1 “TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA PROMOVER EL ENTENDIMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA” TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA PRESENTA: Luisa Elida de la Cueva Hernández DIRIGIDA POR: DR. FERNANDO BARRERA MORA DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ Mineral de la Reforma, Hidalgo, Julio de 2015 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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“TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA … · los métodos con múltiples soluciones pueden favorecer el aprendizaje de este tipo de ideas. Existen otras investigaciones
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“TAREAS CON MÚLTIPLES SOLUCIONES: UN MEDIO PARA PROMOVER EL ENTENDIMIENTO MATEMÁTICO EN PRIMARIA”
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
PRESENTA:
Luisa Elida de la Cueva Hernández
DIRIGIDA POR:
DR. FERNANDO BARRERA MORA
DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ
Mineral de la Reforma, Hidalgo, Julio de 2015
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO
INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA
ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
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Resumen
Uno de los objetivos centrales de la educación matemática es que los estudiantes
construyan un conocimiento estructurado. Por otra parte, el desarrollo de un conocimiento
con estas características requiere que los estudiantes lleven a cabo aspectos centrales del
pensamiento matemático. En este contexto, el presente trabajo tiene el objetivo de
documentar y analizar las diversas rutas de solución que construyen seis estudiantes de
quinto grado de primaria que poseen diferentes niveles de desempeño en matemáticas,
quienes resolvieron durante tres sesiones de trabajo problemas en contextos de la vida real,
los cuales tienen diferentes respuestas. El análisis de las videograbaciones y de las notas de
campo realizadas por la investigadora permitió determinar en qué medida las tareas con
múltiples soluciones (TMS) pueden apoyar la construcción de conexiones entre conceptos o
ideas matemáticas, lo cual es un aspecto central del aprendizaje con entendimiento.
Abstract
The central goal of mathematics education is that students develop a structured knowledge.
Moreover, the development of knowledge with these characteristics requires that students
perform key aspects of mathematical thinking. In this context, the aim of this research is to
document and analyze the solution routes implemented by six fifth grade students, from a
private elementary school, with diverse levels of mathematical performance. The students
solved real-life problems which have different answers. The analysis of videotapes of the
problem solving sessions and the notes taking by the researcher, allow us to determine to
what extent multiple solution task (MST) can support the construction of connections
among mathematical concepts or ideas, which is a central aspect of learning with
En esta sección se describen los resultados del trabajo de investigación, en primer término
se realiza un breve recuento de las rutas de solución que llevaron a cabo los estudiantes, y
posteriormente se identifican aquellos aspectos del pensamiento matemático que los
estudiantes ponen en juego al resolver los problemas, así como las conexiones entre
conocimientos que emergen al transitar por las diferentes etapas de resolución de la tarea.
Tarea 1. Charolas de dulces típicos
Para esta tarea el tiempo destinado era de dos horas, pero debido al acomodo de la cámara,
la organización de las parejas de trabajo, y la explicación de las reglas de comportamiento
que se establecieron para la realización de la actividad, el tiempo real de trabajo fue de sólo
hora y media. Por esta razón, la mayoría de los estudiantes sólo pudieron armar las tres
charolas que les solicitaba el problema. Sólo una minoría de estudiantes resolvió hasta el
inciso c de la hoja de trabajo. Algunos de los estudiantes organizaron la información con
base en los encabezados “datos”, “esquema”, “operaciones” y “resultado” por lineamientos
que se establecen en los cursos de matemáticas que se ofrecen en el colegio. Por otro lado,
esta tarea no se pudo retomar porque la profesora tenía asignados, por las autoridades
escolares, los días específicos para el trabajo de las tareas que se aplicarían para este
estudio.
E1 - S
Para resolver este problema, los estudiantes E1 y S escogieron para su primera charola,
algunos dulces de los que se muestra en la hoja de trabajo, de forma que gasten 100 pesos
para armar la charola, porque es la cantidad de dinero de que disponen. La profesora pide a
los estudiantes que enfrente de cada sumando, se coloque el nombre del dulce al que
corresponde, para entender cada una de sus operaciones. En su primer intento para
conformar una charola, sumaron el precio de una calavera, un limón relleno, una cocada, un
macarrón, una palanqueta y un camote; esto les dio como resultado 32 pesos con cincuenta
centavos, pero no han entendido que deben agregar el costo de una charola, un moño y un
celofán, los cuales son elementos sin los que no se podría elaborar el regalo. Después que la
profesora les explica lo anterior, suman al precio de los dulces, el costo de la charola, la
envoltura y el moño. Sin embargo, no suman inmediatamente estos tres artículos en su
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segundo intento para armar la charola uno sino lo que hacen es escoger algunos dulces
sumar su precio e ir agregando e intercalando la charola, el moño y el celofán, en esta suma
no ponen qué es cada precio y el resultado es 65 pesos con cincuenta centavos, aún no da
como resultado 100 pesos, que es lo buscan gastar. Finalmente, a ese último resultado le
agregan los precios de otros dulces para obtener los 100 pesos deseados y tener la charola
uno (ver figura 2). Antes de todo esto hacen muchas multiplicaciones y divisiones sin
razón alguna.
Para otras dos charolas diferentes, buscan dos dulces. Para la segunda charola
escogieron camotes para la tercera charola, camotes y palanquetas; y multiplican cada uno
por diez, suman el resultado y les da para ambas charolas 100 pesos exactos. Pero se
olvidan de agregar la charola, el moño y el celofán en las dos. Uno de los dos estudiantes ya
había entendido que sólo se agregaban una charola, un moño y un papel celofán pero, para
el otro lo importante era obtener los 100 pesos y para completar el dinero buscaba poner
doble charola.
Primer intento de charola 1
Suma de la charola, el moño y el celofán
Segundo intento de charola 1
Charola 1
Figura 2. Procedimiento seguido por E1 y S para armar charola uno.
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Comentarios. El trabajo realizado por estos estudiantes, permitió identificar que no tienen
hábitos para organizar la información, ya que la estrategia de solución se enfoca
directamente en la realización de operaciones aritméticas. Tampoco tratan de entender el
problema antes de iniciar con la solución porque mientras uno de los dos estudiantes ya
había entendido que sólo era una charola, el otro pensaba poner dos charolas juntas. Por
otro lado, al parecer intentan explicar por escrito lo que hicieron, aunque nada detallado.
