Análisis de la solidificación en metales puros por el Método de Campo de Fases T E S I S Que para obtener el título de: Ingeniero en Metalurgia y Materiales P R E S E N T A Cristóbal Ricardo Escamilla Illescas Director de tesis Dr. Víctor Manuel López Hirata Ciudad de México Agosto de 2016 Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Departamento de Ingeniería en Metalurgia y Materiales
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Análisis de la solidificación en metales puros por el
Método de Campo de Fases
T E S I S Que para obtener el título de:
Ingeniero en Metalurgia y Materiales
P R E S E N T A Cristóbal Ricardo Escamilla Illescas
Director de tesis Dr. Víctor Manuel López Hirata
Ciudad de México Agosto de 2016
Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas
Departamento de Ingeniería en Metalurgia y Materiales
Dedicatoria
Dedicatoria
Dedicatoria
A mis padres y abuelos; que con su vida, hicieron posible la mía.
Agradecimientos
Agradecimientos
Llegar al final de una etapa no es simple, y es estando aquí, al mirar atrás, en donde me doy
cuenta de todo lo que necesité y se me fue dado para construir un camino que llevara hasta
este lugar. Quiero agradecer:
A Dios, por todas las fortuitas casualidades que nos permiten existir y dejar una
evidencia de nuestra presencia. Por la vida, el tiempo, el amor y por este fascinante mundo
en el que vivimos.
Al Instituto Politécnico Nacional, a la Escuela Superior de Ingeniería Química e
Industrias Extractivas y al Departamento de Ingeniería en Metalurgia y Materiales, por ser
el pilar de mi formación. Por darme una identidad como Politécnico y Metalúrgico, la cual
honrar y de la cual estar orgulloso.
A mis padres, María Victoria Illescas Faustino y Aurelio Escamilla Téllez, a quienes
debo más que el amor recibido, el techo bajo el que he vivido o todo lo que he aprendido.
Es por ustedes que me encuentro aquí, que soy este Ricardo. Han formado mi ser cada día
de mi vida. Lo bueno en mí se los debo a ustedes.
A mis hermanos, Juan Pablo, David y Esmeralda, que son la fuerza cohesiva de la
familia Escamilla Illescas, por mostrarme el camino con su ejemplo.
A mi asesor, el Dr. Víctor Manuel López Hirata, quien con su incansable guía hizo
posible este trabajo. Por llenar mis dudas con entendimiento y siempre encontrar tiempo
para escucharlas, por la interminable paciencia e interés, por compartir sus conocimientos
conmigo y por, incluso, sentarse conmigo a hacer cálculo vectorial.
A la Dra. Maribel Leticia Saucedo Muñoz, por hacer este trabajo cada vez más completo
con cada observación y por hacerme sentir parte de este fabuloso grupo de investigación.
A la Dra. Lucía Graciela Díaz Barriga Arceo, al Dr. Héctor Javier Dorantes Rosales y al
M. en C. Sergio Javier García Núñez, por tomarse el tiempo para leer y revisar este trabajo,
a fin de mejorarlo.
A Valeria Miranda López, quien ha caminado a mi lado cada día de estos últimos cinco
años, quien me ha visto y hecho crecer. Has iluminado mi vida con recuerdos rebosantes de
amor y felicidad. Eres verdaderamente la mejor compañera de viaje. Tengamos el viaje más
largo, ¿Sí?
Agradecimientos
Al Pbro. Felipe Galicia Reyes, quien me formó musical y humanamente, y me dio un
segundo hogar en Donceles número 49.
A la Ing. Tania Soriano Cruz, a Karen Ledezma Gutiérrez y Mauricio Trejo Cristerna,
que me brindaron su apoyo, amistad y compañía durante muchos días de trabajo.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, en particular a los proyectos 220929 y
220984, así como al programa de Becas de Estímulo Institucional de Formación de
Investigadores del Instituto Politécnico Nacional por el apoyo brindado para la realización
de este trabajo.
