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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 1
AnkündigungBlockkurs GrundpraktikumWintersemester 2019/2020:
24.02.2020 – 13.03.2020
Anmeldezeitraum:
13.01.2020 – 24.01.2020
online unter www.physik.uni-wuerzburg.de/studium/bachelor/grundpraktikum/
Termine Modul A:
T17 Montag/Donnerstag 08:30T18 Montag/Donnerstag 14:00
T19 Dienstag/Freitag 08:30T20 Dienstag/Freitag 14:00
Sicherheitseinweisung Modul A am 07.02.2020
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AnkündigungVorlesungstermine
16.01.2020: Reguläre Vorlesung
23.01.2020: Besprechung 10. Übung
Falls gewünscht kann uns die Probeklausur bis 24.01.2020
zur Korrektur eingereicht werden
03.02.2020: Ankündigung Klausurzulassung
06.02.2020: Rückgabe Probeklausur / Fragestunde
19.02.2020: 09:00 Uhr KLAUSUR
09.04.2020: 09:00 Uhr ZWEITKLAUSUR
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6 5 4 3 2 1 nicht abgegeben
Erstabgabe Übung 8
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Übungsaufgabe
yi
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X i Y i
0,20 52,4
1,17 54,6
1,96 57,7
2,98 59,5
4,05 62,7
5,12 65,6
5,93 67,0
7,01 69,0
8,24 72,80,00 2,00 4,00 6,00 8,00
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
Testmessung zur linearen Regression
Y
X
Wiederholung
Wir führen eine Messung durch und erhalten folgende Werte
Angenommen die Beziehung zwischen x und y ist linear, welche Gerade passtam besten zu den Messwerten?
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Wenn die Messwerte (Xi , Yi) keinerlei Unsicherheit hätten, dann läge jeder Punkt exakt auf der Geraden
Die Fehler in X sind wesentlich kleiner als die Fehler in Y.X ist fehlerfrei und Y ist fehlerbehaftet.
Die Daten sind beschrieben durch den funktionellen Zusammenhang:
Annahmen:
0,00 2,00 4,00 6,00 8,0050,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
Testmessung zur linearen Regression
Y
X
.y a bx
Die Abweichung yi (Residuen) jedes Datenpunktes von der
bestangepassten Geraden ist dann:
yi
( ) .i i i i iy y y x y a bx
Wiederholung
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Für jedes Xi gibt es eine Wahrscheinlichkeit Pi den Messwert Yi zu erhalten.
Normalverteilung der Messwerte:
21 1exp
22i i
iii
y y xP
.y a bx
Wiederholung
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21 1exp
22i i
iii
y y xP
Die Wahrscheinlichkeit unseren Datensatz bei N Messpunkten genau so zu beobachten ist dann gegeben durch:
0 01 1
11
21 1( , ) exp
22
21 1exp
22
N Ni i
ii i ii
N Ni i
ii ii
y y xP a b P
y y x
Die beste Gerade liegt dann vor, wenn die Wahrscheinlichkeit maximal wird. Dasist der Fall, wenn der Exponent
minimal wird.
2
1 1
2 2N Ni i i i
i ii i
y y x y a bx
Wiederholung
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Lineare Regression - BestwerteLineare Regression
oder
Anpassung einer Geraden nach der Methode der kleinsten Quadrate
2
1 1
2 2N Ni i i i
i ii i
y y x y a bx
Für 2 minimal ist die Übereinstimmung am besten.
2
2
0;
0;
a
b
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2 2 2
2 2 2 22
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1 ;
11 1 1 ;
i i
i i i i i i i
i i i ii i i
i i
i
i i i i i i
i i i i i i i
i i
y xy x x x ya
x y x
yx y x yb
x x y
22 2 2
2 2 22
2 2
11
i
i i i i
i i ii i
i i
xx x
x x
Lineare Regression - Bestwerte
Falls jeder Datenpunkt den gleichen Fehler aufweist, lässt sich dieses Gleichungssystem vereinfachen.
Das wird häufig, aber bei weitem nicht immer möglich sein.
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Nichtlineare graphische Darstellungen
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s = 1/2 g t2
Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.
