Analysis in Rn Notes

8/19/2019 Analysis in Rn Notes

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Notas de Análise no Rn

Roberto Imbuzeiro Oliveira1

26 de Março de 2016

1IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil, 22430-040.


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Conteúdo

1 Introdução 5

1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Espaços métricos e espaços vetoriais 7

2.1 Espaços métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 A reta real como espaço métrico . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 O espaço Euclideano de d dimensões . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Os números complexos como espaço métrico . . . . . . 12

2.1.4 Funções cont́ınuas como espaço métrico . . . . . . . . 12

2.1.5 A métrica discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.6 Métricas induzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Espaços vetoriais e normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Sequências e limites 21

3.1 Converĝencia em Rd com as normas p . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Convergência sob a métrica discreta . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Converĝencia em C (I,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Converĝencia em C ((a, b),R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5 Equivalência de métricas e normas . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.6 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 Funções e continuidade 35

4.1 Funções contı́nuas de X em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Funções Lipschitz e distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Funções cont́ınuas sobre as funções contı́nuas . . . . . . . . . 38

4.4 Funções contı́nuas de X em Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.5 Transformações e funcionais lineares . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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4 CONTE ́UDO

5 Abertos e fechados 47

5.1 Os abertos formam uma topologia . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Fechados, limites e métricas equivalentes . . . . . . . . . . . . 505.3 Fechos, interiores e pontos de acumulação . . . . . . . . . . . 525.4 Continuidade, abertos e fechados . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5 Topologia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 Como são os abertos de R? (Opcional) . . . . . . . . . . . . . 565.7 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6 Compacidade 596.1 Compactos são completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2 Compactos são totalmente limitados . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Subsequências convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.4 Critérios topológicos para a compacidade . . . . . . . . . . . 666.5 Continuidade uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.6 Subconjuntos compactos de espaços notáveis . . . . . . . . . 70

6.6.1 Compactos na métrica discreta . . . . . . . . . . . . . 716.6.2 Compactos de Rd e a equivalência de normas . . . . . 716.6.3 Compactos de espaços de funções contı́nuas . . . . . . 71

6.7 Conjuntos perfeitos (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.8 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Caminhos e conexidade 757.1 Conexidade por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.2 Conexidade topoĺogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.3 Quando as definições concordam? . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.1 Discordância em R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3.2 Concordância para abertos de espaços vetoriais . . . . 84

7.4 Mais exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85


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Caṕıtulo 1

Introdução

O objetivo destas notas é complementar de forma relativamente amig´ avel e coerente o conteúdo dos caṕıtulos 2, 7 e 9 do “pequeno Rudin” [?], alémde alguns tópicos escolhidos do “volume 2 grande” de Elon Lages Lima [?].Tomamos como pré-requisito todo material sobre R e sua topologia e sobrederivadas e integrais do “volume 1 do Elon pequeno” [?].

É conveniente explicar o que queremos dizer com os dois adjetivos des-tacados no parágrafo anterior. Amig´ avel quer dizer que pretendemos apre-sentar muitos exemplos e que buscaremos destacar a lógica e os pontos maisimportantes das demonstrações. Coerente quer dizer que buscaremos umaapresentação que enfatize os pontos comuns entre os vários tópicos. Paraeste propósito, enfatizaremos a topologia e a geometria de espaços métricos ,enfatizando a relação destas propriedades com as funções contı́nuas sobreo espaço. A linguagem de espaços vetoriais também será amplamente dis-cutida e utilizada. Acreditamos que a combinação de conceitos gerais eexemplos especı́ficos permitirá aos leitores apreciarem porque as construçõesabstratas são úteis.

1.1 Preliminares

Aqui observamos alguns fatos sobre conjuntos que dusaremos o tempo todo.Em primeiro lugar, é possı́vel falar de uniões e interseções de um número

arbitrário de conjuntos. Mais exatamente: suponha que I =

∅é um conjunto

e a cada i ∈ I está associado um conjunto Ai1. (Neste caso dizemos que{Ai}i∈I é uma famı́lia de conjuntos indexada por I ). Definimos as unĩoes

1A maneira correta de pensar nisso seria imaginar que temos uma função f : I → A,onde A é um conjunto cujos elementos são conjuntos, de modo que Ai := f (i).

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6 CAP ́ITULO 1. INTRODUÇ ˜ AO

∪i∈I Ai e interseções ∪i∈I Ai pelas regras:

∀x : “x ∈i∈I

Ai” ⇔ “∃i ∈ I : x ∈ Ai”.

∀x : “x ∈i∈I

Ai” ⇔ “∀i ∈ I : x ∈ Ai”.

Em segundo lugar, observamos que, se todos os Ai estão contidos nummesmo conjunto X , podemos falar do complemento Aci := X \Ai de cadaAi com relação a X . Notamos que a operação de tomar complementos éidempotente ((Ac)c = A) e troca interseção por união:

i∈I

Aci =

i∈I Aic

.


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Caṕıtulo 2

Espaços métricos e espaçosvetoriais

Neste caṕıtulo apresentamos os espaços métricos, a principal classe de ob- jetos que trataremos neste curso. Alguns destes espaços têm uma estruturaa mais de espaço vetorial normado, que abordaremos com menos detalhes.

2.1 Espaços métricos

Definiç̃ao 2.1 Um espaço métrico é um conjunto X = ∅ munido de uma funç˜ ao d : X ×X → [0, +∞), chamada de métrica sobre X , com as seguintes propriedades.

1. d é não-negativa e separa pontos distintos: para quaisquer a, b ∈X , d(a, b) = 0 se e somente se a = b;

2. d é simétrica: para qualquer par (a, b) ∈ X × X , d(a, b) = d(b, a);3. d satisfaz a desigualdade triangular: para quaisquer a, b, c ∈ X ,

d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b).Todas as propriedades de métrica acima têm uma interpretaç˜ ao intuitiva

se pensamos em d como uma noção de distância. A propriedade 1 diz quea distância de um lugar a ele mesmo é nula, mas que qualquer outro lugar

está a distância positiva. A segunda propriedade afirma que ir de a a b nãoé mais fácil ou dif́ıcil que ir de b a a. A terceira propriedade afirma que ir dea para c e depois para b não pode resultar em um caminho mais curto que arota direta de a para b. Apesar da clareza do que significam estas condições,veremos abaixo que nem todo espaço métrico é f́acil de se entender.

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8 CAP ́ITULO 2. ESPAÇOS M ́ETRICOS E ESPAÇOS VETORIAIS

Veremos abaixo os principais exemplos de espaços métricos que serão

recorrentes no curso. Ocasionalmente usaremos a convenção de denotar pordX a métrica de X ; isto será útil quando tratarmos muitos espaços métricosde uma única vez.

2.1.1 A reta real como espaço métrico

X = R com a métrica dR(a, b) := |a − b| ((a, b) ∈ R2). As duas primeiraspropriedades da definição de métrica são triviais. A terceira é consequênciade “|x + y| ≤ |x| + |y|”aplicada a x = a − c e y = c − b. Em todas estas notas tomaremos esta métrica como a métrica padr˜ ao sobre R, a n˜ ao ser quandoo contr´ ario for dito.

2.1.2 O espaço Euclideano de d dimensões

Nossa segunda classe mais importante de exemplos é dada por X = Rd

com d ∈ N. Os elementos deste conjunto serão representados na formax ∈ Rd, com as d coordenadas de x escritas como x[1], x[2], . . . , x[d]. Àsvezes usaremos as seguintes operações:

• Soma e diferença: dados x, y ∈ Rd, definimos x + y, x − y ∈ Rd comoos vetores de coordenadas x(i) + y(i) e x(i) − y(i) (1 ≤ i ≤ d).

• Multiplicaç˜ ao por escalar: se x ∈ Rd e λ ∈ R, λ x é o vetor de coorde-nadas λ x(i) (1 ≤ i ≤ d).

A métrica que normalmente usaremos sobre Rn será a Euclideana . Paradefini-la, vamos primeiro definir primeiramente o produto interno:

x · y :=d

i=1

x(i) y(i) (x, y ∈ Rd).

Definimos ainda a norma Euclideana como

|x| := √ x · x = d

i=1

(x(i))2 (x ∈ Rd),

observando que |x| ∈ R, |x| ≥ 0 porque a soma de quadrados dentro daraı́z quadrada é não negativa. (Isto também é observado no próximo lema.)Nossa candidata a métrica em Rd é dada pela norma da diferença de vetores.

dRd(a, b) := |a − b| (a, b ∈ Rd).


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2.1. ESPAÇOS M ́ETRICOS 9

Veremos a seguir que esta é de fato uma métrica sobre Rd. Precisaremos

para isto de algumas propriedades do produto interno.Lema 2.1 (Propriedades do produto interno e da norma) Dados x, y ∈Rd:

1. Positividade: |x|2 = x · x ≥ 0, com igualdade se e somente se x = 0,o vetor cujas coordenadas s˜ ao todas nulas.

2. Simetria: x · y = y · x.3. Homogeneidade positiva: se y = λx com λ ∈ R, |y| = |λ| |x|.4. Linearidade: se λ ∈ R, a, b ∈ Rd e x = λa + b, ent˜ ao y · x = x · y =

λ (a

·y) + (b

·y).

Prova: Veja que, por definição x ·x = di=1 (x(i))2 é uma soma de quadradosde números reais. Cada uma das parcelas da soma é maior ou igual a zero,portanto a soma é não-negativa. Além disso, a soma só pode ser 0 se cadaparcela se anula, isto é, x(i) = 0 para cada 1 ≤ i ≤ d. Deduzimos que asoma se anula se e somente se x = 0, o que prova a parte 1 do lema.

A propriedade 2 é consequência do fato que x(i) y(i) = y(i) x(i) para cadacoordenada i ∈ {1, . . . , d}, de modo que

x · y =d

i=1

x(i) y(i) =

di=1

y(i) x(i) = y · x.

A propriedade 3 vem do fato que (y(i)

)2

= λ2

(x(i)

)2

, logo

|y|2 =d

i=1

(y(i))2 =

di=1

λ2 (x(i))2 = (|λ| |x|)2

e podemos tomar a ráız quadrada positiva dos dois lados.A propriedade 4 vem do fato que, por definição das operações de Rd

x = λa + b ⇒ x(i) = λa(i) + b(i) ⇒ x(i) = λa(i) + b(i),de modo que, pelas distributividade e associatividade de R,

x

·y =

d

i=1

x(i) y(i) =d

i=1

(λ a(i) + b(i)) y(i)

= λ

di=1

a(i) y(i) +

di=1

b(i) y(i)

= λ (a · y) + (b · y).