A todas las personas que han sido parte de mi formación personal y profesional, y que en
una clara muestra de ingratitud que sabrán perdonar, he olvidado mencionar.
en ella, debe reemplazarse el texto “PlotTypeID” por un número de tres cifras
característico de cada tipo de gráfica en Origin, “226” para las gráficas usadas en
este trabajo, y el texto “Template Name” por el nombre de una plantilla creada
previamente, que contiene el formato de las gráficas a generar, “Dendrite” en este
trabajo.
Este código debe haber sido designado previamente como la rutina personalizada,
seleccionando la opción “Script Window” en el menú “Window”, y seleccionando
la opción “Open” en el menú “File(Text)” para posteriormente seleccionar el
archivo Custom.ogs y reemplazar el contenido de este por el código de la rutina
creada.
v. Seleccionar la opción “Export Graphs” en el menú “File”. En el cuadro de diálogo
que se abre, seleccionar el formato de salida y la resolución de la imagen: en este
trabajo se eligieron imágenes .png con 300 DPI. Al dar clic en “OK”, se exportan
los archivos de imagen.
32
Resultados
3. Resultados
Los resultados que se presentan a continuación representan el crecimiento simulado de
cristales individuales, cuya nucleación fue heterogénea sobre la superficie de una partícula
de impureza localizada en el centro de la malla. Se considera que el metal solidifica a partir
de líquido estático, es decir, en ausencia de convección.
En las simulaciones se presenta el efecto del cambio en tres variables: magnitud de
anisotropía cristalina, δ, que representa la simulación de metales solidificándose bajo
distintas condiciones de tensión superficial, transporte de calor y de interacción entre su
intercara y el entorno; calor latente adimensional, κ, que representa la simulación de
metales con distintos calores latentes de fusión; y número de simetría de anisotropía, j, que
representa la simulación de metales con diferentes simetrías de crecimiento, es decir,
distintas estructuras cristalinas.
3.1 Simulaciones de simetría de anisotropía perfecta En esta sección se incluyen las simulaciones que corresponden a los casos ideales de
cristales que se solidifican con simetría de anisotropía perfecta, es decir, sin direcciones
preferenciales de crecimiento características de alguna estructura cristalina. Las
condiciones usadas en las simulaciones correspondientes a esta sección se resumen en la
tabla 2.
Tabla 2. Condiciones usadas para las simulaciones de simetría de anisotropía perfecta
Número de Figura
Magnitud de
Anisotropía
Cristalina ( δ )
Calor Latente
Adimensional ( κ )
Número de
Simetría de
Anisotropía ( j )
17 0.000 1.0 0.0
17 0.020 1.0 0.0
18 0.000 1.8 0.0
18 0.020 1.8 0.0
La figura 17 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional, κ, es unitario. 33
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 17 muestran la evolución de un cristal poligonal
simulado bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta e isotropía cristalina, que
presenta geometría casi circular.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 17 muestran la evolución de un cristal poligonal
simulado bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta y baja anisotropía cristalina,
δ = 0.020. A pesar del valor de anisotropía distinto a cero con el que se simuló, no se
aprecian cambios en la geometría del cristal.
Es evidente que ambos cristales presentan altas velocidades de crecimiento, ya que a un
tiempo de 0.32, casi todo el líquido disponible ha solidificado.
Figura 17. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 0.0 y κ = 1.0.
(a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con δ = 0.000. (d) t = 0.08; (e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con δ = 0.020.
La figura 18 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional tiene un valor
alto, κ = 1.8. 34
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 18 muestran la evolución de un cristal simulado
bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta e isotropía cristalina, que presenta
separación de puntas.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 18 muestran la evolución de un cristal simulado
bajo condiciones de simetría de anisotropía perfecta y baja anisotropía cristalina, δ = 0.020.
Este cristal presenta separación de puntas y una velocidad de crecimiento mayor que la del
cristal correspondiente a las imágenes (a), (b) y (c).
Ambos cristales presentan bajas velocidades de crecimiento, ya que a un tiempo de 0.6,
aún falta por solidificar una importante porción de líquido.
