~~~EGADE® Business School TECNOLÓGICO DE MONTERREY INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY EGADE BUSINESS SCHOOL, CAMPUS CD. MÉXICO Análisis comparativo entre los algoritmos de Kamada Kawai & Kruskal para la creación, estructura y optimización de portafolios de inversión a través de árboles de mínima expansión Proyecto de Finanzas con la modalidad de Investigación que presenta: Gustavo Enrique Ramírez Martínez Andrea Valle Mendoza Como requisito parcial para obtener el Grado de: MAESTRÍA EN FINANZAS Biblioteca eampua CIUdad d9 MéJdco Asesores: Dr. Humberto Valencia Herrera Dr. Igor Rivera González México, D.F., Julio 2014.
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~~~EGADE® Business School TECNOLÓGICO DE MONTERREY
INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY
EGADE BUSINESS SCHOOL, CAMPUS CD. MÉXICO
Análisis comparativo entre los algoritmos de Kamada Kawai & Kruskal para la creación, estructura y optimización de
portafolios de inversión a través de árboles de mínima expansión
Proyecto de Finanzas con la modalidad de Investigación que presenta:
Gustavo Enrique Ramírez Martínez Andrea Valle Mendoza
Como requisito parcial para obtener el Grado de:
MAESTRÍA EN FINANZAS
Biblioteca eampua CIUdad d9 MéJdco
Asesores: Dr. Humberto Valencia Herrera Dr. Igor Rivera González
México, D.F., Julio 2014.
Análisis comparativo entre los algoritmos de Kamada Kawai & Kruskal para la creación, estructura y optimización de portafolios de inversión a través de árboles de mínima
expansión.
Gustavo Enrique Rarnírez, Tecnológico de Monterrey Andrea Valle Mendoza, Tecnológico de Monterrey
RESUMEN
En la actualidad los arboles de mínima expansión se han utilizado para el estudio del comportamiento de diversos mercados financieros alrededor del mundo. La aplicación de árboles de mínima expansión en el estudio de portafolios de inversión es un campo nuevo que se abre camino dentro de la teoría financiera. El presente trabajo muestra el procedimiento y los resultados obtenidos a partir de la comparación entre los algoritmos de Kruskal y Kamada Kawai. El objetivo principal es encontrar los parámetros más importantes que permitan crear, estructurar y optimizar portafolios de inversión mediante arboles de mínima expansión, a través de la minimización de las distancias entre activos. El trabajo que aquí se plasma fue realizado a partir de los
rendimientos logarítmicos y de la razón EB:rDA para los datos del IPC sustentable en
los periodos que abarcan de 2008- 2010 y 2011-2013.
PALABRAS CLAVES: Árbol de Mínima Expansión, Kamada- Kawai, Kruskal, Coeficientes de correlación, EBITDA, IPC Sustentable
Comparative analysis between the algorithms of Kamada Kawai & Kruskal for the creation and optimization of investment portfolios using minimal spanning trees.
ABSTRACT Actually the minimal spanning trees had been used to study the performance of the financia! markets around the world. The application of minimal spanning trees in the market of investments is a new chapter that started the new era of financia! theory. In this paper two algorithms are compared Kamada Kawai and Kruskal. The main objective of this research is to find the most important settings that allows an investor to create and optimize a portfolio based on the minimal spanning trees. This research
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is based on logarithmic returns and the ratio _P_ for two periods, 2008-2010 and EBITDA
E l sector de las finanzas se encuentra en una constante cantidad de cambios y el esquema de riesgos relacionados a él, se transforma y se robustece constantemente, lo que trae como consecuencia que las empresas e inversores
busquen nuevas herramientas para afrontar este dinamismo y con ello encontrar el mejor vehículo para estructurar un portafolio de inversión óptimo que les permita manejar de mejor manera los rendimientos y riesgos dados.
Una premisa primordial para lograr un portafolio óptimo es lograr obtener el mayor nivel de rendimientos con el menor nivel de riesgo posible. Según el comportamiento histórico de los precios de las acciones de las empresas que conforma el IPC, que para estos fines utilizaremos el IPC denominado "sustentable" será posible determinar un portafolio a través del método de árboles de expansión mínima con los mejores rendimientos y mínimos riesgos posibles.
La justificación que hace que este análisis sea destacable en el ámbito del mercado accionario, es que expondremos una nueva metodología dentro del campo de estudio de inversiones el cual permitirá el desarrollo de innovaciones en cuanto a la administración de riesgos específicamente en la estructuración de portafolios de inversión, permitiendo una diversificación al agente inversor en los estudios de optimización a partir de utilización de nuevos modelos que están ejerciendo cierto auge en las aplicaciones financieras.
Dentro del objetivo general que este estudio busca es la de establecer una comparación entre algoritmos que permita obtener los parámetros necesarios para el desarrollo, conformación y optimización de portafolios de inversión a través de un modelo denominado árboles de mínima expansión. De manera específica, se desea lo siguiente: i) mostrar las clasificaciones de riesgo a través de los árboles de mínima expansión, ii) comparación de metodologías entre los algoritmos de Kruskal vs Kamada Kawai, así como la obtención de las gráficas de árboles de expansión mínima
utilizando dos variables: a) rendimientos logarítmicos y b) la razón financiera EB:rDA.
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2. Marco Teórico
a) Algoritmo de Kruskal
Este algoritmo se basa en la teoría de grafos y busca encontrar el árbol de mínima expansión contenido en el grafo principal. Este árbol de mínima expansión contiene todos los vértices en donde los pesos de los mismos son minimizados. Los pasos que sigue el algoritmo de Kruskal son:
i. Se inicia en el nodo i y se une al siguiente nodo más cercano llamado j. La unión de estos nodos forma un conjunto C= {i,j} unido mediante el arco {i,j}. Los demás nodos de la red llamados C' se conocen como conjunto desconectado de nodos.
ii. Ahora elija un miembro de y C' que será llamado n y que se encuentre lo más cerca posible a C. Se elige al nodo llamado m ya que es el más cercano a n. Se crea el arco [m,n) y así se expande el árbol de mínima expansión. Al realizar esta última unión el nodo n ya no corresponde a C debido a que n actualmente se encuentra conectado a {i,j). C ahora contiene a {i,j,n).
Este proceso se repite hasta finalizar con un árbol de mínima expansión. Cada una de las iteraciones que se realizan con el algoritmo, siempre se elige el arco más corto que puede usarse para expandir al conjunto C.
