-
página 67
5.1 INTRODUCCIÓN
Aunque no requiere ser presentada por conocida que es, la
circunferencia es el lugar geométrico detodos los puntos que
equidistan de un punto fijo, llamado centro.
A partir de este momento, las cónicas que restan por analizar
tienen por lo menos un término cuadráticoo « un cuadrado». Para
todas ellas existe, como un primer paso, el mismo procedimiento
para transformarsu ecuación de la forma general a la forma
particular, el cual consiste en dividir toda la ecuación
generalentre el número, o números, que dejen con coeficiente 1 a
todas las variables “al cuadrado”.
En el caso de la circunferencia, su ecuación en forma general
es
2 2A B D E F 0x y x y
pero como se mencionó en las páginas 24 y 25 al hablar del
análisis de la ecuación general, para que seacircunferencia se
requiere que “los cuadrados” sean iguales, es decir, que . Por lo
tanto, cuandoA Bse trata de una circunferencia, su ecuación general
puede escribirse como
2 2 DA E FA 0x y x y
Si se le aplica el primer paso general señalado en el primer
párrafo de este nuevo tema, esta ecuaciónqueda dividida entre A ,
de la siguiente forma:
2 2A A D E F 0A A A A A
x y x y
que simplificada resulta
2 2 D E F 0A A A
x y x y
-
página 68
La ecuación general de la circunferencia es
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 (5.1)
La ecuación particular de la circunferencia es
(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2 (5.2)
En donde:
(h , k ) indican las coordenadas del centro;r indica el valor
del radio.
Al final de cuentas, los coeficientes , , y son números también,
por lo que, para simplifi-DA
EA
FA
car la escritura simplemente se considera la ecuación de la
circunferencia en su forma general como:
Recordando lo que ya se dijo, la ecuación general proporciona
una información bastante limitada acercade las características de
la figura; en cambio, con la ecuación particular se obtienen los
datos necesariospara identificar plenamente a la cónica respectiva.
En el caso de la circunferencia, sus características prin-cipales
son la ubicación del centro y la medida del radio. La ecuación en
forma particular proporciona esainformación.
En esta ecuación, h indica el valor de la abscisadel centro, es
decir, el valor en x del desplazamientodel centro, mientras que k
indica el valor de la orde-nada del centro, es decir, el valor en
ye del despla-zamiento del centro. Ver figura 5.1.
Debe tenerse mucho cuidado en que los valoresde las coordenadas
del desplazamiento del centro, yaque cambian de signo al momento de
reemplazarseen la ecuación particular debido al signo negativoque
tiene su ecuación particular.
figura 5.1
-
página 69
Por ejemplo, si una circunferencia tiene radio y su centro en ,
le corresponden en4r C 2 3, este caso los valores de y de ; sin
embargo, en la ecuación particular, por el signo menos2h 3k que
ésta tiene, los hace cambiar de signos, quedando
2 22 3 16x y
Ejemplo: Si la ecuación de una circunferencia es , deducir el
valor de su radio y las 2 21 3 49x y coordenadas de su centro.
Solución: El 49 es , por lo tanto el radio es . Las coordenadas
del centro son .2r 7r C 1 3,
5.2 TRANSFORMACIONES
Debe quedar claro que tanto la ecuación general como la
particular son realmente la misma ecuación,solamente que escritas
de diferente manera, por lo que es posible hacer transformaciones
de una forma ala otra.
Para transformar la ecuación de una circunferencia de su forma
general a la particular es convenientepracticar antes un proceso
algebraico consistente en que teniendo el polinomio cuadrático ,2 D
Gx x
en donde D y G son números cualesquiera, pasarlo a la forma , en
donde también m y 2x m k
k son números cualesquiera. A éste último se le llamará binomio
al cuadrado más un residuo, en el quem es el segundo término del
binomio y k es el residuo.
En simbología matemática lo dicho en el párrafo anterior es
que
22 D Gx x x m k
Para comprender el proceso conviene analizar primero el
procedimiento inverso, es decir, pasar de unbinomio al cuadrado más
un residuo a un polinomio cuadrático. Por ejemplo, si se tiene el
polinomio
para convertirlo en un polinomio cuadrático es suficiente elevar
al cuadrado el binomio y 27 3x luego sumar términos semejantes.
Recordar que un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del
primertérmino, más el doble producto del primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo término.