Figura 18. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 0.0 y κ = 1.8.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con δ = 0.000. (d) t = 0.2; (e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con δ = 0.020.
35
Resultados
3.2 Simulaciones de magnitud de anisotropía En esta sección se presentan las evoluciones de cristales con distintos valores de anisotropía
cristalina. En todas las simulaciones presentadas en esta sección se usó un valor fijo de κ =
1.8. Los valores de anisotropía cristalina y número de simetría de anisotropía usados en esta
sección se resumen en la tabla 3.
Tabla 3. Condiciones usadas para las simulaciones de anisotropía
Número de Figura Magnitud de Anisotropía
Cristalina ( δ )
Número de Simetría de
Anisotropía ( j )
19 0.000 4.0
19 0.000 6.0
20 0.005 4.0
20 0.010 4.0
20 0.020 4.0
20 0.050 4.0
20 0.080 4.0
20 0.120 4.0
21 0.005 6.0
21 0.010 6.0
21 0.020 6.0
21 0.050 6.0
21 0.080 6.0
La figura 19 muestra las simulaciones en condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000,
para la estructura cúbica, imágenes (a), (b) y (c); y la estructura hexagonal, imágenes (d),
(e) y (f).
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 19 muestran la evolución de un cristal de
estructura cúbica simulado bajo condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000, que aunque
inicialmente presenta una forma poligonal, con el tiempo desarrolla separación de puntas.
36
Resultados
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 19 muestran la evolución de un cristal de
estructura hexagonal simulado bajo condiciones de isotropía cristalina, δ = 0.000. No se
aprecian rasgos característicos de dicha estructura. Este cristal presenta separación de
puntas y una velocidad de crecimiento menor que la del cristal correspondiente a las
imágenes (a), (b) y (c).
Ambos cristales presentan bajas velocidades de crecimiento.
Figura 19. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.8 y δ = 0.000.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.4; (c) t = 0.6; con j = 4.0. (d) t = 0.2; (e) t = 0.4; (f) t = 0.6; con j = 6.0.
La figuras 20 y 21 muestran cristales con estructura cúbica, simulados con diferentes
condiciones de magnitud de anisotropía cristalina, usando valores de δ = 0.005, 0.01, 0.020
y δ = 0.050, 0.080, 0.120, respectivamente.
37
Resultados
Figura 20. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 4.0 y κ = 1.8.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.010.
(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.020.
38
Resultados
Figura 21. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 4.0 y κ = 1.8.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.080.
(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.120.
39
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal cuya
geometría es parcialmente dendrítica. Aunque se presentan brazos primarios y secundarios,
se observan remanentes de la estructura no dendrítica: puntas adicionales en direcciones
que no corresponden a las de crecimiento de acuerdo a la estructura cristalina simulada e
inestabilidades de la intercara en la zona central.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal cuya
geometría es casi totalmente dendrítica. Aunque aún existen remanentes de la estructura de
puntas separadas, la geometría del cristal es casi completamente dendrítica.
Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 20 muestran la evolución de un cristal dendrítico
típico de la estructura cúbica simulada, que presenta brazos primarios y brazos secundarios
pequeños creciendo con dirección ortogonal a estos.
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 21 muestran la evolución de un cristal dendrítico
cúbico con brazos primarios gruesos y crecimiento diferente en cada brazo secundario,
obtenida al simular la solidificación del cristal con un valor moderadamente alto de
anisotropía cristalina.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 21 muestran la evolución de un cristal dendrítico
cúbico con brazos primarios gruesos y un crecimiento notable en los brazos secundarios.
Puede observarse la interferencia de los brazos secundarios con crecimiento rápido en el
desarrollo de los brazos secundarios con crecimiento lento.
Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 21 muestran la evolución de un cristal dendrítico
cúbico simulado bajo condiciones de alta anisotropía cristalina, δ = 0.120, que presenta
brazos secundarios asimétricos y que crece con una velocidad menor a la de los cristales
presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f).
Puede observarse un aumento gradual en la velocidad de crecimiento de los cristales de
las figuras 20 y 21, que no continúa en la evolución expuesta en las imágenes (g), (h) e (i)
de la figura 21.
