1. Si se sabe que 25 grados de un sistema "N" equivalen a 30º, determine una fórmula de con- versión entre el sistema "N" y el sistema radial. a) N R 150 ≠ = b) N R 180 25 = ≠ c) N R 30 = ≠ d) N R 150 ≠ = e) N R 180 2 = ≠ Resolviendo Sea: 25 N :25 grados del sistema "N" Por condición: 25 N =30º ⇒ 25 N = 6 ≠ rad 14243 150 N =πrad luego, para un ángulo no nulo "θ" tenemos: N N =Rrad ⇒ N rad Rrad 150 N N ≠ = ∴ N R 150 ≠ = Fórmula de conversión Clave: A 2. Si 27º27'<> A 3 g B 5 m , halle el valor de: 2A+B a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolviendo Por condición: 27º27'= A 3 g B 5 m Observación Conocemos que: 9º=10 g ⇒ 9×60'=10×100 m ⇒27'=50 m Problemas resueltos Entonces: 27º27'=30 g 50 m = A 3 g B 5 m luego: A=0 ∧ B=0 ∴ 2A+B=0 Clave: C 3. Si un ángulo mide ' º' " '" a aa a aa ' '' c c m m y se puede expresar como xº y' z", entonces al transformar a radianes (x+2y+z)º se obtiene. a) 30 ≠ rad b) 60 ≠ rad c) 35 2≠ rad d) 41 2≠ rad e) 35 ≠ rad Resolviendo ' º' " '" a aa a aa ' '' c c m m = xº y' z" Reducimos separadamente ' º' ' º ' ( ' ' ' ) ' ' a aa a a a a a a a a 60 61 = + = + = c c m m ⇒ ( ' º' ) a aa 61 = Análogamente: ( '' ' '' ) 61 a aa = ⇒ 61'61"= xºy'z" 61'60"+1" = 62'1"= 60'+2'+1" luego: 1º 2' 1"=xº y 'z" (x+2y+z)º=6º<> 30 ≠ rad Clave: A 14243 1º www. .com Matematica1
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1. Si se sabe que 25 grados de un sistema "N" equivalen a 30º, determine una fórmula de con-versión entre el sistema "N" y el sistema radial. a) N R
150 ≠= b) N R
180 25= ≠
c) N R30 = ≠
d) N R150 ≠
=
e) N R180 2= ≠
Resolviendo
Sea:
25N:25 grados del sistema "N"
Por condición: 25N=30º ⇒ 25N=
6≠ rad
14243
150N=πrad
luego, para un ángulo no nulo "θ" tenemos:
NN=Rrad ⇒ Nrad
Rrad150N
N
≠=
∴ N R
150 ≠= Fórmula de conversión
Clave: A
2. Si 27º27'<> A3g B5
m, halle el valor de: 2A+B
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolviendo
Por condición: 27º27'= A3
g B5
m
Observación
Conocemos que: 9º=10g
⇒ 9×60'=10×100m ⇒27'=50m
Problemas resueltos
Entonces:
27º27'=30g50m= A3g B5
m
luego: A=0 ∧ B=0
∴ 2A+B=0
Clave: C
3. Si un ángulo mide '
º '"
' "a
a aa
a a' ''c cm m y se puede
expresar como xº y' z", entonces al transformar
a radianes (x+2y+z)º se obtiene.
a) 30≠ rad b)
60≠ rad c)
352≠ rad
d) 412≠ rad e)
35≠ rad
Resolviendo
'º '
"' "
aa a
aa a' ''
c cm m = xº y' z"
Reducimos separadamente
'º '
'º ' (
'' ')
''
aa a
aa a
aa a
aa60 61= + = + =c cm m
⇒ ('
º ')a
a a 61=
Análogamente: (''
' '') 61a
a a=
⇒ 61'61"= xºy'z"
61'60"+1" = 62'1"= 60'+2'+1"
luego: 1º 2' 1"=xº y 'z"
(x+2y+z)º=6º<>30≠ rad
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4. ¿Para qué valor de "x" se verifica la igualdad:
a) α+θ=180º d) α+θ=450º b) α - θ=270º e) α - θ=450º c) α+θ=270º
2. Del gráfico, hallar "x", si: L1//L2.α
β
L1
L2
x
a) α - β d) α - β +180º b) α+β +180º e) α+β +360º c) α - β +360º
Problemas para clase
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3. Del gráfico, calcular: x/y.
(x+y)º (y - 2x)g
a) 8/3 b) 9/8 c) 17/3 d) 17/16 e) 19/8
4. En un triángulo rectángulo isósceles, sus ángu-los agudos miden (2xx - 4)g y (4x2+n)°. Calcu-lar (nx)° en el sistema circular.
a) 15≠ rad b)
12≠ rad c)
203≠ rad
d) 10≠ rad e)
5≠ rad
5. Si la medida centesimal de un ángulo es (x2-6x+17)g, siendo esta última la menor posi-ble, exprese (x3+6x)° en el sistema circular.
a) 3≠ rad b)
4≠ rad c)
5≠ rad
d) 6≠ rad e)
8≠ rad
6. Sabiendo que: 37≠ rad=aº ' "b c5 5 ; calcular:
ba c+ .
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
7. La suma de medidas de dos ángulos es 20° y su diferencia es 8g. ¿Cuál es la medida sexagesimal del mayor?
a) 12°24' b) 14°36' c) 13°36' d) 15°48' e) 16°36'
8. En un triángulo, dos de sus ángulos interiores
miden 1087≠ rad y 144g. ¿Cuál es la medida sexa-
gesimal del tercer ángulo?
a) 28°32' b) 38°34' c) 48°22' d) 28°42' e) 38°44'
9. Se crea un nuevo sistema de medición angular, tal que su unidad (1*) resulta ser la 240 ava. parte del ángulo de una vuelta. Señale el equi-valente de 6,6* en el sistema sexagesimal.
a) 8°36' b) 9°36' c) 8°54' d) 9°54' e) 10°24'
10. Calcular:
'º '
Kn
n n1
11n
n 2
7= -
--
=^ ^
^h hh= G) 3/
a) 23 b) 33 c) 27 d) 37 e) 47
BLOQUE II
11. Del gráfico, señale lo correcto:
αºθg
a) 10α - 9θ=4500 b) 10α - 9θ=2700 c) 10α+9θ=2700 d) 10α+9θ=4500 e) 10α - 9θ=1800
12. Si en el gráfico OC y OD trisecan al BOEt ; se-ñale el valor de:
J=60θα-
A 0 E
D
C
5θg
αº
B
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2/3
13. Del gráfico, calcular : x/y.
(x - y)'
(x - 5y)g
a) 55261 b)
55271 c)
55281
d) 65261 e)
65271
14. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-
16. Señale un valor de "K" que verifique la siguiente desigualdad:
"
"'
'K1 1
1 11 1
1 1< <s
s
m
m
-+
-+
a) 1,7 b) 3,72 c) 3,46 d) 1,86 e) 2,07
17. Se crea un nuevo sistema de medición angular cuya unidad (1*) resulta ser la medida de un ángulo central en una circunferencia, cuando el arco que le corresponde resulta ser la cuarta parte del radio de dicha circunferencia. Señale el equivalente de 12g50m en el nuevo sistema.
a) π* b) 2π* c) *2
≠ d) *
4≠ e) *
8≠
18. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados
de a 2, las sumas de medidas de cada pareja
resultan iguales a 21'; 50m y 90011≠ rad. ¿Cuál es
la media aritmética de las medidas de los tres
ángulos?
a) 60≠ rad b)
120≠ rad c)
180≠ rad
d) 360
≠ rad e) 720
≠ rad
19. En un triángulo, uno de sus ángulos interiores
mide: ( )ºa b
a ab b282 2
2 2
++ + , siendo esta medida la
máxima posible. Señale la medida circular del mayor ángulo que forman las bisectrices interio-res de los otros dos ángulos del triángulo.
3. En un triángulo rectángulo, uno de los ángulos agudos mide 20g. ¿Cuál es la medida circular del otro ángulo agudo?
a) 5≠ rad b)
3≠ rad c)
32≠ rad
d) 52≠ rad e)
9≠ rad
4. La suma de las medidas de dos ángulos es 40g y su diferencia es π/30rad. ¿Cuánto mide el ángu-lo mayor?
a) 18º b) 20º c) 21º d) 32º e) 36º
5. En un triángulo isósceles, el ángulo desigual mide
15≠ rad. ¿Cuánto mide cada uno de los
ángulos congruentes?
a) 82º b) 84º c) 74º d) 76º e) 78º
6. Un ángulo mide (7n+3)º y también (8n+2)g. ¿Cuál es la medida radial de dicho ángulo?
a) 3≠ rad b)
4≠ c)
5≠
d) 6≠ e)
9≠
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7. Si: 9≠ rad=(3n+2º), calcular "n".
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
8. Un ángulo mide (x +1)° y también (x +2)g. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?
a) 3≠ rad b)
9≠ c)
18≠
d) 20≠ e)
36≠
9. En un triángulo ABC: A=120g, B= 4≠ rad
¿Cuál es la medida sexagesimal de "C"?
a) 24° b) 27° c) 54° d) 36° e) 37°
10. Se tienen tres ángulos, tales que al ser tomados de a dos, la suma de medidas de dichas parejas resultan ser iguales a
3≠ rad; 70g y 17°.
¿Cuál es la suma de medidas de los tres ángulos?
a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°
11. Si: 37
≠ rad=agb0 m
c5s.
Calcular: c
a b 1+ -
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. Siendo:
'
º ''
º ( ) ''
º ( ) ' º ' "n
n nn
n nn
n n a b c2 3º ' ''=c c cm m m
Calcular : "a + b + c".
a) 61 b) 62 c) 63 d) 68 e) 186
13. Del gráfico, calcular "x".
(8x - 2)º
(3 - 9x)g
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
14. Si : xº y’ z" = 3º 42' 48" + 5º 29' 34"
Calcular : Jx
z y 1= - -
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. En el gráfico OX y OY son bisectrices delBCOB y B AOB, respectivamente. Señale lo correcto:
A 0 C
X
Y
αβ
B
a) α - 2β =90º b) α - β =270º c) α - 2β =180º d) α - 2β =360º e) α + 2β =180º
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Problemas resueltos
1. Se mide un ángulo en los tres sistemas de medi-ción angular convencional, tal que se cumple la siguiente ecuación:
S C R3 100400
3 3 23 ≠+ + = 26+0,1π ,
halle S+C
a) 144 b) 148 c) 152 d) 156 e) 160
Resolviendo
Tenemos para el ángulo "θ"
Sº
Cg
Rrad
S=9kC=10k
R= k20≠
donde
θ
123
123
En la condición
k k k3 9 100 10400 20
3 3 23# # #
≠ ≠+ + =26+10≠
( )k k k3 1020 10
2603 3 3≠ ≠+ + = +
( )k k1320 10
2603 3≠ ≠+ = +
→ 2k k20
26010
2603 3&+ + =
≠ ≠=; ;E E
∴ k=8
Luego:
i) S=9k ⇒ S=72
ii) C=10k ⇒ C=80
∴ C+S=152
Clave: B
2. Sean "S", "C" y "R" los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexa-gesimal, centesimal y radial, respectivamente, si se cumple:
( ) ( )S C C S S C S2 2+ = - , halle E=
910 R
a) 384
≠ b) 3840
≠ c) 3420
≠
d) 3220
≠ e) 3110
≠
Resolviendo
( ) ( )C C S S C SS 2 2+ = -
. . ( ) ( )S C C S S C S+ = - ..............(oc)
Sea el ángulo Sº
Cg
Rradθ
123
Donde:
S=9k C=10k R=20≠ k
Reemplazamos en oc:
9k. k10 .(19k) = k9 . (k)
19×9 10 =3 ⇒ K=57 10
1
Se pide: E= 910 .R
E=910 .
20≠ k ⇒ E=
6010≠ k
E=6010≠ .
57 101
; E ∴ E=3420
≠
Clave: C
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3. Si "S", "C" y "R" son los números que repre-sentan las medidas de un mismo ángulo, en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial, res-pectivamente, halle la medida del ángulo en radianes, si se cumple:
S CS C
C CS S R2
2 192 2
2 2
≠- -- - =
a) 7≠ b)
72≠ c)
72≠
d) 74≠ e)
75≠
Resolviendo
Condición: S CS C
C CS S R2
2 192 2
2 2
≠- -- - =
Sea: S=9k C=10k R= k20≠
Reemplazamos:
×k k kk k k k
162 90 100100 90 162 19
202 2 2
2 2 2= ≠
≠- -- -
kk k k
28152
2019
740
2
2&
-- = == G
Finalmente, la medida del ángulo en radianes será:
R= × R20 7
4072
&≠ ≠=; E
Clave: B
4. Si "S", "C" y "R" representan la medida de un mismo ángulo en los 3 sistemas de medición angular, y se cumple que:
3Cº - 2Sg = πrad Calcule la medida de dicho ángulo en radia-
nes.
a) 4615≠ b)
2315≠ c)
97≠
d) 98≠ e)
1817≠
Resolviendo
Tenemos: 3Cº - 2Sº = πrad
3Cº - 2Sg × º109
g; E=180º
3Cº - ºS5
9 = 180º
3C - S59 = 180
Conocemos que:
S=9k C=10k R= k20≠
Reemplazamos
30k - 59 ×9k=180 → k
569 =180
Luego: R= ×k20 20 69
900≠ ≠=
∴
R=23
15≠
Clave: B
5. La suma del número de minutos centesimales y el número de segundos sexagesimales de la me-dida de un ángulo es 33 400. Halle la medida de dicho ángulo en radianes.
a) 10≠ b)
20≠ c)
30≠
d) 40≠ e)
252≠
Resolviendo
Condición:
utos 33 400mincentesimales
segundossexagesimales
D D+ =; =E G
→ 100C+3600S = 33 400
→ C+36S = 334
Conocemos que:
S=9k C=10k R= k20≠
Reemplazamos
10k+36×9k = 334 123
334k = 334 → k=1
luego: R= k20≠ ∴ R=
20≠
Clave: B
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BLOQUE I
1. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo no nulo, simplificar :
JC SS C
C SS C
C SS C3 1 2 2 3 23+ +=
-+ -
-- +
--
a) 3 b) 4 c) 5 d) 4 2 e) 5 2
2. Siendo "S" y "C" lo conocido para un ángulo, tales que: S = 3n+1 y 2C = 5n+2
¿Cuál es el valor de "n"?
a) 1/15 b) -1/15 c) 2/15 d) -2/15 e) -1/5
3. Señale la medida sexagesimal de un ángulo, si su número de grados centesimales excede a su número de grados sexagesimales en 4.
a) 18° b) 27° c) 36° d) 72° e) 63°
4. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: S2 - C = S; siendo "S" y "C" lo conocido para dicho ángulo.
a) 162019≠ rad b)
162017≠ rad c)
144019≠ rad
d) 81019≠ rad e)
81017≠ rad
5. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nulo, simplificar:
J=S RC R
4020
≠≠
--
a) 5/7 b) 6/7 c) 1 d) 8/7 e) 9/7
6. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica: 3S - C + 20R=20,1416; siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.
