ANÁLISE ELÁSTICA LINEAR DE ELEMENTOS PLANOS ENRIJECIDOS COM FIBRAS ATRAVÉS DE … · 2014. 7. 11. · O método dos elementos finitos (MEF), inicialmente proposto nos trabalhos

SIMMEC/EMMCOMP 2014

XI Simpósio de Mecânica Computacional

II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional

Juiz De Fora, MG, 28-30 de Maio De 2014

ANÁLISE ELÁSTICA LINEAR DE ELEMENTOS PLANOS

ENRIJECIDOS COM FIBRAS ATRAVÉS DE UM ACOPLAMENTO

MEC-MEF

Luiz Antonio dos Reis, Leandro Palermo Júnior

[email protected], [email protected]

Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Engenharia Civil UNICAMP/FEC

Av. Albert Einstein, 951, Caixa Postal: 6021, CEP 13083-852 Campinas, SP

Resumo. A análise elástica linear de elementos planos (Estado Plano de Tensão Generalizado)

enrijecidos com elementos lineares (barras) é estudada neste trabalho fazendo-se um

acoplamento entre elementos modelados com o Método dos Elementos de Contorno (MEC) e

com o Método dos Elementos Finitos (MEF). As fibras são modeladas pelo MEF com elementos

lineares de três graus de liberdade por nó. Os elementos planos são modelados pelo MEC com

elementos isoparamétricos lineares no perímetro. É permitido o uso de sub-regiões com

objetivo de generalizar o tratamento do meio elástico. Tendo em conta estes aspectos da

formulação desenvolvida, alguns exemplos são apresentados para avaliação de seu

desempenho nos problemas de engenharia.

Palavras-Chave: Elementos de Contorno, Elementos Finitos, Mínimos

Quadrados, Acoplamento MEC/MEF

mailto:[email protected]

Análise Elástica Linear de Elementos Planos Enrijecidos com Fibras Através de um Acoplamento MEC-MEF

SIMMEC/EMMCOMP 2014

XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional

ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014

1 INTRODUÇÃO

Na engenharia, os problemas físicos são formulados através de um conjunto de equações

diferenciais, onde a solução analítica somente é possível em alguns casos mais simples e os

métodos numéricos são empregados na maior parte dos casos.

O método dos elementos finitos e o método dos elementos de contorno são muito

importantes, dentre os vários métodos numéricos empregados na resolução de problemas de

engenharia, e seu acoplamento é estudado por muitos pesquisadores.

O método dos elementos finitos (MEF), inicialmente proposto nos trabalhos de Argyris

(1960), Adini e Clough (1961), Melosh (1961) e outros, tem como ideia básica a divisão do

domínio do problema em um número finito de subdomínios, denominados de elementos finitos,

que são interligados através de pontos nodais.

Atualmente, o MEF encontra-se em um estágio bastante avançado, constituindo-se no

método numérico mais utilizado para solução dos mais variados problemas de engenharia de

forma que, tem se mostrado como uma boa opção de cálculo, principalmente nos problemas

com domínios finitos, não homogêneos, anisotrópicos e, também, em análise não linear do

comportamento estrutural.

O método dos elementos de contorno (MEC) é um dos métodos numéricos com aplicações

computacionais mais recentes em relação ao MEF. Cabe observar que a técnica das equações

integrais de contorno para solução dos problemas de engenharia é antiga, e Brebbia (1978a e

1978b), dentre outros pesquisadores, foi dos que empregou o método das equações integrais de

contorno associada a metodologia para tratamento numérico usada no MEF para resolver

problemas de engenharia.

O MEC se apresenta como uma boa opção de cálculo em problemas de domínios infinitos,

semi-infinitos e regiões de grande concentração de tensões, entretanto, sua utilização na análise

de problemas de engenharia pode ser muito ampliada sem for desenvolvida uma técnica

eficiente para combinação com outros métodos numéricos, em particular o MEF.

