Analytische Berechnung magnetischer Felder in Permanentmagnet erregten Maschinen Vom Fachbereich Elektrotechnik der Helmut-Schmidt-Universität Universität der Bundeswehr Hamburg zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs genehmigte DISSERTATION von Jörg Peschke aus Rheine Hamburg 2006
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Analytische Berechnung magnetischer Felder in Permanentmagnet erregten Maschinen
Vom Fachbereich Elektrotechnik
der
Helmut-Schmidt-Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor-Ingenieurs
genehmigte
DISSERTATION
von
Jörg Peschke
aus Rheine
Hamburg 2006
Referent: Prof. Dr.-Ing. E. Bolte Koreferent: Prof. Dr. rer. nat. M. Clemens Tag der mündlichen Prüfung: 16.06.2006
Vorwort Diese Arbeit entstand während meiner Zeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter an der
Professur für Elektrische Maschinen und Antriebe der Helmut-Schmidt-Universität /
Universität der Bundeswehr in Hamburg.
Mein Dank gilt insbesondere Herrn Prof. Dr.-Ing. E. Bolte für die Möglichkeit, diese
Arbeit an seiner Professur zu fertigen. Seine Anleitung, sein wertvoller Rat und seine
ständige Bereitschaft zur fachkundigen Diskussion haben die vorliegende Veröffentli-
chung ermöglicht.
Auch die Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter der Professur haben mit zahlreichen Ideen
und Hinweisen sowie freundschaftlichem Ansporn viel zu meiner Arbeit beigetragen.
Meiner Lebensgefährtin Gaby danke ich für den wohl schwierigsten Teil bei der Vor-
bereitung des Skriptes: Sie hat mich während dessen Entstehung stets ermutigt, er-
tragen und gehalten, in jeder Situation.
Ein abschließender, großer Dank sei meinen Eltern gewidmet. Sie haben mir stets
beiseite gestanden, den Weg zu dieser Veröffentlichung vorbereitet und mich unter-
stützt, wo immer es Ihnen möglich war.
Hamburg, im Oktober 2006
Jörg Peschke
Seite 1
1. Einleitung............................................................................................. 5 1.1 Gegenstand der Arbeit .......................................................................... 6 1.2 Quellen des ersten Kapitels .................................................................. 7 2. Detaillierung des mathematischen Modells Permanentmagnet
erregter Radialflussmaschinen .......................................................... 8 2.1 Allgemeines zur Modellierung ............................................................... 8 2.1.1 Betrachtete Maschinenausführungen.................................................... 8 2.1.2 Aufteilung des elektromagnetischen Feldes der Maschine ................... 9 2.1.3 Erfassung der Eigenschaften der Magnetwerkstoffe........................... 10 2.2 Beschreibung des verwendeten mathematischen Modells ................. 11 2.3 Quellen des zweiten Kapitels .............................................................. 13 3. Ableitung des magnetischen Vektorpotentials aus den
Maxwellschen Gleichungen.............................................................. 14 3.1 Ableitung des magnetischen Vektorpotentials im Vakuum.................. 14 3.2 Betrachtung des Einflusses der Materialgleichungen.......................... 18 3.2.1 Betrachtung dia- und paramagnetischer Werkstoffe ........................... 21 3.2.2 Betrachtung ferromagnetischer Werkstoffe......................................... 24 3.3 Betrachtung des magnetischen Vektorpotentials unter dem Einfluss
von Materie.......................................................................................... 29 3.3.1 Das Vektorpotential in dia- und paramagnetischer Materie................. 29 3.3.2 Das magnetische Vektorpotential in ferromagnetischer Materie ......... 30 3.3.3 Magnetisierte Materie als Ursache magnetischen Vektorpotentials .... 31 3.3.4 Randbedingung des magnetischen Vektorpotentials .......................... 33 3.4 Schlussfolgerungen zur Anwendung des magnetischen
Vektorpotentials................................................................................... 36 3.5 Quellen des dritten Kapitels ................................................................ 38 4. Berechung eines 6-Schichtenmodells Permanentmagnet erregter
Maschinen.......................................................................................... 40 4.1 Formulierung des Feldproblems.......................................................... 40 4.2 Darstellung des Gebietes permanenter Polarisation ........................... 41 4.2.1 Beschreibung der Magnetisierungsfunktion ........................................ 41 4.2.2 Beschreibung der Magnetisierung durch eine Ersatzstromdichte....... 49 4.2.3 Beschreibung der Magnetisierung durch einen Ersatzstrombelag ..... 49 4.3 Lösung des Feldproblems................................................................... 50 4.3.1 Lösung des Feldproblems der nicht erregten Räume in
Zylinderkoordinaten ............................................................................. 50 4.3.2 Lösung des Ansatzes für den Permanentmagnet erregten Raum in
Zylinderkoordinaten ............................................................................. 52 4.3.3 Zusammenstellung der Lösungsansätze............................................. 54 4.3.4 Auswertung der Randbedingungen an den Grenzflächen................... 55 4.3.4.1 Randbedingungen in allen Feldräumen .............................................. 56 4.3.4.2 Randbedingungen an der Grenzfläche Welle – Läuferjoch................. 56 4.3.4.3 Randbedingungen an der Grenzfläche Ständer - Außenraum ............ 57 4.3.4.4 Randbedingungen an der Grenzfläche Luftspalt - Ständer ................. 58 4.3.4.5 Randbedingungen an der Grenzfläche Läuferjoch –Dauermagnet ..... 59 4.3.4.6 Randbedingungen an der Grenzfläche Dauermagnet - Luftspalt ........ 61 4.3.4.7 Errechnen der Konstanten für den Feldraum des Dauermagneten..... 63
Seite 2
4.3.5 Zusammenstellung der errechneten Konstanten................................. 65 4.4 Ermittlung von Feldgrößen aus den Vektorpotentialen ....................... 67 4.5 Berechnung der Polradspannung........................................................ 68 4.5.1 Berechnung der Flussverkettung einer Spule ..................................... 68 4.5.2 Berechnung der Flussverkettung einer Spulengruppe ........................ 72 4.5.3 Berechnung der Flussverkettung der Wicklungsstränge ..................... 73 4.5.4 Berechnung der Strangspannungen ................................................... 75 4.6 Numerische Berechnung eines Beispielproblems............................... 77 4.7 Quellen des vierten Kapitels................................................................ 86 5. Bestimmung der Streuziffer aus der zweidimensionalen
Feldberechnung................................................................................. 87 5.1 Quellen des fünften Kapitels ............................................................... 96 6. Berechnung eines Vielschichtenmodells Permanent erregter
Maschinen.......................................................................................... 97 6.1 Formulierung des Feldproblems.......................................................... 97 6.2 Lösung des Feldproblems................................................................... 99 6.2.1 Lösungsansatz .................................................................................... 99 6.2.2 Formulierung eines Algorithmus zur Konstantenbestimmung ........... 100 6.3 Bestimmung der Konstanten............................................................. 102 6.3.1 Allgemeine Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen ri ..... 102 6.3.2 Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen r=r1 und r=rM ..... 104 6.3.3 Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen r=rE-1 und r=rE ... 104 6.4 Zusammenfassende Darstellung des Algorithmus zur Berechnung
aller Konstanten des Gleichungssystems.......................................... 106 6.5 Anwendung des Algorithmus............................................................. 109 6.6 Quellen des sechsten Kapitels .......................................................... 110 7. Definition und Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten für die
zweidimensionale Feldberechnung ............................................... 111 7.1 Definition und Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten für die
zweidimensionale Feldberechnung ................................................... 111 7.1.1 Bestimmung und Formulierung der Werkstoffkennlinie..................... 115 7.1.1.1 Interpolation diskret vorliegender Wertepaare von
Magnetisierungskurven ..................................................................... 115 7.1.1.2 Approximation der Magnetisierungskurve durch eine parametrierte
Hilfsfunktion....................................................................................... 119 7.1.2 Bestimmung der die Ersatzpermeabilität festlegenden Feldgröße .... 125 7.1.3 Konvergenz und Abbruch des Algorithmus zur
Ersatzpermeabilitätsbestimmung....................................................... 130 7.1.4 Berechnung eines Beispielproblems ................................................. 133 7.2 Quellen des siebten Kapitels............................................................. 139 8. Nutung ............................................................................................. 140 8.1 Berücksichtigung der Nutung durch einen vergrößerten Luftspalt..... 140 8.2 Quellen des achten Kapitels.............................................................. 144
Seite 3
9. Integration der Ankerwicklung in das zweidimensionale Schichtenmodell.............................................................................. 145
9.1 Formulierung des Feldproblems........................................................ 145 9.2 Entwicklung des Strombelags der Statorwicklung............................. 147 9.2.1 Superposition der Spulen zu einer Spulengruppe............................. 150 9.2.2 Superposition der Spulengruppen zu einem Strang.......................... 152 9.2.3 Superposition der Statorstränge........................................................ 154 9.2.4 Integration des Strombelags in die Modellanordnung ....................... 157 9.3 Numerische Berechnung eines Beispielproblems............................. 160 9.4 Berechnung der Statorflussverkettung .............................................. 164 9.5 Quelle des neunten Kapitels ............................................................. 166 10. Beispielrechnungen........................................................................ 167 10.1 Berechnungsergebnisse für den Synchronmotor MSKS 071-13 der
Firma Lenze GmbH & Co. KG ........................................................... 167 10.1.1 Eingabedaten.................................................................................... 167 10.1.2 Berechnungsergebnisse ................................................................... 169 10.1.2.1 Carterfaktor ....................................................................................... 169 10.1.2.2 Modellierung der Permeabilitätsverteilung in Rotor und Stator ......... 170 10.1.2.3 Berechnung des magnetischen Vektorpotentials .............................. 175 10.1.2.4 Berechnung magnetischer Flussdichte im Leerlauf........................... 176 10.1.2.5 Berechnung des Bohrungsfeldes ...................................................... 176 10.1.3 Berechnung von aus den Feldern abgeleiteter Größen .................... 185 10.1.3.1 Berechnung von Flussverkettung und Polradspannung.................... 185 10.2 Berechnungsergebnisse für den Torquemotor MBT210C der Firma
Bosch-Rexroth AG............................................................................. 187 10.2.1 Eingabedaten.................................................................................... 187 10.2.1.1 Eingabedaten konzentrierter Wicklungen.......................................... 189 10.2.2 Berechnungsergebnisse ................................................................... 192 10.2.2.1 Carterfaktor ....................................................................................... 192 10.2.2.2 Modellierung der Permeabilitätsverteilung in Rotor und Stator ......... 192 10.2.2.3 Berechnung des magnetischen Vektorpotentials .............................. 194 10.2.3 Berechnung von aus den Feldern abgeleiteter Größen .................... 201 10.2.3.1 Berechnung von Flussverkettung und Polradspannung.................... 201 10.3 Quellen des zehnten Kapitels............................................................ 205 11. Zusammenfassung und Ausblick .................................................. 206
Seite 4
Anlage 1: Technische Daten des Servomotors der Firma Lenze................. 207 Anlage 2: Technische Daten des Torquemotors der Firma Bosch-Rexroth 212 Anlage 3: Programmbeschreibung................................................................. 215 Anlage 4: Quellenverzeichnis ......................................................................... 225 Anlage 5: Verzeichnis der verwendeten Variablen........................................ 230 Anlage 6: Lebenslauf des Autors ................................................................... 238
Seite 5
1. Einleitung Die Permanentmagnet erregte Maschine hat mit der Weiterentwicklung von Magnet-
werkstoffen in den letzten Jahren (siehe auch Bild 1.1) eine rapide Zunahme von
Anwendungsmöglichkeiten erfahren. Frühere Grenzen, gesetzt durch die Energie-
dichte, thermische Belastbarkeit und Korrosionsanfälligkeit von Dauermagneten sind
überwunden.
Die resultierende Motorentechnologie vereint nunmehr einige hervorragende Eigen-
schaften wie guten Wirkungsgrad und höchste Kompaktheit (Drehmoment pro Volu-
men) mit einfacher Positionierbarkeit, hoher Gleichlaufgüte und Wartungsfreiheit.
Daher werden Permanentmagnet erregte Maschinen nun auch für größere Leistun-
gen interessant. Großmaschinen im Schiffbau (100...300 min-1), langsam laufende
Windenergiegeneratoren (17 min-1), getriebelose Traktionsantriebe (2100 min-1) und
schnell laufende Generatoren (13000 min-1) in Bereichen von (1...4 MW) sind Bei-
spiele dafür, wie Permanentmagnet erregte Maschinen vielfältige Anwendungen er-
4.2.3 Beschreibung der Magnetisierung durch einen Ersatzstrombelag
Zu Vergleichs- und Verifikationszwecken kann es nützlich sein, die Ersatzstromdichte
( )0 2,J r ϕr
in einem korrespondierenden Strombelag ( )0 2a ϕ auf dem Radius 2r dar-
zustellen. Hierzu wird die Ersatzstromdichte über den Radius des Permanentmagnet-
ringes integriert.
(4.2.3.01) ( ) ( )3
2
0 2 0 2, r
r
a J r drϕ ϕ= ∫r
Seite 50
(4.2.3.02) ( )3 3
3 20 2 2 2
2 2
2 2ln sin( ) ln sin( )f f PM
r r
p pr ra k kr r
μ μ
μ μ
δϕ μ μϕ μ μϕμ μ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+= ⋅ = ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑
, ,
ˆ2S f N f
Mk K Kμ μ μ
π μ= ⋅ ⋅
2 1f
apμ
= + mit max0,1,2a a= K
4.3 Lösung des Feldproblems
4.3.1 Lösung des Feldproblems der nicht erregten Räume in Zylinderkoordinaten
Für die anregungsfreien Feldräume Welle, Läuferjoch, Luftspalt, Ständer und Außen-
raum ist das magnetische Vektorpotential Aur
durch die Laplacesche Differentialglei-
chung 0AΔ = (3.1.9) beschrieben. Gemäß den Festlegungen in Kapitel 2.2 wird der
Laplace-Operator problemangepasst in Zylinderkoordinaten formuliert:
(4.3.1.1) 2 2
2 2 22
1 1 0A A A Ar r r r ϕ∂ ∂ ∂
Δ = + + =∂ ∂ ∂
ur
Die Lösung der Gleichung erfolgt traditionell mittels des Separationsansatzes
2( ) ( )A R r ϕ= ⋅Φ
(4.3.1.2) 2
1 1 0R RAR r R r′′ ′ ′′Φ
Δ ≡ + + =Φ
Mit der Wahl von 2n′′Φ Φ = sowie durch Trennung der Veränderlichen erhält man
für die FunktionΦ :
(4.3.1.3) 1 2 2
3 2 4 2
sin( ) cos( )
K KK K
ϕμϕ μϕ
+⎧Φ = ⎨ +⎩
=0>1,
μμ μ ∈
Für die Differentialgleichung 2 2 0r R rR n R′′ ′+ − = ist folgende Lösung bekannt:
Seite 51
(4.3.1.4) 5 6
7 8
ln( ) K K rR
K r K rμ μ−
+⎧⎪= ⎨+⎪⎩
=0>0,
μμ μ ∈
Die Linearkombination der Einzellösungen (4.3.1.3) und (4.3.1.4) führt zur allgemei-
nen Lösung:
(4.3.1.5) ( ) ( )
( ) ( )1 2 2 3 4
5 2 6 2 7 8
ln( )
sin( ) cos( )
K K K K rA K K K r K rμ μ μ μ μ μ
μ
ϕ
μϕ μϕ −
+ ⋅ + +⎧⎪= ⎨ + ⋅ +⎪⎩∑
Mit Einführung der Periodizität 2 2( , ) ( , 2 )A r A rϕ ϕ π= +r r
folgen 2 0K = und μ ∈
(4.3.1.6) ( )
( ) ( )1 3 4
5 2 6 2 7 8
ln( )
sin( ) cos( )
K K K rA K K K r K rμ μ μ μ μ μ
μ
μϕ μϕ −
⋅ + +⎧⎪= ⎨ + ⋅ +⎪⎩∑
Die Forderung der Endlichkeit des Betrages von 2( , )A r ϕr
bei Radien der Grenzwerte
Null und Unendlich bedingt 4 0K =
(4.3.1.7) ( ) ( )1 3
5 2 6 2 7 8
sin( ) cos( )
K KA K K K r K rμ μ μ μ μ μ
μ
μϕ μϕ −
⋅ +⎧⎪= ⎨ + ⋅ +⎪⎩∑
Die Berücksichtigung der Feldanregung durch den PM-Magnetring führt aufgrund
rein gerader Funktionen in den Radialkomponenten der generierten Flussdichte zu
einer weiteren Vereinfachung:
(4.3.1.8) ( )1 3
5 2 7 8
sin( )
K KA K K r K rμ μ μ μ μ
μ
μϕ −
⋅ +⎧⎪= ⎨ ⋅ +⎪⎩∑
mit ( )
max
2 1
0,1,2,fp a
a a
μ = +
= K
Seite 52
Eine letzte Umformulierung des magnetischen Vektorpotentials führt zu
(4.3.1.09) ( )1 2 3 2sin( )A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
mit ( )
max
2 1
0,1,2,fp a
a a
μ = +
= K
Dieser Ansatz wird im Weiteren übernommen und in Abschnitt 4.3.5 an die besonde-
ren Eigenschaften der zu betrachtenden Feldräume angepasst. Die verbleibenden
Konstanten werden aus den Randbedingungen ermittelt.