También es importante definir la longitud del camino del vértice central al nodo. El nodo central es importante ya que este sirve como referencia para definir la ubicación de los demás nodos que conforman al árbol de mínima expansión.
Los parámetros para definir al nodo central son aleatorios, pero en este caso utilizaremos los mismos que Linda Medina, Ricardo Mansilla e Igor Rivera en sus respectivos escritos sobre árboles de mínima expansión para aplicaciones financieras.
i. Nodo con mayor número de vértices. ii. Nodo que manifieste la suma más elevada de coeficiente de correlación entre
sus nodos vecinos. iii. Vértice con valor más pequeño que corresponda a la media de ocupación. La
media de ocupación se encuentra definida como:
N
l(t, Ve) = ! ¿ lev(vf) i=l
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b) Método gráfico de fuerzas (Algoritmo de Kamada Kawai)
Kamada y Kawai proponen en 1989 un método gráfico el cual tiene como finalidad realizar representaciones gráficas de estructuras computacionales complejas entre las que podemos encontrar redes de Petri y diagramas de estado. Para realizar estas representaciones gráficas, Kamada y Kawai proponen un algoritmo el cual está basado en el método de fuerzas.
Los algoritmos que se basan en el método de las fuerzas, llevan a cabo la gráfica de los parámetros deseados usando la información contenida y despreciando la información de la gráfica inicial; Lo anterior es completamente opuesto al algoritmo de Kruskal que tiene como objetivo buscar el sub grafo contenido dentro del grafo principal.
Para los algoritmos de fuerza al conjunto de nodos y vértices que conforman la gráfica se le otorga un valor de energía, este valor es la energía acumulada del sistema. Los sistemas con un nivel de energía baja corresponden a nodos subyacentes que cuentan con distancias especificadas y que se encuentran cerca unos de otros, los nodos no subyacentes se encuentran a distancias muy grandes.
El algoritmo de Kamada- Kawai funciona tomando en cuenta las distancias más cortas entre los vértices. Este algoritmo simula fuerzas de resortes, tomando como base la ley de Hook, asignando un valor de fuerza dependiendo de la distancia teórica y relativa entre los nodos que componen al sistema. Los pasos que utiliza el algoritmo de Kamada- Kawai son:
iv. Se consideran la distancia Euclidiana entre los nodos v. Se considera un sistema virtual en el que cada nodo se encuentra unido
mediante un resorte. vi. Posteriormente se posicionan los nodos de manera que el estado total de la
energía en el sistema de resortes sea mínimo.
e;) Árboles de Expansión Mínima (AEM)
Los árboles de mínima expansión son una parte importante de la teoría de grafos que se utiliza para encontrar las uniones más eficientes o de costos mínimos dentro de un conjunto de vértices. Los arboles de mínima expansión son muy utilizados en diversos ámbitos como telecomunicaciones, construcción y recientemente dentro del ámbito financiero. Los arboles de mínima expansión son la representación gráfica de un número de objetos definidos (N) en el que todos los
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vértices se encuentra unidos o conectados por N-1 arcos y es posible dirigirse de un vértice a otro dentro de la gráfica.
Los arboles de mínima expansión se construyen de manera progresiva al asociar todas las acciones seleccionadas en un grafo cuya característica principal es la distancia mínima entre las series de tiempo comenzando siempre por la distancia más corta (Brida J., Matesanz D., Risso W. 2009)
Para nuestro caso de estudio, el árbol de expansión mínima está conformado por una red cuyos vértices representan los activos financieros seleccionados y la distancia existente entre los vértices se construye a partir de los coeficientes de correlación. El árbol nos permite identificar el activo con mayor número de vértices conectados, el centro de masa del árbol, que de alguna manera representa el activo que más influencia tiene sobre el sistema.
d) IPC Sustentable
En los últimos 10 años se inició una innovación y tendencia respecto a la manera de invertir y como los inversionistas buscan compañías con sentido sustentable para iniciar una inversión más responsable y depositar sus recursos en ellas, con base en la premisa primordial de que . dichas corporaciones creará y generará un valor agregado a mediano y largo plazo, trayendo como ventaja competitiva el superar los retos sociales y ambientales que un futuro se presenten.
Por lo anterior, la para incentivar la incorporación de procesos sustentables y socialmente responsables en las prácticas de las empresas mexicanas listadas en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV), es por eso que ha iniciado el proceso para crear índices que puedan ser utilizados como subyacentes para ETF's1, y que solo consideren empresas reconocidas mundialmente en materia de sustentabilidad.
En diciembre de 2011, la BMV lanzó al mercado el Índice IPC Sustentable, el cual contempla a las empresas que estando listadas en esta bolsa, destacan en materia de sustentabilidad. Los criterios evaluados son tres, a los que se les conoce como pilares:
i. Medio Ambiente. ii. Responsabilidad social con sus principales grupos de interés (empleados,
proveedores, clientes y comunidad en la que se desempeñan).
1 Exchange Traded Funds, es decir, fondos cotizados en Bolsa. Son un producto híbrido entre los fondos de inversión
tradicionales y las acciones, ya que poseen características de ambos productos. tienen un valor liquidativo a fin de día, pero a diferencia de los fondos tradicionales disponen de un mercado secundario en el que se pueden contratar como cualquier otra acción.
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iii. Gobierno corporativo.
En los últimos 3 años aproximadamente el IPC ha sido el polo de atracción para los inversioni.stas vs otros Índices Nacionales como el IPC, IPC Large Cap e INMEX, como se muestra en el Gráfico 1:
Gráfico 1. Comparativo del comportamiento del IPC sustentable con otros Índices Nacionales
Fuente: BMV / Dirección de Productos de Información Índices y Estadística
e) Coeficientes de correlación de Pearson
Las matrices de correlación financiera tienen un papel importante en administración de riesgos y construcción de portafolios.
El concepto de coeficiente de correlación de Pearson, indica el grado de
asociación lineal entre dos variables. Para el caso de estudio que aquí se presenta, esta asociación nos muestra para un par de acciones el comportamiento que tendrá una de las acciones respecto a movimientos de la otra acción.
La matriz de correlación de Pearson para nuestro caso de estudio es calculada
mediante la si:guiente fórmula:
(}'¡½) - (Y¡)(½) p¡j(M) = -;===::::::::::::======
((Y/) - (Yi)2)((}¡2) - (~¡)2)
Esta matriz es simétrica y mantiene un valor de 1 en la diagonal principal. La correlación entre los activos estudiados (p¡/M)) puede variar entre -1 y 1. De tal
modo que:
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p¡j(l1t) = 1 Existe una correlación positiva. Pij(11t)= -1 Existe una correlación negativa.
p¡j(l1t) = O No existe correlación.