a) 10≠ rad b)
20≠ rad c)
40≠ rad
d) 18≠ rad e)
17≠ rad
7. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:
S C R S C R9 10
202 2 2
≠+ + = + + ; siendo "S", "C"
y "R" lo conocido para dicho ángulo no nulo.
a) 4≠ rad b)
5≠ rad c)
10≠ rad
d) 20≠ rad e)
40≠ rad
8. Sabiendo que la diferencia entre el triple del nú-mero de grados sexagesimales de un ángulo con el doble de su número de grados centesimales, es igual al cuadrado de su número de grados cen-tesimales, ¿cuál es la medida de dicho ángulo?
a) 40m b) 50m c) 70m d) 90m e) 1g
9. La diferencia entre los números de grados cen-tesimales y sexagesimales de un ángulo es igual a: K2 - 2K + 5. ¿Cuál es el mínimo valor de la medida circular de dicho ángulo?
a) 4≠ rad b)
5≠ rad c)
6≠ rad
d) 8≠ rad e)
9≠ rad
10. La suma de los números de minutos sexagesi-males y centesimales que contiene un ángulo, es igual a 1540. ¿Cuál es la medida circular del ángulo?
a) 4≠ rad b)
5≠ rad c)
6≠ rad
d) 20≠ rad e)
18≠ rad
BLOQUE II
11. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda; si "S", "C" y "R" son lo conocido para un ángulo generado en sentido horario:
I. S > C II. 9S < 8C III. R > S
a) VFV b) VVV c) FVV d) FVF e) VFF
12. Siendo "S", "C" y "R" lo conocido para un ángu-lo no nulo, reducir:
J = 1 - ( ) ( )( ) ( )C R C RS R S R
2 22 2
2 2
2 2
+ + -+ + -
a) 400
762≠+
b) 400
38002
+ ≠
c) 40 000
38002
+ ≠ d)
40 000760
2+ ≠
e) 40 000
76002
+ ≠
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13. Señale la medida circular de un ángulo si sus números de grados sexagesimales y centesima-les son múltiplos consecutivos de 6.
a) 5≠ rad b)
103≠ rad c)
52≠ rad
d) 53≠ rad e)
107≠ rad
14. Señale la medida circular de un ángulo si el nú-mero que representa su suplemento en el siste-ma centesimal excede al número que represen-ta su complemento en el sistema sexagesimal, en 106.
a) 5≠ rad b)
6≠ rad c)
7≠ rad
d) 9≠ rad e)
10≠ rad
15. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:
( ) ( )S RC C RSR3
17292 1 2 1+ =- - ;
siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.
a) 2≠ rad b) πrad c)
43≠ rad
d) 23≠ rad e)
32≠ rad
16. Señale la medida circular de un ángulo que ve-rifica:
2LogSC+LogSR2=3;
siendo "S", "C" y "R" lo conocido para dicho ángulo.
a) 4729
≠rad b)
8729
≠rad
c) 7
1458≠
rad d) 5
1458≠
rad
e) 5729
≠rad
17. Se tienen dos ángulos complementarios, tales que el número de grados centesimales del ma-yor excede al número de grados sexagesimales del menor en 24. ¿Cuál es la medida circular del menor?
a) 5≠ rad b)
6≠ rad c)
9≠ rad
d) 10≠ rad e)
12≠ rad
18. Señale la medida circular del ángulo para el cual "S" y "C" son lo conocido, verificándose:
9º - 3Cg
Sº - 10g
a) 9≠ rad b)
92≠ rad c)
20≠ rad
d) 10≠ rad e)
203≠ rad
19. Señale la medida centesimal de un ángulo que verifica: R" ,+S=109; siendo "S" y "R" lo cono-cido para dicho ángulo.
a) 80g b) 90g c) 100g d) 120g e) 140g
20. La décima parte de la diferencia del número de segundos sexagesimales de un ángulo con 8 ve-ces su número de minutos centesimales es igual a:
a b aba b ab
416
2 2
2 2
+ ++ + ; a, b ∈ +
¿Cuál es el máximo valor de la medida circular del ángulo?
a) 48803≠ rad d)
48 800≠ rad
b) 48 800
3≠ rad e) 48807≠ rad
c) 4880
≠ rad www.
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Tarea domiciliaria
1. Señale la medida radial de un ángulo que cum-ple:
CR SSR C
3937
++ = .
a) 1 rad b) 2 rad c) 3 rad d) 1,5 rad e) 3
≠rad
2. Determine la medida en el sistema sexagesimal del ángulo, si se cumple 3S - 2C = 42 .
a) 50º b) 52º c) 53º d) 54º e) 55º
3. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido para cierto ángulo no nulo, reducir :
K=C SC S2 5-- +
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido tal que: C = n + 2 ; S = n - 2
Señale la medida circular del ángulo.
a) 3≠ rad b)
4≠ rad c)
5≠ rad
d) 10≠ rad e)
20≠ rad
5. Señale la medida circular de un ángulo cuyo número de grados centesimales excede a su nú-mero de grados sexagesimales en 2.
a) 4≠ rad b)
6≠ rad c)
10≠ rad
d) 8≠ rad e)
20≠ rad
6. Si la medida de un ángulo se expresa como abº y también como ( )a 1 0+
g, señale el mayor valor
que toma su medida circular.
a) 5≠ rad b)
209≠ rad c)
4≠ rad
d) 2≠ rad e)
207≠ rad
7. Sabiendo que "S" y "C" son lo conocido, calcule : x y z- +
S CC S
22
--; Eº =xºy'z"
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 6 e) 2 5
8. En un hexágono, los ángulos internos están en progresión aritmética y:
α1>α2>α3>α4>α5> α6
¿Cuánto medirá el cuarto ángulo dado en radia-nes, si el mayor es igual a 125º?
a) 750π b) 180115≠ c)
180119≠
d) 2π e) 180121≠
9. Si el complemento del arco "x" es 143≠- radianes,
hallar el valor de "x" en grados centesimales.
a) 282 g 85 m 71 s b) 272 g 85 m 71 s c) 262 g 85 g 71 s d) 25 g 08 m e) 142 g 85 m 71 s
10. La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grados sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por 2π. Hallar la medida de dicho arco.
a) 15≠ rad b) 6º
c) 12≠ rad d) 7ºcentesimales.
e) 10º centesimales.
11. El número que representa el valor de un ángulo en el sistema centesimal es mayor en 11 unida-des al número que representa al mismo ángulo en el sistema sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes, es: (π=3,14 )
a) 0,172 b) 0,727 c) 2,750 d) 1,727 e) 3,172
12. Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimales y centesi-males son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en ra-dianes, es :
a) 10≠ b)
5≠ c)
203≠
d) 407≠ e)
52≠
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13. Hallar el ángulo en radianes que satisface la si-guiente condición : La media geométrica de los números que re-presentan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales, multiplicada por la suma de las inversas de los mismos es igual a 19/100 veces la semidiferencia de esos núme-ros.
a) 310 ≠ b) 10
≠ c) 10 ≠
d) 10≠ e) 11≠
14. Las medidas de un ángulo, en el sistema sexa-gesimal y en el sistema centesimal, son:
S=n2 - 191 y C=n2 +
191
El valor del ángulo en radianes es :
a) 119
≠ b) 109
≠ c) 10≠
d) 190
≠ e) 109
0≠
15. Sean dos ángulos. El primero mide "p" grados sexagesimales y el segundo "q" grados centesi-males. La diferencia numérica de estas medidas es 15. Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129, los ángulos tal como esta-ban medidos originalmente, son:
a) 30 y 15 b) 45 y 30 c) 60 y 45 d) 75 y 60 e) 90 y 75
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Problemas resueltos
1. Si: "S", "C" y "R" son las medidas (en grados sexagesimales, grados centesimales y radianes) del ángulo central del sector circular AOB y COD donde LAB =C, LCD =S, y AC = BD=2R, entonces la medida de "θ", en radianes, es:
A
B
C
D
O θ
a) 5≠
b) 10≠
c) 5≠
d) 10≠ e) 1
Resolviendo
1
2
3
1
2
3
A
CS
2R
2RB
C
D
O θ
Para el problema: θ=R
C S2- ............. (1)
Pero: C S R200 180 ≠
= =1 2 34444 4444
C S RR
C S20 2
10&
≠ ≠- = - =
∴ en (1) : θ=10≠
Clave: B
2. En la figura mostrada OC=OD=r, OA=OB=R, m+COD=1 radián, halle
Perímetro del trapecio circularPerímetro del sector circular COD
K=
A
B
S S
C
D
O
a) 32 b) 1 c)
34
d) ( )3
3 2 1- e) 2
Resolviendo
1
4
4
2
4
4
3
1
4
2
4
3
A
B
S1rad
r
R
S
C
D
O
Como el ángulo central es de 1 rad
⇒ CD r=!
∧ AB R=!
Luego:
Perímetro del trapecio circularPerímetro del sector circular COD
K=
K= ( )r
R r R r3
2+ + -
k=r
R rrR
33
31- = - .................. (1)
De acuerdo a la relación de áreas, tenemos:
S COD= S = ×r2
1 2
S AOB= 2S = ×R2
1 2
⇒ rR 2=
Reemplazamos en (1):
K= k231
33 2 1
&- = -
Clave: D
1
2
3
Rr
21
2
2=
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3. De la figura mostrada, determine el valor de:
M=ax bzay by
++
ab
yz x
a) 21 b) 1 c) 2
d) 31 e) 3
Resolviendo
a
a
b
b
yzθrad x
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
θ=a
y zb
x y=
- -
1 2 3444 444 ⇒ yb - bz=ax - ay
Luego: ay+by=ax+bz
ax bzay by 1
M+
+ =1 2 344 4
∴ M=1
Clave: B
4. Se tiene el sector circular AOC, donde OA=OC=r y m AOC= θ. Si "r" crece 10% y el ángulo central crece 20%, ¿en qué porcentaje crece el área del sector círcular?
a) 15% b) 20% c) 30% d) 40% e) 45,2%
Resolviendo
Sector circular inicial
100R
100R
100S100θ
Nuevo sector
110R
110R
xs120θ
Tenemos
i) 100s= ( ) ( )R2
100 100 2θ ............... (1)
ii) xs= ( ) ( )R2
120 110 2θ .................. (R)
(1) (r) : ( )××
x100
120 110100 100
2
2=
145,2=x
∴ El área aumento en 45,2%
Clave: E
5. Las áreas de un sector circular y la región ence-rrada por un cuadrado son iguales y además de igual perímetro; determine el número de radia-nes del ángulo central de dicho sector.
a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 1,5 e) 2
Resolviendo
R
R
SS
L l l
l
l
i) Son isoperímetros:
→ 2R+L=4l ................. (1)
ii) Áreas iguales:
→ RL2
= l2 ................. (2)
Reemplazamos (1) en (2)
R L4
2 + =l → RL2
= 4
2R L 2+; E
RL2
= 4
2R L 2+; E SRL=[2R+L]2
8RL=4R2+4RL+L2
0 = R R L4 42 2- +1 2 3444 444 0= [2R - L]2 → 2R=L
∴ 2=RL =θ → θ=2
Clave: E
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Problemas para clase
BLOQUE I
1. En un sector circular, el ángulo central mide 3 rad. y el radio 5 cm. ¿Cuál es el perímetro del sector?
a) 15 cm b) 20 cm c) 25 cm d) 30 cm e) 35 cm
2. En un sector circular donde el radio mide 10 cm, el número de radianes de su ángulo central es el mayor entero posible. ¿Cuál es el perímetro del sector?
a) 60 cm b) 70 cm c) 80 cm d) 90 cm e) 100 cm
3. En un sector circular el arco mide 24 cm. Si el radio se incrementa en su doble y el ángulo central se reduce en su cuarta parte, se genera un nuevo sector circular cuyo arco mide:
a) 27 cm b) 54 cm c) 36 cm d) 72 cm e) 48 cm
4. Del gráfico, calcular : LL21 .
A
0 B
L1
O1r
L2
r 3
a) 3
2 3 b) 2
3 3 c) 4
2 3
d) 2
5 3 e) 5
6 3
5. En un sector circular, el ángulo central mide (
'º )
xx g y el radio mide 2 5 cm. ¿Cuál es el área
del sector circular?
a) π cm2 b) 2π cm2 c) 4π cm2 d) 3π cm2 e) 6π cm2
6. Del gráfico, calcular:
x= LL
PSQ
PO Q1!
Si : O1P=O1Q
A
M
O
O1
N B
Q
P
a) ArcCos
41
2≠ - d) 3ArcCos
41
2≠ -
b) ArcCos
41
1≠ - e) 4ArcCos
41
2≠ -
c) 2ArcCos
41
2≠ -
7. En un sector circular el área es igual a 100m2. Si el arco se reduce en 20% y el radio se duplica se obtie-ne un nuevo sector circular cuya área es igual a:
a) 120 m2 b) 130 m2 c) 140 m2 d) 150 m2 e) 160 m2
8. El área de un sector circular es igual al cuádru-ple del área de un cuadrado cuyo lado es igual al arco del sector. ¿Cuánto mide el ángulo cen-tral del sector circular?
(π=3,1416)
a) 7°9'43" b) 7°17'6" c) 8°16'32" d) 6°17'34" e) 6°24'43"
9. Del gráfico, calcular: θS.
A
B
S
C
D
nO mθrad
a) m2+n2 b) m n2
2 2+ c) n2 - m2
d) n m2
2 2- e) n m4
2 2-
S
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10. Del gráfico, calcular: "S".
A
E
B
S
C
D
4u2 18u2
6u2
O
a) 2 u2 b) 3 u2 c) 1 u2 d) 2/3 u2 e) 4/3 u2
BLOQUE II
11. Del gráfico, calcular: J=L L L L
L L3 2 1 2
32
12
--
O
EC A
B
L3L2
L1
DF
a) 2 b) 4 c) 6 d) 4/3 e) 2 2
12. Del gráfico, calcular : J=(θ - 1)(θ2 - 2)
OE
C A
BD
F
θrad
a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 1/4 e) 4
13. Del gráfico, hallar: K=LL21 .
O
C A
B
L2L12θ
D
a) ( )2
1θπ - Cotθ d) ( )
21
θπ - Cosθ
b) ( )2
1θπ - Tanθ e) ( 1)
θπ - Tanθ
c) ( )2
1θπ - Senθ
14. En un sector circular, el ángulo central mide xrad y el radio (x+4x-1 - 2)cm. ¿Para qué valor de "x" la longitud del arco es mínima?
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 3 e) 3/2
15. Del gráfico mostrado, hallar:
J=x
y z2≠ -
-
Si: BM = BP y AN = AP.
