anualidades

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Guía Didáctica: Matemáticas Financieras

CAPÍTULO VIANUALIDADES O RENTAS

6.1. Presentación

6.2. Objetivo General

6.3. Objetivos Específicos

6.4. Anualidades o rentas

6.4.1. Clasificación de las anualidades o rentas

6.4.2. Anualidades vencidas

6.4.3. Monto de una anualidad

6.4.4. Valor actual de una anualidad

6.4.5. Cálculo de la renta o pago periódico

6.4.6. Cálculo de! número de periodos de pago

6.4.7. Cálculo de la tasa de interés (i)

6.5. Anualidades anticipadas

6.6. Gradiente

6.7. Actividades de ejercitación

6.8. Actividades de auto evaluación

6.9. Actividades de repaso.

CAPÍTULO VIIAMORTIZACIÓN Y FONDOS DE AMORTIZACIÓN

7.1. Presentación

7.2. Objetivo general

7.3. Objetivos específicos

7.4. Amortización

7.4.1. Cálculo de la cuota o renta

7.4.2. Capital insoluto y tabla de amortización

7.4.3. Forma de elaboración de la tabla de amortización gradual

7.4.4. Cálculo del saldo insoluto

7.4.5. Reconstrucción de la tabla de amortización

7.4.6. Periodo de gracia

7.4.7. Derechos del acreedor y el deudor

7.4.8. Amortizaciones con reajuste de la tasa de interés

7.4.9. Cálculo de la renta cuando no coincide el periodo de pago con el periodo de capitalización.

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7.4.10. Fondos de amortización o de valor futuro

7.4.11. El saldo insoluto en fondos de amortización




CAPÍTULO VIIIDOCUMENTOS FINANCIEROS

8.1. Presentación

8.2. Objetivo general

8.3. Objetivos específicos

8.4. Sistema Financiero

8.4.1. Mercado de valores

8.4.2. Principales documentos financieros

8.4.3. Precio de los documentos financieros

8.5. Bonos

8.5.1. Características

8.5.2. Fórmula para calcular el precio de un bono

8.5.3. Precio de un bono comparado entre fechas de pago de intereses

8.5.4. Interés redituable de un bono

8.5.5. Bonos cupón cero

8.6. Seguros

8.7. Tasa de interés real

8.8. Tasas de interés internacionales

8.9. Valor actual neto (VAN)

8.10. Tasa interna de retorno




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DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

Iniciaremos con el concepto de Interés Compuesto, a diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan, se denomina capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización.

Para análisis del presente capítulo usted deberá dirigirse al las páginas 123 a la 179 del texto básico.

El interés compuesto se caracteriza porque el interés generado, en una unidad de tiempo, se adiciona al capital y este valor nuevamente gana intereses y se acumula al nuevo capital, y así sucesivamente, tantas veces como periodos de capitalización se hayan establecido.

Para comprender mejor y dar una adecuada aplicación de este criterio, se plantea el siguiente ejemplo:

Calcular el monto, el interés simple y el interés compuesto de un capital de $ 3.000.00 a una tasa de interés del 18% anual durante 6 periodos.

En primer lugar calculamos el interés simple:

I = C.i.t. = 3.000 (0,18) (6 ) = $ 3.240,00 dólares.

M = C (1 + ¡.t) = 3.000[1 +0,18(6)]== $ 6.240,00

En segundo lugar calculamos el interés compuesto:

(Primerperiodo)

M = 3.000 [ 1 + 0,18 (1)] = $ 3.540,00 dólares

(Segundoperiodo)

M = 3.540 [1 +0,18(1)]= $ 4.177,20 dólares

INTERÉS COMPUESTO

CAPÍTULO 5

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(Tercerperiodo)

M = 4.177,20 [ 1 + 0,18 (1) ] = $ 4.929,096 dólares

(Cuarto periodo)

M =4.929,096 [ 1 + 0,18 (1 ) ] = $ 5.816,33 dólares

(Quintoperiodo)

M = 5.816,33 [1+0,18(1)]= $ 6.863,269 dólares

(Sextoperiodo)

M = 6.863,269 [1 + 0,18 (1) ] = $ 8.098,66 dólares-

Del resultado obtenido, podemos de inmediato notar la diferencia, que en el mismo tiempo y con la misma tasa de interés, el monto total que producen:

Monto a interés simple: $ 6.240,00 dólares.