O Razón financiera (Precio de la acción/ EBITDA)
EBITDA (por sus siglas en inglés, Utilidad antes de intereses, impuestos, depreciaciones y amortizaciones), es una medida aproximada del flujo de caja obtenido de operación principal de la empresa. En otras palabras, nos indica básicamente el resultado operativo de la entidad.
Ah b. l , f" . EBITDA l l . , . l ora 1en, a razon manc1era -P-, muestra a re ac1on entre precio y e
EBITDA de la empresa, es decir, cuando más bajo sea el indicador, más rápido será la recuperación de la inversión, vía utilidades que la empresa logra con su operación principal. Este indicador es mayormente utilizado, dado que también puede aplicarse a empresas con pérdidas netas, ya que por lo general el EBITDA es positivo.
3. Datos y Metodología
El trabajo propuesto conociste en realizar a cabo la comparación entre el árbol de mínima expansión obtenido por el algoritmo de Kruskal y el método de energía planteado por el algoritmo de Kamada Kawai para los rendimientos trimestrales y la
razón _P__ La finalidad de comparar estos escenarios es encontrar aquellas EBITDA
diferencias y parámetros que podrían ser fundamentales para la creación de un portafolio de inversión en diferentes circunstancias.
Para nuestro estudio se utilizó la nueva muestra del IPC Sustentable (vigente a partir del 4 de febrero 2014). Esta ha sufrido cambios recientes pero la actual se muestra en la siguiente tabla:
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T bl 1 M a a uestra vigente d l IPCS e ustenta bl e Ponderación
No. Nombre de la Empresa Emisora Serie IPC Sector Sustentable
1 1 ARCA CONTINENTAL, SA.IB. DE C.V. AC * _ 1.35 Prnrlurrn~ de con_sumo frecuente -2 ALFA, S.A.B. DE C.V. ALFA A 6.63 Industrial 3 ALSEA, S.A.B. DE C.V. ALSEA * 0.63 Servicios y bienes de consumo no básico 4 AMERICA MOVIL, S.A.B. DE C.V. AMX L 14.97 Servicios de Telecomunicaciones 5 GRUPO AEROPORTUARIO DEL SURESTE, S.A.B. DE C.V. ASUR B 1.43 Industrial 6 AXTEL, S.A.B. DE C.V. AXTEL CPO 0.25 Servicios de Telecomunicaciones 7 TV AZTECA, S.A.B. DE C.V. AZTECA CPO 0.39 Servicios de Telecomunicaciones 8 GRUPO BIMBO, S.A.B. DE C.V. BIMBO A 1.91 Productos de consumo frecuente 9 BOLSA MEXICANA DE VALORES, S.A.B. DE C.V. BOLSA A 0.48 Servicios Financieros 10 CEMEX, S.A.B. DE C.V. CEMEX CPO 8.51 Materiales 11 CONTROLADORA COMERCIAL MEXICANA, S.A.B. DE C.V. COMERCI UBC 1.02 Productos de consumo frecuente 12 GRUPO ELEKTRA, S.A.B. DE C.V. ELEKTRA * 1.33 Servicios y bienes de consumo no básico 13 FOMENTO ECONÓMICO MEXICANO, S.A.B. DE C.V. FEMSA UBD l.1.95 Productos de consumo frecuente
I 14 rnMPARTAMDS S.A.B. DE C.V. GENTERA * 0.99_ Servicios Financieros 15 GRUPO FINANCIERO BANORTE, S.A.B DE C.V. GFNORTE o 9.61 Servicios Financieros 16 GRUPO MEXICO, S.A.B. DE C.V. GFMEXICO B 7.69 Materiales 17 GRUPO HERDEZ, S.A.B. DE C.V. HERDEZ * 0.41 Productos de consumo frecuente 18 EMPRESAS !CA, S.A.B. DE C.V. !CA * 0.64 Industrial 19 KIMBERLY - CLARK DE MEXICO S.A.B. DE C.V. KIMBER A 2.28 Productos de consumo frecuente 20 COCA-COLA FEMSA, S.A.B. DE C.V. KOF L 3.23 Productos de consumo frecuente 21 GENOMMA LAB INTERNACIONAL, S.A.B. DE C.V. LAB B 1.19 Salud 22 MEXICHEM, S.A.B. DE C.V. MEXCHEM * 2.00 Materiales 23 GRUPO AEROPORTUARIO DEL CENTRO NORTE, S.A.8. DE C.V. OMA B 0.35 Industrial
( 24 INDUSTRIAS PEÑO LES~ S. A.B. DE·c. V. PEÑOLES * ,_
1.42 Materiales 25 GRUPO FINANCIERO SANTANDER MEXICO, S.A.B. DE C.V. SANMEX B 2.50 Servicios Financieros 26 ORGANIZACION SORIANA, S.A.B. DE C.V. SORIANA B 0.44 Productos de consumo frecuente 27 GRUPO TELEVISA, S.A.B. TLVISA CPO 8.68 Servicios de Telecomunicaciones 28 WAL - MART DE MEXICO, S.A.B. DE C.V. WALMEX V 7.72 Productos de consumo frecuente Fuente: BMV
Es importante señalar, que de la muestra seleccionada, las que se encuentran señaladas (PEÑOLES* y GENTERA*) no formarán parte de este análisis dado que cuentan con información limitada dentro del periodo histórico 2008-2013, lo anterior disminuye la muestra a 26 acciones.
El periodo de análisis se dividió en dos sub periodos (2008-2010/2011-2013) con la finalidad de separar los años posteriores a la crisis de la etapa de recuperación.
A. Las actividades a seguir para la obtención del árbol de mínima expansión considerando los rendimientos logarítmicos trimestrales 2008-2010, así como para el periodo 2011-2013 son los siguientes:
1. Como primer paso, para las empresas antes mencionadas, obtuvieron los precios mensuales de cierre para el periodo 2008-2013. Una vez obtenidos estos precios se calcularon los precios trimestrales de cierre, a través del promedio del conjunto de meses que conforman cada trimestre del año.
