“SPINTA DELLE TERRE E MURI DI SOSTEGNO” Esercizi svolti UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Sezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica) Johann Facciorusso [email protected]http://www.dicea.unifi.it/~johannf/ Corso di Geotecnica Ingegneria Edile, A.A. 2010\2011
80
Embed
“SPINTA DELLE TERRE E MURI DI SOSTEGNO”geotecnica.dicea.unifi.it/less_spi_es10.pdf“SPINTA DELLE TERRE E MURI DI SOSTEGNO” Esercizi svolti UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI FIRENZE
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
“SPINTA DELLE TERRE E MURI DI
SOSTEGNO” Esercizi svolti
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
99/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ φ
−π
=φ+φ−
=2'
4tan
'sen1'sen1K 2
AvoAhA ʹKʹ σ⋅=σ
In particolare risulta:KA1
= tan2(45°‐25°/2) = 0.41
Considerata l’ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per
il
calcolo
della
distribuzione
delle
pressioni
limite
attive
agenti
sulla
parete,
a
monte
(strato
1
e
2),
e
la
distribuzione
delle
pressioni
limite
passive agenti a valle (strato 2):
H1
H2
q
MonteValle
KP2
= tan2(45°+30°/2)= 1/KA2
= 3
voPhP ʹKʹ σ⋅=σ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ φ
+π
=φ−φ+
=2ʹ
4tan
ʹsen1ʹsen1K 2
P
OSS.
La
parete
è
progettata
per sostenere
le
pareti
laterali
di
uno
scavo
o un terrapieno e, considerati i possibili movimenti
della
parete
(spostamenti
o
rotazioni
verso
valle)
raggiungerà
la condizione
di
equilibrio
limite
per
spinta attiva a monte e passiva a valle
KA2
= tan2(45°‐30°/2) = 0.33
con:
con:
a) Si determinino, nell’ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno la spinta totale agente a monte, S1
, e a valle della parete, S2
;
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1010/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
σ’v0
(A) = σv
(A) – u(A) = 0 kPa
Si
calcola
la
distribuzione
delle
tensioni
efficaci
verticali
a
monte
della
parete (prescindendo per il momento dal sovraccarico), individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l’andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (A, B e C):
dove la pressione interstiziale alla base del muro è
stata
calcolata
considerando
che
non
vi
è
filtrazione (pressione idrostatica).
H1
H2
MonteValleA
B
Cz
σ’v0
(B) = σv
(B) – u(B) = γsat1
∙H1
= 19∙2 kPa = 38 kPaσ’v0
(C) = σv
(C) – u(C) = γsat1
∙H1
+ γsat2
∙H2
‐
γw
∙H2
= (19∙2+
20∙4 ‐
10∙4)kPa
= 78 kPa
σ’hA
(A) = KA1
∙σ’v0
(A) = 0 kPa
Quindi
si
calcolano
le
pressioni
limite
attive
nei medesimi
punti
e
si
disegna
il
corrispondente
andamento (lineare):
σ’hA
(B‐) = KA1
∙σ’v0
(B) = 0.41∙38 kPa
= 15.6 kPaσ’hA
(B+) = KA2
∙σ’v0
(B) = 0.33∙38 kPa
= 12.5 kPaσ’hA
(C) = KA2
∙σ’v0
(C) = 0.33∙78 kPa
= 25.7 kPa
σ’hA
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1111/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
σ’v
(E) = σv
(E) – u(E) = 0 kPa
Si
calcola
la
distribuzione
delle
tensioni
efficaci
verticali
a
valle
della
parete, individuando
i
punti
in
cui
(in
base
alla
stratigrafia
ed
alla
posizione
della
falda) l’andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (D e E):
dove la pressione interstiziale alla base del muro è
stata calcolata
considerando
che
non
vi
è
filtrazione
(pressione idrostatica). H1
H2
MonteValleA
B
Cz
σ’hP
(E) = KP2
∙σ’v0
(E) = 0 kPa
Quindi
si
calcolano
le
pressioni limite passive nei medesimi punti e si
disegna
il
corrispondente
andamento (lineare):
σ’hP
(D) = KP2
∙σ’v0
(D) = 3∙40 kPa
= 120 kPa
σ’hA
D
E
σ’v
(D) = σv
(D) – u(D) = γsat2
∙H2
‐
γw
∙H2
= (20∙4 ‐
10∙4)kPa= 40 kPa
σ’hP
La
pressione
limite
attiva
agente
a
monte
della
parete
dovuta
al
sovraccarico
è costante con la profondità
in ciascuno strato e vale:
σ’hA,q1
= KA1
∙q = 0.41∙20 = 8.2 kPaσ’hA,q2
= KA2
∙q = 0.33∙20 = 6.6 kPa
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
H1
H2
σ’hA
,
S1
= S’A
+ Sq
+ SW1
S’A
= A1
+ A2
+ A3
La
spinta
totale
(per
unità
di
lunghezza
della
parete)
esercitata
dal
terreno
a monte
sulla
parete
(S1
)
è la
somma
del
contributo
del
terreno
(spinta
attiva, S’A
), del sovraccarico (Sq
) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW1
):
dove la spinta attiva è l’area della distribuzione delle pressioni limite attive:
F
H
A1
A2
A3
B
CD
E
u
1212/80/80
A6
A1
= ½σ’hA
(B‐)∙H1
= ½
15.6 ∙2
= 15.6 kN/mA2
= σ’hA
(B+)∙H2
= 12.5∙4 = 50 kN/mA3
= ½ [σ’hA
(C) ‐
σ’hA
(B+)]∙H2
= 26.4 kN/mS’A
= A1
+ A2
+ A3
= 92 kN/m
A5
A4e la spinta attiva dovuta al sovraccarico vale:
S’q
= A4
+ A5A4
= σ’hA,q1
∙H1
= 8.2 ∙2 = 16.4 kN/mA5
= σ’hA,q2
∙H2
= 6.6∙4 = 26.4 kN/m
S’q
= A4
+ A5
= 42.8 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
H1
H2
σ’hA
,
σ’hP
S2
= S’P
+ SW2
S’P
= A7
= ½ σ’hP
(D)∙H2
=
½
120 ∙4
= 240 kN/m
La
spinta
totale
(per
unità
di
lunghezza
della
parete)
esercitata
dal
terreno
a valle
sulla
parete
(S2
)
è la
somma
del
contributo
del
terreno
(spinta
passiva, S’P
) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW2
):
dove
la
spinta
passiva
è l’area
della
distribuzione
delle
pressioni
limite passive:
e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni interstiziali: F
H
A1
A2
A3
B
CD
E
A7
u
1313/80/80
A6
SW2
= A8
= SW1
= 80 kN/m
La spinta totale vale dunque:S2
= S’P
+ SW2
= (240 + 80)kN/m= 320 kN/m A8
La spinta totale vale dunque:S1
= S’A
+ S’q
+ SW1
= (92 + 42.8+ 80)kN/m
= 214.8 kN/m
e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni interstiziali:SW1
= A6
= ½
∙u(C)∙H2
= ½
∙40∙4 = 80 kN/m
A5
A4
S2
S1
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
H1
H2
σ’hA
,
σ’hP
dA1
= H2
+ H1
/3 = 4+2/3
= 4.67 m
Si
determinano
i
baricentri
delle
aree
che
compongono
le
spinte
e
quindi
i bracci delle relative risultanti rispetto al piede della parete (D):
F
H
A1
A2
A3
B
CD
E
A7
u
1414/80/80
A6d1
= M1
/S1
= 449.2/214.8 = 2.09 m
Il momento risultante delle azioni che agiscono a monte
della parete è
dunque:
A8
dA2
= dA5
= H2
/2 = 4/2 = 2 mdA3
= dA6
= dA7
= dA8
= H2
/3 = 4/3 = 1.33 m
M1
= A1
∙dA1
+A2
∙dA2
+A3
∙dA3
+A4
∙dA4
+A5
∙dA5
+A6
∙dA6
== 15.6 ∙4.67+50∙2+26.4∙1.33
+16.4∙5+26.4∙2+80∙1.33
= 449.2 kN
e a valle:M2
= A7
∙dA7
+A8
∙dA8
= 240 ∙1.33 + 80∙1.33 = 425.6 kNe
i
punti
di
applicazione
delle
risultanti
hanno
distanza
dal piede della parete:
d2
= M2
/S2
= 425.6/320 = 1.33 mA5
A4
dA4
= H2
+ H1
/2 = 4+2/2
= 5 m
S2
S1
d1d2
b)
Si
determinino,
nell’ipotesi
di
assenza
di
attrito
tra
parete
e
terreno,
il momento
risultante
di
tali
spinte,
M1
e
M2
,
e
le
distanze,
d1
e
d2
dei
rispettivi punti di applicazione dalla base della parete.
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
SPINTA ATTIVA E PASSIVA
Spinta attiva e passiva
Esercizio
3
H
1515/80/80
Altezza della parete (H)
= 6 m
Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ)
Un muro a parametro interno verticale di altezza H = 6 m, sostiene uno strato di argilla con le seguenti caratteristiche geotecniche: γ = 19 kN/m3
, cu
= 50 kPa, ϕ’ = 26°
e
c’
=
10
kPa.
Il
livello
di
falda
è al
piano
di
campagna.
Si
determini,
nell’ipotesi
di
assenza
di
attrito
tra
terreno
e
muro,
il
diagramma
della
spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, Sb.t.
e a lungo termine, Sl.t.
( assumendo γw
= 10 kN/m3).
