Ilha Solteira Ilha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Ilha Solteira - SP LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO EM FALHAS ESTRUTURAIS Ilha Solteira - SP 2014
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“JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Ilha Solteira · Bem-aventurados os que têm fome e sede de justiça, porque serão saciados! Bem-aventurados os misericordiosos, porque alcançarão
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Ilha SolteiraIlha Solteira
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Campus de Ilha Solteira - SP
LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO
CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS
LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO
EM FALHAS ESTRUTURAIS
Ilha Solteira - SP
2014
LUIZ FRANCISCO SANCHES BUZACHERO
CONTROLE ROBUSTO CHAVEADO DE SISTEMAS
LINEARES VARIANTES NO TEMPO COM APLICAÇÃO
EM FALHAS ESTRUTURAIS
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia doCampus de Ilha Solteira - UNESP como partedos requisitos para obtenção do título de Doutorem Engenharia Elétrica.Especialidade: Automação.
Prof. Dr. Edvaldo Assunção
Orientador
Ilha Solteira - SP
2014
FICHA CATALOGRÁFICA
Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação.
Buzachero, Luiz Francisco Sanches.B991c Controle robusto chaveado de sistemas lineares variantes no tempo com
aplicação em falhas estruturais / Luiz Francisco Sanches Buzachero.- IlhaSolteira : [s.n.], 2014
120 f.:il.
Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenhariade Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2014
Orientador: Edvaldo Assunção
Inclui bibliografia
1. Controle robusto. 2. Desigualdades matriciais lineares e bilineares. 3.Incertezas variantes no tempo.
À minha esposa Elisabete
À minha mãe Rosa Maria
À minha avó Remedios
AGRADECIMENTOS
Dedico meus sinceros agradecimentos:
– A Deus, pela misericórdia e amor incondicional;
– Ao meu orientador, professor Dr. Edvaldo Assunção, pelos ensinamentos, pelo incentivo,
pela confiança, paciência e amizade, pelos agradáveis momentos de convivência, exemplo de
homem de bem, em cuja atuação pretendo me espelhar na vida pessoal e profissional;
– Aos professores Doutores Marcelo C. M. Teixeira e Rodrigo Cardim, pelos diálogos cons-
trutivos e descontraídos durante estes anos, pelo acompanhamento e pelas sugestões, extrema-
mente valiosas para este trabalho;
– À minha esposa Elisabete, à minha mãe Rosa Maria e à minha avó Remedios, por terem
me ensinado o verdadeiro significado da palavra "amor" e pelo apoio moral, imprescindível
para o desenvolvimento deste trabalho;
– Aos meus amigos e companheiros dos laboratórios LPC e LCPC: Emerson, Wallysonn,
Manoel, Victor, Herbert, Luiz Antônio, Edson, Gisele, Fernando, André e Jefferson pelos mo-
mentos felizes de convivência que lembrarei para sempre e aos demais amigos e colegas que de
forma direta ou indireta me ajudaram;
– À UNESP, que me possibilitou realizar o sonho de cursar a graduação, o mestrado e o
doutorado em engenharia elétrica;
– Ao IFSP, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo, Campus de
Birigui, por ter-me concedido o afastamento integral para finalizar este doutorado;
– À FAPESP (Processo no. 2011/17610-0), CAPES e CNPq por darem suporte financeiro
para o desenvolvimento deste trabalho;
– Aos desenvolvedores doABNTEX, um pacote de classes LATEX para a criação e formatação
de documentos conforme as normas da ABNT.
“Bem-aventurados os humildes de espírito, porque deles
é o Reino dos Céus! Bem-aventurados os que choram,
porque serão consolados! Bem-aventurados os mansos,
porque possuirão a terra! Bem-aventurados os que têm
fome e sede de justiça, porque serão saciados!
Bem-aventurados os misericordiosos, porque
alcançarão misericórdia! Bem-aventurados os puros de
coração, porque verão Deus! Bem-aventurados os
Defensores da Paz, porque serão chamados filhos de
Deus!”
(Mateus, 5:3-9)
“Se toda a literatura espiritual da Humanidade
perecesse, e só se salvasse o Sermão da Montanha, nada
estaria perdido.”
Mahatma Gandhi (1869-1948)
RESUMO
Nesta tese apresentam-se resultados para a estabilidade robusta de sistemas lineares sujeitos a
incertezas paramétricas do tipo politópicas, variantes notempo (do inglêsLinear Parameter
Varying- LPV). De início, expõe-se um método aprimorado para o projeto com otimização da
norma de controladores robustos via desigualdades matriciais lineares (do inglêsLinear Matrix
Inequalitites- LMIs), com base na teoria de estabilidade segundo Lyapunov. Esta nova formu-
lação foi manipulada utilizando o lema de Finsler, e permitiu encontrar melhores resultados de
factibilidade com o acréscimo de matrizes extras e redução do número de LMIs. Neste novo
equacionamento houve a inclusão do índice de desempenho da taxa de decaimento, responsável
por diminuir o tempo de duração do período transitório, e também da otimização da norma
dos controladores, responsável por menores ganhos mantendo a mesma eficiência dos requisi-
tos de projeto. Devido a importantes resultados da literatura para o projeto de controladores
robustos com incertezas variantes no tempo, optou-se por explorar o projeto de controladores
dinâmicos chaveados, inovando-se no tocante ao acréscimo da taxa de decaimento e à otimiza-
ção da norma dos controladores chaveados, o que possibilitou encontrar melhores resultados
de implementação. Por fim, foram propostos critérios menos conservadores para a análise de
estabilidade e projeto de controladores chaveados, utilizando funções de Lyapunov quadráticas
por partes do tipo mínimo. A vantagem desse procedimento está no aumento dos parâmetros
de relaxação porém, concebido através de formulações baseadas em desigualdades matriciais
bilineares (do inglêsBilinear Matrix Inequalitites- BMIs), nos quais os termos e se encontram
no produto entre variáveis escalares de otimização e matrizes, que também são variáveis do
procedimento de otimização. Apresentam-se, no corpo do texto, exemplos numéricos e simu-
lados a fim de ilustrar a eficiência das metodologias propostas em relação às demais existentes.
Ainda, implementaram-se os controladores projetados usando-se essas novas propostas em um
helicóptero de bancadaThree Degrees Of Freedom(3-DOF) ou no sistemaShake Table II(STII)
+ Active Mass Dumper - One Floor(AMD-1), com o objetivo de validar na prática as teorias
Incorporando-se a restrição da taxa de decaimento (15) na equação (16) e realizando as
simplificações apropriadas, tem-se:
(Aλ −Bλ K)′P+P(Aλ −Bλ K)<−2αP, (17)
P> 0. (18)
Considerando o sistema incerto (10) e a teoria de Lyapunov existente para projeto de con-
troladores, tem-se o seguinte teorema (BOYD et al., 1994):
Teorema 1. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade dosistema incerto
(10) sujeito a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes X= X′ ∈Rn×n
e G∈ Rm×n, tais que
A jX−B jG+XA′j −G′B′
j +2αX < 0, (19)
X > 0, (20)
com j= 1, ..., r.
Sendo asLMIs (19) e (20) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza
o sistema pode ser dada por
K = GX−1. (21)
Demonstração.Vide (BOYD et al., 1994). �
Assim, pode-se realimentar o sistema incerto apresentado em (9), sendo (19) e (20) condições
suficientes para a estabilidade assintótica do politopo, para um sistema com realimentação dos
estados com restrição de taxa de decaimento. Se, para o sistema incerto, a solução das LMIs
for factível, a estabilidade do sistema estará garantida.
As LMIs (19) e (20) garantem não somente a estabilidade, comotambém a taxa de decai-
2.3 Lema de Finsler 37
mento. Se o objetivo for somente a estabilidade, atribui-se, em (19),α = 0.
2.2.1 Otimização da norma de K para o projeto utilizando uma CQLF
Teorema 2. Dada uma constanteµ0 > 0, obtém-se um limitante para a norma da matriz K∈
Rm×n de realimentação dos estados, com K= GX−1, X = X′ > 0, X ∈ R
n×n e G∈ Rm×n
encontrando o valor mínimo deβ , β > 0, tal que K′K < βµ0
In. Pode-se obter o valor mínimo
deβ através da solução do seguinte problema de otimização:
minβ
s.a
[
X G′
G β Im
]
> 0,(22)
X > µ0In, (23)
(LMI (19)) (24)
sendo que Im e In denotam as matrizes identidades de ordem m e n respectivamente.
Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2012). �
Note que a LMI (20) não é necessária, pois com as restrições (22) e (23), a LMI (20) será
redundante.
2.3 Lema de Finsler
Utiliza-se o Lema de Finsler para expressar condições de estabilidade em termos de de-
sigualdades matriciais, com vantagens sobre a teoria já existente de Lyapunov (BOYD et al.,
1994), uma vez que introduz novas variáveisµ eX em condições que envolvem matrizes com
estruturas particulares e com dimensões adequadasL , B eB⊥ (OLIVEIRA, 2004) conforme
é visto no Lema 1.
Lema 1 (Finsler). Considere w∈ Rnx, L ∈ R
nx×nx e B ∈ Rmx×nx com rank(B) < nx e B⊥
uma base para o espaço nulo deB (isto é,BB⊥ = 0). Então as seguintes condições são
equivalentes:
1. w′L w< 0,∀w 6= 0 : Bw= 0;
2. B⊥′L B⊥ < 0;
3. ∃µ ∈ R : L −µB′B < 0;
38 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS
4. ∃X ∈ Rnx×mx : L +X B+B′X ′ < 0.
Demonstração.Vide (SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) ou (OLIVEIRA; SKEL-
TON, 2001). �
2.3.1 Estabilidade robusta utilizando o Lema de Finsler e taxa de decai-mento
Definindo w = [xx], B = [ (Aλ−Bλ K) −I ], B⊥ =
[
I(Aλ−Bλ K)
]
e L =[
2αPλ PλPλ 0
]
, note que
Bw = 0 corresponde ao sistema realimentado comK e w′L w < 0 corresponde à restrição
de estabilidade com taxa de decaimento formulada a partir dafunção quadrática de Lyapunov
dada em (19) (BOYD et al., 1994). Neste caso, as dimensões das variáveis do Lema 1 são:
nx = 2n emx = n.
Conclui-se, pela prova existente do Lema de Finsler, que as Propriedades de 1 a 4 são
equivalentes. Assim, podemos reescrever a Propriedade 4 daseguinte forma:
4. ∃X ∈ R2n×n, P= P′ > 0 tais que
[
2αPλ Pλ
Pλ 0
]
+X
[
(Aλ −Bλ K) −I]
+
[
(Aλ −Bλ K)′
−I
]
X′ < 0, (25)
escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX =[
ZaZ
]
, comZ∈Rn×n não simétrica ea
uma constante de relaxação que tem a função de flexibilizar a matrizX na LMI (PIPELEERS
et al., 2009). Pode-se obter esta constante adequadamente através de uma busca unidimensional.
