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TECHNISCHE MECHANIK 6(1985)Heft2
Manuskripteingang: 22. 5.1984
Anwendung der Konjugierte-Gradienten-Methode bei der Lösung
elastoplastisdier Aufgaben mit Hilfe der Methode der finiten Elemente
Dobril Christow, Marco Todorow
l. Einleitung
Untersuchungen von plastischen Spannungs- und Verzer-
rungszuständen mit Hilfe der Methode der finiten Ele-
mente benutzen hauptsächlich die Methode der Anfangs-
(Zusatz-)lasten [l], Die Methode der veränderlichen
Steifigkeit [l], [8] wird selten verwendet, weil die Re-
chenzeiten zur Lösung der Gleichungssysteme durch di-
rekte Methoden unvertretbar lang sind. Es ist aber be-
kannt [2], [9], daß sie physikalisch genauer die plasti-
sche Verformung beschreibt und schneller, was die An-
zahl der lterationsschritte betrifft, als die anderen Ver-
fahren konvergiert.
ln der vorliegenden Arbeit wird die Methode der verän-
derlichen Steifigkeit mit der Konjugierte-Gradienten-
Methode (KGM) [3], [4], [6], [10] verbunden, die in
diesem Falle bestimmte Vorteile vor den direkten Ver-
fahren zur Lösung von Gleichungssystemen besitzt.
2. Die Konjugierte-Gradienten-Methode
Der Grundgedanke der Methode der finiten Elemente,
angewendet auf das Funktional der gesamten potentiel-
len Energie, führt bei der linearen Elastizität zur Glei-
chung
H(u)=äuTKu—uTb. (1)
Hier sind:
H(u) — die gesamte potentielle Energie des elastischen
Systems,
u — die unbekannten verallgemeinerten Knotenver-
schiebungen, -
b — die vorgegebenen verallgemeinerten Knoten-
kräfte,
K ~ die Gesamtsteifigkeitsmatrix.
Die Matrix K ist symmetrisch und bei korrekt eingebau-
ten Randbedingungen positiv definit.
Die Forderung nach Extremum von (1) fiihrt zum linea-
ren Gleichungssystem
Ku=b (m
Die Lösung“ von (2) mit Hilfe der KGM erfolgt nach dem
Algorithmus [4]:
‘V\
v1=q=b_Kg, q
m=Kn‚ W
_V. 'l'i
_ T. ‚
Vi Pi;
“i =ui_1+aivi, 5" fiiri=1,2,...,n.
ri+1 =fi—“iPi»
531"“ßi =—T_*~a
v'r-
i
"i+1 = l‘i+1 + 5m
Hier sind
uo — eine beliebige Anfangsnäherung,
ri — die Abweichung,
vi —— der Richtungsvektor,
n — die Anzahl der Gleichungen in
Theoretisch kommt man zur exakten Lösung von (2)
nach n Iterationsschritten. Eine Reihe von Forschungen
[6], [10] zeigen aber, daß man eine fiir die Praxis ausrei-
chende Genauigkeit nach bedeutend weniger Iteratio-
nen m erhalten kann. Mit
m27°n‚ (4)
für die in [6] untersuchten Gleichungssysteme (n =
363 . . . .2421) gilt '7 = 0,1 v. . . 0,23. Die gleichen Verfas-
ser bemerken, daß mit wachsendem n, 7 kleiner wird.
Zur Beendigung der Prozedur (3) kann man verschiedene
Kriterien verwenden. In [10] wird die Befriedigung der
Ungleichung
f’ir'l'i
er: lBuße] <5)
vorgeschlagen. Dabei ist Ei der vorgeschriebene Fehler
für die mittlere quadratische Abweichung vom Gleich-
gewichtszustand der Knoten. Als ein anderes Kriterium
[3] wird die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgen-
den Näherungen benutzt:
Ilui—ui 1" "vi"
: ___;__ 2 . __ < ‚ 6
ex ||ui_1|| “I ||ui_1|| \62 Ü
wobei H. . . ll als Euklid, bzw. als Maximumnorm aufzu-
fassen ist.
Man kann zeigen [4], daß für jedes i der Prozedur (3) die
Ungleichung
"MH)<HM)
erfüllt ist. Dieser Umstand gewährleistet die Konvergenz
der KGM. Man kann weiterhin zeigen, daß gilt
51
Bild l
Vergleich der Konvergenzkriterien
Ä
5% er
5x ex
1.0 0,1 <
QJ - am
0 0‚
1 1o 20 3'0 4'0 5'0 - I Iterationen
fl (“i+1) _ [I : _ ä ai [fir ‚i ‚ (7) cherplätze. Gleichzeitig erhöht sich aber die Anzahl der
Bezeichnet man mit H* eine Näherungsschätzung für die
Arbeit der äußeren Kräfte, so kann man als Kriterium für
die Exaktheit der Lösung auch die Ungleichung
(Xi r? l'i
_ 2 II*
verwenden.