Conexiones. Después de que la profesora los guía para llegar a la solución, se dan cuenta
que sumando llegarán a ella. Por sí solos no hubieran podido completar la tarea.
E3 –E2
Para resolver esta tarea E3 y E2 suman mentalmente el precio de la charola, el moño y el
papel, obteniendo como resultado 33 pesos. Por sus comentarios, considero que a los
estudiantes les parece ilógico disponer únicamente de 100 pesos, porque creían que debían
sumar todos los dulces además de la charola, el moño y el celofán, y cien pesos era muy
poco. Empezaron con una suma, sin anotar lo que significaba cada sumando. Los
estudiantes obtuvieron como resultado 32 pesos con cincuenta centavos, le agregaron los 33
pesos y resultó 65 pesos con cincuenta centavos, estuvieron haciendo operaciones para
encontrar por ensayo y error la solución. La charola número uno la armaron con los
siguientes productos: una charola, un macarrón, una calavera, un limón relleno, un camote,
una palanqueta, una cocada, un moño y un papel celofán. El resultado obtenido fue 65
pesos con cincuenta centavos; pero como les faltaba buscaron una cantidad que sumada
con 65 pesos con cincuenta centavos les diera 100 pesos, esa cantidad fue 34 pesos con
cincuenta centavos, así que se dieron a la tarea de sumar un macarrón, una calavera, un
limón relleno, un camote, una cocada, otra cocada y otra cocada, y el resultado de la suma
fueron 35 pesos, pero como les sobraban 50 centavos en la operación pusieron 34 pesos con
cincuenta centavos y les dio 100 pesos (ver figura 3). La profesora les pidió que dejaran así
su respuesta y ella lo observaría.
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Para armar la siguiente charola emplearon una estrategia de ensayo y error pues iban
sumando poco a poco, sin dejar de lado los 33 pesos de la charola, el moño y el papel. Al
final se pasaron por nueve pesos, porque se habían centrado en los dulces que le gustan a su
mamá. La profesora les recomendó ver de nuevo los precios y quitar algún producto. Para
su tercera charola, primero eligieron los dulces y obtuvieron la cantidad a pagar por cada
tipo de dulce al realizar multiplicaciones, porque eligieron más de un dulce de cada tipo.
Las cantidades involucradas en las multiplicaciones se etiquetaron con los nombres de los
productos, pero al efectuar la suma, de los productos no especificaron a que correspondía
cada sumando (ver figura 4). Por último, debido a que el tiempo no fue suficiente,
contestaron el inciso que dice “¿Podrías armar tu charola sólo con limones? ¿Qué podrías
comprar con lo que te sobra?” Para eso multiplicaron el precio de un limón relleno por diez,
aunque el precio real era de cinco pesos con cincuenta centavos ellos lo tomaron como
cinco pesos, le sumaron los 33 pesos de la charola, el moño y el papel, y aseguraron que
con el dinero que les sobraba podrían comprar una calavera. En la carta que le escribieron a
Omar le platican que resolvieron el problema con sumas, que gastaron 100 pesos en los
La suma que les dio por resultado 65.50, y
la operación que hicieron para saber cuánto les faltaba
para los 100 pesos.
La suma que hicieron para completar los 34.50 que les faltaba para los
100 pesos
Figura 3. Estrategia utilizada por E3 y E2 para completar los 100 pesos.
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productos pero que tuvieron que ver cuáles eran los necesarios y que con eso sacaban el
número, le dicen que también usaron los 25 pesos de la charola, los seis pesos del moño y
los dos pesos del papel.
Comentarios. El trabajo realizado por estos estudiantes, permitió identificar que no tienen
hábitos para organizar la información y que empiezan a resolver sin haber entendido
completamente el problema; sin embargo, cada operación que realizaron tiene una razón de
ser. No obstante fue la única pareja que escribió la carta que se solicitaba en la tarea.
Aunque la carta no está muy detallada sí explican lo que hicieron para resolver el problema.
Conexiones.
Multiplicaciones para poner más de un dulce del mismo tipo en la
tercera charola.
Operación para obtener su tercera charola
Figura 4. Operaciones de E3 y E2 para armar su charola 3.
SUMAS
SUMAS MULTIPLICACIONES
Para las otras charolas y las preguntas
Por ensayo y error para charola 1 Es muy poco
dinero para poner todos los dulces
Guía de la profesora
Diagrama 1. Conexiones de E3 y E2 para armar sus charolas.
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E5 – E4
E5 y E4 empiezan a armar su primera charola sumando una calavera, un limón, una cocada,
un macarrón, una palanqueta, un camote, una charola, un moño y un papel, en total les da
65 pesos con cincuenta centavos, entonces empiezan a agregar dulces y como les falta para
completar los 100 pesos, deciden poner otro moño. La profesora les da la idea de organizar
de otra manera los dulces para no tener que comprar dos moños pues en la vida cotidiana
no es usual colocar dos moños a un regalo. Los estudiantes deciden eliminar un moño y
agregar otros dulces para tratar de gastar los 100 pesos. Entonces, agregan a los 65 pesos
con cincuenta centavos que habían obtenido el precio de dos palanquetas, un camote, una
calavera y tres palanquetas. Obteniendo un total de 100 pesos y queda armada su primera
charola.
Arman su segunda charola con dos calaveras, dos macarrones, dos camotes, dos
limones, un moño, dos cocadas, un papel y una charola, el resultado es 100 pesos con
cincuenta centavos. La charola tres la arman con una charola, un moño, un papel celofán,
una calavera, tres macarrones, cuatro palanquetas, cuatro camotes; y el resultado es 100
pesos con cincuenta centavos. Para responder a la primera pregunta los estudiantes eligen la
charola número uno porque es la que da exactamente 100 pesos. La pregunta “¿Podrías
armar una charola sólo con calaveras?”, la responden anotando que sí se puede aunque
sobra dinero, para esta respuesta primero restaron a 100 pesos los 33 pesos de la charola, el
moño y el celofán; luego trataron de hacer una división en la que el dividendo eran los 67
pesos que obtuvieron como resultado de la resta, y el divisor eran los seis pesos con
cincuenta centavos, que es lo que cuesta una calavera, pero no pueden resolverla (ver figura
5); así que por ensayo y error multiplican el precio de la calavera hasta que obtienen la
cantidad deseada y se dan cuenta que sobra dinero. Para el inciso b, “¿Podrías armar la
charola sólo con palanquetas?”, la respuesta es sí aunque también sobra dinero. La pregunta
del inciso c, “¿Y únicamente con limones? ¿Qué podrías comprar con lo que te sobra?, para
la solución hicieron una multiplicación de tres pesos con cincuenta centavos por tres y
luego le sumaron 33 pesos, ese resultado se lo restaron a 100 pesos, y sumaron una
calavera, un macarrón, una palanqueta y un camote y les dio 23 pesos con cincuenta
centavos. Sin embargo, no respondieron dicho inciso.