Aplicando a transformação de congruência[
Z−1 00 Z−1
]
à esquerda e[
Z−1 00 Z−1
]′à direita, na quarta
propriedade e fazendoY = Z′−1; G= KY eQλ =Y′PλY, encontraram-se as seguintes LMIs:
[
AλY+Y′A′λ −Bλ G−G′B′
λ +2αQλ Qλ +aY′A′λ −aG′B′
λ −Y
Qλ +aAλY−aBλ G−Y′ −aY−aY′
]
< 0, (26)
Qλ > 0. (27)
sendoY ∈ Rn×n, Y 6=Y′, G∈ R
m×n eQλ ∈ Rn×n.
Essas LMIs, quando factíveis, atendem às restrições para a estabilidade assintótica do sis-
tema com a realimentação de estado (11) e (21). A garantia de estabilidade resultante das LMIs
deduzidas a partir do Lema de Finsler é comumente denominadaestabilidade estendida (LEITE
et al., 2004). A vantagem do uso desta formulação, mediante autilização do Lema de Finsler
para análise de estabilidade robusta é a liberdade de escolha da estrutura da função de Lyapunov
que agora pode ser, por exemplo, uma PDLF, definida comoQλ =N∑j=1
λ jQ j ,N∑j=1
λ j = 1, λ j ≥ 0
2.3 Lema de Finsler 39
e j ∈ K. Sabendo queQλ depende deλ , o uso da matriz de Lyapunov adequa-se apenas a
incertezas politópicas invariantes no tempo ou permitindo-se taxa de variação suficientemente
pequena, em (BUZACHERO et al., 2010), apresenta-se o seguinte teorema:
Teorema 3.Uma condição suficiente que garante a estabilidade do sistema incerto (10) sujeito
a taxa de decaimento maior ou igual aα é a existência de matrizes Y∈Rn×n, Qj =Q j
′ ∈Rn×n,
G∈ Rm×n e um escalar a> 0, tais que
[
A jY+Y′A j′−B jG−G′B j
′+2αQ j Q j +aY′A j′−aG′B j
′−Y
Q j +aAjY−aBjG−Y′ −aY−aY′
]
< 0, (28)
Q j > 0, (29)
com j∈K
Sendo as LMIs (28) e (29) factíveis, uma matriz de realimentação de estados que estabiliza
o sistema, garantindo a taxa de decaimento maior ou igual aα, pode ser dada por
K = GY−1. (30)
Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010) ou (BUZACHERO et al., 2012). �
Este resultado foi publicado em (BUZACHERO et al., 2012), tendo como foco a obtenção
de menores valores para a norma dos controladores robustos com restrição da taxa de decai-
mento.
Assim, pode-se realimentar o sistema incerto, sendo (28) e (29) condições suficientes para a
estabilidade assintótica de todo sistema, com restrição detaxa de decaimento, com parâmetros
pertencentes ao politopo.
Infelizmente, esta formulação contempla apenas incertezas politópicas invariantes no tempo
ou com taxa de variação suficientemente pequena, sendo inadequada para implementações onde
a incerteza varia ao longo do tempo, conforme se verificará naSeção 3.2.1.
Em diversas situações, a norma da matriz de realimentação dos estados é alta, dificultando a
sua implementação prática. Em (ASSUNÇÃO et al., 2007b), propôs-se um método de otimiza-
ção que minimiza os ganhos do controlador projetado com o usodas LMIs (19) e (20), que
garantem estabilidade, porém essa formulação apresenta conservadorismo. Em (BUZACHERO
et al., 2012), apresentaram-se novas formas de otimizar a norma do controladorK reduzindo
o conservadorismo das LMIs por meio do Lema de Finsler e do Lema da Projeção Recíproca,
mostrado a seguir.
40 2 PROPRIEDADES E CONCEITOS INICIAIS
2.3.2 Otimização da norma de K para o projeto utilizando o Lema deFinsler
Em (BUZACHERO et al., 2010), houve uma dificuldade para aplicar a teoria já existente de
otimização da norma deK (ASSUNÇÃO et al., 2007b) à nova estrutura de LMIs. Isso ocorreu
devido a matriz de síntese do controladorY não ser simétrica, condição necessária para o desen-
volvimento das LMIs quando a matriz de síntese do controlador eraX = P−1. Para contornar
a problemática utilizou-se a ideia do procedimento de otimização para reprojeto apresentado
em (CHANG et al., 2002), propondo-se em (BUZACHERO et al., 2010) a adequação do novo
método de otimização com a minimização de um escalarβ , sendo a relação de minimização
K′K < βPj comPj a função de Lyapunov referente a cada vértice:
Teorema 4. Obtém-se um limitante para a norma da matriz K∈ Rm×n de realimentação
dos estados, com K= GY−1 e Qj =Y′PjY, sendo Y∈ Rn×n, G∈ R
m×n e Pj = P′j > 0∈ R
n×n
encontrando o valor mínimo deβ , β > 0, tal que K′K < βPj com j∈K. Pode-se obter o valor
ótimo deβ através da solução do seguinte problema de otimização:
minβ
s.a
[
Q j G′
G β Im
]
> 0(31)
(LMI (28)) (32)
Demonstração.Vide (BUZACHERO et al., 2010). �
Essa forma de otimizar a norma deK revelou melhores resultados que a apresentada em
(ASSUNÇÃO et al., 2007b). Entretanto, por estar vinculada àsmatrizes de LyapunovPj , a
relação de otimização ainda não apresenta os ganhos mínimosque seriam encontrados para
atender os requisitos de projeto devido ao aumento do númerode LMIs por acrescentar mais
uma LMI para cada vértice do politopo.
Para melhorar o desempenho do procedimento de otimização, encontra-se uma alternativa
para otimizar a norma do controladorK, diminuindo o conservadorismo das LMIs de projeto
deK com uma manipulação conveniente mostrada na próxima subseção.
2.4 Lema da projeção
Outra ferramenta que se pode utilizar para a análise de estabilidade através de LMIs é o
lema da projeção recíproca (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001) enunciado a seguir:
2.4 Lema da projeção 41
Lema 2 (Projeção Recíproca). Considere P= P′ > 0 uma matriz dada, matrizes simétricasψe X, e matrizes não simétricas S, W e V. As seguintes afirmaçõessão equivalentes
Os valores das parâmetros utilizadas no projeto robusto, que aparecem descritos na Tabela
1, foram os mesmos utilizados no projeto do fabricante para aimplementação do controlador
original, mantendo assim fidelidade ao modelo do fabricante.
Tabela 1 - Parâmetros do helicóptero 3-DOF
Constante da força de propulsão da hélice dianteirakf 1 0,1188Constante da força de propulsão da hélice traseirakf 2 0,1188
Massa do corpo do helicóptero (Kg) mh 1,15Massa do contra-peso (Kg) mw 1,87
Massa do conjunto da hélice dianteira (Kg) mf mh/2Massa do conjunto da hélice traseira (Kg) mb mh/2Distância: eixo de pitch - cada motor (m) lh 7x0,0254Distância: eixo de elev. - helicóptero (m) la 26x0,0254Distancia: eixo de elev. - contra-peso (m) lw 18,5x0,0254
Constante gravitacional (m/s2) g 9,81
A fim de verificar a eficiencia das técnicas de controle robusto, implementou-se uma queda
de 30% da potência do motor traseiro, simulando uma falha física nos rolamentos dos motores
em um helicóptero real, sendo esta formulada como uma incerteza na constante da força de
propulsão da hélice traseira (0,08312≤ kf 2 ≤ 0,1188). A falha foi implementada fisicamente
através da inserção de uma chave temporizada conectada a um amplificador com ganho no
sinal controle de 0,7 diretamente na tensão de atuação sobre o motor. Assim, constitui-se um
politopo de dois vértices com uma incerteza na matriz de entrada do sistema do helicóptero,
atuando sobre a tensão traseira entre 0,7Vb e Vb. Os vértices do politopo são descritos na
Nas Figuras 4, 5 e 6, apresenta-se o trajeto das variáveis:elevation(ε), pitch (ρ) e travel
(θ ) em graus para a trajetória previamente estabelecida com a implementação dos controladores
(53), (54) e (55) respectivamente. As três figuras mostram, também respectivamente, o sinal de
controle (tensão) nos motores dianteiro (Vf ) e traseiro (Vb), para os quais é possível verificar
que os sinais de controle da Figura 6 são mais suaves quando comparados com os das Figuras
4 e 5. Esta suavidade se deve ao fato de que a norma do controlador (55) é menor que a dos
outros dois.
Note que além do método proposto proporcionar menor norma que os apresentados pelos
autores em (BUZACHERO et al., 2010) e (BUZACHERO et al., 2012),o transitório antes e
após a falha, é praticamente o mesmo com pequena diferença deamplitude.
3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimiza-ção
Com a finalidade de verificar qual técnica apresenta melhores resultados para a norma
dos controladores em conjunto com a factibilidade dos sistemas, fez-se uma comparação mais
52 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER
Figura 4 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade projetiva com ométodo de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012).
0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Variá
veis
dees
tado
[gra
us]e
10xTen
são
[V]
ε(t)
ρ(t)
θ(t)
10xVb(t)
10xVf (t)
Falha
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 5 - Implementação prática do controlador projetado por estabilidade estendida com ométodo de otimização apresentado em (BUZACHERO et al., 2012).
0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Variá
veis
dees
tado
[gra
us]e
10xTen
são
[V]
ε(t)
ρ(t)
θ(t)
10xVb(t)
10xVf (t)
Falha
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
geral entre as mesmas. A princípio, foram comparadas as técnicas de projeto por estabilidade
quadrática com otimização da norma (Teorema 1) e projeto ótimo pela formulação proposta
(Teorema 7). Em seguida, comparou-se as três técnicas de projeto ótimo: estabilidade proje-
tiva, estabilidade estendida e formulação proposta.
Para a comparação, foram gerados aleatoriamente 1000 politopos de sistemas incertos de
3.3 Comparação geral dos três métodos de projeto com otimização 53
Figura 6 - Implementação prática do controlador projetado pela nova formulação de estabilidadeestendida com o método de otimização.
0 5 10 15 20 22 25 30 35 40−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Variá
veis
dees
tado
[gra
us]e
10xTen
são
[V]
ε(t)
ρ(t)
θ(t)
10xVb(t)
10xVf (t)
Falha
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
segunda ordem, com um parâmetro incerto (dois vértices). Os1000 politopos foram gerados
factíveis em pelo menos um dos casos de projeto e otimização paraα = 0,5 e, em seguida,
analisaram-se as consequências do aumento deα conforme Figuras 7 e 8.
Figura 7 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos geradosaleatoriamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Quadráticae Proposta.
Projeto por estabilidade quadrática com otimização da norma (Teo. 1)Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7)
Fonte: Elaborado pelo autor
É possível verificar das Figuras 7 e 8 que o melhor método de projeto ótimo é a formu-
54 3 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS UTILIZANDO O LEMA DE FINSLER
lação proposta, além de possibilitar a varição da incertezano tempo, o que demonstra ser mais
interessante, do ponto de vista de aplicações práticas, em sistemas sujeitos a falhas durante o
funcionamento.
Figura 8 - Quantidade de controladores com menor norma para 1000 politopos gerados aleato-riamente considerando o incremento deα - Comparação entre as técnicas Estendida, Projetivae Proposta.
