ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES ...ANÁLISIS DE LA VARIANZA MULTIFACTORIAL Estudia la influencia de dos o más factores (variables explicativas) sobre la media de una variable

ANÁLISIS DE LA VARIANZA MULTIFACTORIAL

Estudia la influencia de dos o más factores (variables explicativas) sobre la media de una variable aleatoria (variable respuesta).• Definición de la variable a explicar• Definición de los distintos factores que pueden influir en la respuesta y, en cada uno de ellos, sus distintos niveles o grupos.

Se analizan tres casos:1. Dos factores (diseño por bloques)2. Dos factores con interacción3. Tres factores (Cuadros latinos)

ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON DOS FACTORES 'DISEÑO POR BLOQUES'

El Modelo: { } ( )m,,2,1j),k,,2,1i(jiij UYLL ==

+β+α+μ=

ijY es la respuesta de la variable en el i-ésimo nivel del factor 1 (α) y en el j-ésimo nivel del factor 2 (β)

( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

≡μ≡βμ≡α

β+α+μ==μ

)ellastodasparaóndistribucienigual(YlasdealeatoriaiaciónvarlarepresentaU2factordeljniveleltieneglobalmedialasobrequeefectoelrepresenta

1factordeliniveleltieneglobalmedialasobrequeefectoelrepresenta

YdemediovalorYE

ij

j

i

ij

jiijij

Suponemos que U sigue una distribución normal ( )σ,0N lo que implica que ijY sigue una distribución normal ( )σμ ,N ij y que no hay

interacción entre los factores.

∑∑==

=β=αm

1jj

k

1ii 0

MUESTRA ALEATORIA - UNA OBSERVACIÓN POR CASILLA -

( )( )2jiij ,NY σβ+α+μ≈ independientes

Factor 2 (β) Medias por filasNiveles 1 2 .. m

1 11y 12y .. m1y •1y2 21y 22y .. m2y •2y. .. .. .. ... .. .. .. ..k 1ky 2ky .. kmy •ky

Factor1

(α)Medias

por columnas 1y• 2y• .. my• ••y

( ) ( ) ( ) ( )•••••••••••• −+−++−−=− yyyyyyyyyy jijiijij

( ) ( ) ( ) ( )2j

k

1i

m

1j

2i

k

1i

m

1j

2jiij

k

1i

m

1j

2ij

k

1i

m

1j

yyyyyyyyyy •••

= =

•••

= =

••••

= =

••

= =

−+−++−−=− ∑∑∑∑∑∑∑∑

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

444 3444 21444 3444 2144444 344444 21444 3444 21

ββ

•••

=

αα

•••

=

••••

= =

••

= =

−+−++−−=− ∑∑∑∑∑∑FactorExplicadaCuadradosSuma

SCE

2j

m

1j

FactorExplicadaCuadradosSumaSCE

2i

k

1i

sidualReCuadradosSumaSCR

2jiij

k

1i

m

1j

TotalCuadradosSumaSCT

2ij

k

1i

m

1j

yykyymyyyyyy

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )1m

yyk

S1k

yym

S1m.1k

yyyy

S1m.k

yy

S

yykyymyyyyyy

2j

m

1j2

2i

k

1i2

2jiij

k

1i

m

1j2r

2ij

k

1i

m

1j2y

FactorExplicadaCuadradosSumaSCE

2j

m

1j

FactorExplicadaCuadradosSumaSCE

2i

k

1i

sidualReCuadradosSumaSCR

2jiij

k

1i

m

1j

TotalCuadradosSumaSCT

2ij

k

1i

m

1j

−

−

=−

−

=−−

+−−

=−

−

=

−+−++−−=−

•••

=β

•••

=α

••••

= =

••

= =

ββ

•••

=

αα

•••

=

••••

= =

••

= =

∑∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑∑444 3444 21444 3444 2144444 344444 21444 3444 21