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Comentarios. Aunque esta pareja es más ordenada al armar sus charolas, al hacer
operaciones básicas tales como dividir 67 entre seis punto cinco, por tener ellos (como son
pesos) 67 punto cero y seis punto cincuenta, esos ceros les causan confusión y no pueden
efectuar la operación. Lo mismo sucede con otra operación que hicieron en la que restaron
77 menos 33, su resultado fue 110.
Por otro lado, el procedimiento que buscan utilizar para resolver el problema no
toma en cuenta consideraciones extra-matemáticas, ya que intentaron poner doble moño a
la charola con el único propósito de utilizar todo el dinero posible. Hay una separación
entre el problema matemático y la realidad.
Ejemplo de operación básica que no lograron
resolver solos
Figura 5. Ejemplo de operación básica que no logaron resolver solos.
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Conexiones
E6 –S1
Antes de empezar a hacer operaciones organizan la información, como están
acostumbrados empiezan anotando los datos, es decir, ponen los precios de la charola, el
moño y el papel celofán, además de los 100 pesos con que cuentan. Luego hacen un gráfico
de una charola con dulces, papel celofán y moño. Después empiezan a hacer operaciones.
Para armar su primera charola eligen cuatro dulces diferentes y sus precios los multiplican
por cinco a cada uno de ellos, se dan cuenta que se pasa y deciden multiplicarlo por tres, lo
suman y le agregan 25 pesos de la charola, seis pesos del moño y dos pesos del papel. El
total es de 96 pesos con cincuenta centavos, hacen una resta y se dan cuenta que les faltaron
tres pesos con cincuenta centavos para completar los 100 pesos y le preguntan a la
profesora si le pueden poner otro celofán aunque les sobren 50 centavos.
Para armar su segunda charola toman cinco limones, cinco camotes, tres cocadas,
una charola, un moño y un papel celofán, y les sobraron un peso con 50 centavos; para
llegar a esta conclusión resolvieron por ensayo y error, multiplicaciones de más de un dulce
típico y sumas para obtener 100 pesos (ver figura 6).
SUMA
RESTA
SUMA
Dificultad al querer agregar doble moño
Moño-charola-papel
Conecta con la realidad y en vez de agregar otro moño pone otro dulce
Busca la manera de armar otras charolas
Para saber cuánto hay que completar para los 100 pesos
Apoyo de la profesora
Diagrama 2. Conexiones de E5 y E4 para resolver el problema.
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Para su última charola deciden poner nueve macarrones, una cocada, una charola,
un moño y un papel celofán, porque se dan cuenta que al multiplicar siete macarrones se
obtienen 63 pesos. Para la respuesta del inciso a, llegan a la conclusión de que sí se puede
armar una charola sólo con calaveras, poniendo diez calaveras, una charola, un moño y un
papel, lo comprueban haciendo una multiplicación del precio de una calavera por diez,
aunque les falten dos pesos para completar los 100 pesos. En lo que respecta al inciso b,
también se puede armar únicamente con palanquetas, poniéndole 15 palanquetas, una
charola, un moño y un papel; se dan cuenta que se pasan por 50 centavos al hacer primero
la operación de multiplicar el precio de una palanqueta por 15 y luego sumarle a ese
resultado la charola, el moño y el celofán. Y, finalmente el inciso c, que pregunta si sólo se
podrá armar con limones, su respuesta es sí y lo hacen multiplicando el precio de cada
limón por 12 limones, obtienen 66 pesos más los 33 pesos del moño, charola y papel, así
que no pueden comprar nada con lo que les sobra; esta es su respuesta.
Figura 6. Procedimiento seguido por E6 y S1 para armar dos de sus charolas.
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Comentarios. Esta pareja es muy organizada para resolver el problema, sigue los
lineamientos al buscar datos, esquema, operaciones y resultado. Sin embargo, también su
único objetivo es resolver el problema, dejando de lado el contexto real al querer colocar
doble papel celofán al regalo.
Como posibles soluciones para esta tarea se ponía una tabla como primera opción,
otra era, de los cien pesos ir restando cada dulce, el moño, la charola y el celofán y, como
última opción sumar cada cosa que se comprara hasta juntar la cantidad original. Todas las
parejas eligieron ir sumando dulce con dulce hasta juntar los cien pesos de que disponían.
La explicación de por qué no eligieron la tabla ni las restas podría ser que ellos están
acostumbrados a buscar una operación básica con la que puedan llegar a la solución, una
tabla no es considerada para ellos una solución; como tampoco lo sería utilizar restas (como
la segunda opción que se propone) porque, aunque sí saben restar, para ellos es más fácil
utilizar sumas y multiplicaciones.
Conexiones
SUMA MULTIPLICA
Arma charolas
RESTA
Diagrama 3. Conexiones de E6 y S1 para resolver el problema.
Organiza la información Ensayo y error
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ELEMENTO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E1 – S Ninguno
E3 – E2 Experimentar, al empezar a sumar dulces y buscar que les dé 100 pesos, al hacer
multiplicaciones para tener en una canasta más de un dulce, del mismo; establecer relaciones,
cuando se dan cuenta que no se trataba de sumar todos los dulces sino, más bien, de buscar
cuáles al sumarlos darían 100 pesos; comunicar resultados, al contar en su carta cómo
resolvieron el problema.