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1616/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
H
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ φ
−π
=φ+φ−
=2'
4tan
'sen1'sen1K 2
AAvoAhA Kʹc2ʹKʹ ⋅−σ⋅=σ
In particolare, all’interno del deposito omogeneo, risulta:
KA
= tan2(45°‐26°/2) = 0.39
z
z = 0
Considerata
l’ipotesi
di
parete
liscia,
può
essere
applicata
la
teoria
di Rankine
per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti
sul parametro interno della parete, nel caso di terreno coesivo,
secondo cui:
con:σv0
σv0
(H)
a lungo termine:
a breve termine:
uvohA c2−σ=σ
Si
calcola
la
distribuzione
delle
tensioni
totali verticali
lungo il parametro interno della parete:
σv0
(H) = γ∙H = (19∙6)
kPa
= 114 kPaσv0
(0) = 0 kPa
Si
determini,
nell’ipotesi
di
assenza
di
attrito
tra
terreno
e
muro,
il
diagramma della
spinta
attiva,
e
la
relativa
risultante,
a
breve,
Sb.t.
e
a
lungo
termine,
Sl.t.
( assumendo γw
= 10 kN/m3).
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1717/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
H
z
z = 0 σv0
, σ’v0
, uSi
calcola
la
distribuzione
delle
tensioni
efficaci
verticali
lungo
il
parametro interno della parete:
σ’v0
(H) = σv
(H) –
u(H)
= γ∙H ‐
γw
∙H = (114‐60) kPa
= 54 kPadove
la
pressione
interstiziale
alla
base
del
muro
è
stata
calcolata
nell’ipotesi
di
assenza
di filtrazione (pressione idrostatica).
σ’v0
(0) = σv
(0) – u(0) = 0 kPa
Si
calcola
la
distribuzione
delle
pressioni
interstiziali
lungo
il
parametro interno della parete:
u(H) = γw
∙H = (6∙10) kPa
= 60 kPau(0) = 0 kPa
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1818/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
z
z = 0
σ’hA
(H) u(H)
A
BC D
Si calcola l’andamento le pressioni limite attive efficaci (a lungo termine):σ’hA
(0) = KA
∙σ’v0
(0)‐2c’√KA
= ‐2∙10∙√0.39 = ‐12.5 kPa
σ’hA
, uσ’hA
(H) = KA
∙σ’v0
(H)‐2c’√KA
= 0.39∙54 ‐2∙10∙√0.39 = 8.6 kPae la profondità
critica in cui tali pressioni si annullano (O):
Ac Kʹ
ʹc2z⋅γ
⋅= = 2∙10/(9∙√0.39) = 3.56 m ‐
H
+
Sl.t.
= S’A
+ SW
S’A
= ½
∙σ’hA
(H)∙(H‐zc
) = ½
∙8.6∙kN/m2
(6 ‐
3.56)m
= 10.5 kN/m
La
spinta
totale
(per
unità
di
lunghezza
della
parete) esercitata
dal
terreno
sulla
parete
(Sl.t.
)
a
lungo termine è la somma del contributo del terreno (spinta attiva, S’A
) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW
):
dove
la
spinta
attiva
è l’area
della
distribuzione
delle pressioni
limite
attiva,
calcolata
assumendo
tali
pressione
nulle
al
di
sopra
della
profondità
critica (triangolo OBC):
O
zc
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
1919/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
SW
= ½
∙u(A)∙H = ½
∙60 kN/m2∙6m
= 180 kN/m
e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni
interstiziali (triangolo ABD):
La spinta totale a lungo termine
vale dunque:Sl.t.
= S’A
+ SW
= (10.5 + 180)kN/m
= 190.5 kN/mOSS.
In
questo
caso
non
si
considera,
data
la
posizione
della
falda,
il
contributo dell’acqua di infiltrazione al di sopra della profondità
critica.Si calcola l’andamento le pressioni limite attive totali (a breve termine):σhA
(0) = σv0
(0) ‐
2cu
= ‐2∙50 = ‐100 kPa
e
la
profondità
critica
in
cui
tali
pressioni
si annullano (O):
γ⋅
= uc
c2z
σhA
(H) = σv0
(H) ‐
2cu
= 114 ‐
2∙50 = 14 kPa
z
z = 0A
B C
σhA
‐
H
+
O
zc
= 2∙50/19 = 5.26 mSl.t.
S’a
Sw
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2020/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
Sb.t.
= SA
= ½
∙σhA
(H)∙(H‐zc
) = ½
∙14∙kN/m2
(6 –
5.26)m
= 5.2 kN/m
La
spinta
totale
(per
unità
di
lunghezza
della
parete)
esercitata
dal
terreno sulla
parete
(Sb.t.
)
a
breve
termine
è
data
dalla
somma
delle
pressioni
limite attive
totali,
calcolata
assumendo
tali
pressione
nulle
al
di
sopra
della
profondità
critica (triangolo OBC)::
OSS.
In
questo
caso
nel
calcolo
della
spinta
totale non
si
considera
il contributo dell’acqua di falda, né, data la posizione della falda, il contributo dell’acqua di infiltrazione al di sopra della profondità
critica.
z
z = 0
σhA
(H)
A
BC
σhA
‐
H
+
O
zc
Sb.t.
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
SPINTA ATTIVA E PASSIVA
Spinta attiva e passiva
Esercizio
4
H
2121/80/80
Altezza della parete (H)
= 6 m
Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ)
= 0°Angolo d’attrito terreno‐parete
(δ = ϕ’)
= 30°
Angolo d’inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale
(β)
= 0°
Dati:
Angolo di resistenza al taglio (ϕ’)
= 30°Peso di volume (γ)
= 18 kN/m3
Profondità
della falda (zw
)
>> H
a) in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine);b) considerando un angolo di attrito terreno‐muro δ = ϕ’
nell’ipotesi di superficie
di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac);c)
ipotizzando
anche
che
il
piano
di
campagna
sia
inclinato,
rispetto
all’orizzontale, di un angolo β = 30°.
Sabbia (c’) = 0 kPa
β
SAδ
Un muro in cemento armato di altezza H = 6 m, sostiene un terrapieno di sabbia asciutta, avente γ = 18 kN/m3
e ϕ’ = 30°. Calcolare la spinta attiva, SA, agente sul muro:
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2222/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ φ
−π
=φ+φ−
=2'
4tan
'sen1'sen1K 2
AvoAhA ʹKʹ σ⋅=σ
In particolare, all’interno del deposito omogeneo, risulta:KA
= tan2(45°‐30°/2) = 0.33
Considerata
l’ipotesi
di
parete
liscia,
può
essere
applicata
la
teoria
di Rankine
per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti
sul parametro interno della parete, secondo cui:
con:
Si
calcola
la
distribuzione
delle
tensioni
efficaci verticali
lungo il parametro interno della parete:
σ’v0
(H) =
σv
(H) = γ∙H = (18∙6)
kPa
= 108 kPa
σ’v0
(0)
=
σv
(0) = 0 kPa
a)
Calcolare
la
spinta
attiva,
SA
, agente
sul
muro:
in
assenza
di
attrito
tra terreno e muro (col metodo di Rankine) e terrapieno orizzontale
H
z
z = 0A σ’v0
σ’v0
(H)Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2323/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:Si
calcola
la
distribuzione
delle
pressioni
limite
attive
lungo
il
parametro
interno della parete:
H
z
z = 0A σ’hA
σ’hA
(H) = KA
∙σ’v0
(H) = 0.33∙108 kPa
= 35.6 kPaσ’hA
(0) = KA
∙σ’v0
(0) = 0 kPa
SA(R)
= ½
∙σ’hA
(H)∙H = ½
∙35.6 kN/m2∙6m
= 106.9 kN/m
La
spinta
attiva
(per
unità
di
lunghezza
della
parete)
esercitata
dal
terreno sulla
parete
(SA
)
è
data
dall’area
della
distribuzione
delle
pressioni
limite attiva (triangolo ABC):
B C
e
coincide
con
la
spinta
totale
(non
essendo presente la falda):
STOT
= SA
= 106.9 kN/mN.B. La spinta, in questo caso, è
orizzontale e
applicata
lungo
la
parete
ad
una
distanza dalla base del muro:
dA
= 1/3∙H = 1/3 ∙6m
= 2 m
SA
dASpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2424/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:
Considerata l’ipotesi di attrito
tra muro
e
terreno,
non
può
essere
applicata
la teoria di Rankine
per il calcolo della spinta attiva agente sul parametro interno
della parete.
b)
Calcolare
la
spinta
attiva,
SA
, agente
sul
muro
considerando
un
angolo
di attrito
terreno‐muro
δ
=
ϕ’
nell’ipotesi
di
superficie
di
rottura
piana
(Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale.
A seconda della forma ipotizzata per la superficie di rottura esistono differenti teorie
che
forniscono
una
soluzione
in
forma
analitica
o
numerica
(grafica
o
tabellare) per il calcolo del modulo della spinta attiva, ma che non consentono di determinare la distribuzione delle pressioni limite attive e quindi il punto di applicazione della spinta.
In
particolare,
nell’ipotesi
di
superficie
di
rottura
piana,
si
può
applicare
la teoria
di
Coulomb
che
fornisce
il
modulo
della
spinta
attiva,
nel
caso
di
terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto:
A2
A KH21S ⋅⋅γ⋅= ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
A
coscos'sen'sen1coscos
'cosK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅+−⋅+
+⋅+⋅
−=
βλδλβφφδδλλ
λφcon:
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2525/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:In questo caso (λ
= 0°; β
= 0°; δ
= ϕ’ = 30°) risulta:
A2
)C(A KH21S ⋅⋅γ⋅=
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
2
2
2
A
00cos300cos030sen300sen1300cos0cos
030cos
coscosʹsenʹsen1coscos
ʹcosK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+−⋅+
+⋅+⋅
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡β−λ⋅δ+λβ−φ⋅φ+δ
+⋅δ+λ⋅λ
λ−φ=
= 0.37
HSA
δ
( )
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
22
2
30cos30sen1
30cos
130cos30sen30sen130cos1
30cos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅
⋅+⋅⋅
=
= ½
∙18∙62
∙0.37 = 119.9 kN/mN.B.
