ANTARES ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻ ԴԱՍԱԳԻՐՔantares.am/wp-content/uploads/2020/02/ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ-5-մաս-2... · Նիկոլսկի Ա. Մ. և ուրիշ....

Ա. Մ. Նիկոլսկի, Մ. Կ. Պոտապով, Ն. Ն. Ռեշետնիկով, Ա. Վ. Շևկին

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ

5ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻ

ԴԱՍԱԳԻՐՔ

Մաս 2

Վերահրատարակություն

Երևան2019

Թարգմանված հրատարակությունը լույս է տեսել «Պրոսվեշչենիե» հրատարակ չու թյան

լիցենզիայի համաձայն

ANTARES

Նիկոլսկի Ա. Մ. և ուրիշ. Մաթեմատիկա։ Հան րա կր թա կան դպ րո ցի 5-րդ դա սա րա նի դա-

սա գիրք. մաս 2 (վերահրատարակություն) / Ա. Մ. Նիկոլսկի, Մ. Կ. Պո-տա պով, Ն. Ն. Ռեշետնիկով, Ա. Վ. Շևկին. − Եր.։ Ան տա րես, 2019 − 112 էջ։

© Նիկոլսկի Ա. Մ. և ուրիշ., 2019© «Պրոսվեշչենիե», 2005, 2019 © «Ան տա րե ս», 2019 © Դասագրքերի և տեղեկատվական հաղորդակցման

տեխնոլոգիաների շրջանառու հիմնադրամ (տպաքանակի սեփականության իրավունքով), 2019

Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են

ՀՏԴ 373.167.1։511.1 (075)ԳՄԴ 22.130ց72

ISBN 978-9939-76-372-9

Պայ մա նա կան նշա ներ՝

14. - բա նա վոր պա տաս խա նով ա ռա ջադ րանք ներ

23. - ա ռա վել դժ վար ա ռա ջադ րանք ներ

* - ոչ պար տա դիր նյութ։

Դասագիրքը հաստատված է ՀՀ կրթության և գիտության նախարարության կողմից

Վերամշակող խմբագիր՝ Գագիկ Աղեկյան

Սույն դասագիրքը նախատեսված է տարածել Հայաստանի Հանրապետությունում և Սփյուռքում:

Սույն հրատարակությունը համապատասխանում է ՀՀ ԿԳՆ առարկայական չափորոշչին և ամբողջովին մշակվել, խմբագրվել ու կատարելագործվել է:

ANTARES

ԲովանդակությունԳԼՈՒԽ 3. Բնական թվերի բաժանելիությունը3.1. Բա ժա նե լի ու թյան հատ կու թյուն նե րը ........................................................ 1143.2. Բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նիշ ներ .............................................................. 1163.3. Պարզ եվ բա ղադ րյալ թվեր ...................................................................... 1203.4. Բ նա կան թվի բա ժա նա րար նե րը .............................................................. 1213.5. Ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րար ........................................................ 1253.6. Ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տիկ.................................................. 1273.7. Պատ մա կան ակ նարկ ................................................................................. 130

ԳԼՈՒԽ 4. Սովորական կոտորակներ ...................................................... 1334.1. Կո տո րա կի հաս կա ցու թյու նը ...................................................................... 1334.2. Կո տո րակ նե րի հա վա սա րու թյու նը ........................................................... 1374.3. Խն դիր ներ կո տո րակ նե րի վե րա բե րյալ ................................................... 1424.4. Կո տո րակ ներն ը նդ հա նուր հայ տա րա րի բե րե լը .................................... 1454.5. Կո տո րակ նե րի հա մե մա տու մը .................................................................. 1484.6. Կո տո րակ նե րի գու մա րու մը ....................................................................... 1524.7. Գու մար ման օ րենք նե րը .............................................................................. 1564.8. Կոտորակների հանումը ............................................................................. 1594.9.  Կո տո րակ նե րի բազ մա պատ կու մը ............................................................. 1634.10. Բազ մա պատկ ման օ րենք նե րը: Բաշ խա կան օ րեն քը ...................................1674.11. Կո տո րակ նե րի բա ժա նու մը ....................................................................... 1694.12. Ամ բող ջի մա սի գտ նե լը: Ամ բող ջի գտ նե լը ը ստ նրա մա սի .................. 1734.13. Հա մա տեղ աշ խա տան քի խն դիր ներ ....................................................... 1764.14. Խա ռը թվի հաս կա ցու թյու նը .................................................................... 1784.15. Խա ռը թվե րի գու մա րու մը ........................................................................ 1824.16. Խա ռը թվե րի հա նու մը .............................................................................. 1844.17. Խա ռը թվե րի բազ մա պատ կումն ու բա ժա նու մը ................................... 1874.18. Կո տո րակ նե րի պատ կե րու մը կոոր դի նա տային ճառա գայ թի վրա...... 1894.19. Ուղ ղան կյան մա կե րե սը: Ո ւղ ղան կյու նա նիս տի ծա վա լը ....................... 1934.20. Պատ մա կան ակ նարկ ............................................................................... 1974.21. Հե տաքրք րա շարժ խն դիր ներ .................................................................. 198

Ա ռա ջադ րանք ներ դա սըն թա ցի կրկ նու թյան համար .......................201

Պատասխաններ .......................................................................................219

ANTARES

3.1. Բա ժա նե լի ու թյան հատ կու թյուն նե րը Ինչ պես ար դեն նշ վել է գլուխ 1 -ո ւմ, a բնա կան թիվն ա ռանց մնա-

ցոր դի բա ժան վում է b բնա կան թվին, ե թե գո յու թյուն ունի c բնա կան թիվ, ո րը b -ով բազ մա պատ կե լիս ստա նում ե նք a.

a = c · b: Կարճության համար այս կետի հետագա շարադրանքում բաց

կթողնենք «բնական թիվ» և «առանց մնացորդի» բառերը։ Ե թե a -ն բա ժան վում է b -ի, ա պա ա սում են նաև, որ a -ն b -ի բազ մա պա տիկ է: Օ րի նակ՝ 48 թի վը 24 թվի բազ մա պա տիկ է:

Հատ կու թյուն 1: Ե թե ար տադ րիչ նե րից մե կը բա ժան վում է տր ված թվին, ա պա ար տադ րյա լը նույն պես բա ժան վում է այդ թվին:

Օ րի նակ՝ 15 -ը բա ժան վում է 3 -ի, նշա նա կում է 15 · 11 -ն էլ է բա ժան-վում 3 -ի, ո րով հետև 15 · 11 = 3 · 5 · 11 = 3 · (5 · 11):

Հատ կու թյուն 2: Ե թե ա ռա ջին թիվը բա ժան վում է ե րկ րոր դին, ի սկ ե րկ րոր դը՝ եր րոր դին, ա պա ա ռա ջին թի վը բա ժան վում է եր րոր դին:

Օ րի նակ՝ 777 -ը 111 -ի բա ժան վում է, ո րով հետև 777 = 7 · 111, ի սկ 111 -ը բա ժան վում է 3 -ի, քա նի որ 111 = 3 · 37: Այս քա նից հետևում է, որ 777 -ն էլ է 3 -ի բա ժան վում, ո րով հետև 777 = 3 · (37 · 7):

Հատ կու թյուն 3: Ե թե եր կու թվե րից յու րա քան չյու րը բա ժան վում է տր ված թվին, ա պա նրանց գու մարն ու տար բե րու թյունն էլ են

բա ժան վում այդ թվին:

Օ րի նակ՝ 100 -ը բա ժան վում է 4 -ի, ո րով հետև 100 = 25 · 4:36 -ը բա ժան վում է 4 -ի, ո րով հետև 36 = 9 · 4: Այս քա նից հետևում է,

որ 136 -ն ու 64 -ն էլ են բա ժան վում 4 -ի, քա նի որ.

· É á õ Ë

ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ

ANTARES

3.1. ԲԱ ԺԱ ՆԵ ԼԻ ՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՏ ԿՈՒ ԹՅՈՒՆ ՆԵ ՐԸ 115

136 = 100 + 36 = 25 · 4 + 9 · 4 = (25 + 9) · 4 = 34 · 4,64 = 100 − 36 = 25 · 4 − 9 · 4 = (25 − 9) · 4 = 16 · 4:

Հատ կու թյուն 4: Ե թե եր կու թվե րից մե կը բա ժան վում է տր ված թվին, մյու սը՝ ոչ, ա պա այդ թվե րի թե գու մա րը,

թե տար բե րու թյու նը չի բա ժան վում տր վա ծին:

Օրինակ՝ քանի որ 48 = 6 · 8, ապա 48 -ը բաժանվում է 6 -ի: 7 -ը չի բաժանվում 6 -ի։ Ուրեմն, ըստ հատկություն 4 -ի, կարող ենք պնդել, որ 48 + 7 գումարը և 48 − 7 տարբերությունը չեն բաժանվում 6 -ի։

546. Ձևա կեր պեք բա ժա նե լի ու թյան հատ կու թյուն նե րը:

547. Ո՞ր հատ կու թյամբ կա րե լի է բա ցատ րել, որ հետևյալ ար տադ րյա լը բա ժան վում է 12 -ի.ա) 12 · 47, բ) 12 · 120, գ) 120 · 51,դ) 24 · 17, ե) 11 · 36, զ) 13 · 48:

548. 24, 42, 36, 72, 75 թվե րից յու րա քան չյու րը գրե լով ար տադ րյա լի տես քով՝ ցույց տվեք, որ.ա) 24 -ը բա ժան վում է 12 -ի, բ) 42 -ը բա ժան վում է 21 -ի,գ) 36 -ը բա ժան վում է 6 -ի, դ) 72 -ը բա ժան վում է 9 -ի, ե) 75 -ը բա ժան վում է 5 -ի, զ) 75 -ը բա ժան վում է 25 -ի:

549. Ցույց տվեք, որ 5, 10, 15, 20, 25, 30 թվե րից յու րա քան չյու րը կա րե լի է գրել 5 · k տես քով, որ տեղ k -ն բնա կան թիվ է:

550. Գ րեք տրված թվի 5 հատ բազ մա պա տիկ.ա) 2, բ) 5, գ) 20, դ) 7, ե) 3, զ) 9, է) 4, ը) 11:

551. Գ րեք ե րեք թիվ, ո րոն ցից յու րա քան չյու րը կա րե լի է ներկայացնել հետևյալ տես քով.ա) 2 · k; բ) 5 · k; գ) 20 · k; դ) 7 · k, որ տեղ k -ն բնա կան թիվ է:

552. Ճի՞շտ է ա րդյոք հետևյալ պն դու մը.ա) ե թե եր կու գու մա րե լի ներն էլ բա ժան վում են 2 -ի, ա պա գու մա-րը բա ժան վում է 2 -ի,բ) ե թե եր կու գու մա րե լի ներն էլ բա ժան վում են 5 -ի, ա պա գու մա րը բա ժան վում է 5 -ի,գ) ե թե նվա զե լին և հա նե լին բա ժան վում են 3 -ի, ա պա տար բե րու-թյու նը բա ժան վում է 3 -ի:

553. Բա ցատ րեք՝ ին չու է.ա) 45 + 36 գու մա րը բա ժան վում է 9 -ի,բ) 99 + 88 գու մա րը բա ժան վում է 11 -ի,գ) ցան կա ցած a և c բնա կան թվե րի հա մար 13 · a + 13 · c գու մա րը բա-ժան վում է 13 -ի,դ) ցան կա ցած a, b, c բնա կան թվե րի դեպ քում 12 · a + 15 · b + 9 · c գու-մա րը բա ժան վում է 3 -ի:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ116

554. Ա պա ցու ցեք, որ ե թե a -ն, b -ն և c -ն բնա կան թվեր են, ա պա ա) (3 · a + 3 · b):3 = a + b, բ) (c · a + c · b) ։ c = a + b:

555. Հաշ վեք.

ա) (48 + 36) ։ 2 = 48 ։ 2 + 36 ։ 2 = ... բ) (16 + 20) ։ 4, գ) (50 + 120) ։ 5, դ) (484 + 426) ։ 2, ե) (840 − 488) ։ 4, զ) (963 − 690) ։ 3, է) (990 + 99) ։ 9:

556. Ս տու գեք՝ բա ժան վում է ա րդյոք.ա) 1356 -ը 2 -ի, բ) 4957 -ը 2 -ի, գ) 8151 -ը 3 -ի,դ) 7361 -ը 3 -ի, ե) 7263 -ը 2 -ի, զ) 9751 -ը 2 -ի:

557. Ս տու գեք՝ 123456789 թի վը բա ժան վում է ա րդյոք ա) 2 -ի, բ) 3 -ի, գ) 9 -ի:

3.2. Բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նիՇ ներ

Ե թե թի վը վեր ջա նում է 0 թվան շա նով, ա պա այն բա ժան վում է 10 ­ի:

Օ րի նակ՝ 4560 -ը վեր ջա նում է 0 թվան շա նով: Այն կա րե լի է ներ կա-յաց նել 456 · 10 ար տադ րյա լի տես քով, ո րը կբա ժան վի 10 -ի (ը ստ հատ-կու թյուն 1 -ի):

4561 թի վը չի բա ժան վում 10 -ի, ո րով հետև այն հա վա սար է 4560 + 1 -ի, ո րը չի բա ժան վում 10 -ի (ը ստ հատ կու թյուն 4 -ի):

Ե թե թի վը վեր ջա նում է 0 կամ 5 թվան շա նով, ա պա այն բա ժան վում է 5 ­ի:

Օ րի նակ՝ 2300 թի վը բա ժան վում է 5 -ի, ո րով հետև այն բա ժան վում է 10 -ի, ի սկ 10 -ը բա ժան վում է 5 -ի (հատ կու թյուն 2):

2305 թիվն ա վարտ վում է 5 թվան շա նով: Այն կա րե լի է ներ կա յաց նել 2300 + 5 գու մա րի տես քով, ո րը բա ժան վում է 5 -ի (ը ստ հատ կու թյուն 3 -ի):

52 թի վը չի բա ժան վում 5 -ի, ո րով հետև այն 5 -ի բա ժան վող 50 -ի և 5 -ի չբա ժան վող 2 -ի գու մարն է (հատ կու թյուն 4):

Ե թե թիվն ա վարտ վում է 0, 2, 4, 6, 8 թվան շան նե րից մեկ նու մե կով, ա պա այն բա ժան վում է 2 ­ի:

Օ րի նակ՝ 130 թիվն ա վարտ վում է 0 թվան շա նով, ուրեմն բա ժան վում է 10 -ի, ի սկ 10 -ը՝ 2 -ի, հետևա պես 130 -ը բա ժան վում է 2 -ի (ը ստ հատ կու-թյուն 2 -ի):

ANTARES

3.2. ԲԱ ԺԱ ՆԵ ԼԻ ՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՅ ՏԱ ՆԻՇ ՆԵՐ 117

136 թիվն ա վարտ վում է 6 թվան շա նով: Այն կա րե լի է ներ կա յաց նել 2 -ի բա ժան վող 130 և 6 թվե րի գու մա րի տես քով, ուրեմն 136 -ը կբա ժան-վի 2 -ի (ը ստ հատ կու թյուն 3 -ի):

137 թի վը չի բա ժան վում 2 -ի, ո րով հետև այն 2 -ի բա ժան վող 130 -ի և 2 -ի չբա ժան վող 7 -ի գու մարն է՝ 137 = 130 + 7 (հատ կու թյուն 4):

2 -ի բա ժան վող թիվն ան վա նում են զույգ թիվ:2 -ի չբա ժան վող թիվն ան վա նում են կենտ թիվ: Օ րի նակ՝ 152 և 1790 թվե րը զույգ են, ի սկ 111 և 293 թվե րը՝ կենտ:

Ե թե թվի թվան շան նե րի գու մա րը բա ժան վում է 9 ­ի, ա պա թիվն էլ է բա ժան վում 9 ­ի:

Օ րի նակ՝ 7245 թվի թվան շան նե րի գու մա րը կլի նի 7 + 2 + 4 + 5 = 18, ո րը բա ժան վում է 9 -ի: Հա մոզ վենք, որ 7245 -ն էլ է բա ժան վում 9 -ի: Ի րոք.

7245 = 7 · 1000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 5 = 7 · (999 + 1) + 2 · (99 + 1) +  + 4 · (9 + 1) + 5 = (7 · 999 + 2 · 99 + 4 · 9) + (7 + 2 + 4 + 5),

որի առաջին փակագծերում եղած գումարը, ըստ 1 և 3 հատկությունների, բաժանվում է 9 -ի, իսկ երկրորդ փակագծերում եղած գումարը տրված թվի թվանշանների գումարն է, որը նույնպես բաժանվում է 9 -ի։ Հետևաբար, ըստ հատկություն 3 -ի, գումարը բաժանվում է 9 -ի։

375 -ի թվան շան նե րի գու մա րը հա վա սար է 3 + 7 + 5 = 15, ո րը չի բա-ժան վում 9 -ի: Հա մոզ վենք, որ 375 -ը նույն պես չի բա ժան վում 9 -ի:

Իս կա պես.375 = 3 · (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 5 = (3 · 99 + 7 · 9) + (3 + 7 + 5),

որտեղ առաջին փակագծերում եղած գումարը, ըստ 1 և 3 հատ կու թյուն-նե րի, բաժանվում է 9 -ի, իսկ երկրորդ փակագծերում եղած գումարը տրված թվի թվանշանների գումարն է, որը չի բաժանվում է 9 -ի։ Հետևա-բար, ըստ հատկություն 4 -ի, գումարը չի բաժանվում է 9 -ի։

Ե թե թվի թվան շան նե րի գու մա րը բա ժան վում է 3 ­ի, ա պա թիվն էլ է բա ժան վում 3 ­ի:

Օրինակ՝ 375 -ի թվանշանների գումարը 15 է, որը բաժանվում է 3 -ի: 375 -ն էլ է բաժանվում 3 -ի, որովհետև այն ներկայացվում է 375 = (3 · 99 + 7 · 9) + (3 + 7 + 5) տեսքով, որտեղ առաջին փակագծերում եղած գու-մարը, ըստ 1 և 3 հատկությունների, բաժանվում է 3 -ի, իսկ երկրորդ փա կագ ծերում եղած գումարը տրված թվի թվանշանների գումարն է, որը նույնպես բաժանվում է 3 -ի։ Հետևաբար, ըստ հատկություն 3 -ի, գու մարը բաժանվում է 3 -ի։

679 թվի թվանշանների գումարը 6 + 7 + 9 = 22 է, որը չի բաժանվում 3 -ի, և 679 -ն էլ չի բաժանվում 3 -ի, որովհետև.

679 = (6 · 99 + 7 · 9) + (6 + 7 + 9),

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ118

որտեղ առաջին փակագծերում եղած գումարը, ըստ 1 և 3 հատ կու թյուն-ների, բաժանվում է 3 -ի, իսկ երկրորդ փակագծերում եղած գումարը տրված թվի թվանշանների գումարն է, որը չի բաժանվում է 3 -ի։ Հետևա-բար, ըստ հատկություն 4 -ի, գումարը չի բաժանվում է 3 -ի։

Ե թե թվի վեր ջին եր կու թվան շան ը 0 է կամ դրանք կազ մում են 4 ­ի բա ժան վող թիվ, ա պա տր ված թի վը բա ժան վում է 4 ­ի:

Օ րի նակ՝ 7200 թիվն ա վարտ վում է եր կու 0 -ով, և7200 = 72 · 100,

ու րեմն 7200 -ը բա ժան վում է 100 -ի, ի սկ 100 -ը՝ 4 -ի: Այս տե ղից հետևում է, որ 7200 -ը բա ժան վում է 4 -ի (ը ստ հատ կու թյուն 2 -ի):

348 թիվն ա վարտ վում է 4 -ի բա ժան վող 48 ե րկ նիշ թվով:Ն կա տենք, ո ր

348 = 300 + 48, որ տեղ 300 -ը բա ժան վում է 4 -ի, ո րով հետև ա վարտ վում է եր կու զրոյով: Քա նի որ 48 -ը նույն պես բա ժան վում է 4 -ի, ա պա, հա մա ձայն հատ կու-թյուն 3 -ի, 348 -ը բա ժան վում է 4 -ի:

4 -ի բա ժան վե լու տե սա կե տից դի տար կենք 5608 թի վը.5608 = 5600 + 8:

Քա նի որ ստաց ված գու մա րի եր կու գու մա րե լի ն էլ բա ժան վում է 4 -ի (5600 -ի վեր ջին եր կու թվան շան ը 0 է), ա պա, հա մա ձայն հատ կու թյուն 3 -ի, 5608 -ը բա ժան վում է 4 -ի:

Կա րե լի է հա մա րել, որ 5608 -ի գրառ ման վեր ջին եր կու թվան շան ով՝ 0 -ով և 8-ով, կազմ վում է 4 -ի բա ժան վող 08 = 10 · 0 + 8 = 8 թի վը:

558. Ձևա կեր պեք 10 -ի, 5 -ի, 2 -ի բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նիշ նե րը:

559. Ո՞ր թիվն են ան վա նում զույգ: Թվար կեք վեց զույգ թիվ:

560. Ո՞ր թիվն են ան վա նում կենտ: Թվար կեք յոթ կենտ թիվ:

561. Ձևա կեր պեք 9 -ի, 3 -ի, 4 -ի բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նիշ նե րը:

562. 128, 325, 500, 506, 725, 905, 830, 962, 750, 1000, 1262, 2440 թվե րից ո րո՞նք են բա ժան վում.ա) 2 -ի, բ) 5 -ի, գ) 2 -ի և 5 -ի, դ) 10 -ի:

563. Գ րեք վեց թիվ, ո րոնք բա ժան վում են.ա) 2 -ի, բ) 5 -ի, գ) 2 -ի և 5 -ի, դ) 10 -ի:

564. ա) 15 -ից մինչև 95 թվե րից ո րո՞նք են բա ժան վում 10 -ի:բ) 23 -ից մինչև 46 թվե րից ո րո՞նք են բա ժան վում 5 -ի:գ) 51 -ից մինչև 73 թվե րից ո րո՞նք են բա ժան վում 2 -ի:

565. 2, 3, 5, 7 թվան շան նե րով, ա ռանց դրանք կրկ նե լու, գրեք բո լոր քա-ռա նիշ թվե րը, ո րոնք բա ժան վում են. ա) 2 -ի, բ) 5 -ի:

ANTARES

3.2. ԲԱ ԺԱ ՆԵ ԼԻ ՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՅ ՏԱ ՆԻՇ ՆԵՐ 119

566. 1, 2, 5, 6 թվան շան նե րով, ա ռանց դրանք կրկ նե լու, կա րե լի՞ է կազ-մել ե ռա նիշ թիվ, ո րը բա ժան վում է.ա) 2 -ի, բ) 3 -ի, գ) 5 -ի, դ) 10 -ի:

567. Ցույց տվեք, որ 18, 20, 48, 96 զույգ թվե րից յու րա քան չյու րը կա րե լի է գրա ռել 2 · k տես քով, որ տեղ, k -ն բնա կան թիվ է:

568. Ա պա ցու ցեք, որ զույգ թվի և ցան կա ցած բնա կան թվի ար տադ րյա-լը զույգ է:

569. Ա պա ցու ցեք, որ եր կու զույգ թվե րի գու մա րը զույգ է:

570. Ցույց տվեք, որ 7, 9, 5, 13 կենտ թվե րից յու րա քան չյու րը կա րե լի է գրել 2 · k + 1 տես քով, որ տեղ k -ն բնա կան թիվ է:

571. Ա պա ցու ցեք, որ եր կու կենտ թվե րի գու մա րը զույգ թիվ է:

572. 111 111 111 111 111 թի վը բա ժան վո՞ւմ է.ա) 3 -ի, բ) 9 -ի, գ) 5 -ի, դ) 2 -ի:

573. Ի՞նչ թվան շան պետք է տե ղադ րել ա ստ ղա նի շի փո խա րեն, որ ստաց ված թի վը բա ժան վի 9 -ի.ա) 4*, բ) 5*, գ) 85*, դ) 738*, ե) 6*7, զ) 7*2, է) 24*0, ը) 2090*:

574. Ա շա կեր տը հաշվել է գու մա րը.ա) 3548 + 7266 + 8118 = 18 911,բ) 9766 + 8312 + 6565 = 24 642: Ուսուցիչը, առանց հաշվարկներն ստուգելու, հասկացավ, որ երկու գումարն էլ սխալ է հաշված։ Բաժանելիության ո՞ր հատկության ու հայտանիշի օգնությամբ նա հայտնաբերեց սխալները։

575. Ն շեք ա մե նա մեծ և ա մե նա փոքր վե ցա նիշ թի վը, ո րը բա ժան վում է.ա) 2 -ի, բ) 3 -ի, գ) 5 -ի, դ) 9 -ի, ե) 10 -ի:

576. Տղան գնեց 20 տետր, 4 նկարչական ալբոմ, 160 դրամանոց մի գրիչ, 40 դրա մանոց մի քանի մատիտ և գրքի՝ 120 դրամանոց մի քանի կազմ։ Վաճառողն ասաց, որ պետք է վճարել 2730 դրամ։ Տղան խնդրեց նո րից հաշվել իր գնումների գումարը։ Բաժանելիության ո՞ր հատ կության ու հայտանիշի օգնությամբ նա հայտնաբերեց սխա լը։

577. Ապացուցեք 4 ­ի բաժանելիության հայտանիշը. եթե թվի գրառման վերջին երկու թվանշանները կազմում են 4 -ի բաժանվող թիվ, ապա տրված թիվը բաժանվում է 4 -ի (00, 04, 08 գրառումները համարեք 0, 4, 8 թվերի գրառումներ):

578. 7928, 3553, 1996, 1795, 7568936, 1000, 5700 թվե րից ո րո՞նք են բա-ժան վում 4 -ի:

579. Օգ տա գոր ծե լով 4 -ի բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նի շը՝ ո րո շեք XXI դա-րի ա ռա ջին հինգ նա հանջ տա րի նե րի տա րեթ վե րը:

580. Ա ռանց գու մա րե լու ո րո շեք՝ գու մա րը զո՞ւյգ է, թե՞ կենտ.ա) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15,բ) 5 + 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + 65,գ) 9 + 29 + 49 + 69 + 89 + 109 + 129 + 149 + 169:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ120

581. Ա պա ցու ցեք, որ հնա րա վոր չէ վերց նել.ա) ե րեք կենտ թիվ, ո րոնց գու մա րը լի նի 12,բ) հինգ կենտ թիվ, ո րոնց գու մա րը լի նի 100:

582. Ա պա ցու ցեք, որ.ա) զույգ թվով կենտ թվե րի գու մա րը զույգ է,բ) կենտ թվով կենտ գու մա րե լի նե րի գու մա րը կենտ է:

3.3. ՊարԶ եՎ Բա ՂաԴ րյալ թՎեր Ա մեն մի a բնա կան թիվ բա ժան վում է 1 -ի և ի նքն ի րեն.

a : 1 = a, a : a = 1:

1 -ից մեծ բնա կան թիվը, ո րը բա ժան վում է միայն 1 -ի և ի նքն ի րեն, ան վա նում են պարզ թիվ:

Պարզ թիվ է, օրինակ, 2 -ը։ Այն մեծ է 1 -ից և բաժանվում է միայն 1 -ի և 2 -ի։ Պարզ թիվ է նաև 7, այն նույնպես մեծ է 1 -ից և բաժանվում է միայն 1 -ի և 7 -ի։

Ա հա բնա կան շար քի ա ռա ջին տա սը պարզ թվե րը.2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29:

1 -ից մեծ ոչ պարզ թվերն ան վա նում են բա ղադ րյալ թվեր: 4 -ը, օրինակ, բաղադրյալ թիվ է։ Այն բաժանվում է 1 -ի, 4 -ի և 2 -ի։

Բաղադրյալ է նաև 9 -ը, որը բաժանվում է 1 -ի, 9 -ի և 3 -ի։Յու րա քան չյուր բա ղադ րյալ թիվ բա ժան վում է 1 -ի, ի նքն ի րեն և ևս

գո նե մեկ այլ բնա կան թվի: Ա հա 20 -ից փոքր բո լոր բա ղադ րյալ թվե րի ցու ցա կը.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18: Կարևոր է նշել, որ 1 ­ը ոչ պարզ է, ոչ բա ղադ րյալ: Այս պի սով՝ բնա-

կան թվե րի բազ մու թյու նը բաղ կա ցած է պարզ թվե րից, բա ղադ րյալ թվե րից և 1 -ից:

Պարզ թվերն ան վերջ շատ են. ա ռա ջին (ա մե նա փոքր) պարզ թի վը 2 -ն է, բայց չկա վեր ջին (ա մե նա մեծ) պարզ թի վ: Դա սագր քի կազ մին կցված կրկ նա թեր թի վրա տեղադր ված է 2 -ից մինչև 997 բո լոր պարզ թվե րի ցու ցա կը:

583. ա) Ո՞ր բնա կան թիվն են ան վա նում պարզ: բ) Ո՞ր բնա կան թիվն են ան վա նում բա ղադ րյալ:

584. 1 թի վը. ա) պա՞րզ է, բ) բա ղադ րյա՞լ է:

585. Ինչ պի սի՞ թվե րից է բաղ կա ցած բո լոր բնա կան թվե րի բազ մու թյու նը:

ANTARES

3.4. Բ ՆԱ ԿԱՆ ԹՎԻ ԲԱ ԺԱ ՆԱ ՐԱՐ ՆԵ ՐԸ 121

586. Ն շեք ա մե նա փոքր պարզ թի վը:

587. 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 թվե րից յու րա քան չյու րի հա մար պարզեք.ա) ո ՞ր թվե րին է բա ժան վում այդ թի վը,բ) պա՞րզ է, թե՞ բա ղադ րյալ այդ թի վը:

588. Օգտ վե լով թվե րի բա ժա նե լի ու թյան հայ տա նիշ նե րից՝ ա պա ցու ցեք, որ տր ված թի վը բա ղադ րյալ է.ա) 7690, բ) 7395, գ) 4256, դ) 12375, ե) 1232:

589. Չօգտ վե լով պարզ թվե րի ա ղյու սա կից՝ ա պա ցու ցեք, որ հետևյալ թի վը պարզ է. ա) 29, բ) 41, գ) 53, դ) 59:

590. Պարզ թվե րի ա ղյու սա կի մի ջո ցով.ա) ո րո շեք, թե հետևյալ թվե րից ո րոնք են պարզ.47, 69, 127, 301, 447, 517, 673, 879,բ) թ վար կեք 30 -ից մեծ, բայց 50 -ից փոքր բո լոր պարզ թվե րը,գ) թ վար կեք 30 -ից մեծ, բայց 50 -ից փոքր բո լոր բա ղադ րյալ թվե րը:

591. Պա՞րզ է ա րդյոք. ա) 998, բ) 999, գ) 1000 թի վը:

592. Ա պա ցու ցեք, որ, բա ցի 2 -ից, ուրիշ զույգ պարզ թիվ չկա:

593. Կա րե՞ լի է ա րդյոք պարզ թի վը գրել.ա) եր կու զույգ թվե րի գու մա րի տես քով,բ) եր կու կենտ թվե րի գու մա րի տես քով,գ) մեկ զույգ և մեկ կենտ թվե րի գու մա րի տես քով:

594. Մե կը 99 կոն ֆետ խոս տա ցավ նրան, ով կա րո ղա նա դրանք բա ժա-նել չորս հո գու այն պես, որ յու րա քան չյու րին հաս նի կենտ թվով կոն ֆետ : Ին չո՞ւ ոչ մե կին դեռևս չի հա ջող վել այդ մր ցա նակն ստանալ:

595. Հետևյալ գրառ ման մեջ տա ռե րը փո խա րի նեք թվան շան նե րով այն-պես, որ ստաց ված թի վը բա ժան վի 3 -ի.

ա) 35a25, բ) 4ab40, գ) 5a2b5, դ) 72ab8:Ստաց ված թվերից որո՞նք են բաժանվում 5 -ի, 2 -ի, 10 -ի, 4 -ի:

596. ա) Գ րեք 9 -ի բա ժան վող քա ռա նիշ թիվ: Հնա րա վո՞ր է, որ այն չբա-ժան վի 3 -ի:

բ) Գ րեք 3 -ի բա ժան վող քա ռա նիշ թիվ, ո րը չբա ժան վի 9 -ի:

3.4. Բ նա կան թՎի Բա ժա նա րար նե րը

Ե թե a բնա կան թի վը բա ժան վում է b բնա կան թվին, ա պա b թիվն ան վա նում են a թվի բա ժա նա րար:

Օ րի նակ՝ 13 թվի բա ժա նա րար նե րը 1 և 13 թվերն են, 4 թվի նը՝ 1 -ը, 2 -ը, 4 -ը, ի սկ 12 թվի բա ժա նա րար նե րը 1, 2, 3, 4, 6 և 12 թվերն են:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ122

Ա մեն պարզ թիվ ունի միայն եր կու բա ժա նա րար՝ 1 -ը և ին քը, ի սկ յու րա քան չյուր բա ղադ րյալ թիվ, բա ցի 1 -ից և ի րե նից, ունի նաև այլ բա-ժա նա րար:

Ե թե բա ժա նա րա րը պարզ թիվ է, ա պա այն ան վա նում են պարզ բա­ժա նա րար: Օ րի նակ՝ 13 թիվն ունի 13 պարզ բա ժա նա րա րը, 4 -ը՝ 2 պարզ բա ժա նա րա րը, ի սկ 12 թի վը՝ 2 և 3 պարզ բա ժա նա րար նե րը:

Ա մեն բա ղադ րյալ թիվ կա րե լի է գրել որ պես իր պարզ բա ժա նա րար-նե րի ար տադ րյալ: Օ րի նակ՝

28 = 2 · 2 · 7, 81 = 3 · 3 · 3 · 3,22 = 2 · 11, 100 = 2 · 2 · 5 · 5:

Ս տաց ված հա վա սա րու թյուն նե րի աջ մա սերն ան վա նում են 28, 22, 81 և 100 թվե րի վեր լու ծու թյուն ներ պարզ ար տադ րիչ նե րի (բազ մա­պատ կիչ նե րի):

Տր ված բա ղադ րյալ թի վը վեր լու ծել պարզ ար տադ րիչ նե րի, նշա նա կում է՝ այն ներ կա յաց նել իր պարզ ար տադ րիչ նե րի

ար տադ րյա լի տես քով:

90 թվի օ րի նա կով ցույց տանք, թե բա ղադ րյալ թիվն ի նչ պես կա րե լի է վեր լու ծել պարզ ար տադ րիչ նե րի և գտ նել նրա բո լոր բա ժա նա րար-նե րը:

1) 90 -ը բա ժան վում է 2 -ի, 90:2 = 45,2) 45 -ը 2 -ի չի բա ժան վում, բայց բա ժան վում է 3 -ի, 45:3 = 15,3) 15 -ը բա ժան վում է 3 -ի,15:3 = 5,4) 5 -ը չի բա ժան վում 3 -ի, բայց բա ժան վում է 5 -ի, 5:5 = 1: Այս պի սով՝ 90 = 2 · 45 = 2 · 3 · 15 = 2 · 3 · 3 · 5: Այս խնդ րի լու ծու մը հա մա ռո տագր վում է այս պես.

90 2 90 = 2 · 3 · 3 · 5:45 315 3 5 5 1

Քանի որ ամեն մի բնական թիվ բաժանվում է 1 -ի և իրեն, ապա 1 -ը և 90 -ը 90 -ի բաժանանար են։ 90 -ի բաժանարար են նաև նրա պարզ արտադրիչների վերլուծության՝ 90 = 2 · 3 · 3 · 5. ա) իրարից տարբեր բոլոր արտադրիչները՝ 2 -ը, 3 -ը և 5 -ը, բ) բոլոր հնարավոր իրարից տարբեր զույգերի արտադրյալները՝ 2 · 3 -ը, 3 · 3 -ը, 2 · 5 -ը և 3 · 5 -ը, գ) բոլոր հնարավոր իրարից տարբեր եռյակների արտադրյալները՝ 2 · 3 · 3 -ը, 2 · 3 · 5 -ը և 3 · 3 · 5 -ը։ Բոլոր 4 պարզ արտադրիչների արտադրյալը 90 է, որն արդեն վերցրել ենք։

Բաժանարարները գրենք աճման կարգով.1, 2, 3, 5, 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9, 2 · 5 = 10, 3 · 5 = 15,

2 · 3 · 3 = 18, 2 · 3 · 5 = 30, 3 · 3 · 5 = 45, 2 · 3 · 3 · 5 = 90:

ANTARES

3.4. Բ ՆԱ ԿԱՆ ԹՎԻ ԲԱ ԺԱ ՆԱ ՐԱՐ ՆԵ ՐԸ 123

Այս պի սով` 90 թվի բո լոր բա ժա նա րար նե րը 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90 թվերն են:

597. ա) Ո՞ր թիվն են ան վա նում տր ված բնա կան թվի բա ժա նա րար, ո րը՝ պարզ բա ժա նա րար:բ) Ի՞նչ է նշա նա կում թի վը վեր լու ծել պարզ ար տադ րիչ նե րի:

598. Ն շեք տր ված թվի բո լոր բա ժա նա րար նե րը.ա) 2, բ) 6, գ) 12, դ) 16, ե) 18,զ) 20, է) 28, ը) 7, թ) 1, ժ) 48, ի) 100, լ) 104, խ) 121, ծ) 256, կ) 91:

599. Գ րեք երկու բնա կան թիվ, ո րոն ցից ա մեն մե կի հա մար տր ված թի-վը (կամ տր ված եր կու թվե րից յու րա քան չյու րը) լի նի բա ժա նա րար.ա) 2, բ) 3, գ) 4, դ) 5, ե) 9,զ) 10, է) 2 և 3, ը) 3 և 4, թ) 2 և 5, ժ) 4 և 9:

600. Գ րեք երկու բնա կան թիվ, ո րոն ցից ա մեն մե կը տր ված պարզ թվից (կամ տր ված եր կու պարզ թվե րից) բա ցի ուրիշ պարզ բա ժա նա-րար ներ չու նի.ա) 2, բ) 3, գ) 5, դ) 2 և 3, ե) 2 և 5:

601. Գ տեք a թվի բո լոր բա ժա նա րար նե րը.ա) a = 2 · 3 · 5, բ) a = 3 · 5 · 7,գ) a = 3 · 3 · 11, դ) a = 3 · 5 · 5 · 7:

Լուծում: ա) a թիվն ունի 2, 3 և 5 պարզ բա ժա-նարարները: Մյուս բաժանարարները կգտնենք՝ կազմելով այդ պարզ բաժանարարների տարբեր արտադրյալները. 2 · 3 = 6; 2 · 5 = 10, 3 · 5 = 15, 2 · 3 · 5 = 30: Բացի դրանցից a թիվը բաժանվում է նաև 1 -ի:

Պատասխան՝ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30:

602. Վեր լու ծեք պարզ ար տադ րիչ նե րի.ա) 16, բ) 18, գ) 26, դ) 35, ե) 48, զ) 70, է) 144, ը) 210, թ) 800, ժ) 216, ի) 343, լ) 1024:

603. Տր ված ար տադ րյա լը ներ կա յաց րեք հնա րա վոր ա մե նա մեծ քա նա-կու թյամբ 1 -ից տար բեր ար տադ րիչ նե րի ար տադ րյա լի տես քով.ա) 20 · 24, բ) 12 · 25, գ) 164 · 10, դ) 8 · 125, ե) 125 · 64, զ) 112 · 147, է) 1001 · 37, ը) 47 · 201:

604. Տր ված թվի բո լոր բա ժա նա րար նե րը գրեք աճ ման կար գով.ա) 12, բ) 15, գ) 18, դ) 24:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ124

605. Նա խորդ ա ռա ջադ րան քը կա տա րե լիս կա րե լի էր նկա տել, որ 18 թվի բա ժա նա րար նե րը մի հե տաքր քիր հատ կու թյամբ են օ ժտ ված.

