-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 23
ante el movimiento de la cua, se debe encontrar la direccin del
movimiento del bloque. La direccin del movimiento se obtiene a
travs de operaciones vectoriales que representan la cinemtica del
bloque, considerando los planos y las intersecciones respecto al
eje gravitacional (vertical). La explicacin del vector del
movimiento se encuentra ms adelante en el captulo de Diseo de
Anclajes. Respecto a la direccin del movimiento los tipos de falla
de la barra o cable de anclaje pueden ser [5]: Desprendimiento o
Pullout, falla por traccin, falla de cabezal o Stripping y falla
por corte. La Figura 1-8, presenta los tipos de fallas de la barra
o cable de anclaje respecto a la direccin del movimiento.
Figura 1-8. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje
segn la cua de roca
En la Figura 1-8 se observa la incidencia del bloque inestable
en la falla del elemento de anclaje. Segn la ubicacin del anclaje
respecto al movimiento de la cua, se puede presentar uno o ms
mecanismos de falla en la barra o cable de anclaje. La Figura 1-9,
identifica dos planos que delimitan el bloque inestable, uno sobre
el cual se realiza el movimiento (plano deslizante) y otro en el
cual se genera la separacin (plano de traccin).
R
Seccin de Excavacin
Falla por Corte
Falla por Traccin
Desprendimiento
Falla de Cabezal
Bloque Movilizado
Bloque Inicial
-
24 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Figura 1-9. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje
segn su ubicacin.
Fuente: Adaptado de Windsor, 1996 [6].
En la Figura 1-9 se observan seis mecanismos de falla posibles
para una posible direccin de movimiento del bloque inestable. En
los casos (a), (b) y (c) el anclaje se ubica sobre el plano de
traccin, y se presenta un anclaje sometido principalmente a
esfuerzos de traccin, donde adicionalmente para los casos (a) y (c)
se esperara un componente de corte. En los casos (d), (e) y (f) el
anclaje atraviesa el plano de corte, lo que representa un anclaje
sometido principalmente a esfuerzos de corte, donde adicionalmente
en el plano (d) se espera un componente de traccin y en el plano
(f) un componente de compresin.
La forma en que se evala la resistencia del anclaje ante uno u
otro mecanismo de falla, se hace mediante la utilizacin de factores
de eficiencia. En el caso de cables la resistencia al corte y a la
compresin es muy baja, lo cual le atribuye un coeficiente de
eficiencia cercano a cero cuando el anclaje se ubica en los
sectores sealados para los casos (d), (e) y (f), y cercano a uno en
los casos restantes donde acta principalmente la resistencia a la
traccin. Para el caso donde se considera una barra compuesta por
fibra de vidrio, es similar a lo comentado para los cables, a
diferencia que la fibra de vidrio presentara una resistencia mayor
ante la compresin en el caso (f). La barra metlica de acero
presenta mayor eficiencia al corte respecto a los cables y barra de
fibra de vidrio, lo cual le representa un mayor coeficiente de
eficiencia en los casos (d), (e) y (f). El coeficiente de
eficiencia se debe adoptar en funcin de la
Discontinuidad de traccin
Discontinuidad de corte
Direccin del vector de
movimiento
a: Traccin + Corte b: Traccin pura c: Traccin + Corte d: Corte +
Traccin e: Corte puro f: Corte + Compresin
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 25
inclinacin del anclaje respecto a la direccin del movimiento,
donde se destaca que la mayor resistencia al corte respecto a un
plano de falla se logra con pernos inclinados entre 15 y 30 grados
[1], o a un ngulo igual a la resistencia friccional de la
discontinuidad en la direccin del movimiento [5]. Otro factor que
se debe revisar para determinar la eficiencia del perno adems de su
inclinacin respecto al movimiento, es la ubicacin del anclaje
respecto al centroide de la cua inestable, donde es usual que se
desprecie la incidencia de momentos.
La resistencia a la traccin ha sido ampliamente investigada por
diversos autores, entre los que se encuentran algunos ensayos
desarrollados por Stillborg (1994) en Lule University en Suecia
[3]. La Figura 1-10, presenta los resultados obtenidos por
Stillborg en distintos tipos de anclajes ante esfuerzos de traccin.
En la Figura 1-10 la fuerza de traccin en toneladas se ubica en la
ordenada y la deformacin en milmetros medida en el cabezal de la
barra de anclaje se encuentra en la abscisa.
Figura 1-10. Resultados obtenidos por Stillborg para diversos
anclajes.
Fuente: Adaptado de Hoek [1].
En la Figura 1-10, se observa una mayor resistencia en el
anclaje conformado por la fibra de vidrio, pero con una mayor
deformacin. Esto sucede porque los elementos de fibra de vidrio
presentan una mayor resistencia a la traccin, pero con menor mdulo
de
Anclaje mediante resina y fibra de vidrio 22 mm
Anclaje mediante lechada y barra de acero 20 mm
Anclaje mediante resina y barra de acero 20 mm
Anclaje tipo Swellex
Anclaje mecnico 17,3 mm
a 150 mm
a 150 mm
Anclaje tipo Split Set SS39
Deformacin (mm)
Carg
a (to
nel
adas
)
-
26 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
deformacin respecto al elemento de acero. Se observa una
resistencia similar en el sistema de anclaje mediante lechada
respecto al sistema mediante resina, logrando una mayor deformacin
creep el sistema compuesto por lechada. En la figura tambin se
identifica el anclaje de expansin mecnica como el de menor
resistencia a bajas deformaciones. El anclaje tipo Swellex se
observa con mayor resistencia respecto al anclaje de tipo Split
Set. En el diseo de sostenimiento mediante anclajes no slo importa
la resistencia de rotura o fluencia, tambin importa la deformacin
requerida para conseguir la carga de diseo. Al comparar los
resultados obtenidos con fibra de vidrio y el elemento metlico, se
observa que para una carga de 10 t el elemento metlico se deform un
poco menos que un milmetro mientras la fibra de vidrio se deform un
poco ms de cinco milmetros, lo que corresponde a una deformacin
aproximadamente cinco veces mayor de la fibra de vidrio respecto a
la barra metlica. Bajas deformaciones en rocas rgidas pueden
generar la plastificacin de la roca, donde la consideracin de un
sistema de anclajes altamente deformable puede que no evite un
mecanismo de falla diferente a las cuas de roca. La fibra de vidrio
presenta gran utilidad en el sostenimiento del frente de excavacin,
donde se requiere de un material temporal de baja resistencia al
corte para poder continuar con el avance de la excavacin. Por lo
anterior, para evitar una deformacin inadecuada del macizo rocoso
un sistema de anclaje como lo es cuando se considera fibra de
vidrio, debe ser activo para lograr la carga especificada en el
diseo.
Las deformaciones de los sistemas tambin pueden surgir como
consecuencia de la deformacin de la placa, arandela y tuerca, que
conforman el cabezal del sistema de anclaje. La Figura 1-11,
presenta de forma general la curva esfuerzo deformacin que toman
los sistemas de anclaje ante la aplicacin de cargas de traccin
realizados por Stillborg.
De acuerdo a la Figura 1-11 y segn lo establecido por Stillborg,
el pre-tensionamiento del sistema de anclaje requerido para evitar
deformaciones excesivas se debe realizar hasta el punto P. El
pre-tensionamiento se ve casi que obligatorio para los sistemas de
anclaje mecnico, segn se observa en la figura Figura 1-10. En la
prctica, para la verificacin de la capacidad de carga de los
sistemas de anclaje se deben realizar ensayos in-situ de pull-Out o
desprendimiento. Usualmente durante construccin se ensayan 5
anclajes por cada 50 instalados, 8 horas despus de la instalacin
para los anclajes pasivos, y una hora luego de su instalacin para
anclajes activos. La carga lograda durante el ensayo corresponde al
90% de la carga especificada en el diseo.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 27
Figura 1-11. Curva general de fuerza deformacin, obtenida por
Stillborg para anclajes mecnicos.
Fuente: Adaptado de Stillborg (1994) [4].
Se debe mencionar que los sistemas de anclaje mediante cables
logran mayores longitudes, aunque en la actualidad son varios los
fabricantes que presentan grandes longitudes mediante traslapos de
barras metlicas eficientes. La longitud mnima de los anclajes en
tneles segn el Cuerpo de Ingenieros de los Estados Unidos es de 2
m. Respecto al anlisis de cuas, al considerar una distribucin de
anclajes se deben obtener las longitudes que atraviesan la cua
inestable y las longitudes que atraviesan las cuas, para poder
definir de forma acertada el sostenimiento inducido por un patrn o
sistema de sostenimiento. Por otra parte, cuando el anclaje no
atraviesa el centroide de la cua inestable, se debe considerar la
incidencia de los momentos, los cuales podran reducir el factor de
seguridad. El diseo del perno adems de su longitud y resistencia,
debe considerar su localizacin y direccin, analizando el escenario
del movimiento posible de la cua dadas unas cargas externas.
1.3.3 Falla del contacto roca lechada La falla en el contacto
roca lechada sucede cuando se vence la resistencia friccional en la
pared de la perforacin, donde se presenta el contacto entre el
material de relleno y la roca. La Figura 1-12, identifica la zona
donde acta la resistencia friccional en el contacto roca-lechada
durante un proceso de pre-tensionamiento.
Deformacin (mm)
Carg
a (kN
) P
-
28 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Figura 1-12. Esquema de resistencia friccional en el contacto
roca lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.
El pre-tensionamiento del anclaje se realiza mediante la
aplicacin de la carga F, generando la resistencia cortante T. La
carga F acta como una accin y la carga T como una reaccin.
La resistencia T en el contacto de la lechada con la pared de la
perforacin se debe al confinamiento que ejerce el relleno y a la
adherencia del material de relleno con la roca. Debido a que la
resistencia friccional se desarrolla en el permetro de la
perforacin, la magnitud de la fuerza de friccin resistente depende
del dimetro de la perforacin y de la longitud de empotramiento.
El esfuerzo de friccin en el contacto lechada roca se encuentra
en funcin de la capacidad de la roca perforada para resistir la
transferencia de esfuerzos, lo que corresponde a una propiedad
intrnseca del macizo. El esfuerzo de friccin en el contacto roca
lechada en macizos rocosos ms fracturados o de baja calidad
geotcnica presentan un menor valor respecto a macizos menos
fracturados y de mejores propiedades mecnicas. En macizos rocosos
fracturados la re-inyeccin de lechada es una tcnica usada para
incrementar el confinamiento del material de relleno.
En el caso particular de cuas de roca, la longitud del
empotramiento se encuentra en funcin de la superficie de falla o
discontinuidad que atraviesa el sistema de anclaje. La Figura 1-13,
presenta la resistencia friccional en el contacto roca lechada
cuando se presenta un mecanismo de falla en cua.
La Figura 1-13, presenta claramente la incidencia de la geometra
de la cua de roca en la resistencia del sistema de anclaje, donde
se aprecia la importancia de la longitud del anclaje. Por lo
general, en taludes los anclajes se disean para que la resistencia
friccional en el contacto roca lechada sea mayor a la resistencia a
la traccin de la barra, lo que en tneles representa sistemas
ineficientes de gran longitud. Esto se analiza en mayor profundidad
ms adelante en el captulo de Diseo de Anclajes.
