D epartement dElectricit e, Electronique et
Informatique(Institut Monteore)Notes du cours ELEC 0029ANALYSE ET
FONCTIONNEMENTDES SYSTEMES DENERGIE ELECTRIQUEThierry VAN
CUTSEMdirecteur de recherches FNRSprofesseur adjoint ULgjanvier
2012Table des mati` eres1 Puissances en r egime sinusodal 51.1
Conventions de signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 51.2 Puissance traversant dans une coupe . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 R egime sinusodal:
phaseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4
Puissances instantan ee, active, r eactive, uctuante et apparente .
. . . . . . . . 81.5 Puissance complexe . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.6 Expressions relatives aux
dip oles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7
Facteur de puissance et compensation des charges . . . . . . . . .
. . . . . . . 132 Syst` emes triphas es equilibr es 152.1 Principe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 152.2 Tensions de ligne (ou compos ees) . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 182.3 Connexions en etoile et en
triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4
Analyse par phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 202.5 Puissances en r egime triphas e . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Production dun champ
tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
Quelques propri et es du transport de l energie electrique 303.1
Transit de puissance et chute de tension dans une liaison . . . . .
. . . . . . . 303.2 Caract eristique QV ` a un jeu de barres dun r
eseau. . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Puissance de
court-circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 3514 La ligne de transport 374.1 Param` etres lin eiques dune
ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2
Caract eristiques des c ables . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 474.3 La ligne en tant que composant distribu e.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.4 Quelques propri et es
li ees ` a limp edance caract eristique . . . . . . . . . . . . .
514.5 Sch ema equivalent dune ligne . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 524.6 Limite thermique dune ligne. . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535 Le syst` eme per unit
565.1 Passage en per unit dun circuit electrique . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 575.2 Passage en per unit de deux circuits
magn etiquement coupl es. . . . . . . . . . 585.3 Passage en per
unit dun syst` eme triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 595.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 616 Le transformateur de puissance 626.1
Transformateur monophas e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 626.2 Transformateur triphas e . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.3 Valeurs nominales,
syst` eme per unit et ordres de grandeur . . . . . . . . . . . .
776.4 Autotransformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 796.5 Ajustement du nombre de spires dun
transformateur . . . . . . . . . . . . . . 816.6 Transformateur ` a
trois enroulements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
836.7 Transformateur d ephaseur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 857 Le calcul de r epartition de charge (ou
load ow) 877.1 Les equations de load ow . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 877.2 Sp ecication des donn ees du load
ow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897.3 Un exemple
simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 937.4 Prise en compte de contraintes de fonctionnement . . . .
. . . . . . . . . . . . 9527.5 R esolution num erique des equations
de load ow . . . . . . . . . . . . . . . . 967.6 D ecouplage
electrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1017.7 Lapproximation du courant continu (ou DC load ow) . . .
. . . . . . . . . . 1027.8 Analyse de sensibilit e . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1048 La machine
synchrone 1098.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1098.2 Les deux types de machines
synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1118.3 Mod
elisation au moyen de circuits magn etiquement coupl es . . . . . .
. . . . 1138.4 Transformation et equations de Park . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 1178.5 Energie, puissance et couple .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.6 La
machine synchrone en r egime etabli . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1238.7 Valeurs nominales, syst` eme per unit et ordres de
grandeur . . . . . . . . . . . . 1308.8 Courbes de capacit e . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329
Comportement des charges 1359.1 Comportement du moteur asynchrone
en tant que charge . . . . . . . . . . . . 1359.2 Mod` eles simples
des variations des charges avec la tension et la fr equence . . .
14110 R egulation de la fr equence 14910.1 R egulateur de vitesse .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2
R egulation primaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 15310.3 R egulation secondaire . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511 R egulation de la
tension 16411.1 Contr ole de la tension par condensateur ou
inductance shunt . . . . . . . . . . 16511.2 R egulation de tension
des machines synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . 16611.3
Compensateurs synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 174311.4 Compensateurs statiques de puissance r
eactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17511.5 R egulation de
tension par les r egleurs en charge . . . . . . . . . . . . . . . .
. 18312 Analyse des d efauts equilibr es 18712.1 Ph enom` enes li
es aux d efauts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 18712.2 Comportement de la machine synchrone pendant un
court-circuit . . . . . . . . 19012.3 Calcul des courants de
court-circuit triphas e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20013
Analyse des syst` emes et r egimes triphas es d es equilibr es
2064Chapitre 1Puissances en r egime sinusodalDans ce chapitre nous
rappelons quelques d enitions et relations fondamentales,
essentiellespour lanalyse des syst` emes electriques de puissance.
Laccent est mis sur les notions de puis-sance en r egime
sinusodal.1.1 Conventions de signeConsid erons le dip ole repr
esent e ` a la gure 1.1, avec ses deux bornes dextr emit
e.v(t)convention moteur convention g en erateur11
11i(t)v(t)i(t)Figure 1.1: dip ole: conventions dorientation du
courant par rapport ` a la tensionLa tension v(t) aux bornes du dip
ole est la diff erence entre le potentiel de la borne rep er ee
parlextr emit e de la ` eche et le potentiel de la borne rep er ee
par son origine.Deux conventions sont possibles en ce qui concerne
lorientation du courant i(t) par rapport ` ala tension v (cf gure
1.1):la conventionmoteur correspond auxsensconventionnels de la Th
eorie des Circuits1.1pri` ere de se reporter aux notes du cours
ELEC0535Le courant est compt e comme positif silentre dans le dip
ole par la borne correspon-dant ` alextr emit edela` echerep erant
latension. Danscecas, leproduit p(t) =v(t) i(t) repr esente la
puissance instantan ee absorb ee par le dip ole. Une valeur
positive(resp. n egative) indique donc que le dip ole consomme
(resp. fournit) de la puissance ` alinstant t;la convention g en
erateur correspond aux sens non conventionnels de la Th eorie des
Cir-cuits. Le courant est consid er e comme positif sil sort du dip
ole par la borne correspon-dant ` a lextr emit e de la ` eche rep
erant la tension. Le produit p(t) = v(t) i(t) repr esentela
puissance instantan eeg en er ee par le dip ole. Une valeur
positive (resp. n egative) in-dique donc que le dip ole produit
(resp. consomme) de la puissance ` a linstant t.1.2 Puissance
traversant dans une coupeLexpression de la puissance instantan ee
consomm ee (ou produite) par un dip ole se g en eraliseais ement `
a une coupe.Consid erons un circuit compos e de deux circuits A et
B reli es par n+1 conducteurs, traversantune coupe , comme repr
esent e ` a la gure 1.2. Soit vi la diff erence de potentiel entre
le i-` emeconducteur (i = 1, . . . , n) et le (n + 1)-` eme, pris
arbitrairement comme r ef erence.A la gure 1.2, les courants dans
les n premiers conducteurs sont orient es selon la conventionmoteur
(resp. g en erateur) vis-` a-vis du circuit B (resp. A) et le
courant dans le (n + 1)-` emeconducteur est orient e en sens
inverse. En vertu de la premi` ere loi de Kirchhoff, ce
courantvaut:in+1=n
j=1ijAvec cette convention de signe, lexpression:p(t) =n
j=1vjij(1.1)repr esente la puissance instantan ee traversant la
coupe de A vers B, cest-` a-dire la puissanceabsorb ee par B, ou
encore la puissance produite par A.Consid erer une autre r ef
erence pour les diff erences de potentiel et montrer que
lexpression correspon-dante de la puissance est identique ` a
(1.1)6BAin+1i1vjijFigure 1.2: puissance traversant une coupe1.3 R
egime sinusodal:phaseursEn r egime sinusodal, toute tension se pr
esente sous la forme:v(t) =2 V cos(t + ) (1.2)o` u2Vest lamplitude
(ou valeur de cr ete) de la tension, Vsa valeur efcace2et la
pulsa-tion, reli ee ` a la fr equence f et la p eriode T par:=
2f=2T(1.3)De m eme, tout courant se pr esente sous la forme:i(t) =2
I cos(t + ) (1.4)D enissons les grandeurs complexes suivantes:V =
Vej(1.5)I = Iej(1.6)o` u les lettres surlign ees d esignent des
nombres complexes, an de les diff erencier des nombresr eels.Vest
lephaseur relatif ` a la tensionv(t) tandis queIest lephaseur
relatif au couranti(t).On a evidemment:v(t) =2 re_Vej(t+)_ =2
re_Vejt_(1.7)i(t) =2 re_Iej(t+)_ =2 re_Iejt_(1.8)2la pratique a
consacr e lusage des valeurs efcaces pour caract eriser les
grandeurs sinusodales: lorsque londonne la valeur dune tension
alternative, il sagit, sauf mention contraire, de la valeur efcace.
Rappelons queVest la valeur de la tension continue qui, appliqu ee
` a une r esistance, y dissipe la m eme puissance que la
tensionsinusodale (1.2) en moyenne7Dans le plan complexe, aux
nombresVejtetIejt, on peut associer des vecteurs tournants.Chaque
vecteur part de lorigine 0 + j0 et aboutit au nombre complexe en
question. Chaquegrandeur sinusodale est, au facteur2 pr` es, la
projection sur laxe r eel du vecteur
tournantcorrespondant.Usuellement, pour repr esenter ces vecteurs
tournants, on consid` ere leur position en t=0. Acet instant, le
vecteur tournant repr esentant la tension nest rien dautre que le
phaseurVetcelui repr esentant le courant est le phaseurI.Une repr
esentation graphique des phaseurs est donn ee` a la gure 1.3 (dont
une partie serautilis ee dans un d eveloppement ult erieur). On d
esigne ce type de sch ema sous le terme dediagramme de phaseur.IQIP
IVFigure 1.3: diagramme de phaseur1.4 Puissances instantan ee,
active, r eactive, uctuante et ap-parenteConsid erons un dip ole
soumis ` a une tensionVet parcouru par un courantI.Projetons le
vecteurI sur laxe d eni par le vecteurVet de m eme orientation que
ce dernier(cf gure 1.3). SoitIP le vecteur projet e ainsi obtenu.
On peut ecrire:IP= IPej(1.9)o` u IP est un nombre r eel, positif si
le vecteurIP est de m eme sens queVet n egatif dans le
cascontraire. IP est appel e courant actif. On a:IP= I cos( )
(1.10)8Projetons ` a pr esent le vecteurIsur un axe perpendiculaire
au vecteurVetenretard sur cedernier (cf gure 1.3). SoitIQ le
vecteur projet e ainsi obtenu. On peut ecrire:IQ= IQej(2)(1.11)o` u
IQ est un nombre r eel, positif siIQ est en retard surVet n egatif
dans le cas contraire. IQest appel e courant r eactif. On a:IQ= I
sin( ) (1.12)Exprimons i(t) en fonction des courants actif et r
eactif. On a successivement:i(t) =2 re_Iejt_ =2 re_IPejt+IQejt_ =2
re_IPej(t+)+ IQej(t+2)_=2IP cos(t + ) +2IQ sin(t + ) (1.13)En
utilisant lexpression (1.2) de la tension et lexpression (1.13) du
courant, la puissanceinstantan ee vaut:p(t) = v(t) i(t) = 2V
IPcos2(t + ) + 2V IQcos(t + ) sin(t + )= V IP[1 + cos 2(t + )] + V
IQsin 2(t + ) (1.14)On en d eduit les propri et es importantes
suivantes:la puissance instantan ee est la somme de deux
composantes, lune relative au courantactif, lautre au courant r
eactifla composante relative au courant actif se pr esente elle-m
eme sous forme dune sommedun terme constant et dun terme
oscillatoire de pulsation 2, changeant donc de signequatre fois par
p eriode. Toutefois, la somme de ces deux termes ne change jamais
designe et correspond donc ` a une puissance allant toujours dans
le m eme sensla composante relative au courant r eactif ne comporte
quun terme oscillatoire de pulsa-tion 2sur une p eriode, les
composantes oscillatoires ont une moyenne nulle. La valeur
moyennede la puissance p(t) est donc la constante pr esente dans la
composante relative au courantactif. Cette valeur, not ee P, est
appel ee puissance active. On a donc:P= VIP(1.15)et en utilisant
(1.10):P= VI cos( ) (1.16)lamplitude de la composante relative au
courant r eactif, not ee Q, est appel ee puissancer eactive. On a
donc:Q = VIQ(1.17)et en utilisant (1.12):Q = VI sin( )
(1.18)9onsait quedansuncircuit RLC, led ephasageducourant
parrapport ` alatension,cest-` a-dire lexistence du courant r
eactif IQ, est d u aux el ements L et C. La puissanceV IQsin 2(t +
) se rapporte donc ` a l energie magn etique Wm=12Li2emmagasin
eedans les bobines et ` a l energie electrostatique
We=12Cv2emmagasin ee dans les con-densateurs. Cette energie est
toujours positive ( el ements passifs !) mais elle passe parun
maximum puis sannulle deux fois par p eriode. La puissance, d eriv
ee temporelle del energie, change de signe au m eme rythmela somme
des termes oscillatoires, not ee pf(t), est appel ee puissance
uctuante. On a:pf(t) = V I cos() cos 2(t+)+V I sin() sin2(t+) = V I
cos(2t++)(1.19)r esultat que lon obtient plus directement en
multipliant (1.2) par (1.4). Etant de moyennenulle, la puissance
uctuante ne correspond ` a aucun travail utile. La puissance active
estla seule composante utile.le produit:S= V Iest appel
epuissanceapparente. On voit que puissances apparente et active
concidentquand il ny a pas de d ephasage entre la tension et le
courant, cest-` a-dire pas de courantr eactif.Les grandeurs p(t),
pf(t), P, Q et S ont toutes la dimension dune puissance et
devraient doncsexprimer en watts. Cependant, etant donn e la nature
tr` es diff erente de ces grandeurs, onutilise des unit es s epar
ees:p(t), pf(t) et P sexpriment en watts, dont le symbole est W .