Monto a interés compuesto: $ 8.098,66 dólares.

En el siguiente cuadro observaremos el comportamiento del interés simple y el interés compuesto, y sus respectivos montos:

Periodos MontoInteréssimple

MontoInteréscompuesto Diferencia

1 $ 3.540,00 $ 3.540,00

2 4.080,00 4.177,20 $ 97,20

3 4.620,00 4.929,096 309,096

4 5.160,00 5.816,33 656,33

5 5.700,00 6.863,269 1.163,269

6 6.240,00 8.098,66 1.858,66

Para una mejor comprensión se recomienda a los señores estudiantes analizar detenidamente los gráficos comparativos entre el interés simple - interés compuesto, y los montos a interés simple - interés compuesto. (Páginas 125 - 128) texto básico.

Es importante tener en cuenta previamente el cálculo de las variables (i) y (n), correspondientes a la tasa de interés por periodo de capitalización (i) y el número de periodos de capitalización (n).

Si aplicamos a este mismo ejemplo la fórmula del monto a interés compuesto, el resultado será directo:

M = c(1 + i)n

M = 3.000 (1 + 0,18)6 = 3.000 (2.699554153)

M = $ 8.098,66 dólares



Para el estudio y aplicación de los diferentes conceptos que abarca este capítulo, es necesario familiarizarse con el manejo de las fórmulas que nos servirán para el desarrollo de los ejercicios y problemas propuestos, las mismas que a continuación se detallan:

M = C (1+ i)n (5.1)

I = M - C (5.2)

Fórmula del monto para periodos de capitalización menos de un año- semestral, trimestral, mensual, diaria o continua.

M = C(1+j/m)m.t (5.3)

M = monto

C = capital inicial

J = tasa de interés nominal capitalizable varias veces en un año

m = número de capitalizaciones en el año

t = número de años.

Fórmula de equivalencia tasa nominal - tasa efectiva

( 1 + i) = (1 + j/m)m (5.4)

Para el cálculo de la tasa de interés anticipada, aplicaremos la siguiente fórmula:

1 + i = (1 - d/m )-m (5.5)

Fórmula para el cálculo de la tasa de interés

La tasa no efectiva o nominal puede calcularse partiendo de la fórmula del monto a interés compuesto.

a. M = C (1 + i)n ; b) M = C(1+j/m)m.t

Por tanto; M/C = (1+ i)n

Fórmula para el cálculo del valor actual a interés compuesto, para ello consideramos la fórmula del monto a interés compuesto:

M := C (1 + i)n , de donde despejamos «C», C =

M(1+ i)n

C = M (1 + i)-n (5.6)

También conocemos que, M = C (1 + j/m)m.t, por tanto.

C = M (1 + j/m)-m.t (5.7)

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Fórmula para el cálculo del descuento compuesto:

Dc = M - C

Dc = M - M (1 + i)-n

Dc = M [1 -(1+ i) -n] (5.8)

Fórmula para el cálculo del descuento bancario:

Dbc = M - M [ (¡ -d ) n]

Dbc = M (1 - (i -d) n) (5.9)

Fórmula para el cálculo del tiempo equivalente:

T .E =

M1.t 1

+ M2.t 2

+ M3.t 3

+ M4.t 4

...

M1+ M

2+ M

3+ M

4.....

(5.10)

Finalmente, me permito recomendar a usted, se sirva revisar las páginas de la 104 a la 139 del capítulo cuarto del texto complementario de José Luis Villalobos, en especial lo relacionado a la resolución de problemas.

Señores estudiantes, una vez concluido el estudio del quinto capítulo relacionado con el Interés compuesto y sus aplicaciones en los documentos financieros, ustedes se darán cuenta que cada vez nos vamos adentrando en el difícil pero fascinante mundo de las matemáticas financieras, por ello es indispensable desarrollar las actividades de repaso que se encuentran en las páginas de la 178 a la 179 del texto básico, y de esta forma mantener claros los conceptos analizados.