Beispiel 1: Beschleunigte Bewegung
Linearisierung graphischer Darstellung
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ln(N) = ln(No) – d
Y = A + B X
0 20 40 600
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
3500000
4000000
0 20 40 60 80100000
1000000
10000000
Regel 6: Die Variablen sollten so gewählt werden, dass die Kurve einen einer Geraden möglichst nahe kommenden Verlauf erhält.
Beispiel 2: Schwächung von -Strahlen N N do exp
Linearisierung graphischer Darstellung
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lg ln1 0,000 0,0002 0,301 0,6933 0,477 1,0994 0,602 1,3865 0,699 1,6096 0,778 1,7927 0,845 1,9468 0,903 2,0799 0,954 2,19710 1,000 2,30320 1,301 2,99630 1,477 3,40140 1,602 3,68950 1,699 3,9120,0
0,20,3
0,4
0,5
0,60,70,8
0,9
1,01,11,2
1,31,4
0,1
1,5
1,6
1
2
3
45
7
10
20
Logarithmisches Papier
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Die folgenden Folienseiten zeigen nur die Prinzipien.
Logarithmisches Papier
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Beispiel aus Grundpraktikum: Schwächung von -Strahlen
Versuchsaufbau:
Daten:
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Beispiel aus Grundpraktikum: Schwächung von -Strahlen
40,020,0 60,00,0 d / cm
N(d) / Imp
3,67106
1,43105
107
106
105
+
+
+
+
+
+
+
++
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Beispiel aus Grundpraktikum: Schwächung von -Strahlen
40,020,0 60,00,0 d / cm
N(d) / Imp
107
106
105
+
+
+
+
+
+
+
++
Auswertung
ln(N) = ln(No) – dY = A + B X
dμNN o exp
Titel Name
Legende
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Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken
0 50 100 150 200 2501
10
100
1000
10000
Impu
lse
Zeit [sec]
/toN N e
0 900015 540030 330045 20060 110075 68090 450105 300120 200135 130150 80165 55180 37195 24210 11225 8240 5
T/sec N/ Impulse/s
No = 8996 Impulse
= (29,61 0,19) s Erstaunlicherweise ist die rote Gerade (a) die beste Anpassung an
die Daten.
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Beispiel aus Grundpraktikum: Aktivität - Fehlerbalken
Abweichung der Messpunkte von der Gerade ist nur eine Standardabweichung.
Abweichung der Messpunkte von der Gerade beträgt mehrere Standardabweichungen.
0 50 100 150 200 250
Impu
lse
Zeit / s
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Halblogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermitteln
wollen, ob und wie ein exponentieller Zusammenhang
besteht.
0
0
exp[ ];log( ) log( ) ;
;
y y axy y axY A ax
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Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz
E T E Toc
T To
, , exp
2 1 1
wobei E(.T) die spektrale Energieverteilung bei der Wellenlänge und der Temperatur T ist.
Umwandlung des Wien´schen Strahlungsgesetzes:Bildung des natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
ln (E(,T)) = ln (E(,To)) -c2 / (1/T - 1/To)
ln (E(,T)) = ln (E(,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/TY = A + B X, wobei
Y = ln (E(, T)) A = ln (E( ,To)) + c2 / 1/To
B = c2 /
X = 1/T
Graphische Darstellung – log/reziprok
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Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc
T To
, , exp
2 1 1
Alle drei Graphen bilden den gleichen Zusammenhang ab, lediglich wegen der unterschiedlichen Auftragung ergibt sich ein anderer Kurvenverlauf.
Linear – Linear Log – Linear Log – reziprok
Graphische Darstellung – Linearisierung
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Beispiel 3: Wien´sches Strahlungsgesetz E T E Toc
T To
, , exp
2 1 1
ln (E (,T1)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T1
ln (E (,T2)) = ln (E (,To)) + c2 / 1/To - c2 / 1/T2
Das Bild kann zurzeit nicht angezeigt werden.
1 2
2 2 1
, 1 1ln,
E T cE T T T
1
2 2
2 1
,ln
,
1 1
E TE T c
T T
Wahl von zwei Punkten (T1, E(T1)) und (T2, E(T2))
Graphische Darstellung – log/reziprok
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Beispiel 4: Stefan- Boltzmann Gesetz:
Die spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers R ist proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur T des schwarzen Strahlers.
