Andrea Giacobbe Università degli studi di Padova Progetto Nazionale Lauree Scientifiche Liceo Scientifico Corradini, A.A. 2009–2010
Andrea Giacobbe
Università degli studi di Padova
Progetto Nazionale Lauree Scientifiche
Liceo Scientifico Corradini, A.A. 2009–2010
Le tassellazioni periodiche,
il gruppo dei mosaici
e le tassellazioni
semi–regolari
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0. Introduzione
La "regolarità", in un oggetto, è quantomeno bella, forse è pure funzionale.
Sicuramente, la nostra mente analizza il mondo che la circonda, e cerca regole per poi dedurre conseguenze.
Forse per questo motivo, da sempre ci circondiamo di oggetti artistici regolari...
Inoltre, le strutture regolari soddisfano tipicamente a problemi di "minimizzazione/massimizzazione" (quadrati tra i rettangoli, molecole in un cristallo, arance in una cassetta,strade in una città)
Ad uno scienziato il compito di definire il concetto di regolarità e di dimostrare che alcune varianti di regolarità minimizzano o massimizzano alcune proprietà interessanti
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I più semplici ornamenti, sono quelli con poligoni regolari. Il più semplice è il pavimento di casa
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Ma ci sono altre organizzazioni semplici e funzionali (almeno per le api)
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Anche solo con i poligoni regolari, si possono fare delle belle opere d'arte (pavimenti nei palazzi o mosaici e vetrate nelle chiese)
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Intendiamo occuparci del lato scientifico delle decorazioni più regolari. Per far questo dovremo
1. definire gli oggetti che intendiamo trattare: le tassellazioni periodiche, e (quasi) per negazione, quelle a–periodiche
2. imparare a conoscere le strutture che rendono le tassellazioni periodiche così interessanti: le isometrie
3. classificare i vari casi possibili di simmetria: i gruppi di Leonardo, quelli dei fregi e quelli dei mosaici
4. applicare quanto imparato alla classe più semplice —non banale— di tassellazioni periodiche: le tassellazioni semi–regolari
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1. Tassellazioni periodiche
Definizione: una tassellazione del piano è un insieme di figure (le piastrelle), tipicamente finito 8A1, A2, ..., An< ed un modo di posarle sul piano R2 così da ricoprirlo.
Definizione: una tassellazione del piano si dice periodica, se esistono due traslazioni indipendenti v, w ed una porzione finita U della tassellazione, tale che tutto il disegno siottiene copiando U ed i suoi traslati con tutte le traslazioni generate da u, v, ovvero tutti i disegni del tipo U + m v + n w con m, n Î Z
Il fatto che basti una porzione di una tassellazione per determinare la figura è utile. Ma gli oggetti ottenuti in questo modo, tipicamente generano figure geometriche che hanno
molte più simmetrie, non solo le traslazioni... proprio queste simmetrie extra le rendono più belle.
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Prendiamo in considerazione l'esempio più semplice: quello del pavimento di casa
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2. Le isometrie del piano
Insomma, bisogna quindi prendere confidenza con le isometrie
Definizione: una isometria è una trasformazione del piano R2 in sè che mantiene le distanze
Una isometria è una mappa del piano j : R2 ® R
2 che manda un punto p nel punto jHpL = A p + v dove
A è un elemento del gruppo ortogonale OH2L v è un vettore, ovvero un elemento di R2
Per questo motivo le isometrie vengono anche chiamate roto-traslazioni
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Il gruppo ortogonale contiene due tipi di trasformazioni ben distinte: le rotazioni e le riflessioni.
Le rotazioni sono rappresentate da matrici del tipo Cos@ΘD -Sin@ΘDSin@ΘD Cos@ΘD , che
hanno determinante 1, e che consistono in rotazioni di angolo Θ attorno all'origine.
Le riflessioni sono rappresentate da matrici del tipo Cos@ΘD Sin@ΘDSin@ΘD -Cos@ΘD , che
hanno determinante -1, e che
rappresentano una riflessione con asse che forma un angolo di Θ
2 con l'asse delle x
Fin qui, ci siamo limitati alle trasformazioni ortogonali, che in particolare lasciano sempre un punto speciale fermo.