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A desigualdade a seguir será muito importante para relacionarmos oproduto interno com uma métrica.

Lema 2.2 (Desigualdade de Cauchy Schwartz) Dados x, y ∈ Rd, |x ·y| ≤ |x| |y|, com igualdade se e somente se existe x = λ y ou y = λ x para algum λ ∈ R.

Prova: Suponha que x = 0 ou y = 0. Neste caso, vê-se a partir das definiçoesque |x · y| = |x| |y|. Aém disso, tomando λ = 0 vemos que, ou x = λ y, ouy = λ x. Deste modo, o lema é trivialmente verdadeiro no caso particularem que x = 0 ou y = 0.

Suponha agora que nem x, nem y se anulam. Neste caso temos que,para qualquer λ ∈ R\{0}, a positividade do produto interno implica que,definindo-se

uλ := λx − y,temos uλ · uλ ≥ 0. Usando bilinearidade, deduzimos que

0 ≤ uλ · uλ = λ (x · uλ) − (y · uλ).

Aplicando bilinearidade mais uma vez a cada termo, deduzimos que

() 0 ≤ uλ · uλ = λ2 (x · x) − λ x · y − λ y · x + y · y.

A simetria nos permite agrupar os termos contendo x · y e y · x. Somando-ose movendo a soma para o outro lado, temos

2λx · y ≤ λ2 x · x + y · y = λ2|x|2 + |y|2.

Suponha agora que λ > 0. Neste caso, podemos dividir os dois lados por 2λe obter

x · y ≤ λ2 x · x + y · y

2λ =

λ |x|22

+ |y|2

2λ .

O lado direito é minimizado com a escolha de λ = |y|/|x|, o que nos dá

x · y ≤ |x| |y|.Do mesmo modo, se λ


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e a escolha de λ = −|y|/|x| implicax · y ≥ − |x| |y|.

Deste modo, concluı́mos que |x.y| ≤ |x| |y|.Agora verifiquemos o que acontece se x · y = ±|x| |y|. Voltando nas

contas para trás, um dos valores λ = ±|y|/|x| é tal que2λx · y = λ2 x · x + y · y = λ2|x|2 + |y|2.

Neste caso, () implica que uλ · uλ = 0, ou seja, uλ = λx − y = 0, o que querdizer que y = λx. Portanto, a igualdade em “|x · y| ≤ |x| |y|”implica quey = λx. Do mesmo modo, se y = λx ou x = λy, uma conta simples mostraque vale igualdade. Deduzimos que, quando x, y = 0, vale o Lema.

Agora podemos provar o principal resultado desta seção.

Teorema 2.1 A funç˜ ao dRd definida acima é uma norma sobre Rd.

Prova: Sejam a, b, c ∈ Rd quaisquer. Nosso objetivo é provar que• |a − b| ≥ 0, com igualdade se e somente se a = b;• |a − b| = |b − a|;• |a − c| ≤ |a − b| + |b − c|.

Vamos escrever isto de outra forma. Defina x := a − b, y := b − c. Os itensacima são equivalentes a:

• |x

| ≥ 0, com igualdade se e somente se x = 0 (vem do Lema 2.1, parte

1).

• |x| = |− x| (vem do Lema 2.1, parte 1);• |x + y| ≤ |x|+ |y|; isto vem de Cauchy Schwartz, do Lema 2.1 e do fato

que a raı́z quadrada é função crescente sobre o intervalo [0, +∞) ⊂ R.De fato:

|x + y|2 = (x + y) · (x + y)(bilinearidade) = x · x + y · y + x · y + y · x

(simetria + defn. de norma) = |x|2 + |y|2 + 2x · y(Cauchy Schwartz) ≤ |x|2 + |y|2 + 2 |x| |y|

= (|x| + |y|)2.Portanto |x + y|2 ≤ (|x| + |y|)2 e podemos tomar ráızes quadradas ededuzir |x + y| ≤ |x| + |y|, CQD.


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Exerćıcio 2.1 Defina duas outras funç˜ oes x → x da seguinte forma:dado x ∈ R

d

,

|x|1 :=d

i=1

|x(i)|

e

|x|∞ := max1≤i≤d

|x(i)|.

Mostre que as express˜ oes

da(x, y) := |x − y|a (a ∈ {1, ∞}, x , y ∈ Rd)

também definem métricas sobre Rd. Mostre ainda que

∀x ∈ Rd : |x|∞ ≤ |x| ≤√

d |x|1 ≤ d3/2 |x|∞.

2.1.3 Os números complexos como espaço métrico

O conjunto C é usualmente definido como o conjunto dos números da formaz := a + b

√ −1, onde a = (z) ∈ R é chamada de parte real de z , b = (z) ∈R é a parte imaginária, e

√ −1 – a unidade imaginária – é um númerosatisfazendo (

√ −1)2 = −1. O livro de Rudin [?] tem uma definição maisformal deste corpo. O ponto de mencioná-los aqui é que C é basicamenteR2 com uma estrutura de produto. Observamos ainda que a norma

|z

| é

multiplicativa: |zw| = |z| |w|.

2.1.4 Funções cont́ınuas como espaço métrico

Veremos agora um exemplo de espaço algo diferente dos que foram conside-rados até agora.

Considere um intervalo compacto I ⊂ R, I = [a, b] com −∞ < a <b


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Prova: Simetria é óbvia. O fato de que a distância só toma valores não-

negativos também é evidente. Verificamos que

dC (f, g) = 0 ⇔ supt∈I

|f (t) − g(t)| = 0 ⇔ ∀t ∈ I : |f (t) − g(t)| = 0 ⇔ f = g.

A desigualdade triangular pode ser provada da seguinte forma. Tome f , g , h ∈C . Queremos provar que d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h). Para isto, usaremos adesigualdade triangular em R para notar que, para qualquer t ∈ I

|f (t) − h(t)| ≤ |g(t) − f (t)| + |g(t) − h(t)|≤ sup

s∈I |f (s) − g(s)| + sup

r∈I |g(r) − h(r)|

= d(f, g) + d(g, h).

Ou seja,

∀t ∈ I : |f (t) − h(t)| ≤ d(f, g) + d(g, h).

A desigualdade acima vale para todo t ∈ I . Portanto, o supremo dos valoresdo lado esquerdo é menor ou igual do que o lado direito. Como o supremodo lado esquerdo é exatamente d(f, g), deduzimos d(f, h) ≤ d(f, g) +d(g, h).

Exerćıcio 2.2 Considere um conjunto S = ∅ e considere o conjunto de todas as funç˜ oes limitadas de S em R.

Bo(S,R) := {f : S → R : supt∈S

|f (t)| < +∞}.

Mostre que a express˜ ao

d(f, g) := supt∈S

|f (t) − g(t)| (f, g ∈ Bo(S,R))

define uma métrica sobre Bo(S,R).

A métrica que definimos acima só serve quando I é compacto. Maisadiante construiremos uma métrica que é “boa” quando I é um intervaloaberto.


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2.1.5 A métrica discreta

Uma métrica relativamente trivial e “boba”pode ser definida sobre qualquerconjunto X = ∅: a chamada métrica discreta.

ddisc(x, y) :=

1, x = y;0, x = y.

Esta métrica é interessante por alguns (poucos) motivos. No momento só umdeles nos interessa: qualquer resultado que provarmos para todos os espaçosmétricos deverá valer para as métricas discretas!

2.1.6 Métricas induzidas

Se temos um espaço métrico (X, dX ), qualquer subconjunto Y ⊂ X , Y = ∅herda a métrica:

dY (y, y) := dX (y, y

) ((y, y) ∈ Y 2).

Ou seja, dY = dX |X ×X é obtida restringindo a função dX : X ×X → [0, +∞)ao conjunto Y × Y . Chamamos esta métrica de induzida. Por exemplo,Q ⊂ R e Qd ⊂ R?d têm métricas induzidas pelas métricas naturais sobre osespaços ambientes.

2.2 Espaços vetoriais e normasAlguns dos conjuntos X sobre os quais definimos métricas acima têm umaestrutura especial que nos permite somar e subtrair elementos, al’em demultiplicá-los por números reais. O exemplo mais claro é o de Rd, mas háalguns outros menos evidentes.

Exemplo 2.1 Lembre do espaço C (I,R) definido na Seç˜ ao 2.1.4. Veja que podemos somar duas funç˜ oes cont́ınuas f, g ∈ C (I,R), obtendo uma nova funç˜ ao contı́nua f + g, definida por

(f + g)(x) := f (x) + g(x), (x

∈ I ).

Além disso, podemos multiplicar uma funç˜ ao f por um escalar λ ∈ R, ob-tendo uma funç˜ ao λf ∈ C (I, R), definida pela identidade:

(λ f )(x) := λ f (x), (x ∈ I ).


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2.2. ESPAÇOS VETORIAIS E NORMAS 15

Exerćıcio 2.3 Prove propriedades parecidas para o espaço Bo(S,R) do Exercı́cio

2.2 .

Os espaços com o tipo de estrutura que observamos nestes exemplos s ãoos chamados de espaços vetoriais .

Definiç̃ao 2.2 Chamamos de espaço vetorial sobre R um conjunto V = ∅com operaç˜ oes de soma

(v, w) ∈ V 2 → v + w ∈ V e multiplicaç˜ ao por escalar

(λ, v)

∈R

×V

→λ v

∈ V,

além de um elemento distinguido 0 ∈ V , definidos de modo que os axiomas a seguir sejam satisfeitos:

1. Comutatividade e associatividade da soma: v + w = w + v e (v + w) +z = v + (w + z) para todos v, w, z ∈ V .

2. Associatividade do produto: para quaisquer λ, η ∈ R, v ∈ V , λ(ηv) =(λη) v.

3. Distributividade: para todos v, w ∈ V , λ, ξ ∈ R, (λ + ξ ) (v + w) =λv + λw + ξv + ξw.

4. Elemento neutro: 0 + v = v para todo v ∈ V .5. Multiplicação por 1 e 0: 1.v = v e 0.v = 0 para todo v ∈ V .

Não é dif́ıcil mostrar que os axiomas acima são respeitados por Rd (com0 sendo o vetor cujas coordenadas são nulas), C (I, R) (com 0 sendo a funçãoidenticamente nula) e Bo(S,R) (de modo semelhante a C (I,R)).

Exerćıcio 2.4 Mostre a partir dos axiomas que 0.v = 0 e (−1) v + v = 0para todo v ∈ V .

As métricas que definimos para Rd, C (I, R) e Bo(S,R) são todas dadas

por normas .

Definiç̃ao 2.3 Uma norma sobre um espaço vetorial real V é uma funç˜ aoque associa a cada v ∈ V um valor vV ∈ R, de modo que, para quaisquer λ ∈ R, v, w ∈ V , valham as seguintes propriedades.