Projeto por estabilidade projetiva com otimização da norma (Teo. 5)Projeto por estabilidade estendida com otimização da norma (Teo. 3)Projeto ótimo pela formulação proposta (Teo. 7)
Fonte: Elaborado pelo autor
3.4 Conclusões parciais
A nova formulação proposta para a estabilidade estendida com o método de otimização
apresentou melhores resultados em comparação com os métodos expostos em Buzachero et al.
(2010) e Buzachero et al. (2012). Implementaram-se os controladores para todos os métodos de
projeto no helicóptero 3-DOF. Para a performance dos controladores no sistema, verificou-se
que o método proposto apresentou um desempenho melhor, com sinais de controle mais suaves,
também devido a uma norma razoavelmente menor do que a das técnicas existentes. Além
disso, as técnicas existentes admitem apenas variações suficientemente pequenas das incertezas.
Assim sendo, foi possível implementar a falha abrupta apenas devido à avaliação de que o
sistema passou para outro ponto de operação, considerando como condições iniciais o ponto de
operação antes da falha, enquanto que a nova formulação permite variações deλ (sistema com
incerteza LPV), pois a matriz de Lyapunov não é politópica, mostrando a vantagem do método
proposto para a implementação em sistemas LPV.
Na análise de mil politopos gerados aleatoriamente, a técnica proposta mostrou-se melhor
em todos os casos de comparação. Os respectivos projetos de controladores foram realizados
usando o pacote “Robust Control Toolbox” do softwareMatLabr (GAHINET et al., 1995).
55
4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOSCHAVEADOS
Introduzem-se neste capítulo conceitos que serão usados para o projeto de controladores
robustos chaveados com restrição de taxa de decaimento e otimização da norma dos contro-
ladores. Uma característica marcante da técnica que será abordada é a possibilidade de controle
de sistemas LPV, sem a necessidade de medir o parâmetro incerto a cada instante de tempo,
além das vantagens de desempenho já conhecidas de sistemas chaveados.
4.1 Chaveamento entre subsistemas
Suponha um sistema composto por uma planta com incertezas politópica, cuja a estabili-
dade deste sistema será verificada através do chaveamento conveniente entre funções de Lya-
punov quadráticas por partes. Esse sistema pode então ser denominado como sistema politópico
chaveado, tendo como vantagem a possibilidade do sistema ser do tipo LPV (DEAECTO;
GEROMEL; DAAFOUZ, 2011). A abordagem apresentada a seguir éapenas introdutória.
Concebem-se aqui, condições de estabilidade para o sistema incerto através de funções de Lya-
punov quadráticas por partes, para que se formule, nas próximas seções, o chaveamento entre
sistemas realimentados com restrição de taxa de decaimentoe otimização.
Desta forma, considere o sistema politópico chaveado na forma de espaço de estado, tendo
a estratégia de chaveamento conforme ilustrado na Figura 1:
x(t) = Aλσ x(t), x(0) = x0, (56)
sendo definido para todot ≥ 0 para algumσ(x(t)) ∈ K, comK = {1,2, ...,N}, sendo queN
é o número de vértices do politopo de incertezas,λ pertence ao simplex unitárioΛ conforme
definido em (3), sendox(t) ∈ Rn o vetor dos estado e a matrizAλσ dada por
Aλσ =N
∑j=1
λ jA jσ , (57)
sendo que o primeiro índice deA jσ refere-se ao vértice do politopo e o segundo à regra de
chaveamento, que será responsável pela escolha que verificará a estabilidade do sistema incerto.
56 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS
Definindo a função de Lyapunov quadrática por partes (GEROMEL; COLANERI, 2006):
v(x) := mini∈K
x′(t)Pix(t) = minλ∈Λ
(N
∑i=1
λix′(t)Pix(t)), (58)
sendo{P1,P2, ...,PN} ∈Rn×n simétricas e definidas positivas. Verifica-se que (58) não é diferen-
ciável para todox(t) ∈ Rn dada a existência de descontinuidades no chaveamento das funções.
Desta forma, foi econtrada umag(x(t)) : Rn → N, e as condições para que a regra de chavea-
mento dada por
σ(t) = ming(x(t)), (59)
faça com que a origem do sistema (56) seja globalmente assintoticamente estável. Para este
aspecto, definiu-se o conjunto
I(x) = {i : v(x) = x′(t)Pix(t)}, (60)
sendov(x) solução de (58) e desta formaI(x) pode possuir mais de um elemento cuja função
(58) não é diferenciável, ou seja, a solução do mínimo não é única.
4.1.1 Matrizes Metzler
Para a compreensão do teorema a seguir, considere a matriz deMetzler denotada porM
(LUENBERGER, 1979; GEROMEL; COLANERI, 2006), consistindo de todas as matrizes
Π ∈ RN×N, sendo os termosπ ji elementos da j-ésima linha e i-ésima coluna deΠ, tais que
π ji ≥ 0, ∀ j 6= i,N
∑j=1
π ji = 0, ∀i. (61)
O ponto importante para a obtenção das condições de estabilidade é utilizar uma ma-
triz Metzler dependente do parâmetro desconhecido, isto é,Π(λ ) : Λ → KN×N (GEROMEL;
DEAECTO, 2009) cujos elementos são definidos por
π ji :=
{
γλ j , j 6= i
γ(λi −1) , j = i, (62)
comγ ≥ 0.
Pode-se verificar que eles constituem uma matriz de MetzlerΠ(λ ) ∈ M para todoλ ∈ Λ.
De fato, pela definição (62) todos os elementos fora da diagonal principal são não negativos e
4.1 Chaveamento entre subsistemas 57
as identidades
N∑j=1
π ji (λ ) = [N∑j=1j 6=i
γλ j ]+ γ(λi −1)
= γ(N∑j=1
λ j −1)
= 0,
são verificadas para cadai ∈K e todoλ ∈ Λ.
Além disso, utilizandoΠ(λ ) ∈ M , temos que as igualdades
N∑j=1
π ji (λ )Pj =N∑j=1j 6=i
γλ jPj + γ(λi −1)Pi
= γN∑j=1
λ jPj − γPi
= γN∑j=1
λ j(Pj −Pi),
(63)
são verdadeiras para cadai ∈ K e todoλ ∈ Λ. Este é um resultado fundamental para o projeto
de controle robusto em questão e que tornou possível a obtenção das condições de estabilidade
robusta que serão vistas na sequência.
4.1.2 Condições para estabilidade robusta
De posse dos conceitos introduzidos, o Teorema 8 a seguir foiadequado a partir do apre-
sentado em (DEAECTO, 2010) e será estendido para inclusão da taxa de decaimento.
Teorema 8. (DEAECTO, 2010) Sendo{Q1,Q2, ...,QN} um conjunto de matrizes simétricas
semidefinidas positivas, se existirem um conjunto de matrizes simétricas definidas positivas
{P1,P2, ...,PN} e γ ∈ M satisfazendo as seguintes desigualdades de Lyapunov-Metzler
A′ji Pi +PiA ji + γ(Pj −Pi)+Qi < 0, (64)
sendo i, j ∈K, então a lei de controle
σ(t) = g(x(t)) = argmini∈K
x′(t)Pix(t), (65)
faz com que o sistema(56)seja assintoticamente estável.
Reproduziu-se a prova do Teorema 8 aqui para ser útil nas demostrações dos próximos
teoremas.
58 4 PROJETO DE CONTROLADORES ROBUSTOS CHAVEADOS
Demonstração.Assuma que as matrizes simétricasPi para todoi ∈ K são soluções das
desigualdades (64) para algumγ ≥ 0. Logo, multiplicando o resultado porλ j ≥ 0 e somando
para todoj = 1,2, ...,N, obtém-se
A′λ iPi +PiAλ i + γ
N
∑j=1
λ j(Pj −Pi)+Qi < 0. (66)
Uma vez que (66) vale para todoλ ∈ Λ, utilizando o resultado apresentado em (63), verifica-se
que o mesmo ocorre para
A′λ iPi +PiAλ i +
N
∑j=1
π ji (λ )Pj +Qi < 0, (67)
com i ∈K, Π(λ ) ∈ M e λ ∈ Λ.
Como (58) não é diferenciável para todox(t) ∈ Rn, utiliza-se a derivada de Dini (GARG,
1998) à direita de (58) que, por definição, é dada por
D+v(x(t)) = limh→0+
supv(x(t +h))−v(x(t))
h. (68)
Sabendo que a regra de chaveamento é dada porσ(t) = g(x(t)) = i, utilizando o Teorema de
Danskin (LASDON, 1970) tem-se que
D+v(x(t)) = limh→0+
supv(x(t)+hAλ ix(t))−v(x(t))h
= minl∈I(x(t))
x′(t)(Aλ i′Pl +PlAλ i)x(t)
≤ x′(t)(Aλ i′Pi +PiAλ i)x(t),
(69)
em que a desigualdade assegura o fato de quei ∈ I(x(t)).
Por ourto lado lembrando quex′(t)Pjx(t)≥ x′(t)Pix(t) = v(x) obtém-se de (67) que
D+v(x(t)) < x′(t)(−N∑j=1
π ji Pj −Qi)x(t)
= x′(t)(−N∑j=1j 6=i
π ji Pj −πii Pi −Qi)x(t)
≤ x′(t)(−N∑j=1j 6=i
π ji Pi −πii Pi −Qi)x(t)
= −(N∑j=1
π ji )x′(t)Pix(t)−x′(t)Qix(t)
= −x′(t)Qix(t)
≤ 0.
(70)
Logo (70) prova que o sistema (56) é assintoticamente estável. �
4.1 Chaveamento entre subsistemas 59
Na seção a seguir será abordada a técnica de projeto robusto chaveado robustos. Adicional-
mente, abordar-se-á a inserção da taxa de decaimento, de acordo com (BOYD et al., 1994) e
utilizando-se a derivada de Dini (GARG, 1998):D+v(x(t))≤−2αv(x(t)).
4.1.3 Projeto robusto de controladores chaveados
Considere um sistema politópico descrito pela equação:
x(t) = Aλ x(t)+Bλ u(t), x(0) = x0, (71)
sendox(t) ∈ Rn o vetor de estado eu(t) ∈ R
m a entrada de controle. As matrizes(Aλ ,Bλ ) de
dimensões compatíveis são tais que
(Aλ ,Bλ ) =N
∑j=1
λ j(A j ,B j), (72)
sendo que os vértices(A j ,B j) do politopo são matrizes conhecidas para todoj ∈ K, e λ =
[λ1,λ2, ...,λN]′ ∈ R
N pertence ao simplex unitárioΛ, conforme (3).
No contexto de sistemas LPV o parâmetroλ é variante no tempo:λ = λ (t) ∈ Λ para
todo t ≥ 0. Desta forma o objetivo é determinar um ganho de realimentaçãoKλ de forma que
utilizando a entrada de controleu(t) = Kλ x(t), o sistema em malha fechada
x(t) = (Aλ (t)+Bλ (t)Kλ (t))x(t), (73)
seja globalmente assintoticamente estável. De posse dos resultados apresentados em (GEROMEL;
COLANERI, 2006) o seguinte lema pode ser provado conforme apresentado em (DEAECTO;
GEROMEL; DAAFOUZ, 2011).