Dans le cadre des r eseauxd energie electrique, il est plus
confortable dexprimer les grandeurs en kilowatts (kW)et en m
egawatts (MW)Q sexprime en vars (abr eviation pour volt amp` ere r
eactif), dont le symbole est VAr, Varou var (nous retiendrons ce
dernier). En pratique, on utilise plut ot le kvar et le MvarS
sexprime en volt.amp` eres (VA). En pratique, on utilise plut ot le
kVA et le MVA.1. En partant de lexpression de l energie magn etique
emmagasin ee dans une bobine, retrouver celle, etablie plus haut,
de la puissance instantan ee absorb ee.2. D emontrer que la
puissance r eactiveQ consomm ee par une bobine est reli ee` a l
energie moyenne< Wm> quelle emmagasine sur une p eriode par
la relation:Q = 2< Wm>3. En partant de lexpression de l
energie electrostatique emmagasin ee dans un condensateur,
retrouvercelle, etablie plus haut, de la puissance instantan ee
absorb ee.104. D emontrer que la puissance r eactive Q produite par
un condensateur est reli ee ` a l energie moyenne< We> quil
emmagasine sur une p eriode par la relation:Q = 2< We>1.5
Puissance complexeLa puissance complexe est d enie par:S=VI(1.20)o`
ud esigne le conjugu e dun nombre complexe. En remplacantVpar (1.5)
etI par (1.6) ontrouve:S= V ejIej= V Iej()= V I cos( ) + jV I sin(
) = P+ jQLa partie r eelle de la puissance complexe est donc la
puissance active tandis que sa partieimaginaire est la puissance r
eactive. Le module de la puissance complexe vaut quant ` a
lui:S=_P2+ Q2= V I (1.21)cest-` a-dire la puissance apparente.Lint
er et de la puissance complexe r eside dans le fait quePetQ se
calculent souvent plusais ement en passant parS.Lorsque lon
travaille avec la puissance complexe, on est souvent amen e ` a
utiliser leth eor` emedeconservation dela puissancecomplexe3: dans
un circuit aliment epar des sources sinusodales fonctionnant toutes
` a la m eme fr equence, la sommedes puissances complexes entrant
dans toute partie du circuit est egale ` a la sommedes puissances
complexes recues par les branches de cette partie du
circuit.Appliqu e ` a la gure 1.4, par exemple, ce th eor` eme
fournit:S1 +S2 +S3=
iSbio` u le membre de droite repr esente la somme des puissances
complexes recues par toutes lesbranches du circuit C. En d
ecomposant en parties r eelles et imaginaires, on obtient les
bilansde puissance active et r eactive:P1 + P2 + P3=
iPbiQ1 + Q2 + Q3=
iQbi11I1V2I2I3V3V1S2=V2I2S3=V3I3S1=V1I1CFigure 1.4: illustration
du th eor` eme de la conservation de la puissance complexeLe bilan
de puissance est une notion naturelle en ce qui concerne la
puissance instantan ee: iltraduit le principe de conservation de l
energie, dont la puissance est la d eriv ee temporelle. Ilest
presque aussi naturel de constater quil sapplique` a la puissance
active, qui repr esentela valeur moyenne de lapuissance instantan
ee. Maisle faitleplus remarquableestquilsapplique egalement ` a la
puissance r eactive, pour laquelle on va donc pouvoir parler de
pro-ductions, de consommations et de pertes, au m eme titre que
pour la puissance active.1.6 Expressions relatives aux dip olesLa
table 1.1 donne les relations entre tension, courant et puissances
pour un dip ole tandis que latable 1.2 donne les expressions des
puissances actives et r eactives consomm es par les dip oles el
ementaires. Dans les deux cas, on a consid er e la convention
moteur.On notera quune inductanceconsomme de la puissance r
eactive, tandis quune capacit e enproduit.Table 1.1: tension,
courant et puissances dans un dip ole (convention moteur)V=ZI= (R +
jX)II=YV= (G+ jB)VZ : imp edanceY: admittanceR : r esistance G :
conductanceX : r eactance B : susceptanceS=ZI2S=YV2P= RI2P= GV2Q =
XI2Q = BV23la d emonstration sappuie sur le th eor` eme de
Tellegen. On la trouve dans de nombreux trait es de Th eorie
descircuits12Table 1.2: puissances absorb ees par les dip oles el
ementaires (convention moteur)r esistance R inductance L capacit e
C 0 /2 /2P RI2=V2R0 0Q 0 LI2=V2LI2C= CV21.7 Facteur de puissance et
compensation des chargesConsid erons une charge aliment ee par une
source de tension (cf gure 1.5.a). Rappelons quela puissance active
P correspond ` a la puissance utile consomm ee par la charge.+Vb
aCchargeLRIFigure 1.5: compensation dune charge pour am elioration
de son facteur de puissanceDe (1.16) on tire lexpression du courant
parcourant le circuit:I=PV cos( )Cette relation montre que, pour
une m eme puissance utile Pet sous une tension Vconstante,le
courant augmente dautant plus que cos( ) est faible.On d esigne
cos( ) sous le vocable defacteurdepuissance. Le facteur de
puissance estdautant plus faible que le courant est fortement d
ephas e par rapport ` a la tension. Dans le casdune charge r
esistive, le facteur de puissance est egal ` a lunit e.On a
dailleurs ` a partir de (1.21):I=P2+ Q2Vqui montre que pour une m
eme puissance utile Pet sous une tension Vconstante, le
courantaugmente avec la puissance r eactive, consomm ee ou produite
par la charge.13Laugmentation du courant I requiert dutiliser des
sections de conducteurs plus importantes,do` u un investissement
plus important. Elle entrane egalement des pertes RI2par effet
Jouleplus elev ees dans les r esistances des conducteurs travers es
par le courant, do` u un co ut defonctionnement plus elev e.Nous
verrons ult erieurement que la consommation de puissance r eactive
entrane egalementune chute des tensions, susceptible de g ener le
bon fonctionnement de la charge.La plupart des charges etant
inductives (` a cause de la pr esence de circuits magn etiques),
doncconsommatrices de puissance r eactive, il y a int er et ` a
compenser ces derni` eres, cest-` a-dire ` aproduire de la
puissance r eactive de sorte que lensemble pr esente un facteur de
puissance aussiproche que possible de lunit e. Le moyen le plus
simple consiste ` a brancher des condensateursen parall` ele sur la
charge.Consid erons ` a titre dexemple le cas dune charge RL, comme
repr esent e ` a la gure 1.5.b. Lefacteur de puissance vaut:cos( )
=PP2+ Q2=RI2R2I4+ 2L2I4=RR2+ 2L2Pour avoir une compensation id
eale, il faut que la puissance r eactive Qc produite par le
con-densateur egale la puissance r eactive Q consomm ee par la
charge, soit:Qc= Q CV2=L V2R2+ 2L2 C =LR2+ 2L2Notons que si la
charge varie au cours du temps, il est n ecessaire dadapter le
volume de com-pensation de mani` ere ` a conserver un facteur de
puissance aussi proche que possible de lunit e.Ceci peut etre r
ealis e en disposant plusieurs condensateurs en parall` ele et en
enclenchant lenombre ad equat.Pour des charges variant tr` es
rapidement, il peut devenir difcile de d eclencher/enclencher
lescondensateurs au moyen de disjoncteurs, condamn es ` a une usure
pr ematur ee. On peut alorsfaire appel ` a l electronique de
puissance.Notons enn quune surcompensation conduit ` a une
augmentation du courant au m eme titrequune absence de
compensation.14Chapitre 2Syst` emes triphas es equilibr esSi lon
excepte la pr esence de liaisons haute tension` a courant continu,
la quasi-totalit e dutransport et de la distribution d energie
electrique est r ealis ee au moyen de syst` emes triphas es.Comme
on le rappelle dans ce chapitre, les avantages principaux de ce
syst` eme sont l economiede conducteurs et la possibilit e de g en
erer des champs magn etiques tournants dans les g en erateurset
dans les moteurs.Dans ce chapitre, nous rappelons le principe de
fonctionnement dun tel syst` eme, en r egime equilibr e, ainsi que
les grandeurs et les relations qui le caract erisent.2.1 PrincipeUn
circuit triphas e equilibr e est constitu e de trois circuits
identiques, appel es phases. Le r egimetriphas e equilibr e est tel
que les tensions et les courants aux points des trois phases qui
secorrespondent sont de m eme amplitude mais d ecal es dans le
temps dun tiers de p eriode dunephase ` a lautre.La gure 2.1 donne
un exemple de syst` eme triphas e qui pourrait repr esenter un g en
erateuralimentant une charge par linterm ediaire dune ligne de
transport que nous supposerons id eale,pour simplier. On a pour les
tensions indiqu ees sur cette gure:va(t) =2Vcos(t + )vb(t)
=2Vcos((t T3 ) + ) =2Vcos(t + 23)vc(t) =2Vcos((t 2T3) + ) =2Vcos(t
+ 43)et pour les courants:ia(t) =2I cos(t + ) (2.1)15ib(t) =2I
cos((t T3 ) + ) =2I cos(t + 23) (2.2)ic(t) =2I cos((t 2T3) + ) =2I
cos(t + 43) (2.3)relations dans lesquelles on a tenu compte de
(1.3).+++2phase cphase bphase aicibvbvcvaia12313Figure 2.1: circuit
triphas e constitu e de trois circuits monophas esLes diagrammes de
phaseur relatifs aux tensions et aux courants se pr esentent sous
formed etoiles aux branches de m eme amplitude et d ephas ees lune
par rapport ` a lautre de2/3radians (120 degr es), comme repr esent
e ` a la gure 2.2. On a donc pour les tensions:Va= V ejVb= V
ej(23)=Vaej23Vc= V ej(43)=Vaej43=Vbej23et pour les courants:Ia=
IejIb= Iej(23)=Iaej23Ic= Iej(43)=Iaej43=Ibej23Il est clair que:Va
+Vb +Vc= 0 (2.4)Ia +Ib +Ic= 0 (2.5)Nous avons suppos e que londe de
tension de la phase b est en retard sur celle de la phase aet celle
de la phase c en retard sur celle de la phase b. Dans le diagramme
de la gure 2.2, un16IcOVaIaVbIbVcFigure 2.2: diagramme de phaseur
des tensions et courants en r egime triphas e equilibr eobservateur
plac e en O voit passer les vecteurs tournants dans lordrea,b,c. On
dit que lestensionsVa,Vb, Vc forment une s equence directe.En fait,
la conguration de la gure 2.1 pr esente peu dint er et. On peut
obtenir un montage plusint eressant en regroupant les conducteurs
de retour 11, 22 et 33 en un conducteur unique.Ce dernier est
parcouru par le courant totalIa +Ib +Ic=0. On peut donc supprimer
cetteconnexion sans modier le fonctionnement du syst` eme, ce qui
donne le circuit de la gure 2.3,typique des r eseaux de transport `
a haute tension.+++phase cN Nphase aphase bFigure 2.3: un
authentique circuit triphas e !Lavantage du syst` eme triphas e de
la gure 2.3 par rapport ` a un syst` eme monophas e est evident:la
puissance transmise par le syst` eme triphas e ` a travers la coupe
vaut 3 fois celle transmisepar une de ses phases, pour seulement
1,5 fois le nombre de conducteurs. De facon equivalente,le syst`
eme triphas e de la gure 2.3 transporte autant de puissance que
celui de la gure 2.1 maisavec moiti e moins de conducteurs.17Les