A B
M O N
Pz
x
y
a) 0,25 - ( )ArcCos
ArcCos
43
3243
b) 0,25 - ( )ArcCos
ArcCos
43
4332
c) 0,75 - ( )ArcCos
ArcCos
43
3243
d) 0,75 - ( )ArcCos
ArcCos
43
4332
e) 0,75 - ( )ArcCos
ArcCos
83
4332
16. En un sector circular se sabe que su perímetro es igual a "2p". Si su área es máxima, ¿cuánto mide el ángulo central de dicho sector?
a) 1 rad b) 2 rad c) 1/2 rad d) 4 rad e) 1/4 rad
17. En el gráfico mostrado, tomando a AB , BC y AC como diámetros, se dibujan tres semicir-cunferencias. Si el área del triángulo ABC es "S", calcular la suma de las áreas de las regiones sombreadas.
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A
C
B
a) S b) 2 S c) 32 S
d) 21S e)
21S
18. Si el triángulo ABC es equilátero de lado 2cm,
donde tomando AB y BC como diámetros se han
dibujado semicircunferencias; además AC!
, tiene
su centro en "B". Calcular el área de la región
sombreada. (π= 3 2+ )
C
B
A
a) ( )3 2 2+ cm2 b) ( )2 3 2+ cm2
c) 2 cm2 d) 2 3 cm2
e) 2 2 cm2
19. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.
C
BA
M
O24º
3 5 cm 3 5 cm
a) 2π cm2 b) 3π cm2 c) 4π cm2 d) 6π cm2 e) 8π cm2
20. En un tronco de cono circular recto, los radios de sus bases y su generatriz suman 8 cm. ¿Cuál es el máximo valor del área lateral del tronco de cono?
a) 8π cm2 b) 16π cm2 c) 24π cm2 d) 32π cm2 e) 64π cm2
Tarea domiciliaria
1. En un sector circular el arco mide "L1", pero si triplicamos el radio y reducimos el ángulo cen-tral en 20% se genera un nuevo sector circular cuyo arco es "L2". Calcular :
LL21
a) 95 b)
125 c)
136
d) 52 e)
43
2. En un sector circular donde el radio mide 8cm, ¿cuál es el mayor valor entero que toma el arco?
a) 60 b) 40 c) 48 d) 64 e) 50
3. El minutero de un reloj mide 35cm. Si conta-mos 12 minutos a partir de ahora, la punta del minutero barre un arco que mide:
a) 5π cm b) 15π c) 7π d) 14π e) 2π
4. En un sector circular, el ángulo central mide 30g y el radio mide 40cm. ¿Cuánto mide el arco co-rrespondiente?
a) 2π cm b) 4π c) 6π d) 9π e) 12π
5. En un sector circular, se sabe que el arco es la quinta parte del radio y que su perímetro es igual a 55cm. Calcular el producto del arco con el número de radianes del ángulo central.
a) 25 b) 15 c) 5 d) 1 e) 10
6. El tramo de una carretera está compuesta por dos arcos correspondientes a ángulos centrales de 108º y 120º con radios de 10Km y 12Km, respectivamente. ¿Cuál es la longitud total del tramo?
a) 6π km b) 8π c) 10π d) 12π e) 14π
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7. En un sector circular, el ángulo central mide "xg" y el radio (4 - x)cm. ¿Cuál es el máximo valor que podría tomar el arco?
a) 20≠ cm b)
40≠ cm c)
30≠ cm
d) 50≠ cm e)
25≠ cm
8. En la figura mostrada, hallar el área del trapecio circular ABCD.
Si : AB=10µ y CD=7µ
O
D A
BC
60g
a) 64≠
µ2 b) 68≠
µ2 c) 251≠
µ2
d) 85≠
µ2 e) 3
58≠ µ2
9. Un abanico tiene una longitud de 12cm y al ser abierto (extendido) barre un ángulo de 120º. Calcular el área de la superficie circular deter-minada.
a) 12π cm2 b) 24π cm2 c) 36π cm2 d) 48π cm2 e) 96π cm2
10. En el gráfico mostrado, calcular el área de la re-gión sombreada. (π = 3 2+ )
O
A
H
2 6
B30º
a) 2 2 3- b) 2 2 3+
c) 2 3 2- d) 2 3 2+
e) 3 2-
11. De acuerdo al gráfico, calcular : SS
12
O
D
13
S1 S2
A
B
C
a) 6 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21
12. Del gráfico, calcular : Sθ
O
D
6
6
3π2πθrad S
A
B
C
a) 30 b) 15 c) 60 d) 90 e) 180
13. Dos postulantes a la UNI observan un reloj electrónico cuyas agujas están detenidas. Uno de los estudiantes dice que el área que hacen las agujas es de 7,2 pulgadas cuadradas. Si el reloj tiene un radio de 6 pulgadas, ¿cuál será el arco entre las agujas? Tomar:
722≠ =
a) 512 pulg b)
511 c)
125
d) 115 e)
712
14. Se tiene un sector circular de radio "r" y ángulo central 36º. ¿Cuánto hay que aumentar al án-gulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior?
a) 64º b) 36º c) 28º d) 100º e) 20º
15. Siendo "θ" el ángulo central de un sector circu-lar cuya longitud de arco es 2π metros. Calcular su radio en metros, si :
103 7+ =πθ
θπ
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2,5
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Problemas resueltos
1. Se tienen tres poleas de radio 1u, 2u y 3u, res-pectivamente, en un mismo plano cuyos centros forman un triángulo equilátero cuya longitud es 29u. Además, dichas poleas se encuentran co-nectadas por una faja. Si la polea de radio 3u da 3 vueltas, halle la suma de los ángulos girados por las otras poleas.
a) 18πrad b) 9πrad c) 12πrad d) 24πrad e) 27πrad
Resolviendo
23
1A
B C
gira:3vueltas
Para C gira: 3 vueltas ⇒ θC =3(2π)=6π
Como están conectados por una faja de trasmi-sión, se tiene que:
θA×rA= θB ×rB= θC ×rC
⇒ θA= θC× ×Tr
16 3 18
AC ≠ ≠= =
⇒ θB= θC× ×
Tr
26 3 9
BC ≠ ≠= =
∴ θA+ θB = 27πrad
Clave: E
2. Dos ruedas de radios "R" y "r" (R>r) recorren la misma longitud "L". La diferencia del número de vueltas de la menor y la menor es "L/8r". Calcule:
M=Rr
r Rr4
12 ≠+ -` j
a) -1 b) 4≠- c) 0
d) 21 e) 2
Resolviendo
r
R
L14444244443
Sea: n : # de vueltas ⇒ nr= r
L2≠
nR=R
L2≠
Por condición: nr - nR =
rL8
⇒ r
LR
Lr
LRr
R rr2 2 8 2 81
&≠ ≠ ≠
= = - =
∴ R - r= R4≠
Pero, la expresión pedida es:
M=Rr
r Rr4
12 ≠+ -` j=
Rr
41≠+ -8 B
∴ M= 14 4
1 0≠ ≠- + - =8 8B B
Clave: C
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3. En la figura mostrada, mABC=80º. Halle aproxi-madamente la distancia (en metros) recorrida por el centro de la rueda en ir desde el punto "A" hasta el punto "C". El radio de la rueda mide 15≠
cm, y en el tramo AB la rueda da seis vueltas y en el tramo BC da cuatro vueltas.
A
B
C
a) 3,08 b) 3,24 c) 3,66 d) 3,98 e) 4,02
Resolviendo
A
B
80º
C
r 15≠
=
Conocemos que:
n=r
L2≠
Donde: n : # de vueltas L : longitud recorrida por el centro de la rueda r : radio de la rueda
⇒ Como:
de "A" a "B" da 6 vueltas
de "B" a "C" da 4 vueltas
123
⇒ 10=×
L
2 15≠≠c m
⇒ L = 300 cm ó L=3m
Analizaremos lo que ocurre en el vértice "B"
l
80º
r r
l= ×95 15≠
≠; ;E E
l= cm325
ó l=0,08 m
Finalmente, la longitud total será: [1+l]=3,08 m
Clave: A
4. De la figura mostrada, la rueda de radio "r" gira sin resbalar sobre la superficie circular de radio 5r. ¿Cuántos grados sexagesimales experimenta el giro de la rueda hasta que el punto "B" esté en contacto con la superficie curva?
B
5r
O
O1
rr B
O1
a) 18º b) 80º c) 84º d) 90º e) 108º
Resolviendo
A
B'
5r
O
O1r B
θrad
Condición: lAB! = l
'AB!
→ 2≠8 B×r= θ×5r
→ = θ ∴ \central = 10≠ rad
\central = 18º
Clave: A
5. En el sistema mostrado, si la rueda "A" da 43
de vuelta, entonces la longitud recorrida por la
rueda "C" es:
B
C
A
82 6
a) 3,6π b) 36π c) 1,8π d) 18π e)
49≠
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Resolviendo
B
C
A
gira:43 vuelta
8
2
6
Entre A ∧ C
43 V×6=Vc×8
∴ VC = 169 vueltas
Entre C ∧ B (concéntricas)
VC = VC →VB=169 vueltas
Ahora: (por regla de 3 simple) Para la rueda "C".
1 vuelta 2π(R)
169 vueltas L
→ 169 vueltas×(4π) = L(vueltas)
∴
L=49≠
Clave: E
Problemas para clase
BLOQUE I
1. Una rueda de radio 2 cm da 14 vueltas al reco-rrer una distancia rectilínea igual a: (π = 22/7).
a) 136 cm b) 146 cm c) 156 cm d) 166 cm e) 176 cm
2. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "C"; si : AB = 12 y BC = 23 ( π = 22/7).
A
B60º
C
3
a)2
5 3 b) 4
5 3 c) 2
7 3
d) 4
7 3 e) 4
3 3
3. Un aro recorre el borde de una pista circular de radio "R", en un plano perpendicular al de la pista. Si da "n" vueltas al barrer en el centro de la pista un ángulo "θ°", hallar R/r, siendo "r" el radio del aro.
a) 180 nθ
b) 360 nθ
c) 2nθπ
d) nθπ e) 90 n
θ
4. Una rueda de radio "r" recorre el perímetro de otra de radio "R", dando 7 vueltas. Si las dos ruedas están ubicadas en el mismo plano, cal-cular r/R.
a) 1/6 b) 1/7 c) 1/8 d) 2/3 e) 1/3
5. Del gráfico, calcular el número de vueltas que dará la ruedita de radio "r" al ir desde "A" hasta "B".
A7r
r
r
B
CO
a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 1/4
6. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio "r" al recorrer la superficie mostrada desde "A" hasta "B"?
rr
r rr
BA
a) 2/3 b) 3/2 c) 4/3 d) 3/4 e) 5/3
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7. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 20°, ¿cuánto gira "B"?
(A) (B)
4r3r
a) 15° b) 16° c) 18° d) 12° e) 9°
8. En el sistema mostrado, cuando "A" gira 60°, ¿cuánto gira "D"?
(A)
(B)
(C)
(D)
53
22
a) 100° b) 120° c) 150° d) 180° e) 210°
9. Si en el sistema mostrado, el bloque "P" des-ciende "L", ¿cuánto sube el bloque "Q"?
R
Q
P
r
a) RLr b)
rLR c) ( )
RL R r-
d) ( )R
L R r+ e) ( )r
L R r-
10. Si en el sistema mostrado, "A" gira "θ°", ¿cuán-to se desplaza el bloque "P"?
2 3
5
P
a) θ30≠ b) θ
50≠ c) θ
120≠
d) θ150
≠ e) θ 300
≠
BLOQUE II
11. Dos ruedas de radios "r" y "R" dan "n1" y "n2" vueltas, respectivamente, al recorrer ambas una misma distancia. Una tercera rueda de radio "R+r" da "n3" vueltas al recorrer el doble de la distancia anterior. Calcular el mínimo valor de:
Nn
n n3
1 2= +
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8
12. Dos ruedas de radios "R" y "r" dan cierto núme-ro de vueltas al recorrer una misma distancia. Una tercera rueda, al recorrer el doble de esa distancia, da un número de vueltas igual a la diferencia de los números de vueltas que dieron las dos primeras. ¿Cuál es el radio de la tercera rueda? (R > r)
a) R r
R2-
b) R rRr-
c) ( )R rRr
2 -
d) ( )R rR r2 2
-- e) ( )
R rR r2 2
-+
13. Los radios de las ruedas de una bicicleta están en la relación de 3 a 5. Después de recorrer una cierta distancia, el número de vueltas que dio la menor excede en "n" a las que dio la mayor. Calcular la suma de los números de vueltas que dieron las dos ruedas.
a) 2n b) 3n c) 6n d) 4n e) 8n
14. ¿Cuántas vueltas dará la rueda de radio 1 al des-plazarse desde "A" hasta "C"? (AB = 9π).
1
A B
C
O
7
45º
a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
15. En una bicicleta, sus ruedas tienen radios igua-les a 50 cm y 40 cm. Si la mayor da 20 vueltas, ¿cuántas vueltas daría la menor, después de re-correr una cierta distancia?
a) 40 b) 32 c) 36 d) 30 e) 25
AB
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20. Si en el gráfico mostrado la rueda de radio 1u recorre todo el perímetro interior del cuadrante de radio 4u, ¿cuántas vueltas daría?
A
1
4
B
O
a) ( )ArcSen123
97 2 1
≠+ -
b) ( )ArcSen123
97 2 2 2+≠
-
c) ( 2 )ArcSen132
97 2 1+≠
-
d) ( 2 1)ArcSen1 397 2+≠
-
e) ( 2 )ArcSen123
97 2 1+≠
-
16. Las ruedas de una locomotora tienen radios en progresión aritmética de razón r/3, siendo "r" el radio de la rueda intermedia. Después de avanzar una cierta distancia, el número de vuel-tas que da la intermedia es igual a "K" veces la suma de los números de vueltas que dieron las otras dos. ¿Cuál es el valor de "K"?
a) 2/3 b) 2/9 c) 4/3 d) 4/9 e) N.A.
17. Dos poleas de radios "R" y "r" son tangentes ex-teriores. Si la primera gira 2θº, la segunda 3θg. Calcular: R/r.
a) 2,25 b) 2,35 c) 1,35 d) 1,65 e) 3,35
18. En la figura mostrada, las ruedas se desplazan en los sentidos indicados dando "n" vueltas cada una, después de lo cual la distancia que los separa es igual a 444 cm. ¿Cuál es el valor de "n"?