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Passiamo a descrivere una isometria generica
Teorema: ogni elemento j del gruppo delle isometrie del piano è
una traslazione,
una rotazione di angolo Θ e centro un punto del piano,
una riflessione,
una glissoriflessione, ovvero una riflessione seguita da una traslazione parallela all'asse
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La cosa migliore per capire, è sperimentare con questi oggetti. Le traslazioni sono le più semplici da comprendere
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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Le rotazioni, all'apparenza, sembrano più complicate
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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Per i nostri scopi, alcune traslazioni sono più interessanti di altre: quelle di angolo non commensurabile con þ
n
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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Contro quelle di angolo commensurabile con þ, del tipo p
qΠ
n
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
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Le rotazioni del tipo Π
q con un q piccolo, verranno rappresentate da un simbolo posto nel centro di rotazione:
cerchio nel caso di rotazioni di 2 Π
2
triangolo nel caso di rotazioni di 2 Π
3
quadrato nel caso di rotazioni di 2 Π
4
etc, etc, etc ....
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3. I gruppi di Leonardo, i gruppi dei Fregi ed i gruppi dei Mosaici
Ora che abbiamo fatto conoscenza con le isometrie, torniamo alle tassellazioni periodiche
Abbiamo detto che le tassellazioni periodiche, si ottengono da una cella iniziale per mezzo di due traslazioni indipendenti.
Abbiamo anche detto —ed osservato— che alcune tassellazioni periodiche hanno altre simmetrie oltre alle traslazioni
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Definizione: una simmetria per una tassellazione è una isometria j che manda la tassellazione in sè
Proprietà importante: la famiglia delle simmetrie che lasciano una tassellazione invariante si chiama gruppo (perché se due isometrie j, Ψ hanno quella proprietà, allora anche le
inverse j-1, Ψ-1 e la composizione di j con Ψ ha tale proprietà)
Questa proprietà, impone vincoli fortissimi alle possibili famiglie di isometrie
Ovviamente, una rotazione di angolo non commensurabile a 2 Π, non potrà mai fare parte di un gruppo di simmetrie di una tassellazione
Perché le "ruotate" riempiono in modo fitto i cerchi concentrici, e nessun disegno può subire questo trattamento senza "sovrapporsi"
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Quali sono i gruppi di isometrie che non causano questa "sovrapposizione". Si chiamano gruppi ornamentali
Definizione: un gruppo di isometrie si dice agire in modo discontinuo se ..... Tali gruppi di isometrie si chiamano gruppi ornamentali
Teorema: ci sono tre grandi classi di gruppi ornamentali:
quelli che non contengono nessuna traslazione, e si chiamano gruppi di Leonardo
quelli per cui tutte le traslazioni sono multipli interi di una traslazione data v, e si chiamano gruppi dei fregi
quelli per cui tutte le traslazioni sono combinazioni intere di due traslazioni v, w, e si chiamano gruppi dei mosaici
Non ci sono altre possibilità, perché due vettori allineati ma di lunghezze incommensurabili, e tre vettori non dipendenti su Z possono portare ovunque si voglia almeno in una retta.
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� Gruppi di Leonardo
I gruppi di Leonardo non possono contenere glisso–riflessioni, perché se j è glisso–riflessione allora j ë j è una traslazione
Non possono contenere traslazioni
Se non contengono riflessioni, allora contengono una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p
q2 Π
E si dimostra che non possono contenere altro che rotazioni di angolo n
q2 Π con n Î 80, 1 ..., q - 1< (oppure, che è lo stesso, 81, ..., q<).
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Se invece contengono almeno una riflessione allora possono contenere anche una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p
q2 Π e deve avere centro nell'asse della
riflessione
E si dimostra che contenengono le rotazioni con quel centro ed angoli n
q2 Π e q riflessioni i cui assi sono distanziati tra di loro di angolo 1
qΠ. Abbiamo un gruppo detto diedrale
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Ci sono molti esempi di gruppi ciclici e diedrali legati all'arte (Palacio de Velazquez, Madrid - Duomo Pisa - Basilica di San Marco)
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... Alla chimica ed alla cristallografia ...
Passiamo ora ai Fregi, che sono rappresentazioni periodiche in una direzione.