Amigo estudiante, se le sugiere desarrollar los siguientes ejercicios y problemas que corresponde al capítulo quinto ( Interés compuesto) . Si usted realizó en forma correcta y llegó a la respuesta que consta en el solucionarlo, ¡FELICITACIONES!. Sin embargo, para aprobar los mismos se requiere haber alcanzado por lo menos el 80% de las respuestas correctas, caso contrario revise nuevamente los contenidos y la aplicación correcta de las fórmulas, en especial aquellos conceptos que le resultaron más difíciles.

ACTIVIDADES RECOMENDADAS

ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN



1. Calcular el monto a interés compuesto y a interés simple de un capital de $. 1 800 dólares, colocado durante 10 años a una tasa de interés de 15% anual. Analizar los resultados.

2. Una compañía tiene un préstamo de $. 2 080 a 8 años de plazo con una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular el interés y el monto que debe pagar a la fecha de vencimiento.

3. Calcular el número de periodos de capitalización y la tasa de interés, por periodo de capitalización, de un capital colocado a una tasa de! 20% anual capitalizable semestral mente durante 8 años 9 meses.

4. ¿A qué tasa efectiva de interés equivale una tasa nominal del 15% anual, capitalizable trimestralmente?

5. Un documento de $ 2 500, suscrito el día de hoy a 8 años y 6 meses de plazo, con una tasa de interés de 18% anual capitalizable semestralmente desde su suscripción, es negociado una vez transcurridos 3 años y 6 meses de la fecha de suscripción, con las siguientes opciones: una tasa de interés de 20% efectiva, una tasa de 18% anual, capitalizable semestralmente, una tasa de 14% anual capitalizable trimestralmente. Calcular el valor actual o precio a la fecha de negociación para cada alternativa e indicar si es con premio, a la par o con castigo.

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Para la revisión del presente capítulo debe referirse a las páginas 182 a la 208 del texto básico.

Se relaciona con las anualidades o rentas, las mismas que son utilizadas con mucha frecuencia en el mercado financiero para pagar o ahorrar, está determinada por el sistema de cuotas constantes y periódicas, o sea por el sistema de anualidad. Las anualidades son muy útiles para la elaboración de tablas de amortización gradual, tablas de valor futuro y para el cálculo de cuotas periódicas.

Por otra parte, las anualidades o rentas se emplean en cuotas de pólizas de seguros, cuotas de depósito, cuotas de pago, cálculo actuarial, préstamos a largo plazo, préstamos hipotecarios y otros; por lo tanto, para analizarlas y manejarlas adecuadamente, se requiere un verdadero dominio del interés simple y el interés compuesto, por lo que sugerimos a los señores estudiantes realizar la mayor cantidad de ejercicios y problemas propuestos en el texto guía sobre los conceptos anotados.

«En general, se denomina anualidad a un conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo. Algunos ejemplos de anualidad son:

• Los pagos mensuales por renta

• El cobro semanal, quincenal o mensual de sueldos

• Los abonos mensuales a una cuenta de crédito

• Los pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida.

Se conoce como intervalo o periodo de pago al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el final del último. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace.

TIPOS DE ANUALIDADES:

La variación de los elementos que intervienen en las anualidades se hace que existan diferentes tipos de ellas. Por lo que, conviene, clasificarlas de acuerdo con diversos criterios:

CRITERIO TIPOSDEANUALIDADES

a. Tiempob. Interesesc. Pagosd. Iniciación

Ciertas contingentesSimples, generalesVencidas, anticipadasInmediatas, diferidas

ANUALIDADES O RENTAS

CAPÍTULO 6

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a. Este criterio de clasificación se refiere a las fechas de iniciación y de terminación de las anualidades:

• Anualidad cierta. Sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Ejemplo: al realizar una compra a crédito se fija la fecha en que se debe hacer el primer pago, como la fecha para efectuar el último.

• Anualidad contingente. La fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas, no se fijan de antemano; depende de algún hecho que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Ejemplo; las rentas vitalicias que se otorgan a un cónyuge tras la muerte del otro. El inicio de la renta se da al morir el cónyuge y se sabe que éste morirá, pero no se sabe cuándo.

b. En este caso:

• Anualidad simple. Cuando e! periodo de pago coincide con el de capitalización de los intereses. Es el tipo que será analizado en este capítulo. Ejemplo:

El pago de una renta mensual (X) con interés al 18% anual capitalizable mensualmente.

