www.ugb.sn Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) L3f MA; Info_SI; Info_Reseaux g - UFR S.A.T Pr. Ousmane THIARE [email protected] [www.ousmanethiare.com] 16 avril 2020
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Analyse Factorielle desCorrespondances (AFC)
L3MA Info_SI Info_Reseaux - UFR SAT
Pr Ousmane THIARE
othiareugbedusn[wwwousmanethiarecom]
16 avril 2020
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse Factorielle des Correspondances(AFC)
1 Introduction2 Variables qualitatives3 Tableau de contingence4 Marges et profils5 Proprieacuteteacutes des profils6 Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance7 Caractegravere significatif du X 2
8 Analyse des correspondances de deux variables lesdonneacutees
9 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils10 Comment eacutetudier ces donneacutees11 La meacutetrique du X12 Pourquoi la meacutetrique du X 2 13 Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
14 ACP des deux nuages de profils15 g est un facteur principal16 Calcul de lrsquoACP17 Comparaison lignes-colonnes18 Interpreacutetation des reacutesultats19 Contributions agrave lrsquoinertie20 Formules de transition21 Deacutecomposition de lrsquoinertie22 Analyse des correspondances multiples23 Les donneacutees24 Tableau disjonctif et tableau de contingence25 Tableau disjonctif joint26 Cas p=227 Reacutesolution des eacutequations28 Le nombre de valeurs propres29 Le cas geacuteneacuteral p gt 230 Exemple de tableau de Burt31 Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories32 Formules barycentriques33 Formules barycentriques34 Proprieacuteteacutes des valeurs propres35 Barycentres et repreacutesentation36 Variables et axes factoriels37 Individus et axes factoriels38 Contribution agrave lrsquoinertie totale39 Les variables suppleacutementaires40 Valeurs-test pour les variables suppleacutementaires41 Pratique de lrsquoanalyse des correspondances multiples42 Points communs entre AFC et ACM43 Diffeacuterences entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990
LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnes
Etudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Marges et profils
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
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Marges et profils
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formulesbarycentriques
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Analyse Factorielle des Correspondances(AFC)
1 Introduction2 Variables qualitatives3 Tableau de contingence4 Marges et profils5 Proprieacuteteacutes des profils6 Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance7 Caractegravere significatif du X 2
8 Analyse des correspondances de deux variables lesdonneacutees
9 Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils10 Comment eacutetudier ces donneacutees11 La meacutetrique du X12 Pourquoi la meacutetrique du X 2 13 Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
14 ACP des deux nuages de profils15 g est un facteur principal16 Calcul de lrsquoACP17 Comparaison lignes-colonnes18 Interpreacutetation des reacutesultats19 Contributions agrave lrsquoinertie20 Formules de transition21 Deacutecomposition de lrsquoinertie22 Analyse des correspondances multiples23 Les donneacutees24 Tableau disjonctif et tableau de contingence25 Tableau disjonctif joint26 Cas p=227 Reacutesolution des eacutequations28 Le nombre de valeurs propres29 Le cas geacuteneacuteral p gt 230 Exemple de tableau de Burt31 Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories32 Formules barycentriques33 Formules barycentriques34 Proprieacuteteacutes des valeurs propres35 Barycentres et repreacutesentation36 Variables et axes factoriels37 Individus et axes factoriels38 Contribution agrave lrsquoinertie totale39 Les variables suppleacutementaires40 Valeurs-test pour les variables suppleacutementaires41 Pratique de lrsquoanalyse des correspondances multiples42 Points communs entre AFC et ACM43 Diffeacuterences entre AFC et ACM
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990
LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnes
Etudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Les variablessuppleacutementaires
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Les donneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
Introduction
Variablesqualitatives
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Exemple de tableau de Burt
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Variables et axesfactoriels
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Le nombre devaleurs propres
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Le nombre devaleurs propres
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Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990
LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnes
Etudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Introduction
Variablesqualitatives
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Individus et axesfactoriels
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Variablesqualitatives
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4354
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Points communs entre AFC et ACM
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990
LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnes
Etudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Introduction
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Introduction
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
Introduction
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnes
Etudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Variablesqualitatives
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Variablesqualitatives
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction
Lrsquoanalyse factorielle des correspondances (AFC) ouanalyse des correspondances simples est une meacutethodeexploratoire drsquoanalyse des tableaux de contingence Ellea eacuteteacute deacuteveloppeacutee par J-P Benzecri durant la peacuteriode1970-1990LrsquoAFC consideacutereacutee comme une ACP particuliegravere doteacutee dela meacutetrique du X 2 (Khi-2) qui ne deacutepend que du profildes colonnes du tableau Lrsquoanalyse permet dans le plandes deux premiers axes factoriels une repreacutesentationsimultaneacutee des ressemblances entre les colonnes ou leslignes du tableau et de la proximiteacute entre lignes etcolonnesEtudier sur N individus les liaisons entre deux variablesX et Y Chaque variable deacutetermine deux partitions delrsquoensemble des individus selon les modaliteacutes
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Cas p=2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de Y
Le cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Individus et axesfactoriels
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variables et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)
Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Variables et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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On note souvent I lrsquoensemble des modaliteacutes de lavariable X et J celui des modaliteacutes de YLe cardinal de I est noteacute n et celui de J est noteacute m Pourchercher les liaisons entre X et Y nous allons croiser lesdeux partitions pour obtenir un tableau de contingenceindexeacute par I times J ( on deacutefinit un ordre sur I et J qui peutecirctre eacuteventuellement arbitraire afin de pouvoir construirece tableau)Dans la case associeacutee agrave la i-egraveme ligne et agrave la j-egravemecolonne on eacutecrit lrsquoeffectif des individus ayant la i-egravememodaliteacute pour la variable X et la j-egraveme modaliteacute pour lavariable Y celui-ci est noteacute kij
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variablesqualitatives
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Introduction (suite)
Tableau de contingence compleacuteteacute par ses marges
HHHHHHX
Y middot middot middot j-egraveme colonne middot middot middot marge
middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middoti-egraveme ligne middot middot middot kij middot middot middot kimiddot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot middot
marge middot middot middot kj middot middot middot N
On pose
kj =nsum
i=1
kij et ki =msum
j=1
kij
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Exemple de tableau de Burt
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formulesbarycentriques
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Introduction (suite)
kj est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la j-egraveme modaliteacute deYki est appeleacute lrsquoeffectif marginal de la i-egraveme modaliteacute deXLes eacuteleacutements du tableau de contingence diviseacutes parlrsquoeffectif total N constituent le tableau des freacutequences ougravelrsquoon note fij lrsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique Ce tableau permet dedeacutefinir deux marges une colonne indexeacutee par i
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fi =sumjisinJ
fij et une ligne indexeacutee par j
drsquoeacuteleacutement geacuteneacuterique fj =sumiisinI
fij ce sont les freacutequences
marginales
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Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Contributions agravelrsquoinertie
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Variables et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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g est un facteurprincipal
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Variables et axesfactoriels
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
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Marges et profils
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Introduction (suite et fin)
La freacutequence fi (respectivement fj ) peut ecirctre interpreacuteteacuteecomme le poids de la i-egraveme modaliteacute de X on peutnoter celui-ci pi (respectivement le poids pj de la j-egravememodaliteacute de Y)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Variablesqualitatives
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables qualitatives
Soit X une variable qualitative On dispose drsquouneacutechantillon de n individus sur lesquels la variable estmesureacuteeModaliteacutes (ou cateacutegories) les valeurs que peut prendreune variable qualitative si la variable a r modaliteacutes(valeurs possibles) on note xi 1 le i le r ces modaliteacutesEffectif le nombre d rsquooccurrence de la modaliteacute xi dans
lrsquoeacutechantillon on le note ni et on arsum
i=1
ni = n
Freacutequence crsquoest la grandeur fi = nin la somme desfreacutequences sur les modaliteacutes est 1 On utilise souvent lepourcentage 100fi
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les donneacutees
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
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Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables qualitatives (suite et fin)
Repreacutesentation on peut utiliser un tableau avec r lignesde la forme
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Formulesbarycentriques
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau de contingence
Soient X et Y deux variables qualitatives agrave r et smodaliteacutes respectivement deacutecrivant un ensemble de nindividusDeacutefinition le tableau de contingence est une matrice agrave rlignes et s colonnes renfermant les effectifs nij drsquoindividustels que X = xi et Y = yi
La constitution de ce tableau est ce que les praticiens desenquecirctes appellent un laquo tri croiseacute raquoPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1154
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Marges et profils
Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axesfactoriels
