Analyse Numérique et Algorithmique · Résolution Numériques des Équations Di érentielles Dérivation numérique et résolution des Équations di érentielles Introduction et

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IntroductionAnalyse Numérique

Algorithmique

Analyse Numérique et Algorithmique

Bouchaib FERRAHI/// www.ferrahi.ma

18 décembre 2017

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Algorithmique

Présentation du module

- Filière : SMP- Semestre :S3- Code : M20- intitulé : Analyse Numérique et Algorithmique- Objectifs :

- Maitrise des outils Mathématiques utilisés en Physique et en

Chimie

- Application de démarches scienti�ques face à des problèmes

théoriques et expérimentaux variés.

- Maitrise des méthodes numériques permettant la résolution

des problèmes Mathématiques

- Initiation à l'algorithmique et à l'utilisation de l'Informatique

dans la résoltion des problèmes Mathématiques

- Pré-requis :Analyse 1 et 2, Algèbre 1 et 2- Volume horaire : 21H de cours + 21H de TD


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Algorithmique

ContactBouchaib FERRAHI

- Département de Mathématiques - Faculté desSciences - Tétouan

- [email protected] et [email protected]

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Algorithmique

Plan

1 Analyse NumériqueCalculs numériques approchésZéros de fonctions non-linéairesApproximation et InterpolationPolynomialeIntégration numériqueRésolution Numériques desÉquations Di�érentiellesSystèmes linéaires

2 AlgorithmiqueIntroduction et initiation àl'algorithmiqueTerminologie - Dé�nitionsNotions Complémentaires et avancées


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AlgorithmiqueRésolution Numériques des Équations Di�érentielles

. . . . . .


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Dérivation numérique et résolution des Équationsdi�érentielles

Introduction et Position du problème

La dérivée d'une fonction f en un point x ∈ R est dé�nie par :

limh→0

f (x + h)− f (x)

h

Le calcul du dérivée n'est pas toujours possible :- Le calcul analytique est long et compliqué,- f n'est pas donnée par une forme explicite mais seulement par unnombre �ni de couple (xi , yi )0≤i≤n (suite à une expérience).


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La dérivée d'une fonction f en un point x ∈ R est dé�nie par :

limh→0

f (x + h)− f (x)

h

Le calcul du dérivée n'est pas toujours possible :- Le calcul analytique est long et compliqué,- f n'est pas donnée par une forme explicite mais seulement par unnombre �ni de couple (xi , yi )0≤i≤n (suite à une expérience).


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Une équation di�érentielle d'inconnu y (une fonction) s'écrit :

y ′(t) = f (t, y(t))

Lorsque on ne peut pas appliquer les méthodes usuelles (formeexplicite compliquée), on cherche à appliquer des méthodesnumériques.

En particulier, nous considérons le problème de Cauchy :

y ′(t) = f (y(t), t) si t > 0 avec la condition initiale y(0) = y0

f : R+ × R→ R une fonction continue et y : R+ → R.


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Une équation di�érentielle d'inconnu y (une fonction) s'écrit :

y ′(t) = f (t, y(t))

Lorsque on ne peut pas appliquer les méthodes usuelles (formeexplicite compliquée), on cherche à appliquer des méthodesnumériques.En particulier, nous considérons le problème de Cauchy :

y ′(t) = f (y(t), t) si t > 0 avec la condition initiale y(0) = y0

f : R+ × R→ R une fonction continue et y : R+ → R.Bouchaib FERRAHI/// www.ferrahi.ma Analyse Numérique et Algorithmique 6 / 22

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Théorème (Cauchy-Lipschitz) Si f : R+ × R→ R est unefonction continue et Lipschitzienne par rapport à la deuxièmevariable : Il existe L > 0 tel que :

|f (t, x1)− f (t, x2)| ≤ L|x1 − x2| pour tout t > 0 et tout x1, x2 ∈ R

Alors, le problème de Cauchy admet une solution globale (dé�niepour tout t > 0) et cette solution est unique.