points tels que N et N sont appel esneutres. En r egime
parfaitement equilibr e, tous lesneutres sont au m eme
potentiel.Les tensionsVa,Vb ouVc sont appel ees tensions de phase
ou tensions phase-neutre.2.2 Tensions de ligne (ou compos ees)D
enissons ` a pr esent les diff
erences:Uab=VaVb(2.6)Ubc=VbVc(2.7)Uca=VcVa(2.8)Ces tensions sont
appel ees tensions compos ees ou tensions entre phases ou tensions
de ligne.Le diagramme de phaseur correspondant, repr esent e ` a la
gure 2.4, fournit:Uab=3Vaej6=3 Vej(+6)(2.9)Ubc=3Vbej6=3
Vej(+623)(2.10)Uca=3Vcej6=3 Vej(+643)(2.11)VcUbcVbUabVaUcaFigure
2.4: tensions de phase et tensions de ligneOn voit que lamplitude
de la tension de ligne vaut3 fois celle de la tension de phase et
queUab,Ubc etUca forment aussi une s equence directe.Il est ` a
noter quen pratique, quand on sp ecie la tension dun equipement
triphas e, il sagit,sauf mention contraire, de
lavaleurefcacedelatensiondeligne. Cest le cas lorsque lonparle, par
exemple, dun r eseau ` a 380, 150, 70, etc. . . kV.182.3 Connexions
en etoile et en triangleIl existe deux modes de connexion dun
equipement triphas e: en etoile ou en triangle, commerepr esent e `
a la gure 2.5.ab ccbaIabIacIaZYZYZYIbIc IbIcZZZIaFigure 2.5:
connexion dune charge triphas ee en etoile et en
triangleRecherchons la relation entre les courantsIab etIa dans le
montage en triangle. On a succes-sivement:Ia=Iab+ Iac=Uab
+UacZ=UabUcaZ=UabUabej43Z=UabZ(1ej43) =3 ej6 Iabdont on tire
evidemment :Iab=13ej6Ia(2.12)Le cours de Circuits electriques (et
plus pr ecis ement la m ethode par transguration) a montr eque, si
lon applique les m emes tensions de phaseVa,Vb etVc aux deux
montages, les courantsde phaseIa,Ib etIc sont identiques ` a
condition que :Z= 3ZY(2.13)Etablir cette relation en exprimant que
les deux montages consomment la m eme puissance complexe.Une charge
aliment ee sous tension monophas ee doit donc etre plac ee dans une
branche d etoileou de triangle, selon la valeur de la tension en
question.Les distributeurs d electricit e veillent ` a connecter
les diff erentes charges monophas ees de ma-ni` ere` a equilibrer
les trois phases. Cestpourquoi il est raisonnable de consid erer
que lescharges vues du r eseau de transport sont equilibr ees.19Au
niveau dune habitation aliment ee en triphas e (380 V entre
phases), les equipements mono-phas es fonctionnant sous 220 V sont
plac es entre phase et neutre. On veille` a r epartir les
equipements (p.ex. les pi` eces dhabitation) sur les phases de la
mani` ere la plus equilibr eepossible. Evidemment,
auniveaudunehabitation, il existeund es equilibre. Lesc
ablesdalimentation sont dot es dun conducteur de neutre et ce
dernier est parcouru par un cer-tain courant. Les neutres des diff
erents consommateurs sont regroup es. Au fur et ` a mesure dece
groupement, le courant total de neutre devient n egligeable devant
les courants de phases.Notons que le c able dalimentation peut etre
dot e dun cinqui` eme conducteur, destin e ` a mettreles
equipements ` a la terre.Certaines charges, aliment ees sous une
tension sinusodale, produisent des harmoniques decourant. Ces
derniers ont des effets ind esirables telles que pertes suppl
ementaires, vibrationsdans les machines, perturbations des
equipements electroniques, etc. . . . Il convient donc deprendre
des mesures pour limiter leur propagation dans le r eseau. Etant
donn e que dans unspectre de Fourier, l energie contenue dans une
harmonique diminue quand le rang de cetteharmonique (cest-` a-dire
la fr equence) augmente, ce sont principalement les harmoniques
derang le plus bas quil faut supprimer (ou du moins att enuer).La
connexion des charges en triangle permet la suppression de
certaines harmoniques. A titredexemple, le lecteur est invit e ` a
r esoudre lexercice qui suit.Consid erant une charge mont ee en
triangle, avec dans chacune des branches un courant i(t):p
eriodique, de p eriode 1/fimpair:i(t) = i(t)pr esentant, ` a lint
erieur de chaque demi-p eriode, une sym etrie caract eris ee
par:i(T2 t) = i(t)montrer que les courants de ligne ne comportent
pas dharmonique pair et aucun harmonique de pulsa-tion inf erieure
` a 5.2.4 Analyse par phaseLa sym etrie qui existe entre les diff
erentes phases permet de simplier lanalyse dun syst` emetriphas e
equilibr e. Il suft en effet de d eterminer tensions et courants
dans une phase, pourobtenir automatiquement les tensions et
courants dans les autres phases, par simple d ephasagede 2/3
radians.Pour pouvoir d eterminer l etat electrique dune phase en se
passant des deux autres, deuxop erations sont toutefois n
ecessaires:20remplacer les charges connect ees en triangle par leur
sch ema equivalent en etoile, enutilisant simplement la relation
(2.13);saffranchir des couplages inductifs et capacitifs entre
phases. Cette op eration simple estd etaill ee dans les deux
sous-sections qui suivent.2.4.1 Traitement des couplages inductifs
entre phasesConsid erons le circuit triphas e de la gure 2.6, dans
lequel chaque phase poss` ede une r esistance,une self-inductance
et un couplage inductif avec les autres
phases.RVaVbVcMMVbIcIbVcMVaLLLIaRRFigure 2.6: couplage inductif
entre phasesLes tensions dextr emit e sont li ees aux courants
par:__VaVbVc__ =__VaVbVc__
+__ZsZmZmZmZsZmZmZmZs____IaIbIc__relation dans laquelle on a suppos
e (id ealement) un parfait equilibre entre les phases (m emeterme
diagonal dans chaque phase et m eme terme non-diagonal quelle que
soit la paire dephases consid er ee).La premi` ere composante de
cette relation matricielle donne:Va=Va+ZsIa +ZmIb +ZmIcet en tenant
compte du fait que le r egime est equilibr e :Va=Va+_Zs +Zm(ej23+
ej43)_ Ia=Va+_ZsZm_ Ia21Tout se passe donc comme si la phase a
etait seule mais pr esentait une imp edance:Zeq=ZsZm(2.14)qui est
appel eeimp edancecyclique. Insistons sur le fait que ce r esultat
nest valable quenr egime equilibr e !Dans le cas repr esent e ` a
la gure 2.6, on trouve ais ement que:Zeq= R + j(L M) (2.15)Le sch
ema equivalent par phase est donc celui de la gure 2.7.a. Dans ce
sch ema, la premi` ereloi de Kirchhoff impose un courant de
retourIa. Comme on la dit plus haut, celui-ci nexistepas dans le
circuit triphas e.C + 3CmVaVab aIaIaIaIaVaIaIaL M RFigure 2.7: sch
emas equivalents par phase des circuits des gures 2.6 et 2.82.4.2
Traitement des couplages capacitifs entre phasesConsid erons ` a pr
esent le circuit de la gure 2.8, dans lequel chaque phase poss` ede
un couplagecapacitif avec la terre et avec les autres phases.Notons
que chaque phase pr esente la m eme capacit eCpar rapport ` a la
terre (suppos ee aupotentiel nul) et que chaque paire de phases pr
esente la m eme capacit e mutuelle Cm.La relation entre courants et
tensions est:__IaIaIbIbIcIc__
=__YsYmYmYmYsYmYmYmYs____VaVbVc__Notons ici encore lhypoth` ese de
parfaite sym etrie triphas ee. La premi` ere composante de
cetterelation matricielle donne:IaIa =YsVa +YmVb +YmVcet en tenant
compte du fait que le r egime est equilibr e:IaIa =_Ys +Ym(ej23+
ej43)_ Va=_YsYm_Va22CIaCmCVaIaIcIbVcIcIbVbCmCmCFigure 2.8: couplage
capacitif entre phasesOn voit que tout se passe comme si la phase a
etait seule mais avec une admittance entre phaseet neutre
:Yeq=YsYm(2.16)Dans le cas repr esent e ` a la gure 2.8, on aYs= jC
+ 2jCm etYm= jCm et donc :Yeq= j(C + 3Cm) (2.17)Le sch ema
equivalent par phase est donc celui de la gure 2.7.b.2.4.3 Sch ema
unilaireFjeu de barrestransformateurgnrateurchargeABCDEFigure 2.9:
sch ema unilaire dun syst` eme de puissanceLanalyse par phase se
concr etise en particulier dans lutilisation du sch ema unilaire.
Il sagit23dun diagramme monophas e, sans conducteur de retour, repr
esentant les equipements qui com-posent un syst` eme de puissance.
Un exemple est donn e ` a la gure 2.9.Les equipements tels que
lignes, c ables, transformateurs, g en erateurs, charges, etc. . .
sont reli esentre eux, dans les postes ` a haute tension, par
linterm ediaire de barres conductrices. Une barreest consid er ee
comme un equipement equipotentiel. Lensemble des trois barres
relatives auxtrois phases est appel e un jeu de barres. Les jeux de
barres du syst` eme de la gure 2.9 sont A,B, . . . , F.2.5
Puissances en r egime triphas eLa puissance instantan ee traversant
la coupe des gures 2.1 et 2.3 vaut:p(t) = vaia + vbib + vcic= 2V
I_cos(t + ) cos(t + ) + cos(t + 23) cos(t + 23)++ cos(t + 43) cos(t
+ 43)_= 3V I cos( )+V I_cos(2t + + ) + cos(2t + + 43) + cos(2t + +
23)_= 3V I cos( ) = 3POn voit que la puissance instantan ee est une
constante, egale ` a trois fois la puissance activePtransf er ee
par une des phases. Il ny a donc pas de puissance uctuante en r
egime triphas e equilibr e.Puisque la puissance r eactive a et e d
enie comme lamplitude dun des termes de la puissanceuctuante (cf
(1.14,1.17)), on pourrait penser que la notion de puissance r
eactive nest pasappel ee ` a jouer un r ole en r egime triphas e
equilibr e. Il nen est rien. En fait, dans chaque phase,il y a une
puissance uctuante; une de ses composantes correspond ` a l energie
emmagasin eedans les bobines et les condensateurs de cette phase et
son amplitude est la puissance r eactiveQ relative ` a la phase
consid er ee. Simplement, les puissances uctuantes des diff erentes
phasessont d ecal ees temporellement dun tiers de p eriode, de
sorte que leur somme est nulle ` a toutinstant.La puissance
complexe triphas ee vaut, par extension de la formule monophas
ee:S3=VaIa+VbIb+VcIc=VaIa+Vaej23Iaej23+Vaej43Iaej43= 3VaIaLa partie
r eelle deS est la puissance active triphas ee:P3= 3V I cos( ) = 3P
(2.18)tandis que la partie imaginaire est la puissance r eactive
triphas ee:Q3= 3V I sin( ) = 3Q (2.19)24La notion de puissance r
eactive triphas ee est articielle dans la mesure o` u il ny a pas
de puis-sance uctuante triphas ee. En fait, seule la puissance r
eactive par phase Q a une interpr etation.Q3=3Q est une grandeur
aussi articielle quun courant triphas e3I. Cependant, cettenotion
est universellement utilis ee, pour des raisons de sym etrie avec
la puissance active.En vertu de (2.9), on a:P3=3UI cos( )
(2.20)Q3=3UI sin( ) (2.21)o` uUest la valeur efcace de la tension
de ligne. Ces formules sont souvent utilis ees parcequelle font
intervenir U, elle-m eme utilis ee pour d esigner la tension.