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1. Positividade definida: vV ≥ 0, com igualdade se e somente se v = 0.2. Homogeneidade positiva: λvV = |λ| vV .3. Sub-aditividade: v + wV ≤ vV + wV .

Um par (V, · V ), com V um espaço vetorial real e · V uma norma, é chamado de espaço vetorial real normado.

Exerćıcio 2.5 Prove que as express˜ oes | · |, | · |1, | · |∞ definidas na Seç˜ ao2.1.2 s˜ ao todas normas sobre Rd.

A maneira canônica de se definir uma métrica sobre um espaço normadoé através da norma.

Proposição 2.1 Se (V, · V ) é um espaço normado, ent˜ ao a express˜ ao

dV (a, b) := a − bV (a, b ∈ V )

define uma métrica sobre V .

Prova: Vamos repetir de propósito a estrutura da prova do Teorema 2.1.Sejam a, b, c ∈ Rd quaisquer. Nosso objetivo é provar que

• a − bV ≥ 0, com igualdade se e somente se a = b;

• a − bV = b − aV ;• a − cV ≤ a − bV + b − cV .

Vamos escrever isto de outra forma. Defina x := a − b, y := b − c. Os itensacima são equivalentes a:

• xV ≥ 0, com igualdade se e somente se x = 0 (vem da positividadedefinida).

• xV = − xV (vem da homogeneidade positiva);• x + yV ≤ xV + yV (vem da sub-aditividade).

Exerćıcio 2.6 Mostre Rd é mesmo um espaço vetorial e que s˜ ao mesmonormas as candidatas | · |, | · |1 e | · |∞ definidas na Seç˜ ao 2.1.2.


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2.3. MAIS EXERC ́ICIOS 17

Exerćıcio 2.7 Mostre C (I,R) é mesmo um espaço vetorial e que · I,∞ é mesmo norma sobre este espaço. Mostre que

f I,1 := I

|f (t)| dt (f ∈ C (I,R))

também define uma norma sobre C (I, R).

Exerćıcio 2.8 Uma maneira canˆ onica de se definir normas é atrav́es de produtos internos. Um produto interno sobre V é uma operaç˜ ao que associa a cada par v, w ∈ V um n´ umero v, wV ∈ R, de modo que as seguintes propriedades s˜ ao satisfeitas para quaisquer v, w ∈ V :

• Simetria: v, w = w, v.• Positividade definida: v, v ≥ 0, com igualdade se e somente se v = 0.

• BIlinearidade: se v = λa + b com λ ∈ R e a, b ∈ V , temos v, w =λ a, w + b, w.

1. Prove que o produto interno definido em Rd na Seç˜ ao 2.1.2 é mesmoum produto interno (isto j´ a est´ a implicitamente provado!).

2. Defina vV := v, v. Prove que qualquer produto interno satisfaz

a desigualdade de Cauchy Schwartz

v, w

≤ v

V

w

V . Encontre

ainda as condiç˜ oes de igualdade.

3. Prove que a funç˜ ao · V acima é de fato uma norma sobre V .

4. Prove que a express̃ ao abaixo define uma norma sobre C (I,R).

f I,2 :=

I f (t)2 dt (f ∈ C (I,R)).

2.3 Mais exerćıcios

Exerćıcio 2.9 Seja (X, dX ) um espaço métrico. Considere:

dX (x, x

) := min{dX (x, x), 1}.

Prove que esta é outra métrica sobre X .


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Exerćıcio 2.10 Considere Ψ : [0, +∞) → [0, +∞). Seja (X, dX ) um espaçométrico e defina

dX,ψ(x, x) := Ψ(dX (x, x

)).

Dê condi̧c˜ oes necess´ arias e suficientes sobre Ψ para que dX,ψ seja uma nova métrica sobre X , para qualquer (X, dX ).

Exerćıcio 2.11 (Métricas produto) Suponha que (X i, dX i), i = 1, . . . , d,s˜ ao espaços métricos. Escreveremos os elementos de

X := X 1 × X 2 × · · · × X d

como x = (x(1), . . . , x(d)), com cada coordenada x(i) ∈ X i. Mostre que para p = 1, 2, ∞ as express˜ ao

d p(x, y) := p

di=1

dX i(x(i), y(i)) p (x, y ∈ X )

define uma métrica sobre X .

Exerćıcio 2.12 Considere um espaço vetorial V . J´ a vimos que uma norma sobre V induz naturalmente uma métrica sobre V . No entanto, nem toda métrica sobre V vem de uma norma. Dê condiç˜ oes necess´ arias e suficientes que uma métrica dV deve satisfazer para que exista uma norma

· V tal

que ∀v, w ∈ V : v − wV = dV (v, w).

Exerćıcio 2.13 Vamos botar uma métrica no espaço C ((a, b),R) das funç˜ oes cont́ınuas de um intervalo (a, b) em R. Nossa ideia ser´ a dizer que esta métrica metriza a convergência uniforme em compactos, como veremos na pr´ oxima seç˜ ao. Durante o exerćıcio, suporemos que −∞ ≤ a < b ≤ +∞.

Fixaremos sequências {an}n∈N, {bn}n∈N com a < an < bn < b com an a, bn b. Defina I n := [an, bn] ( n ∈ N).

1. Mostre que, para cada n ∈ N e f ∈ C ((a, b),R),

f I n,∞ := supt∈R

|f (t)| < +∞.

Mostre ainda que · I n,∞ é uma seminorma, isto é, ela é homogênea positiva e sub-aditiva (mas n˜ ao necessariamente positiva definida).


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2. Prove que f, g ∈ C ((a, b),R) s˜ ao distintas se e somente se f −gI n,∞ >0 para algum n ∈ N.

3. Mostre agora que a express˜ ao abaixo:

dC ((a,b),R)(f, g) :=n∈N

2−n min{f − gI n,∞, 1} (f, g ∈ C ((a, b),R))

define mesmo uma métrica sobre C ((a, b),R).

(Observação) este é um exemplo de espaço vetorial em que a métricamais natural não é dada por uma norma! Veremos na próxima seção quea noção de convergência dada por esta métrica não depende da escolha dassequências {an}n∈N e {bn}n∈N.Exerćıcio 2.14 Considere um conjunto U ⊂ Rd com supu∈U |u| < +∞.Dado x ∈ Rd, defina:

xU := supu∈U

u · x.

1. Prove que existe uma constante C > 0 tal que xU ≤ C |x| para todox ∈ Rd.

2. Prove que x + yU ≤ xU + yU para quaisquer x, y ∈ Rd (isto é, · U é sub-aditiva).

3. Suponha que U é simétrico com relaç˜ ao a 0, isto é, que ∀u ∈ U,

−u ∈

U . Prove que · U

é homogênea positiva.

4. Diga que U gera Rd se para qualquer x ∈ Rd\{0} existe um u ∈ U com x · u > 0. Prove que, se U gera Rd e é simétrico com relaç˜ ao a 0,ent˜ ao · U é uma norma sobre Rd.

Exerćıcio 2.15 Vamos definir novas normas (e portanto novas métricas)sobre Rd. Dado 1 < p


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1. Prove primeiramente que |x| p ≤ d1/p |x|∞ ≤ d1/p |x|2 para todo x ∈ Rd.2. Agora defina o expoente dual q = p/( p−1), de modo que 1/p+1/q = 1.

Mostre que a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica implica que

∀λ > 0 ∀a, b ∈ R : ab ≤ |a| p

pλ p +

|b|q λqq

.

3. Deduza do primeiro item que

∀λ > 0 ∀x, y ∈ R p : x · y ≤ |x| p p

pλ p +

|y|qq λqq

e obtenha x.y ≤ |x| p |y|q com uma escolha adequada de λ.4. Mostre que, de fato,

|x| p = supy∈Rd : |y|q≤1

x · y

e deduza do problema anterior que | · | p é mesmo uma norma sobre Rd.


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Caṕıtulo 3

Sequências e limites

O leitor deve lembrar que uma sequência de elementos em X , escrita {xn}n∈N ⊂X , é tão somente uma maneira de escrever uma função f : N → X , de modoque xn = f (n) para cada n ∈ N.

Tomamos como dado que o leitor já sabe o que é convergência de umasequência em R, mas lembramos a definição mesmo assim. Dados {xn}n∈N ⊂R e x ∈ R, dizemos que xn → x, ou limn∈N xn = x, ou ainda que xn convergea x, se

∀ε > 0 ∃n0(ε) ∈ N ∀n ∈ N : n ≥ n0(ε) ⇒ |xn − x| < ε.A noção de convergência em um espaço métrico é derivada desta.

Definiç̃ao 3.1 Fixo um espaço métrico (X, dX ), dizemos que uma sequência {xn}n∈N ⊂ X converge a x ∈ X (segundo a métrica dX ) se a sequência {dX (xn, x)}n∈N ⊂ R converge a 0, no sentido do par´ agrafo anterior. Ditode outro modo: xn → x se ∀ε > 0 ∃ n0(ε) ∈ N ∀n ∈ N : n ≥ n0(ε) ⇒ |dX (xn, x) − 0| = dX (xn, x) < ε.

Esta segunda forma de definir as coisas mostra que as duas noções de con-verĝencia coincidem no caso de X = R com a métrica usual. Podemosmostrar facilmente que, como no caso de números, trocar < ε por ≤ ε nasegunda definição não muda nada. Além disso:

Exercı́cio 3.1 (Unicidade do limite) Mostre que xn →

x e xn →

x

implica x = x.

Um ponto importante é que, como veremos abaixo, a convergência ounão de uma sequência depende da métrica escolhida. Ainda assim, na maiorparte dos casos nós falaremos de convergência sem mencionar a métrica.

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22 CAP ́ITULO 3. SEQU ̂ENCIAS E LIMITES

Exerćıcio 3.2 Considere um espaço vetorial normado (V, · V ) com a métrica induzida pela norma. Se {vn}n∈N ⊂ V e v ∈ V s˜ ao dados, mostre que

vn → v ⇔ vn − v → 0.

Vamos agora definir o que é uma sequência de Cauchy em um espaçométrico e o que é um espaço métrico completo.

Definição 3.2 Fixo um espaço métrico (X, dX ), dizemos que uma sequência {xn}n∈N ⊂ X é de Cauchy se

limm,n→+∞

dX (xn, xm) = 0,

isto é,

∀ε > 0 ∃ n0(ε) ∈ N∀n ∈ N : n ≥ n0(ε) ⇒ dX (xn, xm) < ε.

(X, dX ) é dito completo se toda sequência de Cauchy {xn}n∈N ⊂ X converge a algum x ∈ X .