Lema 3. (DEAECTO; GEROMEL; DAAFOUZ, 2011) Se existir uma matriz simétrica definida
positiva S∈ Rn×n, matrizes simétricas Qi ∈ R
n×n e matrizes Yi ∈ Rn×n para todo i∈ K satis-
fazendo
A jS+B jYi +SAj′+Yi
′B j′+Q j −Qi < 0, (74)
para todo i, j ∈K×K, então o ganho LPV dado por Kλ =Yλ S−1 torna o sistema(71) global-
com j∈K e k,s∈KM, tal que as seguintes desigualdades matriciais sejam satisfeitas:
A′jPk+PkA j +
M
∑s=1
γ jks(Ps−Pk)−Yjk < αPk (121)
e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cadainstante de tempo conforme
regra σ(t) = mingM(x(t)), com gM(x(t)) = {g|Vg(x(t)) = mink∈KM
{vk(x(t))}}.
Demonstração.Demonstração similar a apresentada no Teorema 13. �
Devido ao aumento na quantidade de funções quadráticas por partes, este método apre-
senta um grau extra de flexibilidade, uma vez que os escalaresde relaxação estão livres para se
adaptarem e satisfazerem as desigualdades. Note que as BMIs apresentadas em (121) podem
ser resolvidas com o métodopath-followingdetalhado no Apêndice A.
5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler
Com o objetivo de proporcionar uma relaxação maior nas BMIs utilizando uma função
de Lyapunov mínima e quadrática por partes, propõe-se, na sequência, um equacionamento
utilizando o Lema de Finsler (Lema 1). Assim sendo, convencionando as matrizesB = [A j −I ],
B⊥ =[
IA j
]
e L =
[ N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi
Pi 0
]
como parâmetros do Lema 1, teremos a propriedade 2
do Lema de Finsler escrita como:
2. ∃Pi = P′i > 0,∃Ps = P′
s > 0 eYji =Y′ji ≥ 0 tal que
[
I
A j
]′
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi
Pi 0
[
I
A j
]
< 0,
5.4 Formulação utilizando o Lema de Finsler 83
resultando nas condições equivalentes às do Teorema 13:
2. A′jPi +PiA j +
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji < 0.
Da prova existente do Lema de Finsler, pode-se concluir que as propriedades 2 e 4 são
equivalentes. Assim, reescreve-se a propriedade 4 como segue:
4. ∃X ∈ R2n×n, ∃Pi = P′
i > 0, ∃Ps = P′s > 0 eYji =Y′
ji ≥ 0 tal que
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi
Pi 0
+X
[
A j −I]
+
[
A′j
−I
]
X ′ < 0.
Escolhendo convenientemente a matriz de variáveisX =[
W1 jib2 jiW2 ji
]
, comW1 ji e W2 ji ∈
Rn×n, e escalares eb2 ji > 0 para fins de relaxação das desigualdades, pode-se desenvolver a
propriedade 4, obtendo:
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi
Pi 0
+
[
W1 ji A j −W1 ji
b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji
]
+
[
A′jW
′1 ji b2 ji A′
jW′2 ji
−W′1 ji −b2 jiW′
2 ji
]
< 0.
Assim, encontraram-se as seguintes BMIs:
A′jW
′1 ji +W1 ji A j +
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi −W1 ji +A′
jb2 jiW′2 ji
Pi −W′1 ji +b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji −b2 jiW′
2 ji
< 0, (122)
Pi > 0. (123)
sendoW1 ji eW2 ji ∈ Rn×n, W1 ji 6=W′
1 ji eW2 ji 6=W′2 ji . Com base nesta formulação, propõe-se o
teorema a seguir.
Teorema 15. Uma condição suficiente para que se garanta a estabilidade assintótica do sis-
tema incerto(1) é a existência de matrizes W1 ji ,W2 ji ∈Rn×n, Yji ,Pi ∈R
n×n e escalares b2 ji > 0,
γi js > 0 e α < 0, com i, j,s∈K satisfazendo as desigualdades
A′jW
′1 ji +W1 ji A j +
N∑
s=1γi js(Ps−Pi)−Yji Pi −W1 ji +b2 ji A′
jW′2 ji
Pi −W′1 ji +b2 jiW2 ji A j −b2 jiW2 ji −b2 jiW′
2 ji
< 0, (124)
Pi > 0, (125)
Yji < αPi . (126)
84 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS
e exista uma escolha conveniente das funções mínimas em cadainstante de tempo conforme
regra (112).
Demonstração.Multiplicando (124) porλ j ≥ 0, e somandoj, de j = 1 até j = N, tem-se
A′λW′
1λ i +W1λ iAλ +N∑
s=1γiλs(Ps−Pi)−Yλ i Pi −W1λ i +b2λ iA
′λW′
2λ i
Pi −W′1λ i +b2λ iW2λ iAλ −b2λ iW2λ i −b2λ iW
′2λ i
< 0, (127)
Pi > 0, (128)
Yλ i < αPi . (129)
comN∑j=1
λ j = 1, e i, j ∈K.
Da equivalência existente entre as propriedades 2 e 4 do Lemade Finsler (Lema (1)) tem-se
que a desigualdade (127) pode ser escrita como:
A′λ Pi +PiAλ +
N
∑s=1
γiλs(Ps−Pi)−Yλ i < 0. (130)
Desta forma de (129), tem-se que:
A′λ Pi +PiAλ +
N
∑s=1
γiλs(Ps−Pi)< αPi . (131)
�
Assim sendo, (127), (128) e (129) são condições suficientes para que o ponto de equilíbro
x= 0 do sistema (1) seja assintoticamente estável. Verifica-senesta formulação que os termos
b2 jiW2 ji que aparecem através da escolha conveniente deX são também bilineares, podendo
ser resolvidos pelo métodopath-following, o que resulta em BMIs ainda mais relaxadas para a
busca de factibilidade.
5.5 Factibilidade de sistemas politópicos
5.5.1 Exemplo numérico 1
Na sequência abordar-se-á um exemplo inspirado em (DEAECTO,2010), utilizado inicial-
mente em (SHORTEN et al., 2007) que mostrará as vantagens dosteoremas propostos neste
trabalho. Considere o sistema linear incerto (1) podendo serrepresentado como combinação
convexa dos vértices
5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 85
A1 =
[
0 1
−2 α
]
e A2 =
[
0 1
−10 β
]
.
Os parâmetrosα e β foram tomados nos intervalos[−2,0] e [−5,0] respectivamente, ob-
tendo, desta forma, para cada ponto da partição um novo sistema para ser testado. Aplicaram-se,
para esses valores, os critérios: estabilidade quadrática, estabilidade Lyapunov-Metzer, con-
forme Teorema 12; critério menos conservador utilizando função de Lyapunov quadrática por
partes, conforme Teorema 13; a metodologia generalizada, conforme Teorema 14 comM = 4
e, por fim, a metodologia utilizando o Lema de Finsler, apresentada no Teorema 15.
Primeiramente, realizou-se uma comparação de factibilidade utilizando o Teorema 12 e o
critério de estabilidade quadrática. Para o Teorema 12, fez-se uma busca, tendo como base a
factibilidade para cadaγ, para verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme a
Figura 26 varreu-seγ entre 0,1 e 10 e verificou-se que 6< γ < 8 apresentaram os melhores
resultados de testes factíveis. Desta forma optou-se porγ = 7.
Figura 26 - Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 1 para LMIs do Teorema 12.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
Qua
ntid
ade
depo
litop
osfa
ctív
eis
γ
Fonte: Elaborado pelo autor
A Figura 27 refere-se à factibilidade do método de estabilidade com comutação, similar
ao apresentado em (DEAECTO, 2010), ajustado para sistemas politópicos incertos, conforme
Teorema 12, utilizandoγ = 7.
A Figura 28 se refere às vantagens do critério menos conservador, utilizando função de
Lyapunov quadrática por partes, conforme Teorema 13. A Figura 29 apresenta as vantagens da
86 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS
Figura 27 - Resultados de factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦) ecritério de estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o).
−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
α
βFonte: Adaptado de (DEAECTO, 2010)
metodologia generalizada, conforme Teorema 14. Os resultados foram encontrados utilizando
o métodopath-following, detalhado no Apêndice A.
Figura 28 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e critério de estabilidade menosconservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x).
−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
β
α
Fonte: Elaborado pelo autor
Pode-se verificar que os resultados utilizando o Teorema 14 apresentam uma maior região
de factibilidade para sistemas lineares incertos, implicando, desta forma, uma redução no con-
5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 87
Figura 29 - Resultados de Factibilidade para Exemplo 1: Estabilidade Quadrática (♦), critériode Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) e critério de estabilidade generalizado comM = 4 conforme Teorema 14 (x).
−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
β
α
Fonte: Elaborado pelo autor
servadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura.
Na sequência, apresenta-se a Figura 30, que expõe as vantagens, agora, da formulação com
relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15.
Figura 30 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 1 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e formulação utilizando o Lemade Finsler - Teorema 15 (x).
−5 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5−2
−1.8
−1.6
−1.4
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
β
α
Fonte: Elaborado pelo autor
88 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS
Os resultados de factibilidade, utilizando o Teorema 15, também apresentaram vantagens,
comparando-se com as técnicas existentes, porém apresentando alguns pontos degenerados,
necessitando assim de um aprimoramento da técnica. Provavelmente isso se deve ao aumento
das dimensões das LMIs em relação aos demais métodos, dificultando assim a solução numérica
do solvergeneralized eigenvalue minimization(gevp).
5.5.2 Exemplo numérico 2
O exemplo numérico a seguir foi retirado de (ESTEVES, 2011),adaptado aqui para sis-
temas lineares incertos, com o intuito de uma segunda comparação entre as técnicas. Sendo
assim, considere o sistema linear incerto (1) podendo ser representado como combinação con-
vexa dos vértices:
A1 =
[
−5 −4
−1 a
]
e A2 =
[
−2 −4
b −2
]
.
Os parâmetrosa e b foram tomados nos intervalos[−300,0] e [0,2000], respectivamente,
assim obtendo, para cada variação, um novo sistema para ser testado. Da mesma forma como
se fez para o exemplo anterior, para cada variação foram aplicados os critérios de estabilidade
anteriormente descritos.
Para a utilização do Teorema 12, fez-se uma busca tendo como base a factibilidade para
cadaγ a fim de verificar qual valor apresenta melhores resultados. Conforme Figura 31, varreu-
seγ entre 0,1 e 1000 e se pôde verificar, aproximadamente, que 300< γ < 330 apresentaram
os melhores resultados de testes factíveis. Sendo assim, optou-se porγ = 300 para a utilização
no critério do Teorema 12.
A Figura 32 se refere aos resultados factibilidade do métodopara o método do Teorema 12,
utilizandoγ = 300, em comparação com o critério de estabilidade quadrática. Nota-se que, para
este exemplo, houve pouca diferença entre as técnicas.
