ANALISA DAN PENGOLAHAN DATA ALI ALTWAY 1.Bhattacharyya, Couri K., Richard A. Johnson. Statistical concepts and methods , John Wileye & Sono, New York, 1977. 2. G.E.P. BOX, W.G. Hunter, J.S. Hunter, Statistics for experimenters ,John Willy & Sono, New York, 1978. 3. R.E.Walpole and R.H.Myers,Probability and Statistics for Engineers and Scientist,4th ed.,Macmillan Publishing Co., 1989 4. R.E. Walpole and R.H. Myers,Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan,edisi ke-4, penerjemah: RK Sembiring, Penerbit ITB, 1995 5. Bowker,A.H., and G.J.Lieberman,Engineering Statistics,Prentice-Hall, Englewood, 1959 PUSTAKA 1. Pendahuluan 2. Dasar-dasar statistik deskriptif 3. Dasar-dasar statistik inferensia 4. Analisa regresi 5. Pengantar experimental design 6. Aplikasi statistik dalam industri MATERI EVALUASI 1. TUGAS 20% 2. SHORT TEST 10% 3. QUIZ30% 4. UJIAN40% Statistik = Kumpulan metode dan konsep yang digunakan untuk mengumpulkan dan meng-interpretasikan data yang berhubungan dengan suatu daerah penelitian tertentu dan untuk menarik kesimpulan dalam situasi dimana ketidakpastian dan fluktuasi terjadi. Statistik berhubungan dengan keadaan dalam mana terjadinya suatu peristiwa tak dapat diramalkan dengan pasti. Kesimpulan kita sering-sering tidak pasti karena kesimpulan ini didasarkan pada data yang tidak lengkap. Contoh : Menyimpulkan besar laju pengangguran disuatu daerah didasarkan pada suatu survey dari beberapa ribu penduduk. PENGERTIAN STATISTIK 1. PENDAHULUAN populasi Sampel Populasi:Suatukumpulankomplitdaripadapengukuran-pengukuran(pengamatan-pengamatan)yangmungkindalamsuatu daerah penelitian tertentu. Populasimenyajikantarget(tujuan)suatupenelitiandantujuan prosespengumpulandataadalahmenarikkesimpulantentang populasi ini. Sampeldarisuatupopulasiadalahsuatukumpulanpengukuran-pengukuranyangsesungguhnyadilakukandalamsuatu penyelidikan. Contoh : Daerah polusi udara di kota Surabaya. Populasi:Kumpulanpengukuran-pengukurankadarpolutandi seluruh bagian udara di kota Surabaya. POPULASI DAN SAMPEL Sampel : Kumpulan pengukuran-pengukuran kadar polutan yang benar-benar dilakukan di beberapa bagian udara di kota Surabaya. 63 6465 66 676869 70 Cara grafis menyajikan data antara lain : - Dot diagram - Histogram Dot Diagram :( Digunakan untuk data sedikit) Dibuat garis lurus horizontal dengan dilengkapi skala yangmencakup rauge harga pengukuran-pengukuran. Tiapdata pengukuran diplot pada garis ini sebagai titik. Contoh 2.1 Buat Dot diagram dari data berikut : 66.764.367.1 66.1 65.5 67.1 69.167.267.1 66.7 68.1 65.766.4 Penyelesaian : PENYAJIAN DATA 2. STATISTIK DESKRIPTIF Tahapan-tahapan pembuatan distribusi frekuensi -Tentukan harga minimum dan maksimum dalam kumpulan data. -Pilih sejumlah sub interval atau sel-sel dengan lebar sama yang meliputi range diantara harga minimum dan maksimum tanpa menimbulkan overlapping. Sel-sel ini disebut class intervals, dan titik-titik ujungnya disebut class boundary. -Hitung banyak pengamatan dalam data yang termasuk dalam masing-masing class interval. Banyak data dalam tiap-tiap kelas ini disebut class