A mesma prova conhecida de R de que toda sequência convergente éCauchy vale para espaços métricos gerais. Observe, no entanto, que nemtodo espaço métrico é de Cauchy. Por exemplo, (R, dR) é completo, mas Qcom a métrica induzida não é completo. Veremos a seguir vários exemplosnaturais de espaços métricos que são completos e (com menos destaque)alguns outros que não são.

3.1 Convergência em Rd com as normas p

Recorde a Seção 2.1.2 e o Exercı́cio 2.15 acima, onde apresentamos as normas p, 1 ≤ p ≤ ∞, sobre Rd. Observe que, para qualquer uma destas normas,

∀ p ∈ [1, +∞), ∀x ∈ Rd : |x|∞ ≤ |x| p ≤ d1/p |x|∞.

Usando o Exerćıcio 3.2, deduzimos que, dadas {xn}n∈N ⊂ Rd e x ∈ Rd,

xn →p x ⇔ |x − xn| p → 0 ⇔ |x − xn|∞ → 0 ⇔ max1≤i≤d |x(i)

− x(i)n | = 0.

De fato, como há um número finito de ı́ndices i = 1, 2, . . . , d, temos que

xn →p x ⇔ ∀i ∈ {1, 2, . . . , d} : x(i)n → x(i).


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3.2. CONVERGÊNCIA SOB A M ́ETRICA DISCRETA 23

Ou seja, xn → x na norma p se e somente se as coordenadas de xn conver-gem às de x no sentido usual de R.Do mesmo, modo, vemos que {xn}n∈N é Cauchy na norma p se e somentese

∀i ∈ {1, 2, 3, . . . , d} : limm,n→+∞

|x(i)m − x(i)n |,

ou seja, se e somente se {x(i)n }n∈N ⊂ R é Cauchy para cada i. Se isto ocorre,a completude de R implica que

∀i ∈ {1, 2, 3, . . . , d} ∃x(i) ∈ R : limn→+∞

x(i)n = x(i),

e o critério de convergência a x acima mostra que, neste caso, xn

→ x em

p. Deduzimos os seguintes fatos importantes:

Teorema 3.1 Em Rd:

Para qualquer norma p, a convergência de sequências em Rd é equi-valente a convergência das coordenadas.

•• Uma sequência em Rd com a norma p é Cauchy se e somente se as sequências de coordenadas s˜ ao Cauchy em R.

• Rd é completo com qualquer uma das normas p: ou seja, uma sequência de Cauchy em qualquer uma das normas p necessariamente tem um limite, que pode ser obtido coordenada a coordenada.

Mais adiante veremos que as conclusões acima valem para qualquer norma sobre Rd, visto que as normas são todas equivalentes . Isto fará mais sentidoquando apresentarmos a definição de equivalência.

3.2 Convergência sob a métrica discreta

Vamos deixar este caso como um exerćıcio.

Exerćıcio 3.3 Considere um espaço (X, dX ) com a métrica discreta. Dada {xn}n∈N ⊂ X , mostre que xn → x ∈ X se e somente se existe um n0 ∈ Ntal que xn = x para todo n ≥ n0. Prove ainda que {xn}n∈N é Cauchy se e somente se existe um n0 ∈ N tal que xn = xn0 para todo n ≥ n0.


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3.3 Convergência em C (I,R)

Recorde este exemplo da Seção 2.1.4: I = [a, b] ⊂ R é um intervalo compactoe usamos a métrica/norma dada naquela Seção:

f I,∞ := supt∈I

|f (t)|.

Vamos primeiro tentar entender do que estamos falando aqui. Vamos con-siderar em primeiro lugar o que quer dizer f n → f nesta métrica. Comof n − f I,∞ é um supremo, e além disso este supremo é atingido, temos que

f n−f I,∞ → 0 ⇔ ∀ε > 0 ∃n0 = n0(ε) ∈ N∀n ≥ n0 ∀t ∈ T : |f n(t)−f (t)| < ε.

Esta é a chamada convergência uniforme em t ∈ I , ou simplesmente uni-forme. Esta convergência implica a chamada convergência pontual , queocorre quando f n(x) → f (x) para cada x ∈ I . Isto equivale a pedir que:

∀ε > 0 ∀t ∈ I ∃n0 = n0(ε, t) ∀n ≥ n0 : |f n(t) − f (t)| < ε.

Veja que agora o ı́ndice n0 a partir do qual a distância fica menor que εdepende tanto de ε quanto do ponto t. Por outro lado, a convergênciauniforme pede que seja achado, para cada ε > 0, um n0 tal que |f n(t) −f (t)| < ε para qualquer t ∈ I , sempre que n ≥ n0. Ou seja, a escolha de n0deve ser uniforme em t. O próximo exerćıcio nos diz que o limite pontualde uma sequência de funções contı́nuas não é necessariamente uma funçãocont́ınua.

Exerćıcio 3.4 Considere I = [0, 1] e f n(x) = xn, x ∈ I . Mostre que o

limite pontual das f n existe e é uma funç˜ ao f : I → R descontı́nua em x = 1.

Por outro lado, nosso principal teorema nesta seção pode ser resumidodizendo-se que o limite uniforme de funç˜ oes contı́nuas é uma funç˜ ao contı́nua .

Teorema 3.2 C (I, R) é completo com a métrica induzida pela norma ·

I,∞. Ou seja, uma sequência de funç˜ oes contı́nuas sobre I = [a, b] que

converge uniformemente tem como limite uma funç˜ ao contı́nua.

Prova: Tomemos {f n}n∈N ⊂ C (I,R) que é de Cauchy, ou seja, tal que f n−f mI,∞ → 0 quando n, m → +∞. Desejamos mostrar que existe uma funçãof ∈ C (I,R) tal que f n − f I,∞ → 0.


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3.3. CONVERGÊNCIA EM C (I,R) 25

O primeiro passo é observar que existe uma f : I → R tal que f n(x) →f (x) para cada x ∈ I (ou seja, as f n convergem pontualmente ). A ideiaé que f será a nossa candidata a limite uniforme da seqûencia f n. Paraprovar a convergência pontual, usaremos o fato de que R é completo, ouseja, sequências de Cauchy em R convergem. Por conta disto, temos

∀x ∈ I : |f n(x) − f m(x)| ≤ supt∈I

|f n(t) − f m(t)| = f n − f mI,∞ (n,m→+∞)→ 0.(3.1)

Ou seja,

∀x ∈ I : |f n(x) − f m(x)| → 0 quando n, m → +∞,o que quer dizer que

{f n(x)

}n

⊂R é Cauchy, como querı́amos demonstrar.

Temos, portanto, uma função f : I → R com f n(x) → f (x) para cadax ∈ I . De fato, o racioćınio por detrás de (3.1) nos diz que, para todo x ∈ I

|f n(x) − f (x)| = limm→+∞

|f n(x) − f m(x)|≤ limsup

mf n − f mI,∞

≤ supm≥n

f n − f mI,∞.

Observe que o lado direito desta cadeia de desigualdades não depende de xe é uma cota superior para todo x. Tomando o supremo, descobrimos que

f n −

f I,∞ ≤

supm≥n

f n −

f mI,∞

.

Recordamos mais uma vez que {f n}n∈N ⊂ C (I,R) é Cauchy. Isto quer dizerque, dado ε > 0, podemos encontrar n0(ε) tal que, se n, m ≥ n0(ε), entãof n − f mI,∞ < ε. Tomando o sup em m, vemos que

∃n0(ε) ∈ N, ∀n ≥ n0(ε) : 0 ≤ f n − f I,∞ ≤ ε.Como isto vale para todo ε, deduzimos que f n−f I,∞ → 0, como querı́amosdemonstrar.

Falta apenas um detalhe, que é provar que f ∈ C (I,R), ou seja, que f écont́ınua (ou: o limite uniforme de funções contı́nuas é uma função contı́nua).

Isto vale se e somente se para toda sequência convergente {x j} j∈N ⊂ I e todox ∈ I , x j → x ⇒ f (x j) → f (x). Para fazer isto, vamos observar que bastaprovar que |f (x j) − f (x)| → 0 sob as hipóteses, o que segue de:

(Basta) ∀ε > 0 : limsup j

|f (x j) − f (x)| ≤ 0.


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Vamos então provar esta última equação. Observe que, pela desigualdade

triangular:|f (x j) − f (x)| = |f (x j) − f n(x j) + f n(x j) − f n(x) + f n(x) − f (x)|

≤ |f (x j) − f n(x j)| + |f n(x j) − f n(x)| + |f n(x) − f (x)|O primeiro e o terceiro termo nesta última expressão são da forma |f (t) −f n(t)| com t ∈ I , sendo, portanto cotados pelo supremo de |f (t) − f n(t)|sobre t ∈ I , que por sua vez é exatamente f − f nI,∞. Ou seja,

|f (x j) − f (x)| ≤ |f n(x j) − f n(x)| + 2 f n − f I,∞.Esta desigualdade vale para cada j e n. Em particular, podemos tomar j → +∞: a continuidade de f n nos garante que |f n(x j) − f n(x)| → 0 eportanto,

∀n ∈ N : limsup j∈N

|f (x j) − f (x)| ≤ 2f n − f I,∞.

Por fim, mandando n → +∞, vemos que f n − f I,∞ → 0 enquanto o ladoesquerdo não muda. Deduzimos:

limsup j∈N

|f (x j) − f (x)| ≤ 0,

o que significa |f (x j) − f (x)| → 0, como queŕıamos demonstrar.

Observaç̃ao 3.1 Nos Exercı́cios 2.7 e 2.8 , vimos duas outras normas que

podem ser definidas em C (I,R):

f I,p := p b

a|f (t)| p dt (f ∈ C (I,R)),

com p = 1, 2. Na verdade, pode-se usar a estrutura do Exerćıcio 2.15 e mostrar que a express˜ ao acima define uma norma para qualquer 1 ≤ p <+infty. Além disso, n˜ ao é difı́cil observar que

∀f ∈ C (I,R) : f I,p ≤ (b − a)1/p f I,∞.Portanto, convergência de acordo com a norma ∞ implica convergência em todas as normas p acima. A recı́proca não é verdadeira. Por exemplo, se I = [0, 1], podemos definir:

f n(x) :=

nx, 0 ≤ x


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3.4. CONVERGÊNCIA EM C ((A, B),R) 27

´ E um exerćıcio checar que f n ∈ C (I,R) e f nI,p → 0 quando n → +∞.Portanto, f n → 0 vai para zero de acordo com todas as normas p com 1 ≤ p < +∞. No entanto, f nI,∞ = 1 para todo n ∈ N, logo f n → 0na norma ∞; de fato, é possı́vel mostrar que {f n}n∈N n˜ ao é Cauchy com a norma ∞ e portanto n˜ ao converge para nada.