De manera que
-
página 70
cuadrado doble cuadradodel primero producto del segundo
del primeropor el segund
2 2
o
3 37 14 49x x x
y sumando se llega a que49 3
2 27 3 14 52x x x
El proceso inverso consiste en que dado el trinomio cuadrático
anterior , transformarlo2 14 52x x
en un binomio al cuadrado más su residuo . Analizando el
procedimiento hecho renglones 27 3x arriba, se deduce que:
a) es el cuadrado del primer término del binomio buscado. Por lo
tanto, dicho primer término2x
es su raíz cuadrada, es decir x.
b) 14x es el doble producto del primer término por el segundo,
del binomio buscado. Por lo tanto,si se divide entre 2 se le quita
“lo doble” y así se obtiene el segundo término del binomio.14En
este ejemplo, es 7 dicho segundo término del binomio buscado.
Hasta este momento se podría escribir que
lado izquierdo lado derech
22
o
?14 52 7x x x
en donde el símbolo significa: ¿son iguales? lo cual no es
cierto porque lo escrito del lado izquierdo no?
es igual a lo escrito del lado derecho, debido a que el proceso
no está completo todavía. Hace falta verificarque lo que está
escrito del lado izquierdo realmente sea igual a lo que está
escrito del lado derecho:
En el lado derecho existe un término de más y otro de menos
respecto de lo que está escrito en el ladoizquierdo para que ambos
lados realmente sean iguales.
Si se desarrolla mentalmente el binomio al cuadrado que está
indicado en el lado derecho, lo que setiene allí es:
-
página 71
a) : que es el cuadrado del primer término del binomio. Esto
está también en el lado izquierdo.2xb) 14x : que es el doble
producto del primer término por el segundo del binomio. Obsérvese
que
también está en el lado izquierdo.c) + 49 : que es el cuadrado
del segundo término del binomio. Pero este + 49 no aparece en
el
lado izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y
debe quitarse restándolo.
Ahora bien, el 52 que aparece en lado izquierdo no existe en el
lado derecho, por lo tanto, para queambos lados sean realmente
iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese 52 que le falta y
quitarse el49 que le sobra, de la siguiente manera:
22 14 52 7 49 52x x x
Finalmente, sumando se llega a que49 52
22 14 52 7 3x x x
Ejemplo 1: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo.2
8 9x x
Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado
del primer término del bino-2 8 9x x 2xmio buscado y además es el
doble producto del primer término por el segundo del
mismo8xbinomio. Por lo tanto, el primer término de ese binomio
buscado es x mientras que el segundo térmi-no es (se obtiene de
dividir ). Provisionalmente se comienza escribiendo que4 8 2
(¿son iguales) 22 8 9?
4x x x
en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado
izquierdo es igual a lo escrito del lado dere-cho. Desarrollando
mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí
hay lo si-guiente:
a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está
también en el lado izquierdo.2x
b) : que es el doble producto del primer término del binomio por
el segundo. Obsérvese que8xtambién está en el lado izquierdo.
c) + 16 : que es el cuadrado del segundo término del binomio.
Pero este + 16 no aparece en el ladoizquierdo, por lo tanto está de
más en el lado derecho y debe quitarse restándolo.
-
página 72
Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el
lado derecho, por lo tanto, para9que ambos lados sean realmente
iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que le falta9y
quitarse el 16 que le sobra, de la siguiente manera:
22 8 9 4 16 9x x x
22 8 9 4 25x x x
Ejemplo 2: Transformar a un binomio al cuadrado más un residuo.2
5 1x x
Solución: Se sabe que del trinomio cuadrático , es el cuadrado
del primer término del binomio2 5 1x x 2xbuscado y 5x es el doble
producto del primer término por el segundo del mismo binomio. Por
lo
tanto, el primer término de ese binomio buscado es x mientras
que el segundo término es (se52
obtiene de dividir ). Provisionalmente se comienza escribiendo
que5 2
(¿son iguales?)2
2 55 12
?x x x
en donde falta todavía investigar si realmente lo del lado
izquierdo es igual a lo escrito del lado dere-cho. Desarrollando
mentalmente el binomio al cuadrado del lado derecho, se ve que allí
hay lo si-guiente:
a) : que es el cuadrado del 1er término del binomio. Esto está
también en el lado izquierdo.2x
b) : que es el doble producto del primer término del binomio por
el segundo. Obsérvese que también5xestá en el lado izquierdo.
c) : que es el cuadrado del segundo término del binomio. Pero
este no aparece en el lado254
254
izquierdo, por lo tanto está de más en el lado derecho y debe
quitarse restándolo.
Ahora bien, el que aparece en lado izquierdo no existe en el
lado derecho, por lo tanto, para que1ambos lados sean realmente
iguales, en el lado izquierdo debe agregarse ese que le falta y
quitarse1
el que le sobra, de la siguiente manera:254
-
página 73
22 5 255 1 1
2 4x x x
22 5 25 45 1
2 4x x x
22 5 295 1
2 4x x x
EJERCICIO ADICIONAL
Convertir a un binomio al cuadrado más un residuo los siguientes
trinomios cuadráticos:
1) 2)2 12 3x x 2 10 7x x 3) 4)2 2 21x x 2 14 11x x 5) 6)2 22 8x
x 2 16 32x x 7) 8)2 11x x 2 3 13x x 9) 10)2 9x x 2 7x x
-
página 74
1) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la
forma general a la forma parti-cular:
* Se divide toda la ecuación entre el coeficiente de x 2 para
que quede de la formax2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0.
