Пояснювальна записка. Загальновідомо, що учню недостатньо мати відмінні знання шкільної програми, щоб перемагати в математичних олімпіадах різних рівнів або скласти вступні іспити у ВНЗ. Підготовка учнів передбачає оволодіння знаннями і вміннями, які виходять за межі програми з математики для загальноосвітньої школи і вимагає від вчителя клопіткої роботи. Запропонований практичний довідник має на меті: 1. Продемонструвати основні підходи до розв’язування рівнянь вищих степенів. 2. Сформувати вміння учнів розв’язувати рівняння вищих степенів. 3. Виховувати прагнення до самостійного пошуку знань та використовувати їх на практиці. 4. Користуватися дослідницькими прийомами: збирати необхідну інформацію, аналізувати її та робити потрібні висновки. 5. Розвивати пізнавальний інтерес і творчі здібності у якомога більшого числа учнів. 6. Розвивати комунікативні навички. 7. Залучати учнів до активних занять математикою. Основні завдання довідника: 1. Підвищення інтересу учнів сільських і міських загальноосвітніх шкіл до вивчення математики.
64
Embed
„Методи розв’язування рівнянь вищих степенів ... · Web viewРозділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Пояснювальна записка.
Загальновідомо, що учню недостатньо мати відмінні знання шкільної
програми, щоб перемагати в математичних олімпіадах різних рівнів або скласти
вступні іспити у ВНЗ. Підготовка учнів передбачає оволодіння знаннями і
вміннями, які виходять за межі програми з математики для загальноосвітньої школи
і вимагає від вчителя клопіткої роботи. Запропонований практичний довідник має
на меті:
1. Продемонструвати основні підходи до розв’язування рівнянь вищих
степенів.
2. Сформувати вміння учнів розв’язувати рівняння вищих степенів.
3. Виховувати прагнення до самостійного пошуку знань та
інформацію, аналізувати її та робити потрібні висновки.
5. Розвивати пізнавальний інтерес і творчі здібності у якомога більшого
числа учнів.
6. Розвивати комунікативні навички.
7. Залучати учнів до активних занять математикою.
Основні завдання довідника:
1. Підвищення інтересу учнів сільських і міських загальноосвітніх шкіл до
вивчення математики.
2. Активізація роботи факультативів, гуртків, секцій, наукових товариств
та інших форм позакласної і позашкільної роботи зі школярами.
3. Надання допомоги учням старших класів у виборі майбутньої професії.
4. Залучення викладачів, аспірантів, студентів і співробітників науково-
дослідних інститутів до активної допомоги школі і пропаганди математичних
знань.
Довідник містить 10 розділів, у кожному з яких виділено рубрики:
“Це треба знати!”
“Самовчитель”
“Перевір себе”
У рубриці “Це треба знати!” наведено основні теоретичні відомості з певної
теми. Матеріал рубрики дозволить найбільш повно осмислити і систематизувати
теоретичний матеріал.
У рубриці “Самовчитель” наведено приклади розв’язування типових
завдань. В одних випадках це завдання, що ілюструють деякий алгоритм; в інших –
завдання, на прикладі яких показано різні способи розв’язання однієї проблеми.
У рубриці “Перевір себе” подано завдання, призначені для перевірки
навчальних досягнень. Правильність виконання завдань можна перевірити за
правильними відповідями, наведеними в кінці довідника.
Опрацювавши цей довідник, учні зможуть систематизувати й узагальнити
свої знання, уміння та навички з даної теми.
Автор зичить успіхів всім у нелегкій роботі та з вдячністю прийме всі
зауваження і пропозиції.
ЗмістПередмова
Теорія плюс практика
Розділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання лівої частини рівняння
на множники
1. Застосування основних формул множення
2. Введення нових допоміжних членів
3. Застосування основної теореми алгебри та теорем Безу і Вієта
4. Метод невизначених коефіцієнтів
Розділ II. Кубічні рівняння, їх розв’язування
2.1. Повні кубічні рівняння, їх розв’язування
2.2. Зведені неповні кубічні рівняння, їх розв’язування.