Na Engenharia a inclusão de um elemento linear elástico em domínios planos é uma prática

bastante comum, podendo-se citar os elementos de fundação inseridos no solo. Estes elementos

elásticos podem ser rígidos ou flexíveis e conferem ao domínio que são inseridos a propriedade

de anisotropia.

O estudo de problemas de domínios enrijecidos não é novo e, recentemente, foi estudado

por Wutzow (2003), Botta (2003), Silva (2010), dentre outros.

Neste trabalho, o elemento linear elástico é modelado através do MEF considerando

aproximação diferente para forças para permitir sua combinação com o MEC. O acoplamento

MEC/MEF é obtido unindo-se as equações dos dois modelos com a imposição da

compatibilidade de deslocamentos e equilíbrio de forças. A formulação considera uma união

perfeita entre os dois meios, onde as reações da barra são consideradas como uma linha de

cargas sobre o domínio plano. Dois exemplos são apresentados para mostrar a eficiência da

técnica utilizada.

Reis, L.A., Palermo Junior, L.

SIMMEC/EMMCOMP 2014



2 EQUAÇÕES BÁSICAS

Serão apresentadas as equações empregadas nos tratamentos do MEF e MEC para

domínios planos e para os elementos lineares, respectivamente.

2.1 Método dos Elementos de Contorno

Em um corpo deformável com domínio Ω e um contorno Γ, para um ponto qualquer 𝑠, a equação integral de contorno para equação diferencial do problema plano é dada por:

𝑐𝑖𝑗(𝑠)𝑢𝑖 = ∫ 𝑢𝑖𝑗∗

Γ× 𝑃𝑗𝑑Γ − ∫ 𝑃𝑖𝑗

∗Γ

× 𝑢𝑗𝑑Γ + ∫ 𝑢𝑖𝑗∗

Ω× 𝑏𝑗𝑑Ω (1)

Tendo em conta a solução de problemas planos, a solução para carga unitária em domínio

planos, análoga à de Kelvin, Love (1984) para problemas tridimensionais.

O vetor de forças de domínio bj se aplicado em uma área que tende a uma linha se

transforma em uma linha de cargas 𝑓𝑗 que atua ao longo de uma linha Γ𝑓, observando que as

direções das linhas de cargas estão contidas no plano do problema e são positivas se coincidem

com os sentidos dos eixos xj, sendo assim a Eq.(1) pode ser escrita:

𝑐𝑖𝑗(𝑠)𝑢𝑖 = ∫ 𝑢𝑖𝑗∗

Γ× 𝑃𝑗𝑑Γ − ∫ 𝑃𝑖𝑗

∗Γ

× 𝑢𝑗𝑑Γ + ∫ 𝑓𝑗Γ𝑓× 𝑢𝑖𝑗

∗ 𝑑Γ𝑓 (2)

A equação integral de contorno, Eq.(2), é empregada na solução pelo Método dos

Elementos de Contorno. Após as integrações nos elementos de contorno, a equação integral é

transformada em equações algébricas lineares. As integrais que aparecem na Eq.(2) podem ser

tratadas numericamente ou analiticamente. Neste trabalho, foram empregadas integrações

numéricas quando o ponto de colocação situava-se fora do elemento e integrações analíticas em

caso contrário. Reis(2014).

O sistema de equações obtido pelo tratamento com o MEC, incluindo o efeito das linhas de

carga, é dado por:

[𝐶]{𝑈} = [𝐻]{𝑈} + [𝐺]{𝑃} + [𝑆]{𝑓} (3)

2.2 Método dos Elementos Finitos

O método dos elementos finitos (MEF) é baseado no método de Rayleigh-Ritz com a

divisão do domínio de integração em um número finito de elementos chamados de elementos

finitos. Neste trabalho foi considerado para o elemento com três graus de liberdade por nó,

possibilitando avaliar deslocamentos horizontais, verticais e giro. Adicionalmente, a

possibilidade das fibras chegarem até o contorno foi permitida, bem como a junção dessas com

outros elementos MEF externos também foi contemplado. Seja o elemento de barra com

modulo de Elasticidade E, área A e Inercia I, considerado neste trabalho que é mostrado na

Fig.1.