Lechada
T
Barra
F
Longitud de empotramiento
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 29
Figura 1-13. Esquema de resistencia friccional en el contacto
roca lechada durante el mecanismo de falla en cua.
1.3.4 Falla del contacto barra lechada Al igual que en el
contacto roca lechada, en el contacto barra lechada se presenta una
resistencia friccional que impide que el anclaje se desprenda del
relleno. La Figura 1-14, presenta el esquema de la resistencia
friccional en el contacto barra lechada durante el proceso de
pre-tensionamiento.
Figura 1-14. Esquema de resistencia friccional en el contacto
barra lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.
El esfuerzo de resistencia en el contacto barra lechada es
denominado por varios autores como el esfuerzo de adherencia A.
Para aumentar el esfuerzo de adherencia del sistema de anclaje se
deben usar barras corrugadas que aumenten la friccin en el contacto
con la lechada.
Investigaciones realizadas sobre esfuerzos de adherencia de los
sistemas de anclaje han demostrado que el valor obtenido supera la
resistencia friccional en el contacto lechada roca [2].
Considerando que el sistema de anclaje se disea para que falle la
barra o cable antes que el contacto roca lechada, se asume que la
falla en el contacto barra lechada no sucede cuando se realiza un
correcto diseo del sistema.
Lechada
T
Barra
F
Longitud de empotramiento
Cua de roca
Lechada
A
Barra
F
Longitud de adherencia
-
30 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
2 Bloques de Roca Inestables
En el captulo anterior se presenta la importancia del bloque
inestable en la definicin de la resistencia del sistema de anclaje.
En este captulo se presenta la metodologa utilizada para definir la
ubicacin, la forma, el volumen, las reas, los permetros y los
vectores unitarios internos y externos del bloque de roca
inestable, siendo lo fundamental debido a la incidencia que tienen
en el diseo de un sistema de anclajes ante el mecanismo de falla en
cua. La ubicacin y la forma del bloque inestable permiten calcular
la longitud y la direccin del sistema de anclaje que lo atraviesa.
El tamao del bloque representado por su volumen, los permetros y
las reas, permiten estimar las acciones y reacciones del posible
movimiento. La ubicacin y los vectores unitarios internos o
externos a las reas del bloque, definen la direccin del posible
movimiento.
Los bloques de roca se componen de material rocoso delimitados
por discontinuidades, y son inestables cuando presentan una
posibilidad cinemtica de ingresar a la seccin de excavacin de la
obra subterrnea. Las discontinuidades definen el contacto entre el
bloque de roca y la roca circundante, siendo la superficie de falla
del mecanismo en cua.
Para determinar el bloque de roca potencialmente inestable se
utilizan las expresiones matemticas que definen las orientaciones
de las discontinuidades y de las intersecciones entre
discontinuidades. La teora considerada para obtener la geometra del
bloque de roca se basa en las expresiones matemticas que definen la
orientacin de las lneas de interseccin entre las discontinuidades,
y para obtener las expresiones matemticas de la lnea de interseccin
se utilizan los vectores normales a los planos de discontinuidad.
La Figura 2-1, presenta el vector de interseccin conformado entre
dos planos de discontinuidad.
Figura 2-1. Vector de interseccin entre dos planos de
discontinuidad.
Plano de discontinuidad 1
Plano de discontinuidad 2 Vector de Interseccin
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 31
Como se observa en la Figura 2-1, la lnea de interseccin se
puede entender como un vector unitario, donde se requiere conocer
su sentido y direccin. Matemticamente los planos de discontinuidad
y las lneas de interseccin se definen mediante vectores unitarios,
siendo en el caso de un plano de discontinuidad el vector normal.
El sentido de los vectores se considera hacia el hemisferio
inferior y la orientacin se define mediante los cosenos directores
unitarios.
La
Figura 2-2, presenta como se define una lnea recta al proyectar
el vector de interseccin e un plano, y al establecer un punto de
origen o de referencia, por donde pasa la recta.
Figura 2-2. Proyeccin de un vector en un plano, al definir un
punto de origen o de referencia.
En este captulo se demostrar como el anlisis de las
intersecciones proyectadas permitirn identificar los bloques de
roca inestables, de volumen mximo, al proyectar los vectores de
interseccin en un plano perpendicular al eje de un tnel.
Inicialmente se definen las expresiones matemticas de los vectores
que definen los planos de discontinuidad y lneas de interseccin,
seguido de la descripcin de la metodologa propuesta para la
obtencin de las caractersticas fundamentales de los bloques de roca
inestables. Finalmente se realiza una comparacin con los resultados
obtenidos en un programa de cmputo desarrollado por Rocscience
.
2.1 Vectores unitarios de las discontinuidades y lneas de
interseccin
Los elementos que permiten orientar los planos de discontinuidad
para su fcil interpretacin y posterior anlisis, son: Rumbo y
Buzamiento. Los elementos considerados para orientar las
intersecciones entre planos de discontinuidad son: Buzamiento y
Azimut de Buzamiento. Para unificar la forma de presentar la
orientacin del vector unitario de las discontinuidades y lneas de
interseccin, se utiliza el azimut de buzamiento.
Vector de interseccin en el espacio
y
x
Recta de interseccin proyectada
Plano de Proyeccin x y
Punto de origen o de referencia
-
32 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Para orientar los planos de discontinuidad y lneas de
interseccin se adopta el sistema coordenado x () positivo al Norte,
y () positivo al Este y z () positivo hacia el hemisferio inferior,
garantizando que se cumple la regla de la mano derecha.
La interpretacin visual que ofrece la representacin
estereogrfica equingulo, facilita el anlisis trigonomtrico
requerido para obtener los cosenos directores de los vectores rumbo
y buzamiento de las discontinuidades e intersecciones. El anlisis
trigonomtrico de la representacin estereogrfica permite obtener los
cosenos directores.
Los vectores de rumbo y la proyeccin del buzamiento en un plano
definido por el azimut de buzamiento, son requeridos para la
demostracin matemtica del vector de buzamiento. La Figura 2-3,
presenta la orientacin de los vectores Rumbo, Buzamiento y Azimut
de Buzamiento en el hemisferio inferior de la representacin
estereogrfica.
Figura 2-3. Vector de rumbo, buzamiento y azimut de buzamiento,
en hemisferio inferior de la representacin estereogrfica.
En la Figura 2-3 se observa el sistema coordenado N-S y E-W en
el plano de proyeccin de la red estereogrfica, sobre el cual se
encuentra el vector del Rumbo de la discontinuidad. En esta figura
se observa el ngulo del azimut de buzamiento " " entre el Norte y
el vector del azimut de buzamiento.
A continuacin se presenta el procedimiento matemtico que
demuestra las expresiones de los cosenos directores para los
vectores unitarios de rumbo y buzamiento.
2.1.1 Vector Unitario del Rumbo Como se observa en la Figura
2-3, si el vector unitario Rumbo se adopta a 90 del azimut de
buzamiento y no registra componente en el coseno director del eje
z, positivo
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 33
hacia el hemisferio inferior, significa que el vector unitario
Rumbo se encuentra en funcin slo del ngulo " ". El azimut de
buzamiento () se encuentra entre 0y 360. La Figura 2-4, presenta la
ubicacin del vector rumbo en cada uno de los cuadrantes, en funcin
del azimut de buzamiento, sobre el plano de proyeccin
estereogrfica.
Figura 2-4. Representacin del vector rumbo, en los cuadrantes de
la red estereogrfica.
En la Figura 2-4, se identifica el ngulo que se forma entre la
lnea Este Oeste (E W) y el vector unitario del Rumbo. Este ngulo es
de 360 en el primer cuadrante, es en el segundo cuadrante, es 180
para el tercer cuadrante y de 180 para el cuarto cuadrante. Estos
ngulos cumplen las siguientes identidades trigonomtricas en la
funcin seno y coseno respectivamente:
sen360 sen sen180 sen 180 cos360 cos cos180 cos 180
Las anteriores relaciones trigonomtricas permiten que para
cualquier valor de " " la funcin sen representa el coseno director
en x del vector unitario del rumbo, y la funcin cos representa el
coseno director en y. De esta forma, el vector unitario del Rumbo
en la discontinudiad , en funcin del azimut de buzamiento (), que
cumple para todos los cuadrantes es:
-
34 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
!"# $ %&"' $ ()* (2-1) El vector de la expresin anterior se
define como unitario por presentar una magnitud igual a 1, lo cual
se comprueba con la siguiente expresin:
|r-| ./sen01 $ /cos012 1 2.1.2 Vector Unitario del Buzamiento La
Figura 2-5, presenta el ngulo de Buzamiento "" en el corte generado
por el vector del Azimut de Buzamiento. En esta figura, el vector
de Buzamiento se encuentra en verdadera magnitud, dirigindose hacia
el Este.
Figura 2-5. Vector de Buzamiento en verdadera magnitud, sobre el
plano del Azimut de Buzamiento.
Para considerar que se trata de un vector unitario, se asume que
la magnitud del vector es igual a uno. Segn la Figura 2-5, el
vector que representa la inclinacin presenta las siguientes
componentes:
0; cos; k sen La expresin anterior indica que el vector unitario
del buzamiento proyectado sobre el plano N-S y E-W presenta una
magnitud igual a 89:;. La Figura 2-6, presenta la ubicacin del
vector unitario del Azimut de Buzamiento en cada uno de los
cuadrantes del plano de proyeccin de la red estereogrfica. En esta
figura se observa la magnitud proyectada del vector unitario de
buzamiento, y el ngulo que forma el vector de azimut de buzamiento
con la lnea E-W.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 35
Figura 2-6. Representacin del vector unitario del Azimut de
Buzamiento, en los cuadrantes de la red estereogrfica.
Ejecutando el mismo procedimiento realizado con el vector
unitario del Rumbo, se obtiene que las componentes del vector
unitario del Buzamiento son las siguientes:
sen90 = cos >sen90 = cos cos90 = sen? = cos cos = cos cos90 =
cos >cos90 = cos $ sen90 = sen? = cos sen = cos k sen
De acuerdo a las expresiones anteriores, el vector unitario del
Buzamiento es:
@A %& = %&BC* $ ! = %&BD* $ !B) (2-2) Las siguientes
ecuaciones comprueban que se trata de un vector unitario:
-
36 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
EbE G>cos = cos?1 $ >sen = cos?1 $ >sen?12 EbE Gcos1 =
>cos1 $ sen1? $ sen12 EbE 1
2.1.3 Vector Unitario de Interseccin El vector Unitario de la
Interseccin entre dos planos de discontinuidad es igual al producto
cruz entre los vectores normales a los planos de discontinuidad
dividido entre su magnitud, de acuerdo a la siguiente expresin:
HI@ !H!@|!H!@| (2-3) Donde, !H: es el vector unitario normal al
plano H, y !@: es el vector unitario normal al plano b. El vector
unitario normal al plano a, es igual al producto cruz entre los
vectores unitarios de Buzamiento y Rumbo, dividido en su magnitud
de acuerdo a la siguiente expresin:
!H @HHK@HHK (2-4) El orden del producto cruz @H H de la ecuacin
anterior, garantiza un vector normal hacia el hemisferio inferior,
es decir, en direccin z positiva hacia abajo. Utilizando la ecuacin
(3-4), se resuelve la determinante la siguiente matriz de 3x3, para
obtener el vector normal a la discontinuidad H:
nL Det. P kcos = cos sen = cos sensen cos 0 P nL = >cos =
sen? = >sen = sen?