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Marge en ligne Crsquoest la somme ni =ssum
j=1
nij crsquoest-agrave-dire
lrsquoeffectif total de la modaliteacute xi de X
Marge en colonne Crsquoest la somme nj =rsum
i=1
nij
crsquoest-agrave-dire lrsquoeffectif total de la modaliteacute yi de YDeux lectures possibles selon la variable que lrsquoonprivileacutegie on peut deacutefinir
le tableau des profils-lignes nijni qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute yj conditionnellement agraveX = xi la somme de chaque ligne est rameneacutee agrave 100le tableau des profils-colonnes nijnj qui repreacutesente lafreacutequence de la modaliteacute xi conditionnellement agrave Y = yi la somme de chaque colonne est rameneacutee agrave 100
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Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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g est un facteurprincipal
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Variables et axesfactoriels
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils
Moyenne la moyenne des profils-lignes (avec poidscorrespondant aux effectifs marginaux des lignes) est leprofil marginal des colonnes
rsumi=1
ni
ntimes
nij
ni=
njn
et de mecircme pour les colonnesssum
j=1
njntimes
nij
nj=
ni
n
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Individus et axesfactoriels
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Points communsentre AFC etACM
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Individus et axesfactoriels
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des profils (suite et fin)
Indeacutependance empirique lorsque tous les profils lignessont identiques il y a indeacutependance entre X et Y puisquela connaissance de X ne change pas la reacutepartition de YOn a pour tout j
n1j
n1=
n2j
n2= middot middot middot =
nrj
nr =
n1j + middot middot middot+ nrj
n1 + middot middot middot+ nr =
njn
et donc nij =ninj
n
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance
Deacutefinition crsquoest la grandeur suivante aussi noteacutee X 2 ouX 2
d2 =rsum
i=1
ssumj=1
(nij minusninj
n )2
ninjn
= n
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjminus 1
Si les variables sont indeacutependantes d2 = 0Borne supeacuterieure Comme nij le ni on a
rsumi=1
ssumj=1
n2ij
ninjle
rsumi=1
ssumj=1
nij
nj=
ssumj=1
sumri=1 nij
nj=
ssumj=1
njnj
= s
et donc d2 le n(s minus 1)On fait de mecircme pour r et
ϕ2 =d2
nle min(s minus 1 r minus 1)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Les donneacutees
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Formules detransition
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Variables et axesfactoriels
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Formulesbarycentriques
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Le X 2 drsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependance (suite et fin)
Deacutependance fonctionnelle si ϕ2 = s minus 1 alors pourchaque i soit nij = ni soit nij = 0 il existe une uniquecase non nulle par ligne Y est fonctionnellement lieacutee agrave X Deacutependance inverse cette relation ne signifie pas que Xest fonctionnellement lieacutee agrave Y sauf si r=s On peut alorsrepreacutesenter le tableau comme une matrice diagonaleContribution au X 2 crsquoest le terme
(nij minusninj
n )2
ninjn
qui permet de mettre en eacutevidence les associationssignificatives entre cateacutegories de deux variables
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Cas p=2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Exemple de tableau de Burt
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Contributions agravelrsquoinertie
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Caractegravere significatif du X 2
Problegraveme agrave partir de quelle valeur de d2 doit-onconsideacuterer que les variables X et Y sont indeacutependantes Meacutethode on suppose que X et Y sont issus de tirages dedeux variables aleacuteatoires indeacutependantes On peut alorsmontrer que d2 est une reacutealisation drsquoune variable aleacuteatoireD2 qui suit une loi X 2
(rminus1)(sminus1)Deacutefinition Loi du khi-deux agrave p degreacutes de liberteacutes X 2
p estla loi de la variable
sumpi=1 = U2
i ougrave les Ui sont desvariables gaussiennes reacuteduites indeacutependantesLe test du X 2 on se fixe un risque drsquoerreur α (001 ou005 en geacuteneacuteral) et on calcule la valeur d2
c telle queP(X 2
(rminus1)(sminus1) gt d2c ) = α Si d2 gt d2
c on considegravere quelrsquoeacuteveacutenement est tregraves improbable et que donc quelrsquohypothegravese originale drsquoindeacutependance doit ecirctre rejeteacutee Ontrouvera en geacuteneacuteral ces valeurs dans une tablepreacutecalculeacuteePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Contributions agravelrsquoinertie
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Points communsentre AFC etACM
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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g est un facteurprincipal
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Exemple de tableau de Burt
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
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Analyse des correspondances de deuxvariables les donneacutees
Effectifs on a un tableau de contingence N agrave m1 lignes etm2 colonnes reacutesultant du croisement de deux variablesqualitatives X1 et X2 agrave m1 et m2 modaliteacutesrespectivement On note D1 et D2 les matrices diagonalesdes effectifs marginaux
Profils le tableau des profils des lignes nijni est donneacutepar Dminus1
1 N et celui des profils des colonnes nijnj parNDminus1
2 Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 1854
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Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Individus et axesfactoriels
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Repreacutesentation geacuteomeacutetrique des profils