4.3.2 Lösung des Ansatzes für den Permanentmagnet erregten Raum in Zylinderkoordinaten
Der nun zu untersuchende Feldraum des Permanentmagnetes wird als magnetosta-
tischer Fall mit eingeprägter Ersatzstromdichte betrachtet. Hier ist die Gleichung
(3.1.9) ( A Jμ ′Δ = −r r
) zu lösen; sie gilt für konstante Permeabilität.
(4.3.2.1) ( )3
2 2
0 0 22 2 22
1 1 ,rA A A A J rr r r r
μ μ ϕϕ
∂ ∂ ∂Δ = + + = −
∂ ∂ ∂
ur r
mit ( ) ( )30 0 2 2
1, sinr zJ r a er
μ
μ
μ μ ϕ μϕ− = − ∑r r ,
02 fa p kμ μμ μ= − und ( ) max2 1 , 0,1,2,fp a a aμ = + = K
Neben der in Kapitel 4.3.1 ermittelten homogenen Lösung der Differentialgleichung
wird nun eine additionale partikuläre Lösung gefunden werden.
Die Störfunktion ( )30 0 2,r J rμ μ ϕ−r
lässt ein Ergebnis der Art
(4.3.2.2) 2sin( )pA Kμμ
μϕ′ = ∑
Seite 53
vermuten. Durch Einsetzen von A′ in die ursprüngliche DGL erhält man neben dem
Beweis der Richtigkeit der Vermutung von A′ die Konstante pKμ mit:
(4.3.2.3) 211p
aKμ
μ
μμ≠
=−
Die Lösung der DGL für 1μ = findet sich durch Substitution von r durch r = te und
nochmaliges Einsetzen von 2( , )tA A e ϕ′′ ′′= in die Ursprungsgleichung.
Als Ergebnis erhält man:
(4.3.2.4) 12
1
1 ln( )sin( )2
A ar rμ
ϕ=
′′ =
Die allgemeine Lösung der DGL im Feldraum ergibt sich nun durch die Linearkombi-
nation der gefundenen homogenen und partikulären Einzellösungen zu:
(4.3.2.5)
( )1 2 3 2
22
sin( )
+ sin( )(1 )
C C C r r
Aa r
μ μ μ μ
μ
μ
μ
μϕ
μϕμ
−⎧ ⎡ ⎤+ + ⋅⎣ ⎦⎪⎪= ⎨ ⎡ ⎤⎪ ⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩
∑
∑
mit ( )max
12 1
0,1,2,fp a
a a
μμ>
= +
= K
sowie
(4.3.2.6) ( )1 1
1 2 3 2
12
sin( )
1 ln( )sin( ) 2
C C C r rA
ar r
ϕ
ϕ
−⎧ ⎡ ⎤+ + ⋅⎣ ⎦⎪= ⎨ ⎡ ⎤+⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
Seite 54
(4.3.2.7) ( )1 1
1 2 3 2
12
sin( )
1 ln( )sin( ) 2
C C C r rA
ar r
ϕ
ϕ
−⎧ ⎡ ⎤+ + ⋅⎣ ⎦⎪= ⎨ ⎡ ⎤+⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩
mit ( )2 1 1
01
f
f
p a
ap
μ = + =
==
Dieser Ansatz wird im Weiteren übernommen; die verbleibenden Konstanten werden
in Abschnitt 4.3.5 aus den gültigen Randbedingungen ermittelt.
4.3.3 Zusammenstellung der Lösungsansätze Der allgemeine Lösungsansatz lässt sich für die Feldräume 1 (Welle) und 6 (Außen-
raum) aufgrund der speziellen Bedingungen 10limr
A→
≠ ∞ und 6limr
A→∞
≠ ∞ weiter
vereinfachen. Daher:
1 1,1 2,1 2sin( )A C C rμ μ
μ
μϕ= + ⋅ ⋅∑
6 1,6 2,6 2sin( )A C C rμ μ
μ
μϕ−= + ⋅ ⋅∑
Somit bleiben folgende Gleichungen an ihren Randbedingungen zu betrachten:
(4.3.3.1) 1 1,1 2,1 2sin( )A C C rμ μ
μ
μϕ= + ⋅ ⋅∑
(4.3.3.2) ( )2 1,2 2,2 3,2 2sin( )A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
Seite 55
(4.3.3.3)
( )
( )
( )( )
1,3 2,3 3,3 2
3 221
121
sin( )
sin( )(1 )
1 ln sin( )2
C C C r r
aA r
a r r
μ μ μ μ
μ
μ
μ μ
μ
μϕ
μϕμ
ϕ
−
≠
=
⎧ + ⋅ + ⋅⎪⎪⎪⎪= + ⋅ ⋅⎨
−⎪⎪+ ⋅ ⋅ ⋅⎪
⎪⎩
∑
∑
(4.3.3.4) ( )4 1,4 2,4 3,4 2sin( )A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
(4.3.3.5) ( )5 1,5 2,5 3,5 2sin( )A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
(4.3.3.6) 6 1,6 2,6 2sin( )A C C rμ μ
μ
μϕ−= + ⋅ ⋅∑
4.3.4 Auswertung der Randbedingungen an den Grenzflächen Die Randbedingungen des magnetischen Vektorpotentials an Grenzflächen sind
nach Gleichung (3.3.3.4) definiert mit der Stetigkeit des Vektorpotentials
(4.3.4.1) i+1( ) ( ) i i iA r A r=
sowie der Kontinuitätsbedingung für die Tangentialkomponente der magnetischen
Feldstärke nach den Gleichungen (3.3.4.2) und (3.3.4.3):
(4.3.4.2) i 2 i+1 2 2( ) ( ) ( ) i i iH r H r a rϕ ϕ ϕ∂ − ∂ = ∂
(4.3.4.3) 1
1
1 1 0i ii i
i i
r rr r
A Ar rμ μ
+
+
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Mit den sich ergebenden 10 Gleichungen an den entsprechenden 5 Grenzflächen
lässt sich das Gleichungssystem nach Kapitel 4.3.3 vollständig lösen.
Seite 56
4.3.4.1 Randbedingungen in allen Feldräumen Eine der Konstanten des vorliegenden Gleichungssystems ist frei wählbar. Im Fol-
genden sei 1, 1 0C = gesetzt. Aufgrund der Kontinuität des Vektorpotentials gilt damit
für alle 1, i 0C = .
4.3.4.2 Randbedingungen an der Grenzfläche Welle – Läuferjoch
Stetigkeit des Vektorpotentials bei 1r r=
(4.3.4.2.1) ( )
( ) ( )
1 1 2,1 2 1
2 1 2,2 2 3,2 1 1
sin( )
sin( )
A r C r
A r C C r r
μ μ
μ
μ μ μ μ
μ
μϕ
μϕ −
= =
= +
∑
∑
(4.3.4.2.2) ( )3,2 1 1
2,1 2,21
C r rC C
r
μ μ μμ μ
μ
−+=
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke bei 1r r=
(4.3.4.2.3)
( )
1 11
2 21
2,1 112 1
0 0
2,2 1 122 3,2 1 1
0 0
1 sin( )
1 sin( )
r rr r
r rr r
CA rr
CA C r rr
μμ
μ
μμ μ μ
μ
μϕ μμ μ μ μ
μϕ μ μμ μ μ μ
−
=
− − −
=
∂= =
∂
∂= −
∂
∑
∑
(4.3.4.2.4) ( )
1
2
3,2 1 12,1 2,2
1
r
r
C r rC C
r
μ μ μμ μ
μ
μμ
−−=
Diese Gleichungen führen gleichgesetzt direkt zu
(4.3.4.2.5) 1 2
1 2
23,2 1
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−+=
−
(4.3.4.2.6) ( )22,1 2,2 3,2 1C C C rμ μ μ μ−= +
Seite 57
4.3.4.3 Randbedingungen an der Grenzfläche Ständer - Außenraum
Stetigkeit des Vektorpotentials bei 5r r=
(4.3.4.3.1) ( ) ( )
( )
5 5 2,5 2 3,5 5 5
6 5 2,6 2 5
sin( )
sin( )
A r C C r r
A r C r
μ μ μ μ
μ
μ μ
μ
μϕ
μϕ
−
−
= + =
=
∑
∑
(4.3.4.3.2) ( )3,5 5 5
2,6 2,55
C r rC C
r
μ μ μμ μ
μ
−
−
+=
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke bei 5r r=
(4.3.4.3.3)
( )
( )
5 55
5 65
2,5 1 152 3,5 5 5
0 0
2,6 162 5
0 0
1 sin( )
1 sin( )
r rr r
r rr r
CA C r rr
CA rr
μμ μ μ
μ
μμ
μ
μϕ μ μμ μ μ μ
μϕ μμ μ μ μ
− − −
=
− −
=
∂= −
∂
∂= −
∂
∑
∑
(4.3.4.3.4) ( )
6
5
3,5 5 52,6 2,5
5
r
r
C r rC C
r
μ μ μμ μ
μ
μμ
−
−
−= −
Die Gleichungen führen gleichgesetzt direkt zu
(4.3.4.3.5) 6 5
6 5
23,5 5
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−−=
+
(4.3.4.3.6) ( )22,6 2,5 3,5 5 1C C C rμ μ μ μ= +
Seite 58
4.3.4.4 Randbedingungen an der Grenzfläche Luftspalt - Ständer
Stetigkeit des Vektorpotentials bei 4r r=
(4.3.4..4.1) ( ) ( )
( ) ( )
4 4 2,4 2 3,4 4 4
5 4 2,5 2 3,5 4 4
sin( )
sin( )
A r C C r r
A r C C r r
μ μ μ μ
μ
μ μ μ μ
μ
μϕ
μϕ
−
−
= + =
= +
∑
∑
(4.3.4.4.2) ( )( )
3,4 4 42,5 2,4
3,5 4 4
C r rC C
C r r
μ μ μμ μ
μ μ μ
−
−
+=
+
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke bei 4r r=
(4.3.4.4.3)
( )( )
( )( )
4 44
5 54
2,4 1 142 3,4 4 4
0 0
2,5 1 152 3,5 4 4
0 0
1 sin
1 sin
r rr r
r rr r
CA C r rr
CA C r rr
μμ μ μ
μ
μμ μ μ
μ
μϕ μ μμ μ μ μ
μϕ μ μμ μ μ μ
− − −
=
− − −
=
∂= −
∂
∂= −
∂
∑
∑
(4..3.4.4..4) ( )( )
5
4
3,4 4 42,5 2,4
3,5 4 4
r
r
C r rC C
C r r
μ μ μμ μ
μ μ μ
μμ
−
−
−=
−
Die Gleichungen führen ineinander eingesetzt zu
(4.3.4..4.5)
25 43,5 4
5 43,4
2 5 43,5 4
5 4
1
C rC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μμ μμ μ
−−+
+=
−+
+
(4.3.4..4.6) ( )( )
23,4 4
2,5 2,4 23,5 4
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ
−
−
+=
+
Seite 59
4.3.4.5 Randbedingungen an der Grenzfläche Läuferjoch – Permanent-magnet
Stetigkeit der des Vektorpotentials für den Fall 1μ > bei 2r r=
(4.3.4.5.1) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2,2 2 3,2 2 2
3 2 2,3 3,3 2 2 2 22
sin( )
sin( )(1 )
A r C C r r
aA r C C r r r
μ μ μ μ
μ
μμ μ μ μ
μ
μϕ
μϕμ
−
−
= + =
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑
∑
(4.3.4.5.2) ( )2,3 3,3 2 2 22
2,23,2 2 2
(1 )aC C r r r
CC r r
μμ μ μ μ
μμ μ μ
μ−
−
+ +−=
+
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke für den Fall 1μ > bei 2r r=
(4.3.5.5.3)
( )
( )
3 32
3
2 22
2,3 1 132 3,3 2 2
0 0
22 20
2,2 1 122 3,2 2 2
0 0
1 sin( )
+ sin( )(1 )
1 sin( )
r rr r
r
r rr r
CA C r rr
a
CA C r rr
μμ μ μ
μ
μ
μμ μ μ
μ
μϕ μ μμ μ μ μ
μϕμ μ μ
μϕ μ μμ μ μ μ
− − −
=
− − −
=
∂= −
∂
=−
∂= −
∂
∑
∑
(4.3.4.5.4) ( )
( )2
3
1 12,3 3,3 2 2 2
2,2 1 13,2 2 2
+(1 ) = r
r
aC C r rC
C r r
μμ μ μ μ
μμ μ μ
μ μμ μμ μ μ
− − −
− − −
−−
−
Durch Ein- und Gleichsetzen ergeben sich
(4.3.4.5.5) ( ) ( )
( )
2 12,3 3,3 2 22
2,2 23,2 2
1aC C r r
CC r
μμ μ μ μ
μμ
μ− − +
−
+ +−
=+
Seite 60
(4.3.4.5.6) ( )( ) ( )( )
2
3
3 2
12
22
2,3 2 22 3,3 2 3,3 2
11
r
r
r r
ar K
CK C r C r
μ μ
μμ μ μ μ
μμ μμ
μ μ
− +
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
+ − −
mit 2
3,2 22 2
3,2 2
C rK
C r
μ μμ
μ μ
−
−
−≡
+
Stetigkeit des Vektorpotentials für den Fall 1μ = bei 2r r=
(4.3.4.5.7)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 12 2 2 3,2 2 2 2,2
11 1 1
3 2 2 3,3 2 2 2,3 2 2 2
sin( ) =
sin( ) ln sin( )2
A r C r r C
aA r C r r C r r
μ
μ
ϕ
ϕ ϕ
−
−
= +
= + +
∑
∑
(4.3.4.5.8) ( ) ( )
( )
11 1 1
2,3 3,3 2 2 2 21
2,2 1 13,2 2 2
ln2aC C r r r r
CC r r
−
−
+ +=
+
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke für den Fall 1μ = bei 2r r=
(4.3.4.5.9)
( )
( ) ( )( )
2 22
3 3 32
12,2 1 22
2 3,2 20 0
1 12,3 1 23
2 3,3 2 2 20 0 0
1 sin( ) =
1 sin( ) + ln 1 sin( )2
r rr r
r r rr r
CA C rr
CA aC r rr
μ
μ
ϕμ μ μ μ
ϕ ϕμ μ μ μ μ μ
−
=
−
=
∂= −
∂
∂= − +
∂
∑
∑
(4.3.4.5.10) ( ) ( )( )
( )2
3
11 1 2
2,3 3,3 2 21
2,2 1 23,2 2
+ ln 12 = r
r
aC C r rC
C rμμ
−
−
− +
−
Durch Einsetzen ergibt sich:
(4.3.4.5.11) ( ) ( )
( )
11 1 2
2,3 3,3 2 21
2,2 1 23,2 2
ln2aC C r r
CC r
−
−
+ +=
+
Seite 61
Hieraus ergibt sich nach elementaren Umrechnungen:
(4.3.4.5.12) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
2
3
3 2
12 2 2
12,3 1 2 1 2
2 3,3 2 3,3 2
ln 1 lnr
r
r r
a r K rC
K C r C rμ
μμ
μ μ− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠=+ − −
mit 1 2
3,2 212 1 2
3,2 2
C rK
C r
−
−
−≡
+
4.3.4.6 Randbedingungen an der Grenzfläche Permanentmagnet - Luft-spalt
Stetigkeit des Vektorpotentials für den Fall 1μ > bei 3r r=
(4.3.4.6.1) ( ) ( )
( ) ( )
4 3 2,4 2 3,4 3 3
3 3 2,3 3,3 3 3 3 22
sin( )
sin( )(1 )
A r C C r r
aA r C C r r r
μ μ μ μ
μ
μμ μ μ μ
μ
μϕ
μϕμ
−
−
= + =
⎛ ⎞= + +⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑
∑
(4.3.4.6.2) ( )
( )2,3 3,3 3 3 32
2,43,4 3 3
(1 )aC C r r r
CC r r
μμ μ μ μ
μμ μ μ
μ−
−
+ +−=
+
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke für den Fall 1μ > bei 3r r=
(4.6.4.6.3) ( )
( )
3 3 33
4 43
2,3 1 13 22 3,3 3 3 2
0 0 0
2,4 1 142 3,4 3 3
0 0
1 sin( )sin( ) + (1 )
1 sin( )
r r rr r
r rr r
CA aC r rr
CA C r rr
μ μμ μ μ
μ
μμ μ μ
μ
μϕμϕ μ μμ μ μ μ μ μ μ
μϕ μ μμ μ μ μ
− − −
=
− − −
=
∂= − =
∂ −
∂= −
∂
∑
∑
(4.3.4.6.4) ( )
( )4
3
2,3 3,3 2 2 2
2,43,4 3 3
+(1 ) = r
r
aC C r rC
C r r
μμ μ μ μ
μμ μ μ
μ μμ μμ μ μ
−
−
−−
−
Seite 62
Die Gleichungen führen ineinander eingesetzt zu
(4.3.4.6.5) ( ) ( )
( )
2 12,3 3,3 3 32
2,4 23,4 3
1aC C r r
CC r
μμ μ μ μ
μμ
μ− − +
−
+ +−
=+
(4.3.4.6.6) ( )( ) ( )( )
4
3
3 4
13
42
2,3 2 24 3,3 3 3,3 3
11
r
r
r r
ar K
CK C r C r
μ μμ
μμ μ μ μ μ
μμ μμ
μ μ
− +
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
+ − −
mit 2
3,4 34 2
3,4 3
C rK
C r
μ μμ
μ μ
−
−
−≡
+
Aus der Stetigkeit des Vektorpotentials für Fall 1μ = bei 3r r=
(4.3.4.6.7) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
11 1 1
3 3 2 3,3 3 3 2,3 3 3 2
1 1 14 3 2 3,4 3 3 2,4
sin( ) ln sin( )2
sin( )
aA r C r r C r r
A r C r r Cμ
μ
ϕ ϕ
ϕ
−
−
= + + =
= +
∑
∑
(4.3.4.6.8) ( ) ( )
( )
11 1 1
2,3 3,3 3 3 3 31
2,4 1 13,4 3 3
ln2aC C r r r r
CC r r
−
−
+ +=
+
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke für den Fall 1μ = bei 3r r=
(4.3.4.6.9) ( ) ( )( )
( )
3 3 33
4 43
1 12,3 1 23
2 3,3 3 3 20 0 0
12,4 1 24
2 3,4 30 0
1 sin( ) + ln 1 sin( )2
1 sin( )
r r rr r
r rr r
CA aC r rr
CA C rr
μ
μ
ϕ ϕμ μ μ μ μ μ
ϕμ μ μ μ
−
=
−
=
∂= − + =
∂
∂= −
∂
∑
∑
Seite 63
(4.3.4.6.10) ( ) ( )( )
( )4
3
11 1 2
2,3 3,3 3 31
2,4 1 23,4 3
+ ln 12 = r
r
aC C r rC
C rμμ
−
−
− +
−
Durch Einsetzen ergibt sich:
(4.3.4.6.11) ( ) ( )
( )
11 1 2
2,3 3,3 3 31
2,4 1 23,4 3
ln2aC C r r
CC r
−
−
+ +=
+
Hieraus ergibt sich nach elementaren Umrechnungen:
(4.3.4.6.12) ( )( ) ( )
( ) ( )
4
3
3 4
13 4 3
12,3 1 1 2 1 2
4 3,3 3 3,3 3
ln 1 lnr
r
r r
a r K rC
K C r C r
μμ
μ μ− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠=+ − −
mit 1 2
3,4 314 1 2
3,4 3
C rK
C r
−
−
−≡
+
4.3.4.7 Errechnen der Konstanten für den Feldraum des Permanentmag-neten
Aus den Gleichungen (4.3.4.5.12) und (4.3.4.6.12) ergeben sich für 2,3Cμ
( )( ) ( )
( )( ) ( )
4 2
3 3
3 4 3 2
1 13 2
4 22 2!