frekuency atau cell frequency. -Tentukan relative frequency untuk tiap kelas, yaitu : DISTRIBUSI FREKUENSI total data Banyakfrequency ClassRelative Frequency= Banyak kelas yang dianjurkan = 1 + 3,3 log n n = banyak data keseluruhan Histogram Relative Frequency : -Class interval diplot pada sumbu horizontal. -Pada tiap class interval dibuat sebuah segi empat dengan luas sama dengan relative frequencynya. erval class Lebarkelas frequency lativeintReHISTOGRAM RELATIVE FREQUENCY Tinggi tiap segi empat = Data berikut menyatakan 78 pengukuran konsentrasi ozom diatmosfer suatu kota 1 dalam 1/100 ppm. Tiap pengukuran adalah rata-rata pembacaan tiap jam selama 4 hari. Buat tabel distribusi frekwensi untuk 11 class interval dan buat pula histogram relative frequencynya. 3.5 1.4 6.6 6.0 4.2 4.4 5.3 5.6 6.8 2.5 5.4 4.4 5.4 4.7 3.5 4.0 2.4 3.0 5.6 4.7 6.5 3.0 4.1 3.4 6.8 1.7 5.3 4.7 7.4 6.0 6.7 11.7 5.5 1.1 5.1 5.6 5.5 1.4 3.9 6.6 6.2 7.5 6.2 6.0 5.8 2.8 6.1 4.1 5.7 5.8 3.1 5.8 1.6 2.5 8.1 6.6 9.4 3.4 5.8 7.6 1.4 3.7 2.0 3.7 6.8 3.1 4.7 3.8 5.9 3.3 6.2 7.6 6.6 4.4 5.7 4.5 3.7 9.4 CONTOH 2.2 Harga minimal = 1,1 Harga maksimal = 11,7 0 . 1111 . 1 7 . 11=PENYELESAIAN Lebar kelas= Distribusi Frekwensi : KelasIntervalFrekwensiRelative Frekwensi 1.05 2.057 0.090 2.05 3.056 0.077 3.05 - 4.05 13 0.167 4.05 - 5.05 11 0.141 5.05 - 6.05 20 0.256 6.05 - 7.05 13 0.167 7.05 - 8.05 4 0.051 8.05 - 9.05 1 0.013 9.05 - 10.05 2 0.026 10.05 - 11.05 0 - 11.05 - 12.05 1 0.013 Histogram relative frekwensi 123456789101112 0.1 0.2 0.3 CLASS INTERVAL Luas segi empt= relative frequency Ukuran PusatGambarangrafikyangtelahdibahasmembantukitauntuk membayangkan bagaimana pola dari data set. Dari kumpulan data berbentukangka-angka,kitaseringinginmengetahuinilai-nilai tertentu.Salahsatudarinilaiyangdemikianialahnilaidisekitar manadataberupaangka-angkaatautersebar,nilaitersebut dinamakan nilai rata-rata (average) dari pada angka-angka. Nilai rata-rata dari pada sekumpulan data : X1, X2, .., Xnadalah := x) 1 2 ( ............ ..........1 2 1 =+ + +=NxNx x xNiiN) 2 2 ( .......... .......... .......... .......... ..........1=inii ifx f= xN = Banyak data total fi = Frekwensi kelas ke-I xi = Harga tengah kelas ke-I n = Banyak kelas UKURAN SEBARAN Selainhargarata-rataaspekpentinglainnyaadalahpengukuran secaranumerikbagaimanapenyebaranbilangandaridataset disekitarhargarata-rata.Sebagaiukuranpenyebaraniniadalah variance(sebaran).VariancedarisekumpulandataX1,X2, .., XN adalah ) 3 2 ( .......... .......... ..........) (222= I Nx N xI Nx xi iS2 =) 4 2 .......( .......... ..........1 1 ) ()222=Nx N x ffx fi iiiS2 =S S Variance = =2Standard deviasi =Tentukan nilai rata-rata dan variance untuk kumpulan data berikut : 92, 64, 105, 81, 78 CONTOH 2.3 PENYELESAIAN = x84578 81 105 64 92=+ + + +S2=1 5) 84 78 ( ) 84 81 ( ) 84 105 ( ) 84 64 ( ) 84 92 (2 2 2 2 2 + + + + = 237,5 Class IntervalTitik Tengah Frequency fi xifi xi2 Kelas, xifi 14.5- 19.517183065202 19.5-24.5 2274 1628 35816 24.5-29.5 2762 1674 45198 29.5-34.5 3226 832 26624 34.5-39.5 3720 740 27380 5180 140220 CONTOH 2.4 Diketahui data berikut:Class IntervalFrekuensi, fi 14.5- 19.518 19.5-24.5 74 24.5-29.5 62 29.5-34.5 26 34.5-39.5 20PENYELESAIAN: Hitung rata-rata hitung, variance dan standard deviasi 9 , 252005180=44 . 