Nuage de points les profils-lignes forment un nuage dem1 points de Rm2 Chaque point est affecteacute drsquoun poidseacutegal agrave sa freacutequence marginale nin et la matrice despoids est donc 1
n D1Centre de graviteacute crsquoest le profil marginal car
gl =1n(Dminus1
1 N)tD11m1 = (n1n middot middot middot nm2
n)t
Profils-colonne les lignes du tableau Dminus11 N t forment un
nuage de m2 points de Rm1 avec matrice des poids 1n D2
et centre de graviteacute
gc = (n1
n middot middot middot nm1
n)t
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Exemple de tableau de Burt
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Comment eacutetudier ces donneacutees
Cas indeacutependant en cas drsquoindeacutependance empirique onaura
nij
ni=
njn
etnij
nj=
ni
n
et les deux nuages sont alors reacuteduits agrave leurs centres degraviteacute respectifsDimension des nuages comme les profils somment agrave 1les m1 profils-lignes sont situeacutes dans le sous-espace W1de dimension m2 minus 1 deacutefini par
summ2j=1 xj = 1 et xj ge 0
ACP lrsquoeacutetude de la forme des nuages au moyen delrsquoAnalyse en Composantes Principales permettra derendre compte de la structure des eacutecarts agravelrsquoindeacutependance
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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La meacutetrique du X 2
Profils-lignes la distance entre deux profils-lignes i et i prime
est
d2X 2(i i prime) =
m2sumj=1
nnj
(nij
niminus
ni prime j
ni prime )2
ce qui revient agrave utiliser la meacutetrique diagonale nDminus12
Inertie lrsquoinertie totale du nuage des profils-lignes parrapport agrave gl est
Igl =
m1sumi=1
ni
nd2X 2(i gl) =
m1sumi=1
m2sumj=1
ni
nj(nij
niminus
njn)2
=
m1sumi=1
m2sumj=1
1ninj
(nij minusninj
n)2 = ϕ2
Cette inertie mesure donc lrsquoeacutecart agrave lrsquoindeacutependancePr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Cas p=2
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pourquoi la meacutetrique du X 2
Pondeacuteration la pondeacuteration nnj permet de donner desimportances comparables aux diffeacuterentes variablesEquivalence distributionnelle si deux colonnes j et j
primede
N ont le mecircme profil il est logique de les regrouper enune seule drsquoeffectif nij + nij prime on a alors nijnj = nij primenj prime
nnj
(nij
nminus
ni prime j
ni prime)2 +
nnj prime
(nij prime
niminus
ni prime j prime
ni prime)2
=n
nj + nj prime(nij + nij prime
niminus
ni prime j + ni prime j prime
ni prime )2
La distance entre les profils-ligne est donc inchangeacutee
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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g est un facteurprincipal
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Autres proprieacuteteacutes de la meacutetrique du du X 2
Proprieacuteteacutes de gl le vecteur Ogl est orthogonal agrave W1 ausens de la meacutetrique du X 2 car
〈glx Ogl〉 = (x minus gl)tnDminus1
2 gl = (x minus gl)t1m2 = 0
et la norme de gl est gl2X 2 = gtl nDminus1
2 gl = gtl 1m2 = 1
Tous les vecteurs centreacutes du nuage sont doncorthogonaux agrave gl Profils-colonnes on deacutefinit la distance entre deuxprofils-colonnes j et j prime comme
d2X 2(j j
prime) =
m1sumi=1
nni
(nij
njminus
nij prime
nj prime)2
ce qui correspond agrave une meacutetrique de matrice nDminus11 Ses
proprieacuteteacutes sont similaires agrave celles sur les profils-lignesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2354
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Individus et axesfactoriels
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Individus et axesfactoriels
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4354
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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ACP des deux nuages de profils
Il y a deux possibiliteacutes qui sont en dualiteacute exacteProfils-lignes
tableau de donneacutees X = Dminus11 N
meacutetrique M = nDminus12
poids D = Dn
Profils-colonnestableau de donneacutees X = Dminus1
2 N t meacutetrique M = nDminus1
1 poids D = D
n Autres donneacutees
Centre de graviteacute g = X tD1Matrice de variance-covariance
V = X tDX minus ggt = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Le nombre devaleurs propres
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Exemple de tableau de Burt
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Caractegraveresignificatif duX 2
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g est un facteur principal
Pourquoi g est vecteur propre de VM associeacute agrave lavaleur propre 0 car comme g est X 2-orthogonal agrave W
VMg = (X minus 1gt)tD(X minus 1gt)Mg
et on a donc X tDXMg = VMg + ggt = 0 + ggX 2 = gAutres axes les autres valeurs et vecteurs propres de VMet X tDXM sont identiques car pour tout vecteur u perp g
X tDXMu = VMu + ggtMu = VMu + g〈gu〉X 2 = VMu
Centrage il est inutile de centrer les tableaux de profil oneffectue une ACP non centreacutee et on eacutelimine la valeurpropre 1 associeacutee agrave lrsquoaxe principal g et au facteur principalMg=1
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contributions agravelrsquoinertie
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Calcul de lrsquoACP
On fait drsquoabord le calcul pour les profils-lignesFacteurs principaux ils sont vecteurs propres de
MX tDX = (nDminus12 )(Dminus1
1 N)t D1
n(Dminus1
1 N) = Dminus12 N tDminus1
1 N
On a donc pour chaque axe principal k
Dminus12 N tDminus1
1 Nuk = λkuk
Composantes principales la composition principaleassocieacutee au facteur uk est ak = Xuk = Dminus1
1 Nuk elle estvecteur propre de la matrice Dminus1
1 NDminus12 N t car
Dminus11 NDminus1
2 N tak = Dminus11 NDminus1
2 N tDminus11 Nuk = λkDminus1
1 Nuk = λkak
Profils-colonnes on eacutechange les indices 1 et 2 et ontranspose NPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2654
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Variables et axesfactoriels
