Angewandte Strömungssimulation - aer.mw.tum.de · Finite Volumen Methode Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 5 • Die Erhaltungsgleichungen werden über die FV integriert

Angewandte Strömungssimulation

6. Vorlesung

Stefan Hickel

Numerische Strömungsberechnung

Stefan Hickel - Angewandte Strömungssimulation 2

Parameter und Kennzahlen

Gleichungssystem

Turbulenzmodell

Randbedingungen

Diskrete Operatoren

Lösungsalgorithmen

Rechengitter

Programmierung

Berechnung

Visualisierung

Validierung

Physikalische Modellierung

Mathematische Modellierung

Numerische Modellierung

Lösung

Auswertung

CFX – Pre -> Parameterdatei

ICEM CFD -> Gitter

CFX – Solver -> Ergebnisdatei

CFX – Post -> Bilder und Erkenntnis

Finite Volumen Methode



•  Das Rechengebiet wird in nicht überlappende Bereiche := finite Volumina ( FV ) unterteilt.

•  Jedes dieser FV stellt ein Kontrollvolumen ( KV ) dar, für das ein Mittelwert bilanziert wird.

•  Jedem FV wird ein Knoten zugeordnet, an welchem die diskreten Werte gespeichert werden.

Zellknoten

Finites Volumen



•  Die Erhaltungsgleichungen werden über die FV integriert

•  Volumenintegrale können mit dem Satz von Gauss in Oberflächenintegrale umgewandelt werden.

∂∂tϕ =∇•Ψ →

∂∂t

ϕ dVV∫ = ∇•ΨdV

V∫

Erhaltungsgröße Fluss Ψ = Ψ( φ )

∇•ΨdVV∫ = n•Ψ

SV

∫ dS = ΨSrechts

∫ dS − ΨSlinks

∫ dS +−!

= Frechts −Flinks +−!



•  Beispiel: Impulserhaltung in integraler Form

•  Es werden Flüsse über die FV-Oberfläche S bilanziert!

∂∂t

ρu dVV∫ + ρuu

SV∫ ⋅ n dS = − p dS

SV∫ + τ ⋅ n

SV∫ dS + ρFV dVV∫

Zellknoten

Finites Volumen

Fluss



•  Approximationsvorschriften werden zur numerischen Auswertung der Flüsse durch die Grenzflächen der Kontrollvolumina benötigt.

•  Zur Approximation der Feldgrößen φ und Ψ an anderen Punkten als den Knotenpunkten (wo ja die Werte gespeichert sind) werden Interpolationsvorschriften verwendet.

Zellknoten

Finites Volumen

Fluss



•  Approximationsvorschriften werden zur numerischen Auswertung der Flüsse durch die Grenzflächen der Kontrollvolumina benötigt.

•  Zur Approximation der Feldgrößen φ und Ψ an anderen Punkten als den Knotenpunkten (wo ja die Werte gespeichert sind) werden Interpolationsvorschriften verwendet.

•  Die diskretisierten Erhaltungsgleichungen werden für jedes FV ausgewertet.

•  Zusammen mit geeigneten Randbedingungen entsteht ein algebraisches Gleichungssystem, welches numerisch gelöst wird.



Schwerpunkt dieser Vorlesung ist die notwendige zweifache Näherung: 1.  Quadratur: Der Wert der Integrale der Flüsse Ψ über die FV-

Oberflächen wird angenähert durch die diskreten Werte der Variablen an einem oder mehreren Punkten auf den Zellwänden.

2.  Interpolation: Die Werte von φ an den Zellwänden werden angenähert als Funktion der Werte von φ an den Zellknoten (FV Mitte).

Kompass Notation


P EE E W

S SW SE

NE N NW

nw ne

se sw

e w

n

s

Oberflächenintegrale


Mittelpunktsregel (2ter Ordnung):

•  Das Integral wird angenähert durch das Produkt des Integranden am Mittelpunkt der Zellfläche mit der Größe der Zellfläche

•  Der Fehler einer numerischen Vorschrift kann durch Taylorreihenentwicklung analysiert werden.