1cm
4cm
a) 7 b) 14 c) 8 d) 16 e) 28
19. Si el bloque "P" desciende 4 cm, ¿cuánto se des-plaza el bloque "Q"?
13
6
2 3
5
PQ
a) 2,4 cm b) 1,2cm c) 4,8cm d) 2 cm e) 3 cm
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1. Los radios de las ruedas de una bicicleta son como 3 a 1. En hacer un cierto recorrido, la rueda ma-yor dio 25 vueltas menos que la menor. Hallar la suma de los ángulos girados por cada rueda.
a) 80πrad b) 100πrad c) 120πrad d) 150πrad e) 90πrad
2. La distancia entre los centros de dos circunferen-cias de radio "R" es "R". Entonces, la longitud del menor arco que se forma con la intersección de las dos circunferencias es :
a) 32≠ R b)
3≠ R c)
6≠ R
d) 4≠ R e)
2≠ R
3. La figura representa una transmisión dentada de radios "r1" y "r2" como se indica. Si el punto "P" sobre la rueda de mayor radio "r1" gira un ángu-lo "θ", entonces el punto "Q" correspondiente sobre la otra rueda girará un ángulo igual a :
P
Q
r1
r2
a) θ b) rr21` jθ c)
rr12` jθ
d) (r1r2)θ e) QP θ
4. Un molinete de riego tiene un alcance de 12m y un ángulo de giro de 135º. Calcular el área (en m2) del sector circular mojado por el molinete. (Usar π=3,14).
a) 161,56 b) 163,56 c) 165,56 d) 167,56 e) 169,56
5. La figura muestra un montacarga con un tam-bor de 60 cm de diámetro. Si el montacarga gira
47≠ radianes, entonces la carga se eleva,
aproximadamente, a una altura de: (Tomar: π=3,1416 ).
a) 1,68 m b) 1,67 m c) 1,66 m d) 1,65 m e) 1,63 m
6. ¿Cuál es el arco, expresado en metros, de la cir-cunferencia de 2m de radio que subtiende un án-gulo central, tal que si sumamos su complemento y suplemento, expresados en grados sexagesi-males, nos da 13 veces el valor del ángulo?
a) 5≠ b) 40 c)
509≠
d) 101 e)
10≠
7. Una faja de 60 π cm de longitud es colocada al-rededor de dos líneas circulares cuyo diámetro es 10cm. ¿Cuál es la distancia entre los centros de las dos ruedas (OO')?
a) 27,5 πcm b) 25 πcm c) 22,5 πcm d) 20 πcm e) 17,5 πcm
8. Calcular el número de vueltas que da la rueda, de radio "a", para que las esferas se encuentren a la misma altura.
c
ba
m
123
a) ( )b ccm
2 +≠ b)
amb4≠
c) ( )a b cbm
2 +≠ d)
( )c b cbm
2 +≠
e) ( )b cam
2 +≠
9. En un sector circular, el arco mide: x2 - 6x+16 ; y el radio mide : (x - 1). Calcular el área del sector, si el arco tiene longitud mínima.
a) 7µ2 b) 14µ2 c) 21µ2 d) 5µ2 e) 10µ2
10. Se tienen 3 ruedas de radio "r", "R" y " Rr " las cuales recorren espacios rectilíneos "e", "ke" y "2e", respectivamente. Calcular "k" de modo que el número de vueltas que da la tercera, sea la media geométrica de los números de vueltas que dieron las dos primeras.
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e)
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11. En el gráfico, determine el número de vueltas que da la rueda de radio 3 al ir desde "A" hasta "D". Si: AB=24 y BC=CD=45 .
60º
A
B
D
C
60º60º
3
3
a) 3
10731
+≠
b) 2 3107
31
≠+
c) 2 3207
31
+≠
d) 2 3105
31
+≠
e) 2 5105
31
+≠
12. En el gráfico, la rueda de radio "r" al ir desde
"A" hasta "B" da los 25 del número de vueltas
que da al ir desde "C" hasta "D".
Calcule : rR .
AC
D
B
R
r
r
r
r
a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 5
13. En el gráfico se muestran las catalinas de una motocicleta. Si la cadena mide 1 metro y las catalinas tienen radios de 10cm y 5cm, calcule la suma de los ángulos girados por ambas cata-linas para que el nudo esté en la posición "P" por primera vez cuando giran las catalinas.
P
AB
Nudo
a) 10 rad b) 20 rad c) 30 rad d) 40 rad e) 50 rad
14. Los radios de tres ruedas de una locomotora es-tán en la relación 1 ; 3 ; 5. Cuando la menor gira 4320º, ¿cuál es la suma de los números de vueltas que dan las otras ruedas?
a) 5,6 b) 3,2 c) 7,8 d) 6,4 e) 8,4
15. De acuerdo al gráfico, se sabe que : O1O2= 37 . Cuando "A" se ubique en la posición de "B", ¿cuál será la suma de los números de vueltas que darán las dos poleas?
A B
32
DC
O1 O2
a) 3≠
b) 23≠
c) 25≠
d) 4≠
e) 27≠
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Problemas resueltos
1. Con ayuda de la figura mostrada calcule:
Q=csc
secctgx x
x tgx-+
2n+1
x
n - 1
2n
a) 215 b)
103 c) 6
d) -6 e) - 215
Resolviendo
2n+1
x
n - 1
2n
Aplicamos el teorema de Pitágoras
[2n+1]2=(n - 1)2+(2n)2
→ 4n2+4n+1=n2 - 2n+14n2
→ 6n=n2 ∴ n=6
Luego, el triángulo será:
13
x
5
12
La expresión pedida será:
Q=Cotx CscxSecx Tanx+
-
Q=
512
513
1213
125
51
1218
-
+=
- ∴ Q= -
215
Clave: E
2. Si cos(x+20º)=sen(3x+10º); x∈<0º;26º] entonces al calcular el valor de F=sec4x + 4sen22x - tg3x, se obtiene:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Resolviendo
De: cos(x+20º)=sen(3x+10º)
→ (x+20º)+ (3x+10º)=90º ∴ x = 15º
La expresión pedida será:
F=sec60º+4sen230º - tan45º
F= (2)+4×21 2
; E - 1 ∴ F= 2
Clave : C
3. Se tiene un triángulo ABC, en el cual se trazan las alturas AD y CF cortándose en el punto "H", de modo que AH=3HD, halle tgB.tgC.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
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Resolviendo
B
F
3aH a
A C
D12
θ
θ
α 1
2
3
H: Ortocentro del ABC
BPHF : (inscriptible)
⇒ \DHC = θ
En HDC : tanθ = an .............. (1)
En HDC : tanα = na4 .............. (2)
De (1) ∧ (2)
tanθ . tanα = ( ) ( )an
na4 =4
Clave : D
4. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Calcule:
k= 10 sec(θ)+tan(θ)
A
D37º
θ
B
C
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
Resolviendo
θ
9a
37º 53º
9a16a
25a
25a144424443
144424443
14243 123
13a
12a
5 a10
θ
Sombreado
sec9
5 10θ =' ∧ tan913θ ='
Se pide: k= 10 secθ+tanθ
→ k= ×109
5 10913
963+ =
∴ k = 7
Clave : B
5. En la figura mostrada, AB=AD=BC, mABC=90º, mBAD=32º, mBCD=θ
Calcule cot(θ)B
CD
A
a) 0,75 b) 1,25 c) 2,95 d) 3,45 e) 4,35
ResolviendoB
16º
16º
16º
CD
25
25
25θ7
7
A
Separamos el BCD
16º
D
C B
14
14cos16º
14sen16º
1444442444443
θ
25
Gráfico:
Cotθ = º
ºSen
Cos14 16
25 14 16-
Cotθ=( )
×
14257
25 142524
259825289-
=
∴ Cotθ = 2,95
Clave : C
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Problemas para clase
BLOQUE I
1. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º), se sabe que : AB = 3BC. Calcular : R Sen A TanC5
212= + .
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. En un triángulo rectángulo, la diferencia de la hipotenusa con uno de los catetos es la cuarta parte del otro cateto. Calcular el seno del menor ángulo agudo del triángulo.
a) 8/15 b) 15/17 c) 8/17 d) 3/5 e) 4/5
3. En un triángulo rectángulo ABC (Bt=90º), sim-plificar :
RCscC
SenACotC SenC= +
a) Sen2A b) Cos2A c) TanA d) CotA e) 1
4. En un triángulo rectángulo, el seno de uno de sus ángulos agudos es igual a 0,3t . Si el comple-mento de dicho ángulo es "θ". Calcular : R=9Sen2θ+ 2 Tanθ.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 16
5. De acuerdo al gráfico, calcular :R=2Cos2θ -
21Sen2θ
B
A
C
H2
3
θ
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 2/3 e) 1/5
6. Del gráfico, calcular PQ.
A
DQ
P
O
10
10
7º
9º
B
C123
123
a) 5 b) 6 c) 3 d) 10 e) 12
7. Del gráfico, calcular : Tanθ.
A Dθ
16º
37º
BC
a) 2/9 b) 1/3 c) 4/9 d) 5/9 e) 2/3
8. Del gráfico, calcular Tanφ. Si : AO = AC y OM = 3MB.
A Bφ
C
O M
a) 0,2 3 b) 0,3 3 c) 0,4 3 d) 0,5 3 e) 0,6 3
9. Siendo : Sen2x Tanx Csc(x+10°)Cotx = 1 "x" es agudo. Calcular : R={Sen3x+Cos2(4x+5º)}Tan26x
a) 1 b) 2 c) 1/3 d) 3 e) 6
10. Sabiendo que "θ" es agudo; además, verifica que :
2Tanθ=( º º) º( º º) º
Sen Cos CscSen Cos Sec
5 20 2 70 203 10 80 80+
-
Calcular el valor de :
N=4Tan(52Cos2 θ +1)º+Tan2(135Tan2 θ)º
a) 3 b) 4 c) 5 d 8 e) 6
BLOQUE II
11. En un triángulo rectángulo ABC(Bt=90º) su área se expresa así :
61b2TanA.
Calcular : R=Csc2A+4Tan2C.
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
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12. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : R=2Tanα+3Tanθ.
A
B C
P
D
α
θ
M
N
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Si en el gráfico "I" es el incentro del triángulo ABC. Calcular: R=Cotα+Cotβ.
8 15I
A
B
Cα β
a) 17/2 b) 17/3 c) 17/4 d) 17/5 e) 17/6
14. Si "α" es un ángulo agudo, tal que :Cosα =
71 .
Calcular : R=Tan Cot
Tan Tan
22
26
α α
α α
-
+ .
a) 2 b) 4 c) 3 d) 6 e) 8
15. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : N=2Cotβ - Cotα
A
B C53º
M
E
D
α β
a) 3/4 b) 3/2 c) 4/3 d) 2 e) 5/3
16. Del gráfico, calcular: R=tgα+ctgβ ; si: "M" y "N" son puntos medios de AE y ED, respectiva-mente.
E
N
49
A
B C
M
D
α β
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
17. Del gráfico, calcular : N=Tan30º(2Cotθ+3); si : 2BH = 3HO
19. Del gráfico, calcular "Senθ"; si : OD = 2DB = 2AC y AD = AE.
A
B
C
E
θ
O
D
a) 5/8 b) 5/12 c) 5/18 d) 5/24 e) 5/28
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20. Del gráfico, calcular : Sen 2θ .
A
BC
E37º
θO
D
a) 0,25 b) 0,35 c) 0,45 d) 0,55 e) 0,65
21. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláte-ros, calcular:
TanyTanx , si:
AC= CE EG3 2
=
A
M N
G
F
x y
B
C E
D
a) 35/66 b) 65/77 c) 55/72 d) 13/11 e) 5/7
22. Siendo : Sec3a+Cos3a=Sen3b+Csc3b
Calcular:
K=Tan(a+b)Tan(2a+2b)Tan3aTan3b
a) 1 b) 3 c) 3 3
d) 33 e) 9
Tarea domiciliaria
1. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3cm y 5cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide "θ", halle el valor de: W Sen17 12θ= - .
a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5
2. En un triángulo ABC, recto en "C", se sabe:
SecBSecA
32=
Calcular: 13 (senA+senB)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
3. En un triángulo rectángulo, el coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50m, hallar el perímetro de dicho triángu-lo.
a) 112 m b) 224 m c) 96 m d) 52 m e) 412 m
4. Del gráfico, calcule : Tanβ . Si: BN = 2AN
B45º β
C
A
M
N
a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,75
5. Calcular:
E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º)
a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16
6. Si : Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determine "y - x"
a) 12º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º
7. Si : Tgx . Tgy = 1 Determinar:
E=Sen . .x y Tan x y Sec x y2 3
23
+ + +c c cm m m
a) 36 b)
66 c) 1
d) 35 e)
62
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8. Si en el gráfico : AB = BC. Calcule: Tanθ
B
53ºθCA
M
a) 92 b)
94 c)
32
d) 31 e)
52
9. Calcule el área de la región triangular ABC Donde: AC = 36m ; si, además:
a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º e) 17º y 16º
12. Se tiene dos circunferencias tangentes exterior-mente con radios "R" y "r". Calcular el cuadra-do de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros.
a) ( )R r
Rr42-
b) ( )R r
Rr42+
c) ( )R r
Rr22-
d) ( )R r
Rr22+
e) ( )R r
Rr2-
13. Del gráfico, obtener tagθ :
B
37º
θ
A
O
M
a) 34 b)
43 c)
45
d) 32 e)
54
14. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos "a" y "b". Hallar su área en términos de "m" si:
a=t2+tSec3≠ +2Sen
6≠
b=t2 - tCsc6≠ +2Cos
3≠
t2=2mt Tan4≠` j - m2
a) m2 - 1 b) m2
12 2-c m
c) m2
12 2+c m d) ( )m2
12 2-
e) m2 + 1
15. En un triángulo isósceles ABC, el lado desigual tiene el doble de longitud que la altura relativa a dicho lado.
Calcular :
T=Sen2α + Tg
2α + Senβ - Ctgβ
Donde "α" es el ángulo desigual y "β" el ángulo igual.
a) 22 b) 2 c)
42
d) 2 2 e) 0
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Problemas resueltos
1. De la figura mostrada m∠ABC=90º, m∠ABD=α , AB=x, BC=p; BD=q. Calcule "x"
C A
B
D
a) cosp qsenpq
αα
- b)
cosq ppqsen
αα
-
c) cosq psenpq
αα
- d) cos
q psenpq
αα
+
e) cospsen q
pqα α-
Resolviendo
C
pq
xα
90º-α
A
B
D
S ABC=S CBD+S ABD
→ . .a
p xa
p q= sen(90º - α)+ .a
q x senα
px=pqcosα+qxsenα xcp - qsenα = pqcosα
⇒ x= cosp qsenpq
αα
-
Clave: A
2. De la figura BD DC= , halle ctgy
A B
C
D
xy
z
a) 2ctgz - ctgx b) 2ctgz+2tgx c) 2tgz - tgx d) 2tgz+tgx e) 2tgz+3tgx
Resolviendo
Del gráfico:
h
hcotx
h
2hcotz
x
x
y z
144424443
1442443hcoty
2hcotz = hcoty+hcotz ∴ coty=2cotz - cotx
Clave: A
3. Los triángulos ABC y ADC tienen un lado común
(AC). Si se sabe que BE=DE= AC2
, DC=m,
m∠DAC=α y m∠BCA=β; se le pide determinar
la distancia entre los puntos "B" y "D".
A E
D
B
C
a) m2
cscα sen(α+β) b) m2
cscα sen(α - β)
c) m cscα cos(α+β) d) m secα cos(α+β)
e) m cscα sen(α+β)
Resolviendo
A ER R
m
βα
ααββ
x DB
C
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ADC: cscmR2 α=
2R=mcscα
Separamos el BEP
E
RR
α+β α+βDB
xx/2 x/2
Tenemos: R
x2 =cos(α+β)
x=2Rcos(α+β)
x=m cscα cos(α+β)
Clave: C
4. En la figura mostrada BD=DC, m\BCD=α, m\BMD=β, determine tan(β) en términos de "α".
CA
Mβ
α
B
E
D
a) 2cot(α) - tan(α) b) 2tan(α)+cot(α) c) tan(α)+cot(α) d) 2tan(α) - cot(α) e) 2cot(α)+tan(α)
Resolviendo
CA H
M
2htanα hcotα hcotα
Sea:BE=2h
2hβ β
α
α
B
E
h
D
12312314243
ADH : tanβ= tan coth
h h2 α α+
∴ tanβ=2tanα+cotα
Clave : B
5. En la figura mostrada, "O" es el centro de la cir-cunferencia, m\BAC=2φ , m\DGF=θ , deter-mine:
E=1+cot(45º - φ) en función de "θ".