3.4 Convergência em C ((a, b),R)

Acabamos de ver que, se I é um intervalo compacto, a métrica/norma quedefinimos sobre C (I,R) é tal que f n → f se e somente se os valores |f n(t) −f (t)| convergem a 0 uniformemente em t ∈ I . Vamos agora trabalhar com oespaço C ((a, b),R) e procurar entender o que significa convergir neste espaço.

Vamos recordar como definimos a métrica neste espaço no exercı́cio 2.13.Fixaremos sequências {ak}k∈N, {bk}k∈N com a < ak < bk < b, ak a,bk b. Definimos I k := [ak, bk] (k ∈ N) e tomamos

dC ((a,b),R)(f, g) :=k∈N

2−k min{f − gI k,∞, 1}. (3.2)

Teorema 3.3 (C ((a, b),R), dC ((a,b),R)) é um espaço métrico completo. Aĺem disso, uma sequência {f n}n∈N ⊂ C ((a, b),R) converge a f ∈ C ((a, b),R)se e somente se para cada K ⊂ (a, b) compacto n˜ ao-vazio, f n(x) converge uniformemente sobre x ∈ K , isto é:

∀K ⊂ (a, b) compacto : f n − f K,∞ → 0.

Ou seja, a métrica que apresentamos metriza a convergência uniforme so-bre compactos . Note que este conceito não depende da escolha das sequênciasak, bk! Por exemplo, se a = −∞ e b = +∞, podemos tomar ak = −2k,bk = k; ou ak = 1 − k2, bk = 3k; ou qualquer outra escolha válida, e a nossanoção de convergência não dependerá da escolha. Isto é mais um caso deequivalência de métricas , como veremos mais adiante.

Prova: Primeiro vamos provar a completude de nosso espaço.

Como na seção anterior, nosso primeiro passo será observar que os limites

pontuais f (x) := limn f n(x) existem para cada n ∈ N. Para provar isto,fixamos x ∈ (a, b), de modo que a < x < b. Como ak → a e bk → b,temos que ak < x < bk e portanto x ∈ I k para algum k ∈ N (de fato,para qualquer k suficientemente grande!). Fixando este tal k, vemos que,para cada par m, n ∈ N |f n(x) − f m(x)| é no máximo o supremo dos valores


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de |f n(t) − f m(t)| com t ∈ I k, ou seja |f n(x) − f m(x)| ≤ f n − f mI k,∞.Deduzimos

min{|f n(x) − f m(x)|, 1} ≤ 2k 2−k min{f n − f mI k,∞, 1}≤ 2k

k∈N

2−k

min{f − gI k ,∞, 1},

onde a ulúltima desigualdade usa o fato de que todos os termos somados s ãomaiores ou iguais a 0. Conclúımos:

min{|f n(x) − f m(x)|, 1} ≤ 2k dC ((a,b),R)(f n, f m).Recorde que supomos que {f n}n∈N é Cauchy. Isto quer dizer que, quandon, m → +∞, dC ((a,b),R)(f n, f m) → 0. Usando a desigualdade acima, vemos

que min{|f n(x) − f m(x)|, 1} → 0,ou seja, {f n(x)}n∈N ⊂ R é Cauchy. Como R é completo, deduzimos quef n(x) converge a algum valor f (x), para cada x ∈ (a, b).

Para provar a completude do espaço, ainda temos que provar que f n → f na métrica de C ((a, b),R) e que f é contı́nua. Isto na verdade é simples.Nossas contas acima mostram que

∀k ∈ N : min{f n − f mI k,∞, 1} ≤ 2k dC ((a,b),R)(f n, f m) → 0quando n, m → +∞. Portanto, f n − f mI k,∞ → 0 também. Seguindo ascontas do Teorema 3.2, vemos que isto quer dizer que f n − f I k,∞ → 0, ouseja, f n converge uniformemente a f sobre I k, para cada k ∈ N. O argumentodaquela prova mostra que a restrição da função f a cada intervalo I k écont́ınua. Observe que isto ainda n˜ ao prova que f : (a, b) →R é cont́ınua, aomenos n˜ ao diretamente. Mas não é difı́cil provar que isto é de fato verdade.Para isso, tome x ∈ (a, b) e {xn}n∈N ⊂ (a, b) com xn → x; queremos mostrarque f (xn) → f (x). Como vimos acima, podemos encontrar I k = [ak, bk] comak < x < bk. Mas então, como xn → x, temos que ak < xn < bk para todon suficientemente grande. Portanto, apenas um número finito dos pontosxn pode estar fora do intervalo I k. Ou seja, lim f (xn) existe ou não, e, seexistir, tem o mesmo valor que se estes termos fossem removidos, de modoa termos uma sequência inteiramente contida em I k. Como f |I k é cont́ınua,isto quer dizer que lim f (xn) = f (x), como queŕıamos demonstrar.

Vamos agora mostrar que dC ((a,b),R)(f n, f ) → 0. Na verdade o que vamosprovar é que

Afirmação: se ∀k ∈ N, f n − f I k,∞ → 0, então dC ((a,b),R)(f, f n) → 0.(3.3)


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3.4. CONVERGÊNCIA EM C ((A, B),R) 29

Para isto, tomamos um K ∈ N qualquer e observamos que:

dC ((a,b),R)(f, f n) :=k∈N

2−k min{f − f nI k,∞, 1}

≤k≤K

2−k f − f nI k,∞ +k>K

2−k

=k≤K

2−k f − f nI k,∞ + 2−K .

Veja que na última linha acima temos uma soma de um número finito determos e cada um deles vai a 0 quando n → +∞. Aplicando as propriedadesdo lim sup, vemos que

limsupn∈N

dC ((a,b),R)(f, f n) ≤ 2−K

e isto vale para todo K ∈ N, ainda que o lado esquerdo não dependa de K .Deduzimos que

limsupn∈N

dC ((a,b),R)(f, f n) ≤ inf K ∈N

2−K = 0,

ou seja,limn∈N

dC ((a,b),R)(f, f n) = 0,

como queŕıamos demonstrar.

O que mostramos até agora foi que uma sequência arbitrária de Cauchyem C ((a, b),R) tem um limite em C ((a, b),R), tudo de acordo com a métricaque usamos. Ou seja, (C ((a, b),R), dC ((a,b),R)) é mesmo um espaço métricocompleto. Agora vamos provar a segunda parte do enunciado do teorema.Uma direção é fácil: convergência uniforme sobre todos os compactos implicaconvergência uniforme sobre todos os intervalos I k e então (??) nos dá aconvergência na métrica de C ((a, b),R).

Na direção contrária, tomamos um compacto K ⊂ (a, b), K = ∅. Ob-serve que a, b ∈ K , portanto as funções x−a, b−x (x ∈ K ) são ambas positi-vas em K . A compacidade de K implica que os ı́nfimos de ambas as funçõestambém são positivos. Ou seja, há um r > 0 tal que x − a ≥ r , b − x ≥ rpara cada x ∈ K . Desta forma, K ⊂ [a + r, b − r]. Agora observamos que,como ak → a, bk → b, há algum k tal que a < ak ≤ a + r ≤ b − r ≤ bk < a,portanto K ⊂ [a + r, b − r] ⊂ I k. Isto quer dizer que

f n − f K,∞ = supt∈K

|f n(t) − f (t)| ≤ supt∈I k

|f n(t) − f (t)| = f n − f I k,∞.


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Como vimos anteriormente, f n−f I k,∞ → 0. A desigualdade acima implicaf n − f K,∞ → 0. Como K ⊂ (a, b) é um compacto não vazio arbitrário,isto implica o que desejávamos provar.

3.5 Equivalência de métricas e normas

Na seção anterior nós vimos como descrever a convergência em alguns espaçosonde isso não é completamente óbvio à primeira vista. Um ponto importantede se enfatizar é que em vários casos mostramos que definições diferentes demétrica ou norma conduziram a uma única noção de convergência. Isto éum ponto importante, que merece uma definição.

Definição 3.3 Considere um conjunto X = ∅ e duas métricas d1, d2 defi-nidas sobre ele. Dizemos que as duas métricas s˜ ao equivalentes se

∀{xn}n∈N ⊂ X, ∀x ∈ X : d1(xn, x) → 0 ⇔ d2(xn, x) → 0.

Quando X é um espaço vetorial e as duas distˆ ancias s˜ ao induzidas por normas · 1, · 2, dizemos que as duas normas s˜ ao equivalentes quando as métricas induzidas s˜ ao equivalentes de acordo com a definiç˜ ao acima.

Por exemplo, a Seção 3.1 mostra que as métricas induzidas pelas normas p sobre Rd são todas equivalentes. Do mesmo modo, a discussão logo após o

enunciado do Teorema 3.3 nos mostra que qualquer métrica obtida a partirde sequências an a, bn b é equivalente a qualquer outra métrica domesmo tipo: afinal, a convergência ou não de uma sequência de funções emqualquer uma destas métricas é determinada pela convergência uniformesobre compactos.

Agora apresentamos um caso de não-equivalência de normas (e métricas).

Exemplo 3.1 Vamos mostrar que duas normas que vimos acima sobreC ([0, 1],R) não são equivalentes. A primeira é a nossa “norma preferen-cial˜:

f

∞ := sup

t∈[0,1] |f (t)

|e a segunda foi apresentada no Exerćıcio 2.7.

f 1 := 10

|f (t)| dt.


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3.5. EQUIVALÊNCIA DE M ́ETRICAS E NORMAS 31

Como |f (t)| ≤ f ∞ para cada t ∈ [0, 1], vemos facilmente que f 1 ≤ f ∞para toda f ∈ C ([0, 1],R). Disto podemos facilmente deduzir que

f n − f ∞ → 0 ⇒ f n − f 1 → 0.A recı́proca, no entanto, não é verdadeira. Considere por exemplo a sequênciade funções {f n}n∈N definidas da seguinte forma:

f n(t) :=

0, t ≤ 1 − 1nnt − n + 1, 1 − 1n < t ≤ 1.

O leitor pode checar que f n ∈ C ([0, 1],R) é não negativa e que

f n

1 =

1

0

f n(t) dt = 1

2n

.

Portanto f n − 01 → 0. No entanto, para todo nf n∞ = f n(1) = 1 → 0,

o que nos diz que f n → 0 de acordo com a norma · ∞.Nossa última observação nesta seção é que a equivalência de métricas

tem uma expressão equivalente.