1, 2, 3, 6, 9, 18

1 · 18 = 2 · 9 = 3 · 6 = 18:

Այս հատ կու թյու նը թույլ է տա լիս 18 -ի բո լոր բա ժա նա րար նե րը գտնել այլ եղանակով: Նախ աճ ման կար գով ը նտ րենք բո լոր բա-ժա նա րար նե րը մինչև այն պա հը, որ եր կու հարևան բա ժա նա րար-նե րի ար տադրյա լը լինի 18՝ 1, 2, 3, 6 (3 · 6 = 18): Այ նու հետև, 18 -ը բա-ժա նե լով ար դեն ստաց ված 1 և 2 բա ժա նա րար նե րին, կս տա նանք մյուս բա ժա նա րար նե րը.

18 ։ 2 = 9, 18 ։ 1 = 18: Օգտ վե լով այս հնար քից՝ գտեք տր ված թվի բո լոր բա ժա նա-րարները.ա) 32, բ) 48, գ) 56, դ) 36, ե) 98:

606. Տր ված թի վը բո լոր հնա րա վոր ե ղա նակ նե րով ներ կա յաց րեք եր կու ար տադ րիչ նե րի ար տադ րյա լի տես քով.ա) 32, բ) 62, գ) 51, դ) 100:

607. Հետևե լով բեր ված ե ղա նա կին՝ վեր լու ծեք պարզ ար տադ րիչ նե րի.ա) 10, բ) 100, գ) 1000, դ) 10000, ե) 100000:

ե) 100000 2 · 5 10000 2 · 5

1000 2 · 5

100 2 · 5

10 2 · 5 1

100000 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5:

608. Վեր լու ծեք պարզ ար տադ րիչ նե րի ա) 64, բ) 200, գ) 144, դ) 256, ե) 333, զ) 346, է) 512, ը) 8100,թ) 4096, ժ) 2500, ի) 888, լ) 2525:

609. Ո րո շեք պարզ է, թե բա ղադ րյալ տր ված թի վը.ա) 89, բ) 123, գ) 279, դ) 335, ե) 642, զ) 601, է) 729, ը) 835,թ) 571, ժ) 463, ի) 7777, լ) 442233:

610. ա) a և b բնա կան թվերն ը նտ րեք այն պես, որ բա վա րար վի հա վա-սա րու թյունը.

3 · a + 6 · b  = 1998:

ANTARES

3.5. Ա ՄԵ ՆԱ ՄԵԾ Ը ՆԴ ՀԱ ՆՈՒՐ ԲԱ ԺԱ ՆԱ ՐԱՐ 125

բ) Ին չո՞ւ չի կա րե լի ը նտ րել հետևյալ հա վա սար ությա նը բա վա րա-րող a և b բնա կան թվեր.

3 · a + 6 · b  = 1999:գ) Կա րե լի՞ է ը նտ րել a և b բնա կան թվեր, որ բա վա րար վի հա վա-սա րու թյանը.

18 · a + 81 · b  = 996:

611. ա) 8 թի վը ներ կա յաց րեք մի քա նի ար տադ րիչ ի ար տադ րյա լի տես-քով, որ այդ ար տադ րիչ նե րի գու մա րը 8 լի նի:բ) 35 թի վը ներ կա յաց րեք մի քա նի ար տադ րիչ ի ար տադ րյա լի տես-քով, որ այդ ար տադ րիչ նե րի գու մա րը 35 լի նի:

3.5. ա Մե նա ՄեԾ ը նԴ հա նուր Բա ժա նա րար

12 բնա կան թիվն ունի 1, 2, 3, 4, 6, 12 բա ժա նա րար նե րը, ի սկ 54 բնա-կան թվի բա ժա նա րար նե րը 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54 թվերն են:

Մենք տես նում ե նք, որ 12 և 54 թվերն ունեն 1, 2, 3, 6 ը նդ հա նուր բա-ժա նա րար նե րը:

12 և 54 թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը 6 -ն է: a և b բնա կան թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը նշա նա-

կում են (a, b): Դի տար կենք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը գտ-նե լու օ րի նակ ներ:

Օ րի նակ 1: Գտ նենք 180 և 336 թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա-նա րա րը:

180 և 336 թվե րը վեր լու ծենք պարզ ար տադ րիչ նե րի. 180 2 336 2 90 2 168 2 45 3 84 2 Այս պի սով՝ 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5, 15 3 42 2 336 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 7: 5 5 21 3 1 7 7 1 180 և 336 թվե րի վեր լու ծու թյուն նե րում նրանց բո լոր ը նդ հա նուր

պարզ բա ժա նա րար ներն ը նդ գծ ված են. 2, 2, 3: Ու րեմն (180, 336) = 1 · 2 · 2 · 3 = 12:

Պա տաս խան՝ 12: Օ րի նակ 2: Գտ նենք (56, 45) -ը:56 և 45 թվե րը վեր լու ծենք պարզ ար տադ րիչ նե րի. 56 2 45 3 28 2 15 3 56 = 2 · 2 · 2 · 7, 14 2 5 5 45 = 3 · 3 · 5: 7 7 1 1

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ126

56 և 45 թվերն ը նդ հա նուր պարզ բա ժա նա րար չու նեն, ուրեմն նրանց միակ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը 1 -ն է, և ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա-նա րա րը նույն պես 1 -ն է՝ (56, 45) = 1:

Պա տաս խան՝ 1: Ընդ հա նուր պարզ բա ժա նա րար չու նե ցող թվե րը կոչ վում են փո խա-

դար ձ պարզ թվեր: Փո խա դար ձ պարզ թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը 1 -ն է: Օ րի նակ՝ 56 և 45 թվե րը փո խա դար ձ պարզ ե ն՝ (56, 45) = 1:

Ն շենք, որ եր կու տար բեր պարզ թվե րը (օ րի նակ՝ 17 -ն ու 23 -ը), ի նչ-պես նաև եր կու հա ջոր դա կան բնա կան թվե րը (օ րի նակ՝ 24 -ն ու 25 -ը) փո խա դար ձ պարզ են:

Ե թե տր ված եր կու թվե րից ա ռա ջինն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժան վում է ե րկ րոր դի վրա, ա պա նրանց ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը ե րկ րորդ թիվն է:

Օ րի նակ՝ 12 -ը բա ժան վում է 4 -ի, և (12, 4) = 4:

612. ա) Ո՞ր թվերն են ան վա նում փո խա դար ձ պարզ թվեր: Բե րեք փո-խա դար ձ պարզ թվե րի օ րի նակ ներ:բ) Ին չի՞ է հա վա սար փո խա դար ձ պարզ թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա-նուր բա ժա նա րա րը:գ) Հայտ նի է, որ a բնա կան թիվն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժան վում է b բնա կան թվին: Գտեք (a, b) -ն:

613. Գ տեք 45 -ի և 60 -ի բո լոր բա ժա նա րար նե րը: Ը նդգ ծեք նրանց բո լոր ը նդ հա նուր բա ժա նա րար նե րը:

614. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (30, 36), բ) (50, 45), գ) (42, 48),դ) (120, 150), ե) (124, 93), զ) (46, 69):

615. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (24, 48), բ) (62, 31), գ) (132, 11),դ) (256, 32), ե) (45, 15), զ) (21, 63):

616. 12321 բա ժան վում է 111 -ի: Գտեք (12321, 111) -ը:

617. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (14, 7), բ) (26, 13), գ) (48, 8),դ) (64, 16), ե) (45, 9), զ) (11, 66):

618. Տր ված թվե րը պարզ ար տադ րիչ նե րի վեր լու ծե լու մի ջո ցով ցույց տվեք, որ նրանք փո խա դար ձ պարզ են.ա) 24 և 35, բ) 56 և 99, գ) 63 և 88,դ) 11 և 17, ե) 32 և 33, զ) 48 և 49:

619. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (13, 5), բ) (3, 11), գ) (29, 19),դ) (54, 55), ե) (62, 63), զ) (98, 99):

ANTARES

3.6. Ա ՄԵ ՆԱ ՓՈՔՐ Ը ՆԴ ՀԱ ՆՈՒՐ ԲԱԶ ՄԱ ՊԱ ՏԻԿ 127

620. Ա պա ցու ցեք, որ եր կու տար բեր պարզ թվե րը փո խա դար ձ պարզ են:

621. Ա պա ցու ցեք, որ եր կու հարևան բնա կան թվե րը փո խա դար ձ պարզ են:

622. Գտեք փո խա դար ձ պարզ թվե րի հինգ զույգ:

623. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (320, 40), բ) (233, 79), գ) (278, 279),դ) (484, 44), ե) (84, 96), զ) (100, 175):

624. Բա ցատ րեք՝ ին չու եր կու թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա-րա րը չի կա րող մեկ նու մե կից մեծ լի նել:

625. Ա շա կեր տը պետք է գտ ներ (33, 198) -ը: Նա ստա ցավ 66: Օգտվելով նախորդ խնդրից՝ ապացուցեք, որ դա սխալ է։

626. Տր ված են a և b թվե րի վեր լու ծու թյուն նե րը պարզ ար տադ րիչ նե րի: Գտեք (a, b) -ն.ա) a = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 7, b = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7,բ) a = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 11 · 11 · 11, b = 2 · 5 · 5 · 5 · 7 · 19 · 19:

627. Գ տեք ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը.ա) (1, 48), բ) (15, 55), գ) (182, 82),դ) (100, 25), ե) (1000, 125), զ) (121, 11):

628. Էս տա ֆե տին մաս նակ ցում էր 36 աղ ջիկ և 24 տղա ։ Նրանց ան հրա-ժեշտ էր բա ժա նել թի մե րի այն պես, որ տար բեր թի մե րում ը նդ-գրկված լի նեն ի նչ պես հա վա սար թվով աղ ջիկ ներ, այն պես է լ՝ հա վա սար թվով տղա ներ: Ա մե նա շա տը քա նի՞ հո գի կա րե լի էր ը նդ գր կել յու րա քան չյուր թի մում, և քա նի՞ թիմ կկազ մա վոր վեր այդ դեպ քում:

629. Ա մա նո րյա նվեր նե րի հա մար նա խա պատ րաս տել է ին 184 ման դա-րին և 138 խն ձոր: Ա մե նա շա տը քա նի՞ նվեր նե րի մեջ կա րե լի է բաշ-խել այդ բո լոր մր գե րը, որ բո լոր նվեր նե րում լի նի հա վա սար թվով ման դա րին և հա վա սար թվով խն ձոր:

3.6. ա Մե նա ՓոՔր ը նԴ հա նուր ԲաԶ Մա Պա տիկ12 -ի բա ժան վող թիվն ան վա նում են 12 -ի բազ մա պա տիկ: 12 թվի

բազ մա պա տիկ են հետևյալ թվե րը. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 և այլն: Ի սկ 18 թվի բազ մա պա տիկ նե րն են 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 և այլ թվեր:

Մենք տես նում ե նք, որ կան թվեր, ո րոնք միա ժա մա նակ 12 -ի ու 18 -ի բազ մա պա տիկ ներ են, օ րի նակ՝ 36, 72, 108, ... : Այդ թվե րը կոչ վում են 12 -ի և 18 -ի ը նդ հա նուր բազ մա պա տիկ ներ:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ128

a և b թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տիկ ան վա նում են այն ա մե նա փոքր բնա կան թի վը, ո րն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժան վում է ի նչ պես a -ի, այն պես էլ b -ի: Այդ թի վը նշա նա կում են [a, b]:

Դի տար կենք եր կու թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը գտ նե լու եր կու ե ղա նակ:

Գտ նենք [18, 24] -ը:I ե ղա նակ: Աճ ման կար գով գրենք 24 -ի բազ մա պա տիկ նե րը՝ ստու-

գե լով՝ բա ժան վում են ա րդյոք նրանք 18 -ի. 24 · 1 = 24, չի բա ժան վում 18 -ի, 24 · 2 = 48, չի բա ժան վում 18 -ի, 24 · 3 = 72, բա ժան վում է 18 -ի, ու րեմն [24, 18] = 72:II ե ղա նակ: 24 և 18 թվե րը վեր լու ծենք պարզ ար տադ րիչ նե րի.

24 = 2 · 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3:[24, 18] -ը պետք է բա ժան վի և՛ 24 -ի, և՛ 18 -ի: Դրա հա մար ո րո նե լի թի-

վը պետք է պա րու նա կի այդ թվե րից մե ծի՝ 24 -ի բո լոր պարզ ար տադ-րիչ նե րը (այ սինքն՝ 2, 2, 3 թվե րը), ի նչ պես նաև փոքր թվի վեր լու ծու-թյան այն պարզ ար տադ րիչ նե րը, ո րոնք չկային մե ծի վեր լու ծու թյու նում (տ վյալ դեպ քում ևս մեկ 3): Այս պի սով,

[18, 24] = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72: Քա նի որ փո խա դար ձ պարզ թվե րը ը նդ հա նուր պարզ բա ժա նա րար-

ներ չու նեն, ա պա նրանց ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը այդ թվե րի ար տադ րյալն է: Օ րի նակ՝ 24 -ը և 25 -ը փո խա դար ձ պարզ թվեր են: Այդ պատ ճա ռով

[24, 25] = 24 · 25 = 600: Ե թե եր կու թվե րից մե կը բա ժան վում է մյու սին, ա պա նրանց ա մե-

նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը հա վա սար է մեծ թվին: Օ րի նակ՝ 120-ը բա ժան վում է 24 -ի, ուրեմն [24, 120] = 120:

630. Ի նչ պե՞ս է հաշվ վում փո խա դար ձ պարզ թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ-հա նուր բազ մա պա տի կը:

631. Գ տեք 10 թվի մի քա նի բազ մա պա տիկ և 15 -ի մի քա նի բազ մա պա-տիկ: Գտեք 10 -ի և 15 -ի մի քա նի ը նդ հա նուր բազ մա պա տիկ: Ին չի՞ է հա վա սար 10 -ի և 15 -ի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը:

632. Գ տեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [6, 8], բ) [15, 25], գ) [16, 12],դ) [48, 42], ե) [35, 20], զ) [56, 63]:

633. Գ տեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [6, 12], բ) [40, 8], գ) [51, 17],դ) [33, 3], ե) [34, 2], զ) [16, 48]:

ANTARES

3.6. Ա ՄԵ ՆԱ ՓՈՔՐ Ը ՆԴ ՀԱ ՆՈՒՐ ԲԱԶ ՄԱ ՊԱ ՏԻԿ 129

634. 123454321 թի վը բա ժան վում է 11111 -ի: Ա ռանց պարզ ար տադ րիչ նե-րի վեր լու ծե լու՝ գտեք դրանց ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա-տի կը:

635. Գ տեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [135, 5], բ) [120, 10], գ) [432, 2],դ) [234, 9], ե) [123, 3], զ) [16, 64]:

636. Հայտ նի է, որ a թիվն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժան վում է b -ի: Ին չի՞ է հա վա սար [a, b] -ն:

637. Փո խա դար ձ պա՞րզ են ա րդյոք թվե րը.ա) 12 և 25, բ) 40 և 39, գ) 55 և 42,դ) 22 և 51, ե) 48 և 49, զ) 39 և 50, է) 17 և 48, ը) 11 և 45, թ) 13 և 50:

Գ տեք այդ թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը:

638. Գ տեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [4, 5], բ) [3, 11], գ) [7, 8],դ) [9, 10], ե) [5, 13], զ) [17, 3], է) [13, 11], ը) [10, 11], թ) [19, 20]:

639. Գ տեք a և b թվե րի այն պի սի հինգ զույգ, որ [a, b] -ն լի նի a:

640. Գտեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [36, 48], բ) [49, 50], գ) [14, 15],դ) [99, 100], ե) [28, 21], զ) [24, 23]:

641. Գ տեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը.ա) [19, 10], բ) [11, 110], գ) [26, 52],դ) [11, 23], ե) [88, 66], զ) [198, 9]:

642. Բա ցատ րեք՝ ին չո՞ւ եր կու թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա-պա տի կը չի կա րող փոքր լի նել այդ թվե րից որևէ մե կից:

643. Ա շա կեր տու հին հաշ վեց 33 և 198 թվե րի ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր բազ մա պա տի կը և ստա ցավ 99: Օգտվելով նախորդ խնդրից՝ հիմնավորեք, որ դա սխալ է:

644. Տր ված են a և b թվե րի վեր լու ծու թյուն նե րը: Գտեք (a, b) -ն և [a, b] -ն.ա) a = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5, b = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5,բ) a = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5, b = 3 · 3 · 5 · 5 · 5:

(Բա վա կան է ար դյունք ներն ստա նալ ար տադ րյա լի ձևով և չհաշ վել դրանք):

645. Հա մոզ վեք, որ (36, 24) · [36, 24] = 36 · 24: Բա վա րար վո՞ւմ է ա րդյոք այս հատ կու թյունն այլ թվե րի զույգերի հա մար:

646. Ա պա ցու ցեք, որ (a, b) · [a, b] = a · b: ա) ե թե a -ն ու b -ն փո խա դար ձ պարզ են,բ) ե թե a -ն ու b -ն կա մա յա կան են:

647. Ի՞նչ ա մե նա փոքր եր կա րու թյուն կա րող է ունե նալ պա րա նը, որ հնա րա վոր լի նի այն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժա նել.

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ130

ա) ինչ պես 4 մ եր կա րու թյամբ կտոր նե րի, այն պես է լ՝ 5 մ,բ) ինչ պես 5 մ եր կա րու թյամբ կտոր նե րի, այն պես է լ՝ 6 մ:

648. Ա շա կեր տը ցան կա նում է 80 դրամ ար ժո ղու թյամբ մի քա նի տետր գնել: Նա ունի միայն 50 դրա մա նոց ներ, ի սկ վա ճա ռո ղը մանր չու-նի: Ա մե նա քի չը քա նի՞ տետր կա րող է գնել ա շա կեր տը:

649. Եր կու շղ թա յակց ված ա տամ նա նիվ նե րից մեկն ունի 16 ա տամ, մյու-սը՝ 28: Նախ քան ա տամ նա նիվ նե րը պտ տեց նե լը նրանց՝ մե կա կան հպ վող ա տամ նե րին կա վի ճով նշան ներ են դրել: Ա տամ նա նիվ նե-րից ա մեն մե կի ա մե նա քի չը քա նի՞ պտույ տից հե տո նշան նե րը նո-րից կհա մընկ նեն:

3.7. Պատ Մա կան ակ նարկ

Հ նում ա սում է ին. « Բազ մա պատ կումն իմ տան ջանքն է, ի սկ բա ժա նու-մը՝ դժ բախ տու թյունս»: Ով կա րո ղա նում էր ա րագ ու ան սխալ բա ժա նել, հա մար վում էր խո շոր մա թե մա տի կոս, ա խր այն ժա մա նակ վա դպ րոց նե-րում միայն սո վո րեց նում է ին գու մա րում, հա նում և բազ մա պատկ ման ա ղյու սա կը:

Բ նա կան թվե րի բա ժա նե լի ու թյու-նը մա թե մա տի կոս նե րին հե տա քր-քրել է դեռևս խոր ան ցյա լում: Նրանք ա ռանձ նա պես հա տուկ ուշադ րու թյան են ար ժա նաց րել պարզ թվե րին: Չէ՞ որ այդ թվե րը որ պես բա ղադ րիչ ներ են ծա ռա յում ցան կա ցած բա ղադ-րյալ թվի հա մար: Դրա հա մար շատ կարևոր է պար զել և ճա նա չել պարզ թվե րի գաղտ նիք նե րը. քա նի հատ են, ի նչ պես են բաշխ ված բնա կան թվե րի շար քում և այլն:

Հույն գիտ նա կան Է վկ լի դե սը (մ. թ. ա. III դար) իր հայտ նի «Ս կզբունք նե-րում» ա պա ցու ցել է, որ պարզ թվերն ան վերջ շատ են: Նույն այդ գրքում ցույց է տր ված եր կու բնա կան թվե րի ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա րա րը գտ նե լու ե ղա նակ (ալ գո րիթմ):

Մեկ այլ հույն մա թե մա տի կոս Է րա-տոս թե նե սը (մ. թ. ա. II դար) ա ռա-ջար կել է պարզ թվե րը գտ նե լու

ANTARES

3.7. ՊԱՏ ՄԱ ԿԱՆ ԱԿ ՆԱՐԿ 131

բա վա կա նին դյու րին ե ղա նակ: Մի փոքր փո խե լով Է րա տոս թե նե սի ե ղա նա կը՝ 1 -ից 100 թվե րը գրենք ա ղյու սա կի ձևով՝ 6-ական թիվ ա մեն տո ղում: Այս ա ղյու սա կում 1 -ը և բա ղադ րյալ թվե րը ջնջ ված են: Մնա-ցած թվե րը, որ ջնջ ված չեն, պարզ թվերն են, դրանք շր ջագծ ված են:

Այս պի սի ա ղյու սակ ներ կա րե լի է պատ րաս տել նաև 100 -ից ա վե լի բնա կան թվե րի հա մար: Հատ կան շա կան է, որ Է րա տոս թե նեսն իր ա ղյու-սա կը գրել է շր ջա նա կին լավ ձգ ված պա պի րու սի վրա, ը նդ ո րում, 1 թվին և բա ղադ րյալ թվե րին հա մա պա տաս խա նող տե ղե րում ան ցքեր է ին բաց-ված: Ստաց վել էր մի յու րա տե սակ « մաղ», ո րի մի ջով 1 -ն ու բա ղադ րյալ թվե րը կար ծես թե « մաղ վել, գնա ցել» է ին, ի սկ պարզ թվե րը՝ մնա ցել մա-ղի մեջ: Այդ պատճառով էլ այդ եղանակն անվանում են «Էրատոսթենեսի մաղ»։

Սկ սած հնա գույն ժա մա նակ նե րից՝ մա թե մա տի կոս նե րը ձգ տում է ին հաս-կա նալ, թե բնա կան թվե րի շար քում պարզ թվերն ի նչ պես են դա սա վոր ված և աշ խա տում է ին ստա նալ դրանք գտ նե լու ը նդ հա նուր բա նաձև: Օ րի նակ՝ ե թե p = n · n − n + 41 բա նաձևում n -ի փո խա րեն տե ղադ րենք 1, 2, 3, 4, ..., 40 բնա-կան թվե րը, ա պա ար դյուն քում ստաց վում են 1 · 1 − 1 + 41 = 41, 2 · 2 − 2 + 41 = 43, 3 · 3 − 3 + 41 = 47, 4 · 4 − 4 + 41 = 53, ..., 40 · 40 − 40 + 41 = 1241 պարզ թվե րը:

Սա կայն պարզ թվերն ստա նա լու ը նդ հա նուր բա նաձև դեռևս չի գտն-ված: Սկ սած ո րոշ n բնա կան թվից՝ բա նաձևե րը դա դա րում են «աշ խա տել»: Ե թե վե րը դի տարկ ված բա նաձևում վերց նենք n = 41, ա պա կս տա նանք

p = 41 · 41 − 41 + 41 = 41 · 41 = 1681 բա ղադ րյալ թի վը, ո րը բա ժան վում է 1 -ի, ի րեն և 41 -ի:

Մեծ մա թե մա տի կոս, Պե տեր բուր գի ա կա դե միայի ա կա դե մի կոս Լ. Էյ-լե րը (1707 − 1783) մեծ ուշադ րու թյուն է դարձ րել բնա կան թվե րի բա ժա նե-լի ու թյան հար ցե րին: Նրան է պատ կա նում p = n · n − n + 41 բա նաձևը: Էյ լե րը դի տար կել է նաև այս պի սի խն դիր. «Ո րո շեք ցան կա ցած եր կու բնա կան թվե րի միջև գտն վող բո լոր պարզ թվե րի քա նա կը՝ ա ռանց ան մի ջա կա նո-րեն դրանք թվար կե լու»:

Պ. Լ. Չեբիշև Լ. Էյլեր Ի. Մ. Վինոգրադով

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 3 ԲՆԱԿԱՆ ԹՎԵՐԻ ԲԱԺԱՆԵԼԻՈՒԹՅՈՒՆԸ132

Այդ խնդ րով հե տա գա յում զբաղ վել են աշ խար հի մեծ թվով խո շոր մա-թե մա տի կոս ներ: Այդ խնդ րի լուծ ման հար ցում մեծ ա վանդ է ներդ րել ռուս մեծ մա թե մա տի կոս Պ. Լ. Չե բիշևը (1821 − 1894)՝ մաս նա վո րա պես ա պա ցու-ցե լով, որ n և 2n (n > 1) թվե րի միջև կա գո նե մեկ պարզ թիվ:

Էյ լերն ա վե լի քան 200 տա րի ա ռաջ ձևա կեր պել է «Էյ լե րի պրոբ լեմ» կոչ-վող հետևյալ հի պո թե զը. «Ա պա ցու ցեք, որ 4 -ից սկ սած ցան կա ցած զույգ թիվ կա րե լի է ներ կա յաց նել եր կու պարզ թվե րի գու մա րի տես քով»:

Էյ լե րի պրոբ լե մը մինչև այժմ լուծ ված չէ:Պե տեր բուր գի ակա դե միայի ան դամ Խ.  Հոլդ բա խը (1690 − 1764) ավելի

քան 200 տարի առաջ ձևա կեր պել է հետևյալ հի պո թե զը. «Ա պա ցու ցեք, որ 5 -ից մեծ ա մեն մի կենտ թիվ կա րե լի է ներ կա յաց նել որ պես ե րեք պարզ թվե րի գու մար»:

Ռուս նշա նա վոր մա թե մա տի կոս, ա կա դե մի կոս Ի. Մ. Վի նո գրա դո վը (1891 − 1983) ա պա ցու ցել է, որ Հոլդ բա խի հի պո թե զը ճիշտ է բա վա կա նա-չափ մեծ թվե րի հա մար: Բայց ը նդ հա նուր դեպ քում այդ խն դի րը մինչև այժմ լուծ ված չէ:

ANTARES

4.1. կո տո րա կի հաս կա ցու թյու նը Ե թե 1 սմ եր կա րու թյամբ հատ վա ծը բա ժա նենք եր կու հա վա սար մա-

սի, ա պա նրան ցից ա մեն մե կի եր կա րու թյու նը հա վա սար կլի նի սան տի-մետ րի կե սին: Դա գրա ռում են այս պես՝ 1

2 սմ: Ե թե 1 կգ շա քա րա վա զը հա վա սար չա փե րով տե ղա վո րենք չորս տու-

փի մեջ, ա պա նրան ցից ա մեն մե կը կու նե նա 1 կգ -ի քա ռոր դին հա վա-սար կշիռ: Դա գրա ռում են այս պես՝ 1

4 կգ: Հի շենք, որ ա ռօ րյա կյան քում « զանգ ված» բա ռը փո խա րի նում են «կ շիռ» բա ռով:

Ե թե 1 կգ կշ ռով հա ցի բո քո նը բա ժա նենք չորս հա վա սար մա սի (ը ստ կշ ռի), ա պա յու րա քան չյուր մա սը կլի նի կի լո գրա մի քա ռոր դի չա փով ( 14 կգ), ի սկ ե րեք այդ պի սի մա սե րը կկշ ռեն կի լո գրա մի ե րեք քա ռոր դի

չա փով: Դա գրա ռում են այս պես՝ 34

կգ:

Ե թե 13

դմ հատ վա ծը AB հատ վա ծում տե ղա վոր վում է ճիշտ եր կու անգամ, ա պա AB հատ վա ծի եր կա րու թյու նը կչափ վի դմ -ի եր րորդ մա սի կրկ նա պա տի կով ( գրառ վում է 2

3 դմ):

12, 1

3, 1

4, 2

3, 4

3, ... գրա ռում ներն ան վա նում են սո վո րա կան կո տո րակ­

ներ կամ կարճ՝ կո տո րակ ներ:12 կո տո րակն ար տա հայ տում է միա վո րի (մի լի մետ րի, կի լո գրա մի,

ժա մի և այլն) կե սը կամ մեկ ե րկ րորդ մա սը:

13 կո տո րակն ար տա հայ տում է միա վո րի մեկ եր րորդ մա սը:

23 կո տո րակն ար տա հայ տում է միա վո րի եր կու եր րորդ մա սը:

· É á õ Ë

ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ134

Նույն պի սի ի մաստ ունեն նաև 56 (հինգ վե ցե րորդ), 711 (յոթ տասն մե-

կե րորդ), 54

(հինգ չոր րորդ) և այլ կո տո րակ նե ր:

Ե թե b -ն բնա կան թիվ է, ա պա 1b

(կար դաց վում « մեկ բեե րորդ») կո-

տո րակն ար տա հայ տում է միա վո րի մեկ բեե րորդ մա սը:

Ե թե a -ն ու b -ն բ նա կան թվեր են, ա պա ab

(կար դաց վում է «ա բեե-

րորդ») կո տո րակն ար տա հայ տում է միա վո րի ա բեե րորդ մա սը:

Օ րի նակ՝ ե թե 1 կմ -ը բա ժա նենք b հա վա սար մա սե րի, ա պա ա մեն

մա սը կու նե նա 1b

կմ եր կա րու թյուն, ի սկ a այդ պի սի մա սը կու նե նա ab կմ եր կա րու թյուն:

Կո տո րա կի գծի վերևում գրված a թիվն ան վա նում են ab կո տո րա կի

հա մա րիչ, ի սկ կո տո րա կի գծի ներքևում գր ված b թի վը՝ ab կո տո րա կի

հայ տա րար: Ցան կա ցած a բնա կան թիվ կարելի է ներկայացնել a հա մա րի չով և 1

հայ տա րա րով կո տո րակով.

a = a1:

Օ րի նակ՝ 51

 = 5, 71

 = 7, 11

 = 1:

650. ա) Քա նի՞ գրամ է կի լո գրա մի կե սը:բ) Քա նի՞ ժամ է օր վա մեկ եր րոր դը:գ) Քա նի՞ կի լո գրամ է տոն նայի մեկ չոր րոր դը:դ) Քա նի՞ մետր է կի լո մետ րի մեկ ութե րոր դը: ե) Քա նի՞ րո պե է մեկ չոր րորդ ժա մը:

651. ա) Քա նի՞ մի լի մետր է 12 սան տի մետ րը:

բ) Քա նի՞ րո պե է 13

ժա մը:

գ) Քա նի՞ սան տի մետր է 14

մետ րը:

652. ա) Մեկ րո պեն մեկ ժա մի ո ՞ր մասն է:բ) Մեկ մի լի մետ րը սան տի մետ րի ո ՞ր մասն է:գ) Մեկ րո պեն աս տի ճա նի ո ՞ր մասն է:

653. ա) Գ նե ցին 100 մ կար թա թել: Ամ բողջ կար թա թե լի կե սը փա թա թե-ցին կո ճին: Քա նի՞ մետր կար թա թել մնաց:բ) 36 մ եր կա րու թյամբ հե ռա խո սա լա րի կծի կից քան դե ցին նրա քա-ռորդ մա սը: Քա նի՞ մետր լար մնաց:

654. Քա նի՞ սան տի մետր կա.

ա) 12

մետ րում, բ) 15

մետ րում,

ANTARES

4.1. ԿՈ ՏՈ ՐԱ ԿԻ ՀԱՍ ԿԱ ՑՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 135

գ) 110

մետ րում, դ) 125

մետ րում:

Նկար 109

Նկար 110

655. Ն կար 109-ո ւմ ժա մա ցույց է պատ կեր ված:ա) Շր ջագ ծի ո ՞ր մասն է ը նդ գրկ ված րո պե նե-րը ցույց տվող և ժա մե րը ցույց տվող սլաք նե-րի ծայ րե րի միջև` հաշ ված րո պե նե րի սլա քից՝ սլաք նե րի շարժ ման ո ւղ ղու թյամբ. ժա մը 6 -ին, ժա մը 3 -ին:բ) Շրջագծի ո՞ր մասը կանցնի րոպեներ ցույց տվող սլաքի ծայրը 30 րոպեում, 15 րոպեում, 20 րոպեում, 45 րոպեում, 40 րոպեում։գ) 1 ժա մի ո ՞ր մասն է 10 րո պեն, 5 րո պեն, 25 րո-պեն, 55 րո պեն:

656. Տետ րում ար տան կա րեք 4×4 վան դակ նե րից բաղ-կա ցած քա ռա կու սին (ն կար 110): Ներ կեք քա ռա-կու սու.

ա) 12

-ը, բ) 14

-ը, գ) 18

-ը:

657. Ն կար 111-ում AB հատ վա ծը բա ժան ված է 6 հա-վա սար մա սի: AD հատ վածն AB հատ վա ծի ո ՞ր մասն է:

³)

·) ¹)

µ)

Նկար 111

658. Տետ րում գծեք 6 սմ եր կա րու թյամբ հատ ված: Նշեք այդ հատ վա ծի 16, 2

6, 3

6, 4

6, 5

6, 6

6 մա սը:

659. Գծեք AB = 6 սմ երկարությամբ հատ վա ծ: Գծեք. ա) 12AB -ի, բ) 1

3AB-ի,

գ) 23

AB -ի հա վա սար CD հատ ված:

660. Գծեք AB = 15 սմ եր կա րու թյամբ հատ ված: Այդ հատ վա ծի վրա նշեք

C, D, M կե տերն այն պես, որ AC = 13AB, AD = 1

5AB, AM =  1

6AB:

661. ա) 12 սմ -ի ո ՞ր մասն է 6 սմ -ը, 3 սմ -ը, 4 սմ -ը, 1 սմ -ը:բ) 42 սմ -ի ո ՞ր մասն է 6 սմ -ը, 7 սմ -ը, 14 սմ -ը:

662. 115 մ երկարությամբ գործվածքը բաժանել են 5 հավասար մասի: Կոտորակի տեսքով գրեք, թե գործվածքի որ մասն է այդպիսի. մեկ մասը, երկու մասը, երեք մասը, չորս մասը, հինգ մասը: Գտեք ստացված մասերի երկարությունները:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ136

663. ա) 4000 դրա մի 12

-ը ծախ սե ցին: Քա նի՞ դրամ ծախ սե ցին:

բ) Պա րա նի եր կա րու թյու նը 27 մ է: Նրա 13 -ը կտ րե ցին: Քա նի՞ մետր

պա րան կտ րե ցին:

գ) 100 մետ րա նոց մե տա ղա լա րից կտ րե ցին նրա եր կա րու թյան 34 -ի

չա փով: Քա նի՞ մետր մե տա ղա լար կտ րե ցին: Քա նի՞ մետր մնաց:

664. Քա նի՞ գրամ է.

ա) 310

կգ -ը, բ) 5100

կգ -ը, գ) 34

կգ -ը, դ) 35

կգ -ը:

665. Ին չի՞ է հա վա սար.

ա) 50 -ի 12

-ը, բ) 45 -ի 13

-ը, գ) 120 -ի 14

-ը,

դ) 10 -ի 110

-ը, ե) 80 -ի 120

-ը, զ) 90 -ի 53

-ը:

666. Հաշ վեք.

ա) 12 -ի 23

-ը, բ) 45 -ի 45

-ը, գ) 140 -ի 37

-ը,

դ) 96 -ի 56

-ը, ե) 176 -ի 311

-ը, զ) 6 -ի 53

-ը:

667. 3 կգ կարտոֆիլից ցանեցին 1 կգ -ը: Կարտոֆիլի ո՞ր մասը մնաց։

668. Ավտոբուսի երթուղու երկարությունը 24 կմ է: Քանի՞ կիլոմետր մնաց անցնելու առաջին կանգառից հետո, եթե սկզբից մինչև առաջին կանգառ հեռավորությունը ամբողջ երթուղու.

ա) 124

մասն է, բ) 524

մասն է, գ) 38 մասն է:

669. ա) Աշ խա տանքն ա վար տե ցին 4 ժա մում: Աշ խա տան քի ո ՞ր մասն է ին կա տա րում ա մեն ժա մում:բ) Ա վա զա նը լց վում է 5 ժա մում: Ա վա զա նի ո ՞ր մասն է լց վում ա մեն ժա մում:գ) Հե տի ոտնն ի նչ -որ հե ռա վո րու թյուն ան ցավ 6 ժա մում: Այդ հե ռա-վո րու թյան ո ՞ր մասն էր ան ցնում ա մեն ժա մում:

670. ա) Ճա նա պար հոր դը մեկ ժա մում ան ցնում է ճա նա պար հի 15 մա սը:

Քա նի՞ ժա մում նա կանց նի ամ բողջ ճա նա պար հը:

բ) Յու րա քան չյուր ժա մում խո ղո վա կը լց նում է ա վա զա նի 16 մա սը:

Քա նի՞ ժա մում այն կլց նի ամ բողջ ա վա զա նը:

գ) Ա մեն օր կա տար վում է ա ռա ջադ րան քի 17

-ը: Քա նի՞ օ րում կա-վարտ վի ամ բողջ ա ռա ջադ րան քը:

ANTARES

4.2. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՀԱ ՎԱ ՍԱ ՐՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 137

671. ա) Միա ժա մա նակ իրար ըն դա ռաջ դուրս ե կավ եր կու ճա նա պար-հորդ։ Նրանք հան դի պե ցին 3 ժա մ հետո: Սկզբ նա կան հե ռա վո րու-թյան ո ՞ր մա սով է ին նրանք մո տե նում յու րա քան չյուր ժա մում:բ) Միա ժա մա նակ իրար ըն դա ռաջ դուրս ե կավ եր կու ճա նա պար-հորդ։ Ա մեն ժա մում նրանք ան ցնում են ամ բողջ ճա նա պար հի 14

-ը: Քա նի՞ ժամ հե տո նրանք կհան դի պեն:

672. ա) Գնաց քը ի նչ-որ հե ռա վո րու թյուն ան ցավ 8 ժա մում: Այդ հե ռա-վո րու թյան ո ՞ր մասն այն կանց նի 1 ժա մում, 2 ժա մում, 3 ժա մում, 8 ժա մում:բ) Շա բաթ վա 7 օ րից 3 -ը արևային է ին: 1 օ րը շա բաթ վա ո ՞ր մասն է: Արևային օ րե րը շա բաթ վա ո ՞ր մասն է ին կազ մում:գ) Խա նու թը 200 լամպ ստա ցավ: Նրան ցից 5 -ը ան սարք է ին: Բո լոր լամ պե րի ո ՞ր մասն էր ան սարք:դ) Ծաղկեփնջում կար 4 վարդագույն և 3 սպիտակ ծաղիկ: Բոլոր ծաղիկների ո՞ր մասն էին սպիտակ ծաղիկները:

673. Կար դա ցեք կո տո րակ նե րը. 12, 2

5, 4

7, 8

3, 1717

, 12130

, m3

, b2, pq:

674. ա) Հետևյալ թվերը գրեք կոտորակով. 3, 8, 11, 12:

675. Գ րեք 5 սո վո րա կան կո տո րակ: Կար դա ցեք դրանք, նշեք դրանց հա-մա րիչ նե րը և հայ տա րար նե րը:

676. Գրեք ե րեք կո տո րակ.ա) 3 հա մա րի չով, բ) 10 հայ տա րա րով:

677. Գ րեք կո տո րակ, ո րի.ա) հա մա րի չը եր կու սով մեծ է հայ տա րա րից,բ) հայ տա րա րը 4 -ով մեծ է հա մա րի չից:

4.2. կո տո րակ նե րի հա Վա սա րու թյու նը

Ամեն մի կոտորակի համար կարելի է գրել նրան հավասար մի շարք կոտորակներ։ Օրինակ՝

12

 = 24  = 36

 = 48  = ... :

Դա կա րե լի է բա ցատ րել այս պես. ե թե հատ վա ծը կի սենք, այ նու հետև ա մեն կե սը նո րից կի սենք, ա պա հատ վա ծի կե սը բաղ կա ցած կլի նի նրա

եր կու քա ռորդ նե րից (ն կար 112), այ սինքն` 12

 = 24

:

Նկար 112

Այդ կերպ կարելի է ցույց տալ, որ կեսը

հավասար է երեք վեցերորդին և այլն: Կարելի

է նաև ասել, որ 12

և 24 կոտորակները նույն թվի

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ138

տարբեր գրելաձևերն են։ 23

և 812

կոտորակները նույնպես նույն թվի

տարբեր գրելաձևերն են։

Ե թե կո տո րա կի հա մա րիչն ու հայ տա րա րը բազ մա պատ կենք միև նույն բնա կան թվով, ա պա կս տա նանք տր վա ծին հա վա սար կո տո րակ.

ab

 = a · nb · n

(1)

Այս հատ կու թյունն ան վա նում են կո տո րա կի հիմ նա կան հատ կու­թյուն: Նրա մի ջո ցով կա րե լի է ստա նալ տր ված կո տո րա կին հա վա սար կո տո րակ ներ: Օ րի նակ՝

1) 35

 = 3 · 10 5 · 10

 = 3050

, 2) 23

 = 2 · 43 · 4

 = 812

,

3) 1 = 11 = 1 · 3

1 · 3 = 3

3, 4) 6 = 6

1 = 6 · 2

1 · 2 = 12

2:

(1) հա վա սա րու թյու նը կա րե լի է գրել նաև հա կա ռակ կար գով.

a · nb · n = a

b

(2)

(2) հա վա սա րու թյան ձախ մա սի կո տո րա կի հա մա րիչն ու հայ տա-

րարն ունեն n ը նդ հա նուր ար տադ րի չը: Ա սում են, որ a · nb · n

կո տո րա կը

կա րե լի է կր ճա տել n -ով և ստա նալ ab

: Ո ւս տի կո տո րա կի հիմ նա կան

հատ կու թյու նը կա րե լի է ձևա կեր պել նաև այս պես.