Notons toutefois que cesformules sont hybrides dans la mesure o` u
est le d ephasage entre le courant et la tensionde phase (et non la
tension de ligne).2.6 Production dun champ tournantMontrons
nalement comment un ensemble de courants triphas es peut etre
utilis e pour pro-duire un champ tournant dans une machine.Les
machines electriques tournantes, tels les g en erateurs des
centrales electriques, sont con-stitu ees dunstator, qui est la
partie xe, et dunrotor, qui est la partie tournante, s epar ee dela
premi` ere par unentrefer. Stator et rotor sont tous deux fabriqu
es dans un mat eriau ` a hauteperm eabilit e magn etique.Le stator
dun machine tournante triphas ee est dot e dun ensemble de trois
enroulements, cor-respondant chacun` a une phase. Un de ces
enroulements, que nous supposerons relatif ` a laphase a, est repr
esent e en coupe ` a la gure 2.10.a et en perspective ` a la gure
2.10.b1.Si lon injecte un courant continu dans lenroulement en
question, les lignes du champ magn e-tique qui en r esulte se
disposent comme repr esent e en pointill e ` a la gure 2.10.a.
Notons que laperm eabilit e magn etique du mat eriau etant beaucoup
plus elev ee que celle de lair de lentrefer,les lignes de champ
sont orient ees dans ce dernier selon la normale ` a la surface
(cylindrique)ext erieure du rotor et la surface int erieure du
stator. En dautres termes, le champ est radial entout point de
lentrefer.Rep eronsunpoint quelconque P de lentreferaumoyen de
langle (cfgure 2.10.a) etd esignons parH() lamplitude du champ magn
etique en ce point. H() est une fonctionp eriodique, de p eriode 2
dont le d eveloppement en s erie de Fourier s ecrit:H() = c1 cos +
c3 cos 3 + c5 cos 5 + . . .En pratique, les constructeurs
sefforcent de rendre les harmoniques spatiaux en 3, 5, etc. .
.aussi faibles que possible, en jouant sur le nombre et la
disposition des conducteurs. On peut1insistons sur le fait que ces
gures donnent seulement un sch ema de principe25a
bstatorentreferProtorFigure 2.10: enroulement statorique dune des
trois phasesdonc ne retenir que le premier terme du d eveloppement
ci-dessus. Le champ etant par ailleursproportionnel au courant ia
(en n egligeant toute saturation ` a ce stade), on peut ecrire:H()
= kia cos (2.22)Lenroulement de la phaseb (resp. c) est d ecal e
spatialement de2/3 (resp. 4/3) radianspar rapport ` a celui de la
phase a2. La gure 2.11.a montre la disposition des trois phases,
enrepr esentant chaque enroulement par une seule spire, pour des
raisons de lisibilit e.Le champ total cr e e par les trois phases
vaut donc, au point correspondant ` a langle :H3 = kia cos + kib
cos( 23) + kic cos( 43)et si lon alimente lensemble par les
courants triphas es equilibr es (2.1, 2.2, 2.3):H3=2kI_cos(t + )
cos + cos(t + 23) cos( 23)++cos(t + 43) cos( 43)_=2kI2_cos(t + + )
+ cos(t + ) + cos(t + + 43)+cos(t + ) + cos(t + + 23) + cos(t +
)_2la position relative des phases d epend du sens de rotation de
la machine. Dans le cas pr esent, on suppose quele rotor tourne
dans le sens trigonom etrique. Cette assertion sappuie sur des
consid erations du chapitre 826abcbc bcbc b cb cbaaap = 2 p = 1aa
aaxe phase c axe phase baxe phase aFigure 2.11: disposition des
enroulements statoriques triphas es=32kI2cos(t + ) (2.23)Cette
relation est celle dune onde qui circule dans lentrefer ` a la
vitesse angulaire , commerepr esent e ` a la gure 2.12, dans
laquelle lentrefer a et e d eroul e.2 0NSFigure 2.12: onde de champ
circulant dans lentrefer (d eroul e)Les trois courants triphas es
produisent donc le m eme champ magn etique quun aimant (ou
unenroulement parcouru par du courant continu) tournant ` a la
vitesse angulaire . Les p oles Nordet Sud de cet aimant sont rep er
es ` a la gure 2.12. Cest pourquoi on parle de champ tournant.Etant
donn e que le champ tourne ` a la m eme vitesse que les vecteurs
tournants associ es aux27grandeurs sinusodales, on peut repr
esenter ces diff erents vecteurs sur un m eme diagrammede phaseur,
comme ` a la gure 2.13. Dans cette gure, laxe horizontal est ` a la
fois laxe surlequel on projette les vecteurs tournants pour obtenir
les evolutions temporelles des grandeurssinusodales et laxe de r ef
erence par rapport auquel on rep` ere la position angulaire ,
cest-` a-dire laxe de la phase a, par coh erence avec ce qui pr ec`
ede. Le diagramme de phaseur montrantla position des vecteurs
tournants ` a linstant t = 0, le vecteur repr esentant le courantIa
fait unangle avec laxe de r eference. La relation (2.23) montre
quen t=0, le champ magn etiqueest maximal en = . Le vecteur repr
esentant le champ tournant concide donc avecIa.IcIaH3IbNSFigure
2.13: diagramme de phaseur et position du champ tournantDans
certaines machines (g en erateurs de centrales hydrauliques par
exemple), on d esire quele champ tourne` a une vitesse plus faible,
tout en alimentant le stator avec des courants depulsation. On
obtient ce r esultat en r ep etant plusieurs fois la s equence(a,
b, c) sur la cir-conf erence du stator. Si la s equence se rep` ete
p fois, on dit que la machine poss` ede p paires dep oles. Par
exemple, la gure 2.11.b se rapporte ` a une machine ` a 2 paires de
p oles. On parcourtla s equence compl` ete(a, b, c) sur rad (au
lieu de2 dans le casp=1) et chaque phases etend sur un angle dau
plus /2 rad (au lieu de dans le cas p = 1).Dans ces conditions,
lexpression (2.22) devient H()=kia cos p. En recommencant led
eveloppement ci-dessus, on trouve ` a pr esent:H3=32kI2cos(t + p)A
un instant donn e, le champ H3 est maximal en p points et minimal
en p autres points. Lavitesse angulaire du champ magn etique est
donc /p. Le tableau ci-dessous donne quelquesexemples, pour un r
eseau ` a 50 ou ` a 60 Hz.28nombre p vitesse angulairede paires /p
en tours/minutede p oles f= 50 Hz f= 60 Hz1 3000 36002 1500 18004
750 9006 500 60020 150 18040 75 9029Chapitre 3Quelques propri et es
du transport del energie electriqueDans ce chapitre nous montrons
quelques propri et es fondamentales du fonctionnement desr eseaux d
energie electrique en r egime etabli et nous introduisons quelques
notions impor-tantes.3.1 Transit de puissance et chute de tension
dans une liaison3.1.1 Mod` ele et relations principalesConsid erons
le syst` eme simple de la gure 3.1. Il comporte deux jeux de barres
(ou noeuds electriques, ou simplement noeuds) reli es par une ligne
ou un c able, dont nous supposons quele sch ema par phase consiste
en une r esistance R en s erie avec une r eactance X. Comme nousle
verrons au Chapitre 6, le transformateur de puissance peut, sous
certaines conditions, etre egalement repr esent e par un tel dip
ole.1 2P12 + jQ12P21 + jQ21X RIV1V2Figure 3.1: syst` eme simple ` a
deux jeux de barresPar un choix appropri e de lorigine des temps,
on peut supposer que le phaseur de la tensionau noeud 1 a une phase
nulle. Posons:V1= V1ej0= V1etV2= V2ej2= V2
2.30SoitIle courant parcourant la ligne. SoientP12 etQ12 les
puissances active et r eactiveparphase entrant dans la ligne par le
noeud 1 (cf gure 3.1). On a evidemment:V2=V1(R + jX)I (3.1)Il y
correspond le diagramme de phaseur de la gure 3.2.jXIXIP=
XP12/V1XIQ= XQ12/V1RIP= RP12/V1RIQ= RQ12/V1V2IQ IIPV1RIFigure 3.2:
diagramme de phaseur relatif au syst` eme de la gure 3.1Etablissons
lexpression de la tensionV2 en fonction de la tensionV1 et des
transits de puissanceP12 et Q12. On a:P12 + jQ12=V1I(3.2)do` u lon
tire:I=P12jQ12V1=P12jQ12V1En introduisant cette derni` ere relation
dans (3.1), on obtient:V2=V1(R + jX)_P12jQ12V1_ =V1RP12 +
XQ12V1jXP12RQ12V1(3.3)On peut retrouver ce r esultat au d epart de
la gure 3.2, en consid erant que:la projection deI surV1 est le
courant actif IP= P12/V1la projection deI sur la perpendiculaire `
aV1 est le courant r eactif IQ= Q12/V1.3.1.2 Effet du transport de
puissance active et r eactiveComme nous le verrons, dans les r
eseaux de transport ` a Tr` es Haute Tension (THT), la r esistanceR
est n egligeable devant la r eactanceX1. Si lon suppose donc R=0,
la relation (3.3) sesimplie en:V2=V1XQ12V1jXP12V1(3.4)Le diagramme
de phaseur correspondant est donn e ` a la gure 3.3.1cette
simplication ne sapplique pas aux r eseaux de distribution ` a
Moyenne Tension (MT) o` u Rest du m emeordre de grandeur que X
!31BAOjXIjXP12/V1XQ12/V1IQIPV2IV121Figure 3.3: diagramme de phaseur
de la g. 3.2 quand R = 0Cette gure montre de plus la variation de
la tensionV2 sous leffet de variations suppl ementairesde la
puissance active (passage du point O au point A) et de la puissance
r eactive (passage deO en B), la tension V1 etant suppos ee
constante. On peut en conclure que:le transfert de puissance active
cr ee une chute de tension en quadrature avecV1. Si lonsuppose,
comme cest le cas en pratique, que ||V2 V1|| est faible devantV1,
on peutconclure
queletransportdepuissanceactiveinduitprincipalementund
ephasagedestensions;le transfert de puissance r eactive cr ee une
chute de tension en phase avecV1. On peuten conclure queletransport
depuissance r eactiveinduit principalementunechute des(modules des)
tensions.3.1.3 Transport de puissance r eactive` a longue
distanceDans les r eseaux de transport` a THT, il est dusage de
dire quelapuissancer eactivenesetransportepasais ement
surdelonguesdistances. Ce fait peut etre illustr e comme suit
surnotre exemple ` a deux noeuds.Le bilan de puissance complexe de
la liaison fournit:P12= P21 + RI2(3.5)Q12= Q21 + XI2(3.6)Comme
X>>R, on voit que les pertes r eactives sont nettement plus
elev ees que les pertesactives. Ainsi, si les puissances active et
r eactive entrent en quantit es egales dans la liaison, ilsort ` a
lautre extr emit e nettement moins de puissance r eactive que de
puissance active.Par ailleurs, nous venons de voir que le transfert
de puissance r eactive va de pair avec unevariation des (modules
