ANGULOS DE EULER Ángulos de Euler Este artículo trata de los ángulos de Euler de la teoría matemática de rotaciones. Para el uso de la palabra en aeronáutica ver ángulos de navegación Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos. Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento. Definición Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos α, β y γ. La definición matemática es estática y se basa en escoger dos planos, uno en el sistema de referencia y otro en el triedro rotado. En el esquema adjunto serían los planos xy y XY. Escogiendo otros planos se obtendrían distintas convenciones alternativas, las cuales se llaman de Tait-Bryan cuando los planos de referencia son no-homogéneos (por ejemplo xy y XY son homogéneos, mientras xy y XZ no lo son). La intersección de los planos coordenados xy y XY escogidos se llama línea de nodos, y se usa para definir los tres ángulos: α es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos. β es el ángulo entre el eje z y el eje Z. γ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X. más adelante se establecerá que los tres ángulos de Euler descritos son los valores de las tres rotaciones intrínsecas que describen el sistema. Notar que también se considera la notación: , y
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
ANGULOS DE EULER
Ángulos de EulerEste artículo trata de los ángulos de Euler de la teoría matemática de rotaciones. Para el uso
de la palabra en aeronáutica ver ángulos de navegación
Los ángulos de Euler constituyen un conjunto de tres coordenadas angulares que sirven para especificar la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro sistema de referencia de ejes ortogonales normalmente fijos.
Fueron introducidos por Leonhard Euler en mecánica del sólido rígido para describir la orientación de un sistema de referencia solidario con un sólido rígido en movimiento.
Definición
Dados dos sistemas de coordenadas xyz y XYZ con origen común, es posible
especificar la posición de un sistema en términos del otro usando tres ángulos α, β y
γ.
La definición matemática es estática y se basa en escoger dos planos, uno en el
sistema de referencia y otro en el triedro rotado. En el esquema adjunto serían los
planos xy y XY. Escogiendo otros planos se obtendrían distintas convenciones
alternativas, las cuales se llaman de Tait-Bryan cuando los planos de referencia son
no-homogéneos (por ejemplo xy y XY son homogéneos, mientras xy y XZ no lo
son).
La intersección de los planos coordenados xy y XY escogidos se llama línea de
nodos, y se usa para definir los tres ángulos:
α es el ángulo entre el eje x y la línea de nodos.
β es el ángulo entre el eje z y el eje Z.
γ es el ángulo entre la línea de nodos y el eje X.
más adelante se establecerá que los tres ángulos de Euler descritos son los valores
de las tres rotaciones intrínsecas que describen el sistema.
Notar que también se considera la notación: , y
Dos sistemas de coordenadas ortogonalesen el que se muestran los ángulos de Euler
Relación con los movimientos de rotación
Rotaciones de Euler
Son los movimientos resultantes de variar uno de los ángulos de Euler dejando fijos los otros
dos. Tienen nombres particulares:
Precesión
Nutación
Rotación intrínseca
Este conjunto de rotaciones no es ni intrínseco ni extrínseco en su totalidad, sino que es una
mezcla de ambos conceptos. La precesión es extrínseca, la rotación intrínseca lógicamente
intrínseca, y la nutación es una rotación intermedia, alrededor de la línea de nodos.
Cumplen la siguiente propiedad. Si escribimos la rotación de ángulos como una
composición de éstas tres rotaciones:
entonces se cumple:
Como consecuencia de estas propiedades, estas rotaciones son commutativas entre ellas:
lo cual también podría verse intuitivamente usando la analogía entre los ángulos de Euler y
los de un soporte Cardán
Rotaciones de Euler de la tierra. Rotación intrínseca en verde, Precesión en azul y Nutación en rojo.
Otros sistemas de rotaciones equivalentes
Con unas condiciones iniciales determinadas, los ángulos de Euler son equivalentes a una
composición de rotaciones:
Soporte cardán mostrando ángulos de Euler. El marco externo y el eje externo 'x' no se
muestran. Los ejes Y son perpendiculares a cada anillo.
Ejes de rotación en Cardán: Sean los sistemas XYZ y xyz idénticos inicialmente,
restringidos a movimientos de cardán como los del dibujo.
Rotar el sistema XYZ alrededor de su único eje posible z en α; el sistema xyz no se
mueve.
Rotarlo alrededor de su único eje posible (línea de nodos) por β.
Rotarlo respecto al eje Z por γ.
Ejes de rotación extrinsecos Sean los sistemas XYZ y xyz idénticos inicialmente.
Rotar el sistema XYZ alrededor del eje z en α; el sistema xyz no se mueve.
Rotarlo alrededor del eje x por β.
Rotarlo respecto al eje z por γ.
(Note que el primero y el tercer ejes son idénticos.)
Ejes de rotación intrínsecos (móviles) Empezar con el sistema XYZ igual al sistema xyz.
Rotar el sistema XYZ respecto al eje Z en γ; el sistema xyz no se mueve.
Rotarlo respecto al ahora rotado eje X por β.
Rotarlo ahora respecto al doblemente rotado eje Z por α.
(Nota que los ángulos están en orden inverso.)
Estos tres ángulos α, β, γ son los ángulos de Euler. La equivalencia de estas tres definiciones
se verifica abajo. Algunos autores denominan a los ángulos de Euler (α, β, γ) como (φ, θ, ψ)