• Anualidad general. A diferencia de lo anterior, el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización: Ejemplo: el pago de una renta semestral con intereses al 30% anual capitalizable trimestralmente

c. De acuerdo con los pagos:

• Anualidad vencida. Conocida también como anualidad ordinaria y, como su primer nombre lo indica, se trata de casos en los que los pagos se efectúan a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.

• Anualidad anticipada. Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo.

d. De acuerdo con el momento en que se inicia:

• Anualidad inmediata. Es el caso más común. La realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo que sigue inmediatamente a la formalización del trato: Ejemplo: hoy se compra a crédito un artículo que se va a pagar con mensualidades, la primera de las cuales habrá de realizarse en ese momento o un mes después de adquirida la mercancía (anticipada o vencida).

• Anualidad diferida. Se supone la realización de los cobros o pagos: Ejemplo:

se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales, el primer pago habrá de hacerse 6 meses después de adquirida la mercancía.



MONTO

Dada su importancia, vale la pena destacar las características de este tipo de anualidades:

• Simples: el periodo de pago coincide con el de capitalización.

• Ciertas: las fechas de los pagos son conocidas y fijadas con anticipación.

• Vencidas: los pagos se realizan al final de los correspondientes periodos.

• Inmediatas: los pagos se comienzan a hacer desde el mismo periodo en el que se realiza la operación»1.

Ejemplos:

Monto de una anualidad.

Fórmula: S = R

(1 + i)n - 1i

(6.1)

Sea una anualidad o renta de $. 10.000 dólares al final de cada 6 meses durante 4 años, al 15% anual capitalizable semestralmente. (Anualidad vencida).

Solución:

Primero representamos el problema en un diagrama: ( miles de dólares)

R = $ 10.000

i = 0,15/2= 0,075

S = Monto

n = 8 (Tomamos como fecha focal el final del año 4)

S = 10.000

(1 + 0,075)8 - 10.075

S = 10.000 (10.446371)

S = $ 104. 463.71

1 DIAZMATAAlfredo,AGUILERAGÖMEZVíctorM..Cit.,p.126–128.

S 10 10 10 10 10 10 10 10

1 2 3 4 años



Valor actual de una anualidad

Fórmula:

A = R

1 - (1 + i)-n

i

(6.2)

Ejemplo:

Calcular el valor actual de una anualidad de $ 20.000 cada trimestre durante 4 años 6 meses al 18% capitalizable trimestralmente. (Anualidad vencida simple).

R = pago periódico o renta,

i = Tasa de interés por periodos de capitalización: 0,18/4 = 0,045

j = Tasa nominal anual

n = número de períodos de pago: ((4)(4) + 2) =18 rentas

A =Valor actual de una anualidad o suma de los valores actuales de las rentas.

A = 20.000 [ 1 - ( 1 + 0,045 )-18 /0,045 ]

A = 20.000 (1 - 0,452800368/0,045)

A = 20.000 ( 0.547199632/ 0.045 )

A = 20.000( 12.15999182) = $ 243 199.84 Valor actual de la anualidad.

Previo al análisis del texto guía, observaremos que existen tablas de tasas de interés que llegan al 14%, en la presente guía, en los trabajos a distancia y en las evaluaciones presenciales se utilizarán las fórmulas para la resolución de los problemas, por lo que se trabajará con las siguientes fórmulas básicas:

(6.1) Monto de una anualidad; S = R [(1 + i)n -1/i]

(6.2) Valor actual de una anualidad: A = R [1 - (1 + i)-n /i]

(6.3) Cálculo de la renta o pago periódico: R =

S.i(1 + i)n - 1

(6.4) Cálculo de la renta a partir del valor actual: R

A.i1 - (1 + i)-n

(6.5) Cálculo del número de períodos de pago:

Partimos de la fórmula del monto (S) y calculamos (n), aplicando logaritmos.

Log(Si/R + 1)Log(1 + i)

= n

0 1 2 3 4 5 añosF.F.



(6.6) Así mismo, a través de la fórmula del valor actual (A)

N =

Log(1 - Ai/R)Log(1 + i)

(6.7) Cálculo de la tasa de interés; partimos de ia fórmula del monto de una anualidad.

