Top Banner
Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm Vincenzo Aquilanti * , Simonetta Cavalli 1 , Cecilia Coletti Dipartimento di Chimica, Lab di Chimica, Universit a di Perugia, Via Elce di Sotto No. 8, Perugia I-06123, Italy Received 1 June 2001 Abstract Generalized 6j symbols are de®ned in terms of orthonormalized Racah polynomials of a discrete variable and given explicitly as hypergeometric 4 F 3 1 series. They extend the recoupling coecients of ordinary angular momentum al- gebra, including multiples of 1/4 as quantum numbers. A three-term recurrence relationship is exploited for extensive calculations and illustration of their properties. Their role is outlined as matrix elements for superpositions or overlaps) both between alternative spherical and hyperspherical harmonics and between alternative Sturmian sets, an important case being that of four-dimensional harmonics of S 3 , which apply to the momentum-space hydrogen atom orbi- tals. Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. 1. Introduction Hyperspherical harmonics [1,2] are favourite orthonormal and complete expansion basis sets for a great number of problems in quantum chemistry and physics. Fundamental building blocks, the superposition or overlap) coecients between two alternative d-dimensional harmonics, can be written explicitly [3] as ®nite sums: a generalized hypergeometric function 4 F 3 1 of unit argument and seven parameters [4] of which only six are independent). This establishes a close connection with the Racah recoupling coecients or 6j symbols of angular momentum theory, the dierence being that some of the de®ning parameters of the 4 F 3 1 are not restricted to be integers, but can also take half integer values in their role of harmonic superpositions. This in turn implies that we require the quantum numbers of ordinary momentum algebra to accept as values not only integers and half-odd integers as required in SU2)), but also 1/4 and its multiples 3/4, 5/4, 7/4, ...). In modern mathematics, these hypergeometric series are called Racah polynomials [5]: they are more general than vector recoupling coecients and play a leading role [6] in the theory of orthogonal poly- nomials of discrete variables and of ®nite dierence equations [7,8]. Many properties of ordinary and generalized vector recoupling coecients [9±11] can then be discussed in terms of properties of Racah polynomials. 31 August 2001 Chemical Physics Letters 344 2001) 587±600 www.elsevier.com/locate/cplett * Corresponding author. Fax: +39-75-585-5606. E-mail address: [email protected] V. Aquilanti). 1 Also at Istituto Nazionale Fisica della Materia INFM). 0009-2614/01/$ - see front matter Ó 2001 Elsevier Science B.V. All rights reserved. PII: S 0 0 0 9 - 2 6 1 4 0 1 ) 0 0 7 5 6 - 4
14

Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

May 05, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

������� ��� ���������� � ���� ����������� �� ����������������� ��� ���� ����� ����� � ��������� �������

�������� ��������� �� �� ������ ������� �� ������� �������

���������� �� � ������ ��� �� � ������ ���������� �� �������� ��� ���� �� ��� �� �� ������� � !"#$%� ����&

�������� � ���� � �

��������

!���������� "� � #��� ��� ��$��� �� ��� � �% ������� ������ ���� ����� ���� �% � �������� �����#�� ��� �����

�&������� �� ������ ����� '()��� ������* +� �&���� �� ���������� ���,������ �% ������� ������� � ���� ��-

��#��� ��������� �������� �% �.' �� ������ �� #���* � ����-��� ���������� ����������� �� �&������� %�� �&�������

������������ ��� ������������ �% ���� ����������* +��� ���� �� �������� �� ����& ��� ���� %�� �������������� /�� ��������0

#�� #��1��� ����������� �������� ��� ����������� �� ����� ��� #��1��� ����������� ���� ��� ����� �� � �������

���� #���� ��� �% %���-�� �������� �� ����� �% �)� 1�� ���� �� �� � ���� -����� ������ ��� ��#�-

����* � � � 2������� ������� 3*�* ��� ����� ��������*

� ���� ������

4����������� �� ����� 5���6 ��� %�������� ������� �� ��� �� ����� �&������� #���� ���� %�� � ������� #�� �% ���#�� � �� ������ �� ���� ��� �����* (���� ����� #������� #���7�� �� �������������/�� �������0 ���,������ #��1��� �1� ����������� �-�� �������� �� ������ ��� #� 1������ �&������� 5)6 ��$���� �� �� � ����������� ������ ����� %������� '()��� �% ���� ���� ��� ��� ����� ���� ����� 5'6 /�%1�� ��� ��& ��� �����������0* +�� ����#����� � ����� ���������� 1�� �� ���� ���������� ���,�������� "� � #��� �% ������� � ���� ����� �� ��8������ #���� ��� �� � �% �� ��$���� ���� ����� �% ��

'()��� ��� ��� ���������� �� #� ��������� #�� ��� ���� ��7� ��% ������� ������ �� ���� ���� �% �� ������������������* +�� �� ���� � ����� ��� 1� ������� �� ������ �� #��� �% ������� � ���� ����#���� ������ �� ������ ��� ��� �������� ��� ��%-��� �������� /�� �������� �� �9/�00� #�� ���� �.' ��� ��� �������� /).'� :.'� ;.'� � � �0*

<� ����� ��� ������ ���� ������ ����� ������ ��� ������ ���� ����� ���� 5:6� �� ��� ���������� ��� ������ ���������� ���,������ ��� ��� � ������� ���� 5"6 �� �� ���� �% ��������� ���-�� ���� �% �������� �����#��� ��� �% $���� ��8������ ��������� 5;�=6* >�� ���������� �% ������� �������������� ������ ���������� ���,������ 5?@��6 ��� ��� #� ��������� �� ��� � �% ���������� �% ��������� ����*

)� ������ � �

�� ���� A���� B������ )'' /� �0 :=;@"