301 200) 9 . 25 ( 200 1402202=517 . 5 44 . 30 == xS2 =S =Ada beberapa ukuran letak : Median Quartile Desil Persentil UKURAN LETAK Medium dari pada sekumpulan data :x1,x2, , xN adalah harga tengah bila data disusun dari kecil ke besar. Bila N ganjil, maka ada satu harga tengah Bila N genap, ada dua harga tengah, maka: median = rata-ratanya MEDIAN MEDIAN Contoh2.5 Tentukan median dari kumpulan data berikut : a). 7, 1, 3, 5, 8 b). 8, 1, 2, 7, 9, 5 Penyelesaian : a). Data diurut : 1, 3, 5, 7, 8 median = 5 b). Data di-urut : 1, 2, 5, 7, 8, 9 median =627 5=+Median L = Batas bawah kelas median fsm = Jumlah frekwensi-frekwensi kelas sebelum kelas median fm = Frekwensi kelas median h = Lebar kelas Untuk data yang dikelompokkan, median diperoleh dari ) 5 2 .......( .......... .2+ = hffNL MemsmQUARTILE Quartile ke-k sekumpulan data adalah data ke-4) 1 ( k N +sebelum data diurut dari kecil ke besar. N = banyak data total,4) 1 ( k N +BilaBukan integer, maka dilakukan interpolasi Untuk data yang dikelompokkan, quartile ke-k (Qk) diperoleh dari, ) 6 2 ........( .......... .4+ = hffNkL QkqsqDimana : L = Batas bawah kelas quartile fsg= Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas quartile fq = Frekwensi kelas quartile h = Lebar kelasDESIL Desil ke-k sekumpulan data adalah data ke-10) 1 ( k N +setelah data diurut dari kecil ke besar.Bila10) 1 ( k N +bukan integral, dilakukan interpolasi linearUntuk data yang dikelompokkan, desil ke-k (Dk ) diperoleh dari, ) 7 2 .....( .......... .10+ = hffNkL DdsdkDimana : L = Batas bawah kelas desil fsd= Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas desil fd = Frekwensi kelas desil h = Lebar kelasPERSENTILE 100) 1 ( k N +) 7 2 .....( .......... .100+ = hffNkL PpspkDimana : L = Batas bawah kelas persentile fsp= Jumlah frekwensi kelas-kelas sebelum kelas persentile fp = Frekwensi kelas persentile h = Lebar kelasPersentil ke-k sekumpulan data adalah data ke-setelah data diurut dari kecil ke besar.Bila bukan integral, dilakukan interpolasi linearUntuk data yang dikelompokkan, desil ke-k (Pk ) diperoleh dari, 100) 1 ( k N +CONTOH SOAL UKURAN LETAK Contoh 2.6 : Untuk data pada contoh-4, tentukan : a). Median b). Q1 dan Q3 c). D3 dan P15 Penyelesaian : Dibuat tabel berikut : Class internal Frekwensi Frekwensi Kumulatif 14.5-19.5 1818 19.5-24.5 7492 24.5-29.5 62154 29.5-34.5 26180 34.5-39.520200 ------------- 200 PENYELESAIAN (LANJUT) a). Median Kelas median = class internal ke-3 =+ = ) 5 .(629222005 . 24 Meb). Q1 : Kelas quatile ke-1 = class interval ke-2 =+ = ) 5 .(741842005 . 19 1 QQ3 : Kelas quartile ke-3 = class interval ke-3 =+ = ) 5 .(6292 )43)( 200 (5 . 24 3 QD3 : Kelas desil ke-3 = class interval ke-2 =+ = ) 5 .(7418 10 / ) 3 )( 200 (5 . 19 3 DP15 : Kelas persentile ke-15 = class interval ke-2 =+ = ) 5 .(7418 ) 15 )( 200 (5 . 