des) tensions. Transf erer beaucoup de puissance r eactive requiert
deschutes de tension importantes. En pratique, cecinest pas
acceptable car les tensions aux32diff erents noeuds dun r eseau
doivent rester dans une plage de quelques pourcents autour
desvaleurs nominales, sous peine de fonctionnement incorrect des
mat eriels.Une telle limitation nexiste par pour la puissance
active car le d ephasage des tensions na pasde cons equence directe
pour les equipements.3.1.4 Expressions des transits en fonction des
tensionsEtablissons ` a pr esent lexpression des puissancesP12
etQ12 en fonction des modules et desphases des tensions aux extr
emit es. Pour plus de g en eralit e, nous consid ererons le cas o`
u1 = 0.On obtient ` a partir des relations (3.1,3.2):P12 +
jQ12=V1I=V1V1 V2R jX= V1ej1V1ej1V2ej2R jX=V21 V1V2ej(12)R jX=[V21
V1V2 cos(12) jV1V2 sin(12)] (R + jX)R2+ X2En d eveloppant le num
erateur et en egalant parties r eelle et imaginaire des deux
membres, onobtient les relations recherch ees:P12= V21RR2+ X2
V1V2_RR2+ X2 cos(12) XR2+ X2 sin(12)_(3.7)Q12= V21XR2+ X2 V1V2_XR2+
X2 cos(12) +RR2+ X2 sin(12)_(3.8)Par simple permutation des indices
1 et 2, on obtient lexpression des puissances entrant dansla ligne
du c ot e du noeud 2:P21= V22RR2+ X2 V2V1_RR2+ X2 cos(21) XR2+ X2
sin(21)_Q21= V22XR2+ X2 V2V1_XR2+ X2 cos(21) +RR2+ X2 sin(21)_Le
lecteur est invit e ` a v erier que ces expressions ob eissent bien
aux bilans de puissance (3.5,3.6).Sous lhypoth` ese R = 0, les
relations ci-dessus deviennent simplement:P12=V1V2
sin(12)X(3.9)Q12=V21 V1V2 cos(12)X(3.10)P21=V2V1
sin(21)X(3.11)Q21=V22 V2V1 cos(21)X(3.12)33Ces relations sont
utilis ees dans de nombreux raisonnements.Rappelons que P12 et Q12
sont des puissances parphase. La puissance triphas ee sobtient
enmultipliant ces relations par un facteur 3.3.2 Caract eristique
QV` a un jeu de barres dun r eseauDans cette section, nous nous int
eressons ` a la relation entre la puissance r eactiveQ inject eeen
un jeu de barres et la tension V` a celui-ci, toute autre chose
restant constante. Choisissonsde compter Q positif quand la
puissance entre dans le r eseau. Le d eveloppement qui suit
estlimit e ` a une seule source de puissance r eactive et ne rend
pas compte des interactions entredeux sources voisines.Dans une
certaine plage de variation, on peut repr esenter un r eseau vu dun
de ses jeux debarres par un sch ema equivalent de Th evenin (cf
gure 3.4.a). Rappelons leTh eor` emedeTh evenin. Vu dun acc` es, un
circuit lin eaire peut etre remplac eparunsch ema equivalentcompos
e dunesourcedetensionens erieavecuneimp edance. La f.e.m. de la
source equivalente est la tension apparaissant ` a vide ` alacc` es
consid er e. Limp edance equivalente est limp edance vue de lacc`
es apr` esavoir passi e le circuit, cest-` a-dire avoir annul e les
f.e.m. (resp. les courants) dessources de tension (resp. de
courant) ind ependantes.Nous supposons que limp edance de Th evenin
est essentiellement inductive, hypoth` ese d ej` adiscut ee. Quant
` a la f.e.m. de Th evenin, dans le cas qui nous occupe, cest la
tension relev eeau jeu de barres lorsquaucune puissance ny est
produite ni consomm ee.Consid erons` a pr esent linjection dune
puissance r eactiveQ en ce jeu de barres. Commeaucune puissance
active nest inject ee, la relation (3.9) montre quil ny a pas de d
ephasageentre la tension du jeu de barres et la f.e.m. de Th
evenin, tandis que (3.10) fournit lexpressionde la puissance r
eactive Q entrant par phase dans l equivalent:Q
=V2VEthXth(3.13)Sous les hypoth` eses adopt ees plus haut, l
equation (3.13) nous indique que la relation entre Qet Vest
quadratique. Cependant, pour des variations de tension sufsamment
faibles autour deEth, cette relation peut etre lin earis ee. Le
coefcient angulaire de la droite correspondante (cfgure 3.4.b) est
donn e par:1QV_V =Eth=Xth2V Eth_V =Eth=XthEth34+VVQXthEtha. b.pente
Xth/EthQEthFigure 3.4: sch ema equivalent de Th evenin et caract
eristique QV dun r eseauOn voit donc que, suite ` a des variations
de la puissance r eactive en un jeu de barres, les vari-ations de
tension y sont dautant plus faibles que la r eactance de Th evenin
vue de ce jeu debarres est faible.La repr esentation dun ensemble
aussi complexe quun syst` eme d energie electrique par unsimple sch
ema equivalent de Th evenin est evidemment une abstraction assez
forte. Des remar-ques simposent ` a ce sujet:les r esultats
ci-dessus ne sont pas valables pour de grandes variations de Vet/ou
de Q.En effet, dans ce cas, la caract eristique nest plus lin
eaire, non seulement` a cause dela relation (3.13) mais surtout ` a
cause du passage en limite de production r eactive desg en erateurs
(voir chapitre 11), ce qui modie les param` etres de Th evenin;apr`
es une perturbation, la r eactance de Th evenin varie dans le temps
car le syst` eme estle si` ege de dynamiques provenant de ses
composants et de ses r egulations. La r eactancede Th evenin vue
dans les tout premiers instants doit etre calcul ee en tenant
compte ducomportement des composants (surtout les g en erateurs:
voir chapitre 12);elle diff` erede la r eactance de Th evenin qui
caract erise le passage dun point de fonctionnement enr egime
etabli ` a un autre;lorsquun r eseau perd un de ses composants
(ligne, transformateur, g en erateur), les para-m` etres de Th
evenin se modient. Dans de nombreux cas, Eth diminue et Xth
augmentesuite ` a un tel incident.3.3 Puissance de court-circuitLa
notion depuissancedecourt-circuit est tr` es utilis ee dans
lanalyse des r eseaux d energie electrique. Elle est d enie par
:Scc= 3VNIcc=3UNIcc(3.14)35o` uVNest la valeur nominale de la
tension de phase, UNcelle de la tension de ligne et Iccle courant
circulant dans (chaque phase d)un court-circuit triphas e sans imp
edance au jeu debarres consid er e.Notons queSccne repr esente pas
une puissance au sens physique du terme. En effet, lesgrandeurs
intervenant dans cette formule ne se rapportent pas ` a la m eme
conguration, puisqueVN est la tension avant court-circuit et Icc le
courant pendant le court-circuit.La puissance de court-circuit est
utilis ee dans le dimensionnement des disjoncteurs. En effet :un
disjoncteur doit etre capable d eteindre larc electrique qui
apparait entre ses contactsau fur et ` a mesure que ceux-ci s
eloignent lun de lautre. Plus le courant de court-circuitIcc est
elev e, plus le disjoncteur doit etre puissant pour eteindre cet
arc;une fois le courant interrompu, le disjoncteur doit etre
capable de tenir la tension qui ser etablit ` a ces bornes sans
quil y ait rupture di electrique du gaz situ e entre ses
contacts.Cette tension est dautant plus elev ee que VN est elev
e.Il est donc raisonnable de dimensionner un disjoncteur sur la
base du produit de Icc et de VN.Il existe une relation simple entre
la puissance de court-circuit en un jeu de barres et le sch ema
equivalent de Th evenin du r eseau vu de ce jeu de barres. En
effet, si lon suppose que la tensionau jeu de barres avant
court-circuit est egale ` a la tension nominale VN, cest egalement
la valeurde la f.e.m. de Th evenin et lamplitude du courant de
court-circuit est donn e par :Icc=VN|Zth|(3.15)Il en r esulte que
la puissance de court-circuit est donn ee par :Scc=
3V2N|Zth|=U2N|Zth|(3.16)La puissance de court-circuit donne
egalement une indication sur la tenue de la tension enun jeu de
barres. En effet, plusSccest elev ee, plus |Zth| est faible et,
comme on la vu` ala section pr ec edente, plus les variations de la
tension avec la puissance r eactive sont faibles.Cest pourquoi il
importe que des charges uctuant rapidement soient connect ees ` a
des jeux debarres o` u la puissance de court-circuit est sufsamment
elev ee.Lorsque limp edance de Th evenin tend vers z ero, la
puissance de court-circuit tend vers linni.A la limite, on parle de
jeu de barres inni.36Chapitre 4La ligne de transportDans ce
chapitre, nous nous int eressons au comportement dune ligne de
transport de l energie electrique en r egime sinusodal etabli. Apr`
es avoir rappel e comment peuvent etre calcul esles param` etres
lin eiques, nous etudions le comportement de la ligne en tant que
composantdistribu e1. Nous en d eduisons le sch ema equivalent ` a
el ements localis es utilis e dans les calculsde r eseaux usuels.
Nous terminons par des consid erations relatives ` a la limite
thermique. Lesconsid erations de ce chapitre sappliquent egalement
aux c ables ` a haute tension.4.1 Param` etres lin eiques dune
ligneLes param` etres lin eiques sont les param` etres (inductance,
capacit e, r esistance, conductance)relatifs ` a un troncon de
longueur innit esimale dx, divis es par cette longueur dx. Il sagit
doncde param` etres par unit e de longueur.4.1.1 Inductances s
erieLa ligne est entour ee dair, dont la perm eabilit e magn etique
est: = 0r 0= 4107H/m (4.1)Le m etal dont est constitu e chaque
conducteur est caract eris e par une perm eabilit e relative rtr`
es proche de 1 en pratique.1par opposition ` a localis e : voir
cours de Circuits electriques37Ligne triphas ee simpleNous consid
erons une ligne compos ee de trois conducteurs, chacun relatif ` a
une phase. Lesdimensions sont d enies ` a la gure 4.1.chaque
conducteurcdacdababdbcde rayon rFigure 4.1: ligne triphas ee simple
: g eom etrie et distancesLe lecteur est invit e ` a se reporter
aux cours dElectromagn etisme et de Transport et Distributionde
lEnergie electrique, pour l etablissement de la relation suivante
entre ux et courants :__abc__ =02__r4+ ln1rln1dabln1dacr4+
ln1rln1dbcr4+ ln1r__. .L__iaibic__ (4.2)o` u a d esigne le ux magn
etique embrass e par une longueur unitaire du conducteur de la
phasea, ia le courant circulant dans cette phase, et de m eme pour
les deux autres phases. La matriceL est la matrice dinductance.