A Figura 33 se refere às vantagens do critério utilizando função de Lyapunov quadrática
por partes do Teorema 13 e a Figura 34 se refere às vantagens dametodologia generalizada,
conforme Teorema 14 comM = 4. Os resultados deste exemplo também foram encontrados
utilizando o métodopath-followingdetalhado no Apêndice A.
Pode-se constatar, conforme já verificado no exemplo anterior, que os resultados utilizando
o Teorema 14 apresentam uma maior região de factibilidade, implicando, assim, numa redução
no conservadorismo, quando comparado com os resultados existentes na literatura.
Na sequência, apresenta-se a Figura 35 que expõe as vantagens, agora, da formulação com
5.5 Factibilidade de sistemas politópicos 89
Figura 31 - Busca pelos melhores valores deγ do Exemplo 2 para LMIs do Teorema 12.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
Qua
ntid
ade
depo
litop
osfa
ctív
eis
γ
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 32 - Análise de factibilidade para o Exemplo 2 utilizando Estabilidade Quadrática (♦) eEstabilidade Metzler adequada a sistemas lineares - Teorema 12 (o).
−300 −250 −200 −150 −100 −50 00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
a
b
Fonte: Elaborado pelo autor
relaxação utilizando o Lema de Finsler (Lema 1), apresentado no Teorema 15.
Para o Exemplo 2, a formulação utilizando o Teorema 15 tambémapresentou vantagens de
factibilidade, em comparação com os outros métodos, apesardos pontos degenerados, necessi-
tando assim um aprimoramento da técnica.
90 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS
Figura 33 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)e critério de estabilidade menosconservador utilizando função de Lyapunov quadrática por partes - Teorema 13 (x).
−300 −250 −200 −150 −100 −50 00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
b
a
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 34 - Resultados de Factibilidade para o Exemplo 2: Estabilidade Quadrática (♦), critériode Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o) critériomenos conservador generalizadocomM = 4 conforme Teorema 14 (x).
−300 −250 −200 −150 −100 −50 00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
b
a
Fonte: Elaborado pelo autor
5.6 Conclusões parciais 91
Figura 35 - Resultados de Factibilidade do Exemplo 2 para: Estabilidade Quadrática (♦),critério de Estabilidade Lyapunov-Metzler - Teorema 12 (o)formulação utilizando o Lema deFinsler - Teorema 15 (x).
−300 −250 −200 −150 −100 −50 00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
b
a
Fonte: Elaborado pelo autor
5.6 Conclusões parciais
Neste capítulo, propuseram-se novas técnicas com o intuitode diminuir o conservadorismo
das formulações existentes, para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos podendo
ser variantes ou invariantes no tempo. As técnicas apresentadas tiveram como contribuição a
solução de BMIs, por meio de um método de linearização (vide Apêndice A). A técnica se
baseia em utilizar funções de Lyapunov quadráticas por partes com matrizes extras na formu-
lação e também escalares de relaxação, aumentando a factibilidade e garantindo a estabilidade
através da escolha do valor mínimo de uma função. A teoria desenvolvida foi testada em exem-
plos numéricos conhecidos na literatura.
Verificou-se nas Figuras 29 e 34 um aumento da região de factibilidade para a técnica
proposta, quando comparada com as técnicas de estabilidadequadrática e com a técnica de
estabilidade baseada nas desigualdades de Lyapunov-Metzler.
A formulação utilizando o lema de Finsler apresentou algunspontos degenerados, conforme
visto nas Figuras 30 e 35, indicando que a formulação deve seraprimorada, porém, promissora,
em função dos ganhos que apresentou em comparação com as outras técnicas.
92 5 NOVOS RESULTADOS PARA ESTABILIDADE DE SISTEMAS CHAVEADOS
93
6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DECONTROLADORES CHAVEADOS
Neste capítulo, propõem-se métodos mais gerais para o projeto de controladores chaveados
que os apresentados no Capítulo 4, por não ser mais necessáriaa realização de uma busca uni-
dimensional, tendo como base as técnicas propostas no Capítulo 5. Para o desenvolvimento dos
métodos de projeto, também foram utilizadas condições baseadas em BMIs, técnica inspirada
em (CHEN et al., 2012), em que termo bilinear se encontra no produto de variáveis escalares
e variáveis matriciais. Estas BMIs são eficientemente resolvidas pelo métodopath-following
(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999).
A princípio, um dos métodos propostos foi utilizado em um exemplo de comparação, con-
siderado como referência na literatura para resultados de flexibilização na estabilidade de sis-
temas Fuzzy Takagi-Sugeno (CHEN et al., 2012), com a finalidade de verificar a eficácia de
relaxação do método.
Na sequência, projetaram-se controladores chaveados com as técnicas apresentadas para a
implementação em um protótipo laboratorial chamado AMD-1,que será visto com mais deta-
lhes durante o texto.
6.1 Projeto robusto chaveado com flexibilização via BMIs
Nesta seção, propõe-se um método para o projeto de controlesrobustos chaveados, adap-
tado a partir da técnica Fuzzy T-S, apresentada em (CHEN et al., 2012), na qual os controladores
chaveados são obtidos através da solução de critérios de estabilidade que envolvem BMIs, con-
forme já abordado no Capítulo 5.
Considere, assim, o sistema apresentado em (71), sendo o controlador chaveado e a regra
de comutação dados por:
u(t) = Kσ x(t) e σ(t) = argmini∈K
{x′(t)Pix(t)}. (132)
94 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
Tomando como base a função de Lyapunov mínima e quadrática por partes (120), propõe-se
o teorema a seguir.
Teorema 16.Se existirem matrizes simétricas positivas definidas Xi ∈Rn×n, matrizes Yji ,Q ji ∈
Rn×n, matrizes Gi ∈ R
m×n e escalaresγi js > 0, α < 0 para todo i, j,s∈ K, satisfazendo as
seguintes desigualdades:
Yji < αXi , (133)
Q ji < 0, (134)
M ji ∗ ∗ . . . ∗
γi j1Xi −γi j1X1 0 . . . 0
γi j2Xi 0 −γi j2X2 . . ....
......
.... .. 0
γi jN Xi 0 . . . 0 −γi jN XN
< 0, (135)
sendo Mji = XiA j′+A jXi +Gi
′B j′+B jGi −
N∑
s=1γi jsXi −Yji −Q ji .
Então a lei de controle chaveadoσ(t) = argmini∈K
{x′(t)Pix(t)} torna o ponto de equilíbrio
x= 0 do sistema(71)globalmente assintoticamente estável, sendo Pi = X−1i e os controladores
dados por Ki = GiXi−1, i, j ∈K .
Demonstração.Considerando a função de Lyapunov candidata e quadrática porpartes (120),
suponha quev(x(t)) =mini∈K
{x′(t)Pix(t)}= x′(t)Pσ x(t), sendoσ escolhido conforme (132). Com
base na análise apresentada na demostração do Teorema 13, sev(x(t+)) ≤ vσ (x(t+)) então
v(x(t+))≤ vσ (x(t+)). Assim, comα < 0 para se obterem restrições que possam ser resolvidas
98 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
P1 =
[
0,0170 0,0117
0,0117 0,1696
]
, P2 =
[
0,0168 0,0120
0,0120 0,1701
]
, P3 =
[
0,0167 0,0121
0,0121 0,1703
]
,
P4 =
[
0,0168 0,0120
0,0120 0,1702
]
, P5 =
[
0,0169 0,0118
0,0118 0,1699
]
, P6 =
[
0,0169 0,0118
0,0118 0,1698
]
,
P7 =
[
0,0167 0,0122
0,0122 0,1705
]
, P8 =
[
0,0168 0,0119
0,0119 0,1700
]
, P9 =
[
0,0169 0,0118
0,0118 0,1697
]
.
(150)
Pode-se observar que o resultado de factibilidade obtido com b= 6,5 é superior aos obti-
dos em (DELMOTTE; GUERRA; KSANTINI, 2007; SOUZA, 2013), para sistemas Fuzzy T-S
em que se encontrou factibilidade com valor máximo parab= 6, e igual, em factibilidade, ao
encontrado em (MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009) comb= 6,5, sendo superado ape-
nas por (CHEN et al., 2012), onde obteve-se factibilidade para b= 7 comN = 4. Porém, vale
ressaltar que, neste trabalho, o foco é propor novas técnicas de projeto de controladores chavea-
dos com flexibilização para sistemas lineares incertos, objetivo distinto daquele alcançado em
(MONTAGNER; OLIVEIRA; PERES, 2009; CHEN et al., 2012), onde foram abordadas técni-
cas flexibilizadas para o projeto dos controladores Fuzzy T-S.
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1
O protótipo Active Mass Dumper - One Floor(AMD-1), apresentado na Figura 36, é
composto por uma estrutura simulando uma edificação, tendo no piso superior um sistema de
amortecimento ativo com uma massa móvel. Este experimento tem como foco o desenvolvi-
mento de estudos para o projeto de sistemas de controle que amorteçam vibrações causadas por
terremotos ou por fortes ventos. O equipamento também possibilita investigar ações de controle
em estruturas (QUANSER, 2012a).
O objetivo do experimento é atuar na massa móvel através de ummotor, reduzindo assim
oscilações e vibrações indesejadas na estrutura. O sistemautilizado no deslocamento da base
é chamado de STII e foi originalmente desenvolvido com o intuito de pesquisa ou ensino, en-
volvendo sistemas de vibração (QUANSER, 2012b). Neste trabalho, utilizaremos este equipa-
mento apenas para gerar registros de terremotos com os quaisserão testadas as estratégias de
controle.
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 99
Figura 36 - Protótipo AMD-1 da Quanser pertencente ao LPC da FEIS - UNESP.
Fonte: Elaborado pelo autor
Considere o esquemático apresentado na Figura 37. O deslocamento do carro (xc) que
simboliza a massa móvel (Mc) é considerado positivo para a direita quando vista pelo leitor,
assim como o deslocamento do patamar superior (xf , que tem como massaM f ).
Para pequenas variações angulares do piso superior, o sistema pode ser tratado como um
sistema massa-mola padrão de constanteK f a uma alturaH f do chão, viabilizando assim uma
aproximação coerente na modelagem do sistema.
100 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
Figura 37 - Modelo esquemático do AMD-1.
xc > 0xc
Mcxf > 0
xfFc
K f
M f
H f
Fonte: (QUANSER, 2012a)
Os parâmetros utilizados neste exemplo para o sistema AMD-1são dados na Tabela 2.