2,3 2 2 2 24 3,3 3 3,3 3 2 3,3 2 3,3 2
1 11 1
r r
r r
r r r r
ar arK K
CK C r C r K C r C r
μ μ μ μ
μμ μ μ μ μ μ μ μ
μ μμ μ μ μμ μ
μ μ μ μ
− + − +
− − − −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
+ − − + − −
Hiermit lässt sich 3,3Cμ extrahieren um das Gleichungssystem nach Abschnitt 4.3.3
für den Fall (μ >1) aufzulösen:
Seite 64
(4.3.4.7.1) ( ) ( )( ) ( )
3 2 3 4
2 3 3 4
2 23 2 2 3 4
3,33 2 4
r r r r
r r r r
K r K r KC
K K K
μ μμ
μ
μ μ μ μ
μ μ μ μ
− −− − +=
− + −
mit ( )( )
4 3
2 3
13 4
3 12 2
r r
r r
r KK
r K
μμ
μ
μ μ μ
μ μ μ
− +
− +
−≡
−
Das Gleichungssystem ist hiermit für den Fall (μ>1) gelöst, es bleiben noch die Kon-
stanten sowie deren Abhängige für den partikulären Fall zu bestimmen:
(4.3.4.7.2) ( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( ) ( )
4 3 2 3
3 3
3 4 3 2
1 12 2
3 3 4 3 2 2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 2 1 24 3,3 3 3,3 3 2 3,3 2 3,3 2
ln 1 ln ln 1 ln
1 1 1 1
r r r rr r
r r r r
a ar r K r r r K r
K C r C r K C r C r
μ μ μ μμ μ
μ μ μ μ
+ − + −
=+ − − + − −
Nun lässt sich 13,3C extrahieren:
(4.3.4.7.3) ( ) ( )( ) ( )
3 2 3 4
2 3 3 4
1 2 2 13 2 2 3 41
3,3 1 1 13 2 4
r r r r
r r r r
K r K r KC
K K K
μ μ μ μ
μ μ μ μ
− −+ − +=
− + −
mit ( )( ) ( )( )( ) ( )
4 3
2 3
13 4 31
3 12 2 2
ln 1 lnln 1 ln
r r
r r
r K rK
r K rμ μμ μ
+ −≡
+ −
Das Gleichungssystem nach Kapitel 4.3.3 ist hiermit vollständig gelöst.
Seite 65
4.3.5 Zusammenstellung der errechneten Konstanten
Für den Fall (μ >1) gilt nun folgende Zusammenstellung der Konstanten ,i jC :
( )22,1 2,2 3,2 1C C C rμ μ μ μ−= +
( ) ( )( )
2 12,3 3,3 2 22
2,2 23,2 2
1aC C r r
CC r
μμ μ μ μ
μμ
μ− − +
−
+ +−
=+
und 1 2
1 2
23,2 1
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−+=
−
( )( ) ( )( )
2
3
3 2
12
22
2,3 2 22 3,3 2 3,3 2
11
r
r
r r
ar K
CK C r C r
μ μ
μμ μ μ μ
μμ μμ
μ μ
− +
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
+ − − mit
23,2 2
2 23,2 2
C rK
C r
μ μμ
μ μ
−
−
−≡
+
( ) ( )( ) ( )
3 2 3 4
2 3 3 4
2 23 2 2 3 4
3,33 2 4
r r r r
r r r r
K r K r KC
K K K
μ μμ
μ
μ μ μ μ
μ μ μ μ
− −− − +=
− + − mit
( )( )
4 3
2 3
13 4
3 12 2
r r
r r
r KK
r K
μμ
μ
μ μ μ
μ μ μ
− +
− +
−≡
−
( )( ) ( )( )
4
3
3 4
13
42
2,3 2 24 3,3 3 3,3 3
11
r
r
r r
ar K
CK C r C r
μ μμ
μμ μ μ μ μ
μμ μμ
μ μ
− +
− −
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠=
+ − − mit
23,4 3
4 23,4 3
C rK
C r
μ μμ
μ μ
−
−
−≡
+
( ) ( )( )
2 12,3 3,3 3 32
2,4 23,4 3
1aC C r r
CC r
μμ μ μ μ
μμ
μ− − +
−
+ +−
=+
und
25 43,5 4
5 43,4
2 5 43,5 4
5 4
1
C rC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μμ μμ μ
−−+
+=
−+
+
( )( )
23,4 4
2,5 2,4 23,5 4
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ
−
−
+=
+ und 6 5
6 5
23,5 5
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−−=
+
( )22,6 2,5 3,5 5 1C C C rμ μ μ μ= +
Seite 66
Für den Fall (μ =1) wurden folgende Konstanten errechnet:
( )1 1 1 22,1 2,2 3,2 1C C C r−= +
( ) ( )
( )
11 1 2
2,3 3,3 2 21
2,2 1 23,2 2
ln2aC C r r
CC r
−
−
+ +=
+ und 1 2
1 2
1 23,2 1
r r
r r
C rμ μμ μ
−+=
−
( )( ) ( )( )( ) ( )( )
2 3
3
3 2
12
2 2 2 21
2,3 1 2 1 22 3,3 2 3,3 2
ln 1 ln
1 1
r rr
r r
a r r K rC
K C r C rμ
μ μμ
μ μ
+ −
=+ − −
mit 1 2
3,2 212 1 2
3,2 2
11
C rK
C r−
=+
( ) ( )( ) ( )
3 2 3 4
2 3 3 4
1 2 2 13 2 2 3 41
3,3 1 1 13 2 4
r r r r
r r r r
K r K r KC
K K K
μ μ μ μ
μ μ μ μ
− −+ − +=
− + −
( )( ) ( )( )( ) ( )
4 3
2 3
13 4 31
3 12 2 2
ln 1 lnln 1 ln
r r
r r
r K rK
r K rμ μμ μ
+ −≡
+ −
( )( ) ( )
( ) ( )
4
3
3 4
13 4 3
12,3 1 1 2 1 2
4 3,3 3 3,3 3
ln 1 lnr
r
r r
a r K rC
K C r C r
μμ
μ μ− −
⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠=+ − −
mit 1 2
3,4 314 1 2
3,4 3
C rK
C r
−
−
−≡
+
( ) ( )
( )
11 1 2
2,3 3,3 3 31
2,4 1 23,4 3
ln2aC C r r
CC r
−
−
+ +=
+ und
1 25 43,5 4
1 5 43,4
1 2 5 43,5 4
5 4
1
C rC
C r
μ μμ μμ μμ μ
−−+
+=
−+
+
1 2
3,4 41 12,5 2,4 1 2
3,5 4
11
C rC C
C r+
=+
und 6 5
6 5
1 23,5 5
r r
r r
C rμ μμ μ
−−=
+
( )1 1 1 22,6 2,5 3,5 5 1C C C r= +
Seite 67
4.4 Ermittlung von Feldgrößen aus den Vektorpotentialen Unter Zugrundelegung des Vektorpotentials gemäß (4.3.3) und der Beziehung (4.4.1)
werden nun die radialen und tangentialen Flussdichten und Feldstärken außerhalb
des Permanentmagnetringes berechnet werden.
(4.4.1) rot i iB A=rr
Da das magnetische Vektorpotential in unseren Betrachtungen nur aus einer Zeuur
-
gerichteten Komponente besteht, folgt in den Feldräumen:
( ) ( ) ( )2 1, 2, 3, 2, sini i i i zA r C C C r r eμ μ μ μ
μ
ϕ μϕ−⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑uur r
(4.4.2) ( ) ( ) ( )2 222 2 2
2
1, , ,ri i i r r
A AB r B r e B r e e er rϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
ϕ∂ ∂
= + = − +∂ ∂
r rr r r r r
(4.4.3) ( ) ( ) ( )2 222 2 2
0 , 0 , 2
1 1 1, , ,ri i i r r
r i r i
A AH r H r e H r e e er rϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕ
μ μ μ μ ϕ∂ ∂
= + = − +∂ ∂
r rr r r r r
(4.4.4) ( ) ( ) ( )2 3, 2, 2, cosri i i rB r C r r C e
rμ μ μ μ
μ
μϕ μϕ−= +∑r r
(4.4.5) ( ) ( ) ( )2 3, 2, 20 ,
1, cosri i i r
r i
H r C r r C er
μ μ μ μ
μ
μϕ μϕμ μ
−= +∑r r
(4.4.6) ( ) ( ) ( )22 2 3, 2, 2, sini i iB r C r r C e
rϕ
μ μ μ μϕ
μ
μϕ μϕ−= − −∑r r
(4.4.7) ( ) ( ) ( )22 2 3, 2, 2
0 ,
1, sini i ir i
H r C r r C erϕ
μ μ μ μϕ
μ
μϕ μϕμ μ
−= − −∑r r
Die Gleichungen (4.4.2) bis (4.4.7) geben die magnetische Flussdichten und Feld-
stärken in den Feldräumen 1, 2 und 4-6 wieder.
Innerhalb des Permanentmagneten werden magnetische Flussdichte und Feldstärke
durch die Gleichungen (4.4.8) beschrieben:
Seite 68
(4.4.8.a) 0PJ Mμ=r r
(4.4.8.b) 3 0 ,3 3r PB H Jμ μ= +r r r
4.5 Berechnung der Polradspannung Da die Polradspannung eine elementare Größe der Maschinenberechnung sowie ein
hervorragendes Mittel der Verifikation der bisherigen Ausführungen darstellt, soll die-
se nun im Vorgriff auf die noch folgenden Betrachtungen zur Berücksichtigung der
Statornutung (Abschnitt 8) und der genauen Beschreibung der Ankerwicklung (Ab-
schnitt 9) errechnet werden. Die Berechnung der Polradspannung erfolgt aufbauend
auf die Ergebnisse der Feldberechnungen in Kapitel 4.3.
4.5.1 Berechnung der Flussverkettung einer Spule Bild 4.5.1.1 Definition der ( )1, , ,n kκ ρ= -ten Spulenwindung im verwendeten
Koordinatensystem
2ϕ( )tϑ
0
In der Aufsicht auf die Anker-Wicklung ist die Oberschicht der Wicklung auf der rechten, die Unterschicht auf der linken Seite in den Nuten dargestellt. Die 1. Windung der (κ,ρ,k)-ten Spule befindet sich in beiden Nuten an der linken Nutgren-ze.
1y
,1sb
1ϕ
, ,kκ ρΔ
, ,kiκ ρ, ,kUκ ρ
Rotornullachse
Seite 69
Für die Flussverkettung einer beliebigen Spule des Stators gilt
(4.5.1.01) ( ), , , , , ,n k n kA dlμ μκ ρ κ ρψ = ∫
rr
Aufgrund des zr -gerichteten Vektorpotentials vereinfacht sich das Integral zur Multi-
plikation
(4.5.1.02) ( ) ( )( ), , , 4 1 4 1, , , , , ,, , , ,n k L Rn k n k
A r t A r t lμκ ρ κ ρ κ ρ
ψ ϕ ϕ= − ⋅
Im erregungsfreien Luftspalt ergibt sich das magnetische Vektorpotential zu
(4.5.1.03) ( ) ( ) ( )( )4 1 2 3 4 4 1, ,, , sin
kA r t C C r rμ μ μ μ
κ ρμ
ϕ μ ϕ ϑ−= + −∑
Die Betrachtung an den linken und rechten Grenzen der ( ), , ,n kκ ρ ten Spulenwin-
dung ergibt sich nach Bild 4.5.1.1 bei
(4.5.1.04) ( )( )
,1 ,111 , ,
1 ,1 1 ,1 1 ,1
11 2 2
s sL k
p p p
n b byN p p pκ ρ
π ππϕτ τ τ
−= Δ + − −
− ,
(4.5.1.05) ( )( )
,1 ,111 , ,
1 ,1 1 ,1 1 ,1
11 2 2
s sR k
p p p
n b byN p p pκ ρ
π ππϕτ τ τ
−= Δ + + −
− ,
(4.5.1.06) ( ) ( ) ( ), , 1 1 121 1 1 2k Nwa
m q k qkκ ρ κ ρ ϕ
⎡ ⎤Δ = − + − + −⎢ ⎥
⎣ ⎦ ,
1
1 1 12N q p mπϕ =
Hieraus folgt für die Potentiale sowie die Flussverkettung der ( ), , ,n kκ ρ -ten Spulen-
5.1 Quellen des fünften Kapitels [5.1] E. Bolte Technischer Bericht Nr. 27
Auslegung von Permanentmagnet erregten Maschinen mit
radialer Flussorientierung
Universität der Bundeswehr Hamburg
2002
[5.2] E. Bolte Vorlesungsskript
Elektrische Maschinen und Antriebe
Helmut Schmidt Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
2005
Seite 97
6. Berechnung eines Vielschichtenmodells Permanent er-regter Maschinen
6.1 Formulierung des Feldproblems In den vorangegangenen Überlegungen wurde eine Maschine mittels der in Bild
6.1.1 dargestellten Ersatzanordnung modelliert, um eine analytische Lösung für die
Berechnung des magnetischen Vektorpotentials vorzustellen.
Bild 6.1.1 Untersuchte Modellanordnung am Beispiel eines Innenläufermo-
tors. Dargestellt ist der Querschnitt in der (r,ϕ)-Ebene.
Die Berechnung des Vektorpotentials erfolgte hierbei separat in den in Bild 6.1.1 be-
zeichneten 6 Feldräumen mittels der Gleichungen
(6.1.1) 2 2
2 2 22
1 1 0A A A Ar r r r ϕ∂ ∂ ∂
Δ = + + =∂ ∂ ∂
ur (Feldräume 1,2,4,5 und 6)
(6.1.2) ( )2 2
0 22 2 22
1 1 ,A A A A J rr r r r
μ ϕϕ
∂ ∂ ∂ ′Δ = + + = −∂ ∂ ∂
ur r (Feldraum 3)
Seite 98
Um den weichmagnetischen Eigenschaften der Permeabilität in den Feldräumen 2
und 5 (Rotor und Stator) Rechnung tragen zu können, ist es nun sinnvoll, die Anzahl
der betrachteten Räume zu erhöhen. Hierzu soll ein Rechenschema entwickelt wer-
den, dass das bereits betrachtete sechsschichtige Modell in eines beliebig vieler
Feldräume (siehe Bild 6.1.2) überführt.