Розділ III. Зворотні рівняння, їх розв’язування
1. Зворотні рівняння парного степеня, їх розв’язування
2. Зворотні рівняння непарного степеня, їх розв’язування
Розділ IV. Симетричні рівняння, їх розв’язування.
Розділ V. Однорідні рівняння, їх розв’язування.
Розділ VI. Розв’язування рівнянь різних структур:
1. Рівняння виду
де
2. Рівняння виду ,
де ;
3. Рівняння виду
4. Рівняння виду
5. Рівняння виду .
Розділ VII. Розв’язування рівняння методом введення параметра замість
сталого коефіцієнта рівняння.
Розділ VIII. Метод Феррарі введення параметра для розв’язування рівнянь
четвертого степеня.
Розділ IX. Розв’язування рівняння методом заміни рівняння системою двох
рівнянь з двома невідомими.
Розділ X. Інші цікаві методи розв’язування рівнянь вищих степенів
Розділ I. Розв’язування рівнянь методом розкладання лівої
частини рівняння на множники Існують такі способи розкладання многочлена на
множники:
Винесення за дужки:
За дужки можна виносити будь-який множник:
Наприклад,
чи
Групування.
Застосування основних формул множення :
( +
Ведення нових допоміжних членів :
Наприклад,
Виділення повного квадратного або куба :
Наприклад,
Розглянемо деякі більш складні приклади розкладання на множники:
а) ;
б) ;
в) ;
г) .
Застосування основної теореми алгебри та теорем Безу і Вієта
Основна теорема алгебри:
Це треба знати!
Нехай задано рівняння fx=0. Якщо функцію fx можна подати у вигляді
добутку функцій q1, q2,…, qn, то розв’язком рівняння fx=0 є об’єднання множин
розв’язків цих функцій.
Теорема Безу:
Означення: Рівняння вигляду
де невідоме, називається цілим раціональним рівнянням
n- го степеня.
Якщо a0=1, то рівняння зведене з цілими коефіцієнтами.
Теорема: якщо рівняння (*) має раціональний корінь, то цей корінь - ціле
число, що є дільником вільного члена
Схема Горнера
Нехай потрібно поділити многочлен степеня n на двочлен (х-а). В частці
одержимо многочлен степеня n-1, а в остачі не буде міститися х. Можна записати:
На основі тотожності многочленів маємо:
Знайдемо коефіцієнти частки і остачі:
При використанні схеми Горнера зручно користуватися таблицею
а0 а1 а2 а3 … аn-1 аn
b0=а0
b1 =
=а1+b0a
b2 =
=а2+b1a
b3 =
=а3+b2а…
bn-1 =
=an-1+bn-2a
bn =
=an+bn-1a
Теорема Вієта:
Якщо зведене квадратне рівняння має дійсні корені, то їх сума
дорівнює – p, а добуток q.
Метод невизначених коефіцієнтів
Приклад 1.
2A=4, A=2, тоді B=-1.
Отже,
Приклад 2.
-А=3.
Отже,
Розклад многочлена на множники
Розклад на множники за допомогою групуванняЧлени многочлена групуються так, щоб вони мали спільний множник, який
виноситься за дужки.
Приклад 1. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування
Групуємо два перші та два останні члени:,
а далі виносимо за дужки спільний множник :, .
Відповідь: .Приклад 2. Розв’язати рівняння:
.
Розв’язування
Віднімемо і додамо , а число 20 розіб’ємо на два доданки 16 і 4:
Рівняння розпадається на два рівняння:
.
Відповідь: 2.
Використання формул скороченого множенняПриклад 3. Розв’язати рівняння:
.
Розв’язування
Подамо ліву частину рівняння у вигляді добутку:.
Самовчитель
Рівняння розпадається на два рівняння:,
, .Відповідь: 1; 7; -1±2√2.