Teorema 3.4 Duas normas · 1 e · 2 sobre o mesmo espaço vetorial V s˜ ao equivalentes se e somente se existem constantes C,c > 0 tais que

∀v ∈ V : c v1 ≤ v2 ≤ C v2.Prova: Deixamos como exercı́cio provar que, se tais constantes existem, asmétricas são equivalentes. Vejamos agora que, se as normas são equiva-lentes, ent˜ ao existem constantes C ,c > 0 com as propriedades desejadas.Recorde que a equivalência das normas é a mesma coisa que a equivalênciadas métricas induzidas pelas normas. Portanto, nossa hipótese é que

Hip: ∀{vn}n∈N ⊂ V ∀v ∈ V : vn − v1 → 0 ⇔ vn − v2 → 0.Em particular, vale o que escrevemos acima quando v = 0.

Hip’: ∀{vn}n∈N ⊂ V : vn1 → 0 ⇔ vn2 → 0.Agora suporemos para chegar a uma contradiç˜ ao que não existe a constanteC apontada acima. Ou seja

(?) ∀C > 0 ∃vC ∈ V : vC 2 > C vC 1.


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Em particular, podemos encontrar um vetor vn ∈ V com vn2 > (n +1) vn1, para cada n ∈ N. Note que tal vetor não pode ser 0 porque nestecaso terı́amos vn2 = (n + 1) vn1. Portanto, podemos (se necesśario)substituir cada vetor vn por vn/(n + 1)vn1 e deduzir que

(?) ⇒ ∃{vn}n∈N ⊂ V ∀n ∈ N : vn1 = 1n + 1

e vn2 > (n+1) vn1 = 1.

No entanto, isto contradiz Hip’: afinal, vn1 → 0 e vn2 → 0. Isto querdizer que (?) nos levou a uma contradição, o que implica que existe, sim, aconstante C que queŕıamos encontrar. Uma prova semelhante mostra que ac > 0 desejada também existe.


Exerćıcio 3.5 Mostre que existe uma métrica sobre Rd equivalente à usual tal que d(x, y) ≤ 1 para todos x, y ∈ Rd. Esta métrica pode vir de uma norma?

Exerćıcio 3.6 Mostre que a métrica discreta e a métrica induzida por Rs˜ ao equivalentes sobre N ou Z, mas n˜ ao sobre Q.

Exerćıcio 3.7 Suponha que (X, dX ) é um espaço métrico completo e dX

é uma outra métrica sobre X que é equivalente a dX . ´ E necessariamente verdade que (X, dX ) é completo?

Exerćıcio 3.8 Suponha que (V, ·V ) é um espaço vetorial completo e ·V é uma outra norma sobre V . Supondo que as duas normas s˜ ao equivalentes,é necessariamente verdade que (V, · V ) é completo?

Exerćıcio 3.9 Considere uma famı́lia enumer´ avel de espaços métricos (X i, di),i ∈ N\{0}. Chamamos de X o produto cartesiano infinito

X := X 1 × X 2 × X 3 × X 4 × . . .

e denotamos os elementos x ∈ X com x = (x(i)

)+∞

i=1 , com cada x(i)

∈ X i.Mostre que a express˜ ao

dX (x, y) :=

+∞i=1

2−i min{di(x(i), y(i)), 1} (x, y ∈ X )


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define uma métrica sobre X e que

∀{xn}n∈N ⊂ X, ∀x ∈ X : dX (xn, x) → 0 ⇔ ∀i ∈ N\{0}, di(x(i)n , x) → 0.

Prove ainda que (X, dX ) é completo se e somente se cada (X i, di) é completo.

Exerćıcio 3.10 Dado um espaço métrico (X, dX ), dizemos que D ⊂ X é denso em X se e somente se todo elemento de X é o limite de alguma sequência de elementos de D. Dizemos que (X, dX ) é separ ́avel se X tem um subconjunto denso e enumer´ avel. Prove que Rd e C ([0, 1],R) s˜ ao separ´ aveis com suas métricas usuais.


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Caṕıtulo 4

Funções e continuidade

O caṕıtulo anterior nos ensinou o que é convergência em espaços métricos.Isto nos permite definir continuidade de maneira fácil.

Definiç̃ao 4.1 Considere dois espaços métricos (X, dX ) e (Y, dY ) e D ⊂ X Dizemos que f : D → Y é cont́ınua em x ∈ D se

∀{xn}n∈N ⊂ D : xn → x ∈ D ⇒ f (xn) → f (x).

Dito de outro modo, queremos que:

∀{xn}n∈N ⊂ D, ∀x ∈ D : dX (xn, x) → 0 ⇒ dY (f (xn), f (x)) → 0.

Dizemos que f é (simplesmente) contı́nua se ela é contı́nua em todos os pontos do domı́nio D.

Esta definição é das mais importantes do curso e vamos gastar bastantetempo analisando-a e testando-a em exemplos. Uma primeira observação(praticamente trivial) está contida no exerćıcio a seguir.

Exerćıcio 4.1 Formalize e prove a seguinte afirmaç˜ ao: a composi̧c˜ ao de funç˜ oes contı́nuas é uma funç˜ ao contı́nua.

Outra observação às vezes útil é que:

Exerćıcio 4.2 A noç˜ ao de continuidade n˜ ao é modificada se as métricas dodomı́nio e do contradomı́nio s ̃ao trocadas por outras métricas equivalentes.

Veremos a seguir alguns exemplos de funções contı́nuas.

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36 CAP ́ITULO 4. FUNÇ ˜ OES E CONTINUIDADE

4.1 Funções cont́ınuas de X em R

Aqui o melhor é proceder a partir de exemplos.Em primeiro lugar, conhecemos as funções contı́nuas f : D → R com

D ⊂ R. Tome agora uma nova função:f i : x ∈ Di := {z ∈ Rd : z(i) ∈ D} → f (x(i)) ∈ R.

Por exemplo, se f (t) = log t, com domı́nio D = R+, f i(x) := log x(i), com

domı́nio Di := {z ∈ Rd : z(i) ∈ R+}. Dizemos que este tipo de função s´ odepende da i-ésima coordenada.

Afirmamos que esta função é cont́ınua sempre que f é contı́nua. Paraisto precisamos mostrar que se {xn}n∈N ⊂ Di é uma sequência arbitráriacom xn

→ x

∈ Di, então f i(xn)

→ f (x). Para demonstrar isso, recorde que

nosso critério de convergência para sequências em Rd nos diz que x(i)n → x(i)em R. Além disso, a definição de Di garante que {x(i)n }n∈N ⊂ D, x ∈ D.Concluı́mos que f (x

(i)n ) → f (x(i)) porque f é contı́nua sobre D. Ou seja,

f (xn) → f (x), como queŕıamos demonstrar.Vejamos agora alguns exemplos mais interessantes.

Exerćıcio 4.3 Sabemos que o limite de um produto ou soma de sequências convergentes é o produto (ou soma) dos limites. Deduza disto que, se D ⊂ X e f, g : D → R s˜ ao cont́ınuas, o mesmo vale para λ f + g e f g (com λ ∈ R fixo). O mesmo vale para f /g sobre D=0 := {z ∈ D : g(z) = 0}. (De fato,tudo isso vale no caso em que D ⊂ X para um (X, dX ) arbitr´ ario.)Exerćıcio 4.4 Chame uma funç˜ ao f : Rd → R de polinˆ omio multivariadose existem um k ∈ N e coeficientes reais α( p1,...pd) com ( p1, . . . , pd) ∈ [k]dcom

f (x) =

( p1,...,pd)∈[k]d

α( p1,...pd) (x(1)) p1 (x(2)) p2 . . . (x(d)) pd (x ∈ Rd).

Prove que todo polinˆ omio multivariado é funç˜ ao contı́nua.

Exerćıcio 4.5 Mostre que as normas · p, 1 ≤ p ≤ +∞, s˜ ao funç˜ oes contı́nuas de Rd em R.

4.2 Funções Lipschitz e distânciasContinuando na linha anterior, vamos definir e analisar a continuidade dealgumas funções baseadas em distâncias. Para isso vai ser útil introduzir oconceito de função Lipschitz .


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Exemplo 4.3 Como um ´ ultimo exemplo, tomamos uma sequência de Cau-

chy {xn}n∈N ⊂ X . Afirmamos que a express˜ aof (x) := dX (x, xn) (x ∈ X )

define uma funç˜ ao 1-Lipschitz f : X → R.

Para provar isso, primeiro temos que mostrar que f (x) está bem definidopara todo x ∈ X ; ou seja, que o limite acima existe. Mas para isso bastareusar um exemplo acima e observar que

Quando m, n → +∞, |dX (x, xn) − dX (x, xm)| ≤ dX (xn, xm) → 0,

de modo que, para cada x ∈ X fixo, a sequência {dX (x, xn)}n é Cauchy eportanto convergente.Para provar que f é 1-Lipschitz, tomamos x, x ∈ X arbitrários e, nova-

mente usando as ideias anteriores, observamos o seguinte:

|f (x) − f (x)| = limn∈N

|dX (x, xn) − dX (x, xn)| ≤ dX (x, x).

Exerćıcio 4.6 Deduza do exemplo anterior que, se (X, dX ) não é completo,ent˜ ao existe uma funç˜ ao f : X → (0, 1] com f (x) > 0 para todo x ∈ X , mas inf x∈X f (x) = 0.

4.3 Funções cont́ınuas sobre as funções cont́ınuas

Consideremos agora o espaço C := C (I, R), com I = [a, b] ⊂ R um intervalofechado e limitado munido da norma · C := · I,∞. Os elementos de C são funções cont́ınuas f : I → R. Mas tamb́em podemos definir algumasfunções cont́ınuas sobre este espaço. Eis alguns exemplos naturais.

Exemplo 4.4 Dado t ∈ I , defina a aplicaç˜ ao At : C → R que leva f ∈ C em f (t). Esta é uma funç˜ ao de C em R.

Veja que, dadas f , g ∈ C

|At(f ) − At(g)| = |f (t) − g(t)| ≤ sups∈I

|f (s) − g(s)| = f − gI,∞.

Portanto, At é uma aplicação 1-Lipschitz de C em R. Em particular, ela éuma aplicação contı́nua.


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4.3. FUNÇ ˜ OES CONT ́INUAS SOBRE AS FUNÇ ˜ OES CONT ́INUAS 39

Exemplo 4.5 Dados a ≤ x, y ≤ b, defina a aplicaç˜ ao I x,y : C → R que leva f ∈ C na integral definida I x,y(f ) := yx f (t) dt ∈ R. Esta também é uma funç˜ ao de C em R.Dadas f , g ∈ C , as propriedades usuais da integral definida nos dizem que:

|I x,y(f ) − I x,y(g)| = yx

(f (t) − g(t)) dt

≤ |x − y| supt∈[x,y]

|f (t) − g(t)|

≤ |y − x| supt∈I

|f (t) − g(t)|≤ |y − x| f − gI,∞.