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Comparaison lignes-colonnes
Comparaison les deux analyses conduisent aux mecircmesvaleurs propres et les facteurs principaux de lrsquoune sont lescomposantes principales de lrsquoautre (agrave un facteur pregraves)
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Interpreacutetation des reacutesultats
Coordonneacutees des points les coordonneacutees desprofils-lignes et profils-colonnes srsquoobtiennent encherchant les vecteurs propres des produits des tableauxde profils Ce sont les grandeurs principales agrave obtenirProjection des nuages il est possible de projeter lesdeux nuages de points sur la mecircme repreacutesentation Onjustifiera plus tard le sens de cette repreacutesentation et soninterpreacutetationCercle des correacutelations il nrsquoa aucun inteacuterecirct ici puisqueles veacuteritables variables sont qualitatives(non) effet de taille comme les composantes variablessont centreacutees (
summ1i=1 niaki =
summ2j=1 njbkj) on sait que les
cordonneacutees des ak et bk ne peuvent ecirctre toutes de mecircmesigne il nrsquoy a donc jamais drsquoeffet de taille
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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ACP des deuxnuages deprofils
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contributions agrave lrsquoinertie
Contribution des profils-lignes On sait queλk =
summ1i=1
nin (aki)
2 ougrave aki est la coordonneacutee duprofil-ligne i sur la kiegraveme composante principale de lrsquoACPsur les profils-lignes On deacutefinit donc la contribution de i agravelrsquoaxe principal k comme
ni
n(aki)
2
λk
On consideacuterera les cateacutegories ayant les influences lesplus importantes (typiquement gtnin) commeconstitutives des axes on regardera aussi le signe de lacoordonneacuteeContribution des profils-colonnes pour les mecircmesraisons la contribution du profil-colonne k est
njn(bkj)
2
λkPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 2954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Formules de transition
But on cherche une relation entre les vecteurs ak et bkpour eacuteviter de faire deux diagonalisations de matrices Parexemple si m1 lt m2 on diagonalisera la matriceDminus1
1 NDminus12 N t
Formules un calcul simple donne les formules suivantes
bk =1radicλk
Dminus12 N tak soit bjk =
1radicλk
m1sumi=1
nij
njaki
ak =1radicλk
Dminus11 Nbk soit aki =
1radicλk
m2sumj=1
nij
nibkj
Meacutethode comme ak est (agrave une normalisation pregraves) lefacteur principal associeacute agrave bk on sait que bk = αDminus1
2 N tak Pour deacuteterminer α il suffit drsquoeacutecrire que bt
kD2n bk = λk
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Les donneacutees
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecomposition de lrsquoinertie
ϕ2 et valeurs propres on sait que lrsquoinertie totale (et doncla somme des valeurs propres) est eacutegale agrave ϕ2 Comme ily a au plus min(m1 minus 1m2 minus 1) valeurs propres onobtient si m1 lt m2
ϕ2 =
m1minus1sumk=1
λk
Choix du nombre de valeurs propres crsquoest un problegravemeplus difficile
la regravegle de Kaiser (λk gt 1) ne srsquoapplique plus la regravegle du coude reste valide mais est un peusubjective on peut par contre srsquoaider de la part drsquoinertie expliqueacutee
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Exemple de tableau de Burt
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4854
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Analyse des correspondances multiples
But on veut eacutetendre lrsquoAFC au cas de p ge 2 variablesX1X2 middot middot middot Xp agrave m1m2 middot middot middot mp modaliteacutes Ceci estparticuliegraverement utile pour lrsquoexploration drsquoenquecirctes ougrave lesquestions sont agrave reacuteponses multiplesProblegraveme lrsquoanalyse des correspondances utilise une tablede contingence qui est difficilement geacuteneacuteralisable au caspgt2Meacutethode on cherche un moyen diffeacuterent de calculer lrsquoAFCpour p = 2 et on veacuterifie que les reacutesultats sontcomparables Si on a de la chance on pourra eacutetendrecette nouvelle version pour pgt2
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Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les donneacutees
Donneacutees brutes chaque individu est deacutecrit par lesnumeacuteros pour chacune des p variables des modaliteacutes qursquoilpossegravede Il nrsquoest pas possible de faire des calculs sur cetableau ougrave les valeurs sont arbitrairesTableau disjonctif on remplace la jegraveme colonne par mjcolonnes drsquoindicatrices on met un zeacutero dans chaquecolonne sauf celle correspondant agrave la valeur x j
i delrsquoindividu i qui recoit 1Exemple on a trois variables (avec respectivement 3 2 et2 modaliteacutes) mesureacutees sur 4 individus Les tableaux(ci-dessous agrave gauche) sont eacutequivalents aux tableauxdisjonctifs agrave droite
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Tableau disjonctif et tableau de contingence
Tableau disjonctif agrave la variable Xj on associe le tableaudisjonctif Xj agrave n lignes et mj colonnesTableau de contingence on veacuterifie facilement que letableau de contingence des variables Xj et Xk est donneacutepar
Njk = X tj Xk
Effectifs marginaux la matrice diagonale des effectifsmarginaux de la variable Xj est donneacutee par
Dj = X tj Xj
Exemple
N21 =
(0 1 21 0 0
)D2 =
(3 00 1
)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3454
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Exemple de tableau de Burt
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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ACP des deuxnuages deprofils
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Tableau disjonctif joint
Deacutefinition crsquoest la matrice juxtaposeacutee X = (X1|X2| middot middot middot |Xp)qui possegravede n lignes et m1 + middot middot middot+ mp colonnes On va laconsideacuterer comme un tableau de contingence et luiappliquer une analyse de correspondancesLes lignes la somme des eacuteleacutements de chaque ligne de Xest eacutegale agrave p Le tableau des profils-lignes est donc 1