2. Los precios trimestrales estimados, nos permitieron obtener rendimientos logarítmicos mediante la fórmula:
pt ó't('r) = ln(-p )
t-1
En este caso el rendimiento logarítmico del periodo corresponde al logaritmo
natural del cociente entre el precio del trimestre en curso (Pt) y el trimestre
anterior (Pt-1),
3. Mediante los rendimientos logarítmicos y con ayuda del programa SPSS se obtuvo la matriz de correlaciones de Pearson (Ver tablas 2 y 3).
4. Finalmente se determina la distancia métrica entre las lista de acciones del IPC sustentable. Esta distancia se define mediante la siguiente fórmula (Ver tablas 4y 5):
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Tabla 2. Matriz de correlaciones -Periodo 2008-2010 Rendimientos Logarítmicos
Para la obtención del árbol de mínima expansión considerando los la razón
financiera EB;DA del 2008-2010, así como para el periodo 2011-2013 son los
siguientes:
1. Como primer paso se obtuvieron los EBITDAS trimestrales para cada una de las empresas mencionadas en el periodo 2008-2013, así como del 2011-2013
2. Se realizó el cociente _P - para los periodos antes mencionados. EBITDA
3. Después de obtener estos cocientes con ayuda del programa SPSS se obtuvo la matriz de correlación de Pearson (Ver tablas 8 y 9).
(YiY¡) - (Y¡)(Y¡) Pii(flt) = --;::=========
((Y/) - (Y¡)2)((}¡2)- (Y¡)Z)
4. Finalmente se determina la distancia métrica entre las lista de acciones del IPC sustentable. Esta distancia se define mediante la siguiente fórmula (Ver tablas 10 y 11):
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p Tabla 4, Matriz de correlaciones -Periodo 2008-2010 Razón financiera-
El procedimiento para obtener la gráfica de árbol de mínima expansión utilizando los rendimientos logarítmicos optimizados del periodo 2008-2010, así como del periodo 2011-2013 por el algoritmo de Kamada -Kawai.
1. Utilizando los datos obtenidos a través de la metodología a través del algoritmo de Kruskal, es decir, las distancias para cada para de acciones (Ver tablas 4 y 5).
2. Con la matriz de distancias, se ingresan los datos al programa Win QSLB para obtener las distancias optimizadas mediante el procedimiento de árbol de mínima expansión.
Para la obtención de la gráfica de razón Es:roA optimizada para el periodo 2008-2010,
así como para el 2011-2013por el algoritmo de Kamada Kawai, se obtuvieron las distancias optimizadas para ambos periodos.
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3.3. Centro de masa
Para iniciar con el análisis de las gráficas de mínima expansión, es importante explicar un concepto denominado "centro de masa", el cual representa un nodo central que a partir de él
se pueden determinar los siguientes parámetros:
i) Sumatoria de distancias a partir de dicho nodo central; ii) Estructuración de aquellas acciones lejanas o cercanas a dicho vértice; iii) Determinación de las acciones con mayores niveles de riesgo y/ o rendimientos, así
como aquellas que conformarían un portafolio más diversificado.
Considerando lo anterior, existen diversas metodologías para determinar dicho nodo o vértice central, como bien es mencionado por lgor P. Rivera en su estudio denominado "Optimización de Portafolios Internacionales a Partir de Construcción de Árboles de Expansión Mínima", siendo las tres siguientes:
i) Considerando el grado más alto de vértices; es decir, el vértice que tenga la mayor cantidad de acciones cercanas o que dependan de él,
ii) Considerando la suma más alta de coeficientes de correlación asociados a los vecinos del vértice
iii) El vértice que genera el valor más pequeño correspondiente a la media de ocupación se considera el centro de masa. Cabe destacar que la media de ocupación se define como:
N
1~ t l(t, v,) = N ¿ lev(vi)
i=l
Donde lev{v_i 11 t) denota el nivel del vértice, dicho nivel fue mencionado por Onnela J., Chakraborti A., Kaski K., 2003.
Para fines de este estudio, se utilizará la primer metodología con para determinar el centro de masa en cada uno de los algoritmos y periodos que se están analizando.
Para el caso del análisis, a partir de la variable de Rendimientos logarítmicos, podemos observar que el rango de número de vértices se encuentra a partir de 1 a 5, en ambos algoritmos (Kruskal y Kamada Kawai), por lo que los centros de masa se definen como siguen, considerando como el mayor número de vértices el valor S.
Tabla 6. Centros de Masa -Rendimientos Logarítmicos
OMAB í 3 • .~ ..................... ,...... 3 _-_""'3::::::_-_-_ ·~~=~~~ ....................... í ! 1 . . --'------+---- ~ .............. : ...... . ·~;~~~; .................. ! ~ ~ ,:.. ................... . Sumatoria so so so so
Para el caso del análisis, a partir de la variable de la razón financera, podemos observar que el rango de número de vértices se encuentra a partir de 1 a 5, en ambos algoritmos (Kruskal y Kamada Kawai), por lo que los centros de masa se definen como siguen, considerando como el mayor número de vertices el valor 4 y S.
Tabla 8. Centros de Masa -Razón Financiera P /EBITDA
Periodo Algoritmos
Kruskal (Mat Lab) Kamada Kawai (Pajek)
2008-2010 GFNORTEO GFNORTEO
2011-2013 BIMBO BIMBO
Tabla 9. Centros de Masa -P /EBITDA Cenb"o de masa
Tabla 10. Distancias Optimizadas para los Rendimientos Tabla 11. Distancias Optimizadas para los Logarítmicos del periodo 2008-2010. Rendimientos Logarítmicos del periodo 2011-
2013.