ե թե կո տո րա կի հա մա րիչն ու հայ տա րարն ունեն ը նդ հա նուր ար տադ­րիչ, ա պա կո տո րա կը կա րե լի է կր ճա տել այդ ար տադ րի չով, այ սինքն՝ հա մա րիչն ու հայ տա րա րը բա ժա նել ը նդ հա նուր ար տադ րի չի վրա:

Օ րի նակ՝ կր ճա տենք 6

8, 8

6, 15

3, 1616

կո տո րակ նե րը.

ANTARES

4.2. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՀԱ ՎԱ ՍԱ ՐՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 139

Կո տո րա կը կոչ վում է ան կր ճա տե լի, ե թե նրա հա մա րիչն ու հայ տա-

րա րը ը նդ հա նուր պարզ ար տադ րիչ չու նեն: Օ րի նակ՝ 12, 3

4, 5

7 և 11

18 կո տո-

րակ ներն ան կր ճա տե լի են, քա նի որ բնա կան թվե րի՝ 1 և 2, 3 և 4, 5 և 7, 11 և 18 զույ գե րից յու րա քան չյուրն ը նդ հա նուր պարզ ար տադ րիչ չու նի, այ սինքն՝ փո խա դար ձ պարզ թվե րի զույգ է:

Ա մեն կո տո րա կի հա մար գո յու թյուն ունի նրան հա վա սար միակ ան-

կր ճա տե լի կո տո րա կը: Օ րի նակ՝ 812 = 2

3,

1215 = 4

5,

2114

 = 32, 35 = 

35:

Այս տեղ հա վա սա րու թյուն նե րի ձախ մա սե րը տր ված կո տո րակ ներն են, ի սկ աջ մա սե րը՝ նրանց հա վա սար միակ ան կր ճա տե լի կո տո րակ նե րը:

Ան կր ճա տե լի կո տո րակ ստա նա լու հա մար պետք է տր վա ծի հա մա-րիչն ու հայ տա րա րը կր ճա տել նրանց ա մե նա մեծ ը նդ հա նուր բա ժա նա-րա րով.

Օ րի նակ՝ կր ճա տենք 192256

կո տո րա կը:

Քա նի որ (192, 256) = 64, ա պա 192256 = 

3 · 644 · 64  = 

34:

Այն դեպքերում, երբ համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը միանգամից նշելը դժվար է, կրճատումը կատարում են աստիճանաբար: Օրինակ՝

192256

 = 2 · 962 · 128 = 96

128 = 2 · 48

2 · 64 = 48

64 = 3 · 16

4 · 16 = 34 :

Կո տո րա կի հիմ նա կան հատ կու թյու նից հետևում է, ո ր

ե թե կո տո րա կի հա մա րի չը բա ժան վում է հայ տա րա րին, ա պա կո տո րա կը հա վա սար է այդ բա ժա նու մից ստաց ված քա նոր դին:

Ի րոք, ե թե կո տո րա կի a հա մա րի չը բա ժան վում է b հայ տա րա րին և a:b = n, ա պա a = b · n և

ab

 = b · n b · 1  = n

1 = n:

Օ րի նակ՝162

 = 2 · 8 2 · 1

 = 81

 = 8:

Մաս նա վո րա պես. aa

 = a · 1 a · 1

 = 11

 = 1, որ տեղ a -ն ցան կա ցած բնա կան թիվ է:

678. Ձևա կեր պեք կո տո րա կի հիմ նա կան հատ կու թյու նը: Բե րեք հա մա-պա տաս խան օ րի նակ:

679. Ո՞ր կո տո րակն են ան վա նում ան կր ճա տե լի: Բե րեք օ րի նակ:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ140

680. Ին չի՞ է հա վա սար այն կո տո րա կը, ո րի հա մա րի չը հա վա սար է հայ-տա րա րին:

681. Արկ ղում կա 16 խո րա նար դիկ: Ի ՞նչ կո տո րա կով կար տա հայտ վի ա րկ ղից վերց ված խո րա նար դիկ նե րի մա սը, ե թե վերց ված է ա) 2 խո րա նար դիկ, բ) 4 խո րա նար դիկ, գ) 8 խո րա նար դիկ:

682. Խն ձո րը կտր տել են 6 հա վա սար մասի և դրանք հա վա սա րա պես բա ժա նել ե րեք աղ ջկա միջև: Ի ՞նչ կո տո րա կով կար տա հայտ վի յու-րա քան չյուր ա ղջ կան հա սած խն ձո րի մա սը:

683. Ն կար 113 -ի մի ջո ցով բա ցատ րեք, թե ին չու.

12

 = 2 4

 = 36

 = 48:

Նկար 113

Ս տու գեք (684­687) հա վա սա րու թյուն նե րի ստույ գու թյու նը.

684. ա) 12

 = 510

, բ) 15

 = 210

, գ) 14

 =  520

, դ) 14  = 25

100,

ե) 125

 =  4100

, զ) 125

 =  375

, է) 1

50 = 

2100 , ը)

120

 =  5100

:

685. ա) 34

 = 68

, բ) 59

 = 1527

, գ) 45

 = 1620, դ) 7

8 = 35

40,

ե) 55

 = 60100

, զ) 320

 = 60100

, է) 18

 =  1251000

, ը) 1125

 =  81000

686. ա) 10100

 = 110

, բ) 2080

 = 14

, գ) 20100

 = 15 , դ)

20600

 = 1

30,

ե) 10010000

 =  1100

, զ) 20005000

 = 25 , է)

60200

 = 310, ը)

80400 = 

15 :

687. ա) 416

 = 14 , բ)

1215

 =  45

, գ) 927

 = 13 , դ)

1824

 = 34

,

ե) 3642

 = 67 , զ) 32

42 = 2

3, է)

208000 = 

1400, ը)

120480

 = 14 :

688. Կր ճա տեք կո տո րակ նե րը բեր ված նմու շային օ րի նա կի ձևով.

ա) 2436  = 

2 · 122 · 18 =  2 · 6

3 · 6  =  2

3, կարճ՝

2436

 = 23:

ANTARES

4.2. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՀԱ ՎԱ ՍԱ ՐՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 141

բ) 48

, 936

, 728

, 535

, գ) 28

, 824

, 1228

, 45100

,

դ) 2535

, 4554

, 8400

, 32256

, ե) 1218

, 1820

, 2024

, 2430

,

զ) 5649

, 4032

, 4836

, 2821

, է) 2156

, 144120

, 156128

, 396240

,

689. 1, 2, 5 թվե րը գրեք կո տո րա կի տես քով, ո րի հայ տա րա րը լի նի.ա) 1, բ) 2, գ) 3, դ) 10, ե) 100:

690. x տա ռը փո խա րի նեք այն պի սի թվով, որ ստաց վի ճիշտ հա վա սա-րու թյուն:

ա) 1827

 = x3

, բ) 57

 = 60x

, գ) x6

 = 2024

, դ) 49x

 = 78:

691. ա) Գտեք 18 հայ տա րա րով կո տո րակ, ո րը հա վա սար լի նի 23

-ի:

բ) Գտեք 7 հա մա րի չով կո տո րակ, ո րը հա վա սար լի նի 19

-ի:

գ) Կա րե լի՞ է գտ նել բնա կան հա մա րի չով և 121 հայ տա րա րով կո տո-

րակ, ո րը հա վա սար լի նի 511

-ի:

դ) Կա րե լի՞ է գտ նել բնա կան հայ տա րա րով և 144 հա մա րի չով կո-

տո րակ, ո րը հա վա սար լի նի 3548

կո տո րա կին:

692. Կր ճա տեք կո տո րա կը.

ա) 75100

, բ) 4263

, գ) 5660

, դ) 81420

, ե) 7224

,

զ) 7525

, է) 3542

, ը) 3632

, թ) 4249

, ժ) 3260

:

693. Գ տեք տր ված կո տո րա կին հա վա սար ան կր ճա տե լի կո տո րակ:

ա) 25100

, բ) 4856

, գ) 75125

, դ) 108144

, ե) 600120

,

զ) 1001000

, է) 3501000

, ը) 2501000

, թ) 3206400

, ժ) 8001000

:

Ո րո շեք՝ կր ճա տե լի՞ է ա րդյոք կո տո րա կը (694, 695):

694. ա) 3040

, բ) 1570

, գ) 125335

, դ) 124240

, ե) 254628,

695. ա) 1227

, բ) 123402

, գ) 504801

, դ) 2329

, ե) 4546

,

696. Գտեք կոտորակի համարիչի և հայտարարի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը և կրճատեք կոտորակը.

ա) 1535

, բ) 4864

, գ) 6080

, դ) 4466

, ե) 3451

,

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ142

697. Կր ճա տեք կո տո րա կը.

ա) 5472

, բ) 5668

, գ) 1864

, դ) 8154

, ե) 2436

,

զ) 5649

, է) 5075

, ը) 4864

, թ) 56168

, ժ) 1854:

ի) 4998

, լ) 1751

, խ) 1648

, ծ) 25125

, կ) 1575

:

4.3. Խն Դիր ներ կո տո րակ նե րի Վե րա Բե րյալ

Դի տար կենք այն պի սի խն դիր նե րի լու ծում ներ, ո րոն ցում պա հանջ-վում է գտ նել թվի մա սը կամ թիվն ին քը՝ ը ստ նրա մա սի:

Խն դիր 1: 6000 դրամ գու մա րի 14

-ը ծախ սե ցին: Քա նի՞ դրամ ծախ-սե ցին:

Լու ծում: 6000 դրա մի 14

-ը գտ նե լու հա մար կա րե լի է այդ գու մա րը բա ժա նել 4 -ի.

6000:4 = 1500 (դ րամ): Պա տաս խան՝ 1500 դրամ:

Խն դիր 2: 15000 դրա մի 25

մա սը ծախ սե ցին: Քա նի՞ դրամ ծախ սե-ցին:

Լու ծում: Նախ գտ նենք 15000 դրա մի մեկ հին գե րորդ մա սը, ի սկ հե տո՝ 2

5 -ը.

1) 15000 : 5 = 3000 (դ րամ),2) 3000 · 2 = 6000 (դ րամ):

Պա տաս խան՝ 6000 դրամ: Այս եր կու գոր ծո ղու թյուն նե րը կա րե լի է միա վո րել.

15000 : 5 · 2 = 6000 (դ րամ):

15000 -ի 25 -ը գտ նե լու հա մար կա րե լի է 15000 -ը բա ժա նել կո տո րա կի

հայ տա րա րին և ար դյուն քը բազ մա պատ կել նրա հա մա րի չով:Ճշ մա րիտ է հետևյալ կա նո նը.

A թվի ab մասը գտնելու համար կարելի է

A ­ն բաժանել b ­ի և արդյունքը բազմապատկել a ­ով։

Խն դիր 3: Ծախ սել են 750 դրամ, որը սկզբ նա կան գու մա րի 16 -ն է:

Գտեք սկզբ նա կան գու մա րը:

ANTARES

4.3. ԽՆ ԴԻՐ ՆԵՐ ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՎԵ ՐԱ ԲԵ ՐՅԱԼ 143

Լու ծում: 750 դրա մը 6 ան գամ փոքր է սկզբ նա կան գու մա րից, ուրեմն սկզբ նա կան գու մա րը 6 ան գամ մեծ է 750 դրա մից: Գու մա րը գտ նե լու հա մար մնում է 750 դրա մը բազ մա պատ կել 6 -ով.

750 · 6 = 4500 (դ րամ): Պա տաս խան՝ 4500 դրամ:

Խն դիր 4: Ծախ սել են 9000 դրամ, որը սկզբ նա կան գու մա րի 23 -ն է:

Գտեք սկզբ նա կան գու մա րը: Լու ծում: Հա մա րենք, որ սկզբ նա կան գու մա րը ե րեք բա ժին է: Ը ստ

խնդ րի պայ մա նի՝ այդ ե րեք բա ժին նե րից եր կու սը 9000 դրամ է: Սկզբում կո րո շենք մեկ բա ժի նը, ա պա՝ ե րե քը, ո րը կլի նի ո րո նե լի գու մա րը.

1) 9000:2 = 4500 (դ րամ),2) 4500 · 3 = 13500 (դ րամ):

Պա տաս խան՝ 13500 դրամ: Այս եր կու գոր ծո ղու թյուն նե րը կա րե լի է միա վո րել.

9000:2 · 3 = 13500 (դ րամ):

Թի վը, ո րի 23

-ը 9000 է գտ նե լու հա մար, կա րե լի է 9000 -ը բա ժա նել

կո տո րա կի հա մա րի չին և ար դյուն քը բազ մա պատ կել նրա հայ տա րա-րով:

Ճշ մա րիտ է հետևյալ կա նո նը.

Եթե տրված B թիվը A թվի ab մասն է, ապա A ­ն գտնելու համար

կարելի է B ­ն բաժանել a ­ի և արդյունքը բազմապատկել b ­ով։

698. ա) Ի նչ պե՞ս գտ նել 30 -ի 35

-ը:

բ) Ի նչ պե՞ս գտ նել այն թի վը, ո րի 35

-ը 30 է:

699. ա) Ճյու ղին նս տած է ր 12 ճնճ ղուկ: Նրանց 23

-ը թռավ: Քա նի՞ ճնճղուկ թռավ:

բ) Դա սա րա նում կա 32 ա շա կեր տ: Նրանց 34

-ը սա հում էր դա հուկ-

նե րով: Քա նի՞ ա շա կերտ էր սա հում դա հուկ նե րով:

700. ա) Հե ծան վորդ ները եր կու օ րում ան ցան 48 կմ: Ա ռա ջին օ րը նրանք

ան ցան ամ բողջ ճա նա պար հի 23

-ը: Քա նի՞ կմ ան ցան ե րկ րորդ օ րը:

բ) Մեկն ուներ 3500 դրամ, ո րի 57

-ը ծախ սեց: Քա նի՞ դրամ մնաց:

գ) Աղ ջի կը 24 է ջա նոց տետ րի 58

մասն օգ տա գոր ծեց սևա գրու թյան

հա մար: Քա նի՞ չօգ տա գործ ված էջ մնաց:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ144

701. Զ բո սաշր ջիկ նե րը մե քե նայով ե րեք օ րում ան ցան 360 կմ: Ա ռա ջին

օ րը նրանք ան ցան ամ բողջ ճա նա պար հի 25

-ը, իսկ ե րկ րորդ օ րը՝ 38

-ը: Քա նի՞ կմ ան ցան եր րորդ օ րը:

702. ա) Խմ բա կում կար 24 աղ ջիկ և մի քա նի

տղա: Տղա նե րի քա նա կը աղ ջիկ նե րի քա-

նա կի 38

մասն է: Ըն դա մե նը քա նի՞ հո գի

կար այդ խմ բա կում:

բ) Սո նան հա վա քել էր 45 հատ 20-դ րա-

մա նոց և մի քա նի 10 ու 50-դ րա մա նոց մե տա ղադրամ: 10 և 50-դ րա-

մա նոց նե րի ը նդ հա նուր քա նա կը 20-դ րա մա նոց նե րի քա նա կի 29

մասն էր: Ըն դա մե նը քա նի՞ մե տա ղադ րամ էր հա վա քել Սո նան:

703. ա) Գե ղա մի հա վա քած գու մա րի 34

մա սը 2400 դրամ է: Ի նչ քա՞ն գու մար է հա վա քել Գե ղա մը:

բ) Ո րո շեք հատ վա ծի եր կա րու թյու նը, ե թե նրա 35

-ը 15 սմ է:

704. ա) Տղան 10 տա րե կան է: Նրա տա րի քը հոր տա րի քի 27

-ն է: Քա նի՞ տա րե կան է հայ րը:

բ) Աղ ջի կը 12 տա րե կան է, և նրա տա րի քը մոր տա րի քի 25 մասն է:

Գտեք մոր տա րի քը:

705. ա) Դպ րո ցա կան նե րը մի տե ղա մա սից հա վա քե ցին 504 կգ գա զար,

ի սկ մյու սից՝ 3 ան գամ քիչ: Հա վա քած ամ բողջ գա զա րի 13 -ը տե-

ղա փո խե ցին խա նութ: Քա նի՞ կգ գա զար տե ղա փո խե ցին խա նութ: բ) Ա ռա ջին օ րը շա քա րի գոր ծա րան բե րե ցին 633 տ 600 կգ ճակն-դեղ, ի սկ ե րկ րորդ օ րը՝ 2 ան գամ քիչ: Ինչ քա՞ն շա քար ստաց վեց ամ բողջ ճակն դե ղից, ե թե շա քա րի զանգ վա ծը ճակն դե ղի զանգ-

վա ծի 16

-ն է:

գ) Ճա շա րա նը 4 ամ սում օգ տա գոր ծեց 3672 կգ բան ջա րե ղեն: Ը նդ

ո րում, ա ռա ջին ամ սում օգ տա գոր ծեց այդ բան ջա րե ղե նի 13

-ը, ե րկ-

րորդ ամ սում՝ 2 ան գամ քիչ, քան ա ռա ջին ամ սում, ի սկ եր րորդ և

չոր րորդ ա միս նե րում՝ մի մյանց հա վա սար: Քա նի՞ կգ բան ջա րե ղեն ծախ սեց ճա շա րա նը եր րորդ և չոր րորդ ա միս նե րից յու րա քան չյու-րում:

706. Լ. Ֆ. Մագ նից կի ի «Թ վա բա նու թյուն» գր քից: Մե կը 48000 ռուբ լի ժա-ռան գու թյուն էր թո ղել կնո ջը, ա ղջ կան և ե րեք տղա նե րին: Ը նդ

ո րում, կնո ջը նա կտա կել էր ո ղջ գու մա րի 18

-ը, ի սկ յու րա քան չյուր

տղային՝ 2 ան գամ շատ, քան ա ղջ կան: Որ քա՞ն գու մար հա սավ ժա-ռան գորդ նե րից ա մեն մե կին:

ANTARES

4.4. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵՐՆ Ը ՆԴ ՀԱ ՆՈՒՐ ՀԱՅ ՏԱ ՐԱ ՐԻ ԲԵ ՐԵ ԼԸ 145

707. Բան ջա րե ղեն գնե լու հա մար տն տե սու հին ծախ սեց 180 դրամ: Դա

իր ունե ցած դրա մի 16

մասն էր: Այ նու հետև նա 2 կգ խն ձոր գնեց՝

կի լո գրա մը 240 դրամ ար ժո ղու թյամբ: Քա նի՞ դրամ մնաց տն տե-սու հու մոտ:

708. Հայ րը տղայի հա մար 9600 դրամ ար ժո ղու թյամբ կոս տյում գնեց:

Դա իր ունե ցած ամ բողջ գու մա րի 13 էր: Դրա նից հե տո նա գնեց մի

քա նի գիրք, և իր մոտ մնաց 15600 դրամ: Որ քա՞ն վճա րեց գր քե րին:

709. Տ ղան 8 տա րե կան է: Նրա տա րի քը հոր տա րի քի 29

մասն է: Ի սկ հոր

տա րի քը պա պի կի տա րի քի 35

մասն է: Քա նի՞ տա րե կան է պա պի կը:

710. ա) 900 դրա մը փոք րաց րեք իր 110

մա սով:

բ) 800 դրա մը մե ծաց րեք իր 25

մա սով:

711. Նա խորդ ամ սում ապ րան քի գի նը 900 դրամ էր: Այժմ այն նվա զել է

այդ գու մա րի 310

մա սով: Ի նչ քա՞ն է այժմ ապ րան քի գի նը:

712. Նա խորդ ամ սում մայ րի կիս աշ խա տա վար ձը 48000 դրամ էր: Այժմ

այն բարձ րա ցել է այդ գու մա րի 25 մա սով: Որ քա՞ն է այժմ մայ րի կիս

աշ խա տա վար ձը:

713. Ահ մե սի պա պի րու սից (Ե գիպ տոս, մեր թվար կու թյու նից մո տա վո-րա պես 2000 տա րի ա ռաջ): Մո տե նում է նախ րա պա նը 70 ցու լե րով: Նրան հարց նում են.

 − Քա նի՞սն ես դու բե րում քո բազ մա քա նակ նախ րից: Նախ րա պա նը պա տաս խա նում է. − Ես բե րում եմ ամ բողջ նախ րի մեկ եր րոր դի եր կու եր րոր դը: Քա նի՞ գլուխ ա նա սուն կար նախ րում:

4.4. կո տո րակ ներն ը նԴ հա նուր հայ տա րա րի Բե րե լը225

և 1325

կո տո րակ ներն ունեն միև նույն հայ տա րա րը: Ա սում են, որ

նրանք ունեն 25 ը նդ հա նուր հայ տա րա րը: 78 և 1

3 կո տո րակ ներն ունեն

տար բեր հայ տա րար ներ, բայց նրանց կա րե լի է բե րել ը նդ հա նուր հայ­տա րա րի: Այդ ա նե լու հա մար գտ նենք մի թիվ, ո րը բա ժան վում է 8 -ի և 3 -ի, օ րի նակ՝ 24: Կո տո րակ նե րը բե րենք 24 հայ տա րարի: Դրա համար 78 կո տո րա կի հայ տա րարն ու հա մա րի չը բազ մա պատ կենք 3 լրա ցու ցիչ

ար տադ րի չով: Լրա ցու ցիչ ար տադ րի չը սո վո րա բար գրում են հա մա րի չի վերևում, մի փոքր ձախ՝ հա մա րի չից ան ջա տե լով թեք գծի կով.

3/78

 = 7 · 38 · 3

 = 2124

:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ146

13 կո տո րա կի հայ տա րարն ու հա մա րի չը բազ մա պատ կե լով 8 լրա ցու-

ցիչ ար տադ րի չով՝ կս տա նանք.8/13

 =  1 · 83 · 8

 =  824

:

78 և 1

3 կո տո րակ նե րը բեր ված են ը նդ հա նուր հայ տա րա րի՝

78

 = 2124

, 13

 =  824

:

Օ րի նակ 1: 38 և 5

12 կո տո րակ նե րը բե րենք ը նդ հա նուր հայ տա րա րի:

Քա նի որ տր ված կո տո րակ նե րի հայ տա րար նե րի ար տադրյա լը 8 · 12 = 96 է, ա պա.

38

 = 3 · 128 · 12

 = 3696

: 512

 = 5 · 812 · 8

 = 4096

:

Սա կայն այդ կո տո րակ նե րի ը նդ հա նուր հայ տա րար կա րող է լի նել միա ժա մա նակ 8 -ի ու 12 -ի բա ժան վող ցան կա ցած թիվ. 24, 48, 96, 120, ...: Այդ թվե րից փոք րա գույ նը 24 -ն է: Որ պես 3

8 և 5

12 կո տո րակ նե րի ը նդ-

հա նուր հայ տա րար՝ ըն դու նենք 24 -ը: Քա նի որ 24 = 8 · 3 և 24 = 12 · 2, ա պա.

3/38

 = 3 · 38 · 3

 =  924

2/512

 = 5 · 212 · 2 = 1024:

Ցան կա ցած եր կու կո տո րակ կա րե լի է բե րել ը նդ հա նուր հայ տա րա-րի (օ րի նակ՝ վերց նե լով նրանց հայ տա րար նե րի ար տադ րյա լը): Բայց հաշ վում նե րը հեշտաց նե լու հա մար պետք է ձգ տել կո տո րակ նե րը բե րել ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր հայ տա րա րի:

Օ րի նակ 2: 536

և 754

կո տո րակ նե րը բե րենք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր հայ տա րա րի:

Քա նի որ [36, 54] = 108, ա պա ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր հայ տա րա րը 108 -ն է, ուրեմն.

3/536

 =  5 · 336 · 3

 =  15 108

2/754

 =  7 · 254 · 2

 =  14108

:

Օ րի նակ 3: 54 և 1

8 կո տո րակ նե րը բե րենք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր

հայ տա րա րի: Քա նի որ [4, 8] = 8, ա պա 8 հայ տա րա րի պետք է բե րել միայն ա ռա ջին

կո տո րա կը (ե րկ րորդ կո տո րա կի հայ տա րարն ար դեն 8 է).2/3

4 = 3 · 2

4 · 2 = 6

8

ANTARES

4.4. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵՐՆ Ը ՆԴ ՀԱ ՆՈՒՐ ՀԱՅ ՏԱ ՐԱ ՐԻ ԲԵ ՐԵ ԼԸ 147

714. ա) Ցան կա ցա՞ծ եր կու կո տո րակ կա րե լի է բե րել ը նդ հա նուր հայ-տա րա րի:բ) Տր ված եր կու կո տո րա կը ո ՞ր ը նդ հա նուր հայ տա րա րի բե րելն է բո լո րից հար մար:

715. ա) Քա նի՞ քա ռորդ կա 12 -ո ւմ:

բ) Քա նի՞ քսա նե րորդ կա 12

 −ո ւմ:

գ) Քա նի՞ ե րե սու նե րորդ կա 12

 −ում:

716. Գ րեք 23 -ին հա վա սար կո տո րակ, ո րի հայ տա րա րը լի նի.

ա) 30, բ) 12, գ) 24, դ) 102:

717. Կո տո րա կը փո խա րի նեք 12 հայ տա րա րով ի րեն հա վա սար կո տո-րա կով.

ա) 12, բ) 1

3, գ) 2

3, դ) 3

4, ե) 5

6, զ) 3

2:

718. 12, 3

4, 5

8, 712

կո տո րակ նե րը բե րեք 24 հայ տա րա րի:

719. 12, 1

3, 2

9, 518

կո տո րակ նե րը բե րեք 36 հայ տա րա րի:

720. Կո տո րակ նե րը բե րեք ի րենց հայ տա րար նե րի ար տադ րյա լին հա-վա սար ը նդ հա նուր հայ տա րա րի.

ա) 12 և 1

3, բ) 1

2 և 1

5, գ) 1

2 և 1

7, դ) 1

2 և 1

9,

ե) 12 և 2

3, զ) 1

2 և 3

5, է) 1

2 և 6

7, ը) 1

2 և 7

9,

թ) 17 և 1

8, ժ) 3

7 և 5

8, ի) 1

10 և 1

11, լ) 3

10 և 10

11,

խ) 110

և 113

, ծ) 110

և 213

, կ) 310

և 413

, հ) 910

և 1213

:

721. Բե րեք ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր հայ տա րա րի.

ա) 12 և 1

4, բ) 1

3 և 1

6, գ) 1

4 և 1

12, դ) 1

5 և 1

30,

ե) 23 և 2

5, զ) 7

8 և 15

16, է) 1

100 և 1

20, ը) 3

50 և 7

150:

Բե րեք ը նդ հա նուր հայ տա րա րի (722, 723).

722. ա) 14 և 1

6, բ) 1

4 և 1

10, գ) 1

6 և 1

8, դ) 1

6 և 1

9,

ե) 110

և 115

, զ) 110

և 325

, է) 130

և 140

, ը) 130

և 150

,

թ) 170

և 160

, ժ) 150

և 180

, ի) 160

և 115

, լ) 124

և 1120

,

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ148

խ) 350

և 725

, ծ) 7200

և 1140

, կ) 817

և 934

, հ) 640

և 725

:

723. ա) 215

և 512

, բ) 512

և 78, գ) 6

17 և 11

34, դ) 5

16 և 5

12,

ե) 733

և 377

, զ) 255

և 522

, է) 415

և 320

, ը) 5121

և 899

,

թ) 172

և 156

, ժ) 148

և 172

, ի) 277

և 344

, լ) 151

և 168

,

խ) 536

և 754

, ծ) 935

և 1142

, կ) 449

և 563

, հ) 1598

և 1372

:

724. Կո տո րա կը բե րեք 10, 100, 1000 հայ տա րար նե րից որևէ մե կի.

ա) 12, բ) 1

4, գ) 1

8, դ) 1

5, ե) 1

25, զ) 1

125, է) 3

4, ը) 4

5:

725. Ո րո շեք՝ հա վա սա՞ր են կո տո րակ նե րը: Ար դյունքն ար ձա նա գրեք « = » կամ «≠» նշան նե րի մի ջո ցով:

ա) 25 և 3

7: Քա նի որ

25

 = 2 · 75 · 7

 = 1435

,

37

 = 3 · 57 · 5

 = 1535

և 1435

 ≠ 1535

, ա պա 25

 ≠ 37:

բ) 1520

և 1824

, գ) 2035

և 1628

, գ) 1230

և 1525

, ե) 1822

և 2733

,

զ) 3048

և 3656

, է) 5684

և 82108

, ը) 12177

և 4521

, թ) 4963

և 3485

:

4.5. կո տո րակ նե րի հա Մե Մա տու Մը

Ն կար 114 -ում AB հատ վա ծը բա ժան ված 7 հա վա սար մա սի:

Նկար 114

Ե թե AB հատ վա ծի եր կա րու թյունն ըն դու նենք որ պես 1 միա վոր,

ա պա AC -ի եր կա րու թյու նը կլի նի 47, ի սկ AD -ինը՝ 6

7: AD հատ վա ծի

եր կա րու թյու նը մեծ է AC հատ վա ծի եր կա րու թյու նից, այ սինքն՝ 67 կո տո-

րա կը մեծ է 47 կո տո րա կից: Գրում ե ն՝ 6

7 > 4

7:

ANTARES

4.5. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՀԱ ՄԵ ՄԱ ՏՈՒ ՄԸ 149

Նույն հայ տա րա րով եր կու կո տո րակից մեծ է այն, ո րի հա մա րի չը մեծ է, այ սինքն.

եթե a > b ապա ac > b

c:

Օ րի նակ՝ 23 > 1

3, 6

7 > 4

7, 13

11 > 12

11:

Տար բեր հայ տա րար նե րով կո տո րակ նե րը հա մե մա տե լու հա մար կա րե լի է այդ կո տո րակ նե րը բե րել ը նդ հա նուր հայ տա րա րի,

ա պա հա մե մատել ստացված համարիչները:

Օ րի նակ՝ հա մե մա տենք 83

և 514

կո տո րակ նե րը: Այդ կո տո րակ նե րի

ա մե նա փոքր ը նդ հա նուր հայ տա րա րը 56 -ն է:

Այդ դեպ քում 7/3

8 = 3 · 7

8 · 7 = 

2156

, 4/5 14 = 5 · 4

14 · 4 = 2056

:

Քա նի որ 21 > 20, ա պա 2156

> 2056

, այ սինքն՝ 38 > 5

14:

Կո տո րակ նե րը հա մե մա տե լիս եր բեմն օգ տա կար է հետևյալ պն դու մը.

ե թե ա ռա ջին կո տո րա կը փոքր է ե րկ րոր դից, ի սկ ե րկ րորդ կո տո րա կը փոքր է եր րոր դից, ա պա ա ռա ջին կո տո րա կը փոքր է եր րոր դից:

Իրոք, ենթադրենք այդ կոտորակները բերվել են ընդհանուր հայ տա-րարի և առաջինի համարիչում ստացվել է a, երկրորդի հա մա րիչում՝ b և երրորդի համարիչում՝ c։ Քանի որ առաջին կոտորակը փոքր է երկ-րորդ կոտորակից, ապա a < b։ Քանի որ երկրորդ կոտորակն էլ փոքր է եր րորդ կոտորակից, ապա b < c։ Բայց բնական թվերի համար a < b և b < c ան հա վա սարություններից հետևում է, որ a < c: Ուրեմն, առաջին կոտորակը փոքր է երրորդ կոտորակից։

Կո տո րա կը կոչ վում է կա նո նա վոր, ե թե նրա հա մա րի չը փոքր է հայ-տա րա րից: Հա կա ռակ դեպ քում, այ սինքն, ե րբ հա մա րի չը մեծ է հայ տա-րա րից կամ հա վա սար է նրան, կո տո րակն ան վա նում են ան կա նոն:

Օ րի նակ՝

12, 2

3, 3

5, 1724

կո տո րակ նե րը կա նո նա վոր են,

21, 3

2, 5

3, 8

8 կո տո րակ ներն ան կա նոն են:

Կա նո նա վոր կո տո րա կը 1 ­ից փոքր է, ի սկ ան կա նոն կո տո րա կը մեծ է 1 ­ից կամ հա վա սար է 1 ­ի:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ150

Օ րի նակ՝ 35 < 5

5 = 1, 5

3 > 3

3 = 1:

Ս տաց վում է, որ ցան կա ցած կա նո նա վոր կո տո րակ փոքր է ան կա նո-նից:

726. ա) Ի նչ պե՞ս են հա մե մա տում նույն հայ տա րա րով կո տո րակ նե րը:բ) Ի նչ պե՞ս են հա մե մա տում տար բեր հայ տա րար նե րով կո տո րակ-նե րը:

727. ա) Ո ՞ր կո տո րակն են ան վա նում կա նո նա վոր:բ) Ո ՞ր կո տո րակն են ան վա նում ան կա նոն:

728. Հա մե մա տեք.ա) կա նո նա վոր կո տո րա կը և 1 -ը, բ) ան կա նոն կո տո րա կը և 1 -ը,գ) կա նո նա վոր կո տո րա կը և ան կա նո նը:

729. Ն կար 115 -ի մի ջո ցով բա ցատ րեք՝ ին չու 34 > 1

4, 1

2 < 3

4:

Նկար 115

730. Գծեք 12 սմ երկարությամբ AB հատ վա ծ: AB -ի վրա C կե տը նշեք

այն պես, որ. ա) AC = 14AB, բ) AC = 1

6AB:

Հա մե մա տեք AB և AC, BC և AC, BC և AB հատ ված նե րի եր կա րու-

թյուն նե րը:

731. Հա մե մա տեք կո տո րակ նե րը և ար դյուն քն ար ձա նա գրեք > կամ < նշան նե րի մի ջո ցով.

ա) 15 և 5

4, բ) 2

7 և 1

7, գ) 7

15 և 8

15,

դ) 781

և 681

, ե) 27100

և 33100

, զ) 17001995

և 18001995

։

732. Հա մե մա տեք կո տո րակ նե րը և ար դյուն քը գրան ցեք =   կամ ≠ ն շաննե րի մի ջո ցով:

ա) 35 և 16

10, բ) 2

3 և 16

21, գ) 7

5 և 27

20,

դ) 12 և 50

100, ե) 4

4 և 25

100, զ) 3

4 և 75

100։

733. ա) 38 կգ կոն ֆե՞տն է ծանր, թե՞

720

կգ թխ ված քը:

ANTARES

4.5. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՀԱ ՄԵ ՄԱ ՏՈՒ ՄԸ 151

բ) 12 կգ բո՞ւրդն է ծանր, թե՞ 9

18 կգ եր կա թը:

734. Հա մե մա տեք նույն հա մա րիչ նե րով կո տո րակ նե րը.

ա) 12 և 1

3, բ) 1

7 և 1

4, գ) 2

5 և 2

3,

դ) 35 և 3

7, ե) 7

13 և 7

15, զ) 8

7 և 8

11։

735. Ա պա ցու ցեք, որ նույն հա մա րիչն ունե ցող եր կու կո տո րա կից մեծ է այն, ո րի հայ տա րա րը փոքր է:

736. Կո տո րակ նե րը հա մե մա տեք 1 -ի հետ, ի սկ ա պա՝ մի մյանց հետ:

ա) 12 և 6

5, բ) 6

7 և 7

6, գ) 2

5 և 5

2,

դ) 35 և 7

3, ե) 17

13 և 7

8, զ) 8

7 և 8

9։

737. Կո տո րակ նե րը հա մե մա տեք 12

-ի հետ, ի սկ ա պա՝ մի մյանց հետ:

ա) 13 և 3

4, բ) 1

4 և 5

6, գ) 2

5 և 5

8,

դ) 45 և 3

7, ե) 7

13 և 8

17, զ) 8

17 և 10

19։

738. Ո րոշ դեպ քե րում հար մար է լի նում հա մե մա տել ոչ թե ի րենք՝ կո տո-

րակ նե րը, այլ այդ կո տո րակ նե րի «լ րա ցում նե րը» մինչև 1 -ը (միա-

վո րը): Օ րի նակ՝ հա մե մա տենք 78 և 8

9 կո տո րակ նե րը: 7

8 -ին պետք է

18 ա վե լաց նել, որ 1 ստաց վի, ի սկ 8

9 -ին` ա վե լի քիչ՝ 1

9:

Ու րեմն 89

-ը մեծ է՝ 78 < 8

9:

Այս ե ղա նա կով հա մե մա տեք հետևյալ կո տո րակ նե րը:

ա) 89 և 9

10, բ) 11

12 և 12

13, գ) 41

42 և 42

43,

դ) 3940

և 3839

, ե) 9899

և 9798

, զ) 19951996

և 19961997

։

739. ա) Արամը 10 կրակոցից 5 -ը խփեց նշա նա-կե տին, իսկ նրա հայրիկը 5 կրակոցից 3 -ը խփեց նշանակետին։ Նրանցից ո՞վ էր ավելի դի պուկ կրակում։

բ) Գայանեն 10 նետումից 6 − ում գնդակն անց կացրեց օղակով, իսկ Մանեն 8 նետումից 3 -ը վրիպեց: Ո՞ւմ արդյունքն էր ավելի լավը:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ152

740. Գ տեք 10 հայ տա րա րով բո լոր կո տո րակ նե րը, ո րոնք 59

-ից մեծ են,

բայց 79

-ից փոքր:

741. Գ տեք 13 հայ տա րա րով բո լոր կո տո րակ նե րը, ո րոնք մեծ են 13

-ից, բայց փոքր 23

-ից:

4.6. կո տո րակ նե րի Գու Մա րու Մը

Ն կար 116 -ում AB հատ վա ծը բա ժան ված է 9 հա վա սար մա սի: Ե թե

AB հատ վա ծի եր կա րու թյունն ըն դու նենք 1 միա վոր, ա պա AC = 29,

CD = 39, AD = 5

9: AD հատ վա ծի եր կա րու թյու նը հա վա սար է AC և CD հատ-

վածնե րի եր կա րու թյուն նե րի գու մա րին՝ AC + CD = AD, այ սինքն՝ 29

 + 39

 = 59,

կամ որ նույնն է՝ 29

 + 39

 = 2 + 39

:

Նկար 116

Նույն հայ տա րարն ունե ցող կո տո րակ նե րի գու մա րը մի կո տո րակ է, ո րի հա մա րի չը տր ված կո տո րակ նե րի հա մա րիչ նե րի գու մարն է, ի սկ

հայ տա րա րը նրանց հայ տա րարն է`

ac

 + bc

 = a + bc

:

(1)

(1) բա նաձևում և ա ռա ջի կա յում կո տո րակ նե րի հա մա րիչ նե րը և հայ-տա րար նե րը բնա կան թվեր են:

Օ րի նակ` 1) 15

 + 25

 = 1 + 25

 = 35, 2) 3

4 + 5

4 = 3 + 5

4 = 8

4 = 2

1 = 2,

3) 27

 + 97

 = 2 + 97

 = 117, 4) 5

6 + 1

6 = 5 + 1

6 = 6

6 = 1,

Տար բեր հայ տա րար նե րով կո տո րակ նե րը գու մա րե լու հա մար պետք է այդ կո տո րակ նե րը բե րել ը նդ հա նուր հայ տա րա րի, ա պա կի րա ռել

նույն հայ տա րա րով կո տո րակ նե րի գու մար ման կա նո նը:

Օ րի նակ՝ 5/2

3  + 3/3

5 = 2 · 53 · 5

 + 3 · 35 · 3

 = 1015

 +  915

 = 10 + 915

 = 1915

:

Բեր ված օ րի նակ նե րից երևում է, որ կո տո րակ նե րը կա րե լի է գու մա-րել հետևյալ բա նաձևով.

ab

 + cd

 = ad + bcbd

: (2)

ANTARES

4.6. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԳՈՒ ՄԱ ՐՈՒ ՄԸ 153

Օ րի նակ` 23 և 3

5 կո տո րակ նե րը գու մա րենք (2) բա նաձևով.