111*��������*�� .������.������

� ������������� �����* (�&� C)?-;:-:=:-:" "*

� ���� �������' ������D� ����*��*�����*�� /�* ���������0*� ���� �� <������� E�������� (����� ����� >������ /<E(>0*

?-�"�'. �.F - ��� %���� ����� � � � 2������� ������� 3*�* ��� ����� ��������*

A<<� � ? - � " � ' / � 0 ; : " - '

Page 2: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

+��� � �������� �� ������ ����� ��� � %�� �� %��� ��� �� ������ �� #� �� ��� ������� ���� �%���������� ��� �������� ���,������ �% ������� � ���� ����� ����� "� � #���� )� ��� ����������� )�� #��� /4�� ���,������ 5��60� G����� �������� ������� ��� ��� #� ������� �� ���������� �� �� ����� �����*2&�������� %�� �&� ���� �� �� �-��������� �� �� /���� �*�*� 5�)60� 1�� 1��� ��� #� ������� ���� ����#����� ����� ��� �� �� ������ ���������� #��1��� ���� ��� 4�� ���,������ ��� �� �� ���� ��� �� ��-������ #��1��� ���� ��� ����#� ����� ����� �� ��� �� �&������ "� � #��� ��� #� ���������� �� ��������������� �% ����������� �� ����� �� � ��������� ���� 5:6* (�� ��� ������ �� ������������� �% �������������������� ������������� �� ����� %�� ���� ������� ������ ���,������ ����� �� �� ���������� �% ������������ ����� /�� � �% 1�� ��10 � ��� ��� �� ��� ���� �% ������� � ���� ����#��� ����� �� ��������������� /��� 5�'6 %�� �� H/'0 �������� �����0 ��� �� �� ����� ��������� /��� 5�:6 %�� ������� "� � #���0*

� #���� ���� �% ���� ������� �� ���,������ �� �� �� ���� �������������� �� I����������J ���,������5)6� 1�� �� �� ���� �% ����������� �� ����� 5:6 ����� �� �����%�� ���� �% ����������� �� ��������������� �� ����������� �������� ��� �� �% /���-0������� � ����*

�� � ������� ����������� ������ �� �� ���� �% �-�� �������� ������ ��� 1��� 1���%�������� �� � ���� ����� ��� ������ ������� �� ����������� �� ����� # (��7J� ���K������ 5���"��;6* �� 1���� ��������� �� ������ ������ 5�'��"��=@� 6� ���� ���,������ ��������� �������������� #�� #��1���1���%�������� �� � ���� ����� /����������� �� �����0 #�� ���� #��1��� ���� ������������ �����$�������� ����� /���� ��� ��#�����0* +� ������ �% ���� #���� ���� �� ������ ����� ��� ��������� ���� ����� ��� �% �� %�1-#�� ����� # ���#�� � �� ������� �������� �� ��������� 5�;���@�)6� ���-������ �� ��������� %�� #���� ������ ���#�� � 1�� �� ���� �% ��������� �� �������� * +� %�1-#������� # ���#�� ��� #� ���������� �� � ������#����� �% �� ����������� � ��� ��� �� �� �����-������� �% ������ ��������� 5�'6� � ����-�� �������� �������������� �% �� ���#�� �% � ������ ��� ���� ������� ������� $���* +� ����� �% �� ������ ���� ��� ��� ���� ��� �� �� � ��� %������� �% �����#�� ��� �� ����������� �% �� ������� ��������� 1�� ����1 �� ������� � ��� ���� #��� �� �������*

<� ��� B������ 1� ����� 1�� �� ��$������ %�� �&������ "� � #��� �&������� �� ������ ����� %���������% �� '()���-��� ��� �� ������� ������ ���,������� 1�� ��� �������� ��������� �% ����#� ����� ����/������� �0* � ���������� �� ����� #��1��� �� ���� ����� ��$���� ���� ����� ���� ��� I������� �- ����J �� �� �&������ "� � #��* �� �,����� �� ���������� ������� #���� �� ����-��� ��������������������� /������� )0 �� ������ �� #� ��� ���%�� %�� �� ����������� %�� ����� ������ �% �� �������� 1����� ����� �� �� ������������� ������� �� ���� ������� �% ���� ���,������ ��� ������* +� 7� ���� �% �������,������ �� ����& ��� ���� �������� ����������� ���� �% ����������� �� ����� 1�� ��� ��������� ���-�� �������� �������� ��#����� �� � ���� ����� 5�"6 @ �� ���� ������������ �� ���$�������� �����/���� ��� %��������0 �� ���������� �� ������� '� ������� 1�� � ���������� �% �� ���� � � '� 1�� �������%�� �� ������ ������ ��� 5�'6* (����� �� ��7� ��� � �� �� �% ������������ %�� ���� �����-�� ������ ���,������ %����1 �� ������� :*

� ����� ����������� �� ���������� �� �������

���� ����� ���� ������� ��� �� �� ��� ��$��� �&������� �� ����������� ������ ����� �� � 5:6 �*

������� ��� �� �� � �

����� �� ������ ������ �� �� ���

� '()

��� �� �� �� �� �� �� �� �� �

�� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� �� ���

� +� ���� �� �� ��� ���� �� �� �% ��%* 5"��'6 ��� #� �#������ ������%��� �� ���� ����� �� �� (� � ��� � 1�� ��� �� �� �� ���� �� �� �� �� �� ������������ ��� ��������� ��� �� # �

����� �� ������ ������ �� �� ���0*

:== �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 3: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

1��� ���� � ��� � �������* +� ��� � %������� �% ��& ���� ����� �� �� �� �� � ��� �� 1��� � /���������������� � �� �� �� �0 �� �� ������ �% �� ����� ��� ��� ���� �� �� �� �������� �����#��* +� ���� ������%��� ��������� �� �� ���� ����� ��$��� �� �� ���������

� � �� �� � 1��� ��� �� �� �� ���

+� ���� ����� � ��� � ��� ���������� �� �� �������

� � �� ��� � � � � � ��� �� �)�+��� ����� ���� ��K� ������� ���� 1�� ������� �� #�� ��

����

���

������� ��� �� ���������� ��� �� ������ ������ � ������� � �'�

��� �

����

������� ��� �� ��������� ���� �� �����

� ����

�������� �� � �:�

4��� �� �������� ������� � � �� �� � �� �� ����� �% �� �������� /�� �� �0� ���� �� �� 1���� %�������

���� � ���� �� ������ �� �� ������ �� ������ �� �� ������ �� �� ������ �� ������ ������ �� �� �"�

��� �� �� ��� �% �� ����� ���

��� � ���� �� ������ �� ������ �� �� �� �� ������ �� �� �� ��

��� �� ��� ������� �� �� ������� �� �� ������ �� �� �� �;�

�� �� ��%* 5��6 %�� 4�� ����� ����� 1� ��������� ������� ������ ���,�������

������ �� �� �� ���������������������������������� ���

��������� ��� �� ��� �=�

+�� �������� � ������� �� %��� ��� ���� ���,������ ��� �� �������� ������� �% ����#� ����� ����� ������ �� ��$��� �� �� �������� ���� ��� �� ��� �� ������ �� �� �� ��� �������� �� ����� /�� #������ ��-

����� �% � �������� �����#��� 1���%�������� �� � ���� ������ �� ���� ��0* +� ��� ��� ���� �% �� ��-����� �� ����& �% �� ������ �� � �� � �� � �� 1�� %�� $&�� �� �� �� � ��8�� %�� ���� ��� 1�� ���7�� �� ������� ������ � �� � � � �� ��� � ��7�� �� � � � ������� �� �� �� � � � � �� �*

G� ���� ��$�� "� � #��� 1�� ����������� � ���� �� ��� � �% � ������ ����� ������ ��� �� 5'6�

�� �� ���

�) � ��)

� �� ���������������)

� ��� �� � �������� ��� � �)����) � �� �������� �) � ��� � ������� � �� �)����� � �� � ��� � ������� � �� ������� � �� � ������ ���

� ���) � �� � �)����� � �� ��)����� � �� ��)����� �� � ��) � ������ �� � ��)����� � �) � ��)����) � ��) � ������) � �� � ��) � ���� ���

� ��������� � �� � �) � �� ����� � �� � �) � ���

� '()

�� � �� � ���� �� � �� � ��� � �� �) � �� � ��)� �) � �� � ��) � �

�� � �� � �) � �� �� ����� �� � �� � �) � �� ���

� ��?�

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :=?

Page 4: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

1��� ��� � �� � ��� �� �� #� ������$�� 1�� ��� ��� �������� �� #� �� �������* G������ �� ��� 1�� 1���� ���� ����� �% �� ������ ����� %������� ��� ��� �������� ��� �������� ��������� 1�� ��� %�� -�&-������� 2�* /��0� �* �?: �� ��%* 5'6 @ %�� ������� "� � #��� ��� ��$������� /�0� /=0 ��� /?0 ����#��� ��������������

������ �� �� �� � ������������)������� � ������) � ���� �� �� ���

�) � ��)

��� �

1��

��� � �� �� ��

� ��) � �� � � �� �� �� �� �

��

�� � �� �� �� �� �

�� �� � �� �� �

�� �) � �� �� �

�����

�� ����������

� � ��� � �� � ��� � � ��) � � �) � ��� � � �� � �) � ��

� � �� � �� � �) � �� � � �� � �) � �� � �� ����1��� � ��� � � ��� ��� ��������* <�������� 2�* /��0 �� ���* /�0 ��� /)0� 1�� ������� �� ������ �% ������ ����� %�� ���� ����� ���� 1� ��� ��� ��1�

�� � �� � ��� � �� � �� ��� �) � �� � ��) � �� � �)� ��)�1�� ��� �1� �% �� 7��1� ���������� ��������� �% "� � #���* 3���1 �� 1��� #� ��1� ��� 1�� �� ��-�� ���� ��� ������� �� ��% ������� �� #��� ��� �� ���� ��������� %�� "� ���* (��* � �� ������ ���� ��������� ��� ��������� ������#�� �� ��� �������*

(��* �* ���� ��������� ����� ���� �% � �������� �����#�� ��$��� �� �� 2�* /�0� 1��� �� �� ������ �% �� ����� ���� � �� ��

�������� �����#�� ��$��� �� � ��������� ���� ���� ��� � ��� � ��� �� #������ �% �� ��$������ ��������� ��� � ��� � ��� �� �� ������

�1� ���� ����� /2��* /�0 ��� /)00* +� ������� ��������� ����� �� �� ������������ �% ���� ������� ������ ���,������ /2�* /=00*

+� ��� #� ���� 1������ �� �&������ "� � #��� /2�* /� 00 ��� �� ���� ������������� ���,������ /2�* /�?00* +� ������������

#��1��� �� ���� ���� �% �� ��������������� ��� ����� �� 2��* /��0 ��� /��0� ��� �� ������� '*

:? �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 5: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

2�* /� 0 ��1� �� ���7 #��1��� �� ���� �% ��������� ����� ���� �% � �������� �����#��� 5:��:6 ����� ���� �% ������ ���������� ���,������* <� �� ���������� ���� 1�� � ��� � ��� �������� ��� � ������� ����% �������� ��� �������� �� ���� �� �&�#�� �� ���������� #��1��� ������� "� � #��� ��� ��������� ���� 5:6* 9���� ��� ���������� ��� �% �� � ���� �� 2�* /� 0 �� ����1�� �� ��7� ��� ��������� ��% ������� �� #��� ��� ��� �� ���������� ���������� �% ������ ���������� ���,������ ��� ����-$��� �&��� � ��� �� �)�� ��� � ����� � ��� �� �)� ��� �&��� � �)� �� ���� ��) � ����� � �)��� ���*