CA
B
E
D
O
G
F
a) tan(θ) b) 2tan(θ) c) cotθ d) 2cot θ e) 4tan(θ)
Resolviendo
C
A
B
F
r
E
rθ
2θr
rr
O
(45º- φ)
rcot(45º- φ)
(45º- φ)
tanθ= ( º )cotr
r r 45 φ+ -
∴ tan=1+cot(45º - φ)
Clave : Awww.
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Problemas para clase
BLOQUE I
1. En un triángulo isósceles, los ángulos congruen-tes miden "α" cada uno y el lado desigual mide "L". Hallar el área del triángulo.
a) L2Tanα b) L22
Tanα c) L42
Tanα
d) L22
Cotα e) L42
Cotα
2. En un cuadrado ABCD se trazaAE ("E" en CD ), tal que : ED = L ; EAD θ=t . Hallar el perímetro del trapecio ABCE.
a) L(2Cotα+Cscα - 1) b) L(3Cotα+Cscα - 1)c) L(3Cotα - Cscα+1)d) L(2Cotα+Cscα+1)e) L(3Cotα+Cscα+1)
3. En un triángulo rectángulo isósceles ABC(Bt=90°), se traza la ceviana CD ("D" en AB ), tal que : CD=m y DCBt = θ.
Halle el perímetro del triángulo ADC.
a) m{( 2 +1)Cosθ - Senθ+1}
b) m{( 2 - 1)Cosθ - Senθ+1}
c) m{( 2 +1)Senθ - Cosθ+1}
d) m{( 2 +1)Senθ+Cosθ - 1}
e) m{( 2 - 1)Senθ - Cosθ+1}
4. Si ABCD es un cuadrado. Calcular : Senθ.
B CE
θ
A D
2 1
a) 1309 b)
1307 c)
1303
d) 1305 e)
13011
5. Del gráfico, hallar "x".
B
CAD
2 545º
x
a) 1272 b) 5
72 c) 20
72
d) 1072 e) 15
72
6. En el gráfico, MNPQ es un cuadrado de lado 2. ¿Cuál es el radio del sector circular?
B
2θ
A
N
M
P
Q
a) Cot Cot4 52θ θ+ +
b) Cot Cot2 32+ +θ θ
c) Cot Cot2 52+ +θ θ
d) Cot Cot4 62+ +θ θ
e) Cot Cot3 62+ +θ θ
7. Del gráfico, hallar ED en función de "R" y "θ".
B
θ
A
D
CE
R RO
a) 2R Senθ Tanθ b) 2R Cosθ Cotθ c) R Senθ Tanθ d) R Cosθ Cotθ e) 2R Senθ Cosθ
8. Del gráfico, calcular el mínimo valor de : P=Tanα + Tanθ
B
θα
A CM N1 3 2
a) ,0 1 b) ,0 2 c) ,0 3 d) ,0 4 e) ,0 5
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9. Del gráfico, hallar el perímetro de la región sombreada.
B
θ θθθA
D
C
E
F
R
P
QS
1
a) 3Senθ+Sen4θ b) 4Senθ+Sen4θc) 4Cosθ+Sen4θ d) 4Tanθ+Sen4θe) Senθ+3Cosθ+Sen4θ
10. Del gráfico, hallar el área de la región sombrea-da.
B
θθθA
D
C
E
1
a) Sen2θCosθ b) Sen3θCosθ
c) 21Sen3θCosθ d)
21Sen2θCosθ
e) 21SenθCos3θ
BLOQUE II
11. Del gráfico, halle : Tanθ.
Q
H
P
b
a
B
θA C
1
2
3
1
4
4
4
2
4
4
4
3
a) ba b)
ab c)
ba3
d) ab3 e)
a bab
2 2+
12. Del gráfico, calcular : N=CotαCotβCotθCotφ Si : CD = 2AB
OBDθβ
φ
α
AC
MN
a) 3 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18
13. Si ABCD es un cuadrado. Hallar : N=Tanθ - Tanα.
B
D
F
G
θ
β
α
A
CE
a) Tan3β b) Cot3β c) Tan2β d) Cot2β e) Cotβ
14. Del gráfico, hallar : K=A2 - A1.
B
22
51
A1A2
Dθ
A C
E
a) 2Senθ b) 3Senθ c) 4Senθ d) 5Senθ e) 6Senθ
15. Del gráfico, hallar : SS21 . (AB = BC).
B
D
S2θθA C
S1
θ
a) Secθ b) 21Secθ c) Sec2θ
d) 21Sec2θ e) 2Sec2θ
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16. Del gráfico, calcular el mínimo valor de: P=Cotα+Cotβ ; si se sabe que :
MN = 2MQ.
PQ
M NS
α βA
B
C
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
17. Según lo mostrado en la figura, calcular el área de la región sombreada.
A
BP
Q
O14º
10º
C
D2
a) Tan33º - 21Sen66º
b) 2Tan33º - Sen66º
c) 2 Tan33º - Sen66º
d) 2 Tan33º - 21Sen66º
e) 2 2 Tan33º - Sen66º
18. Del gráfico, hallar : J=( )S
S S
22
1 3
B
E
D
S2
S3θθ
θ
A
C
S1
a) Senθ(Cotθ+Tan3θ)
b) Cosθ(Cotθ+Tan3θ)
c) SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)
d) 21SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)
e) 2SenθCosθ(Cotθ+Tan3θ)
19. Si ABCD es un cuadrado y BE = ED. Calcular : J=(Cotφ - 1)(Tanα+1).
A
B Cα - 45º
D
M
E
φ
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
20. En el paralelepípedo mostrado : BC=3AB. Calcular : J=TanφTanβ. Si : ABEt y 'ED Dt son complementarios.
A
A'
B
B'
C
C'
D
D'
E
φβ
a) 2 b) 3 c) 6 d) 3 3 e) 2 3
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Tarea domiciliaria
1. Del gráfico, determine "x".
m
xθ
a) m.Senθ b) m.Cosθ c) m.Secθ d) m.Cscθ e) m.Tanθ
2. Determinar CD .
m
B
A
DC
θα
a) mTanα.Senθ b) mCtgα.Cosθ c) mTanα.Cosθ d) mTanα.Cscθ e) mCtgα.Senθ
3. Del gráfico, hallar "x".
m
45º
xα
a) Tan
m1α -
b) Ctg
m1α -
c) Ctgm
1 α- d)
Tanm
1 α-
e) m(1+Tanα)
4. Determine "x" en :
xmα
θ
a) m.Senθ.Senα b) m.Senθ.Cosα c) m.Senθ.Secα d) m.Cosθ.Secα e) m.Cosθ.Senα
5. Determine "x" en :m
x
θ
a) m.Sec2θ b) m.Cos2θ c) m.Sec2θ d) m.Csc2θ e) m.Secθ.Cscθ
6. Si ABCD es un cuadrado, determine "x".
x
B
A
D
L
Cα
a) L.Sen2α b) L.Cos2αc) L.(Senα+Cosα) d) L.Sen2α.Cosαe) L.Senα.Cos2α
7. Del gráfico, hallar "x".
x
θ
θ
m
a) m.(Sec2θ - 1) b) m.(Csc2θ - 1)c) m.(Tan2θ - 1) d) m.(Ctg2θ - 1)e) m.(Tan2θ - Ctg2θ)
8. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadra-do.
x
BA
n
D C
θ
a) nSenθ b) nCosθ c) nTanθCscθ d) nCscθ e) nCtgθ
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9. Del gráfico, hallar : ED
BA D
C
mE
θ
θ
a) mCtgθ b) mSecθ c) mSec2θ d) mCtg2θ e) mTan2θ
10. En el gráfico, hallar MP, en términos de "α" y "θ"; "a" y "b".
P
N
M
R
b
a
θ
α
a) (a+b.Cosθ).Secαb) (a+b.Cosθ).Cscαc) (a+b.Tanθ).Ctgαd) (a - b.Secsθ).Secαe) (a+b.Senθ).Cscα
11. En un triángulo BAC, recto en "A", la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo "x". Luego, Tanx es igual a :
a) 2TanC b) TanB + TanC c) 2TanB d) TanC + CtgCe) e) 2(TanC + TanB)
12. En la figura, el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABC.
El valor de "α" será :
BA
D
C
α
α
a) ArcTan21c m b) ArcCtg
21c m
c) ArcTan 21
c m d) ArcCtg 21
c m
e) ArcTan 2
13. En la región limitada por una circunferencia de radio "R" y dos tangentes a esta, se quiere ins-cribir otra circunferencia (de radio menor que "R"). Si las tangentes se intersectan en un ángu-lo de 2a radianes, ¿a qué distancia de la inter-sección de estas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita?
a) Sena
RSenaSena
11
-+c m
b) Sena
RSenaSena
11+-c m
c) R
Sena Sena1 -^ h
d) Sena
R Sena1 +^ h
e) Sena
R Sena1 -^ h
14. En la figura, expresar OB y BC, en términos de "x", "y", "θ".
B
AO
OA=x
AC=y
C
θ
a) OB=xCosθ+ySenθ BC= xSenθ+yCosθ
b) OB=xCosθ - ySenθ BC= ySenθ+xCosθ
c) OB=xCosθ+ySenθ BC= ySenθ - xCosθ
d) OB=xCosθ+ySenθ BC= yCosθ - xSenθ
e) OB=xCosθ - ySenθ BC= xSenθ - yCosθ
15. De la figura, hallar :
F=CtgxTanyTanzTanz Tany6 3-
k
kyxz
a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30 d) 3,00 e) 3,20
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1. Hallar el equivalente de 54º en el sistema cen-tesimal.
a) 50g b) 60g c) 70g d) 40 e) 30g
2. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo miden (5n + 6)º y (10n)g. Hallar la medida del menor ángulo en radianes.
a) 3≠ b)
4≠ c)
5≠
d) 6≠ e)
8≠
3. Si se sabe que : xº < > (x+2)g
Hallar el valor de (2x)
a) 18 b) 30 c) 36 d) 46 e) 54
4. Hallar :
P=C SC S 6
-+ +
S : Número de grados sexagesimales C : Número de grados centesimales
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 25
5. Los ángulos de un triángulo son : (y+20)º;
(10y) g ; y6≠` jRad . Hallar el mayor ángulo.
a) 90º b) 120º c) 135º d) 140º e) 150º
6. Se sabe que : 24≠ Rad<>xºy'
Hallar : C = y - x
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
7 Sabiendo que 25 grados "N" equivale a 36 gra-dos sexagesimales. ¿A cuántos radianes equiva-len 5 grados "N"?
a) 2 b) 2≠ c) π
d) 4≠ e)
25≠
8. Se sabe que : 2S + 3C = 80 Calcular el ángulo en grados sexagesimales.
Dar como respuesta solo el número.
a) 15 b) 21 c) 18 d) 36 e) 10
9. Dada la siguiente figura, calcular "y" .
C O A
B
(27y)ºy
1045 99-c m
º
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
10. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC de catetos 1m (ángulo recto en "B"). Por "B" se traza una perpendicular a AC, por "D" una perpendicular a BC, por "E" una perpendicular a AC, por "F" una perpendicular a BC y así su-cesivamente. Calcular el límite de la suma :
BD + DE + EF + FG + ...
A B
E
G
C
F
D
a) 1+ 2 b) 2 - 1 c) 2+ 2 d) 2 - 2 e) 2+2 2
Problemas
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11. En la siguiente figura, hallar (x + y) si :
AB = 3 y AC=1627
A
y
xθ θ
θθ
θ
B
C
a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29 d) 4,19 e) 3,19
12. Si : f(n)= .Csc
nTan
nCos
n3 22
1≠ ≠ ≠+ +
+
Calcular : f(2)
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 0
13. En la figura, calcular el valor de "x", si se cum-ple la siguiente condición :
Tan(30º - θ ) - Ctg(30º+3θ)=0
x
θ
θ20m
a) 10 2 m b) 10 m c) 5 3 m d) 5 m e) 10 3 m
14. En la figura mostrada, son conocidos : "α", "θ" y "h". Entonces los valores de "x" e "y" son dados por:
θα
h
y
x
a) x=Tan Tan
h2
θ α- ; y=
Tan Tanh Tan2
θ αα
-
b) x=Tan Tan
hθ α-
; y=Tan Tan
hTanθ α
α-
c) x=Tan Tan
h2
2
θ α- ; y=
Tan Tanh Tan
2 2
2 2
θ αα
-
d) x=( )Tan Tan
h2
2
θ α- ; y=
( )Tan Tanh Tan
2
2 2
θ αα
-
e) x=hTanαTanθ ; y= h2TanαTanθ
15. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338m. La tangente de uno de los ángulos agu-dos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?
a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m
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1. Desde el pie de un poste, se observa la parte más alta de un campanario con ángulo de 45º; si desde la parte superior del poste, que tiene 9m de altura, el ángulo de elevación es altura de 30º, ¿cuál es la altura del campanario?
a) 2
9 3 b) 1 27 3+
c) 2
5 3
d) 3 19 3
+ e)
3 19 3
-
Resolviendo
144424443
14243
30º
h
45º
B
C
QP
9 9
h 3
h 3
campanario
PCQ : h=h 3 +9 ⇒ h3 19=-
Altura del campanario= h+9
= 3 19 9-
+
Altura de campanario=3 1
9 3-
Clave: E
2. Un hombre mide 1,70m de estatura y observa su sombra a las 4 de la tarde. Asumiendo que amanece a las 6.00 am y que el sol hace un semicírculo sobre el hombre, ¿cuánto mide su sombra?
a) 1,54 m b) 1,67m c) 2,00m d) 2,55m e) 2,94m
Resolviendo
2pm12m
4pm
6pm
144424443
14243
1.70
x
30º
30º 6am
Longitud de la sombra: x
Tenemos: ,x
1 70=cot30º= 3 =1,73
∴ x=2,94
Clave: E.