* Con los términos x 2 + Dx se obtiene un binomio al cuadrado
más su residuo.
* Con los términos y2 + Ey se obtiene un binomio al cuadrado más
su residuo.
* Se escriben en el lado derecho todas las constantes y se
suman.
Nota: No olvidar que inicialmente la ecuación original estaba
igualada a cero.
2) Para transformar la ecuación de una circunferencia de la
forma particular a la forma ge-neral:
* Se desarrollan los dos binomios: (x - h)2 y (y - k)2 .
* Se escriben todos los términos en el lado izquierdo para que
quede igualado a cero.
* Se suman los términos semejantes, si resultan algunos y se
ordenan en la forma2 2 D E F 0x y x y
5.3 REGLAS PARA LAS TRANSFORMACIONES
Ejemplo 3: Transformar a la forma particular la ecuación 2 2 6 4
12 0x y x y
Solución: Se juntan, en primer lugar, los términos con las
mismas variables, es decir, por un lado los que con-tienen a la
variable equis y por otro a los que contienen a la variable ye.
Esto pueden hacerse men-talmente o en caso necesario escribirlo de
la forma
2 26 4 12 0x x y y
-
página 75
Con los términos en x , es decir, con se obtiene un binomio al
cuadrado más su residuo;2 6x xluego, con los términos en ye , es
decir, con se obtiene también un binomio al cuadrado2 4y ymás su
residuo:
2 22 26 4 12 3 9 2 4 12x x y y x y
Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba
inicialmente igualado a cero, significa quetodo el lado derecho
también es igual a cero, por lo que se puede escribir que
2 23 9 2 4 12 0x y
Sumando las constantes se reduce a9 4 12
2 23 2 25 0x y
Y finalmente escribiendo esa constante en el lado dere-cho, la
ecuación particular buscada es
2 23 2 25x y
Se trata de una circunferencia con centro y cuyo C 3 2, radio es
. Su gráfica está mostrada en la figura 5.2.5r
Ejemplo 4: Transformar a la forma particular la ecuación .2 2 2
35 0x y x
Solución: Obsérvese, conforme se estudió en el análisis de la
ecuación general de las cónicas, que se trata deuna circunferencia
por tener los coeficientes de los dos términos cuadráticos
iguales.
Se juntan, en primer lugar, los términos con las mismas
variables, es decir, por un lado los que con-tienen a la variable x
y por otro a los que contienen a la ye. Esto pueden hacerse
mentalmente o encaso necesario escribirlo de la forma
figura 5.2
-
página 76
2 22 35 0x x y
Con los términos en x , es decir, con se obtiene un binomio al
cuadrado más su residuo;2 2x xluego, con los términos en ye , en
este caso solamente con se obtiene también un binomio al2ycuadrado
más su residuo:
2 22 22 35 1 1 0 35x x y x y
Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba
inicialmente igualado a cero, significa quetodo el lado derecho
también es igual a cero, por lo que se puede escribir que
2 21 1 0 35 0x y
Al sumar las constantes se reduce a1 35 36
2 21 0 36 0x y
Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la
ecuación particular buscada es
2 21 0 36x y
que también puede escribirse, si se desea, como
2 21 36x y
Se trata de una circunferencia cuyo centro tiene porcoordenadas
y radio . Su gráfica C 1 0, 6r corresponde a la figura 5.3.
figura 5.3
-
página 77
Ejemplo 5: Transformar a la forma general la ecuación . 2 21 2
16x y
Solución: Se trata de la circunferencia con centro y C 1 2,radio
, mostrada en la figura 5.4.4r
Elevando al cuadrado ambos binomios, se obtiene:
2 22 1 4 4 16x x y y
igualando a cero:
2 22 1 4 4 16 0x x y y
sumando los términos semejantes y ordenando:
2 2 2 4 11 0x y x y
Ejemplo 6: La ecuación de una circunferencia es . Encontrar las
coordenadas del2 22 2 20 192 0x y x centro y el valor del
radio.