Sono ornamenti "lineari", che trovate osservando cornicini, marcipiedi, pareti dei bagni
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� Gruppi dei fregi
Teorema: esistono 7 possibili gruppi dei fregi F1, il gruppo che contiene solo una traslazione v (ed i suoi multipli)
F11, che contiene F1 ed inoltre contiene
una riflessione di asse parallelo a v
F12, che contiene F1 ed inoltre contiene
le riflessioni ortogonali a v, spaziate di v
2
F13, che contiene F1 ma che inoltre contiene
una glissoriflessione di traslazione v
2
F2, che contiene F1 ed inoltre contiene
mezzi giri, spaziati di v
2
F21, che contiene F1 ed inoltre contiene
mezzi giri, spaziati di v
2 e
la riflessione parallela a v e passante per i mezzi giri)
F22, che contiene F1 ed inoltre contiene
mezzi giri, spaziati di v
2 e
riflessioni ortogonali a v spaziate di v
2 (mezzi giri e riflessioni sono intervallati)
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� Gruppi dei mosaici
La teoria sui gruppi dei mosaici è molto laboriosa. Ce ne sono 17
Un gruppo dei mosaici può non contenere rotazioni, ma se ne contiene allora queste sono di angolo
Π, detti 2–centri
2
3Π, detti 3–centri
1
2Π, detti 4–centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 2–centri)
1
3Π, detti 6–centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 3 e 2–centri)
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I gruppi dei mosaici che non ci interessano sono quelli che non contengono rotazioni. Ce ne sono 4: M1, M11, M1
2, M13
Quelli che contengono solo 2-centri, ovvero che contengono rotazioni di angolo Π ma non rotazioni di angolo 1
2Π. Ce ne sono 5: M2, M2
1, M22, M2
3, M24
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Quelli che contengono solo 3 centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 2
3Π ma non rotazioni di angolo 1
3Π. Ce ne sono 3: M3, M3
1, M32
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Quelli che contengono 4-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 1
2Π. Ce ne sono 3: M4, M4
1, M42
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Quelli che contengono 6-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 1
3Π. Ce ne sono 2: M6, M6
1
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Vediamo che gruppo dei mosaici si applica ai nostri pavimenti ed agli alveari
Out[40]=
Esite una "leggenda", che nella reggia di Alambra (Granada–Spagna), ci sia, per ogni gruppo dei mosaici, un mosaico con quel gruppo come gruppo di simmetria massimale
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4. Le tassellazioni semi–regolari
In questo capitolo, ci occupiamo delle tassellazioni dette semi–regolari. Definiamo il problema
REGOLE : le tassellazioni che vogliamo investigare sono tali che
regola del produttore: le tessere sono poligoni regolari di lato 1
regola del posatore: le tessere posate non si sovrappongono ed i loro spigoli, quando si toccano, sono coincidenti (edge–to–edge)
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Ciò che vogliamo ottenere è
Definizione: una tassellazione è una famiglia T di poligoni regolari PΑ immersi nel piano tali da
rispettare le regole dettate sopra
ricoprire il piano, ovvero tali che R2 = ÜΑ PΑ
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Un poligono regolare di lato fissato (diciamo unitario) è caratterizzato dal numero dei lati
Una volta deciso il numero dei lati, i poligoni regolari di lato 1 hanno
angoli ai vertici n-2
nΠ
Infatti Π -2 Π
n=
n-2
nΠ, e quindi gli angoli dei triangoli isosceli in figura sono n-2
2 nΠ, e sono la metà degli angoli al vertice del poligono
2 Π
n n - 2
n
Π
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apotema che indichiamo con la lettera a. Vale la formula
a@nD =1
2CotA Π
nE
(infatti a@nD TanA Π
nE =
1
2)
(circum)raggio, che indichiamo con la lettera r. Vale la formula
r@nD =1
2CscA Π
nE
(infatti r@nD = I 1
2M2
+ I 1
2M2
CotA Π
nE2
=1
21 +
CosB Π
nF2
SinB Π
nF2
=1
2CscA Π
nE
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Per prima cosa, dobbiamo capire come mettere i poligoni localmente.
Infatti i vertici dei poligoni devono combaciare, e quindi la somma degli angoli al vertice dei poligoni che concorrono ad un vertice deve fare 2Π.