Fe = ΨdSSe

∫ =ΨeAe

Fe ≈ ΨeAe

ΨeAe

Ae = 1dSSe

∫

Ψ

x0-h/2 x0 x x0-h/2

:= Mittelwert Ψe =1Ae

ΨdSSe

∫

Tafelanschrieb:



Taylor-Analyse der Mittelpunktsregel

Ψ

x0-h/2 x0 x x0-h/2



•  Die Ordnung bestimmt die Rate der Gitterkonvergenz bei hinreichend glatter Lösung

log Fehler

Anzahl Gitterpunkte

1. Ordnung

2. Ordnung

geringe Auflösung hohe Auflösung große Gitterweite kleine Gitterweite

4. Ordnung



Trapezregel (2ter Ordnung): Simpson Regel (4ter Ordnung):

Ψ

x0-h/2 x0 x x0-h/2

Fe = ΨdSSe

∫ ≈ AeΨne +Ψ se

2

Fe = ΨdSSe

∫ ≈ AeΨne + 4Ψe +Ψ se

6

Volumenintegrale


•  Üblich ist Integration 2ter Ordnung

•  Diese Vorschrift ist exakt, wenn q konstant ist oder in V eine lineare Funktion vom Ort ist.

QP = qdVV∫ = qVP ≈ qPVP

Interpolation


•  Für die Auswertung der im Impulssatz auftretenden Integrale wird Ψ an den Zellwänden benötigt.

•  Diese werden durch räumliche INTERPOLATION bestimmt Ψe = f (ΨW ,ΨP ,ΨE ,ΨEE ,...)

Interpolation


Upwind Interpolation (Upwind Differencing Scheme - UDS):

Ψe =ΨP , falls (u ⋅ n)e > 0

ΨE , falls (u ⋅ n)e < 0

#$%

&%

P E W e

Interpolation


Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS):

Ψe =ΨEλe +ΨP (1−λe )

P E W e

λe =xe − xPxE − xP

Abbruchfehler – Numerische Diffusion


•  Der Fehler einer numerischen Vorschrift kann durch Taylorreihenentwicklung analysiert werden

•  Abbruchfehler des UDS Verfahrens

•  EUDS ist proportional zur Gitterweite (xe-xP) , d.h. es handelt sich um ein Verfahren 1. Ordnung.

Ψe =ΨP + (xe − xP )∂Ψ∂x

!

"#

$

%&P

+(xe − xP )

2

2∂2Ψ

∂x2!

"#

$

%&P

+ ...

EUDS ∝ (xe − xP )∂Ψ∂x

#

$%

&

'(P

(plus Terme höherer Ordnung)



•  Beispielbetrachtung des Abbruchfehlers für UDS anhand der Advektionsgleichung (Transportgleichung):

•  Wir nehmen oBdA an, dass U positiv ist.

•  Welchen Einfluss hat der Diskretisierungsfehler auf die ursprünglich zu lösende Differentialgleichung?

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

= 0



•  Die Euler- / Upwind-Diskretisierung für die Ableitungen lautet

•  Entwicklung von φ in eine zeitliche und eine räumliche Taylorreihe

ϕin+1 =ϕi

n +Δt ∂ϕ∂t

+Δt2

2∂2ϕ∂t2

+…

ϕi−1n =ϕi

n −Δx ∂ϕ∂x

+Δx2

2∂2ϕ∂x2

+…

n – Zeitpunkt

i – Gitterpunkt

∂ϕ∂t

≈ϕi

n+1 −ϕin

Δt∂ϕ∂x

≈ϕi

n −ϕi−1n

Δx



•  Entwicklung von φ in eine zeitliche und eine räumliche Taylorreihe

•  Mit der Upwind-Vorschrift für U>0 erhalten wir für die Ableitungen:

Fehler numerische Vorschrift was wir eigentlich berechnen wollten

n – Zeitpunkt

i – Gitterpunkt

∂ϕ∂t

=ϕi

n+1 −ϕin

Δt−Δt2∂2ϕ∂t2!