Bild 6.1.2 Anordnung und Nomenklatur der Feldräume des Vielschichtenmodells
Dargestellt ist die Schichtung von (M+1) Feldräumen, deren Nomenkla-
tur denen der Radien äquivalent ist. Das Zentrum der konzentrisch zu-
einander angeordneten Feldräume findet sich am oberen Bildrand der
gestreckten Darstellung. Der Radius rM bezeichnet den Außenradius
des Stators. Der Außenraum der Maschine ist demzufolge der Feld-
raum M+1.
Der mit dem Index E bezeichnete - grau dargestellte - Raum ist der
der Permanentmagneterregung, der Raum AE+1 der des Luftspaltes.
Der zu entwickelnde Algorithmus soll nun das in (M+1) Feldräume separierte Feld-
problem in Zylinderkoordinaten mit genau einer Felderregung im Raume (E) lösen.
Die Lösungsansätze für das magnetische Vektorpotential können hierbei ohne weite-
re Modifikation aus den vorhergehenden Kapiteln übernommen werden.
2 0 AΔ =uur
1 0 EA −Δ =uuuur
rot EA J Mμ μ′Δ = − = −uur uur uur
1 0 EA +Δ =uuuur
0 MAΔ =uuur
1 1r0 , limM MA A+ +→∞
Δ = ≠ ∞uuuuur uuuuur
1 1r 00 , limA A
→Δ = ≠ ∞uur uur
M
r
0
r1
r2
rE-2
rE-1
rE
rE+1
rM-1
rM
1
2
E-1
E
E+1
M
M+1
M
M
M
A
A
A
A
A
A
A
Seite 99
Die Rahmenbedingungen der Modellierung für folgende Rechnungen sind im Fol-
genden wiedergegeben:
― Berechnung eines zweidimensionalen Magnetfeldes in der (r,ϕ)-Ebene, ange-
regt durch eine Permanentmagnetanordnung.
― Die Permanentmagnetanordnung wird durch eine Stromdichteverteilung im
Feldraum (E) in die Rechnung eingeführt.
― Die dem Rotor zugewandte zylindrische Statorfläche wird als glatt angenom-
men.
― Es werden mittels konzentrisch angeordneter, glatter (Hohl-) Kreiszylinder
M+1 Feldräume modelliert.
― Für alle Feldräume werden lineare, homogene und isotrope Werkstoffeigen-
schaften unterstellt.
― Für die verschiedenen Feldräume werden jeweils konstante Temperaturen un-
terstellt.
― Zeitabhängigkeit ist nicht definiert.
― Das magnetische Vektorpotential wird in Zylinderkoordinaten bestimmt.
6.2 Lösung des Feldproblems
6.2.1 Lösungsansatz Die Lösung der durch die Gleichungen (6.1.1) und (6.1.2) beschriebenen magneti-
schen Vektorpotentiale ist bereits ermittelt und wird hier unverändert für die Feldräu-
me 1 bis M+1 übernommen:
(6.2.1.1) 1 1,1 2,1 2sin( )A C C rμ μ
μ
μϕ= + ⋅ ⋅∑
(6.2.2.1) ( )2 1,2 2,2 3,2 2sin( )A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
Seite 100
(6.2.3.1) ( )1, 2, 3, 23 1
sin( )i i i ii E
A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−
= −
= + ⋅ + ⋅∑K
(6.2.4.1)
( )
( )
( )( )
1, 2, 3, 2
221
1
21
sin( )
sin( )(1 )
ln sin( )2
E E E
E
C C C r r
aA r
a r r
μ μ μ μ
μ
μ
μ μ
μ
μϕ
μϕμ
ϕ
−
≠
=
⎧ + ⋅ + ⋅⎪⎪⎪⎪= + ⋅ ⋅⎨
−⎪⎪⎪ + ⋅ ⋅ ⋅⎪⎩
∑
∑
(6.2.5.1) ( )1, 2, 3, 21 1
sin( )i i i ii E M
A C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−
= + −
= + ⋅ + ⋅∑K
(6.2.6.1) ( )1, 2, 3, 2sin( )M M M MA C C C r rμ μ μ μ
μ
μϕ−= + ⋅ + ⋅∑
(6.2.7.1) 1 1, 1 2, 1 2sin( )M M MA C C rμ μ
μ
μϕ−+ + += + ⋅ ⋅∑
6.2.2 Formulierung eines Algorithmus zur Konstantenbestimmung Die Vorgehensweise der nun notwendigen Konstantenbestimmung kann recht ein-
fach aus den vorangegangenen Betrachtungen abgeleitet werden. Die Verallgemei-
nerung des in Kapitel 4 eingeführten Verfahrens der Feldberechnung kann dem Algo-
rithmus aus Bild 6.2.2.1 auf der Folgeseite entnommen werden.
Seite 101
(Start des Algorithmus)
1. Schritt: Errechne die Konstanten 3,2Cμ und 3,MCμ
2. Schritt: Errechne alle Konstanten 3,iCμ für die (Iteration)
Feldräume 3 1EA A −K und 1 1M EA A− +K
3. Schritt: Errechne die Konstanten 1
3,EC , 1
2,EC ,
1
2, 1EC − und 1
2, 1EC +
Errechne die Konstanten 3,ECμ , 2,ECμ ,
2, 1ECμ − und 2, 1ECμ +
4. Schritt: Errechne alle Konstanten 2,iCμ für die (Iteration)
Feldräume 2 2EA A− K und 2E MA A+ K
5. Schritt: Errechne die Konstanten 2,1Cμ und 2, 1MCμ +
für die Feldräume 1A und 1MA +
(Sämtliche Konstanten sind errechnet - Ende des Algorithmus)
Bild 6.2.2.1 Algorithmus zur Konstantenbestimmung in M+1 Feldräumen
Mit der in Bild 6.2.2.1 beschriebenen Vorgehensweise ergeben sich bezüglich der
Wahl der Variablen M und E folgende Einschränkungen:
(6.2.2.8) 4 E≤ und 2E M+ ≤
Der Wahl der Anzahl der Feldräume ist außer dieser Bedingung keine weitere Gren-
ze gesetzt; sie sollte in Abhängigkeit des zu lösenden Feldproblems und der zu er-
wartenden Programmlaufzeiten getroffen werden.
Seite 102
6.3 Bestimmung der Konstanten Die Randbedingungen des magnetischen Vektorpotentials an Grenzflächen sind
nach Kapitel 3 mit der Stetigkeit des Vektorpotentials
(6.3.1) i+1( ) ( ) i i iA r A r=
und der Kontinuitätsbedingung für die Tangentialkomponente der magnetischen
Feldstärke definiert:
(6.3.2) i 2 i+1 2 2( ) ( ) ( ) i i iH r H r a rϕ ϕ ϕ∂ − ∂ = ∂ .
(6.3.3) 1
1
1 1 0i i
i i
r rri ri
A Ar rμ μ
+
+
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
6.3.1 Allgemeine Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen ri (Iteration)
Der allgemeine Iterationsschritt ist an einer der endlich vielen Grenzflächen ir der
Feldräume mit den Eigenschaften 0iAΔ =uur
und 1 0iA +Δ =uuur
definiert. Der Iterationsstart
sowie der Iterationsschluss erfolgen an den besonderen Feldräumen 1 1 , und E MA A A +
und werden gesondert betrachtet.
Eine der Konstanten des vorliegenden Gleichungssystems ist frei wählbar. Im Fol-
genden sei 1, 1 0C = gesetzt. Aufgrund der Kontinuität des Vektorpotentials gilt damit
für alle 1, i 0C = .
Seite 103
Stetigkeit des Vektorpotentials an einer Grenzfläche r=ri
(6.3.1.1) ( ) ( )
( ) ( )
2, 2 3,
1 2, 1 2 3, 1
sin( )
sin( )
i i i i i i
i i i i i i
A r C C r r
A r C C r r
μ μ μ μ
μ
μ μ μ μ
μ
μϕ
μϕ
−
−+ + +
= + =
= +
∑
∑
(6.3.1.2) ( ) ( )2, 3, 2, 1 3, 1i i i i i i i iC C r r C C r rμ μ μ μ μ μ μ μ− −+ ++ = +
Stetigkeit der Tangentialkomponente der Feldstärke an einer Grenzfläche r=ri
(6.3.1.3)
( )( )
( )( )1 1
2, 1 12 3,
0 0
2, 1 1 112 3, 1
0 0
1 sin =
1 sin
i ii
i ii
iii i i
r rr r
iii i i
r rr r
CA C r rr
CA C r rr
μμ μ μ
μ
μμ μ μ
μ
μϕ μ μμ μ μ μ
μϕ μ μμ μ μ μ
+ +
− − −
=
+ − − −++
=
∂= −
∂
∂= −
∂
∑
∑
(6.3.1.4) ( ) ( )1
2, 2, 13, 3, 1
i i
i ii i i i i i
r r
C CC r r C r r
μ μμ μ μ μ μ μ
μ μ+
+− −+− = −
Diese Gleichungen führen ineinander eingesetzt und elementar umgeformt zu:
(6.3.1.5)
1
1
1
1
23,
3, 12
3, 1
i i
i i
i i
i i
r ri i
r ri
r ri i
r r
r CC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μ
μ μμ μ
+
+
+
+
−
+
−−
+=
−−
+
oder
1
1
1
1
23,
3, 12
3, 1
i i
i i
i i
i i
r ri i
r ri
r ri i
r r
C rC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μ
μ μμ μ
−
−
−
−
−
−
−+
+=
−+
+
(6.3.1.6) 2
3,2, 1 2, 2
3, 1
1 1
i ii i
i i
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ++
+=
+ oder
23,
2, 1 2, 23, 1
1 1
i ii i
i i
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ−−
+=
+
Seite 104
6.3.2 Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen r=r1 und r=rM (Iterationsstart)
Mit den Bedingungen 1r 0
lim A→
≠ ∞uur
und 1rlim MA +→∞
≠ ∞uuuuur
folgt die Hinfälligkeit der Konstan-
ten 3,1Cμ in den Feldräumen 1 1 und MA A + . Daher eignen sich die Betrachtungen an
den Grenzflächen 1r r= und Mr r= besonders zum Iterationsstart und werden hier in
die Rechnung eingebracht. Eine Herleitung der Gleichungen (6.3.2.1) bis (6.3.2.4)
findet sich in Kapitel 4 und wird hier nicht weiter ausgeführt:
(6.3.2.1) 1 2
1 2
23,2 1
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−+=
−
(6.3.2.2) ( )22,1 2,2 3,2 1C C C rμ μ μ μ−= +
(6.3.2.3) 1
1
23,
M M
M M
r rM M
r r
C rμ μμ μμ μ
+
+
−−=
−
(6.3.2.4) ( )22, 1 2, 3, 1M M M MC C C rμ μ μ μ
+ = +
6.3.3 Bestimmung der Konstanten an den Grenzflächen r=rE-1 und r=rE (Iterationsschluss)
Nach den vorherigen Betrachtungen stellt man fest, dass für eine vollständige iterati-
ve Lösung nur noch die Konstanten 2, 2,E-1 2, 1 , C , E EC C + sowie 3,EC herzuleiten sind.
Diese sind mit den Randbedingungen an r=rE-1 und r=rE vollständig bestimmt. Die
Herleitung der Ergebnisse findet sich in Kapitel 4.
Seite 105
Für den Fall (μ >1) gilt nun folgende Zusammenstellung der Konstanten ,i jC :
(6.3.3.1) ( ) ( )( )
12 1
2, 3, 1 2
2, 1 23, 1 1
11
1
EE E E
EE E
arC C r
CC r
μ μμ μ μ
μμ μ
μ
+−
−
−− −
+ +−
=+
(6.3.3.2) ( ) ( )
( ) ( )( )1
1
11
12
2, 2 21 3, 1 3, 1
1
1 1
E E
E E
Er E r
EE r E E r E E
ar K
CK C r C r
μ μ
μμ μ μ μ μ
μ μμ
μ μ
−
−
+−
−
− − −
−−
=+ − −
mit 2
3, 1 11 2
3, 1 1
11
E EE
E E
C rK
C r
μ μμ
μ μ− −
−− −
−=
+
(6.3.3.3) ( ) ( )
( ) ( )1 1
1 1
1 13, 2 2
1 1 1
E E E E
E E E E
r E r E E r rE
E E E r r E r E r
K K KC
K r K r Kμ
μ μ μ
μ μ μ μ
μ μ μ μ+ −
− +
+ −
− − +
+ − +=
− + −
mit ( )( )
1
1
11
11 1
E E
E E
E r E rE
E r E r
r KK
r K
μμ
μ
μ μ
μ μ+
−
++
+− −
−=
−
(6.3.3.4) ( ) ( )
( ) ( )( )1
1
11
12
2, 2 1 21 3, 3,
1
1 1
E E
E E
Er E r
EE r E E r E E
ar K
CK C r C r
μ μ
μμ μ μ μ
μ μμ
μ μ
+
+
+
+
+
−−
=+ − −
mit 2
3, 11 2
3, 1
11
E EE
E E
C rK
C r
μ μμ
μ μ+
++
−=
+
(6.3.3.5) ( ) ( )( )
12
2, 3, 2
2, 1 23, 1
11
1
EE E E
EE E
arC C r
CC r
μ μμ μ μ
μμ
μ
+
++
+ +−
=+
Seite 106
Wie bereits in Kapitel 4 festgestellt, ist der Fall μ =1 speziell zu betrachten:
(6.3.3.6) ( ) ( )( )
( )
1 1
1 12, 1 2
3, 1 11
2, 1 1 23, 1 1
+ ln 12
=
E E
E E
E r rE E E
r rE
E E
C aC r r
CC r
μ μμ μ
− −−− −
− −− −
− +
−
(6.3.3.7) ( ) ( )( ) ( )
1 1
1 1
1 11 11
3, 1 2 1 2 11 1 1
E E E E
E E E E
E E r r r E rE
E E E r r E E r r
K K KC
K r K r K
μ μ μ μ
μ μ μ μ− +
− +
− +
− − +
+ + +=
− − −
(6.3.3.8) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( )1
1
12
11
2, 1 1 2 1 21 3, 3,
ln 1 ln2
1 1
E E
E E
E r E r E E
EE r E E r E E
a r r K rC
K C r C r
μ μ
μ μ
+
+
+
+
+ −=
+ − −
(6.3.3.9) ( ) ( )( )
( )
1 1
1 12, 1 2
3,1
2, 1 1 23, 1
+ ln 12
=
E E
E E
E r rE E E
r rE
E E
C aC r r
CC r
μ μμ μ
+ +−
+ −+
− +
−
Hiermit ist das Gleichungssystem vollständig gelöst.
6.4 Zusammenfassende Darstellung des Algorithmus zur Berechnung aller Konstanten des Gleichungssystems
Mit der Lösung des Gleichungssystems kann der in Bild 6.2.1 dargestellte Algorith-
mus mit entsprechenden Anweisungen gefüllt werden. Die folgende Darstellung von
Rechenschritten soll auch als übersichtliche Zusammenfassung der bisher erarbeite-
ten Teillösungen verstanden werden.
Seite 107
(Start des Algorithmus)
1. Schritt: Errechne die Konstanten 3,2Cμ und 3,MCμ
1 2
1 2
23,2 1
r r
r r
C rμ μμ μμ μ
−+=
− und 1
1
23,
M M
M M
r rM M
r r
C rμ μμ μμ μ
+
+
−−=
+
2. Schritt: Errechne alle Konstanten 3,iCμ für die Feldräume 3 1EA A −K
und 1 1M EA A− +K
1
1
1
1
23,
3, 12
3, 1
i i
i i
i i
i i
r ri i
r ri
r ri i
r r
r CC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μ
μ μμ μ
+
+
+
+
−
+
−−
+=
−−
+
und
1
1
1
1
23,
3, 12
3, 1
i i
i i
i i
i i
r ri i
r ri
r ri i
r r
C rC
C r
μ μ
μ
μ μ
μ μμ μ
μ μμ μ
−
−
−
−
−
−
−+
+=
−+
+
3. Schritt: Errechne die Konstanten 13,EC , 1
2,EC , 12, 1EC − und 1
2, 1EC + für den Fall
(μ=1), sowie die Konstanten 3,ECμ , 2,ECμ , 2, 1ECμ − und 2, 1ECμ + für den Fall
(μ>1).