$k = >sen = sen = cos $ cos = cos = cos? nL cos = sen sen =
sen $ cos = >sen1 $ cos1?k
Finalmente se obtiene el vector normal unitario al plano H con
la siguiente expresin: !H %&" = !BC* !" = !BD*$ %&B)R
(2-5)
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 37
Al igual que los anteriores vectores unitarios, se comprueba que
la expresin (3-5) corresponde a un vector unitario.
De acuerdo a la ecuacin (3-3), se debe resolver el producto cruz
entre los dos vectores unitarios normales a los planos "a" y "b".
El producto cruz entre estos dos vectores unitarios se obtiene de
resolver el siguiente determinante:
nL nT Det. P kcosL = senL senL = senL cosLcosT = senT senT =
senT cosTP Resolviendo el determinante de la expresin anterior, se
tiene el siguiente resultado:
nL nT >senL = senL = cosT $ senT = senT = cosL? >cosL =
senL = cosT $ cosT = senT = cosL? $ k>cosL = senL = senT = senT
cosT = senT = senL = senL?
La anterior expresin se puede reducir de la siguiente forma:
nL nT = Dx $ = Dy $ k = Dz Dnde:
Dx senL = senL = cosT $ senL = senT = cosL XY !"@ = !B@ =
%&BH !"H = !BH = %&B@ (2-6)
Dy >cosL = senL = cosT $ cosT = senT = cosL? XZ %&"H =
!BH = %&B@ %&"@ = !B@ = %&BH (2-7)
Dz cosL = senL = senT = senT cosT = senT = senL = senL Dz senT =
senL = >cosL = senT cosT = senL? X[ !B@ = !BH = > !"@ "H?
(2-8)
La magnitud del producto cruz entre vectores unitarios es la
siguiente:
|!H !@| GXY\ $ XZ\ $ X[\\ (2-9)
-
38 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Finalmente, la expresin que representa el vector unitario de
Interseccin es el siguiente:
HI@ XYC]XZD]X[)^GXY\]XZ\]X[\\ (2-10) Para obtener el buzamiento
de esta lnea de interseccin, se igualan las ecuaciones (3-2) y
(3-10), en su componente vertical "":
:en/_LIT0 DzGDx2 $ Dy2 $ Dz22 BaHI@ !Ib c X[GXY\]XZ\]X[\\ d
(2-11)
Para obtener el azimut de buzamiento, se Igualan las ecuaciones
(3-2) y (3-10), en sus componentes Norte y Este "","".
cos/_LIT0 = cos/_LIT0 DxGDx1 $ Dy1 $ Dz12 "aHI@ %&Ib e
b%&/BaHf@0 = XY.XY\]XZ\]X[\\ g (2-12) sen/_LIT0 = cos/_LIT0
DyGDx1 $ Dy1 $ Dz12 "aHI@ !Ib c b%&/BaHf@0 = XZGXY\]XZ\]X[\\ d
(2-13)
Es importante el orden en que se realiza el producto cruz entre
los vectores unitarios normales a los planos de discontinuidad,
segn la ecuacin (3-3), entre los planos denominados como h" y i".
La forma de identificar que no se trata del orden correcto es
porque un mal ordenamiento resulta en un valor del Buzamiento _LIT"
negativo, al utilizar la expresin (3-11). Un Buzamiento negativo de
la lnea de interseccin representa que el vector no se dirige hacia
el hemisferio inferior de proyeccin.
Luego de identificar el orden correcto de los planos h" y i", se
obtiene el azimut de buzamiento de la interseccin ""aHI@" mediante
la expresin (3-12) y se realizan las siguientes revisiones: si el
componente jk de la expresin (3-7) es positivo se utiliza el ngulo
encontrado directamente de la expresin (3-12), de lo contrario el
azimut es 360 menos el dato obtenido de la expresin (3-12).
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 39
2.2 Geometra del Mximo Tamao del Bloque Inestable
2.2.1 Definicin de Bloque Inestable y Bloque Crtico El Bloque
Inestable en una excavacin subterrnea consiste en una pirmide de
roca delimitada por los planos de discontinuidad con posibilidad
cinemtica de ingresar a la seccin de excavacin, y es un Bloque
Crtico cuando presenta el mximo tamao que puede tomar. El Bloque
Crtico considera el mximo volumen de material rocoso delimitado por
discontinuidades capaz de ingresar al tnel, y por cada seccin de
excavacin existen varios Bloques Crticos. La Pirmide de Roca se
refiere a la forma que toma el bloque inestable, delimitado por la
interaccin de las discontinuidades presentes en un macizo
rocoso.
El tamao del Bloque Crtico depende; del tamao y la forma de la
seccin de excavacin del tnel, de la orientacin y pendiente del
alineamiento del tnel, y del vector unitario de la Interseccin
entre planos de discontinuidad o del vector unitario del Azimut de
Buzamiento de las discontinuidades consideradas.
Una Pirmide de roca se forma si en el macizo rocoso se presentan
al menos tres familias de discontinuidades, para que se generen
tres lneas de interseccin. Para que el Bloque Inestable sea un
Bloque Crtico al menos dos de las tres intersecciones entre planos
de discontinuidad deben ser tangentes a la seccin de excavacin. El
Bloque Crtico se obtiene al considerar tres sistemas de
discontinuidades, debido a que si se incluye un cuarto sistema ste
slo podra reducir su volumen.
La Figura 2-7, presenta dos vistas en perspectiva de un Bloque
Crtico ubicado en la bveda de un tnel con seccin de excavacin
circular, junto con los elementos que definen la forma del Bloque
Crtico, es decir, la Pirmide de Roca.
En la Figura 2-7 se observa la ubicacin del pice, que se define
como la punta del Bloque Inestable. Cuando el pice hace parte de uh
Bloque Crtico, se denomina pice Crtico.
Son Vrtices los puntos de corte o contacto entre las
intersecciones de los planos de discontinuidad que forman el Bloque
Crtico y la seccin de excavacin. La Figura 2-7 presenta tres
vrtices, uno por cada interseccin entre planos de
discontinuidad.
-
40 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
(a) (b) Figura 2-7. Vista en perspectiva (a) y (b) de un Bloque
Crtico ubicado en la bveda de un
tnel con seccin de excavacin circular.
Un Vrtice es Tangente cuando es producto del contacto entre la
seccin de excavacin y una interseccin entre planos de
discontinuidad que es tangente a la seccin. La Figura 2-7 presenta
dos vrtices tangentes, uno en el contacto de la seccin con la
interseccin entre los planos 1 y 3, y otro en el contacto de la
seccin con la interseccin entre los planos 2 y 3. Se denomina
Vrtice Secante cuando es producto del corte entre la seccin de
excavacin y una interseccin que no es tangente a la seccin. La
Figura 2-7 presenta un vrtice secante, en el contacto de la seccin
con la interseccin entre los planos 1 y 2.
La Figura 2-8, presenta la vista frontal del mismo Bloque Crtico
de la Figura 2-7, al considerar una seccin de excavacin circular.
Esta figura adicionalmente seala las intersecciones entre los
planos de discontinuidad que delimitan la Pirmide de Roca.
El plano yz que corresponde a una vista frontal de la seccin de
excavacin presentada en la Figura 2-8, permite identificar
claramente cules son las dos intersecciones tangentes y cul es la
interseccin secante a la seccin de excavacin circular. El plano yz,
corresponde a un corte perpendicular al eje del tnel, donde se
aprecia en verdadera magnitud la seccin de excavacin.
Plano de Discontinuidad 1
Plano de Discontinuidad 2
Plano de Discontinuidad 3
Plano de Discontinuidad 1
Vrtice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3])
Vrtice Tangente entre planos 2 y 3 (VT[2-3])
Vrtice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])
pice pice
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 41
Figura 2-8. Vista frontal de un Bloque Crtico ubicado en la
bveda de un tnel con seccin de excavacin circular.
En la Figura 2-8 se observa que el pice Crtico, correspondiente
al Bloque Crtico, se obtiene directamente del cruce entre las dos
intersecciones tangentes a la seccin de excavacin, la interseccin
entre los planos 2 y 3, y la interseccin entre los planos 1 y 3. La
otra interseccin puede ser o tangente o secante a la seccin de
excavacin, para que se conforme la Pirmide de Roca. En el caso de
la Figura 2-8, la interseccin entre los planos 1 y 2 es secante a
la seccin de excavacin.
En la Figura 2-7 y Figura 2-8, se observa que existen otras
intersecciones adicionales a las ocasionadas en el contacto entre
planos de discontinuidad, y son las que se forman en el contacto
entre los planos de discontinuidad y la seccin de excavacin o cara
libre. A cada plano de discontinuidad le corresponde una
interseccin con la seccin de excavacin.
La proyeccin de las lneas de interseccin en un plano
perpendicular al eje del tnel, es la base de la metodologa adoptada
para la identificacin de Bloques Crticos. A continuacin se presenta
una descripcin del mtodo.
2.2.2 Tcnica alternativa para la obtencin de Bloques Crticos:
Lneas principales y secundarias
El mtodo denominado como Lneas Principales y Secundarias,
consiste en una tcnica alternativa a las teoras existentes para
ubicar las coordenadas del pice y de los vrtices que le dan la
forma el Bloque Crtico.
Interseccin entre planos 1 y 3
Plano de Discontinuidad 2
Plano de Discontinuidad 1
Interseccin entre planos 2 y 3
Interseccin entre planos 1 y 2
pice
Vrtice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3])
Vrtice Tangente entre planos 2 y 3 (VT[2-3])
Vrtice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])
-
42 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Esta tcnica consiste en proyectar las intersecciones entre
planos de discontinuidad, tres para el volumen mximo, en un plano
que corta perpendicular al eje del tnel. La Figura 2-8, muestra un
ejemplo de corte perpendicular al eje del tnel, donde se ve en
verdadera magnitud la geometra de la seccin de excavacin
convencional en tneles prismticos, junto con los elementos que
componen esta seccin: solera, hastiales y bveda. La bveda es la
parte ms alta o clave de la seccin de excavacin, los hastiales son
las paredes y la solera es el piso.
Figura 2-9. Rectas de una Interseccin proyectada, con dos puntos
de referencia tangentes a la seccin de excavacin.
Sobre el plano de proyeccin propuesto, se observan las
proyecciones de las aristas de la Pirmide de Roca conformadas por
las intersecciones entre los planos de discontinuidad. Al
considerar planos de discontinuidad que no son oblicuos, las
proyecciones de las intersecciones se presentan en forma de rectas
y sin verdadera magnitud.