<������ #������ �% �� ������������ �� ���* /�0 ��� /)0� 1� ��� %�� ��������� %�� � � �� � �� � �) � �� ��� � ����� ��� ����� � �)� �� ��� � �� � �)L %�� � � �� � �) � �� � �� ��L%�� � � ��� � � �) � �� � �� � �L #������ %�� �� � ��� � �) � �� � � ��� 1��� ����� 1� ��� �������1�� �������� �� ��% ��������� � ������ �) � �� � �) � ��� �� ��� �&��) � ��� �� ��� � �) � ��* +�� ���� ��� 2�* /�)0 �����$�� ��� �� ���������� ��������� %�� ��)* ���������� ��� ��� $�� �� ���� ���������%�� ���*

(��* �� ��1� � �������� �������������� �% �� ���������� �% ���� ������� � ���� 1�� ��� ���-������ # ������� "� ���,������� �� %����� ������$������ �% "� � #��� �&������ �� �������� �% �.' ��

(��* �* A���� /�0� ����������� �������� ��� �� %�� ���� ������� � ���� ����������� # �� ����-��7� ����� �� �� ��������

5):6� �� ���������� �� �� ������� "� � #�� /2�* /� 00* A���� /#0� ����� 5��)6 %�� �� ����������� ���� ����������� �% ��

���� �������� ����� ��� �� �� ����� �� �� ���� �����* +��� /�0 ���������� �� �� ���� ������ ��) ��� ��� �� ��#����� ����

��������� ���� � ���)� � ���� � ���� ���� /��0 �� �� ���� �����) ��� ���� ��� �� ��#����� ���� ��������� ���� ������ � ���� � �)�� 1��� �� � �� � �) � �* � �� �� ������ �� #�� ������������� �� �� ���������� � ���� �% � �-��-

�������� �����L ��� �� ��� �) ��� �� ������ �� #��� �% ��-� ��- ��� �)-�� �������� ��#������� �����������L ��� �� �� ���-

������� � ���� �� � ��� � ���-�� �������� ��#����� ��� ��) �� �� ���������� � ���� �� � ��� � �)�-�� ��������

��#�����* +� �1� ��8����� ���� �% ��������� ��� ����������� ������� # � ��� ��� �����������* E��� �� �������������� #�-

�1��� ������� � ���� ��� ������ �� #��� ��#����� �� �� ������ 1�� �� ���� ������� %�� �� ������� #��1��� 2��* /� 0

��� /��0*

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :?�

Page 6: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

�������������� /�� ��������0 #��1��� /� � �0-�� �������� ����������� �� ����� /�������� �� (��* �#01��� #� �� ���� �� #� ��� �� ������� '*

(�� 2�* /��0 1� ��� ��� 1�� ����� � �� � �� �� ������� ��� �� ���� �� ��% ������� ���.�� � �� ��������% �.'� ��� ���������� � ���� %�� 1�� 2� ������ 1�� ��� �������� �% �.' ������� ��� ���� �%�������� %�� ��� ������������ �� �&� ���� #���1*

+� ���������� �% ������ �� �� �� �� �� � ��� � %�� �� �� ����� ���� � � � �� ����������� �� +�#�� �*

� ���������� ��������� �� ����� ����������

+� ���������� �% �� �&������ "� � #��� ��� ������� %�� ���� �% ���� ����� ���� 5:6* A�����-����� � ������� �� � ����-��� ��������� ����������� 1�� ��� �% �� /���-0������� � ���� ������# ����* +�� ����������� ������ �� ������� �� ������� ��������� ���%�� 1�� %��� ������� ��� ������ ���.�� �� � �� ��� �% �� ������� ��� �����*

(�� �� ����-��� ��������� �������� �% ���� ����� ���� 5:6 � � ����� ����-��� ������������������ ��� #� �#������ %�� �� I�������� �� �����J ������ �� �� ��� �*�*� �� ����� ������ ������� �% �������,�������

���� �������� �� ���� � ���� ������ �� �� �� � ���� �� �������� �� �� �� � � ��'�1���

���� � ���� �� � ����

� ����

����

���� � ����

��

������

� ��:�

1���

�� � ��� �� �� �����

���

�� � ��� �� �� �����

��� ����� ����� �� �� �� �� � ��� ����� ����� �� �� � ��� ����� �� �� ���

� �)���� � ����� �� � �

)���� � �� �

1��� �� �� ����� # 2�* /;0*A������� 2��* /� 0 ��� /��0 �� 2�* /�'0 � ��������� �������� %�� �&������ "� � #��� �� �#�������

+�#�� �

���� I�������� �� �����J ������ �� ���� %�� � � �

� � �

� ��� ������ �� ����� �� ������ ��� ���

� ��� ������ �� )���� �� ������ ��� ���

�� � ��� ������ �� )���� �� ������ ��� ��� ��� ������ �� ��

��� �� ������ ��� ���

:?� �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 7: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

���� � ���������� �� ��� � �

�) � ��)

� � ������� �� ���

�) � ��)

� �������� � ���� �� ��� � �

�) � ��)

�� � ��"�

1���

������ � ������ � ������� � �������������

����� � �� � ������ � ������� � )�������� � ������ �����

� ����� � ����� � ������ � �����������+�� �� ��� �*�*� 2�* /���0 �� 5�"��;6� �1���� ������� �� �� ��������� �������� ��� ����1�� �� ��7� �� ������

�� ������� �% �.'� ��� ��� ��� �������� �� ��% �������� �� �����$�� �� ���� ��%�������*+������ 1�� �� ����������� ���������� %�� �&������ "� � #���� 1�� %����1 %�� ���� %�� ����

����� ���� @ ��� 2��* /'0 ��� /:0 @ �� ���������� ����������� /�"0 ������ �� #� �&��� �� ���%�� %���������� ��� �&������� ����������� �% �&������ "� ���,������� 1�� �� ���� �������� �� 1��� #� ��1� �� ����&� �������� %�� �� ���������� �% �������������� #��1��� ����������� ����� ����� 5)6 �� #��1��� ��-��������� ���� ��� ��#����� 5�'��"@�=6*