23

 + 35

 = 2 · 5 + 3 · 33 · 5

 = 10 + 915

 = 1915

:

Ա հա ևս մի օ րի նակ` 16

 + 712

 = 1 · 12 + 7 · 66 · 12

 = 5472

 = 34:

Ե թե եր կու կո տո րակ նե րի հայ տա րար նե րը փո խա դար ձ պարզ թվեր

չեն, ա պա (2) բա նաձևով գու մա րու մը հան գեց նում է ա վե լորդ հաշ վարկ-նե րի: Չնա յած դրան՝ (2) բա նաձևը ճիշտ է բո լոր դեպ քե րում, և օգ տա-կար է այն հի շել:

16 և 7

12 կոտորակների գումարը հիմա էլ հաշվենք՝ դրանք բերելով

ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի։

2/1

6  + 7

12 = 2

12 + 7

12 = 9

12 = 3

4:

Մի քա նի կո տո րակ ներ գու մա րե լու հա մար կա րե լի է ա ռա ջին կո տո-րա կին գու մա րել ե րկ րոր դը, ա պա ստաց ված ար դյուն քին գու մա րել եր-րորդ կո տո րա կը և այլն:

Օ րի նակ՝

3/12

 + 2/13

 + 14

 = 36

 + 26

 + 14

 = 2/56

 + 3/14

 = 1012

 + 312

 = 1312

:

742. ա) Ի նչ պե՞ս են գու մա րում նույն հայ տա րա րով կո տո րակ նե րը: բ) Ի նչ պե՞ս են գու մա րում տար բեր հայ տա րար նե րով կո տո րակները:

743. Ն կար 117 -ի մի ջո ցով բա ցատ րեք՝ ին չու 18

 + 38

 = 12:

Նկար 117

744. Ա նե լով հա մա պա տաս խան նկար՝ ցույց տվեք, ո ր

310

դմ +  210

դմ =   12

դմ:

745. Հաշ վեք.

ա) 310

վ + 310

վ, բ) 13

ժ + 23 ժ, գ) 3

100մ + 

21100

մ:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ154

746. Հաշ վեք.

ա) 110

ար + 710

ար, բ) 1100

հա +  4100

հա,

գ) 1271000

կմ +  1231000

կմ, դ) 17

1000տ +  

9831000

տ:

747. Հաշ վեք.

ա) 15

 + 35, բ) 1

2 + 1

2, գ) 7

10 + 4

10,

դ) 38

 + 58, ե) 5

16 + 3

16, զ) 3

20 +  7

20:

748. Հաշ վեք.

ա) 1427

 + 227, բ) 11

35 + 12

35, գ) 17

60 + 12

60,

դ) 3255

 + 2355

, ե) 533

 +  633

, զ) 1248

 + 1248

:

749. Եր կու կա նո նա վոր կո տո րակ նե րի գու մա րը կա րո՞ղ է լի նել.ա) կա նո նա վոր կո տո րակ, բ) ան կա նոն կո տո րակ: Բե րեք հա մա պա տաս խան օ րի նակ ներ:

750. Հաշ վեք.

ա) 13

 + 13

 + 13, բ) 1

5 + 2

5 + 3

5, գ)

37  + 

27

 + 17

,

դ) 730

 +  730

 +  130

, ե) 310

 + 210

 +  110

, զ) 726

 + 526

 + 1

26:

751. Գու մա րեք կո տո րակ նե րը և կր ճա տեք ստաց ված կո տո րա կը.

ա) 12

 + 12

 + 12

 + 12, բ) 1

3 + 2

3 + 1

3 + 5

3,

գ) 713

 +  413

 + 213

, դ) 196

 +  596

 + 1196

 + 3196

,

ե) 142

 + 1542

 + 1742

 +  942

, թ) 1978

 + 53 78

 + 3778

 + 2178

։

752. Ն կար 118 -ի մի ջո ցով բա ցատ րեք, թե ին չու.

ա) 12

 + 14

 = 34, բ) 1

2 + 1

3 = 5

6:

Նկար 118

753. Անելով հա մա պա տաս խան նկար՝ ցույց տվեք, ո ր12 դմ + 1

5 դմ = 7

10 դմ:

ANTARES

4.6. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԳՈՒ ՄԱ ՐՈՒ ՄԸ 155

754. Գու մա րեք կո տո րակ նե րը.

ա) 12

 + 13, բ) 1

2 + 1

5, գ) 1

3 + 1

4, դ) 1

4 + 1

5,

ե) 12

 + 14, զ) 1

3 + 1

6, է) 1

2 + 1

6 զ) 1

4 + 1

8:

Հաշ վեք (755­758):

755. ա) 110

 +  7100

, բ) 21100

 +  110

, գ) 35

 + 910

, դ) 23

 + 56,

ե) 1524

 + 38, զ)

76

 + 1618

, է) 112

 +  16

ը) 12

 + 310

:

756. ա) 336

 + 79

, բ) 25

 +  320

, գ) 16

 + 512

, դ) 1149

 + 67,

ե) 1324

 + 58, զ) 3

8 +  6

32, է) 6

120 +  3

20 ը) 9

16 + 50

100:

757. ա) 16  + 

19

, բ) 29

 + 56, գ) 2

9 + 3

8, դ) 2

10 + 6

15,

ե) 310

 + 212, զ)

512 + 

415, է)

34  + 5

18 ը) 2

26 +  3

39:

թ) 734

 + 517

, ժ) 4210

 +  5140

, ի) 7

450 +  8

180 լ) 9

180 +  7

120:

758. ա) 14

 + 47

 +  928

, բ) 15

 + 3 10

 +  720

, գ) 320

 +  730

 +  240

,

դ) 1720 + 

2330 + 

1160

, ե) 320

 +  730

 +  950

, զ) 740

 + 1170

 + 1330

:

759. Կո տո րա կը գրեք եր կու կո տո րակ նե րի գու մա րի տես քով.

ա) 35

, բ) 79, գ) 5

7, դ) 3

10:

760. Ընտ րեք այն պի սի կո տո րակ, ո րը գու մա րե լով տր վա ծին՝ ստաց վի 1:

ա) 13, բ) 2

7, գ) 5

9, դ) 8

13, գ) 5

41, դ) 13

27:

761. Նա խ կր ճա տեք կո տո րակ նե րը, ապա հաշ վեք նրանց գու մա րը.

ա) 615

 +  525

 = 3 · 23 · 5

 + 5 · 15 · 5

 = 25

 + 15

 = 35:

բ) 1016

 +  324

, գ) 3045

 +  836

, դ) 60120

 + 75150

ե) 24360

 +  16480

:

762. Աղ ջիկը սկզ բում կար դաց գր քի 25

-ը, ա պա նաև 15 -ը: Գր քի ո ՞ր մա սը

նա կար դաց:

763. Նա խա ճա շին կե րան տոր թի 38

-ը, ի սկ ճա շին՝ 58

-ը: Ա րդյոք ամ բո՞ղջ տոր թը կե րան:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ156

764. Ա ռա ջին տրակ տո րը հեր կեց դաշ տի 27

-ը, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 37 մա սը:

Ըն դա մե նը նրանք հեր կե ցին 10 հա: Ինչ քա՞ն է դաշ տի մա կե րե սը:

765. ա) Յու րա քան չյուր ժա մում ա ռա ջին խո ղո վա կը լց նում է ա վա զա նի 12 մա սը, ի սկ ե րկ րորդ խո ղո վա կը՝ 1

3 մա սը: 1 ժամ հա մա տեղ աշ-

խա տե լու դեպ քում ա վա զա նի ո ՞ր մա սը կլց նեն այդ եր կու խո ղո-

վակ ը:

բ) Ա ռա ջին բրի գա դը 1 օ րում կա րող է կա տա րել ա ռա ջադ րան քի 112

մա սը, ի սկ ե րկ րորդ բրի գա դը՝ 18 մա սը: Ա ռա ջադ րան քի ո ՞ր մա սը

կկա տա րեն բրի գադ նե րը 1 օր հա մա տեղ աշ խա տե լու դեպ քում:

գ) Եր կու վայ րե րից միա ժա մա նակ մի մյանց ըն դա ռաջ դուրս ե կավ

եր կու մե քե նա: Ա ռա ջին մե քե նան 1 ժա մում ան ցնում է այդ վայ րե-

րի հե ռա վո րու թյան 110

մա սը, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 112

մա սը: 1 ժա մում այդ

հե ռա վո րու թյան ո ՞ր մա սով կմո տե նան մե քե նա նե րը:

4.7. Գու Մար Ման Օ րենՔ նե րը

Բնական թվերի համար գործող տեղափոխական ու զուգորդական օրենքները ճիշտ են նաև կոտորակների համար.

Գու մա րե լի նե րի տե ղա փո խու թյու նից գու մա րը չի փոխ վում.

p + q = q + p

Եր կու թվե րի գու մա րին եր րորդ թի վը գու մա րե լու հա մար կա րե լի է ա ռա ջին թվին գու մա րել ե րկ րորդ և եր րորդ թվե րի գու մա րը.

(p + q) + r = p + (q + r)

Օ րի նակ 1: Ցույց տանք, որ 27

 + 47

 = 47

 + 27:

Քա նի որ գու մար ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը բնա կան թվե րի հա-մար ճիշտ է, ա պա

27

 + 47

 = 2 + 47

 = 4 + 27

 = 47

 + 27

Օ րի նակ 2: Ցույց տանք, որ � 15

 + 35� + 2

5 = 1

5 + �3

5 + 2

5�:

ANTARES

4.7. ԳՈՒ ՄԱՐ ՄԱՆ Օ ՐԵՆՔ ՆԵ ՐԸ 157

Քա նի որ գու մար ման զու գորդ ման օ րեն քը բնա կան թվե րի հա մար ճիշտ է, ա պա

� 15

 + 35� + 2

5 = 1 + 3

5 + 2

5 = (1 + 3) + 2

5 = 1 + (3 + 2)

5 =  1

5 + 3 + 2

5 = 1

5 + �3

5 + 2

5�:

Գու մար ման օ րենք նե րից հետևում է, որ մի քա նի կո տո րակ նե րի գու-մա րը կա րե լի է գրել ա ռանց փա կագ ծե րի, նրա ցան կա ցած գու մա րե լի-նե րը կա րե լի է տե ղե րով փո խել և փա կագ ծե րի մեջ նե րա ռել:

Դ րա նից հա ճախ օ գտ վում են ար տա հայ տու թյուն նե րը պար զեց նե լու հա մար: Օ րի նակ՝

15

 + 37

 + 25

 = � 15

 + 25� + 3

7 = 3

5 + 3

7 = 3 · 7

5 · 7  + 3 · 5

7 · 5  = 21

35 + 

1535

 = 3635

:

766. Լա տի նա կան այ բու բե նի տա ռե րով գրեք և բառերով ձևա կեր պեք.

ա) գու մար ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը,

բ) գու մար ման զու գոր դա կան օ րեն քը:

767. Կո տո րակ նե րի հա մար ճի՞շտ է.

ա) գու մար ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը,

բ) գու մար ման զու գոր դա կան օ րեն քը:

768. Թ վե րի գու մա րի մեջ կա րե լի՞ է.

ա) գու մա րե լի նե րի տե ղե րը փո խել,

բ) գու մա րե լի ներն ը նդ գր կել փա կագ ծե րի մեջ:

769. Ն կար 119 -ում 12 սմ եր կա րու թյամբ AB հատ վա ծը բա ժան ված է 4 հա վա սար մա սի:

Նկար 119

ա) Գտեք AC և CB հատ ված նե րի եր կա րու թյուն նե րը:

բ) Նկա րի մի ջո ցով բա ցատ րեք, որ 14

 + 34

 = 34

 + 14:

Օ գտ վե լով գու մար ման օ րենք նե րից՝ հաշ վեք (770-776):770. ա) 13 + (15 + 12), բ) 21 + 7 + 23,

գ) 19 + (37 + 11), դ) 37 + 14 + 26, ե) 2 + 7 + 8 + 3, զ) 9 + 7 + 3 + 1, է) 15 + 8 + 2 + 5, ը) 13 + 14 + 7 + 6:

771. ա) 34 + 87 + 66, բ) 25 + 97 + 75,գ) 371 + 483 + 629, դ) 631 + 783 + 369, ե) 4344 + 1256 + 744, զ) 1594 + 920 + 3080:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ158

772. ա) 1148

 + 1348

 + 1748

, բ) 1955

 + 1855

 + 1255

,

գ) 2564

 + 1764

 + 1564

, դ) 2369

 + 3869

 +  769

,

ե) 2843

 + 5243

 + 1943

, զ) 1745

 + 1145

 + 2345

:

773. ա) 17

30 + 28

30 = 15 + 2 + 28

30 = ...

բ) 2940

 + 3740

, գ) 5861  + 

4561 ,

դ) 257300

 + 199300

, ե) 379401

 + 127401

:

774. ա) 15

 +  825

 +  725

, բ) 17

 + 221

 + 37

,

գ) 349

 + 57

 +  449

, դ) 710

 + 215

 + 1130

:

775. ա) 3180

 + � 316

 + 3980�, բ)

245

 + � 345

 + 79�,

գ) 715

 + � 215

 + 15�, դ)

316

 + � 116

 + 58�։

776. ա) 127

 + 59

 + 13, բ) 2

9 + 5

6 +  1

18,

գ) 215

 + 15

 + 310

, դ) 38

 + 512

 +  124

:

777. Օգտ վե լով բնա կան թվե րի գու մար ման զու գոր դա կան օ րեն քից՝ ստու գեք հա վա սա րու թյու նը.

ա) �34

 + 16� + 7

12 = 3

4 + � 1

6 + 7

12�,

բ) 715

 + �29

 + 56� = � 7

15 + 2

9� + 5

6։

778. Գ րեք հետևյալ թվե րի գու մար ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը.

ա) 17 և 2

7, բ) a

5 և b

5:

779. Հետևյալ թվե րի հա մար գրեք գու մար ման զու գոր դա կան օ րեն քը:

ա) 17, 2

7, 4

7, բ) a

5, b

5, c

5:

780. Հաշ վեք.

ա) 15

 + 34

 + 15

 + 14, բ) 11

12 + 7

10 +  3

100 +  1

12,

գ) 1217

 + 1524

 + 38

 + 517

, դ) 37

 + 59

 + 49

 + 47

:

ANTARES

4.8. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՀԱՆՈՒՄԸ 159

781. Հին խն դիր ներ: ա) Եր կու գյու ղից միա ժա մա նակ մի մյանց ընդառաջ դուրս ե կավ եր կու հե տի ոտ ն: Ա ռա ջի նը կա րող է եր կու գյու ղե րի միջև ե ղած հե ռա վո րու թյունն ան ցնել 8 ժա մում, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 6 ժա մում: Այդ հե ռա վո րու թյան ո ՞ր մա սով նրանք կմո տե նան 1 ժա մում:

բ) Լո ղա րան կա ռու ցե լու հա մար հրա վիր ված են ե րեք հյուսն: Ա ռա-

ջի նը 1 օ րում կա րող էր կա տա րել այդ աշ խա տան քի 233

մա սը, ե րկ-

րորդը՝ 111

-ը, եր րոր դը՝ 755

-ը: 1 օ րում աշ խա տան քի ո ՞ր մա սը կկա-

տա րեն նրանք միա սին:գ) Ստեղ ծա գոր ծու թյունը ար տագր ելու հա մար վարձ ված են չորս գրիչ (ձե ռա գիր ար տա գրող): Ա ռա ջի նը կա րող էր ամ բողջ ստեղ-ծա գոր ծու թյունն ար տա գրել 24 օ րում, ե րկ րոր դը՝ 36, եր րոր դը՝ 20, ի սկ չոր րոր դը՝ 18: Ստեղ ծա գոր ծու թյան ո ՞ր մա սը կար տա գրեն նրանք 1 օ րում, ե թե աշ խա տեն միա սին:

782. Աղջիկը սուր ճով լի բա ժա կից խմեց կե սը

և նույն քան էլ կաթ լցրեց, ա պա խմեց բա-

ժա կի պա րու նա կու թյան 13

-ը և նույն քան

էլ կաթ լց րեց, այ նու հետև խմեց բա ժա-

կում ե ղա ծի 16

-ը և նույն քան էլ կաթ լց րեց:

Վեր ջա պես նա մինչև վերջ խմեց բա ժա կի ամ բողջ պա րու նա կու թյու նը: Ա վե լի շատ սո՞ւրճ խմեց այդ աղջիկը, թե՞ կաթ:

4.8. կոտորակների հանուՄը

Տր ված եր կու կո տո րակ ի տար բե րու թյուն կոչ վում է այն կո տո րա կը, ո րը, գու մա րե լով հա նե լի ին, կս տա նանք նվա զե լին:

Օրինակ՝ 35

 − 15

 = 25, քանի որ 2

5 + 1

5 = 3

5

Ա ռայժմ դի տար կում ե նք այն դեպ քը, ե րբ նվա զե լին մեծ է հա նե լի ից:

Նույն հայ տա րարն ունե ցող եր կու կո տո րակ ի տար բե րու թյու նը նրանց հայ տա րա րով կո տո րակ է, ո րի հա մա րի չը հա վա սար է

նվա զե լի ի և հա նե լի ի հա մա րիչ նե րի տար բե րու թյա նը.

ac

 − bc

 = a − bc

:

(1)

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ160

Այս հավասարությունը ճիշտ է, որովհետև a − bc

-ին գումարելով bc

հանելին՝ ստանում ենք ac նվազելին։

a − bc

 + bc

 = a − b + bc

 = ac

Տար բեր հայ տա րար ով երկու կո տո րակի տար բե րու թյու նը գտ նե լու հա մար պետք է այդ կո տո րակ նե րը բե րել ը նդ հա նուր հայ տա րա րի և

կի րա ռել նույն հայ տա րա րով կո տո րակ նե րի հան ման կա նո նը:

Օ րի նակ՝ 1) 3/7

8  − 

8/13

 = 7 · 38 · 3

 − 1 · 83 · 8 = 

2124

 − 824

 = 21 − 824

 = 1324

:

2) 3/512  − 

2/718 = 5 · 3

12 · 3 − 7 · 2

18 · 2 = 15

36 − 14

36 = 15 − 14

36 =  1

36:

Տարբեր հայտարարներով կոտորակների հանումը կարելի է կատարել հետևյալ բանաձևով.

ab

 − cd

 = a · d − b · cb · d

:

(2)

Օրինակ՝ 78

կոտորակից հանենք 13 կոտորակը։

78

 − 13

 = 7 · 3 − 1 · 88 · 3

 = 21 − 824

 = 1324

Ե թե կո տո րակ նե րի հայ տա րար նե րը փո խա դար ձ պարզ թվեր չեն, ա պա (2) բա նաձևով հա նու մը հան գեց նում է ա վե լորդ հաշ վարկ նե րի: Չնա յած դրան՝ (2) բա նաձևը ճիշտ է բո լոր դեպ քե րում, և օգ տա կար է այն հի շել:

730

և 560

կոտորակների տարբերությունը հաշվենք՝ դրանք բերելով

ամենափոքր ընդհանուր հայտարարի։2/730  − 

560 = 14

60 −  5

60 = 

960

 = 320

:

Ընդունված է համարել, որ 0 -ն 0b տեսքի կոտորակ է, որտեղ b-ն ցան կա-ցած բնական թիվ է։

Օ րի նակ՝ 0 = 01

 = 02

 = 03

 = 04 և այլն:

Եթե նվազելին հավասար է հանելիին, ապա տարբերությունը 0 է։

Օ րի նակ՝ 27

 − 27

 = 2 − 27

 = 07

 = 0:

ANTARES

4.8. ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐԻ ՀԱՆՈՒՄԸ 161

Դի տո ղու թյուն: Մեր ուսում նա սիրած կո տո րակ նե րի սահ ման նե-րում հնա րա վոր չէ փոքր կո տո րա կից հա նել մե ծը: Հե տա գա յում, երբ կմտցվեն բա ցա սա կան կո տո րակ նե րը, այդ պի սի գոր ծո ղու թյու նը կդառ-նա հնա րա վոր:

783. Ո՞ր կո տո րակն է տր ված կո տո րակ նե րի տար բե րու թյունը:

784. ա) Ի նչ պե՞ս են հա նում նույն հայ տա րարն ունե ցող կո տորակ նե րը:

բ) Ի նչ պե՞ս են հա նում տարբեր հայ տա րար ներ ունե ցող կո տո րակ-նե րը:

785. 0 թիվն ի նչ պե՞ս են գրում կո տո րա կի տես քով:

786. Հա վա սար կո տո րակ նե րի տար բե րու թյունն ին չի՞ է հա վա սար:

Կա տա րեք հա նու մը (787, 788):

787. ա) 35

 − 15, բ) 7

20 −  3

20, գ) 12

16 − 3

16, դ) 16

27 −  8

27:

788. ա) 12

 − 14, բ) 5

9 − 1

3, գ) 7

10 − 3

5, դ) 16

27 − 1

9:

ե) 35

 −  1345

, զ) 13

 −  827

, է) 12

 − 13, ը) 3

5 − 1

3:

թ) 78

 −  23

, ժ) 34

 − 47, ի) 9

16 −  11

24, լ) 11

12 − 11

18:

789. Կա տա րեք հա նու մը և ար դյունքը ստու գեք գու մար ման մի ջո ցով:

ա) 512

 − 13, բ) 1

5 −  3

20, գ) 7

8 − 5

12, դ) 9

10 − 1

6:

Հաշ վեք (790, 791):

790. ա) 1 − 12, բ) 1 − 1

3, գ) 1 − 2

3, դ) 1 − 1

4:

791. ա) 1 − 34, բ) 1 − 1

5, գ) 1 − 2

5, դ) 1 − 4

5,

ե) 1 − 710

, զ) 1 − 513

, է) 1 −  1125

, ը) 1 − 2536

:

792. Գ տեք այն x թի վը, ո րի հա մար ճիշտ է հա վա սա րու թյու նը.

ա) x + 18

 = 35, բ) 1

3 + x = 5

12, գ) x −  3

20 = 1

5,

դ) x − 37

 = 421

, ե) 45

 − x = 16, զ) 5

8 − x = 1

3:

Հաշ վեք (793, 794):

793. ա) 818

 −  827

, բ) 716

−  524

, գ) 211

−  112

,

դ) 1213

 − 1526

, ե) 928

−  1135

, զ) 3940

−  1928

:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ162

794. ա) 2528

− 1835

, բ) 4063

− 3572

, գ) 2221

− 2122

,

դ) 40143

− 41156

, ե) 43126

− 41135

, զ) 239240

− 229288

:

795. Գտեք եր կու կո տո րակ, ո րոնց տար բե րու թյու նը լի նի.

ա) 18, բ) 3

10, գ) 5

9, դ) 5

7:

796. Տ րակ տո րը պետք է հեր կեր դաշ տի 25 -ը: Մինչև կե սօր հեր կեց դաշ-

տի 320

-ը: Ա ռա ջադ րանքն ա վար տե լու հա մար դաշ տի ո ՞ր մա սը

մնաց հեր կե լու:

797. Եր կու գյու ղից միա ժա մա նակ մի մյանց ընդառաջ դուրս ե կավ եր-կու զբո սաշր ջիկ: Ո րոշ ժա մա նակ ան ց նրանք ար դեն ան ցել է ին ճա նա պար հի կե սը, ը նդ ո րում, ա ռա ջինն ան ցել էր ամ բողջ ճա նա-

պար հի 310

-ը: Ճա նա պար հի ո ՞ր մասն էր ան ցել ե րկ րոր դը:

798. Եր կու կոմ բայն հն ձե ցին մար գա գետ նի 59 -ը, ը նդ ո րում, ա ռա ջի նը հն ձել

էր մար գա գետ նի 29 -ը: Մար գա գետ նի ո ՞ր մասն էր հն ձել ե րկ րոր դը:

799. ա) Մե ծա հա սակ մար դը քնում է օր վա 13 մա սը: Օր վա ո ՞ր մասն է նա

ար թուն մնում:

բ) Զ բո սաշր ջիկ ներն սկզ բում ան ցան ամ բողջ եր թու ղու 17, ա պա 3

7

մա սը: Եր թու ղու ո ՞ր մա սը մնաց ան ցնե լու:

800. ա) Ծա ռի ճյու ղին ճնճ ղուկ ներ է ին նս տած: Ե րբ նրանց եր րորդ մա սը թռավ, ճյու ղին մնաց 6 ճնճ ղուկ: Սկզ բում քա նի՞ ճնճ ղուկ կար ճյու-ղին:

բ) Մեկն իր ունե ցած գու մա րի 34

-ը ծախ սեց, և նրա մոտ մնաց 3000

դրամ: Սկզ բում քա նի՞ դրամ կար նրա մոտ:

գ) Նարինեն ունի 200 նամականիշ: Վերջին տարում նամականիշերն

ավելացել են նախորդ տարում եղածի 14 մասի չափով: Քանի՞

նամականիշ ուներ Նարինեն մեկ տարի առաջ:

801. ա) Ժա պա վե նի 14 մ և 1

5 մ եր կա րու թյուն ունե ցող եր կու կտոր նե րի

հա մար վճա րել են 270 դրամ: Ի ՞նչ ար ժե ժա պա վե նի 1 մետ րը:

բ) Կես մետր ժա պա վե նի հա մար վճա րել են 900 դրա մով ա վե լի, քան 15 մ նույն տե սա կի ժա պա վե նի հա մար Ի ՞նչ ար ժե 1 մ ժա պա վե նը:

802. Խա ռա տը մինչև կե սօր կա տա րեց ա ռա ջադ րան քի 28

-ը, կե սօ րից

հե տո՝ 38

-ը, ո րից հե տո նրան մնաց տա շե լու 24 դե տալ: Ըն դա մե նը

քա նի՞ դե տալ պետք է տա շեր խա ռա տը:

ANTARES

4.9.  ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԲԱԶ ՄԱ ՊԱՏ ԿՈՒ ՄԸ 163

803. ա) Եր կու տրակ տոր 1 օր հա մա տեղ աշ խա տե լով` հեր կե ցին դաշ տի 23

-ը: Ա ռա ջի նը հեր կել էր դաշ տի կե սը: Դաշ տի ո ՞ր մասն էր հեր կել

ե րկ րորդ տրակ տո րը:

բ) Երկու քաղաքից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեց երկու

մեքենա: Մեկ ժամ հե տո նրանց հե ռա վո րու թյունն ար դեն փոք րա-

ցել էր սկզբ նա կան հե ռա վո րու թյան 13

-ի չա փով: Այդ ըն թաց քում

ա ռա ջին մե քե նան ան ցել էր ամ բողջ հե ռա վո րու թյան 18 մա սը: Ի սկ

ե րկ րո՞ր դը:

գ) Ջ րի եր կու խո ղո վակ միա սին 1 ժա մում լց նում է ա վա զա նի 13

-ը:

Միայն ա ռա ջի նը 1 ժա մում լց նում է ա վա զա նի 110

մա սը: 1 ժա մում

ա վա զա նի ո ՞ր մասն է լց նում ե րկ րորդ խո ղո վա կը:

804. Մե քե նա գրու հին մե քե նա գրեց ձե ռա գրի մեկ եր րորդ մա սը, ա պա ևս 10 էջ: Ար դյուն քում նա մե քե նա գրել էր ձե ռա գրի կե սը: Քա նի՞ է ջ էր ձե ռա գի րը:

805. Հին խն դիր: Ան ցոր դը, հաս նե լով մյուս ան-ցոր դին, հարց րեց. «Որ քա՞ն է հե ռու այն գյու ղը, ո րը մեր ա ռջևում է»: Մյուս ան ցոր-դը պա տաս խա նեց. « Հե ռա վո րու թյունն այս տե ղից մինչև այն գյու ղը, ո րից դու գա լիս ես, հա վա սար է եր կու գյու ղե րի միջև ե ղած հե ռա վո րու թյան մեկ եր րոր-դին, ի սկ ե թե ան ցնես ևս 2 վերստ, ա պա կհայտն վես եր կու գյու ղե րի ճիշտ մեջ տե ղում»: Քա նի՞ վերստ էր մնում անցնե լու ա ռա ջին ան ցոր դին:

806. Ա դամ Ռի զե ի խն դիր նե րից (XVI դար): Ե րե քով շա հե ցին ո րոշ գու-

մար: Ա ռա ջի նին բա ժին հա սավ այդ գու մա րի 14

-ը, ե րկրոր դին՝ 17-ը, ի սկ եր րորդն ստա ցավ 17 ֆլո րին: Քա նի՞ ֆլո րին էր ամ բողջ

շա հու մը:

4.9.  կո տո րակ նե րի ԲաԶ Մա Պատ կու Մը Եր կու կո տո րակի ար տադ րյալ կոչ վում է այն կո տո րա կը,

ո րի հա մա րիչն այդ կո տո րակ նե րի հա մա րիչ նե րի, ի սկ հայ տա րա րը հայ տա րար նե րի ար տադ րյալն է.

ab · cd

  =  a · cb · d

:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ164

Օ րի նակ՝ 23 · 5

7 = 2 · 5

3 · 7 = 10

21:

Քա նի որ ցան կա ցած n բնա կան թիվ կա րե լի է ներ կա յաց նել n1 կո տո-

րա կի տես քով, ա պա n · ab

 = n1 · ab

 = n · ab :

Այս պի սով,

բ նա կան թի վը կո տո րա կով բազ մա պատ կե լու հա մար պետք է կո տո րա կի հա մա րի չը բազ մա պատ կել այդ բնա կան թվով,

ի սկ հայ տա րա րը թող նել նույ նը.

n · a

b = n · a

b:

Օ րի նակ՝ 3 · 25

 = 3 · 25

 = 65:

Կա րե լի է հա մա րել, որ n(n > 1) բնա կան թվի ար տադ րյա լը ab կո տո րա-

կի հետ n հատ գու մա րե լի նե րի գու մար է, ո րոն ցից յու րա քան չյու րը ab

է:

Օ րի նակ՝ 3 · 25

 = 3 · 25

 = 2 + 2 + 25

 = 25

 + 25

 + 25

:

Ե թե a ≠ 0 և b ≠ 0, ա պա ab -ն ան վա նում են b

a -ի հա կա դարձ:

ab -ը և b

a -ն ան վա նում են փո խա դար ձ հա կա դարձ կո տո րակ ներ

(թվեր) կամ կարճ՝ փոխ հա կա դարձ կո տո րակ ներ (թ վեր): Փո խա դար ձ հա կա դարձ թվե րի ար տադ րյա լը 1 է: Օ րի նակ՝

25 · 5

2 = 2 · 5

5 · 2 = 10

10 = 1:

Մի քա նի կո տո րակ բազ մա պատ կե լու հա մար ա ռա ջին կո տո րա կը բազ մա պատ կում են ե րկ րոր դով, ար դյուն քում ստաց ված կո տո րա կը բազ մա պատ կում են եր րոր դով և այդ պես շա րու նակ:

Օ րի նակ՝ 12 · 3

4 · 5

7 = 1 · 3

2 · 4 · 5

7 = 1 · 3 · 5

2 · 4 · 7 = 

1556, կամ կարճ՝

12 · 3

4 · 5

7 = 1 · 3 · 5

2 · 4 · 7 = 15

56:

807. ա) Ինչ պե՞ս են բազ մա պատ կում կո տո րակ նե րը: Բե րեք օ րի նակ:

բ) Ինչ պե՞ս են բազ մա պատ կում բնա կան թի վը կո տո րա կով: Բե րեք օ րի նակ:

808. Ն շեք 37 կո տո րա կի հա կա դարձ կո տո րա կը:

809. Ո՞ր կո տո րակ ներն են ան վա նում փո խա դար ձ հա կա դարձ: Բե րեք օ րի նակ:

810. Ին չի՞ է հա վա սար փո խա դար ձ հա կա դարձ թվե րի ար տադրյա լը:

ANTARES

4.9.  ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԲԱԶ ՄԱ ՊԱՏ ԿՈՒ ՄԸ 165

811. Հաշ վեք ար տադ րյա լը.

ա) 23 · 5

9, բ) 3

5 · 211

, գ) 78 · 9

5, դ) 5

8 · 9

7:

812. Կո տո րա կի հա մա րիչն ու հայ տա րարը գրելով բնա կան թվե րի ար-տադ րյալ ներով՝ ստաց ված կո տո րա կը կր ճա տեք հետևյալ օ րի նա-կի ձևով.

ա) 68

 = 3 · 24 · 2

 = 34

բ) 1524

, գ) 128

, դ) 2530

:

813. Կր ճա տեք կո տո րա կը.

ա) 7 · 84 · 15

, բ) 6 · 1530 · 18

, գ) 8 · 927 · 6

, դ) 35 · 4230 · 49

,

ե) 18 · 4540 · 27

, զ) 63 · 5649 · 45

, է) 12 · 15 · 2613 · 120

, ը) 48 · 5 · 1230 · 16 · 8

:

Հաշ վեք ար տադ րյա լը (814−821):

814. ա) 512

· 78, բ) 6

7 · 8

9, գ) 12

13 · 2

3, դ) 4

9 · 27

16,

ե) 1425

· 1049

, զ) 1310

· 10039

, է) 1514

· 712

, ը) 4534

· 1715

:

815. ա) 12 · 4

5 · 5

6, բ) 7

8 · 435

· 109

,

գ) 516

· 815

· 43, դ) 42

56 · 16

5 · 1536

:

816. ա) 12 · 2

3, բ) 6

7 · 5

6, գ) 9

10 · 10

11, դ) 13

15 · 1517

,

ե) 1415

· 542

, զ) 1315

· 4526

, է) 1528

· 730

, ը) 3551

· 1715

:

817. ա) 12 · 2

3 · 3

4, բ) 5

7 · 713

· 1318

,

գ) 4239

· 142

· 3960

, դ) 101102

· 102103

· 103104

:

818. ա) 35 · 5

6, բ) 6

7 · 7

6, գ) 9

10 · 4027

, դ) 1723

· 4651

:

819. ա) 1

3 · 2 = 1

3 · 2

1 = 2

3

բ) 52 · 2, գ) 2

7 · 2, դ) 3

16 · 5, ե) 11

20 · 3,

զ) 112

· 2, է) 29 · 3, ը) 7

25 · 5, թ) 6 · 5

12:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ166

820. ա) 14 · 3, բ) 2 · 7

15, գ) 7

18 · 2, դ) 7 · 1

8,

ե) 19 · 2, զ) 2 · 13

20, է) 1

30 · 3, ը) 3 · 7

24:

821. ա) 1549

· 14, բ) 1136

· 27, գ) 18 · 1348

, դ) 24 · 3556

,

ե) 25 · 730

, զ) 32 · 1148

, է) 1315

· 2, ը) 720

· 15:

822. Ար տադ րյա լը գրեք գու մա րի տես քով.

ա) 3 · 12, բ) 5 · 2

3, գ) 7

10 · 4, դ) 7

9 · 6:

823. Գու մա րը գրեք ար տադ րյա լի տես քով.

ա) 12

 + 12

 + 12, բ) 7

3 + 7

3 + 7

3 + 7

3,

գ) 13

 + 13

 + 13

 + 13

 + 13, դ) 2

5 + 2

5 + 2

5 + 2

5 + 2

5 + 2

5:

824. Պար զեց րեք թվային ար տա հայ տու թյու նը.

ա) 6 : � 12

 + 12�, բ) 12 : � 1

2 + 1

2 + 1

2 + 1

2�,

գ) � 15

 + 15

 + 15� · 1

3 , դ) �2

7 + 2

7 + 2

7 + 2

7� · 21

8:

825. Գ տեք տր ված թվե րի հա կա դարձ նե րը.

ա) 12, 1

3, 2

5, 5

3, բ) 5

6,

65, 3

1, 8

1, գ) 2, 3, 4, 1:

826. 27 և 63

18 թվե րը փոխ հա կա դա՞րձ են: Պա տաս խա նը հիմ նա վո րեք:

827. Հաշ վեք ար տադ րյա լը.

ա) 12 թվի և 3 -ի հա կա դարձ թվի,

բ) 7 թվի և 13

-ի հա կա դարձ թվի:

828. Փոխ հա կա դարձ թվե րը կա րո՞ղ են միա ժա մա նակ լի նել.ա) կա նո նա վոր կո տո րակ ներ, բ) ան կա նոն կո տո րակ ներ,գ) բ նա կան թվեր: Բե րեք հա մա պա տաս խան օ րի նակ ներ:

829. Փոխ հա կա դարձ թվե րը կա րո՞ղ են միա ժա մա նակ լի նել.ա) փոքր 1 -ից, բ) մեծ 1 -ից, գ) հա վա սար 1 -ի:

830. Ո՞ր թիվն է ի նքն իր հա կա դար ձը:

831. ա) 2 -ը բազ մա պատ կել են ի նչ-որ կա նո նա վոր կո տո րա կով: Արդյուն-քում 2 -ից մե՞ծ, թե՞ փոքր թիվ կս տաց վի:բ) 3 -ն ի նչ-որ կա նո նա վոր կո տո րա կով բազ մա պատ կե լիս կա րո՞ղ է ստաց վել 1 -ից փոքր թիվ: Ե թե այո, ա պա բե րեք եր կու օ րի նակ:

ANTARES

4.10. ԲԱԶ ՄԱ ՊԱՏԿ ՄԱՆ Օ ՐԵՆՔ ՆԵ ՐԸ: ԲԱՇ ԽԱ ԿԱՆ Օ ՐԵՆ ՔԸ 167

գ) 4 -ը ի նչ-որ կա նո նա վոր կո տո րա կով բազ մա պատ կե լիս կա րո՞ղ է ստաց վել 1 -ից մեծ թիվ: Ե թե այո, ա պա բե րեք եր կու օ րի նակ:դ) Ճի՞շտ է, որ բնա կան թի վը կա նո նա վոր կո տո րա կով բազ մա-պատ կե լիս ստաց վում է այդ բնա կան թվից փոքր թիվ: Ե թե այո, ա պա բե րեք եր կու օ րի նակ:

832. Ե ռան կյան յու րա քան չյուր կող մը 59 մ է: Գտեք ե ռան կյան պա-

րագիծը:

833. Գտեք քա ռա կու սու պա րա գի ծը, ե թե նրա կող մը հա վա սար է.

ա) 14 մ, բ) 1

4 դմ, գ) 7

32 մ, դ) 15

64 դմ:

834. 1 րո պե ում լց վում է ա վա զա նի 120

-ը: Ա վա զա նի ո ՞ր մա սը կլց վի. 2

րո պե ում, 4 րո պե ում, 10 րո պե ում, 20 րո պե ում:

835. Ա ռա ջին խո ղո վա կով 1 րո պե ում լց վում է ա վա զա նի 120

մա սը, ի սկ

ե րկ րոր դով՝ 110

մա սը:

ա) Ա վա զա նի ո ՞ր մա սը կլց նեն եր կու խո ղո վա կը 6 րո պե ում:բ) Կլց վի՞ ա վա զա նը, ե թե եր կու խո ղո վա կն էլ 8 րո պե բացեն:

4.10. ԲաԶ Մա Պատկ Ման Օ րենՔ նե րը: ԲաՇ Խա կան Օ րեն Քը

Բ նա կան թվե րի նման կո տո րակ նե րի հա մար էլ են ճիշտ բազ մա-պատկ ման տե ղա փո խա կան և զու գոր դա կան օ րենք նե րը:

Ար տադ րիչ նե րի տե ղա փո խու թյու նից ար տադ րյա լը չի փոխ վում.

p · q = q · p:

Եր կու թվե րի ար տադ րյա լը եր րորդ թվով բազ մա պատ կե լու հա մար կա րե լի է ա ռա ջին թի վը բազ մա պատ կել ե րկ րոր դի

և եր րոր դի ար տադ րյա լով.