TABLA ANOVA II

Fuente devariación

Suma decuadrados gr. libertad Varianza Test F

Fisher-Snedecor Coeficiente Determinación 2R

Factor( )α ( )αSCE 1k −( )1k

SCES2−α

=α 2r

2

SSF α

α = ( ) 100.SCT

SCER2 α=α

Factor ( )β ( )βSCE 1m −( )1m

SCES2−β

=β 2r

2

S

SF ββ =

( ) 100.SCT

SCER2 β=β

Residual SCR ( )( )1m1k −− ( )( )1m1kSCRS2

r −−=

Total SCT 1m.k − ( ) ( ) 100.SCT

SCESCER2 β+α=

Análisis Estadístico: ANOVA II- Contrastes del efecto de cada factor -

Estadístico de Contraste

0únlgA:Hluyeinfno1FactorEl0:H

ia

k210

≠α=α==α=α L

2r

2

SSF α

α =

0únlgA:Hluyeinfno2FactorEl0:H

ja

m210

≠β=β==β=β L

2r

2

S

SF ββ =

FACTOR 2: ( ) ( ) ( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+±−=β−β −−α••

4444 84444 7648476

TípicoError

r1m1k;2

mediasDiferencia

jiji k1

k1StyyCI

Se desea estudiar la eficiencia (en cuanto la menor emisión de C02) de cinco máquinas desaladoras. Se piensa que la cantidad de salen el agua puede influir en dicha eficiencia.

Fuente Variación Suma Cuadrados grados libertad Varianza Test F

Factor ( )α ( ) 36,25SCE =α 41k =−( ) 34,61k

SCES2 =−α

=α 93,1058,034,6

SSF 2

r

2=== α

α

Factor ( )β ( ) 40SCE =β 21m =−( ) 201m

SCES2 =−β

=β 48,3458,0

20S

SF 2

r

2=== β

β

Residual 64,4SCR = ( )( ) 81m1k =−− ( )( ) 58,01m1k

SCRS2r =

−−=

Total 70SCT = 141km =−

Intervalo de confianza 85%306,2t 8;025,0 = ji yy •• − Error TípicoLímite Inferior Límite Superior

Poca sal Poca sal ----- --------- --------- ---------Bastante sal -2 0,4817 - 3,11 - 0,89Mucha sal -4 0,4817 - 5,11 - 2,89

Bastante sal Poca sal 2 0,4817 0,89 3,11Bastante sal ----- --------- --------- ---------Mucha sal -2 0,4817 - 3,11 - 0, 89

Mucha sal Poca sal 4 0,4817 2,89 5,11Bastante sal 2 0,4817 0,89 3,11Mucha sal ----- --------- --------- ---------

Intervalo de confianza 95%817,3t 8;0025,0 = •• − ji yy Error TípicoLímite Inferior Límite Superior

Máquina I Máquina I ----- --------- --------- ---------Máquina II - 3,34 0,6219 - 5,71 - 0,97Máquina III - 1,34 0,6219 - 3,71 1,03Máquina IV - 0,67 0,6219 - 3,04 1,7Máquina V - 3 0,6219 - 5,37 - 0,63

Máquina II Máquina I 3,34 0,6219 0,97 5,71Máquina II ----- --------- --------- ---------Máquina III 2 0,6219 - 0,37 4,37Máquina IV 2,67 0,6219 0,3 5,04Máquina V 0,34 0,6219 - 2,03 2,71

Máquina III Máquina I 1,34 0,6219 - 1.03 3,71Máquina II - 2 0,6219 - 4,37 0,37Máquina III ----- --------- --------- ---------Máquina IV 0,67 0,6219 - 1,7 3,04Máquina V - 1,66 0,6219 - 4,03 0,71

Máquina IV Máquina I 0,67 0,6219 - 1,7 3,04Máquina II - 2,67 0,6219 - 5,04 - 0,3Máquina III - 0,67 0,6219 - 3,04 1,7Máquina IV ----- --------- --------- ---------Máquina V - 2,33 0,6219 - 4,7 0,04

Máquina V Máquina I 3 0,6219 0,63 5,37Máquina II - 0,34 0,6219 - 2,71 2,03Máquina III 1,66 0,6219 - 0,71 4,03Máquina IV 2,33 0,6219 - 0,04 4,7Máquina V ----- --------- --------- ---------

Si en el INTERVALO no se encuentra el CERO, rechazamos que las medias son iguales.