La
spinta,
in
questo
caso,
è
inclinata
verso
l’alto
dell’angolo
di
attrito, ma
non
se
ne
conosce il
punto
di
applicazione,
che,
si
assume
comunque
ad
una
distanza
dalla
base
del
muro pari
a
1/3
dell’altezza
del
muro,
come
suggerito
dalla teoria di Rankine: dA
= 1/3∙H = 1/3 ∙6m
= 2 m
dA
OSS.
La
spinta
calcolata
col
metodo
di
Coulomb nel
caso
δ
=
0
coincide
con
quella
di
Rankine:
SA(C)
= SA(R)Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2626/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:Nell’ipotesi
di
superficie
di
rottura
curvilinea,
si
può
applicare
la
teoria
di
Navfac
per
superficie
a
spirale
logaritmica,
che
fornisce
per
via
numerica
il modulo
della
spinta
attiva,
nel
caso
di
terrapieno
omogeneo,
incoerente
ed
asciutto:
A2
A KH21S ⋅⋅γ⋅=
con
KA
fornito
in
forma grafica (β/ϕ’ = 0; δ
= ϕ’=30°):
β/ϕ’ = 0; δ
= ϕ’
KA
= 0.32
A2
)N(A KH21S ⋅⋅γ⋅=
= ½
∙18∙62
∙0.32 = 103.7 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2727/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:Se
invece
si
applica
la
teoria
di
Caquot
e
Kerisel
(β
=
0;
δ/ϕ’ =
1;
ϕ’ =
30°),
utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare :
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2828/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:c)
Calcolare
la
spinta
attiva,
SA
, agente
sul
muro
considerando
un
angolo
di attrito
terreno‐muro
δ =
ϕ’,
con
il
piano
di
campagna
inclinato,
rispetto
all’orizzontale,
di
un
angolo
β =
30°,
nell’ipotesi
di
superficie
di
rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale.
Nell’ipotesi
di
superficie
di
rottura
piana,
secondo
la
teoria
di
Coulomb
nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto.
In questo caso (λ
= 0°; β
= 30°; δ
= ϕ’ = 30°) risulta:
A2
)C(A KH21S ⋅⋅γ⋅=
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
2
2
2
A
300cos300cos3030sen300sen1300cos0cos
030cos
coscosʹsenʹsen1coscos
ʹcosK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+−⋅+
+⋅+⋅
−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡β−λ⋅δ+λβ−φ⋅φ+δ
+⋅δ+λ⋅λ
λ−φ=
= 0.87( )
( ) ( )( ) ( )
( )30cos
30cos30cos0sen30sen130cos1
30cos2
2
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅
⋅+⋅⋅
=
= ½
∙18∙62
∙0.87 = 281.9 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
2929/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:N.B. La spinta, in questo caso, è
inclinata verso l’alto dell’angolo di attrito, ma
non
se
ne
conosce
il
punto
di
applicazione,
che,
si
assume
comunque
ad
una distanza
dalla
base
del
muro
pari
a
1/3
dell’altezza
del
muro,
come
suggerito
dalla teoria di Rankine:
dA
= 1/3∙H = 1/3 ∙6m
= 2 m
H
β
SAδ
dA
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3030/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:Nell’ipotesi di superficie di rottura curvilinea, applicando la teoria di Navfac
il
modulo
della
spinta
attiva,
nel
caso
di
terrapieno
omogeneo,
incoerente
ed asciutto, è
pari a
A2
A KH21S ⋅⋅γ⋅=
con
KA
fornito
in
forma grafica (β/ϕ’ = 1; δ
= ϕ’=30°):
β/ϕ’ = 1; δ
= ϕ’=30°
KA
= 0.92
A2
)N(A KH21S ⋅⋅γ⋅=
= ½
∙18∙62
∙0.92 = 298.1 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3131/80/80
Spinta attiva e passiva
Svolgimento:Se
invece
si
applica
la
teoria
di
Caquot
e
Kerisel
(δ =
ϕ’ =
30°;
λ
=
0°),
utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare :
A2
)CQ(A KH21S ⋅⋅γ⋅=
KA
= 0.87
= ½
∙18∙62
∙0.87 = 281.9 kN/m
β -30° -18° 0° +18° +30°
KA 0,232 0,257 0,308 0,409 0,866
KP 0,84 2,85 6,56 11,8 16,1
Valida per λ = 0; δ = ϕ’
=30°
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3232/80/80
Spinta attiva e passiva
OSSERVAZIONI1) La presenza dell’attrito tra terreno e muro (δ)
determina, a parità
delle altre
condizioni,
un
incremento
della
spinta
attiva
in
modulo
poco
significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb:
|SA(R)
|= 106.9 kN/m
< |SA(C)
|= 119.9 kN/mmentre comporta un’inclinazione, verso l’alto, della spinta attiva
di un angolo
pari all’angolo di attrito (δ), per cui la componente instabilizzante
della spinta (ovvero la componente orizzontale) di fatto si riduce :
SA(C),H
= 119.9 ∙cos30 kN/m
= 103.8 kN/m
< SA(R),H
= SA(R)
= 106.9 kN/m
L’effetto
complessivo
dell’attrito
tra
terreno
e muro
sulla
stabilità
del
muro
è
quindi
benefico.
H
SA(c)δ
dASA(R)
SA(c),HSA(c),V
e la componente stabilizzante della spinta (ovvero la componente verticale) aumenta :
SA(C),V
= 119.9 ∙sen30 kN/m
= 60 kN/m
> SA(R),V
= 0 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3333/80/80
Spinta attiva e passiva
|SA(C)
|= 119.9 kN/m
< <|SA(C),β
|= 281.9 kN/m
2) L’effetto dell’
inclinazione del terrapieno (β), a parità
di inclinazione della spinta
(e
quindi
delle
condizioni
di
attrito)
è
quello
di
incrementare
il
modulo
della
spinta
attiva
in
modo
significativo
(indipendentemente
dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb:
con
un
conseguente
aggravio
delle condizioni
di
carico
a
sfavore
della
stabilita.H
β
SA(c)δ
dA
SA(c),β3)
Il
metodo
utilizzato,
a
parità
di condizioni
di
attrito e
di
inclinazione
del
pendio
(e
quindi
di
inclinazione
della spinta)
influisce
poco
sensibilmente
sul
modulo
della
spinta
attiva
e
quindi
le soluzioni
ottenute
possono
ritenersi
tutte
utili
ai
fini
del
calcolo
della
stabilità
del muro. Ad esempio nel caso di pendio:
|SA(C),β
|= 281.9 kN/m
≅
|SA(CQ),β
|<|SΑ(Ν),β
| = 298.1 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
5 m
1.6 m
15°
α
2.7 m
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3434/80/80
VERIFICHE DI STABILITÀ
Verifiche di stabilità
Viene realizzato un muro di sostegno a gravità
in c.a.(γm
= 25 kN/m3), della forma e
delle
dimensioni
riportate
in
Figura,
per
sostenere
un
terrapieno
omogeneo
costituito
prevalentemente
da
sabbia
(γ =
19.5
kN/m3, ϕʹ
=
38°)
e
con
piano
di campagna inclinato di un angolo β = 15°. Si consideri la presenza dellʹattrito tra terreno e muro (δ = 25°) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche
del
terrapieno
e
che
la
falda
sia
a
grande
distanza
dal
piano
di
campagna. Si determini:a)
la
risultante
delle
componenti
orizzontali
e
verticali
delle
forze
che
agiscono
sul
muro, distinguendo
tra
forze
stabilizzanti e
instabilizzanti;b) il momento risultante rispetto al piede esterno
del
muro
sempre
distinguendo
tra
forze stabilizzanti e instabilizzanti;
c)Si
verifichi
la
stabilità
della
fondazione scegliendo
la
condizione
più
cautelativa
(trascurando o meno la presenza del terrapieno).