Solución: Lo primero que debe hacerse en toda cónica que tenga
términos al cuadrado, es «quitarles el numeri-to a los cuadrados»,
o sea dividir toda la ecuación entre los coeficientes de y de . En
este caso,2x 2y
dividir entre a toda la ecuación. Haciéndolo se obtiene:2
2 2 10 96 0x y x
Después debe pasarse la ecuación a la forma particular:
2 22 210 96 5 25 0 96x x y x y
figura 5.4
-
página 78
Como lo escrito del lado izquierdo del signo igual estaba
inicialmente igualado a cero, significa quetodo el lado derecho
también es igual a cero, por lo que se puede escribir que
2 25 25 0 96 0x y
Al sumar las constantes se25 96 121 reduce a
2 25 0 121 0x y
Y finalmente escribiendo esa constante en el ladoderecho, la
ecuación particular buscada es
2 25 0 121x y
que también puede escribirse, si se desea, como
2 25 121x y
de donde se deduce que h = 5 y k = 0 ,por lo quelas coordenadas
del centro son y el radio es r = 11 (figura 5.5). C 5 0,
figura 5.5
-
página 79
EJERCICIO 5.1
Transformar a la forma particular las siguientes ecuaciones y
deducir las coordenadas del centro y el radio de
cadacircunferencia:
1) 2 2 2 4 1 0x y x y 2) 2 2 2 10 17 0x y x y 3) 2 2 4 4 1 0x y
x y 4) 2 2 2 2 1 0x y x y 5) 2 2 10 6 2 0x y x y 6) 2 2 6 4 36 0x y
x y 7) 2 24 4 56 8 196 0x y x y 8) 2 23 3 60 30 300 0x y x y 9) 2 2
16 48 0x y y 10) 2 2 18 65 0x y x
Transformar a la forma general las siguientes ecuaciones de
circunferencias:
11) (x + 1)2 + (y + 9)2 = 912) (x + 7)2 + (y - 2)2 = 4913) (x -
3)2 + (y + 12)2 = 16914) (x + 10)2 + (y + 9)2 = 8115) (x + 11)2 +
(y - 1)2 = 2516) (x + 13)2 + (y - 8)2 = 417) (x - 4)2 + (y + 3)2 =
118) (x - 2)2 + (y - 9)2 = 3619) x2 + (y - 5)2 = 1620) (x + 6)2 +
y2 = 400
Hallar la ecuación de cada circunferencia que se describe a
continuación:
21) las coordenadas del centro son C(2, 0) y su radio es r = 3
.22) las coordenadas del centro son C(5, - 1) y su radio es r = 2
.23) las coordenadas del centro son C(- 6, 10) y su radio es r = 7
.24) las coordenadas del centro son C(0, - 7) y su radio es r = 12
.25) las coordenadas del centro son C(3, - 4) y su radio es r = 4
.26) las coordenadas del centro son C(- 8, - 3) y su radio es r = 9
.27) las coordenadas del centro son C(- 9, 1) y su radio es r = 14
.28) las coordenadas del centro son C(0, 0) y su radio es r = 8
.29) las coordenadas del centro son C(11, 4) y su radio es r = 13
.30) las coordenadas del centro son C(7, 7) y su radio es r = 7
.
-
página 80
5.4 CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR TRES PUNTOS CONOCIDOS
Para que una circunferencia quede bien definida deben
conocersemínimo tres puntos por los que pasa. Con dos puntos nada
más no quedabien definida, pues por allí pueden pasar un sinnúmero
de circunferen-cias. La figura 5.6 muestra tres circunferencias que
pasan por los puntosP y Q, pero pueden pasar muchas más.
Cuando se conocen las coordenadas de tres puntos por los que
pasauna circunferencia, para hallar su ecuación existen tres
opciones:
Primera opción: se sustituyen los valores de x y de ye de
cadapunto en la ecuación general de la circunferencia, con lo que
seobtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas D, E y F,
sistemaque se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o
con lacalculadora. Una vez encontrados los valores de esas
constantesD , E y F , se reemplazan en la ecuación general.
Segunda opción: se sustituyen los valores de x y de ye de cada
punto en la ecuación particularde la circunferencia, con lo que se
obtienen tres ecuaciones con las tres incógnitas h, k y r ,
sistemaque se resuelve por cualquiera de los métodos conocidos o
con la calculadora. Una vez encontradoslos valores de esas
constantes h , k y r, se reemplazan en la ecuación particular.
Tercera opción: Se trazan dos cuerdas uniendo los puntos
conocidos; luego se calculan las ecua-ciones de sus mediatrices y
se obtienen las coordenadas del punto de intersección de dichas
media-trices. Como éstas pasan por el centro (ver propiedad 2 de la
circunferencia, página 9), ese puntoes el centro de la
circunferencia. Finalmente se calcula distancia entre el centro y
cualquiera de lospuntos conocidos, obteniéndose así el radio.
En general, cualquier razonamiento, mientras no sea falso, es
válido. Simplemente hay que tener pre-sente la regla del Álgebra
que dice que se deben tener igual número de ecuaciones como de
incógnitas,para poder resolver el sistema . O sea que si se tienen
dos incógnitas, deben tenerse dos ecuaciones; si setienen tres
incógnitas, deben tenerse tres ecuaciones. De otra forma no se
puede solucionar el sistema.