( ) ( )( )
( )
1 1
1 12, 1 2
3, 1 11
2, 1 1 23, 1 1
+ ln 12
=
E E
E E
E r rE E E
r rE
E E
C aC r r
CC r
μ μμ μ
− −−− −
− −− −
− +
−
( ) ( )( )
12 1
2, 3, 1 2
2, 1 23, 1 1
11
1
EE E E
EE E
arC C r
CC r
μ μμ μ μ
μμ μ
μ
+−
−
−− −
+ +−
=+
( ) ( )( )
( )
1 1
1 12, 1 2
3,1
2, 1 1 23, 1
+ ln 12
=
E E
E E
E r rE E E
r rE
E E
C aC r r
CC r
μ μμ μ
+ +−
+ −+
− +
−
Seite 108
Noch 3. Schritt: Errechne die Konstanten 13,EC , 1
2,EC , 12, 1EC − und 1
2, 1EC + für den
Fall (μ=1) sowie die Konstanten 3,ECμ , 2,ECμ , 2, 1ECμ − und 2, 1ECμ +
für den Fall (μ>1)
( ) ( )( )
12
2, 3, 2
2, 1 23, 1
11
1
EE E E
EE E
arC C r
CC r
μ μμ μ μ
μμ
μ
+
++
+ +−
=+
( )( ) ( )( )
( ) ( )( )1
1
12
11
2, 1 1 2 1 21 3, 3,
ln 1 ln2
1 1
E E
E E
E r E r E E
EE r E E r E E
a r r K rC
K C r C r
μ μ
μ μ
+
+
+
+
+ −=
+ − −
( ) ( )
( ) ( )( )1
1
11
12
2, 2 21 3, 1 3, 1
1
1 1
E E
E E
Er E r
EE r E E r E E
ar K
CK C r C r
μ μ
μμ μ μ μ μ
μ μμ
μ μ
−
−
+−
−
− − −
−−
=+ − −
( ) ( )( ) ( )
1 1
1 1
1 11 11
3, 1 2 1 2 11 1 1
E E E E
E E E E
E E r r r E rE
E E E r r E E r r
K K KC
K r K r K
μ μ μ μ
μ μ μ μ− +
− +
− +
− − +
+ + +=
− − −
( ) ( )
( ) ( )1 1
1 1
1 13, 2 2
1 1 1
E E E E
E E E E
r E r E E r rE
E E E r r E r E r
K K KC
K r K r Kμ
μ μ μ
μ μ μ μ
μ μ μ μ+ −
− +
+ −
− − +
+ − +=
− + −
4. Schritt: Errechne alle Konstanten 2,iCμ für die Feldräume 2 2EA A− K und
2E MA A+ K
2
3,2, 1 2, 2
3, 1
11
i ii i
i i
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ++
+=
+ und
23,
2, 1 2, 23, 1
1 1
i ii i
i i
C rC C
C r
μ μμ μ
μ μ−−
+=
+
Seite 109
5. Schritt: Errechne die Konstanten 2,1Cμ und 2, 1MCμ + für die Feldräume 1A und
1MA +
1
1 2
22,1 2,2 1
2 r
r r
C C rμ μ μμμ μ
−=−
und 1
1
2, 1 2,
2M
M M
rM M
r r
C Cμ μ μμ μ
+
+
+ =+
Sämtliche Konstanten sind errechnet.
(Ende des Algorithmus).
6.5 Anwendung des Algorithmus Die Bilder 6.5.1 und 6.5.2 zeigen das nach dem Algorithmus aus Kapitel 6.4 errech-
nete magnetostatische Feld einer Permanentmagnet erregten Synchronmaschine
(Lenze GmbH & Co. KG; siehe auch Anlage 1). Der Wert der Permeabilitätszahlen
für das Eisenteil des magnetischen Kreises wurde in der Rechnung konstant ange-
nommen, um mit Kapitel 4 vergleichen zu können. Die Ergebnisse der Feldberech-
nung sind identisch mit denen der Rechnung in Kapitel 4.
Bild 6.5.1 Ausschnittvergrößerung des Permanentmagnetringes des Bildes 6.5.2 auf der nächsten Seite Zur besseren Orientierung wurden in diesem Bild die Konturen von Rotor, Magne-ten und Stator hervorgehoben und die einzelnen Feldräume dargestellt. Die Definition der Räume in Rotorjoch und Statoreisen ist gut zu erkennen.
Seite 110
Bild 6.5.2 Feldbild für den Synchronmotor der Firma Lenze GmbH & Co. KG:
Die Rechnung wurde in 191 Räumen durchgeführt (M=190), der Feld-
raum der Permanentmagneterregung wurde auf den Feldraum E=90
festgelegt. Die Darstellung wurde in einer Auflösung von 400 x 400
Feldpunkten berechnet, die Grenzen der Einzelfeldräume sind der
Übersichtlichkeit halber nicht dargestellt
6.6 Quellen des sechsten Kapitels Es wurden keine externen Quellen verwendet.
Seite 111
7. Definition und Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten für die zweidimensionale Feldberechnung
7.1 Definition und Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten für die
zweidimensionale Feldberechnung Für die bisher durchgeführten Feldberechnungen wurden in den Feldräumen von
Welle, Rotor, Permanentmagnetring, Luftspalt, Stator und Außenraum konstante
Permeabilitätswerte genutzt. Mit dem in Kapitel 6 entwickelten Algorithmus zur Be-
rechnung des Feldproblems in M+1 Feldräumen ist es nun jedoch möglich, die Per-
meabilität in Abhängigkeit des Radius variabel zu gestalten. Damit kann der Forde-
rung nach einer von verschiedensten Feldgrößen abhängigen (Ersatz-) Permeabilität
für die Eisenteile (Rotor, Stator) der berechneten Maschinen Rechnung getragen
werden. Die Feldverteilung einer Beispielrechnung zusammen mit der von der mag-
netischen Flussdichte abhängigen Permeabilität - dargestellt in den Bildern 7.1.1 -
verdeutlicht die Notwendigkeit dieses Vorgehens.
Bild 7.1.1.a Werkstoffkennlinie des im Synchron-Servomotor MDSKSRS 071-13 der
Firma Lenze GmbH & Co. KG verwendeten Elektroblechs
Seite 112
Bild 7.1.1b Berechnung der zweidimensionalen Feldverteilung des Permanent-
magnet erregten Lenze-Servoantriebs bei unbestromtem Stator. Grund-
lage der Rechnung sind der Kapitel 4 dieser Arbeit sowie das Datenblatt
der Maschine in Anlage 1.
Daher soll nun eine Permeabilitätszahl-Berechnung so in die Analyse der Motoren
einbezogen werden, dass die Feldverteilung im Magnetkreis und die Werkstoffkenn-
linie der verwendeten Bleche weitgehend berücksichtigt werden. Hierzu wird der be-
reits im Kapitel 3.4 angedeutete iterative Algorithmus zur Bestimmung der Ersatz-
permeabilitäten in den verschiedenen Feldräumen übernommen und konkretisiert:
Schritt 1 Eingabe aller zur Feldberechnung benötigten Geometrie- und
Werkstoffgrößen.
Schritt 2 Feldberechnung unter Annahme von linearen, homogenen und
isotropen Werkstoffeigenschaften und konstanter Geometrieeigen-
schaften.
Seite 113
Schritt 3 Ermittlung aller die Geometrie- und Werkstoffeigenschaften beein-
flussenden Feldgrößen.
Schritt 4 Modellierung von Ersatzgrößen der Geometrie- und Werkstoffei-
genschaften mit Hilfe der im dritten Schritt gefundenen Feldgrößen.
Schritt 5 Korrektur der Modelleigenschaften mit den in Schritt 4 ermittelten
Ersatzgrößen.
Schritt 6 Wiederholung der Schritte 2 bis 5, bis die gewünschte Abbildungs-
treue erreicht ist.
Diese Rechenvorschrift ist – trotz der Möglichkeit, beliebig viele nichtlineare Vorgän-
ge über fünften Schritt zu berücksichtigen – nur durch eine Konvergenzforderung in
Schritt sechs eingeschränkt. Dies bedeutet in der Praxis, dass nicht nur die Permea-
bilitätswerte über diesen Algorithmus korrigiert werden können, sondern auch weitere
Parameter wie z.B. die Leitfähigkeit der Materialien (z.B. als Funktion der Tempera-
tur) oder mechanische Ausmaße (z.B. über eine Korrektur des modellierten Luftspal-
tes in Abhängigkeit magnetischer Feldgrößen oder ebenfalls der Temperatur).
In dieser Arbeit sollen die Möglichkeiten der Rechenvorschrift dazu genutzt werden,
eine eindimensionale, von der magnetischen Flussdichte der Felderregung abhängi-
ge Ersatzpermeabilitätsvertellung zu errechnen
(7.1.01) , .r Stator Constμ ≠ ( ), , , ,r Stator r Stator ers r Bμ μ≡r
, .r Rotor Constμ ≠ ( ), , , ,r Rotor r Rotor ers r Bμ μ≡r
Mit dieser Formulierung lässt sich die oben angeführte Vorgehensweise zum Algo-
rithmus in Bild 7.1.2 auf der Folgeseite detaillieren:
Seite 114
(Start des Algorithmus) 1. Schritt: Eingabe der Geometrie- und Werkstoffgrößen
2. Schritt: Definition der Werkstoffkennlinien ( ),r wkl Bμ für Rotor und Stator
Initialisierung von Startwerten , , ,0r ers iμ für die Iteration
3. Schritt: Iteration zur Ermittlung der Ersatzpermeabilitäten in allen Feldräumen
3.1. Schritt: Errechne die Konstanten 2, ,i nCμ und 3, ,i nCμ für alle Feldräume
3.2. Schritt: Errechne für die Feldräume des Rotors und des Stators jeweils eine
repräsentative magnetische Flussdichte , ,ers i nBr
3.3. Schritt: Bestimme für die Feldräume des Rotors und Stators eine Permeabilität
, , ,r wkl i nμ aus der dem Raum entsprechenden Werkstoffkennlinie
3.4. Schritt: Bestimme für die Feldräume des Rotors und des Stators eine gewich-
tete Ersatzpermeabilität ( ) ( ), , , 1 , , , , , , 1r ers i n r ers i n r wkl i nG Gμ μ μ+ = ⋅ + +
3.5. Schritt: Falls das Abbruchkriterium nicht erfüllt ist, wiederhole Schritt 3 4. Schritt Führe die Feldberechnung durch Ausgabe aller zu berechnenden physikalischen Größen. (Ende des Algorithmus)
Bild 7.1.2 Algorithmus zur Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten für die zwei-
dimensionale Feldrechnung einer Permanentmagneterregung im un-
bestromten Stator.
Die im Schritt 3.4. eingeführte Variable G entspricht - bei Betrachtung
der Iteration als Ausgleichsvorgang - dem Gewicht des integralen Be-
standteils einer „PI“-Regelstrecke.
Seite 115
7.1.1 Bestimmung und Formulierung der Werkstoffkennlinie In der Regel liegen die Werkstoffdaten der in Stator und Rotor verwendeten Elektro-
bleche als Datenblattangaben der entsprechenden Hersteller oder als Ergebnisse
eigener Messungen vor. Die Angabe der Permeabilität als Funktion magnetischer
Feldgrößen, der Feldfrequenzen und der Temperatur ist zwar von hohem praktischen
Wert, meist jedoch aufgrund der in Kapitel 3 aufgeführten Schwierigkeiten nicht üb-
lich. Daher soll in diesem Kapitel die Ermittlung einer zur Abarbeitung des in Bild
7.1.2 definierten Algorithmus hinreichenden Ersatzfunktion beleuchtet werden.
Da die Formulierung einer solchen Funktion im Wesentlichen von der Beschaffenheit
der Kenntnisse der Werkstoffeigenschaften abhängt, werden im Folgenden zwei al-
ternative Vorgehensweisen vorgestellt werden: Die Bearbeitung diskret aufgenom-
mener verlässlicher Wertepaare der B(H)-Kennlinie sowie die Bildung einer paramet-
rierten Hilfsfunktion bei unsicheren oder unzureichenden Kenntnissen der Magneti-
sierungskurven.
7.1.1.1 Interpolation diskret vorliegender Wertepaare von Magnetisie-rungskurven
Als Basismaterial für das weitere Vorgehen werden tabellarisch aufgeführte Messrei-
hen oder Datenblattangaben in der Form des Bildes 7.1.1.1.1 angenommen. Um die
gegebenen Tupel (|Bm|,|Hm|)|ω,T=const. der Anzahl mmax für beliebige Feldstärkebeträge
auswerten zu können, ist eine Interpolation der Datenreihen notwendig. Aufgrund der
relativ hohen Anzahl von Stützstellen ist die Bildung eines Interpolationspolynoms
über das gesamte Messintervall ungünstig, da Polynome hoher Ordnung den Verlauf
der Messreihen - besonders zum Messintervallende hin - wesentlich verfälschen
würden.
Abhilfe wird daher in einer leicht differenzierbaren stückweisen Polynominterpolation
niederer Ordnung gesucht. Die Wahl fällt auf eine kubische Spline-Interpolation, in
welcher die beiden einem beliebigen Feldstärkebetrag am nächsten liegenden Stütz-
stellen ausgewertet und in ein Polynom dritten Grades formuliert werden:
Mit der Lösung (Δp ; Δq ; Δr) dieses einfach zu bestimmenden linearen Gleichungs-
systems kann nun eine Iterationsvorschrift hergeleitet werden:
(7.1.1.2.6) 1
1
1
i i
i i
i i
p p pq q q
rr r
+
+
+
Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Nun können die Nullstellen des Gleichungssystems - und damit die optimierten Wer-
te für die Parameter der Hilfsfunktion - in beliebiger Genauigkeit angenähert werden.
Der auf einer Taylor-Entwicklung zweiten Grades basierende Beweis lokaler Konver-
genz des Verfahrens wird in Quelle [7.2] ausgeführt (Satz von Kantorowitsch).
Die Wahl des Tripels (p0,q0,r0) für den Start der lokal konvergenten Iteration ist - auf-
grund der Möglichkeit divergenter oder oszillierender Ergebnisfolgen - mit Sorgfalt
zu betrachten. Ein mögliches Verfahren zur ersten Bestimmung der Parameter bietet
die partielle Näherung der Hilfsfunktion durch ihre Summanden:
( )( , , , ) r BH B p q r B p q e= ⋅ + ⋅
( , , , ) ( , ) ( , , )r BL RH B p q r B p B q e H B p H B q r= ⋅ + ⋅ ⋅ ≡ +
Seite 122
(7.1.1.2.7) 0
0 0
( , ) für 0( )
( , , ) für L
R
L m
R m
H B p B BH B
H B q r B B
≤ ≤⎧⎪≈ ⎨ ≤⎪⎩
Mit diesem Ansatz ist die Abschätzung der Startwerte (p0,q0,r0) einfach: Der Parame-
ter p0 wird durch eine Regression der linearen Funktion HL(B,p0) gewonnen, das Tu-
pel (q0,r0) durch die Auswertung der Exponentialfunktion HR(B,q0,r0) in den Aufpunk-
ten bei Bm,R und Bm,max:
(7.1.1.2.8) 10
2
1
L
L
m
m mm
m
mm
B Hp
B
=
=
=∑
∑ ,
( )00exp
R
R R
m
m m
Hq
B r B= ,
max
max
max
00
ln m
m
m
Hq B
rB
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠=
Das den „Sättigungsknick“ vollständig umschließende Intervall [Bm,L , Bm,R] kann für
Messreihen mit Stützstellen im Bereich (0 ≤ B ≤ Bmax ≈ 2T) sehr gut abgeschätzt wer-
den mit:
(7.1.1.2.8.a)
0 0
0 0
0 0
0 0
11
1 1
11
1 1
1
1.5 3
L L
L L
R R
R R
m mm m
m m m m
m mm m
m m m m
H HH HB B g B B
gH HH H
gB B B B
++
+ +
++
+ +
−− ⎫≤ ⋅ ⎪− − ⎪ ≈⎬−− ⎪≥ ⋅ ⎪− − ⎭
K
(7.1.1.2.8.b) 0 0 max 0 0
0 0 max 0 0
1 1
1 1
m m m m m
m m m m m
H H H H HB B B B B
− +
− +
− −≤ ≤
− −
Die Qualität dieser Festlegung ist allerdings direkt von den Kenntnissen der zu mo-
dellierenden Magnetisierungskennlinie (Anzahl mmax und Lokalität der Messpunkte)
abhängig.
Ein Beispiel für die Wahl der Intervallgrenzen und der Startwerte für das Gauß-
Newtonsche Iterationsverfahren sowie dessen Durchführung ist in der Bildfolge
7.1.1.2.1 illustriert und soll die Betrachtungen zur Parameterwahl abschließen.
Seite 123
Bild 7.1.1.2.1.a Approximation der Magnetisierungskurve durch eine parametri-
sierte Hilfsfunktion:
Die diskreten Werte der Magnetisierungskurve sind in blauer
Farbe dargestellt.
Die Startwerte zur Optimierung der Parameter (p,q,r) der Hilfs-
funktion durch eine Gauß-Newtonsche Iteration werden in dem
Teilintervall [0...Bm,L] durch eine lineare Regression und in dem
Teilintervall [Bm,R...Bm,max] durch zwei Fixpunkte ermittelt.