Ou seja, I x,y é uma função L-Lipschitz de C em R, com L := |y − x|.

Exemplo 4.6 Vamos agora considerar uma funç˜ ao de I : C → C que associa a cada f ∈ C uma nova funç˜ ao I (f ) ∈ C . Para definir esta funç˜ aoI (f ) – ou melhor, qualquer funç˜ ao – precisamos definir para cada t ∈ I um valor I (f )(t). Faremos isso dizendo que

I (f )(t) := ta

f (s) ds (t ∈ I ).

Ou seja,

I (f ) é a ́unica funç˜ ao com as seguintes duas propriedades: a de-

rivada de I (f ) é f e I (f )(a) = 0. Obviamente I (f ) ∈ C (toda funç˜ aodiferenci´ avel é contı́nua).

Provemos agora que I : C → C é (b − a)-Lipschitz. O que queremos émostrar que, dadas f , g ∈ C :

I (f ) − I (g)I,∞ = supt∈I

ta

(f (s) − g(s)) ds ≤ (b − a) f − gI,∞.

Mas isto segue do fato que | ta (f (s)−g(s)) ds| ≤ (t−a) sups∈[a,t] |f (s)−g(s)|para cada t ∈ I .

Exerćıcio 4.7 Mostre que I x,y = Ay ◦ I − Ax ◦ I .

Exemplo 4.7 (EDOs e pontos fixos) Fixe Ψ : R × R → R cont́ınua,t0 ∈ I e x0 ∈ R. Vamos definir uma nova aplicaç˜ ao T Ψ,t0,x0 : C → C da


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seguinte forma: dada f ∈ C , T Ψ,t0,x0(f ) ∈ C é a funç˜ ao cujos valores em cada ponto t ∈ I s˜ ao dados por

T Ψ,t0,x0(f )(t) := x0 + tt0

Ψ(s, f (s)) ds.

Novamente é f´ acil ver que I Ψ,t0,x0 é uma funç˜ ao dem-definida de C em C .A importˆ ancia disto é para a teoria de equaç˜ oes diferenciais ordin´ arias (ou EDOs). De fato, é um exerćıcio mostrar que uma funç˜ ao f : I → R resolve o problema de Cauchy

f (t) = Ψ(t, f (t)) (t ∈ I )f (t0) = x0

se e somente se f é um ponto fixo de T Ψ,t0,x0, ou seja, f = T Ψ,t0,x0(f ).Mais adiante desenvolveremos ferramentas para provar que certas funç˜ oes contı́nuas têm um ́unico ponto fixo, provando assim que o problema de Cau-chy acima tem uma ´ unica soluç˜ ao.

Para verificar a continuidade de Ψ, faremos a hipótese adicional de queΨ é Lipschitz na segunda variável, isto é que existe um L ∈ R tal que

∀t ∈ I , ∀x, x ∈ R : |Ψ(t, x) − Ψ(t, x)| ≤ L |x − x|.

Sob esta hipótese, temos que, dadas f, g ∈ C ,

∀t ∈ I , |Ψ(t, f (t)) − Ψ(t, g(t))| ≤ L |f (t) − g(t)| ≤ L f − gI,∞.Portanto, para todo t ∈ I ,

|T Ψ,t0,x0(f )(t) − T Ψ,t0,x0(g)(t)| = tt0

(Ψ(t, f (s)) − Ψ(t, g(s))) ds

≤ |t − t0| L f − g∞≤ (b − a) L f − g∞.

Tomando o supremo em t, vemos que

T Ψ,t0,x0(f )

− T Ψ,t0,x0(g)

I,∞

≤ L (b

−a)

f

−g

I,∞.

Ou seja, T Ψ,t0,x0(f ) é uma aplicação L (b − a)-Lipschitz de C em C . Estetipo de propriedade será extremamente importante quando discutirmos pro-blemas de existência e unicidade para EDOs.

Nosso último exemplo é o caso de uma função que não é cont́ınua.


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4.4. FUNÇ ˜ OES CONT ́INUAS DE X EM RD 41

Exemplo 4.8 Suponha I = [0, 1] e seja D ⊂ C (I, R) o conjunto de todas as funç˜ oes diferenci´ aveis em t = 1/2. Defina D : D → R como D(f ) :=f (1/2), f ∈ D. Argumentamos que D n˜ ao é cont́ınua.

De fato, basta observar que existem funções próximas de 0 na normado sup que têm derivada arbitrariamente grande em t = 1/2. Por exemplo,tomando

f k(x) := 1

k sin(k2(x − 1/2)), (x ∈ [0, 1])

temos que f kI,∞ = 1/k → 0, mas D(f k) = f k(1/2) = k → +∞. Aobservação inocente de que a derivada não é contı́nua tem consequênciasimportantes. Um problema que abordaremos mais tarde é o de diferenciar

uma função f = limk f k. Gostaŕıamos de dizer que f

(t) = limk→+∞ f

k(t),mas, como vimos acima, isto nem sempre é verdade. Deste modo, o problemade diferenciar um limite de funções não é trivial. Em geral só conseguiremostratar este problema trocando a derivada, que é mal comportada, por umproblema equivalente envolvendo integrais. Por exemplo, é por esta razãoque formulamos o problema de Cauchy em termos de integrais e não dederivadas.

Exerćıcio 4.8 Imagine as funç˜ oes an´ alogas a At, I x,y, I e T Ψ,t0,x0 definidas sobre o espaço C ((a, b),R) (neste caso temos que exigir que x, y, t ∈ (a, b)).Prove que estas novas funç˜ oes também s ̃ao contı́nuas sobre C ((a, b),R).

4.4 Funções cont́ınuas de X em Rd

Aqui só temos uma observação a fazer. Se f : D ⊂ X → Rd e x ∈ D sãodados, podemos escrever o vetor f (x) ∈ Rd em coordenadas

f (x) = (f (1)(x), f (2)(x), . . . , f (d)(x)).

Isto induz funções f (i) : X → R. Como a convergência de elementos de Rdé equivalente à convergência de todas as coordenadas, vemos que f (xn) →f (x) se e somente se f (i)(xn) → f (i)(x) para cada 1 ≤ i ≤ d. Usando isto,não é dif́ıcil provar o resultado a seguir.

Exerćıcio 4.9 Prove que f : D ⊂ X → Rd é cont́ınua em x ∈ D se e somente se cada uma das funç˜ oes-coordenada f (i) : D → X definidas acima é cont́ınua.


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4.5 Transformações e funcionais lineares

Uma classe especial de funções cont́ınuas merece uma consideração especial.

Definição 4.3 Se V, W s˜ ao espaços vetoriais reais, uma funç˜ ao T : V → W é dita uma transformaç˜ ao linear se:

∀v, v ∈ V, ∀λ ∈ R : T (λ v + v) = λT (v) + T (v).Se W = R, dizemos que T é um funcional linear.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4.9 Fixe z ∈ Rd. Defina z : Rd → R como sendo a funç˜ ao que leva x ∈ R

d

a z(x) := z · x. As propriedades do produto interno mostram que este é um funcional linear.De modo rećıproco, se : Rd → R é linear, podemos achar um z que re-presenta , isto é, tal que (x) = z · x para cada x ∈ Rd. Para ver isto,vamos introduzir a base canônica e1, . . . , ed de R

d, com cada vetor ei tendocoordenadas

e( j)i :=

1, j = i;0, j ∈ {1, 2, 3, . . . , d}\{i}.

Ou seja, ei tem a i-ésima coordenada igual a 1 e todas as demais coordenadas iguais a 0. Podemos checar que:

∀x ∈ Rd

: x =

di=1

x(i)

ei.

Aplicando esta propriedade a linearidade de , deduzimos que

∀x ∈ Rd : (x) =d

i=1

x(i) (ei) = x · z

onde z é o vetor de coordenadas z(i) = (ei).

É um corolário da discussão acima que todo funcional linear sobre Rd éL-Lipschitz para algum L ≥ 0. De fato, dado um z ∈ Rd que representa ,

observamos que∀x, x ∈ Rd : |(x) − (x)| = |(x − x)| = |z · (x − x)| ≤ |z| |x − x|,

com o último passo sendo consequência de Cauchy-Schwartz. Deduzimosque é |z|-Lipschitz.


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4.5. TRANSFORMAÇ ˜ OES E FUNCIONAIS LINEARES 43

Exerćıcio 4.10 Mostre que a correspondência entre funcionais e repre-

sentantes z ∈ Rd

é biunı́voca. Ou seja, cada z representa um ´ unico funcional e cada funcional é representado por um ´ unico z.

Exemplo 4.10 Agora considere uma transformaç˜ ao linear T : Rd → Rkqualquer. Note que para cada x ∈ Rd, podemos chamar de T ( j)(x), 1 ≤ j ≤k, as coordenadas de T (x) ∈ Rk. ´ E um exerćıcio mostrar que os T ( j) s˜ ao funcionais lineares e portanto s˜ ao cont́ınuas. Os resultados da Seç˜ ao 4.4implicam que T é cont́ınua. De fato, pode-se deduzir que T é Lipschitz, mas veremos isto mais adiante.

De fato, é costumeiro representar transformações lineares de Rd em Rk

por matrizes . Para quem já sabe do que se trata, adiantamos que cada

linha da matriz representando T é dada pelo vetor que representa um dosfuncionais T (i).

Exemplo 4.11 Usando a notaç˜ ao da Seç˜ ao 4.3 , as funç˜ oes At, I x,y : C →R s˜ ao funcionais lineares cont́ınuos (posto que Lipschitz), I : C → Ctambém é Lipschitz (logo contı́nua) e T Ψ,t0,x0 em geral n˜ ao é linear. O operador D é um funcional linear descontı́nuo sobre o subconjunto D ⊂ C das funç˜ oes diferenci´ aveis em t = 1/2, que também é um espaço vetorial real.

Um ponto interessante a se notar é que, neste último exemplo, todos os

funcionais e transformações lineares que provamos serem cont́ınuos são defato funções Lipschitz. O teorema abaixo – o penúltimo deste caṕıtulo – nosdiz que isto não é coincidência.

Teorema 4.1 Considere dois espaços vetoriais reais normados (V, · V ),(W, · W ). Dada uma transformaç˜ ao linear T : V → W , s˜ ao equivalentes:

1. T é limitada, ou seja:

T V →W := supv∈V,vV =1

T (v)W 0.