Ejemplo 1: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 8) ; Q(5,
1) y R(- 2, 0) . Hallar su ecuación empleandola primera opción.
NOTA: La C no se emplea para nombrar a algún punto de una
circunferencia ya que esta letrase reserva mejor para denominar así
al centro.
Solución: La ecuación general de la circunferencia es
figura 5.6
-
página 81
(A)2 2 D E F 0x y x y
Para el punto P se tiene que x = 4 e y = 8 . Sustituyendo esos
valores en la ecuación (A) se obtienela primera ecuación con tres
incógnitas:
2 24 8 4 8 0D E F Haciendo las operaciones indicadas y ordenando
se obtiene que
16 64 4 8 0D E F (1)4 8 80D E F
Para el punto Q se tiene que x = 5 e y = 1. Sustituyendo esos
valores en la ecuación (A) se obtienela segunda ecuación con tres
incógnitas:
2 25 1 5 1 0D E F Efectuando las operaciones indicadas y
ordenando se llega a
25 1 5 0D E F (2)5 26D E F
Para el punto R se tiene que x = - 2 e y = 0. Sustituyendo esos
valores en la ecuación (A) se obtie-ne la tercera ecuación con tres
incógnitas:
2 22 0 2 0 0D E F Realizando las operaciones indicadas y
ordenando se obtiene
4 0 2 0 0D E F (3)2 4D F
Juntando y resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres
incógnitas que resultó:
(1)4 8 80D E F (2)5 26D E F
(3)2 4D F
Este sistema se puede resolver directamente con la calculadora,
o bien cambiándole de signo a toda laprimera ecuación y luego
sumándola con la ecuación (2) y con la (3), para eliminar la
variable F , seobtiene un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
-
página 82
4 8 805 26
7 54 4
D E FD E FD E
4 8 802 46 8 576
D E FD FD E
Debe ahora resolverse este nuevo sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas (4) y (5), ya sea porel método de suma y resta, por
igualación, por sustitución o por determinantes, aunque se
aconsejaque se haga mejor con la calculadora:
7 546 8 76
45
D E
D E
Con la calculadora se obtiene que
288
DEF
Teniendo ya los valores de las tres variables D, E y F , se
reemplazan en la ecuación general de la cir-cunferencia (A) , para
obtener finalmente la ecuación de la circunferencia pedida:
2 2 2 8 8 0x y x y
Ejemplo 2: Una circunferencia pasa por los puntos P(2, 4) ; Q(1,
- 3) y R(- 7, 1). Hallar su ecuación empleandola segunda
opción.
Solución: La ecuación particular de la circunferencia es
(B) 2 2 2x h y k r
Para el punto P se tiene que x = 2 e y = 4. Sustituyendo esos
valores en la ecuación (B) se obtienela primera ecuación con tres
incógnitas:
(6) 2 2 22 4h k r
-
página 83
Para el punto Q se tiene que x = 1 e y = - 3. Sustituyendo esos
valores en la ecuación (B) se obtienela segunda ecuación con tres
incógnitas:
(7) 2 2 21 3h k r Para el punto R se tiene que x = - 7 e y = 1.
Sustituyendo esos valores en la ecuación (B) se obtienela tercera
ecuación con tres incógnitas:
(8) 2 2 27 1h k r
Juntando las tres ecuaciones y resolviendo el sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas queresultó:
(6) 2 2 22 4h k r
(7) 2 2 21 3h k r
(8) 2 2 27 1h k r
Como todas están igualadas a r 2 , significa que todos los lados
izquierdos son iguales entre sí. Demanera que igualando la ecuación
(6) con la (7) y luego la (6) con la (8), se reduce el sistema a
dosecuaciones con dos incógnitas.