Der Punkt (Bm,0=1.5T) wurde über einen Vergleich der Steigung
der diskreten Wertefolge und der Steigung der durch die Punkte
(0,0) und (Hmax,Bmax) beschriebenen Gerade, gezeichnet in roter
Farbe, bestimmt. Die schwarz eingezeichneten Intervalle sind mit
diesem Punkt (Bm,0=1.5T) und dem Gewicht (g=2) über die Glei-
chung (7.1.1.2.8) definiert und umschließen den so genannten
„Sättigungsknick“.
Seite 124
Bild 7.1.1.2.1.b Approximation der Magnetisierungskurve durch eine Hilfs-
funktion: Die diskreten Werte der vorgegebenen Magnetisie-
rungskurve sind in schwarzer Farbe dargestellt.
Die blau notierte Kurve entspricht der nicht optimierten Hilfs-
funktion mit den Parametern (p0=188.25, q0=0.4325, r0=5.2017),
welche als Startwerte für die Gauß-Newtonsche Iteration ver-
wendet wurden.
Die in der Farbe rot dargestellte Kurve entspricht der Hilfsfunkti-
on mit den Parametern (p=-339.37 ,q=2.7154, r=4.3144). Die Op-
timierung der Parameter wurde über den gesamten Bereich der
diskreten Werte der magnetischen Flussdichte (0...2T) durchge-
führt. Die Nullstellensuche der Ableitung der Funktion der kleins-
ten Fehlerquadrate wurde nach 238 Iterationen mit einer Genau-
igkeit von (ε < 10-8) abgeschlossen. Die gefundene Funktion lie-
fert im Bereich von (1.6...2T) eine gute Abbildung der vorgege-
benen Magnetisierungskurve.
Seite 125
Noch Bild 7.1.1.2.1.b Die Funktion der Farbe grün entspricht der Hilfsfunktion
mit den Parametern (p=134.74 ,q=0.0013, r=8.8551). Die
Optimierung der Parameter über den Bereich (0...Bm,R≈
1.6T) bietet eine hervorragende Näherung der diskreten
Werte bis 1.65T. Das Optimierungsverfahren wurde nach
nur 188 Iterationen mit der Genauigkeit der Nullstellensu-
che von (ε < 10-8) abgebrochen.
7.1.2 Bestimmung der die Ersatzpermeabilität festlegenden Feldgröße Zur Bestimmung einer Ersatzpermeabilität μr,ers,i,n+1 im Feldraum i ist es notwendig,
einen für diesen Raum repräsentativen Betrag der magnetischen Flussdichte |Bers| zu
bestimmen. Die Radial- und Tangentialkomponenten der Flussdichte werden gemäß
berechnet zu:
( ) ( )
2 22 2 22
rot
1, ,r
i i
i i i r r
B A
A AB B r e B r e e er rϕ ϕ ϕϕ ϕ
ϕ
=
∂ ∂= + = − +
∂ ∂
rr
r rr r r r r
(7.1.2.01) ( ) ( ) ( ), 2 3, 2, 2, cosr i i i rB r C r r C e
rμ μ μ μ
μ
μϕ μϕ−= +∑r r
(7.1.2.02) ( ) ( ) ( )
2 2, 2 3, 2, 2, sini i iB r C r r C er
μ μ μ μϕ ϕ
μ
μϕ μϕ−= − −∑r r
Die Beträge der (Ersatz-) Permeabilitäten gehen über die Konstanten C2,i und C3,i in
die Rechnung ein. Fallunterscheidungen entfallen bei dieser Betrachtung, da die
Feldräume konstant zu betrachtender Permeabilität (Welle, Außenraum, Luftspalt)
ebenso wie der des Permanentmagnetringes aus dieser Betrachtung ausgenommen
werden sollen.
Seite 126
Zur Veranschaulichung werden die Komponenten der Flussdichte der bereits in der
Bildfolge 7.1.1 zitierten Feldrechnung im willkürlich ausgewählten Feldraum (i=40)
dargestellt in Bildfolge 7.1.2.1
Bild 7.1.2.1.a Darstellung der Radial- (blau) und Tangentialkomponenten (rot) der
magnetischen Flussdichte im Feldraum (i=40) über dem Umfangswinkel
ϕ2. Parameter dieser Rechnung sind die Radien der Flussdichterech-
nung, welche mit r=r39, r=(r39+r40)/2 und r=r40 angesetzt wurden. Die
Rechnung wurde in M=100 Feldräumen mit der Erregung im Raume
E=50 durchgeführt.
Seite 127
Bild 7.1.2.1.b Darstellung des Betrags der magnetischen Flussdichtekomponenten
und deren arithmetische Mittelwerte über den Umfangswinkel. Paramet-
riert sind die Daten über die Radien (r=r39) in blauer Farbe, r=(r39+r40)/2
in roter Farbe und r=r40 in schwarzer Farbe.
Mit der Forderung der Isotropie der Permeabilität in allen Feldräumen bietet sich der
Betrag der Flussdichte zur Ermittlung einer repräsentativen Feldgröße zur Auswer-
tung der Werkstoffkennlinien an:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2, , 2 , , 2 , , 2
2 2 2 2, , , , , , 2
ˆ ˆ, cos sin
ˆ ˆ ˆ cos
ers i n r i n i n
i n r i n i n
B r B r B r
B r B r B r
μ μϕ
μ
μ μ μϕ ϕ
μ
ϕ μϕ μϕ
μϕ
= +
= + −
∑
∑
(7.1.2.03) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
2 2
2 2 2, , 2 , , , , , , 2
1ˆ ˆ ˆ, 1 cos 22ers i n i n r i n i nB r B r B r B rμ μ μ
ϕ ϕμ
ϕ μϕ= + − +∑
Seite 128
Nun sind zur Ermittlung eines repräsentativen Betrags der magnetischen Flussdichte
im Feldraum i die Variablen Radius und Umfangswinkel zu eliminieren. In einem ers-
ten Schritt bietet sich die Bildung eines Durchschnittwertes über den Umfangswinkel
ϕ2 an. Die Wahl des arithmetischen Mittels über ϕ2 verspricht hier die größte Plausibi-
lität, kann jedoch diskutiert und auf Abbildungstreue geprüft werden. Das Ergebnis ist
der Gleichung (7.1.2.01) direkt zu entnehmen.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2 2, , , , , , , ,
2 2, , , ,
2 1 2 122, 3,
1ˆ ˆ ˆ2
1 ˆ ˆ2
ers i n i n r i n i n
i n r i n
i i
B r B r B r B r
B r B r
C C r r
μ μ μϕ ϕ
μ
μ μϕ
μ
μ μμ μ
μ
μ − − +
= + −
= +
= +
∑
∑
∑
Zur Ermittlung eines repräsentativen Flussdichtebetrages über den Radius kommen
verschiedene Methoden in Frage. Die einfachste Lösung ist sicherlich die Einführung
eines repräsentativen Radius rers,i für den Feldraum i:
1, 2
i iers i
r rr −=
+
( )
2
, , , , ,
2 21 1, , , , , ,
1 ˆ ˆ2 22
ers i n ers i n ers i
i i i iers i n i n r i n
B B r
r r r rB B Bμ μϕ
μ
− −
=
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
(7.1.2.04) ( ) ( )2 1 2 1
2 1 1, , 2, 3, 2 2
i i i iers i n i i
r r r rB C Cμ μ
μ μ
μ
μ− − +
− −+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
Diese Möglichkeit berücksichtigt jedoch nicht die vor allem in der Nähe der Erregung
auftretenden nichtlinearen Werte der Steigung der Flussdichtebetragsfunktion über
den Radius. Daher soll stattdessen das Verfahren eines gewichteten Mittels über den
Radius angewandt werden:
Seite 129
( )1
, , , ,1
1 i
i
r
ers i n ers i ni i r
B B r drr r
−+
=− ∫
( )
( ) ( )1
2
2 2, , , , , ,
1
1 ˆ ˆ2
i
i
r
ers i n i n r i nri i
B B r B r drr r
μ μϕ
μ
+
+
= +−
∑∫
(7.1.2.05) ( )
( ) ( )1
2 1 2 12, 2, , 3,
1
i
i
ri
ers i n ii i r
CB C r r dr
r r
μμ μμ
μ
μ +− − +
+
= +−∑ ∫
Die Lösung des Integrals in (7.1.2.05) ist nicht elementarer Natur (siehe auch Quelle
[7.2]), daher wird im Folgenden auf die numerisch ermittelten Ergebnisse in Bild
7.1.2.2 verwiesen.
Bild 7.1.2.2 Ermittlung des Betrags einer repräsentativen magnetischen Flussdichte.
Dargestellt ist der Flussdichtebetrag über der Nummer i des zu reprä-
sentierenden Feldraumes. Die Ergebnisse der Rechnung nach
(7.1.2.05) sind in der Farbe blau dargestellt, die Ergebnisse der Glei-
chung (7.1.2.04) in der punktierten Linie der Farbe rot.
Seite 130
7.1.3 Konvergenz und Abbruch des Algorithmus zur Ersatzpermeabili-tätsbestimmung
Es scheint einleuchtend, die Iteration des Algorithmus zur Bestimmung der Ersatz-
permeabilitäten in den verschiedenen Feldräumen mit folgender Forderung abzubre-
chen:
(7.1.3.01) { }
, , , 1 , , ,
,2 i M \ ; 1 ,1 n
, 0r ers i n r ers i n
i E Enμ μ εε ε
+
∈ ≤ ≤ +⎧⎪
− ≤ ∈ ≤⎨⎪ ∈ >⎩
Dieses Kriterium basiert jedoch auf der Annahme der Existenz eines solchen Grenz-
wertes ε, mit dem für die Permeabilitätenfolgen aller Feldräume gilt:
(7.1.3.02) , , , 1 , , ,lim 0r ers i n r ers i nnμ μ+→∞
− =
Falls der Nachweis dieser Konvergenz gelänge, wäre die Wahl des Iterationsab-
bruchs hinreichend und der Algorithmus stabil definiert.
Die Existenz eines solchen Grenzwertes ε kann über den Nachweis der Konvergenz
der Teilfolgen [μr,ers,1,E-1] und [μr,ers,M,E+2] und eine folgende vollständige Induktion für
die Feldräume (E-2...1) und (E+2...M) erfolgen. Leider zeigt sich dieser Ansatz in der
Praxis aufgrund der Komplexität der Konstanten C2,i,n(μr,i-1 , μr,i) und C3,i,n(μr,i-1 , μr,i)
derart aufwändig, dass auf einen Nachweis verzichtet werden muss.
Um die Stabilität des Algorithmus trotz fehlenden Konvergenznachweises sicherzu-
stellen, ist es also notwendig, die Abbruchbedingung um eine maximale Zahl erlaub-
ter Iterationsschritte zu ergänzen. Im Falle eines Abbruchs aufgrund der maximal
definierten Zahl von Iterationsschritten ist das Ergebnis der gewonnenen Ersatzper-
meabilität zu prüfen und gegebenenfalls zu korrigieren; eine automatisierte Anpas-
sung des Regelgewichtes G ist ebenfalls denkbar.
(7.1.3.03) ( ) ( ), , , 1 , , , maxr ers i n r ers i n n nμ μ ε+ − ≤ ∨ ≥
Seite 131
In experimenteller Überprüfung des Algorithmus zeigten sich die Reihen der Ersatz-
permeabilitäten für (G≥2 , ε=0.01% , nmax=50) ausnahmslos gegen einen Grenzwert
konvergierend; der Abbruch der Schleife erfolgte in den meisten Fällen bei n≤ 25. Die
Wahl von G<2 scheint hingegen bei ungenauer Definition der Initialisierungsdaten
μr,ers,i,0 unsicher gewichtet zu sein: Einzelne Fälle divergierender Folgen wurden fest-
gestellt.
Einige experimentelle Überprüfungen zur Konvergenz der Ersatzpermeabilitäten für
die bereits in der Bildfolge 7.1.1 zitierte Feldberechnung sind in der Bildfolge 7.1.3.1
illustriert.
Bild 7.1.3.1.a Die Erläuterungen zu den Bildern 7.1.3.1.a und 7.1.3.1.b befinden sich
auf der nächsten Seite
Seite 132
Bild 7.1.3.1.b Überprüfung der Konvergenz der Ersatzpermeabilitätenfolgen für die
zweidimensionale Feldberechnung der Synchronmaschine MKSRS
071-13 der Firma Lenze GmbH & Co. KG im Leerlauf.
Aufgetragen ist die farbig gekennzeichnete Ersatzpermeabilität über der
Nummerierung der M=100 Feldräume und die Anzahl der Iterations-
schritte. Gut zu erkennen ist der Luftspalt (Feldraum 51) mit der kon-
stanten Permeabilität (μr=1) sowie der Feldraum (i=50) des Permanent-
magnetringes mit (μr=1.07).
Die Parameter der Iteration aus Bild a wurden datiert mit: (G = 2, nmax =
50, ε = 0.01%, μr,ers,i,0 = 5500 ≈ max(μr,WKL,i)). Der Abbruch der Rech-
nung erfolgt aufgrund der Konvergenz der Folgen bei (n=19).
Die Parameter der Iteration aus Bild b wurden datiert mit: (G = 0, nmax =
50, ε = 0.01%, μr,ers,i,0 = 5500 ≈ max(μr,WKL,i)). Der Abbruch erfolgte mit
der maximal erlaubten Anzahl der Iterationsschritte. Die Divergenz der
Folgen im Rotor ist gut zu erkennen (19<idiv<45).
Seite 133
7.1.4 Berechnung eines Beispielproblems Zur Verifikation und Veranschaulichung der Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten
und deren Einfluss auf die Berechnung einer Maschine soll ein Vergleich mit der im
Kapitel 4 ausgeführten Beispielrechnung angeführt werden. In der Rechnung wurde
das Feld eines Rotors einer sechspoligen Synchronmaschine in einem Messjoch be-
rechnet; die Ergebnisse wurden mittels der Messung der Radialkomponente der
magnetischen Flussdichte im Luftspalt verifiziert.
Die grundlegenden Daten der Rechnung sind in Tabelle 7.1.4.1 zusammengefasst:
Daten
Bemerkung
1,gr 0.01250 m Geometrieradius: Welle
2,gr 0.02590 m Geometrieradius: Rotorkern
3,gr 0.02940 m Geometrieradius: Außenradius des PM-Ring
4,gr 0.03000 m Geometrieradius: Bohrungsradius Messjoch
5,gr 0.05325 m Geometrieradius: Außenradius des Messjoch
rB 1.05 T Remanenzinduktion des Magnetwerkstoffes
,3rμ 1.07 Permeabilität Permanentmagnetmaterial
fp 3 Polpaarzahl der PM-Erregung
Tabelle 7.1.4.1 Technische Daten des Synchronmotors der Firma Lenze GmbH
& Co. KG
Die Rechnung zur Ermittlung der Ersatzpermeabilitäten für Rotorkern und Messjoch
erfolgte mittels des in Bild 7.1.2 dargestellten Algorithmus. Die Modellierung der
Magnetisierungskennlinie wurde durch eine Spline-Interpolation vorgenommen (sie-
he auch Bild 7.1.1.1.1), die die Ersatzpermeabilität festlegende Feldgröße wurde
nach Gleichung (7.1.2.05) berechnet.
Die Parameter der Iteration wurden zu G=2 , ε=0.01% , nmax=50 gewählt.
Seite 134
Die Berechnung der magnetischen Flussdichte erfolgte nach der Bestimmung der
Ersatzpermeabilitäten in (M=100) Feldräumen mit der Erregung im Feldraum (E=50)
nach dem in Abschnitt 4 beschriebenen Modell.
Bei der Berechnung des Motorenmodells mit konstanten Permeabilitätszahlen wur-
den die Eingabedaten mit μR,Rotor=μR,Messjoch=5500 datiert. Die Iteration zur Bestim-
mung der Ersatzpermeabilitäten startet – um die Rechnungen vergleichen zu kön-
nen, mit identischen Eingabewerten.
Die Ergebnisse der Ermittlung der Ersatzpermeabilitäten sowie die Berechnung der
Komponenten der magnetischen Flussdichte an der Bohrungsfläche des Messjochs
sind in der Bildfolge 7.1.4.1 zusammengestellt und schließen die Betrachtungen ab.
Bild 7.1.4.1.a Die Iteration zur Berechnung der Ersatzpermeabilitäten wurde nach 19
Schritten aufgrund des Erreichens der Konvergenz (ε<0.01%) beendet.
Die Magnetisierungskennlinien der Materialien von Rotor und Messjoch
sind dem Bild 7.1.1.1.1 zu entnehmen.
Seite 135
Bild 7.1.4.1.b Die Ergebnisse der Ersatzpermeabilitätenberechnung sind in diesen
beiden Grafiken einzusehen. Oben ist die Verteilung der Permeabilitä-
ten über die einzelnen Feldräume dargestellt. Das untere Bild zeigt die
Verteilung der Permeabilitäten - orientiert am geometrischen Aufbau
der Maschine - in der (r,ϕ)-Ebene.