(p · q) · r = p · (q · r):

Օ րի նակ 1: Ցույց տանք, որ 23 · 5

7 = 5

7 · 2

3:

Քա նի որ բնա կան թվե րի հա մար բազ մա պատկ ման տե ղա փո խա կան

օ րեն քը ճիշտ է, ա պա`23 · 5

7 = 2 · 5

3 · 7 = 5 · 2

7 · 3 = 5

7 · 2

3:

Օ րի նակ 2: Ցույց տանք, որ �23 · 1

8� · 5

7 = 2

3 · � 1

8 · 5

7�:

Քա նի որ բազ մա պատկ ման զու գոր դա կան օ րեն քը բնա կան թվե րի

համար ճիշտ է, ա պա`

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ168

�23 · 1

8� · 5

7 =  2 · 1

3 · 8 · 5

7 = (2 · 1) · 5

(3 · 8) · 7 = 2 · (1 · 5)

3 · (8 · 7) = 2

3 · 1 · 58 · 7

 = 23 · � 1

8 · 5

7�:

p, q, և r կո տո րակ նե րի հա մար բա վա րար վում է բազ մա պատկ ման բաշ խա կան օ րեն քը գու մար ման նկատ մամբ:

Թի վը եր կու թվե րի գու մա րով բազ մա պատ կե լու հա մար կա րե լի է այդ թի վը բա մա պատ կել գու մա րե լի նե րից ա մեն մե կով

և ստաց ված ար տադ րյալ նե րը գու մա րել.

p(q + r) = p · q + p · r:

Օ րի նակ՝ 23 · � 9

10 + 15

14� = 2

3 · 910

 + 23 · 1514

:

Ե թե q ≥ r, ա պա ճիշտ է նաև հետևյալ հա վա սա րու թյու նը.

p(q − r) = p · q − p · r:

Օ րի նակ՝ 57 · � 4

15 −  11

45� = 5

7 · 415

 − 57 · 1145

:

836. Գ րեք այն հա վա սա րու թյունը, ո րն ար տա հայ տում է.

ա) բազ մա պատկ ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը,

բ) բազ մա պատկ ման զու գոր դա կան օ րեն քը,

գ) բաշ խա կան օ րեն քը:

837. Ձևա կեր պեք.

ա) բազ մա պատկ ման տե ղա փո խա կան օ րեն քը,

բ) բազ մա պատկ ման զու գոր դա կան օ րեն քը,

գ) բաշ խա կան օ րեն քը:

838. Ճի՞շտ է ա րդյոք հա վա սա րու թյու նը: Պա տաս խա նը հիմ նա վո րեք:

ա) 12 · 1

3 = 1

3 · 12,

բ) 14 · 2

3 · 3

7 = 3

7 · 1

4 · 2

3,

գ) 23 · � 1

5 + 3

4� = 2

3 · 1

5 + 2

3 · 3

4,

դ) � 12

 + 14� · 8 = 1

2 · 8 + 1

4 · 8:

Օգտ վե լով բազ մա պատկ ման օ րենք նե րից՝ հաշ վեք (839-841):

839. ա) �54 · 1314� · 7

13, բ) �46 · 2

15� · 15

23,

ANTARES

4.11. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԲԱ ԺԱ ՆՈՒ ՄԸ 169

գ) �1213

· 1417� · �17

14 · 1324�, դ) � 5

16 · 13

18� · � 18

26 · 1625�

ե) 2122

· �2223

·  2425� · 23

24, զ) 32

33 · 5253

· �5352

· 3334�:

840. ա) 48 · 517

 + 48 · 1217

, բ) 55 · 711

 − 55 · 611

,

գ) 1113

· 1115

 + 1113

· 215

, դ) 1219

· 2315

 − 1219

· 415

,

ե) 2221

· 514

 + 2021

· 514

, զ) 4711

· 12

 − 2511

· 12:

841. ա) �23 · 1125� ·

543

 + �20 · 1125� · 5

43,

բ) �47 · 126� · 13

27 − �20 · 1

26� · 13

27,

գ) � 12 · 3

4� · �2

3 · 4

5� · �5

6 · 7

8� · �6

7 · 8

9�,

դ) �23 · 4

5� · �3

4 · 5

6� · �6

7 · 8

9� · �7

8 · 910�:

4.11. կո տո րակ նե րի Բա ժա նու Մը Եր կու կո տո րակի քա նորդ կոչ վում է այն կո տո րա կը,

ո րը բա ժա նա րա րի հետ բազ մա պատ կե լիս տա լիս է բա ժա նե լին:

Եր կու կո տո րակի քա նոր դը հաշվ վում է հետևյալ բա նաձևով.

ab

 : cd

 = a · db · c

, որտեղ c ≠ 0:

Ի րոք, a · db · c

· cd

 = a · d · cb · c · d = ab:

Ն կա տենք, որ a · db · c

 = ab · d

c, որ տեղ d

c -ը բա ժա նա րա րի հա կա դարձն է,

ուրեմն ab:cd

 = ab · d

c.

կո տո րա կը կո տո րա կին բա ժա նե լու հա մար կա րե լի է բա ժա նե լին բազ մա պատ կել բա ժա նա րա րի հա կա դար ձով:

Օ րի նակ ներ՝ 1) 79

 :  58

 =  79 · 8

5 = 7 · 8

9 · 5 = 56

45, 2) 8 :  1

2 = 8 · 2

1 = 8 · 2 = 16,

3) 45

 : 2 =  45

 :  21

 =  45 · 1

2 = 4 · 1

5 · 2 =  2

5:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ170

Եր կու բնա կան թվի քա նոր դը մի կո տո րակ է, ո րի հա մա րի չը բա ժա նե լին է, ի սկ հայ տա րա րը՝ բա ժա նա րա րը:

Օ րի նակ՝ 2 : 3 = 21

 : 31

 = 21 · 1

3 = 2 · 1

1 · 3 = 2

3:

Այս պի սով, ցան կա ցած a և b բնա կան թվեր ունեն քա նորդ. դա ab կո-

տո րակն է: Այդ ա ռու մով՝ կո տո րա կի գրառ ման գծի կը կա րե լի է դի տել որ պես

հա մա րի չը հայ տա րա րին բա ժա նե լու նշան: Դրա հա մար հա ճախ «եր կու եր րորդ» ա սե լու փո խա րեն ա սում ե ն՝ «եր կու սը բա ժա նած ե րե քի»:

Օ րի նակ ներ՝ 73

 = 7:3, 2:9 = 29:

Ըն դուն ված է հա մա րել, որ 37

 + 27

13

,

12

 − 13

12

 + 13

,

17

2 − 37

տես քի

գրե լաձևե րում նույն պես կո տո րա կի գի ծը նշա նա կում է բա ժան ման նշան, այ սինքն.

37

 + 27

13

 = �37

 + 27� : 1

3,

12

 − 13

12

 + 13

= � 12

 − 13�:� 1

2 + 1

3�,

17

2 − 37

 = 17:�2 − 3

7�:

Այն գրա ռում նե րում, ո րոն ցում կա կո տո րա կի մի քա նի գիծ, « = » նշա-նը դր վում է բա ժան ման վեր ջին գոր ծո ղու թյան գծի դի մաց:

Օ րի նակ ներ՝ 523

 = 5 : 23,

523

 = 52

 : 3,

3745

= 37

 : 45,

1213

 = 12

 : 13

Կո տո րա կը բնա կան թվի բա ժա նե լու հա մար կա րե լի է նրա հայ տա րա րը բազ մա պատ կել այդ բնա կան թվով:

Օ րի նակ՝ 78

 : 3 = 78

 : 31

 = 78 · 1

3 = 7 · 1

8 · 3 =  724

:

Կարճ՝ 78

 : 3 =  78 · 3

 =  724

:

Ն շենք նաև, որ 0 թի վը ցան կա ցած ոչ զրո կո տո րա կի բա ժա նե լիս ստաց վում է 0.

0 : ab

 = 0 · ba

 = 0 · ba

 = 0a

 = 0:

ANTARES

4.11. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ԲԱ ԺԱ ՆՈՒ ՄԸ 171

Զ րոյի բա ժա նել հնա րա վոր չէ:

Կոտորակներով արտահայտություններում գործողությունների կա-տար ման կարգը որոշվում է նույն կանոններով, ինչ -որ բնական թվերով ար տա հայ տու թյունների դեպքում:

Օ րի նակ՝ գտ նենք հետևյալ թվային ար տա հայ տու թյան ար ժե քը. 2 4 3 1 25

24 · 3

5 − 3

8 : � 9

10 + 1

2�:

Հաշ վում նե րը կա տա րենք ը ստ գոր ծո ղու թյուն նե րի կա տար ման նշված հեր թա կա նու թյան.

1) 910

 + 5/12

 = 910

 + 510

 = 1410

 = 75 2) 25

24 · 3

5 = 25 · 3

24 · 5 = 5 · 1

8 · 1 = 5

8,

3) 38 : 75

 = 3 · 58 · 7

 = 1556

, 4) 7/5

8 − 15

56 = 35

56 − 15

56 = 20

56 = 5

14:

Հաշվարկը կա րե լի է գրել նաև մի տողով.

2524

· 35

 − 38

: � 910

 +  5/12�  =  25 · 3

24 · 5 − 3

8: 1410

 =  7/5

8 − 3 · 5

8 · 7 =  35 − 15

8 · 7 =   20

8 · 7 =   5

2 · 7 =   5

14

842. ա) Ինչ պե՞ս են բա ժա նում մի կո տո րա կը մյու սին:բ) Ինչ պե՞ս են բա ժա նում կո տո րա կը բնա կան թվին:

843. Կա րե լի՞ է բա ժա նել.ա) զ րոն՝ զրոյից տար բեր կո տո րա կի,բ) կո տո րա կը զրոյի,գ) բ նա կան թի վը բնա կան թվի,դ) զ րոն զրոյի:

844. Գ տեք քա նոր դը և պա տաս խանն ստու գեք բազ մա պատկ մամբ: ա) 80 ։ 2, բ) 100 ։ 25, գ) 1000 ։ 8, դ) 121 ։ 11, ե) 625 ։ 25:

845. Գ տեք քա նոր դը և պա տաս խանն ստու գեք բազ մա պատկ մամբ:

ա) 12 : 13, բ) 1

2 : 14, գ) 1

8 : 14, դ) 1

4 : 45,

ե) 89 : 421

, զ) 1625

: 2435

, է) 5281

: 2627

, ը) 100123

: 7582

:

846. Ն շեք բա ժա նե լին, բա ժա նա րա րը, բա ժա նա րա րի հա կա դարձ կո-տո րա կը: Բա ժա նու մը փո խա րի նեք բազ մա պատ կու մով այն կո տո-րա կի հետ, ո րը բա ժա նա րա րի հա կա դարձն է: Հաշ վեք ստաց ված ար տադ րյա լը:

ա) 16 : 12, բ) 1

3 : 16, գ) 3

7 : 67, դ) 8

9 : 43,

ե) 1516

: 1024

, զ) 1517

: 2534

, է) 3275

: 4825

, ը) 3875

: 19100

,

թ) 12

: 2, ժ) 25 : 3, ի) 3 : 1

2, լ) 8 : 4

5:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ172

847. Գ տեք այն x թի վը, ո րի հա մար ճիշտ է հա վա սա րու թյու նը:

ա) x · 35

 = 415

, բ) x : 27

 = 712

, գ) 23 · x = 4

7,

դ) 79 : x = 7

18, ե) x : 1

2 = 1

2, զ) 12

25 : x = 3

5:

848. ա) 1 մետր եր կա րու թյամբ հատ վա ծը բա ժա նել են 110

մետր եր կա-րու թյամբ մա սե րի: Քա նի՞ մաս ստաց վեց:

բ) 1 կգ սուր ճը տե ղա վո րել են տու փե րում՝ 14 կգ ա մեն տու փում:

Քա նի՞ տուփ սուրճ ստաց վեց:

գ) 1 կգ թեյը տե ղա վո րե ցին տու փե րում՝ 15 կգ ա մեն տու փում: Քա-

նի՞ տուփ թեյ ստաց վեց:

դ) 1 ժա մում կա տա րում են ա ռա ջադ րան քի 13

-ը: Քա նի՞ ժա մում կկա տա րեն ա ռա ջադ րան քը: ե) Երկու գյուղից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեց երկու ճանապարհորդ: 1 ժամում նրանք անցնում են գյուղերի միջև եղած

հեռավորության 14 մասը: Քանի՞ ժամ հետո նրանք կհանդիպեն:

849. ա) 20 մետ րա նոց պա րա նը բա ժա նել են ե րեք հա վա սար մա սի: Ինչ քա՞ն է յու րա քան չյուր մա սի եր կա րու թյու նը:բ) 11 մետ րա նոց կար թա թե լը բա ժա նել են չորս հա վա սար մա սի: Ինչ քա՞ն է յու րա քան չյուր մա սի եր կա րու թյու նը:

850. Ինք նա գործ սար քը կա րա գը տե ղա վո րում է տու փե րում՝ 15 կգ յու-

րա քան չյուր տու փում: Քա նի՞ տուփ կս տաց վի.

ա) 4 կգ, բ) 5 կգ, գ) 6 կգ, դ) 11 կգ կա րա գից:

851. Քա ռա կու սու պա րա գի ծը հա վա սար է.ա) 16 սմ, բ) 14 սմ, գ) 13 սմ, դ) 17 սմ: Գտեք քա ռա կու սու կող մը:

852. Ժա պա վե նը պետք է բա ժա նել 15 մետր եր կա րու թյամբ մա սե րի:

Քա նի՞ մաս կս տաց վի ա) 1 մ, բ) 3 մ, գ) 11 մ, դ) 17 մ ժա պա վե նից:

853. 20, 30, 40, 50 թվե րից ա մեն մե կը բա ժա նեք. ա) 4 -ի, բ) 14

-ի:

854. 19, 3

5, 3

2, 5

7 թվե րը բա ժա նեք. ա) 3 -ի, բ) 1

3 -ի:

855. Քա նոր դը գրեք կո տո րա կի տես քով.

ա) 1 : 2, բ) 2 : 5, գ) 7 : 10, դ) 8 : 5:

Հաշ վեք (856 − 860):856. ա) 15 : 3, բ) 13 : 2, գ) 17 : 4, դ) 27 : 5,

ե) 123 : 13, զ) 123 : 12, է) 168 : 22, ը) 168 : 23:

857. ա) � 12 : 34

 − 49� : 3

5, բ) 1

2 : 38

 − 49 : 35,

ANTARES

4.12. ԱՄ ԲՈՂ ՋԻ ՄԱ ՍԻ ԳՏ ՆԵ ԼԸ: ԱՄ ԲՈՂ ՋԻ ԳՏ ՆԵ ԼԸ Ը ՍՏ ՆՐԱ ՄԱ ՍԻ 173

գ) 35 : � 9

10 − 3

5 · 8

9�, դ) 3

5 : 910

 − 35 · 8

9:

858. ա) 4 · 15

 + 4 · 37

 − 4 · 135

, բ) 38 · 5 +  5

56 − 1

7 : 15,

գ) 32 · 5

6 + 3

2 : 910

 − 32 · 1318

, դ) 45 : 58

 − 45 · 2425

 +  125

: 54:

859. ա) 523

բ)

523

գ) 34916

, դ)

5171534

, ե) 312

 + 14

,

զ)

12

 − 16

2, է)

916

34

 − 38

, ը)

56

 − 23

13

, թ)

12

 + 16

12

 − 16

, ժ)

1714

 − 57

1121

 +  17

:

860. ա) � 3

4 −  1

3� ։ 5

7

� 14

 +  23� · 6

11

, բ)

320

· � 712

 −  12� + 79

80

1324

։ � 712

 +  12� −  1

4

, գ)

�3 + 711� · 1

4 −  1

22

�5 − 311� ։ 13 + 1

2

:

4.12. աՄ ԲոՂ Ջի Մա սի Գտ նե լը: աՄ ԲոՂ Ջի Գտ նե լը ը ստ նրա Մա սի

Դուք արդեն լուծել եք ամբողջի մասը գտնելու և տրված մասի միջոցով

ամբողջը գտնելու խնդիրներ։ Կոտորակների բազմապատկումն

ու բաժանումը այդ նույն խնդիրների լուծումները գրելու նոր

հնարավորություն են տալիս։ Օրինակ, 17 -ի 15 -ը գտնելու հա մար պետք

է 17 -ը բա ժա նենք 5 -ի՝ 175

, բայց նույն արդյունքը կստանանք, եթե 17 -ը

բազմապատկենք 15 -ով: Նույն ձևով կարող ենք համոզվել, որ 20 -ի 1

3 -ը

հավասար է 20 · 13, իրոք, 20

3 = 20 · 1

3: Հիմա գտնենք 30 -ի 4

5 -ը։ 30 -ի 1

5 -ը

հավասար է 30 ։ 5 = 6։ Ուրեմն 45 -ը կլինի 6 · 4 = 24: Բայց նույն արդյունքը

կստանանք, եթե 30 -ը բազմապատկենք 45 -ով՝

30 · 45

 = 30 · 45

 = 6 · 41

 = 24:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ174

Այս պի սով, տրված թվի mn

-ը գտ նե լու հա մար կա րել ի է այդ թի վը

բազ մա պատ կել mn

կոտորակով:

Են թադ րենք՝ այժմ պա հանջ վում է գտ նել այն թի վը, ո րի 25 -ը 60 է:

Վերևում աս վա ծից հետևում է, որ ո րո նե լի թի վը բազ մա պատ կե լով25 -ով՝ կս տա նանք 60: Ու րեմն 60 -ը բա ժա նե լով 2

5 -ի՝ կս տա նանք ո րո նե լի

թի վը: Եվ այս պես, այն թի վը, ո րի 25 -ը 60 է, կլի նի՝

60:25

 = 60 · 52

 = 60 · 52

 = 150:

Նույն ձևով, այն թի վը, ո րի 37 -ը 30 է, կլի նի՝ 30 : 3

7 = 30 · 7

5 = 30 · 7

3 = 70:

Եթե տրված է թվի mn

մասը, ապա այդ թիվը կարելի է գտնել

տրված մասը nm

կոտորակով բազմապատկելով։

861. Գ տեք.

ա) 11 -ի 13

-ը, բ) 20 -ի 15 -ը, գ) 7 -ի 3

5 -ը, դ) 28 -ի 4

7 -ը:

862. Գ տեք այն թի վը, ո րի

ա) 13

-ը 5 է, բ) 37

-ը 21 է:

863. Ո՞րն է մեծ.

ա) 45 մետ րի 35 -ը, թե՞ 30 մետ րի 4

5 -ը,

բ) 23 մետ րի 3

5 -ը, թե՞ 3

5 մետ րի 2

3 -ը:

864. ա) 27000 դրամը փոքրացրեք իր 13 մասով։

բ) 4500 դրամը մեծացրեք իր 25 մասով։

865. 200 թիվը նախ մեծացրին իր 110

-ի չափով, այնուհետև ստացված

թիվը փոքրացրին իր 110

-ի մասով։ Արդյոք նորից ստացվե՞ց 200։

866. ա) Գտեք այն թիվը, որի 25 -ը 60 է։

բ) Գտեք այն թիվը, որի 311

-ը 99 է։

867. ա) 4 -օրյա արշավի ընթացքում ծախսեցին ուտելիքի պաշարի 25 -ը։ Քանի՞ օրվա հաշվով էր նախատեսված ամբողջ պաշարը։

ANTARES

4.13. ՀԱ ՄԱ ՏԵՂ ԱՇ ԽԱ ՏԱՆ ՔԻ ԽՆ ԴԻՐ ՆԵՐ 175

բ) Հավաքակայանում կար «Երազ» մակնիշի 15 ավտոմեքենա։

Դրանք հավաքակայանի բոլոր մեքենաների 35

-ն էին։ Ընդամենը

քանի՞ մեքենա կար հավաքակայանում։

868. ա) Թիվը փոքրացրել են իր 310

-ի չափով և ստացել 210։ Գտեք սկզբնական թիվը։

բ) Մտապահել են մի թիվ, մեծացրել են այն իր 17

-ի չափով և ստացել

56։ Ի՞նչ թիվ էին մտապահել։

869. Սյունը թաղեցին հողի մեջ իր երկարության 13

-ի չափով, նրա վեր-

գետ նյա մասի երկարությունը եղավ 2 մ 30 սմ։ Ինչքա՞ն էր ամբողջ

սյան երկարությունը։

870. ա) Խա նու թը ձմե րուկ էր ստա ցել: Մինչև կե սօր վա ճա ռե ցին ստա-

ցած ձմե րու կի 25 -ը, ի սկ կե սօ րից հե տո` 1

3 -ը, ո րից հե տո խա նու թում

մնաց 80 ձմե րուկ: Քա նի՞ ձմե րուկ էր ստա ցել խա նու թը:

բ) Մե կը ծախ սեց իր փո ղե րի կե սը և մնա ցա ծի 13

-ը: Դրա նից հե տո

նրա մոտ մնաց 900 դրամ: Որ քա՞ն փող կար նրա մոտ սկզ բում:

871. Ա ռա ջին օ րը հեր կե ցին դաշ տի կե սը, ե րկ րորդ օ րը՝ մնա ցած մա սի կե սը, ի սկ եր րորդ օ րը՝ չհեր կած մա սի կե սը: Դաշ տի ո ՞ր մասն էր հեր կած այդ քա նից հե տո:

872. Տա կա ռից թա փե ցին նրա մեջ ե ղած ջրի 13 մա սը, այ նու հետև մ նա-

ցոր դի 12 -ը, հե տո էլ նոր ստաց ված մնա ցոր դի 3

4 -ը: Ջրի ո ՞ր մա սը

թա փե ցին:

873. Այն հար ցին, թե քա նի զին վոր կա իր ջո կա տում, հրա մա նա տարը

պա տաս խա նեց, որ նրանց 25 -ը պա հա կա կե տե րում են, 2

7 -ը` աշ խա-

տա վայ րում, 14

-ը՝ հի վան դա նո ցում, ի սկ ևս 27 զին վոր այժմ իր հետ

են: Քա նի՞ զին վոր կար այդ ջո կա տում:

874. Հե րո նի խն դիր նե րից (I դար): 12 խո րա նարդ միա վոր տա րո ղու թյուն ունե ցող ա վա զա նը ջուր է ստա նում եր կու խո ղո վակ ով: Նրան ցից մե կը ա մեն ժա մում լց նում է մեկ խո րա նարդ միա վոր ջուր, ի սկ մյու սը՝ չորս խո րա նարդ միա վոր: Քա նի՞ ժա մում կլց վի դա տարկ ա վա զա նը, ե թե եր կու խո ղո վա կը գոր ծեն հա մա տեղ:

4.13. հա Մա տեՂ աՇ Խա տան Քի Խն Դիր ներ

Դի տար կենք խն դիր ներ, ո րոն ցում խոսվում է ի նչ -որ մի աշ խա-տանք հա մա տեղ կա տա րե լու մա սին: Ը նդ ո րում, միև նույնն է, թե ի նչ

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ176

աշ խա տանք են կա տա րում և ի նչ միա վոր նե րով են այն չա փում՝ ման-րակ նե րի քա նա կով, հեր կած հեկ տար նե րի թվով և այլն: Ե թե, օ րի նակ,

մի ի նչ -որ աշ խա տանք կա տար վում է 10 ժա մում, ա պա 1 ժա մում կա-

տար վում է այդ աշ խա տան քի 110

մա սը, ի սկ ամ բողջ աշ խա տան քը 10

այդ պի սի մա ս է՝ 1010

 = 1: Դրա հա մար այդ պի սի խն դիր նե րում ամ բողջ աշ-

խա տանքն ըն դուն վում է որ պես 1 միա վոր, ի սկ այս կամ այն ժա մա նա-կա մի ջո ցում կա տար ված աշ խա տանքն ար տա հայ տում են որ պես այդ միա վո րի մաս:

Խն դիր 1: Ա ռա ջին բրի գա դը կա րող է ա ռա ջադ րան քը կա տա րել 36 ժա մում, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 18 ժա մում: Քա նի՞ ժա մում կկա տա րի ա ռա ջադ-րան քը եր կու բրի գադը հա մա տեղ աշ խա տան քի դեպ քում:

Լու ծում: Ամ բողջ ա ռա ջադ րանքն ըն դու նե լով որ պես 1 միա վոր՝ կա-

րող ե նք ա սել, որ ա ռա ջին բրի գա դը 1 ժա մում կա տա րում է ամ բողջ

աշ խա տան քի 1:36 =  136

, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 1:18 =  118

մա սը: Հա մա տեղ աշ խա-

տե լու դեպ քում եր կու բրի գա դը 1 ժա մում կկա տա րի ամ բողջ աշ խա-

տան քի 136

 + 2/118

 =  336

 =  112

մա սը, ուրեմն ամ բողջ աշ խա տան քը կ կա տա րեն

1: 112

 = 12 ժա մում: Պա տաս խան՝ 12 ժ:

Հա մա տեղ աշ խա տանք կա րե լի է հա մա րել նաև ա վա զա նը լց նե լու ժա մա նակ եր կու լցնող խո ղո վակ նե րի միա ժա մա նակ գոր ծե լը, եր կու մար մին նե րի ի րար ընդառաջ շարժ վե լը և այլն: Այսպիսի խնդիրները նույնպես լուծվում են վերևում առաջարկած ձևով:

Խն դիր 2: Եր կու գյու ղի միջև ե ղած հե ռա վո րու թյու նը հե տի ոտնն ան ցնում է 60 րո պե ում, ի սկ հե ծան վոր դը՝ 20 րոպեում: Քա նի՞ րո պե հետո նրանք կհան դի պեն, ե թե միա ժա մա նակ շարժ վեն ի րար ընդառաջ այդ եր կու գյու ղից:

Լու ծում: Գյու ղե րի հե ռա վո րու թյունն ըն դու նենք որ պես 1 միա վոր:

1) ) 1 րոպեում հետիոտնը կանցնի հեռավորության 1:60 =  160

մասը:

2) 1 րոպեում հեծանվորդը կանցնի հեռավորության 1:20 =  120

մասը:

3) 1 րոպեում նրանք երկուսով անցած կլինեն հեռավորության

160

 + 3/120

 = 1 + 360

 =  460

 =  115

մասը:

4) 1: 115

 = 15 (րո պե հետո կհան դի պեն): Պատասխան՝ 15:

ANTARES

4.13. ՀԱ ՄԱ ՏԵՂ ԱՇ ԽԱ ՏԱՆ ՔԻ ԽՆ ԴԻՐ ՆԵՐ 177

Խն դիր 3: Ա մու սի նը 1 տա կառ հյու թը կա րող է խմել 14 օրում, ի սկ կնոջ հետ` 10 օ րում: Քա նի՞ օ րում կինն ա ռան ձին կա րող է խմել այդ հյութը:

Լու ծում: Տա կա ռի տա րո ղու թյու նը հա մա րենք

1 միա վոր:

1) 1 : 14 = 114 (մա սը կխ մի ա մու սի նը 1 օ րում):

2) 1 : 10 = 110 (մա սը կխ մեն միա սին 1 օ րում):

3) 7/110

 − 5/114

 =  270

 =  135

(մա սը կխ մի կի նը 1 օ րում):

4) 1 : 135

 = 35 (օ րում կխ մի կի նը ամ բողջ տա կա ռի հյու թը): Պա տաս խան՝ 35:

Այս խնդիրը կարելի է լուծել նաև առանց կոտորակներ օգտագործելու. Վերցնենք 10 -ի ու 14 -ի ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը՝ 70 -ը։ 70 օրում ամուսինը կարող է խմել 5 այդպիսի տակառ խմիչք, իսկ կնոջ հետ՝ 70 օրում կխմեն 7 տակառ: Նշանակում է կինը 70 օրում առանձին կխմի 7 − 5 = 2 (տակառ), իսկ 1 տակառը կխմի 70:2 = 35 (օրում):

Ն շենք, որ հա մա տեղ աշ խա տան քի մա սին շատ խն դիր ներ կա րե լի է լու ծել այս ե ղա նա կով՝ ա ռանց կո տո րակ ներ օգ տա գոր ծե լու:

875. ա) Ա ռա ջին խո ղո վա կով ա վա զա նը կա րե լի է լց նել 3 ժա մում, ի սկ ե րկ րոր դով՝ 6 ժամում: Ա վա զա նի ո ՞ր մա սը կլց նի ա մեն խո ղո վա կը 1 ժա մում:

բ) Ամեն ժամում I խողովակը լցնում է ավազանի 13

-ը, իսկ II

խողովակը՝ 16

-ը: Երկու խողովակը միասին 1 ժամում ավազանի ո՞ր

մասն է լցնում: Եթե միաժամանակ բացեն երկու խողովակը, քանի՞ ժամում կլցվի դատարկ ավազանը:գ) Առաջին խողովակով բաքը կարելի է լցնել 10 րոպեում, իսկ երկրորդով՝ 15 րոպեում: Երկու խողովակի համատեղ աշխատելու դեպքում քանի՞ րոպեում կլցվի ամբողջ բաքը:

876. Հին խնդիր: Երկու քաղաքի միջև եղած հեռավորությունը ճա նա պար-հորդ ներից մեկն անցնում է 10 օրում, իսկ մյուսը՝ 15 օրում: Քանի՞ օր հետո կհանդիպեն ճանապարհորդները, եթե միաժամանակ միմ յանց ընդառաջ դուրս գան այդ քաղաքներից:

877. ա) Առաջին խողովակով ավազանը լցվում է 20 ժամում, երկրոր-դով՝ 30 ժամում: Քանի՞ ժամում կլցվի դատարկ ավազանը խո-ղովակ ների համատեղ գործելու դեպքում:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ178

բ) Մի աշակերտ դասասենյակը կարող է հավաքել 20 րոպեում, մյուսը՝ 30 րոպեում: Քանի՞ րոպեում նրանք կհավաքեն դասասենյակը՝ աշ-խա տելով միասին:գ) Բեռնատարը երկու քաղաքի միջև եղած հեռավորությունն անց-նում է 30 ժամում, իսկ մարդատարը՝ 20 ժամում: Մեքենաները միա ժա մանակ դուրս եկան այդ քաղաքներից և շարժվեցին իրար ընդա ռաջ: Քանի՞ ժամ հետո կհանդիպեն:

878. Թռչնաֆաբրիկա կեր բերեցին, որը բադերը կարող են ուտել 30 օրում, իսկ սագերը՝ 45 օրում: Քանի՞ օրում կուտեն այդ նույն կերը բադերն ու սագերը միասին:

879. Ստացած հումքով երկու արտադրամաս կաշխատի 10 օր, իսկ միայն առաջին արտադրամասը՝ 15 օր: Քանի՞ օր կաշխատի այդ հում քով միայն երկրորդ արտադրամասը:

880. Երկու տրակտոր, 6 ժամ համատեղ աշխատելով, հերկեց ամբողջ դաշ տը: Միայն առաջին տրակտորը կարող է այդ աշխատանքը անել 10 ժամում: Երկրորդ տրակտորը քանի՞ ժամում կարող է հեր-կել դաշտը:

881. Եր կու պատ շար, աշ խա տե լով հա մա տեղ, պա տը շա րում են 16 ժա-մում: Միայն ա ռա ջին պատ շա րը կա րող է այդ աշ խա տան քը կա-տա րել 24 ժա մում: Ե րկ րորդ պատ շա րը քա նի՞ ժա մում կշա րեր պա տը՝ աշ խա տե լով ա ռան ձին:

882. A և B վայրերից միաժամանակ իրար ընդառաջ դուրս եկավ երկու հետիոտն։ Նրանք 40 րոպե հետո հանդիպեցին: Հանդիպումից 32 րոպե հետո առաջին հետիոտնը հասավ B: Քանի՞ րոպեում կանցնի երկրորդ հետիոտնը BA ճանապարհը:

883. Երկու քաղաքից միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեց երկու մեքենա։ Նրանք հանդիպեցին 2 ժամ հետո: Մեքենաներից մեկը հանդիպումից 3 ժ հետո հասավ մյուս քաղաքը: Քանի՞ ժամում կարող է անցնել քաղաքների միջև եղած հեռավորությունը մյուս մեքենան:

884. Հին խն դիր ներ: ա) Ձին մի սայլ խոտն ուտում է 1 ամ սում, այ ծը՝ 2 ամ սում, ի սկ ոչ խա րը՝ 3: Որ քա՞ն ժա մա նա կում նույն քան խո տը կու-տեն ձին, այ ծը և ոչ խա րը միա սին:բ) Ա ռա ջին հյուս նը տու նը կա րող է կա ռու ցել մեկ տա րում, ե րկ րոր-դը՝ եր կու տա րում, եր րոր դը՝ ե րեք, չոր րոր դը՝ չորս: Քա նի՞ տա րում նույն տու նը կկա ռու ցեն չոր սով միա սին:

4.14. Խա Ռը թՎի հաս կա ցու թյու նը

Հի շենք, որ ե րբ հա մա րիչն ա ռանց մնա ցոր դի բա ժան վում է հայ տա-րա րին, ա պա կո տո րա կը հա վա սար է այդ բա ժա նու մից ստա ցած քա-նոր դին:

Օ րի նակ՝ 63

 = 6 : 3 = 2:

ANTARES

4.14. ԽԱ ՌԸ ԹՎԻ ՀԱՍ ԿԱ ՑՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 179

Ցան կա ցած ան կա նոն կո տո րակ, ո րի հա մա րիչն ա ռանց մնա ցոր դի չի բա ժան վում հայ տա րա րին, կա րե լի է ներ կա յաց նել բնա կան թվի և կա-նո նա վոր կո տո րա կի գու մա րի տես քով:

Օ րի նակ՝ 173

 = 15 + 23

 = 153

 + 23

 = 5 + 23:

Բ նա կան թվի և կա նո նա վոր կո տո րա կի գու մա րը գրում են կարճ, ա ռանց « + » նշա նի, և ան վա նում են խա ռը թիվ կամ խա ռը կո տո րակ: Ը նդ ո րում, բնա կան թիվն ան վա նում են խա ռը թվի ամ բողջ մաս, ի սկ կա նո նա վոր կո տո րա կը՝ խա ռը թվի կո տո րա կային մաս:

Օ րի նակ` 3 + 12

 = 3 12 հա վա սա րու թյունով ո րոշ վում է մի խա ռը թիվ, ո րի

ամ բողջ մա սը 3 է, ի սկ կո տո րա կային մա սը՝ 12:

3 12 խա ռը թի վը կար դում են այս պես՝ «ե րեք ամ բողջ մեկ ե րկ րորդ»:

Ան կա նոն կո տո րա կը (ո րի հա մա րիչն ա ռանց մնա ցոր դի չի բա ժան-վում հայ տա րա րին) խա ռը թիվ դարձ նե լու հա մար կա րե լի է. 1) ան կա նոն կո տո րա կի հա մա րի չը մնա ցոր դով բա ժա նել հայ տա րա րին, 2) ստաց-ված քա նոր դը հա մա րել ո րո նե լի խա ռը թվի ամ բողջ մաս, 3) ստաց ված մնա ցոր դը հա մա րել խա ռը թվի կո տո րա կային մա սի հա մա րիչ, ի սկ ան-կա նոն կո տո րա կի հայ տա րա րը՝ կո տո րա կային մա սի հայ տա րար:

Օ րի նակ, քա նի որ 17:3 = 5 (2 մնա ցորդ), ա պա 173

 = 523:

Յու րա քան չյուր խա ռը թիվ կա րե լի է գրել ան կա նոն կո տո րա կի տես-քով: Դրա հա մար բա վա կան է խա ռը թվի ամ բողջ և կո տո րա կային մա-սե րը գու մա րել ը ստ կո տո րակ նե րի գու մար ման կա նո նի:

Օ րի նակ՝ 3 12  = 3 + 1

2 = 3

1 + 1

2 = 3 · 2

1 · 2 + 1

2 = 6 + 1

2 = 7

2 :

Խառը թիվը անկանոն կոտորակ դարձնելու համար կարելի է նաև նրա կոտորակային մասի հայտարարը բազմապատկել ամբողջ մասով, ավելացնել կոտորակային մասի համարիչը և ստացված թիվը գրել համարիչում, իսկ հայտարարը թողնել նույնը:

Օ րի նակ ներ՝ 3 12

 = 2 · 3 + 12

 = 6 + 12

 = 72, 63

5 = 5 · 6 + 3

5 = 30 + 3

5 = 33

5 Խա ռը թվե րը մի մյանց հետ կա րե լի է հա մե մա տել՝ ա ռանց ան կա նոն

կո տո րակ դարձ նե լու: Ե թե խա ռը թվե րի ամ բողջ մա սե րը հա վա սար են, ա պա մեծ է այն թի-

վը, ո րի կո տո րա կային մա սը մեծ է:

Օ րի նակ՝ 327 > 3 1

7, ո րով հետև նրանց ամ բողջ մա սե րը հա վա սար են,

ի սկ 27 > 1

7:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ180

Ե թե խա ռը թվե րի ամ բողջ մա սե րը հա վա սար չեն, ա պա մեծ է այն խա ռը թի վը, ո րի ամ բողջ մա սը մեծ է:

Օ րի նակ՝ 4 19 > 36

7, ո րով հետև 4 > 3:

885. Ի՞նչն են ան վա նում խա ռը թիվ: Բե րեք օ րի նակ:

886. Ի՞նչն են ան վա նում.ա) խա ռը թվի ամ բողջ մաս,բ) խա ռը թվի կո տո րա կային մաս:

Բե րեք խա ռը թվի օ րի նակ, նշեք նրա ամ բողջ և կո տո րա կային մա-սե րը:

887. ա) Ան կա նոն կո տո րակն ի նչ պե՞ս դարձ նել խա ռը թիվ:բ) Խա ռը թիվն ի նչ պե՞ս դարձ նել ան կա նոն կո տո րակ:գ) Ինչ պե՞ս են հա մե մա տում խա ռը թվե րը:

888. Կո տո րա կը գրեք ամ բողջ թվի տես քով.

ա) 124

 = 12:4 = 3

բ) 324

, գ) 567

, դ) 486

, ե) 205

:

889. Ամ բողջ թի՞վ է ա րդյոք հետևյալ կո տո րա կը.

ա) 32, բ) 5

2, գ) 4

3, դ) 20

5:

890. Գ տեք տր ված կո տո րա կին հա վա սար ամ բողջ թիվը.

ա) 123

, բ) 4020

, գ) 10025

, դ) 753

, ե) 10008

:

891. Տր ված հա վա սա րու թյու նում գտեք կո տո րա կի հա մա րի չը.

ա) 2 = 2

, բ) 2 = 3

, գ) 2 = 4

, դ) 2 = 1:

892. 3, 5 և 7 թվե րից յու րա քան չյու րը գրեք կո տո րա կի տես քով, ո րի հայ-

տա րա րը լի նի.

ա) 3, բ) 5, գ) 7:

893. Գու մա րը գրեք խա ռը թվի տես քով.

ա) 5 + 12, բ) 13 + 1

7, գ) 2 + 5

7, դ) 17 + 15

17:

894. Խա ռը թի վը գրեք բնա կան թվի և կա նո նա վոր կո տո րա կի գու մա րի տես քով.

ա) 5 18, բ) 7 5

18, գ) 12 13

75, դ) 8 11

39:

ANTARES

4.14. ԽԱ ՌԸ ԹՎԻ ՀԱՍ ԿԱ ՑՈՒ ԹՅՈՒ ՆԸ 181

895. Կո տո րա կի հա մա րի չը մնա ցոր դով բա ժա նեք հայ տա րա րին և ար-դյուն քը գրեք խա ռը թվի տես քով.

ա) 32, բ) 4

3, գ) 5

4, դ) 9

2, ե) 28

3,

զ) 196

, է) 175

, ը) 3813

, թ) 4215

, ժ) 578

:

896. Ան կա նոն կո տո րա կը դարձ րեք խա ռը թիվ.