Existen al menos dos posibilidades para que las proyecciones de
las lneas de interseccin entre planos de discontinuidad sean
tangentes a la seccin de excavacin, por la parte superior (recta
principal) o inferior (recta secundaria) a la seccin de excavacin.
La Figura 2-9, presenta las dos posibilidades de que la proyeccin
de la interseccin sea tangente a la seccin de excavacin.
En la Figura 2-9, se observan dos rectas de igual pendiente,
originadas luego de proyectar el vector de interseccin entre dos
planos de discontinuidad en un plano perpendicular al eje del tnel.
La recta proyectada es una Recta Principal cuando es tangente a la
parte superior de la seccin de excavacin, y es una Recta
Secundaria, cuando es tangente a la parte inferior de la seccin de
excavacin. El calificativo de Principal y Secundario, slo se hace
para distinguir las rectas proyectadas de igual pendiente e
identificar de forma rpida y sencilla el sector donde se realiza la
tangencia. En el caso de una proyeccin vertical, donde no se puede
diferenciar entre la tangencia superior e inferior a la seccin de
excavacin, es indiferente la asignacin del nombre.
Vector de interseccin en el espacio
y
Plano de Proyeccin y z
Vrtice tangente de la recta principal (VTP)
z
Recta Principal de interseccin proyectada
Rectas Secundaria de interseccin proyectada
Vrtice tangente de la recta secundaria (VTS)
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 43
Un Vrtice Tangente es Principal VTP cuando es producto de la
tangencia de una Recta Principal, y es un Vrtice Tangente
Secundario VTS cuando es producto de la tangencia de una Recta
Secundaria.
A cada una de las rectas tangentes a la seccin de excavacin les
corresponde una ecuacin, compuesta de una pendiente y de un dato de
corte con el eje de la ordenada. La pendiente sale directamente de
la proyeccin del vector unitario de Interseccin, mientras el corte
con el eje ordenado depende de la ubicacin y la forma de la seccin
de excavacin.
La tcnica alternativa para la obtencin de Bloques Crticos: Lneas
Principales y Secundarias, plantea que:
Todo vrtice tangente principal (VTP) o secundario (VTS), hace
parte de al menos dos Bloques Crticos.
Los pices Crticos que conforman un Bloque Crtico se encuentran
en el cruce entre dos Rectas Principales o Secundarias. Lo que
significa que todo cruce entre Rectas Principales o Secundarias
hace parte de un Posible pice.
El procedimiento que se debe seguir para la obtencin de las
Pirmides de Roca que conforman los Bloques Crticos es el
siguiente:
I. Vector Unitario de las Intersecciones: Establecer un sistema
de discontinuidades y obtener el vector unitario de la Interseccin
entre los planos de discontinuidad.
II. Proyeccin del Vector Unitario de las Intersecciones en un
plano perpendicular al eje del tnel: Debido a que el eje del tnel
puede no presentar el mismo sistema coordenado con el que se
obtienen los cosenos directores del vector unitario de la
interseccin, se requiere de una matriz de transformacin.
III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y
coordenadas de los Vrtices Tangentes: Obtener la pendiente de la
recta de interseccin proyectada. Analizar la seccin de excavacin y
obtener el dato de corte con el eje ordenado de la recta proyectada
para que sea tangente en la parte superior e inferior de la seccin
de excavacin. En este paso se encuentran las ecuaciones de las
Rectas Principales y Secundarias de cada una de las intersecciones
proyectadas, y las coordenadas de todos los Vrtices Tangentes.
-
44 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
IV. Identificacin de Posibles pices: Al igualar las ecuaciones
de las Rectas Principales y Secundarias, se obtienen los posibles
pices proyectados en un plano que corta perpendicularmente el eje
del tnel.
V. Establecer los pices Crticos: Luego de identificar las
coordenadas de los Posibles pices se completa una matriz de
diferencias entre las coordenadas de los posibles pices y los
vrtices tangentes. La matriz permite identificar dos pices Crticos
por cada Vrtice Tangente.
VI. Completar la Pirmide de Roca: Asociados dos Vrtices
Tangentes a un pice Crtico, se obtiene el Vrtice Secante que
completa los elementos requeridos por la Pirmide de Roca.
Luego de completar los seis pasos anteriores, se calculan los
permetros, reas y volmenes de los Bloques Crticos: Una vez se han
establecido los tres vrtices y el pice para cada uno de los Bloques
Crticos se calculan los permetros de las intersecciones entre
planos de discontinuidad y entre planos de discontinuidad y seccin
de excavacin, las reas de los planos de discontinuidad y pared de
excavacin, y el volumen del Bloque Crtico.
A continuacin se presentan cada uno de los pasos establecidos
para la obtencin del Bloque Crtico en una seccin de excavacin
circular.
I. Vector Unitario de las Intersecciones Para la obtencin del
vector unitario de las intersecciones se deben utilizar las
ecuaciones presentadas en el numeral 2.1 - Vectores unitarios de
las discontinuidades y lneas de interseccin.
II. Proyeccin del Vector Unitario de las Intersecciones en un
plano perpendicular al eje del tnel
La Figura 2-10, presenta las rectas principales y secundarias
que se obtienen de la combinacin de intersecciones entre tres
sistemas de discontinuidades, y su contacto tangencial con la
seccin de excavacin circular.
En la Figura 2-10, se observan las proyecciones de las lneas de
interseccin Principales y Secundarias, por ejemplo, la interseccin
entre los planos 1 y 2 forman la recta Secundaria S(1-2) y Primaria
P(1-2) con pendiente m(1-2). Al ser tres los sistemas de
discontinuidades considerados, son tres las intersecciones que se
deben proyectar.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 45
Figura 2-10. Representacin grfica de las lneas principales y
secundarias.
Se observa que las coordenadas en el plano de proyeccin,
perpendicular al eje del tnel, pueden no ser las mismas definidas
como x al Norte, y al Este y z hacia abajo, establecidas para
encontrar el vector unitario de interseccin. Para proyectar en un
sistema coordenado diferente es necesario realizar una
transformacin vectorial, desde el sistema coordenado N, E y Z al
plano de proyeccin x, y y z. El nuevo sistema coordenado propuesto
es: x en direccin del tnel, y en direccin ortogonal hacia el
costado derecho del tnel, y z en direccin ortogonal hacia abajo del
eje del tnel. En el plano de proyeccin perpendicular al eje del
tnel se proyectan las intersecciones en sus coordenadas y y z, lo
que plantea la necesidad de transformar los vectores de interseccin
obtenidos en el paso anterior.
Para la transformacin del sistema coordenado se encuentra una
matriz denominada como Matriz de Transformacin, que al ser
multiplicada por el vector unitario de interseccin obtenido del
paso anterior lo transforma a sus nuevas coordenadas x y z. La
Figura 2-11, presenta el sistema coordenado transformado.
-
46 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Figura 2-11. Sistema coordenado transformado x y z.
En la Figura 2-11 se observa la direccin del nuevo sistema
coordenado, donde el eje x se encuentra en la direccin del tnel, el
eje y en direccin perpendicular al eje x y sobre el plano xy, y el
eje z cumpliendo la regla de la mano derecha respecto a los ejes x
y. De la figura se observa que el plano perpendicular al eje del
tnel corresponde al plano y z, El plano trasformado xyz puede ser
igual al plano sin trasformar xyz, si el eje del tnel coincide con
la lnea Norte-Sur. La Matriz de Transformacin est compuesta por los
cosenos directores de la rotacin de cada uno de los ejes. Para
obtener los cosenos directores entre los ejes anteriores y los ejes
transformados se utiliza el producto vectorial punto. A continuacin
se presentan las expresiones desarrolladas.
2.2.2.1 Matriz de Transformacin
De acuerdo a la Figura 2-11, lm es el azimut de buzamiento del
tnel, el cual orienta el eje del tnel sobre el plano N-E o x-y, y
nm el buzamiento o pendiente en grados del tnel. El vector que
define la direccin del tnel en sus coordenadas es:
Y %&"p = %&Bp# $ !"p = %&Bp' $ !Bp)* (2-14) El
vector sobre plano xy, y perpendicular al eje del tnel es:
Z !"p # $ %&"p' $ ()* (2-15) El vector perpendicular a los
vectores qk, se obtiene del producto cruz entre los vectores q k, y
se define como sigue:
N(X)
S(-X)E(Y)
W(-Y)
RUMBO DEL TNELT
ESTEREOGRFICA
PLANO PERPENDICULAR ALEJE DEL TNEL
T
PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TNEL
Z
T
Z'
Y'
X'
EJE DEL TNEL
T T
PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TNELEN HEMISFERIOR
SUPERIOR
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 47
[ %&"p = !Bp# !"p = !Bp' $ %&Bp)* (2-16) La
transformacin es la siguiente: la direccin del tnel se define como
el eje x en reemplazo del eje x; la direccin del vector y,
perpendicular al eje x, reemplaza el vector y; mientras el vector z
reemplaza el vector z. Los vectores unitarios que representan los
ejes cartesianos originales, sin transformar, son:
Y b# $ (' $ ()* (2-17) Z (# $ b' $ ()* (2-18) [ (# $ (' $ b)*
(2-19)
Para encontrar los cosenos directores entre los ejes, se utiliza
el producto punto de la siguiente forma:
Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje Norte x (3-17), cos
st,s vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v1 $ 0 $ 0kx %& zYt,Y
%&"p = %&Bp (2-20)
Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje Este y (3-18), cos
st,{ vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v0 $ 1 $ 0kx %& zYt,Z
!"p = %&Bp (2-21)
Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje vertical z (3-19),
cos st,| vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v0 $ 0 $ 1kx %&
zYt,[ !Bp (2-22)
Entre el vector y (3-15) y el eje Norte x (3-17), cos {t,s vsenw
$ cosw $ 0kx v1 $ 0 $ 0kx %& zZt,Y !"p (2-23)
Entre el vector y (3-15) y el eje Este y (3-18), cos {t,{ vsenw
$ cosw $ 0kx v0 $ 1 $ 0kx %& zZt,Z %&"p (2-24)
-
48 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Entre el vector y (3-15) y el eje vertical z (3-19), cos {t,|
vsenw $ cosw $ 0kx v0 $ 0 $ 1kx %& zZt,[ ( (2-25)
Entre el vector z (3-16) y el eje Norte x (3-17), cos |t,s vcosw
= senw senw = senw $ coswkx v1 $ 0 $ 0kx %& z[t,Y %&"p =
!Bp (2-26)
Entre el vector z (3-17) y el eje Este y (3-18), cos |t,{ vcosw
= senw senw = senw $ coswkx v0 $ 1 $ 0kx %& z[t,Z !"p = !Bp
(2-27)
Entre el vector z (3-17) y el eje vertical z (3-19), cos |t,| v
cosw = senw senw = senw $ coswkx v0 $ 0 $ 1kx %& z[t,[ %&Bp
(2-28)
Finalmente, se obtiene la matriz de transformacin vectorial:
}~ e%&"p = %&Bp !"p = %&Bp !Bp !"p %&"p (
%&"p = !Bp !"p = !Bp %&Bpg }
~ (2-29) La transformacin vectorial, permitir encontrar la
pendiente de las intersecciones entre planos de discontinuidad
proyectadas, mediante la siguiente ecuacin:
[Z (2-30) La transformacin del vector unitario de Interseccin,
obtenido del paso anterior, al sistema coordenado xyz es:
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 49
xyz
cosw = cosw senw = cosw senw
senw cosw 0cosw = senw senw = senw cosw
DxKILITK
DyKILITKDzKILITK
En consecuencia las componentes del vector unitario transformado
son las siguientes:
XY %&"p = %&Bp XYKaH@K$ !"p = %&Bp XZKaH@K$ !Bp
X[KaH@K (2-31) XZ !"p XYKaH@K$ %&"p XZKaH@K (2-32) X[ %&"p
= !Bp XYKaH@K !"p = !Bp XZKaH@K$ %&Bp X[KaH@K (2-33) III.
Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas
de los
Vrtices Tangentes: Segn la ecuacin (3-30), la pendiente de la
interseccin proyectada en el plano y z es:
HI@ I%&/"aHf@0= !BaH@ XYKaH@KI !/"aHf@0= !BaH@
XZKaH@K]%&BaH@ X[KaH@KI !/"aHf@0 XYKaH@K]%&/"aHf@0 XZKaH@K
(2-34) En la ecuacin (3-34), la pendiente toma un valor positivo si
la recta proyectada presenta el buzamiento hacia el costado derecho
de la seccin de excavacin, y negativo si buza hacia el costado
izquierdo.
Luego de encontrar las pendientes, se identifican los puntos
denominados como Vrtices Tangentes, dos por cada interseccin.
2.2.2.2 Vrtices Tangentes de Rectas Principales y
Secundarias
Los vrtices tangentes se obtienen al comparar la ecuacin de las
rectas proyectadas de las intersecciones con la ecuacin
correspondiente a la seccin de excavacin. La ecuacin de la seccin
de excavacin en el caso de anlisis corresponde al de una
circunferencia.
Considerando una seccin de excavacin circular de dimetro DT, a
una profundidad HT desde la superficie del terreno, se establece la
formulacin.
-
50 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
La Figura 2-12, presenta los dos vrtices tangentes al considerar
una lnea de interseccin entre dos planos de discontinuidad (i, j) y
una seccin de excavacin circular. En esta figura se observan dos
vrtices tangentes, uno en el sector superior de la seccin de
excavacin, en el contacto con la recta principal denominado como
Vrtice Tangente Principal de la interseccin i-j (VTP[i-j]), y el
otro en la sector inferior denominado como Vrtice Tangente
Secundario de la interseccin i-j (VTS[i-j]). De estas rectas se
conoce el ngulo de buzamiento, denominado como Buzamiento de
interseccin transformado, por tratarse de un ngulo proyectado.
Figura 2-12. Vrtices tangentes principales y secundarios dada
una interseccin proyectada i-j.
De la ecuacin (3-34), se obtiene la pendiente proyectada, y de
sta se obtiene el buzamiento de interseccin i-j transformado ;I
mediante la siguiente expresin:
I tanImab Luego de encontrar el buzamiento proyectado y dada una
proyeccin de la interseccin entre los planos i y j, las coordenadas
y,z de los vrtices tangentes son:
En el contacto con la recta principal, vrtice tangente principal
(), ZCID Xp/\ = ! BCD (2-35)
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 51
[CID p Xp/\ = %& BCD (2-36) En el contacto con la recta
secundaria, vrtice tangente secundario (), ZCID Xp/\ = ! BCD (2-37)
[CID p $ Xp/\ = %& BCD (2-38)
En las expresiones anteriores se observa que un valor de n
positivo, presenta valores positivos en la coordenada y, y valores
negativos en este parmetro presentan valores de igual signo en la
coordenada y.
Para encontrar la constante Db que determina el corte de las
rectas Principales o Secundarias (|) con el eje de la ordenada y,
se utiliza la siguiente ecuacin:
X@|CID [|CID Z|CID = H!BCD (2-39) Reemplazando las expresiones
(3-35) y (3-36) para obtener la constante Db de la recta principal,
y las expresiones (3-37) y (3-38) para la recta secundaria, se
completa la informacin de la ecuacin las rectas de interseccin
proyectadas:
Z = H!/BC>CID?0 $ X@|CID (2-40) Existen casos especiales: ;I
( y ;I (. Para ;I ( se cumplen todas las ecuaciones anteriores,
mientras para ;I ( no se halla la constante Db de la recta. En el
caso de n (, no se utilizan las expresiones (2-39) y (2-40), las
cuales son sustituidas por:
Z Z|CID (2-41) Otro caso especial, surge cuando la inclinacin
del tnel es igual a la inclinacin de la interseccin, y la direccin
del eje del tnel es similar al azimut de buzamiento de la
interseccin, es decir, cuando nm ;I y lm :. En este caso, la
interseccin forma parte de un denominado Bloque Infinito, que se
visualiza como un punto en el plano y, z. De cumplirse la condicin
mencionada, no se tiene en cuenta esta interseccin en el anlisis.
La Figura 2-13, presenta un esquema de Bloque Infinito.
-
52 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Figura 2-13. Esquema de Bloque Infinito.
En la Figura 2-13, se aprecia como en el plano perpendicular al
eje del tnel yz la interseccin que induce el Bloque Infinito no
proyecta una recta.
IV. Identificacin de Posibles pices Una vez se han encontrado
las ecuaciones de las rectas principales y secundarias proyectadas
en un plano perpendicular al eje del tnel, de cada una de las lneas
de interseccin, se obtienen los puntos donde stas se intersecan
entre s. Cada punto de corte entre rectas proyectadas se considera
un posible pice, debido a que se trata de un punto ubicado en el
espacio donde coinciden dos rectas tangentes a la seccin de
excavacin. La cantidad de posibles pices se obtiene mediante la
siguiente sumatoria:
4 I La funcin anterior establece que al considerar dos sistemas
de discontinuidades son 4 los posibles pices, al considerar tres
sistemas son doce, y al considerar cuatro sistemas de
discontinuidad es 24 el nmero de Posibles pices. Para encontrar los
puntos de corte entre las rectas se igualan cada una de sus
correspondientes ecuaciones. A continuacin se presentan las
expresiones para encontrar las coordenadas y, z, de los posibles
pices entre dos intersecciones conformadas por los planos i, j, k
con buzamientos proyectados distintos a(:
pice
Seccin deExcavacin
Z'
Y'
X'
Z'
Y'
Bloque Infinito
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 53
yL Db|I Db|Im|I m|I zL yL m|I $ Db|I
Cuando alguna de las intersecciones cuenta con un buzamiento
transformado nI (, y asumiendo que esa discontinuidad es la
conformada por los planos i-j, y que se iguala con la recta
producto de la interseccin de los planos j-k con buzamiento
transformado nI < 90, las coordenadas del posible pice son las
siguientes:
yL y|I zL yL m|I $Db|I
De acuerdo a las expresiones anteriores, si se adoptan tres
intersecciones, por ejemplo: , , , son 12 los puntos de corte
posibles entre estas rectas. Los 12 posibles pices, se encuentran
al igualar las rectas presentadas en la Tabla 2-1.
Tabla 2-1. Posibles pices entre las rectas proyectadas , y . ID
Posible pice Cruce entre Rectas
A1 Principal Principal A2 Principal Secundaria A3 Secundaria
Principal A4 Secundaria Secundaria A5 Principal Principal A6
Principal Secundaria A7 Secundaria Principal A8 Secundaria
Secundaria A9 Principal Principal A10 Principal Secundaria A11
Secundaria Principal A12 Secundaria Secundaria
Segn la Tabla 2-1, los posibles pices surgen del cruce entre
rectas Principales o Secundarias. De esta tabla se considera que el
pice A1 corresponde a la Recta Principal y a la Recta Principal ,
de igual forma que el pice A2 corresponde a la Recta Principal y a
la Recta Secundaria , y as sucesivamente. Al considerar tres
sistemas de discontinuidades se concluye que a cada Recta Principal
o Secundaria le corresponden 4 Posibles pices. La Figura 2-14,
presenta la ubicacin de los 12 posibles pices al considerar una
seccin de excavacin circular, numerados con el ID definido en la
Tabla 2-1. En esta figura se
-
54 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
observa como a la Recta Principal le corresponden los Posibles
pices A1, A5, A2 y A6.
V. Establecer los pices Crticos: Dado que el mtodo propone que
dos pices Crticos se obtienen por cada Vrtice Tangente y que cada
Vrtice Tangente se encuentra asociado a una Recta Principal o
Secundaria, se concluye que dos de los cuatro Posibles pices que
corresponden a las Rectas Principal o Secundaria son pices Crticos.
Es decir, de los cuatro Posibles pices A1, A5, A2 y A6 que le
corresponden a la Recta Principal , dos son pices Crticos.
Figura 2-14. Ubicacin de los posibles pices al considerar tres
intersecciones entre planos de discontinuidad.
Para encontrar cules de los 12 pices se consideran pices
Crticos, segn las opciones presentadas en la Tabla 2-1 y Figura
2-14, se encuentran las diferencias en las coordenadas x, y o z,
entre los posibles pices y los puntos de tangencia
correspondientes. Por cada lnea de interseccin principal o
secundaria, se encuentran cuatro diferencias de coordenadas entre
vrtices tangentes y posibles pices , dos con signo positivo y dos
con signo negativo. La metodologa adoptada define como pices
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 55
crticos los dos puntos ms cercanos, el de menor magnitud
negativa y menor magnitud positiva.
Las diferencias entre coordenadas , pueden ser en el sistema
coordenado x, y o z, siempre y cuando los valores obtenidos sean no
nulos.
Para facilitar las diferencias entre coordenadas que se deben
calcular, se construye una matriz como lo muestra la Tabla 2-2. La
matriz de la Tabla 2-2 ordena en las filas los 12 posibles pices
encontrados, y en las columnas indica los puntos tangentes
correspondientes a cada recta principal o secundaria. Esta matriz
permite identificar que distancias se deben hallar.
Tabla 2-2. Matriz de identificacin de los pices que conforman el
Bloque Crtico
ID Posible pice
Diferencias entre coordenadas , entre posibles pices y vrtice
tangente de la recta
Principal i j (vtp>C D?)
Secundaria i j (vts>C D?)
Principal i k(vtp> ?)
Secundaria i k (vts> ?)
Principal j k (vtp> ?)
Secundaria j k (vts> ?)