Esercizio 5 (Esame del 16/04/2007)
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3535/80/80
VERIFICHE DI STABILITÀ
Verifiche di stabilità
H
Altezza del muro (H)
= 5 m
Angolo d’attrito terreno‐parete
(δ)
= 20°
Dati:
Angolo di resistenza al taglio (ϕ’)
= 38°Peso di volume (γ)
= 19.5 kN/m3
Profondità
della falda (zw
)
>> H
Terreno omogeneo, sabbia (c’) = 0 kPa
β
SAδ
Larghezza del muro al piede (B)
= 2.7 mLarghezza del muro al tetto (b)
= 1.6 m
B
b
Peso specifico del c.a. (γm
)
= 25 kN/m3
Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) λ
Inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale
(β)
= 15°
Caratteristiche del muro
Caratteristiche del terrapieno
λ
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3636/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:a)
la
risultante
delle
componenti
orizzontali
e
verticali
delle
forze
che
agiscono
sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;Sul muro di sostegno agiscono (per unità
di lunghezza del muro):
‐
il peso del muro:W = γm
∙(A1
+ A2
)
B
b
A1
A2
A1
= b∙H = 1.6m∙5m = 8 m2
A2
= (B‐b)∙H/2 = (2.7‐1.6)m∙5m/2 = 2.75 m2
W = γm
∙(A1
+ A2
) = 25kN/m3∙(8+2.75)m2
= 268.75 kN/mche
agisce
in
direzione
verticale
ed
il
braccio
rispetto
al
piede esterno del muro O è:
O x
y
xM
= [(A1
∙xA1
)+(A2
∙xA2
)]/(A1
+A2
)
xA1
= b/2 = 1.6/2 m = 0.8 mdove :
xA2
= b + (B‐b)/3 = [1.6 + (2.7‐1.6)/3] m = 1.97 mxM
= [(A1
∙xA1
)+(A2
∙xA2
)/(A1
+A2
)] = [(8∙0.8)+(2.75∙1.97)]m3/(8+2.75)m2
= 1.1 m
H/2
b/2
H/3
H(B‐b)/3
N.B.:
Il
baricentro
di
un
rettangolo
si
trova
a
distanza
da
ciascun
lato
pari
alla lunghezza del lato adiacente, mentre il baricentro di un triangolo rettangolo si trova
a
distanza
dai
lati
che
formano
l’angolo
retto
pari
a
1/3
della
lunghezza
del lato adiacente
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3737/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:‐
la spinta attiva
(calcolata secondo la teoria di Coulomb):
SA
= 1/2γ
∙KA
∙H2
b
O x
y
con :
H
W
xM
B
λIn questo caso risulta: β
= 15°; δ
= 20°; ϕ’ = 38°
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
A
coscosʹsenʹsen1coscos
ʹcosK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡β−λ⋅δ+λβ−φ⋅φ+δ
+⋅δ+λ⋅λ
λ−φ=
e λ
= arctg(B‐b)/H = 12.4°.
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
A
154.12cos254.12cos1538sen3825sen1254.12cos4.12cos
4.1238cosK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅+
−⋅++⋅+⋅
−=
= 0.38( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2
2
6.2cos4.37cos)23(sen63sen14.37cos4.12cos
6.25cos
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⋅
⋅+⋅⋅
=
= ½
∙19.5∙52
∙0.38 kN/m = 92.6 kN/m
Quindi:
SA
= 1/2γ
∙KA
∙H2
SAδ
λ
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3838/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:La
spinta
è
inclinata
di
δ
rispetto
alla
normale
alla
parete
e
quindi
di
δ+λ
rispetto all’orizzontale
e si suppone applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro pari a 1/3 dell’altezza, ovvero nel punto di coordinate:
SAH
= SA
∙cos(δ+λ) = 92.6 kN/m∙cos(20+12.4) = 78.2 kN/m b
O x
y
H
W
xM
B
λ
yS
= H/3 = 5/3 m = 1.67 m
Quindi può essere scomposta
in una componente orizzontale:
SA
δ λ
yS
xS
= B ‐
H/3∙tgλ
= (2.7 ‐
5/3∙tg12.4°) m = 2.33 m
xS
con braccio rispetto a O:
SAV
SAH
yS
= 1.67 m
SAV
= SA
∙sen(δ+λ) = 95.1 kN/m∙sen(20+12.4) = 51 kN/m
ed in una componente verticale:
con braccio rispetto a O:xS
= 2.33 m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
3939/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:‐
la forza di attrito
agente alla base del muro:
T = RV
∙tgδbdove
RV
è la
risultante
di
tutte
le
componenti
verticali
delle
forze
agenti
sul muro, ovvero:
RV
= W + SAV
= (268.75 + 51) kN/m = 319.75 kN/me δb
è l’angolo d’attrito tra terreno e base del muro ed in genere si assume:
Quindi:
b
O x
y
H
W
xM
B
λSA
δ λ
ySxS
SAV
SAH
T
δb
= δ = 20°
T =
RV
∙tgδb
= 319.75 kN/m ∙tg
20°
= 116.4 kN/m
N.B.:
Nel
caso
in
cui
il
terreno
di
fondazione
sia diverso da quello costituente il terrapieno allora δb
≠ δ
e
nel
caso
in
cui
sia
terreno
coesivo,
allora
deve
essere
considerato
anche
il
contributo
dell’adesione (cA
) e la forza corrispondente, che agisce nella stessa direzione e verso di T, e che ad essa si somma: cA
∙B
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4040/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:
Ai
fini
della
traslazione
orizzontale
del
muro
verso
valle,
la
risultante
delle forze che determinano lo slittamento (orizzontale) è:
HSL
= SAH
= 78.2 kN/m
e la risultante orizzontale delle forze resistenti è: HST
= T
= 116.4 kN/mSe si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica allo slittamento lungo la
base):
FS
= HST
/HINST
= 116.4/78.2
= 1.49 > 1.3 (SODDISFATTA)b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo
tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;Ai
fini
della
rotazione
(antioraria)
del
muro
rispetto
al
piede
esterno
(O),
il
momento risultante delle forze instabilizzanti è: MRIB,1
= SAH
∙yS
= 78.2 kN/m ∙
1.67 m = 130.6 kN
oppure:MRIB,2
= SAH
∙yS
‐
SAV
∙xS
= 78.2 kN/m ∙
1.67 m –
51kN/m∙
2.33 m = 11.8 kNSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4141/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:
e il momento risultante delle forze stabilizzanti vale:
MST,2
= W ∙xM
= 268.75kN/m ∙
1.1 m = 295.6 kNoppure:MST,1
= W ∙xM
+ SAV
∙xS
= 268.75 kN/m ∙
1.1 m + 51kN/m∙
2.33 m = 414.5kN
b
O x
y
H
W
xM
B
λSA
δ λ
ySxS
SAV
SAH
T
Se si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica ribaltamento):
FS
= MST,2
/MRIB,2
= 295.6/11.8
= 25 > 1.5 (SODDISFATTA)
c) Si verifichi la stabilità
della fondazione scegliendo la condizione
più
cautelativa
(trascurando
o
meno
la
presenza del terrapieno).Ai
fini
della
verifica
della
capacità
portante
della
fondazione si ipotizza che il terrapieno sia allo stesso livello
da
entrambi
i
lati
della
fondazione
(per
applicare
le
formule
note)
e,
per
porsi
nella condizione
più
cautelativa,
si
considera
il
livello
più
basso.Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
Svolgimento:
RV
B
Nel caso specifico significa che la profondità
del piano di posa vale:D = 0Inoltre si suppone la fondazione nastriforme
di larghezza B e il carico trasmesso
al
terreno
sottostante
in
condizioni
di
esercizio
è
dato
dalla
risultante
della spinta
attiva
e
del
peso,
quindi
ha
componente
orizzontale
e
verticale
rispettivamente:RV
= W + SAV
= 319.75 kN/mRH
= SAH
= 78.2 kN/m RH RV
ed è
applicata nel punto di ascissa (rispetto al piede esterno O):
Ox
xR
xR
= MTOT
/RV
= (MST
– MRIB
)/RV
= (295.6‐11.8) kN/319.75kN/m = 0.89 me l’eccentricità
rispetto all’asse della fondazione vale:
con angolo di inclinazione:ψ
= arctg(RH
/RV
) = arctg(78.2/319.75)
= 13.7°
ψ
e
4242/80/80
e = B/2 ‐
xR
= (2.7/2 –
0.89)m =
0.46 m ≅
B/6CASO LIMITE (sezione interamente reagente)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅=σ
Be61
BRV
max⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=σ
Be61
BRV
min≅
0 = 239.5 kPa
σmax
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
Svolgimento:dove:
4444/80/80
‐
i fattori di capacità
portante valgono:
‐
la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale:B’
= B ‐
2e = 2.7 ‐
2∙0.46
= 1.78 m
‐
il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = 78.2/319.75 = 0.24):
ϑ⋅+ϑ⋅= 2B
2L senmcosmm
LB1
LB2
mB
+
+=
BL1
BL2
mL
+
+=iγ
=1m
VH1
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
dove
θ
è l’angolo
d’inclinazione
della
proiezione
del
carico
rispetto
alla lunghezza della fondazione, ovvero θ
= 90°, quindi:
m = mB
= 2 (per L = +∞) iγ
= (1‐0.24)3
= 0.44
( ) φγ tg1N 2N q ⋅−⋅= = 2∙(48.9‐1)∙tg38°
= 74.8
)2
(45 tgeN 2tgq
φφπ +°= ⋅ = eπtg38°tg2(45°+38°/2)
= 48.9
‐
il peso di volume del terreno di fondazione γ
= 19.5 kN/m3
(essendo il terreno asciutto)
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
Svolgimento:Il carico limite vale dunque:
4545/80/80
γγ ⋅⋅⋅γ⋅= iNBʹ21qlim = ½∙
19.5
kN/m3∙
1.78m
∙
74.8∙
0.44
= 571.2 kPa
N.B.
Nel
caso
in
cui
sia
prevista
anche
una
verifica
strutturale
dell’opera, dovranno essere considerate, oltre alle azioni
trasmesse
dal
terrapieno
lungo
la
parete, anche la distribuzione delle pressioni di contatto
agenti alla base.
Se si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica di capacità
portante):
FS
= qlim∙B’/RV
= 571.2∙1.78/319.75
= 3.2 > 2 (SODDISFATTA)
Inoltre,
nel
caso
in
cui
il
terreno
di
fondazione
sia
di
tipo
coesivo
la
verifica della capacità
portante dovrà
essere condotta anche a breve termine
e nel caso in
cui
anche
il
terreno
sostenuto
sia
di
tipo
coesivo,
le
verifiche
dovranno
essere condotte
anche
a
breve
termine,
considerando
il
contributo
della
spinta
attiva
calcolata in termini di tensioni totali.