ա) 52, բ) 7

3, գ) 11

4, դ) 6

5, ե) 5

3,

զ) 74

, է) 95, ը) 7

3, թ) 72

10, ժ) 38

7,

ի) 256

, լ) 5413

, խ) 269

, ծ) 498

, կ) 9011

:

897. Հետևե լով նմու շային օ րի նա կին՝ պար զեց րեք խա ռը թվի տես քը.

93690

 = 9 + 3690

 = 9 + 2 · 185 · 18

 = 9 + 25

 = 925:

ա) 328, բ) 615

18, գ) 1425

75 դ) 526

39, ե) 145

60:

898. Նա խորդ վար ժու թյան նմու շային օ րի նա կից հետևում է, որ խա ռը թվի կո տո րա կային մա սի կր ճա տու մից խա ռը թի վը չի փոխ վում: Օ գտ վե լով դրա նից՝ պար զեց րեք խա ռը թի վը.

93690

 = 9 + 2 · 185 · 18

 = 925:

ա) 14466

, բ) 22163

, գ) 3 70105

, դ) 4 38133

, ե) 5 42126

:

899. Հա մե մա տեք թվե րը.

ա) 12 և 1

3, բ) 2

5 և 1

2, գ) 2

3 և 3

4,

դ) 1 12 և 1 1

3, ե) 32

5 և 3 1

2, զ) 22

3 և 23

4,

է) 2 12 և 1 1

3, ը) 32

5 և 4 1

5, թ) 32

3 և 53

4,

ժ) 1 12 և 2 1

3, ի) 42

5 և 3 1

2, լ) 52

3 և 33

4:

900. Խա ռը թի վը դարձ րեք ան կա նոն կո տո րակ.

ա) 1 12, բ) 1 1

3, գ) 1 1

4, դ) 12

3, ե) 13

4,

զ) 2 14, է) 3 1

5, ը) 8 1

3, թ) 22

5, ժ) 95

7,

ի) 1511

, լ) 1 413

, խ) 6 112

, ծ) 4 415

, կ) 1223:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ182

901. Ան ջա տեք կո տո րա կի ամ բողջ մա սը.

ա) 95

, բ) 143

, գ) 154

, դ) 297

, ե) 399

,

զ) 4911

, է) 11710

, ը) 13840

, թ) 14215

, ժ) 25725

:

4.15. Խա Ռը թՎե րի Գու Մա րու Մը

Խա ռը թվե րի գու մա րու մը կա տար վում է սո վո րա կան կո տո րակ նե րի գու մար ման օ րենք նե րով:

Օ րի նակ 1: Հաշ վենք 2 15

 + 325 գու մա րը:

2 15

 + 3 · 25 = �2 + 1

5� + �3 + 2

5� = (2 + 3) + � 1

5 + 2

5� = 5 + 3

5 = 53

5:

Նույն հաշ վարկ նե րը սո վո րա բար գրում են ա վե լի կարճ՝ գոր ծո ղու-

թյուն նե րի մի մա սը կա տա րե լով մտ քում. 2 15

 + 325

 = 535:

Խա ռը թվե րը գու մա րե լու հա մար կա րե լի է ա ռան ձին−ա ռան ձին գու մա րել նրանց ամ բողջ մա սե րը և կո տո րա կային մա սե րը

ու ստաց ված ար դյունք նե րը գու մա րել:

Հա մա րում են, որ ցան կա ցած ամ բողջ թիվ ունի զրոյի հա վա սար կո-տո րա կային մաս, ի սկ ցան կա ցած կա նո նա վոր կո տո րակ ունի զրոյի հա-վա սար ամ բողջ մաս: Դա թույլ է տա լիս կա նո նա վոր կո տո րակ ներն ու բնա կան թվե րը վե րո հի շյալ կա նո նով գու մա րել խա ռը թվե րին:

Օ րի նակ 2: 1) 3 18

 + 5 = 8 18, 2) 4 1

7 + 2

7 = 43

7:

Եր կու խա ռը թվի կո տո րա կային մա սե րի գու մա րից կա րող է ստաց-վել ան կա նոն կո տո րակ: Այդ դեպ քում հաշ վարկ նե րը կա րե լի է կա տա-րել այս պես.

Օ րի նակ 3: 1) 335

 + 245

 = 5 + 75

 = 5 + 125

 = 625,

2) 257

 + 327

 = 5 + 77

 = 5 + 1 = 6:

Ե թե գու մա րե լի նե րի կո տո րա կային մա սերն ունեն տար բեր հայ տա-րար ներ, ա պա նախ դրանք բե րում են ը նդ հա նուր հայ տա րա րի, ի սկ հե-տո՝ գու մա րու մ:

Օ րի նակ 4: 1) 22/13

 + 43/12

 = 226

 + 436

 = 656,

2) 63/910

 + 12/715

 = 62730

 + 1 1430

 = 7 + 4130

 = 7 + 1 1130

 = 8 1130

:

ANTARES

4.15. ԽԱ ՌԸ ԹՎԵ ՐԻ ԳՈՒ ՄԱ ՐՈՒ ՄԸ 183

902. Ինչ պե՞ս են գու մա րում խա ռը թվե րը: Բե րեք օ րի նակ ներ:

903. Գ րեք խա ռը թվի տես քով.

ա) 5 + 14, բ) 4 + 3

7, գ) 3 + 3

5, դ) 12 + 15

17:

904. Խա ռը թի վը գրեք բնա կան թվի և կա նո նա վոր կո տո րա կի գու մա րի տես քով:

ա) 623, բ) 7 1

8, գ) 516

25, դ) 119

20:

905. Հաշ վեք գու մա րը.

ա) 9 + 5 12, բ) 33

8 + 5, գ) 8 9

13 + 7,

դ) 13 + 279, ե) 3 + 283

7, զ) 485

6 + 13,

է) 12 + 23 19, ը) 39 + 42 3

20:

906. Սո վո րա կան կո տո րա կը դարձ րեք խա ռը թիվ.

ա) 94, բ) 9

8, գ) 16

13, դ) 25

2, ե) 17

15, զ) 13

3:

907. Գու մա րը գրեք խա ռը թվի տես քով.

ա) 2 + 8

5 = 2 + 13

5 = 33

5

բ) 3 +  65

, գ) 4 + 53, դ) 8 + 9

5, ե) 7 + 

2517 :

Հաշ վեք գու մա րը (908­917):

908. ա) 2 15

 + 25, բ) 3 9

17 + 2

17, գ) 3 2

25 +  3

25,

դ) 58 + 3 1

8, ե) 17 9

16 + 3

16, զ) 7

19 + 2 5

19,

է) 4 1345

+ 445

, ը) 3 + 77, թ) 4 + 3

3:

909. ա) 1 17

 + 557, բ) 3 1

5 + 52

5, գ) 7 1

7 + 32

7,

դ) 938

 + 7 18, ե) 513

15 + 1 1

15, զ) 3 11

19 + 7 7

19:

910. ա) 3 12

 + 1 12, բ) 43

5 + 12

5, գ) 33

7 + 54

7,

դ) 829

 + 479, ե) 4 4

15 + 2 11

15, զ) 6 11

28 + 4 17

28:

911. ա) 535

 + 135, բ) 32

7 + 26

7, գ) 43

8 + 77

8,

դ) 959

 + 1179, ե) 1 11

17 + 215

17, զ) 4 13

27 + 8 17

27:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ184

912. ա) 1638

 + 7 18, բ) 172

9 + 94

9, գ) 17 7

15 + 7 2

15,

դ) 14 516

 + 28 516

, ե) 19 512

 + 131112

, զ) 142325

 + 1 725

:

913. ա) 2 14

 + 1 14, բ) 7 1

3 + 2 1

3, գ) 6 1

5 + 32

5,

դ) 235

 + 125, ե) 42

9 + 18

9, զ) 29

11 + 14

11,

է) 3 19

 + 229, ը) 3 7

10 + 2 9

10, թ) 84

5 + 92

5:

914. ա) 2 12

 + 16, բ) 3 7

12 + 1

6,

գ) 5 15

 + 310

, դ) 7 635

 + 15:

915. ա) 334

 + 15, բ) 7 9

20 +  7

30,

գ) 4 1325

 + 215

, դ) 6 112

 +  118

:

916. ա) 9 12

 + 3 18, բ) 6 9

16 + 2 1

4,

գ) 2 718

 + 5 19, դ) 10 1

20 + 63

5:

917. ա) 923

 + 1 14, բ) 13 1

5 + 42

7,

գ) 2 310

 + 6 19, դ) 4 2

15 + 7 4

15:

918. AB հատ վա ծի վրա C կե տը նշել են այն պես, որ CB = 14 մ, ի սկ AC -ն

1 15 մետ րով CB -ից մեծ է: Գտեք AB հատ վա ծի եր կա րու թյու նը:

919. AB հատ վա ծի վրա C կե տը նշել են այն պես, որ CB = 7 310

մ ու CB -ն

2 14 մետ րով փոքր է AC -ից: Գտեք AB հատ վա ծի եր կա րու թյու նը:

920. Ա ռա ջին թի վը 4 15 է, ե րկ րոր դը 5-ով մեծ է ա ռա ջի նից, ի սկ եր րոր դը

3 15

-ով մեծ է ե րկ րոր դից: Գտեք այդ ե րեք թվե րի գու մա րը:

4.16. Խա Ռը թՎե րի հա նու Մը

Դի տար կենք օ րի նակ ներ, ե րբ մեծ թվից հան վում է փոք րը: Ե թե նվա զե լի ի ամ բողջ և կո տո րա կային մա սե րը մեծ են հա նե լի ի

հա մա պա տաս խան մա սե րից, ա պա ա ռան ձին հաշ վում են ամ բողջ

ANTARES

4.16. ԽԱ ՌԸ ԹՎԵ ՐԻ ՀԱ ՆՈՒ ՄԸ 185

մա սե րի տար բե րու թյու նը և կո տո րա կային մա սե րի տար բե րու թյու նը ու ար դյունք նե րը գու մա րում:

Օ րի նակ 1: 435

 − 125

 = 3 15:

Հաշ վարկ նե րի ճշ տու թյու նը կա րե լի է ստու գել գու մա րու մով.

3 15

 + 125

 = 435:

Ե թե նվա զե լի ի ու հա նե լի ի ամ բողջ մա սե րը կամ կո տո րա կային մա սե րը հա վա սար են, ա պա հա նու մը կա րե լի է ի րա գոր ծել, ի նչ պես վերևում:

Օ րի նակ 2: 1) 837

 − 137

 = 7, 2) 659

 − 6 19

 = 49:

Հաշ վարկ նե րի ճշ տու թյու նը կա րե լի է ստու գել գու մա րու մով.

1) 7 + 137

 = 837, 2) 4

9 + 6 1

9 = 65

9:

Ե թե նվա զե լի ի կո տո րա կային մա սը փոքր է հա նե լի ի կո տո րա կային մա սից, ա պա նվա զե լի ի ամ բողջ մա սից մեկ միա վոր « փոխ են առ նում»:

Օ րի նակ 3: 425

 − 145

 = �3 + 125� − �1 + 4

5� = �3 + 7

5� − �1 + 4

5� = 23

5:

Գու մար ման մի ջո ցով կա րե լի է հա մոզ վել, որ ճիշտ պա տաս խան է ստաց վել:

Ե թե թվե րից մե կը բնա կան թիվ է կամ կա նո նա վոր կո տո րակ, ա պա հա նու մը կա տար վում է դի տարկ ված դեպ քե րի նման:

Օ րի նակ 4: 1) 837

 − 1 = 737, 2) 4 − 4

5 = �3 + 5

5� − 4

5 = 3 + 1

5 = 3 1

5:

Ե թե նվա զե լի ի և հա նե լի ի կո տո րա կային մա սե րի հայ տա րար նե րը տար բեր են, ա պա նախ դրանք բեր վում են ը նդ հա նուր հայ տա րա րի, ա պա նոր կա տա րում են հա նու մը:

Օ րի նակ 5: 42/13

 − 13/12

 = 426

 − 236

 = �3 + 86� − �2 + 3

6� = 15

6:

Հի շենք, որ հա վա սար թվե րի տար բե րու թյու նը զրո է, ի սկ փոքր թվից մեծ թիվ հա նել հնա րա վոր չէ (մ նա լով ոչ բա ցա սա կան թվե րի բազ մու-թյու նում):

921. Ինչ պե՞ս են հա նում խա ռը թվե րը:

Հաշ վեք (922­935):

922. ա) 712

 − 512

, բ) 815

 − 415

, գ) 1736

 −  1136

,

դ) 1745

 −  245

, ե) 548

 −  112

, զ) 512

 −  518

:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ186

923. ա) 1 − 25, բ) 1 − 7

18, գ) 1 − 12

13, դ) 1 −  2

45:

924. ա) 12 − 17, բ) 21 − 4

13, գ) 45 − 23

43, դ) 99 − 43

45:

925. ա) 12 − 4170

, բ) 36 −  753

, գ) 35 − 3547

, դ) 46 − 5362

:

926. ա) 834

 − 4, բ) 625

 − 3, գ) 4 1113

 − 3,

դ) 937

 − 27, ե) 73

5 − 3

5, զ) 84

5 − 3

5:

927. ա) 949

 − 13, բ) 813

16 − 1

8, գ) 105

8 − 1

4,

դ) 11 712

 − 14, ե) 13 19

36 − 1

9, զ) 741

48 − 5

6:

928. ա) 5 815

 − 2 115

, բ) 1237

 − 737, գ) 8 9

16 − 3 5

16,

դ) 41719

 − 4 619

, ե) 17 716

 − 3 316

, զ) 7 1825

 − 7 825

:

929. ա) 1 12

 − 12, բ) 1 1

5 − 2

5, գ) 1 1

4 − 3

4,

դ) 1 16

 − 56, ե) 1 1

9 − 2

9, զ) 1 1

8 − 5

8:

930. ա) 1 12

 − 16, բ) 1 1

4 − 1

2, գ) 1 1

5 − 1

4,

դ) 1 16

 − 15, ե) 1 1

9 − 1

6, զ) 1 1

8 − 5

6:

931. ա) 4811

 − 1911

, բ) 1337

 − 567, գ) 7 5

13 − 2 8

13,

դ) 5 719

 − 41619

, ե) 9 516

 − 5 916

, զ) 8 825

 − 7 1825

:

932. ա) 4 516

 − 138, բ) 8 6

25 − 34

5, գ) 12 2

15 − 2 1

5,

դ) 18 1445

 − 1 715

, ե) 27 239

 − 6 513

, զ) 23 934

 − 2 717

:

933. ա) 4 130

 − 3 120

, բ) 14 112

 − 1 118

, գ) 3 925

 − 1 710

,

դ) 13 124

 − 11118

, ե) 13 118

 − 10 112

, զ) 16 225

 − 12 215

:

934. ա) 3 18

 − 2 13

 + 16, բ) 43

5 − 2 +  1

10,

ANTARES

4.17. ԽԱ ՌԸ ԹՎԵ ՐԻ ԲԱԶ ՄԱ ՊԱՏ ԿՈՒՄՆ ՈՒ ԲԱ ԺԱ ՆՈՒ ՄԸ 187

գ) 378

 − 234

 + 12, դ) 3 5

14 − 1 − 6

7:

935. ա) 2 1330

 − �1 110

 + 15� , բ) 2 8

15 − �1 3

10 + 2

5�,

գ) 4 1445

 − 1 715

 − 35, դ) 4 11

30 − 2 9

20 −  1

10:

4.17. Խա Ռը թՎե րի ԲաԶ Մա Պատ կուՄն ու Բա ժա նու Մը

Խա ռը թվե րը բազ մա պատ կե լու կամ բա ժա նե լու հա մար կա րե լի է նրանք գրել ան կա նոն կո տո րա կի տես քով և կա տա րել այդ գոր ծո ղու թյուն նե րը սո վո րա կան կո տո րակ նե րի նկատ մամբ:

Օ րի նակ 1: 1) 2 15 · 1 1

4 = 11

5 · 5

4 = 11 · 5

5 · 4 = 11

4 = 23

4,

2) 7 12 : 2 1

2 = 15

2 : 52

 = 152 · 2

5 = 15 · 2

2 · 5 = 3:

Ոչ բարդ դեպ քե րում կա րե լի է խա ռը թի վը չդարձ նել ան կա նոն կո-

տո րակ, այլ օ գտ վել բաշ խա կան օ րեն քից:

Օ րի նակ 2: 3 15 · 2 = �3 + 1

5� · 2 = 3 · 2 + 1

5 · 2 = 6 + 2

5 = 62

5:

Սո վո րա բար այս հաշ վարկ նե րը գրում են ա վե լի կարճ՝ խա ռը թվի

ամ բողջ և կո տո րա կային մա սե րը բազ մա պատ կե լով 2-ով.

3 15 · 2 = 62

5:

Խա ռը թի վը բնա կան թվի բա ժա նե լիս եր բեմն հաշ վարկ նե րը շատ

հեշտա նում են, ե թե օգ տա գոր ծենք բաշ խա կան օ րեն քը:

Օ րի նակ 3: 367:3 = 12

7:

Այս տեղ խա ռը թվի ամ բողջ և կո տո րա կային մա սերն ա ռան ձին−

առան ձին բա ժա նե ցինք 3 -ի (այ սինքն՝ բազ մա պատ կե ցինք 13 -ով) և

ստաց ված ար դյունք նե րը գու մա րե ցինք.

367:3 = �3 + 6

7�:3 = �3 + 6

7� · 1

3 = 3 · 1

3 + 6

7 · 1

3 = 1 + 2

7 = 12

7

936. Ի նչ պե՞ս են բազ մա պատ կում և բա ժա նում խա ռը թվե րը:

Կա տա րեք բազ մա պատ կու մը (937, 938):

937. ա) 1 15 · 2, բ) 2 1

5 · 3, գ) 8 · 3 1

4, դ) 32

7 · 8,

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ188

ե) 2 · 534, զ) 24

5 · 9, է) 12 · 52

3, ը) 21 1

9 · 9:

938. ա) 1 15 · 1

6, բ) 22

5 · 2

3, գ) 7

9 · 4 1

2, դ) 3

7 · 3 1

3,

ե) 1 12 · 1 1

3, զ) 2 1

2 · 13

5, է) 72

3 · 2 1

4, ը) 52

5 · 1 1

9 :

939. Գ տեք տր ված թվի հա կա դար ձը.

ա) 1 12, բ) 2 1

3, գ) 22

5, դ) 14

7:

940. ա) Գ տեք b -ն, ե թե a · b = 1, a =  25

:

բ) Գ տեք a -ն, ե թե a · b = 1, b = 2 27

:

941. Կա րո՞ղ է եր կու խա ռը թիվ լի նել փոխ հա կա դարձ:

Հաշ վեք քա նոր դը (942, 943):

942. ա) 1 15 : 2, բ) 22

5 : 3, գ) 9 : 2 1

4, դ) 3 1

7 : 2,

ե) 2 : 5 13, զ) 24

5 : 7, է) 12 : 22

3, ը) 21 1

4 : 5:

943. ա) 1 15 : 15, բ) 22

5 : 23, գ) 5

9 : 4 1

6, դ) 5

6 : 3 1

3,

ե) 2 12 : 12

3, զ) 3 1

2 : 13

4, է) 22

5 : 1 1

5, ը) 52

5 : 1 1

9:

Հաշ վեք` օ գտ վե լով բաշ խա կան օ րեն քից (944, 945):

944. ա) 1 13 · 2 = �1 + 1

3� · 2 = 1 · 2 + 1

3 · 2 = 2 + 2

3 = 22

3

բ) 1 15 · 2, գ) 2 1

5 · 3, դ) 3 1

4 · 3, ե) 22

7 · 3,

զ) 2 · 5 14, է) 2 4

9 · 9, ը) 2 · 57

8, թ) 2 1

9 · 3:

945. ա) 1

3 · 2 + 2 1

3 · 2 = � 1

3 + 22

3� · 2 = 3 · 2 = 6

բ) 1 15 · 3 + 4

5 · 3, գ) 24

5 · 3 − 4

5 · 3,

դ) 245 · 5

9 + 6 1

5 · 5

9, ե) 24

5 · 5

8 − 1 1

5 · 5

8:

Հաշ վեք (946­948):

946. ա) 4 112

· 867 · 6, բ) 6 1

4 · 12

5 · 8,

գ) 537 · 5

9 · 1419

, դ) 338 · 1

2 : 916

,

ե) 557 · 5

12 · 5 1

4 · 6

7 : 1 1

2, զ) 3

4 · 1 1

4 · 7 1

2 · 2 1

4 : 7 1

2:

ANTARES

4.18. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՊԱՏ ԿԵ ՐՈՒ ՄԸ ԿՈՈՐ ԴԻ ՆԱ ՏԱՅԻՆ ՃԱՌԱ ԳԱՅ ԹԻ ՎՐԱ 189

947. ա) � 215

 + 1 712� · 30

103 − 2 : 2 1

4 · 932

 + 2 13,

բ) �7 12 · 22

3 − 12 1

4 : 79� : 6 + 3 1

8 + 52

7,

գ) 5 13 : 62

5 + �12 : 33

5 − 2

3� · 2

3 + 72

5,

դ) 21 259

 − 25 · �3 15

28 : 928

 − 1 : 11049� : 2:

948. ա) 20 : 2 2

15 + 25 5

7 : 1 1

35

2179

: 42

3 − 1

, բ) 634 : 9 + 24 : 6

7 − 1

9 : 421

53 23

 − 22 1415

: 2

23

,

գ) 20 3

10 − �2 1

10 · 4 + 19

20 · 10�

1:5, դ)

425

 − 234

 + 7 715

 − 8 760

7 14

 − 534

,

ե) � 16

 +  110

 +  115�:� 1

6 +  1

10 −  1

15�

� 12

 − 13

 + 14

 − 15�:� 1

4 − 1

6�

,

զ) 5 15

 − 3940

245

: 710

· 34

  +  �4 − 1 3

20 ։ 12�· 24

14 · 20 + 10:100

:

4.18. կո տո րակ նե րի Պատ կե րու Մը կոոր Դի նա տային ՃաՌա Գայ թի Վրա

Ցան կա ցած ab կո տո րակ (a -ն և b -ն բնա կան թվեր են) կա րե լի է պատ-

կե րել կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա (ն կար 120): Դրա հա մար միա-վոր հատ վա ծի 1

b մա սը, սկ սած կոոր դի նա տային ա ռանց քի 0 կե տից, տե-

ղադ րում են a ան գամ և ար դյուն քում ստաց վող կե տը հա մա րում են ab

կո տո րա կի պատ կե րը:

Ն կար 120 ա) -ում միա վոր հատ վա ծի 12 մա սը 0 կե տից սկ սած 5 ան-

գամ տե ղադ րե լով՝ հասել են կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի այն կե տին,

ո րը 52 կո տո րա կի պատ կերն է: Նման ձևով նկար 120 բ)-ում և գ)-ում

գտնված են 73 և 4

10 կո տո րակ նե րին հա մա պա տաս խա նող կե տե րը:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ190

Նկար 120

Կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա ab կո տո րա կը պատ կե րող կետն

ան վա նում են ab կոոր դի նա տով կետ կամ կարճ a

b կետ: Օ րի նակ՝ նկար

121 -ում A կետն ունի 13 կոոր դի նա տը: Գրում ե ն՝ A� 1

3� և կար դում են

« 13 կոոր դի նա տով A կե տը»: Ճա ռա գայ թը սո վո րա բար տե ղադ րում են հո րի զո նա կան և ո ւղ ղում

են աջ: Ե թե p -ն ու q -ն եր կու դրա կան կոտորակներ են, և p > q, ա պա.1) կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա p կետը q -ից աջ է,2) p և q կե տե րի հե ռա վո րու թյու նը p − q է:

3) p + q2

կե տը p և q կե տե րը միաց նող հատ վա ծի միջ նա կետն է (ն կար 122):

Նկար 121 Նկար 122

Ի րոք, AB հատ վա ծի C միջ նա կե տի կոոր դի նա տը հաշ վե լու հա մար կա րե լի է a -ին գու մա րել AB հատ վա ծի եր կա րու թյան կե սը.

q + p − q2

 = 2 · q2

 + p − q2

 = 2q + p − q2

 = p + q2

:

Օ րի նակ: Գտ նենք q = 35 և p = 1 կե տե րը միաց նող հատ վա ծի եր կա-

րու թյու նը և միջ նա կե տի կոոր դի նա տը: Ա կն հայտ է, որ 35 < 1, դրա հա-

մար 1 կե տը կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա 35 -ից աջ է, և 1 ու 3

5

ANTARES

4.18. ԿՈ ՏՈ ՐԱԿ ՆԵ ՐԻ ՊԱՏ ԿԵ ՐՈՒ ՄԸ ԿՈՈՐ ԴԻ ՆԱ ՏԱՅԻՆ ՃԱՌԱ ԳԱՅ ԹԻ ՎՐԱ 191

կե տե րը միաց նող հատ վա ծի եր կա րու թյու նը հավասար է p − q = 1 − 35

 = 25:

Այդ հատ վա ծի միջ նա կե տի կոոր դի նա տը կլի նի.

p + q2

 = 

35

 + 1

2 = 8

5 : 2 = 8

5 · 1

2 = 8 · 1

5 · 2 = 45:

Այդ կերպ կա րե լի է հաշ վել ցան կա ցած եր կու կե տը միաց նող հատ վա-ծի միջ նա կե տի կոոր դի նա տը:

p + q2

թի վը կոչ վում է p և q թվե րի մի ջին թվա բա նա կան:

Օ րի նակ՝ 3 և 5 թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը 3 + 52

 = 82

 = 4 է, ի սկ 23 և 1

6թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը՝

�23

 + 16�:2 = �4

6 + 1

6�:2 = 5

6:2 = 5

12:

Ընդ հան րա պես, մի քա նի թվե րի մի ջին թվա բա նա կան ան վա նում են այդ թվե րի գու մա րը նրանց քա նա կին բա ժա նե լուց ստաց ված քա-նոր դը:

Օ րի նակ՝ 1, 3, 7 թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը կլի նի.1 + 3 + 7

3 = 11

3 = 3 2

3,

իսկ 1, 2, 3, 4 թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը՝

1 + 2 + 3 + 44

 = 104

 = 2 12:

949. Որ պես միա վոր հատ ված ըն դու նե լով 6 սմ եր կա րու թյամբ հատ-

վա ծը՝ կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա պատ կե րեք 0, 16, 2

6, 3

6, 4

6,

56, 7

6, 8

6, 9

6, 10

6, 11

6, 12

6 կե տե րը: Այդ ճա ռա գայ թի վրա ցույց տվեք 1

2, 1

3,

23, 1, 1 1

2, 1 1

3, 2 կե տե րը:

950. Ընտ րեք հար մար միա վոր հատ ված և կոոր դի նա տային ճա ռա գայ-թի վրա նշեք հետևյալ կե տե րը.

ա) 0, 1, 2, 3, 12, 1 1

2, բ) 0, 1

4, 1

2, 3

4, 2, 2 1

4, 2 1

2, 23

4:

951. Կոո դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա պատ կե րեք A� 12�, B(2), C�23

4� կե-

տե րը: Գտեք AB, BC, AC հատ ված նե րի եր կա րու թյուն նե րը:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ192

952. Գ տեք տր ված կե տե րը միաց նող հատ վա ծի միջ նա կե տի կոոր դի-նա տը.

ա) 1 և 7, բ) 3 և 8, գ) 2 14 և 5

8, դ) 3 1

2 և 3 1

4:

953. Տր ված են A(2) և B�2 12� կե տե րը: Գտեք AB հատ վա ծի C միջ նա կե տի, CB

հատ վա ծի D միջ նա կե տի, CD հատ վա ծի E միջ նա կե տի կոոր դի նատ-նե րը: Պատ կե րեք այդ կե տե րը կոոր դի նա տային ճա ռա գայ թի վրա:

954. Գ տեք B կե տի կոոր դի նա տը, ե թե տր ված են A կե տի և AB հատ վա ծի C միջ նա կե տի կոոր դի նատ նե րը.

ա) A(2), C (5), բ) A� 12�, C (3), գ) A� 1

4�, C�2

3�:

955. Գ տեք AB հատ վա ծը 3 հա վա սար մա սե րի բա ժա նող կե տե րի կոոր-դի նատ նե րը, ե թե.

ա) A(5), B�9 12�, բ) A� 1

3�, B�2

9�:

956. Գ տեք տր ված թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը:

ա) 4 և 6, բ) 3 և 12, գ) 1 1

8 և 1

2, դ) 32

3 և 2 1

4:

957. Ն կար 123-ում նշ ված են A և B կե տե րի կոոր դի նատ նե րը: Գտեք C և D կե տե րի կոոր դի նատ նե րը.

Նկար 123

958. Գ տեք տր ված թվե րի մի ջին թվա բա նա կա նը.ա) 5, 3, 7, բ) 1, 2, 10, գ) 12, 15, 18,դ) 1, 2, 5, 12, ե) 100, 200, 300, զ) 3, 4, 5, 6, 7:

959. ա) Եր կու թվի մի ջին թվա բա նա կա նը 5 է: Գտեք այդ թվե րի գումարը:բ) Հինգ թվի մի ջին թվա բա նա կա նը 2 է: Գտեք այդ թվե րի գու մա րը:

960. Ֆուտ բո լի թի մի 11 խա ղա ցող ի մի ջին տա րի քը 21 է: Խա ղի ժա մա-նակ խա ղա ցող նե րից մե կը վնաս վածք ստա ցավ և հե ռա ցավ դաշ-

տից: Մնա ցած 10 խա ղա ցողի մի ջին տա րի քը դար ձավ 2045 տա րի:

Քա նի՞ տա րե կան էր վնաս վածք ստա ցած խա ղա ցո ղը:

ANTARES

4.19. ՈՒՂ ՂԱՆ ԿՅԱՆ ՄԱ ԿԵ ՐԵ ՍԸ: Ո ՒՂ ՂԱՆ ԿՅՈՒ ՆԱ ՆԻՍ ՏԻ ԾԱ ՎԱ ԼԸ 193

961. Ե րե խա ներն ի րենց մա թե մա տի կայի ուսուց չին հարց րին նրա տարիքը.

— Ե թե հաշ վենք մեր դա սա րա նի 32 ա շա կերտի մի ջին տա րի քը,

ա պա կս տաց վի 10 12 տա րի: Ե թե այդ հաշ վարկ նե րի մեջ իմ տա րիքն

էլ մտց նենք, ա պա կս տաց վի 11 տա րի:

Քա նի՞ տա րե կան է մա թե մա տի կայի ուսու ցի չը:

4.19. ուՂ Ղան կյան Մա կե րե սը: ո ւՂ Ղան կյու նա նիս տի Ծա Վա լը

Հի շենք, որ ե թե ո ւղ ղան կյան կող մե րը, չափ ված միև նույն գծային միա վո րով, ար տա հայտ վում են a և b բնա կան թվե րով, ա պա նրա S մա-կե րե սը ո րոշ վում է S = a · b բա նաձևով:

S = a · b բա նաձևը ճիշտ է նաև կո տո րա կային a -ի և b -ի հա մար:

Ցույց տանք, որ a = 34 դմ, b = 2

3 դմ կող մե րով ո ւղ ղան կյան մակերեսը՝

S = 34 · 2

3 = 3 · 2

4 · 3 = 1

2 (դմ2):

Նկար 124 ա)-ում պատկերված է 1 դմ կողմով քառակուսի, որի մի կողմը բաժանված է 3 հավասար մասի։ Նրանցից 2 -ը կտան ուղղանկյան լայնությունը։ Մյուսը կողմը բաժանված է 4 հավասար մասի։ Նրանցից 3 -ը կտան ուղղանկյան երկարությունը (նկար 124 բ))։

Փաս տո րեն քա ռա կու սին բա ժան ված է 4 · 3 հա վա սար մա սե րի, ո րոն-

ցից յու րա քան չյու րի մա կե րե սը քա ռա կու սու մա կե րե սի 14 · 3

մասն է, այ-

սինքն՝ 14 · 3

դմ2: ա)

¹Ù

¹Ù

¹Ù

¹Ù

բ) ¹Ù

¹Ù

Նկար 124

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ194

Այժմ նկա տենք, որ ո ւղ ղան կյու նը բաղ կա ցած է 3 · 2 հատ այդ պի սի մա սե րից, դրա հա մար էլ նրա մա կե րե սը կլի նի

3 · 2 · 14 · 3

 = 3 · 24 · 3

 = 34 · 2

3 = 1

2 (դմ2):

Եվ այս պես՝ S =  34 · 2

3 = 3 · 2

4 · 3 = 1

2 (դմ2):

Ե թե ո ւղ ղան կյան p հիմ քը և q բարձ րու թյու նը չափ ված են միև նույն գծային միա վո րով և ար տա հայտ ված են սո վո րա կան կո տո րակ նե րով, ա պա

ուղ ղան կյան մա կե րե սը հա վա սար է իր հիմ քի և բարձ րու թյան ար տադ րյա լին.

S = p · q (քա ռա կու սի միա վոր), որ տեղ p = ab, q = c

d։

Հի շենք, որ ե թե ո ւղ ղան կյու նա նիս տի եր կա րու թյու նը, լայ նու թյունն

ու բարձ րու թյու նը, չափ ված միև նույն գծային միա վո րով, ար տա հայտ-

վում են a, b, c բնա կան թվե րով, ա պա նրա V ծա վա լը ո րոշ վում էV = a · b · c բա նաձևով:

Պարզ վում է, որ V = a · b · c բա նաձևը ճիշտ է նաև կո տո րա կային a -ի,

b -ի ու c -ի հա մար:

Ցույց տանք, որ a =  25 դմ, b =  1

2 դմ, c =  2

3 դմ կո ղմե րով ո ւղ ղան կյունա-

նիս տի ծավալը։

V = 25 · 1

2 · 2

3 = 2 · 1 · 2

5 · 2 · 3 = 2

15 (դմ3):

Նկար 125 Նկար 126

Նկար 125-ում պատկերված է 1 դմ կողով խորանարդ, որի մի կողը բաժանված է 5 հավասար մասի։ Նրանցից 2 -ը կտան ուղղանկյունա-նիստի լայնությունը։ Խո րա նար դի մյուսը կողը բաժանված է 2 հավասար

ANTARES

4.19. ՈՒՂ ՂԱՆ ԿՅԱՆ ՄԱ ԿԵ ՐԵ ՍԸ: Ո ՒՂ ՂԱՆ ԿՅՈՒ ՆԱ ՆԻՍ ՏԻ ԾԱ ՎԱ ԼԸ 195

մասի։ Նրանցից 1 -ը կլինի ուղղանկյունանիստի եր կա րու թյունը։ Խորա-նարդի երրորդ կողը բաժանված է 3 հավասար մասի։ Նրանցից 2 -ը կլի նի ուղ ղան կյու նա նիս տի բարձրությունը (նկար 126)։

Փաստորեն խորանարդը բաժանված է 5·2·3 հավասար մասերի,

որոնցից յու րա քանչ յուրի ծավալը խորանարդի ծա վա լի 1

5 · 2 · 3 մասն է,

այսինքն 1

5 · 2 · 3 դմ3 է:

Նկատենք նաև, որ ուղղան կյու նա նիս տը 2·1·2 հատ այդպիսի մաս է,

դրա հա մար էլ նրա ծավալը կլինի՝

2 · 1 · 2 · 15 · 2 · 3

· 2 · 1 · 25 · 2 · 3

 = 25 · 1

2 · 2

3 = 2

15 դմ3։

Եվ այս պես՝

V = 25 · 1

2 · 2

3 = 2

15 դմ3:

Ե թե ո ւղ ղան կյու նա նիս տի p, q, r ե րեք չա փում նե րը (եր կա րու թյու նը, լայ նու թյու նը և բարձ րու թյու նը) չափ ված են միև նույն գծային միա վո րով և ար տա հայտ ված են սո վո րա կան կո տո րակ նե րով, ա պա

ուղ ղան կյու նա նիս տի ծա վա լը հա վա սար է իր ե րեք չա փում նե րի ար տադ րյա լին.

V = p · q · r (խո րա նարդ միա վոր), որ տեղ p = ab, q = c

d, r = m

n:

Օ րի նակ 1: Ո ւղ ղան կյան կող մե րը 4 910

սմ և 57 սմ են: Նրա մա կե րե սը

կլի նի՝

S = 4 910

· 57

 = 49 · 510 · 7

 = 3 12 (սմ2):

Օ րի նակ 2: Ո ւղ ղան կյու նա նիս տի կո ղե րը 3 13 դմ, 4

10 դմ, 3

8 դմ են: Նրա

ծա վա լը կլի նի՝

V = 3 13 · 410

· 38

 = 10 · 4 · 33 · 10 · 8

 = 12 (դմ3):

962. ա) Ինչ պե՞ս հաշ վել ո ւղ ղան կյան մա կե րե սը՝ ի մա նա լով նրա երկա-րու թյունն ու լայ նու թյու նը:

բ) Ինչ պե՞ս հաշ վել ո ւղ ղան կյու նա նիս տի ծա վա լը՝ ի մա նա լով նրա եր կա րու թյու նը, լայ նու թյունն ու բարձ րու թյու նը:

963. Հաշ վեք ո ւղ ղան կյան մա կե րե սը, ո րի կող մերն են.

ա) 35 մ և 2

3 մ, բ) 5

16 մ և 4

25 մ, գ) 1 1

2 դմ և 1

5 դմ:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ196

964. Ուղ ղան կյան մա կե րե սը 4 դմ2 է: Հաշ վեք նրա եր կա րու թյու նը, ե թե լայ նու թյու նը հա վա սար է.

ա) 12

դմ, բ) 25

դմ, գ) 1 35

դմ, դ) 1 14

դմ:

965. Հաշ վեք ո ւղ ղան կյան մա կե րեսն ու պա րա գի ծը՝ ի մա նա լով նրա երկա րու թյունն ու լայ նու թյու նը.

ա) 1 25

մ և 3 34

մ, բ) 4 120

մ և 3 13

մ:

966. Հաշ վեք քա ռա կու սու մա կե րեսն ու պա րա գի ծը, ո րի կող մը հա-վասար է

ա) 25

սմ, բ) 45

դմ, գ) 310

մ, դ) 1 14

դմ:

Նկար 127

967. Քա նի՞ տուփ ներկ պետք է գնել տան թի թե ղյա տա-նի քը ներ կե լու հա մար, ե թե ներ կի մեկ տու փը բա վա կա նաց նում է 10 մ2 մա կե րես ներ կե լու հա-մար: (Տա նի քի չափ սե րը նշ ված են նկար 127-ում):

968. 4 մ 50 սմ և 3 մ 60 սմ կող-մե րով ո ւղ ղան կյան ձև ունե ցող հա տա կը ան-հրա ժեշտ էր սա լա հա-տա կել 15 սմ կողմ ունե-ցող քա ռա կու սի սա լիկ նե րով: Քա նի՞ ա րկղ սա լիկ կպա հանջ վի այդ աշ խա տան քի հա մար, ե թե մեկ ա րկ ղում կա 60 սա լիկ:

969. Հաշ վեք խո րա նար դի ծա վա լը, ո րի կողը հա վա սար է.

ա) 12 մ, բ) 1

4 մ, գ) 1 1

3 սմ, դ) 2 1

5 դմ:

970. Հաշ վեք ո ւղ ղան կյու նա նիս տի ծա վա լը, ո րի կո ղերն են.

ա) 12 մ, 1

3 մ, 1

4մ, բ) 2

5 դմ, 3

4 դմ, 5

7 դմ:

գ) 50 մմ, 2 սմ, 3100

մ, դ) 310

դմ, 23100

մ, 2 դմ:

971. Հաշ վեք խո րա նար դի ծա վա լը և յու րա քան չյուր նիս տի մա կե րե սը, ե թե նրա կո ղը.

ա) 23 սմ է, բ) 4

5 մ է:

972. Հաշ վեք ո ւղ ղան կյու նա նիս տի ծա վա լը և բո լոր նիս տե րի մա կե րես-նե րը, ե թե նրա կո ղերն են.