Cette matrice est sym etrique; les termes laiss es en blanc
sontidentiques ` a ceux situ es sym etriquement par rapport ` a la
diagonale. Le termeor8correspondau champ magn etique existant ` a
lint erieur du conducteur.On notera que lexpression ci-dessus est
etablie sous lhypoth` ese :ia + ib + ic= 0 (4.3)ce qui suppose quil
ny pas de retour de courant par un conducteur autre que les trois
phasesconsid er ees.Ligne triphas ee transpos eeDans bon nombre de
cas, les positions des conducteurs sur les pyl ones sont telles que
lesdistancesdab, dac etdbc ne sont pas toutes trois egales. Il en r
esulte un certain d es equilibre38entre phases. Celui-ci peut etre
compens e en transposant les phases comme repr esent e ` a la -gure
4.2. La matrice dinductance sobtient alors comme la moyenne arithm
etique des matricesrelatives ` a chacune des trois congurations. On
trouve :L =02__r4+ ln1rln13dabdacdbcln13dabdacdbcr4+
ln1rln13dabdacdbcr4+ ln1r__(4.4)Lexpression3dabdacdbc est appel ee
distance moyenne g eom etrique 2.cbcacbaabFigure 4.2: transposition
des conducteurs dune ligne triphas eeA pr esent que les trois
inductances mutuelles sont egales, on peut calculer linductance lin
eiquepar phase (en H/m), cest-` a-dire la partie imaginaire de limp
edance cyclique (2.14) relative ` aun troncon de longueur innit
esimale dx, divis ee par la pulsation et par dx. On obtient :
=02_r4+ ln 1r ln13dabdacdbc_ =02_r4+ ln3dabdacdbcr_(4.5)Ligne
triphas ee` a faisceaux de conducteursA proximit e dun conducteur
de faible section port e ` a un potentiel elev e (par rapport ` a
la terre),les lignes equipotentielles sont tr` es rapproch ees et
le champ electrique est tr` es intense. Ceciproduit une ionisation
de lair ambiant, connue sous le nom deffetcouronne. Ce dernier
estresponsable de pertes, dinterf erences radio et dune g ene
acoustique (bruit audible ` a proximit edes lignes, surtout par
temps humide).Cest la raison pour laquelle, pour des tensions
nominales sup erieures ou egales` a 220 kV,chaque conducteur de
phase est remplac e par un faisceau de plusieurs conducteurs
maintenus ` adistance constante les uns des autres par des
entretoises dispos ees ` a intervalle r egulier. Le fais-ceau se
comporte comme un conducteur dont le rayon serait nettement plus
grand que celui desconducteurs qui le composent, comme le conrme un
calcul ci-apr` es. Le champ electrique estdonc moins intense. En
Belgique, les lignes ` a 380 kV (et certaines ` a 220 kV)
comportent deuxconducteurs par phase; dans certains pays, surtout
pour des tensions nominales sup erieures ` a380 kV, on en utilise
jusqu` a quatre.2en anglais : Geometrical Mean Distance
(GMD)39Consid erons la ligne ` a faisceau de deux conducteurs dont
la g eom etrie et les dimensions sontd enies ` a la gure 4.3. En
pratique, la distance d entre conducteurs dune m eme phase est tr`
esfaible par rapport aux distances entre phases, de sorte que lon
peut consid erer que chacun desconducteurs de la phase a est ` a la
distance dab de chacun des conducteurs de la phase b, et dem eme
pour les autres phases.de rayon rchaque
conducteur436521adbcdacdabcbdddFigure 4.3: ligne triphas ee ` a
faisceaux de deux conducteurs : g eom etrie et distancesSous cette
hypoth` ese, la relation entre ux et courants des six conducteurs
de la gure 4.3 sepr esente sous la forme :__123456__=02__r4+
ln1rln1dln1dabln1dabln1dacln1dacr4+ ln1rln1dabln1dabln1dacln1dacr4+
ln1rln1dln1dbcln1dbcr4+ ln1rln1dbcln1dbcr4ln1rln1dr4+
ln1r____i1i2i3i4i5i6__(4.6)On suppose egalement que le courant de
phase se r epartit de mani` ere egale dans les deuxconducteurs
(identiques) qui le transportent :i1= i2=ia2i3= i4=ib2i5= i6=ic2Par
ailleurs, les conducteurs 1 et 2 etant en parall` ele, le ux ` a
consid erer pour la phase a esta= 1= 2, et de m eme pour les autres
phases33on peut sen convaincre ais ement en passant par les
tensions aux bornes du troncon de ligne, puis en revenantaux ux40En
consid erant une ligne sur deux dans (4.6) et en regroupant les
colonnes, on obtient ais ement:__abc__=02__12_r4+ ln1d
r_ln1dabln1dac12_r4+ ln1d r_ln1dbc12_r4+ ln1d
r_____iaibic__=02___r8+ ln1d r_ln1dabln1dac_r8+ ln1d r_ln1dbc_r8+
ln1d r_____iaibic__(4.7)Lexpressiond r est appel ee rayon moyen g
eom etrique4.En comparant (4.2) et (4.7), on voit que lutilisation
des deux conducteurs au lieu dun seul,toute autre chose restant
egale, naffecte pas les inductances mutuelles mais diminue la
selfinductance dune phase. En effet, le terme de self-induction ` a
lint erieur de chaque conducteurest divis e par deux et, surtout,
le rayon r est remplac e par le rayon moyen g eom etrique, qui estn
ecessairement plus grand (vu que d > r).Ligne triphas ee
transpos ee` a faisceau de conducteursLorsque lon combine les
techniques de transposition et de faisceau, la matrice
dinductancede la ligne devient :L =02___r8+ ln1d
r_ln13dabdacdbcln13dabdacdbc_r8+ ln1d r_ln13dabdacdbc_r8+ ln1d
r_____iaibic__(4.8)qui fait intervenir la distance et le rayon
moyens g eom etriques.Les inductances mutuelles etant ` a nouveau
toutes egales, on peut calculer linductance lin eiquepar phase (en
H/m) : =02_r8+ ln1d rln13dabdacdbc_ =02_r8+ ln3dabdacdbcd
r_(4.9)qui est plus petite que celle de la ligne triphas ee simple
(donn ee par (4.5)).DiscussionLimp edance que pr esente un r eseau
de transport contribue ` a limiter la puissance transmissiblepar
celui-ci, ` a cause de la chute de tension quelle entrane. Les r
esultats ci-dessus montrent4en anglais : Geometric Mean Radius
(GMR)41que, pour diminuer linductance cyclique, on a int er et ` a
rapprocher les phases le plus possible,toutes autres choses restant
egales. Cependant, il importe de maintenir une distance
disolationminimale entre celles-ci. Cette distance est dautant plus
grande que la tension nominale dur eseau est elev ee.Dans le cas
dun c able, la permittivit e du mat eriau isolant est beaucoup plus
elev ee que cellede lair qui entoure une ligne a erienne. Les
phases peuvent donc etre davantage rapproch ees. Ilen r esulte que
linductance cyclique dun c able est nettement plus faible que celle
dune lignea erienne de m eme tension nominale et de section
comparable.4.1.2 Capacit es shuntLa ligne est entour ee dair, dont
la permittivit e di electrique est: = 0r 0=136109F/m (4.10)Ligne
triphas ee simpleConsid erons ` a nouveau la g eom etrie d ecrite `
a la gure 4.1.Le lecteur est invit e ` a se reporter aux cours
dElectromagn etisme et de Transport et Distributionde lEnergie
electrique, pour l etablissement de la relation suivante entre
potentiels et charges electriques :__vavbvc__
=12or__ln1rln1dabln1dacln1rln1dbcln1r__. .S__qaqbqc__ (4.11)o` uvad
esigne le potentiel electrique de la phasea, qala charge electrique
port ee par uneunit e de longueur du conducteur de cette phase5, et
de m eme pour les deux autres phases.Le potentiel electrique etant
d eni` a une constante additive pr` es, il faut choisir un point
der ef erence dont le potentiel est x e ` a z ero (usuellement un
point du sol). La matriceS est lamatrice din elastance. Cette
matrice est sym etrique; les termes laiss es en blanc sont
identiques` a ceux situ es sym etriquement par rapport ` a la
diagonale. La similitude entre les matrices L etS est assez
remarquable6.5rappelons que les charges se positionnent sur la p
eriph erie du conducteur6la diff erence tient dans le fait que le
champ electrique est nul ` a lint erieur du conducteur,
contrairement auchamp magn etique, qui produit le terme de
self-inductance or/842Ligne triphas ee transpos eePar extension du
d eveloppement relatif aux inductances, on etablit lexpression
suivante pourla matrice din elastance dune ligne triphas ee
transpos ee :S
=12or__ln1rln13dabdacdbcln13dabdacdbcln1rln13dabdacdbcln1r__(4.12)dans
laquelle on retrouve la distance moyenne g eom etrique.Les termes
non diagonaux de S etant tous egaux, on peut calculer la capacit e
shunt par phase,cest-` a-dire la capacit e C+3Cm de la gure 2.7,
relative ` a un troncon de longueur innit esimaledx, divis ee par
dx. Les capacit es C et Cm proviennent de la gure 2.8.Pour ce
faire, nous faisons lhypoth` ese que la charge totale port ee par
les trois phases est nulle:qa + qb + qc= 0 (4.13)En fait, il est
possible dobtenir le r esultat sans calculer au pr ealable les
capacit es C et Cm. Eneffet, de (4.12) on tire pour la phase a, par
exemple :va=12or_ln 1rqa + ln13dabdacdbc(qb + qc)_=12or_ln 1r
ln13dabdacdbc_qaOn en d eduit la capacit e recherch ee (en F/m) :c
= 2or1ln3dabdacdbcr(4.14)Ligne triphas ee` a faisceaux de
conducteursRevenons ` a la g eom etrie d etaill ee ` a la gure 4.3.
Nous consid erons ` a nouveau que chacun desconducteurs de la phase
a est ` a la distance dab de chacun des conducteurs de la phase b,
et dem eme pour les autres phases.Sous cette hypoth` ese, la
relation entre potentiels et charges des six conducteurs de la gure
4.343se pr esente sous la forme
:__v1v2v3v4v5v6__=12or__ln1rln1dln1dabln1dabln1dacln1dacln1rln1dabln1dabln1dacln1dacln1rln1dln1dbcln1dbcln1rln1dbcln1dbcln1rln1dln1r____q1q2q3q4q5q6__(4.15)On
suppose de plus que la charge dune phase se r epartit de mani` ere
egale sur les deux con-ducteurs (identiques) qui la composent :q1=
q2=qa2q3= q4=qb2q5= q6=qc2On suppose enn que les potentiels des
conducteurs dune m eme phase (reli es par des entre-toises) sont
egaux:v1= v2= vav3= v4= vbv5= v6= vcEn consid erant une ligne sur
deux dans (4.15) et en regroupant les colonnes, on obtient ais
ement:__vavbvc__=12or__12_ln1d r_ln1dabln1dac12_ln1d
r_ln1dbc12_ln1d r_____qaqbqc__=12or__ln1d rln1dabln1dacln1d
rln1dbcln1d r____qaqbqc__(4.16)dans laquelle on retrouve le rayon
moyen g eom etrique.Ligne triphas ee transpos ee` a faisceau de
conducteursLorsque lon combine les techniques de transposition et
de faisceau, la matrice din elastancede la ligne devient :S
=12or__ln1d rln13dabdacdbcln13dabdacdbcln1d rln13dabdacdbcln1d
r__(4.17)44qui fait intervenir la distance et le rayon moyens g eom
etriques.Les capacit es mutuelles etant ` a nouveau toutes egales,
on peut calculer la capacit e shunt parphase, toujours sous
lhypoth` ese (4.13). De (4.16) on tire pour la phase a, par exemple
:va=12or_ln1d rqa + ln13dabdacdbc(qb + qc)_=12or_ln1d
rln13dabdacdbc_qa(4.18)On en d eduit la capacit e recherch ee (en
F/m) :c = 2or1ln3dabdacdbcd r(4.19)Les lois de lElectromag etisme
montrent que c =1v2o` uv est la vitesse de propagation des ondes
electro-magn etiques dans le milieu s eparant les conducteurs. Quen
est-il avec les expressions trouv eespour les inductances et
capacit es par phase, sous les hypoth` eses adopt ees
?DiscussionRevenons ` a notre comparaison ligne-c able.La
permittivit e plus elev ee du milieu isolant conduit ` a une
capacit e shunt par phase plus elev eepour le c able.Les distances
plus faibles entre phases contribuent egalement ` a une valeur plus
elev ee de cettecapacit e.Il sen suit quun c able pr esente une
capacit e equivalente par phase nettement plus elev ee quecelle
dune ligne a erienne de m eme tension nominale et de section
comparable.4.1.3 R esistance s erieAux fr equences de 50 ou 60 Hz,
on peut n egliger leffet pelliculaire et supposer que le courantse
r epartit uniform ement dans la section du conducteur.La r
esistance lin eique (en /m) est donn ee par :r =s(4.20)45o` u est
la r esistivit e du mat eriau (en .m) et s la section du conducteur
(en m2). Le cuivre a laplus faible r esistivit e mais est devenu
trop cher. Laluminium a une r esistivit e plus elev ee maisco ute
moins cher. Cependant, il na pas pas la r esistance m ecanique
requise pour les longuesport ees entre pyl ones dune ligne THT. On
utilise donc un alliage daluminium plus r esistantou lon arme les
conducteurs dune ame en acier.4.1.4 Conductance shuntLa conductance
shunt (ou lat erale) dune ligne est tr` es faible. En fait, il
existe des courants defuite, principalement ` a la surface des
isolateurs et surtout quand latmosph` ere est poussi ereuse(en
milieu industriel) ou saline (` a proximit e de la mer). Toutefois
les pertes associ ees ` a cescourants sont tr` es faibles devant
les puissances v ehicul ees par les lignes et lon n eglige tr`
essouvent cette conductance en pratique.4.1.5 Ordres de grandeurLe
tableau ci-apr` es donne lordre de grandeur des r esistances s
erie, r eactances s erie et admit-tances shunt, par phase, lin
eiques et ` a 50 Hz, pour un echantillon repr esentatif de lignes
HT etTHT pr esentes dans le r eseau belge.Le tableau reprend
egalement les limites thermiques consid er ees en n de
chapitre.tensions nominales (kV)380 220 150 70r (/km) 0.03 0.04
0.09 0.05 0.12 0.09 0.35l (/km) 0.3 (2) 0.3 (2) ou 0.4 (1) 0.4 (1)
0.2 0.4 (1)c (S/km) 3.0 3.0 3.0 3.0Smax (MVA) 1350 ou 1420 250500
150 350 30 100(1) 1 conducteur par phase (2) 2 conducteurs par
phaseOn voit quil y a une assez grande dispersion dans les valeurs
des r esistances, correspondant ` aune assez grande vari et e de
sections de conducteurs.On notera quen THT la r esistance est
faible devant la r eactance.La susceptance shunt est relativement
constante pour les diff erents niveaux de tension con-sid er es
dans le tableau ci-dessus.464.2 Caract eristiques des c ablesPour
des raisons evidentes, les c ables sont utilis es en milieu urbain
et en milieu aquatique.Sous la pression de lopinion et des pouvoirs
publics, par souci du respect du paysage, on tend` a les substituer
aux lignes a eriennes HT ou THT, du moins lorsquil sagit de
remplacer uneligne arriv ee en n de vie ou de renforcer le r eseau
existant.Il faut cependant noter que linvestissement relatif ` a un
c able est plusieurs fois sup erieur ` a celuidune ligne a erienne
de m eme capacit e. Par ailleurs, la maintenance est plus malais ee
en cesens quune inspection visuelle nest pas possible comme pour
les lignes a eriennes et que lar eparation n ecessite douvrir le
sol. Enn, il existe des limitations de nature electrique,
commementionn e plus loin.En principe, les d eveloppements qui pr
ec` edent sappliquent egalement aux c ables. Cependant,les valeurs
des param` etres lin eiques sont tr` es diff erentes.Le tableau
ci-apr` es donne lordre de grandeur des r esistances s erie, r
eactances s erie et admit-tances shunt, par phase, lin eiques et `
a 50 Hz, pour un echantillon repr esentatif de c ables utilis
esdans le r eseau belge (transport et r epartition).tensions
nominales (kV)150 36r (/km) 0.03 0.12 0.06 0.16l (/km) 0.12 0.22
0.10 0.17c (S/km) 30 70 40 120Smax (MVA) 100 300 10 30Toute autre
chose egale, la r eactance s erie par phase est plus faible car les
phases sont plusproches. La susceptance shunt par phase est
nettement plus elev ee pour la m eme raison etaussi parce que le
milieu isolant qui entoure les conducteurs m etalliques est caract
eris e par unepermittivit e relative r nettement sup erieure ` a
1.La valeur elev ee de cette susceptance shunt est un obstacle ` a
lutilisation de c ables HT ou THTsur de longues distances. En effet
:plus la longueur augmente, plus le courant capacitif total
augmente. Il existe m eme unelongueur ` a laquelle ce courant
pourrait atteindre la limite thermique admissible pour lec able,
auquel cas ce dernier fonctionnerait ` a sa limite rien que par le
fait d etre mis soustension, avant m eme dy faire transiter une
puissance !plus la longueur augmente, plus le c able produit de la
puissance r eactive, ce qui peutprovoquer des surtensions dans le r
eseau.Ceci conduit ` a utiliser le transport ` a courant continu
(sous haute tension) au del` a dune certainelongueur de c able, par
exemple pour des liaisons sous-marines.474.3 La ligne en tant que
composant distribu eLa gure 4.4 repr esente le sch ema par phase
dune ligne de longueur d. Nous d esignons par z =r+ j limp edance s
erie lin eique (en/m) et par y =g+ jc ladmittance shuntlin eique
(entre phase et neutre, enS/m)7. Nous consid erons la pr esence
dune conductanceshunt, dans un souci de g en eralit e.11 22r
dxV1I2V2II + dIxddxVV+ dVI1c dxg dx dxFigure 4.4: sch ema par phase
dune ligne en r egime sinusodalD esignons par x la position dun
point de la ligne, rep er ee par rapport ` a lextr emit e 228.