∂ϕ∂x

=ϕi

n −ϕi−1n

Δx+Δx2∂2ϕ∂x2!



•  Einsetzen in die Advektionsgleichung liefert

•  Die Vernachlässigung des Abbruchfehlers im Lösungsprozess liefert die diskretisierte Gleichung:

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

= 0 ⇒

ϕin+1 −ϕi

n

Δt+U ϕi

n −ϕi−1n

Δx−Δt2∂2ϕ∂t2

+U Δx2∂2ϕ∂x2

Abbruchfehler! "### $###

= 0

ϕin+1 −ϕi

n

Δt+U ϕi

n −ϕi−1n

Δx= 0



•  In Wirklichkeit berechnen wir die Lösung für die Modifizierte Differentialgleichung

•  Weitere Umformung ergibt:

•  Der Abbruchfehler der hier verwendeten numerischen Vorschrift hat den selben Charakter wie ein Diffusionsterm und wird daher auch “numerische Diffusion” genannt.

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

+Δt2∂2ϕ∂t2

−U Δx2∂2ϕ∂x2

= 0

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

+U 2Δt2

−UΔx2

$

%&

'

()∂2ϕ∂x2

= 0



•  Der Abbruchfehler kommt allein durch das numerische Diskretisierungsschema zustande und hat im allgemeinen nichts mit der Gleichung zu tun. Daher ist es wichtig, die Diskretisierung passend zur zu lösenden Differentialgleichung zu wählen.

•  Der Abbruchfehler des Upwind-Verfahrens hat die Form einer künstlichen Diffusion.

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

+U 2Δt2

−UΔx2

$

%&

'

()∂2ϕ∂x2

= 0

Abbruchfehler = numerische Diffusion

...−νN∂2ϕ∂x2



•  Für eine Diffusionsgleichung, die bereits einen Term 2. Ableitung im Raum besitzt, wird bei entsprechender Vorgehensweise ebenfalls zur Grundgleichung eine numerische Dissipation hinzukommen, die zu einer effektiven Verringerung der Reynoldszahl im numerischen Verfahren führt.

•  Die effektiv berechnete Lösung kann als die einer geringeren

Reynoldszahl entsprechende Strömung interpretiert werden.

...−ν ∂2u∂x2

−νN∂2u∂x2

Re = uLν

→ Reeffektiv =uL

ν +νN



•  Numerische Diffusionskoeffizient (Viskosität)des UDS Verfahrens

•  Ein numerisches Verfahren ist instabil, wenn die numerische Viskosität negativ ist.

-  Stabilitätskriterium für maximal erlaubten Zeitschritt Δt ≤ Δx / U -  Max. Genauigkeit bei max. Zeitschritt, Stabilität vorausgesetzt.

Courant-Friedrichs-Lewy Zahl

νN =UΔx2

−U 2Δt2

CFL = Δt UΔx

∂ϕ∂t

+U ∂ϕ∂x

+U 2Δt2

−UΔx2

$

%&

'

()∂2ϕ∂x2

= 0



Beispiel: Unterexpandierter Freistrahl mit CFX gerechnet

UDS 1ter Ordnung

„High Resolution“ Verfahren



Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS): •  Taylorreihenentwicklung

•  Einsetzen und Umsortieren ergibt

Ψe =ΨEλe +ΨP (1−λe ) λe =xe − xPxE − xP

ΨE =ΨP + (xE − xP )∂Ψ∂x

$

%&

'

()P

+(xE − xP )

2

2∂2Ψ

∂x2$

%&

'

()P

+ ...

Ψe =ΨP + (xe − xP )∂Ψ∂x

$

%&

'

()P

+(xe − xP )

2

2∂2Ψ

∂x2$

%&

'

()P

+ ...

Ψe =ΨEλe +ΨP (1−λe )−(xe − xP )(xE − xe )

2∂2Ψ

∂x2$

%&

'

()P

+ ...



Lineare Interpolation (Central Differencing Scheme - CDS): •  Abbruchfehler

•  ECDS ist näherungsweise proportional zum Quadrat der Gitterweite (xe-xP)(xE-xe) , d.h. es handelt sich um ein Verfahren 2. Ordnung.