A1 (A1-VTP)
(A1-VTP)
A2 (A2-VTP)
(A2-VTS)
A3
(A3-VTS) (A3-VTP)
A4
(A3-VTS)
(A4-VTS)
A5 (A5-VTP)
(A5-VTP)
A6 (A6-VTP)
(A6-VTS) A7
(A3-VTS)
(A7-VTP)
A8
(A3-VTS)
(A8-VTS) A9
(A9-VTP)
(A9-VTP)
A10
(A10-VTP)
(A10-VTS) A11
(A11-VTS) (A11-VTP)
A12
(A12-VTS)
(A12-VTS) (VTP): vrtice tangente principal; (VTS): vrtice
tangente secundario. En la Tabla 2-2 se aprecia como a cada Recta
Principal o Secundaria le corresponden cuatro Posibles pices.
Encontradas las diferencias entre coordenadas para cada columna, se
debe identificar el valor de menor magnitud positiva y menor
magnitud negativa, lo que corresponde a los dos pices que ms se
acercan a los puntos tangentes de cada recta, uno por cada
costado.
A manera de ejemplo se presenta la Figura 2-15, donde se analiza
el vrtice tangente de la recta principal en la interseccin . Las
diferencias entre coordenadas que se deben encontrar son:
(A1-VTP>C D?), (A2-VTP>C D?), (A5-VTP>C D?) y(A6-VTP>C
D?). En
-
56 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
este caso al tratarse de una recta que no es vertical, se
encuentran las diferencias de coordenadas verticales . Las
diferencias se toman entre los posibles pices ubicados sobre la
recta principal>C D? y el vrtice tangente encontrado mediante
esta misma recta. De acuerdo a la Figura 2-15, los valores de son
positivas en los pices A2 y A6, y negativas en los pice A1 y A5.
Los dos valores de de menor magnitud, una por cada sentido sea
negativo o positivo, determinan cual pice hace parte de un Bloque
Crtico. En la Figura 2-15, se observa que los valores de en el eje
z (verticales) son menores en los pices A2 y A5, consistentes con
los menores valores positivo y negativo respectivamente en las
distancias acotadas como: (A2-VTP> ?) y (A5-VTP> ?). El
clculo de diferencias de coordenadas permite encontrar los pices ms
cercanos al Vrtice Tangente, uno por cada costado sobre la Recta
Principal: al considerar la recta P(i-j) y el clculo de diferencias
en el sistema coordenado z se obtuvo que el pice A2 es el ms
cercano en el costado inferior y el pice A5 es el ms cercano en el
costado superior, lo que los identifica como pices Crticos de
Bloques Crticos distintos. Se observa que la Figura 2-15 presenta
el mismo ejemplo de la Figura 2-14. Este procedimiento se contina
para cada una de las rectas tanto Principales como Secundarias,
encontrando los pices que conforman los Bloque Crticos.
Figura 2-15. pices de Bloque Crtico, al analizar el Vrtice
Tangente y la Recta Principal tangente de la interseccin i j.
Una vez se obtienen los pices Crticos, se encuentran los tres
vrtices que conforman la Pirmide de Roca. Los vrtices del Bloque
Crtico, son los puntos de contacto o tangencia entre las
discontinuidades y la seccin de excavacin. Considerando tres
intersecciones, son tres los vrtices correspondientes a cada Bloque
Crtico.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 57
VI. Completar la Pirmide de Roca: Por cada pice identificado se
conocen dos de los vrtices en contacto tangencial con la seccin de
excavacin, denominados como Vrtices Tangentes. A manera de ejemplo,
el pice Crtico A2 de la Figura 2-15, cuenta con los vrtices VTP y
VTS , debido a que corresponde a la Recta Principal y a la Recta
Secundaria , mientras el pice A5 cuenta con los vrtices VTP y VTP
debido a que corresponde a la Recta Principal y a la Recta
Principal . De esta forma, dos de los vrtices que conforman los
Bloques Crticos se obtienen directamente de las Rectas Principales
o Secundarias que ubican el pice. Para hallar la coordenada q de
los vrtices, se utilizan los cosenos directores de las ecuaciones
(3-31), (3-32) y (3-33). Despus identificar las dos intersecciones
tangentes que conforman el Bloque Crtico, la interseccin restante
necesaria para formar la Pirmide de Roca permite encontrar el
vrtice faltante, que puede ser Tangente o Secante. El tercer vrtice
se obtiene al hacer coincidir la recta de la interseccin con el
pice identificado, e igualar con la funcin de la seccin de
excavacin. Para hacer coincidir la interseccin faltante con el pice
identificado, se obtiene la constante Db del tercer vrtice mediante
la siguiente expresin:
X@ [H ZH (2-42) Donde: es la constante Db: de la recta
proyectada de la interseccin faltante (tercera interseccin de la
Pirmide de Roca); : es la pendiente proyectada de la interseccin
faltante; khh las coordenadas del pice identificado como crtico. La
funcin de la seccin de excavacin circular de dimetro jm y
profundidad m, es:
/[ p0\ $ Z\ Xp/\\ (2-43) Al igualar la ecuacin (3-42) con la
ecuacin de la seccin de excavacin circular, queda la siguiente
funcin de segundo orden:
\ $ bZ\ $ \@ pZ $ @ p\ Xp\ \ ( (2-44) Resolviendo la cuadrtica,
se obtiene la coordenada en el eje y k del tercer vrtice que
conforma el Bloque Crtico. Para escoger una de las dos soluciones
como la indicada, se elige la ms cercana al pice. Para encontrar
las coordenadas q del tercer vrtice, se utilizan los cosenos
directores de la siguiente forma:
La magnitud del vector de interseccin entre los planos y se
obtiene de: CID ZtXZt (2-45)
-
58 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Y dado que k se obtiene de (3-44) y jk de (3-32), se encuentra
la magnitud del vector de la interseccin que forma el tercer vrtice
mediante (3-45). Asumiendo que el tercer vrtice se obtiene de la
interseccin de los planos de discontinuidad y , las coordenadas q y
del tercer vrtice son:
Y D) XY (2-46) [ D) X[ (2-47)
Se observa que la magnitud M encontrada por la ecuacin (3-45),
puede ser negativa o positiva, y depende de los parmetros k y jk.
2.2.3 Volumen del Bloque Crtico Una vez se obtienen las coordenadas
qk, de los tres vrtices y del pice en cada uno de los Bloques
Crticos, se utiliza un algoritmo numrico para dividir la base del
bloque en tringulos pequeos. La Figura 2-16, presenta la forma en
que se consideran los elementos triangulares en la base del Bloque
para el clculo de volumen considerando una pared de excavacin
curva.
La base de la Pirmide se conforma por los tres vrtices: puntos
P1, P2 y P3 en Figura 2-16 (a). Los tres vrtices en la base
presentan un plano que no coincide con la seccin de excavacin
cuando se considera una geometra curva en la seccin de excavacin.
Para encontrar los puntos inferiores del Bloque Crtico en contacto
con la seccin de excavacin se proyecta un vector desde el pice
hacia cada uno de los puntos identificados en la base, donde se
encuentra una ecuacin de una recta por cada punto, y posteriormente
se iguala con la funcin de la seccin de excavacin. Las coordenadas
de los tres puntos proyectados de la base por cada elemento
triangular se denominan como: qbkbb, q\k\\, qk.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 59
(a) (b) Figura 2-16. (a) Puntos y (b) elementos triangulares en
la base del Bloque Crtico, para
determinar el volumen.
El volumen de un bloque conformado por el pice y como base cada
elemento triangular, con sus lados rectos, se encuentra mediante la
siguiente expresin:
bj PPb qh kh hb qb kb bb q\ k\ \b q k P
P (2-48)
El volumen del Bloque se encuentra de la suma de los volmenes
individuales encontrados al unir el pice y los tres puntos que
conforman cada uno de los elementos triangulares de la Figura 2-16
(b).
2.2.4 reas de las paredes que conforman el Bloque Crtico El rea
de las paredes que conforman el bloque de anlisis se obtiene de la
misma discretizacin realizada para el clculo del volumen, donde se
utiliza el producto cruz entre los puntos. El rea de la pared de
excavacin se obtiene de la suma de las reas de los elementos
triangulares en los que se divide el bloque para el clculo del
volumen (ver Figura 2-16 [b]), implementando la siguiente
ecuacin:
b\ Kb\ bK (2-49) Dnde: b, \ y , son los tres vrtices que
conforman la subdivisin de la base en el Bloque .
1234
56
7
89
1011
1213
14
1516
1718
1920
22
21
23
24
25
26
27
28
P1
P2
P3
1-1
1-21-3
1-4
2-4
2-3
2-2
2-13-14-1
5-1
5-24-2
3-2
3-3
4-33-4
4-45-3
5-4
Rectas
Particiones
ElementosTriangulares
-
60 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
El rea de los planos de discontinuidad que conforman el Bloque
Crtico, se obtiene de considerar elementos triangulares entre los
puntos perimetrales y el pice.
2.2.5 Permetro de las intersecciones conforman el Bloque
Crtico
Las intersecciones que conforman el Bloque Crtico son: las que
ocurren entre planos de discontinuidad y las que ocurren entre
planos de discontinuidad y seccin de excavacin. Para determinar el
permetro de las intersecciones se utilizan los puntos encontrados
para los vrtices y sus respectivos pices. Para el permetro de la
pared de excavacin, se usan los puntos de la subdivisin realizada
para determinar el volumen del Bloque Crtico (vase Figura 2-16), al
obtener la distancia entre los puntos mediante la siguiente
ecuacin:
bI\ G\ b\ $ \ b\ $ \ b\\ (2-50) Donde, bI\: es el permetro entre
los puntos 1 y 2; b1: las coordenadas en x de los puntos 1 y 2,
respectivamente; bk\: las coordenadas en y de los puntos 1 y 2,
respectivamente; bk\: las coordenadas en z de los puntos 1 y 2,
respectivamente. 2.2.6 Vectores unitarios normales internos y
externos Se requiere de los vectores normales a los planos de
discontinuidad que conforman el Bloque Crtico para identificar
finalmente la forma del elemento tridimensional. Un plano de
discontinuidad presenta la posibilidad de obtener dos vectores
normales; uno interno y el otro externo. Un vector normal a un
plano de discontinuidad es interno cuando se dirige hacia el
interior de la Pirmide de Roca, de lo contrario, cuando el vector
se dirige hacia la parte externa se denomina externo. Un vector
normal unitario interno presenta la misma direccin de un vector
unitario normal externo, pero con sentidos diferentes, por lo
tanto:
nsI nI Donde, I:es el vector unitario interno al plano "";I:es
el vector unitario externo al plano "". Adoptando el vector normal
contemplado en la ecuacin (3-5), se obtienen las siguientes
expresiones:
! YIC >%&"C = !BCC !"C = !BCD $ %&BC)? (2-51) !C!IC
>%&"C = !BCC $ !"C = !BCD %&BC)? (2-52) Donde, qI: es el
vector unitario normal al plano "", dirigido hacia el exterior del
Bloque; I: es el vector unitario normal al plano "", dirigido hacia
el interior del Bloque.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 61
Para encontrar el signo positivo o negativo que le corresponde a
cada vector normal unitario, se analiza el Modo en que se presenta
un Bloque. El Modo equivale a la Pirmide de Juntas que permite
mediante decodificacin binaria identificar si la normal interna a
un plano de discontinuidad se dirige hacia el hemisferio superior o
inferior. El Modo es una adaptacin de lo considerado por la teora
del Key Block, a travs de codificaciones mediante 0 y 1 para
conocer la orientacin de la normal a cada plano de discontinuidad
en la Pirmide de Juntas. Esta teora facilita la visualizacin de las
codificaciones rpidamente al implementar la red estereogrfica,
donde se comparan los centros y los puntos de interseccin con los
crculos mayores. En este trabajo se adoptar un mtodo alternativo
que utiliza la misma codificacin binaria propuesta por Goodman y
Shi (1985). La codificacin mediante 0 y 1, permite identificar si
el plano de discontinuidad se encuentra en el semi-espacio superior
o inferior a la Pirmide de Roca. Por ejemplo, un plano de
discontinuidad que le es asignado el cdigo 1 significa que la
Pirmide de Roca se encuentra por debajo del plano, y le corresponde
un vector unitario normal interno positivo I , y un vector unitario
normal externo negativo qI A. Para un plano de discontinuidad que
le es asignado el cdigo 0 significa que la pirmide de Roca se
encuentra por arriba del plano, y le corresponde un vector unitario
normal interno negativo I y un vector unitario normal externo
positivo qI A. La Tabla 2-3, presenta el sentido que toma cada uno
de los vectores normales unitarios internos y externos, en funcin
de la codificacin de los planos.