E5 – E4 Experimentar, al sumar por ensayo y error hasta obtener 100 pesos, al dividir para saber
cuántas calaveras necesitarían para armar una charola aunque no supieran cómo organizar
dicha división; establecer relaciones, al entender que no se trataba solamente de gastar los 100
pesos sino de armar una charola como se armaría en la vida real, y al buscar otras formas de
organizar los dulces para armar charolas diferentes; justificar resultados, ellos saben que
utilizando sumas, restas y divisiones pueden obtener la respuesta a cada pregunta.
E6 – S1 Experimentar, al pensar que podrían poner cinco dulces de cada uno pero al sumar se dan
cuenta que se pasan de los 100 pesos y tienen que reducir la cantidad, establecer relaciones, al
buscar otras formas de organizar los dulces para armar charolas diferentes; justificar
resultados, saber que pueden usar operaciones aritméticas para obtener los resultados que
necesitan; comunicar, al explicar oralmente lo que hicieron para contestar cada pregunta.
Tarea 2. Bolsas de chocolates
Fue una tarea que estaba pensada para llevarse a cabo en una hora con 30 minutos, se
terminó antes de ese tiempo y se completó todo el problema. Aquí todas las parejas
organizaron la información en datos, esquema, operaciones y resultado.
E1 – E3
Después de algunos intentos por saber cuál bolsa de chocolates escogerían, utilizaron una
estrategia que consistió en guiarse por el denominador, y de creer que comparar fracciones
podría ser una suma, se les ocurre que podrían hacer un esquema; sin embargo siguen sin
poder comparar porque los enteros que dibujaron (cada entero lo representaron con un
rectángulo) no son del mismo tamaño. Finalmente logran dibujarlos iguales y con su regla
dividen cada uno dependiendo de lo que dice el denominador y colorean con su lápiz lo que
pide el numerador (ver figura 7). Así pueden observar y se dan cuenta que 5/6 es la mayor
de las tres fracciones porque al entero de 3/4 le faltan cuatro centímetros para completarlo,
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al de 5/6 tres punto cuatro centímetros, y al de 3/8 diez centímetros, y con esto logran tener
la primera solución.
Para la segunda saben que deben obtener fracciones equivalentes para poder
compararlas pero no saben cómo hacerlo, lo intentan multiplicando cada fracción con su
inverso y les resulta siempre un entero. Después de algunos intentos recuerdan como
obtener fracciones equivalentes mas no han comprendido que deben tener igual
denominador para poderlas comparar y siguen en las mismas porque 6/8 su fracción
equivalente es 12/16 mientras que la de 3/8 es 9/24 y la de 5/6 es 20/24 y entonces aún no
pueden compararlas. Para guiarlos la profesora les pregunta que hasta dónde deben sacar
fracciones equivalentes y ellos insisten en sumarlas. La profesora los orienta diciéndoles
que deberían sacar otra fracción equivalente de 6/8 pero obteniéndola de la fracción
original, después de un rato lo entienden y lo hacen, y obtienen 18/24. Por fin pueden
comparar (ver figura 8) y se dan cuenta que otra vez la fracción más grande es 5/6.
Medida de lo que le falta por completar al
entero
Figura 7. Estrategia seguida por E1 y E3 para comparar fracciones.
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Tratando de recordar lo que han aprendido durante el curso mencionan ideas de lo
que podrían usar, pero nada sirve. Por ejemplo, intentaron utilizar proporcionalidad,
fracciones decimales, números decimales y otras. Lo anterior es indicador de una forma de
pensamiento basada en la aplicación de reglas, más que en el análisis y la reflexión. La
profesora les comenta que ya trabajaron la transformación de una fracción común a un
número decimal y que tal vez eso les podría ayudar. Deciden hacerlo así y pueden solos
porque sí lo recuerdan, dividen el numerador entre el denominador y obtienen decimales
que sí pueden comparar (ver figura 9), y observan que una vez más la mayor es 5/6.
Finalmente explican cada una de sus respuestas tal como lo pide el problema.
Fracciones equivalentes
Figura 8. Estrategia para obtener fracciones equivalentes.
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Comentarios. Fueron mucho más organizados que en la tarea uno. Y finalmente pudieron
obtener las tres soluciones que pedía la profesora pero si no hubiera sido porque los fue
guiando con preguntas no lo hubieran podido lograr, porque al principio no entendían nada
del problema, aunque sí sabían obtener fracciones equivalentes, sí sabían convertir una
fracción común a decimal y sabían cómo comparar fracciones con un dibujo. Quizá lo que
no sabían era para qué servía cada una de esas cosas, ni cómo aplicarlas a un problema. No
obstante, se esforzaron por entender lo que la profesora les pedía hacer, y con la ayuda de
ella, ya después hicieron el trabajo sin ayuda del instructor.
Conversión de fracción común a
decimal
Figura 9. Procedimiento seguido por E1 y E3 para convertir fracción común
a decimal.
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Conexiones
E6 – S1
Su primera solución para saber qué bolsa de chocolates escogerían fue dividir 1000 entre el
denominador de cada fracción y el resultado multiplicarlo por el numerador y así cada bolsa
de chocolates la convirtieron en gramos para poderlas comparar. En la segunda solución
obtuvieron fracciones equivalentes cuidando que todas esas fracciones tuvieran el mismo
denominador. Antes de esto probaron sumando las tres fracciones pero se dieron cuenta que
no les servía para nada, así que regresaron a las fracciones equivalentes y todas las dejaron
en términos de veinticuatroavos (ver figura 10). Finalmente, su tercera solución fue dibujar
tres rectángulos del mismo tamaño, dividieron cada uno según el denominador de cada
fracción y colorearon según las indicaciones del numerador, después trazaron una línea que
atravesaba los tres enteros donde terminaba cada fracción y así pudieron comparar (ver
figura 11).
FRACCIONES EQUIVALENTES
Dificultad para encontrar
denominador común
Conversión de fracción a decimal
Esquema
Diagrama 4. Conexiones de E1 y E3 para comparar las bolsas de chocolates.
Cree que comparar fracciones se logra al sumar
Piensa en un gráfico Dificultad para representar 3 enteros del mismo tamaño
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Conversión a gramos Fracciones equivalentes
Líneas trazadas para comparar las fracciones
Suma de fracciones
Figura 10. Dos procedimientos diferentes de E6 y S1 para resolver
Tarea 2.
Figura 11. Líneas trazadas para comparar fracciones.