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4646/80/80
VERIFICHE DI STABILITÀ
Verifiche di stabilità
Si consideri il muro di sostegno a mensola in c.a. riportato in Figura, che sostiene un
terreno
costituito
da
sabbia
ghiaiosa
incoerente
di
densità
medio‐alta
con
angolo di pendio β = 20°.
Esercizio 6
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
3,50,95 0,7
φ ʹk = 32°
γ k = 20 kN/m3
Il
terreno
antistante
il
muro
e
quello
di fondazione
hanno
le
stesse
caratteristiche
del
terreno
sostenuto.
La
superficie
di intradosso
della
soletta
di
fondazione
del
muro
è
gettata
in
opera
a
contatto
con
il terreno. Il livello di falda è molto al di sotto della
zona
di
influenza
del
muro.
Si
effettui
la
verifica
geotecnica
secondo
le
normativa italiana
previgente
(D.M.
11/03/1988)
e
secondo
le
nuove
Norme
Tecniche
per
le Costruzioni (NTC‐08).
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
3,50,95 0,7
φ ʹk = 32°
γ k = 20 kN/m3
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4747/80/80
Verifiche di stabilità
Altezza del paramento del muro (h)
= 6 m
Angolo d’attrito terreno‐parete
(δk
= ϕ’k
)
= 32°
Dati:
Angolo di resistenza al taglio (ϕ’k
)
= 32°Peso di volume (γk
)
= 20 kN/m3
Profondità
della falda (zw
)
>> H
Terreno omogeneo, sabbia (c’) = 0 kPa
Spessore del paramento alla sommità
(b1
)
= 0.5 m
Peso specifico del c.a. (γm
)
= 24 kN/m3
Inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale
(β)
= 20°
Caratteristiche del muro
Caratteristiche del terrapieno
Profondità
del piano di posa (h1
)
= 0.8 mSpessore della soletta di fondazione (h2
)
= 0.8 m
Spessore del paramento alla sommità
(b3
)
= 0.7 mLunghezza della scarpa posteriore (b2
)
= 0.95 mLunghezza della scarpa anteriore (b)
= 3.5 m
Sovraccarico (qk
)
= 10 kPa
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4848/80/80
Verifiche di stabilità
Svolgimento:Nel
calcolo
delle
forze
che
agiscono
sul
muro
per
le
verifiche
di
stabilità,
si
considera :il terreno che grava sulla soletta di fondazione come parte integrante del
muro (e quindi contribuisce al suo peso);la superficie verticale che delimita tale terreno come una parete virtuale su
cui agisce la spinta attiva (a monte) e la spinta passiva (a valle), purchél’ipotetico cuneo di rottura sia compreso entro tale volume di terreno.
La larghezza del muro è:B
= b2
+ b3
+ b = (0.95 + 0.7 + 3.5)m = 5.15 mLa profondità
del piano di posa:
D = h1
= h2
= 0.8 mL’altezza della parete virtuale vale:H
= h1
+ h + b∙tgβ
= (0.8 + 6 + 3.5∙tg20°)
m = 8.07 m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
4949/80/80
Verifiche di stabilità
Verifiche secondo la precedente normativa (D.M. 11 marzo 1988)
‐
il peso del muro (comprendente il terreno che grava sulla soletta a monte)che agisce in direzione verticale:W = γm
∙(A1
+ A2
+A3
+ A4
) + γk
∙(A5
+ A6
)A1
= (b2
+ b3
)∙h2
= (0.95 + 0.7)m∙0.8m = 1.32 m2
A2
= b∙h2
= 3.5m∙0.8m = 2.8 m2
dove
ciascun
contributo
agisce
in
direzione verticale
e
il
relativo
bracco
rispetto
al
piede
O
vale:
Le forze che agiscono sul muro sono:
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
A3
= (b3
– b1
)∙h/2 = (0.7 –
0.5)m∙6m/2 = 0.6 m2
b1
A4
= b1
∙h = 0.5m∙6m = 3 m2
A5
= b∙h = 3.5m∙6m = 21 m2
A6
= b∙(btgβ)/2= 3.5m∙3.5m tg20°/2 = 2.23 m2
Ox1
= (b2
+ b3
)/2 = (0.95 + 0.7)/2 m = 0.825 mx2
= x5
= b2
+ b3
+ b/2 = (0.95 + 0.7 + 3.5/2) m = 3.4 mx3
= b2
+ 2/3(b3
‐
b1
) = 0.95 + 2/3∙(0.7 –
0.5) m = 1.08 mx4
= b2
+(b3
‐
b1
) + b1
/2 = (0.95 + 0.7 –
0.5 + 0.5/2) m = 1.4 mx6
= b2
+b3
+ 2/3b = (0.95 + 0.7 +2/3∙3.5) m = 3.98 m
x
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
5050/80/80
Verifiche di stabilità
il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono dati dalla somma dei singoli contributi:
= 649.88 kN/m
W1
= γm
∙A1
= 24kN/m3∙1.32m2
= 31.68 kN/m M1
= W1
∙x1
= 31.68kN/m∙0.825m = 26.14 kNW2
= γm
∙A2
= 24kN/m3∙2.8m2
= 67.20 kN/m M2
= W2
∙x2
= 67.2kN/m∙3.4m = 228.48 kNW3
= γm
∙A3
= 24kN/m3∙0.6m2
= 14.40 kN/m M3
= W3
∙x3
= 14.4kN/m∙1.08m = 15.55 kNW4
= γm
∙A4
= 24kN/m3∙3m2
= 72.00 kN/m M4
= W4
∙x4
= 72kN/m∙1.4m = 100.80 kNW5
= γk
∙A5
= 20kN/m3∙21m2
= 420.00 kN/m M5
= W5
∙x5
= 420kN/m∙3.4m = 1428.00 kNW6
= γk
∙A6
= 20kN/m3∙2.23m2
= 44.60 kN/m M6
= W6
∙x6
= 44.6kN/m∙3.98m = 177.51 kN
∑=
=6
1iiWW = 1976.48 kN∑
=
=6
1iiw MM
‐
la
spinta
attiva
(esercitata
dal
terrapieno
a
monte),
che
agisce
sulla
parete virtuale (verticale e senza attrito), calcolata con il metodo di
Rankine
nel caso
di terrapieno inclinato ed inclinata quindi di β
rispetto all’orizzontale:
Terrapieno omogeneo:γk
= 20 kN/m3
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−−
=
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ϕ−β+β
ϕ−β−β=
22
22
2k
2
2k
2
A
32cos20cos20cos32cos20cos20cos
ʹcoscoscosʹcoscoscos
K
0.398Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
5151/80/80
Verifiche di stabilità
Il
modulo
della
spinta
attiva
è
dato
dalla
somma
del
contributo
dovuto
al
peso proprio del terreno e del sovraccarico
(nell’ipotesi che esso si propaghi all’interno
del terreno in modo uniforme come nel caso di terrapieno orizzontale):
= 0.398 ∙
20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2
= 243.57 kN/m
= 0.398 ∙
10 kN/m2∙8.07m
= 32.12 kN/m
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
b1
O
SAγ
= A8
= σ’hA
(H)∙H/2 = KA
∙σ’v0
(H)∙H/2 = KA
∙γk
∙cosβ∙H∙H/2
SAq
= A7
= Δσ’hA
∙H = kA
∙q∙H
Le cui componenti orizzontali e verticali e i relativi bracci valgono:
Saγ,H
= SAγ
∙cosβ
= 243.57∙cos20°
kN/m
= 228.88 kN/m
SA
SAq
applicato lungo la parete virtuale ad H/3 dalla base del muro.
applicata lungo la parete virtuale ad H/2 dalla base del muro.
SAqvSAqh
SAvSAh
β
β
yAγ
= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mSaγ,V
= SAγ
∙senβ
= 243.57∙sen20°
kN/m
= 83.31 kN/mxAγ
= b2
+ b3
+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 mSAq,H
= SAq
∙cosβ
= 32.12∙cos20°
kN/m
= 30.18 kN/myAq
= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mSAq,V
= SAq
∙senβ
= 32.12∙sen20°
kN/m
= 10.99 kN/mxAq
= xA
= 5.15 m
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
5252/80/80
Verifiche di stabilità
La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a
O
valgono
(assumendo
positivo
il
momento
che
determina
una
rotazione
antioraria):SV
= SAγ.V
+ SAq,V
= (83.31 + 10.99)kN/m = 94.30 kN/m
MAV
= ‐(Saγ,V
∙xAγ
+ SAq,V
∙
xAq
) = ‐(83.31 + 10.99)kN/m∙5.15 m = ‐
485.645 kN
SH
= Saγ,H
+ SAq,H
= (228.88 + 30.18)kN/m = 259.06 kN/m
MAH
= Saγ,H
∙yAγ
+ SAq,H
∙
yAq
= (228.88∙2.69+30.18∙4.035)kN = 737.46 kN‐
la
spinta
passiva
(esercitata
dal
terrapieno
a
valle),
che
agisce
sulla
parete
virtuale
(verticale
e
senza
attrito),
può
essere
calcolata
con
il
metodo
di Rankine
nel
caso
di
terrapieno
orizzontale
ed
è
orizzontale
ed
applicata
ad
una distanza dal piede pari a D/3:SP
= SPH
= σ’hp
(D)∙D/2 = kP
∙σ’v0
(D)∙D/2 = kP
∙γk
∙D∙D/2 =
con braccio:yP
= D/2 = 0.8/2 m = 0.4 mCautelativamente la spinta passiva viene trascurata.