Igualando entonces la ecuación (6) con la (7) :
(2 - h)2 + (4 - k)2 = (1 - h)2 + (- 3 - k)2
desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los
términos en el lado izquierdo y elimi-nando términos semejantes, se
obtiene que:
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 1 - 2h + h2 + 9 + 6k + k24 - 4h +
h2 + 16 - 8k + k2 - 1 + 2h - h2 - 9 - 6k - k2 = 0
- 2h - 14k + 10 = 0 (9)
Igualando ahora la ecuación (6) con la (8) :
(2 - h)2 + (4 - k)2 = (- 7 - h)2 + (1 - k)2
desarrollando los binomios al cuadrado y escribiendo todos los
términos en el lado izquierdo y elimi-nando términos
semejantes:
4 - 4h + h2 + 16 - 8k + k2 = 49 + 14h + h2 + 1 - 2k + k24 - 4h +
h2 + 16 - 8k + k2 - 49 - 14h - h2 - 1 + 2k - k2 = 0
- 18h - 6k - 30 = 0 (10)
-
página 84
Juntando la ecuación (9) y la (10) se tiene ahora el siguiente
nuevo sistema de dos ecuaciones condos incógnitas:
- 2h - 14k + 10 = 0 (9)- 18h - 6k - 30 = 0 (10)
Resolviendo el sistema con la calculadora se llega a que
2h
1k
sustituyendo estos valores en la ecuación (6) :
2 2 22 2 4 1 r
2 2 22 2 3 r 16 + 9 = r 2
5r
Teniendo ya los valores de las tres variables h , k y r , se
reemplazan en la ecuación particular (3.2)de la circunferencia
(página 68), para obtener finalmente la ecuación de la
circunferencia pedida:
2 22 1 25x y
Ejemplo 3: Una circunferencia pasa por los puntos P(4, 7) ; Q(6,
- 7) y R(- 10, 5) . Hallar su ecuación emplean-do la tercera
opción.
Solución: Se trazan las cuerdas RP y PQ uniendo los puntos
conocidos (paso 1, figura 5.7). Sobre estas cuer-das se trazan las
mediatrices (paso 2, figura 5.7) y su intersección es el centro de
la circunferenciabuscada. finalmente, la distancia del centro a
cualquiera de los puntos dados es el radio de la circun-ferencia
(paso 3, figura 5.7).
-
página 85
El procedimiento analítico es:
a) Calcular la pendiente de la cuerda RP:
1 2
1 2
y ymx x
7 5
4 10RPm
2 114 7RP
m
b) Obtener la pendiente de la mediatriz a RP. Por el resultado
anterior, significa que la pendientede la mediatriz a RP, por la
condición de perpendicularidad, es (- 7 ).
c) Calcular las coordenadas del punto medio s de la cuerda RP
:
1 2
2mx xx 1 2
2my yy
4 102m
x 7 52m
y
6 32m
x 12 62m
y
figura 5.7
-
página 86
Las coordenadas de ese punto medio son: s(- 3, 6).
d) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a RP
y su pendiente, su ecuación (dela mediatriz) es, utilizando la
fórmula de punto y pendiente de la página 49:
1 1y y m x x
que en este caso se tienen los valores:
1 3x
1 6y 7m
sustituyendo valores:
6 7 3y x 6 7 3y x
6 7 21y x 7 21 6y x 7 15y x
(11)7 15 0x y
e) Se repiten todos los pasos anteriores ahora con la cuerda PQ.
La pendiente de la cuerda PQ es:
1 2
1 2
y ymx x
7 74 6PQ
m
14 72PQ
m
f) Obtener la pendiente de la mediatriz a PQ. Por el resultado
anterior, significa que la pendiente
de la mediatriz a PQ, por la condición de perpendicularidad, es
.17
g) Calcular las coordenadas del punto medio n de la cuerda PQ
:
;1 22m
x xx 1 22m
y yy
-
página 87
;4 6
2mx 7 7
2my
;10 52m
x 0 02m
y
Las coordenadas de ese punto medio son: n(5, 0).
h) Como se conoce ya un punto por el que pasa la mediatriz a PQ
y su pendiente, su ecuación (dela mediatriz) es, utilizando la
fórmula de punto y pendiente de la página 49:
1 1y y m x x
que en este caso se tienen los valores:
1
1
5coordenadas del punto medio .
0n
xy
17
m
sustituyendo valores:
10 57
y x
7 5y x (12)7 5 0x y
i) Obtener el punto de intersección de las dos mediatrices.
Recordar que dicho punto se obtieneresolviendo por simultáneas las
ecuaciones que se intersecan. En este caso el sistema de
ecuacio-nes que debe resolverse es la (11) y (12), o sea
7 15 07 5 0
x yx y
Con la calculadora se llega a que
2x 1y
de manera que las coordenadas del centro de la circunferencia
que son las coordenadas del puntodonde se cortan estas dos
mediatrices son . C 2 1,
-
página 88
j) Calcular el valor del radio, que es la distancia entre el
centro y cualquiera de los puntos conoci-dos, por ejemplo P,
utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos de la página
31:
2 21 2 1 2d x x y y
2 24 2 7 1r
2 24 2 7 1r
2 26 8r
36 64r
100 10r
k) Teniendo las coordenadas del centro y el valor del radio, se
sustituyen en la ecuación particularde la circunferencia, para
llegar a:
2 2 2x h y k r
2 22 1 100x y
Ejemplo 4: Las coordenadas de un rombo son P(- 5, 2) ; Q(3, 8) ,
R(11, 2) y S(3, - 4). Hallar la ecuación de lacircunferencia
inscrita a dicho rombo.