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Résolution numérique des équations di�érentielles

Méthodologie

Soit a = t0 < t1 < ... < ti < tn+1 < .... < tn = b une partition depoints équidistants de [a, b] avec h = ti+1− ti le pas de la partition.Une solution numérique de l'équation di�érentielle consiste àtrouver une suite de valeurs {y0, y1, ..., yn} qui constituent desapproximations des valeurs de la solution y(t) aux points(ti )i=0,..,n ;Chaque yi est une approximation de y(ti ) et le problème de Cauchys'écrit pour t = ti comme suit :

y ′(ti ) = f (ti , y(ti ) = f (ti , yi )


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Résolution numérique des équations di�érentielles

Méthodologie

Deux approches possibles :- Intégrer, entre ti et ti+1, les deux membres de l'équation etutiliser une méthode numérique pour calculer l'intégrale du secondmembre,- Utiliser les méthodes de calcul numérique de la dérivée pourobtenir une approximation de y ′(ti ).


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Étude générale des méthodes à un pas :

Méthode de Runge-Kutta d'ordre 2 :

L'intégration de l'équation y ′(t) = f (t, y(t)) entre ti et ti+1, onobtient :

y(ti+1)− y(ti ) =

∫ ti+1

ti

f (t, y(t)dt

La méthode de rectangle à gauche donne la méthode explicited'Euler :

yi+1 − yi = hf (ti , y(ti )) = hf (ti , yi )⇒ yi+1 = yi + hf (ti , yi )

La méthode de rectangle à droite donne la méthode implicited'Euler :

yi+1 − yi = hf (ti+1, y(ti+1)) = hf (ti+1, yi+1)

yi+1 = yi + hf (ti+1, yi+1)Bouchaib FERRAHI/// www.ferrahi.ma Analyse Numérique et Algorithmique 10 / 22

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En calculant l'intégrale du second membre dans :

y(ti+1)− y(ti ) =

∫ ti+1

ti

f (t, y(t)dt

par la méthode du trapèze, on obtient le schéma implicite suivant(appelée : Méthode de Crank-Nicolson ou du trapèze) :

yi+1 − yi =h

2[f (ti , yi ) + f (ti+1, yi+1)] pour i = 0, 1, ...


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Cette méthode implicite peut être adaptée à un schéma explicite (appelée : Méthode de Heun)

yi+1 − yi =h

2[f (ti , yi ) + f (ti+1, yi + hf (ti , yi ))] pour i = 0, 1, ...

Remarque : Les deux méthodes sont d'ordre 2 par rapport à h.


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Si l'intégrale est approchée par la méthode du point milieu, onobtient :

yi+1 − yi = hf (ti+ 12, yi+ 1

2)

et si on utilise l'approximation :

yi+ 12= yi +

12f (ti , yi )

On trouve la méthode d'Euler modi�ée :

yi+1 − yi = hf (ti+ 12, yi +

12f (ti , yi ))


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Les méthodes de Heun et d'Euler modi�ée sont des casparticuliers dans la famille des méthodes de Runge-Kutta d'ordre2.il existe d'autres méthodes plus avancées, comme par exemple, laméthode d'ordre 4 suivante ( Obtenue en calculant l'intégrale par laméthode de Simpson) :

yi+1 = yi +h

6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4)

avec :

K1 = f (ti , yi ), K2 = f (ti +h

2, yi +

h

2K1)

K3 = f (ti +h

2, yi +

h

2K2), K4 = f (ti +

h

2, yi +

h

2K3)


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Dérivation numérique et résolution des Équations ...