( ordenadas de menor a mayor -distancia optimizada-)
Activo I Activo} Distancia (ordenadas de menor a mayor distancia optimizada)
Optimizada Activo i Activo}
Distancia
KOFL FEMSA 0.3142 Optimizada
CEMEXCPO BOLSAA 0.3155 GFNORTEO ALFAA 0.2304 ICA ALFAA 0.3331 GFNORTEO ALSEA 0.5098 TELEVISA LAB 0.3456 OMAB ALFAA 0.5216 ICA GFNORTEO 0.3576 GMEXICO ALFAA 0.557 GFNORTEO ASSURB 0.3647 OMAB AMERICA MOVIL 0.5749 OMAB ICA 0.3663 GMEXICO AXTEL 0.581 ICA CEMEXCPO 0.3745 LAB ALSEA 0.5943 HERDEZ GFNORTEO 0.419 OMAB BOLSAA 0.608
COMERCI UBC BOLSAA 0.43 CEMEX CPO ALFAA 0.685
BOLSAA ALSEA 0.4432 KOFL AXTEL 0.6872
GMEXICO ASSURB 0.4449 GMEXICO FEMSA 0.6929
SORIANA BOLSAA 0.4488 ARCA ALSEA 0.6941
OMAB KIMBER 0.471 ASSURB ALFAA 0.7101
MEXCHEM ARCA 0.4997 MEXCHEM GFNORTEO 0.722
MEXCHEM HERDEZ 0.5053 SIMBO ALSEA 0.7432
KOFL ASSURB 0.517 WALMEX LAB 0.7946
WALMEX BOLSAA 0.528 SORIANA GFNORTEO 0.7968
SANMEX MEXCHEM 0.5315 ICA COMERCI UBC 0.8444
AZTECA ASSURB 0.5426 COMERCI UBC CEMEX CPO 0.8765
TELEVISA AMERICA MOVIL 0.5688 TELEVISA GMEXICO 1.0589
Para los rendimientos logarítmicos de 2008 a 2010 podemos observar la agrupación de las acciones o nodos dependiendo de la distancia optimizada por el algoritmo de Kruskal mediante MatLab. En este caso el algoritmo encontró nuevos valores de distancias optimizadas y de esta manera fueron creados los vértices. En este caso la distancia geométrica total para la muestra original con las empresas que resultaron estar dentro de la muestra optimizada otorgaba un total de 18.28; Posterior a la optimización se redujo 11.81. Esto también significa un aumento en la correlación total de 17.71 a 22.04. El aumento en la correlación al disminuir la distancia total se debe a que al realizar la optimización, el sub grafo de los activos o nodos ahora cuentan con los caminos más eficientes para ir de uno a otro; lo anterior representa que mantienen las distancias más optimizadas y correlacionadas dentro del sub-grafo.
Para esta grafica el centro de masa está caracterizado en el nodo del activo Bolsa. Esta caracterización se basa en los parámetros anteriormente mencionados. Dentro de las agrupaciones que se forman en el árbol, podemos observar que algunas empresas características similares mantienen una tendencia y se agrupan en clústers.
l. lea y Cemex que son empresas del ramo constructor se encuentran contiguas en el centro de la gráfica y cercanas al centro de masa.
2. Walmex y Elektra que son empresas dentro del sector de retail se encuentran contiguas en la parte derecha de la gráfica a una distancia cercana del centro de masa.
3. Femsa y Kofl empresas embotelladoras se encuentran contiguas y al extremo izquierdo de la gráfica muy alejadas del centro masa.
4. Televisa y América Móvil empresas del ramo de telecomunicaciones se encuentran contiguas al centro de la gráfica y muy alejadas del centro de masa.
Para los rendimientos logarítmicos de 2010 a 2013 podemos observar la agrupación de las acciones o nodos dependiendo de la distancia optimizada por el algoritmo de Kruskal mediante MatLab. En este caso el algoritmo encontró nuevos valores de distancias optimizadas y de esta manera fueron creados los vértices. En este caso la distancia total para la muestra original con las empresas que resultaron estar dentro de la muestra optimizada otorgaba un total de 27.52; Posterior a la optimización se redujo 19.81. Esto también significa un aumento en la correlación total de 8.72 a 16.12. El aumento en la correlación al disminuir la distancia total se debe a que al realizar la optimización, el sub grafo de los activos o nodos ahora cuentan con los caminos más eficientes para ir de uno a otro; lo anterior representa que mantienen las distancias más optimizadas y correlacionadas dentro del sub-grafo.
Para esta grafica el centro de masa está caracterizado en el nodo del activo ALFAA. Esta caracterización se basa en los parámetros anteriormente mencionados. Dentro de esta gráfica no se encuentran clusters tan evidentes pero sí empresas del sector constructor (lCA y Cemex) que no se encuentran contiguas pero si en la misma rama y mantienen una tendencia similar.
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4.1.2. Razón Financiera P /EBITDA
Tabla 12. Distancias Optimizadas para la razón Tabla 13. Distancias Optimizadas para la razón p
Financiera --del periodo 2008-2010. EBITDA
p Financiera ---del periodo 2011
EBITDA 2013.
( ordenadas de menor a ma or distancia o timizada (ordenadas de menor a mayor distancia optimizada) Distancia
Para el caso de la razón _P - y mediante el algoritmo de Kruskal, la optimización EBJTDA
no arrojó valores nuevos en distancias optimizadas, solo busco los parejas que contuvieran las distancias más eficientes para la unión de todos los nodos o empresas. La agrupación realizada mantiene la distancia optimizada total en 11.64 y la suma total de correlaciones en 21.58. En este caso al no a ver una optimización de distancias, la correlación no aumenta porque la ya calculada es la que mantiene las uniones de manera más optimizada y sin posibilidad de correlacionar más aún el sistema.
Para esta grafica el centro de masa está caracterizado en el nodo del activo GF Norte. Esta caracterización se basa en los parámetros anteriormente mencionados. De igual manera que en las gráficas de rendimientos, ICA y Cemex mantienen una tendencia similar.
Esta gráfica es similar en centro de masa, distancias y el orden de los activos a la obtenida en la relación _P_ para el algoritmo de Kamada Kawai en el mismo periodo.
EBJTDA
Los únicos cambios significativos en dichas gráficas son:
l. En la gráfica obtenida por el algoritmo de Kruskal, Walmex se encuentra unido a GF Norte Asurb y Femsa.
2. Televisa se encuentra unida a OMAB. 3. En la gráfica obtenida por el algoritmo de Kamada-Kawai, Televisa se
encuentra unido a GF Norte Asurb y Femsa. 4. Walmex se encuentra unida a OMAB.
Para el caso de la razón Ea:rvA mediante el algoritmo de Kruskal, la optimización no arrojó valores nuevos en distancias optimizadas, solo busco los parejas que contuvieran las distancias más eficientes para la unión de todos los nodos o empresas. La agrupación realizada mantiene la distancia optimizada total en 14.65 y la suma total de correlaciones en 19.94. En este caso al no a ver una optimización de distancias, la correlación no aumenta porque la ya calculada es la que mantiene las uniones de manera más optimizada y sin posibilidad de correlacionar más aún el sistema.
Para esta grafica el centro de masa está caracterizado en el nodo del activo Bimbo. En esta gráfica podemos observar las siguientes relaciones entre activos del mismo ramo manufacturero:
1. Axtel y América móvil se encuentran contiguos y alejados del centro de masa. Ambas empresas son del ramo de telecomunicaciones y se encuentran al extremo izquierdo de la gráfica.