Ψe =ΨEλe +ΨP (1−λe )−(xe − xP )(xE − xe )

2∂2Ψ

∂x2$

%&

'

()P

+ ...

ECDS ∝(xe − xP )(xE − xe )

2∂2Ψ

∂x2!

"#

$

%&P

Numerische Diffusion und Dispersion


UDS diffusiver Fehler

CDS dispersiver Fehler

Tafelanschrieb:



Gradienten an Zellflächen


•  Für die Auswertung der diffusiven Terme der zellgemittelten Erhaltungsgleichungen werden auch die Gradienten von φ an den Grenzen des FV benötigt. z.B. Reibung in Impulsgleichung:

•  Ansatz entsprechend zentraler Differenzen (CDS) da dies dem ungerichteten Charakter der Diffusion am besten entspricht.

∂∂t

ρu dVV∫ + ρuu

SV∫ ⋅ n dS = − p dS

SV∫ + τ ⋅ n

SV∫ dS + ρFV dVV∫

∂ϕ∂x"

#$

%

&'e

≈ϕE −ϕP

xE − xP



•  Aus der Taylor-Reihenentwicklung folgt: mit dem Abbruchfehler:

•  Für nicht gleichförmige Gitter ist das Verfahren von

1. Ordnung, der dominante Fehlerterm ist proportional zu Δx

•  Für gleichförmige Gitter wird die Fehlerordnung um eine Stufe erhöht, wir erhalten ein Verfahren 2. Ordnung!

∂Ψ∂x

#

$%

&

'(e

=ψE −ψP

xE − xP+E

E∝−xE − xe( )2 − xe − xP( )2

2 xE − xP( )∂2ψ∂x2!

"#

$

%&e

+xE − xe( )3 + xe − xP( )3

6 xE − xP( )∂3ψ∂x3!

"#

$

%&e

+…

~ Δx ~ Δx2



Was passiert bei der Verfeinerung eines nicht gleichförmigen Gitters?

1.  Abstände zwischen den Zellen in gleich große Abschnitte teilen:

•  Der erste Fehlerterm ist nur an den alten, aber nicht an den neuen Gitterpunkten vorhanden.

•  Der globale Abbruchfehler wird nur geringfügig weniger reduziert, als in einem Verfahren 2. Ordnung.

grob verfeinert




2.  Abstände zwischen den Zellen in Abschnitte mit gleicher Streckung teilen:

•  Die Streckung nimmt ab. •  Der erste Abbruchfehlerterm verringert sich schneller als der

zweite Abbruchfehlerterm, wir erhalten somit ein Verfahren 2. Ordnung.

grob verfeinert




•  Systematische Gitterverfeinerung auf nicht gleichförmigen Gittern kann die selbe Rate der Reduzierung des Abbruchfehlers ergeben wie die Verfeinerung auf gleichförmigen Gittern !

•  Gitter sollten möglichst glatt sein, bzw. gleichmäßige Streckung haben.

Anmerkungen zum Abbruchfehler


Schemata höherer Ordnung •  Versprechen genauere Lösungen bei gleichem Gitter •  Führen zu sehr großen Differenzensternen

•  Einfach für explizite Methoden auf strukturiertem Gitter •  Aufwändig/teuer für implizite Methoden und unstrukturierte

Gitter

P

Anmerkungen zum Abbruchfehler


•  Ein Verfahren mit hoher Fehlerordnung bedeutet nicht automatisch auch kleiner Fehler!