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Comentarios. Estudiantes muy organizados que sabían desde el primer momento lo que
tenían que hacer; hubo un momento en el que se perdieron al creer que sumando las
fracciones podrían saber cuál sería más grande pero ellos solos se dieron cuenta de su error
y lo corrigieron.
Conexiones
E4 – E2
E4 le explica a E2 que mientras no haya hecho nada para comparar las fracciones no puede
saber cuál es mayor. Así que deciden, en primer lugar, obtener fracciones equivalentes y
poderlas comparar (ver figura 12). Su segunda solución fue convertirlas en gramos, o sea,
dividir 1000 entre cada uno de los denominadores y el resultado multiplicarlo por el
numerador. Su tercera solución fue buscar un número que multiplicado por el denominador
diera 1000 y el resultado multiplicado por el numerador (ver figura 13). Por ensayo y error
buscaban un número que multiplicado por el denominador se acercara a 1000, por ejemplo,
en la fracción 3/4 buscaron el número 250 que multiplicado por cuatro da 1000, entonces
ese 250 lo multiplican por tres que es el numerador y obtienen una bolsa de 750 gramos. Y
así sucesivamente hicieron los otros dos.
Conversión a gramos como primera solución
Se dan cuenta que no sirve para la solución
Suma de fracciones como segunda solución
Usan fracciones equivalentes
Esquema para la tercera solución
Diagrama 5. Conexiones de E6 y S1 para comparar las bolsas de chocolates.
Organización de la información
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Fracciones equivalentes
Convertir en gramos, forma directa.
Convertir en gramos, ensayo y error.
Figura 12. Primera solución a través de fracciones equivalentes.
Figura 13. Dos formas diferentes de convertir a gramos.
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Comentarios. Fue un equipo muy organizado en la solución del problema. Sin embargo,
no se dieron cuenta que en la solución dos y tres hicieron lo mismo utilizando operaciones
diferentes, mientras que la forma directa era haciendo uso de divisiones, la otra era con
ensayo y error.
Las posibles soluciones que se habían preparado para esta tarea fueron comparar
fracciones obteniendo fracciones equivalentes con el mismo denominador y, compararlas a
través de un esquema. En la tarea se les pide que lleguen a la solución por tres caminos
diferentes, todas las parejas eligieron las dos formas mencionadas anteriormente porque
estaban acostumbrados a esas formas de comparación, la profesora considera que es más
exacto o se puede ver más claramente la división de un entero en partes cuando es
representado con un rectángulo en lugar de con un círculo, por eso los estudiantes lo
representaron de esta manera. Lo que resultó sorprendente fue que eligieran convertir a
decimal cada fracción como en el caso de la pareja E1-E3; así como también que
convirtieran en gramos como la pareja E6-S1. Como son niños de quinto grado de primaria
es muy común que sigan los esquemas de solución de su profesor.
Conexiones
Fracciones equivalente para la solución uno
Conversión a gramos, solución dos
Dificultad para darse cuenta que la solución era la misma
que la anterior
Conversión a gramos, solución tres
Diagrama 6. Conexiones de E4 y E2 para encontrar la solución.
E4 guía a E2 para que entienda el problema
Organizan la información
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ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E1 – E3 Experimentar, al querer obtener fracciones equivalentes pero como no recuerdan cómo
hacerlo deciden entonces convertir cada fracción en decimal, luego las representan en un
esquema y por último, obtienen fracciones equivalentes; establecer relaciones, al no poder
obtener fracciones equivalentes buscan otra forma que les permita comparar; justificar,
aunque saben que el camino a seguir para comparar las fracciones es obteniendo equivalentes
no lo hacen porque no pueden; comunicar resultados, tratan de explicar lo que hicieron en
cada solución aun cuando no dan muchos detalles..
E6 – S1 Experimentar, pensaron que al sumar las tres fracciones sabrían cuál era la mayor, al hacerlo
se dieron cuenta que estaban equivocados, y entonces decidieron convertir a gramos cada
bolsa de chocolates; establecer relaciones, se dieron cuenta que si no servía sumarlas
buscarían convertirlas en gramos; justificar, buscaban tres maneras de llegar a la solución, una
era con fracciones equivalentes, otra a través de un esquema y la tercera, al convertir a
gramos; comunicar resultados, sus explicaciones dieron ciertos detalles de sus procedimientos.
E4 – E2 Experimentar, buscaron fracciones equivalentes y convirtieron en gramos; establecer
relaciones, sobre todo E4 sabía que podría encontrar la respuesta por tres caminos diferentes;
justificar, E4 sí sabía que tenía que buscar fracciones equivalentes para poder compararlos
mientras que E2 sólo se guiaba por el denominador de las fracciones originales; comunicar
resultados, aun cuando no detallan sus explicaciones sí se entiende lo que hicieron.
Tarea 3. Arreglos frutales
Para esta tarea se contaba con una hora 30 minutos. Esta es la tercera tarea que se aplicó
con múltiples soluciones y como estos estudiantes no están acostumbrados a realizar este
tipo de tareas que demandan mayor cantidad de trabajo, es decir que son laboriosas, uno de
los pequeños grupos, en los que trabajaron, ya no quería resolverlo. No obstante, ambos
equipos resolvieron completo el problema.
E4 – E1 – E2 – S2
Empiezan con ensayo y error a elegir frutas para armar los diez arreglos frutales que se
pretenden tener porque no entendían cómo acomodar la fruta en cada canasta para tener los
cinco kilogramos que pide el problema, pero lo que sí sabían es que sólo tenían 2000 pesos
para armar dichas canastas; las primeras nueve canastas las arman poniendo un kilogramo
de cada fruta, sumaron los precios de cada una, y lo único que cuidaron fue que no
quedaran iguales, otra cosa que sí cuidaron es que no fuera muy cara, su rango era de
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aproximadamente 150 pesos. La última canasta trataron de hacerla como se los propuso la
profesora, es decir, con menos de un kilogramo de cada fruta. Cuando ya tuvieron armadas
las diez canastas sumaron los totales y el resultado fue de 1420 pesos con cincuenta
centavos, estaban satisfechos porque habían gastado menos de lo que tenían.