2. GF Norte y Sanmex se encuentran contiguas al centro de la gráfica a una distancia media del centro de masa.
3. Femsa y Kofl se encuentran contiguas entre ellas y de lado derecho del centro de masa.
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4.2 Algoritmo de Kamada-Kawai
4.2.1. Rendimientos Logarítmicos
Con las distancias optimizadas, se ingresan los datos al programa Pajek y se obtiene la gráfica optimizada por el método de energía y el algoritmo Kamada-Kawai.
Tabla 14. Distancias Optimizadas para los Rendimientos Tabla 15. Distancias Optimizadas para los Rendimientos Logarítmicos del periodo 2008-2010. Logarítmicos del periodo 2011-2013.
fordenadas de menor a mavor distancia optimizada) ( ordenadas de menor a mavor distancia ootimizada l Distancia
Distancia Activo I Activo/ Optimizada Activo I Activo/
Outlmlzada KOFL FEMSA 0.2304 -
GFNORTEO ALFAA 0.3142 CEMEXCPO BOLSAA 0.5098 GFNORTEO ALSEA 0.3155 ICA ALFAA 0.5216 OMAB ALFAA 0.3331 TELEVISA LAB 0.557 GMEXICO ALFAA 0.3456 ICA GFNORTEO 0.5749 OMAB AMERICA MOVIL 0.3576 GFNORTEO ASSURB 0.581 GMEXICO AXTEL 0.3647 OMAB ICA 0.5943 LAB ALSEA 0.3663 ICA CEMEX CPO 0.6061 OMAB BOLSAA 0.4023
Gráfico 6. Método de energía Kawai-Kamada rendimientos 2008-2010.
Fuente: Elaboración propia /Pajek
Para la optimización realizada mediante Winq slb en los rendimientos del periodo 2008-2010, no se calcularon distancias nuevas. La optimización de distancias se realizó re acomodando la unión de las ya existentes para que esta fuera más eficiente. La suma de la distancia optimizada se mantiene en 12. 73 y la suma de la correlación optimizada se mantiene en 21.29. De la misma manera que en ocasiones anteriores esta distancia mantiene la correlación más óptima dentro del sistema y el nivel de energía mínimo según el algoritmo.
Según los parámetros establecidos anteriormente, el centro de masa para este sistema de fuerzas lo mantiene ALFAA. En este sistema la única relación que se mantiene al igual que en sistemas anteriores es la tendencia entre las constructoras ICA y Cemex que se encuentran cerca del centro de masa.
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Gráfico 7. Método de energía Kawai-Kamada rendimientos 2011-2013.
Fuente: Elaboración propia /Pajek
Para la optimización realizada mediante Winq slb en los rendimientos del periodo 2011-2013, no se calcularon distancias nuevas. La optimización de distancias se realizó re acomodando la unión de las ya existentes para que esta fuera más eficiente. La suma de la distancia optimizada se mantiene en 18.88 y la suma de la correlación optimizada se mantiene en 17.26. De la misma manera que en ocasiones anteriores esta distancia mantiene la correlación más óptima dentro del sistema y el nivel de energía mínimo según el algoritmo.
En este sistema de energía el centro de masa lo ocupa Bolsa. Algunas de las agrupaciones que se pueden notar en la gráfica son:
1. Femsa y Kofl se encuentran contiguas en el extremo izquierdo de la gráfica y alejadas del centro de masa.
2. América Móvil y Televisa se encuentran en el extremo superior de la gráfica. 3. ICA y Cemex se encuentran contiguas entre ellas y en la distancia más cercana al
centro de masa. 4. Walmex y Elektra se encuentran contiguas y en la distancia más cercana al centro
de masa.
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4.2.2. Razón Financiera P /EBITDA
Tabla 16. Distancias Optimizadas para la razón
EB:rDA del periodo 2008-2010
í ordenadas de menor a mayor distancia optimizada)
FEMSA ASSURB BIMBO ALFA ALSEA ALFA ALSEA BOLSA GFNORTE COMERCI GFNORTE SIMBO BOLSA BOLSA AXTEL AZTECA GMEXICO GMEXICO AMOVIL AMOVIL ARCA MEXCHEM AXTEL ARCA AMOVIL
Distancia Optimizada
0.2319
0.2896
0.3034
0.3241
0.3399 0.3945
0.4173
0.4306
0.4344
0.4495
0.4563 0.5367
0.5675
0.5701
0.5748
0.6269 0.6646
0.6941
0.7087
0.755
0.7812
0.8766
0.9216
1.1371
1.1734
14.6598
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Gráfico 8. Método de energía Kamada-Kawai razón EB;DA 2008-2010.
ERO
r º!
COMEAO
L
Fuente: Elaboración propia /Pajek
C<MEX .
Para la optimización realizada para la razón _P - mediante el programa Winq SLB en EBITDA
el periodo 2008-2010, se calcularon nuevos valores en distancias. Estos valores calculados y optimizados modifican el valor total de las distancias de 13.32 a 11.64. El valor total de la correlación aumenta de 20.47 a 21.58. En este caso si se obtuvo un aumento en la correlación al disminuir las distancias mediante su optimización.
Para esta gráfica el centro de masa lo ocupa GF Norteo. En este caso la única relación que podemos mencionar es la tendencia que una vez más siguen las constructoras ICA y Cemex las cuales se encuentran a una distancia media del centro de masa.
Gráfico 9. Método de energía Kamada-Kawai-razón EB;DA 2011-2013
Fuente: Elaboración propia /Pajek
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Para la optimización realizada para la razón _P - mediante el programa Winq SLB EB/TDA
en el periodo 2011-2013, no se calcularon nuevos valores en distancias. La optimización se realizó mediante la selección y el reorclenamiento de las distancias ya existentes. Lo anterior nos otorga una distancia total optimizada de 14.65 y una correlación optimizada de 19.94. De la misma manera que en ocasiones anteriores esta distancia mantiene la correlación más óptima dentro del sistema y el nivel de energía mínimo según el algoritmo.
Para este sistema de energía el centro de masa lo obtiene Simbo. En este caso algunas de las relaciones entre empresas son:
l. Femsa y Kofl se mantienen contiguas y unidas del lado izquierdo del centro de masa.