•  Die Angabe bezieht sich auf die Konvergenzrate bei Gitterverfeinerung:

log E

Anzahl Gitterpunkte

1. Ordnung Upwind

2. Ordnung Zentrale Differenz

geringe Auflösung hohe Auflösung große Gitterweite kleine Gitterweite

ANSYS-CFX


Interpolation in ANSYS-CFX

•  1st order Upwind Differencing Scheme (UDS1) •  2nd order Upwind Differencing Scheme (UDS2)

•  2nd order Central Differencing Scheme (CDS)

•  1st-2nd order blend factor (UDS1 <-> UDS2, 0 ≤ β ≤1)

•  „High-Resolution“ Scheme (automatische lokale Anpassung von β)

Instationäre Probleme



•  Bei instationären Problemen muss eine 4. Dimension diskretisiert werden -> ZEIT

•  Instationäre Probleme sind parabolisch in der Zeit (kein „Rückwärts-Einfluss“)

•  Instationäre Probleme sind Anfangsrandwertprobleme, also Anfangswertproblem (AWP) und Randwertproblem (RWP)

•  Für die Zeitdiskretisierung können analoge Techniken wie für die Ortsdiskretisierung verwendet werden



Der Einfachheit halber betrachten wir eine gewöhnliche Differentialgleichung

Aufgabe: •  Finden der Lösung φ zum Zeitpunkt tn+1 einen kurzen Moment Δt

nach tn =t0+nΔt (oBdA)

•  Um die Lösung bei tn zu berechnen wird iterativ die Lösung bei tn-1=tn-Δt als Startwert verwendet. Anfangswert bei t0 ist gegeben.

Lösung: •  Integration

und umstellen

dϕ(t)dt

= f (t,ϕ(t)) ; ϕ(t0 ) =ϕ 0

dϕdttn

tn+1

∫ dt =ϕ n+1 −ϕ n = f (t,ϕ(t)tn

tn+1

∫ )dt

ϕ n+1 =ϕ n + f (t,ϕ(t)tn

tn+1

∫ )dt

Zeitintegration


Numerische Lösung des Integrals

Euler vorwärts (explizit)

Euler rückwärts (implizit)

(1. Ordnung)

(1. Ordnung)

f

t0 t0+Δt t

f

t0 t0+Δt t

ϕ n+1 =ϕ n + f (tn,ϕn )Δt

ϕ n+1 =ϕ n + f (tn+1,ϕn+1)Δt

Zeitintegration


Mittelpunktsregel (implizit)

Trapezregel (implizit)

(2. Ordnung)

(2. Ordnung)

f

t0 t0+Δt t

f

t0 t0+Δt t

ϕ n+1 =ϕ n + f (tn+1 2,ϕn+1 2 )Δt

ϕ n+1 =ϕ n +f (tn,ϕ

n )+ f (tn+1,ϕn+1)

2Δt

Zeitintegration


•  Alle Verfahren geben gute Lösungen bei kleinen Δt

•  Ordnung des Verfahrens besagt, wie schnell der Abbruchfehler gegen null geht, wenn Δt klein genug ist

•  „klein genug“ ist vom Verfahren und dem Problem abhängig

•  Einen Anhaltspunkt liefert auch hier die Courant-Friedrichs-Lewy Zahl; für CFL < 0.5 sind Zeitintegrationsfehlter i.A. klein

•  Implizite Verfahren ermöglichen jedoch wesentlich größere Zeitschrittweiten Δt.

CFL = Δt UΔx

Eigenschaften expliziter Verfahren


•  Effizient, keine weitere Iteration erforderlich •  Einfach zu implementieren •  Geringer Speicherbedarf

•  Instabil bei größeren Zeitschritten •  Zeitschrittbegrenzung abschätzten mittels Stabilitätsanalyse

Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) , siehe auch GNSM Vorlesung

•  Zeitschritt muss der Strömung und der räumlichen Gitterweite angepasst werden!

Eigenschaften impliziter Verfahren


•  Implizite Methoden: Werte von φ zur Zeit t>t0 werden benötigt •  Integrale können nur iterativ gelöst werden •  Schwieriger zu programmieren •  Größerer Speicheraufwand

•  i.d.R. unbedingt stabil bei größeren Zeitschrittweiten als explizite Verfahren.

•  Der höhere numerische Aufwand pro Zeitschritt (Iterationen) wird oftmals durch die Möglichkeit größerer Zeitschritte ausgeglichen. Größere Zeitschritte führen aber auch zu hoher numerischer Diffusion.