S/R =

(1 + i)n - 1i

Se resuelve por interpolación de tablas o por aproximaciones, dando diferentes valores a (i), revisar ejemplo páginas Nros. 194 - 195 del texto guía.

(6.8) Así mismo, podemos partir de la fórmula del valor actual (A) de una anualidad y resolvemos por interpolación de tablas o por aproximaciones, dando diferentes valores a (i).

A/R =

1 - (1 + i)-n

i

(6.9) Monto de una anualidad anticipada:

S = R (1+i) [(1 +i)n-1/i]

(6.10) Valor actual de una anualidad anticipada:

A = R[1 +1 – (1+i)-n+1/ i]

GRADIENTES:

Cuando manejamos series de pagos, cuotas o valores que crecen o decrecen de manera uniforme, se trata de Gradientes, cuya aplicación se efectúa en el cálculo de cuotas crecientes y decrecientes, pronósticos de presupuestos y otras formas prácticas.

Para una mejor ilustración, se recomienda a los señores estudiantes revisen las páginas 200 -202 del texto básico y proponga otros ejercicios en base a los desarrollados en dichas páginas.

Señores estudiantes, es probable que su entusiasmo y su interés por aprender matemáticas, no sea tan importante como el entusiasmo por otras asignaturas inherentes a su preparación profesional. Hacer referencia a las múltiples causas que dieron lugar a estas actitudes, no tiene tanta importancia como la que tiene el encausar sus inquietudes a la búsqueda de recursos que faciliten, talvez no el gusto por las matemáticas, pero si comprenderlas mejor sobretodo en su sentido conceptual y de contexto. Por esta razón se recomienda realizar las actividades de repaso que han sido propuestas en las páginas 207 – 208 del texto básico.


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Resuelva los siguientes ejercicios y problemas propuestos:

1. Calcular el monto de una serie de depósitos de $ 20 dólares cada 6 meses, durante 6 años a 12% anual capitalizable semestralmente.

2. Una empresa requiere acumular $ 2 000 dólares, mediante depósitos semestrales de $ 26 dólares a una tasa de interés de 12% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuántos depósitos completos debe realizar y con que depósito adicional, realizado en la misma fecha del último depósito anual, completará su monto?

3. Una empresa necesita constituir durante 8 años un fondo de depreciación de $ 32 000 para reposición de maquinaria; calcular el valor del depósito trimestral que deberá realizar en una institución financiera que paga una tasa de interés de 15% anual capitalizable trimestralmente.

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AMORTIZACIÓN Y FONDOSDE AMORTIZACIÓN

CAPÍTULO 7

Deberá dirigir a las páginas 209 a la 234 del texto básico para la revisión de este capítulo.

Se relaciona con las amortizaciones y fondos de amortización, son aplicaciones de las anualidades o rentas analizadas en el capítulo anterior. En el caso de las amortizaciones se utilizan para programas de endeudamiento a largo plazo, y en el caso de fondos de amortización, para constituir fondos de valor futuro.

En la actualidad, el sistema de amortización gradual, tiene una aplicabilidad muy significativa en todo el sistema financiero, en lo que respecta al crédito a mediano y largo plazo. Así como también, para la constitución de fondos de valor futuro o fondos de depreciación.

Ejemplo:

Una empresa obtiene un préstamo de $ 15 000 dólares con interés al 15% anual capitalizable semestralmente, el cual será amortizado mediante pagos iguales, cada semestre, durante 3 años y 6 meses. Calcular el valor del pago semestral.

Solución:

(Utilizamos la fórmula de pago periódico respecto al valor presente)

R =

A1 - (1 + i)-n

i

, o lo que es lo mismo: R =

A.i1 - (1 + i)-n

(7.1)

A = $ 15 000 dólares

R = ?

n = ((3)(12)+6))/6 =7

i = 0,15/2 = 0,075

R =

15000(0,075)1 - (1 + 0,075)-7

=1125

1 - 0,6027549

R= $ 2 832.oo Dólares.

Luego el valor del pago o cuota semestral será $ 2 832,00 dólares.