2. Sanmex y GF norte se encuentran contiguas y en el medio de la gráfica. 3. Axtel y América Móvil se encuentran del lado derecho de la gráfica, opuestas al
centro de masa y contiguas entre ellas.
4.3 Comparativo de distancias y coeficientes de correlación
Con el fin de conocer, la función de ambos algoritmos en cuanto a la optimización de distancias, comparamos las distancias originales vs las distancias optimizadas y a partir de ahí se obtuvieron los coeficientes de correlación optimizados correspondientes.
Dentro de dicho análisis pudimos observar los siguientes hechos: i) Las distancias optimizadas son aquellas que pueden haber sido disminuidas o
reducidas a partir del algoritmo de Kruskal o Kamada Kawai, con el fin de encontrar aquellas acciones óptimas con distancias de igual manera óptimas.
ii) Las distancias optimizadas no necesariamente deben ser disminuidas o reducidas, sino simplemente encontrar aquellas parejas óptimas para el portafolio de inversión.
iii) Las parejas óptimas, no necesariamente son las mismas encontradas en cada uno de los algoritmos.
En las tablas siguientes se podrán observar las parejas similares en cada uno de los algoritmos y variables, así como las sumatorias de distancias comparadas entre los algoritmos para reflejar los resultados planteados.
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4.3.1 Rendimientos Logarítmicos 2008-2010
Tabla 18. Comparativo de Rendimientos Logarítmicos- Kamada Kawai- 2008-2010 Kamada Kawal-20011-2010 Datos orl11lnales
Activo! Activo/ Dlstanda
1 PareJas parecidas 1 Correlad6n
1 Varladón 1 Coendente de
1 Dlstanda OoHmlzada OoHmlzada Correladón
GFNORTEO Al.SEA 0.3155 0,95 0.950235451 0.315482327 OMAB AMERICA MOVIL 0.3576 0.94 0.936074325 0.35756307 ARCA ALSEA 0.4454 0.90 0.90079836 0.445424831
En lo que respecta al estudio de análisis de riesgos y la estructuración de portafolios de inversión considerando un nivel de riesgo y rendimiento óptimos, se realizó un análisis a partir del centro de masa determinado en la sección anterior, con el fin de conocer las distancias más altas ( es decir, determinar las acciones más alejadas de dicho vértice central) así como aquellas más cercanas e intermedias de todo el sub gráfico.
Como bien es comentado en el estudio realizado por Medina y Mansilla (2007), las acciones que minimizan el riesgo de un portafolio se encuentran en las ramas exteriores del árbol, por lo que se espera que ramificaciones largas del árbol de mínima expansión tengan mayores posibilidades de diversificación.
Contrastando completamente a lo que mencionan Medina y Mansilla, se encuentra la teoría de Rivera (2011) aplicada específicamente a mercados accionarios. Dentro de esta teoría y en los arboles obtenidos en dicho estudio se muestra que las bolsas de valores más alejadas son las que presentan un riesgo mucho mayor. Esta es una comparación importante ya que parece mostrar que los arboles de mínima expansión tienen un comportamiento distinto dependiendo del activo al cual se le aplica el algoritmo de optimización. Es importante aclarar que en nuestro caso de estudio desarrollado sobre acciones del IPC sustentable, se utiliza como referencia las demostraciones gráficas obtenidas por Medina y Mansilla (2007) y por lo tanto el nivel de riesgo y correlación más bajo entre activos se desprende de aquellos cuya distancia es más elevada; es decir se asume que las distancias más alejadas del centro de masa o vértice central son las que presentan menos riesgo al contrario de las que se encuentran más cercanas.
En las siguientes tablas se explicarán aquellas por cada: periodo, algoritmo y variable los resultados obtenidos:
Tabla 26 R esumen- A . cc10nes- en 1m1entos R d' . L ogantm1cos Acciones
En el periodo 2008-2010, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: ASSURB/KOFL/FEMSA, LAB/ TELEVISA/AMERICA MÓVIL, HERDEZ/ MEXCHEM/ARCA Y SANMEX, (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: BOLSAA (vértice central) con SORIANA, COMERI, ALSEA, WALMEX Y CEMEX.
Por otro lado, tenemos el análisis respecto a la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 2.2 a partir del nodo central y termina con una distancia de 9.6 considerando las más alejadas.
34
Tabla 29. Distancias acumuladas - Rendimientos Log_arítmicos- Kruskal - 2011-2013
~umaae .:,umaue .:)Uffiaae .:)Umaue
Centro de masa distancias Acciones vecinas distancias Acciones vecinas distancias Acciones vecinas distancias acumuladas acumuladas acumuladas acumuladas
1 jALFAA jASSURB 1 0.7100 0.7100
2 jALFAA jCEMEX CPO i 0.6850 0.6850 CEMEX CPO CO MERCI 0.8760 1.5610 COMERCI jl CA 1 0.8440 2.4050 CEMEX CPO SANMEX 1.5060 2.1910
ALSEA jBIM BO 1 0.743 1,4834 BIMBO IELEKTRA I 1.276 2.7594 ALSEA ILAB 1 0.594 1.3344 LAB IWALMEX I 0.795 2,1294
4 jALFAA jOMAB 1 0.5220 0.5220 OMAB AMERI CA MOVIL 0.5750 1.0970 LAB jAZTECA j 1.08 2.4144 OMAB BOLSM 0.6080 1.1300 BOLSM jKIMBER 1 1.293 2.4230
S !ALFAA IG MEXICO I 0.5570 0.5570 G MEXICO TELEVISA 1.0590 1.6160 G MEXICO AXTEL 0.5810 1.1380 AXTEL jKOFL 1 0.6870 1.82S0 KOFL jH ERDEZ j 1.1770 3.0020 G MEXICO FEMSA 0.6929 1.2499
Sumatoria 2.7044 12.7031 10.9053 10.30S2
En el periodo 2011-2013, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: BIMBO/ELEKTRA, LAB/WALMEX Y AZTECA, KOFL/HERDEZ (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: ALFAA (vértice central) con ASSURB, CEMEX CPO, GF NORTEO, OMAB Y GMEXICO.
Adicionalmente, podemos destacar que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 2.7 a partir del nodo central y termina con una distancia de 10.3 considerando las más alejadas.