3. T é cont́ınuo.

Prova: 1⇒2. Chame de L := T V →W . Afirmamos que para quaisquerv, v ∈ V vale a desigualdade T (v) − T (v)W ≤ L v − vV . De fato, esta


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desigualdade é trivialmente satisfeita se v = v. Caso contrário, podemos

olhar para o vetor z := (v − v

)/v − v

V ; ele tem norma zV = 1 eportanto T (z)W ≤ T V →W = L. Deduzimos por linearidade que

T (z) = T (v) − T (v)

v − vV , portanto T (v) − T (v)W

v − vV = T (z)W ≤ L,

como queŕıamos demonstrar.

2⇒3 é direto.

3⇒1. A ideia da prova é muito semelhante à que usamos na provado Teorema 3.4. Supondo (para chegar a uma contradição) que T não é

limitado, podemos encontrar, para cada n ∈ N, um vetor vn ∈ V comvnV = 1 e T (vn)W ≥ n + 1. Isto quer dizer que, por um lado, vn/(n +1) → 0V , mas, por outro lado (usando linearidade),T

vnn + 1

W

= T (vn)W

n + 1 = 1 → 0.

Isto quer dizer que T não é contı́nuo, o que contradiz a hipótese 3. Deduzi-mos que T é, sim, limitado, como queŕıamos demonstrar.


Exerćıcio 4.11 Sejam V,W,U espaços vetoriais reais e T : V → W , S :W → U transformaç˜ oes lineares. Mostre que a composiç˜ ao S ◦ T : V → U também é linear. Mostre ainda que S ◦T V →U ≤ S W →U T V →U sempre que as duas normas do lado direito s˜ ao finitas.

Exerćıcio 4.12 (Longo, mas importante!) Dado um intervalo fechadoI = [a, b] ⊂ R, defina o espaço métrico C (I,Rd) de funç˜ oes contı́nuas de I em Rd. Convença-se de que este é um espaço vetorial.

1. Prove que para qualquer p ∈ [1, +∞] a express˜ ao abaixo

f I,∞,p := supt∈I

|f (t)| p

define uma norma sobre C (I,Rd) e que o espaço é completo com esta norma. Mostre além disso que todas estas normas s˜ ao equivalentes.


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2. Defina a integral yx f (t) dt de f ∈ C (I, Rd) da seguinte forma: se

f (x) = (f (1)

(x), . . . , f (d)

(x)), cada f (i)

é uma funç˜ ao contı́nua (por quê?). Logo podemos definirL y

xf (t) dt ∈ Rd é o vetor cuja i-ésima coordenada é

yx

f (i)(t) dt.

Prove que esta definiç˜ ao faz sentido e que

| yx

f (t) dt| p ≤ |y − x| f I,∞,p.

3. Construa an´ alogos das funç˜ oes I x,y, I e T Ψ,t0,x0 na Seç˜ ao 4.3 e prove que as mesmas propriedades de continuidade continuam valendo.


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Caṕıtulo 5

Abertos e fechados

Neste caṕıtulo começaremos a discutir conceitos topol´ ogicos . Veremos oque são conjuntos abertos e fechados em um espaço métrico; discutiremosporque os abertos formam o que se chama de topologia e relacionaremoscontinuidade a estes conceitos. A linguagem e os resultados desenvolvidosaqui serão importantes para tudo o que vem a seguir.

Ao longo deste caṕıtulo, (X, dX ) será um espaço métrico dado. Dadosx ∈ X e r ≥ 0, denotamos por BX (x, r) ou apenas B(x, r) a chamada bola aberta de raio r ao redor de x:

B(x, r) := {y ∈ X : d(x, y) < r}.

Também definimos a bola fechada BX [x, r] ou B[x, r] como

B[x, r] := {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}.

Exerćıcio 5.1 Mostre que, dados 0 ≤ r < r ,

B(x, 0) = ∅ ⊂ B[x, 0] = {x} ⊂ B[x, r] ⊂ B(x, r) ⊂ B[x, r].

Mostre ainda que B[x, 0] = B[x, 1/2] = B(x, 1) = {x} se a métrica é dis-creta.

Agora podemos apresentar as principais definições de topologia de espaços

métricos.

Definiç̃ao 5.1 A ⊂ X é dito aberto (segundo a métrica dX ) se para todox ∈ X existe um δ > 0 tal que BX (x, δ ) ⊂ A. F ⊂ X é dito fechado se X \F é aberto.

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48 CAP ́ITULO 5. ABERTOS E FECHADOS

Exemplo 5.1 Todos os subconjuntos s˜ ao abertos e fechados se a métrica é

discreta. Isto porque, como visto acima, todo dado A ⊂ X , temos ∀x ∈ A : {x} = B(x, 1) ⊂ A.

Do mesmo modo, Ac também é aberto.

Exemplo 5.2 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Para ver isso, tome uma bola B(x, r) com r > 0 e um elemento y ∈B(x, r). Nosso objetivo é mostrar que existe um raio positivo δ > 0 tal queB(y, δ ) ⊂ B(x, r). Para isso, é necessário provar que que todo z ∈ B(y, δ )também está em B (x, r), ou seja:

∀z ∈ X : d(z, y) < δ ⇒ d(z, x) < r.O que nos permite achar este δ é a desigualdade triangular. Afinal, sabemosque

d(z, y) < δ ⇒ d(x, z) ≤ d(z, y) + d(y, x) < δ + d(y, x).Logo precisamos escolher δ tal que δ +d(y, x) < r e δ > 0. Como d(x, y) < r(já que y ∈ B(x, r)), podemos escolher δ := r − d(x, y) > 0 terminar assima prova.

Exemplo 5.3 De forma semelhante, toda bola fechada B [x, r] é um subconjunto fechado de X , onde agora r ≥ 0.

De fato, isto equivale a mostrar que X \B[x, r] é aberto, ou seja, quepara todo todo y

∈ X

\B[x, r] existe um δ > 0 tal que B(y, δ )

⊂ X

\B[x, r].

A condição necessária sobre δ desta vez é que

∀z ∈ X : d(z, y) < δ ⇒ d(z, x) > r.Novamente é a desigualdade triangular que usaremos para achar este δ .Afinal

d(z, y) < δ ⇒ d(x, z) ≥ −d(z, y) + d(y, x) > d(y, x) − δ.Como y ∈ B [x, r], d(x, y) > r, logo podemos tomar δ = r −d(x, y) e garantirque d(z, y) < δ implica d(z, x) > r.

Exerćıcio 5.2 Prove que ∅ e X s˜ ao ambos abertos e fechados.Exerćıcio 5.3 Prove que todos os subconjuntos de X s˜ ao abertos se usamos a métrica discreta.

Exerćıcio 5.4 Prove que os intervalos abertos e fechados de R s˜ ao mesmoabertos e fechados, segundo a definiç˜ ao acima. (De fato, todo intervaloaberto ou fechado de comprimento finito é uma bola aberta.)


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5.1. OS ABERTOS FORMAM UMA TOPOLOGIA 49

5.1 Os abertos formam uma topologia

Nesta seção provaremos que os abertos de um espaço métrico formam umatopologia . Primeiro temos de definir esta palavra.

Definiç̃ao 5.2 Uma topologia sobre um conjunto X = ∅ é uma coleç˜ ao T de subconjuntos de X com as seguintes propriedades.

1. ∅, X ∈ T .2. Dada A ⊂ T , temos ∪A∈A A ∈ T .3. Dados A, A ∈ T , temos A ∩ A ∈ T .

Os elementos de T s˜ ao chamados de conjuntos abertos da topologia T .Exerćıcio 5.5 Todo X possui duas topologias extremas: T grossa = {∅, X }e T fina = {todos os subconjuntos de X }. Mostre que estas topologias s˜ aomesmo topologias.

Exerćıcio 5.6 Mostre que a interseç˜ ao de um n´ umero finito de conjuntos abertos é sempre um conjunto aberto.

O principal resultado desta seção é que os abertos de um espaço métricoformam uma topologia.

Teorema 5.1 Considere um espaço métrico (X, dX ). Seja T dX a coleç˜ aode todos os subconjuntos de X que s˜ ao abertos na noç˜ ao dada pela métrica dX . Ent˜ ao T dX é uma topologia sobre X .

Como veremos na prova, o conteúdo deste teorema é basicamente o se-guinte.

Corolário 5.1 Qualquer uni˜ ao de abertos em (X, dX ) é também um conjunto aberto. Qualquer interseç˜ ao de dois conjuntos abertos em X é aberta (do mesmo modo, qualquer interseç˜ ao finita é aberta).

Note que interseções infinitas podem não ser abertas. Por exemplo, em

R (com a métrica usual), a coleção de conjuntos

A := {(−t, t) : t > 0}

tem interseção {0}, que não é aberto.


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50 CAP ́ITULO 5. ABERTOS E FECHADOS

Prova: [Teorema 5.1] Veja que ∅, X são abertos de X : nenhum elementoestá contido em ∅ e todas as bolas estão contidas em X . Concluı́mos queambos pertencem a T dX , so seja, vale o primeiro axioma de uma topologia.

Provaremos agora que vale o segundo axioma. Dada uma coleção qual-quer de abertos A ⊂ T dX , queremos provar que ∪A∈AA ∈ T dX . Paraisto, devemos tomar um elemento qualquer x ∈ ∪A∈AA e mostrar queBX (x, r) ⊂ ∪A∈AA pra algum r > 0. Para isto, lembramos que um dadox só pode pertencer à união se pertence a pelo menos um dos conjuntosAx ∈ A. Como todos os elementos de A são abertos, sabemos que existeum r > 0 tal que BX (x, r) ⊂ Ax. Como Ax ⊂ ∪A∈AA, deduzimos queBX (x, r) ⊂ ∪A∈AA. Ou seja, dado x ∈ ∪A∈AA, conseguimos encontrar umraio r > 0 para o qual BX (x, r) está inteiramente contida na união.

Consideremos agora a interseção de dois abertos A, A

⊂ X . Para provar

que A ∩ A é aberto, devemos tomar um x ∈ A ∩ A e mostrar que B(x, r) ⊂A ∩ A para algum r > 0. Para isto, partimos do fato de que A e A sãoambos abertos e que x pertence aos dois; afinal, só assim x pode estar nainterseção. Deduzimos:

x ∈ A∩A (intersecção)⇒

x ∈ A ⇒ ∃R > 0 : B(x, R) ⊂ A (A aberto)x ∈ A ⇒ ∃R > 0 : B(x, R) ⊂ A (A aberto)

Tomemos então r = min{R, R}. Como R, R > 0, r > 0 também. Aĺemdisso, B(x, r) ⊂ B(x, R) ⊂ A e B(x, r) ⊂ B(x, R) ⊂ A, de modo queB(x, r) ⊂ A ∩ A. Conclúımos observando que encontramos r > 0 tal queB(x, r) ⊂ A ∩ A

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