Tabela 2 - Parâmetros do sistema AMD-1
Resistência de armadura do motor (ω) Rm 2,6Constante de torque do motor (N.m/A) Kt 0,00767
Eficiência eletromecânica do motor ηm 1Constante de eficiência do motor (V.s/rad) Km 0,00767
Eficiência do redutor planetário ηg 1Altura do patamar superior (m) H f 0,5334Massa do patamar superior (Kg) M f 1,38
Constante da mola para a modelagem (N/m) K f 500,9Inércia do rotor (Kg.m2) Jm 3,9×10−7
Massa total do carro (Kg) Mc 0,65Relação da engrenagem Kg 3,71
Raio do pinhão (engrenagem) (m) rmp 6,35×10−3
Coeficiente de amortecimento viscoso eq. (N.s/m) Beq 3
O modelo em espaço de estados que descreve o sistema AMD-1 é:
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 101
.xc.xf..xc..xf
= A
xc
xf.xc.xf
+BFc, (151)
sendo queA eB são dadas por:
A=
0 0 1 00 0 0 1
0Mcr2mpKf
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf−
r2mpBeq(Mc+Mf )
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf0
0 −Kf (Mcr2mp+JmK2
g)
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf
McBeqr2mpMcr2mpMf +JmK2
gMc+JmK2gMf
0
e
B=
00
r2mpBeq(Mc+Mf )
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf
−Mcr2mp
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf
. (152)
Nota-se, neste caso, que a entrada de controle é igual a forçaimpressa pelo carro na aproxi-
mação massa-mola (u= Fc). Desta forma, com o intuito de inserir uma incerteza na entrada do
sinal de controle, optou-se por transformar a mesma na tensão do motor que move o carro, ou
seja, (u=Vm), dada a relação existente entreFc eVm apresentada abaixo:
Fc =−ηgK2
gηmKtKmxc(t)
Rmr2mp
+ηgKgηmKtVm
Rmrmp. (153)
Assim, modificando as matrizesA eB, considerando agora a entrada de controle do sistema
comou=Vm, as mesmas são dadas por:
A=
0 0 1 00 0 0 1
0Mcr2mpKf
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf−
−McηgK2gηmKt Km+McBeqRmr2mp+Mf ηgK2
gηmKt Km+Mf BeqRmr2mp
Rm(Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf )0
0 −Kf (Mcr2mp+JmK2
g)
Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf
Mc(ηgK2gηmKt Km+BeqRmr2mp)
Rm(Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf )0
e
B=
00
ηgKgηmKt rmp(Mc+Mf )
Rm(Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf )
−McηgKgηmKt rmp
Rm(Mcr2mpMf +JmK2gMc+JmK2
gMf )
. (154)
Inserindo então, uma incerteza na modelagem do sistema, simbolizando uma falha por
desgaste ou queima de componentes no módulo amplificador quealimenta o sistema, pode-
se validar as técnicas de projeto robusto apresentadas neste capítulo. Desta forma a potência
102 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
do sistema será reduzida em 40%, e o sistema poderá ser representado como um politopo de
incertezas. Apresenta-se abaixo, os vértices, que atravésde uma combinação convexa geram o
politopo:
Vértice 1 (100% do ganho de amplificação):
A1 =
0 0 1 0
0 0 0 1
0 278,9341 −18,6497 0
0 −336,0626 5,9716 0
e B1 =
0
0
2,9975
−0,9598
. (155)
Vértice 2 (60% do ganho de amplificação):
A2 =
0 0 1 0
0 0 0 1
0 278,9341 −18,6497 0
0 −336,0626 5,9716 0
e B2 =
0
0
1,7985
−0,5759
. (156)
6.4.1 Implementação das técnicas de controle flexibilizadas
A fim de testar a eficácia das técnicas flexibilizadas de controle chaveado, as mesmas foram
implementadas no sistema AMD-1 com o intuito de garantir a estabilidade robusta do sistema
sujeito a uma falha no motor de controle, descrevendo-se o politopo de incertezas como combi-
nação dos vértices (155) e (156).
A primeira precaução adotada antes da implementação foi tentar definir os autovalores do
sistema incerto realimentado próximos dos sugeridos pelo fabricante (−6+15i, −6−15i, −8
e−6) para preservar o equipamento. A solução para este problema foi restringir a norma dos
controladores chaveados, uma vez que a otimização não pode ser feita devido à utilização do
solver gevp. Assim, para esta finalidade, considere o Colorário 1, como proposição resultante
do Teorema 10 para a otimização da norma dos controladores.
Corolário 1. Obtém-se um limitante para a norma dos controladores chaveados Ki ∈ Rm×n,
com Ki = GiX−1i , Xi = X′
i > 0, Xi ∈ Rn×n e Gi ∈ R
m×n ou Kk ∈ Rm×n, com Kk = GkX
−1k ,
Xk = X′k > 0, Xk ∈R
n×n e Gk ∈Rm×n, através de uma restrição dada por um valorβ , β > 0 tal
que K′i Ki < β In ou K′kKk < β In. O valor deβ deverá ser definido convenientemente em conjunto
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 103
com a solução de um dos problemas:
[
Xi G′i
Gi β Im
]
> 0, (157)
Xi > In, (158)
BMIs (133), (134) e (135),
i, j,s∈K
ou[
Xk G′k
Gk β Im
]
> 0, (159)
Xk > In, (160)
BMIs (146), (147) e (148),
j ∈K e k,s∈KM
sendo que Im e In são matrizes identidade de ordem m e n respectivamente.
No Corolário 1, as LMIs de restrição da norma dos controladores (157) e (158) deverão ser
utilizadas em conjunto com as BMIs (133), (134) e (135) referentes ao Teorema 16 e as LMIs
de restrição da norma dos controladores (159) e (160) deverão ser utilizadas em conjunto com
as BMIs (146), (147) e (148) referentes ao Teorema 17.
Para a implementação dos controladores, agora com as restrições nos ganhos, definiu-se
β = 180000, e também o escalarα < −8, presente no algoritmo dopath-followingque pode
ser utilizado para garantir um decaimento no sistema. Destaforma, os autovalores do sistema
realimentado ficariam mais próximos da região sugerida pelofabricante, tornando a implemen-
tação das técnicas mais segura e preservando assim a integridade do equipamento.
Utilizando, a princípio, o Corolário 1, em conjunto com as restrições (133), (134) e (135)
do Teorema 16, foram projetados os seguintes controladoreschaveados considerando o sistema
incerto como combinação dos vértices (155) e (156):
K1 =[
55,3781 −244,9699 6,3203 1,9945]
, (161)
K2 =[
74,8243 −229,2725 7,8454 4,8094]
. (162)
104 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
O sistema AMD-1 possibilita a implementação de dados gravados de terremotos reais,
em escala laboratorial, aumentando assim a realidade do experimento. Para este trabalho,
foram escolhidos os dados do terremoto ocorrido em 1994, tendo como epicentro o distrito
Northridge, em San Fernando Valley, região de Los Angeles (QUANSER, 2012a). Na Figura
38, apresentam-se os dados deste terremoto, assim como sua reprodução utilizando o STII.
Figura 38 - Dados obtidos durante o terremoto de Northridge em 1994 e reproduzidos com oSTII.
0 2 4 6 8 10 12 14 16−0.5
0
0.5
1
0 2 4 6 8 10 12 14 16
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Ace
lera
ção
dopi
so[m/s
2]
Pos
ição
dopi
so[c
m]
Dados reaisDados reproduzidos
t[s]
t[s]
Fonte: (QUANSER, 2012b)
A implementação no AMD-1 foi separada em três etapas. Primeiramente, realizou-se o
experimento por completo no modo passivo, onde não existe ação de controle e o motor que
atua na massa móvel será responsável apenas por não permitirque o carro deslize sobre o trilho
simulando assim como se o sistema estivesse travado. Do contrário, estando solto, o carro
poderia colidir com as extremidades causando danos ao sistema de controle. Em seguida, no
instante 18s realizou-se o experimento novamente sem falhas. No instante 36s inseriu-se uma
falha de 40% na entrada de controle, repetindo-se novamenteo experimento e possibilitando a
visualização do desempenho do sistema com e sem falhas.
Sendo assim, implementaram-se os controladores chaveados(161) e (162) para os dados
do terremoto de Northridge, cujos resultados são apresentados nas Figuras 39 à 41.
Nas Figuras 39 e 40, apresentam-se, respectivamente, a posição do piso superior (xf (t)) e
a diferença entre a posição do piso superior e a posição do piso inferior (xf (t)−xs(t)) em cada
instante de tempo para a implementação com e sem controle e antes e depois da falha.
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 105
Figura 39 - Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com for-mulação via BMIs.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Des
loca
men
todo
piso
supe
rior
[m]
xf (t)
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 40 - Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslocamento do pisoinferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Pos
ição
rela
tiva
entr
ex f(t)[
m]e
x s(t)[
m]
xf (t)−xs(t)
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Na Figura 41, verifica-se a tensão de controle do motor (Vm) e o controlador escolhidos a
cada instante de tempo (K1 eK2) conforme regra (112).
106 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
Figura 41 - Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIs.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−6
−4
−2
0
2
4
6
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
Vm(t)K1 ativo
K2 ativo
Sin
ais
deco
ntro
le[V
]eco
ntro
lado
rat
ivo
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Utilizando agora o Corolário 1 em conjunto com as restrições (146), (147) e (148) do
Teorema 17, comM = 4, foram projetados e implementados, para os dados do terremoto de
Northridge, os seguintes controladores chaveados para o mesmo sistema incerto:
K1 =[
61,6049 −361,0803 8,1843 3,8264]
(163)
K2 =[
80,2630 −348,7216 9,6752 6,5303]
(164)
K3 =[
75,5424 −352,4761 9,3131 5,8957]
(165)
K4 =[
93,6604 −343,3580 10,9156 9,2794]
(166)
Seguindo a mesma sequência de implementação anteriormenteapresentada, nas Figuras 42
e 43, apresentam-se, respectivamente, a posição do piso superior (xf (t)) e a diferença entre a
posição do piso superior e a posição do piso inferior (xf (t)−xs(t)) em cada instante de tempo
para a implementação com e sem controle e antes e depois da falha.
6.4 Implementação prática no sistema AMD-1 107
Figura 42 - Oscilações no piso superior do AMD-1 para os controladores chaveados com for-mulação via BMIs com generalização das funções.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
Des
loca
men
todo
piso
supe
rior
[m]
xf (t)
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Figura 43 - Diferença entre as oscilações no piso superior (xf (t) [m]) e o deslocamento do pisoinferior (xs(t) [m]) do AMD-1 para os controladores chaveados - formulação via BMIs comgeneralização das funções.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−0.05
−0.04
−0.03
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Pos
ição
rela
tiva
entr
ex f(t)[
m]e
x s(t)[
m]
xf (t)−xs(t)
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Na Figura 44, verifica-se a tensão de controle do motor (Vm) e o controlador escolhidos a
cada instante de tempo (K1, K2, K3 eK4) conforme regra (112).
108 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
Figura 44 - Sinal de controle e controlador ativo para uma falha de 40% - formulação via BMIscom generalização das funções.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
Instante da falhaInício da ação de controleSem ação de controle
Vm(t)
K1 ativoK2 ativo
K3 ativo
K4 ativo
Sin
ais
deco
ntro
le[V
]eco
ntro
lado
rat
ivo
t[s]
Fonte: Elaborado pelo autor
Pode-se verificar nas Figuras 39, 40, 42 e 43 que a ação dos controladores chaveados robus-
tos resultaram em menores oscilações no piso superior do sistema AMD-I, sendo as diferenças
de oscilações entre o piso superior e o piso inferior reduzidas, porém ainda existentes em função
do atraso do sensor no piso superior em relação às oscilaçõesdo piso inferior.
Verifica-se também, conforme Figuras 41 e 44 um esforço por parte do sistema para com-
pensar a falha de 40%, com um chaveamento significativo entreos controladores antes e após a
falha, indicando que a existência de controladores para chaveamento possibilitou uma atuação
eficiente para a garantia de estabilidade do sistema robusto.