3. Una torre de 15m de altura está en el borde de un acantilado. Desde un punto del plano hori-zontal que pasa por la base del acantilado, las elevaciones angulares de las partes superior e inferior de la torre, se observa que son "α" y "β", siendo tgα=1,26 y tgβ=1,185. Hállese la altura del acantilado.
a) 227m b) 237m c) 247m d) 257m e) 273m
Resolviendo
14243
α β
H
QP
M
T
15m
Problemas resueltos
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PTQ : PQ=(15+H)cot
PMQ : PQ=(15+H)cot ⇒ (15+H)cotα=Hcotβ
,
( ),
H H1 26
151 185
+ =
Despejando: H=237m
Clave: B
4. Una persona parte de un cierto punto dirigién-dose 40km en la dirección N(53º) O, luego cam-bia de dirección y se dirige hacia al Sur Oeste, recorriendo esta vez 40 2 km. Finalmente, se dirige 60 km hacia el Este donde sufre un des-mayo. ¿A qué distancia (en km) se encuentra la persona respecto a su punto de partida?
a) 12 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24
Resolviendo
40 o
o40 40
s
d40 2
E
45º
53º
24
16
32
601442443
123
123
12
N
N
En el sombreado: d=20
Clave: D
5. Una persona se dirige en la dirección N15º E y luego de caminar cierta distancia toma la direc-ción S75º E. Si en total recorrió 50 6 km y el punto de llegada está justo al Este del punto de partida, halle la distancia (en km) entre dichos puntos.
a) 50 b) 75 c) 100 d) 150 e) 200
Resolviendo
d=4a
E
E
75º
75º15º
S
1444442444443
a6 2+6 @a6 2-6 @
Por condición:
6 2 a6 2 50 6+ + - =^ ^h h1 2 3444444 444444
a2 6 50 6= ⇒ a= 25
Luego, la distancia pedida es:
d = 4a ⇒ d=100m
Clave: C
Problemas para clase
ÁNGULOS VERTICALES
BLOQUE I
1. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un edificio de altura "h", con un ángulo de eleva-ción "θ". Si nos acercamos una distancia "d" el ángulo de elevación es "90º - θ". Hallar "d".
a) hSenθCosθCos2θb) hSecθCscθCos2θc) hCotθCosθd) hSenθSen2θe) hTanθCos2θ
2. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un pos-te con un ángulo de elevación "α" ; (Tanα=1/6)y si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m
3. Un niño de estatura "h" ve los ojos y pies de su padre, que tiene estatura "H", con ángulos de elevación y depresión "α" y "β", respectivamen-te. Hallar: H/h.
a) 1+TanαTan βb) 1+CotαCotβc) 1+TanβCotα d) TanαCotβe) 1+TanαCotβ
4. Desde lo alto de una antena de 4m de longitud, se ve un objeto en el suelo con un ángulo de depre-sión "2β", notándose que la visual trazada mide 40m. Si desde lo alto del edificio en que se en-cuentra la antena, se observa el mismo objeto con un ángulo de depresión "β"; calcular: Tanβ.
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a) 0,1 b) 0,2 c) 0,01 d) 0,02 e) 0,4
5. Desde lo alto de un edificio se ven, a un mismo lado, dos objetos "A" y "B" en tierra, con án-gulos de depresión "α" y "β", respectivamente. (α<β). Si también se ve el punto medio "M" entre "A" y "B" con un ángulo de depresión de 45°, calcular: P=Cotα+Cotβ
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
6. Desde un punto en tierra se divisa lo alto del octavo piso de un edificio con un ángulo de ele-vación "α"; mientras que la parte baja del quin-to piso es divisada con un ángulo de elevación "90º - α". Calcular: Tanα.
a) 2 b) 1/2 c) 2
d) 22 e)
42
7. En lo alto de un árbol de 15m de altura se en-cuentra una paloma y en su base un niño. La pa-loma desciende siguiendo una trayectoria similar a la de un cuarto de circunferencia, con centro en la base del árbol, siendo vista por el niño con un ángulo de elevación de 53° primero, y des-pués con un ángulo de elevación de 37°. ¿Cuál es la diferencia de alturas a las que se encontró la paloma, al hacerse las observaciones?
a) 1 m b) 2 m c) 3 m d) 4 m e) 6 m
8. Desde dos puntos en tierra "A" y "B", ubicados a un mismo lado de una torre, se ve su parte más alta con ángulos de elevación " α" y "90 - α", respec-tivamente. Si la distancia AB es cuatro veces la altura de la torre. Calcular: K=Cot2α+Tan2αa) 8 b) 12 c) 16 d) 18 e) 20
9. En el gráfico mostrado, calcular "Tanφ", si la dis-tancia AB es mínima; además, desde "A" y "B" los ángulos de elevación para "P" y "Q" son, respectivamente, complementarios.
A S B
Ph
3h
Q
φ
123
123
a) 31 b)
32 c) 3
d) 2 3 e) 3 3
10. Desde tres puntos en tierra colineales "A", "B" y "C" se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el suelo), con ángulos de elevación de 37°, θ y 45°, respectivamente. Si : AB = BC y AQCt =90º.
Calcular: "Tanθ"
a) 1 b) 1,1 c) 1,2 d) 1,3 e) 1,4
BLOQUE II
11. Un niño de estatura "h" ve la parte superior e inferior de una torre con ángulos de elevación y depresión iguales a "α" y "β", respectivamente. Se acerca una cierta distancia y los ángulos de elevación y depresión para los mismos puntos son "θ" y "φ", respectivamente. Calcular :
C=TanαTanφ - TanβTanθ
a) 1 b) 2 c) 4 d) 1/2 e) 0
12. Se tiene un poste inclinado con un ángulo agu-do "θ" respecto a la horizontal, y dos puntos "A" y "B" ubicados uno a cada lado del poste ("B" ubicado al lado hacia el cual se inclina el poste) a distancias de su base iguales a "d" y "3d", res-pectivamente. Desde "A" se ve lo alto del poste con un ángulo de elevación y desde "B" se ve el punto medio del poste con un ángulo de ele-vación "β". Calcular el valor de:
N=Cot CotCot Cot
α θβ θ
-+
a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
13. Desde un punto en tierra se ve lo alto de cada piso de un edificio, que tiene una cantidad par de pisos, verificándose que la suma de las tan-gentes de los ángulos de elevación para los pisos impares es igual a 22/23 veces la suma de las tangentes de los ángulos de elevación para los pisos pares. ¿Cuántos pisos tiene el edificio?
a) 22 b) 24 c) 44 d) 48 e) 46
14. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4m/min, y en un primer momento observa su parte más alta con un ángulo de ele-vación de 37°. Si la torre mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de elevación tiene como tangente 8?
a) 29min b) 48min c) 1h 12min d) 1h 18min e) 58min
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15. Se tiene una torre en el borde de un acantila-do, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con án-gulos de elevación "α" y "β", respectivamente (3Tanα =4Tan θ). Si la altura del acantilado es de 212,31 m, ¿cuál es la altura de la torre?
a) 141,54m b) 28,308m c) 159,2325m d) 70,77m e) 35,385m
16. Se tiene un camino inclinado con un ángulo agudo "θ" respecto a la horizontal, y en la su-perficie horizontal a una distancia "d" del ini-cio del camino inclinado se encuentra una torre vertical de altura "H". Desde un punto del ca-mino inclinado, ubicado a una altura "h" del suelo, se ve la parte alta y baja de la torre con ángulos de elevación y depresión "α" y "β", res-pectivamente. Hallar "H".
a) (d+hCotθ)(Cotα+Cotβ) b) (d+hCotθ)(Tanα+Tanβ) c) (d+hCotθ)(Tanα+Cotβ) d) (d+hCotθ)(Cotα+Tanβ) e) (d+hCotθ)(Tanα - Cotβ)
17. Se tiene un camino inclinado con un ángulo agudo "θ" respecto a la horizontal; y subiendo por él, se divisa un poste vertical de altura "h" con un ángulo de elevación "2θ" a una distan-cia "d" de su base. Hallar :
N=Cscθ - 2Senθ.
a) dh b)
hd c)
dh 1+
d) hd 1+ e)
hd 1-
18. Una antena cuya altura es la cuarta parte de la casa en la que se encuentra, es vista desde un punto en tierra bajo un ángulo "θ" . ¿Cuál es el mínimo valor de "Cotθ" ?
a) 5 b) 2 5 c) 4 5 d) 5 5 e) 6 5
19. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación "α"; si nos acercamos una distancia "x" el ángulo de eleva-ción es "β" y si nos volvemos a acercar, ahora una distancia "y", el ángulo de elevación sería "θ". Hallar : x/y; si : θ+α=2β.
a) SenSen
αθ b)
SenSen
θα c)
CosCos
θα
d) CosCos
αθ e)
SenSen Sen
2βα θ
20. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en tierra, a un mismo lado, con ángulos de de-presión "α", 45° y "90º - α" (α<45º). Si el pun-to intermedio dista del más alejado, el doble del más cercano.
Calcular: N=6Tanα+Cot2α
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
ÁNGULOS HORIZONTALES
BLOQUE I
1. ¿Cuál es la dirección bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO?a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO d) N40ºO e) N50ºO
2. ¿Cuál es la dirección bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones NO y ENE?
a) N41 NE b) N7º25'E c) N12º15'E
d) NE41 N e) N8º15'E
3. Andrea sale de su casa y recorre 100 m al N37ºE, luego 40 m al Este y finalmente 155 m al Sur. ¿A qué distancia de su casa se encuentra?
a) 120 m b) 125 m c) 130 m d) 100 m e) 150 m
4. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente; además, desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km. ¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"?
a) 100 km b) 200 km c) 150 km d) 273 km e) 300 km
5. Un móvil recorre una distancia "L" en la direc-ción N α E (α<45º), luego una distancia "L" al E α S y finalmente una distancia al S α O has-ta ubicarse al Este de su punto de partida. ¿A qué distancia se encuentra?
a) LSenα b) LCosα c) LCotα d) LSecα e) LCscα
6. Desde un punto "P" se divisan a otros tres "A", "B" y "C" en las direcciones N θ E, OθN y SθE a distancias: "a", "b" y "c", respectivamente. El área del triángulo ABC es igual a ab
23 .
Hallar: J=b1 Sen2θ+
a1Cos2θ.
a)c1 b)
c2 c)
c3
d) c21 e)
c23
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7. Tres móviles salen de un punto "P" al Norte, Este y SE con velocidades de 2; 3 y 4km/h, res-pectivamente. Después de un cierto tiempo desde el tercero se ve a los dos primeros en las direcciones N α O y O β N, respectivamente. Calcular: N=
CotCot
11
βα
--
a) 1/3 b) 3/2 c) 2/3 d) 4/3 e) 3/4
8. Un maratonista sale de su punto de partida y re-corre 300 m al N37ºE, luego 100 2 m al NE y finalmente 250m al S16ºO, hasta ubicarse al
E θ N de su punto de partida. Calcular: "Cotθ".
a) 2,1 b) 2,2 c) 2,3 d) 1,75 e) 1,95
9. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con ángulos de elevación de 45º y 37º, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación?
a) 32 m b) 36 m c) 56 m d) 48 m e) 40 m
10. Una persona está al Sur de un poste y nota que su sombra es el triple de su altura, pero si se des-plaza 6 13m, hasta ubicarse al Este del poste, nota que su sombra es el doble de su altura. Si esta persona mide 2 m, ¿cuál es la altura del pos-te?
a) 6 m b) 7 m c) 8 m d) 12 m e) 14 m
BLOQUE II
11. Desde un puerto se divisa un barco entrando a la bahía al N α E (α<45º) a una distancia "L". Si el barco se desplaza al S θ E, después de qué tiempo el barco será observado al E α N desde el puerto, si su velocidad es "V".
a) ( )VCos
LCos2θ αα-
b) ( )VCos
LCos2θ αα+
c) ( )VCos
LSen2θ αα+
d) ( )VCos
LSen2θ αα-
e) ( )VCos
LCos2θ αθ-
12. Desde un puerto salen tres embarcaciones en di-recciones N10ºE, E40ºN y E50ºS con velocidades "V1", "V2" y "V3", respectivamente, verificándose que al cabo de un cierto tiempo las tres están per-fectamente alineadas. Señale el equivalente de :
N=V V3 12 3
-
a) V11 b)
V21 c)
V231
d) V31
e) V21
1
13. Un maratonista sale de un punto "P" ubicado al Este de un estrado y se desplaza hacia al Nor-te. Desde el estrado lo ven al E φ N y luego al E(φ+θ)N, notándose que las distancias recorri-das para la primera y segunda observación son iguales. Calcular el mínimo valor de "Cotθ".
a) 2 b) 2 2 c) 22
d) 3 2 e) 4 2
14. Tres personas salen de un mismo punto en las direcciones NαO,OαS y SE con velocidades pro-porcionales a los números 1; 1 y 2 , respecti-vamente. Al cabo de un cierto tiempo desde la tercera se divisa a la primera en la dirección NxO y a la segunda al OyN. Señale el equivalente de:
K= CotxCoty
a) Cos α+1 b) Cot α +1 c) Sec α +1 d) Tan α +1 e) Csc α +1
15. María Luz observa a Karen, Luis y María Fernan-da en las direcciones N20ºE, N50ºE y E10ºN a distancias: "x", "y", "z", respectivamente. Si Ma-ría Fernanda observa a Luis en la dirección NαO, mientras que Karen lo divisa al SαE. Determine el valor de la siguiente expresión :
J=
y
x z1
1 1+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 23 e) 3
16. Desde lo alto de una torre se divisan tres obje-tos "A", "B" y "C" al Oeste, Sur y Este con ángu-los de depresión "α", "β" y "θ", respectivamen-te. Desde "B" se divisa a "A" y "C" al N20ºO y N70ºE.
Calcular : H=Tan Tan
Tan2
α θβ
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 22
17. Se tienen dos torres idénticas, una al Este de la otra, separados una distancia igual al triple de sus alturas; además, desde sus partes altas se divisa un objeto en el suelo en las direcciones EθS y SθO con ángulos de depresión "α" y "90º - α", respectivamente.
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Tarea domiciliaria
1. Desde un punto en tierra se ve lo alto de un pos-
te con un ángulo de elevación "α" (Tanα=61 ), y
si nos acercamos 30m el ángulo de elevación es
de 45º. ¿Cuál es la altura del poste?
a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m
2. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m/min, y en un primer momen-to observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre mide 192 m, ¿des-pués de qué tiempo el ángulo de elevación tie-ne como tangente 8?
a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min d) 1h 18 min e) 58 min
3. Desde lo alto de un acantilado de altura "H", se divisan dos embarcaciones a un mismo lado, con ángulos de depresión "α" y "β" (α>β) . Ha-lle la distancia que separa a las embarcaciones.
a) H(Tanα - Tanβ) b) H(Cotβ - Cotα)
c) Tan Tan
Hα β-
d) Cot Cot
Hβ α-
e) Cot Cot
Hα β+
4. Subiendo por un camino inclinado, un ángulo "θ" respecto a la horizontal, se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación "2θ", veri-ficándose que la torre mide 3m y la visual 7m. ¿Cuál es el valor de "Tanθ"?
a) 73 b)
76 c)
143
d) 74 e)
72
5. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación "α", y su padre observa sus pies con un ángulo de depresión "90º - α". Obtener la relación entre sus alturas.
a) 1+Tan2α b) 1 - Tan2αc) 1 - Cot2α d) 1 + Cot2αe) Tan2α - 1
6. Se tiene una torre en el borde de un acanti-lado cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con án-gulos de elevación "α" y "θ", respectivamente (3Tanα=4Tanθ). La altura del acantilado es de 212,31 m.