Para la elaboración de tablas de amortización gradual, se sugiere analizar las páginas 203 y 206 del texto guía. Los cálculos del capital insoluto se realiza a través de la fórmula del interés simple.



PERÍODO DE GRACIA:

Por lo general se realizan préstamos a largo plazo con la modalidad de amortización gradual, en que se incluye un periodo sin que se paguen cuotas (es decir sólo se paga el interés), el cual se denomina periodo de gracia, con la finalidad de permitir a las instituciones o empresas, operar libremente durante un tiempo y luego cubrir las cuotas correspondientes.

Ejemplo:

Una compañía obtiene un préstamo por un valor de $ 2 500 dólares a 12 años plazo, incluido 2 años de gracia, con una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimestralmente, para ser pagado mediante cuotas trimestrales por el sistema de amortización gradual; la primera cuota deberá pagarse un trimestre después del periodo de gracia. Calcular la cuota trimestral y el saldo insoluto inmediatamente después de haber pagado la cuota 6 y la distribución de la cuota 7, en lo que respecta al capital e intereses.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 años

0 1 2 Período de gracia

Período de pago: (10)(4) = 40 cuotas

Luego presentamos la gráfica para el saldo insoluto.

K = 40 - 6 = 34

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ......40 trimestres

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 años

R = 2500

1 - (1 + 0,03)-40

0,03

= 108.155 dólares.

P = 108.155

1 - (1 + 0,03)-34

0,03P = 2 285.51, saldo insoluto por pagar (de capital, excluido interés)

La composición de la cuota 7 será, tanto de interés como de capital:

I = ($ 2 285.51) (0,03) = $ 68.57 de interés

Cuota - interés = Capital pagado por cuota 108.155 - 68.57= $ 39.59 dólares.

DERECHOS DEL ACREEDOR Y EL DEUDOR

Cuando nos encontramos pagando una deuda por el sistema de amortización gradual, es común querer conocer qué parte de la deuda está ya pagada en determinado tiempo o también cuáles son los derechos del acreedor (parte por pagar) o los derechos del deudor (parte pagada).

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Derechos del acreedor + Derechos del deudor = Deuda

DA + DD = DO

O en otra palabras: Saldo insoluto + parte amortizada = Deuda original.

Los fondos de amortización o de valor futuro se calculan mediante la fórmula del monto de una anualidad, en razón de que la fecha focal que se toma como referencia es el término de la anualidad, fecha en la que se debe completar la cantidad o capital prefijado.

Ejemplo:

Una empresa resuelve acumular un capital de $ 2 800 en 5 años mediante depósitos semestrales en una cooperativa de ahorro y crédito que le reconoce una tasa de interés del 18% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota semestral.

Solución:

S = $. 2 800 dólares

n = (5)(2) = 10,

i = 0,18/2 = 0,09

R =

S.i.(1 + i)n - 1

(7.2)

R =

2800(0,09)(1 + 0,09)10 - 1

R =

2521.367363675

= R = $184.30 dólares

Sugerimos analizar el capítulo octavo del texto complementario de Alfredo Díaz y Víctor M. Aguilera, las páginas 214 a la 248, y capítulo sexto de José Luis Villalobos, páginas: 198 a la 248.

Estimados estudiantes, si nuestro entusiasmo e interés es aprender y aplicar las matemáticas en el extenso campo de las finanzas, debemos familiarizarnos con las diferentes variables que intervienen en la resolución de los ejercicios y problemas planteados en este capítulo, es decir, utilizar de una manera acertada las herramientas y la metodología, esto lo lograremos previo al desarrollo de las actividades de repaso que se encuentran al final del capitulo, página 234 del texto básico.




Señores Estudiantes, la mejor forma de verificar los conocimientos adquiridos es desarrollando en forma correcta los ejercicios y problemas propuestos, en tal virtud, se le recomienda realizar los problemas que a continuación se detalla:

1. Una empresa desea acumular un capital de $. 4 000 en tres años mediante depósitos semestrales en una institución financiera que reconoce una tasa de interés de 15% capitalizable semestralmente. Calcular la cuota semestral y elaborar la tabla de fondo de amortización correspondiente.