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Figura 1. Elemento finito com quatro nós por barra

Admite-se variação de terceiro grau para deslocamento axial e variação de sétimo grau para

o deslocamento transversal ao eixo da barra.

O vetor de forças nodais pode ser constituído, Fig.1, de um carregamento distribuído

linearmente no sentido axial e outro no sentido transversal ao eixo da barra.

Assim a Matriz de rigidez do elemento de barra é dada da seguinte forma:

𝐻𝑓 = [𝐾1 𝐾2𝐾3 𝐾4

] (4)

onde os valores de K1 , K2 , K3 e K4 podem ser expressos por:

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

K

385

45198

44

65610

6160

148959

56

123930

44

6561

154

1771470

308

10935

16

21870

005

5400

40

1896160

148959

308

109350

385

6157

28

25170

56

12393

16

21870

28

2517

7

45390

0040

18900

10

37

22

2323

22

2323

1

(5)

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

K

385

4131

7

7290

6160

490617

616

1640250

154

6561

28

109350

616

164025

1232

7676370

0020

2700

40

2976160

6893

14

1650

385

4131

154

65610

14

165

112

135750

7

729

28

109350

0040

1300

20

27

22

2323

22

2323

2

(6)


SIMMEC/EMMCOMP 2014



L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

K

385

4131

154

65610

6160

6893

14

1650

7

729

28

109350

14

165

112

135750

0020

2700

40

136160

490617

616

1640250

385

4131

7

7290

616

164025

1232

7676370

154

6561

28

109350

0040

29700

20

27

22

2323

22

2323

3

(7)

L

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EAL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EI

L

EI

L

EI

L

EIL

EA

L

EA

K

385

6157

28

25170

6160

148959

308

109350

28

2517

7

45390

56

12393

16

21870

0010

3700

40

1896160

148959

56

123930

385

45198

44

65610

308

10935

16

21870

44

6561

154

1771470

0040

18900

5

54

22

2323

22

2323

4

(8)

Matricialmente , para o carregamento nas duas direções , tem-se a seguinte representação

transposta:

224

L1

560

670

560

L9

1120

2430

1120

L9

560

810

840

L1

160

30

00120

L1300

10

L300

40

L300

60

L1840

L1

160

30

1120

L9

560

810

560

L9

1120

2430

224

L1

560

670

0060

L100

40

L300

10

L300

120

L13

Gf T (9)

Resolvendo-se uma estrutura pelo método dos elementos finitos, obtém-se a seguinte

equação:

[𝐻𝑓]{𝑢} = [𝐺𝑓]{𝑓} (10)

3 ACOPLAMENTO MEC-MEF

A consideração de um domínio plano enrijecido com uma barra é feita através de uma

imposição de compatibilidade de deslocamento e equilíbrio de forças, ou seja:

𝑈𝑐 − 𝑈𝑓 = 0

𝑓𝑐 + 𝑓𝑓 = 0 (11)

onde 𝑈𝑐 e 𝑓𝑐 são respectivamente os deslocamentos e as forças que aparecem nas

equações do elemento de contorno e 𝑈𝑓 e 𝑓𝑓 São respectivamente os deslocamentos e as forças da barra enrijecedora. As forças que aparecem no domínio plano tem sinal oposto as


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forças da barra, agindo assim como forças de reação. Para o problema discretizado a Eq.(11)

fica:

{ 𝑓𝑐} = -{𝑓𝑓} = { f }

{ 𝑈𝑐 } = {𝑈𝑓} = { u } (12)

Para o problema tratado, ou seja, elemento plano enrijecido com fibras, a reação das fibras

sobre a matriz equivale a uma linha de carga de acordo com a Fig.2.