Y empezaron a responder las preguntas, “¿qué cantidad de fruta pondrías en cada
canasta?”, su respuesta fue considerando la última que armaron, medio kilogramo de cada
una y un kilogramo de dos frutas. Siguiente pregunta “¿Qué cantidad de fruta debes
comprar?”, como son ocho frutas y cuatro integrantes deciden dividirse dos frutas cada
quien para hacer la operación necesaria (suma en este caso) y saber en total cuánto de cada
fruta compraron. Así concluyen que habían comprado 7 ½ kg de banana, 6 ½ kg de mamey,
5 ½ kg de uva, 5 ½ kg de pera, 7 ½ kg de mango, 7 ½ kg de manzana, 3 ½ kg de maracuyá
y 7 ½ kg de kiwi. “¿Te alcanza el dinero para comprar la fruta que necesitas?”, después de
restar a 2000 pesos los 1420 pesos con cincuenta centavos, entonces se dan cuenta que sí
les alcanza el dinero. Siguiente pregunta, “¿Te sobraría algo de dinero de los 2000 pesos?
Su respuesta fue sí pero se equivocaron en el resultado numérico porque pusieron 1460
pesos con cincuenta centavos. Y por último, “¿Cuánto dinero se donará a la Casa Hogar?”,
su operación fue una resta, a 3500 pesos, que es la cantidad obtenida si se venden las diez
canastas, menos 1420 pesos con cincuenta centavos que es la cantidad que gastaron
armándolas (ver figura 14).
Comentarios. Al leer este problema no entienden la diferencia entre poner en el arreglo
cinco kilogramos de fruta en total en cada uno, y cuánto poner de cada una de las frutas
para completar los cinco kilogramos. Cuando finalmente lo entienden no se les ocurre que
podrían ponerle menos de un kilogramo de cada fruta hasta que la profesora lo sugiere.
Otro aspecto que tampoco consideraron fue el de saber cuánto podrían gastar en
cada arreglo antes de armarlos, más bien fue suerte que al terminar de armarlos no se
pasara ninguno del tope de 200 pesos.
Por otro lado, para la cantidad total de cada fruta que debían comprar (inciso b) se
dividen el trabajo de sumarlas dos frutas por cada uno de los integrantes del equipo, en las
hojas del problema no están incluidas esas sumas.
47
Conexiones
Último arreglo
Suma total de arreglos
Operación para saber cuánto
donarían
Operación para saber cuánto
tendrían si vendían todos los arreglos
Figura 14. Procedimiento seguido por E4, E1, E2 y S2 para resolver la Tarea 3.
Para saber lo que obtendrían por los
10 arreglos MULTIPLICACIONES
Que no llegaran a 200 pesos
Que fueran de 5 kilogramos
RESTAS Para saber cuánto
donarían
SUMAS
Diagrama 7. Conexiones de E4, E1, E2, S2 para armar arreglos florales.
48
E6 – E5 – S3
Lo primero que hizo este equipo fue dividir la cantidad de dinero (2000 pesos) con el que
comenzaron por las diez canastas que tenían que armar, con esto sabrían que en cada una
podían gastar 200 pesos. La duda era a qué se refería eso de “cada arreglo debe tener cinco
kilogramos de fruta”, la profesora les explicó que tenían que organizar las frutas de tal
manera que cada canasta tuviera cinco kilogramos. Empezaron a organizar la fruta y
cuidaban de no repetir las frutas de alguna de las canastas anteriores porque decidieron
ponerle un kilogramo de cada fruta; los totales que obtuvieron de sus canastas después de
sumar sus precios por kilogramo fueron 200 pesos, 195 pesos, 199 pesos, 200 pesos, 192
pesos, 212 pesos, 199 pesos, 203 pesos, 195 pesos y 202 pesos. El argumento que daban
para aceptar las canastas que se pasaban de 200 pesos era que en las canastas donde era
menos de 200 pesos, el dinero que no se ocupaba se le podía pasar a las que se pasaban. Sin
embargo, en aquéllas en las que les faltaba mucho dinero decidían cambiar una fruta barata
por una cara. Otra cosa que el equipo quería hacer era facilitarse el trabajo haciendo
canastas de una sola fruta, la profesora aceptó que hicieran una nada más, las otras debían
ser con fruta variada.
Las respuestas a la preguntas, “¿Qué cantidad de cada fruta pondrías en una
canasta?”, para responderla tomaron una canasta y anotaron dos kilogramos de manzana,
uno de maracuyá, uno de uva y uno de pera. El inciso b, hicieron las sumas mentales y su
respuesta fue, un kilogramo de pera, ocho de uva, ocho de manzana, 15 de maracuyá, tres
de kiwi, seis de mamey, cuatro de banana y ninguno de mango. Para la pregunta “¿Te
alcanza el dinero para comprar la fruta que necesitas?”, sumaron el total de cada canasta y
el resultado fue 2098 pesos, entonces su respuesta fue que no les alcanzaba. El inciso d, no
les sobraría, al contario les faltarían 98 pesos. Y finalmente la última respuesta fue que
donarían 1402 pesos pues el total de canastas vendidas sería de 3500 pesos, pero restándole
lo que gastaron quedaría la cantidad antes mencionada (ver figura 15).
49
Comentarios. Fue un equipo con mucho orden porque iniciaron tal como están
acostumbrados, o sea, con datos, esquema, operaciones y resultado. Pero después de esto ya
no trabajaron con las ganas de siempre, para empezar no habían puesto atención acerca de
que eran cinco kilogramos de fruta y no cinco frutas diferentes. Perdieron mucho tiempo
revisando cada canasta que hacían para que no fuera igual a ninguna que ya hubieran
hecho.
Como ya la clase se estaba terminando, se repartieron algunas canastas para
armarlas individualmente y no en equipo. Y finalmente nunca hicieron el arreglo de una
Operación para saber cuánto podrían gastar en cada canasta
Suma de todas las canastas
Operación para saber cuánto
ganarían con los diez arreglos
Figura 15. Estrategias utilizadas por E6, E5 y S3 para saber cuánto donarían.
50
sola fruta. A pesar de todo terminaron su problema completo en el tiempo que tenían para
hacerlo.