Aufgabe ist es, die vierte Potenz ( = 4) nachzuweisen.
R = T
lg (R) = lg () + lg (T)
lg lglg lg
R RT T
2 1
2 1
Berechnung der Steigung bei doppellogarithmischer Darstellung ergibt den Exponenten
Wahl von zwei Punkten (T1, R1) und (T2, R2) .
Doppellogarithmische Darstellung – log/log
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Die Durchbiegung von Stäben hängt außer vom Material (Elastizitätsmodul) auch von der Geometrie (Flächenträgheitsmoment) des Körpers ab.
http://de.wikipedia.org/wiki/Flächenträgheitsmoment
Praktikumsversuch:
FG 3
3
14 G
ls Fb h E
Stab der Länge lmit rechteckigem Querschnitt der Breite b und der Höhe h.
Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Lineare Auftragung:
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Lineare Auftragung: 3 ?s l
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Lineare Auftragung: 3 ?s l4 ?s l
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Linearisierung: Auftragung gegen l3
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Linearisierung: Auftragung gegen l4
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Doppellogarithmische Auftragung:
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Doppellogarithmische Auftragung:
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Beispiel aus Grundpraktikum: Elastizitätsmodul
Doppellogarithmische Auftragung:
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Doppellogarithmische Darstellung – log/log
Doppellogarithmische Darstellung ist das Mittel der Wahl, wenn wir graphisch ermittelnwollen, welchem Exponenten („power law“)
ein physikalischer Zusammenhang folgt.
;log( ) log( ) log( );
;
ny axy a xY A X
nn
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Viele Physikalische Eigenschaften zeigen eine Richtungsabhängigkeit (Winkelabhängigkeit)
Polarkoordinaten
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2oI I cos
Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen
Gesetz von Malus:
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/ o I / I o0 1,000
10 0,970
20 0,883
30 0,750
40 0,587
50 0,413
60 0,250
70 0,117
80 0,030
90 0
100 0,030
110 0,117
120 0,250
130 0,413
140 0,587
Beispiel: Polarisation elektromagnetischer Wellen
Klassische Auftragung: 2oI I cos
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0,0o
90,0o
180,0o
20,0o
40,0o
60,0o80,0o
270,0o
/ o I / I o0 1,000
10 0,970
20 0,883
30 0,750
40 0,587
50 0,413
60 0,250
70 0,117
80 0,030
90 0
100 0,030
110 0,117
120 0,250
130 0,413
140 0,587
Polarkoordinaten: Winkelskala
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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 40
0,0o
180,0o
20,0o
40,0o
60,0o80,0o
1,0 0,5 0,0
/ o I / I o0 1,000
10 0,970
20 0,883
30 0,750
40 0,587
50 0,413
60 0,250
70 0,117
80 0,030
90 0
100 0,030
110 0,117
120 0,250
130 0,413
140 0,587
Polarkoordinaten: Betragskala
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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 41
/ o I / I o0 1,000
10 0,970
20 0,883
30 0,750
40 0,587
50 0,413
60 0,250
70 0,117
80 0,030
90 0
100 0,030
110 0,117
120 0,250
130 0,413
140 0,587
Polarkoordinaten: Betragskala
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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 42
/ o I / I o0 1,000
10 0,970
20 0,883
30 0,750
40 0,587
50 0,413
60 0,250
70 0,117
80 0,030
90 0
100 0,030
110 0,117
120 0,250
130 0,413
140 0,587
Polarkoordinaten: Gesetz von Malus
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gesetz von Mal
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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 43
Beispiel: Optische Anisotropie von Quantenpunkten
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UMTS‐Antenne
Lichtemittierende Diode ‐ LED
Lautsprecher
dB = dezi bel
0
10 IB lgI
Beispiel: I = Io/2
10 0 5 3 01 BB lg , , d
Weitere Beispiele
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T. Kießling: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Graphische Darstellungen, Linearisierungen 09.01.2020 Vorlesung 09- 45
Polarkoordinaten sind zur Darstellung das Mittel der Wahl, wenn eine Richtungsabhängigkeit
der physikalischen Größen im Zentrum des Interesses steht.
Es ist insbesondere für vektorielle Größen
häufig eine aussagekräftige Darstellung.
Polarkoordinaten