Figura 2. Esquema onde é visualizado a linha de carga e a barra rígida

O sistema de equações é composto pelas equações algébricas de deslocamentos do método

dos elementos de contorno escritas para os pontos do contorno Eq.(13), pelas equações

algébricas de deslocamentos do método dos elementos de contorno escritas para os pontos

internos de interface Eq.(14) e pelas equações de deslocamentos dos métodos dos elementos

finitos da barra enrijecedora Eq.(15) , como segue:

[𝐻𝑐]{𝑈𝑐} = [𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆]{𝑓𝐼} (13)

{𝑈𝐼} = −[𝐻𝑐]{𝑈𝑐} + [𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆]{𝑓𝐼} (14)

[𝐻𝑓]{𝑈𝐼} = −[𝐺𝑓]{𝑓} (15)

Nas Eq.(13), Eq.(14) e Eq.(15) os índices sobrescritos “ 𝑐 ”, “𝑓 ” e “ 𝐼 ” representam

respectivamente contorno, barra enrijecedora e interface. As matrizes 𝐻𝑐, 𝐺𝑐 e 𝑆 representam

as matrizes de influência de integração, a matriz 𝐻𝑓 é a matriz de rigidez da barra e 𝐺𝑓 a matriz

que se multiplicada pelo vetor de forças distribuídas 𝑓, fornece o vetor de cargas nodais.

Na Fig.3 está mostrado o esquema de colocação dos pontos internos, para realizar a

compatibilidade de deslocamentos no acoplamento e que de modo diferente de Botta (2003) os

pontos das extremidades não são deslocados para o interior.


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Figura 3. Nós internos para deslocamentos no MEC.

3.1 Regularização pela Técnica dos Mínimos Quadrados

Observando o sistema de equações a ser resolvido as variáveis incógnitas são: 𝑈𝑐 , 𝑃𝑐 , 𝑈𝐼

e 𝑓 , observa-se no entanto que existem mais variáveis 𝑈𝐼 do que forças 𝑓 ,onde a causa disto é a adoção de diferentes graus para os polinômios aproximadores.

O número de número de variáveis de cada vetor é:

{𝑓} = 2 × (𝑛𝑏𝑎𝑟 + 1)

{𝑈} = 3 × (3 × 𝑛𝑏𝑎𝑟) + 1

onde, 𝑛𝑏𝑎𝑟 é o número de barras de elemento finito.

Para que o problema possa ter solução, aplica-se a técnica dos mínimos quadrados. Como

o número de equações é maior que o número de incógnitas é necessário reduzi-las a um número

conveniente para que o sistema seja resolvível. A técnica dos mínimos quadrados consiste em

reduzir no número de equações e minimizando os erros. Para tanto, neste trabalho, bastou

multiplicar a Eq.(14) pela matriz [𝑆] Transposta que ficou de acordo com a Eq.(16) abaixo.

[𝑆𝑇]{𝑈𝐼} = −[𝑆𝑇][𝐻𝐶]{𝑈𝑐} + [𝑆𝑇][𝐺𝑐]{𝑃𝑐} + [𝑆𝑇][𝑆]{𝑓𝐼} (16)

Para o caso de haver mais de uma barra enrijcedora, a matriz [𝑆𝑇] será multiplicada pelo

vetor {𝑈𝐼} considerando todos os nós da interface, mesmo que as barras não sejam continuas.

As Equações (13) , Eq.(15) e Eq (16) podem ser escritas de forma matricial, ficando:

pcGSG

U

f

U

HG

SSSHS

SHCT

c

i

C

FF

TTCT

c

00

0

(17)

Para o sistema (17) já foi imposto a condição de contorno.


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4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Para demonstrar o emprego do modelo acima descrito, são apresentados dois exemplos

para verificar a performance e a precisão da combinação MEC/MEF para um problema

bidimensional reforçado com fibras.

4.1 Tirante Reforçado com enrijecedores

O primeiro exemplo é mostrado para verificar a capacidade da formulação na analise da

distribuição das tensões de cisalhamento ao longo da interface da ligação barra matriz em um

teste de arrancamento clássico. Na Fig. 4, uma barra é parcialmente imersa em um bloco. Assim,

uma pequena parte da barra não está imerso para permitir a aplicação das forças de tração.