Las posibles soluciones para esta tarea eran sumar fracciones del kilogramo, es
decir, obtener gramos de cada tipo de fruta hasta reunir los cinco que se pedía en la
instrucción. Claro que eso implicaría imaginar cuántas mangos hacen un kilogramo,
cuántas manzanas hacen un kilogramo, etcétera. Otra solución era pensarlo en fracciones
comunes de cada kilogramo, aunque también implicaba imaginar con cuánta fruta de cada
una se completa un kilogramo. Es por ello que los estudiantes decidieron tomar un
kilogramo completo de cada fruta para armar sus arreglos frutales. No están acostumbrados
a la laboriosidad y se inclinan por lo más fácil. De hecho el propósito de esta tarea era
aplicar conocimientos anteriores como el hecho de convertir en gramos, pero no se logró.
Conexiones
DIVISIONES
Para saber lo que obtendrían por los
10 arreglos MULTIPLICACIONES
SUMAS
Para saber cuánto podían gastar en la fruta
RESTAS Para saber cuánto
donarían
Para armar los 10 arreglos
Diagrama 8. Conexiones de E6, E5, S3 para armar arreglos florales.
No entendían cómo acomodar cinco kilogramos de fruta
Guía de la profesora
51
ELEMENTOS DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
E4-E1-E2-S2 Experimentar, al buscar formas diferentes de armar diez canastas; establecer relaciones, hasta que la profesora les dio la opción no entendían el hecho de poner menos de un kilogramo de alguna fruta; justificar, aunque no buscaron cuánto podían gastar en cada arreglo, sí sabían que no debían de gastar más de 200 pesos en cada uno; comunicar resultados, al platicar entre ellos cómo las armarían, al explicarle a quien no entendía lo que se estaba haciendo.
E6 – E5 – S3 Experimentar, al buscar formas diferentes de armar diez canastas, también al creer que si algún arreglo daba más de 200 pesos se compensaría con otro que diera menos de dicha cantidad; establecer relaciones, buscan la manera de armar los diez arreglos diferentes; justificar, lo primero que sabían que debían hacer era dividir el dinero con el que contaban entre los diez arreglos que debían armar; comunicar resultados, al platicar entre ellos cómo las armarían, al explicarle a quien no entendía lo que se estaba haciendo.
TAREA ASPECTOS RELEVANTES DE LAS TAREAS APLICADAS
1
Esta es una tarea que permite a los estudiantes adquirir habilidades para organizar la información, a estar bien atentos acerca de qué es lo que se pide hacer o encontrar, a conectarse con la realidad al darse cuenta que no pueden poner doble charola ni doble moño. Pero, sobre todo, los ayuda a experimentar, a justificar resultados y a que traten de comunicarlos.
2
Esta tarea los obliga a hacer conexiones porque de una u otra forma deben encontrar la solución, deben experimentar varios caminos para hallarla y, por lo tanto, a hacer conexiones.
3
Aun cuando no están acostumbrados a la laboriosidad de este tipo de tareas, en esta última se ve más organización, un poco más de conexión con la realidad, y mayor seguridad al saber qué camino tomar para encontrar la solución.
52
CAPÍTULO V. CONCLUSIONES
Entre las conclusiones más relevantes del trabajo se encuentran que algunos estudiantes
consideran a los problemas que resuelven en la escuela como una actividad que no está
relacionada con los problemas a los que se enfrentan en la vida cotidiana, por ejemplo, en la
tarea “Charolas de dulces típicos”, muchos estudiantes para gastar los 100 pesos decidieron
comprar dos charolas o dos papeles celofán, los cuales no serían necesarios si este
problema se resolviera en la vida cotidiana. Este resultado coincide con lo reportado por
Silver E. A. (1994) quien considera que los procesos cognitivos empleados para resolver
problemas en el mundo real son diferentes de los procesos puestos en práctica al resolver
problemas bien estructurados en el salón de clase.
También se encontró que algunos de los estudiantes al resolver la tarea uno
empezaron a hacer operaciones sin tener un objetivo claro, lo que indica que no les están
dando sentido; no están estableciendo relaciones entre operaciones y tarea, lo que quiere
decir que no hay entendimiento (Hiebert J. y Carpenter T., 1992) puesto que como creen
que resolver un problema significa realizar sólo operaciones entonces las hacen de todo
tipo y sin relación alguna con lo que se requiere para la solución.
Algo, que pudiera ser considerado lo más importante, es el cambio que se observó
en E1 y E2, son estudiantes que mostraban muchas dificultades para entender las ideas
matemáticas, al trabajar con actividades con respuesta única y un procedimiento definido
(como se mencionó anteriormente), sin embargo las ideas y formas de trabajo mostradas
por los estudiantes, así como las justificaciones que daban para defender sus puntos de
vista, les permitió llevar a cabo una reflexión en el salón de clase que no habían exhibido
con anterioridad. Simplemente, las soluciones gráficas que elaboraron son indicador de una
habilidad para aprender y de un cambio de actitud hacia el estudio de la disciplina que
pudiera ser considerado un gran logro. Como lo expresan Barrera F. y Reyes A. (2014),
estos estudiantes adquirieron habilidades para resolver problemas y representar sus ideas en
lenguaje matemático.
Finalmente, en cuanto a la realización de este tipo de tareas se puede decir que les
permitieron a los estudiantes tener una mejor organización. Esto es, la mayoría en la
primera de ellas se centró en hacer sólo operaciones sin organizar la información, en la
53
segunda se ve un poco más de orden sin lograr tenerlo al cien por ciento, no obstante se
puede observar una secuencia en sus soluciones. Mientras que, al observar la forma de
trabajo en la tercera tarea, es claro que hay mayor orden y no se encuentran operaciones sin
razón de ser.
5.1. Respuesta a las preguntas de investigación
1. ¿En qué medida el uso de las tareas con múltiples soluciones favorece la
construcción de conexiones entre ideas y conceptos matemáticos?
Al trabajar con este tipo de tareas los estudiantes tuvieron que buscar más de una
ruta de solución, es decir, utilizaron diferentes representaciones de conceptos
matemáticos y diferentes herramientas, tal como lo mencionan Levav-Waynberg, A.
y Leikin, R. (2006); claro ejemplo de lo que acabamos de mencionar es el hecho de
que cuando se encuentran con alguna dificultad buscan la manera de encontrar otras
soluciones u otros caminos para llegar a la solución tal como sucedió con la pareja
E1 y E3 al trabajar con la tarea dos porque aunque entendían el problema no sabían
cómo demostrar o encontrar cuál bolsa de chocolates tenía mayor cantidad, es decir,
pudieron hacer conexiones buscando de lo que ya saben lo que les pudiera servir
para encontrar la solución. Así, lo único que resta por decir es que lograron un
aprendizaje con entendimiento, tal como lo proponen Hiebert J. y Carpenter T.