(KP
= tan2(45°+32°/2) = 3.255)
= 3.255∙
20 kN/m3∙0.82
m2/2 = 20.83 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Origine e struttura dei terreni Origine e struttura dei terreni ––
Fondamenti di GeotecnicaFondamenti di GeotecnicaCorso di Laurea in Scienze dellCorso di Laurea in Scienze dell’’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 5353/80/80
Verifiche di stabilità
‐
la resistenza d’attrito che si sviluppa lungo la base del muro (orizzontale):
MST
= MW
= 1976.48 kN
T = RV
∙
tgδk
= (SV
+ W)∙tgδk
= (94.30 + 649.88)kN/m ∙tg32°= 465.02 kN/m
FS = MST
/MRIB
> 1.5VERIFICA AL RIBALTAMENTO
Nel
calcolo
del
momento
stabilizzante
e
ribaltante rispetto
al
piede
esterno
del
muro
(O),
si
considera
il
peso tra le forze stabilizzanti e la spinta attiva tra quelle ribaltanti
(la
resistenza
d’attrito
ha
momento
nullo
rispetto al piede O)
MRIB
= MAH
+MAV
= (737.46 ‐485.645) kN
= 251.815 kN
FS = MST
/MRIB
= 1976.48/251.815
= 7.75 > 1.5 (SODDISFATTA)
W
Pa
N
FOPp
a
h
B
(coefficiente d’attrito: tgδk
= tan(32°) = 0.625)
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
5454/80/80
Verifiche di stabilità
La forza resistente agenti nella direzione di slittamento del muro (orizzontale), è:
W
Pa
FOPp
a
h
B
FS = HRES
/HSL
> 1.3VERIFICA ALLA TRASLAZIONE DEL PIANO DI POSA
HRES
= T = 465.02 kN/mLa forza che determina lo slittamento del muro (in direzione
orizzontale), è: HSL
= SH
= 259.06 kN/m
FS = HRES
/HSL
= 465.06/259.06
= 1.80 > 1.3
VERIFICA AL CARICO LIMITE DELL’INSIEME FONDAZIONE‐TERRENOAi
fini
della
verifica
della
capacità
portante
della
fondazione
si
ipotizza
che
la fondazioni sia nastriforme, di larghezza:
Il
terreno
latistante
la
fondazione
si
assume
dello
stesso
tipo
del
terreno
di fondazione
ed
allo
stesso
livello
ad
entrambi
i
lati
della
fondazione
(per
applicare
le
formule
note)
e,
per
porsi
nella
condizione
più
cautelativa,
si considera il livello più
basso (quello a valle):
B = 5.15 m
D = 0.8 mSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
5555/80/80
Verifiche di stabilità
Inoltre il carico trasmesso al terreno sottostante in condizioni di esercizio
(Qes
) è
dato
dalla
risultante
della
spinta
attiva
e
del
peso
(del
muro
e
del
terreno
sovrastante
la
soletta),
quindi
è
inclinato
ed
ha
componente
orizzontale
e verticale,
che,
a
seconda
che
si
includa
(approccio
1)
o
meno
(approccio
2)
anche
il
contributo
del
sovraccarico
agente
sulla
parte
del
terrapieno compreso
tra
la
parete
reale
e
quella
virtuale
(q∙b
=
10
kN/m2∙3.5m
=
35
kPa),
valgono rispettivamente:
RH
= SH
= 259.06 kN/m
ed
è
applicata
nel
punto
di
ascissa
(rispetto
al piede esterno O):
xR(1)
=
MTOT(1)
/RV(1)
=
[MST
+
q∙b∙(b2
+
b3
+
b/2)– MRIB
]/RV(1)
= [1976.48 + 35∙(0.95+0.7+3.15/2)‐251.815] kN/(779.18kN/m) = 2.36 m
con angolo di inclinazione:Ψ(1)
= arctg(RH
/RV(1)
) = arctg(259.06/779.18)
= 18.4°
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
b1
Ox
RV(2)
= W + SV
= (649.88 + 94.30 ) kN/m
= 744.18 kN/m
Ψ(2)
= arctg(RH
/RV(2)
) = arctg(259.06/744.18)
= 19.2°
xR(2)
= MTOT(2)
/RV(2)
= [MST
– MRIB
]/RV(2) = [1976.48 ‐251.815] kN/(744.18kN/m) = 2.32 m
RV(1)
= W + SV
+ q∙b = (649.88 + 94.30 + 35) kN/m
= 779.18 kN/m
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6363/80/80
Verifiche di stabilità
La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a
O
valgono
(assumendo
positivo
il
momento
che
determina
una
rotazione
antioraria):SV(d)
= Saγ(d).V
+ SAq(d),V
= (122.02 + 21.94)kN/m = 143.96 kN/mx
MAV(d)
= ‐(Saγ(d),V
∙xAγ
+ SAq(d),V
∙
xAq
) = ‐(122.02 + 21.94)kN/m∙5.15 m = ‐
741.39 kN
SH(d)
= Saγ(d),H
+ SAq(d),H
= (335.27 + 60.29)kN/m = 395.56 kN/m
MAH(d)
= Saγ(d),H
∙yAγ
+ SAq(d),H
∙
yAq
= (335.27∙2.69+60.29∙4.035)kN = 1145.15 kN
La
spinta
passiva
(esercitata
dal
terrapieno
a
valle),
che
agisce
sulla
parete virtuale (verticale e senza attrito), viene trascurata.
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6464/80/80
Verifiche di stabilità
Il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono (sempre assumendo positivo il momento che produce una rotazione antioraria):
= 584.89 kN/m
W1d
= γG1
∙γm
∙A1
= 0.9∙24kN/m3∙1.32m2
= 28.51 kN/m;M1d
= W1d
∙x1
= 28.51 kN/m∙0.825m = ‐23.52 kNM2d
= W2d
∙x2
= 60.48kN/m∙3.4m = ‐205.63 kNM3d
= W3d
∙x3
= 12.96kN/m∙1.08m = ‐14.00 kNM4d
= W4d
∙x4
= 64.8kN/m∙1.4m = ‐90.72 kNM5d
= W5d
∙x5
= 378kN/m∙3.4m = ‐1285.20 kNM6d
= W6d
∙x6
= 40.14kN/m∙3.98m = ‐159.76 kN
∑=
=6
1ii(d) WW = ‐1778.83 kN∑
=
=6
1i)d(i)d(w MM
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
b1
Ox
W2d
= γG1
∙γm
∙A2
= 0.9∙24kN/m3∙2.8m2
= 60.48 kN/m;W3d
= γG1
∙γm
∙A3
= 0.9∙24kN/m3∙0.6m2
= 12.96 kN/m;W4d
= γG1
∙γm
∙A4
= 0.9∙24kN/m3∙3m2
= 64.80 kN/m;W5d
= γG1
∙γm
∙A5
= 0.9∙20kN/m3∙21m2
= 378.00 kN/m;W6d
= γG1
∙γm
∙A6
= 0.9∙20kN/m3∙2.23m2
= 40.14 kN/m;
La verifica diventa:Ed
= MAH(d)
+ MAV(d)
+ MW(d)
≤
Rd
= 0ovvero:Ed
= (1145.15 –
741.39 –
1778.83)kN = ‐1375.07 kN
≤
0VERIFICA SODDISFATTA
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6565/80/80
Verifiche di stabilità
Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)2.
VERIFICA
ALLO
STATO
LIMITE
PER
SCORRIMENTO
SUL
PIANO DI POSALo
stato
limite
di
scorrimento
prevede
la
mobilitazione
della
resistenza
del
terreno
di
fondazione
lungo
il
piano
di
posa
(Rd
>
0),
e
deve
essere
trattato come uno stato limite di tipo geotecnico (GEO).
‐
per
le
azioni
di
progetto
si
utilizzano
i
coefficienti
parziali
γG
sulle
azioni (A1 e/o A2) della Tabella 2.6.I
‐
per
i
parametri
geotecnici
di
progetto
del
terreno
si
utilizzano
i
coefficienti parziali γM
(M1 e/o M2) della Tabella 6.2.II.
La verifica diventa:Ed
≤
Rd
‐
per
la
resistenza
di
progetto
il
coefficiente
parziale
γR
da
adottare
è fornito dalla Tabella 6.5.I:
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6666/80/80
Verifiche di stabilità
Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)
I
coefficienti
parziali
γM
da
adottare
per
determinare
i
parametri geotecnici di progetto del terreno
sono:
Tabella 6.2.II –
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTEPARZIALE
( M1 ) ( M2 )
Tangente dell’angolo diresistenza al taglio
tan
φ’k γφ’ 1.0 1.25
Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25
Resistenza non drenata cuk γcu 1.0 1.4
Peso dell’unità
di volume γ γγ 1.0 1.0
tg
ϕ’d1
= tgϕ’k
/γϕ‘1
= tg
32°/1.00 = 0.625
γd1
= γd2
= γd
= γk
/γγ
= 20/1 kN/m3
= γk
= 20 kN/m3
ϕ’d1
= arctg(tgϕ’k
/γϕ1
’) = 32°;KAd1
= 0.398tg
ϕ’d2
= tgϕ’k
/γϕ‘2
= tg
32°/1.25 = 0.500 ϕ’d2
= arctg(tgϕ’k
/γϕ2
’) = 26.6°;KAd2
= 0.530
tg
δ’d2
= tgδk
/γϕ‘2
= tg
32°/1.25 = 0.500 δd2
= arctg(tgδk
/γϕ2
’) = 26.6°tg
δd1
= tgδk
/γϕ‘1
= tg
32°/1.00 = 0.625 δd1
= arctg(tgϕ’k
/γϕ1
’) = 32°
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6767/80/80
Verifiche di stabilità
Nello
stato
limite
ultimo
di
collasso
per
scorrimento,
l’azione
di
progetto
è data
dalla
componente
della
risultante
delle
forze
in
direzione
parallela
al
piano
di
scorrimento
della
fondazione,
mentre
la
resistenza
di
progetto
è il valore della forza parallela allo piano cui corrisponde lo scorrimento del muro.