Приклад 4. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування
Розкладемо ліву і праву частини рівняння на множники:
Дістанемо рівняння,
яке розпадається на два рівняння:, ,
, .Відповідь: ; -⅔; -½; 3.
Виділення повного квадрата або куба двочленаПриклад 5. Розв’язати рівняння:
.
Розв’язування
Виділимо повні квадрати:,
, .Остаточно маємо:
, ;, .
Відповідь: -1±√3. Приклад 6. Розв’язати рівняння:
.
Розв’язування
Виділимо повний куб двочлена:, , .
Відповідь: .
У разі виділення повного куба деякі кубічні рівняння можна перетворити до вигляду
, або .Далі з розкладів
,
знаходимо за формулою:
. (1)
Приклад 7. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування
Знайдемо згідно з формулою (1):
.
Далі, скориставшись розкладом,
запишемо рівняння у вигляді, ,
, .
Відповідь: .
Приклад 8. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування Знайдемо згідно з формулою (1):
.
Подавши початкове рівняння у вигляді,
помноживши його на 9 і скориставшись розкладом куба суми,
дістанемо:, ,
, .
Відповідь: .
Приклад 9. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування Знайдемо згідно з формулою (*):
.
Скориставшись розкладом
,
перепишемо початкове рівняння у вигляді:
, ;
, .
Відповідь: .
Приклад 10. Розв’язати рівняння:
Розв’язування
1) Виділимо повний квадрат:
,
2) Використаємо формулу скороченого множення:
Відповідь: .
Приклад 11. Розв’язати рівняння:
.
Розв’язування
1) Введемо нові допоміжні члени:
2) Виділимо повний квадрат через групування:
3) Використаємо формулу скороченого множення:
Ø
Відповідь: Ø
Приклад 12. Розвязати рівняння:
Розв’язування
24÷ ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±12; ±24.
корінь рівняння.
0
x - 2
0
Відповідь: 1; 2; 3; 4.
Приклад 13. Розв’язати рівняння:
Заміна:
1)
бо
0
2) у³ +6у²– 8у – 32 =0; , бо f(-2)=0.
у³ +6у²– 8у – 32 у+2
y2+4y-16
3)
Згадаємо, що , тоді маємо
Відповідь: .
Схема Горнера
Приклад 14. Розв’язати рівняння:
, 36 ÷ ±1; ±2; ±3; ±4…
Розв’язування
За схемою Горнера маємо:
1 -2 -11 12 36
1 1 -1 -12 0 36
-1 1 -3 -8 20 16
2 1 0 -11 -10 16
-2 1 -4 -3 18 0
-2 1 -6 9 0
3 1 -3 0
3 1 0
Відповідь:
1 ряд
2 ряд
Метод невизначених коефіцієнтівПриклад 15. Розв’язати рівняння:
, раціональних коренів рівняння не має.
1 крок: Подамо ліву частину у вигляді добутку двох квадратних тричленів:
=
2 крок: Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях х:
3 крок: Якщо b = – 1, d = – 5, то
4 крок:
,
5 крок: Якщо b = 1, d = 5, то система не має розв’язків.
Відповідь: , .
Приклад 16. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування
Це рівняння не має раціональних коренів.Спробуємо розкласти даний многочлен на два квадратні множники з цілими
коефіцієнтами:.
Розкриваючи дужки і зрівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістаємо систему рівнянь:
,
де — цілі числа. З останнього рівняння знаходимо, що можливі такі випадки:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
Оскільки квадратичні множники перестановочні, то випадки 1—4 повторюють випадки 5—8. Тому розглядатимемо лише випадки 1—4.
1. . Із системи рівнянь
знаходимо .Оскільки не є цілим числом, то розкладання на квадратичні множники з цілими
коефіцієнтами неможливе.2. . З системи рівнянь
знаходимо .Значення не є цілим числом.3. . Із системи рівнянь
знаходимо .Значення не є цілим числом.4. . Із системи рівнянь
знаходимо .Перевіряємо, чи виконується рівність : . Отже,
маємо розклад на множники:.