Quindi, bisogna e basta che poligoni abbiano lati 8n1, ..., nr< tali che valga la regola
(TL)n1-2
n1+ ... +
nr-2
nr= 2
Una tassellazione locale viene indicata con una lista 8n1, ..., nr< dei vertici
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Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,4,5}
un pentagono (n = 5, angolo al vertice 3
5Π),
un quadrato (n = 4, angolo al vertice 2
4Π), ed
un triangolo (n = 3, angolo al vertice 1
3Π)
Allora 3
5Π +
1
2Π +
1
3Π =
18+15+10
30Π =
43
30Π ¹ 2 Π... non c'è modo di usarli per una tassellazione locale
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Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,12,12}
due dodecagoni (n = 12, angolo al vertice 10
12Π),
un triangolo (n = 3, angolo al vertice 1
3Π)
Allora 10
12Π +
10
12Π +
1
3Π =
10+10+4
12Π =
24
12Π = 2 Π.
Quindi questi poligoni si possono usare per una tassellazione locale
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Purtroppo le variabili n1, n2, n3, ... devono essere intere
Questo tipo di equazioni si dicono Diofantee, e sono difficili da risolvere
Definizione: Una tassellazione locale è T = P1 Ü ... Ü Pn
immersi in accordo con le regole, aventi tutti un vertice nell' origine O tali che la loro unione copre un intorno di O ed i loro interni siano disgiunti
Per avere una bijezione tra i disegni e le liste dei vertici, si usa la convenzione di scegliere la lista in cui n1 è il più piccolo tra gli ni, ed n2 è la più piccola scelta che segue n1 e cosìvia.
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Teorema: ci sono 21 tassellazioni locali
83,3,3,3,3,3< 84,4,4,4< 86,6,6<
83,3,4,3,4< 84,8,8< 83,6,3,6< 83,4,6,4< 83,3,3,3,6< 83,3,3,4,4<
83,3,4,12< 83,4,3,12<83,3,6,6<
83,4,4,6<83,12,12< 84,6,12<
83,7,42< 83,8,24< 83,9,18< 83,10,15< 84,5,20< 85,5,10<
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Osservazione. L'ordine è importante, infatti 83, 4, 4, 6< e 83, 4, 6, 4< sono tassellazioni locali diverse.
Aggiungiamo un'ultima regola
regola del posatore 2 (sui vertici): in ogni vertice si deve avere la stessa tassellazione locale
Definizione: una tassellazione T si dice semi—regolare se è ottenuta usando unicamente una data tassellazione locale T. Tra le tassellazioni semi—regolari vi sono ne sonoquelle che usano un solo tipo di poligono, che si dicono regolar
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Si vede subito che alcune tassellazioni locali non possono generare una tassellazione semi–regolare. Le prime 4 si scartano immediatamente, perché nel solo lato libero del trian-golo ci dovrebbero essere entrambe i poligoni
Nel caso di {5,5,10}, provate a mettere un decagono in ciascuno dei vertici liberi in cui si incontrano 2 poligoni. Idem per {4,5,20}
-1 1 2
-1
1
2
3
-1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
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Proposizione: le 11 tassellazioni locali sotto disegnate sono le uniche che possono comporre una tassellazione semi-regolare. Le altre tassellazioni locali vanno scartate
83,3,3,3,3,3< 84,4,4,4< 86,6,6<
83,3,3,4,4< 83,3,4,3,4< 83,6,3,6< 83,3,3,3,6<
83,12,12< 84,6,12< 84,8,8< 83,4,6,4<
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Teorema: ciascuna delle 11 tassellazioni locali che non potevamo scartare generano tassellazioni regolari
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Possiamo essere più espliciti sulla relazione tra tassellazioni locali e gruppi dei mosaici. Una lista di tassellazioni locali e del più grande gruppo di simmetria per la tassellazione adesse associata è:
il più grande gruppo di simmetria per {3, 12, 12}, {4, 6, 12}, {3,4,6,4}, {3,3,6,6} e {3,6,3,6} è M61
il più grande gruppo di simmetria per {4,8,4,8} è M41
il più grande gruppo di simmetria per {3,3,4,3,4} è M42
il più grande gruppo di simmetria per {3,3,3,4,4} è M22
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Epilogo. Le tassellazioni demi–regolari
Senza la regola ad ogni vertice ci deve essere la stessa tassellazione locale, si ottengono le tassellazioni demi—regolari.
Si vede facilmente, da alcuni di questi disegni, come creare tassellazioni a–periodiche. Per questo una tassellazione si dice a–periodica se è fatta di tasselli che generano unatassellazione a–periodica ma che non ne generano una periodica
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