35
4.4.1.2 Kamada Kawai
Tabla 30. Distancias acumuladas - Rendimientos Logarítmicos- Kamada Kawai - 2008-2010 Rendimientos Lo aritmicos - 2008-2010 - Kamada Kawai
Suma de Suma de Centro de masa distancias Acciones vecinas distancias Acciones vecinas
En el periodo 2008-2010, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: KOFL/HERDEZ, LAB/WALMEX, AZTECA Y BIMBO/ELEKTRA, (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado para complementar el portafolio aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: ALFAA (vértice central) con ASSURB, CEMEX CPO, OMAB, GMEXCIO Y GFNORTEO.
Es importante destacar, lo que muestra la Tabla XX, respecto a que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa cada vez más largas, ya que inician con 1.8 a partir del nodo central y termina con una distancia de 6.9 considerando las más alejadas.
En el periodo 2011-2013, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: KOFL/FEMSA, TELEVISA/AMERICA MÓVIL, MEXCHEM/ARCA Y SANMEX, (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: BOLSAA (vértice central) con SORIANA, COMERI, ALSEA, WALMEX Y CEMEX.
Es importante destacar, lo que muestra la Tabla XX, respecto a que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa cada vez más largas, ya que inician con 3.4 a partir del nodo central y termina con una distancia de 15.6 considerando las más alejadas.
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4.4.2 P /EBITDA
4.4.2.1 Kruskal
Ta_bla 32. Distancias acumuladas - P /EBITDA- Kruskal - 2008-2010
En el periodo 2008-2010, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: ICA/HERDEZ/ AME RICA MOVIL, COMERCI/BIMBO (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: GF NORTEO (vértice central) con AZTECA, ALFAA, ARCA, KOFL Y WALMEX.
Además, podemos destacar que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 1.9 a partir del nodo central y termina con una distancia de 6.2 considerando las más alejadas.
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Tabla 33. Distancias acumuladas - P LEBITDA- Kruskal - 2011-2013
En el periodo 2011-2013, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: AMERICA MOVIL/AXTEL/LAB/ELEKTRA Y HERDEZ (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: BIMBO (vértice central) con AZTECA, ASSURB, FEMSA Y KIMBER. Es importante, señalar que este último resultado es igual al presentado a través del algoritmo de Kamada Kawai, por lo que el comportamiento en distancias es el mismo.
Además, podemos destacar que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 1.8 a partir del nodo central y termina con una distancia de 15.7 considerando las más alejadas.
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4.4.2.2 Kamada Kawai
Tabla 34. Distancias acumuladas - P LEBITDA- Kamada Kawai - 2008-2010
En el periodo 2008-2010, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: ICA/HERDEZ/AMERICA MOVIL, COMERCI/BIMBO (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: GF NORTEO (vértice central) con AZTECA, ALFAA, ARCA, KOFL Y TELEVISA.
Además, podemos destacar que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 1.9 a partir del nodo central y termina con una distancia de 6.3 considerando las más alejadas.
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Tabla 35. Distancias acumuladas - P LEBITDA- Kamada Kawai - 2011-2013
En el periodo 2011-2013, se puede observar que las acciones que permitirán la conformación de un portafolio más diversificado se encuentran: AMERICA MOVIL/AXTEL/LAB/ELEKTRA Y HERDEZ (señaladas en color rojo) por lo que serían aquellas con niveles menores de riesgo y por otro lado aquellas acciones con rendimientos altos y niveles de riesgo más altos son: BIMBO (vértice central) con AZTECA, ASSURB, FEMSA Y KIMBER.
Además, podemos destacar que la sumatoria de distancias acumuladas mientras más alejadas del centro de masa son cada vez más largas, ya que inician con 1.8 a partir del nodo central y termina con una distancia de 15.7 considerando las más alejadas.
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5. Conclusiones
En las gráficas obtenidas se muestran diferentes características dependiendo del algoritmo utilizado al momento de obtenerlas. Aunque cada una de las gráficas es diferente comparte características que pueden ser de utilidad o muestran un camino a los inversionistas dependiendo de la aversión al riesgo y de las características deseadas para la conformación del mismo. Es importante mencionar que la diferencia en las gráficas es completamente generada por los algoritmos y los periodos seleccionados y no por algún cálculo erróneo.
En las gráficas podemos observar que existen patrones repetitivos como la relación cercana entre las empresas constructoras Cemex e ICA o la agrupación por clústeres de empresas del mismo sector en algunas de las gráficas. También es importante la relación entre la suma optimizada de las distancias entre vértices y la suma de la correlación; parecería lógico pensar que a menor distancia la correlación también disminuye pero ocurre lo contrario ya que al ser el camino más eficiente la correlación entre dichos activos disminuye.
En cuanto al nivel de riesgo y basado en los estudios previos realizados por Medina y Mansilla (2007) y las acciones que se encuentran en las ramas exteriores son las que cuentan con rendimientos más bajos y por lo tanto un riesgo muy bajo; por el contrario las acciones cercanas al centro de masa son las que cuentan con rendimientos más grandes y con un nivel de riesgo mayor. Esta deducción es completamente contraria a la presentada por Rivera (2011) que en su estudio sobre sobre mercados financieros muestra que los mercados con un mayor riesgo se encuentran en las ramas más alejadas. Esta comparación es importante y nace de la diferencia de activos a comparar dentro del caso de estudio. Como se mencionó anteriormente y basados en los estudios previos de Medina y Mansilla (2007) se asumirá para el caso de estudio mostrado y basado en acciones del IPC sustentable que entre más alejado se encuentre el activo este es menos riesgoso. Lo anterior nos permite crear un portafolio basado en el nivel de riesgo el cual también tiene una gran relación con la correlación entre activos.
Finalmente debemos mencionar que los árboles de mínima expansión son una excelente manera de simplificar el uso de parámetros y diferentes medidas financieras para la construcción de portafolios de inversión. Aunque en este caso utilizamos los algoritmos de Kamada Kawai y Kruskal estos son solo una muestra de una gran cantidad de algoritmos que tiene como objetivo la optimización y que pueden ser aplicados al estudio de finanzas. Nuestro estudio demuestra que el uso de árboles de mínima expansión para la creación de portafolios de inversión es una opción alternativa y que puede ser personalizada para que el inversor elija los parámetros deseados para la conformación de su portafolio siempre que se consideren los niveles de riesgo.
42
6. Referencias
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[16]Kobourov, S., Chapter 12: Forced-Directed Drawing Algorithms. University of
Arizona.
44
7.Apéndice
Apéndice 1. Acciones y distancias originales 2008-2010 Coeftclen._ Caeflclen•
Activo I Activo} de Distancias Activo I ActlvaJ de Dls1:anc1as correlacl6n correlacl6n