ANÁLISIS DE LA VARIANZA Dos muestras

ANÁLISIS DE

LA

VARIANZA

Dos muestras1

2

➢ Como F → ∞, la curva se acerca al eje x.

Características de la distribución F

➢ Hay una "familia" de Distribuciones F.

➢ Cada miembro de la familia está determinado por dos parámetros: los grados de libertad del numerador y los grados de libertad del denominador.

➢ F no puede ser negativo, y es una distribución continua

➢ La distribución F está positivamente sesgada.

➢ Sus valores van de 0 a ∞

3

➢ Un estudio realizado por el departamento de marketing de un gran periódico descubrió que los hombres y las mujeres pasaban casi la misma cantidad de tiempo por día leyendo el periódico. Sin embargo, el mismo informe indicó que había casi el doble de variación en el tiempo de cada día entre los hombres que entre las mujeres.

Comparando la varianza de dos poblaciones

Los siguientes ejemplos mostrarán el uso de la prueba:

➢ Dos máquinas de corte Barth están diseñadas para producir barras de acero de la misma longitud. Las barras, por lo tanto, deben tener la misma longitud media. Queremos asegurarnos de que, además de tener la misma longitud media, también tengan una variación similar.

➢ La tasa de rendimiento promedio en dos tipos de acciones comunes puede ser la misma, pero puede haber más variación en la tasa de rendimiento en una que en la otra. Una muestra de 10 tecnologías y 10 acciones de servicios muestra la misma tasa media de rendimiento, pero es probable que haya más variación en las existencias de Internet.

4

El estadístico para comparar: 2

1

2

2

sF

s=

5

6

Una empresa ofrece servicio de limusina desde el ayuntamiento de la ciudad hasta el aeropuerto. El presidente de la compañía, está considerando dos rutas. Una es la US-25 y la otra la I-75. Él quiere estudiar el tiempo que lleva conducir al aeropuerto usando cada ruta y luego comparar los resultados. De una muestra de tamaño 7 para US-25 obtuvo la desviación estándar de 8.9947 y de una muestra de tamaño 8 para la I-75 obtuvo la desviación estándar de 4.3753.

Usando el nivel de significancia 0.10, ¿hay alguna diferencia en la variación en los tiempos de conducción para las dos rutas?

Ejemplo

7

Solución:Paso 1: 2

20

2

1:H =2 2

1 2:aH

Paso 2 :0.10 =

Paso 3: ( )

( )

22

1

22

2

8.9947

4.3754.23

3

sF

s= = =

La decisión es rechazar la hipótesis nula. Si hay diferencia en la variación en los tiempos de conducción para las dos rutas

1 2

0.10 0.05;6;7; ; ;7 1;8 1

2 2

3.87F F F − −

= = =

Paso 4:

0.05;6;7

4.23 3.87

F F

Debido a que:

8

Proveedor A Proveedor B

s12= 0.273 s2

2=0.094

n1 = 10 n2 = 10

Un fabricante de productos farmacéuticos compra cierto material de dos proveedores.El contenido medio de impurezas en la materia prima es aproximadamente el mismo paralos dos proveedores, pero el fabricante está preocupado por la variación de lasimpurezas de un embarque a otro. Si el contenido de las impurezas tendiera a variarexcesivamente con respecto a una fuente de suministro, podría afectar la calidad delproducto farmacéutico. Para comparar la variación en el porcentaje de impurezas paralos dos proveedores, el fabricante selecciona 10 embarques de cada uno de losproveedores y mide el porcentaje de impurezas en la materia prima para cadaembarque. Se muestran los resultados siguientes:

¿Proporcionan los datos información suficiente para indicar una diferencia en lavariación de los contenidos de impurezas para los embarques de los dos proveedores?Realice la prueba con α = 0.10.

Ejercicio

Resp. La decisión es aceptar la hipótesis nula. No hay diferencia en la variación de los contenidos de impurezas para los embarques de los dos proveedores

ANÁLISIS DE

VARIANZA

(ANOVA)

Mas de dos

muestras9

10

La distribución F también se usa para probar si dos o más medias de muestra provienen de poblaciones iguales .