p XLes colonnes la somme des eacuteleacutements de chaquecolonne de X est eacutegale agrave lrsquoeffectif marginal de la modaliteacutecorrespondante le tableau des profils-colonnes est doncXDminus1 ougrave D est la matrice diagonale par blocs
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Le nombre devaleurs propres
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Exemple de tableau de Burt
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Cas p=2
On applique lrsquoanalyse des correspondances de X oncherche les composantes principales de lrsquoACP encolonnes Elles sont vecteurs propres de
(XDminus1)t 12
X =12
Dminus1X tX
Or on a
X tX =
[X t
1X t
2
] [X1 X2
]=
[X t
1X1 X t1X2
X t2X1 X t
2X2
]=
[D1 NN t D2
]Finalement les composantes principales sont valeurspropres de
12
[Dminus1
1 00 D2
] [D1 NN t D2
]=
12
[Im1 Dminus1
1 NDminus1
2 N t Im2
]Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3654
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Exemple de tableau de Burt
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Les donneacutees
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Commenteacutetudier cesdonneacutees
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Reacutesolution des eacutequations
On note a (resp b) les m1 premiegraveres (resp m2 derniegraveres)coordonneacutees de la composante principale rechercheacutee etmicro la valeur propre correspondante [
Im1 Dminus11 N
Dminus12 N t Im2
] [ab
]= 2micro
[ab
]On obtient les eacutequations
Dminus11 Nb = (2microminus 1)a
Dminus12 N ta = (2microminus 1)b
et donc on retrouve les coordonneacutees des lignes et descolonnes de N dans lrsquoAFC classique (avec λ = (2microminus1)2)
Dminus12 N tDminus1
1 Nb = (2microminus 1)2bDminus1
2 NDminus12 N ta = (2microminus 1)2a
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Les donneacutees
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Variables et axesfactoriels
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre de valeurs propres
Problegraveme on a a priori m1 + m2 minus 1 valeurs propres nonnulles ce qui est plus important que dans le casclassique En particulier pour chaque λ on a deux micropossibles
micro = 1+radicλ
2 assoceacutee agrave[ab
]micro = 1minus
radicλ
2 assoceacutee agrave[
aminusb
]On ne garde donc que les valeurs micro gt 1 On peut montrerqursquoil y en a min(m1 minus 1m2 minus 1)Interpreacutetation Lrsquointerpreacutetation de la part drsquoinertieexpliqueacutee par les valeurs propres est maintenant tregravesdiffeacuterente En particulier les valeurs propres qui eacutetaienttregraves seacutepareacutees dans lrsquoAFC de N le sont beaucoup moinsdans celle de XPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3854
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Le nombre de valeurs propres
But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Individus et axesfactoriels
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
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Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Individus et axesfactoriels
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But on cherche agrave faire une repreacutesentation desm1m2 middot middot middot mp comme points drsquoun espace de faibledimensionMeacutethode on fait une AFC sur le tableau disjonctif jointX = (X1|X2| middot middot middot |Xp) qui possegravede n lignes etm1 + m2 + middot middot middot+ mp colonnesLe tableau de Burt crsquoest le tableau B = X tX qui est unsuper-tableau de contingence des variablesX1X2 middot middot middot Xp
ougrave on rappelle que X ti Xi = Di Le tableau de Burt est donc
formeacute de tableaux de contingence et de matricesdrsquoeffectifs marginauxPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 3954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Cas p=2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Contributions agravelrsquoinertie
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Exemple de tableau de Burt
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
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Variablesqualitatives
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Caractegraveresignificatif duX 2
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g est un facteurprincipal
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les coordonneacutees factorielles des cateacutegories
Notation on note a = (a1 middot middot middot ap)t le vecteur agrave
m1 + m2 + middot middot middot+ mp composantes des coordonneacuteesfactorielles des cateacutegories sun axeCalcul de lrsquoAFC sur X comme la matrice desprofils-lignes est 1
p X et celle des profils colonnes XDminus1 aest vecteur propre de
(XDminus1)t 1p
X =1p
Dminus1X tX =1p
Dminus1B
et donc lrsquoeacutequation des coordonneacutees des cateacutegories est1p
Dminus1Ba = microa
avec la convention de normalisation1
npatDa = micro
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Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Individus et axesfactoriels
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Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Individus et axesfactoriels
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques
Les coordonneacutees des individus soit z le vecteur agrave ncomposantes des coordonneacutees des n individus sur un axefactoriel associeacute agrave la valeur propre micro Drsquoapregraves les reacutesultatsde sur lrsquoAFC on a
z =1radicmicro
1p
Xa
On a donc la normalisation
V (z) =1n
z tz =1
micronp2 atX tXa =1
micronp2 at(pmicroDa) =1
npatDa = micro
Les seuls termes non nuls dans le calcul de Xa sont lescoordonneacutees de la cateacutegorie de chaque variableposseacutedeacutee par lrsquoindividuBarycentre des cateacutegories agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique simpledes coordonneacutees des cateacutegories auxquelles il appartientPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Individus et axesfactoriels