Seite 136
Bild 7.1.4.1.c Darstellung der Radialkomponente der magnetischen Flussdichte an
der Oberfläche der Messjochbohrung.
In blauer Farbe ist die Rechnung nach Kapitel 4 mit konstant ange-
Anlage 2: Technische Daten des Synchron-Torquemotors MBT 210 C der Firma Bosch Rexroth AG
Technische Daten
Synchron-Torquemotor Firma Bosch Rexroth AG
MBT 210 C
Allgemeines
Die Synchronmaschine MBT 210 C ist mit einem vierzigpoligen Permanentmagnet er-
regten Innenläufer aufgebaut. Der Stator ist mit einer dreisträngigen Wicklung aus kon-
zentrisch angeordneten Spulen versehen.
Bemessungs- und Betriebsdaten:
Größe Einheit Zahlenwert Beschreibung
NM Nm 120 Nenndrehmoment
Nn 1−min 270 Nenndrehzahl
maxM Nm 250 Maximaldrehmoment
maxn 1−min 600 Maximaldrehzahl
Seite 213
Rotorgeometrie
Größe Einheit Zahlenwert Beschreibung
δ mm 0,5 Luftspalt
Rotaußend , mm 155,8 Rotoraußendurchmesser
Kernd mm 142,6 Durchmesser der Bleche
Welled mm 120,0 Wellendurchmesser
SegN 40 Anzahl der Magnetsegmente
Statorgeometrie
Zeichnung zur Statorgeometrie
Größe Einheit Zahlenwert Beschreibung
Paketl mm 76,0 Blechpaketlänge
außend mm 210,0 Statoraussendurchmesser
Bohrd mm 156,8 Bohrungsdurchmesser
Z 48 Nutenzahl
Seite 214
Werkstoffdaten
Größe Einheit Zahlenwert Beschreibung
RB T 1,05 Remanenzinduktion des Magnetmaterials
rμ 1,07 Relative Permeabilität das Magnetmaterials
Cuρ mΩ 1,786 E-8 Spezifischer Widerstand von Kupfer
Wicklungsdaten
Größe Einheit Zahlenwert Beschreibung
p 4 Polpaarzahl
m 3 Strangzahl
N 69 Windungszahl einer Spule
Werkstoffkennlinien von Rotor- und Statorelektroblech
Keine Herstellerangaben
Seite 215
Anlage 3: Programmbeschreibung
Die in dieser Arbeit vorliegenden numerischen Berechnungen und Grafiken wurden
mit Hilfe von Rechnerprogrammen erstellt. Um dem Leser die Werkzeuge zugänglich
zu machen, sind die Quelltexte der Funktionen und der Grafikprozeduren diesem
Dokument auf einem Datenträger beigefügt. Das Ziel der Quelltexte ist das Entwick-
lungswerkzeug MATLAB (in der Version 6.5 Release 13) der Firma THE
MATHWORKS.
Die weitere Verwendung der Programmteile wird im Wesentlichen in zwei Varianten
zu unterteilen sein:
― Die Durchführung numerischer Rechnungen und die Erstellung von Grafiken
zu Test- und Verifikationszwecken (Der Nutzer ist in der Anwenderrolle)
― Die Integration der Funktionen und Prozeduren in eigene Programme und /
oder die Modifizierung und Verbesserung der Quelltexte nach eigenem Er-
messen (Der Nutzer ist in der Entwicklerrolle)
Es wurde versucht, bei der Programmentwicklung beide Varianten der weiteren Ver-
wendung zu unterstützen. Für die Nutzer in der Anwenderrolle ist eine grafische Be-
nutzeroberfläche erstellt worden, für die Nutzer des Quelltextes wurde eine konse-
quent modulare und funktionsorientierte Struktur ohne Nutzung globaler Variable
umgesetzt. Die Möglichkeiten der weiteren Programmverwendung sollen vorgestellt
werden.
Seite 216
1 Bedienung der grafischen Benutzeroberfläche (GUI)
Den Funktionen ist eine grafische Benutzeroberfläche beigefügt. Sie wird unter der
Entwicklungsoberfläche von MATLAB über den Aufruf der Funktion „PMModell-
GUI.m“ gestartet. Das Bild 1.1.a soll einen Eindruck von der nun erscheinenden Pro-
grammoberfläche geben.
Bild 1.1.a. Darstellung der grafischen Benutzeroberfläche (GUI)
Das Hauptfenster der Benutzeroberfläche unterteilt sich in vier Funktionsblöcke:
1.1 Die Berechnungsauswahl
Mit der Berechnungsauswahl kann mittels zweier „Pull-Down“-Menüs der gewünsch-
te Gegenstand der Rechnung – z.B. das magnetische Vektorpotential oder die Pol-
radspannung der modellierten Maschine – ausgesucht und mittels des Buttons „Be-
rechnung starten“ initiiert werden.
Seite 217
1.2 Das Logbuch
Im Logbuch werden alle im Programm ausgeführten Aktionen – insbesondere die
Änderung von Geometrie- Betriebs- und Werkstoffdaten – in Textform protokolliert.
Somit können die zuletzt getätigten Einstellungen und Eingaben noch eingesehen
werden, nachdem die zugehörigen Fenster und Menüs bereits geschlossen wurden.
1.3 Die Ausgabegrafik
Im rechten Teil des Fensters werden die Berechnungsresultate grafisch dargestellt.
1.4 Die Menüzeile
Die zur Rechnung anzugebenden Geometrie-, Werkstoff- und Betriebsdaten können
über das Fenstermenü „Modellparameter“ variiert werden. Zur Modifizierung der Da-
ten erscheinen Eingabefenster in der Art des Bildes 1.1.b.
Bild 1.1.b Darstellung der grafischen Eingabemenüs der GUI
Die Dateneingabe erfolgt über frei editierbare Felder und kann über die unten rechts
angeordneten Buttons verworfen oder bestätigt werden. Eine Plausibilitätsprüfung
der Daten erfolgt nicht.
Ist der Datensatz einer Maschine einmal erstellt, kann er über das Menü „Datei – Da-
tensatz speichern“ gesichert und per „Datei – Datensatz laden“ wiederhergestellt
Seite 218
werden. Die Programmoberfläche lädt bei ihrem Startvorgang automatisch die Datei
„Datensatz.mat“.
In dem Menü „Datei“ findet man zudem die Möglichkeit, den Bildschirminhalt auszu-
drucken, die Druckeinstellungen zu verändern sowie das Programm zu beenden.
Der Auswahlunterpunkt „grafische Darstellung“ ruft die aus MatLab bekannten Funk-
tionen zur Grafik- und Objektmodifizierung auf. Hiermit kann die grafische Darstel-
lung der Berechnungsergebnisse den eigenen Wünschen angepasst werden.
Online-Hilfe zum Hauptprogramm und MATLAB stehen ebenso wie eine Programm-
versionsinformation unter dem Menüpunkt „Hilfe“ zur Verfügung.
Auf eine Beschreibung der einzugebenden Berechnungsparameter soll hier verzich-
tet werden; eine entsprechende Dokumentation ist mit dieser Arbeit bereits vorhan-
den und sollte bei der Maschinenmodellierung zu Rate gezogen werden.
2 Direkte Nutzung der zur Verfügung gestellten Funktionen Bild 2.1 gibt zunächst Überblick über die Programmstruktur. Deutlich wird die Unter-
gliederung in die Definition von Konstanten, der Lösung der Differentialgleichungen
und der Berechnung der Felder, der abgeleiteten Feldgrößen und Grafiken.
Die Formulierung der dargestellten Programmteile unterliegt folgenden Konventio-
nen:
― Sämtliche Funktionen arbeiten ohne Deklaration globaler Variable und unter
konsequenter Nutzung der funktionsorientierten modularen Qualitäten des
Matlab-Interpreters
― Die Funktionen des Berechnungsmechanismus sind separat in jeweils einer
Datei mit einem dem Funktionsnamen identischen Dateinamen abgelegt
― Variable werden zwischen den Funktionen als Strukturen kommuniziert
― Die Nomenklatur der Variablen ist den in dieser Arbeit verwendeten Bezeich-
nungen identisch
― Variablennamen aus dem griechischen Zeichenvorrat werden in lateinischen
Buchstaben ausgeschrieben
― Indizes werden durch einen Unterstrich kenntlich gemacht.
Seite 219
Bild 2.1 Darstellung der Programmstruktur
Zur Übersicht soll in den folgenden Abschnitten eine Übersicht über die für die wei-
tere Nutzung relevanten Programmteile abgebildet werden.
Seite 220
2.1.1. Definition von Konstanten Im ersten Block des Programms werden alle zur Berechnung und Modellierung benö-
tigten Konstanten definiert. Die Konstanten sind als thematisch gegliederte Struktu-
ren abgelegt.
2.1.1.1. Programmkopf % Berechnung Permanentmagnet erregter Maschinen % Joerg Peschke, 11.01.2006 clear all % MATLAB clc % Version 6.5 Release 13 2.1.1.2. Definition der Berechnungsparameter % Eingabe allgemeiner Berechnungsparameter KONST.mu0=4*pi*0.0000001;
% Permeabilitätszahl mu_o % (Ganze Zahl)
KONST.M=100;
% Anzahl der berechneten Feldräume % (Ganze Zahl)
KONST.E=50;
% Nummer des Feldraumes der Erregung % (Ganze Zahl)
KONST.amax=11; % Maximale Ordnungszahl für die Berechnung des % Erregerfeldes (Ganze Zahl)
KONST.bmax=0; % Maximale Ordnungszahl für die Berechnung des % Ankerfeldes (Ganze Zahl)
KONST.NrPoints=30;
% Anzahl der berechneten Punkte (horizontal und % vertikal) bei 3D-Grafiken (Ganze Zahl)
KONST.NrLines=40;
% Anzahl der Äquipotentiallinien bei 3D-Grafiken % (Ganze Zahl)
KONST.Linien=false; % Darstellung der einzelnen Feldraumbegrenzungen % bei 3D-Grafiken (Ja/Nein)
KONST.Carterfaktor=false;
% Anwendung des Carterfaktors % (Ja/Nein)
KONST.BvHAusDatei=false ;
% Anwendung einer gespeicherten BvH-Kurve bei der % Bestimmuing von Ersatzpermeabilitäten (Ja/Nein)
KONST.BvHRotorDatei='RotorLenzeBvH.txt';
% Datenquelle für die BvH-Kurve des Rotors % (Dateiname)
KONST.BvHStatorDatei='StatorLenzeBvH.txt';
% Datenquelle für die BvH-Kurve des Stators % (Dateiname)
KONST.PHfunc=false;
% Anwendung einer Näherungsfunktion (Ja) oder einer % Splineinterpolation für die BvH-Kurve (Ja/Nein)
KONST.PHfuncRotorDatei='RotorLenzeParam.txt';
% Datenquelle für die Parameter der Näherungs- % funktion der Permeabilität des Rotors (Dateiname)
KONST.PHfuncStatorDatei='StatorLenzeParam.txt';
% Datenquelle für die Parameter der Näherungs- % funktion der Permeabilität des Stator (Dateiname)
KONST.PHfuncOpt=true;
% Anwendung einer Optimierung der Näherungsfunktion % an die gespeicherten BvH-Kurven (Ja/Nein)
KONST.PHfuncOptGenauigkeit=1e-6;
% Mindestgenauigkeit der automatischen Optimierung % an die gespeicherten BvH-Kurven (Fehlerquadrat)
KONST.PHfuncGesamtintervall=true;
% Optimierung der Näherungsfunktion über das Ge- % samtintervall oder "nur" bis zum Sättigungsknick
KONST.PIteration=false ;
% Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten / Anwendung % der Initialisierungspermeabilitäten
KONST.PIterationabbruch_fest=false;
% Abbruch der Iteration zum Finden der Permeabili- % täten nach Iterationszahl (Ja)/ Genauigkeit(Nein)
KONST.PIterationabbruch_abs=50;
% Iterationszahl des Abbruchs der Iteration zum % Finden der Ersatzpermeabilitäten
KONST.PIterationabbruch_rel=0.001;
% Mindestgenauigkeit für den Abbruch der Iteration % zum Finden der Ersatzpermeabilitäten
KONST.PIterationPaltgewicht=0.5;
% Gewicht der PI-Regelung bei der Iteration zum % Finden der Ersatzpermeabilitäten
KONST.BerechnungRotor=true;
% Berechnung der Felder mit / ohne Erregung % (Ja/Nein)
Seite 221
KONST.BerechnungStator=false;
% Berechnung der Felder mit / ohne Ankerwicklung % (Ja/Nein)
KONST.t=0;
% Zeitpunkt t der Feldrechnung
2.1.1.3. Definition von Daten zur Berechnung des Carterfaktors % Eingabedaten Ankerwicklung zur Berechnung Carterfaktor SW.p1 = 3; % Polpaarzahl p Stator
% P_konst=Initialisierung_P_konst(KONST,P_konst); % Initialisierung der Initialisierungs-
% Permeabilitäten für die M Feldraeume
Seite 222
2.1.1.6. Definition der Kenndaten des Permanentmagnetringes % Eingabedaten Permanentmagnetring / Rotor PM.Brem=1.07; % Remanenzinduktion des Magnetwerkstoffs des PM-
% Ringes PM.pf=3; % Polpaarzahl des Rotors
% PM.Mdach=PM.Brem/KONST.mu0; % Maximale Magnetisierung der PM-Erregung
% PM.tau=(2*pi)/(2*PM.pf); % Polteilung des Rotors
% PM.yf=PM.tau*0.9; % Polbreite des Rotors
% PM.bf=PM.tau*0.1; % Polübergangsbreite des Rotor
% PM.omega=0; % Drehzahl des Rotors
% (stationärer Betrieb) PM.theta0=pi/4; % theta_o
% (Initialisierungs-Stellungswinkel Rotor) 2.1.1.7. Definition der Kenndaten der Statorwicklung % Eingabedaten Ankerwicklung / Stator SW.p1 = 3; % Polpaarzahl p Stator
% SW.m1 = 3; % Strangzahl m Stator
% SW.q1 = 2; % Lochzahl q Stator
% SW.N1 = 11.5; % Windungszahl einer Spule Stator
% SW.kwa1 = 2; % Wicklungsartfaktor Stator
% SW.a1 = 1; % Anzahl paralleler Zweige Stator
% SW.l1 = 0.105; % Blechpaketlänge
% SW.A1 = 1.075; % Querschnittsfläche des Spulendrahts
2.1.2. Lösung der Differentialgleichungen des Modells Um die dem Nutzer zur Verfügung gestellten Anwenderfunktionen nutzen zu können,
ist es notwendig, die Konstanten der Differentialgleichungslösung zu ermitteln. Dies
geschieht mit dem Aufruf der Funktion „Feldberechnung“. Die Rückgabewerte der
Funktion sind nicht nur die Konstanten der Vektorpotentiale des Rotor- und Statorfel-
des, sondern auch eine Historie der Iteration der Permeabilitätszahlen und eine Feh-
leranalyse.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Start des Hauptprogramms %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [P_neu,R_C_neu,S_C_neu,P_history_neu,Fehler_neu]= Feldberechnung(KONST,R,P,P_var_Stator,P_var_Rotor,PM,SW); P=P_neu; R_C=R_C_neu; S_C=S_C_neu; P_history=P_history_neu; Fehler=Fehler_neu; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ende des Hauptprogramms %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 2.1.3. Liste der zur Verfügung gestellten Anwenderfunktionen Folgende Funktionen - dokumentiert mit Ein- und Ausgabeparametern - werden
dem Anwender zur Verfügung gestellt:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Liste der zur Verfügung gestellten Funktionen %%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% R_Konstantenfehler(KONST,PM,R_C);
% Funktion mit Rückgabewert: % 1, wenn Fehler in der Feldberechnung des % Rotors, 0 sonst
S_Konstantenfehler(KONST,SW,S_C);
% Funktion mit Rückgabewert: % 1, wenn Fehler in der Feldberechnung des % Stators, 0 sonst
A_z(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Vektorpotential in Abhängigkeit von r und % phi
A_z_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Vektorpotential über r und phi %
A_z_bild_2D_rkonst(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r);
% Prozedur % 2D-Bild: Vektorpotential über phi, r=konst %
% Prozedur % 2D-Bild: Vektorpotential über r, phi=konst %
B_phi(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Tangentialkomponente der magnetischen % Flussdichte in Abhängigkeit von r,phi
B_r(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Radialkomponente der magnetischen % Flussdichte in Abhängigkeit von r,phi
B_phi_bild_2D_rkonst(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r);
% Prozedur % 2D-Bild: Tangentialkomponente der magne- % tischen Flussdichte über phi , r=konst
Seite 224
B_r_bild_2D_rkonst(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r);
% Prozedur % 2D-Bild: Radialkomponente der magnetischen % Flussdichte über phi , r=konst
B_betrag(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Betrag der magnetischen Flussdichte in % Abhängigkeit von r,phi
B_betrag_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Betrag der magnetischen Fluss- % dichte über r und phi
B_r_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Radialkomponente der magnetischen % Flussdichte über r und phi
B_phi_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Tangentialkomponente der magne- % tischen Flussdichte über r und phi
B_phase(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Phase der magnetischen Flussdichte in Abh. % von r,phi
B_phase_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Phase der magnetischen Fluss- % dichte über r und phi
H_betrag(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Betrag der magnetischen Feldstärke in Abh. % von r,phi
H_phase(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Phase der magnetischen Feldstärke in Abh. % von r,phi
H_betrag_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Phase der magnetischen Feldstärke % über r und phi
H_r(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Funktion mit Rückgabewert: % Radialkomponente der magnetischen Feld- % stärke in Abh. von r,phi
H_phi(KONST,R,P,PM,R_C,SW,S_C,r,phi);
% Prozedur % 2D-Bild: Tangentialkomponente der % magnetischen Feldstärke über phi , r=konst
P_bild_2D(KONST,R,P);
% Prozedur % 2D-Bild: Permeabilität über Feldraumnummer %
P_iteration_bild_3D(KONST,P_history);
% Prozedur % 3D-Bild: Iteration zur Bestimmung der % Ersatzpermeabilität
P_bild_3D(KONST,R,P,PM,R_C);
% Prozedur % 3D-Bild: Permeabilität über r und phi %
BvH_Rotor_Bild_2D(KONST,P,P_var_Rotor);
% Prozedur % 2D-Bild: BvH-Kurve des Rotormaterials
BvH_Stator_Bild_2D(KONST,P,P_var_Stator);
% Prozedur % 2D-Bild: BvH-Kurve des Statormaterials
BvP_Stator_Bild_2D(KONST,P,P_var_Stator);
% Prozedur % 2D-Bild: BvP-Kurve des Statormaterials
BvP_Rotor_Bild_2D(KONST,P,P_var_Rotor);
% Prozedur % 2D-Bild: BvP-Kurve des Rotormaterials
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Ende der Liste der zur Verfügung gestellten Funktionen %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Seite 225
Anlage 4: Quellenverzeichnis Quellen des ersten Kapitels: [1.1] E. Bolte Technischer Bericht Nr. 27
Auslegung von Permanentmagnet erregten Maschinen
mit radialer Flussorientierung
Universität der Bundeswehr Hamburg
2002
[1.2] Z.Q. Zhu
D. Howe
E. Bolte
B. Ackermann
Instantaneous Magnetic Field Distribution in Brushless
Permanent Magnet DC Motors
IEEE Transactions on Magnetics
Volume 29. No. 1, S. 124-135
1993
Quellen des zweiten Kapitels: [2.1] G. Müller Theorie elektrischer Maschinen
VCH Verlagsgesellschaft GmbH
1995
[2.2] E. Bolte Vorlesungsskript
Elektrische Maschinen und Antriebe
Helmut Schmidt Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
2005
Quellen des dritten Kapitels: [3.1] S. Blume Theorie elektromagnetischer Felder
Studientexte der Elektrotechnik
Eltex Verlag
1982
Seite 226
[3.2] P. Leuchtmann Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie
Pearson Education Deutschland
2005
[3.3] G. Lautz Elektromagnetische Felder
Teubner Studienbücher
1985
[3.4] I. Wolff Maxwellsche Theorie
Grundlagen und Anwendungen
Springer Verlag
1997
[3.5] W. Schultz Dielektrische und magnetische Eigenschaften der Werk-
stoffe
Vieweg Verlag
1978
[3.6] H. Schilling Elektromagnetische Felder und Wellen
Physik in Beispielen
Verlag Harry Deutsch
1975
[3.7] M. Ehrich Vorlesungsskript
Theoretische Elektrotechnik
Universität der Bundeswehr Hamburg
1994
[3.8] A. Zippelius Vorlesungsskript
Theoretische Physik
Maxwell Gleichung in Wechselwirkung mit Materie
Georg-August-Universität Göttingen
2005
[3.9] M. Kämpfer
Vorlesungsskript
Mikrowellenphysik
Universität Bern
2005
Seite 227
Quellen des vierten Kapitels:
[4.1] E. Bolte Vorlesungsskript
Elektrische Maschinen und Antriebe, Gliederung 1
Helmut Schmidt Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
2005
[4.2] E. Bolte Vorlesungsskript
Elektrische Maschinen und Antriebe, Gliederung 3
Helmut Schmidt Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
2005
[4.3] K. Mallien Messbericht „Lenze Servomotor“
Universität der Bundeswehr Hamburg
1998
[4.4] N. Hampel Diplomarbeit
Servoantrieb mit Permanentmagnet erregtem Motor
Universität der Bundeswehr Hamburg
1999
Quellen des fünften Kapitels: [5.1] E. Bolte Technischer Bericht Nr. 27
Auslegung von Permanentmagnet erregten Maschinen mit
radialer Flussorientierung
Universität der Bundeswehr Hamburg
2002
[5.2] E. Bolte Vorlesungsskript
Elektrische Maschinen und Antriebe
Helmut Schmidt Universität
Universität der Bundeswehr Hamburg
2005
Seite 228
Quellen des sechsten Kapitels: Es wurden keine externen Quellen verwendet.