La figuras 22 y 23 muestran cristales con estructura hexagonal, simulados con diferentes
condiciones de magnitud de anisotropía cristalina, usando valores de δ = 0.005, 0.01, 0.020
y δ = 0.050, 0.080, respectivamente.
40
Resultados
Figura 22. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 6.0 y κ = 1.8.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.005.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.010.
(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con δ = 0.020.
41
Resultados
Figura 23. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 6.0 y κ = 1.8.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con δ = 0.050.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con δ = 0.080.
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 22 muestran la evolución de un cristal dendrítico
típico de la estructura hexagonal simulada, que presenta brazos primarios y brazos
secundarios.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 22 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal similar al presentado en las imágenes (a), (b) y (c), distinto de este en el
crecimiento ligeramente más rápido del cristal y en la geometría de los brazos secundarios.
Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 22 muestran la evolución de un cristal dendrítico
similar a los presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), distinto de estos en el
menor número de brazos secundarios y la ligeramente mayor velocidad de crecimiento.
42
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 23 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal con menor velocidad de crecimiento en comparación a las evoluciones expuestas
en la figura 22, con menor cantidad de brazos secundarios, obtenida al simular la
solidificación del cristal bajo condiciones de alta magnitud de anisotropía cristalina.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 23 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal que presenta una velocidad de crecimiento menor a la del cristal expuesto en las
imágenes (a), (b) y (c), con brazos secundarios pequeños, obtenida al simular la
solidificación del cristal bajo condiciones de alta magnitud de anisotropía cristalina.
3.3 Simulaciones de calor latente adimensional En esta sección se presentan las evoluciones de cristales con distintos valores de calor
latente adimensional. En todas las simulaciones presentadas en esta sección se usó un valor
fijo de δ = 0.020. Los valores de calor latente adimensional y número de simetría de
anisotropía usados en esta sección se resumen en la tabla 4.
Tabla 4. Condiciones usadas para las simulaciones de calor latente adimensional
Número de Figura Calor Latente
Adimensional ( κ )
Número de Simetría de
Anisotropía ( j )
24 1.0 4.0
24 1.0 6.0
25 1.5 4.0
25 1.8 4.0
25 2.2 4.0
26 1.5 6.0
26 1.8 6.0
26 2.2 6.0
La figura 24 muestra las simulaciones donde el calor latente adimensional, κ, es unitario,
para la estructura cúbica, imágenes (a), (b) y (c); y la estructura hexagonal, imágenes (d),
(e) y (f).
43
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 24 muestran la evolución de un cristal poligonal,
con forma similar a un cuadrado, que se vuelve convexa con el tiempo hasta ser similar a
un círculo.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 24 muestran la evolución de un cristal poligonal,
con forma similar a un hexágono, que se vuelve cóncava con el tiempo.
Ambos cristales presentan altas velocidades de crecimiento.
Figura 24. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de κ = 1.0 y δ = 0.020.
(a) t = 0.08; (b) t = 0.2; (c) t = 0.32; con j = 4.0. (d) t = 0.08; (e) t = 0.2; (f) t = 0.32; con j = 6.0.
Las figuras 25 y 26 muestran cristales simulados con diferentes condiciones de calor
latente adimensional, usando valores de κ = 1.5, 1.8 y 2.2, con estructura cúbica y
hexagonal, respectivamente.
44
Resultados
Figura 25. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 4.0 y δ = 0.020.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8.
(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con κ = 2.2.
45
Resultados
Figura 26. Evolución de la solidificación de cristales bajo condiciones de j = 6.0 y δ = 0.020.
(a) t = 0.2; (b) t = 0.32; (c) t = 0.4; con κ = 1.5.
(d) t = 0.2; (e) t = 0.32; (f) t = 0.4; con κ = 1.8.
(g) t = 0.2; (h) t = 0.32; (i) t = 0.4; con κ = 2.2.