¿Cuál es la altura de la torre?
a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m
Calcular : N=Tanα+Cotα
a) 7 c) 3 c) 2 3 d) 6 e) 11
18. Un avión viaja de Este a Oeste a una altura cons-tante y a velocidad constante, siendo observado desde el suelo al Norte con un ángulo de eleva-ción de 45º. Después de un cierto tiempo lo ven, desde el mismo punto, al E37ºN con un ángulo de elevación "α" y después de un tiempo igual al anterior, el ángulo de elevación es "β".
Calcular : N= Cot2β - Cot2α.
a) 3 b) 15/4 c) 17/6 d) 16/3 e) 19/6
19. Desde el centro de una pista circular se obser-van dos torres de altura "h" y "H" en su borde, en las direcciones NαE y OβN con ángulos de elevación "θ" y "90º - θ", respectivamente. Ha-llar "Tanθ".
a) Hh b)
hH c)
Hh
d) hH e)
hH h+
20. Desde lo alto de un muro de 3 m de altura se ve lo alto de una torre de 5 m de altura con un án-gulo de elevación "θ" al E10ºN; y lo alto de un árbol de 2m de altura al E50ºS con un ángulo de depresión "β" . Si desde lo alto de la torre se ve lo alto del árbol al S20ºO con un ángulo de depresión "α", calcular :
N=Tan
Tan Tanθ
α β+
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
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7. El ángulo de elevación de la cúspide de una to-rre es de 60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es, aproximadamente:
a) 72 m b) 73 3 m c) 71 m d) 73 m e) 72 3 m
8. De la figura, hallar : Tgα3a
a
α
a) 2 b) 32 c) 2 2
d) 4≠ e)
42
9. "A" y "B" son ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Simplificar:
R=CscBSenA
SecACosB+; E.CscB.CscA
a) 6 b) 3 c) 2 d) 8 e) 5
10. Dos lanchas parten a las 08.00 hrs en forma si-multánea de un mismo punto, con velocidades de 8 km/h y 6 km/h con direcciones N25ºE y E25ºS. A las 10.00 hrs, ¿cuál será la distancia que los separa?
a) 10 km b) 20 c) 5 d) 15 e) 30
11. Si una hormiga se encuentra en el centro del piso de una habitación de forma cúbica y ob-serva a una de las esquinas del techo con un ángulo de elevación de medida x rad, entonces el valor de tgx es:
a) 2sen45º b) 2cos15º c) 2tg15º d)
21 sen15º e)
21cos15º
12. Un barco se desplaza 40 km siguiendo la direc-ción N30ºE con respecto a un puerto, luego se desplaza 20 km según el rumbo N30ºO. Cal-cule (en km) la distancia del puerto a la nueva ubicación
a) 20 7 b) 10 3 c) 10 7 d) 15 7 e) 25 7
13. Un móvil recorre 150 m en dirección E15ºN, luego cambia de dirección al N60ºO, hasta ubi-carse al norte de su punto de partida. Calcule (en m) la distancia entre su punto de partida has-ta su punto de llegada.
a) 40 6 b) 50 6 c) 40 3 d) 50 3 e) 60 6
14. Dos embarcaciones parten a las 08:00 hrs en forma simultánea de un mismo punto, con velo-cidades de 7 km/h y 8km/h y con rumbos SO y S75ºE, respectivamente. ¿A qué hora su distan-cia será de 32,5 km?
a) 9 hrs 30 min b) 10: 00 hrs c) 10 hrs 30 min d) 11:00 hrs e) 11 hrs 30 min
15. Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 56 m a la misma hora que un ár-bol de 21 m de altura que proyecta una sombra de 24 m.
a) 41 m b) 48 m c) 49 m d) 56 m e) 64 m www.
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Problemas para clase
BLOQUE I
1. Si los puntos P(a; b) y Q(c; d) están ubicados en el IIC y IIIC, respectivamente; mientras que S(e; f) está ubicado en el eje de abscisas. Señale verda-dero (V) o falso (F), según corresponda en:I. ac > bd II. bd > cf III. ec > df
a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) VFF
2. Si la distancia entre P(3; a) y Q(7; 2) es igual a 5u, ¿cuál es la distancia entre: A(a+1; a-1) y B(a; 2)?
a) 13 b) 5 c) 17 d) a y b son respuesta.e) b y c son respuesta.
3. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 1), B(3; 4) y C(8; -8). ¿Cuál es su perímetro?
a) 30,73 u b) 32,72 u c) 30,28 u d) 28,26 u e) 40,20 u
4. Los vértices consecutivos de un hexágono regu-lar son: "A(1; 7)", "B", "C(4; -2)", "D", "E" y "F".
¿Cuál es el área del hexágono?
a) 45 3 u2 b) 30 3 u2 c) 15 3 u2 d) 24 3 u2 e) 90 3 u2
5. Se traza un segmento desde A(1;2) hasta B(3; 5); prolongándolo hasta C(xo ; yo) de modo que: BC=3AB. Calcular el valor de : 2xo - yo.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. En el gráfico : BD DC5 3
= .
Calcular : K=yo - xo.
A(-2;3)
P(xo;yo)
C(4;6)7S
S
B
D
a) 1 b) -1 c) -2 d) 3 e) 2
7. Si los vértices de un triángulo son :A(1; 1), B(-3; 7) y C(7; -1)
¿Cuánto mide la mayor de las medianas de di-cho triángulo?
a) 89 b) 9 2 c) 7 2 d) 73 e) 87
8. Si los vértices consecutivos de un paralelogra-mo son : A(-1; 5), B(3; 7), C(4; 1) y D(xo; yo)
Calcular : k=x y02
02+ .
a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 10
9. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 2), B(4; 7); y C(x9 ; y0) mientras que su baricentro es: G(5; 1).
Calcular : k=x0+ y0.
a) 9 b) 6 c) 12 d) 10 e) 8
10. Si los vértices de un triángulo son : A(1; 1), B(3; 5) y C(9; -3). Calcular la longitud de
la altura relativa al lado BC.
a) 2,8 u b) 3,6 u c) 4 u d) 3,2 u e) 3 u
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BLOQUE II
11. Desde el punto P(x; 0) se divisa al segmento de ex-tremos A(-1; 3) y B(7; 1) bajo un ángulo de 90°.
¿Cuál es la suma de valores que toma "x"?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
12. En un triángulo ABC, se sabe que : A(7; 1) y C(-1; 5). Calcular la longitud de la mediana AM , si ade-
más : MABt =47º y MACt =86º.
a) 10 b) 5 c) 2 10 d) 2 5 e) 4 5
13. En un triángulo ABC, se sabe que: A(1; 4), B(5; 5) y C(7; 1); se traza la mediana AM. En el triángulo ABM, se traza la mediana BQ y luego se ubica "E" en AC de modo que: ME//BQ. Calcular ME.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 3
14. El triángulo ABC es equilátero. Calcular: K = PE + PF - PQ.
B(3;5)
A(-1;1)
P
E
FCQ
a) 6 b) 2 6 c) 3 d) 2 3 e) 3 2
15. Del gráfico, calcular la longitud de BP.
A(1;1)
B(3;3)
α α
C(7;-1)P
a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 2 2
16. Los vértices de un triángulo son: A(-1; 1), B(3; 4) y C(8;-8). Calcular la longitud de su inradio.
a) 2,05 b) 1,75 c) 2,21 d) 2,16 e) 1,96
17. Del gráfico, calcular el área de la región som-breada.
A(4;9)
B(8;12)
x
C
y
x
a) 20u2 b) 22u2 c) 24u2 d) 23u2 e) 25u2
18. En una circunferencia de centro C(1; 1) y radio 3, halle la suma de coordenadas de un punto de ella, cuya distancia al punto P(9; 7) sea míni-ma.
a) 5,1 b) 5,2 c) 6,2 d) 7,1 e) 6,1
19. Del gráfico, calcular "Tanθ" , si : AP + PB es mínimo.
x
y
θ3 P
A(-1;5)
B(7;9)
a) 1/3 b) 2/3 c) 3 d) 3/2 e) 3/4
20. De todos los puntos del plano cuya suma de distancias a los puntos A(1; 5) y B(7; 5) es igual a 10. Señale la suma de coordenadas de aquel punto de ordenada máxima.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
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Tarea domiciliaria
1. Dados dos vértices consecutivos de un cuadra-do A(3 ; -7) y B(-1 ; 4), calcule su área.
a) 127u2 b) 137u2 c) 147u2 d) 81u2 e) 100u2
2. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3).
a) ;37 0c m b) ;
38 0c m c) ;
34 0c m
d) ;211 0c m e) ;
411 0c m
3. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; -1), B(1 ; 5) y C(-1 ; -3). Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC.
a) 5 b) 7 c) 2 3
d) 13 e) 15
4. Los tres vértices consecutivos de un paralelo-gramo son A(-1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7). Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D" opuesto a "B".
a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12
5. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta qué punto será necesario prolongar "C"
para que AC BC6 5
= ?
(Señale la suma de coordenadas de "C").
a) 35 b) 38 c) 42 d) 23 e) 27
6. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro es G(1 ; -3). Hallar la suma de coor-denadas del punto medio de BC.
a) - 3 b) - 5 c) - 7 d) 5 e) 7
7. Del esquema mostrado, determine las coorde-nadas del punto "M".
Si : ABCD es un paralelogramo.
x
y
A(-8;5) D(6;1)
C(4;9)B
M
N
a) ;211 8-c m b) (- 6 ; 5) c) ;
29 5-c m
d) (- 6 ; 4) e) (- 5 ; 7)
8. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1 ; 9) , B(6 ; 8) y C(-2 ; 4). Calcule la superficie del triángulo.
a) 35u2 b) 28u2 c) 14u2 d) 24u2 e) 40u2
9. Si A(-1 ; 3) , B(3 ; 1) y C(2 ; 4), calcule el seno del ángulo CAB.
a) 103 b)
1010 c)
55
d) 52 e)
22
10. Del gráfico, halle : S2 - S1.
(-3 ; -1)
(6 ; -2)
(10 ;1)
(5 ; 8)
S1
S2
a) 10u2 b) 10,5u2 c) -6u2
d) 11,5u2 e) -6,5u2
11. Los puntos P(-4 ; 0), Q(5 ; 3 3 ), R(x ; 0) son los vértices de un triángulo rectángulo recto en "Q". La suma de los valores que indican el perí-metro y el área del triángulo es :
a) 18 3 +24 b) 18+18 3 c) 18+24 3 d) 12+12 3 e) 12 6 +6
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12. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos (-2 ; 8) y (-2 ; -4). Uno de los términos de la base menor tiene por coordenadas (3 ; -2).
La distancia o longitud de la base menor es:
a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 10
13. Los vértices de un cuadrado son A(0 ;-3), B(b1; b2), C(3 ;4), D(d1 ;d2).
Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos "B", "P", "D", "Q" donde P(d1 ;b2) y Q(b1;d2).
a) 58 b) 29 c) 25 d) 21 e) 19,5
14. Si A(-3 ; 4), B(4 ; 5), C(1 ; -4) son los vértices de un triángulo, calcular las coordenadas del cir-cuncentro del triángulo.
a) (1; 1) b) (1; -1) c) (2; -1) d) (-3; -1) e) (-1; -1)
15. Sean los puntos del plano cartesiano : A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0). Hallar los valores de "a" y "b" de tal forma que
la suma de las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo menor posible y dar como res-puesta el valor de 12ab.
a) 961 b) 828 c) 780 d) 1020 e) 390
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Problemas resueltos
1. Si se cumple:
( )cos3 β - 27sen3(β)=0; β ∈ IIC
Calcule: P=( ) ( )cossen
22
3β β
+
a) 610 b)
43 10 c)
410
d) 510 e)
23 10
Resolviendo
cos3β - 27sen3β=0 ∧ β ∈ IIC
cos3β =27sen3β
Pero β ∈ IIC ⇒ cos3β <0
Tenemos: - cos3β = 27sen3β
3 : - cosβ = 3senβ
- cossen
31
ββ- = ∴ tanβ=
31-
tanβ =
123
x = -3y=1x
y31=-
Como r2=x2+y2
r2=(-3)2+(1)2 ⇒ r= 10
También
14243
senβ = ry
101=
cosβ=rx
103
= -
Se pide la expresión P=
cossen2
23
β β+
P=
1012
2103
3+
-c cm m
∴ P=23 10 Clave: E
2. Del gráfico mostrado, halle: F=25[sen(-θ)+cos(-θ)]+24tg(-θ)
y
(-7;-24)
θx
a) -38 b) -24 c) -21 d) 21 e) 38
Resolviendo y
(-7;-24)
-24
-7
16º
θx
Graficamos (- θ)y
-24
25-7
16º -θx
Se pide. F=25(sen(-θ)+bs(-θ)+24tan(-θ)
F=25 ( ) ( )257
2524 24
247- + - +
--; ;E E
F= -31+7 ∴ F= -24 Clave: B
3. De la suma mostrada, P=(-16;-12). Halle: W=tgα - 3 ctgθ , CQ paralelo al eje "y".
y
θ
R
Q
P
C
oα
x
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a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
Resolviendo
y
θ16
37º
2012
10
10
20
10
123
123
1
2
3
123
14243
P
C
Q
α
x
º2
53
Del gráfico
• CoordenadasdeP(-16;-12)⇒ cotθ=1216
∴ ctgθ=34
• CoordenadasdeQ(-10;-30)⇒ tanα=3
Luego, W=tanα - 3cotθ
W=3 - 3 ×34 ∴ W=-1
Clave: D
4. En la figura mostrada se cumple que: PM=MQ, m\QPA=90º; m\OAP=18,5º y las coorde-nadas del punto "P" son (-3;-6). Calcule M=tanθ+cotθ
y
θ
P
Q
MAo
x
a) 8245 b) -
4285 c)
4285
d) - 8245 e)
76-
Resolviendo
y
θ
P(-3;-6)
Q
Ax
2
2
6
3
6
º2
37
º2
37
Del grafico
Coordenadas de Q(-7;6)
Se pide: M=tanθ + cotθ =xy
yx+
M= 76
67- - ∴ M= -
4285
Clave: B
5. Sean "α " y "β " la medida de dos ángulos co-terminales (α<β) tal que el doble del menor es a la suma de ellos como 13 es a 23. Calcule la medida del mayor de ellos si está comprendido entre 1100º y 1300º.
a) 988º b) 1 088º c) 1 188º d) 1 288º e) 1 328º
Resolviendo
i. α ∧ β : ángulos coterminales
→ α ∧ β = 360ºn ; n ∈ z
ii. 22313
α ββ
+=
4613
3313
"+
=α ββ
αβ =
iii. 1100º<α<1300º
De la 2da condición (Proposiciones)
2033
α βα-
=S
reemplazo la 1era condición
ºn360 20
33=
α → α= 594ºn
En la condición (3)
1100º<594ºn<1300º
un valor entero: n= 2
Así, la medida del ángulo mayor será:
α=594º(2)
α=1188º
Clave: C
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Problemas para clase
BLOQUE I
1. Del gráfico, calcular : K=Senθ+Cosθ.
x
y
(-15;8)
θ
a) -7/17 b) 7/17 c) 26/17 d) -26/17 e) -13/17
2. El punto P(-20; -21) pertenece al lado final del ángulo canónico "θ".
Calcular : K=5Senθ+2Cosθ.
a) -3 b) -4 c) -5 d) 3 e) 5
3. Señale verdadero (V) o falso (F) en : I. Si : Senθ >0 y Cosθ <0 ⇒ θ ∈ IIC II. Si : Secθ <0 y Cotθ >0 ⇒ θ ∈ IIIC III. Si : Tanθ <0 y Cosθ >0 ⇒ θ ∈ IIC
a) VVV b) FVV c) FVF d) VVF e) VFV
4. Señale los signos de:
A = Sen100° Cos310° - Tan 132°
B = º ºº º
Tan CotSen Cos
190 290217 340
--
C= º
º ºSec
Sen Cos1 200310 124
4
3 5
++
a) (+), (+), (-) b) (+), (-) (-) c) (+), (-), (+) d) (-), (+), (+) e) (-), (-), (+)
5. Sabiendo que : Cos θ = - ,0 6t ; θ ∈ IIC. Calcular : K= SenθTanθ+Cosθ.
a) 1,5 b) -1,5 c) ,0 6t c) - ,0 6t e) -1,2
6. Siendo :
54 Senφ=
41
281
701
1301+ + + ;
Cos Cosφ φ=-
Calcular : K=2Senφ+3Cosφ.