Solución: La figura 5.8 muestra gráficamente lo que pide
elenunciado de este problema. Para que la circunferen-cia sea
inscrita al rombo debe tocar en un solo puntoa cada uno de sus
lados, es decir, cada lado del rom-bo es tangente a la
circunferencia.
Por lo tanto, la clave para solucionar este problemaserá
recordar la propiedad 1 de la circunferencia vistaen la página 9:
Toda tangente a una circunferenciaes perpendicular al radio trazado
desde el punto detangencia.
En la figura 5.8, el punto C representa el centro de
lacircunferencia (que lo es también del rombo) y elpunto F
representa el punto de tangencia entre la cir-cunferencia y el lado
RS, por lo que el radio CF y ellado RS son perpendiculares.
figura 5.8
-
página 89
En este caso, las coordenadas del centro C se pueden deducir a
simple vista, lo cual es válido ya quese tiene la seguridad de que
los puntos P y R están a la misma altura horizontal mientras que
lospuntos Q y S están alineados verticalmente. Por lo tanto, las
coordenadas del centro son . C 3 2,
De tal manera que para encontrar la ecuación de la
circunferencia ya solamente hace falta saber lamedida del radio.
Dicha medida se puede obtener de dos formas: una, conociendo las
coordenadasdel punto de tangencia F de lo que el radio sería la
distancia entre dos puntos, el centro y F. La se-gunda forma,
teniendo la ecuación del lado RS se puede calcular la distancia de
RS al punto C.
En cualquiera de las dos formas es necesaria la ecuación del
lado RS.
La ecuación de RS se puede calcular porque se tienen dos puntos
por los que pasa.
; o sea que R 11 2, 1 111 ; 2x y ; o sea que S 3 4, 2 23 ; 4x
y
1 21 11 2
y yy y x xx x
2 42 1111 3
y x
62 118
y x
Nótese que la pendiente de RS es 32 114
y x 34RS
m
4 2 3 11y x 4 8 3 33y x
ecuación de RS.3 4 25x y
A partir de la pendiente de RS que resultó , por la regla de
perpendicularidad entre dos34RS
m
rectas, se deduce que la pendiente del radio CF es . Conociendo
ya las coordenadas de43CF
m
un punto por el que pasa el radio CF y su pendiente, se calcula
su ecuación. Estos datos son:
; o sea que C 3 2, 1 13 ; 2x y 43CF
m
-
página 90
1 1y y m x x
42 33
y x
3 2 4 3y x 3 6 4 12y x
ecuación de CF.4 3 18x y
resolviendo por simultáneas las ecuaciones de RS y de CF se
obtienen las coordenadas del punto detangencia F. Dicho sistema
es:
3 4 254 3 18x yx y
que haciéndolo con la calculadora se llega a que
5 88x .1 84y .
La longitud del radio CF se obtiene con la fórmula de distancia
entre dos puntos, cuyos datos de esosdos puntos son:
, o sea que C 3 2, 1 13 ; 2x y o sea que F 5 88 ; 1 84. . 2 25
88 ; 1 84x . y .
2 21 2 1 2d x x y y
22CF 3 5 88 2 1 84. .
2 2CF 2 88 3 84. .
CF 8 2944 14 7456. .
CF 23 04.
CF 4 8.
Finalmente, teniendo las coordenadas del centro de la
circunferencia y la magnitud del C 3 2,radio , con la ecuación
particular de la circunferencia se llega a que4 8r .
-
página 91
2 2 2x h y k r
2 2 23 2 4 8x y .
2 23 2 23 04x y .
Este problema también se pudo haber resuelto calculando la
longitud del radio por medio de la fór-mula de distancia entre un
punto y una recta.
5.5 CASOS ESPECIALES
1) Si , la gráfica es un punto.0r
Por ejemplo, . 2 2 4 6 13 0x y x y
Pasándola a la forma particular se obtiene . 2 22 3 0x y
2) Si , no existe gráfica.0r
Por ejemplo, .2 2 2 6 14 0x y x y
Pasándola a la forma particular se obtiene . Cualquier cantidad
elevada al 2 21 3 4x y cuadrado es positiva, así que la suma de dos
cantidades positivas no puede dar negativa.
-
página 92
EJERCICIO 5.2
Algunos problemas incluyen sugerencias para el estudiante para
ayudarle al razonamiento respectivo que le llevará ala solución.
Otros tendrán sugerencias en la página de las soluciones.
1) Una circunferencia pasa por los puntos P(7, 16) ; Q(- 11, 4)
y R(- 10, - 1). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados,
encontrar su ecuación.
2) Una circunferencia pasa por los puntos P(11, 7) ; Q(4, - 10)
y R(- 6, - 10). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados,
encontrar su ecuación.