�� ������� � ��������� �%��� �� ��� ���������� # ������� ��� !����� 5�"��=6 %�� ������� "�� #��� �� #��� ��������� ��� ������ ������� ������ �� ����� �% �� ��$���� ������ /2�* /�00L ��� �&-������� ��� �� ����$�� ��� ���� ���������� ��K� � 1���� �% ���������� ��������� �� ���� �% ������� "�� #���* �� �� �&� ���� (��* ) �� ����� �� ��� ���������� �% � �&������ "� � #�� 1�� ���� �% ���������� ������� "� ����#���*

������ ���������� ����������� %�� "� ���,������� 1�� 1��� ��� #� �������� ���� ��� #� �#������ %�� � ��8������ �������� �����$�� # ����J� ����� ����� ������� �� � ��������� 1��� �� ����� �% /���-0������� � ���� ������ �� ����� �% ��� ��% /��� %�� �&� ��� 2�* /�0 �* ) ) �� ��%* 5'60� ��� ����� ���� 1��I������� � ����J 1�� ��� �������� �% �.' �����*

+� ���� ���,����� ��������� �� 2�* /� 0 �� � ��� ������� ������ ����� ������ 1�� ������� �� ������� ��� 1�� �� ������ �% �� ����� ��� � � ���.�� � � �* <� �� $��� ���� 1� ��� ��� � �� � �� ����� ������������� "� � #�� ������� ���

�����������)�� �� �� � ��

�) � ��)

�� ���� �� ������ ������

�������������

��� � ��;�

1��� �� �� ������ ����� 1�� ��) � �) � ���

����������)����� �� ���

�) � �) � ��

�� ����� �� �� ������ ������

�������������

���� ��=�

1�� ���� ��� �� ����� # ���* /"0 ��� /;0� �����������* +��� ��� �� ��������� �% %�� ���� %�� I��������J������� "� � #��� 5'6*

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :?)

Page 8: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

� ��������� ���������� �� �������� ������������� ��� ������

G� 1��� ��1 ��� I�������� �� �����J �� ���� ���� �% �������������� #��1��� ���� �% ������������� ����� ���������� �� ����������� ���� ����������� �% �� �-�� �������� ����� ����*

(��* )* H������ ��� �&������ "� � #��� ����������) ?�� � '; ���= � � ��� ��)

� ��� %�������� �% ��� �% �� I������� � ����J� ��)� %�� ���

1��� ����1�� ������ ))� �� ��) � ��;� �* H��� ������� ��� ������� ���������� �� � � ��� �.�� ������������ ����1��� ��� �������

�� ��% ������� ������ �� #��� /�� ����������� �� ������� "� ���,������0* (��� ��������� ���������� ������ �% ����������� ���,������

������������� �� � � ��'* +� ���� ������ ���������� �� ��8����� ������ �% ���� ����� < ��� � �)?� �� ����� << ��� � �)'� � ��� �����

<<< ��� � ��?� �* +� �� #�� �% I�����J �% �� %������� �� ����� # ��� �& � ��� 1��� ��� �& � �� � ��� �� � : ��� � �� �� ���� �����*

:?' �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 9: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

B�� �� �������� �1� ����������� �� ����� �� �� ���� ����� 5�6 /�*�*� �����%�������� �% �� �� � ��-�� �������� 3����� �@B������ ��������0 ��������������)��� ��� �����)��������)����� 1��� � ��� �� ����������� ��-������ �1� ���� �% �� � �� ������ ��$���� �1� ��8����� ���� ����������� �% �� ���� ������ ��� ������ � ���)� � ���� � ��� ��� ���� � ����� � ���� � �)� /1�� �� � �� � �) � �0* (��* �# ����������� ���1� ��8����� ��#����� ���� ���������� # ���� �% �� �������� ���� ���� 5��)6* <� ���������������������)��� ��� #� 1������ �� � ������� �% ����#� ����� ���� ��� �% �� � %������� �% � ��8����� ������� #�������� �� �� ��� � ��� ��$���� ��������� �� � ��#����� �% ���� �% �� ������ ��* <� ���������� ����������#� ����� ���� �� ���% �� B�������� �� !����#���� ����� ����* � %��� ����� ��� ��� #� %���� ����%�* 5��:6*

+� ������������� #��1��� �� �1� �� ������ 1�� �� ���������� � �� � ��-�� �������� �������� ����%��� ����#� ����� ���� 5)�:6 ��� ����� %�� � ���� %������ � ���� ������� ������ ���,������

�������) ��

��������������)��������)��������)������

� ������������

� ����������

���)��

������)

'

�� � �) � �

�� �� � �)

'�� � ���

� �� � �)'

� �� � �� � �

�� �� � �� � �

���?�

��� ��� ��� #� 1������ �� �� �&������ "� ���,����� /2�* /� 00 1��� ������� ��� #� ��������� ��% �������� �������������� �� �.' ��������� �� �� ������ �% ��� ��� �)* (�� �� ������$��������

� � ��� � �� � ���

� � ��)�� �� � �)

'� � � � �� � �)

�� �� � �)

'� �

� � � � ���

� �� � �)'

� � �� � ���� � � � �� � ��

�� � �� �

��� %�� �� ����� ��������� /�0 ��� /)0 1� $�� �� 1��� 7��1� ����� %�� ���������� � ���� ������ �� #��� 5:6�

�� ��� � �)� �� ��) � ��� ��� � �� � ��� ��) � �� � �)� ����G�� ��� �� ��� �) ��� ��� ���� �� ���,����� �� 2�* /�?0 ������� �� �� ������� "� � #�� 1�� ������� ���.�� ��% ������� ������� ���*