6.5 Conclusões parciais
Neste capítulo, apresentaram-se novas técnicas para o projeto de controladores chaveados
para a garantia de estabilidade de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov
quadráticas por partes. As técnicas foram formuladas por meio de BMIs (algoritmo apresentado
no Apêndice A), tendo como vantagem uma redução no conservadorismo da formulação para o
aumento de factibilidade na garantia de estabilidade do sistema.
As técnicas foram implementadas em um protótipo laboratorial conhecido como AMD-1,
mostrando as vantagens da técnica flexibilizada, apresentada no Teorema 17, em cuja imple-
6.5 Conclusões parciais 109
mentação houve um chaveamento mais intenso entre os controladores, levando a concluir que
a nova técnica não apenas aumenta a factibilidade mas tambémcontribui para o desempenho
global do sistema.
110 6 NOVOS RESULTADOS PARA O PROJETO DE CONTROLADORES CHAVEADOS
111
7 CONCLUSÕES
Apresentaram-se, nesta tese, diferentes técnicas para síntese de controladores e análise de
factibilidade de sistemas robustos, com incertezas do tipoLPV, utilizando-se, a princípio, uma
CQLF e, por fim, funções de Lyapunov quadráticas por partes cujas formulações se basearam
em LMIs e BMIs.
De início, no Capítulo 3, propôs-se uma técnica formulada como lema de Finsler, utilizando
uma CQLF, cujo mérito se baseou na redução do número de LMIs para o projeto ótimo de
controladores sujeitos a taxa de decaimento maior ou igual aα. A técnica mostrou grande
vantagem na otimização da norma dos controladores quando comparada com as técnicas de
projeto ótimo existentes, em função dos resultados obtidospor meio de implementações práticas
no helicóptero 3-DOF, sujeito a uma falha estrutural de 30% no motor traseiro. Também foram
realizadas comparações envolvendo a norma dos controladores para 1000 politopos incertos
gerados aleatoriamente em função do aumento da taxa de decaimento. Essa técnica proposta,
com otimização, apresentou melhores resultados para a norma dos controladores em todos os
casos de comparação.
No Capítulo 4, apresentam-se formulações envolvendo o chaveamento entre controladores,
incluindo taxa de decaimento e otimização da norma deK, tendo como ponto fundamental
a utilização de uma função de Lyapunov quadrática por partes, em que a escolha do contro-
lador é baseada no mínimo valor desta função. A formulação apresentada foi implementada
no helicóptero 3-DOF, e mostrou vantagens expressivas na implementação de controladores
garantindo a estabilidade para falhas estruturais de até 90% no motor traseiro, tanto para o pro-
jeto apenas com taxa de decaimento, como para o projeto com taxa de decaimento e otimização
da norma deK.
Propuseram-se técnicas menos conservadoras, no Capítulo 5,para a análise de estabili-
dade de sistemas lineares incertos, utilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes, cuja
vantagem está na utilização de BMIs que podem ser resolvidas pelo métodopath-following,
detalhado no Apêndice A, em que o termo bilinear está no produto de escalares de relaxação
112 7 CONCLUSÕES
e matrizes variáveis incrementando, assim, os resultados de factibilidade. Foi concebida tam-
bém uma flexibilização na formulação, por meio do lema de Finsler, inserindo mais escalares
e matrizes extras, ampliando ainda mais os resultados de factibilidade. As formulações foram
testadas em exemplos numéricos conhecidos na literatura.
Expõem-se técnicas mais gerais, no Capítulo 6, para o projetode controladores, baseadas
nas técnicas apresentadas no Capítulo 5, em que os controladores são chaveados através da
escolha de uma função mínima e quadrática por partes, encontrada a cada instante de tempo.
Os controladores projetados foram implementados no equipamento laboratorial STII + AMD-1,
sujeito a uma falha de 40% na potência da entrada de controle,constatando-se, assim, a garantia
da estabilidade robusta e um aumento no desempenho global dosistema.
7.1 Perspectivas Futuras
• Técnicas de controle robustoH2 e H∞ por meio de BMIs encontradas com o método
path-followingutilizando funções de Lyapunov quadráticas por partes;
• Técnicas de controle discreto chaveado utilizando como base os resultados apresentados
nos Capítulos 5 e 6;
• Técnicas de filtragem robusta para sistemas lineares incertos utilizando os resultados do
Capítulo 5.
113
REFERÊNCIAS
APKARIAN, P.; TUAN, H. D.; BERNUSSOU, J. Continuous-time analysis, eigenstructureassignment, andH2 synthesis with enhanced linear matrix inequalities (LMI) characterizations.IEEE Transactions on Automatic Control, Notre Dame, v. 46, n. 12, p. 1941–1946, 2001.
ASSUNÇÃO, E.; MARCHESI, H. F.; TEIXEIRA, M. C. M.; PERES, P. L. D. Globaloptimization for theH∞-norm model reduction problem.International Journal of SystemsScience, Hants, v. 38, n. 2, p. 125–138, 2007a.
ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M.; FARIA, F. A.; SILVA, N. A. P. D.; CARDIM,R. Robust state-derivative feedback LMI-based designs for multivariable linear systems.International Journal of Control, Hants, v. 80, n. 8, p. 1260–1270, 2007b.
BOYD, S.; GHAOUI, L. E.; FERON, E.; BALAKRISHNAN, V.Linear matrix inequalities insystems and control theory. 2. ed. Philadelphia: SIAM Studies in Applied Mathematics,1994.
BRANICKY, M. S. Multiple Lyapunov functions and other analysistools for switched andhybrid systems.Automatic Control, IEEE Transactions on, Piscataway, v. 43, n. 4, p. 475–482,1998.
BUZACHERO, L. F. S.; ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M.; FARIA, F. A.;SILVA,E. R. P. da. Otimização de controladores robustos de sistemasdinâmicos sujeitos a falhasestruturais. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE AUTOMÁTICA, 18., 2010,Bonito-MS.Anais...Bonito-MS, 2010. p. 4068–4075.
BUZACHERO, L. F. S.; ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M.; SILVA, E. R. P. da. Newtechniques for optimizing the norm of robust controllers ofpolytopic uncertain linear systems.In: Frontiers in advanced control systems. Rijeka: InTech, 2012. p. 75–100.
CARDIM, R.; TEIXEIRA, M.; FARIA, F.; ASSUNÇÃO, E. LMI-based digital redesign oflinear time-invariant systems with state-derivative feedback. In: CONTROL APPLICATIONS,(CCA) INTELLIGENT CONTROL, (ISIC), 2009 IEEE. Saint Petersburg. Conference ofthe...Saint Petersburg: IEEE, 2009, p. 745–749. Acesso em: 01 abr.2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5281065>.
CHANG, W.; PARK, J. B.; LEE, H. J.; JOO, Y. H. LMI approach to digital redesign of lineartime-invariant systems.IEE Proceedings-Control Theory and Applications, Stevenage, v. 149,n. 4, p. 297–302, July 2002.
CHEN, Y.-J.; OHTAKE, H.; TANAKA, K.; WANG, W.-J.; WANG, H. Relaxed stabilizationcriterion for T-S fuzzy systems by minimum-type piecewise-lyapunov-function-basedswitching fuzzy controller.Fuzzy Systems, IEEE Transactions on,Piscataway, v. 20, n. 6, p.1166–1173, 2012.
114 REFERÊNCIAS
CHILALI, M.; GAHINET, P. H∞ design with pole placement constraints: An LMI approach.IEEE Transactions on Automatic Control, New York, v. 41, n. 3, p. 358–367, 1996.
DAHLEH, M.; DAHLEH, M. A. On slowly time-varying systems.Automatica, Tarrytown,v. 27, p. 201–205, 1991.
DEAECTO, G. S.Projeto de controladores dinâmicos com comutação :aplicação em sistemasmecânicos e conversores de potência CC-CC. Tese (Doutorado) — Universidade Estadual deCampinas, Campinas, 2010.
DEAECTO, G. S.; GEROMEL, J. C. Controle de sistemas lineares comcomu-tação.Sba: Controle & Automação Sociedade Brasileira de Automatica, Campi-nas, v. 19, n. 4, p. 431 – 443, 2008. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://www.scielo.br/pdf/ca/v19n4/a06v19n4.pdf>.
DEAECTO, G. S.; GEROMEL, J. C.; DAAFOUZ, J. Switched state-feedback control forcontinuous time-varying polytopic systems.International Journal of Control,Abingdon, v. 84,n. 9, p. 1500–1508, 2011.
DECARLO, R. A.; BRANICKY, M. S.; PETTERSSON, S.; LENNARTSON, B. Perspectivesand results on the stability and stabilizability of hybrid systems. In:Proceedings of the IEEE,New York. [s.n.]. v. 88, n. 7, p. 1069–1082, 2000. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=871309>.
DELMOTTE, F.; GUERRA, T.; KSANTINI, M. Continuous takagi-sugeno’s models:reduction of the number of LMI conditions in various fuzzy control design technics.FuzzySystems, IEEE Transactions on,Piscataway, v. 15, n. 3, p. 426–438, June 2007.
ESTEVES, T. T.Análise da estabilidade de sistemas fuzzy Takagi-Sugeno utilizando asdesigualdades de Lyapunov-Metzler.2011. 101 f. Dissertação (Mestrado em Automação) —Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista,2011.
GAHINET, P.; NEMIROVSKI, A.; LAUB, A. J.; CHILALI, M. LMI control toolbox - For usewith MATLAB. [S.l.], 1995.
GARG, K. Theory of differentiation:a unified theory of differentiation via new derivatetheorems and new derivatives. New York: John Wiley & Sons, 1998. 525 p.
GEROMEL, J.; KOROGUI, R. Analysis and synthesis of robust control systems using linearparameter dependent lyapunov functions.IEEE Transactions on Automatic Control, New York,v. 51, n. 12, p. 1984–1989, 2006.
GEROMEL, J.; KOROGUI, R.H2 robust filter design with performance certificate via convexprogramming.Automatica, Tarrytown, v. 44, n. 4, p. 937–948, 2008.
GEROMEL, J.; OLIVEIRA, M. D.H2 andH∞ robust filtering for convex bounded uncertainsystems.IEEE Transactions on Automatic Control, New York, v. 46, n. 1, p. 100–107, 2001.
GEROMEL, J. C.; COLANERI, P. Stability and stabilization of continuous-time switchedlinear systems.SIAM Journal Control Optimization, Philadelphia, v. 45, p. 1915–1930, 2006.
REFERÊNCIAS 115
GEROMEL, J. C.; DEAECTO, G. S. Switched state feedback controlfor continuous-timeuncertain systems.Automatica, Tarrytown, v. 45, n. 2, p. 593–597, 2009.
HASSIBI, A.; HOW, J.; BOYD, S. A path-following method for solving BMI problems incontrol. In: PROCEEDINGS OF THE AMERICAN CONTROL CONFERENCE. San Diego.Proceedings of the...San Diego: IEEE, 1999. v. 2, p. 1385–1389. Acesso em: 01 abr. 2014.Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=783595>.