Розв’язуємо відповідні квадратні рівняння:, ,
, .
Корені щойно розглянутого рівняння — ірраціональні числа. Проте викладений спосіб розкладання на множники можна застосовувати й у разі, коли рівняння має раціональні корені.
Відповідь: ; .
Приклад 17. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування
Шукаємо розклад лівої частини рівняння на квадратні множники у вигляді: .
Приходимо до системи рівнянь із цілими коефіцієнтами :
.
Узявши , дістанемо систему рівнянь
звідки знайдемо Отже, маємо шуканий розклад на множники:
.Остаточно маємо:
, ,, .
Відповідь: ; .
Приклад 18. Розв’язати рівняння:х - 4х - 10х +37х-14=0
Розв’язування
Аналогічно,за формулою (*) маємо систему:
a=-5; b=2; c=1; d=-7. Тоді ,
Відповідь:
Вправи для самостійного розв’язування.
Розв’язати рівняння:
1) Відповідь: -1; 3.
2) х Відповідь: .
3) Відповідь: 1; -2; ; -5.
4) Відповідь: 1; 3.
5) Відповідь: -2; 3.
Перевір себе
6) Відповідь: ; .
7) Відповідь: -5; -3; -1.
8) Відповідь: -4; -2; 1; 2.
9) Відповідь: -1; ; 1; 3.
10) Відповідь: 2.
Розділ II. Кубічні рівняння, їх розв’язування
Математики постійно стикалися із задачами, що приводили їх
до розв’язування рівнянь 3, 4, 5-го степенів. Найчастіше 3-го.
Протягом багатьох сотень років учені безуспішно шукали рішення рівнянь 3-
го степеня.
Розв’язування одного виду кубічного рівняння було відкрито талановитим
узбецьким ученим з м. Самарканд Джемшидом аль-Паші (помер близько 1456 року).
Геометричний метод розв’язування одного виду чисельного кубічного рівняння був
відомий ще Архімеду. Алгебраїчний же метод рішення кубічного рівняння протягом
багатьох століть залишався невідомим. Перший крок у цьому напрямі зробив на
початку XVI століття італійський учений Сціліон дель Феро. Він знайшов розв’язок
рівняння х3+ах=b при a>0 і b>0. Своє розв’язання він повідомив і спадкоємцю по
кафедрі Фіорі. Той скористався цим секретом і викликав на математичний двобій
талановитого вченого Нікколо Тарталью (1500 – 1557), розраховуючи „вбити” своїм
умінням розв’язувати кубічні рівняння. Тарталья довідався, що Фіоре знає
таємницю розв’язання кубічного рівняння, і за тиждень до двобою самостійно
знайшов розв’язок рівняння більш загального вигляду x3+px=q, для будь-яких р і q.
12 лютого 1535 року, у день двобою, Тарталья розв’язав усі 30 задач Фіоре і
переміг його.
Ось рівняння Тартальї, записані в нашій символіці:
Рівняння виду:
х3 + рх + q = 0 має
Усяке рівняння 3-го степеня може бути зведене за допомогою спеціальної
підстановки до вигляду x3+px=q.
Цікаво знати
Свій спосіб Тарталья повідомив по секрету ученому Кордано, який
опублікував, його у своїй книзі. З тих пір формула зветься „формулою Кардано”.
Учень Кардано, Феррарі (XVI століття) знайшов формулу коренів рівняння
4-го степеня. Таким чином до кінця XVI століття вміли виражати корені рівнянь 1,
2, 3, 4-го степенів через їхні коефіцієнти за допомогою шести дій (додавання,
віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня і здобування кореня) при
цьому кількість дій, необхідних для знаходження коренів, була нескінченною.
Протягом XVII-XVIII століття багато математиків безуспішно намагалися
знайти подібну формулу для розв’язання рівнянь 5, 6-го степеня і більш високих.