2. Un Municipio desea adquirir un volquete para reparto de materiales, por un valor de $ 26 000 a 3 años plazo, que debe ser pagado en cuotas fijas mensuales con una tasa de interés de 1,1 % mensual. ¿Cuál de las siguientes alternativas te conviene para comprar el volquete?.

a. por el método de acumulación de intereses o método «lagarto»

b. por el método de saldos deudores

c. por el método de amortización gradual.

3. Un comerciante obtiene un préstamo de $ 11 600 a 4 años de plazo con una tasa de interés de 13.5% anual capitalizable mensualmente, que se reajusta luego del primer año a 15% anual capitalizable mensualmente. Calcular la cuota origina! y la cuota con el reajuste.




DOCUMENTOS FINANCIEROS

CAPÍTULO 8

Para el estudio de este capítulo ruego a usted revisar las páginas del texto básico de la 235 a la 259.

El Sistema Financiero es un conjunto de instituciones interrelacionadas e interdependientes que regulan y operan las actividades financieras mediante leyes o normas en un país o región geográfica.

Las instituciones que conforman este sistema recogen los excedentes financieros, los ahorros, y los canalizan hacia aquellas personas que lo necesitan.

El conjunto de leyes constituyen disposiciones que regulan las actividades de las personas naturales y jurídicas dedicadas a las funciones financieras, como manejo del dinero, captaciones, inversiones, préstamos, ahorros, compraventa de documentos financieros, manejo de la tasa de interés, etc.

Para que conozcan algunas de las normas que rigen este sistema, se recomienda a los señores estudiantes revisar el texto básico páginas: 236 -239.

BONOS:

«Bono es una obligación o documento de crédito, emitido por un gobierno o una entidad particular a un plazo perfectamente determinado, que devenga intereses pagaderos en periodos regulares de tiempo»2.

«Un bono es una promesa escrita de:

a. Una suma fija, llamada valor de redención, en una fecha dada, llamada fecha de redención;

b. Pagos periódicos llamados de intereses hasta la fecha de redención»3

Este documento según las definiciones anteriormente anotadas, se utiliza para obtener dinero, con el compromiso de reconocer el respectivo interés periódico con los cupones, y su valor original en la fecha de vencimiento.

Para el desarrollo de los ejercicios propuestos, me permito sugerir a los señores estudiantes, analizar muy detenidamente cada una de las CARACTERÍSTICAS de los Bonos, (páginas Nros. 238-241), esto facilitará en gran medida la solución de los mismos.

2 GOVINDENLincoyánPortus.Op.Cit.,p.200.3 AYRESFrankJr.Op.Cit.,p.106.



Fórmula para calcular el precio de un bono:

P = C(1 + i) - n + cupón [ 1 - (1 + i) - n/i] (7.4)

Ejemplo:

Calcular el precio de venta de un bono de $. 12 000 a 15%, el 1 de abril de 1999, redimible a la par el 1 de abril del 2009, si se desea un rendimiento del 12% FA, anual capitalizare semestralmente.

P = C( 1 + i)-n + cupón [1 -(1 + i)-n / i]

Valor de redención: $1 200 (1) = $. 12 000

Número de cupones: 20

Valor de cada cupón: $ 12 000 (0,15/2 ) = $. 900 dólares

Tasa de rendimiento o de negociación = 0,12/2 = 0,06

P = 12 000 (1+ 0,06)-20 + 900 [1 – (1+0,06)-20 / 0,06]

P = 3 741.66 + 900 (11,4699212383 )

P = 3 741.66+ 10 322.93

P = 14 064.59 Dólares

Los Bonos, por ser documentos financieros perfectamente negociables, se compra o se vende considerando una tasa de interés del inversionista, que es diferente de la del bono.

Así mismo, en este tipo de transacciones es importante considerar si la negociación del bono es a la par, sobre la par, o por debajo de la par. Para comprender mejor el desarrollo de los problemas propuestos en el texto básico, se sugiere a los señores estudiantes revisen los ejemplos desarrollados que constan en las páginas 242 y 243.

TASA DE INTERÉS REAL

La tasa efectiva o anual que al ser relacionada con la tasa de inflación o la variación porcentual del índice de precios al consumidor, da lo que se denomina la tasa de interés real.