HESPANHA, J. P. Uniform stability of switched linear systems: extensions oflasalle’s invariance principle.IEEE Transactions on Automatic Control, NewYork, v. 49, p. 470–482, 2004. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=01284711>.
JI, Z.; WANG, L.; XIE, G. Quadratic stabilization of switched systems.International Journalof Systems Science, Abingdon, v. 36, n. 7, p. 395–404, 2005.
LASDON, L. S.Optimization theory for large systems. Macmillan: Courier Dover Publications,1970. 523 p.
LEITE, V. J. S.; MONTAGNER, V. F.; OLIVEIRA, P. J.; OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P.L. D. Estabilidade robusta de sistemas lineares através de desigualdades matriciais lineares.Revista Controle & Automação, Campinas, v. 15, n. 1, p. 24–40, 2004.
LIBERZON, D. Switching in systems and control. Boston: Birkhäuser, 2003. 233 p. (Systems& control).
LIN, H.; ANTSAKLIS, P. Stability and stabilizability of switched linear systems: Ashort survey of recent results. In: PROCEEDINGS OF THE INTELLIGENT CONTROL,2005, PROCEEDINGS OF THE 2005 IEEE INTERNATIONAL SYMPOSIUM ON,MEDITERREAN CONFERENCE ON CONTROL AND AUTOMATION, 2005. Limassol.Proceedings of the...Limassol: IEEE, 2005. p. 24–29. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponívelem:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=01466986>.
LUENBERGER, D.Introduction to dynamic systems: theory, models, and applications. NewYork: John Wiley & Sons, 1979. 446 p.
MA, M.; CHEN, H. ConstrainedH2 control of active suspensions using lmi optimiza-tion. In: CONTROL CONFERENCE, CCC, CHINESE, 2006. HarbinConference ofthe...Harbin: IEEE, 2006. p. 702 –707. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=4060613>.
MONTAGNER, V.; OLIVEIRA, R. C. L. F.; PERES, P. L. D. Convergent LMI relaxations forquadratic stabilizability andH∞ control of takagi-sugeno fuzzy systems.Fuzzy Systems, IEEETransactions on, Piscataway, v. 17, n. 4, p. 863–873, Aug 2009.
MOZELLI, L.; PALHARES, R.; SOUZA, F.; MENDES, E. Reducing conservativeness inrecent stability conditions of {TS} fuzzy systems.Automatica, Tarrytown, v. 45, n. 6, p. 1580 –1583, 2009.
OLIVEIRA, M. C.; BERNUSSOU, J.; GEROMEL, J. C. A new discrete-timerobust stabilitycondition.Systems Control Letters, Amsterdam, v. 37, n. 4, p. 261–265, 1999.
116 REFERÊNCIAS
OLIVEIRA, M. C. de. Novos testes de estabilidade para sistemaslineares.Revista Controle &Automação, Campinas, v. 15, n. 1, p. 17–23, 2004.
OLIVEIRA, M. C. de; GEROMEL, J. C.; HSU, L. Lmi characterizationof structural androbust stability: the discrete-time case.Linear Algebra and its Applications, Philadelphia,v. 296, n. 1-3, p. 27 – 38, 1999.
OLIVEIRA, M. C. de; SKELTON, R. E. Stability tests for constrained li-near systems. In: MOHEIMANI, S. O. R. (ED.).Perspectives in robust con-trol. London: Springer Berlin, 2001. p. 241–257. Lectures notes in controland information sciences, 268. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://books.google.com.br/books?id=mz2r1XJqtPAC&printsec=frontcover&hl=pt-PT&source=gbs_ge_summary_r&cad=0♯v=onepage&q&f=false>.
PIPELEERS, G.; DEMEULENAERE, B.; SWEVERS, J.; VANDENBERGHE, L. ExtendedLMI characterizations for stability and performance of linear systems.Systems & ControlLetters, Amsterdam, v. 58, n. 7, p. 510 – 518, 2009.
QUANSER.Active Mass Damper - One Floor (AMD-1), User Manual. [S.l.], 2012a.
QUANSER.Specialty Plant: Shake Table II - Position Control and Earthquake Analysis, UserManual. [S.l.], 2012b.
SHORTEN, R.; WIRTH, F.; MASON, O.; WULFF, K.; KING, C. Stability criteria for switchedand hybrid systems.SIAM Review, Philadelphia, v. 49, p. 545–592, 2007.
SILVA, E. R. da; ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C.; FARIA, F. A.; BUZACHERO, L. F.Parameter-dependent Lyapunov functions for state-derivative feedback control in polytopiclinear systems.International Journal of Control, Abingdon, v. 84, n. 8, p. 1377–1386, 2011.
SILVA, E. R. da; ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C.; FARIA, F. A.; BUZACHERO,L. F. Less conservative control design for linear systems with polytopic uncertainties viastate-derivative feedback.Mathematical Problems in Engineering, New York, v. 2012, p. 1–21,2012.
SKAFIDAS, E.; EVANS, R.; SAVKIN, A.; PETERSEN, I. Stability results for switchedcontroller systems.Automatica, Tarrytown, v. 35, n. 4, p. 553–564, 1999.
SKELTON, R. E.; IWASAKI, T. E.; GRIGORIADIS, K.A unified algebric approach to controldesign. Bristol: Taylor & Francis, 1997. 304 p.
SOLO, V. On the stability of slowly time-varying linear systems.Mathematics of Control,Signals, and Systems (MCSS), London, v. 7, p. 331–350, 1994.
SOUZA, W. A.; TEIXEIRA, M. C. M.; SANTIM, M. P. A.; CARDIM, R.; ASSUNÇÃO,E. On switched control design of linear time-invariant systems with polytopic uncertainties.Mathematical Problems in Engineering, New York, v. 2013, p. 10 p., 2013.
SOUZA, W. A.; TEIXEIRA, M. C. M.; SANTIM, M. P. A.; CARDIM, R.; ASSUNÇÃO,
REFERÊNCIAS 117
E. On switched regulator design of uncertain nonlinear systems using takagi-sugeno fuzzymodels.IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2014. Acesso em: 01 abr. 2014. In press.Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=0672291>.
SOUZA, W. A. de.Projeto de controladores robustos chaveados para sistemasnão linearesdescritos por modelos Fuzzy Takagi-Sugeno.2013. 92f. Tese (Doutorado em Automação) —Faculdade de Engenharia, Universidade Estadual Paulista,Ilha Solteira, 2013.
TAKAGI, T.; SUGENO, M. Fuzzy identification of systems and its applications to modelingand control.IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, New York, v. 15, n. 1, p.116–132, 1985.
TANAKA, K.; HORI, T.; WANG, H. A multiple Lyapunov function approach to stabilizationof fuzzy control systems.IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Piscataway, v. 11, n. 4, p.582–589, 2003.
TANAKA, K.; IKEDA, T.; WANG, H. Fuzzy regulators and fuzzy observers: relaxed stabilityconditions and lmi-based designs.IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Piscataway, v. 6, n. 2,p. 250–265, 1998.
TANAKA, K.; IWASAKI, M.; WANG, H. Stability and smoothness conditions for switchingfuzzy systems. In: PROCEEDINGS OF THE AMERICAN CONTROL CONFERENCE,2000.Chicago.Proceedings of the...Chicago: IEEE, 2000a. v. 4, p. 2474–2478. Acesso em: 01 abr.2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=878627>.
TANAKA, K.; IWASAKI, M.; WANG, H. Stable switching fuzzy control and its applicationto a hovercraft type vehicle. In: FUZZY SYSTEMS, 2000, FUZZ IEEE 2000. ONCONFERENCE THE IEEE INTERNATIONAL, 19. San Antonio, 2000.Conference on...SanAntonio: IEEE, 2000b. v. 2, p. 804–809.
TEIXEIRA; ASSUNÇÃO, E.; AVELLAR, R. G. On relaxed LMI-based designs for fuzzyregulators and fuzzy observers.IEEE Transactions on Fuzzy Systems, Piscataway, v. 11, n. 5,p. 613–623, 2003.
WANG, J.; LI, X.; GE, Y.; JIA, G. An LMI optimization approachto lyapunovstability analysis for linear time-invariant systems. In:CONTROL AND DECI-SION CONFERENCE, 2008. CCDC 2008, CHINESE. Yantai.Conference on...Yantai: IEEE, 2008. p. 3044–3048. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=4597885>.
WICKS, M.; PELETIES, P.; DECARLO, R. Construction of piecewise lyapunov functionsfor stabilizing switched systems. In: ON CONFERNCE DECISION ANDCONTROL,PROCEEDINGS OF THE IEEE CONFERENCE, 33, 1994. Lake Buena Vista.Proceedings ofthe...Lake Buena Vista: IEEE, 1994. v. 4, p. 3492 –3497,.
YANG, G. hong; DONG, J. Switching fuzzy dynamic output feedback H∞ control fornonlinear systems.IEEE Transaction on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics,New York, v. 40, n. 2, p. 505–516, 2010. Acesso em: 01 abr. 2014. Disponível em:<http://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?arnumber=05291778>.
118 REFERÊNCIAS
119
APÊNDICE A - MÉTODO
PATH-FOLLOWING PARA SOLUÇÃO DE BMIS
Neste apêndice insere-se o algoritimo utilizado para a solução das BMIs (121) aplicando o
métodopath-following(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999). A ideia básica deste método (CHEN
et al., 2012), consiste em resolver BMIs linearizadas restringindo o tamanho do incremento
das variáveis bilineares. Devido a este tipo de linearização, os termos linearizados de segunda
ordem podem ser desprezados.
Baseado no apêndice de (CHEN et al., 2012), especificam-se, a seguir, os passos para a
solução do critério de estabilidade do Teorema 14 com o método path-following. Note que o
algoritmo pode ser utilizado para solucionar as BMIs dos Teoremas 13, 15, 16 e 17, com as
devidas adequações.
Passo 1:Definaη = 0 e escolha aleatoriamenteγ jks > 0;
Passo 2:Escolhaγ jks = γ jks(η) e solucione o seguinte problema de otimização:
minPk
α sujeito a Pk > 0 e (121); (167)
Passo 3:ParaPk obtido noPasso 2, resolva o seguinte problema de otimização, com as
versões linerizadas das desigualdadesPk > 0 e (121) em torno dePk e γ jks:
min∆Pk,δγ jks
α sujeito a (169)− (173) (168)
Pk+∆Pk > 0, k∈KM (169)
γ jks+δγ jks > 0, j ∈K e k,s∈KM (170)
[
0,05P2k ∆Pk
∆Pk In
]
> 0, k∈KM (171)
120 APÊNDICE A - Método path-following para solução de BMIs
[
0,05γ2jks δγ jks
δγ jks In
]
> 0, j ∈K e k,s∈KM (172)
ATj (Pk+∆Pk)+(Pk+∆Pk)A j +
M∑
s=1[γ jks(Ps−Pk)+
γ jks(∆Ps−∆Pk)+δγ jks(Ps−Pk)]−Yjk < α(Pk+∆Pk).
(173)
As LMIs (171) e (172) foram adicionadas para minimizar a perturbação das variáveisPk e