•  Vorsicht bei LES.

Prädiktor-Korrektor-Methoden


•  Kombination aus expliziten und impliziten Verfahren •  Die Lösung zum neuen Zeitpunkt wird mit einem Eulerzeitschritt

vorhergesagt (Prädiktor):

•  Lösung wird korrigiert durch Anwendung des Prädiktors in der impliziten Trapezregel (Korrektor):

•  Limit: Fehlerordnung 2

•  Vielzahl an verschiedenen Varianten

ϕ n+1* =ϕ n + f (tn,ϕ

n )Δt

ϕ n+1 =ϕ n +12f (tn,ϕ

n )+ f (tn+1,ϕ n+1* )!" #$ Δt

Verfahren höherer Ordnung


•  Zum Erzielen einer höheren Genauigkeitsordnung sind weitere Stützstellen erforderlich

•  Diese können entweder Punkte sein, an denen die Lösung bereits zu früheren Zeitpunkten (tn-1, tn-2, tn-3 ,...) bestimmt wurde

•  Oder zusätzliche Punkte zwischen tn und tn+1 , welche nur für numerische Zwecke verwendet werden

•  Beliebige Genauigkeitsordnung ist erzielbar

Mehrschritt-Verfahren

Runge-Kutta-Verfahren

Mehrschrittverfahren


Interpolationspolynom durch f(t,φ) zu verschiedenen Zeitpunkten

Adams-Bashforth-Verfahren (explizit)

Adams-Moulton-Verfahren (implizit)

Oder z.B. AB als Prädiktor und AM als Korrektor Problem: Andere Methoden sind erforderlich, um die Simulation zu starten

ϕ n+1 =ϕ n +Δt12

23 f (tn,ϕn )−16 f (tn−1,ϕ

n−1)+ 5 f (tn−2,ϕn−2 )#$ %&

(3. Ordnung)

ϕ n+1 =ϕ n +Δt12

5 f (tn+1,ϕn+1)+8 f (tn,ϕ

n )− f (tn−1,ϕn−1)#$ %&

(3. Ordnung)

Runge-Kutta-Verfahren


Hilfspunkte zwischen tn und tn+1 werden verwendet Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung:

Prädiktorschritt für n+1/2 (Euler explizit) Korrektorschritt (Mittelpunktsregel) •  Leicht zu implementieren und selbststartend •  RK mit 3 bis 5 Schritten am beliebtesten •  Große Ähnlichkeit zu den Prädiktor-Korrektor-Methoden

ϕ * =ϕ n +Δt2f (tn,ϕ

n )

ϕ n+1 =ϕ n +Δt ⋅ f (tn+12

,ϕ *)

Lokaler vs. physikalischer Zeitschritt


•  Die maximal erlaubte Zeitschrittweite Δt ist physikalisch und numerisch limitiert.

•  Die Lösung darf sich physikalisch nicht schneller ausbreiten als dies durch den Einflussbereich der numerischen Diskretisierung abgebildet werden kann, sonst Instabilität bei expliziten Zeitschrittverfahren: -  Einflussbereich: h (≈ Gitterweite) -  Signalgeschwindigkeit: S = |u| + c (kompressibel)

S = |u| (inkompressibel) -  Max. Zeitschritt: Δt ≈ min( h / S )

•  Der erlaubte (physikalische) Zeitschritt wird oft durch die kleinste Zelle

bestimmt und kann daher sehr klein sein.

•  Konvergenz zu stationärer Lösung kann durch lokalen Zeitschritt enorm beschleunigt werden: Δt = Δt(x)



Lokaler Zeitschritt: Transiente ist unphysikalisch! Unzureichend konvergiertes Ergebnis kann komplett falsch sein!

Physikalischer Zeitschritt: Transiente ist physikalisch. Auskonvergiertes stationäres Ergebnis wird sehr langsam (oder nie) erreicht.



•  Auskonvergiertes stationäres Ergebnis ist identisch, wird aber mit lokalem Zeitschritt viel schneller erreicht.

