1/46 ELEMENTOS FINITOS PROBLEMA ELIPTICOS Análisis Numérico II Volúmenes Finitos – Problemas Elípticos
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ELEMENTOS FINITOS
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Volúmenes Finitos – Problemas Elípticos
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ELEMENTOS FINITOS
PROBLEMA ELIPTICOS
Análisis Numérico II
Elementos Finitos – Problemas Elípticos
• Formulación Débil
• Discretización
• Formulación Variacional
• Método de Ritz
• Discretización del Funcional
• Problemas de Capa Límite
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PROBLEMA BASE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
2 ( , , ) 0 u f u x y en
1( , ) u x y u sobre
2( , ) u
x y q sobren
Formulación diferencial:
u clase C2
4/46
FORMULACION PONDERADA
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
1
2
2
0
u f wd u u wd
uq wd
n
5/46
INTEGRACION POR PARTES
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
10 w u u sobre
1 2
1 2
.
0
uu wd fwd w d
n
uu u wd q wd
n
2 w w sobre
6/46
FORMULACION DEBIL
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Débil
2
. 0u wd fwd qwd
u clase C1
(Soluciones débiles o generalizadas)
1 u u sobre
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DISCRETIZACION DEL DOMINIO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
Elementos finitos triangulares
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NUMERACION DE NODOS
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
n: numeración global , 1 n N
K = 3
k: numeración local, 1 k K
n = 57
n = 42
n = 58
k = 3
k = 1
k = 2
N: cantidad total de nodos
K: cantidad de nodos por
elemento
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CONECTIVIDAD
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
m: numeración de elemento , 1 m M
# nodo global de nodo local k de elemento m
n = 57
n = 42
n = 58
k = 3
k = 1
k = 2
M: cantidad total de elementos
( ) :m
kG
27
(1) 57G
m=27
27
(2) 58G
27
(3) 42G
{xn,yn}: coordenadas de los nodos
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DISCRETIZACION DE LA FUNCION
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
:nu
( ) :m
kn G ( )
m
n ku u
valores nodales (incógnitas)
Método nodal
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FUNCION INTERPOLANTE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
1
( , ) ( , )M
m
m
u x y u x y
( ) ( )
1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m m
k kmk
N x y u si x y eu x y
si x y
me
funciones de forma( ) :m
kN
m
m(k)
1
( , )mu x y
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FUNCIONES DE PESO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
:nw tantas como incógnitas
( ) ( , ) ( , )( , )
0 ( , )
l l
l
m m
k
n
N x y si x y ew x y
si x y
lme
ml: elementos que contienen nodo n,
1 l Ln
Ln: cantidad de elementos
Método de Bubnov-Galerkin:
( )l
l
m
kn G
n
n
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ECUACIONES DISCRETAS
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( , ) ( , )( , )
0 ( , )
l l
l
m m
k
n
N x y si x y ew x y
si x y
lme
2
. 0n n nu w d fw d qw d
1
( , ) ( , )M
m
m
u x y u x y
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PRIMER TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( ) ( )
1 1
. .n
l l l
lml
L Km m m
n k k k
l k e
u w d u N N d
( )l
l
m
kn G
( ) ( ).l l
lml
m m
np k k
e
a N N d ( )lm
kp G
1 1
.nL K
n np p
l k
u w d a u
15/46
ENSAMBLE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ')
m
kn G
( ) ( ').m
m m
k k np
e
N N d a ( )
m
kp G
Elemento m: 1 k,k’ K
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DESAGREGADO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ')
m
kn G
( ) ( ')
m
m m
k k
np
e
N Nd
x x
( )
m
kp G
np np npa
( ) ( ')
m
m m
k k
np
e
N Nd
y y
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NORMALIZACION INTEGRALES
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
1
1
(1)
0
0(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
, 1
,
,
N
N
N
( ) ( ), ,m
m m
k k
ee
F N x y d J F N d
( ) ,m
m
k
e
F N x y d
3
( ) ( )
1
, m
k k
k
x N x
3
( ) ( )
1
, m
k k
k
y N y
m(1)
(2)
(3)
18/46
NORMALIZACION INTEGRALES
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
12 13
12 13
,
,
m m
x xm
m m
y y
x x
l lx yJ
l ly y
12 (2) (1)
13 (3) (1)
12 (2) (1)
13 (3) (1)
m m m
x
m m m
x
m m m
y
m m m
y
l x x
l x x
l y y
l y y
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CALCULO DE INTEGRALES
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( ')
m
m m
k k
np
e
N Nd
x x
( ) 13 ( ) 12 ( )
m m m
k y k y k
m m
N l N l N
x
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
1; 1
1; 0
0; 1
N N
N N
N N
( ) ( ') ( ) ( ')
2
m m m mmk k k km
np
e
N N N NJJ d
x x x x
12 13
12 13
m m
x xm m
m m
y y
l lJ
l l
20/46
CALCULO DE INTEGRALES
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
2
213 12
12 13
1
2 2
m mmy y m m
np y ym m m
l lJl l
J
(1) 13 12
m m m
y y
m m
N l l
x
(2) 13
m m
y
m
N l
x
(3) 12
m m
y
m
N l
x
(1)
mn G
(1)
mp G
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SEGUNDO TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( ) ( ) ( )( , , )m m m m
k k k kf f x y u
1
( , , ) ( , , )M
m
m
f x y u f x y u
( ) ( )
1
( , ) ( , )( , , )
0 ( , )
Km m m
k kmk
N x y f si x y ef x y u
si x y
me
Si f f(u):
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SEGUNDO TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )l
l
m
kn G( )
l l
ml
m m
np k n
e
N N d ( )
lm
kp G
1 1
nL K
n np p
l k
fw d f