ա) 1 13 դմ, 1

4 դմ, 1

2 դմ, բ) 1

5 դմ, 1 1

4 դմ, 1

3 դմ:

ANTARES

4.20. ՊԱՏ ՄԱ ԿԱՆ ԱԿ ՆԱՐԿ 197

973. Հաշ վեք դա սա սե նյա կի ծա վա լը՝ ար տա հայտ ված լիտ րե րով, ե թե նրա լայ նու թյու նը 6 մ է, եր կա րու թյու նը՝ 8 մ, ի սկ բարձ րու թյու նը՝

314 մ: Հաշ վեք, թե քա նի՞ լիտր օդ է հաս նում այդ դա սա սե նյա կում

սովորող 25 ա շա կերտ նե րից յու րա քան չյու րին: Ձևա կեր պեք և լու-

ծեք հա ման ման խն դիր՝ հաշ վի առ նե լով ձեր դա սա սե նյա կի չա փե-րը և ձեր դա սա րա նի ա շա կերտ նե րի քա նա կը:

974. Խանութում ակվարիումներ են վաճառում: Առաջին ակվարիումն

ունի 42 սմ, 13 մ, 2 1

2 մ չա փեր, ի սկ ե րկ րոր դը՝ 54 սմ, 1

4 մ, 2 1

5 մ: Ո՞ր

ակվարիումի տարողությունը (ծավալն) է մեծ:

975. Սե նյա կի հա տա կի մա կե րե սը 16 մ2 է, բարձ րու թյու նը՝ 2 14 մ: Գտեք

սե նյա կի ծա վա լը:

976. Կա ռու ցեք 25 դմ, 1

4 դմ, 1

2 դմ կողերով ուղղանկյունանիստի փռված-

քը: Այնուհետև, թողնելով սոսնձելու համար անհրաժեշտ լրա ցուցիչ

շերտեր, կտրեք այն: Սոսնձեք և ստացեք ուղղանկյունանիստը:

977. Կա ռու ցեք 125

մ կող ունեցող խորանարդի փռվածքը: Այնուհետև,

թողնելով սոսնձելու համար անհրաժեշտ լրացուցիչ շերտեր,

կտրեք այն: Սոսնձեք և ստացեք խորանարդը: Գտեք նրա ծավալը

և յուրա քանչ յուր նիստի մակերեսը:

978. 1 մ2 մա կե րես ունե ցող քա ռա կու սին կտր տե լով տրո հե ցին.

ա) 14 մ2, բ) 1

9 մ2, գ) 1

16 մ2, դ) 1

25 մ2

մա կե րե սով հա վա սար քա ռա կու սի նե րի: Քա նի՞ այդ պի սի քա ռա-կու սի ստաց վեց:

4.20. Պատ Մա կան ակ նարկ

Վաղ ժա մա նակ նե րից մեզ են հա սել տար բեր ժո ղո վուրդ նե րի գրագրու թյան շատ նմուշ ներ: Օ րի նակ` Հին Բա բե լո նում (մոտ 4000 տա-րի ա ռաջ) գրա ռում նե րը անում է ին փայ տիկ նե րով` փո րա գրե լով կավե խո նավ սա լիկ նե րի վրա, այ նու հետև թր ծում է ին և պահում հա տուկ շի-նու թյուն նե րում: Պահ պան ված սե պա գիր կա վե սա լիկ նե րի վրա կան նաև մա թե մա տի կա կան տեքս տեր:

Բա բե լո նա ցի ներն օգ տա գոր ծում է ին բնա կան թվե րի գրառ ման վաթ-սու նա կան հա մա կար գը: Ի սկ ա վե լի ո ւշ ժա մա նակ նե րի սե պա գրե րի մեջ հան դի պում են նաև սո վո րա կան կո տո րակ ներ և խա ռը թվեր: Օ րի նակ`

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ198

մ.թ.ա. 666 թվին` 12 -ը և 42 1

2 -ը բա բե լո նյան սե պա գրե րում գր վում է ին

այս պես.

Հին Ե գիպ տո սում գործ նա կան հաշ վարկ նե րում օգ տա գոր ծում է ին 1

հա մա րի չով կո տո րակ ներ` 12, 1

4, 112

և այլն: Դրանց հա մար կային հա տուկ նշա նա կում ներ: 1 -ից տար բեր հա մա րի չով կո տո րակ նե րը բա վա կա նին

ո ւշ են հայտն վել: Դրա հա մար, օ րի նակ, 58 կո տո րա կը ներ կա յաց րել են

որ պես 12 և 1

8 կո տո րակ նե րի գու մար:

Հնդ կաս տա նում կո տո րակ նե րը գրա ռում է ին գրե թե այն պես, ի նչ պես մենք այժմ, բայց կո տո րա կի գիծ չէ ին քա շում: Կո տո րակ ներն ի րա րից ա ռանձ նաց նում է ին ո ւղ ղա հա յաց և հո րի զո նա կան գծե րով:

Օ րի նակ` կո տո րա կը գրում է ին այս պես. 12

: Այդ ժա մա նակ գու մար-

ման նշան գո յու թյուն չու ներ, և օ րի նակ` 12

 + 23

 + 45 գու մա րը գրա ռում է ին

12

23

45 ձևով: Բա ցի սո վո րա կան կո տո րակ նե րից` հն դիկ նե րն օգ տա գոր-

ծում է ին նաև խա ռը թվե րը: Օ րի նակ` 325 խա ռը թի վը գրում է ին այս պես.

325

: Եր բեմն բնա կան թի վը գրում է ին 1 հայ տա րա րով կո տո րա կի ձևով:

Նույն 325 խա ռը թի վը գրում է ին նաև այս պես. 3 2

1 5 , ո րը հա մա պա տաս-

խա նում էր 31

 + 25 կամ 3 + 2

5 գու մա րին:

4.21. հե տաՔրՔ րա Շարժ Խն Դիր ներ 979. Ա նա նիա Շի րա կա ցու խն դիր նե րից (Հա յաս տան, մ.թ. VII դար): Ա թենք

քա ղա քում մի ջրամ բար կար, ո րին միաց ված է ր ե րեք խո ղո վակ: Խո ղո վակ նե րից ա ռա ջի նը կա րող էր ջրամ բա րը լց նել 1 ժա մում, ե րկ րոր դը, որ ա վե լի բա րակ էր` 2 ժա մում, ի սկ եր րոր դը` ա ռա-վել բա րակ` 3 ժա մում: Արդ, իմացիր երեք խողովակները միասին 1 ժամի որերո՞րդ մասում կլցնեն ջրամբարը:

980. Ե գիպ տա կան պա պի րուս նե րից:

ա) Մի քա նա կու թյուն և նրա 14 մա սը միա սին 15 է: Գտեք քա նա կու-

թյու նը:

բ) Թվի և իր կե սի գումարը 9 է: Գտեք այդ թի վը:

981. Կա րե լի՞ է ա րդյոք 1 թի վը գրել 1a, 1b, 1

c և 1

d կո տո րակ նե րի գու մա րի

տես քով, որ տեղ a, b, c և d թվե րը լի նեն կենտ թվեր:

ANTARES

4.21. ՀԵ ՏԱՔՐՔ ՐԱ ՇԱՐԺ ԽՆ ԴԻՐ ՆԵՐ 199

982. Կա տակ խն դիր: Սե նյա կի վե րին ան կյու նից պատն ի վար ի ջավ եր-կու ճանճ: Իջ նե լով մինչև հա տա կը` նրանք շրջ վե ցին և բարձ րա ցան պատն ի վեր: Ա ռա ջին ճանճն ի ջավ և բարձ րա ցավ նույն ա րա գու-թյամբ: Ե րկ րորդ ճան ճը թե կուզ և ի ջավ ա ռա ջի նից եր կու ան գամ ա րագ, դրա փո խա րեն բարձ րա ցավ նրա նից եր կու ան գամ դան-դաղ: Ո ՞ր ճանճն ա վե լի շուտ հա սավ սկզբ նա կան ան կյու նը:

983. ա) Սե ղա նին դր ված էր մի քա նի գիրք: Ե րբ վերց րին բո լոր գր քե-րի կեսն ու ևս մի գիրք, ա պա մնաց եր կու գիրք (ն կար 128): Քա նի՞ գիրք էր սե ղա նին դր ված սկզ բում:

կար

դստերը մնաց

վերցրել էին

մնաց

Նկար 128

բ) Մայրիկը երեխաներին կոնֆետ տվեց. դստերը` բոլոր կոնֆետների կեսն ու ևս մեկ կոնֆետ (նկար 129), տղային` մնացածի կեսը և վերջին 5 կոնֆետը: Ընդամենը քանի՞ կոնֆետ տվեց մայրիկը երեխաներին:

կար

դստերը մնաց

վերցրել էին

մնաց

Նկար 129

984. Նելլիին հյուր էր եկել 5 ընկերուհի: Նա նրանցից առաջինին տվեց

տորթի 16

-ը, երկրորդին` մնացածի 15 -ը, երրորդին` նախորդներին

տալուց հետո մնացածի 14

-ը, չորրորդին` նախորդներին տալուց

հետո մնացածի 13

-ը, իսկ վերջին կտորը հավասար բաժանեց իր և

հինգերորդ ընկերուհու միջև: Ո՞ւմ հասավ ամենամեծ կտորը:

985. ա) Մեր դա սա րա նում կան եր գող ներ և պա րող ներ: Բո լոր եր գող-

նե րի 15 -ը նաև պա րում են, ի սկ բո լոր պա րող նե րի 1

4 -ը նաև եր գում

են: Մեր դա սա րա նում եր գող նե՞րն են շատ, թե՞ պա րող նե րը:

ANTARES

ԳԼՈՒԽ 4 ՍՈՎՈՐԱԿԱՆ ԿՈՏՈՐԱԿՆԵՐ200

բ) Ար տա սահ ման ցի հյու րե րի` ան գլե րեն խո սող նե րի 16

-ը գեր մա-

նե րեն էլ է խո սում, ի սկ գեր մա նե րեն խո սող նե րի 15 -ը խո սում է

նաև ան գլե րեն: Գեր մա նե րե՞ն խո սող ներն են շատ, թե՞ ան գլե րեն:

986. Մարդատար մե քե նան եր կու քա ղաք նե րի միջև ե ղած հե ռա վո րու-

թյու նը կա րող է ան ցնել 3 13 ժա մում, ի սկ բեռ նա տա րը` 5 ժա մում:

Քա նի՞ ժամ հե տո նրանք կհան դի պեն, ե թե միա ժա մա նակ ի րար ընդառաջ շարժ վեն այդ քա ղաք նե րից:

987. ա) Վար դա նիկն ա սաց, որ ի րենց դա սա րա նում 35 ա շա կերտ կա,

և ի բր բո լոր ա շա կերտ նե րի 23

-ը աղ ջիկ ներն են: Հայրն ա սաց, որ

այդ պի սի բան հնա րա վոր չէ: Ին չու՞:

բ) Հայտ նի է, որ դա սա րա նի 815

-ը սո վո րում է «8»-ով և «9»-ով: Քա-

նի՞ ա շա կերտ կա րող է լի նել դա սա րա նում:

գ) Հայտ նի է, որ դա սա րա նի 18

-ը գե րա զան ցիկ ներ են, ի սկ 35 -ը` աղ-

ջիկ ներ: Քա նի՞ ա շա կերտ կա րող է լի նել դա սա րա նում:

դ) Հայտ նի է, որ դա սա րա նի 35 -ը աղ ջիկ ներ են, ի սկ աղ ջիկ նե րի

17

-ը` գե րա զան ցիկ ներ: Ա մե նա քի չը քա նի՞ ա շա կերտ կա րող է լի նել

այդ դա սա րա նում:

988. Դա սա րա նում կար գա պահ աղ ջիկ ներն այն քան են, ի նչ քան ոչ կար-գա պահ տղա նե րը: Այդ դա սա րա նում տղա նե՞րն են շատ, թե՞ կար-գա պահ ա շա կերտ նե րը:

989. Երկու գյուղից, որոնց հեռավորությունը 18 կմ էր, միաժամանակ միմյանց ընդառաջ շարժվեց երկու որսորդ: Առաջինը գնում էր 5 կմ/ժ, իսկ երկրորդը̀ 4 կմ/ժ արագությամբ: Առաջին որսորդի շունը, որը վազում էր 8 կմ/ժ արագությամբ, անմիջապես վազեց դեպի երկրորդ որսորդը։ Հասնելով երկրորդ որսորդին՝ շունն անմիջապես շրջվեց և նույն արագությամբ վազեց դեպի իր տերը։ Այդպես նա վազեց մի որսորդից մյուս որսորդն այնքան ժամանակ, քանի դեռ որսորդները չէին հանդիպել: Քանի՞ կիլոմետր վազեց շունը:

990. Հայր և որ դի միա ժա մա նակ մեկ նար կե ցին 25 մ եր կա րու թյուն ունե ցող լո ղա վա զա նի նույն ծայ րից: Հայ րը ա ռա ջի նը հա սավ լո-ղա վա զա նի մյուս ծայ րը, հետ շրջ վեց և լո ղաց տղային ըն դա ռաջ: Մեկ նար կից քա նի՞ րո պե հե տո նրանք կհան դի պեն, ե թե հոր ա րա-գու թյու նը 14 մ/ րո պե է, որ դու նը` 12:

991. Շինարարներն առաջին օրը վերանորոգեցին վնասված ճա նա պար-

հի 17

-ը, երկրորդ օրը` մնացածի 18

-ը, իսկ երրորդ օրը` չվերա նո-

րոգվածի 19

-ը: Վնասված ճանապարհի ո՞ր մասը մնաց չվերա նո-

րոգ ված:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 201

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ

Կա տա րեք գոր ծո ղու թյուն նե րը (992­1000):992. ա) 325 + 723, բ) 729 + 628,

գ) 615 + 876, դ) 359 + 987:

993. ա) 354 − 221, բ) 284 − 139,

գ) 923 − 281, դ) 725 − 189:

994. ա) 39 · 48, բ) 75 · 324,

գ) 74 · 506, դ) 708 · 807:

995. ա) 294 ։ 7, բ) 276 ։ 23,

գ) 2842 ։ 49, դ) 11328 ։ 16:

996. ա) 450 · 240 − 1200 · 45 − 4500 · 12 + 5,

բ) (4750 ։ 19 − 19 · 13) · 84 − 242,

գ) (723600 ։ 90 − 40 · 201) · (1234 · 4321 − 1999) + 5,

դ) 1998 · 1999 − 1998 · 1998 − 1993:

997. ա) 9357 − 7288 + 3579 + 7290 − 3578,բ) 5544 ։ 88 − 5481 ։ 87 + 5454 ։ (100 − 46):

998. ա) 354 · 49 ։ 1239 + 357 · 48 ։ 56,բ) 56 · 749 ։ 49 − 836 ։ 44 · 45:

999. ա) 938 + 356 − 356 − 938, բ) 328 · 72 − 72 · 328,գ) 728 · 357 ։ 357 + 2, դ) 432 · 724 ։ 432 ։ 724:

1000. ա) 35 · 17 − 35 · 16 + 65 · 99 − 65 · 98,բ) 79 · 23 + 21 · 23 − (23 · 123 − 23 · 23):

Ե.Ս. Բե րե զանս կա յայի « Сборник задач и упражнений» գր քից:

Կա տա րեք գոր ծո ղու թյուն նե րը (1001, 1002).1001. ա) ((16000 : 32 − 1640 : 82) ։ 15 · 7000 − 192000) : 40,

բ) ((97264 : 8 + 1284200 : 100) : 1000 · 7 + 947) · 100,գ) ((24 · 250 + 18 · 350) : 60 · 400 + (44 · 4500 + 108 · 1500) : 20) : 400,դ) (64 · 125 + 128 · 75) : 800 · 5000 − (300 · 400 + 5107 · 800) : 70, ե) (24347420 : 8105 + 572580 : 180) · 504 + 18999380 : 9223,զ) (31440 + 1040 : (150 − 2400 : (67 + 53)) · 20) : 395 + 1001, է) 960 : (2000 : (10002 − (6085 + 2926) − 966)),

ը) (367710 : 35 − 2335242 : 329) · 375((16531 · 343 + 763 · 1099):718 − 65) · 71

,

թ) ((41 811:1267 + 506 · (3000 − 2877)):153(1  293 516:1827 − 608 597) · 11

:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 202

1002. ա) 48 · 35 + 2045 · 37 + 35

 −  731 : 17 + 2109 : 373942 : 54 + 1755 : 65

,

բ) 53 · 35 − 221646 : 17

 − 46 · 64 − 1306702 : 18

 + 16807 : 7343 · 7

:

1003. 325, 729, 256, 428, 720, 1233 թվե րից ը նտ րեք նրանք, ո րոնք հետևյալ թվի բազ մա պա տիկ են.

ա) 2, բ) 3, գ) 5, դ) 9, ե) 10:

1004. Բա ժան վու՞մ է ա րդյոք գու մա րը տր ված թվին.

ա) 3295 + 4890, 5, բ) 324 + 891, 9,

գ) 3630 + 336 · 49, 3, դ) 17 · 254 + 19 · 132, 2:

1005. Բա ժան վու՞մ է ա րդյոք տար բե րու թյու նը տր ված թվին. ա) 3210 − 1230, 3, բ) 7470 − 333, 9, գ) 14 900 · 17 − 2586, 2, դ) 4258 · 125 − 350 · 729, 10:

1006. Ա պա ցու ցեք, որ ար տա հայ տու թյու նը բա ժան վում է տր ված թվին. ա) 45 · 38 + 45 · 11, 49, բ) 48 · 56 − 48 · 39, 17, գ) 725 · 47 − 47 · 701, 12, դ) 289 · 376 − 289 · 327, 7, ե) 17 · 386 − 17 · 254 + 17 · 138, 10:

1007. Կր ճա տեք կո տո րա կը.

ա) 4896

, բ) 160240

, գ) 64128

, դ) 75225

, ե) 80100

, զ) 384640

,

է) 385440

, ը) 204225

, թ) 182208

, ժ) 304380

, ի) 7501875

, լ) 26883456

:

1008. Գ տեք կո տո րա կի ամ բողջ մա սը.

ա) 153

, բ) 755

, գ) 8916

, դ) 9813

, ե) 12411

, զ) 12315

,

է) 40445

, ը) 45945

, թ) 45954

, ժ) 36322

, ի) 12519

, լ) 85641

:

1009. Խա ռը թի վը դարձ րեք սո վո րա կան կո տո րակ.

ա) 538, բ) 92

3, գ) 43

5, դ) 7 7

10,

ե) 545, զ) 13 19

20, է) 8 9

10, ը) 7 1

100,

թ) 161217

, ժ) 1756, ի) 19 99

100, լ) 7 357

1000:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 203

1010. Հա մե մա տեք կո տո րակ նե րը.

ա)

123

, և 123

, բ)

234

և 432

, գ)

123

և 432

:

Կա տա րեք գոր ծո ղու թյուն նե րը (1011­1014):

1011. ա) 29

 + 37, բ) 7

8 + 3

4, գ) 5

24 + 25

36,

դ) 5960

 + 3940

, ե) 3 18

 + 2 17, զ) 5 1

6 + 13

2:

1012. ա) 35

 −  17

, բ) 53

 − 49, գ) 24

25 − 7

15,

դ) 1180

 −  1190

, ե) 5 − 2 113

, զ) 8 17

 − 3 19:

1013. ա) 25 · 3

7 , բ) 3

5 · 227

, գ) 1516

· 89 ,

դ) 5 · 211

, ե) 35 · 12

3, զ) 3 1

2 · 13

7:

1014. ա) 45 : 37, բ) 45

46 : 1523

, գ) 8 : 57,

դ) 311

: 9, ե) 8 13 : 59, զ) 3 1

2 : 2 1

3:

Վ.Ա. Եվ տուշևս կի ի («Сборник задач и численных примеров») գրքից:

Կա տա րեք գոր ծո ղու թյուն նե րը (1015­1032):

1015. 340567

 + 2942

 + 4354

 + 7481

 − �5360

 − 3784� − � 3

14 + 12

35�:

1016. �56

 − 38� : 3

4 − �3

8 +  7

20� : 1 9

20:

1017. 134 · 24

7 : 4 1

2 + 22

5 :

910

· 38:

1018. 720

· 9 + 12 · 736

 + 1 815

: 4 + 35 : 4 1

2:

1019. 182153

· 1734

· 4225 · 472

9 − 125

161 · 8216

617 · 15 17

40 · 2231

36:

1020. �42363

· 83755

 − 16 15 : 2125� · 148

11 : 2677

· 1405

:

1021. �3481

· 851317

 − 478 · 80

117� · �29 11

35 · 52 1

2 − 121 5

19 · 3 9

16�:

1022. ա) 34 · 5

7 · 8

9 · 710

: �1516

· 1439

· 2425

· 1321� : �2 1

8 · 22

7 · 215

17 · 42

3 : 196�,

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 204

բ) �353360

 − 113160

� · � 211225

 − 101135

� − 26 13 ։ 75 · �1 1

3 : 9�,

գ) �27 : 37

 + �4 12

 − 356� · 3 1

3� : �6 1

2 : 9�,

դ) �7 : 56

 − 8 19� · 221

53 : ��3

8 + 5

6 + 5

12� · 8

25�:

1023. ��3257

 + 2738� · 19

29 + �25

26 + 48

65� · 10

51 + �74

75 + 49

50� · 15

59� · 3

5:

1024. ��12 12

 − 2� : � 15

 −  140� − �2 + 62

3� : �15

6 − 12

3�� · 3

8:

1025. � 317

 +  534

 + 12� · �1 −  11

28� : �9 : 6

11 − 148 1

4 : 9�:

1026. �16 : 1 13

 − 459

 + 234 : 11 + 3 1

4� : ��7 1

3 − 65

9� · 5

28�:

1027. �8 14

 − 38� : 3 1

2 : ��5 − 42

5� · 10� + �3 1

8 − 17

8� · 13

5 : �2 − 13

8� ։ 3 1

8�:

1028. ա)

34

 − 712

35

 −  310

 + 

910

 − 78

78

 − 56

 + 2 + 22

534 + 3

7

, բ) 92 · 93 · 94 − 91 · 92 · 9393 · 94 · 95 − 92 · 93 · 94

:

1029. �533

4 + 9 1

6� · 1 1

5

�10 310

 − 8 12� · 5

9

 − �64

5 − 33

7� · 55

6

323

 − 3 16

 − 2956:

1030. �28 ։ 13

4 + 22 + 12

3 · 93

11 + 4 ։ 1 1

2� · 3 1

7

67 17

 − 47 · 27

:

1031. ��62

3 + 2 4

15 + 5 1

2� ։ 1

15 − 30 ։ 5

28� ։ 23

4

�5 · 45

 − 35 · 522� ։ 42 1

2

:

1032. �2336

 + 3163

 − �34

 + 521�� · �48 ։ �3

5 ։ 78 ��

�1926

 + 1439

 − 16� · �54 1

6

։ �8 4

7

։ 1235��

:

1033. Ե.Ս. Բե րե զանս կա յայի «Сборник задач и упражнений» գր քից:

ա) �3 12 : 42

3 + 42

3 : 3 1

2� · 44

5,

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 205

բ) 3 18 : ��4 5

12 − 3 13

24� · 4

7 + �3 1

18 − 2 7

12� · 110

17�,

գ) 234 : ��45

7 − 111

14� · 42

3 + �32

9 − 15

6� · 18

25�,

դ) �15 : 334

 − �10 12 : 1 1

2� · 3

14� : �123

52 − 1 1

4�,

ե) � 715

 + 1445

 + 29� · 10 1

3 − 1 1

11 · �22

3 − 13

4 �

�37

 − 14� : 328

 − 1,

զ) �15 : 5

18 : 33

8� · � 1

16 + 11

36 +  5

48 + 5

18 �

�11511

 − 8 2122� ։ 123

:

1034. ա) Էքսկուրսիային մասնակցում էր 56 աշակերտ: Ընդ որում, աղջիկները 3 անգամ շատ էին տղաներից: Քանի՞ աղջիկ էր մասնակցում էքսկուրսիային:

բ) Պա պի կը 7 ան գամ մեծ է թոռ նի կից, ո րը 48 տա րով փոքր է պա-պի կից: Քա նի՞ տա րե կան է պա պի կը:

գ) Մի տնտեսությունում կարտոֆիլի ցանքին 5 անգամ ավելի մակերես է հատկացված, քան գազարին: Ընդամենը այդ երկու տեսակին հատկացված է 27 հա: Քանի՞ հա կարտոֆիլ են ցանել:

1035. ա) Հավաքածուում կա 357 փոստանիշ: Ընդ որում, տեղական փոստանիշերը 45 -ով ավելի են արտասահմանյանից: Քանի՞ տեղական փոստանիշ կա հավաքածուում:

բ) Ար մանն ուներ 4200 դրամ: Նա ծախ սեց 1500 դրամ ա վե լի, քան մնաց իր մոտ: Քա նի՞ դրամ էր մնա ցել Ար մա նի մոտ:

գ) Ավ տո բու սում 55 ո ւղևոր կար: Կան գա ռում 7 -ով ա վե լի քիչ մարդ ի ջավ, քան մնաց ավ տո բու սում: Քա նի՞ ո ւղևոր մնաց ավ տո-բու սում:

դ) Խա նու թը 200 կգ խն ձոր ստա ցավ: Մինչև կե սօր 12 կգ -ով ա վե լի խն ձոր վա ճառ վեց, քան մնաց խա նու թում: Որ քա՞ն խն ձոր էր վա-ճառ վել մինչև կե սօր:

1036. Ս.Ա. Ռա չինս կի ի խն դիր նե րից: ա) Ես մի ա շա կեր տի 3 ըն կույզ տվե-ցի, ի սկ մյուս նե րին` 5-ական: Ե թե ես յու րա քան չյու րին 4 ըն կույզ տայի, ա պա 15 ըն կույզ կա վե լա նար: Ըն դա մե նը քա նի՞ ըն կույզ կար:

բ) Մեր դպ րո ցում աղ ջիկ նե րի ու տղա նե րի քա նակ նե րը հա վա սար են: Ես 234 ըն կույզ բե րե ցի և ա մեն տղայի 5 ըն կույզ հա սավ, ի սկ ա մեն ա ղջ կա` 4: Մյուս ան գամ ես բե րե ցի այն քան ըն կույզ, որ բո լոր ա շա կերտ նե րին հա սավ 6-ական ըն կույզ: Քա նի՞ ըն կույզ բե րե ցի ե րկ րորդ ան գամ:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 206

1037. Լ.Ն.Տոլս տոյի «Азбука» գր քից: Հայրն իր 5 որ դի նե րին ժա ռան գու-թյուն թո ղեց ըն դա մե նը 3 հա վա սա րաար ժեք տուն: Տնե րը վերց-րին ե րեք մեծ եղ բայր նե րը, ի սկ փոք րե րին հա տու ցե ցին փո ղով: Մե ծե րից յու րա քան չյու րը փոք րե րին վճա րեց 800 ռուբ լի: Փոք րերն այդ գու մա րը բա ժա նե ցին ի րար մեջ, և հա մար վեց, որ ժա ռան գու-թյու նը հա վա սար է բա ժան վել: Քա նի՞ ռուբ լի էր գնա հատ վել յու-րա քան չյուր տու նը:

1038. Տա կա ռում 40 դույլ ջուր կար: Ե րբ տա կա ռից դա տար կե ցին մի քա-նի դույլ ջուր, նրա նում մնաց 7 ան գամ շատ ջուր, քան դա տար կել է ին: Քա նի՞ դույլ է ին դա տար կել:

1039. Հին խն դիր (Հնդ կաս տան, մ.թ. III-IV դա րեր): 4 նվի րա տու նե րից ե րկ-րորդն ա ռա ջի նից 2 ան գամ շատ նվի րա բե րեց, եր րոր դը` ե րկ րոր-դից 3 ան գամ շատ, չոր րոր դը` եր րոր դից 4 ան գամ շատ: Բո լո րով միա սին նվի րա բե րե ցին 132 պայ մա նա կան միա վոր: Որ քա՞ն նվի-րա բե րեց ա ռա ջի նը:

1040. ա) Մայրը երեխաներին չորսական կոնֆետ բաժանեց, և երեք կոնֆետ ավելացավ: Հնգական կոնֆետ տալու համար երկու կոնֆետ պակասում էր: Քանի՞ երեխա կար:

բ) Ծաղկամաններում դրեցին հնգական վարդ, և երկու վարդ ավելացավ: Վեցական վարդ դնելու համար երկու վարդ պակասում էր: Քանի՞ ծաղկաման կար:

1041. ա) Ա շա կերտ նե րին եր կո ւա կան տետր տա լու դեպ քում 19 տետր կա-վե լա նա, ի սկ ե րե քա կան տետր տա լու դեպ քում 6 տետր կպա կա սի: Քա նի՞ ա շա կերտ է ին: Քա նի՞ տետր կար:

բ) Դպ րո ցը նիս տե րի դահ լի ճի հա մար ա թոռ ներ ստա ցավ: Ե թե յու րա քան չյուր շար քում տե ղադ րեն 25 ա թոռ, ա պա 4 ա թոռ կպա-կա սի: Ե թե յու րա քան չյուր շար քում տե ղադ րեն 24 ա թոռ, ա պա 12 ա թոռ կա վե լա նա: Քա նի՞ ա թոռ էր ստա ցել դպ րո ցը:

1042. Ի. Նյու տո նի «Всеобщая арифметика» գր քից: Ո մն մե ծա հարուստ ցան կա նում է աղ քատ նե րին փող բա ժա նել: Ե թե նա 8 դի նար ա վե-լի ունե նար, ա պա յու րա քան չյու րին կա րող էր տալ 3 դի նար: Բայց նա յու րա քան չյու րին 2 դի նար տվեց, և նրա մոտ 3 դի նար ա վե լա-ցավ: Քա նի՞ աղ քատ կար:

1043. ա) Մանկապարտեզի համար գնեցին ընդհանուր քանակով 20 կոն. մեծ կոներ` 7-ական և փոքր կոներ` 5-ական օղակով (նկար 130): Բոլոր կոները միասին ունեն 128 օղակ: Քանի՞ մեծ կոն էին գնել:

ëÙ

ëÙՆկար 130

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 207

բ) Ման կա պար տե զում ե ռա նիվ և եր կա նիվ 20 հե ծա նիվ կար: Դրանց ա նիվ նե րի ը նդ հա նուր քա նա կը 55 էր: Քա նի՞ եր կա նիվ հե-ծա նիվ կար ման կա պար տե զում:

1044. Ար մա նը հաշ վեց, որ ե թե ի րենց դա սա րա նի ա մեն աղ ջիկ 3, ի սկ ա մեն տղա 5 ծառ տն կի, ա պա բո լո րով 122 ծառ տն կած կլի նեն: Քա նի՞ տղա կա դա սա րա նում, ե թե ըն դա մե նը 30 ա շա կերտ կա:

1045. Հին չի նա կան խն դիր: Վան դա կում կան փա սիան ներ և ճա գար ներ: Նրանք միա սին ունեն 35 գլուխ և 94 ո տք: Քա նի՞ փա սիան ու քա նի՞ ճա գար կա վան դա կում:(Գի տե՞ք, որ փա սիա նը թռ չուն է, ի սկ ճա գա րը̀ չոր քո տա նի կեն դա նի):

1046. Հին խն դիր: Գյու ղա ցին ուզում էր ձի գնել և դրա հա մար ո րո շեց ա շո րա (տա րե կան) վա ճա ռել: Ե թե նա 15 ցենտ ներ ա շո րա վա ճա-ռեր, ա պա ձի գնե լու հա մար կպա կա սեր 8000 դրամ, ի սկ 20 ցենտ-ներ վա ճա ռե լու դեպ քում կա վե լա նար 11000 դրամ: Ի ՞նչ ար ժեր ձին: (Խն դի րը վե րաձևա կեր պած է ծա նոթ միա վոր նե րով):

1047. ա) Հին խն դիր: 1000 ռուբ լով ես գնե ցի 44 կով` մի տե սա կը 18-ական ռուբ լի, մյուս տե սա կը 26-ական ռուբ լի ար ժո ղու թյուն նե րով: Ա մեն տե սա կից քա նի՞ կով գնե ցի:

բ) Ա.Պ. Չե խո վի «Կրկնուսույցը» պատմ ված քից: Գնոր դը 540 ռուբ լով գնեց 138 ար շին մա հուդ̀ մի մա սը սև, մի մա սը կա պույտ: Կա պույտ մա հու դի 1 ար շինն ար ժեր 5, ի սկ սևի նը` 3 ռուբ լի: Քա նի՞ ար շին սև և քա նի՞ ար շին կա պույտ մա հուդ գնեց գնոր դը:

1048. Ա.Պ. Կի սելյո վի «Թ վա բա նու թյուն» գր քից: ա) Խառ նել են 3 տե սակ ա լյուր. 15 ֆունտ` ֆուն տը 8 կո պեկ, 20 ֆունտ` ֆուն տը 7 կո պեկ և 25 ֆունտ` ֆուն տը 4 կո պեկ ար ժո ղու թյուն նե րով: Ի ՞նչ կար ժե նա խառ նուր դի մեկ ֆուն տը:

բ) Թեյի 2 տե սակից ստա ցել են 32 ֆունտ խառ նուրդ: Ա ռա ջին տե-սա կի 1 ֆունտն ար ժե 3 ռուբ լի, ի սկ ե րկ րոր դի նը` 2 ռուբ լի 40 կո-պեկ: Քա նի՞ ֆունտ է վերց րած ա մեն տե սա կից, ե թե խառ նուր դի 1 ֆունտն ար ժե 2 ռուբ լի 85 կո պեկ:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 208

1049. Գործարարը բանկից 400  000 դրամ վարկ վերցրեց և այդ գումարով

գնեց 1 տ խնձոր հետագայում վաճառելու համար։ Խնձորի 1

20 մասը

փչացավ, իսկ մնացած խնձորը նա վաճառեց 1 կիլոգրամը 450

դրամով։ Շահե՞ց արդյոք վաճառականը, եթե նա բանկին պետք է

վերադարձներ վերցրած գումարից նրա 110

-ով ավելի գումար:

1050. ա) Եր կու դա րա կում կար ընդամենը 12 գիրք։ Ե րբ ա ռա ջին դա րա-կից ե րկ րորդ դա րակ տե ղա փո խե ցին այն քան գիրք, որ քան կար ե րկ րոր դում, ա պա եր կու դա րակ նե րում գր քե րի քա նակ նե րը հա-վա սար վե ցին: Սկզ բում քա նի՞ գիրք կար յու րա քան չյուր դա րա կում:

բ) Հե ղի նեն ու Կա րոն միա սին ունե ին 8 խն ձոր: Հե ղի նեն Կա րոյին տվեց այն քան խն ձոր, որ քան ուներ Կա րոն: Ա պա Կա րոն Հե ղի նե ին տվեց այն քան խն ձոր, որ քան այդ պա հին կար Հե ղի նե ի մոտ: Դրա-նից հե տո նրանց ունե ցած խն ձոր նե րի քա նակ նե րը հա վա սար վե-ցին: Սկզ բում քա նի՞ խն ձոր կար ա մեն մե կի մոտ:

գ) Ե րեք տղա սունկ է ին հա վա քել: I -ը II -ին տվեց այն քան սունկ, որ քան II -ն ուներ, ի սկ III -ին այն քան, որ քան III -ն ուներ: Ա պա II -ը I -ին տվեց այն քան սունկ, որ քան I -ն այդ պա հին ուներ, ի սկ III -ին այն քան, որ քան III -ն այդ պա հին ուներ: Իր հեր թին III -ն I -ին տվեց այն քան սունկ, որ քան այդ պա հին I -ն ուներ, ի սկ II -ին այն քան, որ-քան II -ն այդ պա հին ուներ: Դրա նից հե տո տղա նե րից ա մեն մե կի մոտ կար 8 սունկ: Քա նի՞ սունկ ուներ տղա նե րից յու րա քան չյուրն սկզբում:

1051. ա) Ներկն ու երկու վրձինը միասին արժեն 3219 դրամ, իսկ ներկն ու մեկ վրձինը՝ 2172 դրամ: Ի՞նչ արժե ներկը: Ի՞նչ արժե մեկ վրձինը:

բ) Եր կու տետրն ու մեկ գրի չը միա սին ար ժեն 666 դրամ, ի սկ մեկ տետրն ու եր կու գրի չը միա սին` 993 դրամ: Ի ՞նչ ար ժե տետ րը: Ի ՞նչ ար ժե գրի չը:

գ) Ե րեք քա նոնն ու մեկ ան կյու նա չա փը միա սին ար ժեն 448 դրամ, ի սկ մեկ քա նոնն ու ե րեք ան կյու նա չա փը միա սին` 896 դրամ: Ի ՞նչ ար ժե քա նո նը: Ի ՞նչ ար ժե ան կյու նա չա փը:

1052. 3 բա դիկն ու 4 սա գի կը միա սին կշ ռում են 2 կգ 500 գ, ի սկ 4 բա-դիկն ու 3 սա գի կը` 2 կգ 400 գ: Որ քա՞ն է կշ ռում սա գի կը:

1053. ա) Երկու բրիգադ միասին 12 հա մակերեսով դաշտի բերքը հավաքեցին 4 օրում: Միայն առաջին բրիգադն այդ գործը կարող էր անել 6 օրում: Նույն աշխատանքը քանի՞ օրում կարող է անել երկրորդ բրիգադը: Խնդրի ո՞ր պայմանն է ավելորդ:

բ) Ձեռագիրն ունի 42 էջ: Մի մեքենագրուհին այդ ձեռագիրը կարող է մեքենագրել 3, իսկ մյուսը` 6 ժամում: Քանի՞ ժամում կարող են մեքենագրել այդ ձեռագիրը 2 մեքենագրուհիները` աշխատելով համատեղ: Խնդրի ո՞ր պայմանն է ավելորդ:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 209

գ) 600 լիտր տարողություն ունեցող բաքն առաջին ծորակով լցվում է 10, իսկ երկրորդով` 15 րոպեում: Քանի՞ րոպեում կլցվի բաքը 2 ծորակով: Խնդրի ո՞ր պայմանն է ավելորդ:

դ) Երկու քաղաքների միջև եղած 900 կմ հեռավորությունն արագընթաց գնացքն անցնում է 10 ժամում, իսկ ապրանքատարը` 15: Ինչքա՞ն ժամանակ հետո կհանդիպեն գնացքները, եթե միաժամանակ միմյանց ընդառաջ դուրս գան այդ քաղաքներից: Խնդրի ո՞ր պայմանն է ավելորդ:

1054. ա) Խա ռա տը կա րող է 72 ման րակ տա շել 3 ժա մում, ի սկ նրա ա շա-կեր տին այդ նույն գործն ա նե լու հա մար կպա հանջ վի 2 ան գամ ա վե լի շատ ժա մա նակ: Քա նի՞ ժա մում նրանք կտա շեն 144 ման րակ` աշ խա տե լով հա մա տեղ:

բ) Ա ռա ջին հաս տո ցով 480 ման րա կը կա րե լի է պատ րաս տել 4 ժա-մում, ի սկ ե րկ րորդ հաս տո ցով նույն աշ խա տանքն ա նե լու հա մար կպա հանջ վի 3 ան գամ ա վե լի ժա մա նակ: Քա նի՞ ժա մում կա րե լի է 960 ման րակ պատ րաս տել եր կու հաս տո ցի հա մա տեղ աշ խա տան-քի դեպ քում:

1055. ա) Ան նան ու Սու րի կը միա սին կշռում են 82 կգ, Ան նան ու Վար դա-նը` 83 կգ, ի սկ Սու րիկն ու Վար դա նը` 85 կգ: Ե րե քը միա սին քա նի՞ կի լոգրամ են:

բ) Հին խնդիր: 4 վաճառական որոշակի գումար ներդրեց: Հայտնի է, որ առանց առա-ջինի մասնակցության ներդրումը կլիներ 90 ռուբլի, առանց երկրորդի` 85 ռուբլի, առանց երրորդի` 80 ռուբլի, առանց չորրորդի` 75 ռուբլի: Ով ինչքա՞ն փող ներդրեց:

1056. Մարզիկը լողում էր գետի հոսանքին հա կա-ռակ: Կամրջի տակ նա կորցրեց տափաշիշը: 10 րոպե հետո լողորդը նկատեց կորուստը, շրջվեց և լողաց հո սան քի ուղղությամբ։ Նա տափաշշին հասավ երկրորդ կամրջի տակ: Գտեք հոսանքի արագությունը, եթե կամուրջների հե ռա վո րու թյունը 1 կմ է:

1057. Մեղրի տանելու համար երեք ծանոթներից առաջինը վարորդին տվեց 10000, իսկ երկրորդը՝ 8000 դրամ։ Երրորդը որ փող չուներ իր ծանոթներին տվեց 3 կգ սալորաչիր։ Ինչպե՞ս պետք է բաժանեն չիրը առաջին երկու ուղևորը։

1058. Մայր կատուն և նրա փիսիկները տաքանում էին արևի տակ: Նրանց բոլորի ոտքերը 24 -ով շատ էին, քան բոլորի պոչերը: Քանի՞ փիսիկ ուներ կատուն:

1059. Մի քանի վաճառող բանանը վաճառում էին կիլոգրամը 960 դրամով, իսկ մեկ այլ վաճառող̀ 780 դրամով: Երբ հսկիչները ստուգեցին վերջինի կշեռքը, պարզվեց, որ 800 գ կշռի դեպքում այն ցույց է տալիս ուղիղ 1 կգ: Ի՞նչ գնով էր բանանը վաճառում խաբեբա վաճառողը:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 210

1060. Երկու քաղաքից, որոնց հեռավորություն 400 կմ էր, միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեց երկու մոտոցիկլավար: Նրանցից մեկի արագությունը 10կմ/ժ-ով մեծ է մյուսի արագությունից: Գտեք նրանց արագությունները, եթե նրանք հանդիպեցին 4 ժամ հետո:

1061. ա) Նույն կետից դուրս եկավ երկու հետիոտն։ Նրանք շարժվեցին հակառակ ուղղություններով` 4 կմ/ժ և 5 կմ/ժ արագություններով: Քանի՞ ժամ հետո նրանց հեռավորությունը կլինի 45 կմ:

բ) 510 կմ հեռավորությամբ երկու քաղաքից 80 կմ/ժ և 90 կմ/ժ արագություններով միաժամանակ իրար ընդառաջ շարժվեց երկու գնացք: Քանի՞ ժամ հետո նրանք կհանդիպեն:

գ) Շարժման սկզբից քանի՞ ժամ հետո նախորդ խնդրի գնացքների հեռավորությունը առաջին անգամ կլինի 170 կմ:

դ) Երկու նավամատույցների միջև եղած 40 կմ հեռավորությունը

շարժիչավոր նավակը գետի հոսանքի ուղղությամբ անցավ 2 12, իսկ

հոսանքին հակառակ` 4 ժամում: Որքա՞ն է գետի արա գութ յունը:ե) Շարժիչավոր նավակի արագությունը հոսանքի ուղղությամբ 38 կմ/ժ է, իսկ հոսանքին հակառակ` 33 կմ/ժ: Որքա՞ն է գետի արա-գությունը:

1062. ա) Դասարանի 32 աշակերտների 34

-ը սովորում է «8» և «9» գնա-

հա տա կան նե րով: Քանի՞ աշակերտ է սովորում «8»-ով և «9»-ով:

բ) Դասարանում 18 աշակերտ սովորում են «6»-ից բարձր առա ջա-

դի մու թյամբ, նրանք դասարանի բոլոր աշակերտների 35

-ն են: Քա-նի՞ աշակերտ կա դասարանում:գ) Դասարանում 12 աղջիկ և 16 տղա կա։ Այդ դասարանի աշակերտների ո՞ր մասն է աղջիկ, որը՝ տղա։

1063. ա) Ա ռա ջին գու մա րե լին ե րկ րոր դի 23

-ն է, ի սկ նրանց գու մա րը 45 է: Գտեք գու մա րե լի նե րը:

բ) Ա ռա ջին գու մա րե լին գու մա րի 23

-ն է և 45 -ով մեծ է ե րկ րորդ

գու մա րե լուց: Գտեք գու մա րե լի նե րը:

գ) Ա ռա ջին գու մա րե լին 45 է, ի սկ ե րկ րոր դը` գու մա րի 23

-ն է: Գտեք գու մա րը:

դ) Հա նե լին նվա զե լի ի 23

-ն է, ի սկ նրանց տար բե րու թյու նը 45 է:

Գտեք նվա զե լին և հա նե լին:

1064. ա) Ա ռա ջին ծո րա կով բա քը լց վում է 4 րո պե ում, ե րկ րոր դով` 12: Քա նի՞ րո պե ում կլց վի բա քը, ե թե միա ժա մա նակ բա ցեն եր կու ծո-րա կը:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 211

բ) Եր կու քա ղաք նե րի միջև հե ռա վո րու թյու նը բեռ նա տար մե քե նան ան ցնում է 60, ի սկ մարդատարը` 40 րո պե ում: Քա նի՞ րո պե հետո կհան դի պեն այդ մե քե նա նե րը, ե թե միա ժա մա նակ ի րար ընդառաջ շարժ վեն այդ քա ղաք նե րից:

գ) Եր կու հե տի ոտն միա ժա մա նակ ի րար ընդառաջ դուրս ե կավ A և B վայ րե րից։ Նրանք հան դի պե ցին 20 րո պե հե տո: Հան դի պու մից 25 րո պե հե տո ա ռա ջի նը հա սավ B: Հան դի պու մից քա նի՞ րո պե հե տո ե րկ րորդ հե տի ոտ նը կհաս նի A:

դ) Ե թե բա քի տա կի ան ցքը չլի ներ, ա պա այն ծո րա կից կլց վեր 7 րո պե ում: Փակ ծո րա կի դեպ քում լի քը բա քը ան ցքով դա տարկ վում է 56 րո պե ում: Քա նի՞ րո պե ում կլց վի բա քը, ե թե ան ցքը չփա կեն: (Հա մար վում է, որ ջուրն ան ցքով հա վա սա րա չափ է հո սում):

1065. Դպ րո ցի գրա դա րա նի գր քե րի կե սը դա սագր քերն են: Դա սագրքե-րի վե ցե րորդ մա սը մա թե մա տի կայի դա սագր քեր են: Մա թե մա տի-կայի դա սագր քե րը բո լոր գր քե րի ո ՞ր մասն են:

1066. Դա սա րա նում կա 18 տղա և 16 աղ ջիկ: Տղա նե րի 29

-ը և աղ ջիկ նե րի 14

-ը ը նդ գրկ ված են գրա կան խմ բա կում: Քա նի՞ ա շա կերտ են ը նդ-

գրկ ված գրա կան խմ բա կում:

1067. ա) Տղան ուներ 480 դրամ: Նա ծախ սեց այդ գու մա րի 14

-ը, հետո

մնա ցոր դի 12 -ը: Քա նի՞ դրամ նա ծախ սեց:

բ) Զբո սաշր ջիկ նե րը ե րեք օ րում ան ցան 48 կմ: Ա ռա ջին օ րը նրանք

ան ցան այդ ճա նա պար հի 14

-ը, ի սկ ե րկ րորդ օ րը` մնա ցա ծի 59

-ը:

Քա նի՞ կի լո մետր ան ցան եր րորդ օ րը:

1068. Լ. Ն. Տոլս տոյի խն դիր նե րից: Ա ռա վո տյան` ժա մը 5 -ին, Տու լայից ոտ քով դե պի Մոսկ վա ո ւղևոր վեց մի գեղ ջուկ: Ժա մը 12 -ին Տու-լայից դե պի Մոսկ վա մեկ նեց կալ վա ծա տե րը: Ա մեն ժա մում գեղ-ջու կն ան ցնում էր 5 վերստ, ի սկ կալ վա ծա տե րը՝ 11 վերստ: Տու լայից քա նի՞ վերստ հե ռա վո րու թյան վրա կալ վա ծա տե րը կհաս նի գեղ-ջու կին:

1069. Ի. Նյու տո նի խն դիր նե րից: Երկու վայրից, որոնց հեռավորությունը 59 մղոն է, ամեն առավոտ իրար ընդառաջ են դուրս գալիս A և B փոստատարները։ Բայց B -ն A -ից մի ժամ ուշ է դուրս գալիս: A -ն 2 ժամում 7 մղոն է անցնում, B-ն` 3 ժամում 8 մղոն: Քանի՞ մղոն կանցնի A -ն մինչև հանդիպի B -ին:

1070. Ա ռա ջին բրի գադն ա ռա ջադ րան քը կա րող է կա տա րել 9, ի սկ ե րկ-րոր դը` 12 օ րում: Սկզ բում 3 օր ա ռա ջադ րան քի վրա աշ խա տեց ա ռա ջին բրի գա դը, ա պա մնա ցա ծը կա տա րեց ե րկ րորդ բրի գա դը: Քա նի՞ օ րում կա տար վեց ա ռա ջադ րան քը:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 212

Դի տար կենք գե տով շարժ ման խն դիր ներ, ո րոնց լուծ ման հա մար հար մար է ամ բողջ ճա նա պարհն ըն դու նել որ պես մեկ միա վոր, ի սկ նա-վի ա րա գու թյու նը կանգ նած ջրում, հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ, հո սան քին հա կա ռակ, ի նչ պես նաև գե տի հո սան քի ա րա գու թյու նը` ար տա հայ տել այդ միա վո րի մա սե րով:

Խն դիր 1: Գե տի A և B նա վա կա յան նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը լաստն ան ցնում է 12 ժա մում: Շո գե նա վը լճում նույն քան հե ռա վո րու-թյունն ան ցնում է 4 ժա մում: Շո գե նա վը քա նի՞ ժա մում կանց նի A և B նա վակա յան նե րի միջև ե ղած հե ռա վո րու թյու նը ա) գե տի հո սան քի ո ւղ-ղու թյամբ, բ) հո սան քին հա կա ռակ:

Լու ծում: A և B նա վա կա յան նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյունն ըն դու-նենք 1 միա վոր: Այդ դեպ քում լաս տը 1 ժա մում կանց նի այդ հե ռա վո-

րու թյան 1:12 =  112

մա սը, ի սկ շո գե նա վը 1 ժա մում լճով կանց նի նույն չափ

հե ռա վո րու թյան 1:4 = 14 մա սը:

ա) 1 ժա մում գե տի հո սան քով շո գե նա վը կանց նի AB հե ռա վո րու թյան 3/14 +  1

12 = 4

12 = 1

3 մա սը, նշա նա կում է` AB հե ռա վո րու թյու նը կանց նի 1 : 1

3 = 3

(ժա մում):

բ) 1 ժա մում հո սան քին հա կա ռակ շո գե նա վը կանց նի AB -ի

3/14 −  1

12 = 2

12 = 1

6 մա սը, նշա նա կում է` AB -ն կանց նի 1 : 1

6 = 6 (ժա մում):

Պատասխան՝ ա) 3 ժա մում, բ) 6 ժա մում:Խն դիր 2: Նա վը մի ո րոշ հե ռա վո րու թյուն լճով ան ցնում է 6 ժա-

մում, ի սկ գե տի հո սան քով` 5 ժամում: Որ քա՞ն ժա մա նա կում այդ քան հե ռա վո րու թյու նը լաս տը կանց նի գե տով:

Լու ծում: Ամ բողջ հե ռա վո րու թյունն ըն դու նենք 1 միա վոր:

1) 1 : 6 = 16 (մաս կանց նի նա վը 1 ժա մում` լճով):

2) 1 : 5 = 15 (մաս կանց նի նա վը 1 ժա մում` հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ):

3) 15

 − 16

 =  130

(մաս կանց նի լաս տը 1 ժա մում):

4) 1 :  130

 = 30 (ժա մում կանց նի լաստն այդ հե ռա վո րու թյու նը):

Պատասխան՝ 30 ժա մում:

1071. Գե տի A և B նա վա կա յան նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը լաստն ան ցնում է 6 ժա մում, ի սկ նույն քան հե ռա վո րու թյու նը շո գե նա վը լճով ան ցնում է 3 ժա մում: Շո գե նա վը քա նի՞ ժա մում կանց նի A և

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 213

B նա վա կա յան նե րի հե ռա վո րու թյու նը. ա) գե տի հո սան քի ո ւղ ղու-թյամբ, բ) հո սան քին հա կա ռակ ո ւղ ղու թյամբ:

1072. Գե տի A և B նա վա կա յան նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը շո գե նա-վը գե տի հո սան քով ան ցնում է 3, ի սկ գե րա նը` 12 ժա մում: Շո գե նա-վը քա նի՞ ժա մում կանց նի. ա) AB հե ռա վո րու թյու նը գե տի հո սան-քին հա կա ռակ, բ) նույն քան հե ռա վո րու թյու նը լճով:

1073. Գե տի A և B նա վա կա յան նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը լաստն ան ցնում է 15 րո պե ում, ի սկ նավն այդ հե ռա վո րու թյու նը հո սան քին հա կա ռակ ան ցնում է 30 րո պե ում: Նա վը քա նի՞ րո պե ում կանց նի. ա) AB հե ռա վո րու թյու նը գե տի հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ, բ) նույն քան հե ռա վո րու թյու նը լճով:

1074. Գե տի A և B նա վա մա տույց նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը նա վը հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ ան ցնում է 8 րո պե ում, ի սկ նույն քան հե ռա-վո րու թյու նը լճով` 12 րո պե ում: Քա նի՞ րո պե ում կանց նի A և B նա-վա մա տույց նե րի հե ռա վո րու թյու նը. ա) լաս տը, բ) նա վը` հո սան քին հա կա ռակ ո ւղ ղու թյամբ:

1075. Գե տի A և B նա վա մա տույց նե րի մի ջա կա հե ռա վո րու թյու նը շար-ժի չա վոր նա վա կը հո սան քին հա կա ռակ ո ւղ ղու թյամբ ան ցնում է 30 րո պե ում, ի սկ նույն քան հե ռա վո րու թյու նը լճով` 10 րո պե ում: Քա նի՞ րո պե ում կանց նի A և B նա վա մա տույց նե րի հե ռա վո րու թյու-նը. ա) լաս տը, բ) շար ժի չա վոր նա վա կը հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ:

1076. Շար ժի չա վոր նա վա կը գե տափ նյա A վայ րից B վայրն է հաս նում 15 րո պե ում և B -ից A վե րա դառ նում` 60 րո պե ում: Որ քա՞ն ժա մա նա-կում նույն քան հե ռա վո րու թյու նը կանց նի. ա) շար ժի չավոր նա վա կը լճով, բ) գե րա նը գե տով:

1077. Եր կու նա վա մա տույց նե րի հե ռա վո րու թյու նը գե տի հո սան քի ո ւղ-ղու թյամբ նա վակն ան ցնում է 8 ժա մում, ի սկ լաս տը` 72: Որ քա՞ն ժա մա նա կում նույն քան հե ռա վո րու թյու նը կանց նի նա վա կը լճով:

1078. Շար ժի չա վոր նա վա կը եր կու նա վա մա տույց նե րի հե ռա վո րությու-նը հո սան քի ո ւղ ղու թյամբ ան ցնում է 2 ժա մում, ի սկ լաս տը` 8 ժա մում: Որ քա՞ն ժա մա նակ կծախ սի նա վա կը հե տա դարձ ճա նա-պարհին:

1079. Լաս տը A -ից B հաս նում է 40 ժա մում, ի սկ շար ժի չա վոր նա վա կը` 4 ժամում: Քա նի՞ ժա մում շար ժի չա վոր նա վա կը B -ից կվե րա դառ-նա A:

1080. ա) Ա ռա ջին և ե րկ րորդ բրի գադ նե րը միա սին կա րող է ին ա ռա-ջադ րան քը կա տա րել 9 օ րում, ե րկ րորդն ու եր րոր դը` 18 օրում, ի սկ ա ռա ջինն ու եր րոր դը` 12 օրում: Քա նի՞ օ րում այդ ա ռա ջադ րան քը կկա տա րի ե րեք բրի գա դը միա սին:

բ) Ա վա զանն ա ռա ջին և ե րկ րորդ խո ղո վակ նե րով լց վում է 1 ժամ 10 րո պե ում, ա ռա ջին և եր րորդ խո ղո վակ նե րով` 1 ժամ 24 րո պե ում, ի սկ ե րկ րորդ և եր րորդ խո ղո վակ նե րով` 2 ժամ 20 րո պե ում: Քա նի՞ րո պե ում կլց վի ա վա զա նը ե րեք խո ղո վակ նե րով միա սին:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 214

գ) Ը ստ ա) խնդ րի պայ ման նե րի` գտեք` քա նի՞ օ րում եր րորդ բրի-գադն ա ռան ձին աշ խա տե լով կկա տա րի ա ռա ջադ րան քը:

1081. Հին խն դիր (Չի նաս տան, մ.թ. II դար): Վայ րի բա դը հա րա վային ծո-վից մինչև հյու սի սային ծո վը թռ չում է 7 օ րում: Վայ րի սա գը հյու սի-սային ծո վից մինչև հա րա վային ծո վը թռ չում է 9 օ րում: Մի ան գամ վայ րի բադն ու վայ րի սա գը միա ժա մա նակ թռան: Քա նի՞ օր հե տո նրանք կհան դի պեն:

1082. Ա ռա ջին բան վո րը կա րող է 3 շա բա թում ա ռա ջադ րան քը կա տա րել 1 ան գամ, ե րկ րոր դը` 8 շա բա թում 3 ան գամ, եր րոր դը` 12 շա բա թում 5 ան գամ: Քա նի՞ ժա մում կկա տա րեն այդ ա ռաջադ րան քը 3 բան-վոր ը, ե թե աշ խա տեն հա մա տեղ: Հա մա րեք, որ շա բա թը բաղ կա-ցած է 12-ժա մյա 6 աշ խա տան քային օ րե րից:

1083. ա) Ա մեն օր զբո սաշր ջիկն ան ցնում է նա խա տե սած եր թու ղու 13

-ը: Եր թու ղու ո ՞ր մա սը նա կանց նի 2 օ րում, 12 օ րում,

34 օ րում:

բ) Գործ ված քի 1 մետրն ար ժե 1920 դրամ: Քա նի՞ դրամ ար ժե 34 մ

գործ ված քը, 23 մ գործ ված քը:

1084. Ուղ ղի վրա նշել են 5 կե տ: Քա նի՞ հատ ված և քա նի՞ ճա ռա գայթ ա ռա ջա ցավ:

1085. Տր ված է ABC ե ռան կյու նը: AB կող մի վրա նշել են M, BC կող մի վրա` N, AC կող մի վրա` K կե տերն այն պես, որ նրանք չեն հա մընկ նում ե ռան կյան գա գաթ նե րի հետ: MN, NK, KM հատ ված նե րը քա նի՞ մա-սի են տրո հում (բա ժա նում) ABC ե ռան կյու նը:

1086. Ար տա հայ տեք սան տի մետ րե րով.

ա) 60 մմ -ը, բ) 65 մմ -ը, գ) 5 մմ -ը:

1087. Ար տա հայ տեք քա ռա կու սի դե ցի մետ րե րով.

ա) 500 սմ2, բ) 50 սմ2, գ) 5 սմ2:

1088. Ար տա հայ տեք խո րա նարդ մետ րե րով.

ա) 8000 դմ3, բ) 800 դմ3, գ) 80 դմ3:

1089. Ուղ ղան կյուն հո ղակ տո րի մա կե րեսն ար տա հայ տեք ա րե րով, ե թե նրա կող մերն են.

ա) 25 մ և 24 մ, բ) 75 մ և 32 մ, գ) 50 մ և 28 մ:

1090. Շար ժի չա վոր նա վա կը 10 վայր կյա նում ի ՞նչ հե ռա վո րու թյուն կանց-նի լճով, ե թե նրա ա րա գու թյունն է.

ա) 60 մ/ր, բ) 120 մ/ր, գ) 180 մ/ր, դ) 132 մ/ր:

1091. Ի՞նչ հե ռա վո րու թյուն կանց նի ավ տո մե քե նան 20 վայր կյա նում, ե թե նրա ա րա գու թյունն է.

ա) 90 կմ/ժ, բ) 126 կմ/ժ, գ) 108 կմ/ժ, դ) 162 կմ/ժ:

1092. Ա րա գու թյունն ար տա հայ տեք « մետր րո պե ում» (մ/ր) միա վո րով.

ա) 60 կմ/ժ, բ) 120 կմ/ժ, գ) 72 կմ/ժ, դ) 48 կմ/ժ:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 215

1093. Ա րա գու թյունն ար տա հայ տեք « մետր վայր կյա նում» (մ/վ) միա վո րով.

ա) 300 մ/ր, բ) 420 մ/ր, գ) 600 մ/ր,

դ) 36 կմ/ժ, ե) 72 կմ/ժ, զ) 54 կմ/ժ:

1094. 100 մ եր կա րու թյամբ տե ղա մա սում խո ղա վա կա շար տե ղադ րե լու հա մար կա րե լի էր գնել 3-մետ րա նոց խո ղո վակ ներ` հա տը 3800 դրա մով կամ 4-մետ րա նոց խո ղո վակ ներ` հա տը 5000 դրա մով: Ո ՞ր տար բե րակն է ժան կնս տի:

1095. Մե կը ուներ 99 մ ցանց և ցան կա նում էր դրա նով ո ւղ ղան կյան տեսք ունե ցող հո ղա մաս ցան կա պա տել: Հո ղա մա սը պետք է ունե նար 1 մ լայ նու թյամբ դռ նակ: Ի նչ քա՞ն կլի նի հո ղա մա սի պա րա գիծը: Ի ՞նչ սահ ման նե րում կա րող են լի նել հո ղա մա սի եր կա րու թյունն ու լայ-նու թյու նը: Դիտարկեք ստացված պարագծով տարբեր ուղղանկ-յուններ: Հաշվեք դրանց մակերեսները: Ստացված ար ժեք նե րը համեմատեք նույն պարագծով քառակուսու մակերեսի հետ:

1096. Մե կը ցան կա նում էր 4 ար մա կե րե սով ո ւղ ղան կյան տեսք ունե-ցող հո ղա մաս ձեռք բե րել: Ի ՞նչ սահ ման նե րում կա րող են լի նել այդ հո ղա մա սի եր կա րու թյունն ու լայ նու թյու նը: Դիտարկեք 4 ար մակերեսով տարբեր ուղղանկյուններ: Հաշվեք դրանց պարագծերը: Ստացված արժեքները համեմատեք նույն մակերեսով քառակուսու պարագծի հետ:

1097. Մետ րո պո լի տե նում թույ լատր վում է ձրի տե ղա փո խել այն պի սի բեռ, ո րի ե րեք չա փում նե րի գու մա րը չի գե րա զան ցում 150 սմ-ը: Ի ՞նչ սահ ման նե րում կա րող են լի նել ո ւղ ղան կյու նա նիս տի ձև ունե ցող տու փի ե րեք չա փում նե րը, ե թե նրանց գու մա րը 150 սմ է: Դիտարկեք տարբեր ուղղանկյունանիստեր, որոնց երեք չա փում-ների գումարը 150 սմ է: Հաշվեք դրանց ծավալները: Ստաց ված արժեքները համեմատեք 50 սմ կողով խո րա նար դի ծավալի հետ:

1098. Աչ քա չա փով ո րո շեք տր ված հատ վա ծի եր կա րու թյու նը.

Նկար 131

1) սան տի մետ րով (ն կար 131),

2) մի լի մետ րով (ն կար 132):

Նկար 132

Ար դյունքը ստու գեք քա նո նով:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 216

1099. Աչ քա չա փով ո րո շեք ան կյան մե ծու թյու նը (ն կար 133): Ար դյունքը ստու գեք ան կյու նա չա փով:

Նկար 133

1100. Կա ռու ցեք 90̊ -ի ABC ան կյուն: Ան կյու նա չա փով բա ժա նեք ABC անկյու նը.

ա) 2 հա վա սար մա սի, բ) 3 հա վա սար մա սի:

1101. Կա ռու ցեք 120̊ -ի ABC ան կյուն: Ան կյու նա չա փով ABC ան կյու նը բա-ժա նեք եր կու ան կյուն նե րի, որ նրան ցից մե կը լի նի.

ա) 2 ան գամ մեծ մյու սից, բ) 3 ան գամ փոքր մյու սից,

գ) 20̊ -ով մեծ մյու սից, դ) 30̊ -ով փոքր մյու սից:

1102. Ան կյու նա չա փով կա ռու ցեք 100̊ -ի ան կյուն և այն բա ժա նեք եր կու ան կյան, որ նրան ցից մե կը լի նի.

ա) չորս ան գամ մեծ մյու սից, բ) 20̊ -ով մեծ մյու սից:

1103. Քա նի՞ մա սի կա րող են բա ժա նել շր ջա նը ե րեք տար բեր լա րե րը:

1104. Կա ռու ցեք շր ջա նա գիծ և կար կի նի օգ նու թյամբ բա ժա նեք այն.

ա) 6 հա վա սար մա սի, բ) 3 հա վա սար մա սի:

1105. Տր ված է շր ջա նա գիծ: Կա ռու ցեք հա վա սա րա կողմ ե ռան կյուն, ո րի գա գաթ նե րը լի նեն այդ շր ջա նագ ծի վրա:

1106. Վատ կար գա վո րած ժա մա ցույ ցը ա մեն 212 ժա մում

12 րո պե հետ է

մնում: Ժա մա ցույ ցի սլաք նե րը դրել են ցե րեկ վա ճիշտ 12։00-ին հա-մա պա տաս խան: Ի ՞նչ ժա մա նակ ցույց կտա ժա մա ցույ ցը 5 օր հե-տո` ժա մը 17։00-ին: Քա նի՞ օր հե տո ժա մա ցույ ցը հետ կմ նա ուղիղ 1 ժամ:

Վ. Ա. Եվ տուշևս կի ի « Сборник а рифметических за дач и числен ных примеров» գր քից:

1107. Ես կար դա ցի գր քի 38

-ը և է լի 52 էջ ու նկա տե ցի, որ այն մա սը, որ ես դեռ չեմ կար դա ցել, գր քի կե սից 12 է ջով է պա կաս: Քա նի՞ էջ ունի գիր քը:

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 217

1108. Տոնի առիթով ամ րո ցից 58 ժամ կրա կե ցին: Կրա կոց նե րը մե կը մյու-

սին հա ջոր դում է ին 34 րո պե ը նդ մի ջում նե րով: Քա նի՞ անգամ կրա-

կեցին:

1109. Եր կու սայ լ նույն ժա մին դուրս ե կավ քա ղա քից: Մեկն ա մեն 4 ժա-

մում ան ցնում է 12815

վերստ, մյուսն ա մեն 3 ժա մում` 945 վերստ: 15

ժա մում ո ՞ր սայ լը մյու սից շատ կանց նի և որ քա նով:

1110. Ե րեք գեղջ կու հի յուղ է ին բե րել շու կա. ա ռա ջի նը 4 տա կառ` ա մեն

տա կա ռում 512

փութ, ե րկ րոր դը 2 տա կառ` յու րա քան չյու րում 23

փութ, ի սկ եր րորդ գեղջ կու հու ամ բողջ յու ղը հա վա սա րա պես

բաշխ ված էր 5 տա կառ նե րում և ուներ 313 փութ ը նդ հա նուր կշիռ:

Ա ռա ջին եր կու գեղջ կու հի ն վա ճա ռե ցին ի րենց ո ղջ յու ղը, ի սկ եր-րոր դը` միայն մի տա կա ռը: Ի նչ քա՞ն փող վաս տա կե ցին ե րեք գեղջ-կու հի նե րը միա սին, ե թե ա մեն փութ յու ղը վա ճա ռել են 12 ռուբ լով:

1111. Եր կու պա րոն գրազ ե կան` ո ւմ ձին ա ռաջ ան ցնի, նա իր ձի ու յու րա-

քան չյուր ա վել ան ցած վերս տի հա մար ստա նում է 200 ռուբ լի: Ձի-

ե րը վա զե ցին 8 րո պե, և ա ռա ջի նի ձին ա մեն 112 րո պե ում ան ցավ

34

վերստ, ի սկ ե րկ րոր դի նը` ա մեն 213 րո պե ում 1

34 վերստ: Ո ՞վ հաղթեց

և քա նի՞ ռուբ լի վաս տա կեց:

1112. Կա պա լա ռուն զոր քի հա մար 2500 ձի բերեց: Դրանց 1225

-ը տվեցին

հե ծե լա զո րին: Հրե տա զո րին տվեցին 23

-ն այն քա նա կի, որ տվել էին

հե ծե լա զո րին, ի սկ գն դի գու մարտա կին` 58

-ն այն քա նի, ի նչ̀ հրե տա-

զո րին: Հե ծե լա զո րի 1 ձի ու հա մար կա պա լա ռո ւին վճա րե ցին 258 34

ռուբ լի, հրե տա զո րի 1 ձի ու հա մար` 25 -ն այն քա նի, ի նչ հե ծե լա զո-

րի 1 ձի ու հա մար, ի սկ գու մա կի 1 ձի ու հա մար` 59

-ն այն քա նի, ի նչ

հրե տա զո րի 1 ձի ու հա մար: Ինչ քա՞ն ստա ցավ կա պա լա ռուն գու-

մարտա կին տված բո լոր ձի ե րի հա մար:

1113. Մի գրա գիր 49 ժա մում կա րող է գրել 5

12 թերթ, ե րկ րոր դը` 1

8 ժա մում

512

թերթ, եր րոր դը` 117 ժա մում

914

թերթ: Որ քա՞ն կս տա նան ե րեք

ANTARES

Ա ՌԱ ՋԱԴ ՐԱՆՔ ՆԵՐ ԴԱ ՍԸՆ ԹԱ ՑԻ ԿՐԿ ՆՈՒ ԹՅԱՆ ՀԱՄԱՐ 218

գրա գի րը 1 ժամ հա մա տեղ աշ խա տան քի դեպ քում, ե թե յու րա-

քանչյուր թեր թի հա մար նրանց վճա րում են 35 ռուբ լի:

1114. 2 ցուլ ու 6 կով կերակրելու համար մարգագետնից հնձեցին

93614 փութ կանաչ զանգված։ Քանի՞ օրվա պաշար ունեն, եթե ամեն

ցուլին օրական տալիս են 78 փութ խոտ, ա մեն կո վին`

35 փութ խոտ,

ի սկ 12334 փութ կա նաչ զանգ վա ծից ստացվում է 23

34 փութ խոտ:

ANTARES

219

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

572. ա) այո բ) ոչ 573. ա) 5 բ) 4 գ) 5 դ) 0 կամ 9 594. որովհետև 4

կենտ թվերի գումարը չի կարող լինել 99 604. ա) 1, 2, 3, 4, 6, 12 610.

ա) օրինակ՝ 3 · 664 + 6 · 1 = 1998 բ) որովհետև 3 · a + 6b -ն բաժա ն վում է

3 -ի, իսկ 1999 -ը՝ ոչ 611. ա) 8 = 4 · 2 · 1 · 1 626. ա) 4 · 81 · 5 · 7 628. 12 մարդ,

5 թիմ 644. ա) (a, b) = 3240, [a, b] = 97200 647. ա) 20 մ բ) 30 մ 648.

5 տետր 649. 7 պտույտ, 4 պտույտ 667. 23

668. ա) 23 կմ բ) 19 կմ

գ) 15 կմ 669. ա) 14

670. ա) 5 ժամում 671. ա) 13 681. ա) 2

16 =  1

8

691. ա) 1218

բ) 763

գ) այո դ) ոչ 700. ա) 16 կմ բ) 1000 դրամ գ) 9 էջ

701. 81 կմ 702. ա) 33 բ) 55 703. ա) 3200 դրամ բ) 25 սմ 704. ա) 35

բ) 30 705. ա) 224 կգ 706. կնոջը և աղջկան 6000-ական ռուբլի,

տղաներին` 12000-ական 707. 420 դրամ 708. 3600 դրամ 709. 60

711. 630 դրամ 712. 67200 դրամ 733. ա) կոնֆետները ծանր են

738. զ) 19951996 <

1996 997

739 ա) հայրիկը բ) Մանեն 740. 610

, 710

758. ա) 87

բ) 1720

գ) 1330

դ) 95

ե) 169300

զ) 643840

763. այո 764. 14 հա 765. ա) 56

բ) 524

գ) 1160

781. ա) 724

բ) 46165

գ) 740

782. սուրճը և կաթը հավասար

796. 14

797. 15

798. 13

800. ա) 9 բ) 12000 դրամ գ) 160 801. ա) 600

դրամ բ) 3000 դրամ 802. 64 804. 60 էջ 805. 8 վերստ 806. 28

ֆլորին 839. ա) 27 բ) 4 գ) 12 դ) 1

10 ե) 21

25 զ) 16

17 840. ա) 48 բ) 5

գ) 1115

դ) 45 ե) 5

7 զ) 1 841. ա) 11

5 բ) 1

2 դ) 1

5 857. ա) 10

27 բ) 16

27

858. ա) 125 բ) 5

4 859. ա) 15

2 բ) 5

6 գ) 4

3 դ) 2

3 ե) 4 զ) 1

6 է) 3

2

ը) 12 թ) 2 ժ) 3

4 860. ա) 7

6 բ) 4 գ) 1 861. ա) 11

3 բ) 4 գ) 21

5 դ) 16

862. ա) 15 բ) 49 865. ոչ 866. ա) 150 բ) 363 867. ա) 10 բ) 25 868.

ա) 300 բ) 49 869. 3 մ 45 սմ 871. 78

875. ա) 13 և 1

6 բ) 1

2, 2  ժամում

ANTARES

220 ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ

գ) 6 րոպեում 877. ա) 12 ժամ հետո բ) 12 րոպեում գ) 12 ժամ հետո

878. 18  օրում 879. 30 օրում 880. 15 ժամում 882. 90 րոպեում 883. 3 ժ

20 ր 884. ա) 611 ամսում բ) 12

25 տարում 935. ա) 1 2

15 947. ա) 2 7

12 բ) 9 5

42

գ) 10 190

դ) 19 948. ա) 9 38 բ) 5

8 գ) 12 դ) 2

3 ե) 25

39 զ) 9 7

9 955. ա) 6 1

2, 8

բ) 727

, 827

960. 23 տարեկան 961. 27 տարեկան 967. 5 տուփ

968. 12 արկղ 973. 156000 լ, 6240 լ 975. 36 մ3 979. 611

981. չի կարելի 983.

բ) 22 կոնֆետ 985. ա) երգիչները շատ են բ) անգլերեն խոսող նե րը

շատ են 987. ա) 35 -ը չի բաժանվում 3 -ի 988. տղաները և կարգապահ

աշակերտները նույն քանակն ունեն 989. 16 կմ 997. ա) 9360 բ) 101

998. ա) 320 բ) 1 1000. ա) 100 բ) 0 1001. ա) 800 բ) 112200 գ) 250

դ) 49920 ե) 311900 զ) 1081 է) 12 ը) 2 թ) 1 1002. ա) 0 բ) 2 1015. 2

1016. 19

1017. 2 1018. 6 1019. 26963 89

1020. 2 1021. 36162 1022. ա) 5

բ) 0 գ) 4 դ) 1 13

1023. 1 1024. 3 1025. 18 1026. 78 45

1027. 10 38

1028.

4 89

1029. 6 13

1030. 2 1031. 194 1032. 5 1033. ա) 4 բ) 2 12

գ) 316

դ) 13

ե) 14 զ) 8 1034. ա) 42 աղջիկ բ) 56 տարեկան գ) 22 12

հա 1035. ա) 201

փոստանիշ բ) 1350 դրամ գ) 31 մարդ դ) 106 կգ 1036. ա) 83 ընկույզ

բ) 312 ընկույզ 1037. 2000-ական ռուբլի 1038. 5 դույլ 1039. 4 1040. ա) 5

երեխա բ) 4 ծաղկաման 1041. ա) 25 աշակերտ, 69 տետր բ) 396 աթոռ

1042. 11 աղքատ 1043. ա) 14 բ) 5 1044. 16 տղա 1045. 12 ճագար,

23 փասիան 1046. 65000 դրամ 1047. ա) 18 կով հատը 48 ռուբլի

արժողությամբ, 26 կով հատը 26 ռուբլի արժողությամբ բ) 63 արշին

կապույտ մահուդ, 75 արշին սև մահուդ 1048. ա) 6 կոպեկ բ) 24 ֆունտ

I տեսակ, 8 ֆունտ II տեսակ 1049. ոչ, չշահեց 1050. ա) 9 գիրք, 3 գիրք

բ) 5 խնձոր, 3 խնձոր գ) 13, 7, 4 սունկ 1051. ա) 1125 դրամ, 1047 դրամ

1052. 400 գրամ 1053. ա) 12 օրում բ) 2 ժամում գ) 6 ր-ում դ) 6 ժամում

1054. ա) 4 ժամում բ) 6 ժամում 1055. ա) 125 կգ բ) 20, 25, 30, 35 ռուբլի

1056. 3 կմ/ժ 1057. առաջինին պետք է տալ 2 կգ, երկրորդին՝ 1 կգ

ANTARES

ՊԱՏԱՍԽԱՆՆԵՐ 221

1058. 7 փիսիկ 1059. 975 դրամ 1060. 55 կմ/ժ, 45 կմ/ժ 1061. դ) 3 կմ/ժ

ե) 2 12

կմ/ժ 1063. ա) 18 և 27 բ) 90 և 45 գ) 135 դ) 135 և 90 1064. ա) 3 րոպեում

բ) 24 րոպե հետո գ) 16 րոպե հետո դ) 8 րոպեում 1066. 8 աշակերտ

1067. ա) 300 դրամ գ) 16 կմ 1068. 65 վերստ հեռավորության վրա

1069. 35 մղոն 1070. 11 օրում 1071. ա) 2 ժամում բ) 6 ժամում 1072.

ա) 6 ժա մում բ) 4 ժամում 1073. ա) 6 րոպեում բ) 10 րոպեում 1074.

ա) 24 րոպեում բ) 24 րոպեում 1075. ա) 15 րոպեում բ) 6 րոպեում

1076. ա) 24 րոպեում բ) 40 րոպեում 1078. 4 ժամ 1079. 5 ժամում

1080. ա) 8 օրում բ) 60 րոպեում գ) 72 օրում 1081. 31516

օրում 1084.

10 հատված և 10 ճառագայթ 1089 ա) 6 ար 1090. 10 մ 1091. ա) 500 մ

1092. ա) 1000 մ/ր 1093. ա) 5 մ/վ դ) 10 մ/վ 1095. 25 մ×25 մ 1102.

ա) 20˚ և 80˚ բ) 40˚ և 60 ,̊ 1106. 16 անց 35 րոպե, 12 12 օրում 1107.

320 էջ 1108. 51 կրակոց 1109. երկրորդը, 2 վերստով 1110. 44 ռուբլի

1111. հաղթեց երկրորդը, վաստակեց 400 ռուբլի 1112. 28750 ռուբլի

1113. 32 ռուբլի 1114. 35 օրվա:ANTARES

Թարգմանիչներ՝ Ռոբերտ Դավթյան, Նելլի Մելյան

Վերամշակող խմբագիր՝ Գագիկ Աղեկյան

Հրատ. խմբագիր՝ Արքմենիկ Նիկողոսյան

Տեխ. խմբագիր՝ Արարատ Թովմասյան

Համակարգչային էջադրող՝ Արմինե Պապանյան

Ա. Մ. Նիկոլսկի, Մ.Կ. Պոտապով,

Ն.Ն. Ռեշետնիկով, Ա.Վ. Շևկին

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ

ՀԱՆՐԱԿՐԹԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑԻ

5­ՐԴ ԴԱՍԱՐԱՆԻ ԴԱՍԱԳԻՐՔ

Մաս 2

Վերահրատարակություն

«Անտարես» հրատարակչատունՀՀ, Երևան − 0009, Մաշտոցի պող. 50ա/1

Հեռ.՝ ( + 374 10) 58 10 59, 58 76 [email protected]

www.antares.am

Հանձն ված է տպա գրու թյան 20.06.2019 թ.: Չափ սը՝ 70×100 1/16: Տա ռա տե սա կը՝ GHEA Hayk School: Տպա գրու թյու նը՝ օֆ սեթ:

7 տպ. մա մուլ: Առաջին խմբաքա նա կը՝ 11637 օ րի նակ: Պատ վեր՝ N 125 :Տ պագր ված է «Ան տա րես Նա նո պրինտ» տպա րա նում,

Երևան, Արտաշիսյան 94/4:

ANTARES