Suposiciones▪ Las poblaciones muestreadas siguen la distribución

normal.▪ Las poblaciones tienen desviaciones estándar

iguales.▪ Las muestras se seleccionan al azar y son

independientes.

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• Configuración de hipótesis y regla de decisión:H0: μ1 = μ2 = ... = μk

Ha: Las medias no son todas iguales

• Rechazar H0 si F> Fα; k-1; n-k

• La Hipótesis nula es que las medias de las poblaciones son las mismas.

• La hipótesis alternativa es que al menos uno de las medias es diferente.

• La estadística de prueba es la distribución F.

• La regla de Decisión es rechazar la hipótesis nula si F (calculado) es mayor que F (tabla).

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Si se toman muestras de k poblaciones, los grados de libertad del numerador son k - 1.Si hay un total de n observaciones, los grados de libertad del denominador son n - k.La estadística de prueba se calcula mediante:

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedios

cuadráticos Valor de F

Intermuestral

(tratamiento)

SSTR k – 1 SSTR / (k – 1) MSTR / MSE

Intramuestral (error) SSE n – k SSE / (n – k )

Variación total SST n – 1

( )2

GSST X X= −

( )2

kSSE X X= −

1SSTR

KSSE

n K

F −=

−

SSTR SST SSE= −

donde:

Media GeneralGX

Media de la muestrakX

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Suponga que se desea verificar si existen diferencias entre el servicio prestado por cuatro aerolíneas. Se pide entonces a 22 pasajeros que califiquen el servicio de 0 a 100 según su apreciación personal.

Ejemplo 1

¿Hay alguna diferencia en el nivel medio de satisfacción entre las cuatro aerolíneas?Use el nivel de significancia 0.01.

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Paso 1: H0: μE = μA = μT = μO

Ha: las medias no son todas iguales

Paso 2:

α=0.01 → F;k-1;n-k = F0.01;4-1;22-4 = F0.01;3;18 =5.09

Solución:

Paso 3:

15

1485.09 594.41

890.69

SSTR SST SSE

SSTR

SSTR

= −

= −

=

890.6

8.

91 4 1

594.

99

4122 4

F

SSTRK

SSEn K

F − −

=

= =

− −

( )2

GX X−

( )2

kX X−

16

El valor calculado de F, 8.99 es mayor que el valor crítico de 5.09, por lo que la hipótesis nula es rechazada.Conclusión: Significa que no todos son iguales. Los puntajes promedio no son los mismos para las cuatro aerolíneas; en este punto, solo podemos concluir que hay una diferencia en los medios de tratamiento. No podemos determinar qué grupos de tratamiento difieren o cuántos grupos de tratamiento son diferentes.

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La directora gerente de una gran empresa industrial quiere determinar si tres programas de formación diferentes ejercen efectos distintos sobre la productividad de los empleados. Estos programas son los tratamientos que el ANOVA puede evaluar. Catorce empleados son elegidos y asignados al azar a uno de los tres programas. Una vez terminada la formación, cada empleado realiza un examen para determinar su competencia. A cuatro empleados se les impartió el primer programa, y a cinco cada uno de los otros dos. Los grupos serán tratados como muestras separadas y utilizados para extraer inferencias sobre las poblaciones de empleados que pudieran pasar por los programas de formación respectivos. Las puntuaciones de los empleados en el examen posterior a la formación se muestran en la tabla siguiente. Al nivel del 5%, ¿se aprecia una diferencia en las puntuaciones medias?

EJERCICIO 1

Tratamientos

Programa 1 Programa 2 Programa 3

85 80 82

72 84 80

83 81 85

80 78 90

** 82 88

F=1.9432

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EJERCICIO 2

Es usual en las pruebas de mercado identificar localizacionesen percha adecuadas para cada producto. Las siguientes sonel número de botellas de limpiador Citrus Clean vendidas enlocalizaciones de prueba en un supermercado.

Determine para un 95% de confianza si existen diferenciasentre las localizaciones propuestas para el producto respectoa las ventas