Tabla 2-3. Sentido de los vectores unitarios internos y
externos, en funcin de la asignacin de codificacin de planos.
Asignacin de cdigo Vector Unitario Interno I Vector Unitario
Externo qI 1 positivo $ negativo 0 negativo positivo$
La asignacin de los cdigos a cada plano, depende de los Modos en
cmo se presenta la Pirmide de Roca. Al analizar tres planos de
discontinuidad, son ocho (8) los Modos posibles en que se pueda
presentar una Pirmide de Roca: 1) Slo el plano 1 se encuentra por
debajo de la Pirmide de Roca (011), 2) Slo el plano 2 se observa
por debajo de la Pirmide de Roca (101), 3) Slo el plano 3 se
observa por debajo de la Pirmide de Roca (110), 4) Los planos 1 y 2
se observan por debajo de la Pirmide de Roca (001), 5) Los planos 1
y 3 se observan por debajo de la Pirmide de Roca (010), 6) Los
planos 2 y 3 se observan por debajo de la Pirmide de Roca (100), 7)
Todos los planos se observan por debajo de la Pirmide de Roca
(000), 8) Ningn plano se observa por debajo de la Pirmide de Roca
(111).
-
62 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
La codificacin asigna el primer valor a la discontinuidad 1, el
segundo valor a la discontinuidad 2, y el tercer valor a la
discontinuidad 3. Por ejemplo, el cdigo 101, asigna un valor de 1 a
la discontinuidad 1, un valor de 0 a la discontinuidad 2, y de 1 a
la discontinuidad 3.
Para determinar en qu Modo se presenta la Pirmide del Bloque, se
analizan los tringulos que conforman los vrtices y pice. Para
encontrar si el pice se encuentra dentro del tringulo que forman
los vrtices del tringulo base, se utiliza el algoritmo planteado
por Kirkpatrick, donde se analizan las orientaciones de los
tringulos.
En la Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick, se
observa un tringulo conformado por los vrtices A, B y C , y los
puntos de comparacin P y Q. En esta figura se observa que tiene un
sentido en direccin de las manecillas del reloj, siendo esta la
definicin de la direccin del tringulo.
Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick (1986)
Para comparar si el punto P se encuentra entre los vrtices ABC,
se analiza la direccin de los tringulos: , y , donde se aprecia que
la direccin de estos tringulos son iguales a las del tringulo base
; en direccin de las manecillas del reloj. Al comparar el tringulo
base con el punto Q se analizan las direcciones de los tringulos: ,
y , donde se aprecia que la direccin del tringulo es diferente a la
del tringulo base . Para determinar si el punto se encuentra dentro
del tringulo base, se subdivide en tringulos y se comparan las
direcciones obtenidas para cada uno de los elementos. Para que el
punto de comparacin se encuentre dentro del tringulo base, la
direccin de la totalidad de los elementos triangulares del anlisis
debe ser igual a la direccin encontrada para el tringulo base. El
algoritmo de Kirkpatrick presenta la siguiente formulacin para cada
bloque:
BA
C
P
Q
ABP
BCPCAP
ABQ
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 63
Si,
b\ Yb Y Z\ Z Zb Z Y\ Y (2-53) b\ Yb YH Z\ ZH Zb ZH Y\ YH (2-54)
\ Y\ YH Z ZH Z\ ZH Y YH (2-55) b Y YH Zb ZH Z ZH Yb YH (2-56)
Donde, , , : 99:8""; , , : 99:8 Si, 123 > 0,para que el pice
se encuentre dentro del plano de excavacin proyectado se debe
cumplir lo siguiente:
12A > 0 23A > 0 31A > 0
Si 123 < 0,para que el pice se encuentre dentro del plano de
excavacin proyectado se debe cumplir lo siguiente:
12A < 0 23A < 0 31A < 0
Cuando se cumple algunas de las condiciones anteriores, se dice
que se cumple el algoritmo de Kirkpatrick.
Se debe entender que el tringulo 123 es producto de la proyeccin
de los vrtices definidos como 1, 2 y 3, en el sistema coordenado
x,y, lo que representa el plano de excavacin. El tringulo 12, es la
proyeccin conformada por los vrtices 1 y 2, y el pice, lo cual
representa la proyeccin del plano 1. El tringulo 23, es la
proyeccin conformada por los vrtices 2 y 3, y el pice, lo cual
representa la proyeccin del plano 3. El Tringulo 31, es la
proyeccin conformada por los vrtices 3 y 1, y el pice, lo cual
representa la proyeccin del plano 2. La siguiente tabla resume la
equivalencia de cada una de las proyecciones:
Tabla 2-4. Tringulos conformados por las proyecciones
Tringulo Puntos Plano 123 V1, V2, V3 Excavacin 12 V1, V2, A
Discontinuidad 1 23 V2, V3, A Discontinuidad 3
-
64 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
31 V3, V1, A Discontinuidad 2
Al analizar la posicin del pice respecto al plano de excavacin,
y el signo que presenta cada uno de los tringulos, se obtiene el
Modo en que se presenta cada uno de los Bloques. La Figura 2-18,
presenta la tres formas posibles en que se pueden presentar las
proyecciones en el plano x,y.
La Figura 2-18 (a), presenta la proyeccin de un pice que se
encuentra dentro del plano de excavacin o base de la pirmide de
roca. Es por esto que los tringulos de anlisis (12, 23 y 31) se
encuentran contenidos dentro del tringulo 123 y se confirma al
evidenciar que el trazado de los tringulos presenta el mismo
sentido. Para este caso existen dos posibilidades, 1) que los
planos se vean desde arriba con codificacin 111 o desde abajo con
codificacin 000. La codificacin definitiva depende de la ubicacin
del pice respecto al plano de excavacin conformado por los vrtices
1, 2 y 3, si el pice queda por arriba del plano la codificacin es
de 111, y para el caso contrario, cuando el pice se encuentra por
abajo del plano, la codificacin es de 000. La Figura 2-18 (b),
presenta la proyeccin de un pice que se encuentra fuera de la
proyeccin del plano de excavacin, generando que el sentido o
trazado del tringulo 23 sea diferente al del tringulo 123. Dado que
el la proyeccin del tringulo 23 corresponde al plano de la
discontinuidad 3, se determina que este se observa desde arriba 001
o desde abajo 110, dependiendo de la posicin del pice. Si el pice
se encuentra debajo del plano de excavacin la codificacin es 001, y
la codificacin es de 110 para el caso contrario.
La Figura 2-18 (c), presenta la proyeccin de un pice que se
encuentra fuera de la proyeccin del plano de excavacin, generando
que el sentido o trazado de los tringulos 12A y 23A sea diferente
al del tringulo 123. Debido a que los planos correspondientes a la
proyeccin de los tringulos 12A y 23A, son los planos de las
discontinuidades 1 y 3 respectivamente, estos se pueden observar
desde arriba 101 o desde abajo 010. La codificacin cuando el pice
se encuentra abajo del plano de excavacin es de 101, y de 101 para
el caso contrario.
Para encontrar si el pice se encuentra arriba o abajo del plano
de excavacin, en primera medida se obtiene la ecuacin del plano de
excavacin mediante los tres vrtices del Bloque con coordenadas
conocidas.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 65
(a)
(b)
(c) Figura 2-18. Esquemas del algoritmo de Kirkpatrick cuando el
pice genera tres tringulos
(b\, \ y b):(a) todos con el mismo sentido, (b) uno con sentido
diferente al tringulo (b\ y (c) dos con sentido diferente al
tringulo (b\.
-
66 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
La ecuacin de un plano es la siguiente:
XY# $ XZ' $ X[)* X (2-57) Donde , y son los cosenos directores,
definidos por las siguientes expresiones:
C* v/Z\ Zb0 [ [bx v[\ [b /Z Zb0x (2-58) ' >Y\ Yb [ [b? >[\
[b Y Yb? (2-59) ) vY\ Yb /Z Zb0x v/Z\ Zb0 Y Ybx (2-60)
Y j una constante definida por la siguiente ecuacin: X Yb XY $
Zb XZ $ [b X[ (2-61)
Luego, se procede a proyectar el pice sobre el plano de
excavacin, para encontrar la coordenada en el eje z
correspondiente. Para esto se utiliza la siguiente ecuacin:
H Y% XIXYYHIXZZHX[ (2-62) Donde, : es la coordenada en z de la
proyeccin vertical del pice sobre el plano de excavacin; h:es la
coordenada en x del pice;h: es la coordenada en y del pice.
El algoritmo de Kirkpatrick se utiliza para la identificacin de
la codificacin del Modo en que se presenta el bloque de roca, se
analiza cada uno de los tringulos proyectados de la siguiente
forma:
2.2.6.1 Plano de discontinuidad 1 (12A) a) De acuerdo a las
ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de 12 es igual a 123,
y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la
codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-58), si el signo de 12 es igual a 123,
y el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la
codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-58), si el signo de 12 es diferente a 123, y el pice se
encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de
0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo
de 12 es diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano
de excavacin, la codificacin es
de 1.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 67
2.2.6.2 Plano de discontinuidad 2 (31A) a) De acuerdo a las
ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de 31A es igual a 123,
y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la
codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-60), si el signo de 31Aes igual a 123, y
el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la
codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-60), si el signo de 31A es diferente a 123, y el pice se
encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de
0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo
de 31Aes diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano
de excavacin, la codificacin es
de 1.
2.2.6.3 Plano de discontinuidad 3 (23A) a) De acuerdo a las
ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de 23Aes igual a 123, y
el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la
codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-59), si el signo de 23Aes igual a 123, y
el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la
codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y
(2-59), si el signo de 23Aes diferente a 123, y el pice se
encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de
0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo
de 23Aes diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano
de excavacin, la codificacin es
de 1. La Tabla 2-5, presenta de forma resumida la relacin que
existe entre el algoritmo de Kirkpatrick, la posicin del pice y la
codificacin de los planos que identifican su participacin en el
Modo en que se presenta el Bloque Crtico.