Lesimp edance, admittance, tensions et courants relatifs ` a une
section de longueur innit esimaledx sont indiqu es ` a la gure
4.4.Lapplication des lois dOhm et de Kirchhoff ` a cette section
innit esimale donne:dV =I zdxdI = (V+ dV ) ydx V ydxo` u le produit
dVdx a et e n eglig e. Ceci conduit aux deux equations diff
erentielles du premierordre:dVdx= zI (4.21)dIdx= yVqui peuvent etre
combin ees en une equation diff erentielle du second
ordre:soitd2Vdx2= y zV= 2V (4.22)soitd2Idx2= y zI= 2I (4.23)7Nous
utilisons des lettres minuscules pour d esigner des grandeurs lin
eiques8ce choix simplie certains des calculs qui suivent48o` u lon
a pos e: = y z (4.24)Cette grandeur est appel ee la constante de
propagation de la ligne et sexprime en m1.L equation caract
eristique relative` a (4.22) est s2 2=0, dont les racines sont .
Lasolution de l equation (4.22) est donc de la forme:V= k1e x+ k2 e
x(4.25)La solution de l equation (4.23) est de la m eme forme.Avant
de poursuivre le d eveloppement, un commentaire simpose sur la
signication des deuxtermes de (4.25). D ecomposons k1,k2 et comme
suit :k1= k1ej1k2= k2ej2 = + j (4.26)La relation (4.25) devient:V=
k1exej(x+1)+ k2exej(x+2)La tension ` a linstant t et ` a la
coordonn ee x vaut donc:v(x, t) = k12excos(t + x + 1). .v1(x,
t)+k22excos(t x + 2). .v2(x, t)Le terme v1(x, t) correspond ` a une
onde qui se propage de la gauche vers la droite, en satt e-nuant.
En effet, pour unx x e, v1(x, t) est une fonction sinusodale du
temps et, pour untx e, cest une fonction sinusodale de la
positionx. Cette onde est appel eeondeincidente,tandis que est
appel econstantedatt enuation etconstantedephase. De m emev2(x,
t)correspond ` a une onde qui se propage, en satt enuant, de la
droite vers la gauche. Il sagit delonde r e echie.La vitesse de
propagation de ces ondes, soit /, est celle de la lumi` ere dans
lair qui entourela ligne, soit un peu moins de 300.000 km/s. La
longueur donde est la distance entre deuxmaxima voisins de la
cosinusode, ` a un instant donn e. On trouve ais ement que=2/.En
combinant ces deux informations, on conclut que la longueur donde
dun signal ` a 50 Hzest denviron 6.000 km. M eme les lignes les
plus longues utilis ees dans le monde sont donccourtes par rapport
` a cette longueur donde.Linterpr etation ci-dessus prend tout son
sens lorsque lon etudie les transitoires electromagn e-tiques se
produisant suite ` a un coup de foudre sur la ligne ou suite ` a
une manoeuvre (mise soustension par exemple). Ainsi, si une onde de
tension due ` a la foudre se propage sur une ligne etatteint une
extr emit e ouverte, elle se r e echit enti` erement, ce qui peut
conduire ` a une tensiondouble ` a cette extr emit e ouverte. De
tels ph enom` enes doivent evidemment etre pris en compte49lors du
design de lisolation des equipements. Leur etude requiert de r
esoudre des equationsaux d eriv ees partielles ( equation des t el
egraphistes), qui sortent du cadre de ce cours.Revenons ` a
lexpression (4.25) et transformons-la en lexpression suivante, plus
pratique:V= (k1 + k2)e x+ e x2+ (k1k2)e xe x2=K1 ch x +K2 sh x
(4.27)NotonsV1,V2 (resp.I1, I2) les tensions (resp. courants) aux
extr emit es 11 et 22 de la ligne.On identie les constantesK1 etK2
en consid erant les conditions aux fronti` eres. Ainsi, enx = 0, on
a:V=V2 ce qui fournit:K1=V2I=I2, cest-` a-dire, en vertu de
(4.21):dVdx_x=0= zI2K1 sh x +K2 ch x_x=0= zI2K2= zI2 = z yI2En
remplacant dans (4.27), on obtient donc lexpression de la tension
en un point dabscisse x:V=V2 ch x +ZcI2 sh x (4.28)o` u lon a pos
e:Zc= z y(4.29)Cette grandeur est appel ee imp edance caract
eristique de la ligne et sexprime en .Nous laissons au lecteur le
soin d etablir lexpression correspondante du courant en un
pointdabscisse x:I=V2Zcsh x +I2 ch x (4.30)Enn, evalu ees en x = d,
ces equations fournissent les relations entre tensions et courants
auxextr emit es de la ligne:V1=V2 ch d +ZcI2 sh d (4.31)I1=V2Zcsh d
+I2 ch d (4.32)Montrer quelonaboutit auxm emesrelationsenplacant
ladmittanceshunt g+jc` adroitedelimp edance r +j (et non ` a
gauche, comme sur la gure 4.4.)504.4 Quelques propri et es li ees`
a limp edance caract eristiqueConsid erons le cas dune ligne sans
pertes :r= 0, g= 0, hypoth` ese justi ee par le fait que gest tout
` a fait n egligeable et r faible pour une ligne THT. On a
successivement: z = j y = jc = j= jcZc= Zc=cV =V2cos x + jZcI2sin x
(4.33)I =I2cos x + jV2Zcsin x (4.34)Que se passerait-il si lon
connectait ` a un r eseau une ligne de longueur/4 (ligne au quart
donde),ouverte ` a lautre extr emit e ? On supposera la ligne sans
perte pour simplier.Limp edance caract eristique est donc une r
esistance pure. Silonferme la ligne sur cetter esistance, cest-`
a-dire siV2=ZcI2, le r egime qui sinstalle poss` ede plusieurs
propri et es re-marquables. En effet, les relations (4.33, 4.34)
fournissent:V =V2ejxI =I2ejxEn comparant avec (4.25), on voit quil
ny a pas donde r e echie.On en d eduit que:la tension (resp. le
courant) a une amplitude V2 (resp. I2) constante tout au long de
lalignela tension et le courant sont en phase en tout point de la
ligne. Limp edanceV /I vue ennimporte lequel de ses points est la r
esistance Zcen cons equence, la ligne ne consomme ni ne produit de
puissance r eactive. Les produc-tions cV2 equilibrent les pertes
I2la puissance triphas ee qui transite au droit de nimporte quel
point de la ligne est donc lapuissance active fournie ` a la r
esistance Zc, soit:Pc= 3V22Zc(4.35)o` u V2 est la tension de phase.