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TERCER TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( ) ( )( ) ( , )b b b
r rrq q x y
1
( , ) ( , )B
b
b
q x y q x y
( ) ( )
1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Rbb b
b r r
r
N x y q si x y gq x y
si x y
bg
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TERCER TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
( )l
l
b
kn G( )
l l
bl
b b
nt r n
g
N N d ( )
lb
rt G
21 1
nS R
n nt t
s r
qw d q
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RESULTADOS
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización
Método u1 u2
Dif. finitas 0,05609 0,06891
RP-Momentos 0,05433 0,06888
RP-Galerkin 0,05540 0,06805
EF-Galerkin 0,05494 0,06751
Analítico 0,05550 0,06820
Primer problema: 1/3x
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PROBLEMA BASE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
2 ( , , ) 0 u f u x y en
1( , ) u x y u sobre
2( , ) u
x y q sobren
Formulación diferencial:
u clase C2
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FORMULACION PONDERADA
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
1
2
2
0
u f wd u u wd
uq wd
n
28/46
FORMULACION DEBIL
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
2
. 0u wd fwd qwd
(caso particular)
Variación débil:
w u 10 u sobre
( , , ) ( , )f u x y u g x y
1( , ) u x y u sobre
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FORMULACION VARIACIONAL
Elementos Finitos – Problemas ElípticosFormulación Variacional
2
2 21 10
2 2u u ug d qu d
Funcional:
0I
2
2 21 1( )
2 2I u u u ug d qud
1( , ) u x y u sobre
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FUNCION APROXIMANTE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
2
2 21 1( )
2 2I u u u ug d qud
1( , ) u x y u sobre
1
( , )N
i i
i
u x y
Aproximación:
(satisface condiciones de borde geométrica)
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PLANTEO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
0I
i son las incógnitas; método modal
0, 1,2...i
Ii N
32/46
SEGUNDO PROBLEMA 1D
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
2
20 (0,1)
d uu x en
dx (0) 0 (1)
duu q
dx
21
2
0
1 1( ) (1)
2 2
duI u u ux dx qu
dx
2
2 21 1( )
2 2I u u u ug d qud
1( , ) u x y u sobre
(0) 0u
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SOLUCION
Elementos Finitos – Problemas ElípticosMétodo de Ritz
1( ) ( )x sen x 2 ( )x x
1 2( ) ( )u x sen x x
1 2
0I I
( )( ) (1 )
cos(1)
sen xu x q x (solución exacta)
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SEGUNDO PROBLEMA 1D
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
Se procede en forma análoga al
caso de partida desde la
formulación débil
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FUNCION INTERPOLANTE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
1
( , ) ( , )M
m
m
u x y u x y
( ) ( )
1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m m
k kmk
N x y u si x y eu x y
si x y
me
funciones de forma( ) :m
kN
36/46
PLANTEO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
1 2( , ... )NI u u u
0, 1,2..n
In N
u
37/46
PRIMER TERMINO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
2
( ) ( ') ( ) ( ')
' 1 1
1 1.
2 2m m
K Km m m m
k k k k
k ke e
u d u u N N d
( )l
m
kn G
( ).m
m m
np k n
e
a N N d
( )
m
kp G
2
1
1
2 m
K
np p
kn e
u d a uu
21
( )2
I u u d
38/46
SISTEMA DISCRETO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosDiscretización del Funcional
Resulta idéntico al obtenido
desde la formulación débil con
el método de Bubnov-Galerkin
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PROBLEMA BASE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
2 2
2 2
u u u uU V
x y x y
. . 0, ( , )n nu w d U uw d U U V
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FUNCION INTERPOLANTE
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1
( , ) ( , )M
m
m
u x y u x y
( ) ( )
1
( , ) ( , )( , )
0 ( , )
Km m m
k kmk
N x y u si x y eu x y
si x y
me
funciones de forma( ) :m
kN
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FUNCIONES DE PESO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
( ) ( ). ( , )( , )
0 ( , )
l l l
l l
m m m
k k
n
N h N si x y ew x y
si x y
lme
Método de Petrov-Galerkin: SUPG
( )l
l
m
kn G
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CASO 1D
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
2
2, 0 ,
(0) , ( )o L
d u duU x L
dx dx
u u u L u
Solución cerrada:
( ) 1
1
xPe
Lo
Pe
L o
u x u e
u u e
ULPe
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FORMULACION DEBIL
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
0
0
L
nn
dwdu duU w dx
dx dx dx
1
(2)1
(2)
(1)
(1)
( )
n
n
n
n n
n
n
dNN x si x x
dxw x
dNN x si x x
dx
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FUNCIONES DE FORMA
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1
(2)1
(2) 1 1
(2) (1)
( )
n
n
n n
x xN x
x x
(2)
(1)
(2) (1)
( )
n
n
n n
x xN x
x x
1 1
(2) (1)
1 1
(2) (1)
1
1
nn n
n
nn n
si x xx xdw
dxsi x x
x x
(igual que Bubnov-Galerkin)
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ECUACION ENSAMBLADA
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1 1 1 1
12 2 0n n n n nu u u u u
Pg
U x
Pg
Si = 0: método centrado inestabilidad
Si = 1/2: upwinding (U > 0)
46/46
VALOR OPTIMO DEL PARAMETRO
Elementos Finitos – Problemas ElípticosProblemas de Capa Límite
1 1 1 2 coth coth :
2 2 2
Pg PgSi
Pg Pg
solución analítica verifica exactamente
ecuación numérica
1 1 1 1
12 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0n n n n nu x u x u x u x u x
Pg