19 15 PPENYELESAIAN (LANJUT) MODUS Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat digunakan ukuran Modus L h hf ffL MO2 11++ =L= batas bawah kelas modus h=lebar kelas interval 1f = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat sebelumnya = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval terdekat berikutnya 2f3. DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasProbabilitas suatu kejadian yang tak pasti adalah ukuran numerik mengenai besarnya peluang kejadian ini akan terjadi. Konsep probabilitas adalah relevant terhadap eksperimen-eksperimen yang mempunyai ketidak pastian. Experimen : Proses mengumpulkan data yang relevant dengan suatu fenomena yang menunjukkan variasi hasil pengamatannya. Kumpulan seluruh hasil pengamatannya mungkin untuk suatu eksperiment disebut sample space dari pada hasil pengamatan. Sample space dinyatakan dengan S . Contoh : Akan ada 2 anak lahir esok hari disuatu kampung, yang diamati adalah apakah anak ini pria atau wanita. Tentukan elemen-elemen sample space nya. Jawab :S { pp, wp, pw, ww } Kumpulan hasil pengamatan eksperimen (outcome) yang dikarakterisasikanoleh beberapa batasan-batasan tetentu disebut event ( kejadian ). Outcome elementer dari pada suatu sample space adalah elemen-elemen yang mempunyai peluang sama untuk terpilih sebagai hasil pengamatan eksperimen yang berhubungan dengan sample space ini. Bila suatu sample space terdiri atas k outcome elementen (e1,e2, .., ek ) yang mempunyai peluang sama untuk terjadi dan kejadian A terdiri atas m dari pada elemen-elemen ini, maka : P (A) = m/k DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasTiga dasar operasi kejadian yaitu : UNION INTERSECTION COMPLEMENTATION Operasi-operasi Kejadian: UnionIntersectionComplementation A U BABAC P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AC)=1-P(A) HUKUM PERMUTASI Jumlah susunan berbeda yang dapat dibentuk dengan r benda yang dipilih dari satu kelompok n benda dinyatakan dengan:yang dibaca : jumlah permutasi r dari n nrP( )!!r nnPnr=Hukum KombinasiHampir sama dengan permutasi hanya saja urutan yang berbeda tak menyebabkan susunan berbeda. Kombinasi dinyatakan dengan ||.|
\|rn)! ( !!r n rnrn=||.|
\|DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasProbabilitasbersyarat ( Canditional Probabilitas ) : Probabilitas suatu kejadian A sering berubah sesudah informasi diperoleh mengenai apakah suatu kejadian B terjadi atau tidak. Proabilitas ini disebut probabilitas bersyarat dari pada A asal B terjadi, simbolnya P [ A/B ]. ) () () / (B PAB PB A P =DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasatauP ( AB ) = P ( A/B ) P ( B ) Untuk 3 kejadian A, B, C, : P ( ABC ) = P ( A) P ( B/A ) P ( C/AB ) Kejadian A dan B tak bergantung satu sama lain ( independent ) bila : P ( A/B ) = P ( A ) dan P ( B/A ) = P ( B ) , berarti: P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) Kejadian A terjadi berhubungan dengan satu dan hanya satu dari pada kejadian-kejadian B1 , ,BK yang membentuk suatu partisi dari pada ruang sampel menjadi himpunan-himpunan yang disjoint, dimana P(B1),.,P(Bk ), P (A/B1 ), ,P(A/BK) diketahui, akan dicari P (B1 /A) menurut teorema bayes : DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori Probabilitas=) / ( ) () / ( ) () / (111j jB A P B PB A P B PA B PB1B2 B3 A TEOREMABAYES Contoh3.1 Satu unit barang diproduksi oleh 5 karyawan yang mengerjakan bagian-bagian yang berbeda, karyawan-karyawan ini mengerjakan tugasnya tak bergantung atu sama lain. Hasil pekerjaan karyawan-karyawan ini ada cacatnya, yaitu berturut-turut 1%, 2%, 3%, 2%, dan 1% untuk karyawan I, II, III, IV, dan V. Tentukan % produk : a). Prima ( yaitu produk yang seluruh bagin nya tidak cacat) b). Buangan ( yaitu produk yang seluruh bagiannya cacat ). Penyelesaian : A = Kejadian dimana karyawan I bekerja tampa cacat B = Kejadian dimana karyawan II bekerja tampa cacat C = Kejadian dimana karyawan III bekerja tampa cacat D = Kejadian dimana karyawan IV bekerja tampa cacat E = Kejadian dimana karyawan V bekerja tampa cacat a). P ( ABCDE ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P ( D ) P ( E ) = ( 0,99 ) ( 0,98 ) ( 0,97 ) ( 0,98 ) ( 0,99 ) b). P ( ACBCCCDCEC) = ( 0,01 ) ( 0,02 ) ( 0,03 ) ( 0, 02 ) ( 0,01 ) = 12 x 10-10 DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasTeori ProbabilitasDASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Contoh 3.2 Probabilitas suatu penerbangan berangkat tepat pada waktunya P ( D ) adalah 0,83, probabilitas datang tepat pada waktunya P ( A ) adalah 0.92, dan probabilitas berangkat dan datang tepat pada waktunya P ( DA )adalah 0.78. (a)Tentukan probabilitas pada suatu penerbangan pesawat datang ( mendarat ) tepat pada waktunya, bila pesawat tersebut, berangkat tepat pada waktunya. (b)Tentukan probabilitas bahwa pada suatu penerbangan, sebuah pesawat berangkat tepat pada waktunya, bila diketahui pesawat tersebut mendarat tepat pada waktunya. (c)Tentukan probabilitas bahwa pada suatu penerbangan, sebuah pesawat berangkat dan mendarat terlambat. Teori ProbabilitasDASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA 94 . 083 . 078 . 0) () () / ( = = =D PDA PD A Pc). P ( DCAC) = ? P (D) = P ( DA ) + P ( DAC) 0.83 = 0.78 + P ( DAC) P (DAC) = 0.83 0.78 = 0.05 P(AC) = P ( DAC) + P ( DCAC) P(AC) = 1- D(A) =1-0.92 = 0.08 P(DCAC) = 0.08 0.05 = 0.03 85 . 092 . 078 . 0) () () / ( = = =A PDA PA D PPenyelesaian: a) b) Teori ProbabilitasDASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Contoh 3.3 4 pembunuh hama a, b, c, dan d akan diuji dengan memberikan masing-masing pembunuh hama pada sebuah tanaman, dan 4 tanaman dipilih dari sederetan 10 tanaman. Ada berapa kemungkinan pemberian ke-4 pembunuh hama ini ? Penyelesaian : Salah satu dari ke-10 tanaman dapat dipilih untuk membunuh hama a. Untuk setiap pilihan a, terdapat 9 tanaman yang sisa. Masing-masing tanaman ini bisa dipilih untuk b, demikian seterusnya. Menurut Boduct Rule : Jumlah kemungkinan pemberian ke-4 pembunuh hama ini adalah = 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori ProbabilitasContoh 3.4 : Komite penasehat mengenai tindak pidana terdiri atas 15 anggota. Dari ke 15 anggota ini, 9 diantaranyatidak setuju dan 2 diantaranya abstain. Seorang reporter ingin memilih secara acak 