Tabella
6.2.I (2.6.I) –
Coefficienti
parziali
per le azioni
o per l’effetto
delle
azioni
CARICHI EFFETTOCoefficienteParzialeγF
(o
γE)EQU ( A1 )
STR( A2 )GEO
PermanentiFavorevole
γG10,9 1,0 1,0
Sfavorevole 1,1 1,3 1,0
Permanenti
non strutturaliFavorevole
γG20,0 0,0 0,0
Sfavorevole 1,5 1,5 1,3
VariabiliFavorevole
γQi0,0 0,0 0,0
Sfavorevole 1,5 1,5 1,3
Tabella 6.5.I –
Coefficienti parziali γR
per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno
VERIFICA COEFFICIENTE
PARZIALE (R1
)COEFFICIENTE
PARZIALE (R2
)COEFFICIENTE
PARZIALE (R3
))
Capacità
portante della fondazione 1.0 1.0 1.4
Scorrimento 1.0 1.0 1.1
Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6868/80/80
Verifiche di stabilità
Approccio 1 –
Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)SAγ(d)
= γG1
∙A8
= γG1
∙
σ’hA
(H)∙H/2 = γG1
∙KAd2
∙σ’v0
(H)∙H/2 = γG1
∙KAd1
∙γd
∙cosβ∙H∙H/2
SAq(d)
= γQi
∙A7
= γQi
∙
Δσ’hA
∙H = γQi
∙kAd1
∙q∙HSaγ(d),H
= Saγ(d)
∙cosβ
= 324.35∙cos20°
kN/m
= 304.79 kN/mSAq(d),H
= SAq(d)
∙cosβ
= 55.60∙cos20°
kN/m
= 52.25 kN/m
= 1.0∙0.53 ∙
20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2
= 324.35 kN/m= 1.3∙0.53 ∙
10 kN/m2∙8.07m
= 55.60 kN/m
Saγ(d),V
= Saγ(d)
∙senβ
= 324.35∙sen20°
kN/m
= 110.93 kN/mSAq(d),V
= SAq(d)
∙senβ
= 55.60∙sen20°
kN/m
= 19.02 kN/m
= 649.88 kN/m
W1d
= γG1
∙γm
∙A1
= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2
= 31.68kN/m;
∑=
=6
1ii(d) WW
W2d
= γG1
∙γm
∙A2
= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2
= 67.20 kN/m;W3d
= γG1
∙γm
∙A3
= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2
= 14.40 kN/m;W4d
= γG1
∙γm
∙A4
= 1.0∙24kN/m3∙3m2
= 72.00 kN/m;W5d
= γG1
∙γm
∙A5
= 1.0∙20kN/m3∙21m2
= 420.00 kN/m;W6d
= γG1
∙γm
∙A6
= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2
= 44.60 kN/m;
RH(d)
= SAγ(d),H
+ SAq(d),H
= (304.79 + 52.25) kN/m
= 357,04 kN/m
RV(d)
= SAγ(d),V
+ SAq(d),V
+W(d)
= (110.93 + 19.02 + 649.88) kN/m
= 779.83 kN/mSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
6969/80/80
Verifiche di stabilità
Approccio 1 –
Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)
Rd
= 1/γR2
∙RV(d),V
∙tgδd2
= (779.83)kN/m ∙tg26.6°
= 390.51 kN/m
Ed
= R,H(d)
= 357.04 kN/m
Quindi:
Ed
≤
Rd VERIFICA SODDISFATTA
Approccio 2 –
Combinazione (A1 + M1 + R3)
SAγ(d)
= γG1
∙A8
= γG1
∙
σ’hA
(H)∙H/2 = γG1
∙KAd1
∙σ’v0
(H)∙H/2 = γG1
∙KAd1
∙γd
∙cosβ∙H∙H/2
SAq(d)
= γQi
∙A7
= γQi
∙
Δσ’hA
∙H = γQi
∙kAd2
∙q∙HSaγ(d),H
= Saγ(d)
∙cosβ
= 316.64∙cos20°
kN/m
= 297.54 kN/mSAq(d),H
= SAq(d)
∙cosβ
= 48.18∙cos20°
kN/m
= 45.27 kN/m
= 1.3∙0.398 ∙
20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2
= 316.64 kN/m= 1.5∙0.398 ∙
10 kN/m2∙8.07m
= 48.18 kN/m
Saγ(d),V
= Saγ(d)
∙senβ
= 316.64∙sen20°
kN/m
= 108.30 kN/mSAq(d),V
= SAq(d)
∙senβ
= 48.18∙sen20°
kN/m
= 16.48 kN/m
RH(d)
= SAγ(d),H
+ SAq(d),H
= (297.54 + 45.27) kN/m
= 342,81 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7070/80/80
Verifiche di stabilità
= 649.88 kN/m
W1d
= γG1
∙γm
∙A1
= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2
= 31.68kN/m;
∑=
=6
1ii(d) WW
W2d
= γG1
∙γm
∙A2
= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2
= 67.20 kN/m;W3d
= γG1
∙γm
∙A3
= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2
= 14.40 kN/m;W4d
= γG1
∙γm
∙A4
= 1.0∙24kN/m3∙3m2
= 72.00 kN/m;W5d
= γG1
∙γm
∙A5
= 1.0∙20kN/m3∙21m2
= 420.00 kN/m;W6d
= γG1
∙γm
∙A6
= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2
= 44.60 kN/m;
Rd
= 1/γR3
∙RV(d)
∙tgδd1
= 1/1.1∙774.66 kN/m
∙tg32°
= 444.06 kN/m
Ed
= RH(d)
= 342.81 kN/m
Quindi:
Ed
≤
Rd VERIFICA SODDISFATTA
N.B. Essendo R1
< R3
la verifica secondo l’Approccio 1‐Combinazione 1 può essere omessa.
RV(d)
= SAγ(d),V
+ SAq(d),V
+W(d)
= (108.30 + 16.48 + 649.88) kN/m
= 774.66 kN/m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7171/80/80
Verifiche di stabilità
Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)2.
VERIFICA
ALLO
STATO
LIMITE
DI
COLLASSO
PER
CARICO
LIMITE
DELL’INSIEME FONDAZIONE‐TERRENOLo
stato
limite
di
scorrimento
prevede
la
mobilitazione
della
resistenza
del
terreno di fondazione (Rd
> 0), e deve essere trattato
come
uno
stato
limite
di tipo geotecnico (GEO).
‐
per
le
azioni
di
progetto
si
utilizzano
i
coefficienti
parziali
γG
sulle
azioni (A1 e/o A2) della Tabella 2.6.I
‐
per
i
parametri
geotecnici
di
progetto
del
terreno
si
utilizzano
i
coefficienti parziali γM
(M1 e/o M2) della Tabella 6.2.II.
La verifica diventa:Ed
≤
Rd
‐
per
la
resistenza
di
progetto
il
coefficiente
parziale
γR
da
adottare
è fornito dalla Tabella 6.5.I:
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7272/80/80
Verifiche di stabilità
Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)
I
coefficienti
parziali
γM
da
adottare
per
determinare
i
parametri geotecnici di progetto del terreno
sono:
Tabella 6.2.II –
Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno
PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE
PARZIALE
COEFFICIENTEPARZIALE
( M1 ) ( M2 )
Tangente dell’angolo diresistenza al taglio
tan
φ’k γφ’ 1.0 1.25
Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25
Resistenza non drenata cuk γcu 1.0 1.4
Peso dell’unità
di volume γ γγ 1.0 1.0
tg
ϕ’d1
= tgϕ’k
/γϕ‘1
= tg
32°/1.00 = 0.625
γd1
= γd2
= γd
= γk
/γγ
= 20/1 kN/m3
= γk
= 20 kN/m3
ϕ’d1
= arctg(tgϕ’k
/γϕ1
’) = 32°;KAd1
= 0.398tg
ϕ’d2
= tgϕ’k
/γϕ‘2
= tg
32°/1.25 = 0.500 ϕ’d2
= arctg(tgϕ’k
/γϕ2
’) = 26.6°;KAd2
= 0.530
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7373/80/80
Verifiche di stabilità
Nello
stato
limite
di
collasso
per
raggiungimento
del
carico
limite
della fondazione,
l’azione
di
progetto
è la
componente
della
risultante
delle
forze in direzione normale al piano di posa. La resistenza di progetto
è il valore
della
forza
normale
al
piano
di
posa
a
cui
corrisponde
il
raggiungimento del carico limite nei terreni in fondazione. Tabella
6.2.I (2.6.I) –
Coefficienti
parziali
per le azioni
o per l’effetto
delle
azioni
CARICHI EFFETTOCoefficienteParzialeγF
(o
γE)EQU ( A1 )
STR( A2 )GEO
PermanentiFavorevole
γG10,9 1,0 1,0
Sfavorevole 1,1 1,3 1,0
Permanenti
non strutturaliFavorevole
γG20,0 0,0 0,0
Sfavorevole 1,5 1,5 1,3
VariabiliFavorevole
γQi0,0 0,0 0,0
Sfavorevole 1,5 1,5 1,3
Tabella 6.5.I –
Coefficienti parziali γR
per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno
VERIFICA COEFFICIENTE
PARZIALE (R1
)COEFFICIENTE
PARZIALE (R2
)COEFFICIENTE
PARZIALE (R3
))
Capacità
portante della fondazione 1.0 1.0 1.4
Scorrimento 1.0 1.0 1.1
Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7474/80/80
Verifiche di stabilità
Approccio 1 –
Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)
Si
considera
sempre
il
caso
più
cautelativo
di
maggiore
eccentricità
e inclinazione
del
carico
(ovvero
non
considerando
il
sovraccarico
agente
tra lembo anteriore del piede e parete del muro).