•  Transiente ist bei lokalem Zeitschritt unphysikalisch, daher Vorsicht: Unzureichend konvergiertes Ergebnis ist ebenfalls unphysikalisch!

•  Lokaler Zeitschritt wird oft als Beschleuniger für sogenannte Duale Zeitschrittverfahren eingesetzt.

Lokaler Zeitschritt Globaler (physikalischer) Zeitschritt

Duales Zeitschrittverfahren


•  Zeitableitung wird aufgeteilt in -  einen impliziten Teil mit (großer) physikalischer

Zeitschrittweite Δt -  einen Pseudozeit-Anteil mit lokaler Zeitschrittweite Δτ

•  Diskretisierung mit Euler implizit für die physikalische Zeit und Euler explizit für die Pseudozeit:

Und Iteration bis Konvergenz zu stationärer Lösung in τ. Für die gesuchte Lösung gilt

∂ϕ∂t

= f (ϕ(t))⇔ limτ→∞

∂ϕ∂τ

= f (ϕ(τ ))− ∂ϕ∂t

%

&'

(

)*

limτ→∞

ϕ(τ +Δτ )−ϕ(τ )Δτ

= −ϕ(t +Δt)−ϕ(t)

Δt+ f (ϕ(τ ))

%

&'

(

)*

ϕ(t +Δt)→ϕ(τ +Δτ ) ≈ϕ(τ )f (ϕ(τ )) → f (ϕ(t +Δt))

Zeitdiskretisierung in ANSYS-CFX


•  Duales Zeitschrittverfahren

•  1st order Euler (implizit) •  2nd order Euler (implizit)

•  Lokale oder physikalische (globaler) Zeitschrittweite

•  Anwender kann (muss nicht) CFL Zahl vorgeben

è Es gibt (fast) immer ein Simulationsergebnis!

Beispiel

Beispiel


1-D Diffusions-Advektions-Gleichung

•  Euler implizit

•  Zentrale-Differenzen-Approximation + äquidistantes Gitter

•  Einsetzen liefert die diskretisierte Gleichung:

∂ϕ∂t

= −U ∂ϕ∂x

+Γ∂2ϕ∂x2

ϕ n+1 =ϕ n + f (tn+1,ϕn+1)Δt

∂ϕ∂x"

#$

%

&'i

=ϕi+1 −ϕi−1

2Δx∂2ϕ∂x2"

#$

%

&'i

=ϕi+1 − 2ϕi +ϕi−1

Δx2

ϕin+1 =ϕi

n +Δt −U ϕi+1n+1 −ϕi−1

n+1

2Δx+Γ

ϕi+1n+1 − 2ϕi

n+1 +ϕi−1n+1

Δx2$

%&

'

()

Beispiel


•  Diskretisierte Gleichung

•  Umsortieren nach Index i

•  Lösung ist implizit gegeben durch

ϕi−1n+1 −

ΔtU2Δx

−ΔtΓΔx2

$

%&

'

()+ϕi

n+1 1+ 2ΔtΓΔx2

#

$%

&

'(+ϕi+1

n+1 ΔtU2Δx

−ΔtΓΔx2

$

%&

'

()=ϕi

n

ϕ n+1

ϕin+1 =ϕi

n +Δt −U ϕi+1n+1 −ϕi−1

n+1

2Δx+Γ

ϕi+1n+1 − 2ϕi

n+1 +ϕi−1n+1

Δx2$

%&

'

()

Beispiel


•  Aufsummieren der konvektiven und diffusiven Flüsse liefert ein algebraisches Gleichungssystem:

-  Für jede Transportgleichung folgt in jedem Gitterpunkt eine algebraische Gleichung

-  Index P – Punkt an dem die DGL approximiert wurde

-  Index i – läuft über alle Knoten die in die Formulierung eingebunden sind

-  Koeffizienten Ai – abhängig von der Geometrie und den Fluideigenschaften

-  Koeffizient QP – enthält alle bekannten Terme

Matrix Struktur für 5 x 5 Netz

APϕPn+1 + Aiϕi

n+1

i∑ =QP

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