На початку XIX століття норвезький математик Нільс Абель (1802-1829)
довів, що рівняння п’ятого степеня і вищого в загальному вигляді не розв’язні в
радикалах (тобто не можна виразити їхні корені за допомогою шести дій).
З чисто практичної точки зору не завжди обов’язкове знання точних коренів
рівнянь вищих степенів. У науці розроблено численні методи наближеного
розв’язання рівнянь. Один із кращих способів належить великому російському
математику Н.І.Лобачевському.
Повні кубічні рівняння розв’язуються розкладанням
лівої частини на множники
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
Розкладемо ліву частину рівняння на множники за схемою
Горнера.
45: ±1; ±3; ±5…1 -1 -21 45
+1 1 0 -21 24
-1 1 -2 -18 63
3 1 2 -15 0
3 1 5 0
-5 1 0
Отже,
Відповідь:3; -5.
Приклад 2.
Це треба знати!
Самовчитель
Нехай Тоді
Підставляючи по черзі дільники числа 72 в рівняння,
знаходимо, що корінь.
─72
у2+6у─36
; .
Пригадаємо, що Тоді
Відповідь:
Зведене неповне кубічне рівняння. Дані рівняння легко розв’язати за
універсальною підстановкою:
Зокрема, відома формула Кардано для даного рівняння має вигляд:
Приклад 3. Розв’язати рівняння:
Розв’язування
Використовуємо універсальну підстановку:
Маємо:
Це треба знати!
Самовчитель
Перейдемо до системи:
Підбором визначаємо:
Відповідь:
Приклад 4. Розв’язати рівняння:
Розв’язування
Спробуємо розв’язати без універсальної підстановки.
Для цього розкладаємо на множники:
= =
або
Відповідь:
Приклад 5. Розв’язати рівняння:
Розв’язування
Скористаємося попереднім методом:
або
Ø
Відповідь:
Приклад 6. Розв’язати рівняння:.
Розв’язування Вважаючи , приходимо до рівняння
.Зводимо рівняння до системи рівнянь
З рівняння знаходимо .
Із квадратного рівняння знаходимо .
1) ;
2) .
При і дістаємо одне значення . Решту розв’язків можна знайти, скориставшись комплексними числами.
Вправи для самостійного розв’язування.
1. Відповідь: -5; -3; -1.
2. Відповідь: 1.
3. Відповідь: 1; .
4. Відповідь: .*
* Вказівка: за формулою Кардану.
5. х3 – 7х – 6 = 0, Відповідь: -1; -2; 3.
6. 2х3 + х + 3 = 0, Відповідь: -1.
7. 2х3 + 2х – 60 = 0, Відповідь: 3.
8. х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0, Відповідь: 1; 2; 3.
9. 3х3 + х – 26 = 0, Відповідь: 2.
10. 2х3 + 4х2 + х + 2 = 0, Відповідь: -2.
Розділ III. Зворотні рівняння, їх розв’язування. Зворотні рівняння парного степеня, їх розв’язування.
Означення: Рівняння виду де
називається зворотним.
Нехай = .
не є коренем цього рівняння. Тоді обидві частини рівняння ділимо на
Перевір себе
Це треба знати!
Маємо:
Далі групуємо доданки, виносимо множники a i b за дужки і робимо заміну:
При розв’язуванні зворотних рівнянь виду: де
ділемо на
Приклад 1. Розв’язати рівняння:
Розв’язування
1) – рівняння зворотне,
2) бо
3)
4)Заміна:
5)
Тоді маємо:
6) або
Відповідь: ;
Приклад 2. Розв’язати рівняння:
1) Зворотне рівняння,
2) Проведемо групування:
3) , тому поділимо обидві частини рівняння на .
Самовчитель
4) Позначимо: тоді
5) Отримаємо рівняння:
5) Повернемося до змінної х:
Тільки рівняння має розв’язки на множині дійсних чисел.
Відповідь: 1; 2.
Зворотні рівняння непарного степеня, їх розв’язування.