con angolo di inclinazione:Ψ(d)
= arctg(RH(d)
/RV(d)
) = arctg(357.04/779.83)
= 24.6°β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
b1
Ox
RV(d)
= SAγ(d),V
+ SAq(d),V
+W(d)
= (110.93 + 19.02 + 649.88) kN/m
= 779.83 kN/mRH(d)
= SAγ(d),H
+ SAq(d),H
= (304.79 + 52.25) kN/m
= 357.04 kN/m
La
risultante
delle
forze
trasmesse
dal
muro
al
terreno
di
fondazione
ha componenti verticale ed orizzontale:
e momento risultante rispetto al piede esterno O:MTOT(d)
= ‐
MW(d)
‐(SAγ(d),V
∙xAγ
+ SAq(d),V
∙
xAq
) + SAγ(d),H
∙yAγ
+ SAq(d),H
∙
yAqyAγ
= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mxAγ
= b2
+ b3
+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 myAq
= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mxAq
= xA
= 5.15 m
con:
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
7575/80/80
Verifiche di stabilità
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
qk
h
D = h2
b1
Ox
= ‐
1976.48 ‐(110.93∙5.15 + 19.02∙
5.15)+304.79∙2.69+ 52.25∙4.035= ‐
1615 kN
= 649.88 kN/m
W1d
= γG1
∙γm
∙A1
= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2
= 31.68 kN/m;M1d
= W1d
∙x1
= 31.68 kN/m∙0.825m = ‐26.14 kNM2d
= W2d
∙x2
= 67.20kN/m∙3.4m = ‐228.48 kNM3d
= W3d
∙x3
= 14.40kN/m∙1.08m = ‐15.55 kNM4d
= W4d
∙x4
= 72kN/m∙1.4m = ‐100.80 kNM5d
= W5d
∙x5
= 420kN/m∙3.4m = ‐1428.00 kNM6d
= W6d
∙x6
= 44.60kN/m∙3.98m = ‐177.51 kN
W2d
= γG1
∙γm
∙A2
= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2
= 67.20 kN/m;W3d
= γG1
∙γm
∙A3
= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2
= 14.40 kN/m;W4d
= γG1
∙γm
∙A4
= 1.0∙24kN/m3∙3m2
= 72.00 kN/m;W5d
= γG1
∙γm
∙A5
= 1.0∙20kN/m3∙21m2
= 420.00 kN/m;W6d
= γG1
∙γm
∙A6
= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2
= 44.60 kN/m;
∑=
=6
1ii(d) WW ∑
=
=6
1i)d(i)d(w MM = 1976.48 kN
MTOT(d)
= ‐
MW(d)
‐(SAγ(d),V
∙xAγ
+ SAq(d),V
∙
xAq
)+ SAγ(d),H
∙yAγ
+ SAq(d),H
∙
yAq
La
risultante
è
dunque
applicata
nel
punto
di ascissa (rispetto al piede esterno O):
xR(d)
= |MTOT(d)
|/RV(d)
= 1615kN /779.83kN/m = 2.07 m
e l’eccentricità
rispetto all’asse della fondazione vale:
(sezione interamente reagente)
e(d)
= B/2 – xR(d)
= (5.15/2 –
2.07)m =
0.505 m < B/6 = 0.858 m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
dove:
7676/80/80
‐
i fattori di capacità
portante valgono:
‐
la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale:B’
= B ‐
2e(d)
= 5.15 ‐
2∙0.505
= 4.14 m
‐
il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = RH(d)
/RV(d)
= 357.04/779.83 = 0.458)
ϑ⋅+ϑ⋅= 2B
2L senmcosmm
LB1LB2
mB
+
+=
BL1
BL2
mL
+
+=iγ
=1m
VH1
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
dove
θ
è l’angolo
d’inclinazione
della
proiezione
del
carico
rispetto
alla lunghezza della fondazione, ovvero θ
= 90°, quindi:
m = mB
= 2 (per L = +∞)
( ) 2dq ʹtg1N2N ϕ⋅−⋅=γ = 2∙(12.63‐1)∙tg26.6°
= 11.65
)2ʹ(45tg eN 2d2d2ʹtg
q
ϕ+°= ϕ⋅π = eπtg26.6°tg2(45°+26.6°/2)
= 12.63
‐
il
peso
di
volume
del
terreno
di
fondazione
γd
=
20kN/m3
(essendo
il
terreno asciutto)
L’espressione del carico limite è
data da: γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim
Iγ = (1‐0.458)3
= 0.159 Iq
= (1‐0.458)2
= 0.294
q = γd
∙D = 20 kN/m3∙0.8 m = 16 kPa‐
Il sovraccarico vale::Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
7777/80/80
qlim
= 16 kN/m2∙
12.63∙0.294 + ½∙
20
kN/m3∙
4.14m
∙
11.65∙
0.159
= 136.10kPaγγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ
21iNqq qqlim
Il carico limite
vale dunque:
Quindi l’azione di progetto
vale:Ed
= RV(d)
= 779.83 kN/me la resistenza di progetto
vale:
Rd
= 1/γR2
∙qlim
∙B’
= 1/1∙136.10kN/m2∙4.14 m = 563.45 kN/m
< EdVERIFICA NON SODDISFATTA
Approccio 2 –
Combinazione (A1 + M1 + R3)
RV(d)
= SAγ(d),V
+ SAq(d),V
+W(d)
= (108.30 + 16.48 + 649.88) kN/m
= 774.66 kN/mRH(d)
= SAγ(d),H
+ SAq(d),H
= (297.54 + 45.27) kN/m
= 342.81 kN/m
La
risultante
delle
forze
trasmesse
dal
muro
al
terreno
di
fondazione
ha componenti verticale ed orizzontale:
con angolo di inclinazione:Ψ(d)
= arctg(RH(d)
/RV(d)
) = arctg(342.81/774.66)
= 23.9°
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
7878/80/80
β = 20°
qk = 10 kPa
h=6 m
h1=h2=0,8 m
b2 b3 b
H
B
b1=0,5m
21
6
54
3
7
8
MTOT(d)
= ‐
MW(d)
‐(SAγ(d),V
∙xAγ
+ SAq(d),V
∙
xAq
) + SAγ(d),H
∙yAγ
+ SAq(d),H
∙
yAqyAγ
= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mxAγ
= b2
+ b3
+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 myAq
= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mxAq
= xA
= 5.15 m= 649.88 kN/m;∑
=
=6
1ii(d) WW ∑
=
=6
1i)d(i)d(w MM = 1976.48 kN
= ‐
1976.48 ‐(108.30∙5.15 + 16.48∙
5.15)+297.54∙2.69+ 45.27∙4.035= ‐
1636.05 kN
MTOT(d)
= ‐
MW(d)
‐(SAγ(d),V
∙xAγ
+ SAq(d),V
∙
xAq
)+ SAγ(d),H
∙yAγ
+ SAq(d),H
∙
yAq
=
La
risultante
è
dunque
applicata
nel
punto
di ascissa (rispetto al piede esterno O):
xR(d)
= |MTOT(d)
|/RV(d)
= 1636.05kN /774.66kN/m = 2.11 m
e l’eccentricità
rispetto all’asse della fondazione vale:
(sezione interamente reagente)e(d)
= B/2 – xR(d)
= (5.15/2 –
2.11)m =
0.465 m < B/6 = 0.858 m
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
dove:
7979/80/80
‐
i fattori di capacità
portante valgono:
‐
la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale:B’
= B ‐
2e(d)
= 5.15 ‐
2∙0.465
= 4.22 m
‐
il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = RH(d)
/RV(d)
= 342.81/774.66 = 0.443)
ϑ⋅+ϑ⋅= 2B
2L senmcosmm
LB1LB2
mB
+
+=
BL1
BL2
mL
+
+=iγ
=1m
VH1
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
dove
θ
è l’angolo
d’inclinazione
della
proiezione
del
carico
rispetto
alla lunghezza della fondazione, ovvero θ
= 90°, quindi:
m = mB
= 2 (per L = +∞)
( ) 1dq ʹtg1N2N ϕ⋅−⋅=γ = 2∙(23.15‐1)∙tg32°
= 27.68
)2ʹ(45tg eN 1d2d1ʹtg
q
ϕ+°= ϕ⋅π = eπtg32°tg2(45°+32°/2)
= 23.15
‐
il
peso
di
volume
del
terreno
di
fondazione
γd
=
20kN/m3
(essendo
il
terreno asciutto)
L’espressione del carico limite è
data da: γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim
Iγ = (1‐0.443)3
= 0.173 Iq
= (1‐0.443)2
= 0.310
q = γd
∙D = 20 kN/m3∙0.8 m = 16 kPa‐
Il sovraccarico vale::Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011
UNIVERSITA’
DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica
Verifiche di stabilità
80/8080/80
qlim
= 16 kN/m2∙
23.15∙0.310 + ½∙
20
kN/m3∙
4.22m
∙
27.68∙
0.173
= 316.9 kPaγγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ
21iNqq qqlim
Il carico limite
vale dunque:
Quindi l’azione di progetto
vale:Ed
= RV(d)
= 774.66 kN/me la resistenza di progetto
vale:
Rd
= 1/γR3
∙qlim
∙B’
= (1/1.4)∙316.9 kN/m2∙4.22 m = 955.23 kN/m
> EdVERIFICA SODDISFATTA
Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––
GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011