46
Resultados
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 25 muestran la evolución de un cristal dendrítico
cúbico, que presenta brazos primarios gruesos y brazos secundarios pequeños.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 25 muestran la evolución de un cristal dendrítico
cúbico similar al presentado en las imágenes (a), (b) y (c), distinto de este en el crecimiento
más lento del cristal.
Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 25 muestran la evolución de un cristal dendrítico
similar a los presentados en las imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), distinto de estos en la
menor velocidad de crecimiento.
Las imágenes (a), (b) y (c) de la figura 26 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal, que presenta brazos primarios gruesos y brazos secundarios poco desarrollados.
Puede observarse la interferencia de los brazos secundarios con crecimiento rápido en el
desarrollo de los brazos con crecimiento lento, lo que ocasiona una geometría asimétrica.
Las imágenes (d), (e) y (f) de la figura 26 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal con brazos secundarios claramente desarrollados, con una velocidad de
crecimiento menor a la del cristal presentado en las imágenes (a), (b) y (c).
Las imágenes (g), (h) e (i) de la figura 26 muestran la evolución de un cristal dendrítico
hexagonal con una velocidad de crecimiento menor a la de los cristales expuestos en las
imágenes (a), (b), (c) y (d), (e), (f), que presenta brazos primarios delgados y brazos
secundarios poco desarrollados, con una geometría carente de simetría.
Puede observarse una disminución gradual en la velocidad de crecimiento de los cristales
de las figuras 25 y 26.
47
Discusión
4. Discusión
4.1 Comparación de dendritas en metales puros con dendritas simuladas Los cristales y estructuras dendríticas han sido observados de manera experimental en gran
cantidad de trabajos. A continuación se presentan fotografías de cristales dendríticos y se
comparan con las simulaciones obtenidas en este trabajo.
La figura 27 muestra (a) una dendrita de austenita, (b) el cristal correspondiente a dicha
dendrita modelado en tres dimensiones por medio del Método de Campo de Fases y (c) una
simulación obtenida en este trabajo.
Figura 27. Comparación entre (a) Imagen de Microscopio Electrónico de Barrido (MEB) de una
dendrita de austenita; (b) Cristal equiaxial calculado con un modelo de Campo de
Fases correspondiente a dicha dendrita; (22) (c) Simulación obtenida con
las condiciones de t = 0.2, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.020.
48
Discusión
Aunque en la figura 27 la dendrita de austenita, imagen (a), puede parecer distinta a la
obtenida en dos dimensiones en este trabajo, imagen (c), la imagen muestra un brazo
primario sobre el cual se desarrollan brazos secundarios, al igual que en la simulación de
este trabajo, que muestra una vista total del cristal, con cuatro brazos primarios y brazos
secundarios pequeños creciendo desde estos. Esto puede comprobarse con el cristal
modelado correspondiente a la dendrita de austenita, imagen (b), cuya vista superior
mostraría una geometría igual a la de la simulación del presente trabajo.
Las imágenes (a) y (b) de la figura 28 muestran dendritas de Succinonitrilo (SCN), un
compuesto orgánico usado como alternativa a los metales durante estudios experimentales
debido a que solidifica a temperatura ambiente en una estructura cúbica centrada en el
cuerpo (BCC) y es transparente, lo que permite un análisis a fondo de las estructuras
formadas. Al solidificar en una estructura BCC, los brazos primarios de la dendrita se
desarrollan en las seis direcciones < 100 >, manteniendo un ángulo ortogonal entre cada
brazo. (3) (12)
Figura 28. Comparación entre (a) Micrografía de una dendrita equiaxial de Succinonitrilo (SCN);
(b) Dendrita de Succinonitrilo con brazos secundarios casi periódicos; (3) (c) Simulación
obtenida con las condiciones de t = 0.2, j = 4.0, κ = 1.5 y δ = 0.020.
La imagen (a) de la figura 28 muestra la vista superior de un cristal equiaxial similar al
simulado en la imagen (b) de la figura 27. Al comparar la imagen (a) con la imagen (c) se
49
Discusión
prueba la similitud entre las dendritas observadas experimentalmente y las simuladas en
este trabajo, como se afirma anteriormente.