�� ����������� �&�������� %�� �� ������������� ���,����� �� 2�* /�?0 ��� #� �#������ �7��� ��� �%����� � ��� 5�?6 %�� "� ���,������ # ��7��� ���� ��� �� ��������� ����� /��0 %�� ������������� ����� ����� ���* <� ��� ���� �� ��� ����� �*�* ���� /���-0������� � ���� � �� ������� ��� ������$� ������ �� #�� �� ��� �� ������������� �� #��� �������� �� �� ������� �% �� ��#����� ��-������� �����

�������) � �����������)�����������)

� ���

��� �� � ��

�� �

���)

�� �� � �)

�� �

����

�� ��

�� ��

'���� ��

'����� �����

'� �

� �)�� �)

'��� �������)

'� � ��)

�� ����)

'� �

�� ����

(�� ������ �% ��1 �� �������� ����������� �� ����� /��� �� �&�������� �% �� ���������� "� ���,-�����0 � �� ���%� 1�� ��� �% �� �� �� ���� �� /�?0 �� /��0 �� �� ����������� ��7�� �� #� ���� �� ������������ �� ����� /�� ��� #� ���� 1�� ��� � �� �� ���� ��� ��� 1�� ��� � �� �� ���� %�� �� ����#������ ���� �������� �� #� ��8����� %�� ���� 5:60� ��� �� ������������� ���� �� ���,����� /��0 ��������� � $&�� ����� ��.' �� �).'� �����������*

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :?:

Page 10: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

�� �� �&� ��� ��� �� ��1 �������� �� ������ ������ ��� 1���%������� ��� �� ����� �����������/1��� �� ��������� �� �� �� ��������� ������ �� #��� ��� �� #� ���%���� 1�� �� ������ �% ��������� ���� # � �� �0 ��� �� ����#���� ����������� �� /�� ������ �� #�� �� ��������� �� ������#���� ������ �� #��� �� ��� �� �� ��%* 5) 6 # � ��� � �����0* +��� ������������ �� � ���� ����� 5)�6 @ �#������ # (������ �����%�� - ������� /����� %�� � �������� 1���� %�������0 �% �1� ��8�����%��� �� �������� ����������� �� ����� 5�=�)�6 �% �� �) ������ ������ ��� ������* +� �������������#��1��� �� �1� �� ����� 5�=6 �� ��������� /�����#� 1���� � ��� ��������� ��������� ���� ��8������0 ���� ������� #��1��� �� �1� #���� %�������� �� ���$�������� ����� ��� ��� �� ��� ��� #� �&������� ��� ����������� "� ���,����� # ������������ ��#��������� �� ������ �� #��� � �� �� �� �� ���� ��)� �� �� 2�*/��0 /�� � �� �� � �� �) � �0 @ ��� ������ � �� ��� ��� � � �� ��� ����������� � ��� ���������%����� ��

����

�1�� ��7�� ���� ������� �� %��� ��� �� �� ����� ������� ����� �) � � ��� ��1 #� 1������ ��

��� � �% !����#���� ����� ���� ������� �% ����#� ����� ���� 5��:6�

��� ��

��������������

� ����������

�����

� �

��� �

��� � ����

� �'�� )

'� ���

� �'�� )

'�

����

� ��������� ���� �����

���

���

��

� �� ��)�

2�* �) ��1� ��� %�� ���������� ������ �% ��� ���� ���� �� "� ����������� ���,����� ������� �� �� 1���7��1� )� � #�� ������������ �� ������������� #��1��� �� ������ ��#����� �� ����� ��� ����#���������������* <� ���� �� �������� �� ��1� �� ��%�* 5�"���6 %�� �� �� � ��-�� �������� 4 ��� � ���������� #��1��� ����� ��� ����#���� 1���%�������� ��� ����������� "� � #���� 1�� �� ���% ����� �� �)� ���,����� �� �� � ����������� )� ���,����� 5��6� ��������� �� �� ���� �� ��� ����� �% �*

H��� ��� ��� �� ���$������ �� ��������� �� ���� ����� ���� ���������� /��� 2�* )*;*�)� ��%* 5:60� ������ ������� �� ���,������ ��������� ��� ����� �� ������� � /��� �� ���������

'���

������ �� �� ������

������� �� �� )-�� �������� ���� K��� �������0� ��� #� �&������� �� ��� � �% 4�� ���,������

���������

�������

�����

����������

���

�����

� �� �*�*� )� ��� ����������� )� ���,������ 5��6* <� (��* ' 1� ��� �������� � �� �����

������$������ �% I����������J ���,������� # ���� �% �� �������� I����J ����� #���M ���������� /��� ��1����� ��� ��������� %������ ���.�� �����0� 1�� �����#��� �� ��������� �% �� �������� "� � #��� ���� ���� ��� ���� �% �� ������� � ���� ����#��* +� ���,������ ��#���� # �� � ��� 3 �� �� $���� ������� �� ��� ���� ��� 1�� �� %��� �� �������� ����� �� ��������� �� ���,����� �% ��� � �� K��� #���������#��� �� ���,����� �� ��������� 1�� 4� �� ������ ������� �� �� ����� �� ������ �� #��� �% ��$����

������������

'����)����)

'

��� � �� � �� �

'��� � �� � �

'�

�� �

���� �� ��

��� � ��

����

�� �

�� ��� �

��� �

��

�������

����)��

�� �

�� �

��� � �� �

��� �

��� �

��

:?" �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 11: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

! "����� ��� �����#�

+� ������� ������������� �% � ������� ����������� �% ������� ������� ������ ������� �� %������ ������#������ � ���������� #��1��� ������� ��� ���������� ���������� ���,������ /"� ��� �&������ "�� #���0 ��� �� ���� �������� ����� ���� %�� 1�� �� �,����� �� ���������� ������� �� #������������ ��� ������*