3) Una circunferencia pasa por los puntos P(10, - 12) ; Q(- 14,
0) y R(- 11, 9). Por cualquiera de los tres méto-dos explicados,
encontrar su ecuación.
4) Una circunferencia pasa por los puntos P(- 3, - 8) ; Q(- 2, -
1) y R(- 9, 0). Por cualquiera de los tres métodosexplicados,
encontrar su ecuación.
5) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 7
8,
y . Hallar las coordenadas del centro Q 5, - 6 R - 11, 2de la
circunferencia circunscrita a dicho triángulo (ver figura5.9).
Sugerencia: Ver propiedades de los triángulos, página 6. En
lafigura 5.9 el punto medio de PR es mPR y el punto medio de QRes
mQR. De estos puntos se han trazado las mediatrices
(perpen-diculares a sus lados respectivos) y donde se cruzan C es
elcentro de la circunferencia circunscrita. La distancia de C
acualquiera de los vértices del triángulo es el radio.
6) En el problema anterior, hallas la ecuación de la
circunferen-cia circunscrita al triángulo.
7) Hallar la ecuación de la recta tangente a la
circunferencia
en el punto P(5, 2) . Ver figura 5.10. 2 2x - 2 + y - 6 = 25
Sugerencia: Con las coordenadas del centro C de la
circunferenciay las del punto P se puede calcular la pendiente del
radio CP. Dichoradio es perpendicular a la recta tangente. Entonces
se pueden tenercomo datos la pendiente y un punto por el que pasa
dicha recta tan-gente.
8) Encontrar la ecuación de la recta que es tangente a la
circunferen-cia en el punto P(- 2, 9).2 2 4 12 15 0x y x y
9) Los extremos de uno de los diámetros de una circunferencia
sonlos puntos P(-12, 14) y Q(6, -10). Hallar la ecuación de
dichacircunferencia (ver figura 5.11).
figura 5.9
figura 5.10
-
página 93
Sugerencia: El punto medio de los extremos del diámetro dado es
elcentro de la circunferencia. La distancia de dicho centro a
cualquierade los puntos P o Q es el radio.
10) Los extremos de uno de sus diámetros de una circunferencia
son lospuntos P(- 8, - 11) y Q(- 2, - 3). Hallar la ecuación de
dicha circun-ferencia.
11) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 2,
5
y . Hallar la ecuación de la circunferencia Q - 12, 7 R - 3, -
5que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR
(verfigura 5.12).
Sugerencia: El radio de la circunferencia es la distancia que
hay dellado QR al centro P, que con la fórmula de distancia de una
recta a unpunto se puede obtener.
12) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son: ; P 4,
0
y . Hallar la ecuación de la circunferencia Q -3, 17 R -13, -
7que tiene su centro en el vértice P y es tangente al lado QR.
13) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está
sobre el ejeye y pasa por los puntos P(9, - 9) y Q(12, 12). Ver
figura 5.13.
Sugerencia: Si el centro está sobre el eje ye significa que h =
0 y la
ecuación de la circunferencia es de la forma . 22 2x y k r En
los puntos P y Q los valores de x y de ye están dados. Si se
sus-tituyen en la ecuación de la circunferencia mencionada se
obtienen dos
ecuaciones que son iguales a , por lo tanto se pueden igualar
para2robtener el valor de k.
14) Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está
sobre el ejex y pasa por los puntos P(0, 3) y Q(7, - 4).
15) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto y que es tangente a la recta 5x + 12y + 184 = 0 en el Q 9, -
5
punto P(- 8, - 12) (ver figura 5.14).
Sugerencia: Por las propiedades de la circunferencia, la
mediatriz dela cuerda PQ pasa por el centro de la circunferencia y
el radio que pasapor P es perpendicular a la recta tangente. Esas
dos ecuaciones se pue-den calcular y el punto de intersección entre
ellas es el centro de lacircunferencia.
figura 5.11
figura 5.12
figura 5.13
-
página 94
16) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el
punto y que es tangente a la recta 4x - 3y + 38 = 0 en el punto Q
2, 7
P(- 5, 6).
17) Comprobar que la circunferencia cuya ecuación en forma
generales es tangente exterior con la cir-2 2 18 6 65 0x y x y
cunferencia de ecuación . Ver figura 5.15.2 2 30 125 0x y -
y
18) Las coordenadas de los vértices de un triángulo son P(- 2, -
2),y R(4, 6). Hallar la ecuación de la circunferencia que Q 5
2,
tiene por diámetro al lado PR como se ve en la figura 5.16.
19) En el triángulo del problema anterior, hallar la ecuación de
la circunferencia que tiene por diámetro a lamediana al lado PR
(figura 5.17).
figura 5.14
figura 5.17figura 5.16figura 5.15