La figura 29 muestra la comparación entre dos dendritas de hielo, imágenes (a) y (c) y
dos simulaciones obtenidas en este trabajo, imágenes (b) y (d).
Figura 29. Comparación entre (a) Dendrita de hielo solidificada en agua pura sobreenfriada a
- 0.4 °C; (23) (b) Simulación obtenida con las condiciones de t = 0.2, j = 6.0, κ = 1.5 y δ = 0.020;
(c) Dendrita de hielo solidificada en una solución de agua y 5% de etilenglicol
sobreenfriada a -2.0 °C; (23) (d) Simulación obtenida con las
condiciones de t = 0.4, j = 6.0, κ = 1.8 y δ = 0.005.
50
Discusión
Aunque la geometría de las imágenes en la figura 29 es similar a la de un copo de nieve,
las dendritas mostradas no equivalen a estos, debido a que los copos de nieve se forman por
la transformación de vapor de agua en hielo.
Aunque tanto los copos de nieve, como el hielo solidificado en líquido sobreenfriado
presentan estructuras hexagonales, las dendritas expuestas se forman tras la nucleación y
crecimiento de un sólido en un líquido sobreenfriado. (5) (24)
La figura 30 muestra la comparación entre dos microestructuras donde se muestra el
fenómeno de separación de puntas, imágenes (a) y (b), y una simulación obtenida en este
trabajo, imagen (c).
Figura 30. Comparación entre (a) Micrografía de cristales con puntas separadas en una aleación
Al-4%Cu; (25) (b) Micrografía de cristales con puntas separadas en una aleación
Al-4.5%Cu; (26) (c) Simulación obtenida con las condiciones de
t = 0.6, j = 4.0, κ = 1.8 y δ = 0.000.
Además de haber similitud entre las imágenes presentadas en la figura 30, las imágenes
son comparables con las simulaciones de Kessler, Koplik y Levine (13) y de Brush y
Sekerka (14), presentadas en las figuras 12 y 13, respectivamente, y con las fotografías
obtenidas por Ben-Jacob y colaboradores (15) en su trabajo experimental, expuestas en la
figura 14.
Al comparar la geometría de las dendritas observadas experimentalmente de las figuras
27 y 28, con estructura FCC y BCC, respectivamente, con la geometría de las simulaciones 51
Discusión
presentadas en las respectivas figuras, se observa que las dendritas simuladas son
representativas de un metal con estructura cúbica.
Así mismo, al comparar la geometría de las dendritas hexagonales observadas
experimentalmente, de la figura 29, con las simulaciones expuestas en las mismas figuras,
se observa que las dendritas simuladas ofrecen una predicción realista de las dendritas en
metales con estructura hexagonal.
Lo anterior, en conjunto con la similitud entre las geometrías no dendríticas
experimentales, como los cristales con puntas separadas, y las simuladas, mostrada en la
figura 30, demuestra la capacidad del modelo usado para simular con precisión el
crecimiento de cristales dendríticos y de puntas separadas, y además, de simularlos en
diferentes estructuras cristalinas al variar el valor del número simetría de anisotropía, j.
4.2 Efecto de la anisotropía en la solidificación En la figura 31 se comparan las simulaciones de estructura cúbica obtenidas cuando la
magnitud de anisotropía se incrementa gradualmente desde cero y el resto de los
parámetros son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.4, a fin de exponer
el efecto de este parámetro sobre la geometría de los cristales formados.
La figura 31 (a), donde se simula una condición de isotropía, muestra un cristal con gran
número de protuberancias creciendo a partir de una zona con forma cuadrada de gran
tamaño y sin brazos característicos de un cristal dendrítico. Debido a la forma redondeada
de las protuberancias y a la evolución que presentan estas con el tiempo, como se presenta
en la figura 19 (c), se puede afirmar que se trata de un cristal que presenta separación de
puntas.