Os dados geométricos escolhidas para realizar esta análise é dada na Fig. 4 .

Figura 4. Tirante enrijecido proposto no primeiro exemplo.

Os deslocamentos são prescritos iguais a zero ao longo da lateral vertical esquerda do

domínio, enquanto que na extremidade oposta, a carga é aplicada prescrevendo, na barra , um

deslocamento de 0,5 cm para a direita. A extremidade direita do domínio é livre para se mover .

As propriedades elásticas assumidos para esta análise são:

Elemento Plano: módulo de Young, Eep = 30.000,00 kN/cm2 , relação de Poisson ν = 0,0 ,

Elemento enrijecedor : Ef = 21.000,00 kN/cm2 , Af = 1 cm2.

Foram considerado 160 elementos finitos para representar o enrijecedor e sessenta

elementos lineares foram definidas para aproximar os valores de limite do dominio. Os

resultados obtidos em termos de deslocamentos são mostrados na Fig. 5 (a) em conjunto com a

solução obtida por Botta (2003), Fig. 5 (b).


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(a) (b)

Figura 5. (a) Deslocamentos na direção do eixo x da barra. (b)Deslocamentos na direção do eixo x da

barra obtidos por Botta(2003).

A solução numérica é completado pelos resultados apresentados na Fig. 6 (a) , onde as

forças de interface são exibidos .

(a) (b)

Figura 6. (a) Forças na direção do eixo x, de superfície nas barras. (b) Forças na direção do eixo x, de

superfície nas barras obtidos por Botta(2003).

4.2 Viga engastada submetida a uma carga distribuída na face superior

reforçada com um enrijecedor em sua face inferior.

Este exemplo mostra a capacidade da formulação na análise de tensões ao longo da

interface fibra-matriz. Na Fig.7, uma viga biengastada está sendo solicitada na face superior

por um carregamento uniformemente distribuído. Uma barra enrijecedora foi colocada na parte

inferior reforçando a viga.

Os dados geométricos e físicos da estrutura bem como as condições de contorno estão

apresentados na Fig. 7.


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Figura 7. Dimensões e condições de contorno impostos no segundo exemplo.

Foi considerado 160 elementos finitos para representar o elemento enrijecedor e 120

elementos lineares para aproximar o contorno do domínio.

Os resultados apresentados por Wutzow(2003) e utilizados neste trabalho o enrijecedor foi

modelado por MEC, sedo assim os resultados são obtidos para o contorno do elemento e

apresentados considerando a parte superior da viga chamada de lado A, a parte inferior chamada

de lado B e os valores medianos chamados de valores condensados.

Quando se utiliza MEF para modelar o elemento enrijecedor, como neste trabalho, se

obtém somente os valores medianos.

Os resultados podem ser observados nas figuras:

(a) (b)

Figura 8. (a) Deslocamentos na direção do eixo x. (b) Deslocamentos na direção do eixo x obtidos por

Wutzow(2003).


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(a) (b)

Figura 9. (a) Deslocamentos na direção do eixo y. (b) Deslocamentos na direção do eixo y obtidos por

Wutzow (2003).

(a) (b)

Figura 10. (a) Forças de superfície na direção do eixo x. (b) Forças de superfície na direção x obtidas por

Wutzow(2003)

(a) (b)

Figura 11. (a) Forças de superfície na direção do eixo y. (b) Forças de superfície na direção y obtidas por

Wutzow(2003).


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(a) (b)

Figura 12. (a) Rotação na barra erijecedora. (b) Rotação na barra enrijecedora, obtido por

Wutzow(2003)

5 CONCLUSÃO

Conforme se observa nos exemplos, a regularização proposta por mínimos quadrados se

apresenta bastante eficiente na resposta suavizadas em termos de forças de superfície.