�� � �� ����� ������������ ��� ���������� ����� ��� #��� ����������� %�� ������$������ ��������� ����� ��#� ������������ ��� �� � ����� 1��� �� ����� �� ���������� �� ������� #�� �� ���������� ���,����� /2�*/��00 ���� ��� �� ���% /�*�*� 1�� ���� �� ��� ��� I���� ����J �� (��* �0*

(��* '* � ���� �% ��� I����������J ���,������ �� �������� ���� ����������� # �� �������� ���� ����* +� ������� ����� ��� ������� %��

�� ������� ��� �% (��* �# @ 1��� I����������J ���,����� �� �&������� ����� # 2�* /�?0 �� 2�* /��0 @ 1�� ��� �� ��� ����� ��� �����

�*�*� �� � �* <� �� �% ���� ����� � ��#�������� ��������� �% ���� �� ���&�� ��7�� ����� ������� �� �� ���� ���������� ���,������* <�

���������� %�� ����� /�0 ��� /#0� 1�� ��� ����� �� #� ������������� �� ���,������ �� ��� ����������� "� � #���L ���� /�0� 1�� 1� ���

������������ �� ��%* 5�'6 %�� �� �) ����� ��� ������ �������� ��) � ����� ��� �� #� �� � ������� ��� ��� �� �� ������� �% �� ������ ������

��� ���������� �� ����� ����� #���� �� �� IN�� ��J #����� ����������� �����#�� %�� �� ����� ��� �% 4 �� � ������� $���L ���� /�0

����� �� 4�� ���,������ /�*�*� )� ��� ����������� )� ���,������ 5��60 �� 1� ��� �7����� �� �� ��&�L 1��� ���� /�0 �������� �������

�������� �� ����� ������� # � ���������� �������� �� �� ��)� ����� �� ��� ���� ���������� ���,����� �� � G����� �������� ����&

����) ����

� � ���� ����*

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :?;

Page 12: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

(�� ��� ���� � ���������� ������$������ ��������� �� �� ����1�� ����� �% ���� ���� ���� � �������� ������� %�� �� ����� �� �������� �% �.' $���� �� ��% �������� ��� �������� �� #��� ���� ������������� �� �������� �� �� � ��� ���������� �% ���� �#K����� �� �� ���� �% ������� "�-� #���*

<� ���������� %�� ���� ����� ���� /1�� �� ���� ������� %�� ��7�@G����� ����� ���� 5�'60 ����%��� ��� ��������� /2�* /=00� %�� ���� ����������� �� ������ # ����������� ������� ������ �% �.' ���� �������������� �% 2�* /� 0� ���������� ���,������ ��� #� �#������� ����1��� �� ����������� �% �����-��������� #��1��� ��8����� ���� �% ����������� �� ������ ��� ������� 1�� ���� �� ����� ��������� /2�*/��00* <� �� 1��� ������ �1���� ��� #������ �% ���� ����� ��� � �&� � �� #�� �% %��� ���� ���� ����% ��& ��� #� ������� �% �.'� �� ���� �1� ��� ���������� #� �������� �� ��% ��������* A������ �� ��%������� ������ �% �� ������� 1� �#���� ������� � ���� ������ ���������� ���,������ /1�� ��� ����������� �� �������� ����� �9/�00� %�� 1�� �� 7��1� ���������� ����� ��� #� �#������ /��� ������� �0� �������������� � %����� � ���* ���� �� ��� ���� � �&� � �� #�� �% %��� ���� ���� ��� ��� ��%������� ������� 1��� �� �� ������ �1� ��� #� ��������* 2��������� �% 1� �� �� ��������� �� ������� �������1� ��� ��#���� � ���� ���������� ���,������� ��������� �� �� �������� ����� �H/)0*

(�� ��� ��� � ���� ������� ������ ���,������ ������ �� ��� ������� ��� ��� �� ������� �- ���� ����#��� �� ��� ���� ����������� ��� �������� ������� %�� �� ��� #� ����������� #�� %��������� � ���� ���������� ���,������ ��� %�� ���������� ���,������� ��������� ���� ���� ������������� �� ����� �����* <������ �� �� ��7�� # A������ ��� ����� 5))6� )� /�����������0 ���,������ ������ ��

(��* :* �� ������� #��1��� � ������$������ �% ��������� ������ ����� ����� ���� /� ������� ���1 �% ��� �� �� 5:�"60 ��� ����

������� ���������� �� ������ �������* +� $��� �1� ��1�1��� ����������� ��� �� ����� ������������ 1�� ������� ����������

�� �� ���������� �� ��� 5�)6� 1��� �� �� ������ ���� ��� ����������� ���$�� ���� �� ����� ��� �� �� %�� �% �� ���������* A��-

�� ���� �� �� �� � ����� ��� ���������� #�� �� ���� �% �� ����-��� ���������� �������� ��� �% �� $���� ��8������ �������� ������ @

4�� ��� ���� 4�� ��8�� �� �� ���� ����� # �� I������J ��� �� I�����#��J ���� ������ 1�� ���������� �� �� ���� ���� ���

������� � ���� ��� ���K������ ������ �� #��� ��� �� ������ �������� ���,������ 5��6* �� ����� %�� �� ����#� ����� �����

1��� �� >��&��� ��� O�����7 ����� ���� ��� �� I��������J ������������� ��� �� ������� ����� ���� ��� �� I��������J ���� �%

B������� ����� ����*

:?= �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!