Lorsque lon prend pour V2 la tension nominale VN de laligne, cest-`
a-dire la tension pour laquelle elle a et e concue, la valeur de Pc
est appel eepuissance naturelle de la ligne51ces propri et es
sappliquent quelle que soit la longueur d de la ligne
!Nouslaissonsaulecteurlesoindemontrerquesi laligneest ferm
eesuruner esistanceinf erieure (resp. sup erieure) ` aZc, cest-`
a-dire si elle recoit une puissance active sup erieure(resp. inf
erieure) ` a Pc, elle consomme (resp. produit) de la puissance r
eactive. En particulierune ligne ouverte ` a une de ses extr emit
es se comporte comme un condensateur ` a lautre.Remarque. Dans la
transmission dinformation, on sarrange g en eralement pour fermer
lesc ables (coaxiaux p.ex.) sur leurs imp edances caract eristiques
(p.ex. 75 ) an de minimiserla r eexion donde. Par contre, ce nest
jamais le cas pour les lignes de transport d energie electrique. En
effet, en pratique, celles-ci ne fonctionnent jamais ` a leurs
puissances naturelles,les ux de puissance etant variables car dict
es par les consommations et les productions.4.5 Sch ema equivalent
dune ligneLa structure la plus employ ee pour repr esenter une
ligne est le sch ema equivalent en pi, repr e-sent e ` a la gure
4.5. D eterminons la valeur ` a donner ` a limp edanceZser et ` a
ladmittanceYsh dece circuit` a el ements condens es pour que, vu
des acc` es 11 et 22, il ait le m eme comportementque le composant
distribu e consid er e ` a la gure 4.4.2211I1YshYshV1ZserV2I2Figure
4.5: sch ema equivalent en pi de la ligne ( el ements condens es)D
enissons au pr ealable les grandeurs suivantes, relatives ` a la
totalit e de la ligne:R = r d L = d G = g d C= c dZ= z dY= y dOn
etablit ais ement ` a partir de la gure 4.5 que:V1=V2 +Zser(I2
+YshV2) = (1 +Zser Ysh)V2 +ZserI2Une identication terme ` a terme
avec (4.31) fournit:Zser=Zc sh d (4.36)1 +Zser Ysh= ch d Ysh=ch d
1Zc sh d=1Zcth d2(4.37)52Pour des lignes dune longueur inf erieure
` a 150 km, on consid` ere que | d| est sufsammentfaible pour
pouvoir remplacer les fonctions hyperboliques par leurs d
eveloppements en s erielimit es au premier ordre:sh d d + . . .th
d2 d2+ . . .Une substitution dans (4.36, 4.37) donne alors:Zser=Zc
d = z y z yd = zd =ZYsh=1Zc d2=12 y z z yd =12 yd =Y2En conclusion,
une ligne de transport peut toujours etre mod elis ee par un sch
ema equivalenten pi. Pour une longueur inf erieure ` a 150 km, les
param` etres de ce sch ema equivalent sontobtenus en multipliant
simplement les valeurs lin eiques par la longueur de la ligne. On
parlede ligne courte. Au-del` a de 150 km, il convient dutiliser
les expressions (4.36, 4.37).Etablir lexpression de la puissance
active entrant dans une ligne sans pertes, en fonction des
modulesV1, V2 et du d ephasage1 2 des tensions dextr emit e. En
supposantV1 et V2 egales et constantes,discuter linuence de la
longueur d sur la puissance maximale transmissible. Que devient
cette expres-sion dans le cas dune ligne courte ?4.6 Limite
thermique dune ligneG en eralement chaque phase dune ligne de
transport electrique THT ou HTest constitu eedune ame en acier pour
la tenue m ecanique, entour ee de conducteurs en aluminium, tr` es
bonconducteur de l electricit e.Le passage du courant dans un
conducteur de ligne y entrane des pertes par effet Joule, qui
echauffent le mat eriau.Un tel echauffement doit etre limit e pour
deux raisons:il entrane une dilatation du conducteur, qui le fait
se rapprocher du sol, do` u un risquede court-circuit ou d
electrocution;au del` a dune certaine temp erature, laluminium
subit une d egradation irr eversible parun effet de recuit,
diminuant sa r esistance m ecanique.53La temp erature maximale
typique des conducteurs dune ligne a erienne est de 75oC.Chaque
ligne est caract eris ee par un courant maximal admissible en
permanence, dans unequelconque de ses phases. Nous noterons ce
dernier Imax. Cette valeur est souvent d esign eesous le vocable
dampacit e.Cest principalement la densit e de courant maximale (en
A/mm2) qui d etermine la valeur deImax. Evidemment, plus la section
du conducteur augmente, plus le courant Imax est elev e.Imaxd epend
des conditions de refroidissement de la ligne. Ainsi, en hiver une
ligne peutsupporter un courant plus elev e quen et e, car lair
ambiant la refroidit davantage. Par ailleurs,` a section de m etal
egale, un faisceau offre une plus grande surface de contact avec
lair, do` uune meilleure evacuation de la chaleur et donc un
courant maximal admissible plus elev e.De mani` ere ` a tirer le
meilleur parti possible des lignes, certains exploitants de r eseau
sefforcentdestimer la valeur de Imax en fonction des conditions
climatiques du moment. Une difcult er eside dans le fait que tous
les troncons de la ligne ne sont pas n ecessairement expos es auxm
emes conditions de refroidissement (p.ex. vitesse du vent) et que
cest le troncon le moinsfavoris e qui limite le courant que la
ligne peut v ehiculer. Pour plus de d etails, le lecteur estinvit e
` a se reporter au cours ELEC0014 Transport et distribution de l
energie electrique.En ce qui concerne la limite thermique dun c
able: ` a section de m etal egale, elle est plus faible que pour
une ligne, etant donn e que l evacua-tion de la chaleur se fait
beaucoup moins bien et quune temp erature excessive d
egraderaitlisolant entourant les conducteurs;un obstacle` a
laugmentation de la section des conducteurs est la perte de
souplessem ecanique du c able, rendant son enroulement
impossible.Tr` es souvent on caract erise la capacit e thermique
par la puissance apparente triphas eeSmaxqui traverse le composant
lorsque la tension est ` a sa valeur nominale et le courant egal `
a Imax.On a donc:Smax= 3VNImax=3UNImaxo` u VN est la valeur
nominale de la tension de phase et UN celle entre phases. Des
exemples devaleurs sont donn es ` a la section 4.1.5.Notons que,
par inertie thermique, la mont ee en temp erature de la ligne ou du
c able nest pas in-stantan ee. Une surcharge thermique au del` a de
Imax est donc tol erable durant un certain temps.Ce dernier est
dautant plus court que la surcharge est forte. Certains exploitants
d enissentdes limites thermiques admissibles ` a 1, 10 ou 20
minutes, par exemple. Au-del` a dune certainevaleur du courant, la
ligne est mise hors service par les protections.Mentionnons ennle d
eveloppement aucoursde la derni` ere d ecenniede lignes a eriennes
equip ees de conducteurs HTLS, abbr eviation pour High Temperature
Low Sag9. Dans ces9` eche54derniers, l ame aussi bien que les
conducteurs peuvent supporter des temp eratures plus elev ees-
jusque 210oC - sans se d et eriorer et ni sallonger autant que les
mat eriaux traditionnels (coef-cient de dilatation de 3 ` a 6 fois
plus faible). L ame en acier, en alliage sp ecial ou en mat
eriaucomposite reprend tout leffort m ecanique au del` a dune
certaine temp erature. Ceci permetde transporter des courants
environ 2 fois plus elev es, soit un gain consid erable en termes
delimiteSmax. Des variations de r esistance importantes
accompagnent de telles excursions detemp erature: la r esistance
est de 1.5 ` a 2 fois plus elev ee ` a 210oC qu` a 25oC. Il
convient doncdajuster R dans le mod` ele de la ligne, en fonction
du courant v ehicul e par celle-ci. Pour uneligne traditionnelle o`
u la temp erature se situe entre 25oC et 75oC, cette variation deR
estnettement moins importante.55Chapitre 5Le syst` eme per unitLa
plupart des calculs dans les syst` emes electriques de puissance se
font en traitant des grandeursadimensionelles. Ces derni` eres
sobtiennent en divisant chaque grandeur (tension,
courant,puissance, etc. . . ) par une grandeur de m eme dimension,
appel ee base. On dit que les grandeurssans dimension ainsi
obtenues sont exprim ees en per unit, ce que lon note par pu.Cette
pratique universellement r epandue offre principalement les
avantages suivants:1. En per unit, les param` etres des equipements
construits dune mani` ere semblable ontdes valeurs assez proches,
quelle que soit leur puissance nominale. Lesvaleurs desparam` etres
etant pr evisibles, on peut:v erier plus ais ement la plausibilit e
de donn ees ou de r esultatsaffecter des valeurs par d efaut ` a
des param` etresmanquants, lorsque lon d esirechiffrer en premi`
ere approximation tel ou tel ph enom` ene.2. En per unit, les
tensions sont, en r egime de fonctionnement normal, proches de
lunit e(c` ad proches de 1 pu). Ceci conduit g en eralement ` a un
meilleur conditionnement num eriquedes calculs, par suite dune
moins grande dispersion des valeurs num eriques.3. Le passage en
per unit fait disparatre les transformateurs id eaux qui sont pr
esents dansles sch emas equivalents des transformateurs r eels. En
dautres termes, le syst` eme perunit permet de faire abstraction
des diff erents niveaux de tension.Exemple. La r eactance interne
dune machine synchrone vaut typiquement entre 1.5 et 2.5 pu(dans la
base de la machine). Pour une machine de caract eristiques 20 kV et
300 MVA, uner eactance de 2.667 est-elle normale ? M eme question
pour une machine de caract eristiques15 kV et 30 MVA.Pour la premi`
ere machine, limp edance de base ZB vaut, comme on le verra ci-apr`
es, 202/300 =1.333. La r eactance en per unit vaut donc
2.667/1.333=2 pu, soit une valeur tout ` a faitnormale.56Pour la
seconde machine, ZBvaut 152/30 =7.5 . La r eactance en per unit
vaut donc2.667/7.5 = 0.356 pu, soit une valeur anormalement
faible.5.1 Passage en per unit dun circuit electriqueLa mise en per
unit des equations qui r egissent un circuit electrique requiert le
choix detroisgrandeurs de base. Par exemple, si nous choisissons
(arbitrairement) une puissance, une tensionet un temps de base, que
nous notons respectivement SB, VB et tB, les autres grandeurs de
basesen d eduisent en utilisant les lois fondamentales de l
electricit e:courant de base: IB=SBVBimp edance de
base:ZB=VBIB=V2BSBux de base: B= VB tBinductance de base:LB=BIB=V2B
tBSBpulsation de base:B=ZBLB=1tBNotons que, conform ement ` a
lusage, VB et IB sont des valeurs efcaces.On peut evidemment
choisir une pulsation plut ot quun temps de base, tous deux etant
li espar la derni` ere relation ci-dessus. Dans ce cours, nous
choisissons pourB la pulsationNcorrespondant ` a la fr equence
nominale fN:B= N= 250 ou 260et donc:tB=1B=12fN=1100ou1120Notons au
passage que moyennant ce choix, une r eactance ` a la fr equence fN
a la m eme valeurque linductance correspondante, puisque:Xpu =XZB=B
LB LB=LLB= LpuConsid erons ` a pr esent le passage en per unit dune
relation typique du r egime sinusodal:S= VIcos( ) + j VIsin( )57On
a successivement:Spu =SSB=VIVB IBcos()+jVIVB IBsin() =
VpuIpucos()+jVpuIpusin()Comme cette relation ne fait pas intervenir
le temps, tB nest pas utilis e. Seule la puissance etla tension de
base sont utilis ees en r egime sinusodal.Consid erons ensuite la
mise en per unit dune equation diff erentielle typique du r egime
dy-namique:v = Ri + Ld id tOn a successivement:vpu =vVB=RiZB IB+LB
LB IBd id t= Rpuipu + Lpu1Bd ipud t= Rpuipu + Lpud ipud tpuDans ce
second exemple, le temps apparat explicitement. On voit quil y a
deux possibilit es:soit toutes les grandeurs sont mises en per
unit, y compris le temps: l equation est alorsstrictement identique
en unit es physiques et en per unit;soit on pr ef` ere conserver le
temps en secondes: il apparat alors un facteur 1/B devantlop
erateur de d erivation.5.2 Passageenperunit dedeuxcircuits magn
etiquementcoupl esConsid erons deux bobines magn etiquement coupl
ees, poss edant respectivement n1 et n2 spires.Les ux totaux1 et2
embrass es par ces bobines sont reli es aux courantsi1 eti2 qui
lestraversent par:1= L11i1 + L12i2(5.1)2= L21i1 + L22i2(5.2)En
principe, la mise en per unit de ces deux circuits requiert de
choisir 6 grandeurs de base (4en r egime sinusodal). Il existe
toutefois deux contraintes pratiques, qui ne laissent en fait que4
degr es de libert e (3 en r egime sinusodal):1. Temps identiques.
Pour des raisons de simplicit e, on d esire avoir le m eme temps en
pudans les deux circuits. On choisit donc:t1B= t2B(5.3)582. Sym
etriedesmatricesdinductances. En Henrys, on a toujours L12=L21. Il
estindiqu e de conserver cette propri et e apr` es passage en per
unit.La relation (5.1) se met en per unit comme
suit:1pu=11B=L11L1Bi1I1B+L12L1Bi2I1B= L11pui1pu +L12I2BL1BI1Bi2puOn
en d eduit la valeur de L12 en per unit:L12pu=L12I2BL1BI1B(5.4)On
obtient de m eme:L21pu=L21I1BL2BI2BPour avoir L12pu= L21pu, il faut
donc que:I2BL1BI1B=I1BL2BI2Bsoit apr` es calcul:S1B t1B= S2B
t2BEtant donn e que lon a choisi le m eme temps de base dans les
deux circuits, il faut, pourconserver la sym etrie de la matrice
dinductances, choisir egalement la m eme puissance debase:S1B=
S2B(5.5)Un syst` eme per unit qui satisfait ` a (5.3, 5.5) est dit
r eciproque. En effet, la matrice dinductancedes deux bobines etant
sym etrique, le quadrip ole correspondant est r eciproque.En
application de ce raisonnement, dans un circuit comportant
plusieurs niveaux de tensionreli es par des transformateurs, on
choisira partout un m eme temps de basetBet une m emepuissance de
base SB. Ensuite, ` a chaque niveau de tension, on choisira une
tension de base VB.5.3 Passage en per unit dun syst` eme triphas
eUn circuit triphas e nest jamais quun cas particulier de c