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5354
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Formules barycentriques (suite et fin)
On a de mecircme la seconde formule
a =1radicmicro
Dminus1X tz
Les seuls termes non nuls de X tz sont les coordonneacuteesdes individus ayant une modaliteacute donneacuteeBarycentre des individus agrave 1
radicmicro pregraves la coordonneacutee
drsquoun individu est eacutegale agrave la moyenne arithmeacutetique descoordonneacutees des nj individus de cette cateacutegorie
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
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Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Individus et axesfactoriels
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Proprieacuteteacutes des valeurs propres
Valeurs propres triviales la valeur propre 1 est associeacutee(comme en AFC) agrave la composante z0 = (1 middot middot middot 1) danslrsquoespace des individus Les autres vecteurs propres luisont orthogonaux et donc de moyenne nulleAutres valeurs propres si n gt
sumpi=1 mi le rang de X estsump
i=1 mi minus p + 1 et le nombre de valeurs propres nontrivialement eacutegales agrave 0 ou 1 est q =
sumpi=1 mi minus p
Somme la somme des valeurs propres non triviales estdonc
qsumk=1
microk = Trace(1p
Dminus1B)minus 1 =1p
psumi=1
mi minus 1 =qp
La moyenne des q valeurs propres vaut 1p
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4554
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4654
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Barycentres et repreacutesentation
Repreacutesentation commune Les points repreacutesentatifs descateacutegories sont barycentres des groupes drsquoindividus Onpeut donc repreacutesenter individus et cateacutegories dans unmecircme plan factorielMoyennes Comme z est une variable de moyenne nullela formule de barycentre indique que pour chaquevariable Xi les coordonneacutees de ses cateacutegories (pondeacutereacutespar les effectifs) sont de moyenne nulle Aucun centragenrsquoest donc neacutecessaireEchelle pour que les cateacutegories se trouvent visuellementau barycentre des individus qui les repreacutesentent on peutremplacer a par
a = Dminus1X tz =radicmicroa
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4854
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Variables et axes factoriels
Si nj est lrsquoeffectif de la cateacutegorie j et aj sa coordonneacutee surlrsquoaxe factoriel associeacute micro alors
1np
sumjisincateacutegorie
nj(aj)2 = micro
Cateacutegorie la contribution de la cateacutegorie j agrave lrsquoaxe factorielest
1micro
nj
np(aj)
2
inteacuteressante si elle est supeacuterieure au poids njnpVariable la contribution totale de la variable Xi agrave lrsquoaxefactoriel est
1micro
1np
sumj modaliteacute deXi
nj(aj)2
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Individus et axes factoriels
La normalisation de z estsumn
i=1(zi)2 = nmicro ougrave zi est la
cordonneacutees de lrsquoindividu i sur lrsquoaxe factoriel associeacute agrave lavaleur propre microContribution drsquoun individu elle est eacutegale pour lrsquoindividu iagrave
1nmicro
(zi)2
Cette contribution est jugeacutee en la comparant au poids 1nQualiteacute de la repreacutesentation pour le sous-espace formeacutepar les l premiers axes crsquoest le cosinus carreacute habituelsuml
k=1(z(k)i )2sumq
k=1(z(k)i )2
ougrave lrsquoexposant (k) correspond aux diffeacuterents axes factorielsPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4754
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Formulesbarycentriques
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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Le nombre devaleurs propres
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale
Soit xj = (x jj ) le vecteur colonne de X correspondant agrave
une cateacutegorie j On rappelle que lrsquoinertie totale vaut
sumjisincateacutegorie
nj
npd2(j g) =
1p
psumi=1
mi minus 1
La distance du profil-colonne j au centre de graviteacute desprofils-colonnes g=1n est
d2(j g) =nsum
i=1
npp(x j
injminus 1
n)2 = n
nsumi=1
(x j
i
n2j+
1n2 minus
2x ji
nnj)
=nnjminus 1
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
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Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
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Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5254
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Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
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Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
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Individus et axesfactoriels
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Contribution agrave lrsquoinertie totale (suite et fin)
Contribution drsquoune cateacutegorie la contribution absolue dela cateacutegorie agrave lrsquoinertie est
nj
npd2(j g) =
1p(1minus
nj
n)
qui est une fonction deacutecroissante de lrsquoeffectif Il faut donteacuteviter les cateacutegories drsquoeffectif trop faible qui drsquoailleurs seretrouveront dans les premiers axesContribution drsquoune variable la contribution de la variableXi est sum
j modaliteacute deXi
1p(1minus
nj
n) =
mi minus 1p
Elle est drsquoautant plus grande que le nombre de modaliteacuteest eacuteleveacute Il faut donc eacuteviter les dispariteacutes trop grandesentre les modaliteacutes (quand on a le choix du deacutecoupage)Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 4954
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Caractegraveresignificatif duX 2
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La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Deacutecompositionde lrsquoinertie