3 orang dari komite ini dan mencatat pandangan-pandangannya pada suatu siaran TV. Tentukan probabilitas bahwa paling sedikit 2 dari orang dipilih setuju dengan program tersebut. Tentukan probabilitas bahwa dua orang pertama dari orang-orang yang dipilih setuju dengan program, dan orang ketiga tidak setuju. Penyelesaian : Definisikan : A2 = Kejadian dimana 2 orang setuju program B3 = Kejadian dimana 3 orang setuju program P (A2 UA3 ) = P(A2) + P(A3) DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Teori Probabilitas4552162151629) ( 2 =||.|
\|||.|
\|||.|
\|= A P455843150639) ( 3 =||.|
\|||.|
\|||.|
\|= A Pb). Dalam hal ini urutan perlu diperhatikan. P [ dua orang pertama setuju, orang ketiga tak setujui ] =kmm = P29 x P14 =( 9x8) ( 4 ) = 288 k = P315 = 15 x 14 x 13 = 2730 P [ 2 orang pertama setuju, orang ke-3 tak setuju ] 45530045584455216) ( 3 2 = + = UA A PPenyelesaian : a) Definisikan : A2 = Kejadian dimana 2 orang setuju program A3 = Kejadian dimana 3 orang setuju program P (A2UA3) = P(A2) + P(A3) 2730288=Variabel Acak dan Distribusi ProbabilitasDASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Variabel acak adalah suatu fungsi yang harganya merupakan bilangan real yang ditentukan oleh masing-masing elemen didalam sample space. Variabel acak dinyatakan dengan simbol x. e1 e2 e3 1 234 Kenapa dikatakan random variabel ? dikatakan random (acak) karena kita tak mengetahui sebelumnya elemen (simple event) mana yang terjadi dan harga x berapa yang diberikan.Yang perlu diperhatikan lagi adalah x disebut variabel, walaupun pada hakekatnya merupakan fungsi yang didefinisikan pada suatu sample space. Tabel yang menghubungkan harga variabel acak dan probabilitasnya disebut Tabel Distribusi Probabilitas. DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Dua produk A dan B diuji oleh 4 pelanggan yang kemudian menyatakan lebih menyukai A atau lebih menyukai B. (a)Tentukan elemen-elemen sample spacenya. (b)Difefinisikan variabel acak x sebagai jumlah orang lebih menyukai A dari pada B. tentukan tabel distribusi probabilitasnya. COONTOH 3.5 Penyelesaian : a). Elemen-elemen sample space : A A A AA A A BA A B B A B B B B B B B A A B A A B A BB A B B A B A A A B B A B B A B B A A A B A A B B B B A B B A A B A B A 161) 0 ( = = X P164) 1 ( = = X P166) 2 ( = = X P164) 3 ( = = X P161) 4 ( = = X P b) 161164166164161x P(X=x) 10234 DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA JENIS VARIABEL ACAK Ada dua jenis variabel acak yaitu: Variabel Acak DiskritYang harganya berupa bilangan bulat (integer) seperti: banyak orang, banyak kali perlakuan Variabel Acak Kontinue Yang harganya bisa bulat atau pecahan seperti: berat badan, suhu, tekanan, pH, Komposisi
DISTRIBUSI PROBABILITAS UNTUK VARIABEL ACAK YANG KONTINUE. DASAR-DASAR STATISTIK INFERENSIA Distribusi probabilitas untuk variabel acak kontinue tak dapat dinyatakan dalam bentuk tabel, tapi dalam bentuk grafik atau formula f ( x ) yang disebut fungsi probabilitas densitan. Sifat-sifat fungsi densitas adalah : 1.f ( x ) 0 untuk seluruh harga x } =1 ) ( dx x f2. }=badx x f ) (3.P( a