Auf Bild 1 sind die relativen Fehler entsprechend (5),
(6) und (8) über der Anzahl der Iterationen aufgetragen.
Die Kurven beziehen sich auf die Lösung des Glei-
chungssystems für das Beispiel von Bild 6. Man sieht,
daß zwischen den einzelnen Kurven kein großer qualita-
tiver Unterschied existiert Bei der weiteren Arbeit
wurde deshalb das Kriterium (5) angenommen, welches
g E3 i
einen klaren physikalischen Sinn hat.
Die Vorteile der KGM vor der Lösung der linearen FEM-
Gleichungssysteme mit direkten Verfahren sind fol-
gende:
a) Die Steifigkeitsmatrix kann in voll verdichteter Form
dargestellt werden. Dabei werden alle Nullelemente aus-
geschlossen. Das führt zu Verminderung der Anzahl der
Fließkommaoperationen und der erforderlichen Spei-
52
Operationen mit ganzen Zahlen, die aber bedeutend
schneller als die Fließkommaoperationen durchgeführt
werden. Bezeichnet man mit Ä die mittlere Zahl der
Knoten, die einen Beitrag zum Gleichgewicht eines be-
stimmten Knotens haben, und mit K die Anzahl der
Unbekannten pro Knoten, so gilt für die Anzahl N der
von Null verschiedenen Elemente der Matrix K
nv K ..
2 (M + x + 1), <9)
worin nv die Knotenanzahl ist.
Der Koeffizient Ä hängt von den topologischen Eigen-
schaften des Netzes und von der Ordnung der Form-
funktion ab. Für ebene Aufgaben und finite Elemente
mit linearen Ansätzen für die Verschiebungen ist Ä z 7;
fiir quadratische Ansätze ist Ä ä 15. Für räumliche Pro-
bleme und lineare Verschiebungsfunküonen ist Ä z 27.
Die verdichtete Darstellung der Matrix K erfordert zu-
sätzliche Speicherplätze für die auf die Lage der von
Null verschiedenen Elemente hinweisende Informa-
tion. Es kann gezeigt werden, da5 dafür
N:
N1 z 25 (x + 4) (10)
ganze Zahlen notwendig sind. Auf Bild 2 ist die Größe
3h
0,3-
a2.
a1
500
Bild 2
Die erforderlichen Hauptspeicherplätze in Kbyte für die Unter-
bringung des Gleichungssysteme bei:
——— verdichteter Speicherung
—‚—.— sky-line—Speicherung
— über n = nv ' K aufgetragen, wobei C die notwendigenn
Speicherplätze in Kbyte sind.
In den für die verdichtete Speicherung der Matrix K not—
wendigen Speicherplätzen sind auch Plätze für die Ar-
beitsfelder zur Lösung des Gleichungssystems und die
Adressenmatrizen vorgesehen. Auf demselben Bild sind
ebenfalls die notwendigen Speicherplätze aufgetragen,
für den Fall, daß die Matrix K als Band-sky-line-Matrix
gespeichert wird. Der Koeffizient
ß = A + 1 ‚nv
wobei A die größte Knotennummerdifferenz ist, hängt
von der Art der Nummerierung ab. Falls sie günstig ist,
nimmt ß meistens Werte im Intervall 0,07 bis 0,3 an.
Aus Bild 2 ist ersichtlich, daß bei vorhandenem Spei-
cherraum von 64 Kb und verdichteter Matrix, ohne ex-
terne Speicher bis 1000 Gleichungen gelöst werden kön-
nen. Bei Bandmatrix (ß = 0,1) kann man unter gleichen
Bedingungen nicht mehr als 400 Gleichungen lösen.
b) Die Matrix K ändert sich nicht während der Proze-
dur (3) der KGM. Wird es notwendig, die Werkstoff-
konstanten bzw. die geometrischen Kennwerte eines
finiten Elementes zu verändern, trifft dies auf ganzde-
finite Weise leicht bestimmbare Teile der Gesamtsteifig-
keitsmatrix K. Falls man dagegen eine direkte Lösungs-
methode verwendet, inuß man die ganze Matrix K neu
bilden, bzw. von einem externem Speicher neu einlesen.
(11)
c) Die Lösung des Gleichungssystem kann mit einer be-