La imagen (b) de la figura 31, donde se muestra la simulación en condiciones de baja
magnitud de anisotropía, δ = 0.005, muestra un cristal con apariencia intermedia entre un
cristal dendrítico y uno con puntas separadas. En las cuatro direcciones principales para la
simetría cúbica se aprecian brazos primarios y secundarios, pero en las direcciones a 45° de
estas se presentan pares de protuberancias redondeadas. En la imagen (c) se observa un
caso similar, con un remanente de la estructura de puntas separadas y brazos primarios que
se desarrollan más a la vez que los brazos secundarios se vuelven menos notorios. En las
imágenes (d), (e) y (f) se muestran cristales completamente dendríticos, con brazos
52
Discusión
secundarios más notorios a mayores valores de anisotropía. Finalmente, la imagen (g)
muestra un cristal dendrítico con crecimiento limitado aún a valores mayores de
anisotropía.
Figura 31. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.4, j = 4.0, κ = 1.8 y magnitud de
La imagen (a) de la figura 32 muestra un cristal de puntas separadas carente de la
simetría hexagonal simulada. En las imágenes (b), (c) y (d), correspondientes a
simulaciones de baja anisotropía, se presentan cristales dendríticos altamente simétricos,
con brazos secundarios que crecen en la dirección de extracción de calor.
54
Discusión
Las imágenes (e) y (f) de la figura 32 muestran cristales dendríticos con crecimiento más
limitado a mayores valores de anisotropía, tanto en los brazos primarios como en los
secundarios.
En las simulaciones presentadas en las figuras 31 y 32, se pueden notar dos efectos:
a) La velocidad de crecimiento del cristal aumenta al aumentar la magnitud de
anisotropía, pero se presenta un máximo a valores altos de anisotropía, tras el cual,
la velocidad disminuye al aumentar δ.
Este efecto puede explicarse usando la Ecuación (26) en la Sección 1.3:
𝜎𝜎(𝑐𝑐) = 1 + 𝛿𝛿𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛿𝛿(𝑐𝑐 − 𝑐𝑐𝑜𝑜) ( 26 )
Debe recordarse que el valor de (θ – θ0) se asigna a cada valor de ∇ϕ. Cuando δ tiene
valor de 0.000, el segundo término se vuelve cero, con lo que σ(θ) tiene el mismo valor
para todos los valores de ∇ϕ, causando a su vez que ε tenga el mismo valor en todos los
puntos.
Así, la Ecuación (29) de la Sección 1.3,
𝜏𝜏𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕
= −𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� +
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
�𝜀𝜀𝜀𝜀′𝜕𝜕𝜙𝜙𝜕𝜕𝜕𝜕� + ∇ ∙ (𝜀𝜀2∇𝜙𝜙)
+ 𝜙𝜙(1 − 𝜙𝜙) �𝜙𝜙 −12
+ 𝑚𝑚� ( 29 )
sólo dependerá del valor de ϕ, que al ser determinado por el Método de Diferencias Finitas,
estará determinado por los valores de ϕ en las posiciones anteriores y posteriores a un nodo.
Como consecuencia, todas las direcciones en que puede crecer el núcleo presentan la
misma facilidad de crecimiento, en contraste a cuando existe un valor de δ, donde el
segundo término de la Ecuación (26) es de importancia, y junto con este término, el valor
asignado a (θ – θ0), que determina las direcciones preferenciales de crecimiento.
Considerando esto, en el escenario en el que δ tiene valor de 0.000, el crecimiento ideal
de acuerdo a la Ecuación (26) es aquel en el que la intercara crece siempre en todas las
55
Discusión
direcciones, formando una figura casi circular. Sin embargo, deben considerarse las
fluctuaciones debidas a la Ecuación (30) de la Sección 1.3:
𝑚𝑚(𝑇𝑇) = �𝛼𝛼𝜋𝜋� atan{𝛾𝛾(𝑇𝑇𝑒𝑒 − 𝑇𝑇)} ( 30 )
que contiene una función trigonométrica, y que causan la inestabilidad de la intercara, lo
que a su vez permite la formación de protuberancias, cuyo crecimiento, como se explicó en
la Sección 1.1.2, es termodinámicamente estable en un líquido sobreenfriado, como es el
caso de las simulaciones de este trabajo.