Dérivée numérique :

Soit y une fonction de classe C 1([a, b]) eta = t0 < t1 < ... < tn = b, une partition de n + 1 pointséquidistants dans [a, b] et h = b−a

n la distance entre deux pointsconsécutifs.La dérivée est donnée par l'une des trois formules :

y ′(ti ) = limh→0+

y(ti + h)− y(ti )

h

y ′(ti ) = limh→0+

y(ti )− y(ti − h)

h

y ′(ti ) = limh→0+

y(ti + h)− y(ti − h)

2hBouchaib FERRAHI/// www.ferrahi.ma Analyse Numérique et Algorithmique 15 / 22

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Une approximation numérique (Dy)i de y ′(ti ) peut être dé�nie :- Di�érence �nie progressive (ou décentrée à droite) :

(Dy)Pi =y(ti + h)− y(ti )

h==

y(ti+1)− y(ti )

havec i = 0, 1, ..., n−1

- Di�érence �nie rétrograde (ou décentrée à gauche) :

(Dy)Ri =y(ti )− y(ti − h)

h=

y(ti )− y(ti−1)

havec i = 1, ..., n

- Di�érence �nie centrée :

(Dy)Ci =y(ti + h)− y(ti − h)

2h=

y(ti+1)− y(ti−1)

2havec i = 1, ..., n−1


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Si y une fonction de classe C 2(R), il existe θ entre ti et t avec(Formule de Taylor) :

y(t) = y(ti ) + y ′(ti )(t − ti) +y ′′(θ)

2(t − ti )

2

- Pour t = ti+1 on obtient :

y(ti+1) = y(ti ) + y ′(ti )(ti+1 − ti) +y ′′(θ)

2(ti+1 − ti )

2

Soit :

(Dy)Pi = y ′(ti ) +h

2y ′′(θ)


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D'ou :

|y ′(ti )− (Dy)Pi | ≤ Kh avec K =12

maxt∈[ti ,ti+1]

y ′′(t)

- Pour t = ti−1 on obtient :

y(ti−1) = y(ti ) + y ′(ti )(ti−1 − ti) +y ′′(θ)

2(ti−1 − ti )

2

Soit : (Dy)Ri = y ′(ti )− h2y ′′(θ). D'ou :

|y ′(ti )− (Dy)Ri | ≤ Kh avec K =12

maxt∈[ti−1,ti ]

y ′′(t)


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Si y une fonction de classe C 3(R), il existe θ entre ti et t avec(Formule de Taylor) :

y(t) = y(ti ) + y ′(ti )(t − ti) +y ′′(ti )

2(t − ti )

2y ′′′(θ)

6(t − ti )

3

On obtient pour t = ti+1ett = ti−1 :

y(ti+1) = y(ti )+y ′(ti )(ti+1−ti)+y ′′(ti )

2(ti+1−ti )2+

y ′′′(θ1)

6(ti+1−ti )3

y(ti−1) = y(ti )+y ′(ti )(ti−1−ti)+y ′′(ti )

2(ti−1−ti )2+

y ′′′(θ2)

6(ti−1−ti )3


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Soit :

y(ti+1)− y(ti ) = y ′(ti )(h) +y ′′(ti )

2(h)2 +

y ′′′(θ1)

6(h)3

y(ti−1)− y(ti ) = y ′(ti )(−h) +y ′′(ti )

2(−h)2 + y ′′′(θ2)

6(−h)3

On obtient donc :

(Dy)Ci = y ′(ti ) +y ′′′(θ1) + y ′′′(θ2)

12h2

et

|y ′(ti )− (Dy)Ci | ≤ Kh2 avec K =16

maxt∈[ti−1,ti+1]

y ′′′(t)


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L'erreur lié à ce calcul :

ePi = |y ′(ti )− (Dy)Pi |

eRi = |y ′(ti )− (Dy)Ri |

eCi = |y ′(ti )− (Dy)Ci |

Cet erreur est appelé : Erreur de troncature au point ti enutilisant la di�érence progressive (resp. Rétrograde) (resp.centrée).Remarque : Les méthodes progressive et rétrograde sont d'ordre 1et la méthode centrée est d'ordre 2.


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Méthodes d'Euler :

Par la suite, on utilise l'une des formules de dérivée numérique poury ′(ti ) et on obtient les approximations suivantes :Schéma d'Euler Progressif :{ yi+1−yi

h = f (ti , yi ) pour i = 0, 1, 2, ...y0 donnée,

Schéma d'Euler retrograde :{ yi+1−yih = f (ti+1, yi+1) pour i = 0, 1, 2, ...

y0 donnée,


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Algorithmique

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