(1992). Por otro lado, una de las ventajas del uso de este tipo de tareas es que los
estudiantes deben saber qué operación básica elegir y saber manipularla, como en el
caso de la Tarea uno, de la pareja E5 y E4, ellos sabían que podían utilizar una
división para responder a la pregunta “¿Podrías armar una charola sólo con
calaveras?”, con esto se comprueba que pueden justificar resultados incluso cuando
no supieron qué colocar como dividendo y qué como divisor, hasta que la profesora
los orientó.
2. ¿Qué elementos del pensamiento matemático se promueven al implementar tareas
con múltiples soluciones en el proceso de instrucción?
Al trabajar con este tipo de tareas los estudiantes pudieron experimentar porque en
cuanto leyeron los problemas, la mayoría de ellos, supieron buscar alternativas para
la solución, por ejemplo, en la tarea uno experimentaron al organizar de diferentes
54
maneras los dulces típicos para armar diez charolas diferentes; en la tarea dos al
buscar diferentes formas de llegar a la solución, y en la tarea tres experimentaron al
organizar la fruta de tal forma que no repitieran arreglos ni se pasaran de la cantidad
de dinero que tenían para cada uno. Aprendieron a establecer relaciones porque
cuando no pudieron encontrar la solución por el camino que ellos habían planeado,
buscaron otra opción y esto es muy claro en la tarea dos de E1 y E3 porque sabían
que una forma de comparar las bolsa era obteniendo fracciones equivalentes,
aunque no recordaban cómo sacarlas sí estaban seguros de que ese era un camino a
seguir; entonces decidieron buscar otra alternativa para saber cuál bolsa tenía mayor
cantidad y esa alternativa era un esquema. Justificaron resultados al saber que, en la
tarea 3 por ejemplo, debían usar operaciones aritméticas pero que debían cuidar
detalles para no hacer arreglos frutales iguales. Lo mismo sucedió con la tarea uno
porque aun cuando ya sabían las operaciones que debían utilizar, había que cuidar
detalles tales como la doble charola, el doble moño e incluso, el doble celofán. Y,
finalmente, están aprendiendo poco a poco a comunicar resultados porque aunque
todavía no detallan mucho cuando explican sus procedimientos lo intentan. Además
las TMS buscan promover esta parte, que se puede observar en la tarea uno porque
pide al final redactar una carta para un niño que vive en el Distrito Federal; otra
manera de promover la comunicación es organizándolos en parejas y en pequeños
grupos para trabajar juntos, como en la tarea tres; mientras que en la tarea dos
tenían que ponerse de acuerdo para encontrar la solución, dar sus puntos de vista,
etcétera.
5.2. Alcances y limitaciones
Como se dijo en la metodología y por las características de este tipo de investigación, los
resultados son válidos para este tipo de estudiantes, es decir para los seis que intervinieron
en este estudio. No podríamos generalizarlos ni para el grupo completo ni, mucho menos,
para todos los estudiantes de quinto grado.
En la tarea 1 “Charolas con dulces típicos”, se encontró que les costó trabajo este
problema porque no sabían cómo armar las charolas y aunque tenían las imágenes de las
frutas quizá se debió de llevar imágenes con las charolas armadas o material manipulable.
55
Otra de las limitaciones fue el tiempo, sobre todo en la tarea 1, sólo contaban con un
tiempo real de una hora con 30 minutos lo que limitó las respuestas de los estudiantes y
sólo pudieron resolver, la mayoría de ellos, hasta el inciso c. Mientras que algunos otros
sólo alcanzaron a armar las canastas. No se pudo retomar esta tarea otro día por
disposiciones del colegio.
Como los estudiantes no están acostumbrados a resolver este tipo de tareas, en la
tarea 3 ya no mostraron la disposición con la que iniciaron el proyecto por la demanda de
actividades y razonamientos que implicaba la solución de este problema.
5.3. Reflexiones finales
Con base en lo que se observó se recomendaría a quien desee continuar este estudio
realizarlo con un número mayor de tareas pues se considera que tres no fueron suficientes
ni para obtener resultados ni para analizarlos. Así como también, se podría haber trabajado
con más estudiantes para que los resultados arrojaran datos más amplios.
Por último una reflexión, y es que la realización de este trabajo ha ayudado a ser
resolutores más organizados y mejor estructurados, además de que creció el interés por la
forma como los estudiantes hacen sus propias reflexiones en sus soluciones. Se ha podido
comprobar que se obtiene aprendizaje con entendimiento si se centra la actividad de
enseñanza al uso de problemas matemáticos y mejor aún, a tareas con múltiples soluciones
y así podrían quedar atrás aquellas interminables listas de ejercicios mecánicos con los que
aprendieron muchas generaciones de estudiantes. Al trabajar con TMS se le da oportunidad
a cada estudiante de comprender bien lo que el problema está pidiendo para su solución.
Así que, si hubiera la oportunidad, desde el principio del ciclo escolar debería utilizarse
TMS como método de enseñanza.
A pesar de que se tuvo la oportunidad de conocer este tipo de tareas desde el inicio
del ciclo escolar, muchas veces no se conecta la teoría con la práctica. Es por eso que no se
aplicaron desde el principio. Después de darse cuenta que elaborar tareas con múltiples
soluciones es un verdadero reto, lo que resta es practicar la elaboración de ellas.
56
REFERENCIAS
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problem: Evaluating a Learning Environment that Supports the Development of
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Leikin, R. y Lev, M. (2007). Multiple solution tasks as a magnifying glass for observation
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Leikin, R. (2009). Multiple proof tasks: teacher practice and teacher education. En F. Lin,
F. Hsieh, G. Hanna, M. de Villiers (Eds), Proceedings of the ICMI Study 19
conference: Proof and Proving in Mathematics Education (pp. 31-36), Taipei, TW:
The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University.
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Leikin, R. (2011). Multiple-solution tasks: from teacher education course to teacher