Entretanto para que isto ocorra as fibras devem ser bem discretizadas.

Como se pode ver no primeiro exemplo, a presente formulação mostra resultados muito

estáveis com uma curva suave e compatível com os resultados apresentados por Botta (2003)

No segundo exemplo, os resultados obtidos forma muito próximos ao de Wutzow (2003)

que fez a análise utilizando somente elementos de contorno e acoplando sub-regiões.

6 AGRADECIMENTO ESPECIAL

Os autores expressam seu reconhecimento ao professor Wilson. S. Venturini (in memoriam)

que foi quem sugeriu a proposta deste trabalho. Os resultados obtidos mostraram uma

formulação com boa estabilidade para solução dos problemas de engenharia.


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REFERENCIAS

Adini, A., Clough, R.W., 1961, “Analysis of Plate Bending by the Finite Element Method”.

Report National Science Foundation, Grant 973337.

Assan, A.E., 1999, “Método dos Elementos Finitos, Primeiros Passos”. Unicamp, Campinas,

Brasil, 1ª Edição.

Brebbia, C.A.; Georgiou, P.; 1980; “Combination of Boundary and Finite Elements for

Elastostatics”. Appl. Math. Modeling, V.3, P. 212-220.

Botta, A.S.; 2003; “Método dos Elementos de Contorno para Análise de Corpos Danificados

com Ênfase no Fenômeno da Localização de Deformações”. Tese (Doutorado) - Escola de

Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo, São Carlos - Sp.

Botta, A. S.; Venturini, W. S.; 2003; “Reinforced 2d Domain Analysis Using BEM and

Regularized BEM/FEM Combination.”

Coda, H.B.;1993; “Análise Tridimensional Transiente de Estruturas pela Combinação entre o

Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos”. São Carlos. Tese

(Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade De São Paulo.

Coda, H.B.; Greco, M.; 2004 “A Simple FEM Formulation for Large Deflection 2d Frame

Analysis Based on Position Description”. Computer Methods In Applied Mechanics

And Engineering, V.193, P.3541-3557.

Ferro, N.C.P.; 1993; “Uma Combinação MEC/MEF para Análise de Fundações Enrijecidas

por Estacas”. São Carlos. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos,

Universidade de São Paulo.

Foltran, C.E.; 1999; “Análise de Problemas Planos em Regime Elasto-Plástico pelo Método

dos Elementos de Contorno”. Campinas. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia

Civil, Universidade Estadual de Campinas.

Leite, L.G.S.; Coda, H.B.; Venturini, W.S.; 2003; “Two-Dimensional Solids Reinforced by

Thin Bars Using the Boundary Element Method”. Engineering Analysis With Boundary

Elements, V. 27, Pp. 193-201.

Paiva, J. B.; Aliabadi, M. H. ; 2004; “Bending Moments at Interfaces of Thin Zoned Plates

With Discrete Thickness by the Boundary Element Method”. Engineering Analysis With

Boundary Elements, 28:747-751.

Reis, .L.A; 2014,“ Acoplamento MEC-MEF para análise de pórtico linear sobre base elástica”. Dissertação (Mestrado). Faculdade de Engenharia Civil, Universidade Estadual de

Campinas, no prelo.


SIMMEC/EMMCOMP 2014



Telles, J.C.F.; Brebbia, C.A.; 1979; “On the Application of the Boundary Element Method to

Plasticity”. Appl. Math. Modelling, V.3, P.466-470.

Venturini, W.S.; 1984; “Boundary Element Method In Geomechanics”. Springer-Verlag.

(Lecture Notes In Engineering).

Venturini, W.S. ; Brebbia, C.A.; 1983; “Some Applications Of The Boundary Element

Method In Geomechanics”. Int. J. Num. Anal. Meth. Geomech., V.7, P.419-434.

Wutzow, W. W. ; 2003; “Formulação do Método dos Elementos de Contorno para Análise de

Chapas Com Enrijecedores”. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos-

Universidade de São Paulo, São Carlos.

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