Tabla 2-5. Relacin entre logaritmo de Kirkpatrick, posicin del
pice y codificacin del plano en la participacin del Bloque
Crtico.
Plano de Excavacin
Plano de Discontinuidad
Posicin del pice
Comparacin de signos Cdigo
123 1 12A 2 31A 3 23A 1 0 0 1
-
68 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
2.2.7 Ejemplo Asumiendo un tnel en seccin Circular, de dimetro
=5 m con una cobertura mxima de 100 m, pendiente igual a 5 y
orientacin de 10 respecto al norte, encontrar los bloques
inestables con mximo volumen posible dados los siguientes sistemas
de discontinuidades:
Discontinuidad Azimut de Buzamiento () Buzamiento () D1 200 70
D2 60 60 D3 280 35
Los cosenos directores de las intersecciones son los
siguientes:
I1 0.4678 $ 0,6611 $ 0.5865 I1 125.28 ;I1 35.91 I 0.0755 0.8166
$ 0.5723 I 275.29 ;I 34.91 1I 0.8972 0.3050 $ 0.3194 1I 341.22 ;1I
18.63
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 69
La matriz de Transformacin vectorial es la siguiente:
>? 0,981 0,173 0,4680,174 0,985 0,0000,086 0,015 0,996 La
matriz de transformacin se multiplica por cada uno de los vectores
unitarios, para obtener los cosenos directores transformados:
I1 0,293 $ 0,732 $ 0,614 I1 0,84 ;I1 40,00
I 0,0170,817 $ 0.576 I 0,70 ;I 35.17
1I 0,855 0.456 $ 0,246 1I 0,54 ;1I 28,32 Puntos tangentes,
rectas principales y secundarias:
Tabla 2-6. Ecuaciones de las rectas principales y secundarias, y
coordenadas de vrtices tangentes.
Interseccin Pendiente Principal Secundaria Z Y B Z Y B 1 - 2
40,00 98,085 1,607 96,737 101,915 -1,607 103,263 1 - 3 35,17 97,956
-1,440 96,942 102,044 1,440 103,058 2 - 3 -28,32 97,799 -1,186
97,160 102,201 1,186 102,840
La Figura 2-19, presenta las proyecciones de cada una de las
intersecciones, en un plano que atraviesa perpendicularmente el eje
del tnel.
-
70 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
Figura 2-19. Esquema de rectas principales y secundarias en
primer ejemplo.
La Tabla 2-7, presenta las coordenadas y,z de los posibles
pices, y la distancia Z entre estos pices y los puntos tangentes
correspondientes a cada recta:
Tabla 2-7. Ubicacin de los posibles pices, y su distancia
vertical hasta los puntos tangentes.
Rectas Posibles pices Z entre posibles pices y puntos tangentes
Za Ya VTP(1-2) VTS(1-2) VTP(1-3) VTS(1-3) VTP(2-3) VTS(2-3)
P(1-2) P(1-3) 96,848 0,1328 -1,237
-1,109
P(1-2) S(1-3) 100,173 4,0950 2,088
-1,871
S(1-2) P(1-3) 99,827 -4,0950
-2,088 1,871
S(1-2) S(1-3) 103,152 -0,1328
1,237
1,109
P(1-2) P(2-3) 96,994 0,3074 -1,090
-0,805
P(1-2) S(2-3) 100,453 4,4294 2,368
-1,748
S(1-2) P(2-3) 99,547 -4,4294
-2,368
1,748
S(1-2) S(2-3) 103,006 -0,3074
1,090
0,805
P(1-3) P(2-3) 97,870 -1,3177
-0,086
0,071
P(1-3) S(2-3) 122,002 -35,5599
24,045
19,801
S(1-3) P(2-3) 77,998 35,5599
-24,045 -19,801
S(1-3) S(2-3) 102,130 1,3177
0,086
-0,071
Y
Z
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 71
En la Tabla 2-7, se encuentran resaltados los desplazamientos ms
cercanos a cero, positivo y negativo, al analizar cada columna. La
siguiente tabla, presenta las coordenadas de los pices
definitivos:
Tabla 2-8. Coordenadas de los pices que conforman el Bloque
Crtico.
ID Posicin Xa Ya Za 1 Hastial Der. 0 4,0950 100,173
2 Hastial Izq. 0 -4,0950 99,827 3 Bveda 0 0,3074 96,994 4 Piso 0
-0,3074 103,006
5 Bveda 0 -1,3177 97,870 6 Piso 0 1,3177 102,130
La Tabla 2-9, presenta las coordenadas de los vrtices que
conforman el Bloque Crtico:
Tabla 2-9. Coordenadas de los vrtices que conforman el Bloque
Crtico.
ID X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 1 0,997 1,607 98,085 -0,056 1,440
102,044 3,562 2,195 101,196 2 -0,997 -1,607 101,915 0,056 -1,440
97,956 -3,562 -2,195 98,804 3 -0,521 1,607 98,085 -0,017 -0,474
97,545 2,800 -1,186 97,799 4 0,521 -1,607 101,915 0,017 0,474
102,455 -2,800 1,186 102,201 5 -0,001 -1,314 97,873 -0,003 -1,440
97,956 -0,247 -1,186 97,799 6 0,001 1,314 102,127 0,003 1,440
102,044 0,247 1,186 102,201
La Tabla 2-10, presenta la comparacin entre los volmenes
obtenidos mediante la ecuacin (3-48). Tabla 2-10. Comparacin de los
volmenes calculados con los reportados por Unwedge .
ID Posicin Volumen sin curva
Volumen (m3) calculado 4 particiones
Volumen (m3) calculado 20 particiones
Volumen (m3) calculado 50 particiones
Volumen (m3) Unwedge
1 Hastial Der. 5,976 2,702 2,479 2,468 2,48 2 Hastial Izq. 5,976
2,702 2,479 2,468 2,46 3 Bveda 0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 4 Piso
0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 5 Bveda 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6
8,34x10-6 - 6 Piso 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6 8,34x10-6 0,00
En la Tabla 2-10 se observa como a mayor nmero de particiones,
se obtiene un volumen ms pequeo. Adems, se observa que tan solo con
20 particiones, el volumen tiende a ser similar al del programa
Unwedge.
-
72 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles
La Tabla 2-11, presenta las reas calculadas, para los planos de
discontinuidad 1 (A1), 2 (A2) y 3 (A3), y el rea de la pared de
excavacin (Ae), junto con los datos obtenidos del programa Unwedge
.
Tabla 2-11. Comparacin de las reas calculadas con los reportados
por Unwedge.
Datos calculados Unwedge ID Posicin A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae.
(m2) A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae. (m2) 1 Hastial Der. 2,535 3,986
5,168 5,646 2,530 3,990 5,250 5,730 2 Hastial Izq. 2,535 3,986
5,168 5,646 2,520 3,990 5,120 5,620 3 Bveda 0,455 1,014 1,154 1,649
0,460 1,020 1,220 1,710 4 Piso 0,455 1,014 1,154 1,649 0,470 1,030
1,170 1,670 5 Bveda 0,000 0,000 0,006 0,006 - - - - 6 Piso 0,000
0,000 0,006 0,006 0,000 0,000 0,040 0,040
En la Tabla 2-11, se observa gran similitud entre los valores
calculados y los reportados por el software comercial.
La Tabla 2-12, presenta la comparacin de los permetros
calculados con los reportados por el software de comparacin.
Tabla 2-12. Comparacin de los permetros calculados con los
reportados por Unwedge.
Datos calculados Unwedge
ID PA-1 (m) PA-2 (m)
PA-3 (m)
P1-2 (m)
P1-3 (m)
P2-3 (m)
Pe. (m)
PA-1 (m)
PA-2 (m)
PA-3 (m)
1 4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,900 4,820 3,860 2
4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,890 4,510 4,160 3
2,282 4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,090 4,470 3,050 4 2,282
4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,320 4,260 2,620 5 0,151 0,287
0,403 0,005 0,150 0,289 0,444 - - - 6 0,151 0,287 0,403 0,005 0,150
0,289 0,444 0,120 0,690 0,760
PA-1: Permetro entre el pice y el vrtice 1. PA-2: Permetro entre
el pice y el vrtice 2. PA-3: Permetro entre el pice y el vrtice 3.
P1-2: Permetro entre los vrtices 1 y 2. P1-3: Permetro entre los
vrtices 1 y 3. P2-3: Permetro entre los vrtices 2 y 3.
En la Tabla 2-12, se observa la similitud entre los datos
calculados y los reportados por el programa de comparacin.
La Tabla 2-13, presenta las codificaciones calculadas mediante
el algoritmo de Kirkpatrick y la ubicacin de los pices respecto al
plano de la pared de excavacin, y las reportadas por el software de
comparacin.
-
Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 73
Tabla 2-13. Codificacin de planos para el entendimiento del Modo
en que se presenta el Bloque Crtico.
Datos calculados Unwedge ID Posicin D1 D2 D3 D1 D2 D3 1 Hastial
Der. 1 1 0 1 1 0 2 Hastial Izq. 0 0 1 0 0 1 3 Bveda 1 1 1 1 1 1 4
Piso 0 0 0 0 0 0 5 Bveda 0 1 1 - - - 6 Piso 1 0 0 1 0 0
En la Tabla 2-13, se observa la similitud entre los datos
calculados y los reportados en el Software de comparacin.
La Tabla 2-14, presenta los vectores normales unitarios
internos, obtenidos al analizar la codificacin de los planos
presentada en la Tabla 2-13.
Tabla 2-14. Vectores normales unitarios internos de los planos
de discontinuidad.
ID Posicin Ib,q Ib,k Ib, I\,q I\,k I\, I,q I,k I, 1 Hastial Der.
0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 0,100 -0,565 -0,819
2 Hastial Izq. -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 -0,100
0,565 0,819
3 Bveda 0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819
4 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819
5 Bveda -0,883 -0,321 -0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819
6 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819
I,:vector normal unitario interno del plano i en su componente en
j.
-
3 Diseo de Anclajes Cuando al Bloque Crtico de roca se le
consideran las acciones actuantes e inestabilizantes se denomina
Cua Crtica. La Cua Crtica se refiere al Bloque Crtico (forma y
tamao) ms las acciones que actan sobre el Bloque y las fuerzas de
cuerpo. Las acciones que se presentan en la Cua Crtica, en el diseo
de anclajes, representan las cargas de desprendimiento del
Mecanismo de Falla en Cua.
Se consideran en el diseo las Acciones externas, las Reacciones
aportadas por el sistema de soporte y las reacciones aportadas por
las resistencias de los planos de discontinuidad.
Para identificar las Acciones y Reacciones que actan sobre una
Cua de Roca, se agrupan en Fuerzas Activas y Fuerzas Pasivas. Las
Fuerzas Activas son el conjunto de acciones y reacciones que actan
todo el tiempo,