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) -3
7. Siendo:
Tanθ Cosθ- >0 ; Senθ =0,6
Calcular : K=Sen θ - 2cosθ.
a) 1 b) 2 c) -1 d) 1/2 e) -1/2
8. Del gráfico, calcular :
x
y
θβ φ
α
K=( ) ( )( ) ( )
Tan Tan Cot CotSen Sen Csc Csc
3 3 24 2
β φ φ βα θ α θ
+ ++ +
a) 1 b) 1,5 c) -1 d) -1,5 e) -2
9. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Si su suma está comprendida entre 2820° y 3100°. ¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540° b) 2760° c) 2820° d) 2420° e) 3000°
10. Del gráfico, calcular :
K={Cos(3
α β- ) - Sen(α - β)}{Cos(α - θ) - Cos(2
α θ- )}
x
y
θβ
α
a) 1 b) 2 c) -2 d) -1 e) 3
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BLOQUE II
11. Del gráfico, calcular "Tanθ" , si : AE = 3EB.
x
y
C(2;16)B
E
A
D(4;20)
θ
a) -1 b) -2 c) -3 d) -1 ,5 e) -2,5
12. En el gráfico, M(-1; -13) es el punto medio de AB. Calcular : K=SecαSecβ.
x
y y=x3
A
B
β
α
a) - 5 b) - 2 5 c) - 10
d) - 2 41 e) - 2 41
13. Sabiendo que "α" es agudo y β ∈ IIIC; además :
Senα=Tan
Tan22β
β+
; además : "Senα", asume su
máximo valor. Calcular : K=Cot2α - 3 Secβ.
a) 7 b) 4 c) 11 d) 10 e) 12
14. Siendo "α" y "β" dos ángulos coterminales y su-plementarios. ¿Cuántos valores toma "Senα"?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Si la expresión : K=Sen2α+Tan2θ+Senα+4Tanθ+2; asume su valor mínimo, además : α∈IIIC y θ∉IIC . Calcular :
P=SecθCosα - Tan60ºSenθ
a) ,0 15 b) ,0 35 c) - ,0 15
d) - ,0 35 e) - ,0 16
16. Si el punto P(a; b) pertenece al lado final de un ángulo canónico "θ", tal que su radio vector mide "r", verificándose :
aSenθ+bCosθ=31- r.
Calcular : Tan2θ+Cot2θ.
a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 11
17. Del gráfico, calcular : K=Cotα+Cotβ Si : AB = BC = CD.
x
y
A(5;2)
B(2;8)
C
D
α
β
a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 1/3
18. Siendo: "α", "β" y "θ" ángulos positivos, me-nores que 1 vuelta, pertenecientes a diferentes cuadrantes; tales que :
Senα<0; Cosβ<0; Tanθ<0; α<θ.Señale los signos de :
J=Cos2α Tanβ+Sen
2θ
A=Cos( )2
α β+ Tan( )3
β θ+ - Cos( )3+α θ
C=(JSec323β +ASec2
32θ )Sen(α+20º)
M=(JTanα)Cosα+(ASenβ)Tanβ+(CCosθ)Senθ
a) (+), (+), (+), (+) b) (+), (-), (+), (+) c) (+), (+), (-), (+) d) (+), (+), (-), (-) e) (-), (+), (+), (+)
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19. Del gráfico, calcular : "Tanθ".
x
y
A(1;3)
45º
(0;-4)
B(-3;7)
Cθ
a) -0,1 b) -0,2 c) -0,3 d) -0,4 e) -0,5
20. Si en el gráfico "θ" es máximo (P ∈ eje "x"). Calcular : k=Cotα+1.
x
y
(1;-1)
(5;-5)
P
θα
a) ,0 2- b) ,0 3- c) ,0 4-
d) ,0 5- e) ,0 6-
Tarea domiciliaria
1. De acuerdo al gráfico, calcular : K=5Cosα - Cosβ
x
y
β
α
(-24;7)
(-4;-3)
a) - 2 b) - 3 c) - 4 d) 2 e) 4
2. Señale los signos de :
M=º º
º - ºTan Tan
Sen Cos300 260
140 140 y
R=º º
º º ºCos Sen
Tan Cos Tan248 348
160 217 116+
-
a) (-) No se puede precisar. b) (+) ; (+) c) (+) ; (-) d) (-) ; (-) e) (-) ; (+)
3. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en :
I. Si : Senθ<0 ∧ Cosθ>0, entonces θ ∈ IVII. Si : Tanθ>0 ∧ Secθ<0, entonces θ ∈ IIICIII. Si : Cscθ>0 ∧ Cotθ<0, entonces θ ∈ IIC
a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV
4. Señale verdadero (V) o falso (F), según corres-ponda en :
I. Si : θ ∈ º; º90 180 , entonces: θ ∈ IIC
II. Si : θ ∈ IIC , entonces: θ ∈ º; º90 180
III. Si : θ ∈ IIIC, es positivo y menor que una vuelta, entonces :
a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV e) VVV
5. Simplificar :
L=( ) ( )
aSen bCos
a b Sen a b Cos
23
2
22
2 3 2 5
≠ ≠
≠ ≠
+
+ + -` j
a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b
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6. Señale el cuadrante al que pertenece "θ" si:
Cosθ Tanθ- >0
a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar
7. Sabiendo que : Tanβ = 32-
β ∈ IIC Calcular : Q=Senβ+Cosβ
a) 131 b)
1313- c)
135-
d) 13
5 13 e) 133
8. Sabiendo que "α" es un ángulo positivo menor que una vuelta perteneciente al IIIC, señale el signo de :
Q= Sen Cos Tan2 3
25
3α α α-c m
a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar
9. Si el lado final de un ángulo canónico "θ" pasa por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n).
Calcular : K=Cot2θ+Tan2θ.
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12
10. Del gráfico, calcular : E=3Tanα+1
x
y
α
53º
a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2
11. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º.
¿Cuál es la medida del mayor?
a) 2540º b) 2760º c) 2820º d) 2420º e) 3000º
12. Siendo :
54 Senφ=
41
281
701
1301+ + +
Cos Cosφ φ=-
Calcular :
K= 2Senφ+3Cosφ
a) 1 b) - 1 c) 2 d) - 2 e) - 3
13. Tomando 5 =2,236 y sabiendo que : Ctgx = - 0,5 y que x ∈ IVC. ¿Cuál es el valor de Cscx?
a) - 2,236 b) 2,236 c) - 0,4472 d) 1,118 e) - 1,118
14. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F.G.H
F=º º
º º ºCsc Ctg
Sec Tan Sen215 338
285 138 2103
2 3
"
"
,
,
G=º º
º º ºCsc Tan
Sen Ctg Cos195 336
260 115 1162
3 2 3
"
"
,
,
H=º º
º º ºTg Sec
Sen Ctg Csc135 298
195 340 1283
3
"
"
,
,
a) - , + , - b) - , - , + c) + , - , - d) + , + , - e) + , + , +
15. Dado : Cosx= p qp q2 2
22
+- - ; p > q > 0
Calcular Tgx, con "x" en el segundo cuadrante.
a) q p
pq22 2
--
b) q p
pq22 2-
c) q p
pq22 2
-+
d) q p
pq22 2
-+
e) q p
pq22 2+
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TRILCEColegios
1. Según el gráfico mostrado calcule:
F= ( )
cos x
sen x
ctg x
tg x
4
2
4α β θ
α β θ
α β θα β θ
+ + -
+ + ++
+ + +
+ + -
c
c
cm
m
m
α
β
θ
a) -2 b) -23 c) 0
d) 2 e) 3
Resolviendo
α-α
β
θ360 - θ
Del gráfico:
β=(- α)+ (360º - θ)
α+β+θ=360º
Luego, la expresión que se pide será:
F=( º )
( º )( º )( º )
cos cottan
xsen x
xx
90180
90360
-+ +
+-
F=tantan
senxsenx
xx-
+--
66
66
@@
@@
F= -1+1 ∴ F=0
Clave : C
2. Si los ángulos internos de un triángulo ABC es-tán en progresión aritmética. (A<B<C) redu-cir:
F=( )
( )( )
( )cos
cossen B C
sen A C BB C
B A C2 3 2 3-
+ + +-
+ +
a) -2 b) - 21 c) 0
d) 21 e) 1
Resolviendo
Condición:
i) A+B+C=180º
ii)
A=60º - xB=60ºC=60º+x
⇒ A+2C+3B=(60º - x)+2(60º+x)+3×60º A+2C+3B=360º+x
⇒ sen(A+2C+3B)=sen(360º+x) sen(A+2C+3B)=senx
• B-C=60º-(60º+x)=-x
⇒ sen(B - C)= - senx
• B+2A+3C=60º+2(60º-x)+3(60º+x) B+2A+3C=360º+x
⇒ cos(B+2A+3C)=cos(360º+x) cos(B+2A+3C)=cosx
• B-C=-x⇒ cos(B -C)=cos(-x) cos(B - C)=cosx
Reemplazamos en "F":
F=coscos
senxsenx
xx
-+6 @ ∴ F=0
Clave: C
3. Si α=4≠ , calcule
F=. .
. .
cos
csc
sen tg
ctg ctg
235 27
2111
2
732
652
4172
α π α π α π
α π α π α π
- - -
- - -
c ` `
` ` `
m j j
j j j
a) -8 2 b) -4 2 c) -2 2
d) 2 2 e) 2
Resolviendo
Recordemos que: (k ∈ z)
Problemas resueltos
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Trigonometría
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(4k+1)
(4k+3)
2kπ(2k+1)π
-θ
-θ-θ
-θ+θ
+θ
+θ+θ
2≠
2≠
Reducimos la expresión pedida por partes:
• csc(α - 2
73≠ )= -csc( )2
73
IC
π α-
!1 2 344 44
⇒ csc(α - 2
73≠ )= - secα
• cot(α - 2
65≠ )= - cot ( )2
65
IC
π α-
!1 2 344 44
⇒ cot(α - 2
65≠ ) = - tanα
• cot(α - 2
417≠ )= - cot ( )2
417
IC
π α-
!1 2 344 44
⇒ cot(α - 2
417≠ ) = - tanα
• cos(α - 2
35≠ )= - cos ( )2
35
IIIC
π α-
!1 2 344 44
⇒ cot(α - 2
35≠ ) = - senα
• cos(α - 272
≠ )= - cos ( )2
27
IIIC
π α-
!1 2 344 44
⇒ cot(α - 2
27≠ ) = - (-cosα)=cosα
• tan(α - 2
111≠ )= - tan ( )2
111
IIIC
π α-
!1 2 344 44
⇒ tan(α - 2
111≠ ) = - cotα
Luego, reemplazamos en "F":
F=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
cos cottan tan
sensen
α α αα α α
- -- - -
F= - .cos cot
tansen
sen 2
α α αα α
Evaluamos para α=45º
∴ F= -× ×
( )( )
21
21 1
2 1 2 → F= -2 2
Clave. C
4. Si x - y = π, evalúe:
E=( ) . ( ) . ( ) . ( )( ) . ( ) . ( ) . ( )
tan tan tan tantan tan tan tan
y a y b y c y nx a x b x c x n
+ + + ++ + + +
a) n b) n-1 c) 0 d) 1 e) -1
Resolviendo
Condición: x - y= π
Calculamos: ( )( )
tantan
y ax a
++
Reemplazamos:
tan(x+a) = tan(π+x+a)=tan(y+a)
∴ ( )( )
tantan
y ax a 1++
=
Luego:
( ) . ( ) . ( ( ) . ( )( ) . ( ) . ( ) . ( )
tan tan tan tantan tan tan tan
y a y b y c y nx a x b x c x n 1
E
+ + + ++ + + + =
1 2 3444444444444 444444444444
∴ E=1
Clave: D
5. Si sen(θ) = , <θ<π; al evaluar:
E=( ) . ( ) . ( )
. ( ) .
csc cos
tan sec cot
sen 22 2
3
π θ π θ π θ
π θ π θ π θ
- + -
+ - -` cj m
Se obtiene:
a) -5 b) -4 c) -3 d) -1 e) 4
Resolviendo
Condición:
senθ =ry
52 = ∧
2≠ <θ<π
Graficamosy
x-1
2
θ
r= 5
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BLOQUE I
1. Señale el valor de :
C=º
º º ºSen
Sen Cos Tan225
120 210 2 217+
a) - /2 4 b) /2 4 c) 3 /2 4 d) - 3 /2 4 e) - 2 /2 3
2. Señale el valor de :
L=º
º º ºSen
Sen Cos Tan4080
2670 1200 3180
a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 3 /43
3. Señale el valor de :
C=7143
2003
Csc Cos
Sec Sen
32
2 1437
1232 22+
≠ ≠
≠ ≠
-
a) 1 b) -1 c) 1/5 d) -1/5 e) -3/5
4. Simplificar :
L=( )
( )
Sen x
Sen x
1
1
n
n
n
n
1
51
5
-
-
=
=
6
6
@
@
"
"
,
,
/
/
a) Tanx b) 5Tanx c) - 5Tanx d) -Tanx e) -
51Tanx
5. Reducir :
C=( )
( )
Cos
Sen23
+
π θ
π θ
- -
( )
( )
Cot
Tan
1132
117+
π θ
π θ
- -
( )
( )
Sen
Cos
1723
θ π
θ π
-
-
a) 3 b) - 3 c) - 1 d) 1 e) 0
6. Reducir :
C= ( 1)Sen n2
n
n 1
5 π θ- -=
8 B$ ./ + ( )Cos n2
1 n
n
1
1
6 π θ+ -=
+8 B$ ./
a) Senθ b) - Senθ c) - Senθ - Cosθ d) - Senθ - 2Cosθ e) - 2Senθ - Cosθ