikasi
dengan mengaplikasikan Teorema Laplace pada kolom ke-r dari
determinan yang diberikan.
DETERMINAN
Determinan orde 2Eliminasi : Eliminasi :
= =Dapat ditulis sebagai berikut : = = Carilah dengan determinan
!Jawab = = =
Determinan orde 3x3 :Kolom Baris
Salah satu cara adalah sebagai berikut (catatan menggunakan
baris I) (Minor adalah bukan barisnya bukan kolomnya).Carilah
determinan dari orde 3x3 berikut ini :1. Dengan memakai kolom 1 =
== = 2. Dengan memakai baris 1
Contoh soal deteminan dengan orde 4x4 :
4
PERSAMAAN SIMULTAN DENGAN 3 VARIABEL (x, y, z)a1x + b1y + c1z +
d1=0a2x + b2y + c2z + d2=0a3x + b3y + c3z + d3=0Jika kita cari
x,y,z dengan eliminasi dan ditulis dalam bentuk determinan maka
didapatkan sebagai berikut :
Contoh soal :2I1 + 3I2 + 8I3 -30 = 06I1 - I2 + 2I3 -4 = 03I1 -
12I2 + 8I3 = 0Carilah nilai I1, I2, dan I3.........?
0
MATRIKS
Matrik adalah sekumpulan bilangan rill atau elemen yang disusun
menurut baris dan kolom. Sehngga membentuk jajaran atau array
persegi panjang. Matrik yang mempunyai m baris dan n kolom disebut
matrik berode m x n. Notasi matrik jika tidak menimbulkan
keragu-raguan keseluruhan matrik dinyatakan dengan sebuah elemen
umum yang ditulis dalam kurung siku atau dengan huruf tebal,
masing-masing elemen memiliki alamat atau tempat yang ditentukan
dengan menggunakan sistem dua indek. Indek I menyatakan baris dan
indek ke II menyatakan kolom. Penjumlahan dan pengurangan
matrik
Perkalian matrika. Dengan Saklar
b. Perkalian dua matrik : dua matrik dapat dikalikan satu
terhadap yang lainnya, hanya jika banyaknya kolom pada matrik yang
I sam dengan banyaknya baris pada matrik II.
TransposeJika baris berubah menjadi kolom dan sebaliknya.
Matrik SatuanMatrik satuan adalah matrik diagonal yang semua
elemen diagonalnya 1.Contoh soal :
Kalikanlah matrik A x I dan I x A
DETERMINAN MATRIK BUJUR SANGKARMatrik Determianan Kofaktor
(minor baik tanda dan tepatnya). Kofaktor 7 = 13 Kofaktor 1=-42
Kofaktor -2= 33 Kofaktor 6= -25 Kofaktor 5=69 Kofaktor 4 =-53
Kofaktor 3=14 Kofaktor 8=-40 Kofaktor 9=29
Adjoin A=CT
PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER = Contoh soal :2x + 3y z 4 =
03x + y + 2z 13 = 0x + 2y 5z + 11= 0Carilah nilai x, y, dan
z.....?Jawab :Matrik = Determinan = Kofaktor Kofaktor 2 = -9
Kofaktor 3 =13 Kofaktor -1= 7 Kofaktor 3 = 17 Kofaktor 1 = -9
Kofaktor 2 = -7 Kofaktor 1 = 5 Kofaktor 2 = -1 Kofaktor -5 =
-7MatrikAdjoin A=CTA-1
METODE ELIMINASI GAUSS = x = bKita ubah ke bentuk matriks
diperluas [B] yaitu :
Kita eliminasi elemen-elemen dalam kolom pertama kecuali elemen
a11 dengan cara mengurangi baris ke-2 dengan a21/a11 kali baris
pertama dan mengurangi baris ke-3 dengan a31/a11 kali baris
pertama. Hasilnya adalah :
Ulangi proses tersebut untuk mengeliminasi Cn2=0 atau kolom ke-2
baris ke-3 sehingga menghasilkan segitiga nol.Contoh soal :X1 + 2X2
- 3X3 = 32X1 - X2 - X3 = 113X1 + 2X2 + X3 = -5Carilah nilai X1 , X2
, dan X3......?Jawab :
Matrik di perluas [B] :
Baris ke-2 => => => =>Baris ke-3 => => =>
=>
Mengubah -4 menjadi 0 => => =>Maka, Kalikan ke bentuk
asal : 6X3 = -18 -5X2 + 5X3 = 5 X1 + 2X2 3X3 = 3 X3 = -3 X2 = -4 X1
= 2
30