Page 13: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

I��#������ ����������J �� ���������� /�� �����0 ����� �% "� /�����������0 ���,������* G� ��� ���� ��� ������ �� %����� �� ������� ���� �������� ����& ��� ���� ��� �� �������� ��� �� 1���%������� ���� ��������&������� �� ������� ������ �������* (��* : ����� � ������ 1�� ��1� ��� �������� %�� �� ��������� ���� ��� ���� ��� ������ ������� 1��� ���������� ��� #��� ��������� �� ��� B����� ��� ���������� ��1� �� �� �� ���� ����������* +�� %������� �� #���� 1�� �� �������� ����� �������� ����%�* 5��:6 ��� �7����� ���� ���#��� �� �� ���������� � 1���� �% �� ����� ��� ������� ����������� �#������%�� ���� ������� �� ���,������� �� ��-�������� ��� ���������� ���,������� ��� ������� �� � ������ �%��������� #��1��� ��8����� ��� ���� �% ������� � ���� ����#��� �� � �% 1�� ��� ��1 5�'6* +����������� �% �� � �% ���� ����� ��� � ������$������ ��� � 1��� #� �� ��#K��� �% �� %����1��� ����� 5)'6*

��#��$�� �������

G� ���7 �* N���� />�����0 ��� �* ������� E������ /�������0 %�� ��� ������� ����������� �� ���-�� ���� �% � �������� �����#��* +�� ������� �� ��������� # �� <������ E������� ������� ������� /�E�0��� >�������� ����J9���������� � ����� ������� �������$�� � +���������� />9��+0� �� 2��� E�������� ����J2������ ����������� /2E2�0� �� ������� �������� <������� /��<0 ��� # 2������� �������� I+���������������� �% 2��������� ��� P�� ���� A�������� �� >�������� ��� ��������J 5�������� ��* �+E�-�???- ���6� ��� �H�+ ������� P? ��� P�)*

��%�������

5�6 �* ����� 4����������� 4�� ������ ������������ �� Q����� +���� O��1�� ����� �� A�#������� P�������� �?=?*

5�6 �* ���������� �* �������� !* !������ �* �� * A�* =: /�?="0 �)"�*

5)6 >* O��J������ ���* �* E���* A�* �: /�?;�0 ��)*

5'6 P* ����������� �* >��7����� �* O������7��� Q����� +��� �% ������� >� ���� � G���� �������$�� ���������� �?==*

5:6 �* E�7�%����� �* ������� �* 9������ ��������� H�������� A���� ���� �% � P������� �����#��� ��������� 3������ �??�*

5"6 �* O��7��7� �* �1������1� +� ��7�-��� � �% ������ ����� ��������� ����� ���� ��� ��� �-��������� +9 P��%�� +�

E���������� �??=* ���� ��� %������� %��*�1�*�����%�*��� ���������.��#.��#���������.���-�������*

5;6 R* � �������7��� B* �������� ���* A�* 9��* �: /�?;�0 �*

5=6 R* � �������7��� B* �������� �* �������� ���* A�* 9��* ): /�??�0 � :*

5?6 9* (���� !* ����� <�������#�� +�������� ����� ����� �� A����� E�1 R��7� �?:?*

5� 6 P*>* 3���7� !*�* �������� ������� >� ���� � H&%��� 9�������� A����� H&%���� �?"=*

5��6 �*E* N���� ������� >� ���� � G���� E�1 R��7� �?==*

5��6 �* ���������� �* �������� P* P� (����� �* A�* �� * ?? /�??:0 �:"?'*

5�)6 �* ���������� !* �������� +���* �� * ���* � ' /� 0 �=)*

5�'6 �* ���������� �* �������� �* �������� A�* ���* B���* = /�??=0 )� ?*

5�:6 �* ���������� �* �������� !* !������ N* A�* P )" /�??"0 ��:*

5�"6 �* ���������� �* �������� �* �������� �� * A�* ��' /�??;0 �*

5�;6 �* ���������� �* �������� �* �������� P* P� (����� !* !������ ��� �* +������ �* A����� P* 4����#��� �* ���� /2��*0� E�1>�����

�� Q����� +���� O��1�� ����� �� A�#������� P�������� �??"� �* �))*

5�=6 �* ���������� �* �������� �* �������� !* !������ �� * A�* � ? /�??"0 ' :*

5�?6 �* ����� �* �������� �* >��* �� * �; /� 0 ')*

5� 6 �* ����� �* �������� ��� �* >������ �� ��* /2��*0� E�1 +����� �� Q����� ���� � �� �� ���� ��� A����* ���* <� O��1��

����� �� A�#������� P�������� � �� �* ;;*

5��6 �* ����� P* 4����#��� <��* �* Q����� �� * '� /�??�0 ";)*

5��6 �* ���������� �* ����� �� * A�* B���* �"; /�??;0 �*

5�)6 �* ���������� �* ����� ���* Q����� �� ���� /�� �����0*

5�'6 !* �����1�� �* ��7�� �* ��� ������� (��������� �� #����� 9�������� A����� �� #������ �???*

5�:6 R* � �������7��� �* ������� ���* �* E���* A�* ): /�?=�0 � =*

5�"6 O* �������� �* !������ �* >��* A�* �" /�?;:0 �?"�*

5�;6 O* �������� �* !������ �* >��* A�* �" /�?;:0 �?;�*

�� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!! :??

Page 14: Angular and hyperangular momentum recoupling, harmonic superposition and Racah polynomials: a recursive algorithm

5�=6 O* �������� �* !������ �� ���* A�* �� ��* �� /�?;"0 �"?*

5�?6 +* ������ E���� �� ���� � /�?:=0 :''*

5) 6 B* B������ 2* B�%����� Q����� >�������* E��-������������ +���� �������-G����� �������� >�� �?:=*

5)�6 <* ��#��� �* G��% ��� A���* ��* ���* � �=" /�?":0 );"*

5)�6 3*�* ����� ������� >� ���� +��� %�� P���� �� >��������� ����� �� A����� E�1 R��7� �?;:*

5))6 !* A������� +* ������ ��� (* 3��� �� ��* /2��*0� ������������� ��� !���� +��������� >����� �� A����� E��� 4�������

� ������ � �?"=� �* �*

5)'6 �* ���������� �* �������� �� * A�* B���* )'' /� �0 " �*

5):6 !* O��������� R* � �������7��� ���* �* E���* A�* �� /�?;"0 :=:*

" �� )*������ �� ��� + � ������ � &���� ������� %,, -$!!#. /�01"!!