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Le nombre devaleurs propres
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
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Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Cas p=2
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Les variables suppleacutementaires
Leur usage est tregraves courant en analyse descorrespondances multiplesVariables qualitatives on les place directement sur laprojection sur un plan factoriel en utilisant la formule debarycentre des individus si on veut placer une variablesuppleacutementaire de tableau disjonctif Xsup et drsquoeffectifsmarginaux Dsup on calcule les coordonneacutees de sesmodaliteacutes sur un axe principal par
asup =1radicmicro
Dminus1supX primesupz
Variables quantitatives on calcule agrave la main leurcorreacutelation avec les axes factoriels et on les place sur uncercle de correacutelations On peut aussi les deacutecouper enclasses et les traiter comme des variables qualitativesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5054
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Variablesqualitatives
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
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ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
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Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
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Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Points communs entre AFC et ACM
Pr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5454
Introduction
Variablesqualitatives
Tableau decontingence
Marges et profils
Proprieacuteteacutes desprofils
Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
Analyse des cor-respondancesde deuxvariables lesdonneacutees
Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
Calcul de lrsquoACP
Comparaisonlignes-colonnes
Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
Formules detransition
Deacutecompositionde lrsquoinertie
Analyse des cor-respondancesmultiples
Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
Reacutesolution deseacutequations
Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
Exemple detableau de Burt
Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
Formulesbarycentriques
Formulesbarycentriques
Proprieacuteteacutes desvaleurs propres
Barycentres etrepreacutesentation
Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
Contribution agravelrsquoinertie totale
Les variablessuppleacutementaires
Valeurs-testpour lesvariablessuppleacutementaires
Pratique delrsquoanalyse descorrespon-dancesmultiples
Points communsentre AFC etACM
Diffeacuterencesentre AFC etACM
Valeurs-test pour les variablessuppleacutementairesBut on cherche agrave savoir si une variable suppleacutementaireest lieacutee agrave un axe donneacuteIdeacutee du calcul si les ni individus drsquoune cateacutegorie eacutetaientpris au hasard la moyenne de leurs coordonneacutees seraitune variable aleacuteatoire centreacutee (les z sont de moyennenulle) et de variance micro
nj
nminusnjnminus1 De plus la moyenne des
coordonneacutees est eacutegale agrave microaj Valeur-test crsquoest la version centreacutee et reacuteduite de lamoyenne des coordonneacutees
ajradic
nj
radicn minus 1n minus nj
Quand nj est assez grand elle est significative si elle estsupeacuterieure agrave 2 ou 3 On ne doit pas lrsquoutiliser sur lesvariables activesPr Ousmane THIARE Analyse Factorielle des Correspondances (AFC) 16 avril 2020 5154
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Le X 2 drsquoeacutecart agravelrsquoindeacutependance
Caractegraveresignificatif duX 2
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Repreacutesentationgeacuteomeacutetrique desprofils
Commenteacutetudier cesdonneacutees
La meacutetrique duX
Pourquoi lameacutetrique duX 2
Autresproprieacuteteacutes de lameacutetrique du duX 2
ACP des deuxnuages deprofils
g est un facteurprincipal
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Interpreacutetationdes reacutesultats
Contributions agravelrsquoinertie
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Les donneacutees
Tableaudisjonctif ettableau decontingence
Tableaudisjonctif joint
Cas p=2
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Le nombre devaleurs propres
Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Variables et axesfactoriels
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Les variablessuppleacutementaires
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Diffeacuterencesentre AFC etACM
Pratique de lrsquoanalyse des correspondancesmultiples
Seacutelection des variables on deacutecide souvent de ne garderqursquoun nombre reacuteduit de variables actives et de garder lesautres comme variables suppleacutementairesSeacutelection des axes
regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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g est un facteurprincipal
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regravegle courante garder les axes tels que micro gt 1p (lamoyenne des valeurs propres est 1p )les axes inteacuteressants sont ceux que lrsquoon peut interpreacuteteren regardant les contributions des variables actives etles valeurs-tests associeacutees aux variablessuppleacutementairesen pratique on se contente souvent drsquointerpreacuteter lepremier plan principal
Inertie expliqueacutee elle est moins inteacuteressante qursquoen ACP
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g est un facteurprincipal
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Contributions agravelrsquoinertie
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Le cas geacuteneacuteralp gt 2
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Lescoordonneacuteesfactorielles descateacutegories
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Variables et axesfactoriels
Individus et axesfactoriels
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