Las tasas de interés real influyen significativamente en las economías de mercado, tanto en el ahorro como en los empréstitos y en las decisiones de inversión para poder calcular su rentabilidad.

Para calcular la tasa de interés real (r) contamos con dos fórmulas:

a. Tasa de interés real

r =

Tasa efectiva - Tasa de inflación1 + tasa de inflación

(7.5)



r =

i - d1 + d

100

b. Tasa de interés con ajuste de inflación

r = 100

r =

1 + Tasa efectiva1 + Variación porcentual del índice de precios

-1

100

1 + i1 + p

- 1

Ejemplo:

Calcular la tasa de interés real que se aplica en un país que tiene una tasa efectiva de 22% y una tasa de inflación de 7%. ¿Cuánto gana o pierde una persona que invierte $ 15 000 dólares en un año en dicho país?

r = 100

i - d1 + d

r = 100

0.22 - 0.071 + 0.07

= 100

0.151.07

= 100(0,140186915)

r = 14,019% tasa de interés real, o también.

r = 100

1 + 0.221 + 0.07

- 1 = 1001.140186916

1.07 - 1

r = 100 ( 0.140186915) = 14,019%

VALOR ACTUAL NETO (VAN)

El valor actual neto (VAN) de una inversión, considera de una manera explícita el valor del dinero en el tiempo, por lo que se estima como una técnica compleja de preparación de presupuestos de capital. Todas estas técnicas descuentan, de una u otra forma, los flujos de efectivo de la empresa a una tasa específica. Esta tasa (llamada a menudo tasa de descuento, rendimiento requerido, costo de capital o costo de oportunidad), se refiere al rendimiento mínimo que es necesario obtener de un proyecto para que el valor en el mercado de la empresa permanezca sin cambios.

EL CRITERIO DE DECISIÓN

Cuando se utiliza el VAN, el criterio para tomar decisiones de aceptación y rechazo es el siguiente: si el VAN es mayor que $ 0, aceptar el proyecto; el VAN es menor que $ 0, rechazar el proyecto. En otras palabras, si el VAN es mayor de $ 0, la empresa ganará un rendimiento mayor que su costo de capital. Dicha acción incrementará el valor de la empresa en el mercado y, por tanto, la riqueza de sus propietarios.



TASA INTERNA DE RENDIMIENTO

La tasa interna de rendimiento (TIR) aunque es mucho más difícil de calcular a mano que el VAN, es probablemente la técnica compleja de preparación de presupuestos de capital más utilizada. La tasa interna de rendimiento (TIR) es la tasa de descuento que equipara el valor actual de las entradas de efectivo con la inversión inicial de un proyecto de inversión, lo que ocasiona que el VAN sea de $ 0.

CRITERIO DE DECISIÓN

Cuando se utiliza la TIR, el criterio para tomar decisiones de aceptación y rechazo es el siguiente; Si la TIR es mayor que el costo de capital, aceptar el proyecto; si la TIR es menor que el costo de capital, rechazar el proyecto. Un resultado de este tipo mejorará el valor de la empresa en el mercado y, por tanto, la riqueza de sus propietarios.

Para realizar los cálculos del Valor Actual Neto y la Tasa Interna de Retorno, se recomienda a los señores estudiantes, utilizar las fórmulas que se indican en el texto básico y seguir paso por paso el desarrollo del ejercicio que se encuentra desarrollado en las páginas 252 y 253.

Señores estudiantes, con el presente capítulo hemos concluido el análisis de la asignatura de Matemáticas Financieras, en consecuencia, es importante dar la respuesta correcta al cuestionario que consta en la actividad de repaso, página 259 del texto básico, y así llenarnos de satisfacción por los logros alcanzados, mismos que nos permitirán ser profesionales exitosos y así coadyuvar a construir un país mejor.

CAPITULO VIII: DOCUMENTOS FINANCIEROS

1. Calcular el precio que se puede pagar por un bono de $ 2 400 al 13% FA, redimible a 102 después de 10 años, si se desea un rendimiento de 12% capitalizable semestralmente.

2. Con el propósito de ganar 17% anual capitalizable semestral mente, el 15 de marzo de 1992 se compra un bono de $ 1 800 al 18% MS, redimible a la par el 15 de marzo del año 2007. Hallar el precio de compra.



anualidades

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