Al aumentar δ, la influencia del segundo término de la Ecuación (26) es mayor, con lo
que el crecimiento del cristal se limita cada vez más a las direcciones preferenciales de cada
estructura.
Esto explica que la disminución en la cantidad de brazos secundarios que se presentan a
mayores magnitudes de anisotropía sea más marcada en la estructura hexagonal, donde las
direcciones preferenciales se presentan cada 60°, por lo que la dirección de crecimiento de
un brazo secundario no es preferencial, resultando en que el crecimiento del brazo
secundario se suprima o este crezca con dificultad en la dirección de extracción de calor, ya
que los brazos primarios siguen creciendo con preferencia.
En contraste, en la estructura cúbica, donde las direcciones preferenciales se presentan
cada 90°, la dirección de crecimiento de los brazos primarios y secundarios coincide, por lo
que los brazos pueden crecer con mayor facilidad que en la estructura hexagonal.
El máximo en la velocidad de crecimiento presente a altos valores de anisotropía
cristalina se puede explicar al considerarse que las direcciones de extracción de calor están
siendo restringidas a aquellas en las que se desarrollan los brazos primarios a medida que se
aumenta la magnitud de anisotropía. Así, los brazos primarios y los pocos brazos
secundarios presentes son los únicos capaces de disipar calor, al crecer o volverse gruesos,
limitando el crecimiento del cristal completo.
b) La separación de puntas se suprime a medida que la magnitud de anisotropía
aumenta, y en las etapas previas a la supresión completa de esta estructura, se forma
un cristal con geometría intermedia, con brazos primarios que se forman antes de 56
Discusión
que ocurra la separación de puntas, como se describe en el trabajo de Kessler,
Koplik y Levine (13). Además, la supresión de la estructura de puntas separadas
ocurre a valores más bajos de δ cuando la simetría de anisotropía es mayor.
La presencia de remanentes de una estructura de puntas separadas en las estructuras
intermedias una vez más se debe a la Ecuación (26). Un valor cercano a cero de δ se
traduce en que el término (θ – θ0) tiene menos impacto en el valor de σ(θ). Con ello, la
influencia de (θ – θ0) que como ya se mencionó, determina las direcciones preferenciales de
crecimiento, se ve reducida, y aunque el cristal se desarrolla preferentemente en las cuatro
direcciones preferenciales de la estructura, existen remanentes de la separación de puntas.
A valores mayores de magnitud de anisotropía la influencia de (θ – θ0) se ve
magnificada, lo que causa que el cristal se desarrolle solo en las direcciones preferenciales
y la estructura de puntas separadas no esté presente.
La separación de puntas a bajos valores de δ en la estructura cristalina se debe a que el
número de direcciones preferenciales de la estructura hexagonal es mayor que el de la
estructura cúbica. Los brazos primarios, al desarrollarse de forma estable y en gran número
antes que la estructura de separación de puntas, impiden el posible crecimiento de
protuberancias entre ellos.
4.3 Efecto del calor latente adimensional en la solidificación En la figura 33 se comparan las simulaciones de estructura cúbica obtenidas cuando el calor
latente adimensional se incrementa gradualmente desde uno y el resto de los parámetros
son constantes, mostrando el estado de los cristales en t = 0.32, a fin de hacer evidente el
efecto de este parámetro sobre la geometría de los cristales formados.
La imagen (a) de la figura 33, donde se simula una condición de κ = 1.0, muestra un
cristal regular de forma redondeada, que como se puede ver en su evolución, en las
imágenes (a), (b) y (c) de la figura 24, crece a partir de un cristal con forma casi cuadrada.
La imagen (b) de la figura 45 muestra un cristal dendrítico con remanentes de una
estructura de separación de puntas, mientras que las imágenes (c) y (d) muestran cristales
dendríticos con brazos secundarios pequeños.
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Discusión
Figura 33. Simulaciones obtenidas con las condiciones fijas de t = 0.32, j = 4.0, δ = 0.020 y calor