Quellen des siebten Kapitels: [7.1] H. Fischer
H. Moser
Die Nachbildung von Magnetisierungskurven durch ein-
fache algebraische oder transzendente Funktionen
Archiv für Elektrotechnik 42, S. 286-299
1956
[7.2] I.N. Bronstein
K.A. Semendjajew
Taschenbuch der Mathematik
Verlag Harry Deutsch
22. Auflage
1985
Quellen des achten Kapitels: [8.1] E. Bolte Vorlesungsskript
Lehrveranstaltung “Elektrische Maschinen und Antriebe“
Universität der Bundeswehr Hamburg
1995
[8.2] R. Richter Elektrische Maschinen
Birkhäuser Verlag, 3. Auflage
1967
[8.3] G. Müller Grundlagen elektrischer Maschinen
Reihe: Elektrische Maschinen
VCH Verlagsgesellschaft mbH Weinheim
1994
[8.4] G. Müller Theorie elektrischer Maschinen
Reihe: Elektrische Maschinen
VCH Verlagsgesellschaft mbH Weinheim
1995
Seite 229
[8.5] K. Vogt Berechnung elektrischer Maschinen
Reihe: Elektrische Maschinen
VCH Verlagsgesellschaft mbH Weinheim
1996
Quelle des neunten Kapitels:
[9.1] E. Bolte Vorlesungsskript
Lehrveranstaltung Elektrische Maschinen und Antriebe
Universität der Bundeswehr Hamburg
1995
Quellen des zehnten Kapitels: [10.1] E. Bolte
B. Kipp
Technischer Bericht 34 „Bestimmung der Maschinenpara-
meter einer Dauermagnet erregten Maschine mit konzent-
Lehrveranstaltung Elektrische Maschinen und Antriebe
Universität der Bundeswehr Hamburg
1995
Seite 230
Anlage 5: Verzeichnis der verwendeten Variablen a Ganze Zahl
maxa Maximale Ordnungszahl der Modellierung einer PM-Erregung
1a Anzahl paralleler Zweige der Ankerwicklung
a′ Ersatzstrombelag zur Modellierung der PM-Erregung
aμ Fourier-Koeffizient zur Bildung des magnetischen Vektorpotentials
A Magnetisches Vektorpotential
A Magnetisches Vektorpotential der PM-Erregung
iA Magnetisches Vektorpotential der PM-Erregung im i-ten Feldraum
1A Magnetisches Vektorpotential der Ankerwicklung
Aμ Magnetisches Vektorpotential einer Oberwelle der PM-Erregung
1Aμ Magnetisches Vektorpotential einer Oberwelle der Ankerwicklung
,1CuA Querschnittsfläche des Kupferdrahtes der Ankerwicklung
NutA Nutfläche
kA ,, ρκμ Vektorpotential einer Oberwelle der Erregung an einer Spule
1, , ,kAμκ ρ Vektorpotential einer Oberwelle der Ankerwicklung an einer Spule
b Ganze Zahl
1b Polübergangsbreite am Anker
fb Polübergangsbreite der PM-Erregung
fbμ Fourier-Koeffizient des Strombelags der Ankerwicklung
,1Nb Untere Nutbreite des Ankers
,1NSb Obere Nutbreite des Ankers
,1Sb Nutöffnung des Ankers
B Flussdichte
Seite 231
iB Flussdichte im i-ten Feldraum
rB Radiale Komponente der Flussdichte
ersB Magnetische Flussdichte zur Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten
RB Remanenzinduktion des Magnetmaterials
Bϕ Umfangskomponente der Flussdichte
c Lichtgeschwindigkeit
C Curie-Konstante
1 3C CK Konstanten aus der Lösung der DGL des Vektorpotentials der PM-Err.
1 3C Cμ μK Konstanten aus der Lösung der DGL des Vektorpotentials der PM-Err.
1, 3,i iC Cμ μK Konstanten aus der Lösung der DGL des Vektorpotentials der PM-Err.
ϕcos Leistungsfaktor
Md Magnetdicke einer PM-Erregung
Md ′ Modellierte Magnetdicke einer PM-Erregung
1,gd Geometrischer Wellendurchmesser
2,gd Geometrischer Rotorkerndurchmesser
4,gd Geometrischer Messjochbohrungsdurchmesser
5,gd Geometrischer Messjochaußendurchmesser
D Elektrische Verschiebung
D Jakobi-Matrix
e Einheitsvektor
E Feldraum der Erregung
E Elektrische Feldstärke
1f − Umkehrfunktion
Nf Nennfrequenz
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,1Nh Gemittelte Nuttiefe der Ankerwicklung
G Gewicht des integralen Anteils einer PI-Regelstrecke
PMh Schichtdicke der PM-Erregung
H Magnetische Feldstärke
iH Magnetische Feldstärke im i-ten Feldraum
rH Radialkomponente der magnetischen Feldstärke
Hϕ Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke
,1KH Wickelkopfhöhe der Ankerwicklung
I Elektrischer Strom
aI Strangstrom
kI Strangstrom
NI Nennstrom
j Imaginäre Einheit
J Stromdichte
J ′ Stromdichte zur Modellierung der PM-Erregung
kμ Fourier-Koeffizient zur Modellierung der PM-Erregung
WAk Wicklungsartfaktor
1 7K KK Konstanten aus der Lösung einer Differentialgleichung
1 7K Kμ μK Konstanten aus der Lösung der DGL des Vektorpotentials der PM-Err.
PK Konstanten aus der Lösung einer Differentialgleichung (partikulär)
CK Carterfaktor
1,Kμ σ Konstante zur Berechnung der Streuziffer
2,Kμ σ Konstante zur Berechnung der Streuziffer
,1NKμ Nutschlitzbreitenfaktor der Ankerwicklung
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,N fKμ Nutschlitzbreitenfaktor der PM-Erregung
,1SKμ Sehnungsfaktor der Ankerwicklung
,S fKμ Sehnungsfaktor der PM-Erregung
,1ZKμ Zonungsfaktor der Ankerwicklung
,Z fKμ Zonungsfaktor der PM-Erregung
,1WKμ Wicklungsfaktor der Ankerwicklung
l Integrationsweg
1l Blechpaketlänge des Ankers
fl Blechpaketlänge des Rotors
,1il Ideelle Blechpaketlänge des Ankers
,i fl Ideelle Blechpaketlänge des Rotors
aL Drehfeldinduktivität, synchrone Induktivität
NL Nutstreuinduktivität
SL Stirnstreuinduktivität
StrL Stranginduktivität
StrLν Stranginduktivität einer Oberwelle
m Dipolmoment
1m Strangzahl des Ankers
M Anzahl betrachteter Feldräume
M Magnetisierung
M̂ Maximale Magnetisierung
NM Nenndrehmoment
n Natürliche Zahl
n Nummer eines Iterationsschrittes
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maxn Maximal erlaubte Zahl von Iterationsschritten
n Normalenvektor
n Drehzahl
maxn Maximaldrehzahl
Nn Nenndrehzahl
N Windungszahl einer Spule
1N Windungszahl einer Spule der Ankerwicklung
fN Anzahl der Magnetsegmente
p Dipolmomentmenge
0,p p Konstanten zur Beschreibung einer Hilfsfunktion
1p Polpaarzahl des Ankers
fp Polpaarzahl PM-Erregung
P Polarisation
P Leistung
NP Nennleistung
0,q q Konstanten zur Beschreibung einer Hilfsfunktion
1q Lochzahl des Ankers
r Radius
0,r r Konstanten zur Beschreibung einer Hilfsfunktion
1 5r rK Radien der Motormodellierung
,m ir Radien der Motormodellierung
1 ,5g gr rK Radien der Motorgeometrie
ersr Radius zur Bestimmung von Ersatzpermeabilitäten
R Funktion des Lösungsansatzes einer Differentialgleichung
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StrR Strangwiderstand
1s Gemittelte Nutbreite der Ankerwicklung
,i js Konstante zur Bestimmung eines Polynoms (Spline-Interpolation)
t Zeit
Nutt Nuttiefe
T Temperatur
CT Curie-Temperatur
ppU Polradspannung der Grundwelle
pUμ Polradspannung einer Oberwelle
U Spannung
kU Strangspannung
aU Strangspannung
NU Nennspannung
w Wicklungsfaktor
W Weisscher Faktor
mW Magnetische Energie
x Kartesische Koordinate
y Kartesische Koordinate
1y Polbreite der Ankerwicklung
fy Polbreite der PM-Erregung
z Kartesische Koordinate
z Zylinderkoordinate
1Z Nutenzahl des Ankers
α Faktor zur Berechnung des Carterfaktors
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α Polbreite der PM-Erregung
β Polübergangsbreite der PM-Erregung
β Faktor zur Berechnung des Carterfaktors
χ Suszeptibilität
δ Luftspalt
gδ Geometrischer Luftspalt
mδ Modellierter Luftspalt
PMΔ Relative Dicke der PM-Erregung zur Berechnung der Streuziffer
RΔ Radienverhältnis zur Berechnung der Streuziffer
ε Grenzwert einer Folge
0ε Dieelektrizitätskonstante (Vakuum)
ϕ Zylinderkoordinate
ϕ Elektrisches Skalarpotential
1ϕ Zylinderkoordinate Anker
2ϕ Zylinderkoordinate Rotors
Pϕ Polradwinkel
φ Funktion eines Lösungsansatz einer Differentialgleichung
φ Magnetischer Fluss
σφ Streufluss
Lφ Luftspaltfluss
Mφ Gesamtfluss
μ Ordnungszahl
rμ Relative Permeabilität
,r iμ Relative Permeabilität im i-ten Feldraum
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0μ Permeabilitätskonstante (Vakuum)
,r WKLμ Aus einer Werkstoffkennlinie bestimmte relative Permeabilität
ersμ Relative Ersatz-Permeabilität
ν Ordnungszahl
ρ Oberflächenladungsdichte
σ Streuziffer
,p fτ Polteilung der PM-Erregung
,1pτ Polteilung der Ankerwicklung
,1nτ Nutteilung der Ankerwicklung
,n fτ Nutteilung der PM-Erregung
Cuρ Spezifischer Widerstand von Kupfer
η Wirkungsgrad
υ Drehwinkel des Rotors in Bezug auf den Anker
0υ Drehwinkel des Rotors in Bezug auf den Anker (Initialisierung)
( )tυ Drehwinkel des Rotors in Bezug auf den Anker (Zeitliche Abhängigkeit)
ω elektrische Kreisfrequenz
Ω Mechanische Kreisfrequenz
ψ Flußverkettung
ψμ Flußverkettung einer Oberwelle
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Anlage 6: Lebenslauf des Autors Persönliche Angaben Name Jörg Peschke Geburtsdatum 02. Juni 1971 Geburtsort Rheine in Nordrhein-Westfalen Familienstand Ledig Schulische Ausbildung 08/1977 – 07/1981 St. Michael Grundschule in Rheine 07/1981 – 06/1990 Gymnasium Dionysianum in Rheine, Abitur Berufstätigkeit 07/1990 – 12/2002 Offizier der Bundeswehr
an den Standorten München, Hamburg, El Paso und Husum. Der Ausbildungsweg zu dieser Tätigkeit beinhaltete neben einem Studium der Elektrotechnik Lehrgänge, in denen Fremdsprachenkenntnisse, Ausbildungsgrundsätze und Themen moderner Menschenführung vertieft wurden.
Seit 02/2003
Wissenschaftlicher Mitarbeiter bei der Helmut-Schmidt-Universität, Universität der Bundeswehr in Hamburg Fachbereich Elektrotechnik Professur für elektrische Maschinen und Antriebe
Hochschulstudium und Praktika Seit 07/2000
Studium der praktischen Informatik an der Fernuniversität in Hagen Studienschwerpunkt: Software Engineering Abschluss: Geplant für Dezember 2006
10/1991 – 10/1995
Studium der Elektrotechnik (Nachrichtentechnik) an der Universität der Bundeswehr in Hamburg Studienschwerpunkt: Theoretische Elektrotechnik Abschluss: Diplom-Ingenieur